1. Complementos de Control Continuo.

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1 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -. Complmntos d Control Continuo. Complmntando nustros conocimintos sobr disño d controladors linals continuos, dsarrollarmos n st capítulo algunas técnicas adicionals, considrando spcialmnt l caso muy frcunt por cirto n qu no s cunta con una caractrización analítica complta d la planta controlada... Controlador PID. Estudiarmos inicialmnt l problma d la dtrminación d los parámtros d un controlador PID. Para fijar la nomnclatura y las convncions adoptadas, nos rfrirmos a la Fig... El habr slccionado justamnt st tipo d controlador para su análisis no s caprichoso: un rlvaminto publicado por Dsbourough y Millr n 00, ralizado sobr más d.000 controladors n rfinrías, industrias químicas y paplras, arrojó como rsultado qu l 97% d llos posían structura PID, rafirmándos así su difusión y vigncia a psar d todos los avancs tóricos y tcnológicos d los últimos 50 años. r(t) + (t) u(t) y(t) PID Procso r(t) variabl d rfrncia u(t) sñal d control y(t) variabl controlada (t)=r(t)-y(t) rror actuant Fig... Lazo d control ralimntado. El algoritmo tórico lmntal dl controlador PID s: t d( t) u( t) = K ( t) + ( τ ) dτ Td T + (.) i dt 0 La sñal d control rsulta ntoncs igual a la suma d trs términos: l término P (qu s proporcional al rror), l término I (proporcional a la intgral dl rror) y l término D (qu s proporcional a la drivada dl rror). Los parámtros dl controlador son la ganancia proporcional K, l timpo d intgración T i y l timpo d drivación T d. Dcimos qu (.) s una xprsión puramnt tórica, ya qu incluy un término drivador puro, totalmnt inadcuado n prsncia d ruido n la mdición d la variabl controlada (más adlant rtomarmos l tma). Los fctos d las accions proporcional, intgradora y drivadora s ilustran n las Figs..,.3 y.4 rspctivamnt n las qu s mustran, para un procso d trcr ordn, las rspustas L. Dsbourough, R. Millr: Incrasing customr valu of industrial control prformanc monitoring Honywll s xprinc. Sixth Intrnational Confrnc on Chmical Procss Control, AIChE Symposium Sris Numbr 36, vol. 98, 00.

2 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. - tmporals d y(t) para una variación n scalón unitario d la variabl d rfrncia o punto d ajust (n inglés: st-point)..5 y(t) K=5 K=3 0.5 K= t (s) T i = T d =0 Fig... Simulación d un sistma a lazo crrado con control proporcional. La función d transfrncia dl procso s P(s)=/(s+) 3. Con control puramnt proporcional, l rror n stado d régimn disminuy cuando K aumnta, pro l sistma s hac más oscilatorio..5 T i = y(t) T i = T i =5 0.5 T i = K= T d =0 t (s) Fig..3. Simulación d un sistma a lazo crrado con control proporcional-intgrador (PI). La función d transfrncia dl procso s P(s)=/(s+) 3 y la ganancia dl controlador s K=. Al agrgar la componnt intgradora comprobamos qu su fcto s incrmnta a mdida qu T i disminuy. En la Fig..3 obsrvamos qu l rror d régimn dsaparc. La tndncia a la oscilación crc a mdida qu T i s va hacindo más pquño..5 T d =0. y(t) T d = T d =4.5 K=3 T i = t (s) Fig..4. Simulación d un sistma a lazo crrado con controlador PID. La función d transfrncia dl procso s P(s)=/(s+) 3 y los rstants coficints s indican.

3 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -3 La Fig..4 mustra l fcto drivador. Los parámtros K y T i lgidos hacn oscilatorio (con T d nulo) al sistma d lazo crrado (con un príodo d aproximadamnt 6 sgundos). A mdida qu crc T d aumnta l amortiguaminto, pro ést vulv a dcrcr si T d s hac dmasiado grand. Tnindo n cunta qu la acción drivadora pud intrprtars como una prdicción basada n una xtrapolación linal durant l timpo T d, vmos qu sa prdicción rsulta inútil si T d s hac grand rspcto dl príodo d oscilación no amortiguado. La rlación d T d con la dinámica dl sistma s xplicita n la Fig..5. (t) = T prdic. d d( t) dt T d T d vrdadro = ( t + Td ) ( t) t Fig..5. S compara l fcto prdictivo d la acción drivadora y su rlación con la dinámica dl sistma. La prdicción () s acptabl, mintras qu la () no lo s, dbido al mplo d un valor xcsivamnt prolongado para T d... Considracions d Robustz. Con la finalidad d incorporar las dfinicions ncsarias para nustro studio, picotarmos algunas migajas concptuals n los trrnos dl Control Robusto. Para llo, xpandirmos l lazo d control lmntal d la Fig.. dtallando la structura gnral dl controlador y las prturbacions y ruidos qu incidn sobr l procso y las variabls controladas. d n r u v x y F Σ C Σ P Σ Controlador Procso Fig..6. Diagrama n bloqus d un sistma d control ralimntado.

4 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -4 En la Fig..6 l procso P s ncuntra somtido a divrsas prturbacions: la prturbación d carga d (qu rprsntan aqullos fctos qu apartan al procso d su comportaminto dsado) y l ruido d mdición n. La variabl d procso x s la vrdadra variabl física qu s dsa controlar, pro l control s basa n la sñal mdida y qu s ncuntra corrompida por l ruido n. El controlador s mustra dividido n dos parts: l compnsador d ralimntación C y l compnsador por adlanto (fdforward) F, también llamado filtro d comandos. El procso s influido por l controlador a través d la variabl d control u. En conjunto, stamos n prsncia d un sistma d trs ntradas (u, d, n) y una salida (y). En la Fig..6 s mustra la prturbación d carga actuando a la ntrada dl procso, pro n ralidad la prturbación pud ingrsar al procso n una multitud d manras difrnts, habiéndos adoptado la rprsntación mostrada a los fctos d vitarnos inncsarias complicacions. La atnuación d prturbacions s a mnudo l objtivo primario dl control. Las prturbacions d carga son sñals qu prtncn típicamnt al rango d las bajas frcuncias. El ruido d mdición por su part pos componnts d alta frcuncia con valor mdio nulo introduc rrors n los valors d la variabl controlada. Hacindo un rsumn d las considracions gnrals d disño para un controlador, podmos formular los rqurimintos básicos: Estabilidad Capacidad d sguir sñals d rfrncia Rducción d los fctos d prturbacions d carga Rducción d los fctos dl ruido d mdición Rchazo d variacions d parámtros dl procso y/o incrtzas n l modlo mplado. Dpndindo d la aplicación spcífica, uno o más d los rqurimintos indicados prvalcrá o prvalcrán sobr los rstants. El sistma ralimntado d la Fig..6 pos, como dijimos, trs ntradas: r, d y n qu afctan a trs variabls u, x y qu son d gran intrés para l sistma d control. Suponindo al sistma linal xistn ntoncs nuv rlacions xprsabls como funcions d transfrncia ntr las variabls d ntrada y las d salida. Si con X, Y, U, D, N, R rprsntamos las transformadas d Laplac d x, y, u, d, n, r, djando d lado l argumnto compljo s n bnficio d la sncillz, podmos scribir X = P PC PCF D N + R + PC + PC + PC Y = P PCF D + N + R + PC + PC + PC PC C CF U = D N + R + PC + PC + PC (.) Obsrvamos n (.) qu varias d las funcions d transfrncia son iguals y qu todas las rlacions stán xprsadas como combinacions dl siguint conjunto d sis funcions, al qu dsignarmos como l «Sxtto Mayor».

5 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -5 PCF PC P + PC + PC + PC CF C + PC + PC + PC (.3) Las funcions d transfrncia d la primra columna dtrminan las rspustas d la variabl d procso (x) y la variabl d control (u) al st-point (r) o variabl d comando. La sgunda columna da las mismas sñals para l caso d ralimntación pura d rror (F=). La función P /( + PC) n la trcra columna dfin la racción d la variabl d procso (x) a una prturbación d carga (d), mintras qu C /( + PC) da la rspusta d la sñal d control al ruido d mdición. El sistma con F= s dnomina control d ralimntación d rror puro. En st caso l sistma quda compltamnt caractrizado por l «Cuartto» d funcions d transfrncia: + PC PC + PC P + PC C + PC función d snsibilidad función d snsibilidad complmntaria función d snsibilidad a la prturbacion d carga función d snsibilidad al ruido (.4) Los nombrs d las funcions intgrants dl Cuartto s dducn a partir d considrar la función d transfrncia d lazo crrado (T) dl sistma y d la variación qu sufr si la planta (P) xprimnta una pquña prturbación alrddor dl valor nominal d sus parámtros: PC C T = ; dt = dp + PC + ( PC ) dt dp dt T = S = = T + PC P dp P + PC (.5) La función d snsibilidad S prmit ntoncs xprsar la variación rlativa d la función d transfrncia d lazo crrado ant pquñas variacions dl procso. D acurdo a las (.5) tnmos qu S + T = (.6) razón por la cual a la función d transfrncia d lazo crrado (T) s la sul dnominar también función d snsibilidad complmntaria. Algo qu no db prdrs nunca d vista s qu la stabilidad d funcionaminto dl sistma, implica qu cada una d las sis funcions d transfrncia intgrants dl sxtto mayor habrá d sr individualmnt stabl.

6 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág Controladors con Dos Grados d Librtad. Ants d adntrarnos n considracions d disño, djmos aclarado qu l diagrama n bloqus d la Fig..6 qu adoptamos como rprsntación standarizada, s totalmnt quivalnt a otras configuracions posibls. Así por jmplo, l clásico squma d adlanto d la sñal d comando d la Fig..7 pud sr llvado a la forma d la Fig..6 si imponmos F=A/C. r d n A u v x y C Σ Σ P Σ Controlador Procso Fig..7. Ralización altrnativa para l fdforward. Dcimos qu l controlador d la Fig..6 pos dos grados d librtad porqu l bloqu C forma part dl lazo crrado, mintras qu l bloqu F s xtrior al mismo. Est hcho posibilita una atractiva subdivisión dl problma d disño: así C pud sr proyctado para proporcionar l dbido rchazo d las prturbacions d carga incrtzas n l procso, mintras qu F s dimnsionado para lograr una buna rspusta a las sñals d rfrncia. El disño d C solamnt considra l cuartto, mintras qu n l proycto d F intrvinn las dos funcions d transfrncia rstants qu compltan l sxtto mayor. Para dscribir al sistma con propidad, s ntoncs ncsario mostrar las rspustas d las sis funcions d transfrncia, cosa qu hmos hcho n las figuras siguints, dond mostramos las rspustas al scalón y las rspustas n frcuncia d cada intgrant dl sxtto. Las rspustas tmporals d la Fig..8 mustran qu l fdforward mjora sustancialmnt l timpo d rspusta. El timpo d rspusta s notablmnt mnor, 4s contra 5s, sin sobrpasaminto (comparar Fig..8.a. con.8.b.). Esto también s rflja n las curvas d rspusta n frcuncia, qu mustran (Fig..9.a.) un mayor ancho d banda sin pico d rsonancia para la función d transfrncia con adlanto d sñal (comparar con.9.b.). Las funcions d transfrncia CF/(+PC) y C/(+PC) rprsntan la transmisión d sñal d la variabl d rfrncia a la variabl d control, y dl ruido d mdición a la variabl d control, rspctivamnt. La rspusta tmporal d la Fig..8.d, dmustra qu la rducción dl timpo d rspusta qu s logra por adlanto d sñal, rquir un sfurzo d control substancial. El valor inicial d la variabl d control s ncuntra fura d scala n.8.d. pro la rspusta n frcuncia.9.d. mustra qu la ganancia d alta frcuncia para CF/(+PC) s 6, qu db sr comparado con l valor 0.78 para C/(+PC). La rspusta rápida rquir ntoncs sñals d control considrablmnt mayors. Indpndintmnt dl valor qu tom la función d transfrncia dl bloqu d adlanto d sñal (fdforward), la Fig..8.c. nos informa qu l

7 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -7 rchazo a un scalón d prturbación d carga s compltará n aproximadamnt 0 a 5 sgundos. Fig..8. Rspustas al scalón dl sxtto. El procso s P(s)=/(s+) 4. El controlador aplicado s PI con K=0.775, T i =.05. El bloqu F d adlanto d sñal s ha disñado para obtnr la función d transfrncia /(0.5s+) 4 d la ntrada r a la salida y. Fig..9. Rspustas n frcuncia dl sxtto, para la misma situación rprsntada n la Fig..8.

8 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -8 El hcho d qu s ncsitan 6 rlacions para capturar la totalidad d las propidads d un lazo básico d control s a mnudo pasado por alto n la litratura, rduciéndos muchas publicacions a mostrar tan sólo la rspusta d la variabl dl procso a cambios n l punto d ajust, brindando una información muy parcializada dl comportaminto dl sistma. Ilustrarmos lo xprsado mdiant un jmplo. Sa l procso caractrizado por la función d transfrncia P( s) = qu s controlado por ralimntación pura d rror ( s + )( s + 0.0) 50s + mplando l compnsador PI C( s) =, rsultando la función d transfrncia d lazo 50s abirto L( s) = s( s + ). La Fig..0 mustra qu las rspustas a un scalón d la variabl d rfrncia son muy acptabls. Basados n stas rspustas podríamos cdr a la tntación d dar l disño por buno. Para xplorar nustro sistma algo más n profundidad, dbmos calcular l cuartto ya qu F=. PC P s = ; = ; + PC s + s + + PC s + s + s + ( 0.0)( ) C ( s + 0.0)( s + ) s( s + ) = ; = ; + PC s + s + + PC s + s + Obsérvs qu l polo dl procso ubicado n s = 0.0 s canclado por l cro dl controlador PI. Esto hac qu la función d transfrncia d lazo abirto sa d sgundo ordn aunqu l sistma d lazo crrado s d trcr ordn, con la cuación caractrística ( s 0.0)( s s ) =. Fig..0. Rspustas a un scalón d la variabl d rfrncia.

9 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -9 La prsncia dl polo lnto s = 0.0 n la función d transfrncia P/(+PC), da por rsultado qu la rspusta a una prturbación n la carga dcaiga muy lntamnt, sgún -0.0t. El controlador PI no rspondrá a la sñal -0.0t porqu l cro n s = 0.0 bloquará su transmisión. Esto s v con claridad n la Fig.. n la qu s obsrva qu una prturbación d carga s rchazada n aproximadamnt 00 sgundos. El comportaminto ilustrado s típico d la canclación d polos y cros, y corrspond a la xcitación d un modo obsrvabl pro no controlabl n l sistma d lazo crrado. Surgn aquí algunos d los intrrogants qu irmos rspondindo a lo largo d nustro curso: cuáls son las condicions d controlabilidad y obsrvabilidad d un sistma dinámico? Cómo influyn stas condicions n l disño d los controladors? Fig... Rspustas a un scalón d prturbación d carga.... Atnuación d Prturbacions. A fctos d discutir la influncia d las prturbacions y su atnuación, considrarmos la opración a lazo abirto y a lazo crrado dl sistma d la Fig..6 hacindo nula la sñal d rfrncia (r = 0). A lazo abirto la salida dl sistma val mintras qu, crrando l lazo, s Y = P( s) D( s) + N( s) (.7) a P( s) D( s) + N( s) Yc = = S( s) [ P( s) D( s) + N( s) ] = S( s) Y + P( s) C( s) a (.8) La atnuación d prturbacions pud ntoncs visualizars mdiant la curva d Bod d S(jω). La frcuncia más baja dond la función d snsibilidad tin módulo s dnomina frcuncia d cruc d la snsibilidad ω cs.

10 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -0 El módulo máximo d la snsibilidad M = s max S( jω) = max S( jωms ) ω ω + P( jω) C( jω) = (.9) s un parámtro important ya qu dfin la máxima amplificación d las prturbacions. Es máximo ocurr para la frcuncia ω ms. Fig... Diagrama d Bod d la f.t. d snsibilidad corrspondint al sistma d la Fig..8. S xplicitan módulo máximo, frcuncia dl máximo y frcuncia d cruc d snsibilidad. La función d snsibilidad pud sr scrita n la forma S( s) = = + P( s) C( s) + L( s) (.0) Fig..3. Diagrama d Nyquist d la función d transfrncia d lazo abirto corrspondint al sistma d la Fig..8. y como solamnt dpnd d la función d transfrncia d lazo abirto L(s), pud sr visualizada n l diagrama d Nyquist d L(jω). El númro compljo +L(jω) s rprsntado por l vctor trazado dsd l punto al punto L(jω) sobr la curva d Nyquist (Fig. 3). La snsibilidad s ntoncs mnor qu para todos los puntos xtriors al círculo d radio unitario cntrado n. Las prturbacions corrspondints a stas frcuncias son atnuadas por fcto d la ralimntación...3. Variacions dl Procso. Los sistmas d control s disñan sobr la bas d modlos simplificados d los procsos, cuya dinámica pud variar durant la opración. La snsibilidad dl sistma d lazo crrado ant variacions n la dinámica dl procso controlado, constituy un aspcto crucial dl disño. El risgo d instabilidad s l principal pligro n los sistmas ralimntados, por lo qu rsulta d intrés invstigar si las variacions dl procso pudn dsncadnarla. Las funcions d

11 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. - snsibilidad brindan n st aspcto informacions d suma utilidad. La Fig..3 mustra qu la mayor snsibilidad stá dada por la rcíproca d la mnor distancia ntr la curva d Nyquist d la función d transfrncia d lazo abirto y l punto crítico + j0. La función d snsibilidad complmntaria también rsulta d utilidad para valuar las variacions admisibls n l procso. Sa un sistma ralimntado con un procso P y controlador C, cuyo diagrama d Nyquist d lazo abirto s mustra n la Fig..4. Si l procso varía d P a P+ P la función d lazo abirto cambia d PC a PC+C P como s ilustra n la figura. La distancia dl punto crítico al punto L s +L. Esto significa qu la curva d Nyquist prturbada no alcanzará l punto crítico n tanto s cumpla C P < +L. Esta condición db sr válida para todos los puntos sobr l diagrama d Nyquist. La condición d stabilidad pud sr rscrita d la manra siguint si n la dsigualdad prcdnt dividimos ambos mimbros por PC : P( jω) < (.) P( jω) T ( jω) También s rquir qu la prturbación P(s) sa una función d transfrncia stabl a fin d satisfacr la condición d rodos d Nyquist. La condición (.) s consrvadora ya qu d la Fig..4 s dduc qu la prturbación crítica s la qu s produc n la dircción hacia l punto. Rsultan ntoncs admisibls prturbacions mayors n otras dirccions. La fórmula (.) xplicita una d las razons por las cuals los sistmas ralimntados funcionan tan bin n la práctica. La Ec.(.) implica qu l sistma a lazo crrado srá stabl ant variacions sustancials n la dinámica dl sistma. Una stimación consrvadora d las variacions admisibls n l procso qu no originarán instabilidad stá dada por: Fig..4. Diagrama d Nyquist d la función nominal d lazo abirto y la incrtza originada n la variacions P dl procso. P( jω) < P( jω) M t dond M t s l mayor valor d la snsibilidad complmntaria M t P( jω) C( jω) = max T ( jω) = max ω ω + P ( jω ) C ( jω ) (.)

12 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. - Vmos qu l valor d M t s influido por l disño dl controlador, o vicvrsa: si s conoc l rango d variación a qu pud star somtida la función d transfrncia dl procso, rsultará posibl calcular l controlador prfijando un margn d stabilidad acptabl. Fig..5. Diagrama d Nyquist d la f.t. d snsibilidad complmntaria T(jω) corrspondint a la Fig..9.b. Los círculos mustran las rgions d incrtza P =/ T calculadas para l controlador PI con K=0.775 y T i =.05 n las frcuncias angulars ω =0, 0.46, 0.75 y. La Fig..5 mustra l trazado d Nyquist d T(jω) dl sistma considrado n nustro jmplo, junto con los círculos qu acotan las rgions d incrtza para algunas frcuncias d intrés. Obsrvamos qu n nustro caso M t s hac máxima para ω = 0.46 qu s dond s produc l mínimo d la variación P admisibl para la planta. La situación ilustrada s típica d muchos procsos, dond s rquir una buna aproximación a la función d transfrncia d la planta (s dcir baja incrtza) n las crcanías d la frcuncia d cruc d lazo abirto, sindo admisibls lvados valors d incrtza a frcuncias supriors infriors. Una conscuncia práctica d lo dicho s qu un simpl modlo qu dscriba corrctamnt la dinámica dl procso n las crcanías d la frcuncia d cruc, rsulta suficint para l disño. Una xcpción a sta rgla la constituyn los procsos qu posn rsonancias múltipls, ya qu su función d transfrncia pud posr ganancias lvadas también n altas frcuncias. Hmos podido constatar qu la función d snsibilidad S y la función d snsibilidad complmntaria T brindan mucha información acrca dl comportaminto dl sistma ralimntado. Rsulta d acurdo a las cuacions (.5) y (.8) qu s convnint un bajo valor d la función d snsibilidad, y s dduc d (.) qu un bajo valor d la snsibilidad complmntaria vulv admisibl una incrtza lvada para l procso. Dado qu, d acurdo a la (.6) s S( s) + T ( s) = dducimos qu S y T no pudn sr simultánamnt pquñas. La función d transfrncia d lazo abirto L(s) pos típicamnt valors lvados para baja frcuncia y s aproxima a cro a mdida qu s tind a infinito. En conscuncia S s típicamnt d valor rducido para s pquño, y tind a para s lvado. Rcíprocamnt T s para s 0 y s anula cuando s.

13 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -3 Salvo para procsos muy particulars, la función d snsibilidad S no pud sr hcha pquña sobr un rango xtndido d frcuncias. Para sistmas d control típicos, xistn rstriccions muy svras sobr la función d snsibilidad. Bod dmostró qu si la función d transfrncia d lazo abirto pos p k polos n l smiplano drcho y tind a cro con mayor rapidz qu /s para altas frcuncias, la función d snsibilidad satisfac la siguint intgral: + { } log S( jω) dω = log d R pk 0 ω = π (.3) 0 L( jω) k sta xprsión dmustra qu si s hac pquña para algunas frcuncias a la función d snsibilidad, ésta db incrmntars para otras frcuncias. Lo qu significa qu si la atnuación d prturbacions mjora n un cirto rango d frcuncias, ncsariamnt dbrá mporar n otro rango (fcto colchón d agua). Para funcions d lazo abirto sin polos n l smiplano drcho, la (.3) s rduc a log S( jω) dω = 0 (.4) 0 sta fórmula pos una simpl intrprtación gométrica qu s mustra n la Fig..6: l ára por arriba dl j horizontal db s xactamnt igual al ára por dbajo dl j. Para una dmostración d las intgrals d Bod, s rcominda l txto d Lwis. Fig..6. Intrprtación gométrica d la intgral (.4)...4. Ruidos d Mdición y Saturación. Dado un sistma con ralimntación d rror puro (d un solo grado d librtad), rsulta intuitivamnt razonabl afirmar qu una rspusta rápida al comando rquir d un controlador con lvada ganancia. Pro cuando l controlador tin alta ganancia, también l ruido d mdición s amplificado inyctado al sistma, lo qu ocasionará variacions n la sñal d control y n la variabl controlada. Es prciso qu las fluctuacions así originadas n la sñal d control no san tan grands como para ocasionar una saturación dl actuador. Dado qu l ruido d mdición s típicamnt d alta frcuncia, ést y la saturación dl actuador proporcionan una A.D. Lwis: A Mathmatical Approach to Classical Control. Qun s Univrsity, Dpt. Of Mathmatics & Statistics. Kingston, Canada. Updat /0/004.

14 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -4 cota suprior a la ganancia dl controlador n alta frcuncia, limitando n conscuncia la rapidz d rspusta dl sistma. Existn muchas funts d ruido d mdición: l ruido pud sr inhrnt a la naturalza dl snsor o pud sr originado por la lctrónica asociada. En sistmas controlados por computadora s también causado por la rsolución d los convrtidors A/D y D/A. Considérs un sistma controlado por computadora, con convrtidors analógico-digitals y digitalsanalógicos d bits. Como bits corrspondn a 4096, s infir qu para una ganancia d alta frcuncia dl controlador M c =4096 un bit d rror d convrsión dará por rsultado un cambio d rango complto n la sñal d control. Para un sistma razonabl s rquir qu las fluctuacions n la sñal d control dbida a los rrors d mdición no suprn l 5% dl rango d sñal. Esto significa qu para nustro jmplo, la ganancia d alta frcuncia dl controlador dbrá rstringirs a 00. Los análisis prcdntmnt fctuados sobr rchazo d prturbacions, variacions n l procso controlado, ruidos d mdición y saturación, contribuyn n conjunto a subrayar las vntajas inhrnts al disño d controladors con dos grados d librtad, dond rsulta posibl sparar los problmas d la rspusta al comando, dl rchazo a la prturbación d carga y la snsibilidad a variacions n los parámtros dl procso. Así, tnindo n cunta las Ecs.(.4), l procso d disño pud sr dividido n dos pasos indpndints: En primr término disñar l controlador d ralimntación C qu rduzca los fctos d las prturbacions d carga (PS) y la snsibilidad a variacions dl procso, sin introducir dmasiado ruido d mdición al sistma (CS). Lugo disñar la función d transfrncia d adlanto d comando qu proporcion la rspusta dsada al punto d ajust (FT). Por cirto qu si l ruido d mdición s convirt n un factor condicionant, no dbrá prdrs d vista la altrnativa d cambiar los snsors por otros d mjor calidad a fin d suprar l problma..3. Disño con Grados d Librtad aplicando Filtrado d Ruidos..3.. Filtrado. Como la difrnciación s muy snsibl al ruido, la forma d la función d transfrncia qu s dduc d la xprsión (.) db sr modificada a fin d limitar la ganancia d alta frcuncia dl término drivativo, mdiant l uso d un filtro. Si s mpla un filtro d primr ordn s tndrá para la función d transfrncia ntr la variabl mdida y y la salida dl controlador u (véas la Fig..6): st d C( s) = K + + (.5) sti + std N st controlador pos la ganancia d alta frcuncia lim C( s) = K( + N). (.6) s

15 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -5 Tnindo n cunta la antrior discusión sobr robustz ant variacions dl procso, rsulta altamnt dsabl qu la ganancia dl controlador sa dcrcint n alta frcuncia (s dcir qu prsnt un roll-off ), lo qu s pud lograr mdiant un acondicionaminto d la sñal d control a través dl filtro F( s) = ( + stf ) n (.7) dond T f s la constant d timpo y n s l ordn dl filtro mplado. Si la structura dl controlador s PID s lgirá T f = T d /N ; si la structura s tan sólo PI pud tomars T f = T i /N Típicamnt los valors d N s ncuntran n l rango d 8 a 0. El controlador también pud sr implmntado como C( s) = K + + std sti st N ( + ) d (.8) Esta structura pos la vntaja d prmitir l uso d un procso d disño itrativo. Primro s calcula un controlador PID idal para l procso P(s). El disño proporciona l valor dl parámtro T d, a partir dl cual s rcalcula l controlador idal pro ahora para l procso P( s) ( + std / N), lo qu arrojará un nuvo valor d T d, y así sucsivamnt. El procdiminto dscripto brinda también una clara visión dl compromiso qu xist ntr prformanc y filtrado..3.. Asignación d Pso al Punto d Ajust. Al usar la ly d control (.), rsulta claro qu un cambio n scalón d la sñal d rfrncia originará un impulso n la sñal d control, situación qu no s d manra alguna dsabl n la mayoría d los casos. Por sta razón la acción drivativa frcuntmnt no s aplicada sobr la sñal d rfrncia. Otra posibilidad s qu la acción proporcional sa aplicada tan sólo sobr una fracción d la sñal d rfrncia. Esto s dnomina asignación d pso al punto d ajust. El controlador PID dado por (.) s convirt ntoncs n t dr( t) dy( t) u( t) = K br( t) y( t) + ( τ ) dτ Td c T + i dt dt 0 (.9) dond b y c son parámtros adicionals. El término intgral db dpndr dl rror a fin d proporcionar la rspusta dsada n stado d régimn. El controlador dfinido por (.9) pos una structura d dos grados d librtad ya qu los caminos d sñal d y a u y d r a u son difrnts, rsultando las funcions d transfrncia U ( s) U ( s) = Cr ( s) = K b + + cstd ; = Cy ( s) = K + + std R( s) sti Y ( s) sti (.0)

16 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -6 D acurdo con la sgunda d las (.0), l controlador (.9) raccionará ant una prturbación n la carga d la misma manra qu lo hac un controlador d un solo grado d librtad; la rspusta a cambios n la variabl d rfrncia s vrá influida por los parámtros b y c. Fig..7. Rspusta a un scalón n la variabl d rfrncia para difrnts factors d pso dl punto d ajust (b=0, 0.5, ). Función d transfrncia dl procso P(s)=/(s+) 3. Los parámtros dl controlador son K=3, T i =0.5, T d =0.5. Obsérvs qu l sobrpasaminto y l timpo d rspusta dpndn dl factor d pso b. El valor d c s normalmnt cro para vitar grands transitorios n la sñal d control dbido a variacions abruptas dl punto d ajust. El controlador (.9), pud también sr ralizado bajo la forma d un controlador PI-PD como s mustra n la figura siguint: R(s) + E(s) U(s) Y(s) PI Procso PI: k + k i /s PD: + k d s PD Fig..8. Diagrama d bloqus d un controlador PI-PD. Nóts qu la ganancia proporcional dl controlador PD db sr unitaria para obtnr un rror d régimn nulo. La rlación d ntrada-salida para l controlador complto val ' ' ki ' ' ' ' ' U ( s) = k R( s) + [ R( s) Y ( s) ] ( k + kdki ) Y ( s) + k kd sy( s) (.) s

17 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -7 Oprando algbraicamnt sobr (.) y comparando con (.9) s dducn las quivalncias k + k k k k k K = k + k k ; T = ; T = ; b = ; c = 0. ' ' ' ' ' ' ' ' ' d i d d i i ' d ' ' ' ' ' ' ki k + kdki k + kdki Nóts qu la structura dfinida por (.9) s ajustabl d manra más sncilla, ya qu los parámtros K, T i, T d pudn sr dtrminados n primr término para compnsar prturbacions d carga, ruido d mdición y variacions dl procso. Una vz hcho ésto, s pud ajustar la rspusta a la variabl d comando, slccionando los valors d b y c. Los parámtros dl controlador aparcn d un modo mucho más complicado n la structura PI-PD..4. Ajust d parámtros mdiant rglas mpíricas. Cualquira d los métodos gnrals d disño pudn sr aplicados para l control PID. Una cantidad d rglas prácticas han sido dsarrollados spcialmnt para los controladors PID y éstas son, n gnral, dnominadas rglas d ajust o sintonía (tuning). Ampliamnt conocidos son los métodos dsarrollados por Ziglr y Nichols 3, qu han marcado su influncia sobr la práctica dl control d procsos por más d mdio siglo. Si bin los rsultados qu brindan son modradamnt bunos, su difusión s db a su xtrma simplicidad, ya qu s basan n la caractrización dl procso mdiant unos pocos parámtros y l mplo d fórmulas d ajust muy sncillas..4.. Métodos d Ziglr-Nichols. Fig..9. Caractrización d la rspusta al scalón sgún Ziglr-Nichols Uno d los métodos d ajust d Ziglr-Nichols s basa n la información obtnida acrca dl procso a partir d un nsayo d rspusta al scalón a lazo abirto. La rspusta y(t) s caractrizada por tan sólo dos parámtros: a y L qu s dtrminan n bas a la tangnt d máxima pndint a la curva y(t), tal como s mustra n la Fig..9. Los parámtros para cada tipo d controlador dfinidos por Ziglr y Nichols n bas al nsayo d lazo abirto, s mustran n la Tabla.. En la misma tabla s mustra l valor stimado dl príodo d oscilación T p dl sistma a lazo crrado. 3 "Optimum Sttings For Automatic Controllrs" s l nombr dl papr original d J.G. Ziglr and N.B. Nichols y publicado n la dición d Novimbr d 94 d las Transactions of th Amrican Socity of Mchanical Enginrs. Un facsímil dl original pud obtnrs accdindo a

18 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -8 Controlador K T i T d T p P /a 4L PI 0.9/a 3L 5.7L PID./a L L/ 3.4L Tabla.. Parámtros d controladors sgún Ziglr-Nichols n bas a la rspusta al scalón. Un sgundo método también dsarrollado por Ziglr y Nichols s basa n una muy simpl caractrización d la rspusta n frcuncia dl procso controlado. El disño s funda n l conociminto d un único punto dl lugar d Nyquist dl procso: l punto dond P(jω) corta por primra vz al j ral ngativo, qu corrspond a la frcuncia ω 80 (vr Fig..0). Los parámtros d st punto pudn sr dtrminados xprimntalmnt d la manra siguint: conécts un controlador puramnt proporcional crrando l lazo dl procso incrménts suavmnt la ganancia hasta qu l sistma cominza a oscilar. La ganancia para la cual ocurr sto s K 0 y l príodo d oscilación qu s rgistra s T 0. Los parámtros dl controlador sugridos por Ziglr y Nichols son los qu s consignan n la Tabla., dond también s indica un valor aproximado dl príodo T p dl modo dominant d la rspusta dl sistma a lazo crrado. Fig..0. Caractrización d la rspusta n frcuncia sgún Ziglr-Nichols. Controlador K T i T d T p P 0.5 K 0 T 0 PI 0.4 K T 0.4 T 0 PID 0.6 K T T T 0 Tabla.. Parámtros d controladors sgún Ziglr-Nichols n bas a la rspusta n frcuncia. Las rglas d ajust d Ziglr y Nichols furon dsarrolladas para brindar una buna atnuación d prturbacions a lazo crrado. Los métodos s basaron n simulacions xtnsivas, y l critrio d disño mplado s l conocido como atnuación d un cuarto d amplitud, s dcir

19 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -9 qu la amplitud d una oscilación ha sr rducida n un factor d cuatro lugo d transcurrido un príodo d la onda. Ésto corrspond a un factor d amortiguaminto ζ=0. para los polos dominants d lazo crrado, lo qu brinda una prformanc muy pobr. Fig... Comparación d los métodos d Ziglr-Nichols. El procso s P(s)= -s /(+s) 4. La rspusta al scalón s la mostrada n la Fig..9, y la curva d Nyquist s la d la Fig..0. El controlador s PI. S mustran las rspustas a un scalón n la variabl d rfrncia para t =0 sg, sguido d una prturbación d carga n t =00 sg. Contmplando la Fig.., s nos ocurr pnsar qu ningún ingniro d control d la década d 950 pud habrs sntido fliz con las rspustas tmporals qu obtnía al aplicar los métodos d Ziglr-Nichols. La prgunta qu surg s: qué razón subyacía y/o subyac a la popularidad d stos procdimintos, n vista d la tristza qu dimana d los rsultados obtnidos d su aplicación? La rspusta s lmntal: la sim-pli-ci-dad. Tanto l método d rspusta al scalón, como l basado n la rspusta n frcuncia, son sumamnt fácils d aplicar y los rsultados obtnidos constituyn un punto d partida confiabl, para qu l ingniro d planta jrcit la habilidad d sus nuronas, a fin d lograr mjoras palpabls n la salida dl procso..4.. Rglas d Chin, Hrons y Rswick. Por cirto qu no furon Ziglr y Nichols los únicos n incursionar por l florido prado d las fórmulas sintéticas qu prtndn brindar una panaca al problma d la sintonía d los lazos d control... Si damos una ojada a la litratura dl último mdio siglo n sta ára, nos ncontramos con txtos, como l nciclopédico d W. Opplt 4, dond s dscribn los métodos d: Cohn y Coon; Chin, Hrons y Rswick; Hazbrok y Van dr Wardn; Oldnburg y Sartorius; Takahashi; Ziglr y Nichols; tc. Las rglas d Chin, Hrons y Rswick furon dsarrolladas n 95 como conscuncia d intnsivas simulacions ralizadas con la ayuda d computadoras analógicas. Prsntan la vntaja d habr sido calculadas por sparado para las rspustas al comando y a la prturbación d carga, ncontrándos a su vz difrnciadas n rglas para rspustas apriódicas y rglas para rspustas oscilatorias con 0% d sobrpasaminto frnt a una xcitación n scalón. Estas rglas s basan n caractrizar los procsos mdiant los parámtros: ganancia stática K, máxima pndint d la rspusta K /T a y timpo d rtardo T r, obtnibls d la rspusta al scalón (Fig..). 4 W. Opplt: Klins Handbuch Tcnischr Rglvorgäng. Vrlag Chmi GmBH, Winhim/Brgstr., 97.

20 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -0 Fig... Rspusta al scalón unitario d un procso y procdiminto mplado para dtrminar los valors d K, T a y T r. Rspusta apriódica d timpo mínimo al scalón d comando al scalón d prturbación P 0.3 Ta K = K T r 0.3 Ta K = K T r PI 0.35 Ta K = ; Ti.T K T = r a 0.6 Ta K = ; Ti 4T K T = r a PID 0.6 Ta K = ; T T ; T 0.5T K T = = r i a d r 0.95 Ta K = ; T.4 T ; T 0.4T K T = = r i a d r Tabla.3. Parámtros d controladors sgún CHR para rspusta apriódica. Rspusta oscilant con 0% d sobrpasaminto al scalón d comando al scalón d prturbación P 0.7 Ta K = K T r 0.7 Ta K = K T r PI 0.6 Ta K = ; Ti = T K T r a 0.7 Ta K = ; Ti =.3T K T r a PID 0.95 Ta K = ; T =.35 T ; T = 0.47T K T r i a d r. Ta K = ; T = T ; T = 0.4T K T r i a d r Tabla.4. Parámtros d controladors sgún CHR para rspusta oscilant con 0% d sobrpasaminto.

21 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. - A fins comparativos, los valors d ajust para rspusta apriódica y oscilant d las Tablas.3 y.4, han sido aplicados al mismo procso P(s)= -s /(+s) 4 qu utilizáramos al tratar los ajusts d Ziglr-Nichols, mostrándos los rsultados para controladors PI n los gráficos d la Fig..3. Fig..3. Conjunto d ajusts CHR. El procso s P(s)= -s /(+s) 4. La rspusta al scalón s la mostrada n la Fig.., con los parámtros K =; T r =3.45sg; T a =4.464sg. El controlador s PI. S mustran las rspustas a un scalón n la variabl d rfrncia para t =0 sg, sguido d una prturbación d carga n t =00 sg. Comparando las Figs.. y.3, no ncontramos razons para sntirnos dmasiado flics. Podmos, so sí, dcir qu los ajusts sgún CHR producn rspustas subjtivamnt mjors qu los d Z-N. Tampoco dbmos car n l rror d juzgar la bondad d un método por su aplicación a un único caso, dond con toda probabilidad hmos tnido la mala surt d toparnos con un procso P(s) mal acondicionado. Como síntsis podmos dcir qu n su conjunto, las rglas mpíricas, constituyn un punto d partida viabl para la dtrminación dl ajust d controladors, hcho qu rsulta particularmnt vntajoso cuando no s cunta con un modlo analítico prciso dl procso controlado. Rcintmnt s han ralizado ultriors aports al ára d las rglas mpíricas d ajust, dstacándos los trabajos d Hägglund y Åström 5 qu s ncuntran sinttizados n una d las publicacions 6 d sta Cátdra. 5 T. Hägglund, K.J. Åström: Rvisiting th Ziglr-Nichols Tuning Ruls for PI Control. Asian Journal of Control, vol. 4, No. 4, (Dc. 00), págs K.J. Åström, H. Panagopoulos, T. Hägglund,: Dsign of PI Controllrs basd on Non-Convx Optimisation. Automatica, vol. 34, No. 5, (998), págs W. Cova: Control PID un nfoqu dscriptivo. Univrsidad Tcnológica Nacional, F. R. La Rioja. 005.

22 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág Ajust d parámtros aplicando constant d timpo quivalnt..5.. Constant d timpo quivalnt. En la industria d procsos, a mnudo rsulta imposibl contar con un modlo prciso dl comportaminto d la planta. Esto n gnral ocurr porqu l sistma no rspond a un modlo d parámtros concntrados, por lo qu mal pud sr rprsntado por cuacions difrncials ordinarias. En stos casos, s obtinn bunos rsultados si s procd a caractrizar la dinámica d la planta controlada por mdio d una constant d timpo quivalnt. El mplo d la constant d timpo quivalnt, s particularmnt aconsjabl para l caso d plantas apriódicas y bin amortiguadas. El valor d la constant d timpo quivalnt, corrspond a la d aqul sistma d primr ordn qu mjor aproxim la rspusta al scalón d la planta n custión, n l sntido d tnr la misma ganancia stática igual suprfici d control, tal como mustra la Fig..4. Fig..4. Dfinición d la planta sustituta n bas a un sistma d primr ordn con constant d timpo quivalnt. Las áras sombradas s compnsan. La suprfici d control d un sistma proporcional (s dcir no intgrant) stá dfinida como la suprfici ncrrada ntr la curva d rspusta al scalón y l valor final alcanzado. _ + Fig..5. Suprfici d control.

23 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -3 Rcordmos qu la xprsión analítica d la suprfici d control s sncilla. Partindo d una planta con función d transfrncia racional b s + + b s + b P s = a = b = i > m n n 0 ( ) ; con ; 0 para n n i ans + + as + a0 b b s + + b s + b a b = ; = ; = ; = a a s a s b a a ' n ' 0 n ' i ' i 0 b ' ' i ai K n 0 n (.) s pud calcular l valor d la suprfici buscada, xcitando a la planta con un scalón unitario σ ( t), mdiant un intgrador y prvia sustracción dl valor final K = P(0) d acurdo al diagrama n bloqus K σ ( t) P( s ) _ s A c P( s ) Fig..6. Diagrama d cálculo d la suprfici d control A c. Y con P ( s) = P(0) P( s) = K P( s) = ' n ' ' ' n ' ' bn s + + b s + ( an bn ) s + + ( a b ) s = K K ' n ' = ' n ' ans + + as + ans + + as + (.3) s calcula la suprfici d control A c ' ' b 0 a b Ac = lim s P ( s) K ( a b ). s 0 s s = = a0 a0 b0 (.4) D modo qu la función d transfrncia sustituta d primr ordn rsulta sr K P ( s) = T s + b a b con K = ; T = a a b (.5) Podmos constatar admás qu las plantas con timpo murto también son rprsntabls mdiant una función d transfrncia sustituta

24 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -4 m P( s) = K T s = K Tm s ( Tm s) + + +!! K + T s m (.6) ya qu liminando dl dsarrollo n sri dl dnominador d (.6) los términos d ordn suprior al primro, nos ncontramos d nuvo ant una función d transfrncia sustituta d primr ordn. D sta manra, una función d transfrncia gnralizada m Tm s bms + + b s + b P( s) = n a s + + a s + a n 0 0 (.7) pos la constant d timpo quivalnt T a b = T + m a 0 b. (.8) 0 Un jmplo d cálculo srvirá para afirmar nustros conocimintos. Sa ntoncs la planta d trcr ordn con timpo murto y un cro n l smiplano drcho, cuya función d transfrncia s T ( )( ) ms T s + T s + P( s) = K s ζ ( T3 s + ) + s + ω0 ω 0 Oprando n numrador y dnominador para llvar a P( s ) a la forma gnral (.) tnmos T ( ) ms TT s + T T s + P( s) = K T3 3 ζ T 3 ζ s + s T s + ω0 ω0 ω0 ω0 b b0 a a0 y calculamos la constant d timpo quivalnt d la planta sustituta como ζ T = T + T + T + T. m 3 ω0 Si bin l jmplo dmustra la influncia d los difrnts componnts d una planta sobr l valor d T, no dbmos prdr d vista qu st método s d aplicación cuando tan sólo s

25 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -5 cunta con los datos mpíricos procdnts dl rgistro gráfico dl comportaminto d la planta n rspusta a una xcitación n scalón. En tal caso, s procd a dtrminar l valor d la ganancia stática K y a stimar l ára A c d la suprfici d control. Por aplicación d las xprsions (.4) y (.5), la constant d timpo quivalnt s calcula como T A K c =. (.9) La función d transfrncia sustituta d primr ordn, brinda una buna aproximación a la rspusta n fas para bajas frcuncias (hasta ω = / T ) d la f.t. d la planta original. El caso más dsfavorabl para tal aproximación ocurr cuando la constant d timpo quivalnt corrspond a polos con iguals constants d timpos (s dcir planta con polos múltipls). En conscuncia, lugo d dimnsionar un controlador mplando la constant d timpo quivalnt, s dbrá vrificar qu la frcuncia d cruc ( ω c) d lazo abirto dl sistma compnsado, s ncuntr por dbajo dl valor / T, lo qu quival a dcir qu ω c db prtncr al dominio d validz dl método..5.. Dimnsionaminto n bas a la constant d timpo quivalnt. El controlador más simpl qu pud sr dimnsionado n bas a T s l tipo I (intgrador puro). La función d transfrncia d lazo abirto corrspondint s K Ti L( s) = ; y normalizando = TiN rsulta L( s) = T s ( T s + ) K T s( T s + ). (.30) La f.t. d lazo crrado rsulta sr i in L( s) T ( s) = = + L( s) TiN T s + TiN s + = s ζ + s + ω ω 0 0 (.3) y n función dl amortiguaminto ζ l timpo d intgración normalizado s T in = 4ζ T. (.3) La frcuncia d cruc d lazo abirto ω c s calculabl también n función d la rlación d amortiguaminto ζ = L( jωc ) = ; T ζ ω ω inωc ( Tω c) + = 4 T c ( T c) + (.33)

26 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -6 Oprando algbraicamnt sobr (.33) s obtin ω T c = + (.34) 4 4ζ dduciéndos qu la frcuncia d cruc ω < > =, lo qu nos c / 4 / T para ζ (/ 3) asgura qu l amortiguaminto óptimo ζ = conducirá a un dimnsionaminto dl controlador TiN = T Ti = T K compatibl con l dominio d validz dl método mplado Dimnsionaminto d otros controladors standard. El método d la constant d timpo quivalnt s utilizabl para calcular los parámtros d controladors P, PI y PID. D acurdo a las considracions d por caso ralizadas prcdntmnt, asumirmos qu la constant d timpo quivalnt surg d una planta con polos múltipls. Controlador P: Una vz calculadas la ganancia stática K y la constant d timpo quivalnt T, suponmos qu T s originada por una planta con un polo dobl n s = /T, por lo qu la función d transfrncia d lazo abirto dl sistma compnsado srá K L( s) = K ; y normalizando K N = K K T s + K N K N rsulta L(s)= con la f.t. d lazo crrado T ( s) = T T s + s + + K N (.35) Procdindo d la misma manra qu hiciéramos con l controlador I, una rlación d amortiguaminto ζ = / n la f.t. d lazo crrado nos conduc a K = K = / K. Para K = s L( jω ) = solamnt para ω = 0 con lo qu s vrifica la condición ω < / T. N c c N c Controlador PI: En st caso también supondrmos qu T s originada por una planta con un polo dobl n s = /T, por lo qu nos quda la función d transfrncia d lazo abirto Ti s + K L( s) = K T i s T s + (.36) Si n (.36) compnsamos un polo d la planta con l cro dl controlador, adoptamos l dimnsionaminto dl timpo d intgración T = T / (.37) i

27 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -7 Rmplazando l valor calculado n (.37) y simplificando obtnmos K K T L( s) = y si llamamos TN, s: L( s) T T T s = KK = s TN s s + + (.38) Comparando la (.38) con la Ec.(.30), dtrminamos qu ambas son formalmnt idénticas, por lo qu sin más trámit importamos los rsultados obtnidos al tratar l controlador I, tnindo por cirto l cuidado d rsptar l valor d T / dl dnominador d (.38). En stas condicions, la Ec.(.34) conduc a qu la frcuncia d cruc srá ω < / T para / 4 valors d amortiguaminto d lazo crrado ζ > (/ 5) = , por lo qu usando ζ = asguramos la condición d frcuncia d cruc. Con dicho valor d amortiguaminto la (.3) nos conduc a T T = N T T y, n conscuncia: K KK = = K (.39) qudando compltado l dimnsionaminto dl controlador PI. Controlador PID: Para st controlador dbmos partir dl supusto qu la constant d timpo quivalnt T s originada por una planta con un polo tripl n s = 3/T ; para l controlador utilizarmos la forma PI-PD qu s más fácil d dimnsionar qu la forma standard. c Con l controlador: calculamos la f.t. d lazo abirto C( s) = K + + Td s Ti s ( ) (.40) ( + )( + ) Ti s Td s K L( s) = K (.4) 3 Ti s T s + 3 Rsulta inmdiato qu si s lig T Ti = Td = (.4) 3 podmos simplificar n la (.4) dos cros contra dos polos, d modo qu procdindo sgún lo hiciéramos n (.38) tndrmos qu: K K T L( s) = y ponindo TN, s: L( s) T T 3 T s = KK = s TN s s (.43) Vmos qu podmos rptir los cálculos dl caso PI, cuidando ahora d rsptar l valor d T /3 dl dnominador d (.43). Así, la (.34) nos conduc a un límit d la rlación d amortigua-

28 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -8 / 4 minto ζ > (9 / 8) = para asgurar qu ω < / T. Ello nos obliga a slccionar por jmplo ζ = qu, a través d (.3) nos conduc a c 4 T 4 T = N T y, por lo tanto: 3 T K 3KK = 3 = 4K (.44).5... Comparación con las rglas mpíricas. Al objto d compltar l conjunto d rsultados comparativos qu hmos vnido laborando hasta l prsnt, ajustarmos l controlador PI d nustra planta d rfrncia P(s)= -s /(+s) 4 por l método d la constant d timpo quivalnt. Por simpl inspcción d P(s) y aplicando (.8) dducimos l valor d la ganancia stática K = y d la constant d timpo quivalnt T =6 sg. Rmplazando n (.37) y (.39) obtnmos para l controlador T i =T /=3 sg.; K=/. Los rsultados d la simulación s mustran n la Fig. (.7). Fig..7. Ajusts por constant d timpo quivalnt T para controladors PI y PID oprando con la planta P(s)= -s /(+s) 4. S mustran las rspustas a un scalón n la variabl d rfrncia para t =0 sg, sguido d una prturbación d carga n t =00 sg. En la misma figura hmos graficado las rspustas para un controlador PID calculado d acurdo a (.4) y (.44). Comparando las figuras (.), (.3) y (.7) vmos qu los rsultados obtnidos tanto por aplicación d rglas mpíricas como por l método d la constant d timpo quivalnt, son muy parcidos. Est hcho no nos sorprnd n absoluto: por más qu l procdiminto d cálculo por mdio d la constant d timpo quivalnt aparzca a nustros ojos como más analítico, s basa n aproximar l comportaminto d la planta por una función sustituta d primr ordn a partir d la cual s calculan los parámtros. Pro también las rglas d Ziglr- Nichols y d Chin, Hrons y Rswick s basan n una aproximación d st tipo; como conscuncia, los rsultados dbn sr ncsariamnt similars.

29 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág Control n cascada..6.. Gnralidads. Hasta l prsnt, hmos caractrizado a las plantas controladas, como un único bloqu dinámico. Espcialmnt n la industria d procsos, n instalacions d calfacción o n quipamintos léctricos d accionaminto, s conducnt considrar la planta subdividida n bloqus parcials. D tal manra s pudn rprsntar con facilidad los puntos d aplicación d prturbacions, sirvindo admás para simplificar l análisis dl control. Si con la modlización por bloqus s rprsnta la stuctura física d la planta, ntoncs con toda sguridad s dsará asgurar qu las variabls intrmdias s mantngan acotadas, aun n prsncia d prturbacions. Dsignarmos como variabls intrmdias, a las salidas d los bloqus parcials qu intgran la planta controlada. Considrmos como jmplo una instalación d calfacción. Por fcto d la variación d ntalpía la caldra pud calntars rápidamnt, mintras qu la tmpratura dl ambint calfaccionado rcién s modifica tras un largo timpo d rtardo. Si s mplara un único controlador para rgular la tmpratura ambint y si la potncia calfactora d la caldra fura la variabl manipulada, xist l pligro (spcialmnt durant la pusta n marcha) qu una brusca variación dl punto d ajust origin un sobrcalntaminto d la caldra ants qu l controlador rduzca la sñal d control como conscuncia dl aumnto d la tmpratura d la habitación. P C θc θh Potncia Calfacción Caldra T 5 min Tmpratura Caldra Habitación T 60 min Tmpratura Habitación Fig..8. Modlo simplificado d una instalación d calfacción. S dsa monitorar la tmpratura d caldra mdiant un snsor d modo d vitar qu s produzcan valors pligrosos; para llo s utilizará un controlador adicional cuya salida, adcuadamnt limitada, constituirá l valor d rfrncia para la tmpratura d la caldra. Quda así formado un sistma d control n cascada. Controlador Tmpratura Habitación Controlador Tmpratura Caldra θ Hrf Tmp.. dsada _ PI+Limitador θ Crf _ PI Caldra θ C Habitación θ H Fig..9. Control n cascada d calfacción.

30 SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo - pág. -30 En l jmplo qu acabamos d xponr, aparc una rlación típica dl control n cascada: l lazo intrno d control (la rgulación d tmpratura d caldra) pos una constant d timpo mucho mnor qu l lazo xtrior (rgulación d la tmpratura d la habitación). En gnral un control n cascada consist n una planta constituida por la conxión srial d bloqus dinámicos, qu rprsntan plantas parcials. D acurdo a la Fig. (.30) la función d transfrncia d la planta complta val P( s) = P ( s) P ( s) P ( s) P ( s) (.45) 4 3 C _ o o C _ o o _ C 3 _ C 4 P 4 P 3 P P Fig..30. Control n cascada. Con cada variabl intrmdia s ncuntra asociado un snsor qu ralimnta su valor al controlador corrspondint ( C, C, C 3, C 4 ). Tan sólo la sñal d control dl lazo más intrno s aplica dirctamnt a la ntrada d la planta; las sñals d control d los lazos xtrnos constituyn las sñals d comando d los lazos sucsivos. En la práctica, un control n cascada rsulta más fácil d dimnsionar qu un control d lazo único. Si la planta contin intgradors y constants d timpo d valor lvado, rsultaría ncsario mplar (n un control d lazo único) varios adlantadors d fas a fin d asgurar la stabilidad dl conjunto. El rsultado final no s satisfactorio, por la furt amplificación qu los adlantadors d fas proporcionan a las componnts d alta frcuncia dl ruido d mdición. Rsulta mucho más convnint mplar snsors adicionals implmntar un control n cascada, cuidando d asgurar qu cada controlador proporciona una caída d alta frcuncia suficint para atnuar los ruidos. El control n cascada hac posibl una pusta n marcha scuncial d los lazos d control comnzando dl más intrno y concluyndo con l xtrior. Así, n nustro jmplo d la calfacción, pud ponrs n marcha la rgulación d tmpratura d la caldra y postriormnt crrar l lazo dl control d tmpratura dl ambint. T d T 0 C C P P Fig..3. Prturbación n un control n cascada.