Análisis estructural de un motor de corriente directa

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1 Análss estructural de un motor de corrente drecta S. A. Rodríguez Paredes *, R. J. Rodríguez ozoya **. González Solano *** Recbdo: 2 de dcembre de 29. Aceptado: de enero de 2. Abstract In ths paper some classcal results of the nonlnear analyss are presented for a separately excted drect current (DC) motor, the structural term s proposed snce the focus of control, n the analyss of the mathematcal structure that keep the dynamcs of the system (the dfferental equatons that descrbe the model of the motor) and not of the mechancal structures. In ths way, the physcal knowledge of the varables s avoded. Resumen En este trabajo se presenta el análss estructural de un motor de CD. Así como algunos resultados cláscos del análss no lneal un motor de corrente drecta con flujo de campo constante e ndependente del crcuto de la armadura. El térmno estructural se propone desde el enfoque de control, en el análss de la estructura matemátca que guardan las dnámcas del sstema (las ecuacones dferencales que descrben el modelo del motor) y no de las estructuras mecáncas. De este modo, se evta el conocmento físco de las varables. Palabras clave: Forma de Brunovsky, agrangano, Hamltonano, transformacón de egendere. Introduccón os motores de corrente drecta (CD) son amplamente usados a nvel ndustral. Permten un amplo rango de velocdad y pueden proporconar un alto par con control más sencllo y económco que cualquer motor de corrente alterna. En los últmos años se han dversfcado las técncas de control no lneal, * SEPIESIE - UA, IPN Av. as Granjas No. 682, Col. Sta. Catarnasarodrgezp@pn.com Tel Ext ** Dvsón Académca de Ing y Arq., UJAT Carretera Cunduacán-Jalpa m, Cunduacán, Tab. javer.rodrguez@daa.ujat.mx Tel *** Dvsón Académca de Ing y Arq., UJAT Carretera Cunduacán-Jalpa m, Cunduacán, Tab. manuel.gonzalez@daa.ujat.mx Tel el análss de pasvdad ha sdo amplamente estudado, por ejemplo: en 2 se aplca la técnca de establzacón y regulacón de sstemas no lneales para el caso de un motor DC de escobllas, en cambo en 3 el enfoque es utlzando la forma hamltonana controlada por puertos donde aplcan la metodología de Interconexón y Asgnacón de Amortguamento (IDA). os enfoques anterores son ben conocdos, sn embargo, se requere del conocmento de la físca del sstema, undades de las constantes que aparecen en el modelo, seleccón adecuada de las varables de estado y Hamltonanas. Esta seleccón de varables no es evdente, sno más ben resulta de la experenca en el modelado de sstemas eléctrcos y mecáncos, y así como de la apropada seleccón de coordenadas generalzadas de poscón, velocdad y cantdad de movmento. En esta propuesta, se revsa el análss de pasvdad por medo de varables Hamltonanas y el modelado por medo de sstemas perturbados para el motor de CD bajo dos puntos de vsta: uno físco (enfoque clásco) y otro matemátco o enfoque estructural. El enfoque físco explota el conocmento sobre los parámetros y las undades físcas del motor de CD, así como certa experenca en dentfcar constantes de tempo en sstemas eléctrcos y mecáncos. En el enfoque matemátco, se emplea la teoría de control para la seleccón de las varables de estado y de las varables Hamltonanas. Un enfoque estructural permte realzar dcha seleccón, por medo de las formas canóncas de Brunovsky y compañera 4, así como de la transformada de egendre. as varables encontradas en ambos enfoques no son guales, pero equvalentes vía una matrz de transformacón. Fnalmente se concluye comparando ambos enfoques. El modelo del motor de CD El modelado matemátco del motor de CD requere de dos ecuacones, una ecuacón mecánca y otra ecuacón eléctrca. Estas ecuacones están acopladas y se basan en las eyes de Euler y rchhoff, res- 2

2 22 ContactoS 75, 2 26 (2) pectvamente. Por una parte, la ecuacón mecánca modela prncpalmente el movmento del rotor. Esta consste en la ecuacón clásca de segundo orden, más un térmno de orgen eléctrco: θ N θ Ñθ τ em () Donde es el momento de nerca del rotor, N el coefcente de frccón, Ñ es una constante que se relacona con la energía potencal, y τ e m es el par electromagnétco generado por el subsstema eléctrco. τ em v em ω Donde es constante y ω θ, entonces las smplfcacones anterores permten reescrbr ()-(2) de la sguente forma vectoral dω d R ω u (3) Forma de Brunovsky del otor de CD Enseguda se dscuten algunas representacones alternatvas del modelo del motor de CD (3) y se determna la Forma de Brunovsky del motor de CD. a representacón clásca en varables de estado para el motor de CD es Fgura. Crcuto equvalente motor CD. Por otra parte, el subsstema eléctrco consste en λ R v em u (2) Donde λ es el vector de enlaces de flujo, R es una matrz cuadrada dagonal de las resstencas del estator y el rotor, y u son los vectores de corrente y voltaje, respectvamente, en los embobnados del motor y v em es la fuerza contralectromotríz debda al movmento mecánco. Así los sstemas mecánco () y eléctrco (2), descrben la dnámca de un motor eléctrco en general. En el caso del motor de CD controlado por armadura, el sstema de ecuacones ()-(2), se smplfca para descrbrlo en varables de estado bajo la sguente hpótess: suponga que la exctacón del estator es constante, y el rotor se almenta medante una fuente de CD, por lo que λ es un escalar. Suponga que la nductanca del rotor es una constante real. De hecho, cuando se tene θ constante, el promedo de es constante, sn embargo, en la práctca la hpótess anteror funcona razonablemente ben aún en el control de poscón. Fnalmente, s se desprecan los térmnos N y Ñ y los térmnos de acoplamento de las ecuacones ()-(2), se suponen lneales, entonces dω d R ω u (4) a cual se acostumbra escrbr smplemente como ẋ Ax Bu (5) donde x (x x 2 ) T (ω ) T,B ( /) T y A es la matrz cuadrada en (4). Sn embargo, la representacón en varables de estado no es únca, por ejemplo, se puede selecconar como vector de estado x H (π λ) T donde π ω es la cantdad de movmento angular, y obtener π λ Es decr R π λ u (6) ẋ H A H B H u (7) Con B H ( ) T y A H es la matrz cuadrada en (6).

3 Análss estructural de un motor... S. A. Rodríguez P., R. J. Rodríguez.. González S. 23 Se hace notar que el par de matrces (A, B) y (A H, B H ), en (4) y (6) respectvamente, son dferentes y están relaconadas en este caso medante la transformacón T H o cual ntroduce el cambo de varables X H T H x Una forma más general que se relaconan dos pares de matrces es medante el grupo feedback, el cual ntroduce una relacón de equvalenca entre pares de matrces y los caracterza medante la forma canónca de Brunovsky. Así, para el par (A, B) se obtene su forma de Brunovsky (AB, BB), medante el grupo de transformacones (T, F, G), de dmensones apropadas, tal que T CA defne el cambo de varables uego el sstema x T x T ω (9) ẋ A x B u () donde A está en forma compañera A 2 R Fnalmente, s se seleccona, B () (A B, B B ) (T (A BF)T, T BG) (8) 2 F T R y G I (2) donde T y G no son sngulares. El sgnfcado físco de este grupo es: un cambo de varable en el estado medante la matrz T y la retroalmentacón u Fx Gv donde v es una nueva entrada de control. En el caso de (5), se puede encontrar la forma de Brunovsky con la ayuda de la matrz de controlabldad a matrz C A R 2 R donde se utlzó el coefcente de s del polnomo característco de A, por lo que det(si A) s 2 R S k2 Entonces se obtene el sstema donde el par (A B, B B ) ẋ B A B x B B B v (, ) está en forma de Brunovsky, x B x, y las transformacones T,F y G están dadas por (9) y (2). Enfoque varaconal del motor de CD Ahora se verán los enfoques agranganos y Hamltonanos para el modelo del motor de CD. Consdérese nuevamente el sstema (). a estructura del par (A,B ) en la ecuacón () y las componentes del vector de estado (varables agranganas) (A B,B B ) ( ) determnan la ecuacón de segundo orden q R q 2 q u (3)

4 24 ContactoS 75, 2 26 (2) De aquí se concluye que la poscón q y la velocdad q son varables generalzadas, mentras que los térmnos q, R q, 2 q y u, son las fuerzas de la nerca, de frccón o dspatvas, potencales y las fuerzas generalzadas que actúan sobre el sstema respectvamente. Por lo anteror, se propone el sguente agrangano: (q, q) ( q) V(q), Con energía cnétca ( q) 2 q2 y energía potencal V(q) 2 2 q 2, lo cuál satsface la ecuacón Euler agrange (3) Donde τ u y f R q. d q q τ f (4) a ecuacón (3) se puede escrbr en varables de estado como q q 2 R q q u (5) O en un sstema Hamltonano. Para obtener dcha representacón, recuerde que el Hamltonano H(q, p) se puede ver como la transformada de egendre del agrangano, como funcón de q: Donde p l q. uego H(p) p q ( q) H(p,q) p q 2 y se obtene la sguente representacón ( q ṗ ) 2 R q p a cual se representa tambén como u (6) ẋ H2 A H2 x H2 B H2 u (7) donde ẋ H2 q p T, B T y A H2 es la matrz cuadrada en (6). Ahora, consdere H 2 q pt, por lo que se reescrbe (6) como el sstema Hamltonano q ṗ ( ( ) ( R ) ( H q H p ) ) u (8) donde se selecconó y p como salda pasva. En forma smplfcada el sstema (8) es ẋ H2 (S P) h B H2 u (9) y B T H2 H (2) Donde S y P son las matrces smétrcas y antsmétrcas en (8) respectvamente, y P. Se remarca que la seleccón de las varables generalzadas q, q,p no es únca, de hecho es fácl verfcar que s seleccona como vector de estado x H (ω ) T, Hamltonano H ω2 y la salda pasva y, entonces el sstema (3) con salda pasva y se escrbe como donde ẋ H (S P ) H B H u (2) S B H y B T H H (22), P R, S S T, P P T a seleccón de las varables Hamltonanas no es trval. a seleccón de x H (ω ) T en (7) como varables Hamltonanas se basó en los hechos físcos, mecáncos y eléctrcos (cantdad de momento angular y enlaces de flujo). entras que la seleccón de x H2 q p T en (6), se desarrolló solo en hechos matemátcos como cambos de base, agranganos, Hamltonanos y transformacones de egendre. Ambas representacones se relaconan medante un cambo de vector de estado x H2 T 2 x H y cambo de gradente de los Hamltonanos H T H, con

5 Análss estructural de un motor... S. A. Rodríguez P., R. J. Rodríguez.. González S. 25 T 2, T Fnalmente, se concluye que como P y P son semdefndas postvas en H y H están acotadas por abajo, entonces el modelo del motor de CD es pasvo como una funcón de almacenamento H o H dependendo de las varables selecconadas. odelo de perturbacón sngular del motor de CD En esta seccón se revsa el modelo perturbado del motor de CD. Esto es, se busca un parámetro de perturbacón pequeño en el modelo. Esta labor se puede realzar cuando se tene conocmento del proceso físco. En el caso del motor, el parámetro pequeño es la nductanca. Para buscar este parámetro se acostumbra admensonar los parámetros físcos (lo cual requere de las undades físcas de las varables). Se consdera el sstema (4) dω d R ω u Se admensonan las varables relatvas de velocdad angular, corrente y voltaje respectvamente, con respecto a un valor característco de velocdad angular Ω ω r ω Ω, r Ω, u r u Ω Posterormente se dentfcan las constantes de tempo mecáncas T m JR/ 2 y eléctrcas T e /R. uego por conocmento físco se sabe que T m T e, se ntroduce una varable de tempo adconal t r t/t m y se obtene el sstema perturbado del motor de CD dωr ε dr ωr r u r donde el térmno ε T e /T m. Fnalmente se obtene el modelo reducdo ω 2 R ω R u (23) El proceso anteror para encontrar el modelo perturbado del motor de CD no es evdente, aún con conocmento físco de las varables mecáncas y eléctrcas. Por esta razón se propone un método alternatvo, el cual se puede extender a otros sstemas de segundo orden dstntos del motor. Consdere el sstema (5) q q ωn 2 2ζω n q q u Donde ζ representa el coefcente de amortguamento, ω n es la frecuenca natural de la osclacón del sstema, 2ζω n B/ y ω 2 n 2 /. Como el recíproco de ω n tene undades de tempo y ζ es admensonal, se propone el cocente ε 2ζω n ω 2 n 2ζ R ω n 2 cuando ω n 2ζ (caso general), de otro modo su recíproco y el tempo τ r εt uego, s la prma ( ) denota la dervada respecto de τ r, se tene q q ωn 2 2ζω n q q ω n 2ζ u Se despreca ε y se determna el modelo reducdo 2ζω n dq dτ r ω2 n 2ζ q ω n 2ζ u Fnalmente, en térmnos de la velocdad angular ω,y q ω/, ω 2 R ω R u (24) Por lo anteror se concluye que la estructura del sstema (23) y (24) es la msma, pero la determnacón de (24) solo se utlzó la descrpcón en varables agranganos del motor de CD evtando admensonar las varables agranganas y el tempo. Conclusones En este trabajo se presentó el modelo del motor de CD. Se revsó la descrpcón en varables de estado,

6 26 ContactoS 75, 2 26 (2) agranganos y Hamltonanos, así como el modelo de perturbacón sngular. as anterores representacones se desarrollaron bajo un enfoque matemátco, el cual consste en cambo de varables, formas canóncas, agranganos, Hamltonanos y transformacon de egendere. os resultados se compararon con la lteratura clásca, la cual explota los hechos físcos y el conocmento de las undades de las varables utlzadas. Referencas. Brunovsky, P. A. A Classfcaton of near controllable Systems. bernetca Vol. 6, No. 3, 73-78, Chouch S, Sad Nat Saud. Backsteppng Control Desgn for poston and Speed Trackng of DC otor. Asan journal of Informaton Technology 5(2): , orllo Pna, Atlo, Ros, E. guel y Acosta, Vvan. Stablzaton of a brushed DC motor wth the port controlled Hamltonan approach. Rev. Téc. Ing. Unv. Zula, ago. 26, vol.29, no.2, p.-8. ISSN Pe Yuan Wu, Hwa-ong Gau. Companon matrces: reducblty, numercal ranges and smlarty to contractons. near Algebra and ts Applcatons, Volume 383, 5 ay 24, Pages cs