CAPÍTULO 7. DINÁMICA DEL ROBOT PARALELO

Transcripción

1 2 CAPÍLO 7. DNÁMCA DEL ROBO PARALELO En est seccón se descbe el nálss dnáco del obot plelo: Se descben ls popeddes de s de los eleentos que lo confon; específcente, se obtene l s totl, el cento de s y el tenso de nec de cd eslbón. Así so, se descben ls elcones de tnsfocón que dn lug ls tces de otcón epleds en l tnsfocón de los tensoes de nec l co de efeenc del obot. Se esuele l dnác nes en bse l étodo del tbjo tul po ls zones expuests en l seccón P ello se deten l coespondente ecucón del pncpo del tbjo tul p el obot nlzdo y se defnen los ectoes lle que pecen ncludos en dch ecucón. Así so, se npul l ecucón obtend p expesl en l fo de l ecucón del espco de estdos. nlente, se descbe l obtencón de l dnác dect pt de l ecucón del espco de estdos obtend ednte l esolucón de un sste de ecucones dfeencles po étodos nuécos. 7.. Popeddes de s 7... Vloes nuécos p ls popeddes de s del obot plelo pleentdo A contnucón se epotn los loes nuécos p ls popeddes de s de cd eslbón del obot; es dec, se epot l s totl de cd uno sí coo l ubccón del especto cento de s tl y coo fue defnd en el CAPÍLO cundo fue usd p expes l elocdd y celecón lnel de los eslbones. Así so tbén se epot el tenso de nec eddo con especto un sste de coodendo undo cd eslbón y el pocedento ednte el cul estos fueon obtendos. L oentcón de dcho sste coodendo p cd eslbón tbén es desct.

2 Ms totl de cd eslbón Ls ss de los eslbones de entd y de coplento, denotds espectente coo P y L, sí coo l de l pltfo, denotd coo op, fueon popoconds po el gupo de nestgcón del NAOE y se encuentn epotds en un nfoe genedo po el softwe Po Engnee, tnscto lo lgo del APÉNDCE C. Así, hcendo efeenc dcho péndce, los loes nuécos coespondentes son: P. 2kg, L 4. 3kg, op 84. 5kg (7- L s totl del obot ot se obtene pt de los loes nuécos epotdos en (7- y del núeo de eslbones. De est ne: ot P + L + op 7.2kg kg kg 7. 5kg (7-2) bccón del cento de s p cd eslbón El nfoe tnscto en el APÉNDCE C se efee un nálss de s hecho pt de ls pezs odelds en Po Engnee en conjunto con Po Mechncs. Dcho nálss fue elzdo sobe un especto sste coodendo cuyo ogen fue colocdo ntenconlente en el cento de s de cd eslbón. En el CAPÍLO se defneon dos páetos P G y L G que posconn los centos de s de los eslbones de entd y de coplento, espectente. Abos epesentn dstncs nolzds; esto es, un núeo ente y que poscon l cento de gedd en elcón l longtud del eslbón, p el eslbón de entd ptendo del étce de l bse y p el eslbón de coplento ptendo de l ubccón de l ótul Q. P deten el páeto P G se hce efeenc l plno del péndce B.2. Así: ( 8.7c) (.2 ). 538 P G c (7-3) P el páeto L G se hce efeenc los plnos de los péndces B.4 y B.5 coespondentes l o y l eje del eslbón de coplento, espectente. Así, tondo en cuent l ne en que estos se ensbln: L G (.87c + 3c) ( 2.87c + ). 5 c (7-4)

3 23 De est fo, los coespondentes ectoes P G y L G tbén defndos en el CAPÍLO en funcón de los páetos P G y L G posconn de ne elt el cento de s de bos eslbones en todo oento. Así so, en dcho cpítulo tbén fue defndo un ecto p que poscon el cento de l pltfo, el cul desde el CAPÍLO 3 fue defndo coo el centode del hexágono egul que deten su fo. Así, dcho ecto tbén epesent l poscón del cento de s de l pltfo, peo de ne bsolut enso de nec de cd eslbón P clcul el tenso de nec coespondente cd eslbón se efectúo el pocedento descto contnucón pt de ls pezs odelds en Po Engnee:. Se escogó un oentcón p el sste coodendo de cd eslbón tl que pude se fáclente nclud en el odelo del obot y que l so tepo fo dos plnos de setí y sí pode obtene oentos pncples de nec, según los conceptos pesentdos en l seccón Sn ebgo, los neles de detlle consdedos en ls pezs coo l nclusón de tonllos y tuecs pesentes en los eslbones y l pltfo, sí coo el bseldo de est últ, dín lug l pcón de poductos de nec de un oden uy pequeño en copcón con los oentos de nec. 2. Se equó Po Mechnc que efectu un nálss de s p l pez sobe el sste coodendo nteo consdendo un densdd del tel de kg/ 3, que unque eóneo pete ccede los esultdos del nálss y sí obtene coo páeto elente el oluen de l pez, que no depende de dch densdd y po lo tnto es coecto. 3. Se clculó l densdd del tel pt del oluen de l pez y de su s, que es conocd, suponendo dch densdd coo unfoe. 4. Se efectuó nueente el nálss de s, peo consdendo l densdd del tel clculd. De est ne, se obtueon los nálss pesentdos en el APÉNDCE C, p los cules se copobó que l s clculd po Po Mechnc pt de l densdd coesponde l s de cd eleento.

4 24 5. Adeás, se copobó que el cento de s clculdo pt del ogen del sste coodendo fue poxdente ceo, p sí consdelos coo concdentes.. nlente, se extjo el tenso de nec clculdo de cd nálss. De est ne, se elgeon los sstes coodendos p cd eslbón coo contnucón se descbe: P el eslbón de entd se elgó el sste coodendo tl que el eje Z fue plelo l líne de ccón del ecto P y punt hc el exteo del eslbón que conect con l bse. Así so, el eje X se elgó plelo l eje de l ótul und este eslbón y puntndo hc ell, tl coo se obse en l gu 7.: gu 7.. Sste coodendo undo l eslbón de entd P el eslbón de coplento se elgó el sste coodendo tl que el eje Z fue plelo l líne de ccón del ecto L y punt hc el exteo del eslbón que conect con l pltfo. Así so, el eje X se elgó pependcul l plno fodo po los os del eslbón, tl coo se obse en l gu 7.2: gu 7.2. Sste coodendo undo l eslbón de coplento

5 25 P l pltfo se uso el sste coodendo defndo en el CAPÍLO 3 cundo fue desct su geoetí, tl coo se obse en l gu 7.3: gu 7.3. Sste coodendo undo l pltfo Así, en bse estos sstes coodendos Po Mechnc clculó los tensoes de nec p cd eslbón de entd P P, cd eslbón de coplento L L y l pltfo op op, los cules se encuentn epotdos en los nálss de s pesentdos en los péndces C., C.2 y C.3, espectente, y se tnscben contnucón: P P L L op op 5.24E 3.2E E 8.53E E 4.27E 5.2E E 3 kg 8.2E E E kg 7.8E E 4.27E E 5 kg 4.58E (7-5) nsfocón de los tensoes de nec El co de efeenc del obot denotdo coo {} es un co de efeenc necl debdo que penece fjo. Po lo tnto, sobe él se elz el nálss dnáco. Entonces, es neceso encont elcones de tnsfocón que petn tnsfo los tensoes de nec {}, de cuedo l estteg pesentd en l seccón P ello peo se se obtenen ls tces de otcón coespondentes y luego se defne l tnsfocón, p cd eslbón de entd, cd eslbón de coplento y l pltfo.

6 P el eslbón de entd En l gu 7. se pec l ne en que está oentdo el sste de coodends fjo l eslbón de entd. Recodndo l notcón epled en el CAPÍLO 4 p l cneátc de loclzcón, se de l tz de otcón que tnsfo de {P } {} de l sguente ne: Se obse que cundo cd eslbón de entd se encuent en su poscón de ncl el sste coodendo undo él concde con el sste coodendo {A } coespondente (e gu 4.2), y que este últo se encuent otdo en Z un ángulo σ. Así so, tbén se obse que el eslbón en dch poscón ot un ángulo θ de cuedo l ble tcul coespondente sobe el eje de l tculcón otconl, concdente con el eje X de {A }. Po ello, p de l tz de otcón peo se efectú l otcón sobe el eje Z fjo un ángulo σ, y luego sobe el eje X ól un ángulo θ : P R cosσ sn σ P R R sn σ cosσ R Z,σ X, θ snθ snθ cosσ snσ snσ snθ P R snσ cosσ cosσ snθ (7-) snθ Así, de cuedo l ecucón (2-43), el tenso de nec tnsfodo qued coo: P P ( R )( )( R ) (7-7) P P P P el eslbón de coplento En l gu 7.2 se pec l ne en que está oentdo el sste de coodends fjo l eslbón de coplento. L coespondente decón de l elcón de tnsfocón se lleó cbo en l seccón coo pte del nálss de ls ltntes ecáncs del sste, específcente en l ecucón (5-8). Sn ebgo, es pecso encon que l oentcón sobe el eje longtudnl denond coo ϕ L es detend sólo po ls ltntes ecáncs, no ntenendo ls elcones geoétcs en lo bsoluto.

7 27 Así que, suendo que el efecto de est oentcón es despecble sobe el tenso de nec po l setí del eslbón l despec los detlles en su constuccón, no se consdeá en l tz de otcón p su tnsfocón. Entonces, ecodndo el desollo pesentdo en l ecucón (5-8) y l notcón de l seccón 5.2.2, se de l tz de otcón que tnsfo de {L } {}: R L cosφl snφl L R R snφ cosφ L L R Z,φL Y, θl L snθ L snθ L L cosφl L snφl cosφl snθ L R L snφl L cosφl snφl snθ L (7-8) snθ L L Así, de cuedo l ecucón (2-43), el tenso de nec tnsfodo qued coo: L L ( R )( )( R ) (7-9) L L L P l pltfo En l gu 7.3 se pec l ne en que está oentdo el sste de coodends fjo l pltfo. L coespondente decón de l elcón de tnsfocón se lleó cbo en l seccón 3.5 p epesent l oentcón de l pltfo, específcente en l ecucón (3-3). A contnucón se tnscbe dch tz de otcón, l cul ho se us p tnsfo el coespondente tenso de nec de {op} {}: cos β cosγ + snα sn β sn γ cos β sn γ + snα sn β cosγ cosα sn β R op cosα sn γ cosα cosγ snα (7-) sn β cosγ + snα cos β sn γ sn β sn γ + snα cos β cosγ cosα cos β Así, de cuedo l ecucón (2-43), el tenso de nec tnsfodo qued coo: op op ( R )( )( R ) (7- op op op

8 Dnác nes Pncpo del tbjo tul p el obot El pncpo del tbjo tul fue desolldo en l seccón y se expes en l ecucón (2-). P plc l foulcón de este pncpo l obot nlzdo se consden ectoes lle p cd eslbón de entd y de coplento, sí coo p l pltfo, denotdos coo P, L y op, espectente. Así so, tbén se consden los coespondentes ectoes lle necles P, L y op. Ls Jcobns que elconn los eslbones de entd y de coplento con l pltfo se denotn coo J P y J L, ents que l que elcon ls bles tcules cts con dch pltfo se denot coo J f. L entd plcd l sste coesponde ses toques, ejecdos sobe dchs bles tcules cts ednte el coespondente ctudo. Estos toques se egln en un ecto denondo coo τ: [ τ τ τ τ τ ] τ (7-2) τ Así, el pncpo del tbjo tul p el obot nlzdo puede qued expesdo de l sguente ne: J ( P P ) + J L ( L L ) + ( op op ) J f τ P (7-3) Los ectoes lle p los eslbones de entd y de coplento consden l fuez de gedd coo únc fuez genelzd exten, no necl y no de contcto, ctundo sobe ellos. Sn ebgo, el ecto lle coespondente l pltfo deás de consde dch fuez de gedd tbén consde un fuez f e y oento de p n e netos que epesentn l cg sopotd po el obot. Así: Pg P ( Lg L ( x fe 3 + opg x ne op( ) ( ) (7-4) (7-5) (7-)

9 29 Los ectoes lle necles se defnen de cuedo l ecucones de oento de Newton y de Eule, expesds en (2-5) y (2-23). Con especto est últ se consde el cento de gedd coo punto bse po lo que G le ceo, splfcándose sí l ecucón de Eule sólo dos ténos. Así: x op P( x L( ) op( x P P P P + ω P P P ( ) L L L L + ω L L L ( ) op 3) ε + Ω 3) Ω ( ) (7-7) (7-8) (7-9) P ls ecucones (7-7), (7-8) y (7-9) se consden los tensoes de nec tnsfodos defndos en l seccón 7..2 y expesdos especto l co de efeenc necl {}. Adeás, tbén se consden ls elcones cneátcs de elocdd y celecón defnds lo lgo del CAPÍLO junto con ls espects Jcobns y el nálss p l elocdd y l celecón ngules, donde los síbolos Ω y ε se usn p denot l elocdd ngul y l celecón ngul de l pltfo, ls cules son de nteés pncpl p el odelo, ents que los síbolos ω y α se usn p denot ls elocddes ngules y ls celecones ngules en los deás eslbones Obtencón de l ecucón del espco de estdos p el obot L ecucón del espco de estdos que epesent l estuctu genel del odelo dnáco fue expesd en l ecucón (2-. Se busc entonces npul l elcón obtend de plc el pncpo del tbjo tul p expesl eplendo dch estuctu. P ello se hcen ls sguentes consdecones: L ecucón del espco de estdos se encuent defnd en funcón de un ecto de coodends genelzds, cuyo concepto fue descto en l seccón Dchs coodends genelzds epesentn un see de páetos que detenn de ne uníoc l confgucón del sste y po lo tnto pueden coesponde ls bles tcules cts o l poscón y oentcón de l pltfo, sendo ests últs ls epleds en l ecucón del espco de estdos p el obot pleentdo debdo que l elcón dnác obtend se usá en l genecón de tyectos p l pltfo.

10 3 Así so, se ec el hecho de que ls fuezs de fccón sec y scos no fueon consdeds en l decón de l ecucón (7-3), ddo que se equee un nálss dconl expeentl y teóco que busque obtene los coespondentes coefcentes. Po ello, los ténos coespondentes no deben pece en l ecucón del espco de estdos p el obot pleentdo. A pt de ls nteoes consdecones se desolln y sepn los ectoes lle necles especfcdos en ls ecucones (7-7), (7-8) y (7-9), tondo en cuent que en l seccón.2.2 se sepon ntenconlente ls elcones de celecón en ténos dependentes de celecones lneles y ngules y en ténos dependentes de l elocdd ngul p fclt el nálss dnáco. Así: P( x P( 3x) op( 3x op( 3x + P( 3x ( ) op( 3x P ( ) + ( ) + ( ) P 3x α P 3x ω P 3 P P ε op( 3x P ε P( x P P( 3x) op( 3x P P( 3x + P ( ) ε P 3x op( 3x P P( 3x + ω P P P ( ) (7-2) L( x L( 3x) op( 3x op( 3x + L( 3x ( ) op( 3x L ( ) + ( ) + ( ) L 3x α L 3x ω L 3 L L ε op( 3x L ε L( x op( x L L( 3x) op( 3x L L( 3x + L ( ) ε L 3x op( 3x L L( 3x + ω L L L op 3) ( 3x3) ( 3x3) 3) ε + Ω ( ) ( 3x 3) Ω ( ) (7-2 (7-22) Hecho esto, los esultdos obtendos en (7-2), (7-2 y (7-22) junto con los ectoes lle defndos en (7-4), (7-5) y (7-) se susttuyen en l ecucón (7-3) p pt de ell obtene los coefcentes de l ecucón del espco de estdos p el obot pleentdo, l cul sgue l estuctu defnd en l ecucón (2-, deás de to en cuent ls consdecones hechs. Así, s el obot posee ses gdos de lbetd, entonces n y po lo tnto:

11 3 M op (7-23) ( ) + V( + G ( + E ( Q ( ε Obtenendo los coefcentes nolucdos en l ecucón (7-23) pt de su descpcón hech en l seccón 2.8.4: M P P( 3x) L L( 3x) ( ) + J P J L P P( 3x) L L( 3x) + ( ) ( ) op 3) ( 3x3) 3x3 op 3 3 (7-24) V P P( 3x J P P P( 3x + ω P P P ( ) L L( 3x ( J L L L( 3x + ω L L L Ω ( 3x 3) Ω ( ) + + ( ) (7-25) G P ( + J P g J L Lg opg + (7-2) f e ( ) E (7-27) n e Q J f τ (7-28) ( ( ) ( Cbe encon que el últo coefcente Q expes los efectos de los oentos de p o toques ctundo sobe ls tculcones cts, peo eflejdos sobe l pltfo en l fo de fuezs genelzds plcds coo entds l sste, de cuedo l ecucón (2-59) que deuest l elcón gudd po l tnspuest de l Jcobn. Así, p esole l dnác nes spleente se despej el ecto τ de l ecucón (7-23) tés de l defncón de Q expesd en (7-28): τ J f ( ) τ ( M ( ) + V( + G ( + E ( ε ( ) ( ) ε ( ) ( ) ( ) + V + G + ) ( J f ( ) M E ) (7-29)

12 Dnác dect En l seccón fue obtend l ecucón del espco de estdos p el obot, l cul fue epotd en l ecucón (7-23). Est ecucón fue defnd en funcón de un ecto de coodends genelzds coespondentes l poscón y oentcón de l pltfo, sendo ls deds pe y segund de l oentcón con especto l tepo expesds coo ectoes oentdos según ejes nstntáneos, de cuedo l defncón de elocdd y celecón ngul desct en l seccón Sn ebgo, es ás páctco obtene l elocdd y l celecón ngul pt de l dnác dect coo deds con especto l tepo de los ángulos α, β y γ. P ello se consde el nálss p l elocdd y l celecón ngul descto en ls seccones..3 y.2.3. P esole l dnác dect se despej el ecto de celecones lneles y ngules de l ecucón (7-23), quedndo coo: ε ( ) op M( ) Q( V( G( E (7-3) ( Los coefcentes nolucdos en l ecucón (7-3) dependen tnto de l elocdd coo de l loclzcón de l pltfo, po lo que ést elente epesent un sste de ecucones dfeencles odns. Escbéndol coo tl ednte l defncón de bles uxles Y y hcendo uso de l ecucón (-9): Y ( ) [ ] x px p y pz α β γ, Y ( ) [ ] 2 x x y z α' β ' γ ' dy ( x dt Y Y dy Y, 2 ( x Y ( ) 2( x 3 3 dt α'' β '' γ '' M ( ) ( Q( V( G ( E( ) 3 ( 3 ) 4( 3 ) [ ] (7-3 α '' β '' R γ ' ' Y Ω( 3 x 3) 4 β ' γ ' cosα cos β α' γ ' sn α sn β α' γ ' cosα β ' γ ' cosα sn β α' γ ' sn α cos β Dcho sste de ecucones dfeencles no posee un solucón ced y sólo se puede esole po étodos nuécos, consdendo que l tz M puede se sngul. De est fo se esuele l dnác dect.