Análisis de la racionalidad en el uso de preferencias lingüísticas: un estudio empírico

Transcripción

1 Análss de la raconaldad en el uso de preferencas lngüístcas: un estudo empírco Lus Carlos Meneses Ponco Departamento de Economía Aplcada (Matemátcas) Unversdad de Valladold Avenda del Valle Esgueva Valladold Tfno.: ; Fax: Resumen El obetvo del presente trabao es analzar la raconaldad de los ndvduos al enfrentarse a un problema de decsón en el que deben manfestar sus preferencas medante etquetas lngüístcas. Este análss se realza bao una doble perspectva: por un lado se estuda la nfluenca del número de alternatvas y del número de atrbutos de cada alternatva; por otro lado, se comparan dferentes maneras de tratar la nformacón. Para ello, se ha realzado un expermento en el que se cuestona a 200 estudantes sobre su futuro vae fn de carrera, prmero tenendo en cuenta úncamente los destnos y luego consderando tambén los precos. En el msmo, se comparan todos los posbles pares de alternatvas y se muestran las preferencas a través de etquetas lngüístcas. Al tratar la nformacón, se representan las etquetas lngüístcas por números comprenddos entre 0 y 1, de acuerdo con dferentes escalas. En el trabao se estuda la raconaldad por medo de cuatro clases de transtvdad dfusa y se analza el grado de cumplmento de cada una de ellas en las dstntas representacones. Palabras clave: preferencas; etquetas lngüístcas; raconaldad; transtvdad dfusa; análss expermental 1. Introduccón Al estudar el comportamento raconal de los agentes, muchos modelos de la teoría de la decsón se basan en relacones bnaras ordnaras, en donde sólo se presentan dos modaldades de preferenca (se prefere, no se prefere). Sn embargo, s se tene en cuenta la vaguedad, la ncertdumbre o la ntensdad con la que se manfestan las preferencas humanas resulta más apropado un enfoque basado en relacones bnaras dfusas ya que éstas permten graduar las preferencas. Así, cuando un ndvduo manfesta sus preferencas sobre un conunto fnto de alternatvas por medo de una relacón bnara dfusa, ndca la ntensdad o el grado de preferenca de una alternatva sobre otra por medo de un número del ntervalo [0, 1]. Sn embargo, exsten multtud de stuacones en las que los ndvduos no son capaces de expresar sus preferencas por medo de un valor numérco, ya sea por la vaguedad o la ncertdumbre de las msmas, ya sea por estar analzando aspectos dfíclmente

2 cuantfcables. En este caso sería más convenente realzar una valoracón cualtatva de las alternatvas, medante térmnos lngüístcos o etquetas, y expresada por medo de relacones lngüístcas de preferenca. De esta forma, a los ndvduos se les presenta un conunto de térmnos lngüístcos para que declarar sus preferencas. En esta modelzacón la transtvdad es la prncpal hpótess de coherenca. En un entorno dfuso exste una ampla gama de condcones de transtvdad que generalzan la propedad clásca (ver Zadeh (1971), Bezdek et al. (1978), Dubos et al. (1980), Basu (198), Tanno (198), Dutta et al. (1986), Ovchnnkov (1986), Barrett et al. (1990), Jan (1990), Dasgupta et al. (1996) y Swtalsk (2001), entre otros). El obetvo prncpal de este trabao es analzar el nvel de coherenca que alcanzan los ndvduos cuando manfestan sus preferencas por medo de relacones lngüístcas de preferenca recíprocas. Para ello realzamos un estudo empírco con 200 estudantes en un problema real de decsón: la eleccón del destno de su vae de fn de carrera. En este contexto, analzamos propedades de transtvdad dfusa con el propósto de conocer cuáles de ellas son más apropadas y realstas de acuerdo con dferentes aspectos, como el número de alternatvas comparadas o el número de atrbutos nherentes a cada alternatva (en nuestro caso, países y dnero). Además estudamos la nfluenca de la escala numérca utlzada a la hora de representar las etquetas lngüístcas. El trabao se organza como sgue. En la seccón 2 exponemos los conceptos relaconados con las preferencas lngüístcas y con las propedades de transtvdad dfusa analzadas. En la seccón 3 se explcan las característcas del expermento. En la seccón se presentan y analzan los resultados del estudo empírco. 2. Preferencas lngüístcas y transtvdad dfusa Consderamos un ndvduo que muestra sus preferencas sobre un conunto fnto de alternatvas = { x, 1 x2,..., x n }, con n 3, medante una relacón lngüístca de preferenca P L. Una relacón lngüístca de preferenca es una relacón bnara dfusa valorada sobre un conunto de térmnos lngüístcos o etquetas S de forma que µ L : S. La etqueta µ ( x x r S P P L, ) = ha sdo nterpretada de dos maneras en la lteratura (ver García-Lapresta et al. (2000) para referencas). Para unos autores representa el grado de certeza con la que un agente prefere, estrcta o déblmente, x a x. Para otros representa la ntensdad con la que el agente prefere x a x. Nuestro trabao se basa en este segundo punto de vsta por lo que representará la ntensdad de preferenca lngüístca de la alternatva x sobre la alternatva x. Como se consdera en Herrera et al. (1996) y García-Lapresta et al. (2001a) asummos que el conunto de etquetas S = { s, 0 s1,..., s T } es fnto, tene cardnal mpar, y que está totalmente ordenado, de forma que s > s s >. La etqueta central, s T/2, representa la ndferenca y el resto de etquetas se dstrbuye smétrcamente alrededor de ella. Además se consdera el operador Neg que asgna a cada etqueta su smétrca: Neg(s ) = s tal que = T.

3 El conunto de térmnos lngüístcos que se consdere depende del domno del problema. Por eemplo, en el contexto en el que nosotros trabaamos, consderaremos el sguente conunto de etquetas a la hora de comparar los dstntos pares de alternatvas: s 8 : s se prefere totalmente la prmera alternatva a la segunda. s 7 : s se prefere mucho la prmera alternatva a la segunda. s 6 : s se prefere bastante la prmera alternatva a la segunda. s 5 : s se prefere poco la prmera alternatva a la segunda. s : s se es ndferente entre las dos alternatvas. s 3 : s se prefere poco la segunda alternatva a la prmera. s 2 : s se prefere bastante la segunda alternatva a la prmera. s 1 : s se prefere mucho la segunda alternatva a la prmera. s 0 : s se prefere totalmente la segunda alternatva a la prmera. Para poder tratar la nformacón que proporconan las etquetas se asoca a cada una de ellas un valor. Para defnr este valor exsten varas posbldades (ver Herrera et al. (2000) y García-Lapresta et al. (2001a)). Aquí destacamos las dos sguentes: a) Representar cada etqueta por un conunto dfuso defndo en el ntervalo [0, 1] y descrto por funcones de pertenenca (trangulares, trapecales, ). b) Asgnar un valor del ntervalo [0, 1] a cada etqueta de acuerdo con la estructura ordenada del conunto de térmnos lngüístcos. Este valor se puede nterpretar como la ntensdad de preferenca cuanttatva que representa la preferenca lngüístca (de carácter cualtatvo). Nosotros adoptaremos el segundo enfoque. La dstrbucón smétrca alrededor de la etqueta central nos permte asumr que el par (s, s T- ) es gualmente nformatvo. Así, es factble asumr que cuanto mayor sea la ntensdad r con la que se prefere x a x, menor será la ntensdad r con la que se prefere x a x. Este hecho queda recogdo en el sguente axoma de recprocdad. Para ustfcar el axoma de recprocdad, ver Bezdek et al. (1978), Nurm (1981) y Nakamura (1986), entre otros. Defncón 1. Una relacón de preferenca lngüístca P L sobre es recíproca s y sólo s se verfca que s r = s k, entonces r = Neg(s k ) para todo k {0, 1,,T}. A partr de una relacón de preferenca lngüístca recíproca es posble defnr una relacón de preferenca ordnara que nos muestra aquellas alternatvas que son algo preferdas por el agente. Defncón 2. Sea P L una relacón de preferenca lngüístca recíproca sobre. La relacón de preferenca ordnara asocada a P L se defne por x Px r > st / 2, para cualquer par de alternatvas x, x. Así, dadas dos alternatvas x, x, sólo se verfca una de las sguentes afrmacones: x P x ( r > st /2 ), x I x ( r = st /2 ), x P x ( r < st /2 ). Dado que la relacón de preferenca lngüístca es una relacón bnara dfusa, al analzar la coherenca de los agentes estudamos varas propedades de transtvdad dfusa. Las que se consderan en el expermento se ntroducen a contnuacón.

4 Defncón 3. Sea una operacón bnara sobre S = {,..., } para todo ab, S, con las sguentes propedades: Commutatvdad: a b = b a para cualesquera a, b S. s T / 2 s T, es decr, a b S Monotonía: ( a a' y b b') a b a' b', para cualesquera a, a, b, b S. Una relacón de preferenca lngüístca P L sobre es transtva max- débl s y sólo s se verfca ( x P x y x P xk ) ( x P xk y rk r rk ), para cualesquera x, x, x. l Las propedades transtvdad max- para relacones bnaras dfusas se defneron ncalmente para demandar rk r rk. La condcón débl se consdera, entre otros, por Tanno (198) y Dasgupta et al. (1996) cuando se requeren certas hpótess adconales. En la Defncón 3, al trabaar con preferencas lngüístcas, consderamos ntensdades de preferenca mayores que s T/2. Defncón. Dadas las sguentes operacones bnaras conmutatvas y monótonas sobre el conunto S : s 1 s = st / 2 s s = max{ sk, st / 2} con 2 k = + T s s = mn{ s, s } 3 s s = max{ s, s } Decmos que la relacón de preferenca lngüístca recíproca P L sobre verfca la propedad T s y sólo s P L es transtva max- débl. Es fácl ver que a T3 T2 T1. Además, 1 T preferenca ordnara P sea transtva. b a b a b a b, para cualesquera a, b S, es decr, T es equvalente a que la relacón de 3. El expermento Las condcones de comportamento raconal que se asumen en las teorías normatvas son usualmente voladas en los problemas reales de decsón. De hecho, varos estudos empírcos muestran la aparcón de nconsstencas en la práctca (ver May (195) y Swtalsk (2001), entre otros). Para examnar cómo se verfcan las hpótess de coherenca relaconadas con las transtvdades dfusas T 1,K, T, consderadas en la Defncón, llevamos a cabo un expermento con grupos de 50 estudantes de cuarto curso de la Facultad de Cencas Económcas y Empresarales de la Unversdad de Valladold. Contestaron varas encuestas en las que manfestaban sus preferencas sobre dferentes destnos de su futuro vae de fn de carrera: Chna, Egpto, Praga-Budapest, Itala, Cuba, Rusa y Estambul. Cada grupo tuvo que manfestar dos veces sus preferencas sobre los dstntos destnos comparando todas las alternatvas por pares:

5 prmero consderando úncamente sus propos gustos sobre cada destno, sn consderar nngún otro factor, y posterormente tenendo en cuenta, además de sus gustos sobre cada destno, el preco real (en euros) que tenían que pagar. Esos precos tuveron una reduccón de 150 euros, que es lo que habtualmente obtenen de benefco por festas o por la venta de loterías y otros productos. Al prmer grupo se le planteó un conunto de destnos, al segundo de 5, al tercero de 6 y al cuarto de 7. De esta forma se consderaron 8 conuntos dferentes de alternatvas para analzar la nfluenca de dos varables, el número de alternatvas y el preco de cada vae, sobre el nvel de cumplmento de cada transtvdad dfusa nvestgada, T 1,K, T. Los estudantes del prmer grupo mostraron sus preferencas sobre dos conuntos de alternatvas: = {Chna, Egpto, Praga-Budapest, Itala} = {(Chna, 630), (Egpto, 50), (Praga-Budapest, 270), (Itala, 150)}. Los estudantes del segundo grupo mostraron sus preferencas sobre dos conuntos de 5 alternatvas: 5 5 = {Chna, Egpto, Praga-Budapest, Itala, Cuba} = {(Chna, 630), (Egpto, 50), (Praga-Budapest, 270), (Itala, 150), (Cuba, 50)}. Los estudantes del tercer grupo mostraron sus preferencas sobre dos conuntos de 6 alternatvas: 6 6 = {Chna, Egpto, Praga-Budapest, Itala, Cuba, Rusa} = {(Chna, 630), (Egpto, 50), (Praga-Budapest, 270), (Itala, 150), (Cuba, 50), (Rusa, 330)}. Los estudantes del cuarto grupo mostraron sus preferencas sobre dos conuntos de 7 alternatvas: 7 7 = {Chna, Egpto, Praga-Budapest, Itala, Cuba, Rusa, Estambul} = {(Chna, 630), (Egpto, 50), (Praga-Budapest, 270), (Itala, 150), (Cuba, 50), (Rusa, 330), (Estambul, 210)}. Los estudantes tuveron que comparar cada par de alternatvas a través de cuatro modaldades de preferenca de la alternatva preferda sobre la otra, representadas por las sguentes etquetas de una manera descendente: totalmente, mucho, bastante y poco ; en ausenca de preferenca entre las alternatvas debían declarar ndferente. Los cuestonaros que debían responder fueron como el del sguente eemplo, donde tenían que marcar una de las 9 modaldades de preferenca o ndferenca. 630 euros - Chna 150 euros - Itala (bus) Totalmente Mucho Bastante Poco Indferente Poco Bastante Mucho Totalmente

6 Basándonos en la estructura ordenada del conunto de etquetas lngüístcas, asgnamos a cada una de las 9 etquetas un número entre 0 y 1. Con el fn de analzar la nfluenca del número fado a cada etqueta en el cumplmento de las dstntas propedades de transtvdad dfusa, realzamos dferentes asgnacones de acuerdo con las escalas mostradas en la Tabla 1. Etqueta Escala 1 Escala 2 Escala 3 s 8 : totalmente r = 1 (r = 0) r = 1 (r = 0) r = 1 (r = 0) s 7 : mucho r = 0,875 (r = 0,125) r = 0,950 (r = 0,050) r = 0,920 (r = 0,080) s 6 : bastante r = 0,750 (r = 0,250) r = 0,850 (r = 0,150) r = 0,820 (r = 0,180) s 5 : poco r = 0,625 (r = 0, 375) r = 0,700 (r = 0, 300) r = 0,630 (r = 0, 370) s : ndferente r = 0,500 (r = 0,500) r = 0,500 (r = 0,500) r = 0,500 (r = 0,500) s 3 : poco r = 0,375 (r = 0,625) r = 0,700 (r = 0,300) r = 0,370 (r = 0,630) s 2 : bastante r = 0,250 (r = 0,750) r = 0,850 (r = 0,150) r = 0,180 (r = 0,820) s 1 : mucho r = 0,125 (r = 0,875) r = 0,950 (r = 0,050) r = 0,080 (r = 0,920) s 0 : totalmente r = 0 (r = 1) r = 0 (r = 1) r = 0 (r = 1) Tabla 1. Representacón numérca de las etquetas La escala 1 consdera que la dstanca entre dos etquetas consecutvas cualesquera es la msma. La ventaa de esta escala está en su smplcdad, pero tene el nconvenente prncpal de que no todos los ndvduos percben que la dferenca que senten entre las dstntas etquetas sea la msma. La escala 2 ntenta soluconar en parte el anteror problema, al consderar que la dstanca es menor a medda que nos aproxmamos a los extremos. Esto es equvalente a suponer que los agentes tenen una mayor capacdad de dscernmento a medda que aumente la ntensdad en sus preferencas. La escala 3 tambén ntenta soluconar el nconvenente de la escala 1 y se ha construdo basándose en las manfestacones de varos ndvduos sobre la dferenca que sentían entre las dstntas etquetas. Posterormente realzamos un programa nformátco para analzar los resultados medante los cálculos pertnentes. Hay que tener presente que el número total de pares que se compararon en las encuestas fue de Una vez ntroducdos todos estos datos, comparamos las 6900 ternas posbles de alternatvas para estudar el grado de cumplmento de las dstntas propedades de transtvdad dfusa.

7 . Los resultados Al analzar el grado de cumplmento de las dstntas transtvdades dfusas T 1,K, T en cada uno de los 8 conuntos de alternatvas, K, 7 y, K, 7, examnamos los sguentes aspectos: La nfluenca del número de alternatvas: estudamos tanto el porcentae de estudantes como el porcentae de ternas de alternatvas que verfcan las dstntas propedades. La nfluenca del número de atrbutos asocado a cada alternatva: comparamos los resultados obtendos en los conuntos, K, 7 con los obtendos en los conuntos, K., La nfluenca de la escala utlzada: comparamos los resultados obtendos en las tres escalas consderadas. En García-Lapresta et al. (2001b) se realza un análss de los dos prmeros aspectos consderando la escala 1, por lo que los comentaremos brevemente y nos centraremos en el tercero Análss de la nfluenca del número de alternatvas En las Tablas 2 y 3 se muestran los resultados obtendos al analzar el porcentae de cumplmento de las dstntas propedades de transtvdad dfusa T 1,K, T en cada uno de los 8 conuntos de alternatvas, K, 7 y, K, 7. Así, con cualquera de las escalas observamos que, a meda que aumenta el número de alternatvas, se produce un decrecmento en el cumplmento de las dstntas propedades, tanto en como : para cada T, cuando aumenta, el porcentae de cumplmento de T dsmnuye. T 1 T 2 T 3 T Escala % 92% 92% 92% 88% 88% 88% 88% 86% 66% 66% 60% 5 80% 80% 80% 7% 62% 62% 62% 62% 60% 28% 28% 26% 6 62% 62% 62% 60% 5% 52% 52% 52% 8% 2% 2% 22% 7 50% 50% 50% % 36% 36% 36% 36% 36% 18% 18% 10% Tabla 2. Porcentaes de cumplmento absolutos de T en los conuntos

8 T 1 T 2 T 3 T Escala % 90% 90% 88% 8% 80% 80% 80% 80% 58% 58% 5% 5 78% 78% 78% 68% 56% 5% 5% 5% 52% 28% 28% 28% 6 76% 76% 76% 66% % 6% 8% 8% 6% 16% 16% 16% 7 2% 2% 2% 38% 28% 30% 30% 30% 30% 8% 8% 8% Tabla 3. Porcentaes de cumplmento absolutos de T en los conuntos El cumplmento de cada transtvdad dfusa por parte de un ndvduo requere que no se vulnere esa condcón en nnguna terna de alternatvas. Dado que hay, 10, 20 y 35 ternas dferentes en los conuntos de, 5, 6 y 7 alternatvas, respectvamente, es deseable tener una medda relatva de cumplmento de cada propedad T, por lo que estudamos el porcentae de ternas que verfca cada propedad. En las tablas y 5 se muestran estos resultados. Consderando cualquera de las escalas, se puede observar cómo la dsmnucón en los porcentaes de cumplmento es mucho menor que en la anteror stuacón. El grado de cumplmento es mayor en el conunto de alternatvas que en los conuntos de 5, 6 y 7 alternatvas. En general, un mayor número de alternatvas produce un decrecmento en la condcones de coherenca aunque hay varas stuacones que contradcen esta afrmacón: por eemplo, al analzar los grados de cumplmento en los conuntos respecto de la escala 1, se produce un mayor cumplmento de T 2 y T 3 en el conunto de 6 alternatvas que en el de 5. T 1 T 2 T 3 T Escala ,0% 98,0% 98,0% 98,0% 97,0% 97,0% 97,0% 97,0% 96,5% 88,5% 88,5% 86,5% 5 97,2% 97,2% 97,2% 96,0% 9,2% 9,2% 9,2% 9,2% 93,8% 8,8% 8,8% 82,8% 6 96,3% 96,3% 96,3% 96,1% 9,9% 95,% 95,% 95,% 95,0% 86,5% 86,5% 8,7% 7 96,9% 96,9% 96,9% 96,5% 95,% 95,% 95,% 95,% 95,0% 87,1% 87,1% 8,3% Tabla. Porcentaes de cumplmento relatvos de T en los conuntos

9 T 1 T 2 T 3 T Escala ,5% 97,5% 97,5% 97,0% 95,0% 9,5% 9,5% 9,5% 9,5% 8,5% 8,5% 80,0% 97,% 97,% 97,% 95,6% 92,2% 92,2% 92,% 92,% 92,0% 81,8% 81,8% 80,6% 5 97,% 97,% 97,% 96,8% 95,0% 95,% 95,6% 95,6% 95,3% 81,6% 81,6% 80,6% 6 96,3% 96,3% 96,3% 9,9% 92,5% 93,3% 93,3% 93,3% 93,1% 81,0% 81,0% 79,3% 7 Tabla 5. Porcentaes de cumplmento relatvos de T en los conuntos.2. Análss de la nfluenca del número de atrbutos Para conocer la nfluenca del atrbuto adconal de los precos de los vaes sobre el nvel de coherenca obtendo, comparamos los resultados obtendos en los conuntos de alternatvas y, para cada {, 5, 6, 7}. En la mayoría de las stuacones podemos decr que al consderar los precos de los vaes se produce un menor cumplmento de las condcones de coherenca que cuando no se consderan. Ahora tambén hay excepcones: s consderamos la escala 1, respecto de los porcentaes de cumplmento absolutos, de los 16 casos posbles en 2 aumenta el nvel de coherenca y respecto de los porcentaes de cumplmento relatvos, de los 16 casos en aumenta..3. Análss de la nfluenca de la escala Tanto s se consderan los nveles de coherenca absolutos como los relatvos, al comparar las dstntas escalas vemos que la prmera es la que proporcona en todos los casos unos mayores nveles de coherenca. En T 1, T 3 y T las escalas 1 y 2 proporconan exactamente los msmos resultados, mentras que la escala 3 tene unos porcentaes de cumplmento lgeramente nferores. En T 2 las escalas 2 y 3 proporconan unos nveles de coherenca smlares y menores a los obtendos con la escala 1. Es esta últma propedad de transtvdad dfusa la que se muestra más sensble a los cambos de escala, sobre todo en los conuntos,, 7 : la dsmnucón en el porcentae de cumplmento absoluto alcanza hasta un 22% (al comparar la escala 2 con la 1 en el conunto ), y en el relatvo alcanza hasta un 3,% (al comparar las escalas 2 o 3 con la 1 en el conunto 5 ). Hay que resaltar el hecho de que con todas las escalas, al aumentar el número de alternatvas en certos casos se producen aumentos en los nveles de cumplmento relatvos. Lo msmo ocurre cuando se comparan los resultados obtendos en los conuntos que consderan un únco atrbuto con los que consderan dos. Por tanto, a la vsta de los resultados de este expermento, la escala elegda no nfluye de una manera sgnfcatva en el nvel de coherenca de los agentes. Agradecmentos Este trabao ha sdo fnancado parcalmente por los proyectos VA057/02 de la Junta de Castlla y León y BEC del Mnstero de Cenca y Tecnología.

10 Referencas Barrett, C.R., Pattanak, P.K., Salles, M. (1990): On choosng ratonally when preferences are fuzzy. Fuzzy Sets and Systems, 3, pp Basu, K. (198): Fuzzy revealed preference theory. Journal of Economc Theory, 32, pp Bezdek, J.C., Harrs, J.D. (1978): Fuzzy parttons and relatons: an axomatc bass for clusterng. Fuzzy Sets and Systems, 1, pp Bezdek, J.C., Spllman, B., Spllman, R. (1978): A fuzzy relaton space for group decson theory. Fuzzy Sets and Systems, 1, pp Dasgupta, M., Deb, R. (1996): Transtvty and fuzzy preferences. Socal Choce and Welfare, 13, pp Dubos, D., Prade, H. (1980): Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applcatons. Academc Press, New York. Dutta, B., Panda, S.C., Pattanak, P.K. (1986): Exact choce and fuzzy preferences. Mathematcal Socal Scences, 11, pp García-Lapresta, J.L., Lazzar, L.L., Martínez-Panero, M. (2001a): A group decson makng meted usng fuzzy trangular numbers. En Zopounds, C., Pardalos P. M. y Baouraks, G. (eds.), Fuzzy Sets n Management, Economcs and Marketng, World Scentfc, Sngapore, pp García-Lapresta, J.L., Llamazares, B. (2000): Aggregaton of fuzzy preferences: Some rules of the mean. Socal Choce and Welfare, 17, pp García-Lapresta, J.L., Meneses, L.C. (2001b): An emprcal analyss of transtvty wth four scaled preferental udgment modaltes. En evaluacón. Herrera, F., Herrera-Vedma, E., Verdegay, J.L.(1996): A model of consensus n group decson makng under lngustc assessments. Fuzzy Sets and Systems, 78, pp Herrera, F., Herrera-Vedma, E. (2000): Lngustc decson analyss: steps for solvng decson problems under lngustc nformaton. Fuzzy Sets and Systems, 115, pp Jan, N. (1990): Transtvty of fuzzy relatons and ratonal choce. Annals of Operatons Research, 23, pp May, K.O. (195): Intranstvty, utlty, and the aggregaton of preference patterns. Econometrca, 22, pp Nakamura, K. (1986): Preference relatons on a set of fuzzy utltes as a bass for decson makng. Fuzzy Sets and Systems, 20, pp Nurm H. (1981): Approaches to collectve decson makng wth fuzzy preference relatons. Fuzzy Sets and Systems, 6, pp Ovchnnkov, S.V. (1986): On the transtvty property. Fuzzy Sets and Systems, 20, pp Swtalsk, Z. (2001): Transtvty of fuzzy preference relatons an emprcal study. Fuzzy Sets and Systems, 118, pp Tanno T. (198): Fuzzy preference orderngs n group decson makng. Fuzzy Sets and Systems, 12, pp Zadeh, L.A. (1971): Smlarty relatons and fuzzy orderngs. Informaton Scences, 22, pp