Al conjunto de los distintos valores numéricos que adopta un carácter cuantitativo se llama variable estadística.

Transcripción

1 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa MATEMÁTICAS BÁSICAS ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE VARIABLES La estadístca descrptva es la rama de las Matemátcas que recolecta, preseta y caracterza u cojuto de datos (por ejemplo, edad de ua poblacó, altura de los estudates de ua escuela, temperatura e los meses de verao, etc.) co el de descrbr apropadamete las dversas característcas de ese cojuto. Al cojuto de los dsttos valores umércos que adopta u carácter cuattatvo se llama varable estadístca. Las varables puede ser de dos tpos: Varables cualtatvas o categórcas: o se puede medr umércamete (por ejemplo: acoaldad, color de la pel, seo). Varables cuattatvas: tee valor umérco (edad, preco de u producto, gresos auales). Las varables també se puede clascar e: Varables udmesoales: sólo recoge ormacó sobre ua característca (por ejemplo: edad de los alumos de ua clase). Varables bdmesoales: recoge ormacó sobre dos característcas de la poblacó (por ejemplo: edad y altura de los alumos de ua clase). Varables plurdmesoales: recoge ormacó sobre tres o más característcas (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumos de ua clase). Por su parte, las varables cuattatvas se puede clascar e dscretas y cotuas: Dscretas: sólo puede tomar valores eteros (,, 8, -, etc.). Por ejemplo: úmero de hermaos (puede ser,,..., etc., pero, por ejemplo, uca podrá ser.). Cotuas: puede tomar cualquer valor real detro de u tervalo. Por ejemplo, la velocdad de u vehículo puede ser 90. km/h, 9.7 km/h...etc. Cuado se estuda el comportameto de ua varable hay que dstgur los sguetes coceptos: Idvduo: cualquer elemeto que porte ormacó sobre el eómeo que se estuda. Así, s estudamos la altura de los ños de ua clase, cada alumo es u dvduo; s se estuda el preco de la vveda, cada vveda es u dvduo. Poblacó: cojuto de todos los dvduos (persoas, objetos, amales, etc.) que porte ormacó sobre el eómeo que se estuda. Por ejemplo, s se estuda el preco de la vveda e ua cudad, la poblacó será el total de las vvedas de dcha cudad. Muestra: subcojuto que seleccoado de ua poblacó. Por ejemplo, s se estuda el preco de la vveda de ua cudad, lo ormal será o recoger ormacó sobre todas las vvedas de la cudad

2 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa (sería ua labor muy compleja), so que se suele seleccoar u subgrupo (muestra) que se eteda que es sucetemete represetatvo. Las varables aleatoras so varables que so seleccoadas al azar o por procesos aleatoros. DATOS. CLASIFICACIÓN, ORGANIZACIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE BLOQUES ESTADÍSTICOS Los datos so meddas y/o úmeros recoplados a partr de la observacó. Los datos puede cocebrse como ormacó umérca ecesara para ayudar a tomar ua decsó co más bases e ua stuacó partcular. Este muchos métodos medate los cuales se puede obteer datos ecesaros. Prmero, se puede buscar datos ya publcados por otras uetes. Segudo, se puede dseñar u epermeto. E tercer lugar, se puede coducr u estudo. Cuarto, se puede hacer observacoes del comportameto, acttudes u opoes de los dvduos e los que se está teresado. Los datos se puede clascar e: Datos dscretos. So respuestas umércas que surge de u proceso de coteo. Datos cotuos. So respuestas umércas que surge de u proceso de medcó. ESCALAS DE MEDICIÓN Medr e el campo de las cecas eactas es comparar ua magtud co otra, tomada de maera arbtrara como reereca, deomada patró y epresar cuátas veces la cotee. E el campo de las cecas socales medr es el proceso de vcular coceptos abstractos co dcadores empírcos. Al resultado de medr lo se le llama medda. La medcó de las varables puede realzarse por medo de cuatro escalas de medcó: la omal, ordal, de tervalo y de razó. Se utlza para ayudar e la clascacó de las varables, el dseño de las pregutas para medr varables, e cluso dca el tpo de aálss estadístco apropado para el tratameto de los datos. Ua característca esecal de la medcó es la depedeca que tee de la posbldad de varacó. La valdez y la coabldad de la medcó de ua varable depede de las decsoes que se tome para operarla y lograr ua adecuada compresó del cocepto evtado mprecsoes y ambgüedades, e caso cotraro, la varable corre el resgo herete de ser valdada debdo a que o produce ormacó coable. a) Medcó Nomal. E este vel de medcó se establece categorías dsttvas que o mplca u orde especíco. Por ejemplo, s la udad de aálss es u grupo de persoas, para clascarlas se puede establecer la categoría seo co dos veles, masculo (M) y emeo (F), los ecuestados sólo tee que señalar su géero, o se requere de u orde real. Así, se puede asgar úmeros a estas categorías para su detcacó: M, F o be, se puede vertr los úmeros s que aecte la medcó: F y M. E resume e la escala omal se asga úmeros a evetos co el propósto de detcarlos.

3 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa b) Medcó Ordal. Se establece categorías co dos o más veles que mplca u orde herete etre s. La escala de medcó ordal es cuattatva porque permte ordear a los evetos e ucó de la mayor o meor posesó de u atrbuto o característca. Por ejemplo, e las sttucoes escolares de vel básco suele ormar por estatura a los estudates, se desarrolla u orde cuattatvo pero o sumstra meddas de los sujetos. Estas escalas admte la asgacó de úmeros e ucó de u orde prescrto. Las ormas más comues de varables ordales so ítems (reactvos) acttudales establecedo ua sere de veles que epresa ua acttud de acuerdo o desacuerdo co respecto a algú reerete. Por ejemplo, ate el reactvo: Peme debe prvatzarse, el respodete puede marcar su respuesta de acuerdo a las sguetes alteratvas: Totalmete de acuerdo De acuerdo Iderete E desacuerdo Totalmete e desacuerdo Las aterores alteratvas de respuesta puede codcarse co úmeros que va del uo al cco que sugere u orde preestablecdo pero o mplca ua dstaca etre u úmero y otro. c) Medcó de Itervalo. La medcó de tervalo posee las característcas de la medcó omal y ordal. Establece la dstaca etre ua medda y otra. La escala de tervalo se aplca a varables cotuas pero carece de u puto cero absoluto. El ejemplo más represetatvo de este tpo de medcó es u termómetro, cuado regstra cero grados cetígrados de temperatura dca el vel de cogelacó del agua y cuado regstra 00 grados cetígrados dca el vel de ebullcó, el puto cero es arbtraro o real, lo que sgca que e este puto o hay auseca de temperatura. d) Medcó de Razó. Ua escala de medcó de razó cluye las característcas de los tres aterores veles de medcó (omal, ordal e tervalo). Determa la dstaca eacta etre los tervalos de ua categoría. Adcoalmete tee u puto cero absoluto, es decr, e el puto cero o este la característca o atrbuto que se mde. Las varables de greso, edad, úmero de hjos, etc. so ejemplos de este tpo de escala. El vel de medcó de razó se aplca tato a varables cotuas como dscretas. ORGANIZACIÓN DE DATOS Muchas veces uo se preguta, para qué srve las ecuestas que a veces se hace e la calle?, Cómo saber s ua estacó de rado se escucha más que otra?, Cuál caddato puede gaar? La respuesta se comeza co la recaudacó de datos. Los datos so ormacó que se recoge, esto puede ser opó de las persoas sobre u tema, edad o seo de ecuestados, dóde vve, cuátas persoas vve e ua casa, qué tpo de sagre tee u grupo de persoas, etc. Hay datos que puede ser de mucha utldad a deretes proesoales e la toma de decsoes, para resolver problemas o para mostrar resultados de vestgacoes. Ua vez que se haya recogdo toda la ormacó, se procede a crear ua base de datos, dode se regstra todos los datos obtedos. Alguas veces, s los datos so muy complcados, se codca, esto quere decr que se le coloca ua palabra clave que detca u título muy largo. Cuado ya está elaborada la base de datos se parece a ua tabla.

4 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Es mportate recordar que uca se coloca las tablas y las grácas jutos, porque e realdad dce lo msmo, corretemete se utlza o ua tabla y su aálss, o ua gráca y su aálss. Por ejemplo, supógase que se ha pregutado a u cojuto de persoas: qué opó tee acerca de la stalacó de playas e la Cudad de Méco e que el Gobero del Dstrto Federal ha hecho a partr de 007? Las respuestas se ecuetra e ua escala que va de a 9, dode represeta u total desacuerdo co la medda metras que 9 quere sgcar u acuerdo total. El resultado de la medcó es el sguete: Tabla : Cojuto orgal de datos S se platea las sguetes pregutas: Cuátas persoas uero ecuestadas? Cuál ue la respuesta más recuete? Cuátas persoas tee, como mámo, ua acttud de cuatro putos e la escala? (es decr, cuátas persoas se ecuetra e desacuerdo co la medda?) Es dícl respoder a las tres cuestoes. Cuál es el problema? Las persoas tee dcultades para procesar o teer e cueta mucha ormacó de orma smultaea. La tabla muestra demasados datos y es precso cotar co mucha paceca y ua buea vsta para respoder a las pregutas aterores co segurdad. Así pues, qué se puede hacer? Ua solucó alteratva al repaso repettvo de la tabla es orgazar los datos de tal orma que tega ua dsposcó que aclte la lectura. E este setdo, la prmera accó a realzar es ordear los datos desde el que posee el valor más pequeño hasta el que cueta co el valor mayor. Obsérvese el resultado: Tabla : Cojuto ordeado de datos Se logra ua gaaca al pasar de la tabla a la tabla. Parece que ésta es más ácl de terpretar. No ha desaparecdo gua ormacó, el úco cambo está e su ordeacó. No obstate, la solucó es parcal, puesto que aú debe ser mejorada (sgue sedo dícl respoder a las pregutas). Geeralmete, el ttulo de la tabla va ecma de ésta, metras que el título de ua gura va por debajo. El título, de ambas, sólo lleva la prmera palabra e mayúscula y o va subrayado.

5 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa S se observa la tabla, cotee ua sucesó de datos co valores repetdos. Por ejemplo, el valor se ecuetra presete e ses ocasoes. Ua buea estratega es mostrar ua sola vez cada valor y hacerlo segur por su recueca, es decr, por la catdad de ocasoes e que aparece, tal como lo muestra la tabla : Tabla : Cojuto ordeado de valores y recuecas (), (), (), (0), (0), (), 7 (), 8 (9), 9 () Aú se puede dspoer la ormacó de tal orma que resulte ácl respoder a pregutas que se ha plateado. E la tabla se ha matedo la msma dsposcó que e la tabla. Esto es ecesaro. Para dspoer la ormacó de maera óptma, se geera ua tabla que tega dos columas. E la columa prmera se presetará los valores, que se represeta co la letra metras que e la seguda columa se dspodrá las recuecas, que se represeta co la letra. Obsérvese el resultado e la tabla : Tabla : Tabla de recuecas Total: 0 Ahora sí, la tabla de recuecas permte respoder a las pregutas plateadas co acldad: Cuátas persoas uero ecuestadas? Solucó: 0 Cuál ue la respuesta más recuete? Solucó: (0 datos) Cuátas persoas tee, como mámo, ua acttud de cuatro putos e la escala? Solucó: 9 (+++0) ACUMULACIÓN DE FRECUENCIAS No todas las pregutas que se ha realzado sobre el msmo cojuto de datos ha egdo el msmo esuerzo. Así, metras que las pregutas sobre el úmero de datos y el valor más recuete se ha respoddo co ua lectura de la tabla, la tercera preguta ha ecestado de alguas operacoes: Cuátas persoas tee, como mámo, ua acttud de cuatro putos e la escala? Solucó: 9 (+++0). Para respoder a esa preguta se ha tedo que realzar ua suma: la de todas las recuecas compreddas etre el prmer valor de la tabla y el valor que teresa, ambos clusve. Esta catdad al recbe el ombre de recueca acumulada. Muchas terrogates requere respuestas que se basa e las recuecas acumuladas. Es recomedable escrbr esta ueva ormacó e la tabla, de tal orma que permta respuestas drectas e el uturo. Véase el resultado:

6 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Tabla : Tabla de recuecas de tres columas F Total: 0 Imagíese ahora que se ha pregutado a alumos por el ombre de la coloa e la que habta, obteedo los sguetes resultados: Álamos, Portales, Nápoles, Mcoac, Mcoac, Plateros, Nápoles, Florda, Álamos, Tepeaca, Coplco, Nápoles, Florda, Álamos, Portales, Coplco, Tepeaca, Portales, Tepeaca, Florda, Tepeaca, Álamos, Plateros, Coplco, Plateros S se costruye ua tabla de recuecas co la ormacó sobre las coloas e que tee su domclo, utlzado la sguete equvaleca: Coloa Álamos Coplco Florda Mcoac Nápoles Portales Plateros Tepeaca Códgo 7 8 Ua posbldad es esta: Tabla : Dstrbucó por coloas Coloa Códgo F Álamos Coplco Florda Mcoac Nápoles Portales Plateros Tepeaca

7 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa S embargo, al aalzar esta tabla se cocluye: qué setdo tee acumular recuecas e el problema que se ha plateado sobre las coloas? Por ejemplo, o tee gú sgcado la catdad que acompaña al valor (Mcoac). La dereca esecal etre el problema de las coloas y el de las respuestas a la escala de acuerdo, se ecuetra e el tpo de varable. E el caso de las coloas, éstas o puede ordearse e ucó de ser más o ser meos "coloa de domclo" (se puede ordear segú úmero de habtates, etesó, alttud meda, etc. Pero o e ucó de ser más o ser meos coloa). Por lo tato, la acumulacó de recuecas sólo procede s los valores de la varable que se está estudado se puede ordear. Así, la respuesta correcta al problema debe ser: Coloa Códgo Álamos Coplco Florda Mcoac Nápoles Portales Plateros Tepeaca 7 8 FRECUENCIAS RELATIVAS S se retoma el problema de las acttudes rete a la stalacó de playas, la tabla de recuecas o terma dode se dejó. Se puede añadr más ormacó útl e la que se basa respuestas para otras pregutas. Por ejemplo Cuátas persoas ha respoddo co ua acttud meda (valor )? Solucó: 0. Ahora, cosdérese la sguete tabla co datos uevos: Tabla 7: Nueva tabla de recuecas Total,0 S se trata de respoder a la msma preguta, ocurre lo sguete: E la tabla 7 ha cambado el cojuto de datos. Ahora so,0, rete a los 0 de la ecuesta ateror. Ua msma recueca, e este caso 0, o tee la msma terpretacó e ambas tablas. Qué ha cambado? La mportaca relatva de la recueca, puesto que 0 rete a N 0 es derete a 0 rete a N, 0. De hecho, el valor pasa de ser el más recuete al meos recuete. 7

8 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa La solucó se ecuetra e epresar las recuecas e térmos relatvos e vez de absolutos. Esto es precsamete lo que cosgue las proporcoes: epresar ua catdad co respecto al total. Así, se que surge de hacer la operacó: añade ua ueva columa, coteedo las recuecas relatvas ( ) r r. Obsérvese el resultado comparado el obtedo co cada ua de las dos tablas aectadas e N este problema (tablas y 7): Tabla 8: Comparacó etre dos tablas de recuecas Nuevos datos r Datos aterores r Total, Nótese que el valor pasa de cotar co ua recueca relatva r 0. 7 (más de la cuarta parte) a r 0.0 al ser comparado, respectvamete, co u total de N 0 a N, 0. U aspecto de terés se ecuetra e la la de los totales. El resultado es.0000 e los dos casos. Esto debe ocurrr sempre. Lo que se hace al traducr las recuecas absolutas a las relatvas es ucar el reerete. E el cojuto de datos de la tabla, el reerete absoluto es 0. E el cojuto de datos de la tabla 7, el reerete absoluto es,0. No se puede comparar recuecas de cojutos de datos deretes porque los reeretes so deretes. Para que la comparacó sea actble es ecesaro ucar. Dado que las proporcoes se epresa e tatos por uo, es posble comparar recuecas etre tablas. E otros térmos: para terpretar ua recueca absoluta se ecesta coocer el úmero total de datos puesto que, segú se ha vsto, el úmero de datos codcoa la mportaca de ua recueca. Pero para terpretar ua recueca relatva epresada como ua proporcó o es ecesaro coocer el úmero total de datos, puesto que aquí el reerete es costate de ua tabla a otra: S embargo, o se termó el proceso de erquecmeto de la tabla. Las proporcoes se epresa sempre e catdades que se stúa etre 0 y. Es decr, las proporcoes so úmeros decmales. Y las persoas també se sete cómodas co las catdades decmales. TABLAS DE FRECUENCIAS Por lo geeral, cuado se epoe los resultados de ua ecuesta e u medo de comucacó, lo habtual es utlzar otro tpo de recuecas relatvas: los porcetajes. El prcpo que rge la utlzacó de los porcetajes es el msmo que para las proporcoes: utlzar u reerete jo de tal orma que o sea ecesaro cotar co el úmero total de datos para terpretar ua recueca. La dereca etre los porcetajes y las proporcoes es que los prmeros utlza el reerete 00, metras que las proporcoes utlza el. 8

9 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Etoces, cosegur los porcetajes es muy ácl s se cueta co las proporcoes: bastará co multplcar a éstas por 00: Tabla 9: Tablas de recuecas co porcetajes r % Total Por lo que se puede completar també la tabla que se reere a las coloas de los domclos: Tabla 0: Dstrbucó por coloas Provca Códgo Álamos Coplco Florda Mcoac Nápoles Portales Plateros Tepeaca 7 8 r % Regresado a la ecuesta de las playas, la varable acttud rete al subsdo admte orde etre sus valores. Por lo tato, para completar la tabla, bastará co acumular sus recuecas: Tabla : Tabla de Frecuecas completa r % F F r Total: % acumulado

10 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa TIPOS DE GRÁFICAS Ua gráca es la represetacó de datos, geeralmete umércos, medate líeas, superces o símbolos, para ver la relacó que esos datos guarda etre sí. Srve para aalzar el comportameto de u proceso, o u cojuto de elemetos o sgos que permte la terpretacó de u eómeo. Las grácas se puede agrupar e cco tpos: GRÁFICAS DE LÍNEAS Gráca smple de líeas Muestra la relacó etre dos varables cuattatvas. E el eje horzotal () se gráca la varable depedete e el eje vertcal (y). Las marcas de los cuadrates e los ejes marca las udades de medda; las escalas e los ejes puede ser leales, logarítmcas o ambas. Cuado los datos se relacoa etre sí, es decr, cuado podemos decr que este certa cotudad etre las observacoes (como por ejemplo el crecmeto poblacoal, la evolucó del peso o estatura de ua persoa a través del tempo, el desempeño académco de u estudate a lo largo de su struccó escolar, las varacoes presetadas e la medcó realzada e algú epermeto cada segudo o muto) se puede utlzar las grácas de líeas, que cosste e ua sere de putos trazados e las terseccoes de las marcas de clase y las recuecas de cada ua, uédose cosecutvamete co líeas. Aquí se muestra el comportameto de los promedos escolares ales de dos alumos (Dael y Blaca) a lo largo de cco observacoes auales: Polígoo de recuecas Otra orma de represetacó de uso meos comú, y muy parecda a las grácas de líeas, es el polígoo de recuecas. La dereca udametal etre ambas es que e el polígoo de recuecas se añade dos clases co recuecas cero: ua ates de la prmera clase co datos y otra después de la últma. El resultado es que se "sujeta" la líea por ambos etremos al eje horzotal y lo que podría ser ua líea separada del eje se coverte, juto co éste, e u polígoo. El sguete polígoo de recuecas muestra los goles aotados por u delatero e u equpo de útbol e las temporadas de 000 a 007: 0

11 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Ua gráca smlar al polígoo de recuecas es la ojva, pero ésta se obtee de aplcar parcalmete la msma técca a ua dstrbucó acumulatva y de gual maera que éstas, este las ojvas mayor que y las ojvas meor que. La dereca udametal etre las ojvas y los polígoos de recuecas es que e el eje horzotal () e lugar de colocar las marcas de clase se coloca las roteras de clase. Para el caso de la ojva mayor que es la rotera meor y para la ojva meor que, la mayor. Los dos casos posbles so: Caso. Para la ojva mayor que, el etremo zquerdo de la ojva o se "amarra" al eje. De u grupo de 0 estudates, 0 acredtaro la matera de Estadístca y Probabldad y se agruparo sus calcacoes desde hasta 0 e tervalos de 0.. Se obtuvo la recueca acumulada hasta el tervalo de clase mayor de 9.. De la gráca de ojva mayor puede verse que el 0% de los estudates sacaro 9 o más de calcacó. Calcacó mayor que Número de estudates Frecueca acumulada Caso. Para la ojva meor que, el etremo derecho o se amarra al eje. Se tomaro las estaturas de 0 estudates e u grupo del platel 8 de la ENP y se agruparo por tervalos de cetímetros, cado e.m y termado e.90m. Se obtuvo la recueca acumulada hasta el tervalo de clase meor de.90m. De la gráca de ojva meor puede verse que el 90% de los estudates mde meos de.80 metros.

12 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Altura (m) meor que Número de estudates Frecueca acumulada GRÁFICAS DE BARRAS O HISTOGRAMAS Se emplea cuado la varable depedete es categórca. Cada barra sólda, ya sea vertcal u horzotal represeta u tpo de dato. Cuado es ecesaro represetar dvsoes de datos se utlza u gráca de barras subdvddas. Los hstogramas o muestra recuecas acumuladas, so preerbles para el tratameto de datos cuattatvos y la barra co mayor altura represeta la mayor recueca. La sumatora de las alturas de las columas equvale al 00% de los datos. Barras vertcales E el eje horzotal (o de las abscsas) se represeta los tervalos de los datos, marcádose de maera cotua las roteras etre cada uo de éstos. De esta maera, el hstograma está compuesto por rectágulos, cuyo úmero cocde co la catdad de tervalos cosderados, el acho de la base de cada uo de esos rectágulos es la msma sempre y cocde co las roteras de los tervalos, y la altura correspode a la recueca de cada tervalo. E este tpo de grácas es recomedable: El empleo de sombreado o colores aclta la derecacó de las barras. El puto cero se dca e el eje de ordeadas y se debe establecer las udades e los ejes. La logtud de los ejes debe ser sucete para acomodar la etesó de la barra. La gráca sguete represeta el úmero de campeoatos de útbol que ha gaado los países e las 8 edcoes desde 90 hasta 00:

13 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Es mportate otar que resulta dícl utlzar este tpo de represetacó cuado este tervalos abertos o cuado los tervalos o so guales etre sí. Barras horzotales Se parece mucho a las grácas de columas, co la salvedad mportate de que la ucó de los ejes se tercamba y el eje horzotal queda destado a las recuecas y el eje vertcal a las clases. Es muy comú que este tpo de grácos se utlce para lustrar el tamaño de ua poblacó dvdda e estratos como, por ejemplo, so sus edades. La sguete gráca preseta la dstrbucó de las edades de los ños que estuda e ua escuela prmara: A este tpo de grácos e partcular se le llama prámde de edades por su orma. Grácas de columas bdmesoales U tpo de gráco muy parecdo al hstograma es la gráca de columas. Para este tpo de gráca, elaboradas co rectágulos també, se pde que sus bases sea del msmo acho y sus alturas equvaletes co las recuecas. Para este tpo, a dereca del hstograma, o es ecesaro teer ua escala horzotal cotua, por lo que los rectágulos (o barras) o tee que aparecer jutas etre sí. Otra observacó pertete es que se puede represetar e la msma gráca, utlzado las msmas escalas horzotales y vertcales, varos datos correspodetes a las msmas varables producto de varas observacoes. Esto produce ua gráca co varas seres, correspodedo cada ua de ellas a cada observacó de la muestra (o poblacó), y teédose ua gráca compuesta. Es coveete que cada sere de datos (u observacoes) sea coloreados de gual maera etre sí, pero dstta de las demás. La gráca sguete muestra el comportameto de los mutos de retraso que acumularo tres trabajadores de ua teda durate cuatro semaas. Las seres está coloreadas co derete color para mostrar el comportameto tato dvdual, como de cada uo de los trabajadores co respecto a los demás.

14 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Grácas de columas trdmesoales Este la posbldad, y s los recursos lo permte, de represetar grácos compuestos de ua maera "trdmesoal", es decr, co grácos que posea o sólo dos ejes, so tres; y e los que los rectágulos so susttudos por prsmas de base rectagular (ocasoalmete el sotware e el mercado permte utlzar prsmas cuya base so polígoos regulares de más de cuatro lados, prámdes o cldros). E la gráca se puede aprecar el úmero de medallas que ha gaado cco países e las edcoes de los Juegos Paamercaos de 999 a 007: E este tpo de grácas puede complcarse mucho s hay demasados datos ya que la ormacó es meos legble. GRÁFICAS CIRCULARES Deomadas també gráca de pastel, se utlza para mostrar porcetajes y proporcoes. El úmero de elemetos comparados detro de u gráco crcular, o debe ser más de 7, ordeado los segmetos de mayor a meor, cado co el más amplo a partr de las como e u reloj. Ua maera seclla de derecar los segmetos es sombreádolos co colores cotrastates.

15 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Este tpo de grácas es muy útl cuado lo que se desea es resaltar las proporcoes que represeta alguos subcojutos co respecto al total, es decr, cuado se está usado ua escala categórca. La sguete gráca lustra los gustos muscales de u grupo de jóvees de la Facultad de Cotaduría: De hecho, s se desea resaltar ua de las categorías que se preseta, es váldo tomar esa "rebaada" de la gráca y separarla de las demás: GRÁFICAS DE DISPERSIÓN Ua gráca de dspersó tee dos ejes de valores, mostrado u cojuto de datos umércos e el eje y otro e el eje y. Comba estos valores e putos de datos úcos y los muestra e tervalos uormes o agrupacoes. Los grácos de dspersó se utlza ormalmete para mostrar y comparar valores umércos, como datos cetícos, estadístcos y de geería. Este tpo de grácas se usa cuado: Desea cambar la escala del eje horzotal. Desea covertr dcho eje e ua escala logarítmca. Los espacos etre los valores del eje horzotal o so uormes. Hay muchos putos de datos e el eje horzotal.

16 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa La sguete gráca de dspersó compara temperaturas e u día e la Cudad de Méco. E el eje de horzotal mde la hora de medcó y el eje vertcal mde las temperaturas prevstas y las temperaturas reales. Es teresate observar que los putos parece segur ua certa tedeca e ua curva magara. Uo de los usos de este tpo de grácas es precsamete ecotrar s las observacoes sgue algú patró (leal, epoecal, polomal, logarítmca, etc.) o s este valores atípcos. GRÁFICAS DE BURBUJAS U tpo de gráco smlar a las grácas de dspersó so las grácas de burbujas, e las cuales se preseta la dspersó de las observacoes de la msma orma pero se le añade la posbldad de vsualzar otra varable represetada e el tamaño del puto, pues éstos se coverte e círculos (burbujas) co rados proporcoales a las magtudes que represeta. La gráca sguete se puede aprecar el volume de vetas y el úmero de productos de sete artículos (A- a A-7) e ua ábrca. Además, se puede ver áclmete la partcpacó o cuota de mercado de cada artículo a través del tamaño de cada burbuja, que correspode a la cra que está después de cada coma:

17 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa PICTOGRAMAS So grácos co dbujos alusvos al carácter que se está estudado y cuyo tamaño es proporcoal a las recuecas que represeta. Se emplea para represetar derecas cuattatvas smples etre grupos. Los símbolos utlzados para represetar valores détcos debe ser de gual dmesó. Actualmete muchos medos masvos de comucacó utlza grácos para lustrar resultados de algua vestgacó. Regularmete se utlza dbujos llamatvos para captar el terés del públco. El pctograma sguete represeta la poblacó de los Estados Udos de 90 a 990 (cada gura represeta a dos mlloes de habtates). MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL INTRODUCCIÓN A LA SUMATORIA Por sumatora se etede la suma de u cojuto to de úmeros, que se deota por la letra sgma mayúscula : k + S k + k + + k k + + k + k dode: S es magtud resultate de la suma. es la catdad de valores a sumar. k es puto cal de la sumatora. k + es puto al de la sumatora. es el ídce de la suma, que varía etre k y k +. es el valor de la magtud objeto de suma e el puto. k E el caso partcular e que la sumatora empece e co el prmer valor de la sere y terme e el últmo, la epresó se smplca a: S

18 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Dados los valores de :,, 8,, 9,,,,, la sumatora para: Los prmeros cuatro térmos es: S Etre el segudo térmo y el seto: S Todos los térmos: 9 S Dada la sguete tabla: Valor de varable Valor de la varable y y - y - y y 0 y Obteer: a) Solucó. + + b) Solucó. y c) Solucó. ( ) y d) ( y ) Solucó. 8

19 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa y e) 7 Solucó. 7 ( ) + ( ) + ( ) + ( 0) + ( ) y y [ ( ) + ( ) + ( ) + ( 0) + ( ) ] 7( ) 7( ) MEDIA, MEDIANA Y MODA Cuado se tee u grupo de observacoes, se desea descrbrlo a través de u sólo úmero. Para tal, o se usa el valor más elevado el valor más pequeño como úco represetate, ya que sólo represeta los etremos. Ua de las propedades más sobresaletes de la dstrbucó de datos es su tedeca a acumularse haca el cetro de la msma. Esta característca se deoma tedeca cetral. Las meddas de tedeca cetral más usuales so: la meda artmétca, la medaa y la moda. MEDIA ARITMÉTICA La meda artmétca de valores, es gual a la suma de todos ellos dvdda etre. Se deota por. Esto es: Cuado los datos tee más de ua recueca, para obteer la meda artmétca se agrega otra columa a la tabla estadístca co el producto de las observacoes y sus recuecas. Es decr, s se cueta co ua dstrbucó de datos etoces se aplca la órmula: Co los datos: 0, 8,,, 0,, hallar la meda artmétca. Solucó Medate la sguete dstrbucó de recuecas que muestra las estaturas e metros de los alumos de u grupo de la Facultad de Cotaduría y Admstracó, hallar la meda artmétca. 9

20 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Solucó. Costruyedo ua tabla: Estaturas [m] Las característcas de la meda artmétca so: Estaturas [m] Total: Es ua medda totalmete umérca o sea sólo puede calcularse e datos de característcas cuattatvas.. E su cálculo se toma e cueta todos los valores de la varable.. Es lógca desde el puto de vsta algebraco.. La meda artmétca es altamete aectada por valores etremos.. No puede ser calculada e dstrbucoes de recueca que tega clases abertas.. La meda artmétca es úca, o sea, u cojuto de datos umércos tee ua y sólo ua meda artmétca. MEDIANA La medaa es el puto cetral de ua sere de datos ordeados de orma ascedete o descedete. De acuerdo al úmero de casos o datos, hay dos ormas para calcular la medaa: para úmero mpar y para úmero par: 0

21 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Número mpar de datos ordeados de meor a mayor o de mayor a meor: la medaa es el valor que queda justo al cetro. Obteer la medaa de los sguetes datos:, 7,, 9,,,. Solucó. Ordeado de orma ascedete:,,,,, 7, 9. El valor que queda al cetro es el, porque hay tres datos ates y tres datos después de él, etoces la medaa es. Número de datos par: e este caso se busca la meda artmétca etre los dos valores cetrales. Obteer la medaa de los sguetes datos: -,, 8,,, -, 9, 0, -,. Solucó. Ordeado de orma ascedete: -, -, -,,,, 9, 0,, 8. Los valores cetrales so y. Su meda artmétca es: +. E este caso, la medaa de este cojuto o perteece al cojuto de datos. Las característcas de la medaa so:. E su cálculo o se cluye todos los valores de la varable.. La Medaa o es aectada por valores etremos.. Puede ser calculada e dstrbucoes de recueca co clases abertas.. No es lógca desde el puto de vsta algebraco. MODA La moda de u cojuto de datos umércos es el valor que más se repte, es decr, el que tee el mayor úmero de recuecas absolutas. La moda puede ser o úca e clusve o estr. La moda es ua medda de tedeca cetral muy mportate, porque permte placar, orgazar y producr para satsacer las ecesdades de la mayoría. Obteer la moda de los sguetes datos: -,, -, 0,, -, -,,, -, 0,. Solucó. Ordeado de orma ascedete: -, -, -, -, -, 0, 0,,,,,. El valor que más se repte es el -, por lo tato ese valor es su moda. Obteer la moda de los sguetes datos:,, -, -,, -, -,, 0, -,,. Solucó. Ordeado de orma ascedete: -, -, -, -, -, 0,,,,,,. Ngú valor se repte es, decr su moda o este. E ua teda, 8 empleados preseta la sguete ormacó:

22 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Horas laboradas Frecueca por día Cuál es la moda de las horas laboradas por los empleados? Solucó. Hay dos valores co recueca. Etoces, se cocluye que hay más de ua moda. La mayor recueca so 8 y 9 horas daras de trabajo. Las característcas de la moda so:. E su cálculo o se cluye todos los valores de la varable.. El valor de la moda puede ser aectado grademete por el método de desgacó de los tervalos de clases.. No está deda algebracamete.. Puede ser calculada e dstrbucoes de recueca que tega clases abertas.. No es aectada por valores etremos. MEDIA PONDERADA La meda poderada de u cojuto de valores de ua varable a los que se ha asgado, respectvamete, ua poderacó se calcula medate la órmula: p p p p + p + p + p p + p + p + p Los valores toma la varable. p, p, p, p dca la mportaca que se quere dar a cada uo de los valores que U proesor decde que la calcacó al de u alumo costará del 0% del promedo de los eámees, el 0% de promedo de tareas y el 0% de partcpacó e clase a lo largo del año escolar. S u alumo tee. de promedo de eámees, 7. de tareas y 7.8 promedo de partcpacoes. Cuál será su calcacó al? Solucó.. ( 0. ) + 7. ( 0. ) ( 0. ) p S el proesor sólo tomara e cueta los eámees, el alumo o aprobaría. S embargo al darle mportaca a las tareas y a su partcpacó e clase, esto hace que al al cosga aprobar co la meda poderada. Su característca prcpal es que su resultado depede de la mportaca o peso de cada uo de los valores asgado por que eectúa el cálculo.

23 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa MEDIA GEOMÉTRICA La meda geométrca de u cojuto de observacoes es la raíz eésma de su producto. El cálculo de la meda geométrca ege que todas las observacoes sea postvas: g Obteer la meda geométrca de los datos:, 8, 9. Solucó. g ( 8)( 9) Las sguetes temperaturas ha sdo tomadas de u epermeto químco:. C,.8 C,.9 C,. C. Determar la temperatura geométrca meda de este proceso. Solucó , C g ( )( )( ) 90 Las característcas de la meda geométrca so:. Se toma e cueta todos los valores de la varable.. Es aectada por valores etremos auque e meor medda que la meda artmétca.. S u dato es cero, su resultado será cero.. No puede ser calculada e dstrbucoes co clase abertas.. Es mayormete usada para promedar tasas de tereses auales, lacó razoes y valores que muestre ua progresó geométrca (eecto multplcatvo sobre el de los años aterores). MEDIA ARMÓNICA La meda armóca se dee como el recíproco de la meda artmétca. Esto es: a Obteer la meda armóca de los datos:, 9, 7,. Solucó. a Las característcas de la meda armóca so:. No se luye por la esteca de determados valores mucho más grades que el resto.. Preseta cambo sesble a valores mucho más pequeños que el cojuto.. No está deda e el caso de la esteca de valores ulos.

24 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa CENTRO DE AMPLITUD Es el valor que queda e medo de los valores mímo y mámo. Esto es: Obteer el cetro de ampltud de los datos sguetes:, -, 8, 7, -,, 9,, 0,. C Solucó. Ordeado los datos para obteer los valores etremos: -, -, 0,,,,, 7, 8, 9. Etoces: 9 + ( ) C a a ma + m MEDIDAS DE DISPERSIÓN La dspersó mde que ta alejados está u cojuto de valores respecto a su meda artmétca. Así, cuato meos dsperso sea el cojuto, más cerca del valor medo se ecotrará sus valores. Este aspecto es de vtal mportaca para el estudo de vestgacoes. Se llama meddas de dspersó aquellas que permte retratar la dstaca de los valores de la varable a u certo valor cetral, o que permte detcar la cocetracó de los datos e u certo sector del recorrdo de la varable. Se trata de coecetes para varables cuattatvas. RANGO El rago de ua dstrbucó es la dereca etre el valor mámo (M) y el valor mímo (m) de la varable estadístca. Para su cálculo, basta co ordear los valores de meor a mayor m de M. S se cooce que el valor promedo de días de espera para obteer ua lceca de maejo, es de días e la oca A, y de 7 días e la oca B, co esta úca ormacó o es posble hacer ua eleccó adecuada. S embargo, s se sabe que e la oca A, el úmero mímo de días de espera es de y el mámo de, metras que e la oca B, los valores so y 8 días respectvamete, se podrá tomar ua decsó más adecuada para acudr a obteer la lceca, gracas a esta ormacó adcoal. Característcas del rago:. A medda que el rago es meor, el grado de represetatvdad de los valores cetrales se cremeta.. A medda que el rago es mayor, la dstrbucó está meos cocetrada o más dspersa.. Su cálculo es etremadamete secllo.. Tee gra aplcacó e procesos de cotrol de caldad.. Tee el coveete de que sólo depede de los valores etremos. De esta orma basta que uo de ellos se separe mucho para que el recorrdo se vea sesblemete aectado.

25 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa MEDIDAS DE POSICIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS: PERCENTILES, DECILES Y CUARTILES Los cuatles so los valores de la dstrbucó que la dvde e partes guales, es decr, e tervalos que comprede el msmo úmero de valores. Cuado la dstrbucó cotee u úmero alto de tervalos o de marcas y se requere obteer u promedo de ua parte de ella. Geeralmete, se dvde la dstrbucó e cuatro, e dez o e ce partes. Los cuatles más usados so los percetles, cuado dvde la dstrbucó e ce partes, los decles, cuado dvde la dstrbucó e dez partes y los cuartles, cuado dvde la dstrbucó e cuatro partes. PERCENTILES Los percetles so úmeros que dvde e 00 partes guales u cojuto de datos ordeados. Es decr, El percetl k es u valor que deja apromadamete el k por ceto de los datos por abajo de él. Se deota por medo de P(k%). E u estudo de gresos mesuales de la poblacó ecoómcamete actva, revela que el percetl 90 (P90) es $0,000. Esto sgca que apromadamete el 90% de las persoas tee gresos que so meores o guales a $0,000, y por supuesto, el 0% tee gresos mayores o guales a dcho valor. E el ejemplo ateror se tomo el percetl 90 pero se podría haber cosderado cualquer valor, por ejemplo, 70, 80 etre otros. Fudametalmete cuado la dstrbucó de recueca es asmétrca, puede ser más útl e ormatvo, resumr la dstrbucó de la varable e estudo, medate los percetles. DECILES Los decles so úmeros que dvde la sucesó de datos ordeados e dez partes porcetualmete guales. So los ueve valores que dvde al cojuto de datos ordeados e dez partes guales, so també u caso partcular de los percetles. Los decles se deota D(), D(),..., D(9), que se lee prmer decl, segudo decl, etc. Dada la sguete dstrbucó de recuecas e el úmero de recámaras e 7 casas e ua coloa de la delegacó Coyoacá, calcular sus decles. Solucó. a El prmer decl es el prmer valor de que cumple co 0 0 > El segudo decl es el prmer valor de que cumple co a 0 0 > a, por lo tato, D ( ), por lo tato, D ( )

26 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa El tercer decl es el prmer valor de que cumple co 0 0 > De maera sucesva se puede obteer los otros decles. La tabla sguete cocetra sus valores: a, por lo tato, D ( ) D a 0 D() >0 D() >0 D() >0 D() >0 D() >0 D() >0 D(7) >70 D(8) D(9) Esto sgca que el 0% de las casas e esa coloa tee ua o dos habtacoes. >80 >90 CUARTILES Los cuartles se dee como los tres valores que dvde la dstrbucó e cuatro partes guales. E térmos de percetles el prmer cuartl Q() cocde co el P() (percetl ); el segudo cuartl Q() co el P(0) o medaa, y el tercer cuartl Q() co el P(7). Etre el prmer y el tercer cuartl se ecuetra el 0% cetral de las observacoes. Dada la sguete dstrbucó de recuecas e el úmero de hjos de ce amlas, calcular sus cuartles. Solucó. a El prmer cuartl es el prmer valor de que cumple co > El segudo cuartl es el prmer valor de que cumple co a 0 > a, por lo tato, Q, por lo tato, Q El tercer cuartl es el prmer valor de que cumple co 7 >, por lo tato, Q Esto sgca que el 7% de las amlas tee cuatro o meos hjos. a RANGO INTERCUARTIL Para u cálculo de ragos más ecete, se elma los valores etremadamete alejados aplcado el rago tercuartl que es ua medda de varabldad adecuada cuado la medda de poscó cetral

27 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa empleada ha sdo la medaa y él se dee como la dereca etre el Tercer Cuartl superor y el Prmer Cuartl, es decr: Rago Itercuartl Q() Q(). Dados los sguetes valores ordeados:,,, 9, 0, 0, (),,,, 7, 7, 7, (8), 0,,,,,, (), 7, 9,,,, 7. Obteer su rago y su rago tercuartl. Solucó. El rago es: 7 Los valores cuartles se muestra etre parétess, es decr,, 8 y, dode, el segudo cuartl es smplemete la medaa. La dspersó calculada a través del rago tercuartl, es e este caso será: Q Q -. Nótese como el la dspersó es mucho meor aplcado el rago tercuartl. DESVIACIÓN MEDIA La desvacó meda es la dvsó de la sumatora del valor absoluto de las dstacas estetes etre cada dato y su meda artmétca y el úmero total de datos: D m Este dcador muestra que ta dsperso se ecuetra u cojuto de datos a u puto de cocetracó. Sea los sguetes datos:,,,,,,,,,,,,,,. Obteer su desvacó meda: Solucó. Se calcula la meda artmétca: m 0 D. El prmer dato (), se aleja de la meda e 0,9 haca la derecha. Para el segudo dato (), se aleja de la meda,9 també haca la derecha. Para el tercer dato (), se aleja de la meda e 0,07 pero haca la zquerda. La suma de las dstacas absolutas es 7., así que los datos se separa de la meda e: D m. Hallar la desvacó meda e la sguete dstrbucó de recuecas. Clases

28 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Solucó. Calculado los putos medos de cada clase y obteedo La meda es: D ( ) : Clases Por lo tato: (. 79) + (. 79) + 9(. 97) + 8 (. 79) + (. 79) m. 98 DESVIACION ESTÁNDAR La desvacó estádar o desvacó típca se dee como la raíz cuadrada de los cuadrados de las desvacoes de los valores de la varable respecto a su meda. Esto es: σ ( ) La desvacó estádar es ua medda estadístca de la dspersó de u grupo o poblacó. Ua gra desvacó estádar dca que la poblacó esta muy dspersa respecto de la meda. Ua desvacó estádar pequeña dca que la poblacó está muy compacta alrededor de la meda. Para el caso de datos agrupados, la desvacó estádar se calcula por medo de: σ ( ) VARIANZA La varaza mde la mayor o meor dspersó de los valores de la varable respecto a la meda artmétca. Cuato mayor sea la varaza mayor dspersó estrá y por tato, meor represetatvdad tedrá la meda artmétca. La varaza se epresa e las msmas udades que la varable aalzada, pero elevadas al cuadrado. 8

29 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa La varaza de u cojuto de datos se dee como el cuadrado de la desvacó estádar y está dada por: v σ Hallar la desvacó estádar y la varaza de la sguete sere de datos: 0, 8,,,,,, 7 Solucó ( ) ( 0 9. ) + ( 8 9. ) + ( 9. ) + ( 9. ) + ( 9. ) + ( 9. ) + ( 9. ) + ( 7 9. ) 8 ( ) σ ( ) 90 8 v σ La varaza es: Hallar la desvacó estádar y la varaza para la sguete dstrbucó de recuecas. Clases Solucó. Calculado los putos medos de cada clase y obteedo La meda es: ( ) 9 : Clases ,0. 0, Por lo tato: 9 ( ) (.. 08) + 8( ) + (.. 08) + 0( ) + (.. 08) ,.

30 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa ( ), 707. σ 9 La varaza es: v σ COEFICIENTE DE VARIACIÓN Cuado se quere comparar el grado de dspersó de dos dstrbucoes que o vee dadas e las msmas udades o que las medas o so guales se utlza el coecete de varacó de Pearso que se dee como el cocete etre la desvacó estádar y el valor absoluto de la meda artmétca: % CV σ 00 Este coecete, represeta el porcetaje que la desvacó estádar cotee a la meda artmétca y por lo tato cuato mayor es CV mayor es la dspersó y meor la represetatvdad de la meda. Hallar el coecete de varacó del ejemplo ateror. Solucó.. CV %. 08 ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE DATOS BIVARIADOS. CORRELACIÓN Hasta ahora se ha estudado los ídces y represetacoes de ua sola varable por dvduo. So del tpo dstrbucó udmesoal. Cuado sobre ua poblacó se estuda smultáeamete los valores de dos varables estadístcas, el cojuto de los pares de valores correspodetes a cada dvduo se deoma dstrbucó bdmesoal. DIAGRAMAS DE DISPRESIÓN La dstrbucó cojuta de dos varables puede epresarse grácamete medate u dagrama de dspersó: e u plao se represeta cada elemeto observado hacedo que sus coordeadas sobre los ejes cartesaos sea los valores que toma las dos varables para esa observacó. La sguete tabla muestra los datos correspodetes a u cojuto de dez pares de observacoes de estaturas de padres e hjos: Padre (m) Hjo (m) El dagrama de dspersó de ese grupo de datos es: 0

31 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Se represeta la varable depedete e el eje de las ordeadas y la depedete e el eje de las abscsas. Cuado se estuda la relacó etre dos varables, ua puede cosderarse causa y la otra resultado o eecto de la prmera, sedo ésta ua decsó teórca. Se cooce como varable eógea, o varable depedete a la que causa el eecto y varable edógea, o varable depedete a la que lo recbe. Por supuesto que deretes cojutos de datos orecerá dagramas deretes. S embargo, se puede cosderar cuatros tpos de dagramas de dspersó, que so los más típcos:. Relacó tal que al aumetar los valores de la varable depedete aumeta (e promedo) el valor de la varable depedete. Cuado esto ocurre hay ua relacó leal postva.. Relacó tal que al aumetar los valores de la varable depedete se reduce (e promedo) el valor de la varable depedete. Cuado esto ocurre hay ua relacó leal egatva.. No hay relacó etre ambas varables. Esto sgca que las varables so depedetes.. Relacó etre ambas, pero o leal. COVARIANZA La covaraza es ua medda de la asocacó leal etre dos varables que resume la ormacó estete e u gráco de dspersó. Es u dcador de s los valores está relacoados etre sí, se smbolza por σ y se calcula por medo de: y σ y ( )( y y) Esta medda, releja la relacó leal que este etre dos varables. El resultado umérco luctúa etre los ragos de [, ]. Al o teer uos límtes establecdos o puede determarse el grado de relacó leal que este etre las dos varables, sólo es posble ver la tedeca. Ua covaraza postva sgca que este ua relacó leal postva etre las dos varables. Es decr, los valores bajos de la varable se asoca co los valores bajos de la varable y, metras los valores altos de se asoca co los valores altos de la varable y. Ua covaraza de egatva sgca que este ua relacó leal versa (egatva) etre las dos varables. Lo que sgca que los valores bajos e se asoca co los valores altos e y, metras los valores altos e se asoca co los valores bajos e y. Ua covaraza de cero se terpreta como la o esteca de ua relacó leal etre las dos varables estudadas.

32 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Dada la tabla de estaturas de 0 padres y 0 hjos, calcular su covaraza e terpretarla. Padre (m) Hjo (m) Solucó. 7. La estatura meda para los padres es:. 7 m. 0 y 7. La estatura meda para los hjos es: y. 7 m. 0 Por lo tato: ( )( y y) ( )(. 7. 7) + ( )( ) + (. 8. 7)(. 7. 7) + (. 7. 7)( ) + ( )( ) + (. 7. 7)( ) + (. 9. 7)(. 7. 7) + (. 7. 7)(. 7. 7) + (. 7. 7)(. 7. 7) + (. 7. 7)(. 7. 7) σ 0 ( )( y y) y Como la covaraza es postva sgca que este ua relacó leal postva etre las dos varables. Es decr, a valores grades de (estaturas de los padres) se asoca valores altos de y (estaturas de los hjos). CORRELACIÓN Es recuete que se estude sobre ua msma poblacó los valores de dos varables estadístcas dsttas, co el de ver s este algua relacó etre ellas, es decr, s los cambos e ua de ellas luye e los valores de la otra. S ocurre esto se dce que las varables está correlacoadas o be que hay correlacó etre ellas. Las calcacoes de 0 alumos e Matemátcas y Físca vee dadas e la sguete tabla: Matemátcas Físca Los pares de valores { (,), (,), (,),, (8,7), (9,0) }, orma la dstrbucó bdmesoal e la que hay certa tedeca a que cuato mejor es la calcacó e Matemátcas, mejor es la de Físca. Represetado los pares de valores e el plao cartesao se obtee su dagrama de dspersó:

33 Facultad de Cotaduría y Admstracó. UNAM Estadístca descrptva Autor: Dr. José Mauel Becerra Esposa Cuado se puede aprecar s los putos se dstrbuye alrededor de ua recta etoces se dce que hay correlacó leal. Ua correlacó leal uerte es cuado la ube (cojuto de putos) se parece mucho a ua recta y será cada vez más débl (o meos uerte) cuado la ube vaya dsemádose co respecto a la recta. E el ejemplo se apreca que la correlacó es bastate uerte, ya que s se traza ua recta, ésta se ubca muy próma a los putos de la ube. La correlacó dca la uerza y la dreccó de ua relacó leal etre dos varables aleatoras. Se cosdera que dos varables cuattatvas está correlacoadas cuado los valores de ua de ellas varía sstemátcamete co respecto a los valores homómos de la otra: s se tee dos varables ( y y ) este correlacó s al aumetar los valores de lo hace també los de y y vceversa. La correlacó etre dos varables o mplca, por sí msma, gua relacó de causaldad La relacó etre dos varables cuattatvas queda represetada medate la líea de mejor ajuste, trazada a partr de la ube de putos. Los tres prcpales compoetes elemetales de ua líea de ajuste y, por lo tato, de ua correlacó, so la uerza, el setdo y la orma:. La uerza mde el grado e que la líea represeta a la ube de putos: s la ube es estrecha y alargada, se represeta por ua líea recta, lo que dca que la relacó es uerte; s la ube de putos tee ua tedeca elíptca o crcular, la relacó es débl.. El setdo mde la varacó de los valores de y co respecto a : s al crecer los valores de lo hace los de y, la relacó es postva; s al crecer los valores de dsmuye los de y, la relacó es egatva.. La orma establece el tpo de líea que dee el mejor ajuste: la líea recta, cuadrátca, polomal, etc.