Algoritmo SCDO en el Principio de Mínimo y la programación dinámica definida sobre dominios finitos

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1 lgortmo SCDO en el Prncpo de Mínmo y la programacón dnámca defnda sobre domnos fntos The Mnmm Prncple on SCDO algorthm and the dynamc programmng defned over fnte domane J Cardllo y F Szget Departamento de Sstemas de Control, Facltad de Ingenería, UL, Mérda 5, Venezela jan@nglave J-C Hennet y J-L Calvet LS-CNRS, Grope MOSIG, Tolose France, Cedex 4 3 Resmen En este artclo se mestra n algortmo basado en cálclo formal, el cal obtene la forma explcta del mínmo sobre fncones defndas sobre domnos fntos Este algortmo es sado para obtener las expresones del control óptmo mínmo) cando se san los métodos del prncpo de mínmo para procesos sobre domnos fntos y la programacón dnámca paramétrca Palabras Claves: Cálclo formal, programacón dnámca, prncpo de mínmo, sstemas a eventos dscretos, mínmos de fncones sobre domnos fntos bstract In ths paper we show an algorthm based on formal calcls, whch obtans the explct form of the mnmm on fnctons defned over fnte doman Ths algorthm s sed to obtan expressons of the optmal control mnmm) when the methods: the prncple of mnmm for processes on fnte doman and the parametrc dynamc programmng are sed eywords: Formal calcls, dynamc programmng, mnmm prncple, dscrete event dynamcal systems, mnmm of fnctons defned over fnte domans Introdccón El so de prncpos en la teoría de optmzacón clásca, genera condcones necesaras, sfcentes o ambas, de tal manera qe al aplcar algún método, algortmo, etc es posble consegr qe para certos valores del domno, las condcones se satsfacen, así, en prncpo, se proporcona la solcón al problema planteado Estas condcones de optmaldad, en la mayoría de los casos cando el problema planteado está descrto sobre domnos dscretos fntos se tradcen en obtener mínmos de fncones defndas sobre domnos dscretos La optmzacón de fncones defndas sobre n conjnto dscreto es generalmente realzada pramente por algortmos enmeratvos nmércos, con severas lmtacones en el número de varables Como n enfoqe alternatvo, aqí proponemos el so de la comptacón smbólca para obtener teratvamente la solcón óptma formal de n problema de mnmzacón sobre n conjnto fnto de varables Booleanas Una fórmla explícta de la optmzacón de na varable es prmero obtenda, sando como la base del domno Booleano de na varable al conjnto {-,}, en vez del conjnto {,} Entonces el cálclo smbólco provee fórmlas explíctas para el caso Booleano mltvarable Los domnos fntos de varables enteras peden ser transformados en n domno Booleano fnto con la ayda de na Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4

2 Cardllo y col representacón dádca de enteros dconalmente, el polnomo de nterpolacón de Lagrange provee na representacón general de fncones defnda sobre conjntos dscretos Una combnacón de estas herramentas genera na representacón canónca de fncones defndas sobre conjntos dscretos La aplcacón de esta representacón canónca de fncones es caracterzada por na secenca de matrces, las cales exhben algnas propedades qe se resaltan en este artíclo El so de estas propedades redce consderablemente la complejdad comptaconal del método Este método alternatvo con lleva a n algortmo el cal hemos denomnado SCDO Debdo a la natraleza smbólca del algortmo SCDO es posble ncorporar parámetros exógenos a las fncones a mnmzar sí, na aplcacón drecta del algortmo SCDO, esta dada en la obtencón de na formla explcta para el control óptmo cando: el Prncpo de Mínmo para procesos a eventos dscretos sobre domnos fntos es sado la programacón dnámca sobre domnos fntos es sada En ambos casos parámetros exógenos peden aparecer tanto en las restrccones como en la fncón de costo Optmzacón smbólca de fncones booleanas qí, el mínmo absolto de fncones Booleanas será expresado por na fórmla explícta El so de esta fórmla es propesta como na alternatva a los métodos de búsqeda cláscos Una partclar característca del enfoqe propesto es el so de valores Booleanos en el conjnto {-,} en vez del conjnto {,} como domno bnaro ndmensonal básco sí, el domno de la fncón pede escogerse como n sbconjnto de los vértces del hpercbo dado por: { } D,, f:d R Por convenenca, na fncón defnda sobre D pede ser extendda al conjnto entero del prodcto {,}, de la sgente manera Fjando n x Darbtraro, na apropada extensón de f sobre {,} es dada por: f x : {,} R, f x) f x D, f x x) = f x ) f x {-,} \D Es claro qe el mínmo absolto y los pntos donde es alcanzado, son los msmos para la fncón f y f x, aqí podemos sponer, sn perder generaldad, qe el domno de ) defncón de la fncón Booleana es el conjnto prodcto: {,} Caso monovarable Consderemos, f:{,} R Entonces el lemma sgente pede ser enncado: Lema : El valor mínmo de la fncón Booleana f es obtendo en = Sgn[f) f )] = Sgn[f ) f)], ) donde la fncón Sgn es sada en el sentdo sgente: f t>, Sgnt) = f t<, y, para t=, Sgn)= {-,} es n conjnto valado En el últmo caso, la fncón f obtene s óptmo mínmo o máxmo) en ambos pntos del domno La preba de este lema es obtenda de forma nmedata, consderando los dos posble valores = ó = Caso mltvarable La aplcacón del Lema para el caso vectoral toma la forma de n algortmo el cal contene dos partes La prmera parte es n cálclo smbólco haca atrás, qe consste de pasos como se descrbe abajo En cada paso, el Lema es sado para proveer na expresón smbólca del valor óptmo, L, ) La segnda parte, comenza con el cálclo explícto del valor óptmo de Entonces se procede haca delante para calclar la secenca óptma de los, para =,, Las dos partes del algortmo serán mostradas con detalle a contnacón: Parte Consdere la fncón: = f,,, f,,, Paso : Se defne la fncón parcal: f,, para,, fjos Por el Lema, el mínmo del problema de optmzacón paramétrca es obtendo como: 3) Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4

3 lgortmo SCDO en el Prncpo de Mínmo y la programacón 3,,, -)= Sgnf,,, -,-) - - f,,,,)) - Se defne la fncón f :{,} R, como: f,, -) = f,, -,,, -)) Paso : Sponga qe las fncones: f :{,} R, L,f : {,} R, están generadas como en el paso y ss óptmos smbólcos son alcanzados en:,, ), L,,, ) Entonces, a partr del Lema, la fncón parcal: f,,, ), alcanza s mínmo en: -,,, --)= Sgnf,,, --,-) - f,,,,)), -- y la fncón a ser optmzada pede ser reemplazada por la fncón f :{,} R, defnda por: f,, --) = f,, --, -,, --)) Paso : La últma fncón: f :{,} R, alcanza s valor mínmo en : = = Sgn f ) f ), el cal es n sbconjnto {-,} Por el Lema, nosotros conocemos qe pertenece al conjnto {-,} solamente en el caso de qe f sea constante sobre {-,} Parte : El cálclo de los valores óptmos,, donde f ) alcanza el mínmo, es obtenda por sbsttcón haca delante de la sgente manera: Paso : La condcón ncal es el paso de la parte Paso, para =,, Sponga qe,,, se han calclado Entonces pede ser calclado por la recrsón: ) ) =,, = Sgn f,,, f,,, Dos posbles casos se peden dstngr: Caso : S f ),,,, f,,,,), entonces {,} Caso : S f ),,,, = f,,,,), entonces, los dos posbles valores, - o, son admsbles para Este caso genera dos secencas óptmas las cales son exploradas en el sgente paso sí el número de secencas óptmas se ncrementan en no cada vez qe el caso ocrre 3 Optmzacón sobre domnos fntos Consderemos ahora na fncón real general sobre n N domno dscreto fnto gx) : Dg Z R El caso mltdmensonal N>) pede ser transformado en el caso monovarable por enmeracón El caso de domno fnto es trasladado en el prevamente defndo domno Booleano sando el sgente lema Lema : Consdere el conjnto: {,,, n}, y {,} n <, enton- S es el entero más peqeño tal qe ces la aplcacón:, ψ: {,,, n} {,} es nívocamente defnda por s nversa: =χ,,) = ) ) L ) La preba del Lema sge de la ncdad de la representacón dádca de algún n Ν, para < n La aplcacón del Lema en el caso de n = Car D g ) Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4

4 4 Cardllo y col permte transformar la fncón gx) : Dg R en la fncón ϕ,, ) :{,} R sobre la condcón < n La fncón ϕ,,) es entonces nívocamente defnda por: ϕ=χo g Usando la extensón descrta en la ecacón ), pede sponerse, sn restrccón, qe el domno de ϕ es {,} 3 Representacón polnómca canónca Calqer fncón defnda sobre n domno fnto pede reemplazarse, eqvalentemente, por n polnomo qe toma los msmos valores qe la fncón orgnal en cada pnto dscreto En partclar, calqer fncón Booleana ϕ,,) como la defnda antes pede ser reformlada como na fncón polnómca f,,) sobre n domno D {,}, como: En esta representacón es obvo qe todos los monomos en 6) tene la forma,, L,, α α α donde α, α,, α {,} qí, todas las fncones sobre {,} peden ser representadas como: α α f,, = f L L 7) α,, α α, L, α ) {,} S hacemos la correspondenca entre los valores de la fncón con los vértces del hpercbo {,} en n vector de dmensón, denotado por F %, y ordenamos los vértces del hpercbo en orden lexcográfco tenemos: ) T F % = f, L,,,f, L,,, L,f, L,, hora, ordenamos los coefcentes de la expresón polnómca 7) en n vector de dmensón, en orden ant- lexcográfco, denotado por F, como: T F f, L,f,f, L,f = L L L L Entonces el sgente lema pede ser enncado α α f,, ) = c, 4) α α con n número fnto de secencas α= α,, α) qe pertenezcan a n sbconjnto fnto de N En el caso de na fncón ϕ defnda sobre n domno D {,}, tenemos adconalmente la sgente propedad: Lema 3: F % = F, para =,, con = R = R, y para =, L,, 8) p p = s p es par = s p es mpar Por lo tanto en todos los monomos mplcados en la α α representacón 4), esto es: L, es sfcente consderar α,, α) {,} Tal representacón tambén es provsta por la nterpolacón de Lagrange sobre todos los pntos del domno ε ε ε f,, ) = ϕ ε, ε, L, ε) L ε ε ε f ε ) =ϕ ε ) 5) ε {,} 6) El Lema 3 pede ser probado por ndccón matemátca Para =, na fncón de na varable {,} pede ser escrta: f ) = f f, {,} La relacón entre los coefcentes f, f y los valores f-), f) es dada por la sgente ecacón lneal: ) f f = f f, esto es, F % = F hora, sponemos qe para algna fncón de varables bnaras: F% = F, Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4

5 lgortmo SCDO en el Prncpo de Mínmo y la programacón 5 entonces, para algna fncón f,,, ) con, L,, ) {,}, ε ε ε ) = εlε εlε L, f, L,, f L f L, ε condce a: F% = F F 9) y,,, ε ε ε = εlε εlε f, L,, f L f L, ε condce a: F% = F F, ),,, donde: F% F%, = F%, sí: y F F, = F, F, F % = F F =,, con: = R En la práctca, los parámetros desconocdos son los componentes del vector F, para =, L, Una de las prncpales ventajas de la representacón canónca propesta, es la smplcdad para nvertr la matrz, tal como lo ndca el sgente lema Prevo al annco del lema daremos la fórmla de Shr para nversón de matrces partconadas Sea F M m n m nna matrz partconada en bloqes de la sgente forma: B F = C D con M m my D M n n ambas nvertbles entonces : F BD C) B D C B) = D C BD C D C B Lema 4: La matrz Preba es nvertble, y = El Lema 4 tambén es probado por ndccón matemátca Para =, es dado por: =, entonces, obvamente: = = Spongamos ahora qe satsface lo dcho en el Lema 4 Usando la conocda fórmla de nversón de Shr para bloqes de matrces partconadas, obtenemos: [ ] [ ] = = [ ] [ ] sí la hpótess ndctva mestra: = = Por lo tanto, a partr de los valores del vector F %, el vector de los coefcentes de la representacón F, peden ser calclados por na smple mltplcacón matrz-vector como sge: F = F% ) 3 Optmzacón smbólca Usando la representacón canónca, na fncón general gx) defnda sobre n domno dscreto fnto pede ser Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4

6 6 Cardllo y col optmzada por el algortmo presentado en la seccón El vector de coefcentes de la representacón polnomal f,,,) = f,,,) pede ser calclado drectamente por la fórmla ), notando qe: T F% = f, L,,, f, L,,, L,f, L,, T = g), g), L, g Entonces, pede ser calclado por:,, -)= -Sgnf,, -,-) - f,, -,)) La parte teratva smbólca procede como sge, para,, = L : Ssttr f, L,) en f, L, Evalar f,, ) y obtenemos L sobre el domno D vector F % ) Generar la matrz Resolver el sstema de ecacones lneales: F F = % Generar la representacón polnómca f,, ) coefcentes en el vector F % Calclar L con,, )= -Sgnf,,,) - f,,,)) La segnda parte del algortmo es explícta y procede haca adelante para calclar la secenca óptma,, L, ) como en la parte de la seccón 33 Mejoras en el algortmo smbólco El algortmo qe acaba de descrbrse en 3 es algo dfícl de poner en ejeccón debdo a la necesdad de evalar la fncón f, L,) en todos los vértces del hpercbo {,} para obtener s representacón polnóm- ca canónca Una smplfcacón mportante sería alcanzada s es posble calclar drectamente el vector del coefcente, F, para la teracón, a partr del vector de coefcente, F, en la teracón, sn tener qe calclar el vector de valores F % Tal mejora se pede alcanzar sando el lema sgente T Defncón: x M n mentonces x = x x L x n Lema 5: La secenca de los vectores de coefcentes { F} de las fncones polnómcas canóncas f para =-,, satsface la sgente expresón de recrrenca: F = F, F, ) Preba, La -esma fla de la matrz La fncón f de varables: ε ε f,, = f L L, ; ε, ε ε con ε= ε, L, ε) {,}, fe obtendo de: L ) f,, sbsttyendo en por pede ser expresada por ε ε,,) = Sgn f ; εlεl ε sí, por otra parte: f = f L ε ε ; εlε ε ε ε Sgn f ; εlε L ε f L ε ε ε ; εlε 3) El correspondente vector de valores F % pede ser calclado de 3) por: f, L, ) F% = M f,,) L,F,Sgn,F,,F, = M = F F,Sgn F, F,,,, Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4

7 lgortmo SCDO en el Prncpo de Mínmo y la programacón 7,F,,F, = M, F, F,,, qe es, F% = F F = F,, Por lo tanto, sando el Lema 4, la recrsón del Lema 5 es obtenda mltplcando ambos térmnos de esta galdad por la nversa de Usando el Lema 5, la secenca de vectores de coefcentes { F } pede ser calclado desde el vector de coefcentes { F } de las fncones polnómcas canóncas f,,,) = f,,,) Entonces, las expresones formales óptmas) de las varables,, ) peden ser calcladas ahora como se descrbe en la seccón 3 con la ecacón) sí, al algortmo anterormente descrto lo denomnamos SCDO, por ss sglas en ngles: Symbolc Comptaton n Dscrete Optmzaton La complejdad de la manplacón smbólca de la aplcacón polnómca sobre el espaco prodcto es bajo La sbsttcón en los monomos L, es de complejdad O) La sbsttcón en f,,,) en la representacón canónca es n prodcto escalar del vector de monomos por el vector de coefcentes, el cal sgnfca On) "elementales" operacones, donde n = En este contexto elementales sgnfca, por ejemplo operacones smbólcas con monomos y polnomos de la forma C ε ε, donde ε es n mlt-índce vectororal de, Esa complejdad está tambén On), por lo tanto la complejdad completa de la manplacón smbólca es On) La asgnacón del Sgno es realzada por n prodcto matrz-vector entre escalares qe tambén tenen complejdad On) En relacón con las complejdades menconadas, el algortmo para mnmzar la fncón sobre {,}, tene complejdad On) Teorema: Prncpo de Mínmo de Pontryagn sobre Domnos Fntos PMPDF) Dado: x = f x),), x)=x, n con X X Z U U y na fncón de costo mltobjetva, J x,) =Φ x ) ), con Φ:X Z defnda sobre m m el conjnto los procesos dscretos, bajo el spesto qe Z está eqpada con na relacón de orden dada por : y y Sponga qe, ) x es n proceso óptmo de longtd S ) = ), ) = ),, =, =,, ) ) = v, =, es el control y x,v es la trayectora correspondente, p,v es la solcón de la ecacón adjnta correspondente al par de procesos,, ) x, x,), entonces se cmple qe :,v ),v H,x,,p H,x,v,p 4) Podemos reescrbr la ecacón en dferenca del sstema y la ecacón adjnta en térmnos del Hamltonano como : ) = p,v ) ) = ) ) ) x R H,x,,p, p R H,x,,p,v x,v sí, el dalsmo Hamltonano aqí encontrado es eqvalente al del cálclo de varacones Podemos reescrbr la expresón 4) de dos ndetermnadas como, para todo v exste tal qe: ) )) p,v f x,v f x,, 5) 4 Prncpo de mínmo sobre domnos fntos En el caso de sstemas sobre domnos fntos tal como en el caso de sstemas a eventos dscretos el prncpo de mínmo genera como condcón necesara en cada etapa de la optmzacón, para el caso monocrtero na desgaldad varaconal o n conjnto de desgaldades varaconales para el caso mltcrtero con dos ndetermnadas Tal como lo mestra el sgente teorema: se satsface El obtendo es la solcón al problema de síntess planteado Como es ben sabdo, n únco método para obtener en la desgaldad varaconal 5) no exste Como y v Z podemos, en prncpo, transformar este problema en n problema mn-max sobre el domno {-,} Las solcón se realza en dos fases, en la prmera fase n mínmo es calclado para v y en la segnda fase n máxmo es calclado para En ambos cálclos el algortmo SCDO detallado anterormente es sado Esta solcón es detallada a contnacón Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4

8 8 Cardllo y col 4 lgortmo SCDO en procedmento mn-max Transformar la desgaldad sobre el domno {-,}, na forma posble es sar la representacón dádca sgente: v=/v )v ) v )) y =/ ) ) )) plcar el algortmo SCDO sobre las varables v qí el resltado es na fncón con ndetermnada y parámetro x la fncón obtenda en se le debe calclar el máxmo Para ello se camba el sgno a la fncón y podemos aplcar el algortmo SCDO de nevo plcar el algortmo SCDO sobre las varables, y se obtene na expresón paramétrca en x Invertr la transformacón dádca, para obtener el resltado en coordenadas orgnales parametrzada x, como ) Ψ,x) Observacones: Independentemente de la cardnaldad de y de v, solo el domno orgnal debe ser transformado en el domno {-,} de tal manera qe los resltados son expresados en na secenca de y, parametrzadas por x En prncpo valores mínmos tene qe ser obtendos y qe representan na expresón o valor en coordenadas orgnales de la solcón de la desgaldad varaconal Más de n valor óptmo se obtene, s el caso ocrre como se descrbe en 5 Programacón dnámca parametrca sobre domnos fntos Como el método de Programacón Dnámca es n método de descomposcón drecta en donde se reemplaza la optmzacón de na fncón de varas varables por la resolcón recrsva del problema de optmzacón de na sola varable entonces, la programacón dnámca provee n método de optmzacón mltetapa a través de la resolcón de la ecacón fnconal: J x,p) = mn{ c x,,p) J x p) } = 6) mn c x,,p) J f x,,p),p), { } para = hasta, con la condcón termnal: J x,p) = c x, p) 7) Cláscamente, el control óptmo de la últma etapa y la fncón de costo dada por 7) son evalados prmero y el algortmo de programacón dnámca es aplcado haca atrás, sando la ecacón de optmaldad 6) Por constrccón J x, p), es el costo óptmo para-r-a desde el estado x en perodo En el enfoqe paramétrco propesto, la evalacón se realza en cada etapa ya el método proporcona las expresones formales del control óptmo actal,, y por ende la del costo óptmo actal, J x,p), qe dependen del estado actal y de los parámetros exógenos sí, el método prodce n control realmentado óptmo: x,p), y el valor de la fncón objetvo J x, p) Debdo a la característca dscreta del conjnto de los estados y de las decsones, la resolcón de la ecacón fnconal 6) contene na enmeracón y na evalacón mplíctas de todos los camnos asocados a posbles trayectoras Sn embargo, no hay necesdad de enmerar todos los valores posbles de los parámetros Ésta es la prncpal ventaja de sar expresones smbólcas en forma cerrada del control óptmo y el valor óptmo de la fncón en cada etapa 5 lgortmo para la programacón dnámca paramétrca PDP) El algortmo para el método de programacón dnámca paramétrca PDP), basado en optmzacón smbólca, es como sge: Consdere: J x, p) = c x,p) Para =- to, calclar: [ c x, p) J f x,,p),p)] J x,,p) = Mn 8) Como: g x,,p = c x,,p J f x,,p,p ) se aplca la transformacón dádca TD), lema, esto nos da: L ) = L ) J f x,, L, q,p ),p) g x,,,,p c x,,,,p Se aplca el algortmo SCDO en el paso, y se obtene: q q TD x,p),,q x,p)) x,p) donde: x L,,p) = x,, L,,p) Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4

9 lgortmo SCDO en el Prncpo de Mínmo y la programacón 9 sí, obtenemos: J x,,p) = cx,p) J f x,,p),p) = cx,p) I x,p) x, x, p) = p p )x p )x p g x,, p) = p 5)x p p)x p p 5), G S x es conocdo entonces, podemos calclar = hasta -: x,p) = x,p), = f x,, p), J x,, p) = J x,, p), x y fnalmente obtenemos: = J x,p c x,p J x,p) = c 6 Ejemplo x,p) El ejemplo qe a contnacón se mestra fe tratado por el PMPDF y por PDP Consdere el sgente sstema dnámco dscreto parametrco: x), ), p), x) =, x ) = f ξ con p R, y {, }, X = {, }, X = {, } {, }, U {-,} X = = p )x px 3 p ) f x,,p) = Sgn, Sgn 5p p 5)x p p )x p p ) p 4p 4) f = ) x,, p) Sgn 5p )x 5p )x p p ) 5p 5p La fncón de costo es: ),x ),p) g x),),p) g x),),p) J = G x El problema de control óptmo es defndo por: J = donde: mn ),) G { g x), ), p) g x), ), p) x ), x ), p)}, g x,, p) = p)x 5x p 5p ) p, Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4 Se pede verfer qe para p R : Sgn[ 5p p 5)x)) p p )x ) p p )) p 4p 4] = Sgn [5p )x)) 5p )x) p p )) 5p 5p ] = ) S aplcamos PMPDF tenemos: Las desgaldades varaconales nos qedan Para =: [p 5)x ) p p 5) ] v) ) ) La aplcacón del algortmo SCDO a la desgaldad nos da: pol v), ) ) = [p 5)x) p p 5) ] v) ) ) v ) = Sgn [p 5)x ) p p 5) ] Sbsttyendo la desgaldad nos qeda: pol) polv),) = = ) = Sgn Para =: = p 5)x ) p p 5) Sgn p 5)x ) p p 5) ) ) [p 5)x ) p p 5) ] Sgn p )x )v) px ) 3v) p p 5) ) p p) ) )) Sgn p )x ) ) px ) 3 ) p p)x ) p 5p ) v) ) La aplcacón del algortmo SCDO a la desgaldad nos da:

10 Cardllo y col = Sgn p )x )v) px ) 3v) p pol v), ) p 5) ) p p) ) )) )x ) p 5p ) v) )) -Sgn p )x ) ) px ) 3 ) p p v ) = Sgn p 5) ) p p) Sgn x ) p 4 Sgn p )x ) p ) ) - p)x ) p 5p ) ) = Sgn p 5) ) p p) Sgn p )x ) p Sgn x ) p 4 ) p)x ) S aplcamos PDP tenemos: { g x), ), p) Gx), p) } J x), p) = mn, ) { g x),),p) J x),p)} J x),p) = mn ) Por sbsttcón: { J x),p) mn p 5)x)) p p)x) ) = p p 5)) p 3p ) sí, el control óptmo paramétrco es: [ 5)x) p p 5) ] x),p) = Sgn p El valor óptmo de J es: J x),p) = { p 5)x) p p 5) p p)x) p 3p )} Por sbsttcón, el valor óptmo de J es: J x), p) = mn p)x) 5x) p 5p ) p { { p 5)Sgn p )x) ) } px) 3 p p p 5 p p) [ Sgn p ) x) px) 3 p 3p p, sí, el control óptmo paramétrco es: } } = ) { Sgn x) p 4 Sgn [p )x p } x),p) Sgn p)x) p 5p ) p p) p 5)Sgn p )x) p p p 5 p 5)Sgn x) p 4 p p 5 Entonces, para x ) ) = x ) = Sgn p x ), p), dado: [ )x) ) px) 3 ) p ] J x ), p) = J x ), p), [ 5)x ) p p 5) ] x ),p) = Sgn p Sgn 5p p 5)x ) ) p p )x ) x ) = p p ) ) p 4p 4) Sgn 5p )x ) ) 5p )x ) p p ) ) 5p 5p ) J x ), p) = Gx ), x ), p) Para ambos procedmentos el control óptmo y la trayectora óptma para p= y p=5 es como sge: p=: S x ) = ±, entonces ) = S ) =, entonces ) = x s x ) =, entonces ) = p=5: S x ) = ±, entonces ) = S x ) = ±, entonces 7 Conclsones 5 El algortmo de optmzacón smbólco propesto es aplcable para fncones generales defndas sobre n domno dscreto fnto qí, el mínmo absolto de fncones Booleanas es dado por na fórmla explícta El so de esta fórmla es pro- Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4

11 lgortmo SCDO en el Prncpo de Mínmo y la programacón pesta como na alternatva a los métodos de búsqeda clásca El método está compesto por dos partes La prmera es n cálclo recrsvo haca atrás, en donde se obtenen las expresones mplíctas de las varables Booleanas La segnda parte, nstanca progresvamente las expresones explctas de los valores optmales de las varables La complejdad del algortmo es comparable con los métodos nmércos de tpo enmeratvo Pero el algortmo propesto tene la ventaja de poderse aplcar drectamente a los problemas en los cales tanto las decsones como la fncón de costo asocadas dependen de parámetros exógenos La complejdad de la manplacón smbólca de la aplcacón polnómca sobre el espaco prodcto es bajo La sbsttcón en los monomos L, es de complejdad en la representacón canónca es n prodcto escalar del vector de monomos por el vector de coefcentes, el cal sgnfca On) "elementales" operacones, donde n = En este contexto elementales sgnfca, por ejemplo operacones smbólcas con monomos y polnomos de la forma C ε, ε O) La sbsttcón en f,,, ) donde ε es n mlt-índce vectororal de, Esa complejdad es tambén On), por lo tanto la complejdad completa de la manplacón smbólca es On) La asgnacón del Sgno es realzada por n prodcto matrz-vector entre escalares qe tambén tenen complejdad On) En relacón con las complejdades menconadas, el algortmo para mnmzar la fncón sobre {,}, tene complejdad On) Para obtener la solcón del conjnto de desgaldades varaconales, para el PMPDF, es necesaro aplcar n algortmo basado en el cálclo smbólco Este pede ser consderado como na generalzacón de la ecacón de Rcatt Como nestro método es na extensón de las técncas analítcas aplcadas a sstemas contnos, ella pede ser aplcada a los sstemas contnos e híbrdos sn nngna hpótess adconal de convexdad sobre la parte dscreta del modelo La combnacón de la programacón dnámca con cálclo formal es n enfoqe prometedor en la caso de sstemas dnámcos condcdos por parámetros exógenos de evolcón El hecho de qe pocos atores han explorado este enfoqe es probablemente debdo a la complejdad combnatora de la programacón dnámca, jnto con la dfcltad para proporconar las expresones explíctas para el control óptmo y para la fncón valada Sn embargo, estas lmtacones se peden sperar para algnas clases de los sstemas a dscretos y sstema a eventos dscretos dconalmente presenta na sstancal ventaja sobre el procedmento clásco Referencas Bolehm M, 999, Mse en oevre et évalaton d algorthmes d optmsaton et de commande optmale sr n système de cacl formel, Doctorate thess Bellman R, 957, Dynamc programmng, Prnceston Unversty Press, NY Calderón J, Chacón E y Becerra L, 999, Gas process atomaton n petrolem prodcton, Proc 3rd Internatonal Conference on Indstral tomaton, Montreal Canada, pp 5-7 Cardllo J, Szget F, Hennet J-L y Calvet J-C,, Symbolc comptaton n dscrete optmzaton, LS report, sbmtted to Jornal of Symbolc Comptaton Gmenez JL, 989, Contrbton a la decomposton de systemes nterconectes par programmaton dynamqe non serellle, pplcaton a des systemes de pssance, Doctorate thess, Tolose, France Cardllo-lbarrán JJ, 994, Optmzacón de sstemas a Eventos dscretos sando el prncpo de mínmo de Pontryagn, Thess Msd, Fac Engneerng, UL, Mérda Cardllo-lbarrán JJ y Szget F, 995, symbolc algorthm for the optmzaton of nteger processes over fnte state space, Internatonal Congress on Indstral and ppled Mathematcs, ICIM 95, Hambrg, Germany, 3-7, Jly Larson R y Cast J, 978, Prncple of dynamc programmng, Control and System Theory, Part I and II, Marcel Deer, ISBN Revsta Cenca e Ingenería Vol 5 No 4

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