Problemas Tema 8 Sistemas singulares de Sturm-Liouville. Funciones de Bessel

Transcripción

1 Ingenieo Industial Tansfomadas Integales y Ecuaciones en Deivadas Paciales Cuso 1/11 J.A. Muillo Poblemas Tema 8 Sistemas singulaes de Stum-Liouville. Funciones de Bessel 4. Encuenta la solución de la ecuación del calo en D x,y IR : x y < ρ }, de foma que se veifiquen las siguientes condiciones iniciales y de contono, dadas en coodenadas polaes: 1, ρ/ u,,θ en Ω, ρ/ < < ρ u βu, β > sobe ], [ Ω Ayuda: Ten en cuenta que si µ nm } es la sucesión de las soluciones positivas de la ecuación ρβj n x xj n x, entonces las funciones ψ nm J n µ nm /ρ son una base otogonal del espacio L,ρ, con, de foma que ψ L ρ µ nm n ρ β J nµ nm /µ nm. 1. Dado el siguiente poblema de contono: x φ x xφ x x n } φx φa φb, < a < b 5. Dado el siguiente sistema de Stum-Liouville singula, xu x n x ux λxux, αul βu l x l } con α,β dos númeos eales que no se anulan simultáneamente α β : S-L Encuenta una condición suficiente paa que la única solución del mismo sea la función idénticamente nula. Ayuda: Utiliza las popiedades de las funciones de Bessel.. Encuenta la solución de la ecuación del calo u t c u xx u yy en el conjunto Ω x,y IR : x y < b }, de foma que se veifiquen las siguientes condiciones iniciales y de contono: 1, y > u,x,y en Ω, y u, sobe ], [ Ω Ayuda: Ten en cuenta que, si λ nm } es el conjunto de los ceos positivos de la función de Bessel J n, entonces las funciones φ nm J n λ nm /b son una base otogonal de L,b, siendo. Además: φ nm L b Jn1 λ nm/. 3. Sea la función fx x 1/ J n x. Compueba que f es solución de la ecuación difeencial y encuenta la solución geneal de la misma. φ x φx n 1 4 x φx a Compueba que el opeado Lu xu n x u es autoadjunto en el dominio D u C [,l]; C : Lu L,l; C, αul βu l } es deci, veifica que Lu/v L u/lv L, paa cada u,v D, siendo / L el poducto escala en L,l; C. b Utiliza el apatado anteio paa demosta que todos los autovaloes de S-L son eales y, si además α,β, entonces son todos positivos. c Compueba que λ µ > es un valo popio de S-L si y solamente si lαj n µl βµlj n µl 6. Encuenta la solución de la ecuación del calo en el disco D de cento ceo y adio unidad, suponiéndolo aislado, es deci, de foma que se veifica la condición de contono u, sobe [, [ D dadas en coodenadas polaes. Supón además que la distibución inicial de la tempeatua sobe los puntos de D viene dada po la función κ, si x y δ, y u x,y, en oto caso donde κ > y < δ < son constantes. 7. Resuelve el poblema de difusión de calo en el ecinto, dado en coodenadas polaes, Ω,θ : ρ, < θ < π/}

2 suponiendo que la tempeatua inicial u es conocida y que el bode está aislado, esto es, obtén la solución del poblema: u t t,,θ c u t,,θ ut,,θ u θθt,,θ, t >, < <, < θ < π/ u,,θ u,θ, < < ρ, < θ < π/ u θ t,, u θ t,,π/ u,ρ,θ, t >, < < ρ, < θ < π/ 8. Detemina la función que popociona la tempeatua de un dominio cicula de foma que el calo se tansmite únicamente po conducción, se veifica la ley de enfiamiento de Newton en la fontea y se conoce la distibución de tempeatua u en el instante inicial. En esumen, halla la solución del poblema: u t t,x,y c u xx t,x,y u yy t,x,y, t >, x,y D, u,x,y u x,y, x,y D ut,x,y n βut,x,y, β > t >, x,y D donde D x,y IR : x y < δ }, n es el vecto nomal unitaio a la fontea de D diigido hacia afuea y la función que popociona la condición inicial es de la foma: ρ x y, x y < ρ u x,y, ρ x y < δ con < ρ < δ. Solución: Al se el ecinto cicula usamos coodenadas polaes paa las vaiables espaciales x,y, con lo que el poblema queda efomulado de la foma: u t t,,θ c u t,,θ ut,,θ u θθt,,θ, t >, < < δ, < θ < π u,,θ u,θ, < < δ, < θ < π u t,δ,θ βut,δ,θ, t >, < θ < π teniendo en cuenta que, al se D una cicunfeencia, n cos θ,sen θ y, usando la egla de la cadena, u n u. Además: ρ, < ρ u,θ, ρ < δ Resolvemos ahoa este poblema po el método de sepaación de vaiables, escibiendo: ut,,θ TtRΘθ lo que lleva a escibi la ecuación en deivadas paciales como: T t c Tt R R R R Θ θ Θθ cte Llamando µ a la constante obtenemos las ecuaciones: T t c µ Tt 1 y R R R R µ Θ θ cte Θθ Si llamamos ν a esta nueva constante obtenemos las siguientes ecuaciones difeenciales paa las funciones R y Θ: Θ θ νθθ R R µ ν R 3 Debido a la geometía del dominio D en el que estamos esolviendo el poblema, la función Θ y su deivada deben se π-peiódicas, es deci, Θθ Θθ π, Θ θ Θ θ π, θ Escibiendo el caso paticula θ obtenemos condiciones de contono peiódicas, que junto con nos pemiten plantea el siguiente sistema de Stum-Liouville egula Θ θ νθθ, < θ < π Θ Θπ 4 Θ Θ π Resolviendo la ecuación y teniendo en cuenta las condiciones de contono, se obtiene que los autovaloes de 4 son de la foma ν n n, n. En cuanto a los espacios de autofunciones, se tiene que en el caso ν es de dimensión uno y la función Θ θ 1 5 es una base. Po el contaio, si n 1 el subespacio de autofunciones asociado a ν n n tiene dimensión dos y las funciones Θ n θ cosnθ, Φ n θ sennθ 6 popocionan una base otogonal en L,π. Po ota pate, de la condición de contono de tipo Robin que tenemos en el poblema, se deduce que TtR δθθ βttrδθθ, t >, < θ < π de donde se despende que R δ βrδ. Tenemos, pues, el siguiente sistema de Stum-Liouville asociado a una ecuación de Bessel: R R µ n R, R 7 βrδ R δ

3 paa n. Suponiendo que R φµ, se obtiene de foma inmediata que φ debe se solución de la ecuación de Bessel: s φ s sφs s n φs po lo que existián constantes A,B IR tales que φs AJ n s BY n s. Peo R, y po tanto φ, debe esta definida en ceo, lo que, necesaiamente, implica que B. Además, la condición de contono en δ, genea la ecuación: βj n µδ µj nµδ βδj n µδ µδj nµδ De aquí, si consideamos la sucesión nm } de las soluciones positivas de la ecuación se deduce que µδ nm, y las funciones βδj n J n R nm J n nm /δ 8 son soluciones de 7 y además, como consecuencia del teoema espectal paa sistemas de Bessel dado que βδ >, paa cada n fijo, las funciones R nm } son una base otogonal del espacio de Hilbet L,δ, paa, con R nm L δ nm n β δ nm Jn nm Finalmente, se esuelve ahoa las ecuación 1 con µ nm /δ: T nm t A nm e c nmt/δ 9 A pati de las expesiones 5-6, 8 y 9 se plantea la solución ut,,θ n, e c nm t/δ Anm cosnθ A nm sennθ J n nm /δ A m e c m t/δ J m /δ Paa detemina el valo de las constantes se exige que se cumpla la condición inicial: u,θ u,,θ n, Anm cosnθ A nm sennθ J n nm /δ A m J m /δ Sabemos, po ota pate, que las funciones ϕ nm,θ cosnθj n nm /δ, ψ nm,θ sennθj n nm /δ : n, m 1} 1 son una base otogonal de L Ω, con Ω ],δ[ ],π[ y o, equivalentemente, estas funciones escitas en coodenadas catesianas son una base otogonal de L D al se el sistema tigonomético una base otogonal de L,π y las funciones R nm J n nm /δ una base otogonal de L,δ, como ya hemos comentado con anteioidad. Po tanto, los coeficientes de la expesión 1 seán los coeficientes de Fouie de la función u L Ω especto de la anteio base otogonal, es deci: A nm u /ϕ nm 1 δ π ϕ nm π R L nm u,θcosnθj n nm /δdθ d L 1 π ρ π R nm cosnθ dθ ρ J n nm /δd L }} δ π A nm u /ψ nm 1 ψ nm π R L nm u,θsennθj n nm /δdθ d L 1 π ρ π R nm sennθ dθ ρ J n nm /δd L }} A m u /ϕ m ϕ m L 1 π R m L ρ δ π u,θj m /δdθ d 1 R m ρ J m /δd L Paa calcula la última integal tomamos el cambio de vaiable s m /δ y aplicamos integación po pates, teniendo en cuenta que s n J n s s n J n 1 s: ρ ρ mρ/ q J m /δd ρ δ m δ }} ρ s sj s ds m }} p mρ/δ δ4 m 4 s J 1 sds δ ρ m J m ρ/δ Finalmente, usamos la fómula que popociona la noma de R m paa obtene la expesión de las constantes: A m A nm A nm, n,m 1 4ρ J m ρ/δ m β δ J m m 1 lo que nos popociona la solución del poblema en foma pola: ut,,θ 4ρ J m ρ/δ m β δ J m e c m t/δ J m /δ

4 que fácilmente se eescibe en coodenadas catesianas: ut,x,y 4ρ J m ρ/δ m β δ J m e c m t/δ J m x y /δ función de Bessel J n s y R nm J n λ nm. Con estos elementos se plantea la solución del poblema oiginal 11 como una función de la foma ut,,θ T nm tcosnθj n λ nm S nm tsennθj n λ nm 13 n 9. La función ut, x que descibe la oscilación tansvesal de una membana cicula de adio uno fija en el bode que se deja evoluciona libemente a pati de una posición y una velocidad iniciales veifica el siguiente poblema de contono: } u tt t,x c ux,y, t >, x,y D ut,x,y, t >, x,y D con D x,y IR : x y < 1 }. Obtén, utilizando el método de sepaación de vaiables, la solución del poblema anteio paa las condiciones iniciales: a u,x,y 1 x y u t,x,y, b u,x,y u t,x,y x, x,y D 1. En el caso de oscilaciones fozadas se tiene que ut,x veifica una ecuación de ondas con un témino fuente. Utiliza el método de sepaación de vaiables paa obtene la expesión de las oscilaciones fozadas de una membana elástica fija en los extemos que inicialmente se encuenta en eposo u tt t,x,y c ut,x,y ft,x,y, < t, x,y D ut,x,y, < t, x,y D u,x,y u t,x,y, x,y D con D x,y IR : x y < 1 } y f : [, [ D IR una función abitaia. Solución: En pime luga, al igual que en el poblema 8, se efomula el poblema consideando coodenadas polaes en las vaiables espaciales, obteniendo u tt t,,θ c u t,,θ ut,,θ u θθt,,θ ft,,θ, ut,1,θ, 11 u,,θ u t,,θ, con t >, < < 1 y < θ < π. Seguidamente se sepaan las vaiables en la ecuación homogénea asociada a 11, ut,, θ TtRΘθ, y siguiendo un poceso simila al del poblema 8 se llega al sistema egula de Stum-Liouville 4, cuyos autovaloes son ν n n, n, siendo las bases de autofunciones asociadas Θ θ 1 y Θ n θ cosnθ, Φ n θ sennθ. Po ota pate, la función R asociada a la vaiable adial debe se solución del siguiente sistema de Stum-Liouville de tipo Bessel: R R µ n } R, 1 R, R1 con T nm t, S nm t funciones desconocidas que debemos detemina. Paa ello exigimos que u sea solución de la ecuación de ondas completa en 11, es deci, ft,,θ u tt t,,θ c u t,,θ u t,,θ u θθt,,θ n c T nm tcosnθj nλ nm n c c n S nm tsennθj nλ nm λ nm T nm tcosnθ S nm tsennθj nλ nm λ nm T nm tcosnθ S nm tsennθj nλ nm n T nmtcosnθ S nm tsennθj n λ nm Po ota pate, po definición de las funciones de Bessel, se veifican las elaciones 14 λ nm J nλ nm λ nm J nλ nm λ nm n J n λ nm 15 y combinando 14 con 15 podemos escibi ft,,θ T m t c λ m T mt J m λ m T nm t c λ nm T nmt cosnθj n λ nm S nm t c λ nm S nmt sennθj n λ nm 16 Peo, como ya usamos en el ejecicio 8, la familia de funciones 1 foma una base otogonal de L Ω, con Ω ],1[ ],π[ y, po lo que si definimos f nm t π 1 ft,,θcosnθj n λ nm ddθ n, m 1 17 paa cada n. Siguiendo con el pocedimiento usado en la esolución del poblema 8, se obtiene además que µ λ nm, siendo λ nm } la sucesión de los ceos positivos de la g nm t π 1 ft,,θsennθj n λ nm ddθ n,m 1 18

5 combinando 16 con obtenemos las siguientes ecuaciones difeenciales paa las funciones indeteminadas en la expesión geneal 13: T nm t c λ nm T nmt f nm t, n, m 1 19 S nm t c λ nm S nmt g nm t, n,m 1 Teniendo en cuenta que las ecuaciones anteioes son lineales de oden dos con coeficientes constantes y usando el método de vaiación de paámetos paa calcula soluciones paticulaes de las ecuaciones completas, se tiene que las soluciones geneales de 19 y son, espectivamente, T nm t A nm cos t B nm sen t 1 S nm t A nm cos t B nm sen t 1 sen t τ f nm τdτ 1 sen t τ g nm τdτ Finalmente, paa detemina el valo de las constantes, exigimos que se veifiquen las condiciones iniciales: u,,θ T nm cosnθj n λ nm S nm sennθj n λ nm u t,,θ n n T nmcosnθj n λ nm S nmsennθj n λ nm de donde T nm S nm T nm S nm, y sustituyendo en 1-, A nm A nm B nm B nm, n, m 1 Así pues, la solución de 11 o solución del poblema en foma pola seá con D x,y IR : x y < 1 }, c,α > constantes. Sugeencia: Dada la función auxilia vt,x,y ut,x,y 1 x y αsent detemina el poblema del cual es solución y sigue el pocedimiento del poblema anteio paa obtene su valo. 1. Resuelve la ecuación de Laplace ux,y,z, x,y,z Ω en el cilindo Ω x,y,z IR 3 : x y < 1, 1 < z < 1 } paa las condiciones de contono: ux,y,z, si x y } 1, 1 < z < 1 ux,y,1 ux,y, 1 1 x y, si x y < 1 Sugeencia: Reescibe el poblema en coodenadas ciĺındicas y usa el método de sepaación de vaiables. 13. Resuelve la ecuación de Poisson ux,y,z xy, x,y,z Ω en el cilindo Ω x,y,z IR 3 : x y < 1, 1 < z < 1 } paa las condiciones de contono: ux,y,z, si x y } 1, 1 < z < 1 ux,y,1 ux,y, 1 1 x y, si x y < 1 Sugeencia: Reescibe el poblema en coodenadas ciĺındicas y sigue el pocedimiento del poblema 1. ut,,θ J λ m cλ m J n λ nm cosnθ J n λ nm sennθ sen cλ m t τ f m τdτ sen t τ f nm τdτ sen t τg nm τdτ 11. Detemina las oscilaciones tansvesales de una membana cicula elástica inicialmente en eposo cuya fontea se hace oscila peiódicamente esolviendo el siguiente poblema: u tt t,x,y c ut,x,y, t >, x,y D ut,x,y αsent, t >, x,y D u,x,y u t,x,y, x,y D