Espacios Vectoriales Curso 08-09

Transcripción

1 Espaios Vtorials Crso 8-9 Problmas - En ada aso dtrminar si F s n sbspaio torial d bsar na bas nas aions implíitas paramétrias d F F R / R { } { R / R } a) ( ) b) F ( ) ) F { () R / - } d) F {( - ) R / R } ) F {() R / - } ) F {() R / } g) F {() R / má()<} R En aso airmatio - Enontrar los salars q prmitn sribir l tor d R (8 ) omo ombinaión linal d los tors () () () - Si los númros son las oordnadas d n tor n la bas {()() ()} hallar las oordnadas dl tor n la bas anónia - San B { w } B' { '' w' } dos bass d R tals q ' w ' w' w Hallar las aions dl ambio d la bas B a B d la bas B a B - Dadas las bass d R B{ () (-) (-)} B { () () ()} a) Hallar la prsión analítia dl ambio d bas d B a B d B a B d B a la bas anónia b) Si a ( ) rspto d B áls son ss oordnadas rspto d B? ) Si b sribir la prsión d b rspto d B 6- Sa la matri A d ambio d bas d B a B sindo B{ } B { } Esribir l tor n nión d los tors d B Hallar la matri dl ambio d bas d B a B 7- a) Hallar l rango d la matri A b) Hallar na bas dl sbspaio ngndrado por los tors ila d la matri A ) Hallar nas aions torials paramétrias implíitas d diho sbspaio U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía

2 8- Sa F l sbspaio torial F < (-) (6) () () > S pid: a) Una bas nas aions paramétrias d F b) Un sbspaio G splmntario dl sbspaio F ) Sa ( - -) Indiar si F ó G ó F G Dsomponr l tor n sma d dos tors no parallo otro prpndilar al tor ( - ) F d) Una bas B dl spaio torial FG ) Una sprii n R tin d aión - Dtrminar la aión (lo más simpliiada posibl) d sta sprii rspto d la na bas: B - w - ) Eaions dl ambio d bas d B a B g) El onjnto H d tors q tinn las mismas oordnadas rspto d B B h) Dmostrar q H s n sbspaio torial dl spaio torial R 9- Dados los sbspaios torials F dtrminado por las aions artsianas G por las aions paramétrias dl spaio torial R s pid: bass d F G FG F G - San los tors a () a (-) a () los sbspaios torials d R E < a a a > G {( ) R / } S pid: a) Dimnsión bass d E G b) Dimnsión na bas d n splmntario d E q s dnominará F ) Eaions implíitas d E d) Dimnsión na bas d E G ) Formar na na bas d R B ormada por los tors a a los rstants tors prtnints a G ) Enontrar las oordnadas d los tors a b n la bas B la bas anónia sindo { } B EJERCICIOS PROPUESTOS - Sa A{() (-) (-) ()} Indiar si son orrtas o alsas las sigints stions: a) A s libr b) A s sistma gnrador d n sbspaio torial ) A s na bas d R d) rango(a) ) El tor () s ombinaión linal d los tors d A ) El tor () < A > - Qé alors dbn tnr m n para q l tor U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía

3 { }>? (-mnm-n) < ( ) ( ) ( ) - a) Para qé alors d los sigints sistmas d tors son bass d B B {( ) ( ) ( )}; {( ) ( ) ( )} b) Para sribir las aions d ambio d bas d B a la anónia d la anónia a B d B a B d B a B - S onsidran los trs sbspaios d ( ) ( )> R sigints: F ( ) F F F F { / R} R? F < F < ( )> Hallar Las smas antriors son smas dirtas? Cando así orra sribir la dsomposiión únia d ada tor d la sma n sma d dos tors no d ada sbspaio - Sa l sbspaio torial F gnrado por los sigints tors d spaio torial R : ( ); (); ( ) S pid: a) Rango d H { ; ; } Qé las d sistma s H? Eist algna rlaión d dpndnia ntr los tors? b) Dimnsión na bas F ) Las oordnadas d los tors rspto d la bas obtnida n l apartado antrior d) Unas aions paramétrias d F ) Unas aions artsianas o implíitas d F ) A partir d las aions artsianas otras aions paramétrias distintas dl apartado d) g) El tor () prtn o no a F? h) Una bas B dl spaio torial R q ontnga a los tors d na bas d F i) Las aions dl ambio d bas d la bas B (dl apartado antrior) a la bas anónia B d R j) Las aions dl ambio d la bas B a la bas B k) La prsión analítia dl tor d la bas anónia rspto d la bas B SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS a) Falso b) Vrdadro ) Falso d) Falso ) Vrdadro ) Falso mn a) b) Cambio d B a la bas anónia: U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía

4 U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía Cambio d la bas anónia a B : Cambio d B a B : 6 6 Cambio d B a B : a) F F ( ) { } R / b) F F ( ) { } R / F F ) F F no s sma dirta F F sí s sma dirta Dsomposiión únia d n tor d F F : ( ) ( ) ( ) a) r(h) H s ligado b) La dimnsión na bas d F s B F { ; } ) B F ) ( B F ) ( B F ) ( d) ( ) ( ) ( ) μ ) son las aions artsianas o implíitas q idntiia a F ) otras aions paramétrias d F g) ( ) F h) B{ ; ;();()} i) Las aions dl ambio d la bas B a la bas B son: j) Las aions dl ambio d la bas B a la bas B son: / / / k)

5 ESPACIOS VECTORIALES Crso En ada aso dtrminar si F s n sbspaio torial d R En aso airmatio bsar na bas nas aions implíitas paramétrias d F F R / R { } F { R / R} F { R / } d) F ( ) R / R a) ( ) b) ( ) ) ( ) { } ) F {() R / - } ) F {() R / } g) F {() R / má()<} Solión: a) No s sbspaio ps F b) Sí s sbspaio; na bas s {( ) ( )} Eaions paramétrias: ; implíitas: ) Sí s sbspaio; na bas s {( ) ( )} Eaions paramétrias: d) No s sbspaio; ( ) F ; implíitas: - n gnral ) En st aso l sistma - s pd sribir abriadamnt AX l sbonjnto F{X/AX} sindo A X ; ; ntons μ K ab F aμb F s mpl a X F AX psto q rslta q aμ b XμX' F a q b X' F AX' A( X) B( μx') AX μ AX' μ Tnmos n sbspaio ( ) ( ) torial por sr n sistma d aions linals homogéno Para obtnr na bas rsolmos diho sistma qdando bas posibl {(-)} na U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía

6 ) En st aso: F {() R / } basta on onsidrar n tor () dl sonjnto F obsrar q s opsto (-)() (-) a no s n tor dl sbonjnto F a q < no s mpl Por tanto F no s n sbspaio torial g) F {() R / má()<} s n aso análogo al antrior tomando al tor (/) dl sbonjnto F s l mltiplia por s obtin (/)(/) on /> por onsigint (/ ) F lgo F no s n sbspaio torial - Enontrar los salars q prmitn sribir l tor d R (8 ) omo ombinaión linal d los tors ( ) ( ) ( ) Solión: D la ombinaión linal ntr los tors dados 8 obtnmos l sistma: 8 Ca solión son los salars pdidos - Si los númros son las oordnadas d n tor n la bas {()() ()} hallar las oordnadas dl tor n la bas anónia Solión: La prsión analítia dl tor tnindo n nta q ss oordnadas son s () () () d dond () () ()(68) sindo 6 8 las oordnadas rspto d la bas anónia dos bass d R tals q ' w ' w' w Hallar las aions dl ambio d la bas B a B d la bas B a - San B { w} B' { ' ' w' } B Solión: El sistma ' w w' w n orma matriial sría: ( ' ' w' ) ( w) U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía 6

7 U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía 7 Calqir tor R s pd sribir rspto a las dos bas B B n la orma matriial ( ) ( ) w ' ' ' w' ' ' Ahora sstitndo la aión antrior rslta ( ) ( ) ( ) ( ) w ' ' ' w w ' ' ' w' ' ' Como la prsión d n tor rspto d na bas s únia qda ' ' ' q son las aions dl ambio d bas d B a B Para obtnr las aions dl ambio d bas d B a B basta on dspjar ( ) on rspto a () n l sistma antrior ' ' ' ' ' ' ' ' ' - Dadas las bass d R B{ () (-) (-)} B { () () ()} a) Hallar la prsión analítia dl ambio d bas d B a B d B a B d B a la bas anónia b) Si ) a ( rspto d B áls son ss oordnadas rspto d B? ) Si b sribir la prsión d b rspto d B Solión: a) Si onsidramos la bas anónia { } ) ( () () B q los tors d las bass B B inn rridos a la bas anónia tnmos los sistmas n orma matriial: ( ) ( ) ( ) ( ) Calqir tor R s pd sribir rspto a las trs bass B B B n la orma matriial ( ) ( ) ( ) ' ' ' Ahora sstitndo las aions antriors rslta ( ) ( ) ( )

8 U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía 8 ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' Como la prsión d n tor rspto d na bas s únia qda ' ' ' d dond podmos obtnr alqir ambio d bas ntr las trs bass onsidradas a sabr B B B : Cambio d bas d B a B : Cambio d bas d B a B : ' ' ' Cambio d bas d B a B: ' ' ' ' ' ' ' ' ' Cambio d bas d B a B : 6 ' ' ' ' ' ' b) Para l tor ) ( a rspto d la bas B samos las aions últimas 6 ' ' ' sstitimos() por () qdando 7 6 ' ' ' sindo (7-) las oordnadas dl tor a rspto d la bas B ) Análogamnt para l tor b nsitamos las aions dl ambio d bas d B a B: ' ' ' sstitimos ( ) por (-) psto q

9 U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía 9 B' ) ( b d dond s obtin - on lo al B B' ) ( b 6- Sa la matri A d ambio d bas d B a B sindo B{ } B { } Esribir l tor n nión d los tors d B Hallar la matri dl ambio d bas d B a B Solión: La matri A q rprsnta l ambio d bas d B a B sta onstrida on las oordnadas d los tors d la bas B rridos a la bas B n nstro aso srá sindo ada tor B' ) ( ; B' ) ( ; B' () La matri dl ambio d bas d B a B srá la inrsa d la matri A: A 7- a) Hallar l rango d la matri A b) Hallar na bas dl sbspaio ngndrado por los tors ila d la matri A ) Hallar nas aions torials paramétrias implíitas d diho sbspaio Solión: a) El rango d la matri A s obtin mdiant ombinaión linal d las ilas d diha matri:

10 La última matri india q son trs las ilas linalmnt indpndints lgo l rango d A s b) Una bas posibl s la ormada por las trs ilas rsltants n l proso antrior B 8 {( ) ( ) ( )} ) Las aions dl sbspaio torial s obtinn a partir d la bas antrior ( ) 8 Eaión torial: ( ) ( ) ( ) Eaions paramétrias: 8 Eaión implíita: 8 8- Sa F l sbspaio torial F < (-) (6) () () > S pid: a) Una bas nas aions paramétrias d F b) Un sbspaio G splmntario dl sbspaio F ) Sa ( ) Indiar si F ó G ó F G Dsomponr l tor n sma d dos tors no parallo otro prpndilar al tor ( ) F d) Una bas B dl spaio torial FG ) Una sprii n R tin d aión - Dtrminar la aión (lo más simpliiada posibl) d sta sprii rspto d la na bas: B ( ) ( )w ( ) ) Eaions dl ambio d bas d B a B g) El onjnto H d tors q tinn las mismas oordnadas rspto d B B h) Dmostrar q H s n sbspaio torial dl spaio torial R Solión: 6 a) r ntons dimf na bas d F: {(-) (6)} las t aions paramétrias t 6s s b) dimgdimr -dimf-; G s orma on alqir tor q no prtna a F por jmplo ( ) a q r lgo G {( )/ R} 6 U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía

11 ) F G F G R El tor tal q ( ) (parallo a ) admás ( ) (prpndilar a ) Por tanto ( ) omo db sr ( )( ) Rslta ( ) ( ) ( ) ( ) d) Como F G R alqir bas dl spaio torial por jmplo B () () () { } ) Eaions dl ambio d bas d B a B : ' ' ' ' ' ' sstitndo n la aión: ' ' ' - obtnmos ) Eaions dl ambio d bas d B a B ' ' ' ' ' ' g) El onjnto H d tors q tinn las mismas oordnadas rspto d B B H {( ) } h) Dmostrar q H s n sbspaio torial dl spaio torial R H s n sbonjnto d R ontin a alqir ombinaión linal d los tors d H psto q s l tor nlo 9- Dados los sbspaios torials F dtrminado por las aions artsianas G por las aions paramétrias dl spaio torial R s pid: bass d F G FG F G Solión: U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía

12 U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía a) Una bas dl sbspaio torial F db tnr trs tors d F linalmnt indpndints psto q la dimnsión d F s la dimnsión dl spaio torial R mnos l númro d aions linalmnt indpndints d F Los trs tors nsarios son solions partilars dl sistma lgo na bas d F pd sr b) En l aso dl sbspaio torial G tnmos las aions paramétrias ; na bas: ) Una bas dl sbspaio sma sal d la nión d los tors d ada bas qitando los q san ombinaión linal d los rstants para llo allamos l rango d la sigint matri r la matri q idntiia l rango india los tors linalmnt indpndints por lo tanto la bas ( ) ( ) ( ) ( ) { } Si qrmos sribir las aions dl sbspaio FG podmos sribir l sigint dtrminant d) Para obtnr las aions dl sbspaio torial G F solamnt dbmos jntar las aions artsianas d ada sbspaio torial F G; d las aions paramétrias d G obtnmos las aions ; Por tanto ; ; a dimnsión s

13 - S onsidran los tors a () a (-) a () los sbspaios torials d R E < a a a > G {( ) R / } S pid: a) Dimnsión bass d E G b) Dimnsión na bas d n splmntario d E q s dnominará F ) Eaions implíitas d E d) Dimnsión na bas d E G ) Formar na na bas d R B ormada por los tors a a los rstants tors prtnints a G ) Enontrar las oordnadas d los tors a b la bas anónia B n la bas B sindo { } Solión: a) Dim(E)rg( ( a a ) a rg B E { ( ) ( ) } B Dim(G)- G { ( ) ( ) ( )} b) Ampliamos la bas d E hasta obtnr na bas d R orman na bas d R por tanto Los tors {( ) ( ) ( ) ( )} {( ) ( )} B F s na bas dl sbspaio splmntario d E la dimnsión d F s ) rg d) Los tors d E G riian l sistma d aions: E G Las trs aions son linalmnt indpndints por tanto Dim( E G )- na bas d G B E s {( )} E G ) ' { a ( )a ( ) ( )() } B ) La matri d ambio d bas s P B ' B Q U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía

14 U D d Matmátias d la ETS d Ingniros n Topograía Godsia Cartograía ( ) ' B B ) ( a ) ( b n la bas anónia b b b b Q - n la bas B

15 Nombr d arhio: Prob sp t 8_9do Dirtorio: E:\MATEMÁTICAS\orro Plantilla: Normaldot Títlo: Asnto: Ator: Palabras la: Comntarios: Fha d raión: //8 : Cambio númro: 7 Gardado l: //9 : Gardado por: Timpo d diión: mintos Imprso l: //9 6: Última imprsión omplta Númro d páginas: Númro d palabras: 96 (apro) Númro d aratrs: 778 (apro)