PROYECTO FIN DE CARRERA

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1 UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR PROYECTO FIN DE CARRERA Obtencón automátca de puntos de fuga en secuencas de vídeo para la modfcacón del punto de vsta Mara Isabel Murca Rosas SEPTIEMBRE

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3 Obtencón automátca de puntos de fuga en secuencas de vídeo para la modfcacón del punto de vsta AUTOR: Mara Isabel Murca Rosas TUTOR: Jesús Bescós Cano Vdeo Processng and Understandng Lab Dpto. de Tecnología Electrónca Comuncacones Escuela Poltécnca Superor Unversdad Autónoma de Madrd Septembre de

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5 Palabras clave Punto de fuga, omografía, Transformada de Houg, Ajuste a una snusode, Esfera Gaussana. Resumen Por motvos de smplfcacón en los algortmos de análss de mágenes, resultaría especalmente útl que el plano de magen sea paralelo al plano grabado en el que suceden los eventos a analar. Esto es abtualmente nvable, por ello se reala una transformacón proectva (omografía) o rectfcacón, que consste en una modfcacón del punto de vsta de la cámara tal que el plano nclnado pasa a ser paralelo al plano de magen. Una de las técncas para realar esta operacón de un modo más o menos automátco es detectar prevamente los puntos de fuga de las líneas que defnen el plano a rectfcar. Se an estudado dos stuacones para obtener los parámetros de dca transformacón. El prmer caso es en el que se conoce la correspondenca de cuatro puntos, no sempre vable. El segundo el cual es el objetvo de este proecto, es en el que se conoce la poscón de los dos puntos de fuga de las líneas que defnen el plano. Este proecto se centra en el estudo de los métodos de deteccón de puntos de fuga por la frecuenca con la que se encuentran grabacones de planos nclnados. Los planos nclnados, que en este trabajo se analan, son carreteras en el análss de tráfco rodado supuestas matrículas. Los métodos elegdos para llevar a cabo la deteccón de puntos de fuga son: el método de ajuste de los pcos de la Transformada de Houg a una snusode el método de la Esfera Gaussana. El método de ajuste de los pcos de la Transformada de Houg a una snusode se a desarrollado para poder detectar un punto de fuga en el caso de mágenes donde predomna claramente uno, como es el caso de las mágenes de carreteras, en el que los pcos de la Transformada de Houg (que se corresponden con las líneas prncpales de la magen) se ajustan a una únca curva. Tambén esta técnca se a adaptado para detectar dos puntos de fuga en el caso de mágenes donde ambos son claros, como es el caso de las mágenes de matrículas, en el que debe aber una dstncón preva entre los pcos que corresponden a una orentacón a otra, a partr de aí realar dos ajustes por separado. El método de la Esfera Gaussana a sdo desarrollado para detectar el punto de fuga en mágenes donde predomna claramente uno. A dferenca del anteror, esta técnca permte detectar un punto de fuga que cae fuera de la magen. Para esta técnca se an utlado las dos líneas prncpales de la magen an sdo trasladadas a la esfera undad en forma de crcunferencas. Del corte de estas crcunferencas resultará la poscón del punto de fuga en la magen. La gran aportacón de este método es que pasa de un espaco lmtado como es la magen a uno lmtado como es la Esfera Gaussana.

6 Ke words Vansng pont, omograp, Houg Transform, Fttng a snusod, Gaussan Spere Abstract For smplct n mage analss algortms, would be partcularl useful tat te mage plane s parallel to te recorded plane n wc te events to anale occur. Ts s usuall non-vable, tereb performng a projectve transformaton (omograp) or rectfcaton, wc s a modfcaton of te pont of vew of te camera suc tat te nclned plane becomes parallel to te mage plane. One tecnque to perform ts operaton n a more or less automatc wa s to detect prevousl te vansng ponts of te lnes tat defne te plane to rectf. Two stuatons ave been studed to obtan ts transformaton parameters. Te frst case, n wc s known te four-pont correspondence, no ever vable. Te second case and wc s te am of ts project, s n wc s known te poston of te two vansng ponts of te lnes tat defne te plane. Ts project s focused on te stud of te metods of detecton of vansng ponts b te frequenc tat recordngs of nclned planes Te nclned planes, tat n ts work are dscussed, are road n te traffc analss supposed plates. Te cosen metods to carr out te detecton of vansng ponts are: te metod of fttng te Houg Trasnform peaks to a snusod and te metod of te Gaussan Spere. Te metod of fttng te Houg Transform peaks to a snusod as been developed to detect a vansng pont n te case of mages were clearl predomnates one, lke te case of road mages, were te Houg Transform peaks (wc correspond to te man lnes of te mage) ft a sngle curve. Also ts tecnque as been adapted to detect two vansng ponts n te case of mages were bot are clear, lke te case of plate mages, n wc a pre-dstncton must be between peaks correspondng to an orentaton and anoter, and from tere make two separate fttngs. Te metod of te Gaussan Spere as been developed to detect te vansng pont were clearl predomnates one. Unlke te prevous, ts tecnque allows detect a vansng pont tat falls outsde te mage. For ts tecnque t as been used te two man lnes of te mage and as been transferred to te unt spere saped lke crcumferences. From te cuttng of tese crcumferences results te poston of te vansng pont n te mage. Te major contrbuton of ts metod s tat t goes from unlmted space lke mage plane to a lmted one lke te Gaussan Spere.

7 Agradecmentos En prmer lugar, quería dar gracas a m famla, que a sdo un gran apoo en esta etapa. A ms tíos prmos de Cartagena, en especal a m tía Rosa Mara Lusa que en ausenca de m madre, me an cudado como s de una ja se tratase. A ms ermanos, en especal a Mencu, que aunque estos años nos a tocado vvr stuacones duras, sempre a estado aí, aguantándome los días buenos los no tan buenos. En segundo lugar, a todos los amgos que e tendo la suerte de conocer en estos años de unversdad, que emos sabdo juntos poder superar sn problemas entregas de práctcas, largos días de bbloteca, estreses de eámenes, tambén emos sabdo dsfrutar buenos momentos en el parque de Bader, de festa de vacacones juntos. En este grupo debo nclur a todos los amgos no telecos que gracas a la unversdad e conocdo que tanto apoo me an dado. Gracas a ms nñas, Clau, Slva, Laura Sara, por aber compartdo con vosotras mllones de momentos, por estar aí sempre, sendo capaces de sacarme una sonrsa en los peores momentos acéndome dsfrutar como una enana en los mejores. Gracas a ms ccos, Cno sobre todo a Bader, por estar día a día conmgo, por reíros a veces de m umor ntelgente, por compartr carrera, trabajo, vecndaro sobre todo una gran amstad. Gracas a FNX, que me a eco pasar los mejores veranos de m vda conocer a grandes personas. Entre ellas, Irenucu que después del tempo, de la dstanca de nuestro erasmus sgues aí. Tambén a ms querdos Uclestos, Ana, Ma, Ernest, Ada, Jame, Galle, Mon, Serg, Sara Dan, demasados momentos mu ntensos los que emos vvdo juntos. Gracas por aguantar ms puntos de fuga ms sabeladas. Mucos vajes, Raa, Valenca, Blbao, sobre todo nuestro mágco monastero de Uclés, que lo que a undo este lugar perdure durante muco tempo. Tambén dar gracas a m tutor, Jesús, por su apoo auda durante esta etapa. Y por últmo quero dedcar este proecto a esas personas que a no están entre nosotros, m madre, ms abuelos Lus. Vosotros desde aí arrba me abés dado la fuera sufcente para llegar a ser quen so llegar asta donde e llegado. Este proecto es vuestro. OS QUIERO!

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9 INDICE DE CONTENIDOS Introduccón.... Motvacón.... Objetvos....3 Organacón de la memora... Antecedentes Introduccón Métodos de deteccón de puntos de fuga Espaco de trabajo Plano de la magen Esfera Gaussana (esfera undad) Plano proectvo Otros espacos Informacón de la magen Tpo de estratega Clusterng estmacón Estrategas mtas Número de puntos de fuga....3 Clasfcacón de métodos de detecón de puntos de fuga....4 Conclusón... 3 Dseño Preprocesamento de la magen Métodos de deteccón de puntos de fuga Método de ajuste de los pcos de la Transformada de Houg a snusode Ajuste a una snusode Ajuste a dos snusodes Método de la Esfera Gaussana Etraccón de las líneas prncpales de la magen Normalacón de las coordenadas de la magen Defncón de las crcunferencas correspondentes a las líneas detectadas Prmer sstema de votacón Segundo sstema de votacón Cálculo de omografías Homografía con correspondenca de cuatro puntos Homografía a partr de dos puntos de fuga Resultados Resultados de los métodos de deteccón de puntos de fuga Ajuste a snusode Ajuste a una snusode Ajuste a dos snusodes Esfera Gaussana Análss crítco Resultados del cálculo de omografías Homografía con correspondenca de cuatro puntos Homografía a partr de dos puntos de fuga Conclusones trabajo futuro Conclusones Trabajo futuro... 58

10 Referencas Glosaro... 6 Aneos...LXIII A Aneo-Transformada de Houg... LXIII

11 INDICE DE FIGURAS FIGURA.-: REPRESENTACIÓN LÍNEAS DE FUGA Y PUNTOS DE FUGA FINITOS E INFINITOS FIGURA.-: RESPRESENTACIÓN DE LA ESFERA GAUSSIANA... 6 FIGURA.3-: CLASIFICACIÓN DE MÉTODOS DE DETECCIÓN DE PUNTOS DE FUGA.... FIGURA 3.-: IMAGEN RGB... 3 FIGURA 3.-: IMAGEN A ESCALA DE GRISES... 4 FIGURA 3.-3: IMAGEN PROCESADA CON EL ALGORITMO DE CANNY... 4 FIGURA TRANSFORMADA DE HOUGH DE FIGURA FIGURA 3.-: PRINCIPALES LÍNEAS IMAGEN... 6 FIGURA 3.-: PICOS TRANSFORMADA DE HOUGH FIGURA FIGURA 3.-3: AJUSTE A PICOS TRANSFORMADA DE HOUGH FIGURA 3.-4: ESQUEMA MÉTODO ESFERA GAUSSIANA... FIGURA 3.-5: LÍNEAS PRINCIPALES DE PARTIDA MÉTODO ESFERA GAUSSIANA.... FIGURA 3.-6: CORRESPONDENCIAS PLANO IMAGEN ESFERA GAUSSIANA... 4 FIGURA 3.-7: VISUALIZACIÓN DE UNA ROTACIÓN REPRESENTADA POR UN EJE Y UN ÁNGULO DE EULER FIGURA 3.-8: REPRESENTACIÓN DE LA ROTACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA... 6 FIGURA 3.-9: REPRESENTACIÓN ORIENTATIVA DE LOS INTERVALOS DEL SISTEMA DE VOTACIÓN.7 FIGURA 3.-: CELDAS EN EL PLANO DE LA IMAGEN DEL PRIMER SISTEMA DE VOTACIÓN FIGURA 3.3-: RESPRESENTACIÓN HOMOGRAFÍA... 3 FIGURA 3.3-: HOMOGRAFÍA Y HOMOGRAFÍA INVERSA FIGURA 4.-: RESULTADO FINAL PUNTO DE FUGA DEL AJUSTE A UNA SINUSOIDE FIGURA 4.-: RECTAS PRINCIPALES DE LA IMAGEN Y POSICIÓN RESULTANTE DEL PUNTO DE FUGA FIGURA 4.-3: COMPARACIÓN PUNTO DE FUGA RESULTANTE DEL AJUSTE A UNA SINUSOIDE Y PUNTO DE FUGA DE REFERENCIA FIGURA 4.-4: IMAGEN DE PARTIDA PARA AJUSTE A DOS SINUSOIDES.... 4

12 FIGURA 4.-5: RESULTADO FINAL PUNTOS DE FUGA RESULTANTES DEL AJUSTE A DOS SINUSOIDES FIGURA 4.-6: PUNTOS DE FUGA DE REFERENCIA FIGURA 4.-7: RECTAS DETECTADAS EN LA ORIENTACIÓN VERTICAL... 4 FIGURA 4.-8: RECTAS DETECTADAS EN LA ORIENTACIÓN HORIZONTAL... 4 FIGURA 4.-9: AJUSTE A PICOS CORRESPONDIENTES A RECTAS EN ORIENTACIÓN VERTICAL FIGURA 4.-: AJUSTE A PICOS CORRESPONDIENTES A RECTAS EN ORIENTACIÓN HORIZONTAL.. 43 FIGURA 4.-: COMPARACIÓN PUNTOS DE FUGA RESULTANTE DEL AJUSTE A DOS SINUSOIDES Y PUNTOS DE FUGA DE REFERENCIA FIGURA 4.-: SEGUNDA IMAGEN DE PARTIDA FIGURA 4.-3: RECTAS DETECTADAS FIGURA 4.-4: AJUSTE A PICOS CORRESPONDIENTES A RECTAS EN ORIENTACIÓN VERTICAL FIGURA 4.-5: AJUSTE A PICOS CORRESPONDIENTES A RECTAS EN ORIENTACIÓN HORIZONTAL.. 46 FIGURA 4.-6: COMPARACIÓN PUNTOS DE FUGA RESULTANTE DEL AJUSTE A DOS SINUSOIDES Y PUNTOS DE FUGA DE REFERENCIA FIGURA 4.-7: RECTAS PRINCIPALES DE LA IMAGEN FIGURA 4.-8: CIRCUNFERENCIAS CORRESPONDIENTES A LAS RECTAS PRINCIPALES FIGURA 4.-9: RESULTADO PUNTO DE FUGA TRAS PRIMER PROCESO DE VOTACIÓN FIGURA 4.-: RESULTADO FINAL PUNTO DE FUGA TRAS SEGUNDO PROCESO VOTACIÓN FIGURA 4.-: COMPARACIÓN PUNTO DE FUGA TRAS PRIMER PROCESO DE VOTACIÓN Y PUNTO DE FUGA DE REFERENCIA FIGURA 4.-: COMPARACIÓN PUNTO DE FUGA TRAS SEGUNDO PROCESO DE VOTACIÓN Y PUNTO DE FUGA DE REFERENCIA... 5 FIGURA 4.-3: COMPARACIÓN PUNTO DE FUGA TRAS PRIMER Y SEGUNDO PROCESO DE VOTACIÓN, Y PUNTO DE FUGA DE REFERENCIA FIGURA 4.-4: DIVISIÓN IMAGEN CORRESPONDIENTE AL PRIMER PROCESO DE VOTACIÓN... 5 FIGURA 4.-: PUNTOS DE PARTIDA Y SUS PUNTOS CORRESPONDIENTES TRAS LA HOMOGRAFÍA FIGURA 4.-: IMAGEN DE PARTIDA ANTERIOR A LA HOMOGRAFÍA FIGURA 4.-3: IMAGEN FINAL TRAS LA HOMOGRAFÍA v

13 FIGURA 4.-4: DOS PUNTOS DE FUGA FIGURA 4.-5: VISUALIZACIÓN DE LAS COMPROBACIONES FIGURA A-: (A) PLANO XY (B) ESPACIO DE PARÁMETROS AB... LXIII FIGURA A-: ESPACIO AB...LXIV FIGURA A-3: ESPACIO RHO-THETA... LXV FIGURA A-4: TRANSFORMADA DE HOUGH DE UNA IMAGEN...LXVI v

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15 Introduccón. Motvacón En certo tpo de domnos de aplcacón del análss de secuencas de vídeo es frecuente encontrar grabacones de planos nclnados (por ejemplo, carreteras en el análss de tráfco rodado, una psta de tens en el análss de eventos deportvos, etc.) sobre los que transtan los objetos de nterés (coces tenstas en los ejemplos anterores). Por motvos de efcenca de cara a smplfcar los algortmos de análss, resultaría especalmente útl que el eje de la cámara fuera perpendcular al plano de nterés, con lo que el plano de magen sería paralelo a dco plano. Sn embargo, esto es abtualmente nvable, en unos casos por mprecsones en la colocacón de la cámara, en otros por la dfcultad de stuar la cámara en tal poscón en otros ncluso por la mposbldad de acerlo, por ejemplo, por ser mprescndble la poscón eacta del plano de nterés (caso de la matrícula de un coce. Una solucón a este problema consste en efectuar sobre cada magen de la secuenca una transformacón proectva (omografía), que resulta en una modfcacón del punto de vsta de la cámara tal que el plano nclnado pasa a ser paralelo al plano de magen, que era el objetvo buscado. Una vía para obtener los parámetros de dca transformacón es el cálculo de los dos puntos de fuga de las rectas stuadas en dco plano. El objetvo de este proecto es mplementar evaluar técncas de localacón de estos puntos de fuga.. Objetvos El objetvo de este proecto es la obtencón automátca de los puntos de fuga de secuencas de vdeo para la modfcacón del punto de vsta de mágenes. Dado que una secuenca de vídeo se compone de una sere de mágenes, los algortmos de deteccón de puntos de fuga se basarán en mágenes. El trabajo realado se basará prncpalmente en mágenes de carreteras de matrículas. En prmer lugar se plantea un pequeño estudo análss de los dstntos métodos de deteccón de puntos de fuga estentes. De esta manera se presenta una clasfcacón de las dstntas técncas asta aora estentes. Uno de los objetvos prncpales es mplementar métodos de deteccón puntos de fuga. Tras el estudo de las técncas estentes, se elgen dos métodos que son los que van a ser el punto clave de este proecto. Otro de los puntos mportantes, es el de realar un cambo de perspectva u omografía; para ello se presenta el caso smplfcado de la correspondenca de cuatro puntos entre ambos planos. Una ve desarrollado en detalle los métodos de deteccón de puntos de fuga el cálculo de omografías, se reala un análss de los resultados obtendos.

16 .3 Organacón de la memora La estructura de la memora de este Proecto Fn de Carrera consta de los sguentes capítulos: En el Capítulo se reala una breve ntroduccón en la que se presenta: la motvacón que a llevado a la realacón de este proecto, así como lo objetvos del msmo la organacón de la memora. En el Capítulo se reala un estudo de los dstntos métodos de deteccón de puntos de fuga. Así msmo, estas técncas se clasfcan atendendo a dferentes aspectos, conceptos que tambén son desarrollados a lo largo de este capítulo. En el Capítulo 3 se desarrolla el dseño de los dstntos métodos elegdos tras el estudo eco en el Capítulo. En prmer lugar se presenta un preprocesamento prevo a ambos métodos. En segundo lugar se desarrolla el método de ajuste de los pcos de la Transformada de Houg a una snusode, con sus dos varantes. Según s la fnaldad sea la búsqueda de un punto de fuga o dos, se realará el ajuste a una snusode o a dos, respectvamente. En segundo lugar se desarrolla el método de la Esfera Gaussana. Por últmo, se presenta el desarrollo del cálculo de omografías dada la correspondenca de cuatro puntos para el caso de la presenca de dos puntos de fuga en la magen. En el Capítulo 4 se presentan los resultados de aplcar los dstntos métodos mplementados en unos casos sobre mágenes reales en otros sobre mágenes sntétcas. Tras la obtencón de resultados, se reala un análss crítco de cada uno de los métodos. En el Capítulo 5 se presentan las conclusones del proecto las posbles líneas de mejora del msmo.

17 Antecedentes. Introduccón Al llevar a cabo una proeccón en perspectva de un espaco trdmensonal en el plano de la magen, un conjunto de líneas en el espaco converge en el plano de la magen en un únco punto. Este punto de nterseccón es conocdo como punto de fuga. Un punto de fuga puede ser un punto fnto (real) o un punto nfnto (deal) en el plano de la magen. Los puntos de fuga que caen sobre el msmo plano en la escena defnen una línea en la magen, la llamada línea de fuga. El conocmento de los puntos de fuga es un paso mportante para la nterpretacón 3D, aportando nformacón sgnfcatva que se obtene de la escena real, nformacón tal como la dstanca entre objetos, las dmensones de objetos, en defntva la estructura trdmensonal de la escena. Fgura.-: Representacón líneas de fuga puntos de fuga fntos e nfntos. Un entorno eco por el ombre tene dos propedades característcas: mucas líneas en la escena son paralelas varos bordes en la escena son ortogonales. En entornos de nteror esto es verdad para estanterías, puertas, ventanas. En entornos de eteror, calles, edfcos carreteras satsfacen este supuesto. Esto sgnfca que los puntos de fuga proporconan nformacón sobre la estructura 3D de la escena. S por ejemplo la geometría de la cámara es conocda, cada punto de fuga corresponde a una orentacón de la escena vceversa. 3

18 . Métodos de deteccón de puntos de fuga A lo largo de los sguentes apartados se descrbrán los métodos más sgnfcatvos para la deteccón de puntos de fuga. Serán descrtos clasfcados atendendo a dversos aspectos. En prmer lugar, el espaco de trabajo en el que los métodos acen su labor: detectar puntos de fuga sgnfca obtener los valores de los parámetros que caracteran estos puntos. Por consguente, el tpo de parametracón determna el espaco de trabajo, o espaco de análss sobre el cual los algortmos buscan los puntos de fuga, como por ejemplo el espaco de Houg, que se verá más adelante. En segundo lugar, la nformacón de la magen que es utlada, puesto que dferentes característcas de la magen como líneas, segmentos de líneas, bordes o gradentes de píeles, pueden ser utladas para determnar puntos de fuga. Otro crtero mportante es el tpo de estratega. La deteccón de puntos de fuga requere dos pasos: clusterng o agrupamento, que se refere a la seleccón de característcas de la magen que llevan a un punto de fuga común; la etapa de estmacón, que dado un conjunto de característcas de la magen, determna un punto de fuga común.. Sn embargo, estos pasos se pueden acer de dstntas maneras en consecuenca an surgdo dferentes técncas. Tras un estudo detallado de los métodos de deteccón de puntos de fuga, se presenta una tabla que recopla los trabajos más relevantes destaca las contrbucones de nvestgacón de cada uno... Espaco de trabajo En prmer lugar, se analan los métodos de deteccón de puntos de fuga atendendo al espaco de trabajo sobre el que realan su labor. Los puntos de fuga se pueden descrbr matemátcamente de dversos modos. Por un lado consttuen entdades de la magen D, pero por otro lado, corresponden a las dreccones del espaco 3D. Por lo tanto, es necesaro realar una clasfcacón según el tpo de parametracón que utlcen, como es el caso del espaco de Houg por ejemplo.... Plano de la magen Mucos autores an elegdo el plano de la magen como espaco de trabajo, como Caprle Torre [], McLean Kour [], Sekta [3], más recentemente Mnagawa et al. [4], Suttorp Bücer [5]. La prmera dea de utlar los puntos de fuga para calbrar una cámara fue de Caprle Torre []. El método propuesto se basa en el punto de vsta de un cubo. Se pueden recuperar tres puntos de fuga de la magen del cubo. A partr de las propedades de estos puntos de fuga se pueden calcular los parámetros ntrínsecos de la cámara (dstanca focal, proeccón del eje óptco, etc) a partr de ellos, acer una reconstruccón 3D de la escena. McLean Kour [], Sekta [3], Mnagawa et al [4], sn restrngrse a la búsqueda de un únco punto de fuga, estman la poscón de los puntos de fuga medante procesos de optmacón que consderan dstancas de error sobre el plano de la magen. En el trabajo de Suttorp Bücer [5] se asume que los puntos de fuga en escenas de carreteras normalmente caen dentro de los límtes de la magen, de manera que es sufcente trabajar en el plano de la magen para estmar su poscón. 4

19 ... Esfera Gaussana (esfera undad) La esfera, como espaco de trabajo, a sdo utlada, por dversos autores como Barnard [6], Magee Aggarwal [7], Quan Mor [8], Collns Wess [9], Lutton et al [] o Sufelt []. Barnard [6] propone proectar el plano de la magen, que por defncón es lmtado aunque en la práctca no lo es, sobre la esfera undad (tambén conocda como esfera Gaussana), centrada en el centro óptco de la cámara. A cada segmento de línea se le ace corresponder un plano formado por el segmento de línea en la magen el centro de la esfera. De la nterseccón de este plano con la esfera undad resulta una crcunferenca máma que recorre la superfce de la esfera. De esta manera, cada segmento de línea en la magen corresponde con una crcunferenca en la esfera undad, centrada centrada en el centro óptco. Las nterseccones de estas crcunferencas se corresponden con los puntos de fuga de las líneas que las generaron. Para obtener las nterseccones, cada punto de cada una de las crcunferencas correspondentes a los segmentos de línea detectados en la magen, vota sobre la esfera undad. Así, al fnal del proceso, es decr, cuando todas las crcunferencas correspondentes a todas las líneas detectadas en la magen, aan votado sobre la esfera, se buscarán los puntos que tengan más votos, es decr, los puntos en los que ntersecten más crcunferencas. Esos puntos sobre la esfera serán consderados como las dreccones de los puntos de fuga. Esas dreccones sobre la esfera corresponderán a los puntos de fuga en el plano de la magen. Una de las grandes ventajas de este método es que los puntos de fuga se obtenen en un espaco lmtado. Esto permte que las operacones se smplfquen por lo tanto se puedan tratar de la msma manera tanto los puntos de fuga fntos como los nfntos. De cara al proceso de votacón, la superfce de la esfera se dvde en celdas (en las cuales los puntos de las crcunferencas votarán). La dvsón que propone Barnard [6] es en ntervalos regulares tanto en ϕ como en θ. Esto genera celdas de dferente superfce, es decr, que las celdas no tenen el msmo área. Ello provoca que la cuenta de los votos dependa de un enfoque estadístco que tenga en cuenta las dferentes áreas de las celdas. Para resolver este problema se an propuesto an propuesto dvsones rregulares de la esfera. Una de las posbles solucones, propuesta por Quan Mor [8], es dvdr la esfera desde una resolucón baja asta una resolucón alta, utlando la Transformada de Houg jerárquca. Por su parte, Lutton [] propone una dvsón "semregular", basada en una dvsón en ntervalos unforme en ϕ desgual en θ. Una de las prncpales desventajas de los trabajos de Quan Mor [8], de Lutton [], se encuentra en que al transferr nformacón desde la magen a un espaco lmtado, las dstancas entre líneas puntos no se conservan. 5

20 Fgura.-: Respresentacón de la esfera Gaussana. Collns Wess [9] utlaron una combnacón de técncas para presentar un método que combna la velocdad computaconal alta obtenda por Barnard [6] la precsón de Magee Aggarwal [7]. Sufelt [] ntroduce una mejora en el método de la esfera Gaussana, ntegrando el conocmento de geometría en la búsqueda de puntos de fuga. A dferenca de otros autores, Sufelt [] nvestga en el conteto de fotogrametría aérea. El esquema de deteccón de puntos de fuga propuesto por Magee Aggarwal [7] es smlar al método de Barnard [6], por el eco de que utla la esfera Gaussana como espaco de trabajo. Sn embargo, la esfera no se utla como espaco acumulador. Con este método se dentfcan todas las nterseccones de segmentos de línea en la esfera Gaussana, formando una lsta de todas las nterseccones de cada par de segmentos de línea. Después, se lleva a cabo una etapa de clusterng (agrupacón), en la que se dentfcan nterseccones comunes como posbles puntos de fuga. En prmer lugar, una de las grandes ventajas de este método radca en que la eacttud del punto de fuga estmado no es dependente de la cuantfcacón de la esfera Gaussana, es decr, en como sea la dvsón en celdas de la esfera. En segundo lugar, este método permte consderar cada nterseccón de forma ndvdual. De esta manera, las nterseccones que no tenen sentdo deben ser recaadas como posbles puntos de fuga. Esto no es posble cuando se utlan espacos acumuladores, que consderan sólo segmentos de líneas en lugar de nterseccones. Como nconvenente de este método se encuentra, el gran coste computaconal que conlleva. En conclusón, la prncpal ventaja del método de la esfera Gaussana es el poder llevar todo tpo de punto de fuga, tanto fnto como nfnto, a un espaco lmtado. 6

21 ...3 Plano proectvo Como una alternatva al plano de la magen, como una manera de formalar matemátcamente la parametracón de la esfera Gaussana, surgeron una sere de trabajos que se basan en el plano proectvo. La búsqueda de los puntos de fuga en el plano proectvo requere que se aumente la dmensón de los puntos de fuga, consderando la representacón en coordenadas omogéneas. El plano proectvo es una transformacón drecta desde el plano de la magen. Trabajar en el plano proectvo tene grandes ventajas como: Conserva las dstancas orgnales entre puntos líneas, a que no trabaja en un espaco lmtado, como la esfera Gaussana o el espaco de Houg. No utla técncas basadas en espacos acumuladores. Es capa de detectar todo tpo de puntos de fuga, tanto fntos como nfntos. No es necesaro el conocmento de los parámetros de la cámara. El plano proectvo a sdo utlado para la deteccón de puntos de fuga por varos autores como Kanatan [3], Lebowt [4], Pflugfelder [5], Roter [6]....4 Otros espacos Como alternatva para trabajar con puntos de fuga en el nfnto surgeron otros espacos transformados. Tutelaars [7] et al. defnó una partcón calculada con la Transformada de Houg que consderaba tres subespacos lmtados. Estos subespacos eran utlados para detectar tanto puntos de fuga como líneas de fuga. Seo [8] et al. Almansa et al. [9] propuseron enfoques smlares. El trabajo de Canton [] se centra en la Transformada de Houg de los puntos de la magen. Los puntos de fuga se representan como snusodes. Dcas snusodes se obtenen a través de un ajuste de mínmos cuadrados. Más adelante, en el apartado 3.., se ará uso de este enfoque propuesto por Canton [] para el dseño de uno de los métodos de deteccón de puntos de fuga que se llevan a cabo en este Proecto Fn de Carrera... Informacón de la magen El cálculo de puntos de fuga requere de la obtencón de característcas de la magen, de tal manera que estas característcas de la magen determnan el conjunto de líneas que podrían ntersectar en un punto de fuga común. Estas característcas pueden ser gradentes de píeles (píeles con un gradente de ntensdad sgnfcatvo, calculado por ejemplo por el operador de Sobel), líneas (que se pueden obtener fáclmente a través de la Transformada de Houg) o segmentos de línea. De las característcas de la magen más utladas, están los segmentos de línea. Mucos autores an utlado los segmentos de línea, como Barnard [6], Collns [9], Brllault-OMaon [], Sufelt [], Antone Teller, Roter [6], Lebowt [4], Kosecká Zang [], Almansa et al. [9], Hu et al. [3], Seo et al. [8],Suttorp Bücer [5], Trn Jo [4], Kalantar et al. [5] Pflugfelder [5]. Otro autores como Tutelaar et al. [7], Mnagawa et al. [4] Canton et al. [] an utlado puntos, otros como Scndler Dellaert [6], Barnova et al. [7] an utlado bordes o gradentes de píeles, McLean Kour [] an utlado líneas, Rbero Hancock [8] an utlado teturas. 7

22 ..3 Tpo de estratega En las estrategas de deteccón de puntos de fuga se pueden dstngur normalmente dos pasos fundamentales, denomnados clusterng estmacón. En prmer lugar, se clasfcan las característcas de la magen en grupos o clusters que comparten un punto de fuga común. Y en segundo lugar, a partr de la nformacón del grupo se estma la poscón del punto de fuga. Los pasos de clusterng estmacón, se pueden realar de dstntas maneras se pueden clasfcar en propuestas teratvas no teratvas. Las estrategas teratvas se pueden clasfcar tambén en robustas (basadas en RANSAC) enfoques óptmos (basados en EM). En los sguentes apartados, se descrben las propuestas más relevantes en lo que a tpo de estratega se refere...3. Clusterng estmacón Los métodos de clusterng se pueden clasfcar en aquellos métodos que utlan algortmos de clusterng como k-means en aquellos que acen uso de espacos acumuladores en los que se buscan los mámos. En los métodos de estmacón se requere la defncón de una funcón de coste o funcón de error entre las característcas de la magen el punto de fuga. Esta funcón de error se mnma utlando métodos de optmacón. Los trabajos más antguos referentes a los métodos de clusterng, seguían las propuestas de Barnard [6] de utlar la esfera Gaussana como espaco acumulador. Algunos autores an utlado este método para el cálculo de la poscón de los puntos de fuga, otros lo an utlado para calcular la poscón de las celdas más votadas. La precsón de estos métodos depende báscamente en la resolucón de la dvsón de la esfera. Varos autores buscaron la manera de reducr el error asocado a las dferentes dmensones de las celdas. Entre ello, Lutton et al. [] con su propuesta de la dvsón "sem-regular" de la esfera. Y Quan Mor [8] que propuseron un esquema que utlaba la Transformada de Houg jerárquca. Tutelaars et al. [7] tambén o uso de espacos de acumulacón para la deteccón de puntos de fuga. Este método utla tres Transformadas de Houg en cascada, que transforman puntos de borde en líneas, líneas en nterseccón de puntos (de fuga), después líneas de fuga. Una gran ventaja se encuentra en que este método no sólo calcula la poscón de los puntos de fuga de las líneas de fuga que los unen, sno que tambén propone una transformacón que trabaja con puntos en el nfnto. De la msma manera que la esfera Gaussana, el espaco de acumulacón es lmtado, por lo tanto las celdas más lejanas al centro de los espacos de Houg defndos cubren regones mas grandes en el plano de la magen. Almansa et al. [9] propone una dvsón del plano de la magen de manera que cada celda acumuladora tenga la msma probabldad de que una línea de la magen pase a través de ella. Algunos autores an utlado una varedad de técncas de clusterng. Kosecká Zang [], McLean Kour [], Seo et al. [8], para obtener los clusters ncales sobre los cuales se ba a operar, realaron un análss del stograma de orentacones de los segmentos de línea. De manera alternatva, Magee Aggarwal [7] calcularon todos los puntos de nterseccón entre todos los segmentos de línea sobre la esfera Gaussana buscando los clusters utlando k-means. Por su parte, Barnova [7] utló Mean-Sft, mentras que Rbero Hancock [8] utlaron una transformacón basada en tetura sobre la que votar usando componentes espectrales en la esfera. 8

23 Dado un cluster, la estmacón del punto de fuga requere la defncón de una funcón de error. Esta funcón lustra el error que este entre un punto de fuga la característca de la magen que se espera que pase por ese punto de fuga. Por lo tanto, el error de un punto de fuga con respecto a todos los elementos del cluster se puede calcular se puede mnmar para encontrar el punto de fuga óptmo. El trabajo de Caprle Torre [] fue uno de los prmeros trabajos que utló funcones de error. En sí no defne una funcón de error eplícta sno que obtene el punto de fuga como meda del conjunto de nterseccones de todos los pares de segmentos de líneas en el cluster. McLean Kour [] propuseron un enfoque basado en métodos de optmacón. Brllault- OMaon [] Sufelt [] ntrodujeron el concepto de modelo de error para los segmentos de línea. Además. Sufelt [] propuso modelar los segmentos de línea como franjas de la esfera con la fnaldad de estmar el punto de fuga. Roter [6] utla una funcón de error defnda como la suma de los cuadrados de las dstancas entre los puntos fnales de los segmentos de línea la línea formada por el punto de fuga el punto medo del segmento de línea. Lebowt [4] aclara que el método propuesto por Roter [6] no es óptmo por su parte propone un método basado en mínmos cuadrados no lneales...3. Estrategas mtas Mucos autores acen uso de estrategas mtas teratvas, que realan los pasos de clusterng estmacón como un proceso alterno. Las técncas más utladas en este campo son las estrategas robustas, como RANSAC sus varantes, estrategas de optmacón, como el algortmo EM. Los métodos que se basan en RANSAC (RANdom Samplng And Consensus), selecconan sufcentes conjuntos de característcas de la magen, para calcular un canddato a punto de fuga después encontrar un conjunto de característcas que sean coerentes con este canddato. El punto de fuga puede ser reestmado consderando la nformacón que dan todos los elementos del grupo. Pflugfelder [5] ace uso de RANSAC para determnar más de un punto de fuga, para ello debe elmnar los segmentos de línea que fueron utlados para calcular un punto de fuga se renca la teracón RANSAC en busca de nuevos puntos de fuga. Este proceso se repte asta que no a segmentos de línea sufcentes para determnar nuevos puntos de fuga. El algortmo EM (Epectaton-Mamaton), a dferenca de RANSAC, asgna con una probabldad partcular cada segmento de línea a dferentes puntos de fuga. Se requere conocer ncalmente el número de puntos de fuga a determnar. Por lo tanto, el proceso termna cuando se conoce la poscón de todos los puntos de fuga. El trabajo de Scndler Dellaert [6] es propuesto como un modelo EM, que no requere de nformacón adconal sobre el escenaro (conocdo como mundo Atlanta), al contraro que otros trabajos que buscan tres puntos de fuga que se corresponden con las tres dreccones ortogonales del espaco Euclídeo (conocdo como mundo Manattan). Una de las grandes desventajas del algortmo EM es que se requere el conocmento prevo del número de puntos de fuga. Kosecká Zang [] son capaces de soluconar este problema, a partr de una etapa ncal de clusterng basada en stograma de orentacones. Otra de las desventajas es, que el algortmo EM es mu sensble a la ncalacón, de manera que s las poscones de los puntos de fuga son ncaladas lejos del objetvo mínmo, el algortmo es propenso a quedarse atascado en los alrededores de un mínmo ncorrecto. Antone Teller [], Kosecká Zang [], Mnagawa et al. [4] utlan como método de ncalacón la Transformada de Houg. 9

24 ..4 Número de puntos de fuga El número de puntos de fuga que se busca obtener depende de la aplcacón para la que se utlce. Para la rectfcacón de planos, se requere del conocmento de dos puntos de fuga. Sn embargo, para la autocalbracón de una cámara se necestan al menos tres puntos de fuga. Ha métodos que adaptan modelos asumendo la estenca de un únco punto de fuga, aunque se puedan obtener mucos puntos de fuga aplcando certas apromacones. Este es el caso de RANSAC que elmna el conjunto de característcas utladas para calcular el prmer punto de fuga, con el objetvo de calcular el sguente punto de fuga. Otros métodos consderan múltples puntos de fuga, de manera que son calculados de forma smultánea. Estos métodos se adaptan para consderar relacones fctcas entre los puntos de fuga, como Couglan Yulle [9] con la pótess del mundo Manattan, que aprovecan la suposcón de que esten tres puntos de fuga que son ortogonales entre sí. De manera smlar, Scndler Dellaert [6] con la pótess del mundo Atlanta asumen la presenca de mucos conjuntos ndependentes de tres puntos de fuga ortogonales entre sí..3 Clasfcacón de métodos de detecón de puntos de fuga En esta tabla, etraída de la tess doctoral de Marcos García Neto, Detecton and trackng of vansng ponts n dnamc envroments, se presenta una clasfcacón sobre los métodos de deteccón de puntos de fuga más relevantes. Fgura.3-: Clasfcacón de métodos de deteccón de puntos de fuga.

25 .4 Conclusón Una ve eco un repaso a los trabajos más representatvos acerca de los métodos de deteccón de puntos de fuga, como conclusón se van a presentar los dos métodos selecconados para llevar a cabo en este proecto fn de carrera. El prmer método es el método de ajuste de los pcos de la Transformada de Houg a snusode. En este caso, este método es elegdo por su smplcdad por la precsón en la deteccón de los puntos de fuga. Esta técnca se basa en la búsqueda del punto de fuga dentro de los límtes del plano de la magen. El segundo método elegdo es el método de la esfera Gaussana. Una de las grandes aportacones de este trabajo es la posbldad de detectar puntos de fuga fuera del plano de la magen o en el nfnto, además de detectarlos dentro del plano de la magen. Tambén, que partendo de un espaco lmtado este método es capa de mapearlo en un espaco lmtado como es el de la esfera undad. La fnaldad de este proecto es rectfcar planos, para ello es necesaro el conocmento de dos puntos de fuga. Los dos métodos selecconados son capaces de encontrar dos puntos de fuga. Sn embargo, el método elegdo para encontrar dos puntos de fuga, es el de ajuste de los pcos de la Transformada de Houg, en este caso, a dos snusodes. Este método es elegdo por una maor precsón en la búsqueda de la poscón del punto de fuga, en comparacón con el método de la esfera Gaussana. En resumen, la eleccón de un método u otro depende de las necesdades. S la necesdad es detectar con maor precsón la poscón del punto de fuga dentro de la magen se utlará el método de ajuste de los pcos de la Transformada de Houg a snusode. Por el contraro, s es necesaro encontrar puntos de fuga fuera del plano de la magen o en el nfnto, se optará por el método de la Esfera Guassana.

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27 3 Dseño En este capítulo se van a desarrollar los dos métodos elegdos para la deteccón de puntos de fuga, así como el preprocesamento requerdo de la magen. Los dos métodos elegdos son: el método de ajuste de los pcos de la Transformada de Houg a snusode el método de la Esfera Gaussana. En el prmer método desarrollado se podrá dstngur entre un ajuste a una snusode o a dos, dependendo de s la fnaldad es encontrar uno o dos puntos de fuga. Por otro lado, tambén se lleva a cabo un desarrollo de las técncas utladas para realar el cambo de perspectva de una magen. Este cambo de perspectva se reala medante omografías. Los dos casos de omografías, que en este capítulo se desarrollan, dependen de los datos prevos a realar la omografía. El prmer caso, es en el que se conocen 4 puntos de una magen sus correspondentes 4 puntos tras realar la omografía. En el segundo caso, se dspone del conocmento de la poscón de dos puntos de fuga. 3. Preprocesamento de la magen Antes de llevar a cabo todos los procesos que llevan a la obtencón del punto de fuga, es necesaro preparar la magen para ello. El proceso comena con una magen RGB, que es convertda a escala de grses. Una ve obtenda la magen en escala de grses, se aplca el algortmo de deteccón de bordes de Cann. Tras esta operacón se detectan los bordes más relevantes de la magen. Por últmo se aplca la Transformada de Houg, cuo resultado es la obtencón de las rectas prncpales de la magen. A contnuacón, se eplca más detalladamente el proceso anterormente ctado. Fgura 3.-: Imagen RGB. Se parte de una magen RGB ver Fgura 3-, por ello es necesaro un preprocesamento prevo de la magen. La Transformada de Houg requere como entrada una magen bnara. Para su obtencón, se converte en escala de grses la magen orgnal. Como resultado se obtene una magen, en la cual los valores de los píeles varían entre (negro) 55 (blanco). 3

28 Fgura 3.-: Imagen a escala de grses. A partr de aquí, se aplca el algortmo de Cann, que tene como objetvo asgnar o a cada píel, según forme o no parte de un contorno, de lo cual resulta una magen bnara, en la que se an detectado los bordes de la magen. Fgura 3.-3: Imagen procesada con el algortmo de Cann Una ve realado este preprocesamento, se lleva a cabo la Transformada de Houg. Como resultado, se obtene una matr del espaco de parámetros, cuas flas columnas se corresponden con los valores de ρ θ respectvamente. Una recta en el plano(, ) se representa en el plano ( ρ, θ ) a partr de la sguente epresón: ρ = cosθ + snθ Sendo ρ la longtud de una normal desde el orgen asta la recta, θ es el ángulo que forma la normal a la recta el eje X. 4

29 Más adelante, en el Aneo C se eplcarán más detalladamente el funconamento de la Transformada de Houg. Los elementos de la Transformada de Houg representan las celdas acumuladoras. Incalmente, el valor de cada una de estas celdas es. Para cada punto a de la magen se calcula ρ para cada valor de θ. ρ es redondeado a la fla más cercana posble de la transformada de Houg esa celda acumuladora es ncrementada. Al fnal de este proceso, un valor Q de la transformada de Houg en la fla columna j sgnfca que Q puntos en el plano XY caen sobre la línea especfcada por ρ() θ(j). Los valores de los pcos de la Transformada de Houg representan líneas potencales en la magen de entrada. (ver en más detalle el Aneo C referente a la Transformada de Houg). Transformada de Houg ρ θ Fgura Transformada de Houg de Fgura 3-3. Según el método utlado para obtener los puntos de fuga de la magen, se requerrá la obtencón de dos o más líneas de la magen. Por ello, dependendo de las necesdades del método se deberán varar certos parámetros del decsor de la erramenta que se utla para obtener la Transformada de Houg. Esto llevará a la obtencón de dos o más líneas en la magen. Estos parámetros son los sguentes: El número de pcos o mámos de la Transformada de Houg a localar. El umbral o número de votos a partr del cual un pco en la Transformada de Houg es consderado como tal. 5

30 3. Métodos de deteccón de puntos de fuga 3.. Método de ajuste de los pcos de la Transformada de Houg a snusode El preprocesamento necesaro para llevar a cabo este método tene como objetvo obtener las líneas prncpales de la magen. Estas líneas deben ser aquellas que la defnan de la mejor manera, vararán según las necesdades de cada caso. Los casos de estudo con este método son: mágenes con un punto de fuga, como es el caso de las mágenes de carreteras, aquellas con dos puntos de fuga, como las mágenes de matrículas de automóvles. Son estos dos casos los que a contnuacón se estudan. Para el caso de mágenes con un punto de punto de fuga se realará un ajuste a una snusode, mentras que en el caso de dos puntos de fuga el ajuste será a dos snusodes Ajuste a una snusode La fnaldad, en este caso, es la obtencón de un únco punto de fuga. Las mágenes sobre las que se analará este método, serán mágenes de carreteras, en las que el punto de fuga se encuentre en los límtes del plano de la magen. En líneas generales, para comenar se debe llevar a cabo un preprocesamento de la magen, que tene como objetvo preparar la magen para que pueda ser tratada. Posterormente, a la magen a tratada se le aplca la Transformada de Houg. Las correspondencas que esten entre el plano de la magen el de Houg, son las sguentes: un punto en el plano de la magen se corresponde con una snusode en el plano de Houg, un punto en el plano de Houg es una recta en la magen. Como resultado de la Transformada de Houg, se obtenen una sere de pcos o mámos. Los pcos suponen puntos donde ntersectan varas snusodes, lo que corresponde a rectas de la magen. S varas rectas de la magen fugan a un msmo punto, en el espaco de Houg ndca que varos mámos forman parte de una msma snusode. Por lo tanto, el procedmento consste en que los pcos obtendos tras aplcar la Transformada de Houg deben ser ajustados a una snusode. Este ajuste a una snusode se reala entonces, porque esta snusode en el plano de Houg se corresponderá con el punto de fuga en el plano de la magen. Es necesaro obtener las líneas prncpales de la carretera. Para ello se lleva a cabo un procesamento prevo de la magen a tratar, anterormente eplcado. Fgura 3.-: Prncpales líneas magen. 6

31 Una ve obtendas estas líneas la correspondente Transformada de Houg, se buscarán los pcos en el plano ρθ. Un pco consste en un punto en el plano de la transformada de Houg en el que ntersectan varas snusodes, por ello estos pcos representan las líneas potencales de la magen. El punto de nterseccón de estas líneas potencales en el plano de la magen debería ser el punto de fuga. Cada pco (que supone un punto en el plano ρθ) consste en una recta detectada en la magen. El prncpal problema está aora, en que se dspone de un conjunto de pcos de la Transformada de Houg que suponen muestras no una funcón contnua. Por lo tanto, la solucón se encuentra en convertr estas meddas dscretas, es decr, los pcos de la Transformada de Houg en una muestra contnua que las erramentas numércas puedan manejar. El objetvo es entonces, encontrar una técnca que obtenga una funcón, que se ajuste de la mejor manera a los pcos de la Transformada de Houg, en el sentdo de mnmar el error cuadrátco ρ θ Fgura 3.-: Pcos Transformada de Houg Fgura 3-5. Este tpo de ajuste se lleva a cabo medante mínmos cuadrados (dea propuesta por Canton[]), que tene como condcón la de mnmar el error cuadrátco. Esta mnmacón se puede llevar a cabo por cualquer tpo de funcón. Aunque la forma más senclla es realar el ajuste a un polnomo, en este caso es necesaro acerlo a una snusode. Se requere que el ajuste sea a una snusode, por la correspondenca que a entre el plano de la magen el plano ρθ, es decr, que una snusode en el plano ρθ consste en un punto en la magen. Por lo tanto, la snusode que por mínmos cuadrado se ajuste mejor a los pcos obtendos, será la que nos determnará el punto de fuga correspondente en la magen. Un caso partcular de ajuste de curvas, medante combnacón lneal de funcones, es el llamado polnomo trgonométrco de grado m. Un polnomo trgonométrco de grado m es una funcón polnómca Pm() obtenda medante la combnacón lneal de funcones trgonométrcas m sen m ) según la sguente epresón: ( cos ( ), cos ( ),, cos ( ), sen ( ), sen( ),, ( ) P m a m ( ) = + a cos( j) + b sen( j) j= j j 7

32 Según el teorema de la sere de Fourer dscreta de la funcón f ( ), los coefcentes del polnomo trgonométrco P m ( ) que mejor se ajustan, en el sentdo de los mínmos cuadrados, al conjunto de puntos {(, )} en este caso los pcos de la Transformada de Houg, venen dados por : k k a j n = f ( k ) cos( j), j =,,..., m n k= b j = n n k= f ( ) sen( j) k, j =,,..., m Gracas a la sere de Fourer, se consgue el ajuste de los pcos a una snusode ρ θ Fgura 3.-3: Ajuste a pcos Transformada de Houg. Dado que la curva obtenda es combnacón de varas snusodes, es mposble encontrar la correspondenca de esta curva con un punto en el plano de la magen. Por ello, una ve ajustados los pcos a una snusode, es necesaro muestrear esta funcón, dado que no podemos tomar nfntos puntos de esta snusode, además el coste computaconal de un muestreo en demasados puntos sería demasado grande. El muestreo llevado a cabo será en pasos de º. Es decr, se obtendrá para cada θ varando entre -9 º 9º, su correspondente valor de ρ. Cada muestra que se corresponde con un par ρθ, representa una recta en la magen. 8

33 El sguente paso es entonces, trasladar cada par ρθ a la magen, es decr, defnr las rectas en la magen que se corresponden con cada muestra en el plano ρθ. Para ello, se alla la ecuacón de cada recta medante la sguente epresón: cosθ ρ = + senθ sen θ En este caso, e determnarán las coordenadas (en píeles) en el plano de la magen. Ya que nuestra fnaldad es encontrar la poscón en píeles del punto de fuga, es necesara la defncón de un sstema de votacón. Cada par ρθ supondrá una recta en la magen. Cada una de estas rectas en la magen atravesará una sere de píeles. El objetvo es que cada una de las rectas vote sobre cada uno de los píeles que atravese. Por ello, se ace necesara la defncón de un sstema de votacón de las msmas dmensones que la magen. Para defnr este sstema, se genera una matr de la msma dmensón que la magen, e ncalmente su valor será. Cada recta (correspondente a cada muestra ρθ de la snusode ajustada a los pcos de la Transformada de Houg) está defnda en el plano de la magen. Se ace varar desde asta la dmensón X de la magen, se obtene su coordenada Y sobre la magen. De esta manera, se obtenen los píeles por los que pasa cada una de las rectas. El sstema de votacón se basa en que cada ve que una recta atravese un píel, la msma coordenada en la matr de votacón se ncremente en una undad. Una ve que se an evaluado todas las rectas en el sstema de votacón, se busca el valor mámo en la matr. La poscón en la que se encuentra este valor mámo de la matr de votacón es la que nos da la poscón en píeles del punto de fuga. Una de las grandes lmtacones de este método es que sólo es capa de encontrar los puntos de fuga dentro de los límtes de la magen. Esta lmtacón radca en que el sstema de votacón se defne con las msmas dmensones que la magen, por ello la búsqueda del mámo en esta matr se lmta a las dmensones de aquella. Una forma de poder salvar esta lmtacón sería la de aumentar las dmensones de la magen, pero dado que no se puede aumentar las dmensones de la magen asta el nfnto, se plantea utlar el método de la Esfera Gaussana Ajuste a dos snusodes En este caso, el objetvo es obtener dos puntos de fuga. Las mágenes sobre las que se basará el análss serán mágenes de matrículas de automóvles, en las que se encuentran presentes dos puntos de fuga dentro de los límtes de la magen. De la msma manera que en el caso del ajuste a una snusode, es necesaro un preprocesamento prevo de la magen. En este caso, es necesaro obtener las líneas prncpales que defnen la matrícula. Al menos se necestan obtener dos líneas en la orentacón orontal de la matrícula otras dos en la orentacón vertcal. La obtencón de las líneas prncpales de la matrícula, al gual que en el caso del ajuste a una snusode, se basa en la Transformada de Houg. 9