CUADERNO VII FORMAS CANONICAS DE LOS ENDOMORFISMOS

Transcripción

1 1 CUADERNO VII FORMAS CANONICAS DE LOS ENDOMORFISMOS Miguel A. Saiz, Joa Serarols, Aa M. Pérez Dep. de Iformática y Matemática Aplicada Uiversidad de Giroa RESUMEN: La matriz asociada a u edomorfismo f depede de la base de referecia del espacio vectorial. Por esto cabe pregutarse si existirá algua base respecto de la cual la matriz de f sea lo más simple posible. Obviamete las matrices más simples so la matriz ula y la matriz uidad, que o será matrices de f salvo e los casos particulares de que f sea la aplicació ula o la idética; exceptuadas éstas, las matrices más simples so las diagoales y vamos a resolver el problema de la diagoalizació de u edomorfismo, es decir, cuádo y cómo puede ecotrarse ua base respecto de la cual la matriz D de f sea diagoal. Veremos que o e todos los casos el problema de la diagoalizació tiee solució, por lo que para situacioes más geerales buscaremos otras matrices simples como las triagulares y la deomiada forma de Jorda. VII.1.- VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UN ENDOMORFISMO Sea f u edomorfismo de V, e.v.s. K = R o C, de dimesió, que respecto de ua base dada (e), tiee de matriz A y vamos a averiguar cuádo y cómo puede ecotrarse ua base respecto de la cual la matriz D de f sea diagoal. La relació etre ambas matrices es D = M -1 AM siedo M la matriz del cambio de base. Por ello, diagoalizar ua matriz cuadrada A es ecotrar ua matriz regular M tales que el producto M -1 AM sea ua matriz diagoal. Cuado el problema tega solució diremos que el edomorfismo, o la matriz, es diagoalizable y e tal caso, si (x) es la base de V respecto de la cual la matriz de f es λ 1.. λ λ será f(x 1 ) = λ 1 x 1 + x x f(x 2 ) = x 1 +λ 2 x x f(x ) = x 1 + x λ x

2 2 es decir, los vectores de la base so solucioes de la ecuació f(x) = λx que es la clave del problema. Caractericemos sus solucioes. Diremos que u vector x V es vector propio de u edomorfismo f si y sólo si existe u escalar λ K tales que f(x) = λx. Diremos que u escalar λ K es valor propio de u edomorfismo f si y sólo si existe u vector x tales que f(x) = λx. Así pues las solucioes de la ecuació aterior se deomia vectores y valores propios de f, está etre sí asociados y cumple las propiedades que se eucia e la Tabla VII.1.1 TABLA VII.1.1 Propiedades de los vectores y valores propios 1) es vector propio asociado a cualquier valor propio. 2) U vector propio x tiee u úico valor propio asociado. 3) Si λ es u valor propio, el cojuto de vectores propios V(λ) = {x V f(x) = λx } asociados a él es u subespacio de V co dim(v(λ)) 1. 4) Si λ es u valor propio de f, etoces 5) El subespacio V(λ) es ivariate por f. V(λ) = Nuc(f λi V ) 6) Si λ 1 y λ 2 so valores propios distitos, etoces V(λ 1 ) V(λ 2 ) = {} 7) Si λ 1,...,λ r so valores propios distitos, x 1 V(λ 1 )... x r V(λ r ) y x 1...x r so distitos de, etoces {x 1,...,x r } es l.i. 8) Si λ 1,...,λ r so valores propios distitos, etoces V(λ 1 )... V(λ r ) 9) Si dim(v) =, f tiee como máximo valores propios.

3 3 Demostracioes: 1) E efecto, para cualquier λ K se cumple que f() = = λ 2) Si el vector propio x tuviera dos valores propios asociados, sería 3) El cojuto f(x) = λ 1 x (λ1 λ 2 )x = λ 1 = λ 2 f(x) = λ 2 x V(λ) = {x V f(x) = λx} es u subespacio de V ya que para cualesquiera x 1,x 2 V(λ) y α,β K, se verifica f(αx 1 +βx 2 ) = αf(x 1 )+βf(x 2 ) =α(λx 1 )+β(λx 2 ) = λ(αx 1 +βx 2 ) es decir, αx 1 +βx 2 es u vector propio asociado a λ, luego αx 1 +βx 2 V(λ) Además dim(v(λ)) 1, pues por defiició de valor propio, existe u vector x, x V tal que x V(λ). 4) E efecto, si x V(λ) es f(x) = λx f(x) = λi V (x) f(x) λi V (x) = (f λi V )(x) = x Nuc(f λi V ) 5) E efecto, para cualquier x V(λ) es f(x) = λx V(λ). 6) Si los subespacios asociados a ambos valores propios distitos, V(λ 1 ) y V(λ 2 ), tiee algú vector comú x, será x V(λ 1 ) V(λ 2 ) f(x) = λ 1 x f(x) = λ 2 x (λ 1 λ 2 )x = x = 7) Por iducció sobre r : para r = 1 sea x V(λ) co x, luego {x} l.i. y la proposició es cierta. Supogámosla ahora válida para el caso de r 1 valores propios distitos dos a dos, y demostraremos que se cumple para r; sea β 1 x β r x r = f(β 1 x β r x r ) = β 1 λ 1 x β r λ r x r = Por otro lado si multiplicamos la ecuació de la idepedecia lieal por λ 1, que lo cosideramos distito de cero (si así o fuera, bastaría permutar el orde de los valores propios dados), y la restamos de la última igualdad aterior: β 2 (λ 2 λ 1 )x β r (λ r λ 1 )x r = que es ua combiació lieal de (r 1) vectores propios o ulos asociados a valores

4 4 propios distitos dos a dos; segú la hipótesis de iducció formará u cojuto l.i., lo que implica que β 2 (λ 2 λ 1 ) = β 2 =..... β r (λ r λ 1 ) = β r = pues para todo i j es λ i λ j por hipótesis. Sustituyedo estos valores e la ecuació de la idepedecia lieal, se obtiee β 1 x 1 = β 1 = al ser, por hipótesis, x 1. Así todos los coeficietes de la combiació lieal so ulos y el cojuto es l.i. 8) Imediato a partir de 6) 9) Por reducció al absurdo, si existiera más de valores propios distitos, eligiedo u vector o ulo de cada uo de sus subespacios de vectores propios asociados, tedríamos, segú la propiedad 7), más de vectores l.i. lo que o es posible e u e.v. de dimesió. Las propiedades ateriores de los vectores y valores propios caracteriza suficietemete a las solucioes de la ecuació básica f(x) = λx estado ahora e situació de resolverla. Primero hallaremos los escalares solució, los valores propios, y después los vectores propios. Si (e 1,...,e ) es ua base de V, respecto de la cual la matriz de f es a 11 a a 1 A = a 21 a a a 1 a 2... a de razoamietos aálogos a los ateriores, teemos λ valor propio de f existe x tal que (f λi V )(x) = f(x) λx = Nuc(f λi V ) {} lo que equivale a que det(a λi) = a 11 λ.. a a 1.. a λ = El desarrollo de este determiate, como suma de los productos de elemetos de cada fila y columa, dará ua ecuació poliómica e λ que se deomia ecuació característica y cuyas solucioes so los valores propios. El poliomio cuyos coeficietes so los mismos que los de la ecuació característica se deomia poliomio característico (p.c.). Su térmio

5 idepediete, al coicidir co el valor umérico del poliomio e, es el determiate de la matriz A y el térmio de mayor grado procederá del producto (a 11 λ)...(a λ) = ( 1) λ +( 1) -1 (a a )λ o habiedo igú otro sumado del desarrollo del determiate que dé u térmio co λ -1 (porque estaría formado por 1 factores del tipo (a ii λ) a los que forzosamete debiera acompañar como ésimo factor el biomio (a jj λ) restate, al o poder existir e u sumado dos elemetos de la misma fila o columa). Así pues la ecuació y el poliomio característicos so respectivamete ( 1) λ +( 1) -1 (a a )λ det(a) = ( 1) x +( 1) -1 (a a )x det(a) = Si referimos V a otra base, respecto de la cual la matriz de f fuera B se verifica que B = M -1 AM siedo M la matriz del cambio de base, de dode det(b λi) = det(m -1 AM λi) = det(m -1 (A λi) M) = det(m -1 ) det(a λi) det(m) = = (det(m)) -1 det(a λi) det(m) = det(a λi) es decir, la ecuació característica y el poliomio característico de f so idepedietes de la base respecto de la cual expresemos su matriz; por ello, tambié lo será sus coeficietes y raíces, es decir, e u cambio de base so ivariates: el poliomio característico, la ecuació característica, la suma de los elemetos de la diagoal, que se deomia traza de la matriz, su determiate y los valores propios. De acuerdo co las relacioes existetes etre raíces y coeficietes e u poliomio, la suma de los valores propios es igual a la traza de la matriz. 5 Ejemplo VII.1.1 Calculemos valores y vectores propios del edomorfismo de R 3 cuya matriz respecto de la base caóica es 3 2 A = 1 1 Los valores propios so las solucioes de la ecuació característica det(a λ I) = 3 λ 2 1 λ 1 λ = λ 3 +4λ 2 5λ+2 = que tiee como raíces 1 doble y 2 simple. Calculemos los vectores propios asociados a cada valor propio: para λ = 1 teemos

6 6 f(x) = x Ax = x (A 1I)x = x 1 x 2 = x 3 que da lugar a u sistema homogéeo de rago 1 y, por ello, equivalete a la ecuació 2x 1 +2x 2 = x 1 = x 2 V(1) = [(1, 1,),(,,1)] que es el subespacio de vectores propios asociados. Para λ = 2 : f(x) = 2x Ax = 2x (A 2I)x = x 1 x 2 = x 3 que da lugar a u sistema homogéeo de rago 2 y, por ello, su solució es x 1 2 = x 2 1 = x 3 V(2) = ( 2,1,) Sea λ 1 ua raíz de la ecuació característica, es decir, u valor propio. Se defie como dimesió del valor propio λ 1 la dimesió del subespacio V(λ 1 ) de vectores propios asociados. Si el orde de multiplicidad de λ 1 como raíz de la ecuació característica es k, se verifica que dim(v(λ 1 )) k E efecto, sea (e 1,...,e ) ua base de V y (u 1,...,u h ) ua base de V(λ 1 ); segú el teorema de Steiitz los h vectores de la base (u) puede sustituir a h vectores de la base (e), supogamos que a los h primeros, de maera que el resultado (u 1,...,u h,e h+1,...,e ) es ua base de V. Respecto de ella la matriz de f, de acuerdo co que será de la forma f : V V u 1 f(u 1 ) = λ 1 u 1 = λ 1 u u h +e h e u h f(u h ) = λ 1 u h = u λ 1 u h +e h e e h+1 f(e h+1 ) = a 1 h+1 u a h h+1 u h +a h+1h+1 e h a h+1 e e f(e ) = a 1 u a h u h +a h+1 e h a e A = λ 1 I A' h A''

7 cuya ecuació característica desarrollado el determiate de A λi por la regla de Laplace, es (λ 1 λ) h det(a'' λi) = que tiee por raíz λ 1 co multiplicidad h, como míimo, que es la dimesió de V(λ 1 ). Co los resultados obteidos hasta aquí sabemos calcular los valores propios de u edomorfismo f de u espacio vectorial V de dimesió fiita sobre u cuerpo K, e el caso de que exista, y los subespacios de los vectores propios asociados, estado ahora e codicioes de resolver el problema de su diagoalizació. 7 Ejercicios VII.1.- Sea u = (u 1,u 2,u 3 ) u vector o ulo de R 3 y sea la aplicació f : R 3 R 3 (x 1,x 2,x 3 ) f(x 1,x 2,x 3 ) = (u 2 x 3 u 3 x 2,u 3 x 1 u 1 x 3,u 1 x 2 u 2 x 1 ) Demostrar que es u edomorfismo, hallar su matriz respecto a la base caóica de R 3 determiado las bases de Nuc(f) e Im(f) y la dimesió de estos subespacios. Hallar los valores y los vectores propios de la aplicació. VII.2.- Sabiedo que f es u edomorfismo de R 3 diagoalizable que admite como vectores propios ( 1,2,2),(2,2, 1),(2, 1,2) y que f(5,2,5) = (,,7). Hallar los valores propios de f y su ecuació matricial. VII.3.- Sea f u edomorfismo de R 3 que tiee por valores propios 1, 2 y 1; y por vectores propios (1,1,1),(,1,2),(1,2,1) respectivamete. Hallar la matriz de f respecto de la base aterior y de la base caóica de R 3. VII.4.- Sea (e 1,e 2,e 3 ) ua base del espacio vectorial E sobre R. Dado el edomorfismo f : E E e 1 e 1 +3e 2 3e 3 e 2 2e 2 e 3 3e 1 +3e 2 e 3 Si (u 1,u 2,u 3 ) es ua base de E formada por los vectores propios de f, hallar las compoetes de los vectores u 1,u 2,u 3 respecto a la base (e 1,e 2,e 3 ). VII.5.- Demostrar que si h es valor propio de A, h lo es de A y los vectores propios correspodietes so los mismos y que si A es regular, 1/h es valor propio de A -1. VII.2.- DIAGONALIZACION DE UN ENDOMORFISMO Tres resultados expresa las codicioes para la solució del problema. El primero es ua codició ecesaria y suficiete y expresa que f es diagoalizable si y sólo si existe ua base de V formada por vectores propios. E efecto, si (x 1,x 2...,x ) es ua base de V formada por

8 8 vectores propios la matriz de f respecto de ella se obtiee de f : V V x 1 f(x 1 ) = λ 1 x 1 = λ 1 x 1 +x x x 2 f(x 2 ) = λ 2 x 2 = x 1 +λ 2 x x x f(x ) = λ x = x 1 +x λ x resultado como matriz de f la matriz diagoal y recíprocamete. λ 1.. λ λ Por tato, si V está referido a ua base (e) respecto de la cual la matriz de f es A, si ecotramos ua base (x) formada por vectores propios, la matriz de f será ua matriz diagoal D y la relació etre ambas será D = M -1 AM de acuerdo co la relació etre matrices e u cambio de base, siedo D la matriz diagoal formada por los valores propios, y M la matriz del cambio de base, cuyas columas está formadas por las compoetes respecto de la base (e) de los vectores propios de f. Ejemplo VII.2.1 Estudiemos la diagoalizació del edomorfismo del ejemplo VII.1.1, de matriz A = Sus valores propios era 1 doble y 2 simple y sus valores propios asociados formaba los subespacios V(1) = [(1, 1,),(,,1)] V(2) = [( 2,1,)] luego el edomorfismo es diagoalizable e la base formada por los vectores propios ((1, 1,),(,,1),( 2,1,)) siedo la expresió de su diagoalizació =

9 9 Para la matriz ecotramos B = det(b λ I) = 1 λ λ 2 1 λ = (1 λ ) 2 (2 λ ) = que tiee por raíces los valores propios 1 doble y 2 simple; calculemos sus vectores propios asociados: para λ = 1 teemos f(x) = x Bx = x (B 1)x = x 1 x 2 = x 3 que da lugar a u sistema homogéeo de rago 2 y, por ello, su solució es x 1 1 = x 2 = x 3 V(1) = [(1,,)] Para λ = 2 : f(x) = 2x Bx = 2x (B 2)x = x 1 x 2 = x 3 que da lugar a u sistema homogéeo de rago 2 y, por ello, su solució es x 1 2 = x 2 1 = x 3 V(2) = [(2,1,)] Si embargo o podemos ecotrar tres vectores propios que forme u cojuto l.i., luego o existe ua base de vectores propios y el edomorfismo o es diagoalizable. El segudo resultado es ua codició suficiete para que el edomorfismo sea diagoalizable y es cosecuecia directa del primero. Si f tiee valores propios λ 1,...,λ distitos e K, etoces f es diagoalizable. E efecto, segú la propiedad 7) de la Tabla VII.1.1 de propiedades de los vectores propios, podemos elegir u vector propio distito de, asociado a cada valor propio x 1 V(λ 1 ),..., x V(λ )

10 1 de maera que forme u cojuto l.i.; por esta razó, (x 1,...,x ) es ua base de V formada por vectores propios y, de acuerdo co el resultado aterior, f es diagoalizable. El tercer resultado completa las codicioes para que u edomorfismo f de u espacio vectorial V sobre K de dimesió, sea diagoalizable. Es codició ecesaria y suficiete para que f sea diagoalizable que la ecuació característica tega las raíces e el cuerpo K y que el orde de multiplicidad de cada raíz λ i sea igual a dim(v(λ i )). E efecto: Directo : Si f es diagoalizable, etoces existe ua base de V formada por vectores propios de f, tal que la matriz de f e esta base será: λ 1.. λ λ siedo λ i K los valores propios de f. Dado que la ecuació característica es la misma e cualquier base de referecia, será (λ λ 1 )(λ λ 2 )...(λ λ ) = cuyas raíces so los elemetos λ 1,...,λ, puede que alguos iguales etre sí, del cuerpo K. Agrupado los biomios iguales e esta ecuació teemos (λ λ 1 ) α 1...(λ λ i ) α i = co α α i =. Como para todo j = 1,..,i 1 dim(v(λ j ) α j al existir ua base de V formada por vectores propios y ser V(λ 1 ),...,V(λ i ) disjutos dim(v(λ 1 ))+...+dim(v(λ i )) = dim(v) = De las tres relacioes se deduce imediatamete que dim(v(λ j )) = α j. Recíproco: Si para todo j = 1,..,i es λ j K al ser α α i = y dim(v(λ j )) = α j, se verifica que dim(v(λ 1 )... V(λ i )) = por lo tato la reuió de las bases de V(λ j ) costituye ua base de V formada por vectores propios de f y f es etoces diagoalizable. Observemos que al ser los valores propios ivariates respecto a cualquier cambio de base, la matriz diagoal D o depede de la base iicial, e el setido de que es la misma cualquiera que sea la base de partida que da la matriz iicial del edomorfismo.

11 11 Ejercicios VII.6.- Determiar los valores y vectores propios de de la matriz A = Determiar ua matriz regular T, tal que T -1 AT sea diagoal y calcular T -1 verificado la exactitud de los cálculos. VII.7.- Resolver la ecuació matricial X -1 BX = C co α C = 1 1 y B = β 1 1 γ VII.8.- Dadas las matrices α 1 α 2 1 α 3 1 A = B = 1 α para α 1 =, α 2 =, α 3 =, α 4 =. Estudiar, e su caso, la diagoalizació. Idicar la matriz diagoal y la del cambio de base. VII.9.- Dada la matriz A = Hallar la matriz del cambio de base que la trasforma e diagoal y hallar ésta. VII.1.- Sea la matriz A = Hallar sus valores propios. Demostrar que es diagoalizable y determiar ua matriz de cambio secilla que permita la diagoalizació. Diagoalizar A 2 y A -1.

12 12 VII.11.- Sea f u edomorfismo de matriz asociada e ua cierta base de R 4 A = a) Hallar el poliomio característico. b) Es f diagoalizable?. c) E caso afirmativo, hallar ua base e la que f diagoaliza, así como la matriz asociada e esta base. VII.12.- Sea E el subespacio vectorial egedrado por las fucioes [1,se,cos] sobre R. Se cosidera el edomorfismo Φ : E f E Φ(f) = f ' Hallar a) Nuc (Φ). b) Rago de Φ. c) Matriz de Φ e la base (3 se x,4 cos x,6). d) Estudiar su diagoalizació. VII.13.- Siedo (u 1,u 2,u 3,u 4 ) ua base del espacio vectorial E sobre R, cosideremos el siguiete edomorfismo defiido por f(u 1 ) = α 1 u 2 f(u 2 ) = u 1 +au 3 f(u 3 ) = u 1 +α 2 u 2 u 3 f(u 4 ) = u 1 +α 3 u 2 +u 3 +α 4 u 4 para α 1 =, α 2 =, α 3 =, α 4 =. a) Clasificar el edomorfismo segú los valores de a y, cuado sea biyectivo, calcular las atiimágees de los vectores cuyas compoetes respecto de la base (u 1,u 2,u 3,u 4 ) so (1, 1,1, 1) y (2, 2,2, 2). c) Para que valores de a es diagoalizable el edomorfismo?. VII.14.- La matriz M = a 1 1 b 2 1/2 c 1 1/2

13 tiee como vectores propios (1,1,), ( 1,,2) y (,1, 1). Calcular la matriz M y sus valores propios. VII.15.- Dada la matriz 13 M = am 1 2 co a, m R y m estudiar su diagoalizació para los distitos valores de a. VII.16.- Estudiar segú los valores de a y b la diagoalizació del edomorfismo de R 4 que tiee por matriz asociada e la base caóica A = 1 a b VII.17.- Hallar α para que sea diagoalizable la matriz M = 1/2 α 2 3/2 2/2 1 2/2 1/2 α 2/2 1/2 Hallar ua base ortoormal de R 3 a partir de la base formada por sus vectores propios. VII.18.-Estudiar, segú los valores reales de α la diagoalizació de las matrices 1+α α α α A = 2+α α α 1 B = 1 α Para los valores de α que las hace diagoalizables hállese su forma diagoal D y la matriz regular P tal que D = P -1 AP. 1 VII.19.- Estudiar la diagoalizació de la matriz a 1 a ' b 2 a '' b ' c 2

14 14 VII.3.- POTENCIA DE UNA MATRIZ DIAGONALIZABLE El cálculo de la potecia de ua matriz diagoal es simple ya que se verifica que λ λ k = λ 1 k k.. λ E efecto por iducció sobre k, para k = 1 es evidete y si es cierto para k, etoces λ 1.. k+1 λ 1.. k λ 1.. λ 1 k λ = λ =.. λ k+1.. λ Si ua matriz A es diagoalizable existirá ua matriz regular M tal que D = M -1 AM es ua matriz diagoal; despejado y calculado la potecia teemos A k = (MDM -1 ) k = (MDM -1 ) (MDM -1 )... (MDM -1 ) = MD k M -1 y el cálculo de la potecia se reduce al caso de matriz diagoal. Ejemplo VII.3.1 Segú vimos e el Ejemplo VII.2.1, la matriz A = es diagoalizable, siedo = es decir =

15 15 por lo que, segú lo aterior, es, por ejemplo = = Veamos ahora dos aplicacioes del cálculo de la potecia de ua matriz diagoalizable, ua para el cálculo del térmio geeral de ua sucesió y otra e el estudio de alguos modelos matemáticos utilizados e Biología que describe diámicas de poblacioes. Sea (x ) N ua sucesió e R defiida e forma recurrete por x = ax 1 +bx 2 siedo 2 y a y b dos úmeros reales; esta sucesió queda determiada coociedo sus dos primeros térmios x y x 1. Para hallar el térmio geeral de esta sucesió, debemos escribirla e la forma x = ax 1 +by 1 y = x 1 que puede expresarse e forma matricial mediate x y = a b 1 x 1 y 1 Si A = a b 1, X = x y, X 1 = x 1 y 1 la igualdad aterior da lugar a X = AX 1, X 1 = AX 2,..., X 2 = AX 1, de dode sustituyedo sucesivamete se obtiee X = A 1 X 1 Si A es ua matriz diagoalizable existe ua matriz regular M y ua matriz diagoal D D = λ 1 λ 2 tales que A = MDM -1. E este caso A 1 = MD 1 M -1 X = M λ 1 1 λ 2 1 M-1 X x x -1 = M λ 1 1 x 1 λ M x

16 16 expresió que permite hallar el térmio geeral x de la sucesió. Ejemplo VII.3.2 Ua sucesió de este tipo es la llamada sucesió de Fiboacci para la que a = b = 1 y x = x 1 = 1, es decir x = x 1 +x -2 de forma que cada térmio es la suma de los dos ateriores; los primeros térmios so (1,1,2,3,5,8,13,21,34,...). Escrita la fórmula e forma matricial es co X = A 1 X 1 A = 1 1 1, X = x y, X 1 = 1 1 La matriz A es diagoalizable pues sus valores propios so distitos λ 1 = , λ 2 = cuyos subespacios de vectores propios asociados so La matriz M es, etoces V(λ 1 ) = [(λ 1,1)] y V(λ 2 ) = [(λ 2,1)] M = λ 1 λ y la potecia ( 1)-ésima de A es A 1 = MD 1 M -1 1 λ 1 = λ 1 λ 2 λ2 λ 1 1 λ2 1 λ 1 λ 2 (λ 2 1 λ1 1 ) λ 1 λ 2 (λ 2-2 λ1-2 ) Como X = A 1 X 1 x x -1 = 1 λ 1 λ 1 λ 2 λ2 λ 1 1 λ λ 1 λ 2 (λ 2 λ1 ) λ 1 λ 2 (λ 2 λ1 ) 1 Al ser λ 1 λ 2 = 1, el valor del térmio geeral x de la sucesió de Fiboacci resulta

17 17 ser igual a x = λ 1 +1 λ 2 +1 λ 1 λ 2 Veamos el plateamieto y resolució de alguos modelos matemáticos simples que describe la diámica que los procesos de acimieto y muerte iduce sobre ua població. Cosideraremos, e primer lugar, u modelo muy secillo e el que la població, e u período de tiempo de logitud t, es proporcioal a la població del período aterior, co ua costate de proporcioalidad fija k. Si p es el úmero de idividuos de la població e el período iicial, u itervalo de tiempo [t,t 1 ] de logitud t y p 1 es el úmero de idividuos de la població e el siguiete período, el itervalo de tiempo [t 1,t 2 ] (co t 2 = t 1 +t), y p es el úmero de idividuos de la població e el itervalo [t -1,t ] co (t = t +t), etoces p 1 = kp p 2 = kp 1... p = kp -1 p = k p U modelo de este tipo podría presetarse e el caso e el que las geeracioes (cada período es ua geeració) sea distitas, es decir, cada idividuo de cada geeració, produce k descedietes y después muere. Si k = 1, la població permaece costate si k > 1, la població aumeta y si < k < 1, la població decrece. Tambié tedríamos ua població que se correspodería co este modelo, si cosideramos que el icremeto de idividuos e cada período es igual al úmero de idividuos del período aterior multiplicado por ua costate. Si B(i) es el úmero de acimietos, D(i) el úmero de muertes y p i el úmero de idividuos e la geeració i, si hacemos b = B(i)/p i, fracció de acimietos por idividuo de la població e la geeració i d = D(i)/p i, fracció de defucioes por idividuo de dicha població e la geeració i Si supoemos b y d costates para todas las geeracioes, teemos etoces p i+1 p i = (b d)p i p i+1 = (1+b d)p i que es u modelo del tipo aterior para k = 1+b d. A la costate 1+b d se la deomia parámetro de Malthus, e hoor a Robert Malthus, y a este modelo, modelo de Malthus. Vemos que es u caso muy especial, pues o es lógico que b y d, o depeda de la geeració cocreta e que os situemos. Otro modelo secillo se preseta cuado teemos dos poblacioes e competecia X e Y. Sea X i = úmero de idividuos de la població X e el itervalo de tiempo [t i-1,t i ] co t i = t +it. Y i = úmero de idividuos de la població Y e el itervalo de tiempo [t i-1,t i ] co t i = t +it. Si cosideramos que la població X se comporta segú el modelo de Malthus X i+1 = kx i co k = 1+b x d x

18 18 y aálogamete para la població Y Y i+1 = k'x i co k' = 1+b y d y pero que e lugar de cosiderar cada població idepedietemete las supoemos ahora e competecia, e la cual, los idividuos de la població Y so depredadores de los idividuos de la població X, siedo α = úmero de presas cosumidas por cada idividuo de la població Y e el itervalo [t i-1,t i ] β = úmero de predadores producidos por presa cosumida e el itervalo [t i-1,t i ] se cumple que Expresemos este sistema e forma matricial X i+1 = kx i αy i Y i+1 = k'y i +βx i X i+1 = k α Y i+1 β k' X i Y i Si (X,Y ) es el vector que represeta la situació iicial, es decir X = úmero de idividuos de la població X e el istate t, Y = úmero de idividuos de la població Y e el istate t, y si etoces A = k α β k' X Y = A X Y Si la matriz A es diagoalizable co valores propios λ 1, λ 2, y vectores propios (u 1,u 2 ), es por tato A = MDM -1 y A = M λ 1 λ 2 M-1 X Y = M λ 1 X λ M-1 M -1 2 Y X Y = λ 1 λ 2 M-1 X Y

19 19 Como M -1 X so las compoetes del vector (X Y,Y ) expresado e la ueva base (u), existe a 1 y a 2 R tales que (X,Y ) = a 1 u 1 +a 2 u 2 M -1 X Y = a 1 a 2 y, aálogamete, como M -1 X so las so las compoetes del vector (X Y,Y ) expresado e la ueva base (u), existe b 1,b 2 R tales que De todo ello deducimos que (X,Y ) = b 1 u 1 +b 2 u 2 M -1 X Y = b 1 b 2 a 1 a 2 = λ 1 b1 λ 2 b2 Si estamos e el caso e el que λ 1 λ 2, por ejemplo λ 1 > λ 2, etoces a 1 u 1 +a 2 u 2 = λ 1 (b1 u 1 + λ 2 λ 1 b 2u 2 ) y lim + λ 2 λ 1 = por lo que M -1 X λ 1 b1 Y X M λ 1 b1 Y u 11 = u 12 λ 1 b1 u 21 u 22 X Y = λ 1 b1 u 11 u 21 = λ 1 b1 u 1 Es decir para valores de suficietemete grades el vector de població es proporcioal al vector propio asociado al valor propio de mayor valor absoluto. Ejemplo VII.3.3 Para las poblacioes e competecia dadas por X i+1 = 1'4 X i '2 Y i Y i+1 = '4 X i +'8 Y i

20 2 teemos A = 1'4 '2 '4 '8 λ 1 = 1'2, λ 2 = 1 u 1 = (1,1), u 2 = (1,2) M = luego X Y = 1'2 b y vemos que co el paso del tiempo, ambas poblacioes vive e ua situació de equilibrio, creciedo e la misma proporció, si b 1 es positivo. Ejercicios VII.2.- Dada la matriz A = a) Resolver si es posible la ecuació A = SDS -1 siedo D ua matriz diagoal. b) Demostrar A = SD S -1 co N y hallar A 15. VII.21.- Dos taques, de volúmees L 1 y L 2 (e litros), coteiedo solució salia se coecta etre ellos y el exterior segú idica la figura Q 1 L 1 L 2 x y Q 2 El líquido del primer taque se bombea al segudo a u régime de caudal costate Q 1 (e litros por miuto), asímismo hay u bombeo del segudo al primero co u caudal costate de Q 2. Se supoe que Q 1 Q 2, que cada taque siempre está lleo y que la mezcla es completa. Supoiedo que al comiezo del experimeto las masas de sal e cada taque so x e y, las masas de sal (e gramos) e u istate k depede de las masas de sal existetes e el istate aterior k 1, segú idica las ecuacioes del modelo discreto x k = x k-1 Q 1 x k-1 /L 1 + Q 2 y k-1 /L 2 + (Q 1 Q 2 )c y k = y k-1 +Q 1 x k-1 /L 1 Q 2 y k-1 /L 2 (Q 1 Q 2 )y k-1 /L 2

21 siedo c la cocetració de sal que lleva el líquido (e gramos litro) que, procedete del exterior, etra e el primer taque. Se pide 1) Iterpretar físicamete los sumados de cada ecuació. 2) Demostrar que para Q 1 = Q 2 el modelo tiee por expresió matricial x k = A k x, siedo x k la matriz de coteido de sal e los depósitos. Para x = 6, y =, L 1 = 3, L 2 = 1'5, Q 1 = '9 y Q 2 = '9 hallar la matriz A, la masa de sal e cada depósito a los 5 miutos y la masa de sal e ambos depósitos cuado el tiempo se hace grade. 3) Demostrar que para Q 1 > Q 2 la forma matricial es x k = A k x + (A k A+I)C. Para x = 6, y =, L 1 = 3, L 2 = 2, Q 1 = 1'2, Q 2 = '4 y c = '3 hallar las matrices A y C, la cocetració de sal e el agua de salida al cabo de 5 miutos y la masa de sal e ambos depósitos cuado el tiempo se hace grade. 21 VII.4.- DIAGONALIZACION DE LAS MATRICES REALES SIMETRICAS. Sea V u espacio euclidiao, co u producto escalar <,> y referido a ua base ortoormal (u 1,...,u ). Sea A ua matriz simétrica y f el edomorfismo de V que respecto a la base (u 1,...,u ) tiee por matriz A. Dada la simetría de A se tiee que ( x,y V) (<x,f(y)> = x t (Ay) = x t A t y = (Ax) t y = <f(x),y>) E estas codicioes se verifica las propiedades que se expoe e la Tabla VII.4.1 TABLA VII.4.1 Propiedades de las matrices reales simétricas 1) A real y simétrica, admite valores propios reales. 2) A real y simétrica, admite al meos u vector propio. 3) Si x e y vectores propios de f asociados a valores propios distitos, etoces x y. 4) x vector propio de f implica ( y V) (y x f(y) x). Demostracioes: 1) El poliomio característico de f es de grado y tiee raíces e C, al ser algebraicamete cerrado. Supogamos que λ C es ua de éllas, es decir, λ es valor propio de A, y x uo de sus vectores propios asociados distito de ; tedremos x = (x 1,...,x ) co x i C Ax=λx Sea x = ( x 1,...,x ) cuyas compoetes so los complejos cojugados de las compoetes

22 22 de x. Tedremos y como x t Ax = λx t x = λ i = 1 i = 1 x i x i = λ x i 2 x t Ax = x 1.. x a 1i x i i = a i x i i = 1 j = 1 = x j a ji x i i = 1 i,j = 1 = a ji x j x i su cojugado coicide co él, ya que por ser A ua matriz real simétrica a ji x j x i i,j = 1 i,j = 1 i,j = 1 = a ji x j x i = a ji x j x i por lo que es u úmero real. Así obteemos para el valor propio λ = a ji x j x i i,j = 1 x i 2 i = 1 R 2) Si el poliomio característico de f tiee, como hemos visto, raíces reales, iguales o distitas, como míimo admitirá ua sola raíz real de multiplicidad, valor propio de h que tedrá asociado u vector propio. 3) Como <h(x),y> = <x,h(y)>, si x e y so vectores propios asociados a valores propios λ y µ distitos,tedremos <f(x),y> = <λx,y> = λ<x,y> (λ µ)<x,y> = <x,y> = x y <x,f(y)> = <x,µy> = µ<x,y> 4) <x,f(y)> = <f(x),y> = λ<x,y> = λ = Cosideremos ua ueva base (e 1,...,e ) de V costruida de la siguiete maera: e 1 es u vector propio de f que esté ormalizado y (e 2,...,e ) ua base ortoormal de [e 1 ]. Respecto de esta base la matriz B de f es ua matriz simétrica ya que si M es la matriz del cambio de la base (u 1,...,u ) a la base (e 1,...,e ) es B = M 1 AM = M t AM = M t A t (M t ) t = (M t AM) t = B t Como f(e 1 ) = λe 1 y, debido a la propiedad 4) de la tabla aterior, si y [e 2,...,e ], etoces

23 23 f(y) [e 2,...,e ], la matriz B es B = λ.... A' siedo A' ua matriz tambié simétrica. Todos estos resultados ateriores coduce a la importate propiedad de que si A es ua matriz real simétrica, existe ua base ortoormal respecto de la cual A diagoaliza. E efecto, por iducció sobre el orde de A: Si = 1, como todo cojuto uitario es ortogoal, si e 1 es ua base de V etoces <e 1,e 1 > y si defiimos v 1 = 1 <e 1,e 1 > e 1 etoces (v 1 ) es ua base ortoormal de vectores propios. Si es cierta la propiedad para ( 1), etoces la restricció de f a [e 1 ] diagoaliza e ua base (v 2,...,v ) ortoormal, por lo que (v 1,v 2,...,v ) es ua base ortoormal de V e la cual f diagoaliza, por ser u 1 ortogoal a u 2,...,u al perteecer a [e 1 ]. Ejemplo VII.4.1 Sea u edomorfismo de R 2 cuya matriz respecto de la base caóica es la matriz simétrica A = 3 1. Su ecuació característica es 1 1 Sus valores propios so y sus vectores propios 3 λ λ = λ 2 4λ+2 = λ 1 = 2+ 2 λ 2 = 2 2 V(2+ 2) = [(1,1 2)] co v 1 = (1,1 2) vector propio

24 24 V(2 2) = [(1,1+ 2)] co v 2 = (1,1+ 2) vector propio Ambos subespacios so ortogoales, pues los valores propios so distitos. La base v 1 v 1, v 2 v 2 = , , , es efectivamete ortoormal y, e ella, la matriz toma la forma diagoal 1 1 t 1 1 λ 1 λ 2 = = Observació : Si partimos de u edomorfismo f que tiee por matriz la matriz simétrica A respecto de ua base (u) que o es ortoormal, respecto del producto escalar defiido e V, etoces o podemos seguir el proceso aterior. Ahora bie, si defiimos e V otro producto escalar g tal que g(e i,e j ) = δ ij, segú el razoamieto expuesto ates, ecotraremos ua base (ortoormal respecto de g) respecto de la cual A diagoaliza, como matriz de u edomorfismo y como matriz de ua forma cuadrática. Ejemplo VII.4.2 Sea R 2 referido a la base caóica co el producto escalar g 1 de matriz B = Efectivamete esta matriz defie u producto escalar ya que, por ejemplo g 1 (x,x) = x y x y = x 2 +2xy+2y 2 = (x+y) 2 +y 2 > si (x,y) (,) Como g 1 ((1,),(,1)) = 1 la base o es ortoormal respecto de este producto escalar y si embargo si lo es respecto del producto escalar ordiario. Sea la matriz simétrica A = Segú hemos probado, existe ua base de vectores propios (v 1,v 2 ) de V, ortoormal respecto a g 2 que diagoaliza a A, tato como matriz de ua aplicació lieal como matriz de ua forma cuádratica. E efecto los valores propios de A so:

25 λ λ = λ 2 λ 1 = λ 1 = y como vectores propios asociados v 1 = ( 1, 1+ 5 λ 2 = ) y v 2 = ( 1, 1 5 ) que so 2 2 ortogoales, por ser asociados a valores propios distitos, por lo que basta ormalizarlos para obteer la base de vectores propios, ortoormal respecto g 2, buscada 25 v 1 = 1 1+λ 1 2, λ 1 1+λ 1 2 v 2 = 1 1+λ 2 2, λ 2 1+λ 2 2 respecto de la cual M t AM = M -1 AM = D = λ 1 λ 2 siedo M = λ 1 λ 1 1+λ λ 2 λ 2 1+λ 2 2 Se observa que v 1 y v 2 o so ortogoales respecto g 1, e efecto: 1+λ 2 u u 2 = 1 1+λ 1 2 λ 1 1+λ λ 2 1+2λ λ 2 = 1 λ 2 λ 1 +2λ 1 λ 2 1+λ λ 2 2 Así pues, dada ua matriz simétrica si la base e la que viee expresada es ortoormal, respecto del producto escalar defiido, existe ua base de vectores propios ortoormal, respecto de la cual diagoaliza. Si, como e este último ejemplo, la base de orige o es ortoormal, existe la base de vectores propios respecto de la cual diagoaliza, pero o es ortoormal. VII.5.- SIGNO DE UNA FORMA CUADRATICA Como aplicació de la diagoalizació de ua matriz real simétrica, veamos la deomiada regla de Silvester para estudiar el sigo de ua forma cuadrática. Recordemos que ua forma cuadrática f c, defiida e V e.v.s. R, es defiida positiva si y sólo si se verifica que ( x V) (x f c (x) > ). (Aálogamete defiida egativa). Estudiaremos el sigo de ua forma cuadrática f c, cuya matriz es A = (a ij ) M (,) (R) simétrica. U resultado previo ecesario es el siguiete:

26 26 "Si ( x R ) (x x t Ax > ), etoces existe matrices 1.. t t t 1.. t -1 1 d 1.. L = D = d tales que A = LDL t d 1 = a 11 d k = det(a k )/det(a k-1 ) (para k = 2,...,) siedo A k la submatriz de A formada por las k primeras filas y k primeras columas". Demostració: Tegamos e cueta, e primer lugar que 1) Si existe L y D y se defie las matrices L k y D k de forma aáloga a A k, es simple comprobar que ( k {1,..., 1}) (A k = L k D k L k t ) 2) Las matrices A k defie formas cuadráticas defiidas positivas, es decir, se cumple que ( k {1,..., 1}) ( x R k ) (x x t A k x > ) pues si x t A k x tomado x'= (x 1,...,x k,,...,) R sería x' t Ax' = x t A k x lo que va cotra la hipótesis sobre la matriz A. 3) Los cocietes d k so positivos pues si para algú i fuera d i, co el vector x i = (,..,1,..,) tedríamos x t i D k x i = d i x t i D k x i = xt i L-1 k L k D k Lt k (Lt k )-1 x i = y t A k y para y = (L t k )-1 x i, que es distito de pues x i, lo cual es ua cotradicció co la hipótesis sobre A. Demostremos ahora el resultado por iducció sobre el orde de A: Si = 1 es trivial. Si = 2, etoces A = a b b c = 1 b/a 1 a (ac-b 2 )/a 1 b/a 1 2 ac b co lo que si a = d 1 y = d 2 vemos que se cumple d 1 = a y d 2 = det(a 2 )/det(a 1 ). a Supogamos la afirmació cierta para k = ( 1) y veamos que se cumple para el caso k =. Aplicado la hipótesis de iducció a A -1 se cumplirá que existe L -1 y D -1 tales que

27 27 A -1 = L -1 D -1 L-1 t d 1 = a 11 d k = det(a k )/det(a k-1 ) (para k = 2,..., 1) Plateemos ahora la ecuació cuyas icógitas so t 1,...,t -1, y d A = L -1 t 1.. t -1 1 d d -1.. d t L -1 t 1 t -1 1 = y efectuado el producto por bloques, se obtiee A = t L -1 D -1 L -1 L -1 D -1 T t t TD -1 L -1 TD -1 T t +d t dode T = (t 1,...,t -1 ) TD -1 L -1 = ( a 1 a 2.. a -1 ). El sistema de ecuacioes d 1 t 1 = a 1 y como d 1 = a 11 >, existe t 1 d 1 t 21 t 1 +d 2 t 2 = a 2 y como d 2, existe t d 1 t 1 t d -1 t -1 = a -1 y como d 1, existe t 2 Al ser d = a TD -1 T t y A = LDL t, etoces det(a) = det(d) = d 1...d d = det(a)/(d 1...d -1 ) = det(a)/det(a -1 ) Ejemplo VII.5.1 El proceso de la demostració aterior aplicado a la matriz A = sigue: las matrices tipo A k 1 1/2 2 1/ será como y como hemos visto que A 1 = 1 A 2 = 1 1/2 1/2 1 a b b c = 1 b/a 1 a (ac-b 2 )/a 1 b/a 1 tedremos que

28 28 1 1/2 1/2 1 = 1 1/ /4 1 1/2 1 Plateamos el sistema cuyas icógitas so t 1, t 2 y d 3 1 1/2 2 1/ = 1 1/2 1 t 1 t /4 d 3 1 1/2 t 1 1 t 2 1 = 1 1/2 t 1 1/2 1 t 1 /2+3t 2 /4 t 1 t 1 /2+3t 2 /4 t t2 2 /4+d3 lo que da t 1 = 2 t 1 = 2 t 1 /2+3t 2 /4 = t 2 = 4/3 2 2 t 1 +3t2 /4+d3 = 7 d 3 = 5/3 Luego las matrices L y D tales que A = LDL t so L = 1 1/ /3 1 D = 1 3/4 5/3 Vamos a demostrar a partir de este resultado aterior el método deomiado Regla de Silvester, para estudiar el sigo de ua forma cuadrática. E las hipótesis ateriores, so equivaletes las proposicioes: 1) A es la matriz de ua forma cuadrática defiida positiva. 2) Todos los valores propios λ i de A, cumple que λ i >. 3) Todas las matrices A k tiee determiate positivo. 4) Todos los d i so positivos, para todo i = 1,...,. Demostració: 1) implica 2): Si x i V(λ i ) y x i, etoces x i t Ax i = x i t λ i x i = λ i x i 2 > λ i > 2) implica 1): Existe ua base e la cual A diagoaliza como aplicació lieal y como forma cuadrática, luego para u vector cualquiera x = (x 1,...,x ) R λ 1 f c (x) = x t x = λ 1 x λ x > λ por ser λ i > para todo i = 1,...,.

29 1) implica 3): Hemos visto ateriormete que A k es la matriz de ua forma cuadrática defiida positiva, luego todos sus valores propios so positivos, por lo que det(a k ) > 3) implica 4): Sabemos que para todo k = 2,..., es d 1 = a 11 > y d k = det(a k )/det(a k-1 ), luego d k > 4) implica 1): Observemos que si e la demostració del resultado previo e vez de supoer A defiida positiva supoemos d i >, para i = 1,..., 1, obteemos el mismo resultado. Por tato A = LDL t y como y = x t L y d i >, tedremos Aálogamete se deduce que so equivaletes: x t Ax = x t LDL t x = d 1 y d y 2 > 1) A es la matriz de ua forma cuadrática defiida egativa 2) Todos los valores propios λ i de A, cumple que λ i < 3) ( 1) k det(a k ) > 4) Todos los d i satisface d i <, para todo i = 1,...,. 29 Ejemplo VII.5.2 Para la forma cuadrática defiida sobre R 3, que tiee por matriz la aterior A = 1 1/2 2 1/ estudiamos su sigo, para lo cual hallamos det(a 1 ) = 1 > det(a 2 ) = 1 1/2 1/2 1 = 3/4 > det(a 3 ) = 1 1/2 2 1/ = 5/4 > de lo que se deduce que la forma cuadrática es defiida positiva.

30 3 VII.6.- REDUCCION DE MATRICES A FORMA TRIANGULAR Si u edomorfismo f o tiee suficietes vectores propios como para formar ua base, o existe igua base de V respecto de la cual la matriz de f es diagoal. No obstate, si la ecuació característica tiee sus raíces perteecietes a K, lo cual ocurrirá, p.ej., si K es algebraicamete cerrado, existe ua base respecto de la cual la matriz de f es triagular. Se demuestra por iducció; e efecto: para = 1 es trivial y supogamos el resultado cierto para los edomorfismos de espacios vectoriales sobre K de dimesió 1; sea (e 1,...,e ) la base de V respecto de la cual la matriz de f es A y λ 1,...,λ las raíces de la ecuació característica. Existe u vector u 1 V, o ulo, tal que f(u 1 ) = λ 1 u 1 por lo que {u 1 } es l.i. y puede sustituir a u vector de la base (e), supogamos al primero para fijar ideas, de forma que (u 1,e 2,...,e ) es base de V. La matriz de f e esta base será: λ 1 b 12.. b 1 B = b 22.. b b 2.. b = Q -1 AQ siedo Q la matriz del cambio de la base (e 1,e 2,...,e ) a la (u 1,e 2,...,e ). Su ecuació característica es λ 1 λ b 12.. b 1 det(b λi) = b 22 λ.. b b 2.. b λ = que por hipótesis, tiee sus raíces e K. Sea F el subespacio de V geerado por los vectores e 2,...,e que al formar u cojuto l.i. hace que dim(f) = 1, y sea la aplicació g : F F e 2 g(e 2 ) = f(e 2 ) b 12 u e g(e ) = f(e ) b 1 u 1 cuya matriz respecto de la base (e 2,...,e ) es, como puede comprobarse fácilmete b 22 b 23.. b 2 C = b 32 b 33.. b b 2 b 3.. b de ecuació característica

31 31 det(c λi) = b 22 λ b 23.. b 2 b 32 b 33 λ.. b b 2 b 3.. b λ = y sus raíces so los valores propios de B, excepto ua vez λ 1, y, por ello, elemetos de K. Por hipótesis de iducció, hay ua base (w 2,...,w ) de F w 2 = p 22 e p 2 e w = p 2 e p e tal que, respecto de ella, la matriz de g es triagular c 22 c 23.. c 2 T = c 33.. c c Por costrucció de F es V = [u 1 ] F y la matriz de f e la base (u 1,w 2,...,w ) es triagular ya que f(u 1 ) = λ 1 u 1 = λ 1 u 1 + w w f(w 2 ) = f(p 22 e p 2 e ) = p 22 f(e 2 )+..+p 2 f(e ) = p 22 (g(e 2 )+b 12 u 1 )+..+p 2 (g(e )+b 1 u 1 )= = (p 22 b p 2 b 1 )u 1 +p 22 g(e 2 )+..+p 2 g(e ) = (p 22 b p 2 b 1 )u 1 +g(p 22 e p 2 e )= = (p 22 b p 2 b 1 )u 1 +g(w 2 ) = (p 22 b p 2 b 1 )u 1 +c 22 w 2 + w w razoado de forma igual para los demás vectores de la base. Siguiedo la idea de esta demostració puede deducirse u procedimieto práctico para triagulizar ua matriz A = (a ij ). Coocido u valor propio λ 1 y u vector propio asociado u 1, formamos la matriz cuadrada Q 1 de orde, regular y cuya primera columa sea las compoetes del vector u 1, que tedrá algua compoete o ula u i1 ; las demás columas so tales que el meor complemetario de esta compoete sea el determiate de la matriz uidad I -1 y la fila e la que está se completa co ceros co lo cual Q 1 es la matriz del cambio de la base (e 1,e 2,...,e ) a la (u 1,e 2,...,e ). Tedremos así Q 1-1 AQ 1 = λ 1 b b 1 b b 2 = b 2... b λ 1 B 1 A 1 Reiteramos el proceso para la matriz A 1, de orde 1; coocido u valor propio λ 2, que lo es

32 32 tambié de A, y u vector propio asociado u 2, formamos la matriz cuadrada Q 2 de orde 1, cuya primera columa sea las compoetes del vector u 2, y las demás columas costruidas de modo aálogo al aterior, es decir, a partir de ua compoete o ula completar co el determiate de la matriz I -2 y ceros. Tedremos Q 2-1 A 1 Q 2 = λ 2 b 23 '... b 2 ' b 33 '... b 3 ' = b 3 '... b ' λ 2 B 2 A 2 Repetimos el proceso 1 veces, hasta obteer Q = Q 1 I 1 Q 2 I 2 Q 3... I 2 Q 1 siedo I r (para r = 1,.., 2) la matriz uidad de orde r, de modo que Q -1 AQ es ua matriz triagular. Ejemplo VII.6.1 Para la matriz A = se procede como sigue. Los valores propios de A so λ = 1 (triple) y λ = 2 (simple) y los subespacios de vectores propios V(1) = [(3,6, 4, 5)] y V(2) = [(2,3, 2, 3)], como fácilmete puede comprobarse. Plateamos ua matriz Q 1 = para la cual se obtiee Q 1-1 = 1/ /3 1 5/3 1 Q 1-1 AQ1 = 1 4/3 1/3 4/ /3 1/3 7/3 8/3 8/3 2/3 La matriz A 1 será

33 33 A 1 = /3 1/3 7/3 8/3 8/3 2/3 que tiee como valor propio a λ = 1, siedo el subespacio de vectores propios por lo que si costruimos la matriz V(1) = [(1, 1,)] Q 2 = será Q 2-1 = Q 2-1 A1 Q 2 = /3 5/3 8/3 2/3 co lo que A 2 = 11/3 5/3 8/3 2/3 que tiee como valor propio a λ = 1, siedo su subespacio de vectores propios V(1) = [(5, 8)] Formamos ahora la matriz para la cual Q 3 = Q 3-1 = 1/5 8/5 1 Q 3-1 A2 Q 3 = 1 1/3 2 La matriz del cambio de base que triaguliza a A es Q = = ya que efectivamete

34 34 Q -1 AQ = / /3 2 es ua matriz triagular. Este proceso de triagulació puede simplificarse si efectuamos ua diagoalizació parcial previa y después triagulizamos la parte de matriz o diagoalizada. Sea λ 1,..., λ k los distitos valores propios de A, sea dim(v(λ i ) = r i y (u i1,...,u iri ) ua base de vectores propios de V(λ i ) (para i = 1,...,k) y sea s = r r k. De acuerdo co el teorema de Steiitz los s vectores u ij puede sustituir a s vectores de la base (e 1,...,e ) de V de modo que el resultado (u 11,...,u 1r1,...,u k1,...,u krk,e ' s+1,...,e ' ) es otra base de V. La matriz de f e esta base es A 1 = λ 1.. C' λ k C Si el p.c. de f tiee todas sus raíces e K, el p.c. de la matriz C tambié tiee todas sus raíces e K, por lo que existe s vectores que forma ua base de K -s respecto de la cual la matriz C es triagular; si V la matriz cuyas columas so las compoetes de estos s vectores respecto de la base (e' s+1,...,e' ) tedremos TC = V-1 CV siedo T C la matriz triagular. La matriz M = I s V triaguliza la matriz A 1. E efecto T = M -1 A 1 M = I s V -1 λ 1.. C' λ k C I s V = λ 1.. λ k C' V -1 V C V

35 35 es decir T = λ 1.. C' ' λ k T C Desde u puto de vista práctico el proceso a seguir que este razoamieto justifica es 1) Hallar la base (u 11,...,u 1r1,...,u k1,...,u krk,e ' s+1,...,e ' ). 2) Calcular la matriz A 1. 3) Triagulizar la matriz C. 4) Costruir la matriz M y hallar la matriz triagular T. Ejemplo VII.6.2 Para la matriz del ejemplo aterior VII.8.1 A = al ser los valores propios λ 1 = 1, triple y λ 2 = 2, simple, co V(1) = [(3,6, 4, 5)] y V(2) = [(2,3 2, 3)] la base resultado de sustituir dos vectores de la base caóica por (3,6, 4, 5) y (2,3 2, 3) es ((3,6, 4, 5),(2,3 2, 3),(,,1,),(,,,1)).Haciedo el cambio de base calculamos la matriz A 1 = = 1 13/3 4/ /3 1/3 1/3 2/3 4/3 1/3 13/3 4/3 y las matrices C = y C' = 1/3 2/ Triagulizamos C calculado sus valores y vectores propios co lo que 4/3 λ 1/3 1/3 2/3 λ = λ 2 2λ+1 = λ =1 doble y V(1) = [(1, 1)]

36 36 Q 1 = T C = Q 1-1 CQ1 = 1 1/3 1 Como V = Q 1 = C'' = C'V = 13/3 4/ = 3 4/3 3 4 La matriz del cambio de base que triaguliza a A 1 es M = T = M -1 A 1 M = /3 4/ /3 1/3 1/3 2/ = ya que 1 3 4/ /3 1 por lo que la matriz triaguliza A. VII.7.- FORMA DE JORDAN Si los valores propios o perteece al cuerpo K, el edomorfismo o es diagoalizable i triagulizable por lo que es coveiete ivestigar uevas formas matriciales simples. Las más secillas podría ser aquellas que e sus filas o columas preseta o más de dos elemetos distitos de cero. Estas matrices existe y recibirá el ombre de matrices de Jorda. Sea V e.v.s. K y f u edomorfismo de V. La aplicació de K[X], que es el aillo de los poliomios sobre K, e Ed(V), que es el aillo de los edomorfismos de V, e la que la image de u poliomio P(X) = a +a 1 X+...+a X es el edomorfismo P(f) = a +a 1 f+...+a f (dode f es la aplicació compuesta fofo.. ṇ of) es compatible co la suma y producto ya que para todo par de poliomios P,Q K[X] (P+Q)(f) = P(f)+Q(f) (PQ)(f) = P(f)oQ(f) Se trata pues de u morfismo que hace que el cojuto de edomorfismos que so combiació lieal de potecias de f sea u subaillo de Ed(f), comutativo y de itegridad. El úcleo de este morfismo está formado por los poliomios cuya image es la aplicació ula; si u

37 poliomio P(X) perteece a este úcleo se le deomia poliomio aulador (p.a.) de f ya que, e este caso P(f) = a +a 1 f+...+a f = V El poliomio ulo es, obviamete p.a. de f y tambié lo es el poliomio característico (p.c.) tal como asegura el teorema de Hamilto-Cayley: "Si P c (λ) es el poliomio característico de u edomorfismo f de V, etoces es tambié poliomio aulador de f, es decir, P c (f) = V " E efecto, al poliomio λ va asociada la aplicació f y para cualquier vector de la base es f(e i ) = a 1i e a i e Sea la matriz B(λ) = A λi y su matriz adjuta B*(λ) co lo que Como B*(λ)B(λ) = det(b(λ)) I 37 B(f) e 1 (a 11 f)(e 1 )+...+a 1 e... = e a 1 e (a 1 f)(e ) =... teemos para todo i = 1,..., P c (f)(e i ) = B*(f)B(f)(e i ) = luego P c (f) es la aplicació ula. Veamos ahora uas importates propiedades que relacioa los úcleos de los edomorfismos defiidos por los poliomios de K[X]. Sea P(X) u poliomio, P(f) el edomorfismo que defie y Nuc(P(f)) su úcleo. Lema 1.- El subespacio Nuc(P(f)) es ivariate por f. E efecto, para cualquier vector x Nuc(P(f)) es P(f)(x) = = f(p(f)(x)) = P(f)(f(x)) luego f(x) Nuc(P(f)), es decir, f(nuc(p(f))) Nuc(P(f)). Lema 2.- Si P(X) es divisor de otro poliomio Q(X), etoces Nuc(P(f)) Nuc(Q(f)). E efecto, si Q = PC, etoces para cualquier x Nuc(P(f)) es luego x Nuc(Q(f)). Q(f)(x) = C(f)(P(f)(x)) = C(f)() =

38 38 Lema 3.- Sea P u poliomio aulador de f y sea 1 k P = P 1...P k su descomposició e factores primos. Si U i = Nuc(P i i (f)), etoces V = U 1... U k Por iducció sobre k. Para k = 2, como P es u p.a. de f si su descomposició factorial es P = Q 1 Q 2, siedo Q 1 y Q 2 poliomios primos etre sí, por propiedades de la divisibilidad existe otros dos poliomios B 1 y B 2 tales que B 1 Q 1 +B 2 Q 2 = 1 ( u V) (u = (B 1 Q 1 )(f)(u)+(b 2 Q 2 )(f)(u)) Como (B 1 Q 1 )(f)(u) Nuc(Q 2 (f)), ya que (Q 2 (B 1 Q 1 ))(f)(u) = (B 1 (Q 1 Q 2 ))(f)(u) = B 1 (f)() = y (B 2 Q 2 )(f)(u) Nuc(Q 1 (f)), segú demuestra u razoamieto aálogo, etoces se verifica que Nuc(Q 1 (f)) Nuc(Q 2 (f)) = {} pues si u Nuc(Q 1 (f)) Nuc(Q 2 (f)) sería Q 1 (f)(u) = y Q 2 (f)(u) = por lo que u = (B 1 Q 1 )(f)(u)+(b 2 Q 2 )(f)(u) = B 1 (Q 1 (f)(u))+b 2 (Q 2 (f)(u)) = Así teemos que V = Nuc(Q 1 (f)) Nuc(Q 2 (f)), luego el resultado es válido para k = 2. 2 Supogámoslo válido para k 1; si Q = P 2...P k k, etoces P = P 1 1 Q y, por el resultado aterior, es V = Nuc(P 1 1 (f)) Nuc(Q(f)). Como u p.a. de la restricció f Nuc(Q(f)) es Q, que se descompoe e k 1 factores primos, podemos aplicar la hipótesis de iducció al subespacio Nuc(Q(f)) obteiédose Nuc(Q(f)) = F' 2... F' k siedo F i ' = Nuc(P i i (f)) Nuc(Q(f)). Pero al ser F i ' = Nuc(P i i (f)) ya que x Nuc(P i i (f)) P i i (f)(x) = Q(f)(x) = (P P i-1 i-1 P i+1 i+1...p k k )(f)(x) = es Nuc(Q(f)) = Nuc(P 2 2 (f))... Nuc(P k k (f)) y el Lema queda demostrado. Observació : E particular si la descomposició factorial del p.c. es P c = P 1 m 1...P k k, etoces V = Nuc(P 1 m 1 (f))... Nuc(P k m k (f)) y este lema, juto co el Lema 1, reduce el estudio de u edomorfismo sobre u espacio arbitrario al estudio del edomorfismo e u espacio e el que el poliomio característico es ua potecia de u poliomio primo.

39 39 Sea V e.v.s. K que sea o el cuerpo R o u cuerpo algebraicamete cerrado, p.ej. el cuerpo C, por lo que todo poliomio primo es de grado 1 o 2; sea (e 1,...,e ) ua base de V y f u edomorfismo de V cuya matriz respecto de la base es A = (a ij ) y, de acuerdo co la observació del Lema 3, cuyo p.c. sea potecia de u poliomio primo P c (λ) = P m (λ) siedo P u poliomio uitario de grado igual a 1 o 2. Cosideremos los úcleos de los edomorfismos defiidos por las sucesivas potecias de P que, de acuerdo co el teorema de Hamilto-Cayley y el Lema 2, verificará {} = Nuc(P (f)) Nuc(P 1 (f))... Nuc(P m (f)) =V Sea s el meor úmero atural tal que Nuc(P s (f)) = Nuc(P m (f)), lo que equivale a que s m y Nuc(P s-1 (f)) Nuc(P s (f)). Lema 4.- Sea el poliomio primo P(x) R(x). La relació biaria sobre R(x) defiida por A(x) R B(x) si y sólo si A(x) B(x) es múltiplo de P(x) es de equivalecia y el cojuto cociete K = R(x)/R es u cuerpo para las operacioes <A(x)>+<B(x)> = <A(x)+B(x)> y <A(x)> <B(x)> = <A(x) B(x)> E efecto, demostrar que la relació es de equivalecia es imediato, al igual que las codicioes de cuerpo para (K,+, ). La clase ula está formada por los múltiplos de P(x). Lema 5.- Si V es e.v.s. R, P(x) es u poliomio aulador de V y P(x) es primo, etoces V es tambié u espacio vectorial sobre el cuerpo K. E efecto, la operació extera <A(x)>u = A(f)(u) está bie defiida, pues A 1 (x), A 2 (x) <A(x)> A 1 (x) = A 2 (x)+m(x)p(x) A 1 (f)(u) = A 2 (f)(u) y las propiedades de espacio vectorial, correspodietes a esta operació, so imediatas. Lema 6.- Si P(x) = a +a 1 x+a 2 x 2 es u poliomio aulador de V e.v.s. R y P(x) es primo, para todo u V el subespacio [u] de V e.v.s. K es igual al subespacio [u,f(u)] de V e.v.s. R. E efecto, [u] = {<A(x)>(u) <A(x)> K} = {(A(f)+M(f)P(f))(u) A(x) R(x), gr(a(x)) 1} = {A(f)(u) A(x) R(x), gr(a(x)) 1} = {(a+bf)(u) a,b R} = [u,f(u)] Veamos a cotiuació el teorema que proporcioa la base para la forma de Jorda de u edomorfismo f sobre u espacio vectorial V cuado el poliomio característico es potecia de u poliomio primo, es decir, cuado V = Nuc(P s (f)). Teorema.- Existe vectores u 11,...,u 1k1,..,u 21,...,u 2k2,..,u s1,...,u sks tales que