Capı tuo 5. DISTRIBUCIONES EN EL UESTREO E os capítuos atriors s stabció qu pricipa matria d procso d ivstigació coométrica so os datos y qu, para obtros, ivstigador db patar ua taba d datos d uidads d obsrvació por variabs. Tambié s itrodujo cocpto d qu stas variabs ti caractrísticas qu as distigu a uas d otras (mdidas d posició y disprsió) y pos distribucios d probabiidad. E st capítuo s studiará cómo aquas mdidas d posició y disprsió pobacioas d ua variab domiadas parámtros (mdia, variaza, tc.)- so stimados a partir d mdidas d posició y disprsió mustra -domiadas stadísticos- obtidos a mustra aatoria d as uidads d obsrvació. Tambié, as codicios stadísticas qu s aaizará db cumpir para qu os stimadors sa cosidrados como ta, djado para os próimos capítuos a forma d raizar stimacios putuas o por itrvao d dichos parámtros y cómo cotrastar si os vaors stimados s corrspod co os aturas d os parámtros o o supustos por ivstigador. 5. ESTADÍSTICOS Y PARÁETROS Hasta aquí s ha dsarroado cocpto d probabiidad y sus distribucios asociadas, ahora s studia a forma qu os stadísticos d a mustra s pud utiizar para hacr ifrcias sobr os parámtros d a pobació. E a práctica, ua mustra d uidads d obsrvació d tamaño dtrmiado s sccioa aatoriamt tr os N mtos d a pobació. Supógas qu s propo sccioar uidads y qu s obsrvará as caractrísticas, Y y Z. La taba d datos s pud rprstar sgú a figura 5., dod: Los vaors i, y i, z i, para todo i,, rprsta os datos qu s va a obtr cuado s v a cabo a ivstigació; Las mdidas d posició y disprsió qu s obtdrá, útimas dos fias d a taba, so stadísticos, por jmpo stadístico: corrspodit a a mdia aritmética d a variab a mustra y s utiizará para stimar a parámtro corrspodit a a mdia d a variab a pobació;
50 N rprsta tamaño d a pobació (so os mtos d a pobació) y d a mustra (so as uidads d obsrvació sccioadas a pobació). T Y Z y z y z y z i y z dida d posició dida d disprsió ( ) ( ) Figura 5. Taba d datos primta ( ) Las uidads d obsrvació s va a obtr apicado u disño d mustro. A fi d podr utiizar a mdia d a mustra para stimar a mdia d a pobació, s dbría amiar todas as mustras posibs d a pobació y cacuar ua mdia para cada mustra. Esto s, s dbría rptir primto atrior tatas vcs como mustras co rposició s podría obtr d os N mtos d a pobació. La distribució d stos rsutados s domia distribució mustro. E a práctica co a scció d ua mustra, y utiizado a toría d a probabiidad, s pud hacr ifrcias a a pobació. Esta part d procso s domia ifrcia stadística y s uo d os objtivos d a ivstigació coométrica. La ifrcia s hac utiizado stadísticos d a mustra; os stadísticos so mdicios qu s raiza a mustra para stimar as mismas mdicios a pobació qu s domia parámtros. E ivstigador, a través d a taba d datos patada a Figura 5., podrá obtr as mdidas d posició y disprsió d a mustra (stadísticos), supogamos para a variab y buscará stimar vaors probabs d as mdidas d posició o disprsió pobacioas (parámtros). Las cocusios a as qu arribará srá rspcto a a pobació y o rspcto d a mustra. Ejmpo. U custador poítico s itrsa os rsutados d a mustra sóo como mdio para stimar a proporció d votos qu rcibirá cada cadidato tr a pobació d votats.
5 E a Figura 5. s obsrva a ració tr stadísticos y parámtros Nombr Parámtros Estimador dia Difrcia tr as mdias d dos pobacios Proporció π p Variaza Dsviació stádar s s Por jmpo, stadístico, qu surg d ua mustra, s stimador d parámtro a pobació. E stadístico, difrcia d as mdias provits d dos mustras, distitas pobacios, s stimador d parámtro qu idica a difrcia as mdias provit d dos pobacios. Figura 5.: Parámtros pobacioas y stadísticos mustras E a práctica, s sccioa soo ua mustra; por o tato, s db amiar cocpto d distribució mustro, co propósito d podr utiizar a toría d a probabiidad para hacr ifrcias cuato a os parámtros d a pobació. E st capítuo s studiará as distribucios mustro si abordar spcíficamt probma d cómo s obti ua mustra aatoria, tma qu srá abordado más adat, ya qu corrspod a a trcra tapa d procso d ivstigació coométrica patado como objtivo académico st maua. 5. DISTRIBUCIÓN EN EL UESTREO DE LA EDIA Eist divrsas mdidas co qu s pud caractrizar os datos d a mustra. Dtro d as mdidas d posició, tato modo como a mdiaa y a mdia, cacuadas d os datos mustras d ua variab, podría sr cosidrados stadísticos útis para stimar a mdia d sa variab a pobació. No obstat, mjor stimador para ifrir a mdia pobacioa s a mdia aritmética obtida sobr ua dtrmiada variab, a partir d os datos corrspodits a as uidads d obsrvació d a mustra. Esto s así pus, st stadístico, ti trs propidads dsabs y muy importats todo procso d stimació: s issgado, ficit y cosistt. La mdia aritmética, obtida d os datos d ua mustra aatoria, s ua variab aatoria, ya qu s ha cacuado a partir d u procso d stimació aatorio. Por o tato, a sr ua
5 variab aatoria ti ua distribució d probabiidad, ua spraza matmática y ua variaza. Esta propidad s propia d todo stadístico cacuado co datos provits d ua mustra aatoria. Esto s así ya qu si s rpit sucsivamt u primto mustra, u spacio y timpo dtrmiado, s obtdrá sucsivos vaors difrts para as variabs cosidradas, o qu producirá difrts stadísticos para stimar os parámtros. Es dcir, s tdrá tatas mdias aritméticas como vcs s rpita primto, por o qu a mdia s ua variab y como provi d u procso d scció aatorio, srá ua variab aatoria. Por o tato, tdrá mdia, variaza y distribució d probabiidad asociada. Para caso particuar d a mdia aritmética d os datos d ua mustra aatoria, s dmostrará mpíricamt qu: E()μ (5.) Nóts qu s stá dicido qu promdio d as mdias aritméticas, obtidas d as sucsivas mustras, s igua a parámtro pobacioa qu stima y o qu a mdia aritmética d a mustra s igua a parámtro qu stima. Esto s, a spraza matmática d a mdia aritmética d os datos obtidos a partir d ua mustra aatoria, s igua a parámtro pobacioa qu s stá stimado (a mdia d a pobació). A cumpir co sta propidad, s dic qu a mdia aritmética s u stimador issgado d a mdia pobacioa. Por o tato, si s toma ua catidad dtrmiada d mustras aatorias d ua pobació, mustras, y d cada ua s cacua, a partir d os datos obsrvados d ua variab, ua mdia aritmética, s obtdrá mdias aritméticas mustras. La spraza matmática d todas stas mdias aritméticas mustras s a mdia d a pobació, i μ i (5.) Eprimto. Bajo supusto d qu a variab rprsta úmro d visitas a dtista u año dtrmiado por idividuos d ua cirta pobació, y qu s ua variab aatoria discrta co distribució uiform. Esto s, pud asumir soo vaors tros y cada uo d stos vaors s obsrva co a misma probabiidad. E Cuadro 5. y Gráfico 5. mustra a frcucia rativa a pobació. Idtificado co a vaor míimo y co b vaor máimo d, a mdia d ua distribució uiform discrta s a b 0 9 E( ).5 y a dsviació stádar:
5 [( b a) ] [(9 0) ].87 D modo qu a mdia y a dsviació stádar d a pobació bajo studio asum os vaors.5 y.87. Cuadro 5. Vaors d 0 0. 0. 0. 0. 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 0. Frcucia rativa a pobació.0 Gráfico 5. frcucia 0. 0 0 5 6 7 8 9 0 D sta pobació s tra 00 mustras posibs d tamaño 5. Es dcir, s sccioa 5 prsoas a azar d a pobació y s prguta cuátas vcs visitó a dtista año. E ua d as mustras as rspustas d as prsoas furo: PERSONA Primra Sguda 0 Trcra Cuarta Quita NUERO DE VISITAS Sobr sta mustra s cacua a mdia aritmética: ( 0 ) 6. 5 Est primto s rpitió 00 vcs y s cacuaro 00 mdias aritméticas. Los rsutados d primto s mustra Cuadro 5.. Auqu a variab (y, por o tato, os datos idividuas) soo pud tomar vaors tros tr 0 y 9, as mdias d as mustras o srá, gramt, tros y a distribució mustra srá ua distribució d frcucias cuyas cass stará dfiidas por itrvaos y o por putos. S sab qu para rprstar cada cas s pud gir u vaor, como, por jmpo, ctro d cada itrvao.
5 Cuadro 5. Vaors d a dia d a mustra Itrvao Puto dio Frcucia Abso uta Rat iva 0.5 a.99 0.0.5 a.99 5 0.05.5 a.99 0..5 a.99 0..5 a 5.99 5 8 0.8 5.5 a 6.99 6 5 0.5 6.5 a 7.99 7 5 0.05 7.5 a 8.99 8 0.0 8.5 a 9.99 9 0 0.00 00.00 Las pricipas caractrísticas d sta distribució so 9 dia (0.0) (0.05) (0.) (0.) 5 (0.8) i i f i 6 (0.5) 7 (0.05) 8 (0.0) 9 (0.00).60 9 (i.60) fi.68 i Dsviació stádar Los rsutados idica qu u 59% d os vaors stimados (0.0.8) stá comprdidos itrvao ± arddor d vaor ra.5 y qu 86% d as stimacios stá comprdidas itrvao ± arddor d dicho vaor. Raizado mismo primto co a variat d tomar 00 mustras d tamaño 0 s obtuvo a siguit caractrística 9 dia if i. 57, Dsviació stádar (.57). 06 i 9 i i f i Los rsutados d primto prmit raizar as siguits graizacios a) a mdia d a mustra,, s u stimador issgado d a mdia d a pobació, b) a mdida qu aumta tamaño d a mustra, a distribució mustra d s va coctrado cada vz más toro a a mdia d a pobació y, por tato, s u stimador cosistt d c) stimador s más stab d ua mustra a otra qu a mdiaa o modo, sto o covirt u stimador ficit.
55 S ha trabajado co distribucios mustras primtas. Si s o hubis hcho co as distribucios tóricas s hubira obtido idéticos rsutados pro co mucho mos trabajo ya qu sóo s tomaría ua mustra. 5. FUNCIÓN GENERATRIZ DE OENTOS DE LA EDIA La mdia aritmética d a mustra s u stimador issgado d a mdia d a pobació; como ta, s u stadístico y s vio qu os mismos so variabs aatorias. Por o tato, como cuaquir variab ti cirtas caractrísticas qu a distigu d otras variabs, como so: mdia, variaza y distribució d probabiidad. E sta scció s studia a forma d drivar sas caractrísticas. La mdia d ua variab aatoria s cooc como momto atura d ord. Partido d a fórmua d cácuo d a mdia aritmética, s pud drivar s momto usado a fució gratriz d momtos. S sab qu: i i (5.) Etocs si s toma umrador d sta fórmua, cab prgutars: A qu s igua a fució gratriz d momtos d a suma d variabs aatorias idpdits,,.? Para rspodr a sta prguta srá csario rcordar, primr ugar, qué s ua fució gratriz d momtos y cuás so sus propidads. Fució gratriz d momtos La fució gratriz d momtos d ua variab aatoria cotiua s: ( ) f( )d E () Si a variab aatoria s discrta, s prsa E ( ) f ( ) Variab aatoria idpdit: a probabiidad d ocurrcia d ua variab o dpd d a probabiidad d ocurrcia d a otra.
56, o ( ) dod s parámtro, simboiza a fució gratriz d momtos d ua variab aatoria. Propidads a) La fució gratriz d momtos d a sumatoria d variabs aatorias idpdits parámtro s: Apicado a propidad distributiva { } ( ) (... E )... {... } E () Dado qu as variabs so idpdits, o atrior pud prsars como: Por () s sab qu ( ) E Tido cuta () () E ( ) E ( ) ( ) E () ( ) ( ). ( ) (5) Pro, mustro aatorio, as caractrísticas d a pobació s obti a partir d as caractrísticas d a mustra, tocs: ( ) ( ) i (6) Obsrvació:,,. so os datos para as uidads d obsrvació corrspodits a a variab aatoria. Estos datos provi d ua mustra aatoria d uidads d obsrvació y, por o tato, so tambié variabs aatorias, ya qu si s toma otra mustra, as uidads d obsrvació srá otras y os datos d a variab (,,. ) srá otros. Como s dijo atriormt, a práctica s toma ua soa mustra aatoria; s dcir, stos datos s corrspod co ua soa mustra, rprstado caractrísticas o aatorias para as uidads d obsrvació sccioadas. Etocs, como as caractrísticas d a pobació s obti a partir d as caractrísticas d a mustra, cada fució gratriz d momtos d os datos coicid co a d a variab obsrvada. Por d ( ) s a fució gratriz d momto vado a a potcia. E sítsis, a fució gratriz d momtos d ua suma d variabs idpdits ()
57... ( ) s producto, d as fucios gratrics d momtos d parámtro, para as variabs ( ) ( ). ( ) y sto s igua a a fució gratriz d momtos d parámtro vado a a ( )... ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) (7) b) La fució gratriz d momtos d producto d ua costat por ua variab para parámtro, ( ) c, s a fució gratriz d momtos d producto d parámtro ( ) por a costat (c) para a variab % & (')% ((' (8) Co as propidads (7) y (8) s pud haar a fució gratriz d momtos d a mdia * aritmética d a mustra parámtro ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...... Co st útimo rsutado y tido cuta (7) ( ) (9) La fució gratriz d momtos d a mdia parámtro ( ), s a fució gratriz d momtos d a variab vado a a parámtro. La prsió (9) racioa a fució gratriz d momtos d a mdia mustra co a variab obsrvada a pobació, a partir d os datos corrspodits a as uidads d obsrvació sccioadas por mdio d ua mustra, sa pobació.
58 5.. DISTRIBUCIONES EN EL UESTREO DE LA EDIA Co a distribució d probabiidad d (variab aatoria pobacioa) y mustras aatorias d tamaño, d dod s obti (variab aatoria mustra), s aaizará cómo s distribuy. La rspusta o s úica, pus dpd d cuá sa a distribució d probabiidad d a variab. Atdido a sto, s tdrá dos atrativas, sgú s sté prscia d: a) La variab co distribució d probabiidad orma b) La variab co cuaquir tipo d distribució d probabiidad Distribució d a mdia mustra,, cuado ~N (0,) Si a variab aatoria ~N (, ), su fució d dsidad s f ( ) π ; - < < Si s dfi Z (0) dod Z ~ N(0,), tocs Z s ua variab aatoria orma ctrada y rducida, domiada variab orma stádar. La fució d dsidad d Z s f ( ) Z Z ; 0 < Z < π La fució gratriz d momtos d a variab Z, usado (), s z Z Z ( ) E{ } f( z)dz () Ua variab ctrada s aqua a a qu s ha rstado, a cada vaor, d su mdia; y s rducida cuado s a divid por su dsvío.
59 Rmpazado f ( z) por su igua z ( ) Z π Z Z Z dz dz π () E a útima prsió s ti u producto d pots d igua bas Z Z rsutado d st producto s cosrvar a bas y sumar os pots Z Z () A fi d cotrar ua prsió mos compja, s suma y rsta pot d Z Z A ordar covitmt y sacar factor comú ( Z Z ) S ti dsarroo d cuadrado ( Z ) Dfiir biomio ' s quivat a '. E sta oportuidad s covit adoptar a sguda prsió para qu, a sustitució d variabs qu s raiza (6),, sa positivo.
60 E sítsis: Z Z ( Z ) () Rmpazado rsutado d () (5) Z Z - ( Z ) ( Z ) (5) E rsutado d (5) () da ugar a ua uva prsió d a fució gratriz d momtos d a variab Z parámtro z ( ) ( Z ) dz π π ( Z ) dz (6) La difrcia tr (6) y () radica a prsió a itgrar, (6) s d scia rsoució a través d sustitució d variabs. Para o cua s dfi Z t Etocs si t z dt dz (porqu s costat) Rmpazado (6) z ( ) π t dt
6 Esta útima prsió ti a vtaja d cotr ua itgra otab cuyo rsutado s π t dt π (7) Etocs z ( ) π t dt π π E sítsis, si ~ N(0,) s stá trabajado co ua variab aatoria stadarizada Z. La fució gratriz d momtos d a variab Z, parámtro, s ua fució pocia co pot z ( ) (8) A drivar ( ) a variaza d cuado - %. ' -' z, s cutra os momtos d ord y qu prmit haar a mdia y -%. ' -' -/ 0 -' ~ N(0,) -/ 0 -' 0 ' ' 0 0 6 0 0 ' 0 ' 0 8 9 9 0
6 Distribució d a mdia mustra,, cuado ~N(, ) Rtomado a variab orma stádar dfiida (0), si s mutipica ambos mimbros por, a difrcia tr a obsrvació d a variab y a mdia s a mdida stádar por dsvío: : ; (9) La fució gratriz d a variab aatoria orma ctrada, parámtro, s a fució gratriz d momtos d a mdida stádar por dsvío parámtro ( ) ( ) z (dod s costat) Si s ti cuta o visto (8), dod c ( ) ( c) momtos d a variab ctrada, a fució gratriz d parámtro, s a fució gratriz d momtos d a mdida stádar por dsvío parámtro, qu s igua a a fució gratriz d momtos d a variab stádar Z parámtro ( ) ( ) ( ) z z Por (8) s sab qu a fució gratriz d momtos d a variab Z parámtro s /%. ' < Etocs z ( ) ( ) ( ) Es dcir, a fució gratriz d momtos d a variab orma aatoria ctrada parámtro s ( ) ( ) (0)
6 La variab aatoria Z fu rprsada d acurdo a (9), si s suma ambos mimbros s ti a prsió d a variab aatoria Z () La fució gratriz d momtos d ua variab aatoria parámtro, tido cuta (), s a fució gratriz d momtos d a suma d u producto (a variab Z podrada por dsvío) y ua costat parámtro ( ) ( ) z () Pro, tido cuta ua propidad d fució gratriz d momtos c ( ) ( ) y a ya prsada (8), ( ) c () c ( c) ( ) ( ) ( ), a prsió () s igua a z z () La fució gratriz d momtos d a variab parámtro s producto d ua costat,, y a fució gratriz d momtos d ua variab Z parámtro. Co rsutado acazado (8), s rprsa ( ) ( ) z ( ) d () y s ti ( ) (5) z (5) s a fució gratriz d momtos d a variab aatoria orma d mdia y dsviació stádar
6 E (9) s había haado a fució gratriz d momtos d a mdia mustra parámtro ( ) sustituydo por (5), quda a fució gratriz d momtos d a variab aatoria vada a a Por o tato, a fució gratriz d momtos d a mdia mustra,, cuado s distribuy orma s ( ) ( ) (6) A comparar as fucios gratrics d momtos d as variabs y dadas (5) y (6) ( ) ( )
65 s acpta torma d ímit ctra qu dic: Si a variab aatoria asociada a ua pobació ti distribució orma d mdia μ y dsviació stádar, tocs a variab aatoria asociada a a distribució d mdias d as mustras tambié s orma, d mdia: ( ) E y dsvío: Para dmostrar torma s cacua momto d ord y momto d ord. Para sto s driva a fució gratriz d momtos rspcto d, y s vaúa cuado 0. Etocs, ( ) (7) Evauado 0 0 0 0 D modo qu momto d ord s ( ) E (8) Co o qu s dmustra a propidad uciada más arriba, sto s qu a mdia aritmética d a mustra s u stimador issgado d a mdia pobacioa. Para haar momto d ord, s driva a drivada qu dio orig a momto d ord : ( ) Evauado 0
66 0 0 0 Etocs momto ctrado d ord s La variaza d s, ( ) V (9) y dsvío d srá (0) Los rsutados acazados (8) y (0) cofirma a asvració d torma. E sítsis, si ~ N(, ) a fució gratriz d momtos d a variab aatoria parámtro s ( ) aatoria s ( ) y a fució gratriz d momtos d a variab sido ~ N(, ). Distribució d a mdia mustra,, cuado ti distribució difrt a a orma Es dcir, qué sucd si ti agua distribució distita a a orma pro ti ua mdia y u dsvío. Para dmostraro s dfi ua variab aatoria stadarizada corrspodit a a distribució d mdias d as mustras:
67 t La fució gratriz d momtos d t parámtro ( ) ( ) t dod s costat Apicado o visto (8) qu ( ) ( ) C C ( ) t dod s costat E () s vio qu ( ) ( ) C C, co o cua % ' >? @ < A @ C D % / 0 E @ D Y (9) qu ( ) Etocs, ( ) t () Esto s así porqu
68 A tomar ogaritmo atura () I[ t ( ) ] I () Hay qu tr cuta qu ( ) E{ } y qu pud dsarroars sris d potcias, sto sigifica qu úmro vado a cuaquir potcia s pud prsar d a siguit mara: w w w! w!... Etocs, hacido F ' ( ) ( ) ( ) E...!! La spraza s distributiva rspcto d a suma ( ) ( ) ( ) E{ } E{ } E E...!! Pro ugo E{ C } C E{ }!! ( ) E{ } E{ } E{ } E{ }... D modo qu a fució gratriz d a variab s
69 ( )...!! () Dod s ha tido cuta qu { } { } C C E E ; y qu, { } E s momto co rspcto a orig d a variab aatoria d órds crcits. Drivado sucsivamt a prsió () ( )...!!! d d d d... 0 Si 0 tocs ( ) d d A cotiuació s busca a sguda drivada ( ) / / / / / /... d d d d... 0 Si 0 tocs ( ) d d Lugo a trcr drivada ( ) / / / /... d d d d... 0 Si 0 tocs ( ) d d
70 Las drivacios atriors prmit graizar rsutado a siguit prsió ( ) d d k k k 0 La drivada k-ésima rspcto a parámtro, k vcs, vauada 0, s k-ésimo momto d a variab aatoria co rspcto a orig. E () s tía qu ( ) [ ] I I t Rmpazado aquí a prsió cotrada () para, s ti ( ) [ ]...!!! I t () Si >0 s o cosidra o suficitmt grad como para qu o cotido corcht sa ua suma d térmios qu tid a ago crcao a 0. Esto s pud dsarroar usado ua pasió sri d potcia dod ( )... Z Z Z Z Z I Z < Z srá igua a
7...!!! Z qu s part d a prsió qu s cutra tr corchts (). Si s dsarroa a sri potcia ( )......!!!...!!!...!!!...!!! Z L Lugo s ti qu dsarroar os cuadrados, os cubos, as cuartas potcias Para rsovr cuadrado pud cosidrars qu s stá prscia d u biomio (AB)...!!! A B E dsarroo d cuadrado da ugar a a prsió
7! ( )!!!!...!... D igua mara hay qu trabajar para rsovr as potcias rstats. Etocs, s ti qu ' ;! ' ;! ' J J D ; J J! ' L L D ; L L 5! ' D ; O ' ; ) *! ' J J D ; J! ' L L D ; L J! ' D ; L 6! ' Q Q D ; Q R! ' ;! ' J J D ; J J! ' L L D ; L L S T R ' ;! ' ;! ' J J D ; J J! ' L L D ; L L S J Agrupado os térmios por factor comú ' ; 'L L R!! D L ; R L ' ' ; U!! ; R ' ;!! J ) ' * V 'J J D J ; R J!! S ' ' J J D ; J J ; D ; R!! 5!! ' J ' L L L D ; L L J D ; J J! S S 'Q Q S ' L D Q ; R Q L D ; L L 6! 5! S J S Rmpazado rsutado d (Z) ()
7 W% ' ' ; ' O ; 'L L R! D L ; R L '!!! ; R ' ;!! J ' ' ; U S ' ' J J D ; J J ; ) D ; R!! * V ' J J 5!! ' J ' L D ; R J J!! L L D ; L L J D ; J J! S 'Q Q S ' L L D ; L L D Q ; R Q S 6! 5! S J T S A rordar y simpificar a prsió: W% ' ; ' ; ' D L ; R L!! J Yé[9\ ]^ ' _ `a[a b >5 ) '!; D J ; R J!! * S' L J D ; R 5!! L S' S' J Si s ti cuta qu ( ) y qu, tocs W% 'd ' ; ; ;!; ' D J ; R J!! D L ; R L!! J Yé[9\ ]^ ' _ `a[a b >5 S' L J D ; R 5!! L S' J S' Simpificado a prsió I t térmios ' _ co k> [ ( ) ] Pro os térmios ' _ cuado k> tid a 0 cuado qu, por o qu s pud afirmar
7 im [ ( )] I t im t Es dcir qu ( ) porqu I (5) Si s compara (5) co (8) s obsrva qu a fució gratriz d momtos d a variab aatoria stádar t tid a a fució gratriz d momtos d a distribució orma stádar a mdida qu tamaño d a mustra aumta. Est s pud prsar siguit torma: Si s ua variab aatoria co cuaquir distribució d probabiidad d mdia y dsviació stádar, para a cua ist su fució gratriz d momtos, tocs a variab aatoria tid asitóticamt a a distribució orma d mdia y dsviació stádar. E Torma Ctra d Límit radica a importacia d a distribució orma, ya qu basta co qu tamaño d a mustra sa suficitmt grad, mayor a 0, para podr asgurar a bua aproimació d a distribució d mdias d a mustra a a distribució orma, idpditmt d a propia distribució qu tga a pobació d dod s traiga as mustras. Co os subicisos atriors quda rsuto probma d a distribució d probabiidad d as mdias d as mustras, cuado stas provi d ua pobació orma o d ua pobació co cuaquir distribució d probabiidad y tamaño d as mustras s grad. E ambos casos s rcurr a a distribució orma. Para Gomz Vigas (005), a apicació d torma ctra d ímit como justificació d qu os rrors d mdida s distribuy aproimadamt sgú ua orma s cosidrada omo ua d as más importats aportacios citíficas. E raidad, os sigos VII y VIII, torma ctra d ímit s cooció como a y d frcucias d os rrors. uchos citíficos psaro qu a y d frcucias d os rrors supoía u gra avac. Obsrv a rspcto comtario d Fracis Gato (La hrcia atura pubicado 889) difícimt coozco ago qu aimt tato mi imagiació como maravioso ord cósmico qu s driva d a Ly d frcucias d os rrors Si os grigos hubira coocido sta y, sguro qu a habría diosado. Ria co sridad y compta automodstia tr a cofusió más savaj. Cuato más vigts stá a y d a ca y a apart aarquía, más prfcto s su baaco. Es a y suprma d a sirazó.
75 5.5. FACTOR DE CORRECCIÓN PARA POBLACIONES FINITAS Las pobacios pud sr fiitas o ifiitas. Si d ua pobació fiita s obti mustras co rmpazo, pud cosidrars tóricamt qu a pobació s ifiita, ya qu cuaquir úmro d mustras pud obtrs d a pobació si agotara. Admás, para casi cuaquir propósito práctico, mustro d pobacios fiitas d tamaño muy grad pud cosidras como mustro d pobacios ifiitas. D acurdo a cocpto d mustro aatorio, mustro si rmpazo d pobacios fiitas o coduc a mustras aatorias, dbido a qu a djar prmatmt fura mto ya traído, ifuy a probabiidad d tracció d siguit; o sa, qu as prubas sucsivas para obtr ua mustra o so idpdits. Esto o ocurr si a pobació s ifiita. Rsumido o atrior pud dcirs qu, para obtr mustras aatorias, mustro db sr d cuaquir tipo pobacios ifiitas y sóo co rmpazo pobacios fiitas, a cpció d caso d podr cosidrar a a pobació ifiita por sr d tamaño muy grad. Co rspcto a torma, cab idicar qu cuado a pobació s fiita y mustro s raiza si rmpazo, hay qu icuir - a dtrmiació d - vaor d tamaño d a pobació, s dcir, N N N dod rcib ombr d factor d corrcció para pobacios fiitas mustro N si rmpazo. Obsérvs qu st factor d corrcció tid a cro cuado N. Ejmpo. La vida úti d os focos fabricados por ua mprsa ti distribució orma d mdia 00 horas y dsviació stádar 5 horas. Cacuar a probabiidad d qu a duració mdia d 5 focos scogidos a azar sa suprior a 08 horas. D acurdo a uciado d probma, a pobació d as duracios d os focos d a mprsa ti distribució orma d parámtros. 00 horas y 5 horas y pud cosidrars qu s d tamaño ifiito. Etocs, a distribució d as mdias d as mustras tambié tdrá distribució orma d parámtros: 5 focos 00 horas 5 5 horas 5
76 Estadarizado a variab aatoria, s ti 00 Z 5 08 00 5 Si 08, z. 6 Por o tato, a probabiidad d qu a mdia d os 5 focos d a mustra tga u vaor mayor a 08 horas vadrá: P ( > 08 ) P( z >.6) ( ) P z.6 0.95 0.058 Sóo 5.8% d os focos d a mustra tdrá ua vida suprior a as 08 horas, s dcir, u soo foco. Ejmpo. Los psos d 600 js producidos u toro ti distribució orma d mdia 5 kg y dsviació stádar d.5 kg. Estos s mpaca cajas d 0, as qu soporta hasta 50 kg d pso. Si s vía 5 d stas cajas, cacuar cuátas cajas cab sprar s rompa por cso d pso. La pobació d psos d os js ti distribució orma d acurdo a uciado pícito d probma. Sus parámtros so: N 600, 5Kg, Kg. 5 Como a pobació s orma, a distribució d mdias d as mustras tambié s orma y sus parámtros va; 0 5Kg N.5 600 0 0. 785Kg N 0 600 Ua caja d js s romprá por cso d pso, si pso cojuto d os 0 js s mayor d 50 kg; y pso cojuto d os 0 js s mayor d 50 kg si pso mdio d os 0 js s suprior a 5kg (50/0). Etocs, s trata d cacuar cuátas d as 5 mustras ti mdia mayor d 5 kg, o qu s hará por mdio d cácuo d a probabiidad P ( > 5) orma d mdia 5 y dsviació stádar 0.785. Estadarizado 5 z Por o tato,, s ti 5 5.7 0.785, dod ti distribució
77 P ( > 5 ) P( z >.7) ( ) P z.7 0.8987 0.0 E 0.% d as 5 cajas s romprá, o sa, d a cajas. Ejmpo. Los tabiqus comprimidos qu s usa ua costrucció ti u pso mdio d 5.50 kg y ua dsviació stádar d 0.85 kg. Estos s va ots a ugar dod s mpa por mdio d ua grúa cuyo ímit d sguridad s d 00 kg. Cacuar tamaño máimo d os ots d mara d qu a probabiidad d cdr ímit d sguridad d a grúa sa mor d 5%. Como jmpo atrior, s vuv a tr ua pobació d psos cuyos parámtros so 5. 50Kg y 0. 85Kg co distribució d probabiidad dscoocida. La simp comparació tr pso d u tabiqu y ímit d sguridad d a grúa, hac qu os ots d tabiqus qu s carga d mustras d tamaño grad. Esto prmit asgurar qu a distribució d mdias d as mustras d psos d os tabiqus s aproimadamt orma d parámtros 5. 50Kg y 0.85 dod sóo s sab qu s grad (mayor d 0). E pso d a mustra d tabiqus cd ímit d sguridad d a grúa d 00 kg, si a mdia d a mustra s suprior a 00/. S busca sabr cuá s tamaño d a mustra d ot (catidad d tabiqus) qu hac qu ímit d sguridad sa suprado. E probma s pata como: 00 P > < 0.05 Estadarizado rsuta Si 00 ; z 00 5.50 Etocs z 0.85 D modo qu 5.50 0.85 00 5.50 0.85 00 00 5.50 P > P z > < 0.05 0.85
78 00 5.50 P z 0.85 o qu s o mismo 0. 95 D a taba d probabiidads d a orma s obti qu ésta s fctivamt mayor d 0.95 si vaor crítico d z s mayor o igua a.65. Lugo s obti 00 5.50.65 0.85 00 5.50. 98 Evado ambos mimbros a cuadrado ( 00 5. 50) (. 98 ) 0000 00 0.5. 955 0.5 0.955 0000 0 Rsovido a cuació s obti as raícs.86 y 7.9. Cada ua d stas raícs rprsta dos tamaños d mustras difrts. Si 00 5.50 z 0.85 Lugo P( z <.65) 0.95, cuado P( z <.65) 0.05.86 z.65 7.9 z.65 S busca qu tamaño d ot o supr ímit d sguridad d a grúa fijado 5%. Por sta razó, tamaño d mustra rqurido s.86 CASOS DE ESTUDIO, PREGUNTAS Y PROBLEAS Caso 5.: Edads y staturas d curso Ifrcia Estadística. E tma d studio s a distribució d as dads y as staturas curso d Ifrcia Estadística d prst cico ctivo. E objtivo gra s coocr as mdidas atropométricas d a pobació; spcíficamt s busca haar a mdia d statura y a mdia d dad, adicioamt utiizar a toría d distribucios mustro para ifrir datos a a pobació.
79 S part d as siguits prmisas: - a istcia d datos trmos a mustra aumta a disprsió d a mdia - a mdida qu aumta úmro d mustras, a mdia d as mustras tid a a mdia d a pobació Para raizar st studio s db: a) Grar ua taba d datos d obsrvacios por variabs cuatitativas; dod. a uidad d obsrvació sa os aumos d Ifrcia Estadística, y as variabs su rspctivas dad y statura. b) Cada aumo db.sccioar cico mustras d tamaño cico..cacuar a mdia d cada mustra.cacuar a mdia d as cico mustras c) Grar ua taba co as mdias d cada ua d as cico mustras gradas por cada aumo ( úmro d obsrvacios d sta taba srá 5) y cacuar a mdia d as mdias. d) Grar ua taba co a mdia d cada aumo ( úmro d obsrvacios d sta taba srá ) y cacuar a mdia d as mdias. ) E a taba grada a), cacuar a mdia d a pobació. f) Comparar as mdias obtidas c), d) y ). Probmas 5.. Las caificacios d am fia, d u curso d itroducció a a stadística, ti distribució orma co ua mdia d 7 y ua dsviació stádar d 8. ) cuá s a probabiidad d obtr, como máimo, ua caificació d 9 st am? ) qué porctaj d studiats caificó tr 65 y 89? ) qué porctaj d studiats caificó tr 8 y 89? ) cuá db sr a caificació fia d am, si soo 5% d os studiats amiados tuviro a caificació más ata? E profsor dcid aprobar a 0% d os aumos qu tga a mayor ota, si qu import su caificació. 5) E aumo qu haya obtido ua caificació d 8 st am, apruba?. Co ua caificació d 68 u am qu a mdia s 6 y a dsviació s, 6) aumo apruba?.
80 7) Cuá d as dos situacios s más covit para aumo? ústro stadísticamt y píquo. 5. E diámtro d as potas d pig-pog fabricada por ua idustria ubicada a Provicia d Córdoba, ti ua distribució aproimadamt orma co ua mdia d.0 pugadas y ua dsviació stádar d 0.0 pugadas. Cuá s a probabiidad d qu ua pota d pig pog sccioada aatoriamt tga u diámtro d ) tr.8 y.0 pugadas? ) tr qué dos vaors simétricamt distribuidos arddor d a mdia cará 60% d as potas d pig-pog ( térmios d diámtro)? Si s sccioaro muchas mustras d tamaño 6 ) cuás s spraría qu fura a mdia y dsvío stádar d a mdia? ) qué distribució sguiría as mdias d a mustra? 5) qué proporció d as mdias d mustras staría tr.8 y.0 pugadas? 6) tr qué vaors s cotraría 60% d as mdias d as mustras? Qué s más probab qu ocurra 7) ua pota idividua mayor a. pugadas? 8) ua mdia mustra por arriba d. pugada ua mustra d tamaño? 9) ua mdia mustra por arriba d. pugadas ua mustra d tamaño 6? Bibiografía Brso, y Lvi, D. Estadística Básica E Admiistració. éico: Prtic Ha, 996. Dai, W. Biostadística, Bas Para E Aáisis D Las Cicias D La Saud. éico: Editoria Limussa, 999. Dio, W.J. y assy, F.J. Itroductio to Statistica Aaysis. Nuva York: c Graw Hi, 957.
8 Gomz Vigas, igu Ag. Ifrcia Estadística. España: Edicios Díaz d Sato, 005. Hrádz Sampiri, R.; Frádz Coado, C. y Baptista Lucio, P. todoogía D La Ivstigació. éico: cgraw Hi, 00. Kazmir, L y Diaz ata, A. Estaística Apicada a La Admiistració Y a La Ecoomía. éico: cgraw Hi, 99. Kiar, T.y Tayor, J. Ivstigació D rcado. U Efoqu Apicado. cgraw Hi, 99. ao, J.C.T. Aáisis Fiaciro. Buos Airs: E Ato, 980. dha, W. Wackry, D. Schaffr, R.. Estadística atmática Co Apicacios. éico: Grupo Editoria Ibroamérica, 990. yr. Probabiidad Y Apicacios Estadísticas. éico: Fodo Educativo Itramricao SA, 97. Padua, J. Técicas D Ivstigació Apicadas a Las Cicias Socias. éico: Fodo d Cutura Ecoómica, 996. Tramutoa, C.D. odos Probabiísticos Y Dcisios Fiaciras. Capita Fdra: E.C.odra, 97.
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