Método de ls Esfers 3. Método de ls Esfers. 3.. Eleccó del Método de ls Esfers. El Método de ls Esfers represet u mplemetcó l cul lustr ls propeddes geométrcs del lgortmo del elpsode, y hered su robustez umérc. Además este método relz opercoes co fls, de mer que l trsformcó básc del método tee u estructur smlr ls tercoes del Smple. Por otro ldo el lgortmo del elpsode tee u gr terés computcol, lo que debe de dr u myor rpdez de resolucó de quellos problems leles que teg solucó e u tempo poloml. 3.. El Algortmo del Elpsode. A cotucó se preset u breve descrpcó del lgortmo debdo Gács y Lobász. Se < b,,...,m (3... u sstem de m desgulddes e -espco, Z, R, b Z. (Aquí Z deot los eteros, y l opercó trspuest; todos los vectores so vectores colums. Se deot X el couto de tods ls solucoes de (3... U secuec de putos 0,,..., R, y u secuec de mtrces defds postvs A 0, A,... so geerds como sgue: A 0 r I y 0 es culquer vector (ormlmete se elge 0, dode r>0 es sufcetemete grde pr segurr que s X Ø, etoces este u solucó detro de u esfer de rdo r lrededor de 0. Ddo A y pr 0, se cheque s X. S lgu restrccó o se cumple, putos y mtrces se ctulz de l sguete form: b, los A λ A λ A A + µa + dode (3... λ (
Método de ls Esfers λ + λ ( + + A (3..3. µ (+ ( + b U límte K es proporcodo, tl que X, 0,...,K X (3..4. L rzó por l que el lgortmo trb depede del sguete hecho: Se E que deot el elpsode { : ( A ( }, etoces los volúmees de los elpsodes E 0, E,... decrece geométrcmete, y todos ellos cluye E 0 X. Además, e culquer cso X, o el volume de E 0 X ecede u costte computcol postv. 3.. Robustez umérc. Los lgortmos que requere u gr úmero de tercoes fll debdo l cumulcó de errores de redodeo. Khchy especfcó cutos dígtos sgfctvos so ecesros e los cálculos, pero este úmero es frecuetemete demsdo lrgo pr ser mplemetdo. De este modo el resultdo de robustez umérc se reduce s o o el lgortmo trb co smple doble precsó e los cálculos. Segú los epermetos bsdos e l versó del Algortmo del Elpsode de Gács y Lovász, lguos resultdos, h ecotrdo problems umércos los cules coduce creer que este estbldd herete socd co el Algortmo del Elpsode. L estbldd es lgus veces trbud l feómeo observdo que l rzó del ee myor de E l meor, decrece co. De culquer mer, o se ecotrro estblddes empledo el esquem orgl de Khchy de ctulzcó de l mtrz J meor que A, dode A J J. Por tto se puede reclmr que el Algortmo del Elpsode es umércmete robusto. 3
Método de ls Esfers 3.3 El Método de ls Esfers. L de básc propuest por el método es relzr e cd tercó, u trsformcó lel e R l cul proyect E + sobre E. De este modo todos los elpsodes se hce détcos e form l esfer orgl E 0. Ests trsformcoes ducrá trsformcoes e L(R. Clrmete es sufcete clculr u trsformcó l cul proyecte E sobre E 0. l trsformcó será de l form: ( ( Q - ( - (3.3.. dode Q es u mtrz o sgulr tl que A r QQ (3.3.. U cálculo drecto muestr que u solucó (3.3.. es Q α I α (3.3.3. dode α α ( (3.3.4. + L ducd trsformcó de L(R será de l form (, dode ( α α ( (3.3.5. pr lgú L(R 4
Método de ls Esfers Además, de µr (3..., teemos ( ( ( µ (3.3.6. dode µ r + + Ahor podemos descrbr el Método de ls Esfers: (0 (0 Pso 0: Se 0,,d 0,,..., m (Los d s so esclres Pso : S d pr el cul < b, prr, cocluyedo que X. De otr mer elegr u d Pso : Actulzr b ( ( d + α α + d µ r ( (3.3.7. dode α,α so ddos por (3.3.4. y µ es ddo por (3.3.6., cudo susttuye, y (d b / Sgue de los resultdos de Khchy que s el lgortmo o term pr K, etoces X. Aquí K es u límte superor de Khchy pr el úmero de tercoes (ver (3..4.. 5
3.3.. Propeddes del Método de ls Esfers. Método de ls Esfers Se mecoó e 4. que los volúmees de los elpsodes E 0, E,... decrece geométrcmete. Además ls trsformcoes 0,,... so volume-fltg. E reldd ls trsformcoes coserv ls rzoes de volúmees, los volúmees de ls sucesvs mágees de u couto ddo decrece geométrcmete. Es tereste lzr los efectos de sobre X. Clrmete es sufcete co ver el cso pr 0. Se puede escrbr (3.3.5 de l form: ( α α (, (3.3... dode (*,* deot el producto esclr. eorem 3.3... ( ( cos(, cos(, (3.3... l guldd solo se d s el ldo derecho es cero o uo. Demostrcó. Se deot por, el y respectvmete. ( ( (, (, Además cos(, (, etoces por cálculo drecto ( ( ( (, α, α (,, (3.3..3. y (3.3..4. e prtculr ( α K (3.3..5. demás, 6
Método de ls Esfers ( α α α (, (3.3..6. Rescrbedo (3.3..6, teemos ( α + α α ( cos (, De (3.3.4 sgue que α α α + > 0 + demás ( α (3.3..7. dádose l guldd s cos(,. Flmete, s cos(, 0, etoces por (3.3..4. es cos( ( (,. S cos(, 0, etoces por (3.3..4., (3.3..5. y (3.3..7. ( ( cos(, cos(, dádose l guldd s cos(,. Esto complet l demostrcó del teorem (3.3... Además se coverte más ortogol todos los otros s. 3.3. Cometros y observcoes. ( El Método de ls Esfers o ecuetr u puto fctble drectmete. S pr e l -ésm tercó, etoces l coclusó es que X, pero o se ecuetr eplíctmete. Por otro ldo, se tee ls gulddes d,,...,m. (3.3... 7
Método de ls Esfers S de los vectores so depedetes, etoces el correspodete couto de ecucoes puede ser resuelto pr determr. E lguos csos se tees restrccoes egtvs, ls cules correspode vectores de l form (0,...,0,,0,...,0 (3.3... el cul gres el compoete propdo de drectmete. Sempre se tee l opcó de ñdr vectores segú (3.3... rtfclmete, relzdo l trsformcó sobre ellos, pero o comprobdo l fctbldd e el Pso. Pr l resolucó del sstem de ecucoes se utlz l Descomposcó e Vlores Sgulres, por ser m >> (b L trsformcó básc (3.3.7. del Método de ls Esfers supoe opercoes de fls, s so cosderds como fls de u mtrz m. De uevo, se cosder por smplcdd 0, y l otcó utlzd e l fórmul (3.3.., α α (,, 0,,..., m Est es l remscec de l pvotcó del Smples. Allí, de culquer mer, el coefcete depede smplemete de u compoete de los vectores y, tes que su producto esclr. Est observcó puede coducr l etedmeto de l relcó etre el Smple y el Algortmo del Elpsode.. 8