Control por Modos Deslizantes y Planitud Diferencial de un Convertidor de CD/CD Boost: Resultados Experimentales

Transcripción

1 hp:// Conrol por Modos Deslzanes y Planud Dferencal de un Converdor de CD/CD Boos: Resulados Expermenales R. Slva-Orgoza, H. Sra-Ramírez y V. M. Hernández-Guzmán CIDETEC-IPN. Deparameno de Posgrado. Área de Mecarónca. Undad Profesonal Adolfo López Maeos. C.P , Méxco, D.F., MÉXICO. (e-mal: rslvao@pn.mx) CINVESTAV-IPN. Deparameno de Ingenería Elécrca. Seccón de Mecarónca. C.P , Méxco, D.F., MÉXICO. (e-mal: hsra@cnvesav.mx) Unversdad Auónoma de Queréaro. Faculad de Ingenería. A.P C.P , Queréaro, Qro., MÉXICO. (e-mal: vmhg@uaq.mx) Resumen: En ese rabajo se presena el conrol del converdor de poenca de CD a CD Boos. En ese ssema exsen dos problemas de conrol, a saber; la regulacón alrededor de un puno de equlbro y la de segumeno de rayecora del volaje de salda. Nosoros enfocamos nuesra aencón al segundo problema de conrol. Debdo a las propedades de fase que sasface ese converdor, para realzar la area de segumeno de rayecora se dseña un conrolador ndreco basado en modos deslzanes en combnacón con planud dferencal, el cual perme el segumeno de rayecora de la varable de fase no mínma (volaje) basado en el segumeno de rayecora de la varable de fase mínma (correne). La síness de ese conrolador se realza con la ayuda de una arjea de adquscón de daos Naonal Insrumens TM PCI-605E juno con el sofware de aplcacón MATLAB R -Smulnk R. Se aplca ese conrolador al proopo del converdor Boos desarrollado y se obenen resulados expermenales sasfacoros. Copyrgh c 008 CEA. Palabras Clave: Conrol Indreco, Converdor de CD/CD Boos, Modos Deslzanes, Planud Dferencal, Segumeno de Trayecora. 1. INTRODUCCIÓN El conrol por modos deslzanes es una écnca de conrol dsconnua ben conocda que ha sdo explorada exhausvamene en muchos lbros y arículos por dversos auores. La écnca de forma naural es apropada para la regulacón de ssemas conmuados, como los dsposvos de elecrónca de poenca, en general, y los converdores de poenca de CD a CD, en parcular. Un nforme compleo de la hsora y resulados fundamenales del conrol por modos deslzanes, o regímenes deslzanes, se encuenra en los lbros presenados por (Emelyanov, 1967; Ukn, 1978, 199; Ukn, e al., 1999). El esado del are se ha resumdo recenemene en los lbros edados por (Perruque y Barbo, 00; Sabanovoc, e al., 004). En lo referene al dseño de esraegas de conrol para el problema de regulacón en el converdor Boos se han propueso una gran varedad, véase (Sra-Ramírez y Slva-Orgoza, 006) y las referencas ahí cadas, menras que los rabajos relavos a la nsrumenacón de ésas exsen en un número menor, véase (Orega, e al., 1998; Sra-Ramírez y Slva-Orgoza, 006; Ukn, e al., 1999). En lo que respeca al dseño de conroladores para el problema de segumeno de rayecora en el converdor Boos, los rabajos se reducen consderablemene, véase (Gensor, e al., 006; Sra-Ramírez y Agrawal, 004; Sra-Ramírez y Slva-Orgoza, 006), en consecuenca, a nvel nsrumenacón los rabajos asocados a ese problema son cas nulos. En (Sra-Ramírez y Slva-Orgoza, 006), empleando el modelo promedo del converdor Boos, se le da solucón a ese problema medane la aplcacón de un conrol pasvo, basado en la dnámca exaca del error de segumeno que sasface el converdor, el cual se sneza expermenalmene con la ayuda de un modulador Σ Δ. Asmsmo, en (Sra-Ramírez, 1999) se dseñó y smuló un conrolador basado en modos deslzanes y planud dferencal, para que el converdor realzara la funcón de nversor de poenca. En ese rabajo se presena la síness expermenal de un conrol ndreco (Orega, e al., 1998; Sra-Ramírez, e al., 1997) basado en modos deslzanes en combnacón con la propedad de planud dferencal, nroducda en (Fless, e al., 1995) y claramene explcada en (Sra-Ramírez y Agrawal, 004), para realzar la area de segumeno de rayecora en el converdor de poenca de CD a CD Boos. Se consruye un proopo con fnes ddáccos, en el área de conrol, que perme obener los resulados expermenales correspondenes. Ese rabajo esa organzado como sgue. En la seccón se presena el modelo dnámco asocado al converdor Boos, así como los bloques del proopo expermenal del converdor. En la seccón 3 se presena un conrolador ndreco basado en

2 modos deslzanes y planud dferencal, el cual perme llevar a cabo la area de segumeno de rayecora. En la seccón 4 se presena la síness expermenal del conrolador así como los resulados expermenales obendos, con la fnaldad de evaluar el desempeño del conrolador propueso. Fnalmene, en la seccón 5 se presenan las conclusones del rabajo, así como rabajos fuuros y probables exensones del msmo.. CONVERTIDOR DE CD/CD BOOST.1 Modelo del converdor El crcuo elecrónco smplfcado de un converdor Boos o elevador de volaje es el que se muesra en la Fgura 1. La dnámca conmuada de ese converdor esa deermnada por el ssema blneal sguene (Sra-Ramírez y Slva-Orgoza, 006): L d = (1 u) υ + E d C dυ d =(1 u) υ (1) R donde represena la correne a ravés del nducor y υ es el volaje de salda presene enre las ermnales del capacor. La enrada de conrol u represena la funcón de poscón del nerrupor, la cual es una señal bnara que oma valores en el conjuno u {0, 1}. Los parámeros del ssema esán consudos por: L, la cual es la nducanca del crcuo de enrada; C, la capacanca del flro de salda y R la carga de salda. La fuene de volaje exerna oma el valor consane E. E L Fgura 1. Converdor Boos. u Aplcando el cambo de coordenadas en los esados y la ransformacón en la escala del empo sguenes: ( ) ( )( ) x1 1 L = E C x 0, τ = () 1 0 υ E LC obenemos el modelo conmuado normalzado del converdor Boos sguene: dx 1 = ux +1 dx = ux 1 1 Q x (3) con la nueva enrada de conrol, u, (relacón que se obene de hacer la asgnacón conrara a la convencón naural del nerrupor), deermnada por, u =1 u (4) donde Q = R C/L, cuyo valor nverso, Q 1, es conocdo como el facor de caldad del crcuo. La varable x 1 es la correne del nducor normalzada y x es el volaje de salda normalzado. u v C R Dada una enrada de conrol promedo consane u = U [0, 1], del modelo promedo asocado a (3) se ene que el puno de equlbro del ssema esá deermnado por, x 1 = 1 1 Q U, x = 1 (5) U Usando esas expresones, con x = V d, podemos escrbr (5) como, x 1 = 1 Q V d (6). Proopo del converdor Boos La Fgura muesra el dagrama crcual del proopo del converdor Boos. Ese proopo se compone de dos bloques: del ssema Boos (el cual comprende al converdor Boos, el sensor de correne, el sensor de volaje y el manejador o drver) y del acuador. E L ACTUADOR 1V LEM HAW 15-P 7 8 1V NTE3087 V ou NTE984 Ssema Boos MBR1045 Fgura. Dagrama del converdor Boos. Ssema Boos:Elnúcleo de ese bloque es el converdor Boos. El sensor de correne consse de un sensor LEM HAW 15-P que opera bajo el prncpo de efeco Hall. Adconalmene, provee aslameno galvánco enre el converdor Boos y el crcuo de conrol correspondene. La salda del sensor de correne es una señal de volaje, la cual es proporconal a la correne del nducor,, es decr, es de la forma V ou = k. Para obener una relacón de 1A:1V,.e. k =1, se emplean sólo amplfcadores operaconales. El sensor de volaje nos perme obener una medcón del volaje υ. Consse en un dvsor de volaje que perme reducr la amplud de esa señal a v 3. Por oro lado, el manejador que se ulza es el crcuo negrado (CI) NTE3087. Ese crcuo provee aslameno ópco enre el acuador y el converdor Boos. Además, genera una señal pulsane conmuada, u, de amplud de 0 Vy5Vquees gobernada por la ley de conrol por modos deslzanes. La señal pulsane en la salda del CI NTE3087, perme dsparar apropadamene la compuera del Mosfe NTE984 que acúa como nerrupor del converdor Boos. Acuador: En ese bloque se snezará el conrolador basado en modos deslzanes y planud dferencal para llevar a cabo la area de segumeno de rayecora. Las especfcacones de dseño del proopo desarrollado se lsan en la Tabla 1. Como en el proopo se llevará a cabo la area de segumeno de rayecora, en el dseño se consderó el volaje de salda máxmo,.e., υ =4V con P o =1W,lo que conlleva a que la ressenca de carga mínma sea R =48Ω por la cual crculará una correne o =0,5 A. Menras que la correne a ravés del nducor será =1A. D v C R

3 Tabla 1. Especfcacones de dseño del converdor Boos Volaje de enrada (E) 1 V Volaje de salda (υ) 4 V Poenca de salda (P o ) 1 W Frecuenca de conmuacón 9 14 khz Cuando la dnámca de un ssema es rápda como es el caso del converdor Boos, es ben sabdo de la écnca de conrol por modos deslzanes, que para alcanzar la superfce deal de deslzameno se requere que el conmuador opere a alas frecuencas, de ora manera es común que el objevo de conrol no se logre. Tambén, se sabe que en ese esquema de conrol la frecuenca de conmuacón no es fja sno varable (Sra-Ramírez y Slva-Orgoza, 006). Debdo a las dfculades écncas que represena llevar a cabo la area de segumeno de rayecora con sólo elecrónca analógca aquí se empleará una arjea de adquscón de daos Naonal Insrumens TM PCI-605E, vía el sofware de aplcacón MATLAB R -Smulnk R. De lo aneror, hacendo uso de los resulados obendos en (Corés-Rodríguez, 004) los valores de L y C mínmos, que permen manener un rzo de correne Δ menor al 5% del valor nomnal y un rzo de volaje Δυ menor al 5% del volaje nomnal υ, quedan deermnados por L mín =15mHy C mín =50μF. Los valores de los componenes del converdor Boos que se consgueron expermenalmene fueron los sguenes: L =15,91 mh a A, C =50μFa50 V, R =5Ω a 5 W y E =1Va5A. 3. CONTROL DEL CONVERTIDOR BOOST Hacendo uso del modelo dnámco del converdor de CD/CD Boos (3), en esa seccón se lleva a cabo la síness de un conrolador ndreco, basado en modos deslzanes en combnacón con planud dferencal, para hacer que el volaje normalzado x adope la rayecora deseada x, a parr del conrol de la correne normalzada x 1. Para realzar lo aneror, se pare del hecho de que en promedo el volaje normalzado del capacor x es una varable de salda de fase no mínma, menras que la correne normalzada del nducor x 1 es una varable de salda de fase mínma, véase (Orega, e al., 1998; Sra-Ramírez, e al., 1997). Un conrolador por modos deslzanes que logra en empo fno la convergenca a la línea de conmuacón σ = x 1 x 1 =0, de la dnámca del converdor Boos, dx 1 = ux +1 (7) dx = ux 1 1 Q x (8) esá deermnada por la ley de conrol dsconnua, sguene: u = 1 { 1, σ 0 {1 + sgn(σ)} = (9) 0, σ < 0 σ = x 1 x 1 donde x 1 represena una señal de correne deseada normalzada, la cual es suave y acoada, y cuya dervada es por supueso ambén acoada. La verfcacón de lo aneror se lleva a cabo como sgue. Defna la sguene funcón de Lyapunov: V (σ) = 1 σ Dervando respeco a τ: V = σ σ, σ = dx 1 dx 1 = ux +1 dx 1 (10) donde el puno sgnfca dervacón respeco a τ. Hay dos casos: ) x 1 >x 1, σ<0. En ese caso u =0. S se fja la sguene resrccón: < 1 (11) enonces se asegura: σ =1 dx 1 > 0 por lo que se consgue: V = σ σ <0 ) x 1 x 1, σ 0. En ese caso u =1. S se fja la sguene resrccón: > 1 x (1) enonces se asegura: σ = x +1 dx 1 < 0 por lo que se consgue: V = σ σ <0 Nóese que, de acuerdo a (1) se adme un 0 <x < 1 s > 0. Sn embargo, en ese caso x 1 >x 1 por lo que > 0 sgnfca que la referenca se aproxma a x 1 yno al revés, por lo que eso no es una buena solucón. Así que, de acuerdo a (1), se debe requerr que x > 1, es decr, el converdor debe rabajar en su zona de amplfcacón. Nóese que eso úlmo perme valores negavos de dx 1 cuyo valor mínmo admsble depende del valor acual de x > 1. Ese caso mplca que x 1 es quen se aproxma a la referenca x 1 como se desea. Normalmene se nca desde una suacón al que x 1 < x 1 porque normalmene x 1 (0) = 0, x 1(0) > 0. Eso sgnfca que normalmene se nca en ) con x (0) = 0, además, debe enerse cudado con elegr x 1 al que x 1 x 1 mplque que se consegurá x > 1, es decr, que el converdor se enconraráen su regon de amplfcacón. Nóese que al ncar con ) x 1 <x 1 se fja u =0con lo que, de acuerdo a (7), x 1 crecerá hasa alcanzar x 1 s (11) es sasfecha. Nóese que, de acuerdo a (8) x no crece en odo ese nervalo de empo. Una vez que x 1 x 1 se ene u =1(posblemene de manera nermene dada la nauraleza dsconnua del conrolador cuando se ha alcanzado la condcón σ = 0). Eso, juno con (8) mplca que x crecerá hasa un valor deermnado por x 1 x 1 por lo que se alcanzarán las condcones descras en ). Eso asegura convergenca a la superfce de deslzameno σ =0. Por oro lado, una vez sobre la superfce de deslzameno se asegura x 1 = x 1. Sn embargo, aún fala esudar el comporameno de x una vez que se ha alcanzado dcha condcón. El conrol equvalene u eq se obene de (10) hacendo u eq = u bajo la condcón σ = σ =0:

4 u eq = 1 ẋ 1 (13) x Nóese que dx 1 < 1 y (1) permen asegurar que 0 < u eq < 1. Susuyendo (13) en (8) y consderando que x 1 = x 1 se obene: dx = 1 ẋ 1 x 1 1 x Q x Inroducendo el cambo de varable ρ = 1 x la expresón aneror se ransforma en: ρ = Q ρ +(1 ẋ 1)x 1 Dado que esa es una ecuacón dferencal lneal de prmer orden, cuyo polnomo caracerísco ene una raíz negava, y que esa excada por la funcón del empo (1 ẋ 1)x 1,se asegura que ρ (es decr, x ) es acoada s x 1 y su dervada ẋ 1 esán acoadas. Eso asegura convergenca de x 1 a x 1 (véanse ) e )) con x acoada. 3.1 Generacón de las rayecoras de referenca normalzadas La generacón de las rayecoras de referenca se llevo a cabo con la ayuda de la propedad de planud dferencal que sasface el converdor Boos (Sra-Ramírez y Slva-Orgoza, 006). Resula que la salda plana del ssema normalzado esá deermnada por la energía normalzada del ssema F, es decr: F = 1 [ x 1 + x ] (14) Ceramene, odas las varables del ssema y la enrada de conrol son paramerzables en érmnos de F ydeunnúmero fno de sus dervadas,. e., x 1 = Q Q Q F +F ( x = F Q ) Q Q F +F ( ) 1+ Q x u av = F ) (15) x (1+ Q x 1 Recordemos que en la area de segumeno de rayecora se desean regular las rayecoras del ssema enre dos punos de equlbro, expresados en érmnos de los volajes normalzados deseados x (τ ) = V d1 y x (τ f ) = V d, menras se sgue una rayecora nomnal correspondene x (τ). Dado un puno de equlbro promedo normalzado del volaje de salda, x (τ )=V d1, el valor asocado a la correne del nducor se deermna por x 1 (τ )= V d1 Q Los valores en equlbro asocados a la salda plana promedo normalzada son [ ] [ ] V F(τ )= 1 4 d1 V Q + V d1, F(τ f )= 1 4 d Q + V d Se prescrbe una rayecora nomnal para la salda plana F (τ) que nerpola suavemene enre F y F f en un nervalo de empo razonable [τ,τ f ], F (τ) =F(τ )+ [ F(τ f ) F(τ ) ] ϕ(τ,τ,τ f ) sendo ϕ(τ,τ,τ f ) una funcón polnomal que nerpola enre los valores 0 y 1, la cual en el caso desnormalzado queda deermnada por (0). 4. SÍNTESIS EXPERIMENTAL 4.1 Componenes del conrolador En ese aparado se lleva a cabo la síness expermenal del conrol basado en modos deslzanes y planud dferencal, deermnados, respecvamene, por (9) y (15). La desnormalzacón de (9) es: = 1 {1 + sgn [ ()]} (16) Por oro lado, omando la desnormalzacón de la energía nomnal promedo (14),.e., F () se obene lo sguene: F () = 1 L[ ()] + 1 C[υ ()] (17) La paramerzacón dferencal nomnal asocada a los esados orgnales, a parr de (15), se deermna por: ()= RCE L + α () υ ()= C F () L [ RCE ] C L + α () con u av()= α () = 1 ( E L + (RCE ) R C [υ ()] F () [ E L + RC () ] υ () L ) + 4 [ RCF L ] ()+F () (18) En la Fgura 3 se muesra el dagrama a bloques consrudo para realzar la area de segumeno de rayecora en el converdor Boos, a ravés del conrolador basado en modos deslzanes (16) y planud dferencal (18). Ese dagrama muesra las conexones del ssema Boos con el bloque de conrol. El prmer bloque se ha explcado en la Seccón, aquí nos concenramos en la explcacón del bloque de conrol. 5V 0V u () Manejador D/A Converdor Boos Ssema Boos PCI 605E A/D Fgura 3. Dagrama a bloques general. v; v Sensor de Correne Bloque de Conrol En la Fgura 4 se muesra el programa que se realzó en MATLAB R -Smulnk R, para realzar la síness del conrolador, aquí se dsnguen res bloques: el bloque conrolador,el bloque salda plana nomnal y el bloque varables nomnales. CP

5 El bloque conrolador. En ese bloque se programa la esraega de conrol (16), (18). La enrada de ese bloque es la señal de correne, que provene del ssema Boos, y la señal nomnal (), generada en el bloque varables nomnales. La salda de ese bloque es la señal conmuada. Esa salda se coneca a la enrada del manejador NTE3087 el cual perme el manejo apropado del nerrupor NTE984. El bloque salda plana nomnal. Las enradas de ese bloque son cuaro: los empos de nco y fnal de la rayecora, denoados, respecvamene, por 1 y, y el valor de las energías en equlbro, asocados al empo ncal y fnal de la rayecora, denoadas por F ( 1 ) y F ( ), respecvamene. La salda de ese bloque enrega la salda plana nomnal del ssema, F (), y sus dervadas sucesvas de prmer y segundo orden,. e, F () y F (). El perfl de energía nomnal, se especfcó usando el polnomo de Bezer de décmo orden sguene: F () =F ( 1 )+ [ F ( ) F ( 1 ) ] ϕ (, 1, ) (19) donde ϕ(, 1, ) es una funcón polnomal que nerpola enre los valores 0 y 1, defnda por: 0 para ( ) 1 5 ( ) 1 1 [ ( ) 1 ( ) ϕ (, 1, )= ( ) 4 ( ) ] para ( 1, ) 1 para (0) El bloque varables nomnales. En ese bloque se programan las rayecoras nomnales: (), υ () y u av(), deermnadas por (18), y requerdas por el bloque conrolador. Las enradas de ese bloque son: F (), F () y F (). El valor del puno de equlbro ncal del converdor Boos se propuso gual a, [ (1 ), υ ( 1 ) ] [ ] υ = RE, υ = [360,58 ma, 15 V] y el valor del puno de equlbro fnal es escogó gual a, [ ( ), υ ( ) ] [ ] υ f = RE, υ f = [93,08 ma, 4 V] En consecuenca, el valor correspondene a la enrada de conrol promedo, u av (), varía enre el valor ncal y fnal sguene: u av ( 1 ) = 0,5 y u av ( ) = 0,8. Para la síness de la rayecora se escogó 1 =0,5 sy =1s. La ransferenca de energía asocada a los punos de equlbro deseados es, F ( 1 )= 1 [ Lυ 4 ] [ ] R E + Cυ, F ( )= 1 Lυ 4 f R E + Cυ f En la Fgura 5 se presenan los resulados expermenales obendos en lazo cerrado del converdor Boos a la accón de conrol ndreco, basado en modos deslzanes (16) y planud dferencal (18), para llevar a cabo la area de segumeno de rayecora. Resula mporane comenar que s ben la rayecora deseada asocada al volaje en =0s es gual a 15 V, es decr, υ (0) = υ ( 1 ) = 15 V, no pasa lo msmo para el volaje υ(), pues υ(0) = 0 V, eso de debe a que el converdor en forma naural ene por condcón ncal a [(0),υ(0) = 0 A, 0V], poseror a =0s, de nmedao υ() nena esablzarse al puno de equlbro ncal υ( 1 )=15Vpara después hacer el segumeno de rayecora haca υ( ) = 4 V y permanecer en ese puno de equlbro fnal hasa =s. En lo que respeca a la correne, () e (), no se observan dferencas enre una y ora en lo referene al segumeno de la rayecora, en promedo. 1 sensor de correne ý=3 3 ý ã al CI NT u sensor de volaje Conrolador v 15 4 v f 1 0:5 1 Clock F F f Salda plana nomnal emu F ã () F ç ã () F ã Fgura 4. Realzacón del conrolador. 4. Resulados expermenales () ã ý ã Varables nomnales u ã av Los valores para los parámeros del converdor Boos, son: L =15,91 mh, C =50μF, R =5Ω, E =1V. Fgura 5. Resulados expermenales obendos en el ssema desarrollado. Por oro lado, con la fnaldad de mosrar que el conrolador propueso es robuso respeco a rudo en frecuencas audbles en la fuene de ensón E, nroducmos rudo audble en la msma. Para llevar a cabo lo aneror, se propone que la fuene de ensón ome la forma E() = E + Asen(ω), sendo: E =1V, A =4Vy ω =πf con f = 1 khz. En la Fgura 6, se observa como ane rudo audble el conrolador dseñado perme que el ssema permanezca conrolado. Además, se observa que el rudo nroducdo en la fuene de ensón es aenuado consderablemene en la salda.

6 [ A] () [ V] [ V] E() s [] s [] ý() s [] s [] Fgura 6. Resulados obendos, con rudo audble nroducdo en la fuene de ensón. 5. CONCLUSIONES Los resulados expermenales obendos en lazo cerrado del converdor Boos a la accón del conrolador ndreco basado en modos deslzanes y planud dferencal para realzar la area de segumeno de rayecora son sasfacoros, ya que los resulados expermenales, υ(),(), sguen rayecoras semejanes a las rayecoras nomnales, υ (), (), respecvamene. Por oro lado, se observan las venajas de dseñar leyes de conrol basadas en modos deslzanes. Enre esas venajas se pueden enumerar las sguenes: 1) Resula senclla la propuesa de la superfce de deslzameno. ) Exse poca dfculad para enender el análss de la dnámca deal de deslzameno en lazo cerrado. 3) Se observa que la esraega de conrol basada en modos deslzanes es muy senclla de nsrumenar a nvel de elecrónca analógca en la area de regulacón (Sra-Ramírez y Slva-Orgoza, 006). S ben la síness del conrolador es senclla y se logra la area de segumeno de rayecora del converdor Boos, así como robusez en la varable de correne () ane varacones de carga, véase (Orega, e al., 1998), el volaje de salda, υ(), con ese esquema de conrol combnado no es robuso ane varacones de carga, sendo esa una caracerísca del conrol ndreco que se dseño (Sra-Ramírez, e al., 1997). Un conrol basado en modos deslzanes y GPI, que supera ese nconvenene se llevo a cabo en (Sra-Ramírez, e al., 00; Sra- Ramírez y Slva-Orgoza, 006), para la area de regulacón, aunque no se nsrumeno expermenalmene. Un rabajo fuuro sería nsrumenar dcha ley de conrol, valdar expermenalmene su propedad de robusez, para la area de regulacón, y más arde en combnacón con planud dferencal llevar a cabo la area de segumeno de rayecora en el converdor Boos. Emelyanov S. V. (1967). Varable srucure conrol Sysems, Nauka, Moscow. Fless M., J. Levne, P. Marn y P. Rouchon (1995). Flaness and defec of nonlnear sysems: nroducory heory and examples, In J of Conrol, vol. 61, pp Gensor A., O. Woywode, J. Rudolph y H. Guldner (006). On dfferenal flaness, rajecory plannng, observers, and sablzaon for DC-DC converers, IEEE Trans Crcus and Sysems: Regular Papers, vol. 53, pp Orega R., A. Lora, H. Ncklasson y H. Sra-Ramírez (1998). Passvy based conrol of Euler-Lagrange sysems: mechancal, elecrcal and elecromechancal applcaons. Sprnger, London. Perruque W., y J. Barbo (Eds.), (00). Sldng mode conrol n Engneerng, Marcel Dekker, New York. Sabanovoc A., L. Frdman y S. Spurgeon (Eds.), (004). Varable srucure sysems: from prncples o mplemenaon. IEE Press, London. Sra-Ramírez H. (1999). Flaness and rajecory rackng n sldng mode based regulaon of dc-o-ac converson schemes, 38h IEEE CDC. Sra-Ramírez H., y S. Agrawal (004). Dfferenally Fla Sysems, Marcel Dekker, New York. Sra-Ramírez H., R. Marquez y M. Fless (00). Sldng mode conrol of dc-o-dc power converers usng negral reconsrucors, In J of Robus and Nonl Conr, vol. 1, pp Sra-Ramírez H., R. Orega, R. Pérez-Moreno y M. García- Eseban (1997). Passvy-based conrollers for he sablzaon of DC-o-DC power converers, Auomaca, vol. 33, No. 4, pp Sra-Ramírez H., y R. Slva-Orgoza (006). Conrol Desgn Technques n Power Elecroncs Devces, Sprnger, London. Ukn V. (1978). Sldng modes and her applcaons n varable srucure sysems, Mr Publshers, Moscow. Ukn V. (199). Sldng modes n conrol and opmzaon, Sprnger Verlag, New York. Ukn V., J. Guldner y J. Sh (1999). Sldng mode conrol n elecromechancal sysems, Taylor and Francs, London. AGRADECIMIENTOS R. Slva-Orgoza agradece el sopore económco recbdo por la Secreara de Invesgacón y Posgrado del IPN (SIP-IPN), a ravés del proyeco , y del programa EDI, así como al Ssema Naconal de Invesgadores (SNI), Méxco. V. M. Hernández-Guzmán agradece al SNI el sopore económco recbdo. REFERENCIAS Corés-Rodríguez D. J. (004). Generacón de volajes de CA medane converdores de ala frecuenca de conmuacón, Tess docoral, CICESE, Ensenada, Méxco.