MODELIZACIÓN DE LAS EXPECTATIVAS Y ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN EN MERCADOS DE DERIVADOS

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1 MODELIZACIÓN DE LAS EXPECTATIVAS Y ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN EN MERCADOS DE DERIVADOS BEGOÑA FONT-BELAIRE Dpto. de Matemáticas para la Ecoomía y la Empresa Uiversitat de Valècia (SPAIN) RESUMEN Este artículo trata sobre la iversió e mercados de derivados y desarrolla u procedimieto iferecial Bayesiao para evaluar el precio de las opcioes que permite combiar formalmete la iformació de las series históricas de precios del subyacete y opcioes co las expectativas del iversor sobre la evolució e tedecia y volatilidad del subyacete. Se propoe tambié u problema diámico de programació lieal etera, basado e las estimacioes Bayesiaas del modelo aterior, para determiar el úmero óptimo de opcioes a compra/veder que maximiza el beeficio estimado eto de la cartera. Esta metodología se aplica e el Mercado Español de Derivados Fiacieros. PALABRAS CLAVE: Carteras óptimas, especulació, iferecia Bayesiaa, opcioes europeas. CODIGOS JEL: C11, C61, G11, G13. ABSTRACT This paper focus o tradig i derivative markets for ivestmet purposes ad develops a geeral Bayesia framework for evaluatig optios where we ca merge the ivestor s subetive beliefs about the chages i tred ad volatility i the price movemets of the uderlyig asset with the observed spot ad optio prices. I additio, it is proposed a dyamic iteger programmig model, based o the previous Bayesia estimates, for obtaiig the optimum umber of optios to buy/sell i order to maximize the estimated profitabilitity from the portfolio. The methodology is applied o the Spaish Fiacial Futures ad Optios Exchage. KEY WORDS: Bayesia Optio Pricig; Europea optios; portfolio maagemet; speculatio. JEL CLASSIFICATION: C11, C61, G11, G13. 1

2 1. INTRODUCCIÓN Los mercados de derivados so muy populares etre los iversores porque so líquidos, alcazádose rápidamete el precio de cruce por la aceptació de la fórmula de Black-Scholes, so muy flexibles, por el gra úmero de cotratos egociados que permite tomar posicioes combiadas sobre la evolució futura del subyacete para varios vecimietos, y permite tomar posicioes co u gra apalacamieto fiaciero. Pero estas características se puede volver e cotra del iversor si éste o dispoe de ua buea herramieta para estimar el precio de los derivados de acuerdo co sus expectativas sobre la evolució futura del subyacete y poder comparar su expectativa co el precio teórico que deriva, por eemplo, de la aplicació de la fórmula de Black-Scholes. E este artículo estudiaremos cómo itroducir las expectativas de u iversor sobre la evolució e tedecia y volatilidad del subyacete e el modelo de valoració de opcioes, cómo traducirlas a precios subetivos para opcioes egociadas e el mercado de derivados, y fialmete cómo decidir cuál es la estrategia óptima a seguir y su revisió e el período de mateimieto icorporado la ueva iformació que proporcioa los mercados a cotado y derivado. Estos aspectos de valoració subetiva y determiació de la estrategia óptima e opcioes de acuerdo co las expectativas del iversor o ha recibido mucha ateció de la literatura previa. Auque podemos citar varios trabaos e los que se estudia el problema de obteer la cartera de cobertura e iversió óptima co opcioes (véase, p.e. Redlema [1981], Wolf [1987], Morard y Naciri [1990], Ladd y Haso [1991] y Bullock y Hayes [199]), poco o ada se dice sobre las motivacioes del iversor y sus expectativas sobre la evolució del mercado, y la cartera óptima se elige etre u tipo específico de estrategias (básicamete de cobertura e commodities). Destaquemos dos excepcioes: Kor y Wilmott [1998] y Fot [004]. El efoque de estos dos trabaos es muy distito, Kor y Wilmott [1998] propoe determiar el precio subetivo de la opció resolviedo u problema de iversió e tiempo cotiuo e el que se impoe restriccioes sobre la evolució del precio de la cartera de valoració (opció, subyacete y boo) que reflea el próposito del iversor: pura especulació, cobertura total, cobertura parcial, especulació co posició de cierre y estrategia media-variaza. E su trabao se cosidera dos situacioes: ua más secilla e la que el iversor es forzado a expresar sus expectativas fiado u valor costate para los parámetros media y volatilidad, y uo más compleo e el que se le permite icorporar cambios e los precios fiado dos valores distitos para el parámetro media y para la itesidad de u proceso Poisso que modeliza la frecuecia de cambio e la tedecia. Como solució alterativa, Fot [004] propoe u procedimieto iferecial Bayesiao para modelizar la evolució del mercado (a cotado) de acuerdo co las expectativas del iversor sobre la evolució e media y volatilidad del subyacete, estima el precio subetivo de la opció a partir de la distribució predictiva del precio del subyacete y propoe u problema de optimizació para obteer la estrategia de iversió óptima atediedo a las expectativas del iversor. E ambos trabaos el modelo teórico tiee u papel fudametal, pero el artículo de Fot [004] tiee u efoque más práctico y e él se obtiee estimacioes de los precios de las opcioes que icorpora la expectativa a priori del iversor y la iformació histórica de los precios del subyacete, y proporcioa los iputs de u problema de optimizació que resuelto obtiee la cartera óptima del iversor de acuerdo co sus expectativas. La aplicació del paradigma Bayesiao e ecoomía, que aplica Fot [004] y que seguiremos e este trabao o es ueva (véase Zeller [1971, 90]) y proporcioa ua metodología rigurosa que permite combiar la iformació muestral co las valoracioes subetivas del agete; alguas aportacioes recietes e valoració de opcioes

3 so: Jacquier y Jarrow [000], Forbes, Marti y Wright [003], Marti, Forbes y Marti [003] y Eraker [004]. Este trabao propoe u procedimieto iferecial Bayesiao e el que a partir de u modelo de valoració de opcioes se modeliza las expectativas de los agetes sobre la evolució del subyacete y se obtiee prediccioes sobre el precio de referecia eutral al riesgo y subetivo de la opció y del propio subyacete que icorpora estas expectativas y la iformació histórica de los precios del subyacete y las opcioes. Y a partir de estos resultados platea u problema de optimizació diámico e el que la estrategia óptima de compra/veta de opcioes co distitos vecimietos se revisa cada período icorporado uto co las expectativas del iversor la ueva iformació muestral. El procedimieto se aplica de forma ilustrativa e el mercado de derivados de reta variable español (MEFF-RV) para opcioes europeas sobre el ídice IBEX-35. La cotribució de este artículo es fudametal e varios aspectos: i) El procedimieto iferecial Bayesiao permite combiar formalmete la iformació pasada sobre volatilidad coteida e la serie histórica del subyacete co la iformació futura coteida e las series (históricas) de los precios de las opcioes y las expectativas de los agetes. ii) La itroducció de u modelo de valoració de opcioes Bayesiao y el uso de iformació histórica de este mercado permite recoocer e icorporar detro de la predicció del precio de la opció los posibles errores de modelo asociados a la predicció del precio teórico de la opció (basado e u modelo eutral al riesgo), a la asicroía etre los precios del subyacete y la opció, a costes de trasacció y otras friccioes del mercado de derivados. iii) El procedimieto aplicado permite obteer estimacioes de los precios de mercado o referecia de la opció (basados e la hipótesis de valoració eutral al riesgo), de los precios subetivos de la opció y del subyacete a fechas futuras que icorpora las expectativas del iversor, que permite resolver dos simplificacioes importates e el procedimieto desarrollado por Fot [004]: el coocimieto a priori de los precios de mercado, que se estimaremos a partir de los precios de referecia de las opcioes, y la aplicació del mecaismo de garatías del mercado para cotrolar el riesgo de la estrategia, que sustituiremos por la exigecia de resultados positivos a vecimieto para cualquier valor del subyacete compredido e su itervalo de cofiaza predictivo para u ivel determiado de sigificatividad que reflee el ivel de aversió al riesgo del iversor. iv) A partir de este procedimieto se puede simular la distribució de cualquier cartera de opcioes y comparar etre carteras aplicado criterios alterativos al problema de programació plateado como so: el criterio media-variaza, media-semivariaza, media-asimetría, otras fucioes de utilidad, domiacia estocástica, siguiedo las propuestas actuales de la literatura (véase p.e. Morard y Naciri [1990] y Board, Sutcliffe y Patrios [000]) pero co la meora coceptual de que co esta aproximació se está refleado las expectativas idividuales de los iversores. v) Auque el procedimieto se ilustra para opcioes europeas sobre u úico subyacete o es excesivamete compleo exteder el procedimieto a ivel multivariate co la iclusió de más de u subyacete o icluir detro del programa de optimizació la posibilidad de eercicio aticipado de opcioes americaas. 3

4 Este artículo se orgaiza e cico apartados icluyedo la presete itroducció. E el apartado se itroduce el modelo de valoració de opcioes Bayesiao, y se obtiee las distribucioes predictivas de los precios teóricos, de referecia y subetivos de las opcioes y del precio subetivo del subyacete. E el apartado 3 se platea u problema de programació lieal etera diámico para obteer ua cartera de opcioes óptima. E el apartado 4 se ilustra la metodología propuesta obteiedo las distribucioes predictivas y carteras óptimas para opcioes sobre el Ibex-35 bao distitos supuestos sobre las expectativas idividuales del iversor. Y fializa el trabao co el apartado 5 dedicado a las coclusioes y u aexo co la deducció de las distribucioes fiales y predictivas.. VALORACIÓN SUBJETIVA DE OPCIONES: MODELO BAYESIANO DE VALORACIÓN DE OPCIONES Y DISTRIBUCIONES PREDICTIVAS Ua opció es u derecho a comprar (opció de compra) o veder (opció de veta) u activo (subyacete) a u precio estipulado (precio de eercicio) e ua fecha determiada. Por adquirir este derecho el comprador de ua opció paga ua catidad (prima o simplemete precio) al vededor. E este artículo os cetraremos para simplicar la exposició e opcioes europeas, que sólo puede ser eercidas e la fecha de vecimieto. Formalmete, el precio teórico de ua opció de compra sobre u subyacete que o reparte dividedos viee dado (véase p.e. Hull [000]) por: q t =e -r (T-t) E t [max(s T -K, 0)] [1] dode E t [.] es la esperaza codicioal, basada e la iformació e el istate t respecto a la distribució de probabilidad eutral al riesgo, T es la fecha de vecimieto, K es el precio de eercicio, S T es el precio del subyacete e T y r es el tipo de iterés libre de riesgo asumido durate el período de vida de la opció. Por otra parte, siguiedo el modelo de Black y Scholes asumimos, e u mudo eutral al riesgo, que los logaritmos de los precios se distribuye segú u paseo aleatorio ormal y que: σ logst - log St ~ N r - (T t),σ (T t) [] dode σ es la volatilidad de los redimietos del subyacete. Y desde ua perspectiva Bayesiaa, para o itroducir iformació subetiva e el modelo, la distribució o iformativa habitual sobre la variaza (σ ): p(σ ) 1 σ [3] 4

5 A partir de [] y [3] y observados los precios S i, i=0,1,,,t, se obtiee aplicado el teorema de la Probabilidad Total y teorema de Bayes (veáse detalles e el Aexo) la siguiete distribució predictiva fial para los precios (teóricos) del subyacete 1, : dode: λ χ ψ α = = = = ( t ) t 4 t ψ log S T S,S,...,S ~ GH[ λ,α,β,δ, µ ] [4] 1 s Rs + β + t(r T - t s 0 r) 1 t δ β µ = χ = (T t) = [ r( T t) + log S ] T t t T t co R i = logsi logs, i=1,,,t, y i1 Rs y s la media y variaza muestral estádar respectivamete de la muestra s { R } t i i= 1 Rs =. Fialmete, a partir de esta distribució predictiva obteemos por simulació la distribució predictiva de la variable max(s T K, 0) S 0,S 1,,S t y estimamos, a partir de la media de las simulacioes, el precio teórico de la opció co precio de eercicio K y vecimieto T, q t, para todo eercicio K y vecimieto T..1. MODELO DE VALORACIÓN DE OPCIONES Asumiedo que el precio teórico estimado a partir de la distribució predictiva [4]-[5] es ua represetació isesgada del proceso estocástico real de geeració del precio, si deotamos por C it al precio de mercado e el istate t de la opció de compra co precio de eercicio K i, vecimieto T i y clasificació segú moeyess (m i =S t /K i ) y/o plazo vecimieto podemos especificar el siguiete modelo de valoració de opcioes (véase p.e. Jacquier y Jarrow [000], Forbes, Marti y Wright [003] y Marti, Forbes y Marti [003]): [5] f(c ) = β u it + β f(q id ~ N(0,d σ S,s) it 0 1 it ) u it [6] dode f(.) es ua fució real creciete (p.e. f(c it )=C it, logc it ó logc it / T i -t ), σ es la volatilidad del mercado a cotado, d 0 >0 es u parámetro iicial positivo, y la expresió id idica que los errores se asume idepedietes. Además cosideremos, desde la aproximació Bayesiaa, la distribució o iformativa habitual sobre el vector (β 0, β 1 ): 1 Al escribir todas estas expresioes cometemos u abuso de otació que se extiede a lo largo del artículo y coviee ser aclarado, para obteer el precio teórico e el istate t usamos toda la iformació dispoible muestral hasta el istate t y acetuamos esta idea marcado que observamos los precios hasta t. A ivel práctico, es obvio que para estimar el precio de ua opció para u día t o dispoemos del precio del subyacete que se cotizará durate ese día, la última observació de uestra muestra se puede referir a la cotizació de cierre (u otro dato de ese día) del día aterior t-1 o bie a la cotizació de apertura del propio día t. E este artículo, hemos aplicado el segudo criterio y hemos usado precios de apertura hasta la propia fecha de estimació de la opció. Si x ~ GH(λ, α, β, δ, µ), α>0, 0 β a, µ, λ R, δ>0 co GH(.) la fució de distribució hiperbólica geeralizada etoces x (-, ), f(x λ, α, β, δ, µ)={[α -β ] λ/ ]/[ π α λ-1/ δ λ K λ (δ(α -β ) 1/ )]}[δ +(x-µ) ] (λ- 1/)/ exp(β(x-µ))k λ1/(α(δ +(x-µ) ) 1/ ) co K ν (.) la fució modificada de Bessel de tercera clase co ídice ν, existe todos los mometos y los primeros mometos so ( ζ= δ(α -β ) 1/ ): E(x)=µ+(βδ /ζ)[k λ+1(ζ)/k λ(ζ)] y V(x)=δ [K λ+1(ζ)/(ζk λ(ζ))+ ( βδ /ζ ){K λ+(ζ)/k λ(ζ)(k λ+1(ζ)/(ζk λ(ζ)) }]. Citemos como referecias básicas acerca de las propiedades de esta distribució y su simulació a Bardorff-Nielse [1977] y Atkiso [198] respectivamete. 5

6 p(β 0,β1 σ ) 1 [7] La presecia de los residuos recoge los errores debidos al modelo y tambié al error de mercado, esto es, diferecias etre los precios observados y los teóricos atribuibles a factores relacioados co la egociació: asicroías e la egociació, costes de trasacció, Especificacioes más geerales de [6] so obviamete posibles auque los beeficios e la estimació o so ta claros (véase p.e. Eraker [004] y Forbes, Marti y Marti [00]). Además, estrictamete hablado, e ausecia de oportuidades de arbitrae, la distribució de u it debería estar acotada iferiormete 3 (véase p.e. Hull [000]) por f(max(0,s t e -r(ti-t) K i )). E este artículo igoraremos esta trucació que impide obteer distribucioes predictivas cerradas complicado el proceso iferecial Bayesiao y tiee, e cambio, u impacto míimo e las estimacioes. La elecció de la fució f(.) uto co la clasificació segú moeyess y/o plazo de vecimieto recoge la distita variabilidad de los precios de opcioes segú el ivel de moeyess y el plazo hasta vecimieto. De acuerdo, co el doble papel que va a desempeñar este modelo de opcioes para estimar precios de referecia y subetivos, el parámetro d 0 se debe fiar a partir de la iformació histórica de redimietos y opcioes 4 e el primer caso y puede ser fiado arbitrariamete por el iversor e el segudo. E relació a las opcioes de veta, cosiderado cierto el modelo de opcioes [6], asumiedo ausecia de arbitrae y deotado por P it al precio de mercado e el istate t de la opció de veta co precio de eercicio K i, vecimieto T i y clasificació segú moeyess y/o plazo vecimieto se cumple la relació de paridad put-call (veáse p.e. Hull [000]): -r(ti t) Pit = Cit + Kie S [8] E este trabao usaremos esta relació para valorar las opcioes de veta a partir de la estimació de la correspodiete opció de compra. t.. MODELIZACIÓN DE LAS EXPECTATIVAS DE LOS INVERSORES Itroduzcamos ahora las expectativas de uestros iversores. Nuestro iversor desea estimar cuatitativamete si ua opció está siedo ifravalorada o sobrevalorada por el mercado segú sus expectativas sobre la evolució futura del subyacete de la misma y por lo tato requiere de u modelo que basado e las hipótesis que subyace e el modelo de valoració de Black y Scholes permita icorporar dichas expectativas. Volvamos de uevo a la ecuació [] pero si asumir la hipótesis de valoració eutal al riesgo; los dos parámetros clave que describe el comportamieto del precio del activo y sobre los que el agete debe expresar sus expectativas so: la tasa de retabilidad esperada del activo e compuesta cotiua 5, η = µ σ, y el cuadrado de la volatilidad de los redimietos, σ. Y cosideremos ahora, desde ua perspectiva Bayesiaa, que el agete puede modelizar de forma adecuada sus expectativas a priori sobre tedecia, η, y sobre volatilidad, σ, fiado m 0, c 0 >0, a 0 >0 y b 0 >0 e las siguietes distribucioes iiciales: 3 Nótese que para las fucioes f(c it )=logc it ó logc it / T i -t se cumple de forma autómatica la cota de positividad. 4 Observa que: V[f(C it )]/V[R t ]=d 0. 5 Si deotamos por τ a la tasa de retabilidad compuesta cotiua del activo, esto es, S =S i exp[τ(-i)], >i, a partir de [] se tiee que τ ~ N( η,σ ( i) ). 6

7 ησ σ ~N(m, c σ ) ~Ga ( a, b ) 0 0 [9] [10] Destaquemos que las distribucioes 6 iiciales [9]-[10] además de facilitar el proceso iferecial Bayesiao (ótese que [6], [7] y [9] se defie e fució de u mismo parámetro de variaza σ ) permite itroducir las expectativas del agete de forma fácil y flexible sobre los dos aspectos clave de las estrategias de iversió co opcioes: la tedecia del subyacete, haciedo referecia a la direcció del cambio, y la volatilidad del mismo, haciedo referecia a la itesidad del cambio. Adicioalmete, el iversor facilitará tambié sus expectativas sobre la itesidad de los cambios e los precios de los derivados atediedo al ivel de moeyess y/o plazo hasta vecimieto a través de los parámetros d 0 (véase ecuació [6]). A partir de [1], [], [6], [7], [9] y [10] y observados los precios de los cotratos de opcioes de compra egociadas e el itervalo (t,t ), {C iτ } i,,t<τ<t, y los precios del subyacete e el itervalo [0,t ], S i i=0,1,,,t, se obtiee aplicado los teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes (véase detalles e el Aexo) la distribució fial de los parámetros β 0, β 1 y σ del modelo de valoració de opcioes [6]: dode: βˆ = (βˆ, βˆ ) B = 0 1 t d0 f(qiτ ) i,, τ d0 β, β S, S,..., S,{C 0 σ 1 0 S, S,..., S,{C 0 f(q 1 1 ) iτ i,, τ d0 f (qiτ ) i,, τ d0 1 iτ iτ } } i,,t< τ< i,,t< τ< βˆ βˆ a b 0 1 = S = a = b,σ = c + βˆ qc /S ~ N(ˆ, β Bσ ~ Ga q q -1 + ( + )/ [( 1)s + 0.5[( -1)(S ) (a, b ) c Rs' S + t(r qc βˆ 1 )] s' m ) /( c )] co R s' y s la media y variaza muestral estádar respectivamete de la muestra Rs' s' = { R } i, i= 1 el úmero de opcioes de compra co precio de eercicio K i, vecimieto T i y clasificació e la muestra, q = [Σ,k,τ f(q iτ )/d 0 ]/[Σ /d 0 ], c =[Σ,k,τ f(c iτ )/d 0 ]/[Σ /d 0 ], S q =[Σ,k,τ (f(q iτ )- q ) /d 0 ]/(-1), S c =[Σ,k,τ (f(c iτ )- q ) /d 0 ]/(-1) y S qc = [Σ,k,τ [(f(q iτ )- q )(f(c iτ )- c )]/d 0 ]/(-1). Es iteresate otar a partir de [11]-[1] que e la distribució fial del cuadrado de la volatilidad y por tato e la estimació de dicho parámetro se combia, cocretamete a través del parámetro b t, la iformació pasada sobre volatilidad coteida e la serie histórica del subyacete (segudo sumado), la iformació futura coteida e las series históricas de los precios de las opcioes (tercer sumado) y las expectativas de los agetes (primer sumado). E coclusió, la aproximació Bayesiaa permite combiar formalmete los dos procedimietos propuestos por la literatura (véase [11] [1] 6 Recordemos que : Si η~n(m 0,c 0 σ ) etoces η (-, ), f(η m 0,c 0 σ )=(πc 0 σ ) -½ exp[-(ηm 0 ) /c 0 σ ] y los primeros mometos (a partir de ellos podemos especificar m 0 y c 0 >0) viee dados por : E(η)=m 0, V(η)= c 0 σ. Si σ ~Ga -1 (a 0,b 0 ) etoces σ (0, ), f(σ a 0,b 0 )=[b 0 /Γ(a 0 )](σ ) -(a 0+1) exp[-b 0 /(σ )] y los primeros mometos (a partir de ellos podemos especificar a 0 >0 y b 0 >0) viee dados por : E(σ )=b 0 /(a 0-1), si a 0 >1 y V(σ )=b 0 /[(a 0-1) (a 0 -)], si a 0 >. 7

8 p.e. Egle y Mustafa [199]) para estimar el parámetro volatilidad 7 del modelo de Black-Scholes y e cosecuecia valorar opcioes..3. DISTRIBUCIONES PREDICTIVAS DE LAS PRIMAS Y DEL SUBYACENTE A VENCIMIENTO E este apartado deducimos tres distribucioes predictivas fiales de iterés para uestro iversor: la distribució predictiva de los precios de las opcioes bao ua valoració eutral al riesgo, que os proporcioará ua estimació del precio mercado o de referecia; la distribució (predictiva) subetiva de los precios de las opcioes basada e las expectativas del iversor sobre el subyacete, que comparada co el precio de referecia permitirá determiar si ua opció está ifravalorada o sobrevalorada segú estas expectativas; y la distribució (predictiva) subetiva de los precios del subyacete a vecimieto, que permite estimar segú las expectativas del iversor los resultados futuros de la opció e la fecha de vecimieto. La distribució predictiva del precio de referecia de ua opció de compra para u istate t +k (k 0) bao ua valoració eutral al riesgo se obtiee a partir de [1], [], [3], [6] y [7] y los precios observados de los cotratos de opcioes de compra egociadas e el itervalo (t,t ), {C iτ } i,,t<τ<t, y del subyacete e el itervalo [0,t ], S i, i=0,1,,,t, y viee dada (véase detalles e Aexo) por: dode: δ χ f(c λ ( + ) + 1 ψ = 4 α = ψ = i + k ) d = χ = ( ) µ d = [,α, 0,δ,µ ] S0, S1,..., S,{Ciτ } i,,t< τ< ~ GH λ [13] [ βˆ + βˆ f(q )] = d s Rs' 1 + (R i + k + [( 1)S q s' r) d + ( + ( 1)(S /d 0 )(f(q c i + k S qc βˆ 1 ) ) q) ]/[( /d )( 1)S ] co d u parámetro iicial que e este trabao propoemos sustituir por u estimador basado e la 0 series históricas de precios de opcioes y subyacete. La distribució subetiva del precio de ua opció de compra e t +k (k 0) segú las expectativas del iversor, se obtiee a partir de [1], [], [9], [6] y [11] y los precios observados de los cotratos de opcioes de compra egociadas e el itervalo (t,t ), {C iτ } i,,t<τ<t, y del subyacete e el itervalo [0,t ], S i, i=0,1,,,t, y viee dada (véase detalles e Aexo) por 8 : f(c ) ~ St µ i + k S 0, S1,..., S,{C iτ } i,,t< τ<,,a a d co d 0 >0 u parámetro fiado por el iversor que expresa sus expectativas sobre la variabilidad e los precios de las opcioes e fució de clasificació de moeyess y/o plazo hasta vecimieto. b 0 q [14] [15] 7 Para obteer la estimació eutral al riesgo de la volatilidad (elimiado la iformació sobre las expectativas), os basamos e la distribució fial que se obtiee a partir de [1], [], [3], [6] y [7] y la iformació muestral sobre el subyacete y las opcioes de compra (véase detalles e el Aexo): σ S, S,..., S,{C } ~ GIG(λ,χ,ψ ) 0 1 iτ i,,t< τ< dode GIG es la distribució gamma iversa geeralizada (véase Bardorff-Nielse [1977] y Atkiso [198]) y λ t, χ t, ψ t está defiidos e [14]. 8 Recordemos que si x~st(µ,σ,α) etoces x (-, ), f(x µ,σ,α)={γ[(α+1)/]/[(απσ ) -½ Γ(α/)]}[1+(x- µ) /ασ ] y los primeros mometos viee dados por : E(x)=µ, si α>1, y V(x)=[α/(α-)]σ si α>. 8

9 A partir de las distribucioes predictivas [13] y [15] obteemos por simulació las distribucioes predictivas eutral al riesgo y subetiva de C it +k S 0,S 1, S t,{c iτ } i,,t<τ<t y estimamos a partir de ellas (e este trabao usamos la mediaa de las simulacioes) los precios de referecia y subetivo e t +k de ua opció de compra co precio de eercicio K i, vecimieto T i y clasificació segú moeyess y/o plazo vecimieto respectivamete. Los precios de referecia y subetivo de la correspodiete opció de veta se obtiee aplicado la relació de paridad put-call (véase [8]). Y a partir de estas estimacioes diremos que ua opció e t +k está ifravalorada/sobrevalorada desde el puto de vista del iversor si su precio de referecia es iferior/superior a su precio subetivo respectivamete. E último lugar, la distribució subetiva del precio del subyacete e la fecha del vecimieto T (T>t ) que se obtiee a partir de [1], [], [9] y [11] y los precios observados de los cotratos de opcioes de compra egociadas e el itervalo (t,t ), {C iτ } i,,t<τ<t, y del subyacete e el itervalo [0,t ], S i, i=0,1,,,t, y viee dada (véase detalles e Aexo) por: b log S T S0,S1,...,S,{Ciτ } i,,t< τ< ~ St m, e,a a [16] dode: m t = (T-t )[(c 0 t R s m 0 )/(c 0 t +1)]+log(S t ) y e t =(T-t )[1+(Tt )c 0 /(c 0 t +1)]. Por simulació, a partir de la distribució predictiva [16] se obtiee la distribució predictiva de los precios del subyacete a vecimieto, S T S 0,S 1, S t,{c iτ } i,,t<τ<t, y se estima (usado los correspodietes cuatiles y, e este trabao, cosiderado itervalos cetrados) los itervalos de cofiaza sobre el precio del subyacete a vecimieto segú la iformació muestral dispoible y las expectativas iiciales del iversor. Estos itervalos permite valorar los posibles resultados fiales de las estrategias implemetadas por cada iversor de ua forma ituitiva y secilla. Otra posible aplicació de esta distribució predictiva es la obteció de la distribució predictiva de la variable max(s T K, 0) S 0,S 1,,S t,{c iτ } i,,t<τ<t y la estimació a partir de la misma de u precio de la opció de compra co eercicio K y vecimieto T usado la expresió [1]. Este uso o se recomieda e este artículo porque proporcioa ua estimació del precio de la opció e el mercado a cotado pero o e el mercado de derivados. E mi opiió estas distribucioes sobre los precios del subyacete sólo so aplicables para estimar el resultado cuado se eerce la opció (e este caso, dado que uestras opcioes so europeas, e el istate de vecimieto). 3. OBTENCIÓN DE ESTRATEGIAS ÓPTIMAS EN EL MERCADO DE OPCIONES Valorados los cotratos de opcioes desde el puto de vista del iversor, el siguiete paso es determiar cuál es la estrategia óptima de iversió e opcioes segú sus expectativas y la iformació que le proporcioa el mercado y cómo debe actualizar e el tiempo dicha estrategia para que siga siedo óptima. E este apartado propoemos solucioar este problema resolviedo ua serie de programas lieales eteros e los que se revisa la estrategia óptima iicial icorporado uto a las expectativas iiciales del iversor la ueva iformació muestral. Asumamos alguas hipótesis para poder describir el problema de uestro iversor e térmios secillos y operacioales: Los activos derivados: opcioes de compra y veta europeas 9, se defie sobre u úico subyacete. 9 La restricció a opcioes de tipo europeo es útil para simplificar el plateamieto del problema de programació. Y la debilitació de esta hipótesis (a opcioes americaas) exige u esfuerzo de programació y 9

10 Durate el período de iversió el subyacete o reparte dividedos 10. El modelo de valoració de opcioes establecido e el apartado.1 se cumple y las expectativas del iversor se describe de forma adecuada empleado el modelo Bayesiao descrito e el apartado.. No hay costes de trasacció directos i impuestos. La decisió del iversor se basa e su estimació sobre los precios de referecia (eutrales al riesgo) y subetivos estimados (a partir de las ecuacioes [13] y [15] respectivamete) de las opcioes de compra y veta, y de los itervalos de cofiaza calculados para el precio del subyacete e los vecimietos (a partir de la ecuació [16]). El proceso de optimizació tiee varias etapas, y e cada etapa la cartera óptima de la etapa aterior se reausta icorporado la ueva iformació muestral del mercado a cotado y de derivados e la estimació de los precios de las opcioes y proóstico sobre los resultados. El obetivo del iversor es maximizar el beeficio eto estimado e cada fecha segú sus expectativas y la estrategia óptima de cada etapa queda defiida por la compra o veta de u úmero etero de opcioes. Para determiar esa estrategia óptima el agete asume uas restriccioes sobre las variables de decisió (opcioes a comprar o veder). Las restriccioes básicas que cosideraremos e el plateamieto se basa e el presupuesto dispoible, la limitació de pérdidas e los vecimietos y el volume de cotratos egociables e cada etapa. La fució obetivo y restriccioes ha de ser todas ellas lieales 11. De acuerdo co estas hipótesis y deotado por: (0,D]: Itervalo de iversió, co D igual a la fecha del último vecimieto cosiderado. d: Etapa del proceso de optimizació, d=1,,d. s d : Iformació muestral del mercado al cotado y derivado dispoible al iicio de la etapa d. c : Precio estimado subetivo de la opció de compra co precio de eercicio K i, vecimieto T i y clasificació segú moeyess y/o plazo vecimieto para la etapa d. c se estima a partir de la distribució de C s d deducida de [15]. c : Precio estimado de referecia de la opció de compra co precio de eercicio K i, vecimieto T i y clasificació segú moeyess y/o plazo vecimieto para la etapa d. c se estima a partir de la distribució de C s d deducida de [13]. p (/p ): Precios estimados subetivo(/de referecia) para la opció de veta respectivamete. Obteidos a partir de los ateriores aplicado la relació de paridad put-call (véase [8]). E imd : Precio hipótetico m del subyacete a fecha de vecimieto T i para la etapa d. Para cada etapa d y vecimieto T i se calcula a partir de la distribució subetiva de S Ti s d (deducida de computacioal extra al requerir la resolució de problemas adicioales itermedios para decidir etre la estrategia de mateer o eercer de forma aticipada las opcioes de veta. 10 Los dividedos se puede itroducir fácilmete e el problema austado el precio del subyacete de forma cotiua por dividedos y estableciedo las expectativas de evolució sobre los redimietos totales. 11 La exigecia de liealidad e la fució obetivo y restriccioes del problema de optimizació es debida a la ecesidad de algoritmos de optimizació eficietes para resolver los problemas de programació. E este trabao se ha empleado el programa GAMS 5 ( y el paquete de algoritmos CPLEX. 10

11 [16]) el itervalo de cofiaza α y la secuecia E i1d E id represeta los precios de subyacete perteecietes a dicho itervalo que coicide co los eercicios de las opcioes cosideradas para ese vecimieto. B d : Beeficio esperado eto (segú las expectativas del iversor) al iicio de la etapa d. D d : Presupuesto dispoible para la etapa d. Vmax d : Volume máximo de opcioes de cada tipo compradas y vedidas durate la etapa d. Defiimos las siguietes variables de decisió por etapa d: uc o : úmero de opcioes de compra co precio de eercicio K i, vecimieto T i y clasificació segú moeyess y/o plazo compradas (o=+1) o vedidas (o= 1) e la etapa d. up o : úmero de opcioes de compra co precio de eercicio K i, vecimieto T i y clasificació segú moeyess y/o plazo compradas (o=+1) o vedidas (o= 1) e la etapa d. dode uc o y up o toma valores positivos y eteros 1. Y las siguietes variables que defie la posició de compra/veta óptima actual e cada cotrato después de tomar la decisió de la etapa d por: xc o /xp o : úmero total de opcioes de compra/veta co precio de eercicio K i, vecimieto T i y clasificació segú moeyess y/o plazo compradas (o=+1) o vedidas (o= 1) e el período [1,d]. Esto es: xc o i0 =xp o i0 =0, xc =xc -1 + (uc o ) *, xp =xp -1 +(up o ) * dode (.) * represeta la solució óptima del problema lieal etero de la etapa d. Co lo que la cartera óptima e d e opcioes de compra y veta viee dada por xc c -xc v, xp c -xp v, i, respectivamete. El problema de programació lieal etera que teemos que resolver e d es: Max s.a. dode: i i B D R (c c max(0, E uc uc d d c (uc = imd + 1, uc, uc = D = i d-1 )(uc uc imd 1 1 (c 1 K )(uc, up, up c i uc ) + i, up, up c -1 max(0, E 1 1 )(xc 1 i (uc imd ) + p + 1 uc V Z (up 1 maxd +, i xc (p + 1 uc K )(xc i ) +, 1-1 p up 1 i, i, 1-1 ) ) xc )(up ) D d + 1 up max(0, K E (p p ) + co B 1 =0 y D 1 igual al presupuesto total de iversió. i i i p (up imd )(xp ) + B up d )(up xp ) up max(0, K E i 1-1 imd 1 ) ) + R )(xp imd 0, xp 1-1 i, ) m [17] [18] 1 Co esta defiició garatizamos el requisito de positividad de las variables de decisió de los problemas de programació lieales pero permitimos que e ua misma etapa se compra y veda u mismo cotrato. Obviamete, la posició eta e el cotrato será la diferecia etre los cotratos comprados y vedidos. 11

12 El problema de programació [17]-[18] tiee alguas características particulares que merece alguos cometarios: El iversor para determiar la cartera óptima e cada etapa d tiee e cueta su cartera actual (al iicio de la etapa d) e dos setidos: (i) valorádola de acuerdo co sus estimacioes de referecia y subetivas para la etapa d (B d ) y sumádola al beeficio eto de la estrategia óptima de la etapa d; y (ii) usádola para limitar el couto de decisioes posibles a través de la restricció presupuestaria (1ª restricció e [17]) evitado que la iversió total del período supere la presupuestada, y del riesgo asumido por el iversor (ª grupo de restriccioes e [17]) sumado a los posibles resultados a vecimieto de las decisioes de la etapa d, los resultados (R imd ) de la cartera actual de acuerdo co las estimacioes subetivas para esta etapa del subyacete. E relació a la fució obetivo, otemos que al basarse e estimacioes de los precios de referecia y subetivos de las opcioes hace uso de u estimador que miimiza los errores de estimació cometidos segú ua determiada fució de pérdida (e este caso los errores de estimació e térmios absolutos) que e pricipio puede ser o simétrica. Las restriccioes sobre volume garatiza la acotació del problema auque éste puede volverse ifactible e algua etapa. E la práctica, la ifactibilidad se produce e etapas itermedias cuado se acumula iformació histórica e catidad suficiete para cambiar uestras estimacioes subetivas sobre los precios, la cartera óptima costruida dea de ser satisfactoria a ivel de resultados futuros y teemos que veder opcioes e catidades superiores al volume máximo permitido y/o comprar opcioes o dispoiedo de presupuesto suficiete. La restricció presupuestaria (1ª restricció e [17]) reflea la capacidad que tiee el agete de autofiaciar su estrategia vediedo opcioes 13. Es importate otar que para defiir esta restricció usamos el precio de referecia eutral al riesgo como estimació de los precios de compra y veta reales del mercado de derivados. Usado estos precios dispoemos de ua predicció de los precios de mercado de las opcioes 14 para estimar la iversió e cada etapa y calcular los beeficios e térmios etos, el icoveiete so las imprecisioes que pueda derivar por errores de predicció. La restricció sobre el riesgo, de gra relevacia e este tipo de problemas por el distito ivel potecial de pérdida etre estrategias 15, se itroduce mediate ua batería de restriccioes lieales (º grupo de restriccioes e [17]) y tiee ua iterpretació muy secilla: sólo cosideramos como decisioes posibles del problema aquellas que proporcioe resultados positivos e sus correspodietes vecimietos para valores del subyacete perteecietes a u determiado itervalo de cofiaza basado e las expectativas e iformació muestral del iversor. Cuáto mayor es el porcetae de cofiaza fiado mayor aversió al riesgo de 13 Recordemos que muchas estrategias especulativas se costruye co la veta de opcioes, citemos por eemplo: difereciales alcistas y baistas, coos y cuas vedidos, mariposas y códores comprados y vedidos, spreads verticales, etc. 14 Resolvemos de este modo ua de las debilidades más visibles del procedimieto de fiació de expectativas y estimació de carteras óptimas propuesto e el artículo de Fot [004], e el que se defie la restricció presupuestaria sobre los propios precios egociados durate el día. 15 Compárese, mediate la gráfica de beeficios a vecimieto, el potecial de pérdida de las siguietes pareas de estrategias especulativas: opció de compra comprada y opció de veta vedida, diferecial alcista y túel alcista, mariposa comprada y coo vedido, etc. 1

13 uestro iversor. No estamos ate la solució habitual (cotrolar la variaza de los beeficios etos e cada fecha) pero esta solució que ya ha sido aplicada e otros trabaos (véase Balbás et al [000] para descubrir oportuidades de arbitrae o Fot [004] para este tipo de problemas) tiee alguas vetaas adicioales sobre aquella: (i) es más ituitiva y práctica desde el puto del iversor porque cotrola las posibles pérdidas de la cartera a vecimieto, de hecho, las garatías se establece para garatizar los pagos asociados a esas pérdidas y se basa e variates de esta idea; (ii) permite reflear el efecto sobre el riesgo de la asimetría de la distribució de los resultados de las opcioes a vecimieto 16 (y e cosecuecia de las correspodietes carteras) ya que esta procede de la distribució de las variables trasformadas max(s Ti K,0) s d ; y (iii) a ivel de resolució del problema de optimizació la sustitució de la restricció de la variaza por u grupo de restriccioes lieales aumeta la efectividad de resolució de los algoritmos por dos vías: la liealidad y el icremeto e el úmero de restriccioes del problema. El problema de optimizació hace ua distició clara etre los beeficios que procede del mercado de derivados, está afectados por los costes idirectos y friccioes de este mercado y se refiere al día a día de la egociació (e la fució obetivo) y los resultados a vecimieto de la cartera que se establece a partir de los precios del subyacete egociados e el mercado a cotado (e las restriccioes de riesgo). Los costes de trasaccció directos y debidos a las garatías se puede itroducir directamete e la fució obetivo y restriccioes de riesgo respectivamete mateiedo la estructura y tratatabilidad matemática del problema propuesto. Señalemos, para fializar, que el problema de optimizació propuesto o es ecesariamete el meor programa de optimizació posible para todo iversor. U iversor cocreto puede cosiderar más adecuada ua fució obetivo que maximice el valor esperado de los beeficios de acuerdo co ua fució de utilidad o lieal, o bie puede cosiderar iteresate icluir alguas restriccioes adicioales que fie cotas a la compra o veta de determiadas opcioes, establezca compras o vetas por lotes, haga excluyetes la compra y/o veta de determiado/s cotrato/s, E cualquiera de estas situacioes, las distribucioes predictivas deducidas e.3 seguirá proporcioado la base para diseñar obetivo y restriccioes del uevo problema. 4. ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN ÓPTIMAS EN OPCIONES SOBRE EL ÍNDICE IBEX-35 Completamos esta exposició ilustrado el procedimieto propuesto mediate la obteció de carteras de iversió óptimas co revisió diaria e opcioes sobre el IBEX-35 para el período de iversió compredido etre el 0/11/006 y el 16/03/007 y ueve tipos de expectativas idividuales: (1) tedecia decreciete y volatilidad baa, () tedecia decreciete y volatilidad media, (3) tedecia decreciete y volatilidad alta, (4) ideciso e tedecia y volatilidad baa, (5) ideciso e tedecia y volatilidad media, (6) ideciso e tedecia y volatilidad alta, (7) tedecia creciete y volatilidad baa, (8) tedecia creciete y volatilidad media y (9) tedecia creciete y volatilidad alta. Las Opcioes IBEX so cotratos sobre opcioes de compra y veta europeas co las siguietes características: el activo subyacete es u Futuro Mii sobre Ibex-35, las primas se cotiza 16 La literatura proporcioa umerosas evidecias teóricas y empíricas sobre estas asimetrías, véase por eemplo Bookstaber y Clarke [1985]. 17 Este cotrato de opcioes vigete desde el /11/001 sustituyó al cotrato previo de opcioes sobre el IBEX-35 sobre el futuro ormal y co u multiplicador de

14 e putos eteros del futuro mii co ua fluctuació míima de u puto 18, los precios de eercicio egociables termia e 50 o cetea para los cotratos co vecimieto iferior a los dos meses y e cetea exacta para vecimietos superiores, los meses de vecimieto abiertos a egociació so los tres meses correlativos más próximos y los otros tres del ciclo marzo-uio-septiembre-diciembre, la fecha de vecimieto y último día de egociació es el tercer vieres del mes de vecimieto, y se liquida por diferecias. Auque desde u puto de vista formal, el activo subyacete de las opcioes IBEX-35 es otro derivado, el Futuro Mii sobre IBEX-35, éste tiee como subyacete el ídice IBEX-35 y podemos cosiderar (recordado que futuro y subyacete coverge a fecha vecimieto) que el subyacete de las opcioes es el propio ídice IBEX-35. E relació a este último, el IBEX-35 es u ídice poderado por capitalizació de los 35 activos más líquidos del mercado cotizados e el Sistema de Itercoexió Bursátil de las cuatro Bolsas Españolas, que corrige ampliacioes y reduccioes de capital pero o dividedos 19. Los datos empleados para realizar esta implemetació ha sido la serie de precios diarios de apertura del ídice IBEX-35 facilitada por la Sociedad de Bolsas ( y los precios diarios del último cruce (co precio y volume positivos) de las opcioes de compra sobre el IBEX-35 de los cico primeros vecimietos (93.36% del total de operacioes cruzadas) para el período compredido etre el 3/01/000 y el 30/03/007 proporcioada por MEFF-RV ( y los tipos de iterés egociados e operacioes simultáeas al cotado para el período compredido etre el /10/006 y el 30/03/007 publicados por el Baco de España ( ). Las series sobre precios del ídice y de las opcioes se dividiero e dos partes del 3/01/00 al 9/09/06 y del /10/06 al 30/03/07 empleádose la primera para calibrar el modelo 0 (obteer los parámetros iiciales de los ueve tipos de expectativas) y la seguda para obteer las estrategias de iversió (muestras y prediccioes para cada expectativa) DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS INICIALES El calibrado del modelo se realiza a partir de las series de precios diarios de apertura del ídice IBEX- 35 y los precios diarios del último cruce (co precio y volume positivos) de las opcioes de compra sobre el IBEX-35 de los cico primeros vecimietos para el período compredido etre el 3/01/00 al 9/09/06 dividiedo las series e 8 subperíodos (el primero y último icompletos) de aproximadamete u mes de observacioes que comprede el itervalo temporal etre dos vecimietos cosecutivos de opcioes. 18 U puto equivale a Esta circustacia e pricipio podría teer algua ifluecia e la obteció de los valores de los parámetros iiciales a partir de estimacioes muestrales de las series históricas del IBEX-35 y de las opcioes de compra sobre el IBEX-35 (eero 000 a marzo 007). Si embargo, esta ifluecia es míima por las siguietes razoes: (i) los parámetros de las distribucioes iiciales o tiee porque coicidir co estimacioes muestrales, teóricamete so apreciacioes subetivas del decisor, (ii) el ídice IBEX-35 se calcula miuto a miuto y las opcioes co vecimieto más próximo se egocia itradía, lo que facilita la disolució rápida del efecto ex dividedo e ambos mercado, y (iii) obteidas las series de los precios de apertura IBEX-35 y precio IBEX-35 co dividedos proporcioadas por la Sociedad de Bolsas y a partir de estas las correspodietes series de redimietos para el período compredido etre el 3/01/00 y el 30/03/07 (185 observacioes), obteemos u estadístico de cotraste Kolmogorov-Smirov para dos muestras de co lo que aceptamos la hipótesis de igualdad de ambas distribucioes a u ivel de sigificatividad del 0%. 0 Teóricamete, los parámetros iiciales debe ser fiados por los agetes e fució de su experiecia y coocimietos acerca del mercado y o tiee porqué derivarse de series históricas. Si embargo e este trabao se ha optado para reducir la subetividad de los resultados por u calibrado basado e la iformació histórica de las series de precios del ídice y de las opcioes de compra para u período de tiempo largo e el que podemos asumir que se reproduce los ueve modelos de expectativas. 14

15 Como podemos apreciar de la Figura 1, e la que se represeta la serie de precios de apertura del IBEX-35 y la serie de las variazas codicioales (estimadas cada subperíodo mediate u GARCH(1,1)), la serie de precios diarios de apertura del ídice y sus correspodietes redimietos, por su logitud y la variabilidad de escearios de tedecia y volatilidad que comprede, so adecuadas para describir los ueve tipos de expectativas cosiderados. A partir de los estadísticos descriptivos de media y desviació estádar de los redimietos para cada subperíodo se obtuviero los parámetros m 0, c 0, a 0 y b 0 para los ueve tipos de expectativas agrupado resultados descriptivos por volatilidad y detro de volatilidad por tedecia. Es iteresate otar, dado soporte a uestra hipótesis distribucioales sobre los redimietos e itervalos cortos, que sólo se rechaza la hipótesis de ormalidad de los redimietos co u ivel de sigificatividad del 5% para 4 subperíodos. Isertar Figura 1 Para obteer los restates parámetros iiciales recurrimos a las series de precios de opcioes. Para determiar la fució f(.) y la clasificació por moeyess y plazo que permite describir co más facilidad los datos, calculamos el valor de moeyess para todas las opcioes de compra y agrupamos los datos por decil y vecimieto obteiedo los estadísticos descriptivos de media y volatilidad (el úmero idica el vecimieto) para tres fucioes de los datos f 1 (C it )=C it, f (C it )=logc it y f 3 (C it )=logc it / T i -t. La descripció más secilla para la volatilidad de los precios de las opcioes (Figura ) se obtuvo para la tercera fució. Isertar Figura A partir de esta represetació cosideramos f(c it )=log C it / T i -t, =1,..,4 para cuatro clasificacioes segú valor de moeyess y plazo de vecimieto. E primer lugar distiguimos etre cotratos co vecimieto iferior al mes y superior al mes, y a cotiuació clasificamos los primeros atediedo a su moeyess e fuera de diero (deciles 1 a 4: m 1 <0.9635), e el diero (deciles 5 a 6: m ) y e diero (deciles 7 a 10: m 1 >1.0007) y los segudos e la categoría geeral de cotratos de largo plazo. A cotiuació, se agruparo las series de precios de opcioes e estas cuatro categorías se obtuviero los estadísticos descriptivos media y desviació típica para los 8 subperíodos y las cuatro categorías. A partir de estos estadísticos agrupado por categoría se fiaro los parámetros d 0 para la estimació de los precios de referecia (ecuació [13]), y agrupado los estadísticos por volatilidad y a cotiuació por categoría y se obtuviero los parámetros d 0 para los ueve tipos de expectativas. La hipótesis de ormalidad se rechaza co u ivel de sigificatividad del 5% para 34 subperíodos fuera de diero, 69 e el diero, 81 e diero y 7 para las opcioes co u plazo de vecimieto superior al mes. La Tabla 1 recoge los valores de todos los parámetros iiciales para los ueve tipos de expectativas. Isertar Tabla CARACTERÍSTICAS DEL PERÍODO Y DEL PROCESO DE INVERSIÓN La implemetació del proceso de iversió: geeració de distribucioes predictivas para los precios de referecia y subetivos de opcioes sobre el IBEX-35 para uestros ueve iversores tipo se realiza para el período compredido etre el /10/006 y el 30/03/007. Durate este período, tal y como podemos apreciar e la Figura 3, que represeta precios del ídice y variazas codicioales de los redimietos, y e la Tabla, que cotiee alguos estadísticos descriptivos para los 7 subperíodos 15

16 (primero y último icompletos) etre vecimietos de opcioes cosecutivos, el mercado a cotado mateiedo uos iveles de volatilidad baa y ua tedecia geeral creciete experimetó dos cambios de tedecia importates acompañados de aumeto de volatilidad e los itervalos compredidos etre el 8/11 y 4/1 (etapas 8 a 11), y el 3/0 y 1/03 (etapas 67 a 71). Isertar Figura 3 y Tabla Para dispoer de iformació muestral suficiete de los precios del subyacete y de las opcioes de compra para estimar los precios teóricos de las opcioes (ecuació [4]) y, coocidos éstos, los precios de referecia y subetivos (coforme expectativas) de las opcioes (ecuacioes [13] y [15] respectivamete), el itervalo compredido etre el /10 y el 17/11 se reserva para muestra y el itervalo de iversió se iicia el 0/11/06. Las características del proceso de iversió implemetado co revisió diaria de la cartera óptima (véase, el problema de programació lieal etera plateado e [17]-[18]) so las siguietes: Itervalo de iversió: 0/11/06 a 16/03/07 Revisió de las carteras óptimas: diaria, co desplazamieto de la vetaa muestral u día. Iformació muestral: La iformació muestral comprede ua vetaa del tamaño de dos subperíodos etre vecimietos más la observació del propio día de los redimietos del subyacete y de u subperíodo para los precios de las opcioes 1 de compra co vecimietos 17/11, 15/1, 19/01, 16/0 y 16/03. Descripció de los cotratos de opcioes cosiderados: Opcioes de compra y veta sobre el IBEX-35 co precios de eercicio 1800, 13400, 13700, 14000, 14300, 14600, y 15500, y vecimietos 15/1, 19/01, 16/0 y 16/03. Nueve tipos de expectativas: (1) tedecia decreciete y volatilidad baa, () tedecia decreciete y volatilidad media, (3) tedecia decreciete y volatilidad alta, (4) ideciso e tedecia y volatilidad baa, (5) ideciso e tedecia y volatilidad media, (6) ideciso e tedecia y volatilidad alta, (7) tedecia creciete y volatilidad baa, (8) tedecia creciete y volatilidad media y (9) tedecia creciete y volatilidad alta. Precios de referecia y subetivos de opcioes: Mediaa de las simulacioes de los precios de referecia y subetivos de las opcioes (a partir de las ecuacioes [13] y [15] respectivamete). Simulació de tamaño Fiació del ivel de aversió del iversor: Itervalos de cofiaza (cetrados) al 95% para los resultados obteidos a partir de la distribució predictiva del subyacete a vecimieto segú el tipo de expectativas (ecuació [16]). Simulació de tamaño Presupuesto total dispoible: Volume máximo de opcioes egociadas: Fiado de forma costate para todo el período de iversió e 10 cotratos de cada tipo. No se cosidera costes de trasacció directos i garatías. 1 La duplicació del tamaño de la muestra del subyacete viee determiada por el propio proceso de modelizació aplicado co cálculo de los precios teóricos e la primera fase de la estimació. Para calcular los precios teóricos se desplaza ua vetaa muestral del tamaño de u subperíodo más el propio día e el que queremos calcular el precio de los redimietos del subyacete. 16

17 Al predecir los precios de mercado de las opcioes mediate los precios de referecia solucioamos el problema de la depedecia de la solució óptima de uestro problema a u dato descoocido e el istate de la decisió y e muchas ocasioes o dispoible i siquiera al fial de la sesió, co el coste de hacer depeder la solució óptima de la precisió de uestras prediccioes. Para aalizar este puto hemos realizado u estudio descriptivo de las distribucioes simuladas de los precios de referecia de ua selecció de opcioes para el 0/11/06 (véase Figuras 4 y 5, y Tabla 3) y hemos calculado cuatro medidas del error de predicció cometido: raíz del error cuadrático medio, error absoluto medio, porcetae de error absoluto medio y coeficiete de Theil para la totalidad del período de iversió (véase Tabla 4). Isertar Figuras 4 y 5 y Tablas 3 y 4 El estudio descriptivo de las distribucioes de los precios de referecia para los cotratos y fecha señaladas ilustra, e coformidad co las observacioes de la literatura previa (véase p.e. Bookstaber y Clarke [1985]): la ausecia de ormalidad (se rechaza la hipótesis de ormalidad para cualquier ivel de sigificatividad), asimetría positiva y colas muy pesadas a la derecha y leptocurtosis muy alta. Además, observamos que el aumeto del eercicio, es decir cuáto el cotrato está más e diero (comparemos para u mismo vecimieto (1) las distribucioes de las opcioes co eercicio 1800, y CN1800_1, CN14000_1 y CN14900_1), supoe ua reducció e la volatilidad, e la asimetría y e la curtosis. Y que estos parámetros tambié se reduce al aumetar el plazo de vecimieto (compárese las distribucioes de opcioes co eercicio para los cuatro vecimietos próximos CN14000_1, CN14000_, CN14000_3 y CN14000_4) auque se produce ua reversió e la tedecia para plazos superiores a -3 meses. E relació al error de predicció cometido los valores del coeficiete de Theil, muy próximos a cero para todas las categorías de cotratos cosideradas, idica que el auste realizado es bueo y los precios de referecia estimados (a través de la media) so uos bueos predictores de los precios reales del mercado. A ivel de categorías, los meores errores de predicció e térmios absolutos y a la vez los mayores e térmios relativos se produce para los cotratos de opcioes de compra fuera y e el diero PRECIOS SUBJETIVOS Y CARTERAS DE INVERSIÓN ÓPTIMAS Itroduzcamos ahora e el aálisis las expectativas de los iversores y aalicemos las carteras diámicas óptimas que resulta al aplicar estas expectativas. Comecemos por estudiar las características de las distribucioes de los precios subetivos para cada ua de las ueve expectativas cosideradas a partir de los precios simulados para el 0/11/06 de ua selecció de cotratos (véase Figuras 6 a 8, y Tabla 5). Isertar Figuras 6 a 8 y Tabla 5 Del aálisis de estos resultados se desprede, a ivel geeral, las mismas observacioes que hacíamos e el apartado aterior e relació a la distribució de los precios de referecia: la ausecia de ormalidad (se rechaza la hipótesis de ormalidad para cualquier ivel de sigificatividad), Para ua muestra de tamaño h si deotamos co ^ a la predicció las medidas propuestas se calcula co las siguietes fórmulas: (ŷ t y t ) /h (root mea square), ŷ t y /h (mea absolute error), t ŷ t y t /h y (mea absolute percetage error), y (ŷ t y t ) /h (Theil iequality coefficiet). ŷ /h y /h t t t 17

18 asimetría positiva y colas muy pesadas a la derecha y leptocurtosis muy alta. Además, tambié observamos, que al aumetar el eercicio y el plazo a vecimieto (comparemos para la expectativa itermedia (5) y para u mismo vecimieto (1) las distribucioes de las opcioes co eercicio 1800, y C5A1800_1, C5A14000_1 y C5A14900_1 y para los cuatro vecimietos cosiderados las distribucioes de las opcioes co eercicio C5A14000_1, C5A14000_, C5A14000_3 y C5A14000_4), se reduce la volatilidad, la asimetría y la curtosis auque e el segudo caso se produce reversioes e la tedecia para plazos superiores a -3 meses y 4º mes. Comparado la distribució de precios subetiva para la expectativa cetral y de referecia (véase C5A14000_1 y CN14000_1) observamos que los valores cetrales (media y mediaa), desviació estádar, asimetría y curtosis so más altos e la primera que e la seguda. Los resultados al comparar los precios subetivos (tomado como referecia el cotrato de eercicio y el vecimieto más próximo C1A14000_1, CA14000_1, C3A14000_1, C4A14000_1, C5A14000_1, C6A14000_1, C7A14000_1, C8A14000_1 y C9A14000_1) etre expectativas remarca las diferecias etre los mercados al cotado y de derivados y la compleidad para establecer ua relació: (i) las expectativas de crecimieto e volatilidad e el mercado a cotado se traduce a ua reducció e las volatilidades e los precios de los derivados; y (ii) las expectativas de crecimieto de la tedecia y ua expectativa de volatilidad baa e el cotado se traduce e ua reducció de las volatilidades y precios e el mercado de derivados. Para aalizar las carteras de opcioes óptimas iiciales a 0/11/006 presetamos las gráficas de beeficios (brutos) de cada estrategia por vecimieto y expectativa e fució de los posibles valores del subyacete (véase Figura 9) y u aálisis gráfico y estadístico de la distribució del valor subetivo de las carteras a 0/11/006 para las ueve expectativas cosideradas (véase Tabla 6 y Figura 10). El estudio de las gráficas de beeficios por vecimieto y expectativa os permite comprobar e primer lugar la compleidad de las carteras óptimas obteidas que o correspode a las estrategias puras (call, put, ratios call y put, spreads, cuas, coos, mariposas, etc.) descritas e los mauales sobre egociació e opcioes. Ello o obstate, es fácil observar que las estrategias óptimas para los cuatro vecimietos y ua expectativa de volatilidad so muy similares para las tres expectativas sobre tedecia; y que la estrategia óptima para el primer vecimieto comú para las tres expectativas de volatilidad es ua variate de la estrategia cua comprada, para el segudo vecimieto y las expectativas de volatilidad baa, media y alta so variates de las estrategias put ratio back-spread, ratio put-spread y ratio call spread respectivamete, para el tercer vecimieto y las expectativas de volatilidad baa y media de la estrategia put comprada y para de volatilidad alta de la estrategia ratio call spread, y para el cuarto vecimieto variates de las estrategias coo comprado, put comprada y ratio put spread para expectativas de volatilidad baa, media y alta respectivamete. Resumiedo, e esta aplicació ha sido las expectativas de volatilidad las que ha determiado la cartera óptima, y esto a pesar de que e los dos períodos ateriores a la iversió (véase Tabla ) la volatilidad ha sido baa y ha aumetado la tedecia. Además, lo que marca especialmete las diferecias e las carteras óptimas o es la posició e opcioes a primer vecimieto, que viee guiada por los datos históricos, sio e los siguietes tres vecimietos e los que las expectativas de volatilidad baa se protege ate subidas de volatilidad los tres períodos siguietes, las de volatilidad media e dismiucioes de volatilidad e el segudo período y subidas e el tercero y cuarto, y las de volatilidad alta ate baadas de la volatilidad e los siguietes tres períodos. E relació a las distribucioes de probabilidad de las carteras óptimas de opcioes iiciales (véase Tabla 6 y Figura 10), uestra metodología ha geerado distribucioes para el valor de uestras carteras óptimas 18

19 muy aleadas de la hipótesis de ormalidad co asimetría positiva (a la derecha) y leptocúrticas 3. Y el valor eto medio de la cartera descotado ua iversió de es sigificativamete positivo para u ivel de sigificatividad del 5%. Isertar Tabla 6 y Figura 10 Estas carteras de opcioes óptimas iiciales o so estáticas y e este apartado tambié queremos ilustrar cómo cambia la cartera co el paso del tiempo y la icorporació de la iformació diaria de los mercados de cotado y derivados. Para mostrar la evolució de la cartera de opcioes óptima estudiamos el caso e el que el iversor o cambia de expectativa e todo el período de iversió y que, e caso de ifactibilidad del problema de decisió, matiee la cartera e opcioes aterior (auque esta ya o sea óptima) y evalúa su beeficio eto e térmios de sus estimacioes actuales para la etapa. Propoemos u doble aálisis: el estudio de la cartera óptima de cada etapa a través de las gráficas de los beeficios (brutos) de cada estrategia por vecimieto y expectativa e fució del precio del subyacete y del tiempo trascurrido desde el iicio de la iversió (véase Figuras 11 a 15) y de los resultados esperados y obteidos al aplicar el proceso de optimizació descrito e [17]-[18] para las ueve expectativas. La Figura 16 resume gráficamete estos resultados a partir de los beeficios etos máximos estimados e la fecha de formació de la cartera (serie EBN0, ee de valores de la izquierda) y de los resultados totales (suma de resultados para los cuatro vecimietos) etos 4 y brutos al fial de la iversió (series RNT y RT respectivamete, ee de valores a la derecha). (E esta Figura tambié se idica aquellos días para los que se obtuvo de maera reiterada la respuesta de solució ifactible al resolver el correspodiete problema lieal etero co u aplaamieto de las series RNT y RT.) Isertar Figuras 11 a 16 Del aálisis de las Figuras 11 a 16 podemos extraer las siguietes coclusioes: Como ya observábamos al estudiar las carteras de opcioes óptimas iiciales, la estrategia óptima e opcioes está regida por las expectativas de volatilidad. Y desde ambas perspectivas de aálisis (características y resultados de la cartera óptima) podemos hablar de tres tipos de estrategias: para volatilidad baa, media y alta. Las carteras óptimas iiciales para los tres tipos de estrategia evolucioa, como era de desear ya que así es como evolucioa el mercado a cotado durate el período de iversió, a carteras óptimas e las que el iversor asume ua dismiució e los redimietos del ídice acompañada de u aumeto de volatilidad. E la estrategia para volatilidad baa el iversor se posicioa comprado e el mercado y gestioa a partir de ahí su cartera comprado y vediedo opcioes para garatizar resultados. E los cico primeros días gasta casi la totalidad del presupuesto co u promedio de iversió diario de , y y a partir de etoces busca u equilibrio de compras y vetas co promedios de iversió diaria de , y -44 para expectativas de tedecia decrecietes, idecisas y crecietes respectivamete. Esta estrategia de cotiuo posicioamieto, que posiblemete se debe a que cocuerda la iformació iicial del período co las expectativas del iversor, hace visibles los efectos de los dos episodios de caídas e los 3 Esto es, distribucioes que comparte rasgos co las obteidas aplicado técicas de simulació por Bookstaber y Clarke [1985]. 4 Los resultados etos se obtiee restado la iversió realizada a precios de referecia, por tato cotiee ua parte estimada. Mietras que los resultados brutos so reales. 19

20 redimietos acompañados de aumetos de volatilidad (etapas 8 a 11 y 67 a 71) e las carteras óptimas de la fecha para las tres expectativas sobre tedecia y produce carteras óptimas fiales distitas segú las expectativas de tedecia iiciales. Estas carteras fiales cocuerda e la mayoría de los casos co las recomedacioes segú expectativas de tedecia de los aalistas; e cocreto observamos variates de la estrategia put comprada para los cuatro vecimietos y las expectativas de tedecia decreciete, del túel baista, coo comprado y put comprada para los vecimietos 1, y 3-4 respectivamete, y del put ratio backspread, call ratio back-spread y spread baista para los vecimietos 1, -3 y 4 respectivamete. Las tres carteras diámicas óptimas obtiee resultados positivos a vecimieto e térmios brutos ( , y ) y etos ( , , ) para las tres expectativas de tedecia. E la estrategia para volatilidad media se pretede obteer resultados mediate la veta, co u promedio de iversió diaria de , y para expectativas de tedecia decrecietes, idecisas y crecietes respectivamete. La pieza fudametal de la estrategia es teer ua buea estimació del precio de veta e el mercado, que osotros estimamos co el precio de referecia. Las carteras fiales so variates de la estrategia put comprada para los cuatro vecimietos. Los resultados etos de la estrategia so positivos ( , y ) para las tres expectativas de tedecia pero los brutos ( , y ) sólo so positivos para la expectativa sobre la tedecia creciete. Y e la estrategia para volatilidad alta se apuesta por la compra, co u promedio de iversió diaria de , y para las expectativas de tedecia decrecietes, idecisas y crecietes respectivamete. La estrategia es muy activa de especulació que iteta aprovechar movimietos del mercado y requiere de ua actitud de meor aversió al riesgo. Las carteras fiales so variates de la estrategia cua comprada para los cuatro vecimietos. Al fial del segudo subperíodo y pricipios del tercero, la serie de los beeficios estimados segú las expectativas cae y auque se produce ua recuperació la tasa de crecimieto es mucho meor que ates. Qué sucede? que uestra capacidad para obteer beeficios y asegurar resultados a vecimieto segú el ivel de cofiaza fiado se deteriora (el promedio diario de iversió tambié se ha reducido drásticamete a 11.8, 16.6 y ), es el mometo de mateer la posició si es que realmete creemos e uestras expectativas. Si hubiéramos mateido la cartera óptima del 16/0 (asumiedo el riesgo adicioal) hubiéramos acabado el período co beeficios (resultados etos de , , ), e cambio al o asumir este riesgo adicioal y reaustar la cartera acabamos el período co resultados etos egativos para las expectativas de tedecia decrecietes e idecisa y positivos para la expectativa creciete (resultados etos de , y ). Los beeficios etos estimados e cada fecha proporcioa ua medida a priori de la capacidad de cada expectativa para geerar beeficios e las codicioes de aversió al riesgo fiadas previamete e el problema. 0