Memorias Asociativas Basadas en Relaciones de Orden y Operaciones Binarias Associative Memories Based on Orderings and Binary Operators

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1 Computació y Sistemas Vol. 6 No.4 pp , CIC - IPN. ISSN Impreso e México Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias Associative Memories Based o Orderigs ad Biary Operators Graduated: Comelio Yáñez Márquez Graduated o March 20, 2002 Cetro de Ivestigació e Computació Jua de Dios Bátiz s/ esq. Miguel Otró de Medizabal Uidad Profesioal Adolfo López Mateos Del. Gustavo A. Madero, México, D. F. Advisor : Jua Luis Díaz de Leó Satiago Cetro de Ivestigació e Computació Resume 1 Itroducció / E este articulo se propoe u uevo modelo de memorias asociativas. Las herramietas matemáticas del uevo modelo icluye dos operacioes biarias ivetadas ex profeso, cuyos operadores fuero bautizados arbitrariamete co las dos primeras gra(z(1sderalfabeto griego: a y fj. Las uevas memoricís..asociativasafjso de dos tipos y cada uo de ellos puede operar e dos modos diferetes. La operació" es útí/ e lafase de apredizaje, mietras que la operació fj da susteto a la fase de recuperació de patroes. Las propiedades algebraicas de las operacioes" y fj permite que las uevas memorias asociativas afj exhiba características simí/ares a las que so iheretes a las memorias asociativas morfológicas biarias, e cuato a capacidades de apredizqje y almaceamieto, tipos y catidade3 de ruido a que so robustas. y las codicioes suficietes para exhibir respuesta perfecta; adicioalmete, es preciso efatizar que la desidad aritmética de las uevas memorias asociativas es meor que la correspodiete a las memorias asociativas morfológicas. La razó para torarcoro referecia a las memorias asociativas morfológicas para la creació de las memorias afj, cosiste e que los autores de las primeras ha mostrado que estas memorias supera e varios aspectos a los modelos coocidos de memorias asociativas hasta los iicios del tercer mí/eio. Palabras clave: Memoria asociativa, operació biaria, relació de orde, memorias asociativas a~, memorias asociativas morfológicas. Abstract A ew model for associative memories is proposed i this paper. The mathematical tools used i this ew model, iclude two biary operators desiged specifically for the memories developed here. These operators were arbitrarí/y amed as the.first two letters from the Greek alphabet: a ad fj. The ew associative memories (afj)are oftwo kids ad are able to operate i two differet modes. The operator a is useful at the learig phase, ad the operator fj is the basis for the patter recall phase. The properties withi the algebraic operators a ad fj, allow the afj memories to exhibir simí/ar characteristics to the oes iheret to the biary versio 01 the morphological associative memories, i the sese of learig capacity, type ad amout 01 oise agaist which the memory is robust, ad the s",olciet coditios lor perfect recall. Moreover. it is importat to poit out that the arithmetic desity 01 the proposed memories is smaller tha the arithmetic desity exhibited by the morphological oes. The mai reaso lor takig the morphological associative memories as the relerece poitfor the geesis olthe proposed oes, cosist i that the authors ofthe first oes have aiready show that the morphological associative memories are superior i some aspects to the kow models of associative memories, up to.the begiig olthe third mílleium. Keywords: Associative memory, biary operatio, order relatio, a~ associative memories, morphological associative memorioso El tema de las memorias asociativas ha estado vigete, desde hace varios lustros, detro de alguas áreas de ivestigació. El propósito fudametal de ua memoria asociativa es recuperar correctamete patroes completos a partir de patroes de etrada, los cuales puede estar alterados co ruido aditivo, sustractivo o combiado: ésta es la característica más atractiva de las memorias asociativas, y costituye u tema abierto de ivestigació. Notables ivestigadores ha abordado el problema de geerar modelos de memorias asociativas (Kohoe, 1972; Hopfield, 1982), y ha logrado resultados de importacia tal, que alguos de los trabajos pioeros se ha covertido e autéticos clásicos. La capacidad de apredizaje y almaceamieto, la eficiecia e la respuesta o recuperació de patroes, la rapidez y la imuidad al ruido, so tópicos de iterés etre los ivestigadores. La aparició, desarrollo, aplicacioes y cosolidació de las memorias asociativas morfológicas (Ritter, Diaz-de-Leo & Susser, 1999) marcó u hito e el campo de las memorias asociativas, e virtud de que superaro e prácticamete todos los aspectos de iterés a los modelos coocidos. E este trabajo se preseta u modelo alterativo a las memorias asociativas morfológicas, basado e la relació de orde usual y e dos operacioes biarias origiales llamadas a y ~; la operació a es útil e la fase de apredizaje, mietras que la operació ~ da susteto a la fase de recuperació de patroes.a este uevo modelo se le ha asigado el ombre de memorias asociativas all. Las uevas memorias asociativas so similares, y e alguos casos superiores, a las memorias asociativas morfológicas e cuato a capacidad de almaceamieto de patroes, eficiecia e respuesta e imuidad al ruido. Co la creació de las bases matemáticas y del modelo completo de las memorias asociativas all, se ha geerado u producto origial de ivestigació e la frotera del coocimieto cietífico; es u producto autóctoo que evetualmete cotribuirá co su graito de area a avazar e el afá de lograr ese oble propósito de alcazar la idepedecia cietífica y tecológica para uestro país. 300

2 Ph. D. Thesis Doctoral: Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias 2 Memorias Asociativas Por su aturaleza, el problema iherete al fucioamieto de las memorias asociativas se escide e dos fases claramete distiguibles: 1. Fase de apredizaje (geeració) 2. Fase de recuperació (operació) El propósito fudametal de ua memoria asociativa es recuperar patroes completos a partir de patroes de etrada que puede estar alterados co ruido aditivo, sustractivo o combiado. De acuerdo co esta afirmació, ua memoría asociativa M puede formularse como u sistema de etrada y salida, idea que se esquematiza a cotiuació (Hassou, 1993): x +~ + y El patró de 'etrada se represeta por u vector columa deotado por x y el patró de salida, por u vector columa deotado por y. Cada uo de los patroes de etrada forma ua asociació co el correspodiete patró de salida. La otació para ua asociació es (x, y); e geeral, para u úmero etero positivo k específico, la asociació correspodiete será (xk, yk). La memoria asociativa M se represeta mediate ua matriz cuya compoete ij-ésima es mij (Palm, Schweker, Sommer & Strey, 1997); la matriz M se geera a partir de u cojuto fiito de asociacioes coocidas de atemao:' éste es el cojuto fudametal de asociacioes, o simplemete cojuto fudametal. Se deota por p la cardialidad del cojuto fudametal (p es u úmero etero positivo). Si J.Les u ídice, el cojuto fudametal se represeta de la siguiete maera: {(xil,yil)i. =1,2,oo.,p} A los patroes que coforma las asociacioes del cojuto fudametal, se les llama patroes fudametales. La aturaleza del cojuto fudametal proporcioa u importate criterio para clasificar las memorias asociativas. Si se cumple que XIL = yil \f. E {l, 2, oo.,p},se dice que la memoria es autoasociativa; de otro modo, la memoria es heteroasociativa (Kohoe,1972). Es evidete que para ua memoriaheteroasociativase cumplelo siguiete::j. E {l, 2,oo.,p}para el que XIL=1-yIL. Es posible que los patroes fudametales sea alterados co diferetes tipos de ruido. Para difereciar u patró alterado del correspodiete patró fudametal, usaremos la tilde e la parte superior; así, el patró Xk es ua versió alterada del patró fudametal xk; y el tipo de alteració que represeta Xk se evideciará e el cotexto específico dode se use. Si al presetarle a la memoria M u patró alterado XWcomo etrada(w E {l, 2, oo.,p}), M respodecoel correspodiete patró fudametal de salida yw,se dice que la recuperació es per fecta. Se especifica dos cojutos A y B ; las compoeetes de los vectores columa que represeta a los patroes, tato de etrada como de salida, será elemetos del cojuto A, y las etradas de la matriz M será elemetos del cojuto B. Sea m, úmeros eteros positivos; se deota por la dimesió de los patroes de etrada, y por m la dimesió de los patroes de salida. Cadavectorcolumaque represetaa u patró de etrada tiee compoetes cuyos valores perteece al cojuto A, y cada vector columa que represeta a u patró de salida posee m compoetes cuyos valores perteece al cojuto A. Es decir: XIL E A y yil E Am \f. E {l, 2, oo.,p} La j -ésima compoete de u vector columa se idica co la misma letra del vector, pero si egrilla, colocado a j como subídice(j E {1,2,oo.,}oj E {1,2,oo.,m} segú correspoda). La j-ésima compoete de u vector columa xil se represeta por x'j Al usar el superídice t para idicar el traspuesto de u vector, se obtiee las siguietes expresioes para los vectores columa que represeta a los patroes fudametales de etrada y de salida, respectivamete: XIL= (xi,x~, oo.,x~)t = (~;) E A ( Yi IL- IL IL ILt- Y2 m y - (Yl' Y2,.oo,Ym) - Y~ E A Problema geeral de las memorias asociativas: 1. Fase de apredizaje. Ecotrar los operadores adecuados y ua maera de geerar ua matriz M que almacee las p asociacioes del cojuto fudametal {(xl,yl), (X2,y2),.oo,(xP,yP)},dodexlL E A y yil E Am \f. E {1,2,.oo,p}. Si:J. E {1,2, oo.,p} tal que xil =1-yIL, la memoria será heteroasociativa; si m = y XIL= yil \f. E {l, 2, oo.,p}, la memoria será autoasociativa. 2. Fase de recuperació. Hallar los operadores adecuados y las codicioes suficietes para obteer el patró fudametal de salida yil,cuado se opera la memoria M co el patró fudametal de etrada xil; lo aterior para todos los elemetos del cojuto fudametal y para ambos modos: autoasociativo y heteroasociativo. Exhibir y caracterizar, además, el ruido que puede soportar la memoria e el patró de etrada xw, para etregar como salida yw. IL ) 301

3 C. Yáñez M., J.L. Díaz de Leó S. : Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias 3 Herramietas Matemáticas Esta secció costa de tres partes. E la primera se preseta las dos operacioes biarias origiales a y (3,las cuales sirve de base para costruir cuatro operacioes matriciales, que so presetadas e la seguda parte; fialmete, e la tercera parte se efatiza el papel quejuega las relacioes de orde e este trabajo, al defiir los diferetes tipos de ruido que puede alterar u patró biario dado., 3.1 Operacioes Biarias a y (3 Los cojutos A y B se defie así: La operació biaria a exhibe alguas propiedades algebraicas, expuestas a cotiu~ció, dode Ves el operador máximo y /\ es el operadormíimo:. a(x,x)=1 (x::; y)... a(x,y)::; a(y,x) (x < y)... [a(x,z) < a(y,z)] a [(xv y), z] = a(x, z) V a(y, z) a [(x/\ y), z] = a(x, z) /\ a(y, z) La operació biaria (3 : B x A ---+ A está defiida e la siguiete tabla: x y (3(x,y) O O O O 1 O 1 O O O Propiedades algebraicas de la operació biaria (3: (3(I,x) = x (3(x,x) = x Vx E A (x::; y) ---+ [(3(x,z) ::;(3(y,z)] (x < y) ---+ [(3(z,x) < (3(z,y)] (3[(x V y),z] = (3(x, z) V (3(y, z) (3[(x /\y), z] = (3(x, z) /\(3 (y, z) (3[x, (y V z)] = (3(x, y) V (3(x, z) (3[x, (y /\ z)] = fj (x, y) /\(3 (x, z) Propiedades de la aplicació combiada de ambas operacioes (3!a(x,y),y] = x (3[a(x,y),x]=x (3[a(x,x),y]=y Loateriorsigificaque(3es la iversade a por la derechay por la izquierda. Los cojutos A y B, las operacioes a y (3juto co los operadores /\ (míimo) y V (máximo) usuales, coforma el sistema algebraico (A, B, a, (3,/\, V) e el que está imersas las uevas memorias asociativas a( Operacioes Matriciales l!:!j(3 A = {O, 1} Y B = {O,1, 2} Se defie las siguietes cuatro operacioes etre matrices: La siguiete operacióbiaria tabla: a : A x A ---+ B está defiida e la 1. Operació amax: Pmxr!!!J",Qrx = [J;<j]mx'dode r x y a(x,y) O O 1!;'j = Va(Pik,qkj) O 1 O k=l 1 O 2 2. Operació (3max: Pmxr!!!Jf3 Qrx =, dode [ft ] mx (x::; y)... [a(z,x) a(z,y)] ft r = V (3(Pik,qkj) k=l 3. Operació ami: Pmxr rñi",qrx = [hij]mx' dode r hij = 1\a(pik, k=l qkj) 4. Operació (3mi: Pmxr rñlf3qrx = [ h~j ], dode mx r hf3 'J = 1\ (3(Pik,qkj) k=l k es u etero positivo que puede tomar valores etre 1 y r iclusive. Obsérvese la dualidad etr~ los pares de operacioes!!!j",y rñi", por u lado, y etre!!!jf3 y rñlf3por el otro. Restriccioes:. Nigua de las cuatro operacioes está defiida si ::Ij,k tales que qkj = 2.. Las operacioes!!!j", YrñI",o está defiidas si ::Ií,j, k tales que Pik = 2 o qkj = 2.. Estas restriccioes apareta ser causa de poteciales problemas que podría aparecer al usar las operacioes ateriores; si embargo, las uevas memorias asociativas está diseñadas de modo que uca ocurra algú caso prohibido. Lema 1. Sea x E A, y E Am; etoces y!!!j",xt es ua matriz de dimesioes m x, y además se cumple que: y!!!j", xt = y rñi",xt. a y (3: El símbolo ~ represetará a las dos operacioes!!!j",y rñi", 302

4 Ph. D. Thesis Doctoral: Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias cuado se opere u vector columa de dimesió m co u vector fila de dimesió : y l!!j", xt = y ~ xt = y rñ1", xt La ij-ésima compoete de la matriz y ~ xt está dada por: [y~xtlj =a(yi,xj) Es decir, la ij-ésima compoete de la matriz yl" ~ (xl")t se expresa de la siguiete maera: [yl" ~ (xl")tj = a(yt,x'j) Lema 2. Sea x E A y P ua matriz de dimesioes m x. La operació P mx l!!j,ex da como resultado u vector columa de dimesió m, cuya i-ésima compoete tiee la siguieteforma:(p mx l!!j,ex)i = V7=1(3(Pij,Xj) Lema 3. Sea x E A y P ua matriz de dimesioes m x. LaoperacióP m X rñ1,ex da comoresultadou vectorcoluma de dimesió m, cuya i-ésima compoete tiee la siguiete forma: (Pmx rñ1,e x)i = /\7=1 (3(Pij,Xj) 3.3 Relacioes de Orde y Tipos de Ruido La relació de orde usual tiee importacia cetral al defiir operativamete los tipos de ruido que es posible ecotrar e los patroes de etrada, y e el papel que juega los operadores V y /\ e la geeració y operació de las memorias a(3. A cotiuació se eucia alguos coceptos respecto de la relació de orde etre matrices, cosiderado a los vectores columa como casos particulares (Moore, 1968; Rose, 1995). Las compoetes de matrices y vectores será elemetos de uo de los cojutos A o B. El máximo de dos matrices P y Q es otra matriz M que se represeta por M = P VQ, y cuya ij-ésima etrada se defie como mij = Pij Vqij. El míimo de dos matrices P y Q es otra matriz N que se represeta por N = P /\ Q, y cuya ij-ésima etrada se defie como ij = Pij /\ qij. La otació P ::; Q idica que la matriz P es meor o igual que la matriz Q, y esto se cumple si y sólo si Pij ::; %' ViVj. P < Q idica que la matriz P es estrictamete meor que la matriz Q, y esto se cumple si y sólo si Pij ::; %' VNj Y :Jio,jo tales que Piojo < qi(,jo' Las ateriores cosideracioes tiee relevacia e el cotexto de este trabajo, al cosiderar los diferetes tipos de ruido que puede distorsioar u patró de etrada dado. Sea dos vectores columa Xl E A y X2 E A; se dice que xl es meor o igual a x2 si y sólo si cada ua de las compoetes del vector Xl es meor o igual a la correspodiete compoete e el vector X2. Esto se expresa así: xl:::;; x2 + + xi:::;; x;vi E {1,2,...,} Sea dos vectores columa xl E A y x2 E A; se dice que Xl es meor a X2 si y sólo si: cada ua de las compoetes del vector Xl es meor o igual a la correspodiete compoete e el vector x2, y existe al meos u valor io E {l, 2,..., } para el cual se cumple la desigualdad estricta. Simbólicamete, esto se expresa así: xt ::;xtvi E {l, 2,...,} 1 2 x < X + + [ y :Jio E {l, 2,..., } tal que xio < xto ] Para el caso de dos vectores columa y1 y y2 que perteece al cojutoam las defiicioesaterioressiguesiedoválidas: y1 :::;;y2 + +y] :::;;y] Vj E {l, 2,..., m} 12 yj:::;;yjvje{1,2,...,m} y <y [ y:jjo E {1,2,...,m} tal queyjo < Yjo ] Ahora, sea x E A u patró fudametal de etrada para ua memoria asociativa a(3. El patró x puede ser alterado, para dar lugar a u vector X,por tres tipos de ruido: 1. Ruido aditivo, si x ::; x. Esto sigifica que todos los posibles cambios e los valores de las coordeadas de x para obteer x cosiste e colocar u valor 1 dode había u valor O;es decir, la úica posibilidad de cambio e las coordeadas de x se traduce e: :J i E {l, 2,..., } para el que Xi = OYXi = l,perooexistej E {1,2,...,}para el que Xj = 1 y Xj = O. Además: x:::;; x -> Xi :::;;Xi, Vi E {1,2,...,} 2. Ruido sustractivo, si x ~ x. Esto sigifica que todos los posibles cambios e los valores de las coordeadas de x para obteer x cosiste e colocar u valor Odode había u valor 1; es decir, la úica posibilidad de cambio e las coordeadas de x se traduce e: :J i E {l, 2,..., } para el que Xi = lyxi = O,perooexistej E {1,2,...,} para el que Xj = OYXj = 1. Además: x ~ x -> Xi ~ Xi, Vi E {1,2,...,} 3. Ruido combiado o mezclado, si el ruido es ua mezcla de aditivo co sustractivo. E este caso o es posible establecer u orde etre el patró limpio y el ruidoso, dado que los valores podrá ser cambiados aleatoriamete, si respetar ecesariamete las reglas de los items 1 y 2. Si el ruido es de 0%, es claro que x = x 303

5 C. Yáñez M., J.L.Díaz de Leó S. : Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias' 4 Las Memorias Asociativas a(3 E esta secció se preseta la obteció, justificació teórica y uso de las uevas memorias asociativas basadas e las operacioes biarias origiales a y ( Memorias Heteroasociativas a(3 Se propoe dos tipos de memorias heteroasociativas a(3:tipo V y tipo A; se desarrollará sólo las de tipo V ya que las propiedades de las memorias tipo A se obtiee por dualidad. CASO 2: Patró alterado Se preseta u patró biario x (patró alterado de algú patró fudametal x"') que es u vector columa de dimesió, a la memoria heteroasociativa a(3tipo V y se realiza la operació 1ñ1 3 : V 1ñ1 3x (7) El resultado de la operació. aterior es u vector columa de dimesió m, cuya i-ésima compoete se expresa de la siguiete maera: (VIñ1 3 x)i 1\(3(I/ij,Xj) j=1 (8) Se usará el operador g el cual tiee la siguiete forma, para los ídices J.LE {1, 2,..., p}, i E {1, 2,..., m}, y j E {1, 2,..., }: [ y,, g (x,,)t ] =a(y",x") ij 'J. (V 1ñ1 3 x)i - A(3 {[ V a(y;,xj) ],Xi (9) J=1 } u, Fase de apredizaje. PASO 1 Para cada J.L= 1,2,...,p, a partir de la pareja (x", y") se costruye la matriz \/ [y" g (x,,)t]mx PASO 2 Se aplica el operador biario máximo Va las matrices obteidas e el paso 1: Demostració.- Sea i E {1, 2,..., m} arbitraria. La i-ésima p [ ] compoete del vector V 1ñ1 3x'" se expresa así: V = V y" g (x,,)t La etrada ij-ésima está dada por la siguiete expresió: p Vij = Va(y;,xj) Es posible observar que Vij E B, Vi E {1, 2,..., m}, Vj E {1,2,...,}. Fase de recuperació. Lema 4. Sea {(x", y") I J.L= 1,2,...,p} el cojuto fudametal de ua memoria heteroasociativa a(3 represetada (1) por V. Si w es u valor arbitrario de ídice tal que w E {1,2,..'.,p} etocesviñ1 3x"'::::y"'. (2) (3) pero por ello: CASO 1: Patró fudametal Se preseta u patró x"', que: p (V 1ñ1 3X"')i = 1\(3(Vij, x'j) j=1 Vij = P Va(y;, xj) (V 1ñ1 3 x"')i =j6(3{ ["Yla(y;,xj)],x'j} Por otro lado, por hipótesis w E {1, 2,..., p}, y esto sigifica cow E {1,2,...,p},alamemoriaheteroasociativaa(3tipo V a(y;,xj) ::::a(yi,x'j) V y se realiza la operació 1ñ1 3: V lñ1x'" (4) Se realiza la operació biaria (3,eligiedo los dos miembros.. 3. '" de esta desigualdad como operados izquierdos, y x'j como Dado que las dlmes~oes~~la matz V so mx y x es~ operado derecho e ambos casos. Dado que (3 es creciete vector columa de dlmeslo, el resultado de la operaclo por la izquierda se tiee: aterior debe ser u vector columa de dimesió m, cuya ' i-ésimacompoetees: (V 1ñ1 3 X"')i 1\(3(Vij,x'j) j=1 (3{["Yl a(y;,xj)],x'j}:::: (3[a(Yi,x'j),x'j] (5) Al tomar el míimo de ambos miembros respecto del ídice J: (V 1ñ1 3 x"')i j0/ {["Yla(y;,xj)],Xj} (6) j01(3 {["Yl a(y;,xj)],x'j}::::lj/ [a(yi,x'j),x'j] 304

6 Ph. D. Thesis Doctoral: Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias Por trasitividad de la desigualdad aterior: Además: esto es: Pero (V fñ1pxw)i ~ 1\(3[a(Yi,xj),xj] (3[a(Yi, xj), xj] (Vfñ1pXW)i = Yi ~ 1\Yi 1\Yi = Yi porque Yi o depede de j, es decir: (V fñ1pxw)i ~ Yi Dado que i se escogió de maera arbitraria, se puede afirmar que la expresió aterior es válida para todos los valores de i, es decir: (Vfñ1pxW)i~yi Por lo tato: V fñ1,axw~ yw Vi E {1,2,...,m} Coclusió. E virtud de que el valor w es arbitratrio detro del cojuto de ídices para los patroes del cojuto fudametal, este Lema deja e claro que la desigualdad se cumple para todas las parejas de patroes que so elemetos del cojuto fudametal, si impoer codició algua. 11 Teorema 1. Sea {(XIL,ylL) I /-i = 1,2,...,p} el cojuto fudametal de ua memoria heteroasociativa a(3 represetada por V. Si w es u valor de ídice arbitrario tal que w E {l, 2,...,p}, Ysi además para cada i E {l,..., m} se cumple que 3j = jo E {l,...,}, el cual depede de w y de i, tal que Vijo = a(yi, xjo)' etoces la recuperació V fñ1,axw es perfecta; es decir V fñ1pxw = yw. por 10que la desigualdad aterior queda así: (V fñ1,axw)i ::;Yi Dado que i se escogió de maera arbitraria, se puede afirmar que la expresió aterior es válida para todos los valores de i, por lo que: (Vfñ1pxW)i::;yi Vi E {1,2,...,m} La expresió aterior se traduce e la siguiete desigualdad vectorial: V fñ1,axw ::; yw Pero al cumplirse la hipótesis del Lema 4, se tiee la desigualdad e el otro setido Vfñ1pxW ~ yw Por lo tato, se llega a la recuperació perfecta del patró yw: V fñ1pxw= yw 11 Coclusió. Teorema 2 (forma equivalete matricial del Teorema 1). Si para cada asociació (XW,yW) del cojuto fudametal de ua memoria heteroasociaüva a(3 V, se cumple que cada fila de la matrizv - ywizi(xw)tcotiee ua etrada cero, etoces la memoria V recupera el cojuto de patroes de salida fudametales e forma perfecta. Demostració.- Dado que la tesis es igual, es suficiete ecotrar u euciado que sea lógicamete equivalete a la hipótesis del Teorema 1. Comow es u valor de ídice arbitrario tal que w E {l, 2,..., p}, la hipótesis se puede expresar así: Vw E {1,2,...,p}ycadaiE{1,...,m}, 3jo E {l,...,}talquevijo=a(yi,xjo) Pero las siguietes expresioes so válidas: Demostració.- Sea i E {l, 2,..., m} arbitraria. La i-ésima compoete del vector V fñ1,axw se expresa así: (V fñ1,axw)i = 1\(3(Vij, xj) pero al mismo tiempo, al hacer j = jo, se cumple la siguiete desigualdad: 1\ (3(Vij,xj) ::; (3(Vijo,xjo)' y por trasitivi dad se llega a: (Vfñ1PXW)i::;(3(Vijo,xjo) Además, por hipótesis v ijo = a(yi, xjo)' es decir: (V fñ1,axw)i::; (3 [a(yi,xjo),xjo] Además, se tiee (3[a(Yi,x~J,xjo] =Yi a(yi,x~») = [yw IZI (XW)t ].. 'Jo " Vijo=[V ]'Jo por ello, la expresió: Vijo = a(yi, x~,) es equivalete a [VLjo = [ yw IZI (XW)t ].. 'Jo que a su vez se puede trasformar e [ V ].. - [ yw IZI (XW)t ] = O 'Jo.. 'Jo Yfialmete e la expresió [ V - yw IZI(XW)t = O ].. 'Jo Por 10 aterior podemos obteer ua expresió lógicamete 305

7 C. Yáñez M., J.L. Díaz de Leó S. : Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de, Orde y Operacioes Biarias equivalete a la hipótesis del Teorema: Vw E {1,2,oo.,p}ycadaíE{1,oo.,m}, 3jo E {l,oo.,} tal que [ V-Y"'fZI(x"')t ].. =0 'Jo La última expresió se puede euciar del siguiete modo equivalete: para todas las asociacioes del cojuto fudametal de la memoria heteroasociativa af3 V, se cumple que cada fila de la matriz V - y'" fzi(x",)t cotiee ua etrada cero.. Ha llegado el mometo de atacar u problema trascedetal e el tema de las memorias asociativas: ecotrar las codicioes suficietes para que ua memoria asociativa (e este caso para la memoria heteroasociativa af3 tipo V) recupere patroes de salida fudametales a partir de patroes de etrada distorsioados co ruido, es decir, patroes de etrada o. fudametales. Detro de esas codicioes suficietes debe icluirse la catidad y los tipos de ruido a los que la memoria es imue: aditivo o sustractivo. Lema 5. Sea {(il-', yl-') I f-l = 1,2,...,p} el cojuto fudametal de ua memoria heteroasociativa af3 represetada por V, y sea x E A u patró alterado que se preseta a la memoria V como etrada. Si 3w E {l, 2,.oo,p}tal que es posible obteer el patró xalterado el patró fudametal x'" co ruido aditivo, etoces V ffii(3x 2':y"'. Demostració.- Sea í E {l, 2,.oo,m} arbitraria. La í-ésima compoete del vector V ffii(3xse expresa así: (V ffii(3x)i = 1\f3(Vij, Xj) Por otro lado, por hipótesis x es ua alteració co ruido aditivo del patró fudametal x"', y se tiee x"'::; x ; es decir: x 2':x"', lo cual implica que Xj2':x'j, VjE{1,2,...,} Se realiza la operació biaria 13,eligiedo los dos miembros de esta desigualdad como operados derechos, y a la íj-ésima compoete Vij de V como operado izquierdo e ambos casos. Dado que 13es creciete por la derecha, se tiee: f3(vij,xj)2':f3(vij,x'j) VjE{1,2,oo.,}) Al tomar el míimo de ambos miembros respecto del ídice j: 1\f3(Vij, Xj) 2': 1\f3(Vij, x'j) Por trasitividad de la desigualdad aterior co la expresió 10: (V ffii(3x)i 2': 1\f3(Vij,X'j) (lo) Pero esto es: 1\f3(Vij,x'j) = (V ffii(3x"')i (V ffii(3x)i 2': (V ffii(3x"')i Además, por Lema 4 (V ffii 3x"')i 2':y~ y por trasitividad "Cola expresió aterior: (V ffii 3X)i 2':y~ Dado que í se escogió de maera arbitraria, se puede afirmar que la expresió aterior es válida para todos los valores de í, es decir: (VffiI(3X)i2':Y~ Por lo tato: V ffii(3x 2': y'" VíE{1,2,.oo,m} Coclusió. Teorema 3. Sea {(xl-', yl-') I f-l= 1, 2,oo.,p} el cojuto fudametal de ua memoria heteroasociativa af3 represetada por V, y sea x E A u patró alterado co ruido aditivo respecto de algú patró fudametal x'" co w E {l, 2,...,p}. Si se preseta xa la memoria V como etrada, y si además para cada i E {l,.oo,m} se cumple la codició de que 3j = jo E {l, oo.,}, el cual depede de w y de i tal que Vijo ::; a(y~, Xjo), etoces la recuperació V ffii 3xes perfecta; es decir V ffii(3x = y"'. Demostració.- Sea i E {l, 2, oo.,m} arbitraria. La í-ésima compoete del vector V ffii(3xse expresa así: (VffiI~X)i= I\f3(Vij,Xj) pero al mismo tiempo, al hacer j = Yo,se cumple la desigualdad: 1\f3(Vij,Xj)::; y por trasitividad se llega a: f3(vijo,xjo) (V ffii 3X)i ::; f3(vijo,xjo) (11) Por otro lado, por hipótesis Vijo ::; a(y'f,xjo); se realiza la operació biaria 13,eligiedo los dos miembros de esta desigualdad como operados izquierdos, y Xjo como operado derecho e ambos casos. Dado que 13es creciete por la izquierda (propiedad 133de la Tabla 3.4), se tiee: f3(vijo,xjo)::; f3[a(y~,xjo),xjo] Por trasitividad de esta desigualdad co la expresió 11: Además: esto es: (VffiI 3x)i::; f3[a(y~,xjo),xjo] 13[a(y~, Xjo), Xjo] = y~ (V ffii 3X)i ::; y~ 306

8 ~ ~ ~ Ph. D. Thesis Doctoral: Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias Dado que i se escogió de maera arbitraria, se puede afirmar que esta expresió es válida para todos los valores de i, por lo que: (VIñ1 3 X)i:; yf Vi E {1,2,...,m} Esta expresió se traduce e la siguiete desigualdad vectorial: V 1ñ1 3x :; yw Por lo tato, aplicado el Lema 5, se llega a la recuperació perfecta del patró yw.. V 1ñ1 3x = yw Coclusió. El Lema 5 y el Teorema3 idica que las memorias heteroasociativas a(3 tipo V tiee cierta imuidad al ruido aditivo, y especifica las codicioes que debe cumplirse para que la respuesta seaperfecta e presecia de ruido aditivo. De imediatosurgeua iterrogate: quépasaco el ruido sustractivo? Las memorias a(3 tipo V so sesibles a ruido sustractivo; ua pequeña catidad de ruido sustractivo puede teer efectos o deseados e la operació de este tipo de memorias, los cuales so caracterizados por el Teorema siguiete: Teorema 4. Sea {(xi', yi') I f.l= 1,2,...,p} el cojuto fudametal de ua memoria heteroasociativa a(3 represetada por V, y sea x E A u patró alterado co ruido sustractivo respecto de algú patró fudametal XWco 0J E {1, 2,...,p}. Al presetar xa la memoria V como etrada se cumple lo siguiete: para cada jo E {1,..., } tal que x~, haya sido alterado para obteer Xj,p si ::Iio E {1,..., m} para el que Viojo= 1, etoces (V 1ñ1 3 x)io = O. (V 1ñ1 350i = 1\ (3(Vij, Xj) Reescribamos la expresió aterior para tomar e cueta explícitamete el valor de jo: [ Ajo-l I\ (3( Vij,Xj, )] (V 1ñ1 3x)i = 1\ l(3(vij", Xjo)]~. { [I\j=jo+l (3(Vij, xj)] } Es decir: [ I\ Ajo-l (3( Vij, Xj )], [(3(Vijo,O)], xl, ~!\ { [l\j=jo+1 (3(Vij, Xj)] } Por hipótesis, ::Iio E {1,..., m} para el que l/iojo = 1. Aalicemos este ca~o crítico: (V 1ñ1 3 x)io (VIñ1 3X)iO [I\;~~l (3(Vioj,Xj)], 1\ [(3(Viojo,O)], { { [l\j"=jo+1 (3(Vioj, Xj)] [ Ajo-l ~ (3( 1\ [(3(1,O)], )] I\ Vioj,Xj, [l\j=jo+1 (3(Vioj, Xj)] Pero (3(1, O) = O, por lo que la expresió aterior se trasformae: i," ~ 1\ { Por lo tato:. [ I\ AjO-l (3( Vioj,Xj )], O, [l\j=jo+1(3(vioj,xj)] (VIñ1 3X)io=O Nota importate: Si embargo, dado el jo del Teorema 4, si Vijo =J 1, Vi E {1,..., m}, etoces el ruido sustractivo e la compoete Xjoo afecta la posible recuperació perfecta del patró yw.esto sigifica que la memorias a(3 tipo V so capaces de soportar ciertas catidades de ruido sustractivo. Demostració.- Sea x ua versió distorsioada co ruido Las memorias heteroasociativas a(3 tipo A se desarrolla por dualidad, partiedo de los resultados obteidos para las memorias heteroasociativasa(3 tipo V. Para ello, se realizalos sustractivo del patró fudametal xw; es decir, x :; xw, lo cual implicaque Xj :; xj Vj E {1,2,..., }. Depediedo siguietes cambios: del porcetaje de ruido sustractivo co que se ha alterado xw, puede haber más de u valor de j, hasta el úmero de bits co Dode haya u operador Vcolocar u 1\ valor 1 e xw, para los que se cumple la desigualdad estricta Dode haya u operador 1\ colocar u V Xj < xj. Sea jo E {1,..., } u ídice para el que se cumple la desigualdadestricta:xjo < x~,; es decir,debecumplirseque. Usar el operador 1!iI 3e lugar del operador 1ñ1 3 Xjo = OYx~, = 1. La expresiópara la compoetei del vector recuperado es: Mietras que las memorias heteroasociativas a(3 tipo V tiee cierta imuidad al ruido aditivo y so sesitivas a ruido sustractivo, co las memorias heteroasociativas a(3 tipo A sucede precisamete lo cotrario: so imues a cierta catidad de ruido sustractivo, pero sesitivas a ruido aditivo. Ua pequeña catidad de ruido aditivo puede teer efectos o deseados e la operacióde este tipo de memoriasa(3; si embargo,las memorias a(3 tipo A so capaces de soportar ciertas catidades de ruido aditivo. } } } 307

9 C. Yáñez M., J.L. Díaz de Leó S. : Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias 4.2 Memorias Autoasociativas a(3 Si a mía memoria heteroasociativa se le impoe la codició de que y" = x" V/-lE {l, 2,...,p}, etoces deja de ser heteroasociativa y ahora se le deomia memoria autoasociativa. A cotiuació se elista alguas características de las memorias autoasociativas a 3: 1. El cojuto fudametal toma la forma {(x", x") I /-l= 1,2,...,p} 2. Los patroes fudametales de etrada y de salida so de la misma dimesió; deotémosla por. autoasociativa a 3 tipo V y se realiza la operació rñ1 'J : V rñ1 'J se (18) Al igual que e el caso 1, el resultado de la operació aterior es u vector columa de dimesió, cuya i-ésima compoete se expresa de la siguiete maera: (Vrñ1 'Jse)i (Vrñ1 'Jse)i 1\ 3(Vij,Xj) (19) j0/ {["Y1a(x;,Xj)],Xj} (20) 3. La memoria es ua matriz cuadrada, para ambos tipos, V 11 y A. Si x" E A, etoces V = [ V' 'J. ] X YA = [ A 'J ] X Lema 6. Ua memoria autoasociativa a 3 tipo V tiee úicamete uos e su diagoal pricipal. Al igual como se hizo para las memorias heteroasociativas, se desarrollará sólo las memorias autoasociativas a 3 de tipo V, ya que las propiedades de las memorias tipo A se obtiee por dualidad. Fase de apredizaje. PASO 1 Para cada /-l = 1,2,...,p, a partir de la pareja (x", x") se costruye la matriz [ x" l2j(x,,)t (12) ]X PASO 2 Se aplica el operador biario máximo Va las matrices obteidas e el paso 1: p V = V [xil l2j(x,,)t] La etrada ij-ésima de la memoria está dada así: p v.. 'J = V a (x"" x" J ) Se tiee que Vij Fase de recuperació. E B, Vi E {l, 2,...,}, Vj E {l, 2,...,} CASO 1: Patró fudametal Se preseta u patró x"', cow E {l, 2,...,p}, a la memoria autoasociativa a 3 tipo V y se realizala operaciórñ1 'J: V rñ1 3x'" (15) El resultado de la operació aterior será u vector columa de dimesió. (V rñ1 'JX"')i 1\ 3(Vij,xj) (V rñ1 'Jx"')i l~/{["y1 a(x;,xj)],xj} (17) CASO 2: Patró alterado Se preseta u patró biario se que es u vector columa de dimesió, a la memoria Demostració.- La ij-ésima etrada de ua memoria autoasociativa a 3 tipo V está dada por p Vij = Va(x;,xj) Las etradas de la diagoal pricipal se obtiee de la expresió aterior, haciedo i = j: p I/ii = Va(x;,x, Pero se tiee que a(x;,x = 1 por lo que la expresió 21 se trasforma e: (13) p (14) (16) 11 Vi E {1,2,...,} I/ii= V(l)=l, Vi E {1,2,...,} (21) Teorema 5. Ua memoria autoasociativa a 3 tipo V recupera de maera perfecta el cojuto fudametal completo; además, tiee máxima capacidad de apredizaje. Demostració.- Seaw E {l, 2,...,p} arbitrario.de acuerdo co el Lema6, para cadai E {l,...,} escogidaarbitrariamete Vii = 1 = a(x~,x~) Es decir, para i E {l,..., } escogida arbitrariamete, :Jjl) = i E {l,..., } que cumple co: Vij = a(x~,x~j Por lo tato, de acuerdo co el Teorema 2: Vrñ1 'Jx"'=x"', VWE{1,2,...,p} Esto sigifica que la memoria autoasociativa a 3 tipo V recupera de maera perfecta el cojuto fudametal completo. Además, e la demostració de este Teorema, e igú mometo aparece restricció algua sobre p, que es la cardialidad del cojuto fudametal; esto quiere decir que el cojuto fudametal puede crecer tato como se quiera. La cosecuecia directa es que el úmero de patroes que puede apre- 308

10 Ph. D. Thesis Doctoral: Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias der ua memoria autoasociativa a/3 tipo V, co recuperació a/3 tipo V so imues a cierta catidad de ruido aditivo pero perfecta, es máximo. sesibles a ruido sustractivo, co las memorias aut<;>asociati-. vas a/3 tipo A sucede lo cotrario. " Teorema 6. Sea {(xl', xl') I f.l= 1,2,...,p} el cojuto fudametal de ua memoria autoasociativa a/3 represetada por V, y sea x E A u patró alterado co ruido aditivo respecto de algú patró fudametal x'" co w E {1, 2,...,p}. Si se preseta x a la memoria V como etrada, y si además para cada i E {1,..., } se cumple la codició de que:3j = jo E {1,...,}, el cual depede de w y de i tal que Vijo :::; a(xi, Xjo)' etoces la recuperació V rñ1~xes perfecta; es decir V rñ1 3x= x"'. Demostració.- Por hipótesis se tiee que yl' = xl' y f.le {l, 2,...,p} y, por cosiguiete, m =. Al establecer estas dos codicioes e el Teorema 4, se obtiee el resultado: Vrñ1~ x=x"'.. El Teorema 6 cofirma que las memorias autoasociativas a/3 tipo V so imues a cierta catidad de ruido aditivo. Dado u i E {l,...,} cualquiera, cosideremos las relacioes que hay etre los valores de xi y las coordeadas del vector x, co el fi de aalizar brevemete cada uo de los casos posibles e la fase de recuperació. Segú la hipótesis del Teorema 6 la recuperació del valor xi se garatiza siempre y cuado para este valor i se pueda ecotrar u jo E {1,..., } que cumpla co la desigualdad Vijo :::; a(xi,xjo). Existe dos casos posibles para el valor de xi: l. Si xi = 1, es suficiete que algua de las etradas del patró x sea cero, para garatizar la recuperació del valor xi. Veamos: si existe jo E {1,...,} para el cual Xjo = O etoces, de acuerdo co la Tabla 3.1, a(xi,xjo) = a(l,o) = 2yestosigificaquevijo:::; a(xi,xjo),porque el máximo valor posible para Vijoes precisamete 2, segú la misma Tabla. 2. Este caso es más restrictivo. Si xi = O,o basta co ecotrar ua etrada cero e el patró X. Al hallar el valor de jo E {1,..., } para el cual Xjo = O, se debe pedir como codició adicioal que Vijo 1=-2, porque (segú Tabla 3.1) a(xi, Xjo) = a(o, O) = 1 y esto sigifica que la desigualdad Vijo :::;a(xi, Xjo) se da siempre y cuado v ij() 1=-2. Si se llegase a teer carecia de ceros e las coordeadas del patró x, la codició para recuperar el valor de xi, al teer Xj() = 1, es más fuerte: Vijo = O, porque a(o, 1) = O. Las memorias autoasociativas a/3 tipo A se desarrolla por dualidad, partiedo de los resultados obteidos para las memorias autoasociativas a/3 tipo V; para ello, se realiza cambios similares a los que se idicaro para las memorias heteroasociativas. Tambié, mietras que las memorias autoasociativas 5 Desidad Aritmética Ua colecció de operadores lógicos esfucioalmete completa si toda proposició compuesta es lógicamete equivalete a ua proposició compuesta que ivolucre sólo a los operadores de la colecció (Rose, 1995). Es u hecho establecido que los tres operadores lógicos de egació (,), cojució (/\) y disyució (V) forma ua colecció fucioalmete completa de operadores lógicos: {,,/\,V} Existe coleccioes fucioalmete completas que costa de dos o de u úico operador.uo de estos operadores es el que correspode a la Tabla de verdad de la disyució egada: la coectiva lógica OT,que deotaremos co el operador l. Sea x y y dos variables lógicas booleaas. El operador 1se defie de la siguiete maera: xly=,(xvy) (22) Esto sigifica que la colecció {1} es fucioalmete completa, como lo afirma la Proposició l. Proposició 1. El operador 1 costituye, por sí mismo, ua colecció fucioalmete completa {l}: si x y y so variables lógicas booleaas, etoces se cumple las siguietes equivalecias:,x xlx xvy x/\y (xly) 1 (xly) (xlx) 1 (yly) (23) Tato para las memorias asociativas morfológicas como para las memorias asociativas a/3 se cosidera u cojuto fudametal de p asociacioes, dode los patroes de etrada tiee dimesió, y los patroes de salida, dimesió m. Al realizar el cálculo del total de operacioes requeridas para ambas fases e las memorias asociativas morfológicas, se llega a los siguietes resultados: La fase de apredizaje de ua memoria asociativa morfológica requiere de 28mp operacioes 1 y m(p - 1) operacioes de orde. La fase de recuperació de u patró de salida e ua memoria asociativa morfológica requiere de 198m operacioes 1 y m( - 1) operacioes de orde. Al realizar el cálculo del total de operacioes requeridas para ambas fases e las memorias asociativas a/3, se llega a los siguietes resultados: 309

11 C. Yáñez M., J.L. Díaz de Leó S. : Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias La fase de apredizaje de ua memoria asociativa DI]requiere de 28mp operacioes 1y m(p - 1) operacioes de orde. La fase de recuperació de u patró de salida e ua memoria asociativa aj3 requiere de 147m operacioes 1y m( -1) operacioes de orde. A diferecia de lo que sucede co las desidades aritméticas de apredizaje, las cuales so iguales e ambos tipos de memorias asociativas, la desidad aritmética de recuperació es meor para las memorias asociativas aj3 que la correspodiete a las memorias morfológicas. Resultado comparativo de la desidad aritmética: La fase de recuperació de las memorias asociativas morfológicas requiere de u 34,7% adicioal e el úmero de operacioes lógicas 1. respecto de lo que requiere las memorias asociativas aj3. 6 Coclusioes Este trabajo tiee como producto u modelo de memoria asociativa que utiliza dos operadores biarios origiales que, al combiarlos de ciertas maeras, da lugar a cuatro operacioes ovedosas etre matrices y vectores. Las memorias asociativas aj3 tiee al meos ua vetaja sobre las morfológicas: la desidad aritmética de las memorias aj3 es meor. Además, exhibe capacidad máxima d;: almaceamieto y apredizaje: la recuperació es perfecta para todo el cojuto fudametal. Las memorias asociativas aj3 tipo V so robustas a ruido aditivo pero vulerables ate ruido sustractivo. Las memorias asociativas aj3 tipo A so robustas a ruido sustractivo pero vulerables ate ruido aditivo. Las uevas memorias carece de problemas de covergecia (so memorias asociativas oe shot), lo que potecialmete les permite ser más rápidas que las memorias que requiere covergecia. Agradecimietos.- Los autores agradece el apoyo de las siguietes istitucioes: Secretaría Académica y COFAA del Istituto Politécico Nacioal, CONACyTy Sistema Nacioal de Ivestigadores. Referecias Aderso, J. A. ad E. Rosefeld (Eds.), Neurocomputig: Fudatios 01Research, MIT Press, Cambridge, Díaz-de-Leó, J. L. YC. Yáñez, "Memorias asociativas co respuesta perfecta y capacidad ifiita", Memoria del Taller de Iteliegecia Artificial TAINA'99, México, D.F., 1999, pp Díaz-de-Leó, J. L. YC. Yáñez, Itroducció a la Mo~fología Matemática de Cojutos, CCC-CICIPN, México, (Obra a publicarse e 2003). Díaz-de-Leó Satiago, J.L. y C. Yáñez-Márquez, "Memorias Heteroasociativas Morfológicas max: codicioes suficietes para covergecia, apredizaje y recuperació de patroes", IT-174, Serie Azul, ISBN , CIC-IPN, México, Díaz-de-Leó Satiago, J.L. y C. y áñez-márquez, "Memorias Heteroasociativas Morfológicas mi: codicioes suficietes para covergecia,apredizaje y recuperació de patroes", IT-176, Serie Azul, ISBN , CIC-IPN, México, Hassou, M. H. (Ed.), Associative Neural Memories, Oxford Uiversity Press, New York, Hopfield, J.J., "Neural etworks ad physical systems with emerget collective computatioal abilities", Proceedigs ol the Natioal Academy ofscieces, 79, 1982, pp Kohoe, T., <;:orrelatiomatrix memories", IEEE Trasactios o Computers, C-2I, 4,1972, pp Moore, J., Elemets ol liear algebra ad matrix theory, Mc Graw-Hill, New York, Palm, G., R Schweker, RT. Sommer ad A. Strey, "Neural associative memories", I A. Krikelis & C. C. Weems (Eds.), Associative Processig ad Processors, Los Alamitos: IEEE Computer Society, 1997, pp Ritter, G. X., P. Susser ad J.L. Díaz-de-Leo, "Morphological associative memories", IEEE Trasactios o Neural Networks, 9, 1998, pp Ritter, G. X., J.L. Díaz-de-Leo ad P. Susser, "Morphological bidirectioal associative memories", Neural Networks, 12, 1999,pp Rose, K. H., Discrete Mathematics ad its Applicatios, Mc Graw-Hill, New York, Serra, J., Image Aalysis ad Mathematical Morphology, Volume 2: TheoreticalAdvaces, Academic Press, Lodo, Yáñez-Márquez, C., Memorias Asociativas basadas e Relacioes de Ordey Operadores Biarios. Tesis doctoral, CIC- IPN, México, Yáñez-Márquez, C. y J.L. Díaz-de-Leó Satiago, "Memorias Autoasociativas Morfológicas max:codicioes suficietes para covergecia, apredizaje y recuperació de patroes", IT-I75, Serie Azul, ISBN , CIC-IPN, México, Yáñez-Márquez, C. y J.L. Díaz-de-Leó Satiago, "Memorias Autoasociativas Morfológicas mi: codicioes suficietes para covergecia, apredizaje y recuperació de patroes", IT-I77, Serie Azul, ISBN , CIC-IPN, México,

12 Ph. D. Thesis Doctoral:.Memorias Asociativas Basadas e Relacioes de Orde y Operacioes Biarias Corelio Yáñez Márquez.obtuvo la liceciatura e Física y Matemáticas e 1989 por la ESFM-IPN. Los grados de Maestro e Ciecias e 1995 e Igeiería de Cómputo y de Doctor e Ciecias de la Computació e 2002, e el CIC-1PN. Actualmete. es profesor ivestigador titular C del CIC-IPN y miembro fudador del Grupo de Robótica y Aálisis de Imágees. Meció hoorífica e el exame de grado de doctorado y Presea Lázaro Cárdeas recibida de maos del C. Presidete de la República. Es miembro del Sistema Nacioal de Ivestigadores. Nombramieto de asociado hoorario de la Asociació Boliviaa para el Avace de la Ciecia (ABAC), perteeciete a la Academia Nacioal de Ciecias de Bolivia. Otorgamieto oficial de testimoio de bieveida y etrega de las llaves de la Ciudad de la Provicia de Cercado Cochabamba. Bolivia por su trayectoria profesioal, e mayo de Areas de Iterés: Memorias Asociativas, Redes Neuroales, Morfología Matemática, Aálisis de Imágees y Robótica Móvil. Jua Luis Díaz de Leó Satiago. Obtuvo el grado de Maestro e Ciecias e Cotrol Automático e 1993 y elde Doctor e Ciecias e Morfología Matemática e 1996, ambos e el CINVESTAV-IPN. Fue ivestigador ivitado (1996) y profesor visitate (1997) de la Uiversidad de Florida. Director de Tecología ( ) del Sistema Nacioal de Seguridad Pública. Actualmete, es Director e ivestigador titular C del CIC-IPN y Director Fudador del Grupo de Robótica y Aálisis de Imágees (GRAl). Miembro del Sistema Nacioal de Ivestigadores y Premio Nacioal de Ivestigació y Desarrollo Tecológico de Excelecia Luis Erique Erro. Nombramieto de asociado hoorario de la Asociació Boliviaa para el Avace de la Ciecia (ABAC), perteeciete a laacademia Nacioal de Ciecias de Bolivia. Otorgamieto oficial de testimoio de bieveida y etrega de las llaves de la Ciudad de la Provicia de Cercado Cochabamba, Bolivia por su trayectoria profesioal. Distiguido por el Departameto de Cochabamba, Bolivia, co el Recoocimieto "Hoor al Mérito" por sus aportes a la ivestigació. e mayo de Areas de Iterés: Morfología Matemática. Aálisis de Imágees.. Redes Neuroales Morfológicas, Teoría de Cotrol y Robótica Móvil. 311

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