Capítulo 5. Ondas estacionarias.

Transcripción

1 Capítulo 5. Odas estacioarias. Itroducció. E este Capítulo estudiaremos aquellos feómeos odulatorios e dode las odas se halla cofiadas e ua determiada regió del espacio. U ejemplo típico de odas cofiadas lo costituye las odas producidas e los istrumetos musicales, pero el tema resulta mucho más geeral, co aplicacioes e física del sólido, atómica, uclear y subuclear. Cuado las odas está cofiadas e el espacio como, por ejemplo ocurre co las odas e ua cuerda de piao, éstas viaja de u lado al otro reflejádose e los etremos fijos y, por ede, e todo mometo eiste odas propagádose e los dos tidos. Depediedo de la logitud y características de la cuerda, eiste ciertas frecuecias (modos ormales de vibració) para las cuales la superposició, de las odas que se propaga e ambos tidos, resulta costructiva produciedo u esquema vibratorio estacioario deomiado oda estacioaria, y estas frecuecias er correspode a las frecuecias de resoacia del sistema (fudametal o armóico, do er armóico, armóico, etc.), ver figura. Si la frecuecia de la oda o cocuerda co igua de las frecuecias de resoacia del sistema, las odas se desfasa e cada refleió (respecto de la oda iicial). El proceso de refleió e los etremos fijos se produce idefiidamete, tediedo a iterferir todas las odas etre sí, por lo cual, la amplitud de vibració resulta baja (frecuecia fuera de la resoacia). E cambio, si la frecuecia de la oda armóica cocuerda co algua de las frecuecias de resoacia, la oda al reflejarse sale co la fase adecuada, igual a la de la oda icidete, por lo cual, se suma costructivamete. Cada refleió produce ua ueva oda que se vuelve a sumar costructivamete co las eistetes, por cosiguiete, el sistema oscila co gra amplitud (frecuecia de resoacia). Estas frecuecias de resoacia correspode a modos de oscilació estacioarios (modos ormales). Cuado e el Capítulo 4 estudiamos odas armóicas propagádose sobre ua cuerda, observamos que auque todos los putos de la cuerda oscila co la misma frecuecia o lo hace co la misma fase. Esto puede verse si aalizamos deteidamete como evolucioa e el tiempo el desplazamieto de diferetes putos de la cuerda. Como sabemos, e ua oda de propagació, el desplazamieto puede ser descripto por ua fució de oda armóica como, por ejemplo, Ψ(, = t dode hemos tomado k = y ω = Si aalizamos la evolució del puto = 0, vemos que se mueve armóicamete siguiedo la ley, Ψ ( 0, = (, mietras que si aalizamos la evolució del puto =, obteemos,

2 Ψ(, = t Comparado los movimietos, vemos que ambos putos oscila co la misma frecuecia ω =, pero difiere e ua fase, que e este ejemplo, resulta ser radiaes. Esto que hemos determiado para u ejemplo resulta válido e geeral, e las odas armóicas de propagació todos los putos oscila co la misma frecuecia pero o ecesariamete todos tiee la misma fase, la fase depede del puto e cuestió. Este desfasaje se maifiesta e el hecho de que los putos de la cuerda o pasa por el puto de equilibrio simultáeamete, como sucedía e los sistemas estudiados e el Capítulo cuado se hallaba e u modo ormal de vibració. E cambio e ua oda estacioaria cada partícula de la cuerda oscila co la misma frecuecia y fase que las demás, es decir, correspode a u modo ormal de vibració o armóico. Ua partícula que e u istate forma parte de la cresta de la oda, oscila permaetemete co la mayor amplitud. Ua partícula que está e reposo e u istate, permaece e reposo por el resto del tiempo (odo). Por cosiguiete los máimos de amplitud de vibració y los odos (reposo), está ubicados siempre e los mismos lugares, para ua dada frecuecia de vibració. Cada partícula vibra permaetemete co la misma amplitud, depediete de su posició, mietras que la frecuecia y la fase so iguales para todas las partículas, por lo cual, toda la cuerda pasa por la posició de equilibrio simultáeamete. Para fijar ideas mostramos u dibujo (que usted repetirá e el ej. ) e dode se muestra las posicioes sucesivas de ua cuerda que oscila e los primeros tres modos ormales de vibració: Primer rmóico Segudo rmóico Tercer rmóico Figura.: Esquema de las posicioes sucesivas de ua cuerda que oscila, e los primeros tres modos ormales de vibració: Para cualquiera de los tres modos ormales mostrados, eiste u istate e que toda la cuerda e su cojuto pasa por la posició de equilibrio. Estos coceptos o difiere mucho de los estudiados e el Capítulo, cuado estudiamos modos ormales de vibració. La diferecia fudametal cosiste e que, e esos problemas, teíamos u úmero fiito de partículas, mietras que aquí teemos

3 u cotiuo (idealizació de cuerda cotiua). Por lo cual, e lugar de teer u cierto úmero fiito de frecuecias de resoacia, teemos u umero ifiito pero discreto de frecuecias resoates. estas frecuecias, ordeadas de meor a mayor, comúmete er do er se las deomia, fudametal o armóico, armóico, armóico, etc.. El úmero ifiito de frecuecias resulta de ua idealizació, que cosiste e cosiderar a la cuerda cotiua y o formada por pequeñas partículas, separadas a distacias del orde del tamaño atómico. E realidad hay u úmero muy grade de frecuecias pero fiito. Cuado se putea la cuerda de ua guitarra se escucha u soido que, e geeral, o correspode a u armóico puro sio que resulta ser ua superposició de muchos modos de vibració. Depediedo de dode se putea y del tipo de istrumeto, es posible ecitar mucho el fudametal, quizás ada el segudo armóico, poco el tercero, ada el cuarto y así siguiedo. O podría o ecitarse para ada el fudametal y si el segudo armóico, etc.. lgo parecido pero aú más complicado ocurre co el soido que emitimos al hablar, os resulta imposible emitir u soido puro, siempre correspode a ua superposició de muchos posibles armóicos, cada uo de ellos co ua itesidad determiada por la forma e que costruimos el soido e uestras cuerdas vocales y e uestra boca ( co perdó de la palabra!). E este Capítulo estudiaremos ecialmete odas estacioarias y cocluiremos co el estudio del espectro de frecuecias que se geera e u caso simple como el puteo de ua guitarra (aálisis de Fourier). Los ejercicios recomedados so el,,, 4, 6, 7, 9,,, 4, 6, 7 y 8.. Guía teórica. Odas estacioarias armóicas trasversales e ua cuerda fija e sus etremos. Para itroducir el cocepto de oda estacioaria, comezaremos co el ejemplo simple de pequeñas oscilacioes trasversales e ua cuerda, pero la idea resulta completamete geeral y fácilmete etrapolable a otros feómeos físicos dode se prete odas estacioarias. Ejemplo: Ua cuerda de logitud L = m y masa m = 00g, está fija e ambos etremos y sometida a ua tesió F0 = 0N. Supoga que, acercado u diapasó, se hace vibrar a la cuerda armóicamete (siusoidalmete): Fig. =0 =L Verifique que, e la aproimació de pequeñas oscilacioes (medio lieal), la velocidad de propagació de las odas trasversales resulta, v = 0m / seg. La oda se propaga a través de la cuerda reflejádose e los etremos fijos. Comprobaremos que si la frecuecia de la oda o cocuerda co igua de las frecuecias de resoacia de la cuerda, la oda e cada refleió, se desfaza respecto de la oda iicial, por lo cual, comieza a superpoerse etre sí las múltiples refleioes, iterfiriedo o costructivamete. El proceso de refleió e los etremos fijos se 4

4 produce idefiidamete, tediedo a iterferir todas las odas etre sí, por lo cual, su amplitud de vibració resulta baja (frecuecia fuera de la resoacia). E cambio, si la frecuecia de la oda armóica cocuerda co algua de las frecuecias de resoacia, la oda al reflejarse, sale co la fase adecuada, igual a la de la oda iicial, sumádose costructivamete a ésta. Cada refleió produce ua ueva oda que se vuelve a sumar costructivamete co las eistetes, por lo cual el sistema oscila co gra amplitud (frecuecia de resoacia). Estas frecuecias de resoacia correspode a modos de oscilació estacioarios, como comprobaremos luego. Luego e la guía teórica 5 y e el ejercicio comprobaremos que ua oda estacioaria puede repretarse por la suma de dos odas armóicas, de propagació, viajado e tidos opuestos, es decir, ΨTotal (, = ( k ω + ( k ωt + ) obteida a partir de sumar ua oda de propagació hacia la derecha más otra hacia la izquierda (desfasada e al reflejarse). Por el mometo comezaremos estudiado a las odas estacioarias e base al cocepto ya apredido de modo ormal de vibració del sistema (frecuecia de resoacia). Modo ormal: Supodremos que la cuerda oscila e u modo ormal, por cosiguiete, todas las partes de la cuerda oscila co movimieto armóico, co la misma frecuecia ω y fase ϕ, por lo cual, cada puto de la cuerda oscila co su amplitud propia (característica del modo), pero todos ellos evolucioa armóicamete co la misma depedecia temporal, del tipo, cos( ωt + ϕ), La amplitud co que vibra cada puto de la cuerda, depede de la coordeada del puto estudiado, cada puto oscila co ua amplitud distita característica del modo de oscilació. Por ejemplo, u puto que se halla e u odo de vibració, permaece siempre quieto, por lo cual su amplitud de oscilació resulta cero, mietras que u puto que se halla e ua cresta, oscila co el máimo de amplitud. Defiimos ua fució mpl(), la cual, determia la amplitud de vibració del puto ubicado e ua posició cualquiera. Esta fució, depede del modo de oscilació, es decir, cada modo tiee ua fució mpl() diferete, ya que su forma de oscilació resulta diferete (recordar la figura ). Etoces podemos escribir la epresió geeral para ua oda estacioaria, como, Ψ(, = mpl( ) cos( ωt + ϕ). () Note la diferecia etre ua oda estacioaria como la y ua oda de propagació como, Ψ, t = k ωt ( ) ( ) Propagació () Mietras que e la ecuació se ha desacoplado la depedecia fucioal de la coordeada y t (oda estacioaria), e la oda de propagació se halla acopladas, por lo cual, las partículas o se mueve e fase.. 5

5 Nos propoemos ahora determiar la fució mpl(), y su depedecia co el modo de vibració. Si cosideramos pequeñas oscilacioes, la fució de oda estacioaria debe satisfacer la ecuació lieal de odas, Ψ( t, ) Ψ( t, ) = () v t Reemplazado la fució Ψ(, = mpl( ) cos( ωt + ϕ) e la ecuació de odas, y simplificado a la fució coo, ecotramos que mpl() debe cumplir (verificar): d mpl( ) ω = mpl( ) = k mpl( ). o mpl ( ) = k mpl( ) (4) d v La ecuació 4 es ua ecuació diferecial del tipo oscilador armóico, pero e lugar de ua derivada seguda respecto del tiempo teemos ua derivada seguda respecto de, por cosiguiete, la solució de esta ecuació resulta semejate a la obteida e el caso del oscilador armóico (fució armóica), pero e lugar de la variable t aparece la variable, por lo cual, podemos propoer como solució, mpl( ) = ( k) + Bcos( k) (5) dode k = y es la logitud de oda y y B so costates a determiar. De acuerdo a 5, podemos afirmar que la amplitud de la oscilació varía armóicamete co la posició, repitiédose su forma periódicamete cada logitud (ver figura ). Por cosiguiete la solució para ua oda estacioaria resulta, Ψ(, = cos( ωt + ϕ) + B cos (6) Codicioes de cotoro: La solució aterior es, hasta cierto puto, geeral. Pero aú o está cotempladas las codicioes de cotoro, que e uestro ejemplo so los etremos fijos de la cuerda. E lo que sigue icorporaremos está iformació: La cuerda tiee logitud L, y se ecuetra fija e = 0 y = L (ver figura y ). Esto sigifica que e esos putos la cuerda o se desplaza e igú mometo, es decir, Ψ( = 0, = 0 y Ψ( = L, = 0 t. (7) Co estas dos codicioes podremos hallar relacioes etre las costates y B, pero además, éste hecho codicioa fuertemete los modos e que puede vibrar la cuerda. No todas las logitudes de oda está permitidas e u modo estacioario, sólo aquellas que asegure que la fució de oda se aule e = 0 y = L (odos), ver figura. 6

6 = =L = =L = =L/ =4 4 =L/ Figura.: Esquema de los primeros 4 modos de vibració, de ua cuerda fija e ambos etremos. hora usemos las codicioes de cotoro 7 e la ecuació 6, Codició e el orige = 0: Ψ( = 0, = 0 + Bcos 0 cos( ωt + ϕ) = B cos( ωt + ϕ) = 0 t B = 0 Ψ( t, ) = cos( t+ ) ω ϕ (Importate) (8) Codició e = L : 0 = Ψ( = L, = cos( ωt + ϕ) L = 0 t 0 L = L = co Ζ > 0 L = co Ζ > 0 (Importate) (9) Esta última epresió os esta diciedo que si la cuerda tiee dos putos fijos (odos), distates ua logitud L, o todas las logitudes de oda estacioarias está permitidas, sólo está permitidas aquellas que garatiza que la fució de oda se aule e =0 y = L = m, y estas logitudes de oda so (como puede apreciarse e la figura ): ) L = L= m, = L= m, = L=066, m, 4 = L =05, m,..., =,... Cada modo tiee asociado ua cofiguració diferete, determiada por la amplitud mpl( ) = y caracterizada por la logitud de oda. Pero e cada modo, todas las partículas que forma parte de la cuerda oscila co la misma frecuecia ω y fase ϕ. La amplitud, queda determiada ua vez coocido el estado iicial o la eergía de la oda. Frecuecias de resoacia. Las frecuecias que produce estos esquemas se deomia frecuecias de resoacia. Podemos hallar las frecuecias a partir de la 7

7 relació etre k y ω, v equivalete a ( v = 0m / seg.): f = ω (relació de dispersió para la aproimació lieal) que es k v =, por cosiguiete las frecuecias de resoacia so f = v co Ζ > 0 (0) L v Si llamamos a la frecuecia más baja f = = 5Hz (frecuecia fudametal o primer L armóico), etoces las frecuecias más altas se puede obteer como múltiplos de ésta (secuecia armóica, caso ideal), es decir: f = f co Ζ > 0 (Importate) () de esta forma: v v v f = = 5Hz, f = f = = 0Hz, f = f = = 5Hz, L L L v f4 = 4 f = = 0Hz,..., f = f co Ζ > 0 L La frecuecia más baja f se deomia frecuecia fudametal mietras que las demás se llama armóicos, f es el segudo armóico, f es el tercer armóico, etc., y sus frecuecia resulta múltiplos de la frecuecia fudametal, e el caso ideal de medio o dispersivo. Ley de dispersió para ua cuerda de piao real. La ley de dispersió dada por la ecuació v = ω es la más simple que podemos ecotrar, esta ley os está idicado k que la velocidad de propagació de la oda o depede de la logitud de oda, todas las odas se propaga co la misma velocidad. E geeral las cuerdas reales se aparta levemete de esta ley lieal (fuera de la aproimació de pequeñas oscilacioes). Las logitudes de oda permitidas seguirá siedo = L, ya que esto depede de la eistecia de los putos fijos, pero las frecuecias o tiee la depedecia armóica ta simple dada e. Ejemplo, si la frecuecia fudametal es f, la frecuecia f o será f = f, e u piao será levemete más alta (más aguda).. Recomedado. Co ayuda del Mathematica grafique los primeros armóicos correspodietes a la cuerda del ejercicio aterior, supoiedo que la amplitud de la oda estacioaria es de = 000, m. ímelos para observar la evolució de la cuerda, prestado ateció a que e algú istate toda la cuerda pasa por el equilibrio. L=; v=0; =; (modo fudametal, luego pruebe co = y =) lambda=*l/; k=*pi/lambda; w=k*v; T=*Pi/w; a=0.00; psi[_,t_ ]=a*si[k*]*cos[w*t]; 8

8 Do[ Plot[psi[,t],{,0,L},PlotRage->{-a,a},es->Noe,spectRatio->0., PlotStyle->{RGBColor[0,0,],Thickess[0.00]}], {t,0,t,t/0}] Si ue todos los gráficos e ua misma celda y los aima, observará la evolució de la oda estacioaria.. Recomedado. Hemos dicho que ua oda estacioaria resulta de la superposició de dos odas armóicas propagádose e tido cotrario. La demostració formal de esta afirmació la haremos e la guía teórica, aquí sólo pretedemos obteer ua primera idea gráfica co la ayuda del Mathematica. Por ello, grafique y aime a la fució, ΨTotal (, = ( k ω + ( k ωt + ) obteida a partir de sumar ua oda de propagació hacia la derecha más otra hacia la izquierda (desfasada e al reflejarse). Use los mismos datos que e el problema aterior. L=; v=0; =; (modo fudametal, luego pruebe co = y =) lambda=*l/; k=*pi/lambda; w=k*v; T=*Pi/w; a=0.00; psi[_,t_ ]=(a/)*si[k*-w*t]+(a/)*si[-k*-w*t+]; Do[ Plot[psi[,t],{,0,L}, PlotRage->{-a,a},es->Noe,spectRatio->0., PlotStyle->{RGBColor[0,0,],Thickess[0.00]}], {t,0,t,t/0}] Si ue todos los gráficos e ua misma celda y los aima, observará la evolució de la oda estacioaria. 4. Recomedado. U hilo de acero de 5g y,4m está fijo por ambos etremos y tiee ua tesió de 968N. a) Hallar la velocidad de fase de las odas trasversales. Resp. v = 50m / seg. b) Hallar la logitud de oda y la frecuecia del modo fudametal de oscilació. Resp. =,8m y f = 85, 9Hz. c) Sabiedo que la amplitud de oscilació del primer modo es de 0,00m y que e el istate iicial ( t = 0 ) la cuerda justo está pasado por la posició de equilibrio, halle la fució de oda correspodiete (determie la fase). d) Importate. Dibujar la posició de la cuerda e los istates t = 0, t = T / 4, t = T / dode T = / f es el período de vibració. e) Hallar las frecuecias del segudo y tercer armóicos. Haga u esquema del modo de oscilació. Resp. f = 7, 86Hz y f = 557, 79Hz. f) Importate. La fució de oda estacioaria puede formarse como la suma de dos odas viajeras, de mitad de amplitud, ua viajado hacia la derecha y otra viajado 9

9 hacia la izquierda (debido a la refleió e los etremos). Escriba las dos fucioes de oda viajeras para la oda estacioaria fudametal. 5. Guía teórica. Eergía de ua oda estacioaria. E Capítulo 4 (guía teórica 8, ec. 4), demostramos que la eergía de u segmeto de cuerda, vibrado trasversalmete, es: Ψ(, Ψ(, E = Ec + E p = µ + F0 t, () Para hallar la eergía de toda la cuerda debemos itegrar: E = L L Ψ Ψ de d = µ + F0 d t 0 0 () reemplazado la fució de oda estacioaria, Ψ( t, ) = cos( ωt+ ϕ ), () itegrado y luego de u calculo tedioso llegamos a (verificar), E = mω = m f (Para ua oda estacioaria). (4) Cometario: Notar que la eergía, de ua oda estacioaria, o depede del tiempo (estado resoate). Si llamamos E a la eergía del modo fudametal E = m f y sabiedo que f = Para u modo cualquiera se cumple, dode y f ( ) E m f = E (5) = so las amplitudes de los modos y respectivamete. Cometario: De la epresió 4 podemos ver que, a igual amplitud, la eergía se icremeta para modos más altos (como ). Esto es lógico ya que mietras mayor es el modo, más deformada está la cuerda, y por cosiguiete acumula mayor eergía potecial. demás, la frecuecia es mayor y, por ede, la velocidad de las partículas que forma la cuerda es mayor, co lo cual la eergía ciética resulta mayor. 6. Recomedado. La fució de oda Ψ (, correspodiete a ua oda estacioaria de ua cuerda fija e ambos etremos viee dada por Ψ( t, ) = 0, ( 0, ) cos( 00, co Ψ y e cetímetros y t e segudos. a) Cuál es la logitud de oda y cuál la frecuecia? b) Cuál es la velocidad de propagació de las odas trasversales?. c) Si la fució de oda dada es la correspodiete al cuarto armóico, cuál es la logitud de la cuerda? d) Dibujar la posició de la cuerda e los istates t = 0, t = T / 4, t = T / dode T = / f es el período de vibració. e) Halle la eergía de la oda. yuda: use la epresió 4 de la guía teórica 5. f) Importate. La fució de oda estacioaría puede formarse como la suma de dos odas viajeras, de mitad de amplitud, ua viajado hacia la derecha y otra viajado 0

10 hacia la izquierda (debido a la refleió e los etremos). Escriba las dos fucioes de oda viajeras, para el modo fudametal. 7. Recomedado. Ua cuerda de logitud metros y desidad másica 0,005 kg / m está sujeta por ambos etremos. Supoga que co u oscilador electróico, co salida por parlate, iteta hallar las frecuecias resoates del sistema (piese como lo haría). Variado la frecuecia del oscilador usted determia que ua de las frecuecias de resoacia es 5Hz (o ecesariamete es la del fudametal). Luego, cotiua subiedo la frecuecia del oscilador, y observa que la siguiete frecuecia de resoacia resulta 6Hz. partir de esta iformació halle: a) La frecuecia del modo fudametal. Resp. f = 84Hz. b) La tesió del hilo. Resp. F0 = 65N. c) que modos de vibració correspode las frecuecias medidas, haga u esquema del modo de vibració para ellas. d) Si para el modo de oscilació correspodiete a la frecuecia de 6Hz, la cuerda oscila co ua amplitud de = 0, 00m, y e el istate iicial pasa por su posició de equilibrio, determie la fució de oda de este estado y su eergía. 8. ctividad: Si le sobra uos magos, compre e ua juguetería u Sliky (resorte muy largo y estirable, que baja las escaleras). Sujete los etremos co sus maos, y trate ecitar los primeros modos estacioarios. Compruebe que puede lograr ua gra amplitud cuado el sistema oscila e alguo de los modos. Discuta. 9. Guía teórica. Cuerda fija sólo e u etremo. E esta guía cotiuaremos el estudio de los estados estacioarios, pero ahora asociados a sistemas que posee u etremo fijo y otro completamete libre. U ejemplo clásico de estos sistemas so los istrumetos de vieto (odas sooras logitudiales). Por simplicidad, primero aalizaremos el ejemplo de ua cuerda co u etremos libre. Ua cuerda de logitud L = m y masa de m = 00g, está fija e = 0 y libre e el otro etremo (desliza sobre ua varilla si rozamieto). Está sometida a ua tesió de F 0N. 0 = Libre Figura.4: Cuerda co u etremo libre. Tambié se produce odas estacioarias sobre ua cuerda co u etremo libre, e lugar de teer ambos etremos fijos. El esquema de las odas estacioarias para dicha cuerda, e los primeros 4 modos de vibració, se idica e la figura 5,

11 = =4L = =4L/ =5 5 =4L/5 =7 7 =4L/7 Figura.5: Esquema de los primeros 4 modos de vibració, de ua cuerda co u etremo libre. Observe que el etremo libre de la cuerda es siempre u vietre (amplitud de vibració máima). Esto lo podemos eteder si recordamos la guía teórica 0 del Capítulo 4, e esa guía ecotramos que la fuerza ejercida sobre u segmeto de la Ψ cuerda (desde el lado izquierdo), es proporcioal a, por cosiguiete, si el borde de la cuerda está libre o eiste fuerza etera ejercida e ese puto, por lo cual, Ψ = 0 que justifica pleamete lo observado e la figura 5, ya que, e los vietres la pediete de la recta tagete a la cuerda se aula. Codicioes de cotoro. E el ejercicio hallamos la solució para las fucioes de oda estacioarias: Ψ( t, ) = cos( ωt+ ϕ) + Bcos () De platear la codició de que el desplazamieto es ulo e el orige obtuvimos que B=0, y etoces la fució de oda os quedo: Ψ( t, ) = cos( ωt+ ϕ ) () hora teemos que platear la ueva codició de cotoro e = L, que ya o correspode a que el desplazamieto se aula e = L. La codició de cotoro adecuada e = L, es que se aule la derivada co respecto a (vietre) para todo tiempo, o sea, Ψ( t, ) =0 t. () = L Etoces, Ψ( t, ) = cos L cos( ωt + ϕ) = 0 t cos L =0 = L L=, (4) dode debe ser etero positivo, pero además, impar, ya que si fuera par os daría u múltiplo de y el coo o se aularía. Etoces, e ua cuerda co u etremo libre, las logitudes de oda permitidas so:

12 es decir, 4 L = co impar (5) 4 ) 4 = 4L = 4m, = L=, m, = L =08, m,...., 5 = 4 L co impar, Notar que la logitud de oda fudametal es el doble de la que obtuvimos e el caso de la cuerda fija e ambos etremos. Frecuecias de resoacia: Hallamos las frecuecias de resoacia a partir de la v relació f = (relació de dispersió lieal), por cosiguiete, las frecuecias de resoacia so: f = v 4 L co impar (6) v Si llamamos a la frecuecia más baja f 4L frecuecias más altas se puede obteer como múltiplos impares de f (secuecia armóica, caso ideal), es decir: f = f co impar (7) de esta forma: v f = = 5, Hz, f = f = 75, Hz, f5 = 5f = 5, Hz,..., f = f 4L co impar Notar que hemos perdido los armóicos pares, y que la frecuecia fudametal es la mitad de la que obtuvimos e el caso de la cuerda fija e ambos etremos. 0. Ua cuerda de 60g y 4m de largo está fija por u etremo y está ligada a ua cuerda muy ligera por el otro (supoga que está casi libre). Su tesió es de 400N. a) Cuáles so las logitudes de oda del modo fudametal y los dos armóicos siguietes?. b) Cuáles so las frecuecias de estos modos?.. Recomedado. certijo: Supoga que detro de ua caja se halla ua cuerda que usted o puede ver. Le pide que adivie si la cuerda está fija e ambos etremos o si tiee u etremo libre. Como ayuda le iforma el valor de tres frecuecias de resoacia sucesivas de la cuerda 75, 5 y 75Hz, dode la frecuecia de 75Hz o ecesariamete correspode al modo fudametal. a) Cómo podría saberse si estas frecuecias correspode a ua cuerda fija por ambos etremos o por u sólo etremo?. yuda: Hallar los cocietes etre cada par de frecuecias sucesivas de resoacia. b) Cuál es la frecuecia correspodiete al fudametal?. Resp. 5Hz. c) qué armóicos perteece las tres frecuecias dadas?. d) Si la velocidad de propagació e esta cuerda es de 400m / seg., halle la logitud de la cuerda. Resp. 4m.

13 . Guía teórica. Odas sooras (logitudiales) estacioarias. Gra parte de lo apredido e odas estacioarias e cuerdas se aplica a odas sooras (logitudiales) estacioarias. E la figura 6 se ve u tubo de aire cerrado por su etremo derecho, co u pistó móvil e el etremo izquierdo, Fig.6 ire Si la amplitud de desplazamieto del pistó es pequeña, puede supoerse que e ese etremo el desplazamieto logitudial del aire es ulo (aproimadamete u odo). Etoces la codició de oda estacioaria es la misma que e ua cuerda co ambos etremos fijos, salvo que la velocidad de propagació es la velocidad del soido v 45 (a presió y temperatura ormal). m seg Si el etremo derecho del tubo o está cerrado sio abierto a la atmósfera, este etremo es, aproimadamete, u vietre de desplazamieto (tambié es u odo de presió ya que la presió está fija a la presió atmosférica). Por cosiguiete la codició de oda estacioaria, e este caso, es la misma que la correspodiete a ua cuerda co u etremo fijo y otro libre = L. E la realidad, el vietre de desplazamieto (o odo de presió) cae ligeramete fuera del etremo abierto del tubo, por cosiguiete, la logitud efectiva del tubo es u poco mayor que la logitud real, si L es la logitud del tubo y L es la correcció (del orde del radio del tubo), la logitud efectiva es L = L+ L y, por ede, el tubo 4 Lef resuea cuado las logitudes de oda cumpla = co impar. U tubo de órgao y las flautas de todo tipo se comporta como tubos abiertos e ambos etremos, e estos casos, e ambos etremos eiste u vietre de desplazamieto. Las frecuecias de resoacia so las mismas que para u tubo cerrado e ambos etremos, ecepto por ua pequeña correcció de la logitud. Por cosiguiete la logitud de oda del fudametal resulta igual a dos veces la logitud del tubo y se ecuetra pretes todos los armóicos (pares e impares), ver figura 7, ef Fig.7 Tubo cerrado e ambos etremos: 4

14 =L =L =L/ 4 =L/ Tubo cerrado e el etremo izquierdo: =4L =4L/ 5 =4L/5 7 =4L/7 Tubo abierto e ambos etremos: =L =L =L/ 4 =L/ Figura.7: Esquema de los primeros 4 modos de vibració, correspodietes a: a) Tubo cerrado e ambos etremos. b) Tubo abierto e u etremo. c) Tubo abierto e ambos etremos.. Recomedado. Eperimeto para hacer e el aula. Deje caer varias tizas eteras, observe y aote el úmero de trozos e que se parte la tiza. Estudie deteidamete los lugares e dode se parte. Trate de eplicar lo observado. E cuatos pedazos se parte e la mayoría de los casos? por qué?. Discuta. 4. Recomedado. parato para determiar la velocidad del soido e el aire. E la figura 8 se muestra u esquema del aparato, 5

15 Fig.8 L La logitud de la columa de aire e el tubo del lado izquierdo puede regularse modificado el ivel del agua del lado derecho, agregado o quitado agua. Se ecita odas sooras co u diapasó. La columa de aire del lado izquierdo (logitud L) resuea cuado la frecuecia del diapasó cocuerda co algua de las frecuecias aturales del sistema. Esto puede comprobarse acercado el oído al tubo y otado como se logra amplificar el soido cuado el sistema se halla e resoacia. Ua forma de medir la velocidad del soido, es modificado la altura del ivel de agua hasta que la frecuecia atural del diapasó cocuerde co las frecuecias de oscilació del sistema. Ejemplo: Cuado ecima del tubo de la figura se matiee u diapasó de 500Hz de frecuecia, aparece resoacias (sucesivas) cuado el ivel del agua está a distacias de 6, 50. 5, 85 y 9.5cm de la parte superior del tubo ( ojo!, estas resoacias correspode a ua frecuecia fija de 500Hz que ecita diferetes armóicos depediedo de la logitud L). a) Supoiedo que e 6 cm se ecita el fudametal, determie cual es el armóico que se ecita e las demás distacias. b) Grafique la logitud L e fució del úmero de armóico. c) De acuerdo al gráfico, Cuál es la velocidad del soido?. d) Qué correcció L le haría a las logitudes medidas? 5 Optativo. Guía Teórica. Superposició de odas, Oda estacioaria. E este ejercicio queremos comprobar que ua oda estacioaria puede visualizarse como la combiació de dos odas moviédose e tidos cotrarios, producto de las refleioes e los putos fijos. Los resultados cocuerda co los de la guía teórica, simplemete este ejercicio ofrece otra maera de eteder el mismo feómeo físico. Supogamos que ua cuerda de logitud L, y masa m, está fija e ambos etremos y sometida a ua tesió F0. El etremo izquierdo de la cuerda ( = 0) se hace vibrar armóicamete. La oda se propaga hacia la derecha co velocidad v, cuya fució de oda podemos describir como, ΨI (, = ( k ω = [ k( v], () (le hemos puesto ua amplitud por comodidad ya que, cuado se le sume la oda reflejada, la oda total tedrá amplitud ). Cuado llega al etremo derecho fijo, e = L, la oda se refleja. 6

16 Oda reflejada: La oda reflejada Ψ R tiee la misma logitud de oda, frecuecia y amplitud, que la oda icidete Ψ I (coservació de eergía y mometo, relacioarlo co el choque elástico de ua pelota cotra ua pared), pero se propaga e tido iverso y preta u desfasaje respecto de la oda icidete. Propoemos que la fució de oda reflejada es, ΨR (, = ( k ω t + ϕ). () La oda reflejada Ψ R, se propaga hacia la izquierda, y al icidir sobre el lado izquierdo fijo, se vuelve a reflejar. Si la frecuecia de la oda o cocuerda co igua de las frecuecias de resoacia de la cuerda, esta ueva oda se desfaza respecto de la oda iicial, por lo cual, su superposició o ecesariamete resulta costructiva. El proceso de refleió e los etremos fijos se produce idefiidamete, tediedo a iterferir todas las odas etre sí, por lo cual, su amplitud de vibració resulta baja (frecuecia fuera de la resoacia). E cambio, si la frecuecia de la oda armóica cocuerda co algua de las frecuecias de resoacia, la oda que vuelve a reflejarse del lado izquierdo, sale co la fase adecuada, igual a la de la oda icidete, sumádose costructivamete a ésta. Cada refleió produce ua ueva oda que se vuelve a sumar costructivamete co las eistetes, por lo cual el sistema oscila co gra amplitud (frecuecia de resoacia). Estas frecuecias de resoacia correspode a modos de oscilació estacioarios, como comprobaremos luego. El desplazamieto de u segmeto de la cuerda viee dado por la superposició de ambas odas. E la aproimació de pequeñas oscilacioes (medio lieal), la fució de oda total viee dada simplemete por la suma de la oda icidete más la reflejada (pricipio de superposició), Ψ, = Ψ (, + Ψ (, () Total ( I R ΨTotal (, = ( k ω + ( k ω t + ϕ) (4) Hallaremos el desfasaje ϕ, de la oda reflejada, usado las codicioes de cotoro. Codicioes de cotoro e el orige: E el puto = 0 la cuerda está fija, por ede el desplazamieto total debe aularse e ese puto para todo tiempo, es decir: Ψ = 0, = Ψ ( = 0, + Ψ ( = 0, = 0 t Total ( R I ΨR ( = 0, = ΨI ( = 0, t (5) Empleado está codició de cotoro obteemos ϕ, como sigue: ΨR ( 0, t ) = ( ω t + ϕ) = ( ω = ΨI (0, t ( ωt + ϕ) = ( ω = ( ωt + ) ϕ (6) como ya sabíamos del capítulo 4. Co lo cual la fució de oda reflejada resulta, ΨR (, = ( k ω t + ) (7) 7

17 La Fució de oda Total resulta ua Oda Estacioaria: hora estamos iteresados e obteer la fució de oda total, suma de dos odas viajeras la icidete y la reflejada y comprobar que resulta ser ua oda estacioaria, ΨT (, = ΨI (, + ΨR (, = ( k ω + ( k ω t + ) (8) Podemos reescribir la epresió aterior utilizado la siguiete idetidad trigoométrica: θ θ θ + θ ( θ ) + ( θ ) = cos, (9) co θ = k ωt y θ = k ωt + ϕ. Usado esto, la fució de oda total os queda: ΨT (, = cos k + ω t + (0) y usado que cos k + = ( k) y que ωt + = cos( ω (verifique), etoces, ΨT (, = ( k) cos( ω () La epresió correspode a ua fució de oda estacioaria. Hemos logrado desacoplar la depedecia espacial de la temporal, esto sigifica que u puto de la cuerda, que se halla e la posició, oscila armóicamete co frecuecia ω y amplitud que depede armóicamete de la posició, es decir, mpl( ) = ( k) () y, ΨT (, = mpl( ) cos( ω () Esto sigifica que la superposició de las odas, icidete y reflejada (viajeras), o repreta ua oda viajera sio ua oda estacioaria, ya que todos los putos de la cuerda oscila co la misma frecuecia y fase. Como ates, plateado la codició de cotoro e el etremo derecho hallaremos las frecuecias y logitudes de oda de los modos ormales: Codició de cotoro e el etremo derecho. Hasta el mometo impusimos sólo ua codició de cotoro aquella que idica que e = 0 la cuerda está fija y, por ede, el desplazamieto e ese puto es ulo para todo tiempo, es decir ΨT ( = 0, = 0 t. hora, como hicimos e la guía teórica, queremos impoer la otra codició de cotoro, que idica que e = L la cuerda tambié está fija, es decir ΨT ( = L, = 0 t. Como ya sabemos, este hecho codicioa fuertemete los modos e que puede vibrar la cuerda. No todas las logitudes de oda estará permitidas, sólo aquellas que asegure que la fució de oda se aule e = 0 y = L (odos). Podemos calcular aalíticamete las logitudes de oda, usado, ΨT ( = L, = ( k L) cos( ω = 0 t ( kl ) = 0 k L co Ζ > 0 k = L = co Ζ > 0 o = co Ζ > 0 (4) L 8

18 Esta epresió es la misma hallada e la guía teórica, os esta diciedo que si la cuerda tiee dos putos fijos (odos), distates ua logitud L, o todas las logitudes de oda está permitidas para ua oda estacioaria, sólo está permitidas aquellas que garatice que la fució de oda se aule e = 0 y = L. 6. Guía teórica. álisis de Fourier. Cuado se putea la cuerda de ua guitarra se escucha u soido que, e geeral, o correspode a u armóico puro sio que resulta ser ua superposició de muchos modos de vibració. Depediedo de dode se putea (y del tipo de istrumeto) es posible ecitar mucho el fudametal, quizás ada el segudo armóico, poco el tercero, ada el cuarto y así siguiedo. O podría o ecitarse para ada el fudametal y si el segudo armóico, etc.. lgo parecido pero aú más complicado ocurre co el soido que emitimos al hablar, os resulta imposible emitir u soido puro, siempre correspode a ua superposició de muchos posibles armóicos, cada uo de ellos co ua itesidad determiada por la forma e que costruimos el soido e uestras cuerdas bocales y e uestra boca. El objetivo de este ejercicio teórico es el de estudiar las amplitudes (y fases) co que cada armóico aparece cuado ua cuerda es ecitada. Si el sistema es lieal (o dispersivo), el estado de movimieto más geeral de ua cuerda cotiua, co ambos etremos fijos y vibrado sólo trasversalmete, puede obteerse como ua superposició de todos los modos posibles (armóicos), umerados,,,..., co amplitudes,,,..., y costates de fase ϕ, ϕ, ϕ,..., que depede como, ya veremos, de la deformació iicial de la cuerda. De esta forma, la fució de oda más geeral correspodiete a ua cuerda vibrate resulta, Ψ(, = dode, = i= cos cos cos ( ω t + ϕ ) + cos( ω t + ϕ ) ( ω t + ϕ ) + cos( ω t + ϕ ) ( ω t + ϕ ) i 4 4 k = () es el úmero de oda, y se relacioa co la frecuecia dispersió = () ω a través de la relació de v = ω. () k Note que la velocidad de propagació es igual para todas las frecuecias (medio lieal o-dispersivo). Las costates y las fases ϕ so determiadas por las codicioes iiciales de la cuerda, los desplazamietos Ψ(, t ) y las velocidades Ψ (, para cada a t 9

19 t = 0, correspodietes a la deformació iicial de la cuerda. Para fijar ideas resolveremos u ejemplo particular. Ejemplo: Si iicialmete (a t = 0 ) la cuerda se desplaza de la posició de equilibrio y luego se suelta (desde el reposo), la velocidad iicial de todos los putos de la cuerda Ψ(, resulta cero, por lo cual, la derivada resulta ula. Como Ψ (, resulta ser t t ua suma de térmios que cotiee ( ωt + ϕ ) (verifique derivado Ψ(, t )), la úica maera de que toda la suma se aule cuado t = 0 es que todas las fases valga cero, o sea, ϕ = 0 (verifíquelo). Por lo tato, para cuerdas que iicialmete parte del reposo, los desplazamietos puede epresarse como: Ψ(, = ( ω + cos cos( ω + cos 4 ( ω + cos( ω = = cos( ω = Sólo os queda determiar las amplitudes co que participa cada modo, es decir los valores de,,,...,etc. (fudametal, segudo armóico, etc.). Para hallar estas costate resulta ecesario coocer cuál es la deformació iicial de la cuerda. Supogamos que a t = 0 obligamos a la cuerda a teer ua forma determiada dada por ua fució f( ), por ejemplo la forma dada e la figura 8 (diete de sierra simétrico de amplitud ). 4 (4) Figura 8: Cuerda iicialmete desplazada, co forma de diete de sierra. Esta deformació o es muy agradable para la física ya que es picuda (o derivable, lo que implica ua gra deformació), pero por su simplicidad la vamos a estudiar como ejemplo. simple vista, vemos que está deformació se parece mucho al modo fudametal, por cosiguiete, es de esperar que la amplitud sea mayor que las demás amplitudes, es decir, el modo fudametal será el más iteso (más ecitado). Otra cosa que podemos ituir es que el segudo armóico o se ecitará, ya que este modo tiee u odo e el cetro de la cuerda ( Ψ = 0 o se mueve), y además, si cosideramos como que ese odo (e mitad de la cuerda) es el orige de coordeadas, la fució f( ) (diete de sierra) es ua fució par (respecto a ese odo) mietras que el segudo armóico es ua fució impar, e ituimos que para aproimar a f( ) ecesitamos fucioes que posea su misma paridad, por cosiguiete esperamos que 0

20 = 0. Lo mismo va a pasar co todos los armóicos pares, ya que todos tiee u odo e el cetro y so impares respecto a ese puto, cosa que o es compatible co la deformació iicial, por ede, podemos ituir que, = 0 para todo par. (5) Comprobemos lo aterior aalíticamete. t = 0 cada parte de la cuerda tiee u desplazamieto correspodiete a la forma de diete de sierra, que correspode a decir que Ψ(, t = 0) = f ( ), o sea, Ψ(, t = 0) = = f( ). (6) Veremos que, la forma de f( ) determia las amplitudes. Necesitamos primero defiir a la fució f( ) e u itervalo que va desde = 0 a = = L (auque la cuerda sólo llega hasta L ), y la forma adecuada es defiirla de tal forma que sea periódica co período = L. Esto resulta coveiete ya que, como imediatamete veremos, aprovecharemos fuertemete el hecho de que si itegramos ua fució armóica (o o coo) e u período o u múltiplo de período la itegral se aula. De acuerdo a lo aterior, redefiimos a la fució f( ) de tal forma que sea ua fució periódica co período = L, esto lo logramos agregado ua image especular, como muestra la figura, f() Fig.9 L L L L - De acuerdo a la figura 9 su epresió aalítica es (verificar): + m si 0 L / f( ) = m+ si L / < L/ dode la pediete es m = (7) L + m 4 si L / < L Ua vez redefiida la fució os abocamos a hallar el valor de las amplitudes de cada modo. Primero tratemos de hallar el valor de. Para ello usamos el viejo truco de que las fucioes armóicas se aula si las itegramos sobre u período (ua logitud de oda), o u múltiplo de u período, ya que tiee tatos tramos positivos como egativos. Multipliquemos a Ψ(, t = 0 ), o f( ), por e itegremos desde = 0 hasta =, es decir :

21 f( ) d = d + d (8) d Sabemos que e ua logitud de oda del modo fudametal cabe,, etc., usado este hecho es muy simple demostrar que la úica itegral que o se aula es la primera, ya que las demás tiee tatos tramos positivos como egativos. Etoces obteemos: f ( ) d = d = 0, (9) 0 y de aquí podemos despejar = f ( ) d (0) 0 De igual forma, podemos hallar el resto de las amplitudes itegrado (verificar): = f ( ) d () 0 Las epresioes 0 y so completamete geerales y vale para cualquier fució f ( ) periódica. Para el caso particular del diete de sierra las amplitudes se obtiee itegrado ambas epresioes, resultado (verificar): 0 si es par = () 8 si es impar ( ) ( )/ Como esperábamos las amplitudes correspodietes a los modos pares se aula. E base a esto podemos reescribir la fució f( ) como, 8 f( ) = Ψ(, t = 0) = () Por cosigiete, la fució de oda que describe la evolució subsiguiete de la cuerda es,

22 ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω = Ψ +... cos 49 cos 5 + cos 9 cos 8 ), ( t t t t t (4) dode, f = ω y = = v f f (5) Notar que hemos hecho u desarrollo (serie de Fourier), e el cual, ua fució diete de sierra se ha descompuesto e ua suma de ifiitos térmio armóicos. Para teer ua mejor visió de lo hecho se recomieda graficar la fució f( ) e base a la epresió, y verificar que ha medida que mejoramos la aproimació, teiedo e cueta mayor catidad de armóicos, obteemos ua mejor aproimació a la fució diete de sierra. Co ayuda del programa Mathematica grafique e u mismo gráfico las fucioes: 8 = ) ( f ) f( 9 8 = ) ( f ) f( = ) ( f ) f( = ) ( f ) f( etc. E la figura 0 mostramos el gráfico obteido para f,,,, y f (dode hemos usado ( ) f ( ) f 5 ( ) f 7 ( ) f 9 ( ) ( ) = y L = 0), f () f () f 5 () f 7 ()

23 f 9 () f () Figura 0: Desarrollo de Fourier de la fució f( ) Gráfico de las fucioes f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) 5 7, f ( ) 9 y f ( ). Observe como a medida que agregamos más modos más se parece, el desarrollo e serie, al diete de sierra. El gráfico de f ( ) 9 ya resulta ua muy buea aproimació, salvo el redodeo del borde, y mejora otablemete e el gráfico de f ( ). Ua forma habitual e que puede maejarse la iformació obteida, respecto a la amplitud co que cotribuye cada modo a la oscilació total, es co el gráfico mostrado e la figura. E dode e el eje hemos idetificado las frecuecias, mietras sobre el eje y hemos idetificado la amplitud correspodiete a cada modo. mplitud ω ω frecuecia ω5 ω7 Figura : Espectro de frecuecias del desarrollo de Fourier de la fució f( ). Puede verse que el modo fudametal es el que cotribuye e mayor itesidad, mietras que ya el oveo armóico puede llegar a despreciarse e algua aproimació. Notar que la amplitud es meor para modos más altos, esto resulta lógico desde el puto de vista eergético, ya que segú vimos e la guía teórica 5, la eergía de ua oda estacioaria crece a medida que aumeta la frecuecia de oscilació y la amplitud. La eergía de cada modo es, E = m f 8 dode f = f, usado que = ( ) ( )/, etoces la eergía de cada modo resulta, mf E = 8, lo que os está idicado que la eergía que le correspode a cada modo (e el diete de sierra) dismiuye como la iversa del cuadrado del úmero del modo. 4

24 Timbre y cosoacia. E base a lo apredido podemos eteder alguos coceptos utilizados frecuetemete e música, como por ejemplo, el timbre de ua ota, la cosoacia de otas y la disoacia. El timbre de ua ota musical lo determia la amplitud relativa co que participa cada armóico e el soido total. Ua ota co el primer armóico, solamete, es ua ota pura, mietras que ua ota co muchos armóicos es ua ota rica. U violí produce ua proporció de armóicos diferete de la que produce u oboe, para la misma ota, es decir, produce otas co diferete timbre. El tamaño y la forma de la caja de resoacia caracteriza el soido que emite cada istrumeto. E los gráficos de la figura se muestra el espectro de frecuecias correspodiete a u violí y a u diapasó. Vemos que muchas so las frecuecias que coforma el soido de ua dada ota de violí. Se observa cuatro frecuecias que participa co mayor amplitud, pero vemos tambié que aparece u cotiuo de frecuecias. Más aú, los picos o so líeas como las que vimos e el desarrollo de Fourier de la cuerda, aquí aparece picos co u cierto acho, o etoro de frecuecias, cercaas a la de mayor amplitud. E cambio, e el caso del diapasó hay ua frecuecia domiate, la ota es casi pura, auque o del todo, ya que vemos que o es ua líea, sio u pico, co u cierto acho. Nivel de soido Violí 440Hz 880Hz 0Hz 760Hz Frecuecia e Hz Nivel de soido Diapasó Frecuecia e Hz Figura : Espectro de frecuecias del soido de ua ota de violí y de u diapasó. Mietras que la ota del violí es rica e frecuecias, la ota del diapasó es casi pura. Podemos fabricar diversas otas si coectamos osciladores a u altoparlate (que geera frecuecias casi puras). Deberíamos escoger las frecuecias de los osciladores de maera que tega los valores f, f, f, etc. (armóicos). justado etoces el cotrol de volume de cada oscilador, podemos seleccioar la amplitud co que participa cada armóico, y por cosiguiete producir otas de diferete timbre (piao, violí, guitarra, etc.). 5

25 Decimos que dos otas so cosoates cuado tiee armóicos de la misma frecuecia, por ejemplo, que el primer armóico de ua ota cocuerde co el segudo armóico de la otra (por supuesto si esto se cumple cocordará muchos más armóicos, verifique). Dos otas so disoates si sus armóicos superiores (primer armóico, segudo, tercero, etc.) tiee frecuecias cercaas, pero lo bastate separadas como para que haya pulsacioes rápidas etre las dos (el tema pulsacioes o batidos se estudia e el capítulo siguiete). Por algua razó que o coocemos, las otas cosoates resulta agradables a uestros tidos, mietras que las disoates o. 7. Recomedado. Repita los cálculos hechos, e la guía aterior, pero para el caso de ua deformació iicial (de la cuerda de logitud L) del tipo oda cuadrada, como la mostrada e la figura. Discuta sobre su realidad física. Se ecita el modo fudametal?. Discuta. proime a la fució cuadrada por su desarrollo de Fourier para diferetes ordees, grafique la fució aproimada y compare co la origial. f() Fig. L L - Resp f( ) = dode = L y = 8. Recomedado. Supoga que posee u geerador de audio, cuya frecuecia de salida es posible variar, detro de cierto rago. Supoga además que el geerador tiee dos opcioes, las cuales puede seleccioarse por medio de ua perilla, geera ua oda siusoidal o ua oda cuadrada. Co el geerador de audio desea ecitar el modo resoate de u sistema masaresorte de frecuecia atural f 0 = = 60Hz. ω0 a) Si el geerador fucioa e el modo siusoidal, cual debería ser la frecuecia de salida para que el sistema masa-resorte resuee. Resp. f = f 0 = 60Hz b) Muestre que si el geerador etrega ua oda cuadrada de frecuecia f f = 0 = 0Hz el sistema masa-resorte resuea. Discuta. yuda: alice deteidamete el desarrollo de Fourier de ua oda cuadrada dado e el problema aterior. Discuta. 6

26 Bibliografía : Física Vol., Tipler. Ed. Reverté. Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill. Itroducció al estudio de la mecáica, materia y odas. U. Igard y W.L. Kraushaar, Ed. Reverté. Física, Mecáica, odas y termodiámica Vol., D.E.Roller ad R.Blum. Ed. Reverté. Odas, Curso de Física de Berkeley, Vol. Ed. Reverté. Física, Mecáica Vol., M. loso y E.J. Fi, Ed. ddiso-wesley Iberoamericaa. Física Vol., Feyma. Ed. ddiso-wesley Iberoamericaa 7