Análisis Funcional No Lineal curso 2006/07. JESÚS GARCIA FALSET Departament d Anàlisi Matemàtica

Transcripción

1 Análisis Funcionl No Linel curso 2006/07 JESÚS GARCIA FALSET Deprtment d Anàlisi Mtemàtic 23 de junio de 2007

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3 Índice generl Introducción 5 1. L diferencil de Gâteux y de Fréchet Introdución Diferencil de Gâteux Diferencil de Fréchet Relción entre ls dos diferenciles Extremos locles Extremos locles sobre conjuntos biertos Problems Métodos vricionles en optimizción Funcionles de Lgrnge Lems vricionles Ecución de Euler-Lgrnge Extremos locles en conjuntos generles Csos especiles Condiciones suficientes pr un mínimo Funciones convexs Funcionles de Lgrnge convexos Extremos condiciondos Problem de Lgrnge de extremos fijos Problems Problems isoperimétricos Principio de Contrcción de Bnch Introducción Teorem del punto fijo de Bnch Aplicciones del principio de contrcción

4 4 ÍNDICE GENERAL El método de Picrd-Lindelöf Aplicciones no expnsivs Problems Ecuciones integrles Los Teorems de Brouwer y Schuder El teorem de Brouwer Consecuencis del teorem de Brouwer El Teorem de Schuder Compcidd en espcios normdos L medid de no compcidd de Kurtowski Principio de Lery-Schuder Aplicciones condensntes Aplicciones Teorem de Peno Problems Soluciones de ecuciones integrles Aplicciones dmitiendo un centro Aplicciones Multivluds Introducción Considerciones generles L métric de Husdorff Conjuntos utosimilres Contrcciones multivluds El teorem de Kkutni Introducción l Teorí de Juegos Cso de juegos de sum nul El teorem de min-mx de von Neumnn Bibliogrfí 129

5 Introducción El Análisis funcionl no linel puede ser entendido como un trtmiento bstrcto unificdo, con métodos propios, de ciertos problems de Topologí, Análisis funcionl y Mtemátic plicd. Simplificndo mucho, se trt del estudio de ecuciones no lineles en espcios normdos (tnto desde el punto de vist de l existenci de solución como del cálculo efectivo de l mism, o de un proximción) sí como del trtmiento de problems de optimizción, en los que l función optimizr y ls restricciones, si ls hy, son de crácter no linel. Aquí se introducirá l lector en dos tópicos prdigmáticos dentro de est rm de ls mtemátics: (). Métodos vricionles en optimizción. (b). Teorí del punto fijo. Métodos vricionles. Los fundmentos del Cálculo de Vriciones fueron ddos en los siglos XVII y XVIII por Bernouilli, Euler, Legendre y Jcobi. Est rm de ls mtemátics intent solucionr cierts clses de problems de máximos y mínimos, ls cules tienen en comun el hecho de que cd uno de ells está socid con determinds expresiones integrles. El ejemplo más sencillo de uno de estos problems es el siguiente: Se f : R 3 R un función de clse C 2, y denotmos, como es usul C 1 ([, b]) l funciones con derivd continu en [, b]. Dd un función φ C 1 ([, b]), definimos el funcionl: F (φ) := f(t, φ(t), φ (t))dt. Entonces F es un función rel sobre C 1 ([, b]). El problem consiste en encontrr un función ψ C 1 ([, b]) de form que F (ψ) se el vlor máximo o mínimo de F sujeto l restricción de que el vlor de ψ en los puntos inicil y finl este predetermindo. 5

6 6 INTRODUCCIÓN Ejemplo Consideremos tods ls funciones de clse C 1 [, b] tl que tienen vlores fijos en los extremos del intervlo [, b]. Entonces sus gráfics se pueden considerr como tryectoris que unen dos puntos del plno. L pregunt es: Cul es l función cuy tryectori tiene longitud mínim? Está clro que l longitud de l gráfic de un función en ests circunstncis viene dd por: l(g(φ)) := 1 + φ 2 (t)dt. Con lo cul podemos definir l función f(x, y, z) = 1 + z 2 y entonces el problem se reduce encontrr el mínimo de l función F (φ) := f(t, φ(t), φ (t))dt, con ls restricciones de que φ teng determindos vlores prefijdos en los extremos del intervlo [, b]. Desde un punto de vist histórico, quizás el más fmoso de estos problems consiste en encontrr el mínimo tiempo en que puede descender, por l cción de l grvedd, un pequeñ cuent de collr ensrtd en un lmbre que une un punto con otro cercno y más bjo. El tiempo que l cuent trd en completr el descenso depende de l form del lmbre trvés del cul se desliz. ( Nturlmente, no se consider l influenci del rozmiento, etc). Este problem clásico se conoce como problem de l brquistócron. Ejemplo (Brquistócron) Se trt de clculr el tiempo de descenso de un cuent que se desliz sin rozmiento trvés de un lmbre que une dos puntos prefijdos. Podemos representr el lmbre como un curv diferencible y = ϕ(x) en el plno (x, y) que une los puntos P 0 = (x 0, y 0 ), P 1 = (x 1, y 1 ). Por simplicidd supondremos y 0 > y 1 > 0 x 0 < x 1, y llmremos g l celerción de l grvedd. Se T (x) el tiempo que trd l cuent en lcnzr el punto de l curv (x, ϕ(x)). Nturlmente T : [x 0, x 1 ] R, y T (x 0 ) = 0. Se v(x) l celeridd de l cuent en el punto (x, ϕ(x)). Si l cuent prte del reposo, v(x 0 ) = 0.

7 INTRODUCCIÓN 7 Si proximmos, pr h pequeño, el rco de l curv entre los puntos (x, ϕ(x)), (x + h, ϕ(x + h)) por el segmento rectilíneo que los une, y suponemos recorrido este segmento celeridd constnte v(x), tendremos: h v(x) 2 + (ϕ(x + h) ϕ(x)) 2 T (x + h) T (x) es decir T (x + h) T (x) h 1 + ( ϕ(x+h) ϕ(x) h ) 2 v(x) lo que nos dice que T es derivble en x con derivd: 1 + (ϕ T (x) = (x)) 2. v(x) Por otr prte, l cuent en l posición (x, ϕ(x)) tendrá energí cinétic y energí potencil 1 2 mv(x)2 mgϕ(x), donde m es l ms del cuerpo que desciende. L ley de conservción de l energí impone que l sum de mbs energís permnezc constnte en cd punto del recorrido. En prticulr, si l cuent está en reposo en P 0, tendrá en dicho punto energí cinétic inicil nul y energí potencil mgy 0 por lo que pr cd x en [x 0, x 1 ], y resultrá Con lo cul, 1 2 mv(x)2 + mgϕ(x) = mgy 0 v(x) = 2g(y 0 ϕ(x)). 1 + ϕ T (x) = (x) 2 2g(y0 ϕ(x)) Por tnto, suponiendo que l función nterior T se bsolutmente continu, es decir que cumpl l iguldd: T (x 1 ) T (x 0 ) = x1 x 0 T (x)dx,

8 8 INTRODUCCIÓN el tiempo totl de descenso T será: T = T (x 1 ) T (x 0 ) = x1 x ϕ (x) 2 2g(y0 ϕ(x)) dx. Este tiempo depende de ϕ y puede ser considerdo como un funcionl T (ϕ) con dominio D(T ) ddo por el conjunto de funciones continumente diferencibles sobre [x 0, x 1 ] verificndo ls condiciones de fronter ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ(x 1 ) = y 1, tles que exist y se finit l integrl x1 1 + ϕ T (ϕ) := (x) 2 2g(y0 ϕ(x)) dx. x 0 El plntemiento inicil del problem oblig que l curv y = ϕ(x) que minimice el tiempo de descenso, pse por los puntos P 0 y P 1, lo cul podemos trducirlo diciendo que ϕ h de pertenecer D(T ) y verificr ls restricciones ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ(x 1 ) = y 1. Est clro que estmos nte un problem de minimizr el funcionl donde f(x, y, z) = F (ϕ) = 1+z 2 2g(y0 y). x1 x 0 f(t, ϕ(t), ϕ (t))dt Est función f está definid en el bierto de R 3 G := R (, y 0 ) R Con lo cul si queremos minimizr el funcionl F lo tendremos que hcer sobre el conjunto D G := {ϕ C 1 ([x 0, x 1 ]) : t [x 0, x 1 ], (t, ϕ(t), ϕ (t) G}. Pr simplificr los cálculos podemos suponer, sin pérdid de generlidd, que P = (0, 0) y el punto Q = (x 1, y 1 ) tiene coordends x 1 > 0 e y 1 < 0. En ests circunstncis el problem de l Brquistocron se reduce estudir l existenci de mínimos del funcionl: sobre el conjunto F (ϕ) = 1 2g x1 D G := {ϕ C 1 ([x 0, x 1 ]) : t [x 0, x 1 ], Siendo G = R (0, + ) R ϕ (x) 2 dx ϕ(x) (t, ϕ(t), ϕ (t) G}.

9 INTRODUCCIÓN 9 En este curso, trtremos problems del tipo de los ejemplos nteriores, dndo resultdos que nos permitn sber cundo dichos problems tienen solución y cómo obtener dich solución. Teorems de punto fijo L ecución x 3 + 3x 2 + 5x + 1 = 0 no es más que un problem, (el de encontrr los números reles o complejos) x de form que l ecución nterior se trnsforme en un identidd. De igul modo, l ecución diferencil y 3y + y = 0 tmbién es un problem, quizá plntedo con menos precisión, que trt de encontrr ls funciones y, de un vrible rel t, de form que sen dos veces derivbles en su dominio D y cumpliendo que y (t) 3y (t) + y(t) = 0 pr todo t D. L imprecisión está en no concretr el conjunto de funciones donde se busc l solución. Ests ecuciones (numéric l primer y funcionl l segund) i.e., estos problems, pueden plnterse de mner unificd como csos prticulres de un situción bstrct muy generl. Consideremos l función T : R R definid por Un número rel x 0 que verific debe cumplir que T (x) = x 3 + 3x 2 + 6x + 1. x 0 = T (x 0 ) = x x x x x x = 0, es decir, es un solución de l primer ecución que hemos introducido. De igul modo, un función y(t) verificrá y(t) = y (t) + 3y (t) pr todo t de su dominio, si y sólmente si, es solución de l ecución diferencil nteriormente introducid. Luego, si definimos l plicción T que cd función y de un cierto conjunto de funciones M soci l función T (y) = y + 3y

10 10 INTRODUCCIÓN entonces y M es solución de l ecución diferencil nterior sii T (y) = y. Vemos pues que buscr l solución de un ecución en un conjunto puede ser lo mismo que buscr elementos de este conjunto que se trnsformen en sí mismos medinte un plicción determind. Definición Si M es un conjunto no vcío y T : M M es un plicción, un punto x M que se plic en sí mismo, es decir que T (x) = x se llm punto fijo o punto invrinte de T en M. Los ejemplos nteriores sugieren que l existenci de puntos fijos de lguns plicciones está intimmente relciond con l existenci de soluciones de cierts ecuciones, numérics y funcionles. Si T : M M es un plicción, pr tener lgún resultdo generl que grntice (en M) l existenci de puntos fijos de T, hy que imponer lguns condiciones tnto l plicción T como l conjunto M. Estos resultdos se llmn resultdos de punto fijo. Unos teorems de punto fijo usn propieddes topológics de M y de T. Así surge l Teorí topológic del punto fijo. Otros teorems de punto fijo usn propieddes métrics de T o/y de M. De este modo surge l Teorí métric del punto fijo. En este curso, trtremos el teorem del punto fijo de Bnch como ejemplo más relevnte de l teorí métric y los teorems de Brouwer y Schuder como ejemplos de l teorí topológic.

11 Cpítulo 1 L diferencil de Gâteux y de Fréchet Introdución. L Teorí de l diferencición en espcios de dimensión infinit tiene sus comienzos en 1887 con V. Volterr, l considerr éste ls derivds vricionles de funciones de C([, b]) en R. Un de ls más importntes motivciones pr el desrrollo del Cálculo Diferencil en espcios de dimensión infinit proviene de l teorí clásic del Cálculo de Vriciones. L necesidd de desrrollr un teorí de l diferencición en espcios de dimensión infinit, prece ser que, l puso de mnifiesto J. Hdmrd. Est tre l iniciron sus discipulos M. Fréchet y M.R. Gâteux. L propuest de este cpítulo consiste en dr un exposición del Cálculo diferencil en dimensión infinit que posteriormente será de utilidd pr el estudio del Cálculo de Vriciones Diferencil de Gâteux. Se X un espcio normdo, U un bierto no vcío de X. Se F : U X R un función. Fijdo un vector no nulo h X y u 0 U, como U es un conjunto bierto existirá δ > 0 tl que si t < δ, entonces u 0 + th U. Por lo tnto, si demás t 0 tiene sentido escribir: F (u 0 + th) F (u 0 ). t 11

12 12 CAPÍTULO 1. LA DIFERENCIAL DE GÂTEAUX Y DE FRÉCHET. Definición Si existe y es finito el siguiente límite: lím t 0 F (u 0 + th) F (u 0 ), t se llmrá derivd de Gâteux de F en l dirección h X en el punto u 0 U. Como el límite de un función si existe es único, entonces un función puede tener lo sumo un derivd de Gâteux en el punto u 0 y en l dirección h X. Usremos l notción δf (u 0, h) pr referirnos l límite nterior. Es nturl convenir que δf (u 0, 0) = 0. Observción El vlor de δf (u 0, h) es l derivd direccionl de F en u 0 en l dirección de h y por lo tnto, l derivd de Gâteux nterior se puede considerr un generlizción de ls derivds direccionles del Cálculo diferencil de vris vribles. L vrición de Gâteux de F en un punto depende sólmente del comportmiento locl de F cerc del punto. Además, l vrición de Gâteux es un operción linel, en el sentido de que si F y G tienen vrición de Gâteux en un punto u 0 en l dirección h entonces, δ(αf + βg)(u 0, h) = αδf (u 0, h) + βδg(u 0, h). Puede suceder que exist δf (u 0, h) pr todo h X, o en otrs plbrs que l plicción h δf (u 0, h) teng por dominio todo X. En este cso, si l plicción h δf (u 0, h) es linel y continu, ( es decir si pertenece l dul topológico de X) diremos que F es diferencible en el sentido de Gâteux en u 0 y pr referirnos est plicción usremos l notción F (u 0 ) : X R tl que F (u 0 )(h) := δf (u 0, h). Observción El concepto de función diferencible Gâteux no es completmente generl. Así hy quien distingue el cso en que el dominio de l función nterior se todo el espcio, diciendo entonces que l función es diferencible Gâteux y quien, como nosotros, solo en el cso en que demás se continu y linel diremos que F es diferencible Gâteux. Ejemplo Se X un espcio normdo y definimos l función F : X R definid por F (x) = x 2. Si h X es no nulo, y tommos u 0 = 0 se tiene que

13 1.2. DIFERENCIAL DE GÂTEAUX. 13 t 2 h 2 δf (0, h) = lím t 0 t con lo cul F es diferencible en el sentido de Gâteux en u 0 = 0 y demás su diferencil es l función identicmente nul. = 0 Ejemplo Se X un espcio normdo y definimos l función F : X R definid por F (x) = x. Si h X es no nulo, y tommos u 0 = 0 se tiene que t h δf (0, h) = lím. t 0 t Es clro que el límite nterior no existe, por lo tnto el funcionl F no tiene derivd de Gâteux en ningun dirección en el punto u 0 = 0. Ejemplo Consideremos el espcio de Bnch X := C([, b]) con su norm usul y consideremos el funcionl J : X R definido por J(y) = (sin 3 (x) + y 2 (x))dx, el cul está definido en todo X. Vemos hor l vrición de Gâteux en un dirección v y en un punto y. Tenemos que evlur: J(y + tv) J(y) t = 1 t [(y + tv) 2 (x) y 2 (x)]dx = 1 t Con lo cul se tiene que [y 2 (x) + 2ty(x)v(x) + t 2 v 2 (x) y 2 (x)]dx = 2 y(x)v(x)dx + t δj(y, v) = 2 v 2 (x)dx. y(x)v(x)dx. Esto signific que existe l derivd de Gâteux en tod dirección y demás es un plicción linel y continu por lo tnto es Gâteux diferencible.

14 14 CAPÍTULO 1. LA DIFERENCIAL DE GÂTEAUX Y DE FRÉCHET Diferencil de Fréchet. Definición Se dice que F es diferencible en u 0 en el sentido de Frechet si existe un plicción linel y continu L : X R tl que F (u 0 + h) F (u 0 ) L(h) 0 = lím. h 0 h Proposición L plicción linel y continu L que verific l definición nterior, en cso de existir es únic. Prueb. Supongmos que L y S sen dos plicciones en ls condiciones de l definición nterior y consideremos w S X. En este cso, se tendrá que pr todo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que si, t R y 0 < t < δ, entonces u 0 + tw U y F (u 0 + tw) F (u 0 ) L(tw) < ɛ tw = ɛ t y existe δ > 0 tl que si 0 < t < δ, entonces u 0 + tw U y F (u 0 + tw) F (u 0 ) S(tw) < ɛ tw = ɛ t Con lo cul, pr t < mín{δ, δ } consecuentemente L(tw) S(tw) < 2ɛ t, L(w) S(w) < 2ɛ,. Como ɛ > 0 es rbitrrio, se debe cumplir que L(w) = S(w). Pero dos plicciones lineles y continus que coinciden sobre l esfer unidd de X hn de ser igules. Si F es diferencible en u 0, l unicidd que nos proporcion l proposición nterior nos permite. Definición LLmremos diferencil de Fréchet de l función F en el punto u 0 l únic plicción linel y continu L que verific l definición nterior. Se denotrá por DF (u 0 ). Ejemplo Se (X,. ) un espcio normdo, pr l función rel F : X R definid por F (x) = x 2, se tiene que F es diferencible en el

15 1.4. RELACIÓN ENTRE LAS DOS DIFERENCIALES. 15 origen, con diferencil DF (0) =, ( donde represent l plicción linel nul sobre X). En efecto, F (0 + h) F (0) (h) h 2 lím = lím h 0 h h 0 h = 0. Nturlmente si X es de dimensión finit l diferencil de Fréchet de un función es l diferencil ordinri y vicevers y que, tod plicción linel entre espcios de dimensión finit es continu. Teorem Se F : U X R un función diferencible Fréchet en u 0 U, entonces F es continu en dicho punto. Prueb. Como U es un bierto existirá δ > 0 tl que si h < δ, entonces u 0 +h U. Pr h en ls condiciones nteriores se tiene: F (u 0 + h) F (u 0 ) = h F (u 0 + h) F (u 0 ) DF (u 0 )(h) h Como DF (u 0 ) es linel y continu se cumplirá que Por lo tnto, lím DF (u 0)(h) = 0. h 0 lím F (u 0 + h) = F (u 0 ). h 0 + D(F (u 0 )(h) L propiedd que se list seguidmente se demuestr de l mism form que en dimensión finit, dptndo ligermente l prueb. Si F 1, F 2 : U R son Fréchet diferencibles en u 0 y α, β son números reles, entonces αf 1 + βf 2 es diferencible en u 0 con D(αF 1 + βf 2 )(u 0 ) = αdf 1 (u 0 ) + βdf 2 (u 0 ) Relción entre ls dos diferenciles. Proposición Se F : U X R un función diferencible en el sentido de Fréchet en u 0 entonces, F es diferencible en el sentido de Gâteux en ese punto, y demás DF (u 0 ) = F (u 0 ).

16 16 CAPÍTULO 1. LA DIFERENCIAL DE GÂTEAUX Y DE FRÉCHET. Prueb. Se h X un vector no nulo. Queremos ver que existe δf (u 0, h) y que es igul DF (u 0 )(h). En efecto, como F es diferencible Fréchet sbemos que DF (u 0 ) X con lo cul fijdo h se tendrá que lo cul implic que y por lo tnto F (u 0 + th) F (u 0 ) DF (u 0 )(th) lím = 0, t 0 th 0 = lím t t 0 t F (u 0 + th) F (u 0 ) tdf (u 0 )(h) t h lím (F (u 0 + th) F (u 0 ) DF (u 0 )(h)) = 0. t 0 t Esto signific que existe δf (u 0, h) = DF (u 0 )(h). Como demás, DF (u 0 ) es linel y continu y tenemos el resultdo. Ejemplo F (x, y) = xy3 si (x, y) (0, 0) y F (0, 0) = 0. Es un x 2 +y 6 ejercicio sencillo ver que est función no es continu en el punto (0, 0) y por lo tnto no puede ser diferencible Fréchet en dicho punto. Sin embrgo, ls derivds direccionles son tods nuls, y por lo tnto l función es diferencible Gâteux en el origen. Como pone de mnifiesto el ejemplo nterior el recíproco l proposición nterior no se verific. No obstnte, si F es Gâteux diferencible en u 0 y si l iguldd F (u 0 + tv) F (u 0 ) lím = F (u 0 )(v) t 0 t se verific uniformemente en v S X, entonces F es Fréchet diferencible en u 0 con DF (u 0 ) = F (u 0 ). En efecto, ddo culquier h X no nulo, se tiene que F (u 0 + t h h lím ) F (u 0) = F (u 0 )( h t 0 t h ) se verific uniformemente en h. Esto signific que ddo ɛ > 0 existe δ > 0 de form que pr culquier vector no nulo h X, si 0 < t < δ F (u 0 + t h h ) F (u 0) F (u 0 )( h t h ) < ɛ = 0

17 1.4. RELACIÓN ENTRE LAS DOS DIFERENCIALES. 17 Luego si w X es tl que 0 < w < δ entonces o lo que es lo mismo, F (u 0 + w w w ) F (u 0) F (u 0 )( w w w ) < ɛ F (u 0 + w) F (u 0 ) F (u 0 )(w) < ɛ w. Luego F es Fréchet diferencible en u 0, y por unicidd, DF (u 0 ) = F (u 0 ). El siguiente resultdo es l extensión de l condición suficiente de diferencibilidd, i.e.; que tod función de clse C 1 es diferencible. Teorem Se F : U R. Si L diferencil de Gâteux F (v) existe en lgún entorno de x U y es continu en x, entonces F es diferencible Fréchet en x y demás, DF (x) = F (x). Prueb. Escribimos pr h X w(x, h) = F (x + h) F (x) F (x)(h). Como F está definid en lgún entorno de x, existirá δ > 0 tl que w(x, h) tiene sentido siempre que h < δ. Consideremos l función rel de vrible rel H(t) = F (x + th) tf (x)(h). H(t) tiene sentido pr todo t [0, 1]. Además, Luego H(1) H(0) = F (x + h) F (x)(h) F (x) = w(x, h) Observr que, si τ ]0, 1[ y s es suficientemente pequeño, H(τ + s) H(τ) = F (x + (τ + s)h) F (x + τh) sf (x)(h). H 1 (τ) = lím s 0 s [H(τ + s) H(τ)] = F (x + τh)(h) F (x)(h) existirá pr τ ]0, 1[, ( siempre que h < δ).

18 18 CAPÍTULO 1. LA DIFERENCIAL DE GÂTEAUX Y DE FRÉCHET. Desde luego, H es continu en 0, en efecto, H(s) H(0) = F (x+sh) sf (x)(h) F (x) = s y por l definición de derivd de Gâteux se puede concluir que lím H(s) = H(0). s 0 + De igul modo podemos ver que H es continu en 1, y que F (x + sh) F (x) F (x)(h), s F (x + h + (s 1)h) F (x + h) H(s) H(1) = s 1 F (x)(h) s 1 Luego de l definición de Gâteux diferencibele se obtiene que lím H(s) = H(1). s 1 Con lo cul, podemos plicr el teorem del vlor medio l función H en el intervlo [0, 1]. Existe τ = τ(h) ]0, 1[ con Entonces, w(x, h) = H(1) H(0) = H (τ) = F (x + τh)(h) F (x)(h) w(x, h) = F (x + τh)(h) F (x)(h) F (x + τh) F (x) h. por lo que, si 0 < h < δ w(x, h) h F (x + τh) F (x). Siendo continu F existirá δ 1 con 0 < δ 1 < δ de modo que, ddo culquier ɛ > 0, si 0 < h < δ 1 w(x, h) h F (x + τh) F (x) < ɛ. Lo que prueb que F es Fréchet diferencible en x.

19 1.5. EXTREMOS LOCALES Extremos locles Extremos locles sobre conjuntos biertos. Definición Se X un espcio normdo y se F : Ω X R un función rel con dominio el bierto Ω. Se dice que F tiene un mínimo locl ( máximo locl ) en x 0 Ω, si existe ɛ > 0 tl que pr cd x B(x 0, ɛ) Ω F (x) F (x 0 ) ( F (x) F (x 0 )). Pr el estudio de extremos locles de funciones de vris vribles reles, sbemos que el cálculo diferencil ordinrio nos proporcion much informción. Veremos hor cómo podemos utilizr los conceptos que hemos introducido en los prtdos nteriores. Proposición Se X un espcio normdo y D un subconjunto bierto y no vcío de X. Si un funcionl F : D R tiene un extremo locl en x D, y demás F tiene vrición de Gâteux en x, entonces δf (x 0, h) = 0, pr todo h X. Prueb. Supongmos, sin perdidd de generlidd, que x es un mínimo locl de F en D, entonces existirá δ > 0 tl que x + th D siempre que t < δ y demás F (x + th) F (x). Por tnto, F (x + th) F (x) 0 pr t > 0 t F (x + th) F (x) 0 pr t < 0 t y como F tiene vrición de Gâteux en el extremo locl, sbemos que existe δf (x, h) y esto signific que los límites lterles existen y son igules, con lo cul δf (x, h) = 0. L proposición que cbmos de presentr nos dá un condición necesri de extremo locl. Sin embrgo, qued muy lejos, como pone de mnifiesto el cso de funciones reles de vris vribles, que ést se un condición suficiente. Seguidmente veremos como pr funcionles convexos si que tenemos un condición suficiente. Recordemos que un funcionl convexo f : D X R, donde D es un subconjunto convexo de un espcio normdo X es un función que cumple: f(αx + (1 α)y) αf(x) + (1 α)f(y), α [0, 1], x, y D.

20 20 CAPÍTULO 1. LA DIFERENCIAL DE GÂTEAUX Y DE FRÉCHET. Proposición Se X un espcio normdo y D un subconjunto bierto y no vcío de X. Si un funcionl convexo ( esto significrá que es convexo sobre los subconjuntos convexos de D) F : D R si existe x D tl que δf (x 0, h) = 0, pr todo h X. Entonces x es un mínimo locl de F en D. Prueb Como D es bierto entonces existirá un bol centrd en x y contenid en D, llmemosl B, como tod bol es un conjunto convexo, podemos firmr que F es convexo sobre l bol B. ( Los puntos de B se pueden escribir como x + h pr h suficientemente pequeñ. Como F (x + th) F (x) 0 = δf (x, h) = lím = t 0 + t Luego, x es un mínimo locl. F ((1 t)x + t(x + h)) F (x) lím t 0 + t (1 t)f (x) + tf (x + h) F (x) lím = t 0 + t F (t + h) F (x) Observción Si en l proposición nterior suponemos que D es convexo, entonces obtenemos que x es un mínimo bsoluto de F sobre D. Si mirmos con tención l prueb de l últim proposición, se desprende que si F es un funcionl convexo sobre D, entonces F (x + v) F (x) δf (x, v), siempre que y + v D. Ejemplo Vmos clculr los mínimos bsolutos del funcionl F : C([, b]) R definido por F (y) := [sin 3 (x) + y 2 (x)]dx. Clrmente F es un funcionl convexo definido en todo el espcio C([, b]), con lo cul su dominio es un conjunto bierto y convexo. Por otr prte, según muestr el ejemplo éste funcionl es Gâteux diferencible en todo punto y demás su diferencil de Gâteux viene dd por: δf (y, v) = 2 y(x)v(x)dx, y, v C([, b]).

21 1.5. EXTREMOS LOCALES. 21 De este modo, por l proposición y l observción 1.5.4, los mínimos bsolutos de este funcionl vienen ddos por los puntos y C([, b]) tl que δf (y, v) = 0 pr todo v C([, b]). Consecuentemente nos tenemos que plnter l ecución 2 y(x)v(x)dx = 0, v C([, b]). (1.1) Es evidente que l función identicmente igul cero (y(x) = 0 x [, b]) verific l ecución (1.1). Además es fácil deducir que es l únic función que l verific (esto lo veremos con más detlle en el siguiente cpítulo, en los lems vricionles). Definición Se X un espcio normdo, U un bierto no vcío de X. Se F : U R un funcionl de form que tiene vrición de Gâteux en culquier punto de U. Ddo x 0 U y ddo h X \ {0} se llm vrición de Gâteux segund en el punto x 0 y en l dirección h l vlor del siguiente límite siempre que exist: δ 2 δf (x 0 + sh, h) δf (x 0, h) F (x 0, h) = lím. s 0 s Teorem (Teorem de Tylor) Se X un espcio normdo y U un subconjunto bierto de X. Supongmos que u 0 U y que el segmento de extremos u 0, u 0 +h está contenido en U. Supongmos demás que J : U R es dos veces Gâteux-derivble en todo punto del segmento nterior. Entonces existe c en el segmento de extremos u 0 y u 0 + h tl que J(u 0 + h) = J(u 0 ) + δj(u 0, h) δ2 J(c, h). Prueb. Se f :] r, 1 + r[ R l función dd por f(t) := J(u 0 + th) Sbemos que, por suponer que J es dos veces G-derivble en los puntos del segmento, estmos firmndo que f es derivble en [0, 1] y que; f(t + s) f(t) J(u 0 + th + sh) J(u 0 + th) lím = lím = δj(u 0 + th, h). s 0 s s 0 s Además, f (t + s) f (t) s = δj(u 0 + th + sh, h) δj(u 0 + th, h) s

22 22 CAPÍTULO 1. LA DIFERENCIAL DE GÂTEAUX Y DE FRÉCHET. por lo que f (t) = δ 2 J(u 0 + th, h) Aplicndo l fórmul de Mc Lurin l función f tendremos que existirá θ (0, 1) con Con lo cul, f(1) = f(0) + f (0) f (θ). J(u 0 + h) = J(u 0 ) + δj(u 0, h) δ2 J(u 0 + θh, h). Teorem Se F : U R un funcionl. El funcionl F tiene en u 0 U un mínimo locl siempre que: (i) δf (u 0, h) = 0 pr cd h X. (ii) h X, δ 2 F (u, h) en un entorno de u 0 y demás existe un constnte positiv c tl que δ 2 F (u 0, h) c h 2 h X. (iii) Ddo ɛ > 0existe µ > 0 (dependiendo de ɛ) tl que δ 2 F (u, h) δ 2 F (u 0, h) ɛ h 2 pr culquier u, h X con u u 0 µ. Prueb. Definimos l función f(t) = F (u 0 + th). Ptr t lo suficientemente pequeño sbemos, ver l demostrción del teorem de Tylor, que f (t) = δf (u 0 + th, h), f (t) = δ 2 F (u 0 + th, h). Luego ls hipótesis que estmos hciendo sobre l existenci de l vrición segund de F nos permiten plicr el teorem de Tylor nterior pr obtener que existe θ ]0, 1[ tl que F (u 0 + h) F (u 0 ) = 1 2 δ2 F (u 0 + θh, h) = 1 2 δ2 F (u 0, h) [δ2 F (u 0 + θh, h) δ 2 F (u 0, h)] 1 2 c h [δ2 F (u 0 + θh, h) δ 2 F (u 0, h)] Si dmos ɛ = c 4 en l condición (iii) del enuncido, existirá µ > 0 tl que

23 1.5. EXTREMOS LOCALES. 23 δ 2 F (u, h) δ 2 F (u 0, h) c 2 h 2 siempre que u u 0 < µ. Si en prticulr, tommos h tl que h < µ, entonces u 0 + θh u 0 h < µ, luego o lo que es lo mismo, δ 2 F (u 0 + θh, h) δ 2 F (u 0, h) c 2 h 2 c 2 h 2 < δ 2 F (u 0 + θh, h) δ 2 F (u 0, h) < c 2 h 2. Sustituyendo obtenemos F (u 0 + h) F (u 0 ) c 2 h 2 c 4 h 2 0 lo que prueb que F tiene un mínimo locl en u 0. El siguiente ejemplo pone de mnifiesto que ls condiciones que se imponen l segund derivd no son supérfugs, en el sentido de que su posivitividd sólo no segur que el punto crítico se un mínimo. Ejemplo Consideremos el funcionl J : l 2 R definido por J((x n )) = x 2 n n 3 x 4 n. n=1 Vemos que el origen no es un mínimo locl pr J, unque J (0) = 0 y que no obstnte J (0)(h, h) 0 pr todo h l 2. En efecto, El origen no es un mínimo locl y que n=1 J((0,..., 0, 1 n, 0,...)) = 1 n 5 1 n 4 < 0 = J(0). Ddos u = (u n ), h = (h n ) l 2, clculemos (u n + th n ) 2 J(u + th) = n=1 n 3 (u n + th n ) 4 = n=1 n=1 u 2 n + 2tu n h n + t 2 h 2 n n 3 (u 4 n + 4u 3 nth n + 6u 2 nt 2 h 2 n + 4u n t 3 h 3 n + t 4 h 4 n) = n=1

24 24 CAPÍTULO 1. LA DIFERENCIAL DE GÂTEAUX Y DE FRÉCHET. J(u) + t [ 2u nh n n 3 4u 3 nh n ] + t 2 [ h2 n n 3 6u2 nh 2 n 4u n th 3 n t 2 h 4 n] De donde, n=1 J(u + th) J(u) lím = t 0 t n=1 [ 2u nh n n 3 4u 3 nh n ] Luego existe δj(u, h) y demás l función h δ(u, h) es linel y continu en h. Puede escribirse donde J (u) es el vector de l 2, n=1 δj(u, h) = J (u), h ( 2u n n 3 4u3 n) En prticulr J (0) = 0. A prtir de quí podemos clculr l vrición segund en el origen: Como δj(0 + sh, h) δj(0, h) = 1 δj(sh, h) = s s = 1 [ 2sh nh n s n 3 4(sh n ) 3 h n ] entonces exisrirá n=1 δj(0 + sh, h) δj(0, h) lím = s 0 s n=1 2h 2 n n 3 Así pues, existe l diferencil segund de Gâteux en el origen y 1.6. Problems δ 2 J(0)(h, h) = n=1 2h 2 n n 3 0. Problem Se (X,. 2 ) el espcio C([0, 1]) con l norm ( 1 f 2 := f (t)dt) Probr que el funcionl J : X R definido por J(f) = f(0) es linel pero no es continuo en cd punto de X.

25 1.6. PROBLEMAS 25 Problem Se J : C([0, 1]) R definido, pr cd f C([0, 1]) por Probr que J es continuo. J(f) = 1 0 sin(x)f 3 (x)dx. Problem Se J : C 1 ([, b]) R definido, pr cd f C 1 ([, b]), por J(f) = [x 2 f (x) 2 ]dx. Hllr δj(f, h) pr culquier f, h C 1 ([, b]). Problem Se J : C([0, 1]) R un funcionl definido por J(f) = 1 0 [2 tn(x)(1 cos(x))f(x) f 2 (x)]dx. Clculr l derivd de Gâteux de J en todo punto y en tod dirección. Encontrr un máximo locl de J. Problem Se J : C([0, 2]) R un funcionl definido por J(f) = 2 0 [3x 5 12x 2 f(x) + 3xf(x) 2 + 2f(x) 3 ]dx. Obtener todos los posibles extremos locles.

26 26 CAPÍTULO 1. LA DIFERENCIAL DE GÂTEAUX Y DE FRÉCHET.

27 Cpítulo 2 Métodos vricionles en optimizción. Aunque l solución de Jkob Bernoulli de 1696 l problem de l brquistócron que le plnteó su hermno Johnn mrcó l introducción de ls considerciones vricionles, no fue hst los trbjos de Euler (1742) y de Lgrnge (1755) en que l hor conocid teorí sistemtic del Cálculo de vriciones emergió. Inicilmente, fue restringido encontrr condiciones necesris en orden que un función integrl F (y) = f(x, y(x), y (x))dx pudiese tener un extremo locl sobre el conjunto D {y C 1 ([, b]) : y() = 1 ; y(b) = b 1 } El estudio de encontrr condiciones necesris pr minimizr el problem plntedo rrib, será el objetivo principl de este cpítulo Funcionles de Lgrnge Como hemos visto en el cso de l Brquistócron los funcionles que precen deben ser minimizdos en conjuntos de l form: D G := {ϕ C 1 [, b] : t [, b], (t, ϕ(t), ϕ (t)) G} donde G es un bierto de R 3. 27

28 28 CAPÍTULO 2. MÉTODOS VARIACIONALES EN OPTIMIZACIÓN. Seguidmente probremos que D G es un bierto del espcio de Bnch (C 1 [, b],. ), ( donde [, b] es un intervlo compcto de l rect rel y donde l norm. se define por ϕ = ϕ + ϕ ) En efecto, si D G es vcío evidentemente es bierto. Si ϕ 0 D G, se M = {(t, ϕ 0 (t), ϕ 0(t)) : t [, b]} Por l continuidd de ls funciones ϕ 0 y ϕ 0 en el intervlo compcto [, b], el conjunto M será un compcto de R 3 contenido en el bierto G. Por lo tnto, existe r > 0 tl que B 1 (M, r) := {(t, x, y) : d 1 ((t, x, y), M) < r} G. donde d 1 es l distnci dd por l norm (, b, c) 1 = + b + c. Si tommos ϕ C 1 [, b] con ϕ ϕ 0 < r, se tendrá, pr cd t [, b] que (t, ϕ 0 (t), ϕ 0 (t)) M y Luego (t, ϕ 0 (t), ϕ 0(t)) (t, ϕ(t), ϕ (t)) 1 ϕ 0 ϕ < r d 1 ((t, ϕ(t), ϕ (t)), M) d 1 ((t, ϕ(t), ϕ (t)), (t, ϕ 0 (t), ϕ 0(t)) < r Por lo tnto pr cd t [, b] es decir ϕ D G. (t, ϕ(t), ϕ (t)) G Definición Ddo un bierto G de R 3 y un función F rel de clse C 1 (G) se llmrá funcionl de Lgrnge : J(ϕ) := J : D G R, F (t, ϕ(t), ϕ (t))dt. Como hemos visto en l introducción este tipo de funcionles son los que dn origen l cálculo de vriciones. Nuestro objetivo, hor, es probr que los funcionles de Lgrnge dmiten vrición de Gâteux en tods direciones y en todo punto de su dominio. Pr probr que existe δj(ϕ, h) pr todo ϕ D G y tod h C 1 [, b] primermente necesitmos el siguiente lem de integrción.

29 2.1. FUNCIONALES DE LAGRANGE 29 Lem Se U un bierto de R y se f : [, b] U R un función que cumple: (i) Pr cd x U fijo, l función t f(t, x) es integrble en [, b]( de est form nos segurmos que ϕ(x) = f(t, x)dt existe). (ii) Pr cd t [, b] fijo, l función x f(t, x) es de clse C 1. (iii) L función t D 2 f(t, x) es integrble en [, b] pr cd x U. (iv) Además, existe M > 0 tl que D 2 f(t, x) M pr todo (t, x) [, b] U. Entonces l función es derivble y ϕ(x) = ϕ (x) = f(t, x)dt D 2 f(t, x)dt. Prueb. Ddo x U tenemos que estudir l siguiente expresión: ϕ(x + h) ϕ(x) lím h 0 h Pr probr l existenci de este límite utilizremos l crcterizción sucesionl. Supongmos que (t k ) es un sucesión tl que lím k t k = 0 y demás t k 0 pr todo k N. Si desrrollmos el cociente nterior nos qued : ϕ(x + t k ) ϕ(x) b = t k f(t, x + t k ) f(t, x) dt t k Ahor, como por (ii) l función f(t,.) le podemos plicr el teorem del vlor medio, nos quedr que existe θ k ]0, 1[ tl que: LLmemos f(t, x + t k ) f(t, x) t k = h k (t) := D 2 f(t, x + θ k t k ) D 2 f(t, x + θ k t k )dt. por (iii) ests funciones son integrbles. Además h k D 2 f(., x) puntulmente. Entonces, por (iv), podemos plicr el teorem de l convergenci domind y obtenemos:

30 30 CAPÍTULO 2. MÉTODOS VARIACIONALES EN OPTIMIZACIÓN. lím k D 2 f(t, x)dt = lím k h k (t)dt = ϕ(x + t k ) ϕ(x) D 2 f(t, x + θ k t k )dt = lím. k t k Lo cul prueb el resultdo. Un vez visto este lem psemos demostrr l existenci de l vrición de Gâteux del funcionl de Lgrnge. Se ϕ D G y h C 1 [, b] dos funciones fijs. Consideremos hor l función de dos vribles f(t, ɛ) := F (t, ϕ(t) + ɛh(t), ϕ (t) + ɛh (t)) Clrmente est función es l composición de l función F l cul es diferencible y l función g(t, ɛ) = (t, ϕ(t) + ɛh(t), ϕ (t) + ɛh (t)), que tiene derivd prcil continu respecto l segund vrible y vle: D 2 g(t, ɛ) = (0, h(t), h (t)). Vemos que en ests condiciones existe D 2 f(t, ɛ). En efecto, f(t, ɛ + s) f(t, ɛ) D 2 f(t, ɛ) = lím = s 0 s F (g(t, ɛ) + [g(t, ɛ + s) g(t, ɛ)]) F (g(t, ɛ)) lím s 0 s Ahor como F es diferencible sbemos que el límite nterior se puede expresr: lím DF g(t, ɛ + s) g(t, ɛ) g(t,ɛ)( ) + s ɛ + s) g(t, ɛ) g(t, ξ(s) s 0 s s s Teniendo en cuent ls considerciones hbitules sobre l diferencibilidd se tiene que D 2 f(t, ɛ) = DF g(t,ɛ) (D 2 g(t, ɛ)) = D 2 F (g(t, ɛ))h(t) + D 3 F (g(t, ɛ))h (t). Un vez visto este resultdo, como l función f está en ls condiciones del lem nterior. Si definimos φ(ɛ) = f(t, ɛ)dt se tendrá que φ es derivble en ɛ = 0 y demás su derivd será: δj(ϕ, h) = φ (0) = [D 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t))h(t) + D 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))h (t)]dt. (2.1)

31 2.2. LEMAS VARIACIONALES Lems vricionles Como se h venido poniendo de mnifiesto en el prtdo nterior, desemos estudir los mínimos locles de los funcionles de Lgrnge. Como hemos visto que dichos funcionles tienen derivd de Gâteux en todo punto y en tod dirección, tenemos que estudir: pr qué funciones ϕ D G se cumple que 0 = δj(ϕ, h) h C 1 [, b]. Los siguientes resultdos de Cálculo elementl serán de utilidd pr nuestro proposito: Lem Se f : [, b] R un función continu. () Si f(t)h(t)dt = 0 pr tod función h C[, b]. Entonces f es identicmente cero en [, b]. (b) Si f(t)h(t)dt = 0 pr tod función h C[, b] verificndo que h(t)dt = 0. Entonces f es constnte en [, b]. Prueb. () Bst tomr h = f. entonces f 2 (t)dt = 0 y como f 2 es continu y no negtiv, se obtiene que f 0. (b). Llmemos c := clro que R b f(t)dt b ϕ(t)dt = y consideremos l función ϕ := f c. Es y entonces, por hipótesis se tiene que con lo cul (f(t) c) 2 dt = (f(t) c)dt = 0, f(t)ϕ(t)dt = 0, f(t)ϕ(t)dt c (f(t) c)ϕ(t)dt = ϕ(t)dt = 0 Por l continuidd de ϕ y de lo nterior se deduce: y por lo tnto f c. (f(t) c) 2 = 0 t [, b],

32 32 CAPÍTULO 2. MÉTODOS VARIACIONALES EN OPTIMIZACIÓN. Lem (du Bois-Reymond) Se f : [, b] R un función continu. Si f(t)h (t)dt = 0 h D 0 ([, b]), donde D 0 ([, b]) := {h C 1 [, b] : h() = h(b) = 0}. Entonces f es constnte en [, b]. Prueb. Si c es culquier función constnte, l función es derivble y demás, h(x) := x (f(t) c)dt h (t) = f(t) c que es continu en [, b]. Además h() = 0. Por lo tnto, si elegimos entonces c = 1 b f(t)dt, h(b) = (f(t) c)dt = Con lo cul, podemos segurr que h D 0 ([, b]). Consecuentemente, = (f(t) c) 2 dt = f(t)dt c(b ) = 0. (f(t) c)h (t)dt = f(t)h (t)dt c(h(b) h()) = 0. Luego, por l continuidd de f, concluimos que f c. Proposición Sen f, g : [, b] R dos funciones continus. Si [g(t)h(t) + f(t)h (t)]dt = 0 pr tod h D 0 ([, b]). Entonces f C 1 [, b] y f = g.

33 2.2. LEMAS VARIACIONALES 33 Prueb. Se G : [.b] R l función definid por G(x) := x g(t)dt. Por el teorem fundmentl del Cálculo, G es derivble con G = g. Además, G es bsolutmente continu en [, b]. Entonces integrndo por prtes, 0 = [g(t)h(t) + f(t)h (t)]dt = = [h(t)g(t)] b = G(t)h (t)dt + g(t)h(t)dt + (f(t) G(t))h (t)dt. En definitiv, tenemos que pr tod h D 0 [, b], (f(t) G(t))h (t)dt = 0, f(t)h (t)dt = f(t)h (t) = lo que nos dá, segun el lem de du Bois Reymond, que existe un constnte c tl que f(t) G(t) = c t [, b]. Esto implic que f = G + c C 1 [, b] y que f = G = g, como se pretendí demostrr. Corolrio Se g : [, b] R un función continu. Si g(t)h(t)dt = 0 pr tod h D 0 [, b]. Entonces g es l función identicmente nul. Prueb. Es suficiente considerr en l proposición nterior l función f identicmente nul.

34 34 CAPÍTULO 2. MÉTODOS VARIACIONALES EN OPTIMIZACIÓN Ecución de Euler-Lgrnge. Como plicción direct de los lems vricionles, estudimos el problem de minimizr J : D G R, donde G es un bierto de R 3, F es un función rel de clse C 1 (G). Como hemos visto en ls secciones nteriores D G es un bierto de (C 1 [, b],. ) y el funcionl tiene vrición de Gâteux: δj(ϕ, h) = J(ϕ) = F (t, ϕ(t), ϕ (t))dt [h(t)d 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t)) + h (t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))]dt Si ϕ D G es un extremo locl de J, entonces sbemos que pr tod h C 1 [, b], 0 = δj(ϕ, h) = Si hor definimos ls funciones: [h(t)d 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t)) + h (t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))dt g(t) = D 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t)), f(t) = D 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t)) Está clro que mbs funciones son continus en [, b], y podemos plicr l proposición 2.2.3, obteniendo: f C 1 [, b] y f = g, o se que ϕ necesrimente debe cumplir d dt D 3F (t, ϕ(t), ϕ (t)) = D 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t)) (2.2) que se llm Ecución de Euler-Lgrnge socid l funcionl J. Ls soluciones de l ecución de Euler-Lgrnge se llmn extremles de J, y no tienen por qué ser extremos locles del funcionl J pero, si ϕ es un extremo locl de J, entonces debe ser un solución de l ecución. Vmos precisr un poco más: Si F C 1 (G). Siguiendo el rzonmiento nterior, si ϕ es un extreml, tnto h como t D 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))

35 2.3. ECUACIÓN DE EULER-LAGRANGE. 35 tienen derivds continus en [, b] podemos integrr por prtes en l segund integrl de l siguiente iguldd 0 = D 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t))h(t)dt + h (t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))dt y qued h (t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))dt = [h(t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))] b Sustituyendo, tenemos que pr cd h nos qued: h(t) d dt D 3F (t, ϕ(t), ϕ (t))dt 0 = δj(ϕ, h) = h(t)[d 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t)) d dt D 3F (t, ϕ(t), ϕ (t))]dt+[h(t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))] b Si ϕ cumple l ecución de Euler-Lgrnge el integrndo de l últim integrl es nulo, lo que nos dice que 0 = [h(t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))] b Escogiendo, en prticulr, un función h tl que h(b) = 0, y h() 0 quedrá l ecución D 3 F (, ϕ(), ϕ ()) = 0 Escogiendo, en prticulr, un función h tl que h() = 0, y h(b) 0 qued: D 3 F (b, ϕ(b), ϕ (b)) = 0 Luego culquier extremo locl ϕ de J debe ser solución del problem de contorno: d dt D 3F (t, ϕ(t), ϕ (t)) D 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t)) = 0 D 3 F (, ϕ(), ϕ ()) = 0 D 3 F (b, ϕ(b), ϕ (b)) = 0. (2.3)

36 36 CAPÍTULO 2. MÉTODOS VARIACIONALES EN OPTIMIZACIÓN Extremos locles en conjuntos generles. Se (X,. ) un espcio normdo, D un subconjunto no vcío de X y J : D R un funcionl rel. Definición Un punto y 0 D se dice que es un mínimo locl de J sobre D si existe r > 0 tl que y 0 es un mínimo bsoluto de J sobre el conjunto D r (y 0 ) := {y D : y y 0 < r}. Si queremos minimizr el funcionl J sobre D, teniendo en cuent lo obtenido pr conjuntos biertos, es nturl considerr pr cd y D quells direciones v X en ls cules l restrición de J D dmite vrición en y, i.e.; desemos distinguir quells direcciones v X pr ls cules: (i) y + ɛv D pr todo ɛ suficientemente pequeño; y (ii) Que exist δj(y, v). A dichs direcciones ls llmremos dmisibles pr y en D, o D dmisibles en y. Observemos que si v es D dmisibles en y, entonces cd múltiplo cv pr c R es siempre dmisible. No es difícil ver que. Proposición Si y 0 es un extremo locl pr J en D, entonces δj(y 0, v) = 0 direccion v D dmisible en y 0 En el cso de querer minimizr J : D D G {ϕ() = 1, ϕ(b) = b 1 } R, grcis l proposicion obtenemos l siguiente ecución de Euler-Lgrnge: Si existe y D tl que δj(y : v) = 0 pr tod v dmisible entonces, se verific l ecución 2.2, i.e., d dt D 3F (t, ϕ(t), ϕ (t)) = D 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t)) Ahor, no podemos seguir tl como hcimos en el cso nterior puesto que en nuestro cso l funciones v dmisibles verificn v() = v(b) = Csos especiles. En generl, es difícil encontrr culquier solución pr l ecución de Euler-Lgrnge. Sin embrgo, cundo un o más de ls vribles de F no precen explicitmente, entonces podemos l menos simplificr l ecución diferencil. En est sección nlizremos tres csos.

37 2.4. CASOS ESPECIALES. 37 () Cundo F (x, y, z) = F (z). En este cso como D 2 F (x, y, z) 0 l ecución de Euler-Lgrnge se reduce : d dt D 3F (ϕ (t)) = 0 lo cul nos dice que D 3 F (ϕ (t)) es constnte. Por lo tnto, si ϕ es un extreml del funcionl J correspondiente, entonces ϕ debe pertenecer un conjunto de nivel de D 3 F, esto siempre ocurre cundo ϕ es un función fín, y que en este cso su derivd es constnte. Como ejemplo de este cso vmos estudir el primer ejemplo que prece en l introducción: Ejemplo Sen (, c), (b, d) dos puntos del plno. Vemos que l función ϕ 0 (t) = (b t) c b +(t ) d b es l función de C1 [, b] de menor longitud entre tods ls que verificn que ϕ() = c y ϕ(b) = d. Como vimos en l introducción se trt de minimizr el funcionl J(ϕ) = 1 + (ϕ (t)) 2 dt sobre el conjunto D G = C 1 [, b] {ϕ : ϕ() = c, ϕ(b) = d}. En este cso, l función F (x, y, z) = 1 + z 2, que evidentemente es de clse C 1, es un función del tipo (). Por lo tnto, ls funciones fines son extremles del funcionl J. Entre ls funciones fines l únic que verific l condición ϕ() = c, ϕ(b) = d, es c d ϕ 0 (t) = (b t) + (t ) b b. (b) Cundo F (x, y, z) = F (x, z). En este cso de nuevo se tiene que D 2 F (x, y, z) = 0 con lo cul l Ecución de Euler-Lgrnge nos dice que D 3 F (t, ϕ (t)) = constnte Pr ilustrr este cso vemos el siguiente ejemplo. Ejemplo Geodésics sobre un esfer.

38 38 CAPÍTULO 2. MÉTODOS VARIACIONALES EN OPTIMIZACIÓN. Pr ls compñís eres, es esencil sber l rut más cort entre dos ciuddes. De hecho, como l Tierr es redond puede considerrse como un esfer, es clro que esto requiere el conocimiento de ls geodésics sobre un superficie esféric. Cd punto Y = (x, y, z) loclizdo sobre l superficie de l esfer de rdio R (excepto los polos) se pueden expresr medinte coordends esférics de l form siguiente: Y = (R cos(θ) sin(ϕ), R sin(θ) sin(ϕ), R cos(ϕ)) pr un único ϕ ]0, π[ y un único θ [0, 2π[. Además, ddos dos puntos distintos A y B sobre l superfície, supondremos que los ejes están elegidos de form que A está en el polo norte (ϕ = 0), mientrs que B tiene coordends esférics (R, θ 0, ϕ 1 ) pr ϕ 1 > 0 Entonces un curv que une A con B sobre l superficie de l esfer estrá determind por l curv v : [0, 1] R 2 dd por v(t) = (ϕ(t), θ(t)) y de form que ϕ(0) = 0, θ(1) = θ 0, ϕ(1) = ϕ 1 ( consideremos demás que mbs funciones son continumente diferencibles). Entonces ls curvs que une los dos puntos vendrán dds por Y (t) = R(cos(θ(t)) sin(ϕ(t)), sin(θ(t)) sin(ϕ(t)), cos(ϕ(t))) Clculndo su derivd y su longitud nos qued 1 1 L(Y ) = Y (t) dt = R sin 2 (ϕ(t))θ (t) 2 + ϕ (t) 2 dt 0 0 El problem que queremos resolver es el de encontrr l v que nos dé l geodésic de longitud más cort. El problem que brcmos quí, será el nterior pero restringido quells curvs v que són gráfics de funciones. Así en este cso sbemos que existe y : [0, ϕ 1 ] R tl que G(y) = v([0, 1]) y de form que θ(t) = y(ϕ(t)). Con lo cul utilizndo el teorem de cmbio de vrible el funcionl que debemos minimizr será ϕ1 J(y) = R 1 + (y (ϕ) sin(ϕ)) 2 dϕ sobre el conjunto 0 D = {y C 1 [0, ϕ 1 ] : y(ϕ 1 ) = θ 0 }

39 2.4. CASOS ESPECIALES. 39 Luego el funcionl J está socido l función F (x, y, z) = F (x, z) = R 1 + (z sin(x)) 2 Clrmente est función es de clse C 1, y es del tipo (b). Como D 3 F (ϕ, z) = Rz sin 2 (ϕ) 1 + z 2 sin 2 (ϕ) = k Como cundo ϕ = 0 l expresión nterior es nul. Los extremles verificn: Ry (ϕ) sin 2 (ϕ) 1 + (y (ϕ)) 2 sin 2 (ϕ) = 0 Lo cul nos dice que y (ϕ) = 0 y por tnto y(ϕ) es constnte. Y esto quiere decir que θ(t) es constnte. Como por hipótesis θ(1) = θ 0, se tendrá que θ(t) = θ 0. Lo que corresponde l rco de un circunferenci de rdio R que une los dos puntos i.e., Y (t) = (R cos(θ 0 ) sin(ϕ(t)), R sin(θ 0 ) sin(ϕ(t)), R cos(ϕ(t))). (c) Cso F (x, y, z) = F (y, z). Si suponemos que ϕ es de clse C 2, entonces podemos plicr l regl de l cden, como D 1 F = 0, pr obtener que d dt F (t, ϕ(t), ϕ (t)) = ϕ (t)d 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t)) + D 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))ϕ (t) Con lo cul d dt [F (t, ϕ(t), ϕ (t) ϕ (t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))] = d dt F (t, ϕ(t), ϕ (t)) ϕ (t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t)) ϕ (t) d dt D 3F (t, ϕ(t), ϕ (t)) Ahor sustituyendo y cncelndo nos qued: d dt [F (t, ϕ(t), ϕ (t) ϕ (t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t))] = ϕ (t)[ d dt D 3F (t, ϕ(t), ϕ (t)) D 2 F (t, ϕ(t), ϕ (t)),

40 40 CAPÍTULO 2. MÉTODOS VARIACIONALES EN OPTIMIZACIÓN. hor teniendo presente que ϕ verific l ecución de Euler-Lgrnge, podemos concluir: F (t, ϕ(t), ϕ (t)) ϕ (t)d 3 F (t, ϕ(t), ϕ (t)) = constnte Aquí hy que resltr que si l últim iguldd es ciert en un intervlo donde ϕ no se nul, entonces ϕ verific l ecución de Euler-Lgrnge. Ejemplo (L brquistocron) Según hemos visto en l introducción y eligiendo decudmente los puntos. Este problem se reduce obtener los mínimos del funcionl sobre el conjunto J(y) = 1 2g x y (t) 2 dt y(t) D = {y C 1 [0, x 1 ] : y 0, y(0) = 0, y(x 1 ) = y 1 y x1 0 1 y(t) dt < }. El conjunto D donde tenemos que buscr los mínimos de J es un conjunto sensiblemente diferente los que hemos visto en los ejemplos nteriores, y que quí prte de tener ls condiciones sobre los extremos del intervlo [0, x 1 ] tenemos demás un condición fronter, es decir, sólo podemos ceptr funciones y de form que x dt <. L condición fronter y(t) nos llev que ls direcciones dmisibles pr ls que se puede clculr l vrición de Gâteux no se muy mpli. En efecto, Ddo y D, pr que J(y + ɛv) esté bien definido debemos tener que y+ɛv 0 siempre que ɛ se suficientemente pequeño. Además, como hemos visto en ejemplos precedentes v(0) = v(x 1 ) = 0. Finlmente, si considermos v(t) y(t) se tiene que v es un posible dirección dmisible en y. En efecto, pr un tl v tommos ɛ 1 2 : Además, y(x) + ɛv(x) y(x) ɛ v(x) y(x) 1 2 y(x) = 1 y(x) 0. 2 x1 0 Llmndo F (x, y, z) = 1 dx x1 2 y(x) + ɛv(x) 0 1+z 2 2g y dx y(x) < +., ls derivds prciles de F son:

41 2.4. CASOS ESPECIALES. 41 D 2 F (x, y, z) = D 3 F (x, y, z) = z 2 2g, y 3 z 2g 1+z 2. y Con lo cul, hciendo uso de l derivción bjo l integrl (ver el rnonmiento hecho despues del lem 2.1.2), se obtiene: δj(y, v) = 1 x1 [ 1 2g 2 L cul es finit siempre que y (t) 2 v(t) + y(t) 3 x1 0 1 y(t) 3 dt y (t) y(t) 1 + y (t) 2 v (t)]dt se finit. Por lo tnto, llegmos que el problem de l Brquistocron se puede plnter sobre el conjunto D 1 := {y C 1 [0, x 1 ] : y 0, y(0) = 0, y(x 1 ) = y 1 y x1 0 1 dt < }. y(t) 3 En este cso F (t, y, z) = F (y, z) = 1+z 2 y. Luego estmos en ls condiciones del cso (c) y por lo tnto l ecución de Euler-Lgrnge nos dice que si buscmos un extreml de clse C 2 deberá verificr: 1 + y (t) 2 y(t) y y (t) (t)( y(t) 1 + y (t) ) = constnte. 2 Lo que es equivlente escribir: y por lo tnto 1 y(t) 1 + y (t) 2 = 1 c, y(t)(1 + y (t) 2 ) = c 2. Pr resolver l ecución nterior, sustituimos y por dy dx vribles, entonces tenemos: y dx = ( c 2 y ) 1 2 dy. Introduzcmos un nuev vrible φ hciendo y seprmos

42 42 CAPÍTULO 2. MÉTODOS VARIACIONALES EN OPTIMIZACIÓN. y ( c 2 y ) 1 2 = tn(φ) de modo que y = c 2 sin 2 (φ), dy = 2c 2 sin(φ) cos(φ)dφ, y dx = tn(φ)dy = 2c 2 sin 2 (φ)dφ = c 2 (1 cos(2φ))dφ Integrndo qued x = c2 2 (2φ sin(2φ)) + c 1 L solución que buscmos debe psr por el origen, luego se debe cumplir que x = y = 0 cundo φ = 0, en consecuenci, c 1 = 0. Así pues, x = c2 (2φ sin(2φ)), 2 y = c2 sin 2 (φ) = c2 (1 cos(2φ)). 2 Si hor hcemos = c2 2 convierten en y θ = 2φ, entonces ls ecuciones nteriores se x = (θ sin(θ)) y = (1 cos(θ)), Ests son ls ecuciones prmétrics de l cicloide, generd por un punto sobre un circunferenci de rdio que rued por el eje de bciss. De este modo, vemos que ls únics funciones de clse C 2 que verificn l ecución de Euler-Lgrnge son ls cicloides Condiciones suficientes pr un mínimo. Ls ecuciones de Euler-Lgrnge son condiciones necesris pero no suficientes pr crcterizr un mínimo locl del funcionl: J(y) := sobre el conjunto de l form F (t, y(t), y (t))dt D := {y C 1 ([, b]) : y() = 1, y(b) = b 1 }. Sin embrgo, en presenci de convexidd (fuerte) de F (x, y, z) crcterizn de form únic l mínimo.

43 2.5. CONDICIONES SUFICIENTES PARA UN MÍNIMO Funciones convexs. Si F C 1 (R 3 ), en este cso, por l interpretción de l derivd de Gâteux, se tiene que ddo y R 3, v R 3 δf (y, v) = F (y), v, demás si F es un función convex se verific: F (y + tv) F (y) F (y), v = D v F (y) = lím = t 0 t F (t(y + v) + (1 t)y) F (y) lím t 0 t tf (y + v) + (1 t)f (y) F (y) lím = F (y + v) F (y). t 0 t De donde se deduce que: F (y + v) F (y) F (y), v = δf (y, v), y es estrictmente convex cundo l iguldd, en l desiguldd nterior, sólmente se dá cundo v = 0. Tmbién, podemos observr que minimizr un función convex es obtener que F (y) = 0 con lo cul clrmente y es un mínimo de F. Este hecho sugiere l siguiente definición Definición Se X un espcio normdo y D X un subconjunto no vcío de X. Un funcionl J : D R diremos que es [estrictmente] convexo sobre D si cundo y, y + v D entonces δj(y, v) está definido y demás [con iguldd sii v = 0] J(y + v) J(y) δj(y, v) Observción En est definición no se supone que el dominio del funcionl se convexo. Pero en el cso en que δj(y, v) = 0 l definición nterior nos confirm que y es un mínimo de J en l dirección de v. Proposición Se X un espcio normdo y D un subconjunto no vcío de X. Si J : D R es un funcionl [estrictmente] convexo, entonces pr cd y 0 D tl que δj(y 0, v) = 0 y 0 + v D se tiene que y 0 es un mínimo de J sobre D [único].