CURSO DE GEOTECNIA PARA INFRAESTRUCTURAS

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1 CURSO DE GEOTECNIA PARA INFRAESTRUCTURAS Sevlla, 2004 Establdad de taludes en suelo. Cálculo 1. Lus Ortuño Abad Urel y Asocados, S.A. Prof. Asocado. ETSICCP. UPM 1 Texto extraído en su mayor parte de Ortuño, L. (2003).

2 ÍNDICE Pag. 1.- INTRODUCCIÓN PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVOS GENERALES OBJETIVOS DE LOS ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE TALUDES. CRITERIOS A CUMPLIR MÉTODOS DE CÁLCULO VARIABLES QUE RIGEN LA ESTABILIDAD DE UN TALUD. CONCEPTOS FUNDAMENTALES: RESISTENCIA Y SEGURIDAD VARIABLES QUE INTERVIENEN EN LA ESTABILIDAD DEFINICIÓN DE SEGURIDAD Factor de segurdad defndo como una relacón drecta entre fuerzas Factor de segurdad defndo como una reduccón de la resstenca al corte límte del terreno CLASIFICACIONES GEOMORFOLÓGICAS Y GEOTÉCNICAS PARA ESTUDIOS DE ESTABILIDAD DE TALUDES EN SUELOS CLASIFICACIONES GEOMORFOLÓGICAS CLASIFICACIONES GEOTÉCNICAS Clasfcacón geotécnca en funcón de la estructura del suelo (fábrca) Clasfcacón geotécnca en funcón del régmen de presón nterstcal INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE EQUILIBRIO LÍMITE. CONSIDERACIONES PREVIAS

3 5.1.- HIPÓTESIS BÁSICAS PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO EN LOS MÉTODOS DE EQUILIBRIO LÍMITE ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UN TALUD INDEFINIDO UTILIDAD Y DESARROLLO DEL MÉTODO CASOS ESPECIALES u=0 (Talud seco ): c = 0 (suelo sn cohesón): c =0 y u=0 (suelo sn cohesón y talud seco ): régmen de fltracón paralelo al talud: c =0 y régmen de fltracón paralelo al talud Otros casos (empleo de ábacos) ROTURAS CIRCULARES. MÉTODOS DE ESTABILIDAD GLOBAL. EL CÍRCULO DE ROZAMIENTO GENERALIDADES DESARROLLO CONCEPTUAL DEL MÉTODO PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN ORIGINAL. EL CÍRCULO DE ROZAMIENTO EL MÉTODO DEL CÍRCULO DE ROZAMIENTO MODIFICADO DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS W Y U CASO PARTICULAR DE UN TERRENO SIN ROZAMIENTO SISTEMATIZACIÓN DEL MÉTODO DEL CÍRCULO DE ROZAMIENTO. SOLUCIONES MEDIANTE ABACOS INTRODUCCIÓN

4 8.2.- ABACO DE TAYLOR PARA TERRENOS HOMOGÉNEOS SIN ROZAMIENTO ABACO DE HUNTER & SCHUSTER (1968) PARA TERRENOS SIN ROZAMIENTO Y RESISTENCIA CRECIENTE CON LA PROFUNDIDAD ABACO DE TAYLOR PARA TERRENOS HOMOGÉNEOS CON COHESIÓN Y ROZAMIENTO ABACOS DE HOEK Y BRAY MÉTODOS DE REBANADAS FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DEFINICIÓN DE REBANADAS. VARIABLES, INCÓGNITAS Y ECUACIONES Varables geométrcas Fuerzas: Ecuacones MÉTODOS APROXIMADOS Rotura crcular. Método de Fellenus o convenconal Rotura crcular. Método smplfcado de Bshop Rotura no crcular. Método smplfcado de Janbu MÉTODOS COMPLETOS O RIGUROSOS Método de Morgenstern & Prce (1965) y GLE Método de Spencer (1967) ALGUNOS CRITERIOS PRÁCTICOS ADICIONALES Adopcón del método de cálculo

5 Algunas consderacones sobre la realzacón de los cálculos, sus problemas y la valdez de los resultados COMENTARIOS FINALES REFERENCIAS

6 CALCULO DE LA ESTABILIDAD DE TALUDES EN SUELO 1.- INTRODUCCIÓN Planteamento del problema y objetvos generales. El proyecto de obras lneales requere el dseño de taludes tanto en desmonte como en terraplén bajo unas condcones de segurdad adecuadas. Aún así, las carreteras y líneas férreas sufren ocasonalmente problemas de conservacón y explotacón asocados a fenómenos de nestabldad de sus taludes y laderas. Con certa perodcdad, normalmente en concdenca con perodos recurrentes de lluvas generalzadas, se producen desprendmentos, arrastres y deslzamentos que oblgan a acometer labores de reparacón. La tpología de los problemas que pueden surgr resulta muy varada, sendo funcón de las condcones geológcas, hdrogeológcas y topográfcas de cada zona, así como de la ncdenca de la vía sobre el terreno (desmontes de alturas dversas, terraplenes a meda ladera, etc). Como extremos posbles de estas ncdencas cabe señalar desde los smples problemas de arrastre por erosón o los desprendmentos de pequeños bloques en maczos rocosos de un talud de desmonte, que como mucho anegan las cunetas, hasta la reactvacón de grandes paleodeslzamentos que nvolucran enormes masas de terra. Las vías prncpales como autopstas o autovías son las que mayor mpacto suelen suponer sobre la topografía orgnal, dado que sus condconantes de trazado y las dmensones de sus plataformas oblgan frecuentemente a acometer grandes desmontes o terraplenes. Por lo tanto se podría decr que son éstas, al menos ntrínsecamente, las más problemátcas desde el punto de vsta de la establdad de taludes. Sn embargo, las redes locales no están exentas de problemas smlares. En realdad, a gualdad de condcones geológcas, la notora dferenca en asgnacón de recursos económcos para el proyecto, construccón y conservacón entre ambos tpos de vía hacen que las redes locales cuenten con mucho menos margen de manobra y que, por lo tanto, sea más dfícl en ellas ncluso prever y proyectar en armonía geotécnca con el entorno. 1

7 En defntva, en ambos casos resulta necesaro realzar una estmacón satsfactora del grado de segurdad, ya sea de nuevos taludes a construr o de los que precsan una reparacón. Para ello se cuenta con un varado abanco de herramentas de cálculo, cuya descrpcón consttuye el objeto de esta charla Objetvos de los análss de establdad de taludes. Crteros a cumplr. A la vsta de las consderacones anterores, resulta ntutvo comprender que medante las técncas de análss de establdad se ha de poder analzar cualquera de las stuacones que pueden encontrarse en la práctca habtual, y que pueden resumrse báscamente en: 1. Estmar el grado de segurdad de laderas naturales y taludes artfcales exstentes. 2. Proyectar nuevos taludes con sufcentes garantías de establdad, tanto en terraplén como en desmonte. 3. Analzar taludes deslzados y dseñar meddas para su reparacón En prncpo cualquer análss de establdad debería satsfacer los sguentes crteros: 1. Las tres ecuacones de equlbro tensonal (a partr del equlbro de fuerzas horzontales, vertcales y momentos) 2. Las ecuacones de compatbldad entre deformacones y desplazamentos. 3. Las relacones tensón-deformacón-resstenca de los materales que consttuyen el talud. Los tres crteros anterores dan lugar a 15 ncógntas (6 tensones, 6 deformacones y 3 desplazamentos) y 15 ecuacones (3 de equlbro, 6 de compatbldad y 6 de la relacón consttutva del materal). 2.- MÉTODOS DE CÁLCULO. El problema así planteado resulta sustancalmente complejo, y su resolucón requerría en la mayor parte de las ocasones el empleo de técncas de elementos fntos, las úncas que con generaldad permten cumplr los tres crteros establecdos. Estos métodos proporconan generalmente una solucón en térmnos de tensones y 2

8 desplazamentos dentro del talud, que a su vez han de nterpretarse en térmnos de establdad. Es decr, no suelen proporconar de forma drecta y con un crtero estandarzado un factor o coefcente de segurdad. Una alternatva empleada por algunos programas comercales consste en adoptar un crtero de rotura del tpo de Mohr-Coulomb para el terreno y una defncón del coefcente de segurdad análoga la empleada en las teorías de equlbro límte (ver (apartado 3.2.b). Esto permtr realzar un análss específco de establdad reducendo los parámetros de resstenca al corte del suelo paulatnamente hasta alcanzar la rotura. La relacón entre la resstenca dsponble y la que conduce a dcha rotura proporcona el coefcente de segurdad buscado. Aunque la potenca del método de los elementos fntos es enorme, cuenta en la práctca con algunas lmtacones, entre las que cabe destacar sn duda las dfcultades de obtencón de ecuacones consttutvas representatvas del terreno. Por ello, salvo en casos especales, se puede decr que estos métodos no son precsamente los más usados para el análss de establdad de taludes. Aun renuncando al cumplmento de todos los crteros descrtos en la ntroduccón, se puede obtener una respuesta sobre la establdad de un determnado talud. En este caso, obvamente, las solucones serán tan sólo aproxmadas. En estas crcunstancas se encuentran los métodos de equlbro límte, sn lugar a dudas los más utlzados en la práctca común. De forma general exsten dentro de este grupo dos procedmentos: a) los que suponen una superfce de rotura predetermnada, de la que se calcula su grado de segurdad. b) los que asumen que todo el suelo se encuentra plastfcado, y a partr de dcha hpótess determnan la superfce de deslzamento pésma y su grado de segurdad. De entre ellos, los prmeros son los más empleados y dfunddos en la práctca geotécnca, tanto por su buena contrastacón con casos reales como por su sencllez de aplcacón. Es precsamente a estos métodos, más usuales y práctcos, a los que se dedcarán prncpalmente estas líneas. Para fnalzar, y con el smple ánmo de completar el abanco de posbldades, podría ndcarse un tercer grupo de métodos de cálculo, los llamados de análss límte, que hacen uso de los teoremas de la cota superor e nferor de la plastcdad básca. Estos 3

9 procedmentos son menos habtuales y por lo tanto no se les dedcará mayor atencón en estas líneas 2. En la fgura 2.1 se muestran con generaldad los dferentes métodos dsponbles. Fgura 2.1: Métodos de cálculo de establdad de taludes (tomada de Olalla, C.(1999)). 3.- VARIABLES QUE RIGEN LA ESTABILIDAD DE UN TALUD. CONCEPTOS FUNDAMENTALES: RESISTENCIA Y SEGURIDAD Varables que ntervenen en la establdad. Desde un punto de vsta ntutvo, el coefcente de segurdad de un talud o ladera ha de representar de alguna forma la relacón exstente entre accones establzadoras (resstentes) y fuerzas desestablzadoras. Un ejemplo sencllo y tambén ntutvo que permte obtener una vsón global de las dferentes accones que puedan actuar sobre una superfce potencal de deslzamento, supuesta crcular, se recoge en la fgura 3.1. Entre las accones establzadoras se encuentra la resstenca al corte del terreno, la resstenca de las estructuras de sujecón, las fuerzas establzadoras externas, los pesos establzadores, etc. 2 El lector nteresado en ahondar en estos métodos puede acudr a Jménez Salas, J.A. & Molna, R. 4

10 Los elementos tendentes a favorecer la nestabldad son las accones gravtatoras y pesos desestablzadores, las presones postvas del agua nterstcal y las fuerzas desestablzadoras externas. Fgura 3.1: Accones establzadoras y desestablzadoras en un talud con supuesta superfce de rotura crcular. De entre los elementos anterores, en general las presones nterstcales y la resstenca al corte del terreno son las varables que más nfluyen en la establdad. Obvamente, en caso de que el grado de establdad de un determnado talud no sea lo sufcentemente elevado, podrá ser necesaro cambar su geometría, ntroducr 5

11 meddas de establzacón, etc., de forma que se aumente el efecto de las accones establzadoras o se reduzca el de las desestablzadoras. Sobre todas ellas se puede actuar asladamente o en conjunto, dando lugar a un amplo abanco de posbldades. Del párrafo anteror se deduce fáclmente que, para establecer el grado de segurdad de un determnado talud, es fundamental conocer las condcones más desfavorables de presón nterstcal que puedan darse durante su vda útl, así como estmar la resstenca al corte del terreno dsponble a lo largo de cualquer superfce potencal de deslzamento. No puede decrse que estas tareas sean sencllas. El régmen de presón nterstcal de cálculo no sólo depende de las condcones hdrogeológcas de contorno que puedan darse a lo largo de toda la vda de la obra, sno tambén de los cambos tensonales que se producen en el terreno (la carga que supone la construccón de un terraplén, la descarga orgnada por la excavacón de un desmonte, etc). Estos cambos tensonales, como es sabdo, dan lugar a procesos de consoldacón o entumecmento dependentes de las condcones de permeabldad del terreno, durante los cuales las presones nterstcales se van modfcando. Con relacón a la resstenca al corte, no puede consderarse como un parámetro únco y constante. Depende de un buen número de varables, entre las que pueden ctarse la naturaleza, estructura, enlaces e hstora tensonal del suelo, la presón del fludo que rellena sus poros (agua o agua+are) en cada momento, el nvel de deformacones, etc. Los conceptos báscos de la resstenca al corte del terreno se supone conocdos y no se nsstrá especalmente sobre ello. Tan sólo se recordará que para su defncón suele emplearse el crtero de Mohr-Coulomb, que en su forma más general y en térmnos de tensones efectvas se ajusta a la sguente expresón: f c' ( u) tan' c' ' tan' donde: f es la resstenca al corte límte del terreno a lo largo de la superfce de deslzamento. c y son la cohesón y ángulo rozamento nterno efectvos del terreno en las msmas superfces. 6

12 y u son la tensón total y la presón nterstcal, que actúan perpendcularmente a la superfce de deslzamento, y es por tanto la tensón efectva correspondente. Tambén es precso tener en cuenta que la movlzacón de la resstenca al corte del terreno puede estar sujeta a marcadas varacones en funcón del nvel de deformacones. Estas crcunstancas pueden darse en arcllas de elevada plastcdad, especalmente en las sobreconsoldadas, en las que es frecuente encontrar dferencas sustancales entre la resstenca máxma o de pco ( p ) y la mínma o resdual ( r ) (fguras 3.2 y 3.3). Fgura 3.2: Resstenca al corte de pco y resdual. Indce de fragldad. Fgura 3.3: Angulos de rozamento en funcón del contendo de arclla (Lupn, Sknner, y Vaughan, P.R. (1981)). 7

13 Como muestra la fgura 3.4, en estas condcones a lo largo de una msma superfce de deslzamento potencal la resstenca movlzada podrá ser dferente de unos puntos a otros (tras el pco la resstenca se degrada con el nvel de deformacones), lo que sn duda da lugar a una complejdad de cálculo mportante, dfíclmente abordable medante técncas de equlbro límte. Un ejemplo real de este tpo de comportamento se muestra en la fgura 3.5. Fgura 3.4: Movlzacón de resstenca al corte en dversos puntos de una msma superfce de deslzamento. Fgura 3.5: Ensayo de corte drecto drenado en las arcllas de Aznalcóllar (según Alonso, E.(2003)) Defncón de segurdad. Volvendo al concepto de segurdad, en realdad no exste en la práctca habtual una defncón únca. Entre otras cosas, dcha defncón depende del método de cálculo a 8

14 emplear en su estmacón. Centrando esta dscusón en los métodos de equlbro límte, cabe ndcar dos posbldades prncpales: Factor de segurdad defndo como una relacón drecta entre fuerzas. F Fuerzas resstentes Fuerzas desestablzadoras Este sería el caso de los análss de establdad de cuñas y bloques de roca, como el mostrado en la fgura 3.6 (obsérvese que en este caso el equlbro se lmta al de fuerzas, y no al de momentos). Fgura 3.6: Establdad de un bloque. Esquema conceptual. 9

15 Factor de segurdad defndo como una reduccón de la resstenca al corte límte del terreno. Esta acepcón es la habtual en el caso de taludes en suelo. Así, a partr del crtero de Mohr-Coulomb el coefcente de segurdad puede defnrse como la relacón entre la resstenca al corte máxma dsponble en el terreno ( f ) a lo largo de la superfce de deslzamento elegda y la estrctamente necesara ( m ) o movlzada para consegur el equlbro estátco del mecansmo consderado (fgura 3.7): m f F c' tan' ' c' F F m ' tan' m En la expresón anteror, c m y m representan la cohesón efectva y ángulo de rozamento nterno efectvo movlzados para alcanzar dcho equlbro. Lógcamente en el límte, cuando sea necesaro movlzar toda la resstenca dsponble del terreno, el factor de segurdad será gual a la undad. Fgura 3.7: Concepto de segurdad como una mnoracón de la resstenca movlzable. Fnalmente y como un caso partcular, s el problema en estudo puede o debe analzarse en condcones sn drenaje o a corto plazo, la resstenca movlzada, expresada térmnos de tensones totales, vendrá defnda por: 10

16 Su Su, m F donde Su sería la resstenca al corte sn drenaje del suelo. En lo que respecta a los coefcentes de segurdad mínmos a exgr en proyecto, su seleccón depende de un buen número de factores, entre los que cabe destacar la stuacón a estudar (categoría y nvel de resgo de la obra, taludes provsonales o defntvos, cargas permanentes o varables ) y el método de cálculo empleado. En los apartados fnales se ncluye una pequeña recoplacón de algunos crteros procedentes de dversos manuales, códgos y normas de uso común. 4.- CLASIFICACIONES GEOMORFOLÓGICAS Y GEOTÉCNICAS PARA ESTUDIOS DE ESTABILIDAD DE TALUDES EN SUELOS. Cuando se estuda la establdad de un talud con métodos de equlbro límte resulta necesaro en la mayoría de las ocasones postular unas determnadas superfces de deslzamento potencal, de las que se calcula su coefcente de segurdad. Por ello, con el fn de enfocar adecuadamente los procesos de seleccón de mecansmos de rotura potencales, de obtencón de parámetros a emplear en el dseño e ncluso de los métodos de cálculo a emplear en cada caso, resulta nteresante dstngur y clasfcar los tpos de nestabldad más habtuales Clasfcacones geomorfológcas. De forma básca y a los efectos de estas líneas, en funcón de las condcones estratgráfcas y geomofológcas exstentes para el caso de suelos, se puede reducr la casuístca a tres mecansmos de nestabldad prncpales: traslaconales, rotaconales y compuestos. Cada uno de ellos obedece generalmente a unas determnadas condcones, que de forma muy esquemátca se muestran las fguras 4.1 y

17 Fgura 4.1: Clasfcacón básca de los tpos de nestabldad más frecuentes en suelos atendendo prncpalmente a la forma del deslzamento. Deslzamentos traslaconales. 12

18 Fgura 4.2: Clasfcacón básca de los tpos de nestabldad más frecuentes en suelos atendendo prncpalmente a la forma del deslzamento. Deslzamentos rotaconales y compuestos Clasfcacones geotécncas. Sguendo los crteros de Skempton, A.W. & Hutchnson, J.N.(1969), se pueden establecer dos tpos de clasfcacones puramente geotécncas en funcón de los parámetros de resstenca al corte (c, ) o de las condcones de presón nterstcal (u). Tener en cuenta estas clasfcacones srve de gran ayuda en el establecmento del 13

19 problema a resolver y en la seleccón de los parámetros a emplear en cada caso Clasfcacón geotécnca en funcón de la estructura del suelo (fábrca) Prmeros deslzamentos: Se entenden como tales aquéllos deslzamentos que se producen en un terreno que no ha fallado anterormente, o lo que es lo msmo, que no ha llegado a movlzar su máxma resstenca al corte en nngún momento de su hstora. Los parámetros de resstenca al corte a emplear se podrán encontrar por tanto en sus valores de pco, o entre los de pco y los resduales, dependendo del nvel de deformacones en cada caso Deslzamentos a favor de superfces de rotura preexstentes. Corresponden al desencadenamento de una nestabldad a favor de una superfce de deslzamento preexstente en la que ya se han producdo mportantes deformacones. En estos casos, especalmente cuando se trata de arcllas de elevada plastcdad (o alto contendo en arclla), la estructura del suelo puede encontrarse fuertemente reorentada en la dreccón del movmento ya sufrdo y la resstenca al corte dsponble puede ser muy próxma o ncluso concdente con la resdual Clasfcacón geotécnca en funcón del régmen de presón nterstcal. Como resulta evdente a la vsta de la expresón de la resstenca al corte, la presón nterstcal nfluye de forma muy drecta sobre la resstenca movlzable del terreno, y por lo tanto sobre el coefcente de segurdad frente al deslzamento. Por otra parte, la presón nterstcal depende, de forma transtora al menos, de los cambos tensonales que se producen en la construccón de taludes (desmontes o terraplenes). En estas crcunstancas resulta muy nteresante dstngur dferentes condcones del régmen de presón nterstcal y su relacón con las condcones de establdad y a la seleccón de parámetros. De forma general, en funcón de la presón de poros se pueden contemplar tres tpos de stuacones: 3 Este sería el caso, por ejemplo, de excavar en una ladera de arcllas plástcas y sobreconsoldadas un desmonte que penetre por debajo de superfces de deslzamento preexstentes. 14

20 a) Largo plazo o con drenaje b) Corto plazo o sn drenaje c) Stuacones ntermedas (drenaje parcal) La stuacón conceptualmente más smple corresponde sn duda al estudo de la establdad de una ladera o talud ya exstente, sn nuevos cambos tensonales, con un certo nvel de saturacón estable. El régmen de crculacón de agua sería pues permanente y estaconaro, y la presón nterstcal en cada punto dependería tan sólo de las condcones hdrogeológcas de contorno. Los parámetros de resstenca al corte a emplear en este caso serían los correspondentes a las condcones efectvas (c, ), y las presones de agua se determnarían a partr de la red estaconara de flujo correspondente. En contraste con la stuacón anteror, cuando se producen cambos tensonales la presón nterstcal es una varable dependente de dchos cambos y del tempo. Así por ejemplo, cuando se construye un terraplén sobre un potente estrato de arcllas saturadas de baja permeabldad, la sobrepresón de poros orgnada por la carga no se dspa de forma rápda, pudendo mantenerse de forma prolongada en el tempo. Un ejemplo de esta stuacón se muestra en la fgura 4.3. En ella se representan las presones nterstcales meddas en el substrato de arcllas azules tras la rotura del dque de Aznalcóllar (Alonso, E. (2003)). Tambén se representan las presones de poros hdrostátcas que habría cabdo deducr de los nveles freátcos detectados. Como puede aprecarse, la dferenca entre ambas fue muy sustancal, ndcando que las presones nterstcales en el seno de las arcllas dstaba mucho de haber alcanzado el equlbro tras laos sucesvos llenados y recrecdos del dque. En estos casos de carga rápda, para arcllas normalmente consoldadas o lgeramente sobreconsoldadas es habtual asumr condcones sn drenaje en los cálculos, que suele ser la stuacón más desfavorable desde el punto de vsta de la establdad. Es decr, se supone que la carga es nstantánea y que no se ha producdo dspacón alguna de las presones nterstcales generadas por la construccón. Los parámetros de resstenca al corte a emplear son pues los correspondentes a las condcones sn drenaje (c=su; =0), y el cálculo se realza en tensones totales, sn tener que consderar las presones nterstcales generadas, de compleja estmacón. 15

21 Fgura 4.3: Presones nterstcales meddas en la balsa de Aznalcóllar (Alonso, E. 2003). Evdentemente no puede decrse que la carga de un terraplén sea nstantánea, ya que el proceso su construccón supone el extenddo y compactacón de un buen número de capas o tongadas de terras, lo que lleva bastantes días o semanas. Sn embargo, s el terreno es muy poco permeable, el proceso normal de construccón puede resultar lo sufcentemente rápdo como para que no se produzca un drenaje sgnfcatvo de su zona de nfluenca, y por lo tanto sea razonable asumr condcones sn drenaje. En otras palabras, la baja permeabldad del suelo puede dar lugar a que una velocdad de construccón normal pueda consderarse rápda o nmedata en térmnos geotécncos, aunque no lo sea en térmnos reales de tempo. De hecho, s sobre la msma arclla normalmente consoldada se levantara el terraplén tan lentamente como para dar tempo a que se fueran dspando progresva y completamente los excesos de presón nterstcal generados en cada momento, a pesar de la mpermeabldad del suelo el proceso de carga sería lo sufcentemente lento como para poder consderar condcones drenadas (sn sobrepresón nterstcal) 4. Para el caso de arcllas sobreconsoldadas, sn embargo, especalmente s su comportamento puede estar regdo por superfces sngulares de debldad 4 Estas deas se traducen en la práctca a la construccón de terraplenes por etapas en suelos blandos, en los que la colocacón del relleno se realza en varas fases, de tal forma que entre ellas se dsponga de tempo para dspar parcalmente los excesos de presón nterstcal generados. 16

22 (estratfcacón, planos de fsuracón, etc.) en las que la resstenca al corte se haya degradado o pueda degradarse en el futuro, el cálculo en condcones sn drenaje no tene por qué ser el más desfavorable y, de hecho, puede ser contraro a la segurdad (Alonso, E. 2003). En este caso convene realzar el análss en tensones efectvas, para lo cuál es necesaro estmar las presones nterstcales generadas y analzar en laboratoro la fragldad del materal, ntentando ncorporar en dseño sus efectos (rotura progresva y degradacón de la resstenca). Obvamente en estas condcones la stuacón de corto plazo o sn drenaje A modo de ejemplo, Alonso, E (2003) ndca que en las arcllas del substrato de Aznalcóllar la resstenca al corte sn drenaje S u medda en muestras ntactas varaba entre 100 y 225 kpa, lo que daba lugar a un factor de segurdad de 2 en cálculos de establdad a corto plazo o sn drenaje, lo que evdentemente no explcaba la rotura producda. Por otra parte, en condcones de pco se obtenían en laboratoro valores medos c =65 kpa; =24,1, que conducían tambén a factores de segurdad elevados. En realdad, la rotura se explcaba con parámetros de resstenca c =0; =17-19, lo que resultaba ndcatvo de la degradacón en resstenca sufrda por el terreno (el ángulo de rozamento nterno resdual se stuaba en torno a 11 ó 12 ). Sguendo con el msmo ejemplo, s se construyera el terraplén sobre un suelo muy permeable, por ejemplo una arena meda a gruesa, la dspacón de la sobrepresón de poros generada por la carga ocurrría muy rápdamente, de forma cas smultánea con su aplcacón. A efectos práctcos se podría consderar por tanto que los ncrementos de tensón total aplcados con la colocacón de cada nueva tongada se transforman nmedatamente en ncrementos de tensón efectva. En estas crcunstancas, a pesar de que la carga se aplcase rápdamente, las condcones serían drenadas o con drenaje. En consecuenca, este últmo caso podrá estudarse con parámetros efectvos (c, ) y con las presones nterstcales de equlbro defndas en funcón de las condcones hdrogeológcas de contorno, sn necesdad de consderar excesos o defectos de presón causados por cambos tensonales. Para fnalzar con este ejemplo lustratvo, resulta fácl comprender que, aunque el terreno en general fuera poco permeable, la exstenca de capas drenantes próxmas aceleraría consderablemente el proceso de dspacón, ya que en defntva facltarían el flujo de agua. Este podría ser el caso de un suelo estratfcado en el que alternasen capas arcllosas de baja permeabldad junto con capas granulares de permeabldad 17

23 elevada. En esta stuacón las condcones de carga podrían suponerse ncluso drenadas, dependendo de la proxmdad de los horzontes permeables y de la velocdad de construccón. Obvamente la realdad en un nstante cualquera será sempre ntermeda entre las condcones sn drenaje y con drenaje, que tan sólo representan los puntos extremos del proceso transtoro de dspacón de sobrepresones nterstcales tras la carga. En cualquer caso, en la práctca resultará mportante poder dscernr cuáles son las condcones aplcables a cada problema partcular. Resumendo las deas anterores para el caso de los terraplenes (carga), y amplándolas para la excavacón de desmontes (descargas), en la fgura 4.4, tomada de Bshop & Bjerrum (1960), se muestra de forma esquemátca la evolucón general de las presones nterstcales y del coefcente de segurdad al construr un terraplén o al excavar un desmonte en una arclla saturada. Analzando ahora el caso del desmonte, al excavarlo crecen las tensones de corte en el seno del terreno. Sn embargo, en lo que se refere a los cambos en la tensón meda, s ante la carga rápda del terraplén se producía una sobreelevacón de la presón nterstcal, ante la descarga rápda que supone el desmonte se produce una reduccón respecto a la de equlbro orgnal. En esta stuacón la resstenca al corte movlzable del terreno puede llegar a ser máxma a corto plazo, y el coefcente de segurdad tambén. Posterormente, a medda que va aumentando la presón nterstcal drgéndose haca el nuevo equlbro, la resstenca al corte dsponble dsmnuye y tambén lo hace el coefcente de segurdad Esto ocurre especalmente en arcllas fuertemente sobreconsoldadas, que resultan dlatantes al someterlas a corte y por lo tanto dan lugar a reduccones de presón nterstcal cuando dcho corte se produce sn permtr el drenaje. En estas crcunstancas, tanto la descarga meda producda al desmontar, como el ncremento de tensones tangencales, orgnan una reduccón en la presón nterstcal a corto plazo. 18

24 Fgura 4.4: Evolucón de la presón nterstcal y del coefcente de segurdad asocado al construr un terraplén o al excavar un desmonte en una arclla saturada (Bshop & Bjerrum, 1960). (A es el parámetro de presón nterstcal de Skempton). 19

25 Para lustrar este efecto, en la fgura 4.5 se muestra un caso muy esclarecedor. Se trata de un desmonte en arclla de Londres orgnalmente excavado en 1850, y amplado (descargado de nuevo) en uno de sus lados en 1956 (Skempton, 1977). Las lecturas de los pezómetros que fguran en la tabla corresponden al año 1975, es decr, una vez transcurrdos 125 años desde la excavacón orgnal y 19 desde la amplacón. Las meddas se encuentran en funcón del factor r u, muy habtual en los cálculos de establdad de taludes, defndo como la relacón entre la presón nterstcal en un punto del terreno y la presón total vertcal (presón geostátca) en dcho punto: u r u H Fgura 4.5: Presones nterstcales en una trnchera excavada en arclla de Londres, con taludes de dstnta edad. (Skempton, 1977).. 20

26 Como se desprende de la tabla, en el lado antguo las presones nterstcales habrían alcanzado una stuacón de equlbro, defndo por un factor medo r u =0,32, mentras que en el lado amplado, tras 19 años de la descarga adconal de terras, tan sólo se habría alcanzado un 50% de la ecualzacón de presones (r u =0,15). En estas condcones se puede deducr que el factor de segurdad del nuevo talud aún resultaba mayor que el correspondente a las condcones completamente drenadas del lado antguo. Por últmo, la fgura 4.6 recoge la evolucón de las presones nterstcales en varos taludes excavados en arclla de Londres (Skempton, op.ct.). Como puede aprecarse, la dspacón completa de los defectos de presón nterstcal en estos terrenos parecen alcanzarse tras 40 ó 50 años de la excavacón de los desmontes. En ese momento es cuando se alcanzan las condcones más desfavorables desde el punto de vsta de la establdad, lo que por otra parte ha sdo corroborado medante la observacón de bastantes roturas dferdas. Fgura 4.6 Varacón del factor r u con el tempo en desmontes en arclla de Londres. (Skempton, 1977). Con respecto a los métodos de cálculo para las stuacones en desmonte, de nuevo se podrá acudr a un cálculo en tensones totales para la stuacón a corto plazo, y a un cálculo en efectvas para cualquer nstante del proceso. Es mportante hacer hncapé sn embargo en que la stuacón más desfavorable de un desmonte excavado en arclla 21

27 dependerá de la naturaleza del terreno. Así, mentras que en arcllas muy sobreconsoldadas la peor stuacón se dará muy probablemente a largo plazo, una vez dspados los defectos de presón nterstcal, puede no resultar así en arcllas menos rígdas (especalmente en materales normalmente consoldados), de manera que no resulta nmedato selecconar una únca stuacón a calcular. Por otra parte, tambén es mportante señalar que en el cálculo a largo plazo la excavacón del desmonte habrá modfcado las condcones de drenaje de contorno orgnales (se ha creado la superfce del talud bajo el nvel freátco orgnal, se han poddo nstalar zanjas o sstemas de drenaje al pe del desmonte, etc.). Todo ello hará necesaro establecer las nuevas condcones de contorno y estmar la red de flujo estaconaro defntva para la obtencón de las nuevas presones nterstcales de equlbro. 5.- INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE EQUILIBRIO LÍMITE. CONSIDERACIONES PREVIAS Hpótess báscas. Los métodos de equlbro límte, aunque potentes y fables, conllevan 5 hpótess báscas de carácter bastante restrctvo: 1. Se consdera que el talud es ndefndo en la dreccón horzontal paralela a su superfce, es decr, el problema se estuda en condcones bdmensonales o de deformacón plana, s ben exsten algunos procedmentos, no habtuales, que consderan la trdmensonaldad. 2. Se supone un mecansmo de rotura a favor de determnadas superfces de deslzamento (planas o curvas). La masa de suelo contenda por dchas superfces se consdera como un únco bloque rígdo, o ben se subdvde en bloques más pequeños, tambén rígdos, dependendo de la forma de rotura supuesta o del procedmento de cálculo (fgura 5.1). 22

28 Fgura 5.1: Compartmentacón en bloques en los métodos de equlbro límte. 3. Se asume un crtero de rotura del terreno a lo largo de las superfces de deslzamento defndas. Dcho crtero es habtualmente el de Mohr-Coulomb, ya descrto en apartados anterores. 4. Se supone que cada bloque en los que se ha subdvddo la masa de suelo se encuentra en equlbro estrcto. A contnuacón se resuelven las ecuacones de equlbro estátco (fuerzas y momentos) del sstema (fgura 5.2) y se determna la resstenca tangencal necesara a lo largo de la superfce de deslzamento supuesta para consegur dcho equlbro. No obstante, como se verá más adelante, no todos los métodos de equlbro límte, n squera algunos de los más utlzados, llegan a satsfacer las tres ecuacones de equlbro. 5. Se defne un factor de segurdad (ver 3.2, b), que se supone constante a lo largo de toda la superfce de deslzamento. 23

29 A: Resultante de fuerzas externas. W. Peso propo de la masa de suelo. U: Resultante de las presones nterstcales a lo largo de la superfce de deslzamento supuesta. N : Resultante de las tensones efectvas normales a la superfce de deslzamento. R m : Resultante de las tensones tangencales necesaras a lo largo de la superfce de deslzamento para alcanzar el equlbro estrcto. Fgura 5.2: Esquema básco de fuerzas actuantes para los cálculos de equlbro límte. Con estas premsas y como resulta fácl comprender, la suposcón ncal de un determnado mecansmo de rotura o superfce de deslzamento dará lugar a un determnado factor de segurdad asocado. Resulta pues necesaro repetr el análss con otras superfces hasta estmar cuál es la más desfavorable. Ésta lógcamente se corresponderá con el mínmo factor de segurdad, cuyo valor fnalmente se adopta como coefcente de segurdad del talud. Para fnalzar con este apartado, resulta nteresante hacer hncapé en una lmtacón mportante recogda en la 5ª hpótess anteror, que ndca que en los métodos de 24

30 equlbro límte se supone que el coefcente de segurdad es constante a lo largo de toda la superfce de deslzamento. Obvamente esta suposcón es bastante restrctva dado que equvale a postular, para cualquer suelo del talud, el msmo grado de movlzacón de las componentes de cohesón y de rozamento de la resstenca (fgura 5.3). Fgura 5.3: Unformdad del coefcente de segurdad. Por otra parte, aunque el terreno sea homogéneo ya se ha ndcado en 3.1 que la movlzacón de su resstenca al corte puede presentar marcadas varacones en funcón del nvel de deformacones. En ocasones para ntentar palar esta stuacón se acude a defnr una resstenca ntermeda entre las resstencas de pco y resdual, pero no cabe duda de la dfcultad de selecconar con fabldad dcho valor ntermedo. En estas crcunstancas las técncas de equlbro límte pueden no resultar apropadas, sendo recomendable en estos casos hacer uso de técncas más especalzadas (elementos fntos). 25

31 5.2.- Procedmentos de cálculo en los métodos de equlbro límte. De forma general se pueden establecer tres grandes grupos: los que estudan globalmente el equlbro de toda la masa nvolucrada en el deslzamento, los que la dvden en unos pocos bloques cuya geometría depende de la heterogenedad del terreno y de la superfce de rotura supuesta, y los que la subdvden sstemátcamente en múltples rebanadas teórcas. En la fgura 5.4 se muestran algunos de los procedmentos de equlbro global, mentras que en la 5.5 se muestran los prncpales procedmentos de análss por el método de las rebanadas. En los apartados sguentes se descrben algunos de estos procedmentos, los más empleados en la práctca habtual. Fgura 5.4: Procedmentos de equlbro global (tomada de Olalla, C. (1999)). 26

32 Fgura 5.5: Métodos de rebanadas (tomada de Olalla, C. (1999). 27

33 6.- ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UN TALUD INDEFINIDO Utldad y desarrollo del método. Este sencllo mecansmo de rotura, de carácter puramente traslaconal, consttuye un modelo razonable para muchas laderas naturales en las, como muestra la fgura 6.1, exste un recubrmento de suelo (generalmente eluval o coluval) sobre un substrato resstente y poco profundo. Evdentemente en la realdad nngún talud es ndefndo, pero esta smplfcacón es aplcable cuando la línea de rotura (o la ladera) es sufcentemente extensa, pudendo entonces desprecar las condcones de los bordes superor e nferor. En estas crcunstancas todas las seccones vertcales a lo largo del talud son déntcas, de manera que consderando el equlbro de una rebanada cualquera, por smple smetría las fuerzas que actúan en los planos vertcales a uno y otro lado de la msma han de ser guales y contraras (fgura 6.1). S se consdera entonces el equlbro de fuerzas en dos dreccones perpendculares, las accones entre rebanadas no ntervenen. Dcho equlbro puede por tanto establecerse exclusvamente a partr las sguentes fuerzas: W: Peso de la rebanada U: Resultante de la presón nterstcal (u) en la base de la rebanada (U=u l). N : Resultante de las tensones efectvas normales a la base de la rebanada. R m : Resstenca tangencal movlzada. a) Defncón de resstenca. Segurdad: En tensones, con el crtero de Mohr-Colulomb: c' tan' m ( n u), F F 28

34 En fuerzas, con las dmensones de la rebanada: R m c' l tan' N' (1) F F Fgura 6.1: Talud ndefndo. Parámetros báscos. b) Equlbro de fuerzas perpendculares a la superfce de deslzamento. W cos U N', y llamando a la densdad aparente del terreno: W H b H l cos, resultando: 2 H z l cos ul N ' (2) 29

35 c) Equlbro de fuerzas paralelas a la superfce de deslzamento W sen R m (3) Susttuyendo N de (2) en (1), ntroducendo el valor de Rm resultante en (3) y despejando F resulta: F 2 c' H cos u tan' (4) H sen cos Casos especales u=0 (Talud seco ): 2 c' H cos tan' c' tan' F (5) H sen cos H sen cos tan Como puede aprecarse, en esta expresón el coefcente de segurdad depende de la profunddad H, de manera que, en el caso de un terreno homogéneo, la superfce de deslzamento más desfavorable, además de ser paralela al talud por las razones de smetría antes señaladas, sería la más profunda posble (F dsmnuye al aumentar H). Por ello, ante la exstenca de un estrato resstente, paralelo al talud y stuado a certa profunddad, el coefcente de segurdad mínmo corresponde a una superfce de deslzamento en concdenca con el contacto entre capas c = 0 (suelo sn cohesón): u tan F 1 ' H cos (6) tan c =0 y u=0 (suelo sn cohesón y talud seco ): tan' F (7) tan 30

36 Esta ecuacón muestra el hecho conocdo de que en un suelo sn cohesón el coefcente de segurdad depende exclusvamente de la nclnacón () del talud y del ángulo de rozamento nterno ( ), régmen de fltracón paralelo al talud: Este modelo, mostrado en la fgura 6.2, representa stuacones frecuentes en laderas naturales. Su cálculo es muy sencllo habda cuenta que las líneas de flujo son paralelas al talud, y por tanto las equpotencales (AP en la fgura) son perpendculares al msmo. En consecuenca, AQ es la altura de presón (u A / w ) en la base del deslzamento, y observando que AP = m H cos, resulta: u A AQ w AP cos m H cos 2 u A m H cos w 2 Susttuyendo en (4): Fgura 6.2: Talud ndefndo. Flujo paralelo a la ladera. c' w tan' F 1 m H sen cos (8) tan 31

37 c =0 y régmen de fltracón paralelo al talud w tan' F 1 m (9) tan Esta expresón aporta una observacón nteresante respecto a la enorme trascendenca de las presones nterstcales en la establdad. Así, tenendo en cuenta que el peso específco aparente de un suelo medo suele ser del orden del doble que el peso específco del agua, s el talud se encuentra totalmente saturado (m=1) con flujo paralelo al msmo, el coefcente de segurdad se reduce a: w tan' 1 tan' F 1 (10) tan 2 tan que vene a ndcar que con la saturacón y el flujo paralelo, el coefcente de segurdad de un talud ndefndo, no cohesvo y orgnalmente seco, puede reducrse a la mtad Otros casos (empleo de ábacos). Como se deduce de los párrafos anterores, el procedmento para analzar taludes ndefndos es razonablemente sencllo. De hecho, gran parte de los casos que pueden plantearse en la práctca habtual han sdo tabulados (fgura 6.3). Para su empleo el coefcente de segurdad se expresa en funcón de dos números de establdad, A y B, de la sguente forma: tan' c' F A B tan H Los valores de A y B pueden obtenerse drectamente de los ábacos a partr de la nclnacón del talud () y del factor de presón nterstcal (r u ). Dcho factor puede a su vez obtenerse drectamente en las expresones de la fgura para dos casos de fltracón senclla: paralela al talud y con flujo emergente en la superfce del msmo. Para otros casos más sngulares será necesaro realzar la estmacón preva del régmen de presón nterstcal. 32

38 Fgura 6.3: Abacos para el cálculo de la establdad de taludes ndefndos (tomada de Sorano, A. (1997). 33

39 7.- ROTURAS CIRCULARES. MÉTODOS DE ESTABILIDAD GLOBAL. EL CÍRCULO DE ROZAMIENTO Generaldades. Como recoge de forma esquemátca la fgura 4.2, en terrenos homogéneos las superfces de deslzamento de drectrz crcular se ajustan con bastante precsón a la realdad observada, denomnándose por ello deslzamentos rotaconales. Complementaramente y desde un punto de vsta práctco, el arco de crcunferenca consttuye una geometría senclla de fácl análss matemátco, lo que sn duda ha contrbudo tambén a su éxto y dfusón. Hstórcamente, las prmeras descrpcones detalladas de superfces de deslzamento de drectrz curva se deben probablemente al ngenero francés Alexandre Colln, uno de cuyos dbujos se reproduce en la fgura 7.1. Fgura 7.1: Deslzamento en la trnchera de cmentacón de la presa de Grosbos (Colln, A. 1846). (Tomado de Skempton, A.W.). En lo que respecta a las superfces de deslzamento de drectrz específcamente crcular, al parecer se comenzaron a emplear en Sueca en 1916 tras la observacón sstemátca de este mecansmo de rotura en algunos muelles del puerto de 34

40 Gotemburgo (Petterson, K.E.) 5. Dcha tpología fue posterormente corroborada, en 1922, a través de un nforme elaborado por una Comsón Geotécnca de los Ferrocarrles Suecos, encargada de estudar múltples casos de nestabldad, muchos de las cuales resultaron tener el msmo mecansmo crcular de rotura. A partr de entonces, este tpo de superfce de rotura se ha empleado con profusón. El modelo de cálculo global desarrollado a partr de las observacones anterores se denomna método del círculo de rozamento por los motvos que más adelante se exponen, o tambén habtualmente y dado su orgen, del círculo sueco. Quzás la descrpcón más conocda de este método sea la recogda por Taylor, D.W. (1966), cuyo desarrollo se expone a contnuacón Desarrollo conceptual del método. La fgura 7.2 muestra una superfce de rotura crcular de centro O y rado R, tentatva para un determnado talud homogéneo. Fgura 7.2: Fuerzas actuantes en una superfce crcular de deslzamento. 5 La autoría del método descrto en este apartado tuvo, al parecer, algo de polémca. En esta nteresante referenca Petterson defende su paterndad, aportando mucha nformacón de ndudable nterés hstórco sobre el desarrollo del método y sus prmeras aplcacones. 35

41 Las fuerzas que actúan sobre la masa potencalmente deslzante son: A: Resultante de las fuerzas externas al talud. W. Peso propo de la masa de suelo. U: Resultante de las presones nterstcales a lo largo de la superfce de deslzamento. N : Resultante de las tensones efectvas normales a la superfce de deslzamento. Rm: Resultante de las tensones tangencales movlzadas a lo largo de la superfce de deslzamento para alcanzar el equlbro estrcto. Del sstema anteror se supone que A es conocda y puede ser determnada tanto en magntud como en dreccón. Lo msmo cabe decr de W, que puede ser calculada conocendo la geometría del talud y la superfce de deslzamento supuesta, y de U, cuya estmacón puede efectuarse a partr de las condcones hdrogeológcas exstentes. En lo que respecta a N, al ser la resultante de las tensones efectvas normales a una superfce crcular, ha de pasar por su centro O, pero su punto de aplcacón y su magntud son por el momento desconocdas, dependendo ambos lógcamente de la dstrbucón de tensones efectvas normales a lo largo de la superfce de deslzamento. Fnalmente, Rm es la resultante de las tensones tangencales movlzadas para alcanzar el equlbro estrcto, cuya expresón general se ha de ajustar al crtero de rotura de Mohr-Coulomb: R m 0 L c' m ' tan' dl m, donde: L es la longtud del arco AB de la superfce de deslzamento supuesta y dl es el dferencal de longtud de dcho arco, consderado como vector. 36

42 Dado que la resultante de tensones tangencales en su forma más general tene dos componentes, cohesva y frcconal, para ahondar un poco en su conocmento, supóngase que se dvde el arco AB, de longtud total L a en pequeños elementos 6, y que en cada uno de ellos se representan los dos térmnos de la resstenca movlzada Rm. En la fgura 7.3.a se muestran las componentes debdas a la cohesón, y en la fgura 7.3.b las frcconales o de rozamento. Con respecto a las fuerzas resstentes cohesvas, descomponendo cada una de ellas en la dreccón de la cuerda AB y en la perpendcular a ésta, y realzando su suma vectoral, es nmedato observar que su resultante ha de ser paralela a la cuerda AB (la suma de componentes perpendculares es nula). Por tanto su magntud es precsamente: R c' L, donde L c es la longtud de dcha cuerda. c m m c En cuanto a su línea de accón, el momento de la resultante respecto al centro del círculo ha de ser gual a la suma de momentos de todas las fuerzas cohesvas en los pequeños elementos, de cuerda asmlable al arco y de longtud L, así que llamando r al brazo de la resultante: R c m r c' m L R c' m L a R y por tanto: c' m L a R r c R m c' m L a R c' L m c L L a c R Con relacón a la fuerza resstente frcconal, en cada uno de los elementos su magntud será: R m, N' tan' m. 6 No nfntesmales, sno dscretos, smplemente para hacer más explcatva la fgura. 37

43 Fgura 7.3: Detalles sobre las fuerzas nvolucradas en el análss de establdad. (modfcada de Taylor, D.W. op. ct.) Por defncón la resultante vectoral P de cada pareja (N, R m,) ha de formar un ángulo m con la línea de accón de la fuerza N correspondente y, además, la línea de accón de cada N pasa necesaramente por O. En consecuenca, las resultantes P serán tangentes a otro círculo, concéntrco con el de la superfce de deslzamento 38

44 supuesta y de rado Rsen m. A este últmo círculo se le denomna círculo de frccón, y da nombre al método de cálculo. Ahora ben, como se puede aprecar fáclmente en la fgura 7.3.b, la suma vectoral de cualquer pareja de fuerzas P no es tangente al círculo de frccón, y por tanto su resultante P tampoco lo será. Lo que sí se sabe es que s el vector B (fgura 7.3.c) representa a la resultante de las fuerzas conocdas ncalmente, W, A y U, para que exsta equlbro la línea de accón de P habrá de pasar por el punto D, nterseccón de las líneas de accón de B y de R c m. El problema se encuentra en cualquer caso ndetermnado, ya que frente a las 3 ecuacones de equlbro de fuerzas y momentos se cuenta con 4 ncógntas: el coefcente de segurdad F, la magntud de N, un parámetro sobre la línea de accón de N (, por ejemplo, en la fgura 7.3.d) y un parámetro sobre la línea y de accón de R m (el brazo r, por ejemplo, de la msma fgura). Esta ndetermnacón se debe a que se desconoce la dstrbucón de tensones efectvas normales a lo largo de la superfce de deslzamento. S se realza una hpótess sobre la forma de dcha dstrbucón, se conocerían las líneas de accón de N y R m, y sólo quedarían dos ncógntas: F y N. Por lo tanto, es necesaro suponer una dstrbucón de tensones que dependa de un parámetro, de manera que el número de ncógntas sea gual a Procedmento de aplcacón orgnal. El círculo de rozamento. La hpótess más senclla consste en suponer que las tensones efectvas normales se concentran en un punto de la superfce de rotura, es decr, que el punto de aplcacón de N se encuentra en dcha superfce. En estas crcunstancas r = R y la resultante P ha de ser tangente al círculo de rozamento, lo que evdentemente smplfca el problema. La hpótess anteror puede parecer bastante grosera, pero se ha comprobado que el coefcente de segurdad F obtendo a partr de ella es un límte nferor del coefcente real. Adconalmente la desvacón con respecto a éste no es muy mportante, de 39

45 manera que resulta una hpótess senclla y lgeramente conservadora, lo que puede ser convenente en la mayoría de los casos. En la stuacón anteror, aún hay que recordar que el valor de F se desconoce, y por tanto las magntudes de las componentes de la resstenca, de forma que es precso actuar por aproxmacones sucesvas. En la fgura 7.4 se muestra un ejemplo del proceso a segur para la obtencón de F, que consta de los sguentes pasos: Fgura 7.4: Método gráfco para determnar el factor de segurdad de una superfce de deslzamento crcular (en la fgura 7.4.b se representa sólo uno de los tanteos). 1. Se obtene el vector B, resultante del peso W, de la fuerza del agua U y de las accones externas A. 2. Se determna el punto D, nterseccón del vector B y de la línea de accón de la resstenca cohesva R c m (paralela a la cuerda AB, y stuada a una dstanca del 40

46 centro del círculo O gual a La r R. L c 3. Se asume un valor ncal m, lo que obvamente equvale a suponer un coefcente de segurdad F=tan /tan m que denomnaremos F. 4. Con el valor de m selecconado se dbuja el círculo de rozamento, de centro O y rado Rsen m. 5. Para que haya equlbro la línea de accón de la resultante P ha de pasar por el punto D. Además, por la hpótess realzada en cuanto a las tensones normales, dcha línea de accón ha de ser tangente al círculo de rozamento. Se traza pues desde D una tangente a dcho círculo, que constturá la línea de accón buscada. 6. Desde el extremo de B se traza una paralela a la cuerda AB (a la línea de accón de la resstenca cohesva), y cerrando el paralelogramo de fuerzas se obtene la magntud de R c m y P. c 7. Dado que R m c' m Lc, el coefcente de segurdad correspondente, al que denomnaremos F c. será: R c m c' m L c c' L F c c F c c' L R c c m 8. Obvamente el valor obtendo de F c no tendrá por qué concdr con el valor de F ncalmente supuesto, pero proporconará un punto (F, F c ) en el gráfco de la fgura 7.4.b. 9. Se supone otro valor de m y se repte el proceso desde el paso (3), obtenendo un nuevo punto (F, F c ) en el gráfco 7.4.b. 10. Se repte el procedmento tantas veces como se necesaro (3 es usualmente sufcente) hasta trazar una curva de puntos (F, F c ). Su nterseccón con la recta F = F c (a 45 desde el orgen de coordenadas) proporconará el factor de segurdad buscado. 41