Compendio de Cálculo Estructural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici

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1 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 Capítulo 7 PANDEO DE CILINDRO ECUACIONE PARA CILINDRO DELGADO El análisis de un cilindo delgado en compesión se inicia deiniendo dos coodenadas cuvilíneas otogonales (, ) sobe la supeicie media del sistema indeomado y una tecea coodenada (z) en diección pependicula a las dos anteioes, según se muesta en la Figua -a. Los desplazamientos también están indicados en la Figua -a y se denotan u, v y w. Nos concentaemos en el análisis de la estabilidad de cilindos delgados, po se estos muy empleados en aplicaciones pácticas. a) Coodenadas y desplazamientos b) Esuezos esultantes sobe un elemento de cilindo Figua : Convención de signos paa las coodenadas cilíndicas, los desplazamientos y los esuezos esultantes sobe un elemento de cilindo Los esuezos esultantes y las ecuaciones constitutivas se deinen de manea simila al caso de placas, según se indica en la Figua -b. Nota que a dieencia del caso de la placa, aquí el sentido positivo del eje z es acia aiba. Paa deduci las elaciones cinemáticas se adopta la ipótesis de Kico donde se asume que: las ectas nomales al cilindo medio indeomado pemanecen ectas y son nomales al cilindo medio deomado. Además, se despecian las tensiones nomales en los planos paalelos al cilindo medio. Planteando el equilibio de uezas (tes ecuaciones) y de momentos (dos ecuaciones), todo en el sistema deomado, se obtienen ecuaciones similaes a (5) asta (9) del Capítulo 6 paa el caso de placas. También aquí es posible elimina los cotes, Q y Q, obteniendo ecuaciones similaes a las (4) a (6) del Capítulo 6: N N + 0 ()-a N N + 0 ()-b w w N w 4 N N + N + + D w + p ()-c donde es el adio medio del cilindo, w es el desplazamiento tansvesal. Los esuezos 4 membanales N, N, N, y la pesión p están indicados en la Figua -b, es el bilaplaciano en coodenadas cilíndicas, mientas que D es la igidez leional, deinida en la ecuación (3) del Capítulo 4: ( ) D E 3 ( ν ) Las ecuaciones () elacionan los desplazamientos tansvesales con los esuezos membanales y la caga tansvesal y son conocidas como las ecuaciones de Donnell. ()

2 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 Nota que en el caso lineal de leión se despecia el cocete en ()-c poque se considea que los cambios de cuvatua son pequeños. in embago, la contibución membanal asociada a la cuvatua popia del cilindo mantiene acoplado el sistema () a tavés de (N /) en ()-c. Las ecuaciones lineales membanales se obtienen aciendo w 0 : N N N N N p 0 (3) CARGA CRÍTICA PARA CILINDRO DELGADO Las cagas cíticas paa distintos tipos de caga se pueden obtene aciendo un análisis de biucación del equilibio simila al ealizado en el Capítulo 6 eeido a pandeo de placas. Los desplazamientos se pueden escibi como en el caso de placas, 0 u u + u i,, 3 i i i donde: u 0 i coesponde a un estado de equilibio antes del incemento o petubación, y está sobe la tayectoia pincipal, que es lineal; u i son petubaciones ininitamente pequeñas y u i epesenta a un estado de equilibio adyacente, cuya eistencia se investiga. Repitiendo una omulación simila a la usada en el caso de placas, se obtienen ecuaciones equivalentes a las (9) del Capítulo 6 eeido a pandeo de placas: ν w w ν w w v u w 0 w N w + ν w D w N + N + C (5)-c donde es el cuadilaplaciado ( ) y C E/ ( ν ) es la igidez membanal deinida en la ecuación (7) del Capítulo 4. Las ecuaciones (5) se conocen como las ecuaciones de estabilidad de Donnell en oma desacoplada. Nota que u, v y w son petubaciones que se agegan al estado 0 0 de equilibio u, v y w 0 0 0, y los esuezos membanales N, N y N 0 coesponden al estado de 0 0 equilibio undamental u, v y w 0. A continuación se pesentan soluciones clásicas del poblema de biucación del equilibio, paa vaios tipos de caga (aial, lateal y pesión idostática).. Caga aial y bodes simplemente apoyados En la Figua se muesta un cilindo de lago, adio y espeso, que sopota una caga aial de compesión P. La tayectoia undamental es apoimada po una solución membanal: P N 0 ; N 0 N 0 0 (6) π y las condiciones paa bodes apoyados son: w w 0 ; 0 en 0 y en (7) Figua : Fomas de pandeo de un cilindo con caga aial: m semiondas aiales y n ondas cicuneenciales La solución es de la oma: w A sen ( n ) sen m/ (8) mn ( ) donde: A mn es una constante, m y n son enteos y m ( mπ ). Nota que se popone un númeo enteo de ondulaciones: m semiondas en sentido aial y n ondas en sentido cicuneencial. En la Figua se obsevan cuato semiondas en sentido aial (m 4) y tes ondas completas en sentido 6 (4) (5)-a (5)-b

3 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 cicuneencial (n 3). De esa manea se satisacen las condiciones de apoyo que pemiten el gio peo no el desplazamiento tansvesal en 0 y en l, y la continuidad del desplazamiento tansvesal y su deivada en π. Reemplazando (8) y (6) en (5)-c se obtiene un poblema de autovaloes. Inteesa el valo popio P que pemita obtene un valo no tivial paa A mn : ( m + n ) P D + ( ν ) C donde (9) π m Nota que es una vaiable que toma valoes discetos en unción de los enteos n y m. Los valoes de m y n que poducen el meno valo de P se deben enconta po tanteos. Paa cilindos de longitud intemedia, se puede obtene una buena apoimación minimizando (9) en oma analítica especto a la vaiable, esto se ace igualando a ceo la deivada de P especto de : dp 0 cít ( ν ) (0) d valo que llevado a (9) pemite escibi: E cít () 3 ν ( ) Paa ν 0,3 se obtiene la ómula clásica de la tensión cítica: cit 0,605 E () La minimización analítica que condujo a la ómula clásica no es válida paa cilindos muy cotos. Como el lago del cilindo no igua en la ecuación (), esulta conveniente tenelo en cuenta deiniendo la vaiable adimensional Z conocida como paámeto de Batdo, paámeto de Batdo Z ν (3) Nota que el paámeto adimensional de Batdo ( Z ) depende undamentalmente de las vaiables geométicas que deinen al cilindo: el lago l, el adio y el espeso. Intoduciendo el valo de Z dado en (3) y el valo de la igidez leional dado en (), podemos eescibi la ómula clásica () como sigue: / 3 D E [ ( ν )] cit π D Z 3 π Deiniendo el paámeto adimensional π D cit cit a a ( 0,70 Z ) K a, la ecuación (4) puede escibise como: π D K siendo K 0,70 Z (4) (5) Nota que a pesa de su aspecto dieente, las ecuaciones (4) y (5) poveen el mismo esultado que la ómula clásica (). La minimización analítica que condujo a las ecuaciones (), (4) y (5) no es válida paa cilindos muy cotos, esto ocue cuando: Z <,85 no es válida ni () ni (4) ni (5) (6) en tales casos se debe utiliza (9) y tanteos. Este pocedimiento es válido paa cualquie longitud y sus esultados están gaicados en la Figua 3. Z <,85 se debe utiliza (9) y tanteos paa obtene cit (7) 7

4 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 Con los esultados del pocedimiento basado en enconta el mínimo de la ecuación (9) po tanteos, en la Figua 3 se a gaicado el coeiciente K a paa se usado como sigue: cilindos no muy cotos Z >, K K 0,70 Z π D a a cit K a Z Ka cilindos muy cotos, de la Figua 3 (8) Figua 3: Gáico del coeiciente K a paa calcula cít en unción del paámeto de Batdo Es impotante tene pesente que en el caso de un cilindo sometido a caga aial, paa que la tensión cítica dada po () sea meno que la tensión de luencia se equiee que la elación / sea etemadamente pequeña y esa situación genealmente no se da. Po oto lado paa que Z sea meno que,85 el lago del cilindo debe se ínimo y esa situación genealmente tampoco se da. Paa gana sentido ísico consideamos, a modo de ejemplo, un cilindo de gan diámeto, pequeño espeso y etemadamente coto: diámeto 3 m, espeso 3 mm, lago cm (!!), mateial aceo ( E kg/cm, ν 0,3 y 800 kg/cm ). () (3) { 50 0,3 } cít 54< Z 3,05 >,85 (9) En conclusión, podemos asegua que el caso pesentado en la ecuación (7) es sólo una cuiosidad matemática de muy poca aplicación páctica. Finalizamos esta sección ecodando que los cilindos muy esbeltos pueden pandea como columna, po lo cual se los debe veiica como tales.. Pesión lateal y bodes simplemente apoyados Genealmente la caga lateal se debe a la pesión de un luido (o vacío inteio), po lo que la caga es siempe pependicula la supeicie deomada. No obstante, en el análisis de biucación que se ealiza a continuación (siguiendo a Donnell) se considea que p es siempe adial, es deci pependicula al cilindo no deomado, ve Figua 4. Ignoando el eecto de leión ceca de los bodes, se puede 0 acepta una solución membanal ( w constante ) que simpliica el análisis: Figua 4: Cilindo con pesión lateal uniome N 0 0 N 0 p N 0 0 (0) 8

5 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 Intoduciendo (0) en (5)-c: ν w 4 w D w + C + p 4 y consideando bodes simplemente apoyados: w w 0 0 en 0 y en l () la solución tiene la oma w A sen ( n ) sen m/ (3) mn ( ) donde: A mn es una constante, m mπ y m y n son enteos (m semiondas y n ondas completas). Intoduciendo (3) en (), se llega a un poblema de valoes popios. Paa obtene un valo no tivial de A mn debe se: ( + ) 4 ( + ) m n m n 0 ( ) () m n D m p + ν C (4) donde se veiica que el mínimo paa la pesión p, coesponde al meno valo de m, cuando m. Deiniendo los siguientes paámetos adimensionales: p p (5)-a n n π D π (5)-b (5) y utilizando el paámeto de Batdo dado en (3), se puede eescibi (4) como: ( + n ) p + Z 4 n n n π ( + ) donde el n que poduce el meno valo de la pesión adimensional, p cít, se puede enconta po tanteos. Llevando ese valo mínimo adimensional, p, a (5)-a se obtiene la pesión cítica: π D pcít p cít (7) Como se muesta a continuación los tanteos pueden evitase si se divide a los cilindos en dos gupos según su lago: cilindos lagos y cilindos no lagos... Cilindos no lagos (l < l ) El valo de l a pati del cual un cilindo se considea lago, denominado l, se deduce más adelante y está dado en (33). En el caso de cilindos no lagos, se puede considea a la vaiable disceta n (que según (5)-b depende del enteo n) como si uea continua paa minimiza analíticamente la pesión adimensional p dada en (6), obteniéndose el esultado gaicado en línea continua en la Figua 5. cít (6) Figua 5: Gáico de la pesión lateal cítica adimensional 9 pcít en unción del paámeto de Batdo

6 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 En la Figua 5 se obseva que la pesión cítica adimensional se puede apoima aciendo: D pcít Z (7) pcít π Z (8) ya que usando escalas logaítmicas se tata de una ecta de pendiente ½ indicada en línea de tazos. Reemplazando en (8) los valoes de Z dado en (3) y D dado en () se obtiene la epesión de la pesión cítica paa cilindos no lagos simplemente apoyados y con pesión lateal: cilindos no lagos ( l < l ) p cit 0,75 ( ν ),5 0,8 E (9).. Cilindos lagos ( l > l ) Paa cilindos lagos, n esulta pequeño y n no puede tatase como una vaiable continua, la oma de pandeo coesponde a n (dos ondas completas) y la pesión cítica es independiente de l. En tales casos siendo, po (33). Haciendo n en (5)-b esulta que n y po lo tanto aplicando (6) se obtiene: ( + n ) p lim + Z lim n n n 4 + (5)-b p n n ( + n ) cít n (30) π n π Llevando el valo apoimado de p cít dado en (30) a la ecuación (7) se obtiene: 0,333 ν pcit E En la Figua 6, se compaan los esultados povistos po las ecuaciones de Donnell paa caga uniome, actuando en la diección adial, con esultados de la teoía eacta de cáscaas, con caga actuando en diección pependicula a la supeicie deomada. Paa cilindos lagos, las dieencias son signiicativas, la teoía eacta pedice el 80 % del valo povisto po (3), po ello adoptamos: 3 (3) cilindos lagos (l > l ) 0, 67 ν pcit E 3 (3) En cambio paa cilindos no lagos, ambas teoías (ecuaciones de Donnell y teoía de cáscaas) coinciden, po ello consevamos (9). ondas n Figua 6: Pesión lateal cítica Compaación ente la solución eacta y la teoía de Donnell 30

7 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici Deducción de l La longitud que pemite considea al cilindo como lago, que llamaemos l, se puede detemina igualando la solución paa la pesión cítica paa cilindos lagos dada en (3) con la coespondiente a cilindos no lagos dada en (9) y esulta:.3 Caga combinada (aial y lateal) 3 / (33) En el caso de caga combinada (aial y lateal) indicado en la Figua 7, aceptando una solución membanal paa la tayectoia undamental, 0 P 0 0 N N p N 0 (34) π se puede obtene el valo cítico de p minimizando (35) p Figua 7: Cilindo con caga aial P y pesión lateal p D m n m C ( 4 + ) + 4 ( ν ) ( m + n ) ( n + Rm ) donde: R es un paámeto adimensional que elaciona las cagas. R P p (35) /( π ) (36) Paa cilindos de longitud intemedia, se obtienen gáicos de inteacción como los de la Figua 8, donde c y c son las soluciones clásicas paa las tensiones cíticas de pandeo paa caga Figua 8: Gáico de inteacción aial y pesión lateal espectivamente dadas po () y (9): () c (9) cít pcít y E 3( ) ν c 0,75 ( ν ),5 0,8 E La Figua 9 muesta la pesión cítica paa el caso de pesión aial, pesión lateal y el eecto combinado en un cilindo sometido a pesión idostática. En el caso de pesión idostática pedomina el eecto aial en los cilindos cotos, mientas que en los cilindos lagos pedomina el eecto lateal. (37) (38) Figua 9: Gáicos de pesiones cíticas adimensionales 3 pcít en cilindos en unción del paámeto de Batdo

8 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici PANDEO DE CILINDRO REALE En la Figua 0-a, se muestan en línea llena, las tayectoias de equilibio (undamental y secundaia) paa el desplazamiento aial de un punto del bode de un cilindo peecto sometido a una caga aial P. En líneas de tazos se gaicaon las tayectoias de equilibio paa el caso de dos cilindos eales similaes al ideal peo con impeecciones. a) Caga aial b) Pesión lateal Figua 0: Dieente compotamiento de un cilindo ideal y uno eal (impeecto) Obsevando la Figua 0-a, se deducen tes caacteísticas muy impotantes: a) La caga cítica epesenta la máima caga potante del cilindo ideal. b) La caga de pandeo de la cáscaa eal (impeecta) puede se sustancialmente meno que la caga cítica de biucación de la cáscaa ideal (peecta). c) Las cagas de pandeo de cáscaas nominalmente iguales pueden vaia bastante debido a pequeñísimas e involuntaias impeecciones. En la Figua 0-b se an epesentado las tayectoias de equilibio de un cilindo con caga lateal, coespondientes al desplazamiento tansvesal de un punto alejado del bode del cilindo. Allí también se ve la inluencia impotante de las impeecciones sobe las tayectoias. En la Figua se pesentan valoes epeimentales paa caga aial, paa el caso de bodes empotados. En ella se obsevan discepancias enomes ente los valoes teóicos y los epeimentales, que se disimulan un tanto po la escala logaítmica usada. Po ejemplo, paa Z 000, los valoes epeimentales más bajos son del oden del 0% del valo teóico (46 / 700 0, ). e debe destaca que el gaico de la Figua, coesponde al caso de caga aial, donde se pesentan las mayoes dieencias ente el caso eal y el ideal. En meno medida, estas dieencias ocuen en los otos tipos de caga. Figua : Gáico del coeiciente K a paa calcula cít en unción del paámeto de Batdo Valoes epeimentales y compaación cilindo ideal vs. cilindo eal 3

9 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 En la Figua -a se pesentan esultados paa pesión lateal y en la Figua -b esultados paa pesión idostática (cilindo sumegido en un luido); en ambos casos se obseva que las discepancias son menoes que en el caso de caga aial. Figua : Valoes teóicos y epeimentales de pesiones cíticas Debido a estas caacteísticas, el diseño de las cascaas se debe basa en los esultados teóicos aectados de un acto de educción K que depende del tipo de caga. Como un ejemplo de la obtención de actoes de educción, se pesenta la Figua 3. En ella se obseva que los cilindos más delgados son más sensibles a las impeecciones. En línea llena se tazó la cuva del 90 % de pobabilidad, que signiica que el 90% de las cáscaas de las mismas caacteísticas nominales admiten cagas supeioes a la de diseño. Este gaico coesponde al caso de caga aial y la tensión cítica se a nomalizado especto al valo teóico povisto po (). Lamentablemente no se inomó sobe el lago l de las pobetas utilizadas. Figua 3: Facto de educción K coespondiente a caga aial 4 LÍMITE INFERIORE La dieencia ente los esultados teóicos y los epeimentales ace que el diseño de una estuctua, cuya seguidad depende de la estabilidad de una cáscaa, no se pueda basa en las cagas clásicas de la biucación. El compotamiento poscítico pemite eplica y estima las cagas de pandeo que se apoiman a las epeimentales. in embago, la evaluación de la tayectoia poscítica equiee técnicas soisticadas, como se el método de elementos initos paa análisis no lineal, y aún en el caso de posee tal eamienta, el cálculo esulta muy engooso. En la pimea etapa del cálculo esulta impescindible pode estima las cagas de pandeo seguas paa pedimensiona la geometía y en todo caso deja paa la veiicación inal el uso de elementos initos. La obtención de límites ineioes a sido un objetivo buscado po muco tiempo. En esta sección se pesentan los esultados que se obtienen empleando el concepto de igidez educida desaollado inicialmente po J. Coll. 33

10 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici Límite ineio paa caga aial Las componentes no lineales en el sentido adial dependen de las deomaciones pecíticas y son altamente estabilizantes, peo en el caso de eisti impeecciones, la igidez decece notablemente. Po ello, Coll y Batista an popuesto un modelo que despecia desde el pincipio dica contibución estabilizante y se llega a: ( ) ( λ + n) / /6 + ( ν ) λ /( λ + n) in E donde: λ ( π ) (39) ( ν ) λ + ν n y n debe elegise po tanteos de modo de loga el valo mínimo de in. Hay que destaca que las cagas povistas po (39) constituyen un límite ineio de los esultados epeimentales. 4. Límite ineio paa pesión lateal En este caso todas las componentes no lineales membanales y leionales son desestabilizantes. Las impeecciones disminuyen la componente lineal membanal en el sentido aial. Utilizando un modelo de igidez educida en el que se despecia la contibución de la igidez membanal, tanto aial como adial, se llega a una epesión simpliicada de la caga de pandeo. Paa cilindos de longitud intemedia (no lagos) y bodes simplemente apoyados, se tiene:,5 3 0,8 E in 4 0,75 (40) ( ν ) Compaando (40) con (9), se obseva que el límite ineio es un 75% del valo clásico de la caga de pandeo. 5 CRITERIO DE DIEÑO El diseño se debe basa en las cagas clásicas de biucación modiicadas paa tene en cuenta el eecto de las impeecciones. Esto último, es especialmente impotante en el caso de caga aial de compesión. 5. Caga aial de compesión El valo de la tensión aial povocada po la caga aial P sobe el cilindo bosquejado en la Figua 4 está dada en (4), mientas que el coeiciente de seguidad C está dado en (4): P (4) π C c E meno,, (4) Figua 4: Cilindo eal con caga aial donde: P: caga total : adio medio : espeso l: distancia ente apoyos : tensión de luencia en compesión C : tensión cítica de pandeo de cáscaa, incluyendo impeecciones E : tensión cítica de pandeo como columna (Eule) El valo de tensión cítica de pandeo como columna (Eule ) E depende del tipo de apoyo: ½ π E ( / ) bodes apoyados E π E ( / ) bodes empotados (43) 34

11 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici Coeiciente de educción paa la tensión cítica c basado en la Figua 3 El valo de la tensión cítica de pandeo de cilindo c se puede obtene a pati de la cuva de diseño de la Figua 3, donde lamentablemente no se da inomación sobe el lago de las pobetas: K cit 0,605 E( / ) 0,5 c, cit K c, 0,605 E ( /),5 (44) 5.. Coeiciente de educción paa la tensión cítica c basado en la Figua Oto coeiciente empíico de educción K se puede obtene de la Figua. Hay que distingui dos casos dependiendo del lago del cilindo. Caso Z > 7 Cuando el cilindo es lago ( Z > 7) los etemos del cilindo y se tiene: Coeiciente teóico: K 0,70 Z Coeiciente de diseño: po lo tanto el coeiciente de educción K esulta: a K es independiente de las condiciones de bode en ( ) 0,74 K 0,88 Z (45) 0,74 0,6 0,88 0,70, 54 K a Ka K Z Z K K Z (46) Utilizando el coeiciente de educción K dado en (46) deducido de la Figua se obtiene ota ómula paa diseño que tiene en cuenta el lago del cilindo, algo que (44) no considea. [ 0,605 E( / )] K [ 0,605 E( / )],54 Z 0,76 E (47) 0,5 0,74 0,6 c, c, Nota que las ómulas (47) y (44) pueden da esultados bastante dieentes. El diseñado debe ejece su citeio, una posibilidad es utiliza el valo meno paa esta del lado de la seguidad. Caso Z < 7 Cuando el cilindo es coto ( Z < 7) del cilindo y se tiene: K depende de las condiciones de apoyo en los etemos Bodes apoyados: Paa el caso Z < 7 y bodes apoyados, se utiliza la ecuación (47). Bodes empotados: Obsevando la Figua, paa el caso Z < 7 y bodes empotados se adopta un valo constante e igual a 3,7 paa el coeiciente a,6 K a. c π D 3,7 c 3,34 E,3,3 (48) 5. Pesión lateal En la Figua 5 se bosquejó un cilindo sometido a pesión lateal p. El valo de la tensión cicuneencial povocada po la pesión etena p es: Figua 5: Cilindo eal sometido a pesión lateal p (49) y el coeiciente de seguidad es la meno de las siguientes elaciones: C c meno, (50) 35

12 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 donde: p: pesión etena : adio medio : espeso l: distancia ente apoyos : tensión de luencia en compesión c : tensión cítica de pandeo de cáscaa, incluyendo impeecciones l : longitud que detemina el límite ente cilindos intemedios (no lagos) y lagos La tensión cítica de pandeo c se detemina según la longitud l del cilindo: Cilindos lagos l > l ( tubos) e aconseja utiliza el 85% del valo dado en (3), po lo tanto: 3 0, 7 0,7 pcit E c E ν ν (5) Cilindos intemedios l < l ( ecipientes) egún la Figua no ay muca dieencia ente los valoes teóicos eactos, teóicos apoimados y epeimentales. Utilizaemos el 90 % del valo clásico dado po (9): p cit,5 0,74 EK 0,74 EK c ν ν 0,75 0,75 0,5 ( ) ( ),5 (5) donde K se debe utiliza cuando Z < 500 paa coegi las discepancias que se obsevan en la Figua 5 ente el esultado eacto en línea llena y la apoimación ( p Z ) en línea de tazos. 4,8,8 < Z < 500 K + K 4 Z Z < < (53) En las aplicaciones pácticas K es póimo a la unidad. Po lo tanto en los casos en que se desconoce alguno de los paámetos que deinen Z se puede usa K y posteiomente veiica si la apoimación es coecta, en caso contaio se puede itea. i al usa (5) se estima K con un valo de Z supeio al eal se está del lado de la seguidad. Anillos de euezo Paa dimensiona los anillos de euezos de ecipientes (Figua 6), se aplica la solución clásica de Levy (54) que detemina la tensión cítica de pandeo del anillo cít. Esto pemite calcula el momento de inecia equeido I eq en unción de la caga distibuida q sobe la cicuneencia del anillo. Los datos del anillo son: A áea de la sección esistente, I momento de inecia de la sección, adio medio y E módulo de Young. Tensión cítica de pandeo del anillo 3 EI cít A (54) Tensión de compesión en el anillo 36 cít q (55) A Igualando la tensión a la tensión cítica pemite despeja el I eq Figua 6: Cálculo del anillo de euezo usando la ecuación de Levy I eq 3 q (56) 3E

13 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici Recipiente sometido a pesión eteio En una pimea etapa del cálculo se ignoa el eecto aial. El espeso de un cilindo como el de la Figua 7-a, se puede despeja en la ecuación (5) paa la pesión cítica: Figua 7: Recipiente con pesión eteio (o vacío inteio),5 C p, 6 L EK 0,4 (57) donde se consideó ν 0,3 y un coeiciente de seguidad. Inicialmente se supone K y una vez conocido se calcula Z, si esulta meno que 500 se usa (53). Nota que si Z > 500 esulta < K <,0. Genealmente, esulta más económico adopta una capa más delgada y coloca anillos de euezos como en la Figua 7-b. El poblema se esuelve po tanteos: a) e adopta un espeso de capa y se calcula la distancia ente euezos, despejando la longitud a pati de (5) consideando ν 0,3 y un coeiciente de seguidad C :,5 EK 0,794 (58),5 C p b) e calcula el númeo de tamos de modo que sea el enteo más póimo supeio a L : m enteo mayo que L númeo de euezos m i este valo no es satisactoio poque esultan demasiados euezos, se popone un valo mayo paa y se emplea nuevamente (58). Este pocedimiento se epite asta obtene valoes de y de l que se consideen adecuados. c) Po último, se calcula el momento de inecia equeido paa cada anillo de euezo, según (56) aciendo : 3 C p q ( C p ) I (59) 3 E Nota : Este pocedimiento no es válido cuando la pesión poviene de vapo, poque en tal caso se debe tene en cuenta la vaiación del módulo de elasticidad E con la tempeatua. Nota : Al aplica (57) se debe compoba que el ecipiente no allaá po luencia en compesión, veiicando: ( C p ) (60) 5.4 Caga combinada (aial y lateal) En el caso de caga combinada, se calcula cit utilizando (44), (47) ó (48) según coesponda y p cit usando (5), (5) ó (53) y luego se emplea una cuva de inteacción. En la Figua 8, se adoptó una cuva de inteacción con la oma de una elipse. e pueden da tes casos: i y p vaían juntos entonces: C OQ (6) OQ i es ijo y 37 vaía: C AQ / AQ (6) i es ijo y vaía: C BQ3 / BQ (63) Figua 8: Cuva de inteacción con oma de elipse

14 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 Tabajando con valoes nomalizados (adimensionales), la elipse se tansoma en un cículo. Empleando (6) y obsevando la Figua 9, esulta obvio que: C ( / ) + ( / ) c c / (64) Figua 9: Cuva de inteacción nomalizada ( cicula) En la ecuación (64): c : se debe calcula paa la caga aial actuando sola, utilizando (44) ó (47) ó (48). Tene en cuenta que no puede supea en compesión. c : se debe calcula paa la pesión lateal actuando sola, utilizando (5) ó (5) ó (53). Tene en cuenta que no puede supea en compesión. Paa esta del lado de la seguidad, abitualmente se eemplaza la elipse po una ecta, como se muesta en la Figua 0 y se llega a una ómula sencilla paa el C : AQ c AQ AQ AQ c OQ AQ + + c c c C OQ C / + / c c (65) Figua 0: Recta de inteacción nomalizada También se suelen utiliza cuvas de inteacción que coesponden a una situación intemedia ente la ecta y la elipse adoptando una poligonal. A modo de ejemplo se puede menciona el caso de la Figua 8 donde se muesta una poligonal de tes tamos. 38

15 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 PRÁCTICO Pandeo de Cilindos Nota: Todos los datos se dan en unidades [cm] y [kg] Un ecipiente cilíndico de aceo de 450 cm de lago y 0 cm de diámeto debe esisti vacío inteio a tempeatua ambiente con C 4. Mateial: E kg/cm ν 0,3 800 kg/cm a) Detemina el espeso equeido en el caso de no usa anillos de euezo. b) Detemina el númeo de tamos y el espaciamiento de los anillos de euezo necesaios paa pode usa capa de 4 mm con C 4. Con los mismos datos del Poblema se pide: a) Diseña los anillos de euezo necesaios paa pode aplica la solución b) del poblema. b) Calcula la economía de mateial de la solución b) especto de la solución a). 3 Un cilindo delgado de aluminio está cagado aialmente. Datos geométicos del cilindo: /6 0,59 cm 40 cm l 00 cm Popiedades del mateial: E kg/cm ν 0, kg/cm a) Calcula el valo de la caga aial cítica de pandeo. b) Detemina el límite ineio paa la caga cítica empleando el método de Coll. 4 El casco de un submaino de sección cicula de 300 cm de diámeto está igidizado po cuadenas espaciadas cada 60 cm. Dimensiona el espeso paa opea a una poundidad máima de 0 metos ignoando la pesencia de los euezos longitudinales. Mateial aceo: E kg/cm ν 0,3 800 kg/cm a) Detemina el espeso consideando alla po luencia y C. b) Detemina el espeso consideando alla po pandeo y C 4. c) Responde las peguntas a) y b) consideando solamente la pesión lateal y comenta las dieencias encontadas. c) Detemina el coeiciente de seguidad a pandeo usando los límites ineioes de Coll y el citeio de inteacción lineal si se utiliza el espeso calculado en la pate b). Da también el coeiciente de seguidad a luencia de Von Mises. 39

16 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 OLUCIÓN del PRÁCTICO 40 Pandeo de Cilindos Nota: Todos los esultados se dan en [cm] y [kg] Dos popuestas paa un ecipiente con vacío inteio (con y sin euezos). a) Cilindo sin anillos de euezo Comenzamos estimando el espeso necesaio consideando sólo la pesión lateal. uponemos que el paámeto de Batdo es mayo que 500 y consideamos K. Ec. (57) Ec. (3) 0,4 0,4,5 C p,5 4, 6 L, ,76 EK Z 0,3 436 >> 500 po lo tanto la suposición K es coecta. 60 0, 76 Adoptamos un espeso comecial algo mayo paa tene en cuenta la caga aial... 0,8 cm A continuación calculamos el coeiciente de seguidad a pandeo usando inteacción lineal. Aial: p/ ( ) 60 / ( 0,8) 37,5 Cicuneencial: p/ 60/ 0,8 75,5,5 0, 605 / 0, ,8/ ( ignoa el lago del cilindo) Ec. (44) c E( ) ( ) Ec. (47) c E /( ) ( ) Ec. (39),6 0,5 0,74,6 0,5 0,74 0,76 0, ,8 /( ) 49 in ( λ + n) / /6 + ( ν ) λ /( λ + n) { E} Mín 86 ( ν ) λ + ν n Consideaemos el valo dado po (47)... Ec. (5) Ec. (65),5,5 EK 0,75 0,5 0,75 0,5 cuando n 3 49 kg / cm 0, 74 0, ,8 34 C 34 C kg / cm ( ν ) ( 0,3 ) C 4,6 / + / 75/ ,5/ 49 0, , 054 C 4,6 c c ½ Von Mises Cap. Ec. (3): Falla po luencia: 37, , b) Cilindo con anillos de euezo b-) Cantidad de anillos y longitud de los tamos Comenzamos estimando el espaciamiento ente los anillos consideando sólo la pesión lateal. Estando del lado de la seguidad consideamos K. Ec. (58) / /,5,5,5,5 C C 0,794 EK ( C p) 0, , 4 (60 4 ) 90,8 e adopta un espaciamiento meno paa tene en cuenta la caga aial... / 800 / cm e colocaán 5 anillos de euezo paa dividi el lago del cilindo en 6 tamos de 75 cm ente centos. b-) Cálculo del C a pandeo de los tamos del cilindo consideando inteacción lineal Aial: p/ ( ) 60 / ( 0,4) 75 Cicuneencial: p/ 60/ 0,4 50 Ec. (47) c Ec. (5) Ec. (65) Von Mises:,6,6 0,76 E 0, , ,5 0,74 0,5 0, ,5,5 EK 0,75 0,5 0,75 0,5 0, 74 0, , 4 76,3 C ( ν ) ( 0,3 ) C 4,4 / + / 50 / 76,3 + 75/ 575 0, , 09 c c ½ Falla po luencia: C C 575 kg / cm 76,3 kg /cm C 4,4 C / 800 /30,5

17 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici - 05 Diseño de los euezos del poblema.b y compaación del peso de las soluciones.a y.b. a) Diseño de los anillos de euezo Comenzamos poponiendo una sección ectangula b 6a I ab / a (6 a) / 8 a uponemos tentativamente que b 5 cm ,4/ + 5 / 6,7 Ec. (59) q ( C p) ( ) Ec. (56) I eq 3 3 q 300 (6,7),74 3E I Ieq 8 a,74 a 0,899 Adoptamos un espeso comecial algo mayo ⅜ 0,95... a 0,95 cm Cálculo de la altua b del anillo ectangula 3 3 I ab b b / 0,95 /,74 5,3...(se estimó adecuadamente)... b 5,3 cm b) Economía de mateial del diseño con euezos b. Peso del cilindo de espeso 0,8 cm (solución.a) y peso especíico ρ 0, P π Lρ π 60 0, , , 4... P 065 kg a m b. Peso del cilindo de espeso 0,4 cm (solución.b ) P bc π Lρ π 60 0, , ,7 m b.3 Peso de los 5 anillos de euezo ectangulaes de 0,95 5,3 cm P 5 ( π Aρ) 5 π ( , + 5,3 /) ( 0,95 5,3) 0, ,0 ba m b.4 Peso del ecipiente de espeso 0,4 cm con 5 anillos de euezo de 0,955,3 cm Pb Pbc + Pba 53,7 + 78,0 60,7... Pb 6 kg b.5 Economía de mateial de la solución.b especto de la solución.a. Pa Pb Economía ,6... Economía 43 % P 065 a 3 Cálculo de la caga cítica de pandeo y el límite ineio de un cilindo de aluminio con caga aial. Datos geométicos: 0,59 40 l 00 Datos del mateial: E ν 0, a) Cálculo de la caga cítica de pandeo,5,5 c E 0, 605 / 0, ,59/ 40 45,9 Ec. (44) ( ) ( ) Ec. (47) 0, c 00 40,6,6 0, 76 E 0,59 334,3 0,5 0,74 0,5 0,74 Áea de la sección del cilindo π π 40 0,59 39,96. e adopta este valo paa c Caga cítica: P A 334,3 39, P 3359 kg cít b) Cálculo del límite ineio po el método de Coll Ec. (39) λ π π c ( / ) ( 40/00),579 in ( ) / in ( λ + n) / 6+ ( ν ) λ /( λ + n) ( ν ) λ + ν n φ (,579 + n ) (,975 φ / φ) / (,99 + 0,33 n ) El mínimo ocue paa n 7 n in , Límite ineio: P A 33,8 39, P 359 kg in in cít cít a E

18 Compendio de Cálculo Estuctual II FCEFyN UNC J.Massa-J.Gio-A.Giudici Deteminación del espeso del casco de un submaino ignoando los euezos aiales. Pesión debida a 0 metos de poundidad: p ρh 0, kg / cm Aial: p/ ( ) 50/ ( ) 900/ Cicuneencial: p/ 50/ 800/ a) Espeso equeido paa evita alla po luencia con C Von Mises: ½ (900/ ) + (800/ ) (900/ ) (800/ ) 559/ (559/ ) / , cm C b) Espeso equeido paa evita alla po pandeo con C 4 60 Ec. (3) Z 0,3 Z,9/ uponiendo,5 Z 5,3 Ec. (53) K,3 50,5 0, 74 EK 0, K,5 Ec. (5) c 0,75 0,5 0,75 0,5,5,5 c 70 K c 974 ( ν ) (0,9) Ec. (47),6 0, ,6,6 c 0,76 E ,5 0,74 0,5 0, / 900/ C + 0,5... po tanteos...,6 / + / Ec. (65),5,6 c c Dado que se estimó K usando un valo de ineio al eal (,5 en luga de,6) se consideó un valo de Z supeio al eal y po lo tanto se está del lado de la seguidad y se puede acepta el valo calculado (,6) como válido. Po oto lado iteando llegamos a convegencia cuando: Iteando:,68 Z 4,5 K,5, ,68..., 6 cm c) Espeso equeido consideando sólo la pesión lateal c. C 4 c (800/ ) / , 9 cm,5 c. C c 4 (800/ ) 70 K ( 3,7/ K ) uponiendo,58 Ec. (3) Z 4,5 Ec. (53) uponiendo,4 Ec. (3) Z 6, Ec. (53) A esta altua se logó convegencia. En eecto:,43 Z 6,0 K,93,5 c 0,4 3,7/,3, 4 K,3 [ ] 0,4 3,7/,9,43 K, 9 [ ] 0,4 935,43..., 43 cm Comentaios: c. Consideando sólo la pesión lateal se ignoa la inteacción con la tensión aial y paadógicamente se está del lado de la seguidad ya que esulta un espeso 6 % mayo que el necesaio (,9 en luga de,). En el citeio de Von Mises esulta beneicioso que las dos tensiones membanales tengan el mismo signo, eso po el signo menos en la ecuación (3) del Capítulo. c. Al considea solamente la pesión lateal se ignoa la inteacción con la tensión aial y se está del lado de la inseguidad. Resulta un espeso % meno que el ealmente necesaio (,43 cm en luga de,6 cm). d) Detemina el C a pandeo usando los límites ineioes de Coll cuando,6 cm p/ ( ) 50/ (,6) 555,5 p/ 50/,6, ( ) / 555,5, 555,5, 96 C 800/ a luencia... C,9 + Ec. (40) in Ec. (39) Ec. (65),5,5 3 0,8 E 3 0, , ,75 0,75 0,5 4 ( ν ) 4 ( 0,3 ) ( ) ( λ + n) / /6 + ( ν ) λ /( λ + n) in Mín{ E} 0874 (ocue cuando n 9) ( ν ) λ + ν n C,98.. a pandeo... C,98 / + /,/ ,5/0874 c c