6. La ecuación de ondas

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1 6. La ecuación de ondas Las écnicas de la sección 5.2 sólo permien hallar la solución general de una de las res ecuaciones clásicas: la ecuación de ondas unidimensional. En 6. obendremos primero la solución del problema puro de valores iniciales para una cuerda infinia (fórmula de D'Alember). Veremos que la solución u(,) resula ser la suma de dos ondas que se mueven en senido opueso. Observaremos que la información conenida en los daos iniciales "viaja por las caracerísicas" y definiremos los concepos de dominio de dependencia y dominio de influencia. Daremos ambién una fórmula para las soluciones en el caso de que la ecuación sea no homogénea (que eisan fuerzas eernas). Pasaremos después a resolver el problema más real de la cuerda acoada y fija en sus eremos. Lo reduciremos al problema de la cuerda infinia eendiendo de forma adecuada los daos iniciales a odo R. Al esar manejando funciones con epresiones diferenes en diferenes inervalos, será complicado escribir eplíciamene la solución. Nos conformaremos por eso en muchos casos con hallar su epresión para valores de o de fijos o con hacer dibujos de las soluciones. Acabaremos la sección indicando como raar el problema con condiciones de conorno no homogéneas. En la sección 6.2 comenzaremos dando sin demosración la solución del problema puro de valores iniciales para la ecuación de ondas homogénea en el espacio (fórmula de Poisson-Kirchoff). De ella deduciremos la fórmula para el caso bidimensional. Esudiaremos las diferencias enre la propagación de las ondas en una, dos y res dimensiones espaciales. Comprobaremos que las ondas en el espacio "pasan" (como ocurre con el sonido), mienras que en el plano la influencia de los daos iniciales se deja senir, aunque amoriguándose, a lo largo del iempo (en la reca depende de si la perurbación inicial se da en la posición o en la velocidad). Esudiaremos ambién las ondas que se propagan en el espacio con simería esférica que son de raamieno sencillo, por ser esencialmene unidimensionales. 7

2 6.. Ecua ción de la cue rda vibra ne Comencemos con el problema puro de valores iniciales: (P ) u -c 2 u =,, R u(,)=f() u (,)=g() u(,) g() f() Para esa ecuación hiperbólica ξ =c η=-c u =u ξξ 2u ξη u ηη u =c 2 (u ξξ -2u ξη u ηη ) y, por ano, en las nuevas variables: -4c 2 u ξη = u ξη = u ξ =p*(ξ) u=p(ξ)q(η) Luego la solución general de la ecuación es: u(,) = p(c)q(-c), p y q funciones arbirarias de C2 Imponiendo las condiciones iniciales: p()q()=f() cp'()-cq'()=g() p'()q'()=f'() p'()-q'()= g() c 2p'()=f'() g() c p() = f() 2 2c f() g(s)ds k q() = - 2 2c g(s)ds - k u(,) = 2 [f(c)f(-c)] 2c c g(s)ds () -c fórmula de D'Alember que da la solución de (P ) de forma única a parir de los daos f y g. Para que la u sea de C 2, f debe ser C 2 y g debe ser C (enonces será una solución clásica o regular). La solución de (P ) es la suma de dos ondas que viajan a velocidad c, una hacia las crecienes y ora hacia las decrecienes. [Si G() 2c g(s)ds, f()-g() se mueve hacia 2 la derecha y hacia la izquierda va 2 f()g()]. Veamos a parir de () la dependencia coninua (a daos iniciales próimos corresponden soluciones próimas en inervalos de iempo finios): sea f()-f*() <δ y g()-g*() <δ para odo ; enonces para [,T] se iene: u(,)-u*(,) 2 f(c)-f*(c) 2 f(-c)-f*(-c) 2c c -c g(s)-g*(s) ds < δ δ 2c ct ds = δ(t) -ct Por ano, si δ < ε T es u(,)-u*(,) < ε y [,T]. 8

3 Observemos que u( o, o ) esá deerminado sólo por los valores de f en los punos o -c o y o c o [punos de core con el eje de las caracerísicas que pasan por ( o, o )] y los de g en el inervalo [ ( o, o) o -c o, o c o ]. A ese inervalo se le llama dominio de -c= o-co c= o c o dependencia de la solución en ( o, o ) de los valores iniciales f y g [el dominio de dependencia de los valores de f se reduce o-co oco a los eremos del inervalo]. dominio de dependencia Recíprocamene, el valor de la f inicial en = o influye sólo en los valores de la solución u sobre las dos caracerísicas dominio de c= o influencia -c= o que pasan por ( o,) [dominio de influencia de la g de la f], pues ese puno no perenece al dominio de dependencia de los punos que dom.inf. de la f no esén en esas carcerísicas. Por la o misma razón el dominio de influencia de la g en o consise en el riángulo infinio limiado por dichas caracerísicas. Ejemplo. Supongamos que f= salvo una perurbación en forma de riángulo en orno a y que solamos la cuerda sin impulso (g=). Dibujemos la solución para h f f/2 -b b diferenes insanes. Basa rasladar las dos ondas que viajan en senidos opuesos (en ese caso ambas son f()/2): =b/2c h/2 =b/c h/2 =3b/2c h/2 -b b -b b -b b Veamos que nos dice el dominio de influencia. El conjuno de punos de [-b,b] modifican la 4b/c solución en las dos bandas dibujadas (cada uno influye en dos caracerísicas). Fuera de ellas seguro que es u=. Por ejemplo, para 2b/c =2b/c vemos que sólo puede ser no nula la solución en [-3b,-b] y en [b,3b]. Un puno como =3b sólo se moverá si [2b/c,4b/c] y después permanecerá en reposo. 3b -b b 3b En ese ejemplo hemos considerado una f que ni siquiera es C, por lo que [f(c)f(-c)]/2 no es esricamene una solución (no es "clásica"). Se llama solución débil o generalizada a una u coninua de la forma (2) aunque no sea C 2 (se puede considerar como límie uniforme de soluciones clásicas). El concepo de solución débil aparece muchas veces en EDPs. En cada caso hay que precisar que se eniende por solución débil y comprobar que los problemas siguen bien planeados (por ejemplo, si ampliamos el conjuno de funciones enre las que buscamos soluciones, seguirá habiendo unicidad?). El ejemplo muesra ambién que las "disconinuidades" de los daos iniciales se propagan a lo largo de las caracerísicas. 9

4 Ejemplo 2. Sea f()=, g()= u(,) = 2c c sds =. [la cuerda infinia se va inclinando progresivamene; no es una siuación física muy real: la ecuación es sólo un modelo simplificado de la realidad] = -c Supongamos ahora que hay fuerzas eernas. El problema es: u(,) (P 2 ) u -c 2 u =F(,),, R u(,)=f() u (,)=g() Para resolverlo nos basa hallar una solución u F del problema en el caso de que f y g sean, pues enonces si u es la solución del problema (P ) anerior [dada por ()] se iene que u u F es la solución buscada de (P 2 ) [gracias a la linealidad de la ecuación y de las condiciones iniciales]. Como no es difícil comprobar que u F (,) = 2c c[-τ] F(s,τ)dsdτ saisface u -c 2 u =F(,) -c[-τ] u(,)= u (,)= concluimos que la solución de (P 2 ) es: u(,)= 2 [f(c)f(-c)] 2c c -c g(s)ds 2c c[-τ] -c[-τ] [Observemos que el recino descrio por la inegral doble es el riángulo del plano sτ limiado por el eje τ= y las caracerísicas que pasan por (,)] F(s,τ) ds dτ (2) -c τ (,) s c En ocasiones es fácil enconrar una solución paricular v de la ecuación no homogénea (por ejemplo si f depende sólo de o se pueden buscar soluciones que dependan sólo de esa variable). En esos casos podemos eviar el cálculo de la inegral doble, ya que haciendo w=u-v, la w saisface (por la linealidad) un problema más sencillo (con F=) resoluble por la fórmula (). Ejemplo 3. u -u =2 u(,)= u (,)=3 Uilizando direcamene (2): u(,) = 2 [()(-)] 2 2dsdτ = = 32-3ds 2 [-τ] -[-τ] Podemos ambién enconrar una v() o una v() y hacer w=u-v: -v =2 v=- 2 CK si v=- 2, w cumple w -w = w(,)= 2,w (,)=3 w = 2 [()()2 (-)(-) 2 ] 2-3ds = u=3 2 v =2 v= 2 3, w -w = w(,)=, w (,)= w= u=32 2

5 Consideremos ahora la cuerda acoada y fija en los eremos: (P 3 ) u -c 2 u =, [,L], R u(,)= f(), u (,)= g() u(,)= u(l,)= (observemos que debe ser f()=f(l)=). Para resolverla uilizando () necesiamos unos daos iniciales definidos. Eendemos f y g a [-L,L] de forma impar respeco a y luego de forma 2L-periódica a odo R, es decir, si llamamos f* f f* y g* a esas eensiones: L f*(-)=-f*(); f*(2l)=f*() -2L -L 2L g*(-)=-g*(); g*(2l)=g*() (se iene enonces que f* y g* son ambién impares respeco a L). Resolviendo el siguiene problema con la fórmula de D'Alember: u -c 2 u =,, R u(,)=f*() u (,)=g*() u(,)= 2 [f*(c)f*(-c)] 2c c g*(s)ds (3) -c obenemos la solución única de (P 3 ), ya que u cumple la ecuación, las condiciones iniciales para [,L] y, por la imparidad de los daos, ambién las de conorno: u(,)= 2 [f*(c)f*(-c)] 2c c g*(s)ds = -c u(l,)= 2 [f*(lc)f*(l-c)] 2c Lc g*(s)ds = L-c Para que la u dada por (3) sea regular deben ser f C 2 [,L] y g C [,L] y además: f()=f(l)=f"()=f"(l)=g()=g(l)= [f' y g' eisen en y L por la imparidad]. Si falla alguna de esas hipóesis la u no será C 2 en odo puno. Hallemos los dominios de influencia - de (P 3 ). Supongamos que g= y f= salvo una perurbación en orno a o. f* será no nula cerca de... -, o -2L,- o, o, - o 2L,.... Cada puno influirá en dos caracerísicas. Veamos que pasa en 2L/c [,L]. Al principio la perurbación va por las caracerísicas. Para = o /c la - de la izquierda se cruza en = con la que viene de - o (cambiada de signo), que sigue esa caracerísica hasa =L - donde se encuenra ora que procede de o 2L y así sucesivamene. A la que pare inicialmene hacia la derecha le -L o ocurrirrá algo similar. El dominio de influencia de la f consise, pues, en ese par de caracerísicas reflejadas en = y =L. Es fácil ver que el de la g son odos los paralelogramos rayados. L L 2L 3L 2

6 Ejemplo 4. u-u =, [,], R, /2 u(,)={ -, /2 u (,)=u(,)=u(,)= u(,) f /2 (puede represenar idealizadamene la pulsación de la cuerda de una guiarra) Con la fórmula (3) es, en general, complicado hallar epresiones analíicas de soluciones para odo y odo, pues f* y g* ienen diferenes formas en diferenes inervalos. Así, en nuesro caso: /2 f* f*() =... --, -3/2 -/2, -/2 /2 -, /2 3/2-2, 3/2 5/2... Para hallar u(,)= [f*()f*(-)]/2 endríamos que discuir según los valores de y los inervalos en que se mueven y -, lo que nos llevaría a un número ecesivo de casos (para esas discusiones conviene uilizar los dominios de dependencia). Más fácil es dar analíicamene la forma de la cuerda para un dado o ver la evolución de un a lo largo del iempo. Hallemos u para =/4: u(,/4)= 2 [f*(/4)f*(-/4)] = /4 = /4 /4-/4, 3/4--/4, /4 3/4 2 3/4-5/4-, 3/4, /4 = /4, /4 3/4 -, 3/4 -/2 /4 /2 3/4 Lo que sí es fácil es calcular la u para un y un dados. No es siquiera necesario conocer la epresión de la f*. Por ejemplo: u(/4,3)= 2 [f*(3/4)f*(-/4)] = [f*(-3/4)f*(-3/4)] = -f(3/4) = -/4 2 f* es 2-periódica f* es impar Tampoco es necesaria la epresión de la f* para hacer dibujos: basa rasladar ondas y sumar. Dibujemos la u para diferenes : u(,/4) /4 /2 u(,/2) /4 /2 f*()/2 f*( )/2 u(,3/4) /4 /2 -/4 u(,) /4 /2 Dibujemos ahora u(/2,)= 2 [f*(/2)f*(/2-)] = 2 [f*(/2)-f*(-/2)] -/2 /2 u(/2,) Como vemos, la gráfica se repie con periodo 2. Eso es general: por las propiedades f* y g* la u dada por (3) es 2L/c-periódica. 22

7 Por úlimo, raamos el problema más general en el que eisen fuerzas eernas y movemos los eremos de la cuerda: (P 4 ) u -c 2 u =F(,), [,L], R u(,)=f(),u (,)=g() u(,)=h (),u(l,)=h L () Lo primero que hay que hacer es converirlo en uno con condiciones de conorno homogéneas. Para ello hay que enconrar una v que las saisfaga y hacer w=u-v. Un ejemplo de al v puede ser: v(,) = L h L() [- L ]h () [a veces será mejor buscar ora] La solución del problema resulane en w viene dada por (2) si susuimos f, g y F por f*, g* y F*, siendo ésa la eensión impar y 2L-periódica de F considerándola como función de. Ejemplo 5. u -u =, [,], R u(,)=u (,)= u(,)=,u(,)=sen Hallemos u(/2,/2) y u(/2,3/2). La v de arriba es v = sen. w=u-v w -w = sen w(,)=,w (,)=- w(,)=w(,)= w es la solución de u( 2, 2 ) = 2 -s ds 2 /2 -τ. Sea f*() w -w = f*() sen w(,)= w (,)=-f*() τ s senτ dsdτ 2 sen 2 = [un puno a disancia /2 de donde movemos la cuerda era de esperar que para =/2 odavía esé parado] u( 2, 3 2 ) = f*(s)ds 2 3/2 senτ 2-τ -τ f*(s)dsdτ 2 sen 3 2 = = 4 2 senτ τ sdsdτ -τ 2 3/2 senτ 2-τ sdsdτ -τ 2 sen 3 2 =sen f* 2 2 /2 τ s=τ s=-τ s /2 τ f*= 3/2 s=-τ f*= 2 3 s=τ s=2-τ /2 2 s Basándose en el capíulo 8 se puede enconrar una v mejor: v = sen sen saisface las c.c. y ambién la ecuación. sen Ahora w=u-v w -w = Por ano: u( 2, 2 ) = sen2 (/2) sen u( 2, 3 2 ) = sen(/2)sen(3/2) sen w(,)=,w (,)=- sen sen w(,)=w(,)= 2 - sen s ds =, sen sen s ds = sen. sen Para dibujar hallaríamos las ondas viajeras de ese problema: G()= 2 g* [ ] y -G() [ ] sen sen G G cos- 2sen g*

8 Para acabar hagamos unas cuanas refleiones sobre cambios de variable y descomposición en subproblemas que generalicen las ideas que hemos uilizado en esa sección. Los problemas clásicos que presenamos en 5.3 esán formados por una ecuación lineal [que podemos represenar por Lu=F, con L lineal] y unas condiciones adicionales ambién lineales [ M k u=f k, unas iniciales, oras de conorno]. Supongamos, por ejemplo, que son 3 las condiciones. Nuesro problema es enonces (P) Lu=F M u=f M 2 u=f 2 M 3 u=f 3 El problema de resolver (P) puede ser reducido a resolver oros más sencillos. Por ejemplo, si u, u 2, u 3 y u 4 son soluciones de (P ) Lu=F M u= M 2 u= M 3 u= (P 2 ) Lu= M u=f M 2 u= M 3 u= (P 3 ) Lu= M u= M 2 u=f 2 M 3 u= (P 4 ) Lu= M u= M 2 u= M 3 u=f 3 esá claro que u = u u 2 u 3 u 4 es solución de (P) [pero oras veces nos convendrá descomponer (P) en menos subproblemas]. En oros casos lo que puede ineresar es converir la ecuación o algunas de las condiciones adicionales (sobre odo si son de conorno) en homogéneas. Por ejemplo, y como hemos viso para la ecuación de ondas, si conocemos una solución paricular v de la ecuación el cambio w=u-v conviere (P) en Lu= M u=f -M v M 2 u=f 2 -M 2 v M 3 u=f 3 -M 3 v si lo que enemos es una v que saisfaga, por ejemplo, M 2 v=f 2 y M 3 v=f 3, haciendo w=u-v acabaríamos en Lu=F-Lv M u=f -M v M 2 u=m 3 u= (lo que ya es un lujo es ener una v que saisfaga la ecuación y dos condiciones como en el ejemplo 5 de anes). Como vemos, hay mucha variead en los posibles cambios. En cada caso habrá que ver cuáles nos llevan a problemas mas asequibles. Si inicialmene hay condiciones homogéneas inenaremos que los cambios no nos esropeen esas condiciones, aunque a veces no endremos más remedio. Por úlimo, observemos que si u,,u n saisfacen algunas condiciones homogéneas, enonces cualquier combinación lineal de ellas u=c u c n u n sigue saisfaciendo esas mismas condiciones. Si son infinias las u k ambién saisfará esas condiciones homogéneas (si las cuesiones de convergencia van bien) la serie infinia Σc n u n [eso lo uilizaremos en separación de variables en el capíulo 8] 24

9 6.2. Onda s e n re s y dos dime nsione s. Consideremos el problema de valores iniciales para la ecuación de ondas en 3 dimensiones espaciales: (P 3 ) u -c 2 [u u yy u zz ]=,(,y,z) R 3, R u(,y,z,)= f(,y,z) u (,y,z,)= g(,y,z) Se puede deducir una fórmula para la solución de (P 3 ) análoga a la de D'Alember para la cuerda vibrane. Acepemos que, si f C 3 y g C 2, esa solución viene dada por la fórmula de Poisson o Kirchoff: u(,y,z,) = [ 4πc 2 C fds ] 4πc 2 C gds () siendo C la superficie de la bola de cenro (,y,z) y radio c. (en oras palabras, si ω f y ω g represenan los valores medios de f y g sobre la superficie esférica C la solución es u = [ω f ]/ ω g ). La forma más naural de paramerizar esa superficie es mediane los ángulos θ y φ de las coordenadas esféricas cenradas en el puno (,y,z) del dibujo Desarrollando las inegrales de () se obiene: u(,y,z,) = [ 4π 2π π 4π 2π π (,y,z) φ θ c f(csenθcos φ,ycsenθsen φ,zccosθ) sen θ dθdφ ] g(csenθcos φ,ycsenθsen φ,zccosθ) sen θ dθdφ Inerpreemos (). Los valores de la solución sólo dependen de los valores de f y g sobre el borde de la esfera B((,y,z),c). Así, si inicialmene hay una perurbación concenrada en un puno P, en el insane sólo esán perurbados los punos de la superficie esférica de cenro P y radio c, ya que para los demás punos es f=g= sobre la superficie C de (). Si inicialmene es perurbado odo un conjuno R, en cada insane los punos afecados por esa perurbación consiuyen una región R del espacio formada por la unión de odas superficies esféricas de radio c y cenro P R. La superficie eerior de R se llama frene delanero de la onda y frene delanero c-a a ca frene rasero la inerior frene rasero. En el dibujo esán esquemaizados ambos frenes para el caso de una perurbación inicial de una esfera de radio a. Los punos que alcanza el frene delanero, anes en reposo, comenzarán a oscilar. Los punos sobrepasados por el frene rasero permanecerán en reposo. 25

10 Esudiemos ahora la propagación de ondas en 2 dimensiones: (P 2 ) u -c 2 [u u yy ]=,(,y) R 2, R u(,y,)= f(,y) u (,y,)= g(,y) Podemos mirar (P 2 ) como un caso paricular de (P 3 ) en que los daos (y por ano las soluciones) no dependen de z. Las coordenadas adecuadas ahora para paramerizar C son las caresianas (o las cilíndricas). Epresando () en caresianas se obiene: u(,y,) = 2πc [ B f(ξ,η)dξdη ] c 2 2 -[ξ-] 2 -[η-y] 2 c 2 2 -[ξ-] 2 -[η-y] 2 B g(ξ,η)dξdη donde B es odo el círculo de cenro (,y) y radio c. La fórmula anerior escria en polares cenradas en (,y) queda: u(,y,) = [ 2πc 2π c rf(rcosθ,yrsenθ)drdθ c 2 2 -r 2 2π c rg drdθ ] c 2 2 -r 2 Supongamos una perurbación localizada en un puno P del plano. Oro puno M, siuado a una disancia d de P, permanecerá en reposo hasa el insane o =d/c. Si o, P B(M,c) y por ano es u(m,) : a parir del insane o el puno M permanece perurbado indefinidamene (aunque ienda a pararse cuando, como las ondas producidas por una piedra en un esanque). Esa siuación no conradice los resulados para n=3: la perurbación de P, visa como una perurbación en el espacio independiene de z, consise de hecho en un cilindro verical infinio sobre P, con lo que al M iran llegando las perurbaciones provinienes de punos cada vez más lejanos del cilindro. Las ondas que se propagan consiuyen ondas cilíndricas en el espacio: en cada cilindro paralelo al inicial la solución oma un valor consane. [Las ondas pasan en el espacio y permanecen en el plano]. Si descendiésemos desde n=3 hasa n=, considerando que la f y la g de () sólo dependen de, llegaríamos a la conocida fórmula de D'Alember. Si se conempla esa solución sumergida en R 3 se puede inerprear como la suma de dos ondas planas avanzando por planos perpendiculares al eje a velocidad ±c. Todos los punos de cada plano esán igualmene perurbados. El caso n= presena un comporamieno inermedio enre n=2 y n=3: la influencia del desplazamieno inicial f desaparece, pero la de la velocidad g inicial se deja senir permanenemene. Para n=2, el dominio de dependencia de u(,y,) de los daos inciales es odo el círculo B((,y),c) y el de influencia de la f y g iniciales en un puno ( o,y o,) es odo el cono (- o ) 2 (y-y o ) 2 c 2 2. Para n=3 la influencia de (,y,) c y c y ( o,y o,) ( o,y o,z o,) es sólo la superficie de un cono eradimensional (no dibujable). 26

11 Consideremos ahora ondas en el espacio con simería radial. Si suponemos que las f y g iniciales sólo dependen de r (disancia al origen), la solución enonces dependerá sólo de r y. Escribiendo el laplaciano en esféricas y quiando los érminos con derivadas respeco a los ángulos θ y φ llegamos a nuesro problema: (P r ) u -c2 [u rr 2 r u r ]=,r, R u(r,)= f(r), u (r,)= g(r) Haciendo v=ur, la ecuación se ransforma en: v -c2 v rr =. Si u es acoada, aparece la condición de conorno: v(,)=. Por ano, el problema en las nuevas variables es: (P v ) v -c 2 v rr =,r, R v(r,)= rf(r), v (r,)= rg(r) v(,)= que es la ecuación de las oscilaciones de una cuerda semiacoada con eremo fijo, resoluble por D'Alember ras eender de forma impar respeco a las funciones F(r) rf(r) y G(r) rg(r), es decir, si llamamos F* y G* a las eensiones, la solución de (P r ) es: u(r,) = 2r [F*(rc)F*(r-c)] 2cr rc G*(s)ds, (2) r-c solución que podemos escribir en la forma u(r,)= p(rc)/rq(r-c)/r e inerprear como la suma de dos ondas esféricas cuyos radios disminuyen o crecen a velocidad c. La magniud de la perurbación propagada, a diferencia de la cuerda, es inversamene proporcional al radio. Se ve que la fórmula (2) da problemas en el origen, pero aplicando L'Hôpial y el eorema fundamenal del cálculo enemos: u(r,) r 2 [F*' (c)f* ' (-c)] 2c [G*(c)-G*(-c)]= F*' (c) c G*(c) [u(,) podría ser disconinua aunque la f sea coninua (si F* no es C )] [Las ondas para n=2 siempre dan más problemas de cálculo que las de n=3; por ejemplo, no hay cambios como el v=ur que lleven a la ecuación de la cuerda la ecuación de ondas en el plano con simería radial: u -c 2 [u rr u r /r]= ]. Ejemplo. Resolvamos: u -[u u yy u zz ]=, (,y,z,) R 4 u(,y,z,)= z, u (,y,z,)= 2 y 2 u= [ 4π 2π π (zcosθ)sen θdθdφ ] 4π 2π π ( 2 y 2 2 sen 2 θ2[senθcosφysenθsenφ])sen θdθdφ = [ 2 π (zcosθ)sen θdθ] 2 π ( 2 y 2 2 sen 2 θ)senθdθ = [z] (2 y )= z2 y También podemos descomponer el problema en 2. El de f=z,g= se puede ver como uno para n=: u = 2 [(z)(z-)]=z. El de f=,g=2 y 2, como uno de n=2: u 2 = 2π 2π r( 2 y 2 r 2 2r[cosθysenθ])drdθ = 2 -r 2 r( 2 y 2 r 2 )dr 2 -r 2 = = 2 y

12 Ejemplo 2. u - u=,r, R, r u(r,)=, u (r,)={, r> Comencemos suponiendo que n=3. Sabemos que su solución es u=v/r, si v es la solución del problema para la cuerda infinia: G* r v -v rr =, r, R v(r,)=,v (r,)=g*(r)= r, r, r > Esudiemos la oscilación para de un puno M del espacio siuado a una disancia R> del origen. Si <R- o si >R es claro que v=. Si [R-,R], la inegral se reduce a: -[R-]2 s ds u(r,) = R- 4R Se ve que el puno M oscila sólo durane un deerminado inervalo de iempo. Se ve ambién que la ampliud máima de la oscilación es inversamene proporcional a la disancia que separa M del origen. Llegar a la solución uilizando la fórmula de Poisson es complicado. Es evidene como anes que u= si (R-,R) [C {r }= ]. En (R-,R) el valor de u viene dado por: u(m,) = 4π D ds = área de D 4π u(r,) /4R v(r,)= 2 r r- G* R R- - R- R- R α R siendo D la inersección de la superficie esférica C de cenro M y radio con la esfera unidad. Buscando en libros de geomería: área de D = 2π[-cosα] 2 = 2π[- R2 2-2R ] 2 que lleva a lo mismo. Sí es facil con Poisson hallar u(,,,): u(,,,)= 4π C ds = área de C 4π = si, u(,,,)= R R 4π C ds = si > (que coincide con la epresión u(,)= G*() deducida por L'Hôpial; como era previsible, por la disconinuidad de la G, aparecen soluciones disconinuas; pero u(m,) era coninua; en el origen se concenran las disconinuidades). Miremos ahora el problema como si fuese para n=2. Los cálculos son siempre más difíciles, así que nos limiamos a hallar u(,,): u(,,) = 2π 2π rg drdθ 2 -r 2 = rgdr 2 -r 2= = = r[2 -r 2 ] -/2 dr=, r[2 -r 2 ] -/2 dr=- 2 -, Como debía suceder, = /[ 2 - ]. M r 28