Control de un brazo robot de eslabón flexible mediante PID Generalizado y Control Sin Modelo.

Transcripción

1 Cogreso Aual de la Asociació de México de Cotrol Autoático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. Cotrol de u brazo robot de eslabó flexible ediate PID Geeralizado Cotrol Si Modelo. F-J. Sorcia-Vázquez, C-D. García-Beltrá, J. Rees-Rees, A. Rodríguez-Palacios. Cetro Nacioal de Ivestigació Desarrollo Tecológico, Cueravaca, Morelos. Istituto Tecológico de Zacatepec, Zacatepec, Morelos. felipedjsv@hotail.co Resue Se preseta: a) el odelado de u brazo robot de eslabó flexible de u grado de libertad; b) el aálisis, diseño, siulació e ipleetació e tiepo real de dos esqueas de cotrol: ) el cotrol PID Geeralizado basado e el odelo lieal del sistea; ) Cotrol Si Modelo para seguiieto de traectoria. Se realizó u aálisis coparativo de estas etodologías de diseño, así coo del desepeño de abos esqueas. Tato e siulació coo la aplicació e tiepo real se obtuviero resultados satisfactorios e el desepeño de los cotroladores propuestos. Palabras clave: Brazo robot de eslabó flexible, cotrol PID geeralizado (GPID), Cotrol Si Modelo. I. INTRODUCCIÓN Etre de los dispositivos electroecáicos se ecuetra los robots accioados ediate otores eléctricos, que so de uso u frecuete e la idustria aufacturera. El pricipal objetivo de cotrol para estos sisteas, es llevar al efector fial del robot a ua posició deseada para que éste cupla co la tarea asigada. E la actualidad, se busca que las estructuras de los robots sea ás ligeras. Esto, se obtiee odificado su geoetría o utilizado ateriales ás liviaos, lo que origia u feóeo de oscilació del efector del brazo al acercarse a la posició fial. Dichas oscilacioes se preseta por la flexibilidad de las articulacioes ó la flexibilidad e el eslabó (Feliu, 6). Para resolver el problea de cotrol de brazos flexibles, se abordaro distitas técicas de cotrol. Etre éstas se ecuetra: Cotrol Robusto (Etxebarria et ál. 5), Cotrol H (Yeo et ál. 8) (Hiessie Loha, ), Cotrol Adaptable (Yag et ál. 997), (de Queiroz et ál. 999) (Yi, ), Cotrol por Redes Neuroales (Gutiérrez et ál. 998), Cotrol Óptio (Carusoe et ál. 993) Cotrol por Platitud Diferecial (Sira Agrawal 4). E este artículo se propoe la aplicació del cotrol GPID robusto para perturbacioes costates para el seguiieto de traectoria del eslabó flexible. Esta técica de cotrol, que se usa e (Chávez et ál. 5) (Sira et ál. ), itegra la estiació de estados o edibles co u cotrolador retroalietado. Se basa e la estiació estructural de las variables si teer que utilizar estiadores asitóticos. Tales variables se estia usado las etradas salidas del sistea las itegrales iteradas de éstas isas. Estos recostructores itegrales preseta u off-set o desviació del valor verdadero del estado. Ua de las vetajas de este cotrolador (GPID) es que se ipleeta úicaete co la edició de la variable de salida del sistea. Tabié se propoe el uso de ua técica de cotrol si odelo a la cual los autores le diero el obre de cotrol PID iteligete (Flies Joi, 8) (Flies Joi, 9), a la cual os referireos e lo subsecuete coo Cotrol Si Modelo (CSM). Este cotrol toa e cueta partes descoocidas de la plata que se desea cotrolar si teer que odelarlas. Estas partes descoocidas puede ser o liealidades ó paráetros variates e el tiepo. El objetivo fial de este trabajo es coparar dos esqueas que se deriva del cotrol PID clásico: el cotrol GPID, que se basa e el coociieto parcial ó total de odelo del sistea, ietras que el esquea de CSM, o ruiere del odelo del sistea. Abos esqueas se aplica para seguiieto de traectoria e u prototipo didáctico de la arca Quaser, que cosiste e u brazo de eslabó flexible de u grado de libertad. Este artículo se ecuetra estructurado de la fora siguiete: e la Secció II se expoe el odelado del brazo de eslabó flexible. E la Secció III se uestra el aálisis de los esqueas de GPID CSM. E la Secció IV se realiza el diseño, siulació e ipleetació de los cotroladores propuestos. Fialete, e la Secció V se preseta las coclusioes del trabajo. II. MODELADO DEL SISTEMA. El sistea de brazo flexible cosiste e u otor de CD de alto par, acoplado a u eslabó de aterial flexible ediate dos sisteas de egraajes, uo icorporado e la carcasa del otor otro otado e la estructura. La Figura uestra el sistea de eslabó flexible Figura. Brazo de eslabó flexible. Para obteer el odelo del sistea, se parte del odelo ateático del otor de CD. E la Figura se uestra el circuito de aradura del otor:

2 Cogreso Aual de la Asociació de México de Cotrol Autoático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. V R I L E ef Figura. Circuito de aradura subsistea ecáico de u otor de CD de iaes peraetes. De la Figura se obtiee las ecuacioes diáicas que describe el coportaieto del otor. El subsistea eléctrico del otor se represeta por di V R I L E () ef dt dode V e respectivaete; I so el voltaje la corriete de aradura, R T e J T L B L so la resistecia e iductacia de aradura, respectivaete; E es la fuerza cotra ef electrootriz geerada por el otor. Cosiderado que la resistecia del devaado es ucho aor que la iductacia de éste, es decir, R L, el terio L di dt e () se puede despreciar. Dado que E K, co la velocidad agular del eje del ef otor K ua costate propia del otor, se puede obteer la ecuació de la corriete de aradura coo V K I () R El otor se ecuetra acoplado al brazo ediate u sistea de reducció de egraes, co factor de reducció K eficiecia. Así, el par aplicado a la carga es g g T K T (3) L g g e dode T es el par geerado por el otor que está dado por e T K I (4) e T dode K es la costate de par la eficiecia del T otor. Sustituedo () e (4), el resultado e (3), dado que K g, co la posició de la carga, se tiee que el par aplicado a la carga es V K K g T K K L g g T (5) R Para el odelado del sistea ecáico, se parte de J T B (6) hub L dode J es la iercia del sistea de egraaje B es el hub coeficiete de fricció viscosa total del sistea. Después de sustituir (5) e (6) de realizar el álgebra correspodiete, se obtiee la ecuació diferecial del otor de CD de iaes peraetes: J R B R K K K K K V (7) g T g g g T dóde J J K J hub g g. Ahora, se procede a odelar el eslabó flexible que se obtiee ediate la forulació de Euler-Lagrage. d q, q q, q q u (8) dt q q q dode q, q es el Lagragiao, que se defie coo la diferecia de la eergía ciética T potecial V. q es la fució de disipació de Raleigh, u es la etrada de cotrol, q q so las coordeadas geeralizadas de posició velocidad. Para el eslabó flexible se defie coo variables geeralizadas a que so la deflexió del brazo la posició agular del eje del otor, respectivaete. Esta deflexió origia u desplazaieto D del puto fial del eslabó co respecto a su posició iicial. La deflexió se supoe pueña. Se defie el águlo de deflexió del eslabó de logitud L coo D L (9) D se ide e logitud de arco e radiaes. La Figura 3 preseta la deflexió del eslabó flexible co la asa e la puta del eslabó. J h u b Y i l o a d Figura 3. Diagraa esqueático del brazo flexible. L E la Figura 4 se represeta al eslabó flexible coo u resorte rotario. Los vectores X Y se toa coo ejes de referecia, el orige de coordeadas es la itersecció de éstos el eje del sistea de egraaje. P a r J h u b Yi X h Yi i X l J ar i Vista lateral Pa r resorte K s tiff D Yi D X l lo a d X h lo ad V ista superior. Figura 4. Modelo siplificado del brazo flexible. El desplazaieto del sistea de egraaje se represeta co el vector X la deflexió del eslabó co el vector h X. Este sistea rotatorio se describe por l J K () ar

3 dode K J represeta la rigidez la iercia del ar eslabó, respectivaete. Supoiedo ua codició iicial dada coociedo la frecuecia atural de aortiguaieto del eslabó, se c puede represetar cualquier oscilació del eslabó ediate () La costate de rigidez del eslabó se obtiee de sustituir () e () J () K La eergía potecial del sistea proviee úicaete del resorte V V K (3) resorte La eergía ciética del sistea se debe al oviieto del eje del otor del eslabó T T T J J (4) eje brazo dode J J L represeta la iercia total debida Cogreso Aual de la Asociació de México de Cotrol Autoático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. ar a las iercias del eslabó de la asa de la puta. Así, para este sistea el Lagragiao está dado por,, T V J J K (5) La fució de disipació de Raleigh se obtiee a partir del coeficiete de fricció viscosa total del sistea, esto es: B (6) Sustituedo (5) (6) e (8) realizado las operacioes se obtiee: J J J TL B (7) J J K (8) c c ar Despejado de (7) (8), respectivaete, usado (5), que describe el par de etrada, se obtiee K K K K B R K K g T g g g T V J (9) K J J K K K B R K K g T g g g T V () J J R A partir de las ecuacioes (9) () se puede obteer ua represetació e espacio de estado: K g KKT Kg B R J K J J g KKT Kg B R JJ t ( ) deota a la itegral iterada t ál. 5) K K g g T K K g g T V, () III. CONTROL GPID Y CSM. E esta secció se aaliza el diseño de u cotrolador tipo GPID robusto para perturbacioes costates, desde el efoque de platitud diferecial el esquea de Cotrol Si Modelo. A. Cotrol GPID robusto para perturbacioes costates. Cosidere el siguiete sistea de -ésio orde perturbado, el cual está e fució de la -ésia derivada teporal de la salida plaa dode es ua perturbació costate. u () Para este sistea se puede defiir u cotrolador oial u basado e la traectoria de salida deseada sus derivadas sucesivas, si toar e cueta la perturbació Se defie la siguiete ecuació de error u (3) e e (4) dode e e u u u De (4) se puede obteer u cojuto de recostructores itegrales de la diáica del error de la salida basadas e el error de etrada ediate itegrales iteradas t e e d d u t t e e d d d d u t u e e d d d d d d u Co los recostructores itegrales del estado se propoe la siguiete le de cotrol u, basada e la retroalietació del estado, co ua copesació itegral de los errores de recostrucció; que cosidera la presecia de ua perturbació costate la señal de cotrol oial u : ( ) u u k e k e k e k e k e (5) d d d (Chávez et

4 Cogreso Aual de la Asociació de México de Cotrol Autoático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. Sustituedo la ecuació de error de etrada derivado veces (5) se obtiee la ecuació diáica del error de salida e lazo cerrado: e k e k e k e k e k e (6) Aplicado la trasforada de la Laplace a (6), obteeos el polioio de lazo cerrado del sistea: s k s k s k s k s k E( s ) (7) el cual se ruiere que sea Hurwitz. De la (5) se puede llegar a la siguiete estructura, llaada cotrolador GPID robusto para perturbacioes costates: k s k s k s k u u (8) ss k s k s k B. CONTROL SIN MODELO. E (Flies Joi, 8) (Flies Joi, 9), se describe el esquea de Cotrol Si Modelo coo u esquea que toa e cueta partes de la plata que se desea cotrolar si teer que odelarlas. Tales partes descoocidas puede correspoder a la diáica o lieal ó a paráetros variates e el tiepo. Cosidereos al sistea SISO o lieal descrito localete por: F u (9) dode δ es ua costate dada. La fució F u se obtiee ediate la estiació de la -ésia derivada de la salida del sistea. E dicha fució está cocetrada toda la iforació del sistea que se desea cotrolar. Para poder obteer el coportaieto deseado del sistea, se propoe la siguiete estructura de CSM (Flies Joi, 8) (Flies Joi, 9), la cual ivolucra u cotrol PID clásico: dode F u K e K e K e (3) p i d es la traectoria de referecia, es la -ésia derivada de la traectoria de referecia, e es el error de seguiieto. El diseño del cotrolador se basa, etoces, e la idetificació de F e la selecció de, K, K K. p i d Cofiguració libre de odelo. Cosidere el sistea SISO de diesió fiita l k E t,,,,, u, u,, u (3) Este sistea puede ser lieal o o lieal. E es ua fució suficieteete suave de sus arguetos. Se asue que para u etero, l, E (Flies Joi, 8). Por lo tato, se puede deteriar la -ésia derivada de la salida del sistea a partir de (3). Etoces se tiee que: l k E t,,,,,,,, u, u,, u (3) Al aproxiar E F u, se obtiee la ecuació (9) defiida por F u, dode es u paráetro costate o físico, el cual lo elige el diseñador de tal aera que F u sea de la isa agitud. F se deteria ediate el coociieto de u, de la estiació de Modelado local. Se asue que el sistea es ivertible por la izquierda, es decir, que se puede calcular las variables de salida a través de ecuacioes difereciales (Flies Joi, 9). Si ha ás variables de salida que variables de etrada, por ejeplo, p>, se toa estas variables de etrada, para coseguir u sistea cuadrado ivertible. La ecuació (9) se extiede a partir de F u... u,, p F u... u p, p, (33) dode, j,, p j Para eliiar cualquier lazo algebraico, debido a que la estiació de F se realiza co la señal de cotrol, se calcula u valor uérico de j F u... u (34) j j j, j, e cada istate de uestreo ediate (Flies Joi, 9): j F ( k) [ ( k)], u ( k ) (35) j j e j, i i dode [ j ( k)] correspode a la estiació de la derivada j e el istate de tiepo k. e IV. DISEÑO Y SIMULACIÓN DE LOS ESQUEMAS GPID Y CSM PARA EL ESLABÓN FLEXIBLE. E esta secció se uestra los resultados e siulació tiepo real de la aplicació del los esqueas GPID CSM al sistea de brazo flexible. i A. DISEÑO DEL CONTROLADOR GPID PARA EL BRAZO FLEXIBLE. Cosidérese el odelo lieal del eslabó flexible descrito por (). E (Sira Agrawal, 4) se deuestra que u sistea es diferecialete plao si, sólo si, es cotrolable, se reporta el procediieto para obteer la salida plaa de u sistea lieal. La salida plaa para el sistea de brazo flexible es la sua de los águlos

5 Cogreso Aual de la Asociació de México de Cotrol Autoático. Puerto Vallarta, Jalisco, México., es decir,. Se tiee que las derivadas de la salida plaa so: ( 4),,, dode K J K J J Ua vez que la salida plaa sus derivadas sucesivas se ha obteido, se puede deteriar el cotrolador oial del sistea basado e la salida plaa sus derivadas sucesivas, que está defiido por: dode ( 4 ) V (36) 3 4,,, K J J K K K B R g T g, J J K K 3 g g T De acuerdo co (5), el cotrolador tipo GPID para el eslabó flexible tiee la fora 4 V V k e k e k e k e k e k e (37) Se defie la ecuació de error de etrada coo (4 ) e V V e e e e (38) V 3 4 Al sustituir (38) e (37), así coo los recostructores itegrales de las derivadas del error de salida, se obtiee la siguiete ecuació diáica del error dode (8 ) ( 7 ) ( 6) (5 ) ( 4 ) e e e e e e e e e 3 k , k k, (39) k k k , k k k k, 5 4 k k k k k k k ,,, Al aplicar la trasforada de Laplace a la ecuació (39) se obtiee el polioio característico s s s s s s s s 3 (4) El polioio característico represetado por (4) debe ser Hurwitz. Para obteer la gaacias del cotrolador (37) usado (4), se propoe el siguiete polioio característico Hurwitz de lazo cerrado s s 4 co 5. La traectoria de referecia deseada se costruó a partir de polioios de Bezier de diferetes aplitudes, éstas so: 5, 4 3. Se itrodujo a la siulació ruido de sesor co desviació estádar Los resultados de la siulació del cotrolador tipo GPID se uestra e la Figura 5. La figura uestra el seguiieto de traectoria del eslabó flexible, el voltaje de cotrol aplicado el otor de CD así coo el resultado de los criterios de desepeño evaluados. Las siulacioes corriero durate segudos. La asa de la puta del 3. brazo se propuso de.5 Kg así coo para la parte experietal. Posició (rad) - a) Posició Deseada vs Posició Fial b) Señal de cotrol Referecia Criterios de desepeño: Tiepo (seg) ITAE=.787,IAE=.758,ISE=.4 Figura 5. Resultados de la siulació del cotrol GPID. B. DISEÑO DEL ESQUEMA DE CSM PARA EL BRAZO FLEXIBLE. Se cosidera ahora la ecuació del esquea de CSM descrita por (3). Coo a se ecioó, esta cofiguració de cotrol está libre de odelo; es decir, el odelo se descooce copletaete. Se utilizó u cotrolador tipo PI, las gaacias proporcioal e itegral propuestas so K 3.69 K.9. El paráetro para la p i estiació de F es δ = 7, se utiliza sólo la priera derivada de la señal de salida, es decir,. Por lo tato, el esquea de CSM tiee la fora F V K e K p i e (4) Los resultados de la siulació del esquea de CSM se uestra e la Figura 6. Se toaro las isas codicioes de siulació que co el cotrolador GPID. La figura uestra el seguiieto de traectoria del eslabó flexible, el voltaje de cotrol aplicado el otor de CD así coo el resultado de los criterios de desepeño evaluados.

6 Cogreso Aual de la Asociació de México de Cotrol Autoático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. Posició (rad) - a) Posició Deseada vs Posició Fial Referecia Posició (rad) - a) Posició Deseada vs Posició Fial Referecia b) Señal de cotrol b) Señal de cotrol Criterios de desepeño: Tiepo (seg) ITAE=3.55,IAE=.378,ISE=.3 Figura 6. Resultados de la siulació del esquea de CSM. C. RESULTADOS EXPERIMENTALES. E esta secció se exhibe los resultados experietales obteidos de la aplicació de los cotroladores propuestos al sistea de brazo de eslabó flexible de la Figura. E la Figura 7, se uestra la validació experietal del odelo propuesto e la Secció II. Se observa que el odelo es ua represetació apropiada del sistea real. Pero, e lo que respecta a la posició del brazo, el odelo o pudo reproducir totalete las oscilacioes que cociere a la flexibilidad del brazo, coo se observa e la Figura 7.b). Pero este hecho o afecta e la aplicació e tiepo real a que los esqueas propuestos so robustos e presecia de icertidubre de odelado e icertidubre paraétrica. a)posició eje otor (rad) b) Posició Brazo (rad) c) Posició fial (rad) Sistea real Modelo Tiepo (seg) Figura 7. Validació del odelo del eslabó co el sistea físico. A cotiuació se uestra las gráficas de los resultados experietales obteidos e la aplicació de los cotroladores. E la Figura 8 se uestra los resultados del cotrolador GPID. Esta figura exhibe la señal de salida cotra la señal de referecia (Fig. 8.a), así coo la señal de cotrol aplicada al sistea (Fig. 8.b). Ahí iso se iclue los valores de los criterios de desepeño para el cotrolador GPID Criterios de desepeño: Tiepo (seg) ITAE=.7786, IAE=.88, ISE=.4 Figura 8. Resultados experietales del cotrol GPID. La Figura 9 exhibe los resultados obteidos co el esquea de CSM. Así coo e el caso aterior, se uestra la señal de salida cotra la referecia (Fig. 9.a) la señal de cotrol aplicada al sistea (Fig. 9.b). Ahí iso se iclue los valores de los criterios de desepeño para el cotrolador. Posició (rad) - a) Posició Deseada vs Posició Fial b) Señal de cotrol Referecia Criterios de desepeño: Tiepo (seg) ITAE=3.685, IAE=.53, ISE=. Figura 9. Resultados experietales del esquea de CSM. V. CONCLUSIONES. Para las dos técicas de cotrol aalizadas, se pudo costatar que abos esqueas: GPID CSM, resuelve el problea de seguiieto de traectoria aplicado a u brazo robot co eslabó flexible de u grado de libertad. E lo que respecta al cotrolador GPID, éste ruiere del coociieto del odelo sistea, al eos parcialete. Porque se ruiere deteriar el cotrolador oial basado e la platitud deferecial del sistea. Éste se obtiee deteriado la salida plaa del sistea ua paraetrizació de la etrada de cotrol e fució de dicha salida de sus derivadas teporales sucesivas. Coo se pudo costatar, el odelo obteido e la Secció II represeta parcialete al sistea real, a que o pudo reproducir copletaete las oscilacioes del sistea real. Respecto al esquea de CSM, éste se basa e realizar ua idetificació local del sistea a partir de las derivadas de

7 Cogreso Aual de la Asociació de México de Cotrol Autoático. Puerto Vallarta, Jalisco, México. la salida de la señal de cotrol. Esto da orige a la fució F. Este esquea de cotrol o ruiere coociieto del sistea, por ede, resulta eos coplicada su aplicació, a diferecia del cotrolador GPID que preseta u diseño ás coplejo. Abos esqueas se ipleetaro e tiepo real co éxito, obteiedo resultados aproxiados a los que las siulacioes arrojaro. Para deteriar el desepeño de los cotroladores, tato e siulació coo e tiepo real, se evaluaro tres criterios de error, estos so: ISE, IAE e ITAE (por sus siglas e iglés). Coo se puede observar, el cotrol GPID tiee u ejor desepeño que el esquea de CSM e los tres criterios evaluados, tato e siulació coo e la aplicació e tiepo real. Basádose e los valores del criterio de desepeño ITAE, se puede observar de las Figuras 8 9, que el desepeño del cotrolador GPID es ejor que el del esquea de CSM. Si ebargo, el cotrolador GPID ruiere del odelo del sistea el esquea de CSM o. El diseño del esquea CSM es eos coplejo aú se obtiee u desepeño aceptable. Michel Fliess Cédric Joi(8). Itellige PID cotrolers. 6 th Mediterrea Coferece o Cotrol ad Autoatio, Ajaccio: Frace. Michel Fliess Cédric Joi(9). Model-free cotrol ad itellige PID cotrollers: towards a possible trivializatio of oliear cotrol. 5 th IFAC Sposiu o sste idetificatio. VI. AGRADECIMIENTOS. Al Cosejo Nacioal de Ciecia Tecología por haber fiaciado este proecto. REFERENCIAS Victor Etxebarria, Aratza Saz e Iboe Lizarraga (5). Cotrol of a Lightweight Flexible Robotic Ar Usig Slidig Modes. Iteratioal Joural of Advaced Robotic Sstes. Volue, pp 3-. Je S. Yeo, Jog H. Park Sag-Hu Lee (8). Practical Robust Cotrol for Flexible Joit Robot Maipulators. 7 th IFAC World Cogress (IFAC'8). Dadi Hissei Boris Loha (). Robust cotrol for a flexible-lik aipulator usig slidig odes techiques ad oliear H cotrol desig ethods, IEEE Iteratioal Coferece o Robotics & Autoatio. Seoul, Korea. Jug Hua Yag, Feg Li Lia Li Che Fu (997). Noliear Adaptive Cotrol for Flexible-Lik Maipulators. IEEE Trasactio o Robotics ad Autoatio, VOL. 3, NO., pp M. S. de Queiroz, D. M. Dawso, M. Agarwal F. Zhag (999). Adaptive Noliear Boudar Cotrol of a Flexible Lik Robot Ar, IEEE Trasactio o Robotics ad Autoatio, VOL. 5, NO. Woosoo Yi (). Adaptive Cotrol of a Flexible Joit Maipulator, IEEE Iteratioal Coferece o Robotics & Autoatio. Seoul, Korea. L. B. Gutiérrez, F. L. Lewis J. Ad Lowe (998). Ipleetatio of a Neural Network Trackig Cotroller for a Sigle Flexible Lik: Copariso with PD ad PID Cotrollers. IEEE Trasactios o idustrial electroics, VOL. 45, NO. J. Carusoe, Keir S. Bucha, G. M. T. D Eleuterio(993). Experiets i Ed-Effector Trackig Cotrol for Structurall Flexible Space Maipulators. IEEE Trasactio o Robotics ad Autoatio, VOL. 9, NO. 5, pp Vicete Feliu Batlle (6). Robots flexibles: hacia ua geeració de robots co uevas prestacioes. Revista iberoaericaa de autoática e iforática idustrial. VOL 3, NO. 3. Herbert Sira-Raírez Suil K. Agrawal (4). Differetiall Flat Sstes. Marcel Dekker Ic. E. Chávez-Code, H. Sira-Raírez J. Álvarez-Gallegos (5). Diseño ecatróico, odelado cotrol PI geeralizado de u sistea ecáico rotacioal. IEEE 3 cogreso iteracioal de iovació desarrollo tecológico, 8 al 3 de septiebre 5, Cueravaca, Morelos, México. Hebertt Sira-Raírez, Richard Marquez Michel Fliess (). O the Geeralized PID Cotrol of Liear Daic Sstes. Europea Cotrol Coferece. Portos, Portugal.