Capítulo 5 Distribución de esfuerzos en el suelo debido a cargas

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1 Capítulo 5 Distribució de esfueros e el suelo debido a cargas 5. INTRODUCCIÓN Coo ya se ha explicado ateriorete ua cietació tiee el trabajo de trasferir las cargas de la estructura al suelo, cuado esto sucede la presió o el esfuero que la fudació etrega al terreo se distribuye e el edio cosiderado (el suelo) y a su ve se disipa. Este capítulo estudia coo ocurre este feóeo e el terreo para diferetes tipos de cietació. 5. DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL Figura 5. Modelo de Boussiesq, de carga putual (P) sobre u edio elástico sei-ifiito, y sistea de ejes utiliado. Boussiesq (885), idealiado u odelo dode se coloca ua carga putual sobre u edio elástico sei-ifiito, ecotró que la solució para ecotrar el valor del icreeto del esfuero vertical ( σ ) e u puto cualquiera (a) co coordeadas cartesiaas de localiació (x = x a, y = y a, = a, ver Figura 5.), debido a la carga (P) ipuesta, de fora geeral será: 3P 5 σ = θ π cos (ec. 5.)

2 dode: cosθ = (ec. 5.) r r = x y (ec. 5.3) Utiliado las defiicioes ates vistas, y realiado las siplificacioes respectivas, se puede expresar el icreeto de esfuero vertical e el suelo ( σ ), de dos aeras: 3P σ = (ec. 5.4) 5 / r π ó 3 3P σ =. (ec. 5.5) π ( r ) 5 / Si toaos cualquiera de las dos ecuacioes y realiaos u aálisis y u diagraa del icreeto del esfuero vertical del plao x- (y=0), obtedreos u esquea coo el ostrado e la Figura 5., para el caso de ua carga putual uitaria, que podrá ser utiliado para cualquier valor de carga fudaetados e los pricipios de la elasticidad, aclarado que la uidad de σ /P=[/ ].

3 Figura 5. Distribució de esfueros e el terreo debido a ua carga putual. Del esquea de la Figura 5. podeos observar y obteer varias cosas, uo coo es la distribució de esfueros e el terreo debido a ua carga putual, y dos itroducireos u cocepto que es el bulbo de presioes. Defiició: El bulbo de presioes es la oa del suelo dode se produce icreetos de carga vertical cosiderables por efecto de ua carga aplicada del tipo que sea. Esta oa fora u bulbo llaado de presioes, y esta coforada por isóbaras que so curvas que ue putos de u iso valor de presió o de esfuero. Las isobaras de la Figura 5. está represetadas desde la del 0% hasta la del 90% del valor de la carga putual, cada 0%.

4 E el caso que estaos aaliado, el bulbo de presioes debido a ua carga putual, estará liitado por la isobara que toa el valor del 0% del valor de la fuera putual aplicada, σ 0.0P (ver Figura 5.). Coo ua aclaració adicioal el valor del esfuero cerca de la carga putual toa valores uy grades, y e el puto de cotacto (x=0, =0) el valor del esfuero e el suelo tederá a ifiito ( σ = ), ya que idealiado el problea plateado el área de cotacto tedería a cero. Ejeplo DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA CIRCULAR Figura 5.3 Modelo de carga circular (q) sobre u edio elástico sei-ifiito, y sistea de ejes utiliado. Partiedo de la solució dada por Boussiesq para ua carga putual (ec. 5.4), y dividiedo u área cargada circular e difereciales de área, coo uestra la Figura 5.3, dode ua carga putual (dp) sobre este diferecial se puede aproxiar a dp = q.r.dθ.dr, obteeos que: 3( q. r. dθ. dr) d( σ ) = (ec. 5.6) 5 / r π Itegrado e toda la superficie del área circular, tedríaos que:

5 σ = θ = π r= B / θ = 0 r= 0 3( q. r. dθ. dr) π r 5 / (ec. 5.7) Al solucioar la aterior itegral, ecotraríaos que el icreeto de el esfuero vertical ( σ ) para u puto cualquiera (a) debajo del cetro de ua cietació circular, de radio R, cargada co u valor de esfuero de cotacto (q) uiforeete distribuido, e ua profudidad dada () cualquiera, será: dode: 3 σ = q (ec. 5.8) R R : Es el radio de la cietació, y será igual a R=B/. Para coocer el icreeto de esfuero vertical e lugares diferetes a putos localiados debajo del cetro de la cietació circular, se deberá solucioar la itegral de la ecuació 5.7, co los adecuados liites de itegració, variádolos de acuerdo a la distacia (r) desde el cetro de la cietació hasta puto ivestigado y a la profudidad (). Para efectos prácticos podeos utiliar ábacos coo el que uestra la Figura 5.4, obteiedo el valor de la fució, de tal aera que el icreeto de carga se puede expresar coo: x σ = q. f, (ec. 5.9) R R Abaco area circular Figura 5.4 Ábaco carga circular. E este caso que estaos aaliado el bulbo de presioes debido a ua carga circular, éste estará liitado por la isobara que toa el valor de σ =0.0q, y coo se puede apreciar e el ábaco de la Figura 5.4, la áxia profudidad (D b ) que toa el bulbo de presioes es el cetro aproxiadaete a dos veces el acho (B) o dos veces el diáetro (D) de la fudació, luego podeos aproxiar: Ejeplo 5. D b B D 4R (ec. 5.0)

6 5.3 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA RECTANGULAR 5.3. Método basado e la teoría de Boussiesq Figura 5.5 Modelo de carga rectagular (q) sobre u edio elástico seiifiito, y sistea de ejes utiliado. Partiedo de la solució dada por Boussiesq para ua carga putual (ec. 5.4) y la defiició de r (ec. 5.3), y dividiedo u área cargada rectagular e difereciales de área, coo la ostrada e la Figura 5.5, dode ua carga putual (dp) sobre u diferecial se puede aproxiar a, dp = q.dx.dy, obteeos que: 3 3( q. dx. dy) 3( q. dx. dy) d( σ ) = = (ec. 5.) 5 / ( ) 5 / x y x y π π Itegrado e toda la superficie del área rectagular, tedríaos que: y= L x= B 3 3( q. dx. dy) σ = (ec. 5.) ( x y ) y= 0 x= 0π Al solucioar la aterior itegral (Newark) 935, ecotraríaos que el icreeto de el esfuero vertical ( σ ) para u puto cualquiera (a) debajo de la esquia de ua cietació rectagular, de acho B y largo L, cargada co u valor de esfuero de cotacto (q) uiforeete distribuido, e ua profudidad dada () cualquiera, será: 5 /

7 ), ( = qi σ (ec. 5.3) dode: B = (ec. 5.4) L = (ec. 5.6) = ta 4 ), ( I π (ec. 5.7) E el caso que el valor de ( ) sea ás grade que el valor de ( ), el terio de la ecuació 5.7 que utilia tagete iversa se vuelve egativo, luego será ecesario odificar la ecuació, suado al aterior resultado el valor de π, de la siguiete aera: = π π ta 4 ), ( I (ec. 5.8) El valor del factor de ifluecia I(,), siepre deberá estar etre: 0.5 ), ( 0 I (ec. 5.9) Los valores del factor de ifluecia I(,), a partir de las ecuacioes 5.7 y 5.8, se puede obteer del gráfico de la Figura 5.6 para diferetes valores de y ó de la Tabla 5..

8 Figura 5.6 Valor del factor de ifluecia para diferetes valores de y. Tabla 5. Valor del factor de ifluecia para diferetes valores de y. ó ó La profudidad del bulbo de presioes (D b ) de u área rectagular es difícil de deteriar de fora geeral, ás au cuado es ua distribució de carga copuesta. Se puede deducir que esta variará etre dos veces su acho (B) (e el caso de ua apata cuadrada) y tres veces su acho (B) (ver ueral

9 5.4), pero de aera aproxiada D b es asuida, para el caso de ua apata rectagular coo: Ejeplo 5.3 D b B (ec. 5.4) 5.3. Método aproxiado : (V:H) Uo de los prieros étodos para ecotrar el icreeto de esfuero vertical ( σ ) e el suelo, a ua profudidad () cualquiera, debido a ua carga uiforeete distribuida (q) colocada e ua superficie rectagular de acho (B) y largo (L), fue el étodo de la pediete : (V:H), étodo que es aproxiado pero tiee la vetaja de que es uy secillo y siple. Este étodo supoe que la oa o área dode la carga (q) actúa, se va distribuyedo e el edio (suelo), apliádose, desde la de cotacto (B x L), hasta ua oa ás grade que va a ser fució de la profudidad, y que va a ir creciedo co ua pediete : (V:H), tal y coo uestra la Figura 5.7, para el caso de la diesió del acho (B) y aálogaete para la diesió del largo (L). Figura 5.7 Método aproxiado : (V:H). De acuerdo a esto, el icreeto de esfuero vertical ( σ ) e el suelo, se podría aproxiar a: qbl σ = (ec. 5.9) ( B )( L )

10 Para el caso de ua cietació cuadrada, basádoos e este iso étodo: qb σ = (ec. 5.0) ( B ) 5.4 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA RECTANGULAR UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA DE LONGITUD INFINITA (ZAPATA CORRIDA) Figura 5.8 Carga rectagular uiforeete distribuida de logitud ifiita. A partir de la solució para los esfueros causados e el suelo por ua fuera lieal de logitud ifiita (P/, o tratada e este capítulo), y al itegrarla para darle solució a la distribució de esfueros causada e el suelo por ua carga rectagular uiforeete distribuida de logitud ifiita (ver Figura 5.8), obteeos que el icreeto de el esfuero vertical ( σ ) e u puto cualquiera (a) dado, de coordeadas (x a, a ), será : dode: b( x b ) σ = q ta ta (ec. 5.) π x b x b ( x b ) 4b q : Sobrecarga de fora rectagular uiforeete distribuida de logitud ifiita. x, : Coordeadas cartesiaas del puto aaliado. b : Igual a la itad del valor del acho de la cietació rectagular de logitud ifiita co carga uiforeete distribuida. (b=b/)

11 ó de ua aera siplificada: dode: Parte II: Itroducció al cálculo y diseño de cietacioes σ = q ( α seα cos( α δ )) (ec. 5.) π q : α : δ : Sobrecarga de fora rectagular uiforeete distribuida de logitud ifiita. Águlo defiido e la Figura 5.8, coforado etre los liites de la carga y el puto a. Águlo defiido e la Figura 5.8, edido co respecto a la vertical. Por facilidad podeos graficar la ecuació 5. o la 5., de tal fora que podaos ecotrar el valor de la fució f(x/b, /B), y al ultiplicarla por la carga (q) uiforeete distribuida obtedreos el valor del icreeto de esfuero vertical ( σ ) e el puto cosiderado, así: x σ = qf, (ec. 5.3) B B El valor de la fució f(x/b, /B), aparece graficado e la Figura 5.9 de aera geeral hasta la isobara σ /q = 0.0 y e la Figura 5.0 de aera as detallada hasta la isobara σ /q = 0.0, que e el caso de ua apata rectagular de logitud ifiita será hasta dode se cosiderara la profudidad del bulbo de presioes (D b ), o lo iso hasta que haya ua disipació de esfuero de tal fora que el icreeto de esfuero e el suelo o supere el 0% de la carga ipuesta origialete. De acuerdo a lo aterior y a lo que se puede apreciar e la Figura 5.9 y 5.0 podeos aproxiar para este caso de apata rectagular de logitud ifiita y carga uiforeete distribuida, que la profudidad del bulbo de presioes (D b ) es: D b 3B (ec. 5.4)

12 Figura 5.9 Valor de la fució f(x/b, /B), geeral.

13 Figura 5.0 Valor de la fució f(x/b, /B), detallada. Ejeplo DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA TRIANGULAR DE LONGITUD INFINITA. De ua aera aáloga coo para ua carga rectagular uiforeete distribuida de logitud ifiita, a partir de la solució para los esfueros causados e el suelo por ua fuera lieal de logitud ifiita (P/, o tratada e este capítulo), y al itegrarla para darle solució a la distribució de esfueros causada e el suelo por ua carga triagular de logitud ifiita, variado desde cero (0) hasta q (ver Figura 5.), obteeos que el icreeto de el esfuero vertical ( σ ) e u puto cualquiera (a) dado, de coordeadas (x a, a ), será :

14 x σ = q α seδ (ec. 5.5) π b dode: q : x : b : α : δ : Sobrecarga de fora rectagular uiforeete distribuida de logitud ifiita. Coordeada cartesiaa x del puto aaliado. Igual a la itad del valor del acho de la cietació de logitud ifiita co carga uiforeete distribuida. (b=b/) Águlo defiido e la Figura 5., coforado etre los liites de la carga y el puto a. Águlo defiido e la Figura 5., edido co respecto a la vertical. Figura 5. Carga triagular de logitud ifiita. Esta solució es aplicada a casos coo el de los uros de coteció co carga excétrica, cobiado co pricipios de superposició de acuerdo a las teorías elásticas. 5.6 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA TRAPEZOIDAL (TRIANGULO RECTÁNGULO) DE LONGITUD INFINITA, TERRAPLÉN.

15 Figura 5. Carga de terraplé de logitud ifiita. A partir de la solució para ua carga triagular de logitud ifiita (ver Nueral 5.5) y utiliado los pricipios de superposició, podeos obteer que el icreeto de el esfuero vertical ( σ ) e u puto cualquiera (a) dado, de coordeadas (x a, a ), será : dode: B B B σ = ( ) ( α q α α ) (ec. 5.6) π B B q : B : B : α : α : Sobrecarga de fora rectagular uiforeete distribuida de logitud ifiita, actuado e el acho B, que e el caso de u terraplé uifore de altura H y peso uitario γ, será q = γh. Acho dode se desarrolla la pediete del terraplé, y dode varia la carga desde la carga q hasta cero. Acho dode se cosidera que actúa la carga rectagular de logitud ifiita uiforeete distribuida (q). Defiido coo: B B B α = ta ta (ec. 5.7) Defiido coo: B α = ta (ec. 5.8) Por facilidad se puede costruir o graficar u diagraa e fució de B / y B /, a partir de la ecuació 5.6, co el objeto de expresar el icreeto de el esfuero vertical ( σ ) coo:

16 B B σ = qf, (ec. 5.9) dode el valor de la fució B B f, aparece graficado e la Figura 5.3. Figura 5.3 Ábaco para carga de terraplé de logitud ifiita, valor de la fució f(b /, B /). Ejeplo DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA DE CUALQUIER FORMA, CARTA DE NEWMARK (94) Maejo de la Carta de Newark Natha M. Newark (94) e la Uiversidad de Illiois, se ideo u sistea de solució grafica para ecotrar de aera aproxiada el icreeto de esfuero vertical debajo de cualquier puto de ua fudació, co cualquier tipo y fora de carga, basado e la solució para u puto bajo el cetro de ua fudació co carga uiforeete repartida de fora circular (ueral 5.3, de este capítulo). A esta solució gráfica se le llaa solució co Carta de

17 Newark, y es basada e gráficos o esqueas coo el que uestra la Figura 5.4: Figura 5.4 Carta de Newark. La fora de ecotrar el icreeto de esfuero vertical ( σ ) bajo cualquier puto de la fudació o por fuera de ella, a ua profudidad cualquiera () dada, es: a. Caracteriar la carta de Newark co la que se va a trabajar, que cosiste e idetificar el valor de ifluecia (cada carta tedrá uo, e el caso de la Figura 5.4 V i =0.0035), y e idetificar la referecia de

18 escala ( ) que es la líea que represeta la profudidad () a la cual se va a ecotrar el icreeto de esfuero. b. Adoptada la profudidad () a la cual se va a ecotrar el icreeto de esfuero vertical ( σ ), la líea de referecia de escala ( ) se volverá igual a la profudidad () toada, de acuerdo a esto quedará defiida la escala del procediieto. c. Se deberá dibujar la fudació e plata de acuerdo a la escala defiida e el paso aterior, para luego colocar este esquea a escala sobre la Carta de Newark, haciedo coicidir el puto bajo el cual se desea ecotrar el icreeto de esfuero co el cetro de la Carta de Newark, tal y coo uestra la Figura 5.5 (a) para el caso del icreeto de esfuero e el cetro de la fudació o la Figura 5.5 (b) para el caso del icreeto de esfuero e la esquia de la cietació. Figura 5.5 Carta de Newark. d. Fialete se cotará cuatos cuadros queda detro del esquea de la fudació, suádose los cuadros copletos y las fraccioes de recuadros co el cuidado de ua buea apreciació. De acuerdo al aterior procediieto descrito, el valor del icreeto de esfuero vertical ( σ ) e u puto cualquiera bajo la fudació, a ua profudidad () dada, se defiirá coo: dode: σ = V i qn (ec. 5.30) V i : q : Valor de ifluecia de la carta de Newark de referecia, cada carta tedrá uo. Sobrecarga uiforeete distribuida producida por la cietació.

19 N : Nuero de divisioes de la carta de Newark de referecia, que esté detro de la plata de la cietació Costrucció de la Carta de Newark A partir de la solució para ua carga uiforeete distribuida de fora circular, ecuació 5.8, podeos obteer que la relació R/, es igual a: R σ = q 3 (ec. 5.3) Si ahora le daos valores a la relació ( σ /q), desde cero (0) hasta uo () (debido a que la relació o podrá ser ayor que uo), obteeos los valores de la relació R/, los cuales so tabulados e la tabla 5.: Tabla 5. Valores de R/. σ /q R/ Luego si se asue ua escala cualquiera para la uidad, se deberá graficar coo radios de círculos cocétricos todos los valores de R/ obteidos, de acuerdo a la escala seleccioada, tal y coo uestra la Figura 5.6:

20 Figura 5.6 Círculos cocétricos para la costrucció de la carta de Newark. Se coloca ua líea de logitud de ua uidad, segú la escala escogida, que represetara la profudidad () co la cual se este trabajado co la carta de Newark. Fialete se divide la carta e cuatos cuadros se desee (de fora siétrica), y se le coloca u recuadro que deliitará la carta, tal y coo uestra la Figura 5.7: Figura 5.7 Costrucció de la carta de Newark.

21 El uero de cuadros e los cuales se dividió la carta de Newark, defiirá el valor del factor de ifluecia (V i ) para la carta de Newark costruida (cada carta deberá especificar cuato es este valor), segú la siguiete ecuació: V i = (ec. 5.3) ND dode: ND: Nuero total de divisioes o cuadros que posee la Carta de Newark costruida. 5.8 REFERENCIAS Bowles, J.E. (996). Foudatio aalysis ad desig, 5th ed., McGraw-Hill, New York. Cru, L. (006). Coferecias de clase curso de Fudacioes, Facultad de Igeiería Civil Uiversidad del Cauca, Popayá. Cru, L. (006). Coferecias de clase curso de Mecáica de Suelos I, Facultad de Igeiería Civil Uiversidad del Cauca, Popayá. Cru, L. (006). Coferecias de clase curso de Mecáica de Suelos II, Facultad de Igeiería Civil Uiversidad del Cauca, Popayá. Das, B.M. (00). Pricipios de igeiería de cietacioes, 4ta ed., Iteratioal Thoso Editores, México. Das, B.M. (997). Advaced soils echaics, d ed., Taylor ad Fracis, Washigto, D.C. Newark, N.M. (94), Ifluece Charts for Coputatio of Stresses i Elastic Foudatios, Uiversity of Illiois Bulleti No Osterberg, J. O. (957). Ifluece values for vertical stresses i sei-ifiite ass due to ebaket loadig, Proceedigs, Fourth Iteratioal coferece o soil echaics a foudatio egieerig, Lodo, vol., pp Rico, A. y H. Del Castillo (003). La igeiería de suelos e las vías terrestres (carreteras, ferrocarriles y aeropistas), Vol. y Vol., 9a reipresió, Liusa, México.

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