4.1. Introducción a la Programación Lineal Entera (PLE)

Transcripción

1 C APÍTULO 4 PROGRAMACIÓN ENTERA 4.. Itroducció a la Prograació Lieal Etera (PLE) Los prieros itetos para resolver u problea de prograació lieal etera surgiero de la etodología utilizada e la resolució de probleas de prograació lieal. El prier algorito fiito fue dado por R. Goory y se deoió Método de los plaos de corte. Los avaces teóricos e la resolució de prograació lieal etera ha sido iportates, si bie o se ha visto correspodido e la eficacia del cóputo. Esto es debido a los errores de redodeo coetidos e las sucesivas iteracioes y acuulados e el cóputo que realiza los ordeadores. U problea de Prograació Etera es u problea de prograació lieal e el cual alguas de las variables, o todas, tiee que ser úeros eteros o egativos. El obetivo de la Prograació Lieal Etera es ecotrar el valor de la fució que Max (Mi) z = c x + c 2 x c x deoiada fució obetivo. La fució obetivo se ecuetra sueta a ua serie de restriccioes: a x + a 2 x a x (,, =) b a 2 x + a 22 x a 2 x (,, =) b 2. a x + a 2 x a x (,, =) b x 0 (=, 2,..., ) x etero 05

2 06 Ivestigació Operativa Cuado se os presete la resolució de u Problea de Prograació Etera, lo resolveos coo u problea de Prograació Lieal. Si sus solucioes so eteras, ésta es la solució para el problea de prograació lieal etera. E cualquier problea se verifica que la solució óptia z op (PL) z op (PLE) Ésta relació se cuple siepre porque cualquier solució factible para u problea de PLE es tabié ua solució factible para la su relaació lieal (PL). Defiició 4.. El problea de prograació lieal que se obtiee al oitir todas las restriccioes eteras ó variables 0- se llaa relaació de prograació lieal para la prograació etera. Defiició 4.2. Criterio de optialidad e u problea de PLE: Ua solució etera factible x F es óptia para el problea de PLE si es solució óptia de ua relaació lieal. E tal caso se cuple que z op (PL) = z op (PLE)=z F U problea de prograació etera e el cual solaete alguas de las variables tiee que ser úeros eteros, se llaa u problea de prograació etera ixta. Por eeplo ax z 3 x st x x x x 0 ; 2, 2 x 2 x2 5 etero U problea de prograació etera e el cual todas las variables toa valores 0 ó, se deoia problea de prograació etera 0- (prograació lieal biaria). La relaació de prograació lieal para la prograació ixta del eeplo aterior es: ax z 3 x 2 x2 st x x2 5 x, x 0 Por lo tato, la relaació prograació lieal es ua versió eos restrigida, o ás relaada, de la prograació etera. Esto sigifica que la regió factible para cualquier prograació etera tiee que estar icluida e la regió factible de la relaació prograació lieal correspodiete. 2

3 Prograació Lieal Etera Restriccioes A eudo, cuado teeos que platear u problea de prograació ateática, se os preseta euciados e los que figura la codició: i) o bie (ua o la otra). Esto supoe ua forulació del tipo f(x, x 2,, x ) 0 ó g(x, x 2,, x ) 0 Para ipleetar esta codició, se toa ua variable biaria, 0-, y u valor M suficieteete grade para asegurar el cupliieto de las restriccioes f(x, x 2,, x ) M y g(x, x 2,, x ) M, adeás de las otras restriccioes del problea. f(x, x 2,, x ) My g(x, x 2,, x ) M(-y) y = 0, Podeos ver que si y = 0, la restricció f(x, x 2,, x ) 0, se cuple. La restricció g(x, x 2,, x ) M puede cuplirse, pero o lo sabeos. Para y=, la restricció f(x, x 2,, x ) M puede cuplirse y g(x, x 2,, x ) 0 se cuple. ii) si etoces (codicioal) E este tipo de restriccioes se desea estar seguro de que se satisface la restricció g(x, x 2,, x ) 0 si se satisface la restricció f(x, x 2,, x ) > 0. Para ipleetar el caso aterior, toado u valor M suficieteete grade, itroducios ua variable biaria, 0-, y cabiaos los sigos e las desigualdades, dado coo resultado la forulació siguiete: f(x, x 2,, x ) M(-y) (es u artificio esta forulació) - g(x, x 2,, x ) My y = 0, Para f(x, x 2,, x ) > 0, y = 0, teeos

4 08 Ivestigació Operativa f(x, x 2,, x ) M, se cuple - g(x, x 2,, x ) 0, se cuple Para f(x, x 2,, x ) > 0, y =, teeos f(x, x 2,, x ) 0 - g(x, x 2,, x ) M Si o se satisface f(x, x 2,, x ) > 0, los x (=, 2,..., ) o tiee restriccioes y tato g(x, x 2,, x ) < 0 coo g(x, x 2,, x ) M so posibles Prograació lieal geeral co eteros La Prograació Lieal estádar asue que las variables de decisió so cotiuas. Si ebargo, e uchas aplicacioes, los valores fraccioarios puede o teer setido, por eeplo 9/2 trabaadores. Los probleas de prograació lieal co eteros so ás difíciles de resolver que los de prograació lieal cotiua. Por qué o resolver todos los probleas coo probleas de prograació lieal estádar y redodear las respuestas a los eteros ás cercaos? Desafortuadaete, esto geera dos probleas: La solució redodeada puede o ser factible. El redodeo puede o dar ua solució óptia. Por lo tato, el redodeo de resultados de prograació lieal puede proporcioar respuestas razoables, pero, para garatizar solucioes óptias, debeos aplicar prograació lieal co eteros. Por defecto, el software LINDO de Prograació Lieal asue que todas las variables so cotiuas. Para probleas de Prograació Lieal Etera, debereos utilizar la setecia de etero geeral, GIN. GIN, seguida de u obre de variable, restrige el valor de la variable a los eteros o egativos (0,, 2, ). El siguiete eeplo ilustra el uso de la setecia GIN. Max X + 0X2 st 2X + X2 2 X - 3X2 END GIN X GIN X2 La salida después de siete iteracioes es:

5 Prograació Lieal Etera 09 VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO ) VARIABLE VALOR COSTE REDUCIDO X X FILA HOLGURA O EXCEDENTE 2) ) Si o hubiéraos especificado X y X2 coo eteros geerales e este odelo, LINDO o habría hallado la solució óptia de X = 6 y X2 = 0. E cabio, LINDO habría cosiderado a X y X2 coo cotiuos y habría llegado a la solució X = 5.29 y X2 =.43. Obsérvese, asiiso, que el siple redodeo de la solució cotiua a los valores eteros ás próxios o da la solució óptia e este eeplo. E geeral, las solucioes cotiuas redodeadas puede o ser las óptias y, e el peor de los casos, o so factibles. Sobre esta base, uo se puede iagiar que puede requerir ucho tiepo obteer la solució óptia e u odelo co uchas variables de eteros. E geeral, esto es así, y covedrá utilizar la característica GIN sólo cuado es absolutaete ecesario. Coo últio coetario, el coado GIN tabié acepta u argueto de valor etero e lugar de u obre de variable. El úero correspode al úero de variables que uo desea que sea eteros geerales. Estas variables debe aparecer priero e la forulació. De tal odo, e este eeplo secillo, podríaos haber reeplazado las dos setecias GIN por la úica setecia GIN 2. Veaos ahora u eeplo co restriccioes del tipo "Y-O". Supogaos que ua paadería vede seis variedades de rosquillas. La preparació de las variedades, 2 y 3 iplica u proceso bastate coplicado, por lo que la paadería decidió que o les coviee horear estas variedades, a eos que pueda horear y veder por lo eos 0 doceas de las variedades, 2 y 3 de fora couta. La capacidad de la paadería liita el úero total de rosquillas horeadas a 30 doceas, y el beeficio por uidad de la variedad es c euros. Se supoe que la paadería cosigue veder todo lo que horea. Deotado por x, ( =, 2,, 6) el úero de doceas de la variedad que se debe horear. Max z = c X st x 30 x + x 2 + x 3 = 0, ó x + x 2 + x 3 0 Estos probleas se suele resolver itroduciedo ua variable biaria, y.

6 0 Ivestigació Operativa Max z = c X st x 30 x + x 2 + x 3-0y 0 x + x 2 + x 3-0y 0 y = 0, ; X 0 (=, 2,..., 6) U eeplo de prograació lieal biaria escrito para el prograa LINDO: Max X + 9X2 + 8X3 + 5X4 st 4X + 3X2 + 2X3 + 5X4 8 END INT X INT X2 INT X3 INT X4 Co el coado INT e LINDO se restrige la variable a 0 ó. A estas variables co frecuecia se las llaa variables biarias. E uchas aplicacioes, las variables biarias puede ser uy útiles e situacioes de todo o ada. E los eeplos podeos cosiderar: asuir u coste fio, costruir ua ueva plata o coprar u ivel íio de algú recurso para recibir u descueto por catidad, etc. La salida que proporcioa LINDO da la solució óptia y el valor óptio después de ocho iteracioes utilizado el étodo "Brach-ad-Boud" (Raificar y Acotar). Observe que, e lugar de repetir INT cuatro veces, se puede eplear INT 4. Las prieras cuatro variables apareciero e la fució obetivo. VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO ) VARIABLE VALOR COSTE REDUCIDO X X X X FILA HOLGURA O EXCEDENTE PRECIOS DUALES 2) Nº. DE ITERACIONES = 8

7 Prograació Lieal Etera Algoritos de Goory para la Prograació Lieal Etera Dado u problea de prograació lieal etera Max z = c T X st AX b X 0 X etero Estudiareos dos étodos para su resolució: el étodo fraccioal y el etero de Goory Algorito fraccioal de Goory Ates de iiciar su desarrollo, es ecesario que todos los coeficietes que aparece e las restriccioes sea eteros, esto se cosigue ultiplicado cada restricció por el íio coú últiplo de los deoiadores de los coeficietes a i y b i correspodietes a cada restricció. Esto está otivado porque e el desarrollo del algorito o se hace distició etre las variables de decisió y de holgura. La fució obetivo, escrita e fució de las variables básicas y o básicas, es z = c i y i + c w (4.) i Las variables básicas y i (i=, 2,..., ) de cualquier tabla del siplex se puede escribir e la fora: x k = y k + k w (toado la fila k-ésia de la tabla del siplex) y k = x k - k w (4.2) siedo y k variable básica y w variable o básica e la tabla del siplex, k, los coeficietes de la -ésia variable o básica e la k-ésia fila y x k, la solució para y k. U úero real puede expresarse coo sua de su parte etera y su parte fraccioaria a = [a]+ f a, x k = [x k ] + f k, i = [ i ] + f i

8 2 Ivestigació Operativa dode [a], parte etera, es el ayor etero eor o igual que a y f a verifica 0f a <. Si x k o es etero y aplicaos la descoposició aterior a la ecuació (4.2), teeos: de dode y k = ([x k ] + f k )- ([ k ] + f k ) w f k - f k w = y k - [x k ] - [ k ] w Teiedo e cueta que todas las variables w e y k debe ser eteras, el segudo iebro de la igualdad ha de ser u úero etero y, por tato, el priero tabié lo será. Operado, veos que f k - f k w f k ya que f k 0, w 0. Coo 0 f k < y f k - eor que uo, debe verificarse que f k w ha de ser u úero etero, al teer que ser f k - f k w 0 f k f k w Itroduciedo ua variable de holgura h k, se obtiee la restricció f k + h k = f k w -f k = - f k w + h k que se deoia plao de corte. Los plaos de corte será restriccioes que os perite llegar a la solució etera óptia detro de la regió factible.

9 Prograació Lieal Etera 3 Dada la últia tabla del siplex de u problea de PL que proporcioa el prograa LINDO escriba el plao de corte asociado a la variable x: ROW (BASIS) X X2 SLK 2 SLK 3 SLK 4 ART X SLK X Solució: -/4=0.25=h x -/5h -3/4h 3 9/4=2+/4; f=/4 3/2=+/2; f a2 =/2 -/4=-+3/4; f a4 =3/ Algorito etero de Goory El algorito etero de Goory surge coo alterativa al algorito fraccioal e u iteto de evitar los errores de redodeo presetados por éste. Para ello, los coeficietes de los plaos de corte que se costruya deberá ser eteros. Para desarrollar este étodo, o es ecesario resolver el problea de prograació lieal, se partirá de ua tabla dual factible. Las variables o factibles y i (i=, 2,..., ) de cualquier tabla del siplex, e cualquier iteració, se puede escribir e la fora: x k = y k + k w (toado la fila k-ésia de la tabla del siplex) y k = x k - k w (4.3) siedo y i variable básica y w variable o básica e la tabla del siples, k, los coeficietes de la -ésia variable o básica e la k-ésia fila y x k, el valor de y k e la solució o factible, es decir x k < 0. Dividiedo (4.3) por u úero real 0 se tiee yk xk k w

10 4 Ivestigació Operativa Teiedo e cueta que todo úero real puede expresarse coo sua de su parte etera y su parte fraccioaria a = [a]+ f a, x k = [x k ] + f k, i = [ i ] + f i la expresió aterior se expresa k k k k w f x y f / operado k k k x w y Teiedo e cueta que todas las variables w e y k debe ser eteras, el prier iebro de la igualdad ha de ser u úero etero y, por tato, k k k x w y (4.4.) Multiplicado la expresió (4.3) por teeos k k k x w y (4.5) Restado (4.5)-(4.4), se obtiee k k k k x x w Toado >, =0, e itroduciedo ua variable de holgura, h k, se tiee la restricció k k k x h w

11 Prograació Lieal Etera 5 y el plao de corte que debereos icluir e las restriccioes es k xk h k ( w ) Podeos observar que, tal coo heos costruido el plao de corte, toda solució etera del problea verifica dicha restricció Algorito de raificar y acotar E la práctica, la ayoría de los probleas de prograació etera se resuelve ediate el uso de la técica de raificar y acotar. Los étodos de raificar y acotar ecuetra la solució óptia para u problea de prograació etera ediate la eueració eficiete de los putos e la regió factible. Ates de explicar cóo fucioa la raificació y el acotaieto, es ecesario hacer la siguiete observació: si se resuelve u problea de prograació etera ediate la relaació de u problea de prograació lieal y se obtiee ua solució e la cual todas las variables so úeros eteros, etoces la solució óptia de la relaació de prograació lieal será tabié la solució óptia de prograació etera. Le étodo de raificar y acotar cosiste e descopoer el problea origial e ua sucesió de subprobleas hasta idetificar la solució óptia. Para darse cueta de la validez de esta observació, cosidérese el siguiete problea de prograació etera: Max z 3 x st 2 x x 2 2 x 6 2 x, x2 0 ; x, x2 etero La solució óptia, cosiderádolo u problea de prograació lieal para esta prograació etera, es x 0, x2 6, z 2

12 6 Ivestigació Operativa Esta solució da valores eteros a cada variable, la observació aterior iplica que x 0, x2 6, z 2 tabié es la solució óptia para el problea de prograació etera. Obsérvese que la regió factible para la prograació etera es u subcouto de todos los putos e la regió factible de la relaació por prograació lieal. Así, el valor óptio de z para la prograació etera o puede ser ayor que el valor óptio de z para la relaació de prograació lieal, es decir, z op (PL) z op (PLE) Esto sigifica que el valor óptio de z para la prograació etera debe ser z 2. Pero el puto x 0, x2 6, z 2 es factible para la prograació etera y tiee z 2. Por lo tato, x 0, x2 6, z 2 debe ser óptio para la prograació etera. E fora resuida, los pasos del algorito Raificar y Acotar, para u problea de axiizació, so:.- Defiios z coo la cota iferior de la solució etera óptia del problea de prograació lieal etera. Haceos iicialete z = - e i = 0 (subproblea i-ésio). 2.- Estudio y raificació. Seleccioe SPi (subproblea i-ésio) coo el próxio subproblea por ivestigarse. Resuelva el SPi y trate de estudiarlo utilizado las codicioes apropiadas. Si el SPi se ha estudiado (solució iferior, o factible o etera), actualice la cota iferior z si se ecuetra ua eor solució del prograació lieal etera; si o es así, seleccioe u uevo subproblea y repita el paso 2. Si todos los subprobleas se ha ivestigado, detégase; la solució óptia del problea de PLE está asociada co la últia cota iferior z, e caso de que ésta exista. Si o es así, si el SPi o está estudiado, siga co el paso 3 para efectuar la raificació del SPi. 3.- Raificació. Seleccioe ua de las variables x. cuyo valor óptio x * e la solució del SPi o satisfaga la restricció de valor etero. Eliie la regió [x * ] <

13 Prograació Lieal Etera 7 x < [x * ] + (dode [a] defie al ayor etero a), creado dos subprobleas SP que correspoda a las dos siguietes restriccioes utuaete excluyetes: x < [x * ] y x > [x * ] + Volver al paso 2. Resulta ás coveiete explicar los fudaetos del algorito de raificar y acotar ediate u eeplo uérico. Cosidere el siguiete problea de prograació lieal etera: z = 5x + 4x 2 st x + x 2 5 0x + 6x 2 45 x, x 2 0 y eteras El espacio de solucioes de PL asociado, SP0, se defie por cacelació de las restriccioes eteras. La solució óptia SP0 da x = 3.75, x 2 =.25 y z = El procediieto raificar y acotar se basa e tratar sólo co el problea PL. Coo la solució óptia o satisface la ecesidad de valores eteros, el algorito de raificar y acotar exige ''odificar'' el espacio de solucioes PL e fora tal que os perita idetificar, fialete, la solució óptia del problea de prograació lieal etera. Priero, seleccioaos ua de las variables cuyo valor corriete e la solució óptia SP0 ifrige el requisito de valor etero. Seleccioado x = 3.75 arbitrariaete, observaos que la regió (3 < x < 4) del espacio de solucioes SP0 o puede, por defiició, icluir igua solució factible del problea de prograació lieal etera. Etoces, podeos odificar el espacio de solucioes de PL eliiado esta regió o proetedora, lo que, e realidad, es equivalete a reeplazar el espacio origial SP0 por dos subprobleas de prograació lieal, los SP y SP2, defiidos de la aera siguiete:. Espacio SP = espacio SP0 + (x 3) 2. Espacio SP2 = espacio SP0 + (x 4) Los dos espacios cotiee los isos putos eteros factibles del odelo prograació lieal etera. Esto sigifica que, desde el puto de vista del problea origial de prograació lieal etera, tratar co SP y SP2 es igual que tratar co el subproblea origial SP0. La diferecia pricipal es que la selecció de las uevas restriccioes de acotaieto (x 3 y x 4) eorará la

14 8 Ivestigació Operativa oportuidad de forzar a los putos extreos óptios de SP y SP2 hacia la satisfacció del requisito de valor etero. Adeás, el hecho de que las restriccioes de acotaieto esté e la ''vecidad iediata'' del óptio cotiuo del SP0 icreetará las posibilidades de producir "bueas" solucioes eteras. Las uevas restriccioes x 3 y x 4 so utuaete excluyetes, SP y SP2 debe tratarse coo dos probleas de prograació lieal separados. Esto da lugar al étodo de raificar y acotar. E efecto, raificar sigifica subdividir u espacio de solucioes e subespacios utuaete excluyetes. Las raas asociadas se defie por las restriccioes x 3 y x 4, dode x se deoia variable de raificació. La solució óptia de la prograació lieal etera debe ecotrarse e el SP o e el SP2. Si ebargo, e ausecia del espacio gráfico de solucioes, o se sabe dóde puede ecotrarse la solució óptia, por lo que la úica opció es ivestigar abos probleas. Se hace esto trabaado co u problea SP o SP2. Escoaos arbitrariaete al SP, asociado co x 3. E efecto, debeos resolver el siguiete problea: Max z = 5x + 4x2 st x + x 2 5 0x + 6x 2 45 x 3 x, x 2 0 Coo se idicó ates, el SP es el iso que el SP0 co la restricció adicioal de acotaieto superior, x 3. Así, podeos aplicar el étodo siplex de acotaieto superior para resolver el problea. Esto da la ueva solució óptia: x = 3, x 2 = 2 y z = 23. Coo esta solució satisface el requisito de valor etero, se dice que el SP está agotado, lo que sigifica que el SP o puede producir igua solució eor de la prograació lieal etera y o ecesita ivestigarse ás a fodo. Deteriar ua solució factible etera e ua etapa tepraa de los cálculos es crucial para icreetar la eficiecia del algorito Raificar y Acotar. Tal solució fia ua cota iferior al valor obetivo óptio del problea prograació lieal etera, que, a su vez, se puede usar para descartar autoáticaete cualesquiera subprobleas o explorados (coo el SP2) que o da ua eor solució etera. E térios de uestro eeplo, el SP produce la cota iferior z = 23. Esto sigifica que cualquier solució etera eorada debe teer u valor de z ayor que 23. Si ebargo, coo la solució óptia del problea SP0 (origial) tiee z = y coo todos los coeficietes de la fució obetivo so eteros, se ifiere que igú subproblea que proceda del SP0 puede producir u valor de z eor que 23. E cosecuecia, si ulterior ivestigació, podeos descartar al

15 Prograació Lieal Etera 9 SP2. E este caso se dice que el SP2 está agotado porque o puede dar ua eor solució etera. Del aálisis aterior veos que u subproblea está agotado si se satisface ua de las siguietes codicioes: i) El subproblea da ua solució factible etera del problea prograació lieal etera. ii) El subproblea o puede dar ua eor solució que la eor cota iferior dispoible (valor de z) del problea prograació lieal etera. (U caso especial de esta codició es que el subproblea o tedrá igua solució factible) Si la fució obetivo ha de iiizarse, el procediieto es el iso, excepto que se eplea cotas superiores. Así, el valor de la priera solució etera se vuelve ua cota superior para el problea y se eliia los SPi cuado sus valores z de priera aproxiació so ayores que la cota superior actual Cosideracioes para los cálculos Siepre se realiza las bifurcacioes a partir de aquel prograa que parece estar ás cerca del valor optio. Cuado existe varios cadidatos para cotiuar las bifurcacioes, se seleccioa aquel que tega el ayor valor z si se va a axiizar la fució obetivo, o aquel que tega el eor valor z si se va a iiizar la fució obetivo. Las restriccioes adicioales se agrega ua a ua. Si ua priera aproxiació icluye a ás de ua variable o etera, las uevas restriccioes se ipoe a aquella variable que está ás leos de ser u etero; esto es, aquella variable cuya parte fraccioaria está ás cerca de 0.5. E caso de epate, se seleccioa arbitrariaete ua de las variables. Fialete, es posible que u prograa etero o u prograa lieal tega ás de ua solució optia. Veaos, ediate u eeplo, el étodo de raificar y acotar. Max z= 8x + 5x2 st x + x 2 6 9x + 5x 2 45 x, x 2 0

16 20 Ivestigació Operativa SP0: Max 8x + 5x2 st x + x2 6 9x + 5x2 45 z= 4.25 x =3.75 x2 =2.25 x4 x 3 SP=SP0+ x4 Max 8x + 5x2 st x + x2 6 9x + 5x2 45 x4 z= 4 x = 4 x2 =.8 SP2 =SP0+ x3 Max 8x + 5x2 st x + x2 6 9x + 5x2 45 x 3 z= 39 x =3 x2 =3 x22 x2 SP3=SP+ x22 NO FACTIBLE SP4=SP+ x2 Max 8x + 5x2 st x + x2 6 9x + 5x2 45 x2 z= 40,555 x =4,444 x2 = x5 x4 SP5=SP4+ x 5 Max 8x + 5x2 st x + x2 6 9x + 5x2 45 SP6=SP+ x 4 Max 8x + 5x2 st x + x2 6 9x + 5x2 45

17 Prograació Lieal Etera 2 x 5 x 4 z * = 40 x= 37 x =5 x =4 x2 =0 x2 = deado a u lado el requeriieto de que las variables sea eteras, se obtiee x = 3.75, x 2 =2.25, co z = 4.25, coo la solució al problea de prograació lieal asociado. Dado que x está ás aleada de u valor etero que x 2, la epleaos para geerar los subprobleas SP y SP2: x 4 y x 3. Seguireos raificado los subproblaas que os ha dado solucioes o eteras hasta agotar las posibles raificacioes. Todos aquellos subprobleas que os de solucioes eteras etrará a forar parte del couto de solucioes cadidatas a la solució óptia, e uestro caso las solucioes cadidatas os las ofrece los subprobleas: SP2 (z=39, x=3, x2=3), SP5 (z=40, x=5, x2=0) y SP6 (z=37, x=4, x2=); de todas ellas toareos la que ayor valor tega e la fució obetivo SP5 (z=40, x=5, x2=0). Resuelto el eercicio aterior ediate LINDO, teeos: Max 8x + 5x2 st x + x2 <= 6 9x + 5x2 <= 45 END GIN 2 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE VALUE = SET X TO >= 4 AT, BND= 4.00 TWIN= SET X2 TO <= AT 2, BND= TWIN=-0.000E+3 9 (o factible) SET X TO >= 5 AT 3, BND= TWIN= NEW INTEGER SOLUTION OF AT BRANCH 3 PIVOT 2 BOUND ON OPTIMUM: DELETE X AT LEVEL 3 DELETE X2 AT LEVEL 2 DELETE X AT LEVEL ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 3 PIVOTS= 2 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE )

18 22 Ivestigació Operativa VARIABLE VALUE REDUCED COST X X ROW SLACK OR SURPLUS 2) ) DUAL PRICES NO. ITERATIONS= 2 BRANCHES= 3 DETERM.=.000E 0 Las expresioes: SET X TO >= 4 AT, BND= 4.00 TWIN= sigifica que la eor solució para x 4 es 4 y de 39 para x 3. NEW INTEGER SOLUTION OF AT BRANCH 3 PIVOT 2, os idica que ecotró la solució optia e la tercera raificació (SET X TO >= 5 AT 3, BND= TWIN= ). Veaos otro eeplo: Max z = 3x + 4x 2 st 2x + x 2 <= 6 2x + 3x 2 <= 9 x, x 2 o egativas y eteras LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X ROW SLACK OR SURPLUS 2) ) DUAL PRICES Plateado ahora los subprobleas, por el étodo de raificar y acotar, teeos:

19 Prograació Lieal Etera 23 SP Max z = 3x + 4x 2 st 2x + x 2 <=6 2x + 3x 2 <= 9 x 2 < = x y x 2 o egativas y eteras LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) NO. ITERATIONS= 2 SP3 Max z = 3x + 4x 2 st 2x + x 2 6 2x + 3x 2 < 9 x 2 < = x < = 2 x y x 2 o egativas y eteras LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X SP2 Max z = 3x + 4x 2 st 2x + x 2 6 2x + 3x 2 < 9 x 2 => 2 x y x 2 o egativas y eteras LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) NO. ITERATIONS= SP4 Max z = 3x + 4x 2 st 2x + x 2 < 6 2x + 3x 2 < 9 x 2 =>2 x <= 2 x y x 2 o egativas y eteras LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) NO. ITERATIONS= ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) NO. ITERATIONS=

20 24 Ivestigació Operativa SP5 Max z = 3x + 4x 2 st 2x + x 2 < 6 2x + 3x 2 < 9 x 2 < = x >= 3 x y x 2 o egativas y eteras OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X SP6 Max z = 3x + 4x 2 st 2x + x 2 < 6 2x + 3x 2 < 9 x 2 < = 2 x >= 3 x y x 2 o egativas y eteras OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) NO. ITERATIONS= 3 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) NO. ITERATIONS= Prograació lieal etera aplicada a la fució lieal por trozos E este apartado vereos cóo utilizar la prograació etera biaria para odelar probleas de optiizació e los que iterviee fucioes lieales por trozos. x x 2 x 3 Supogaos que ua fució lieal a trozos, f(x), tiee putos de ruptura x, x 2,, x. Para algú k (k=, 2,..., -), x k x x k+, podeos forar ua cobiació lieal

21 Prograació Lieal Etera 25 x = k x k + (- k ) x k+ f(x) = k f(x k )+ (- k ) f(x k+ ) f(x) = i f(x i ) = z i Por tato, si teeos f(x) co putos de ruptura podeos platear el problea e el capo de la prograació lieal etera de la siguiete fora: x = i x i f(x) = i f(x i ) i st i = i i Itroducios ua variable biaria 0-, y i = (0, ), tal que i y i = y 2 y + y 2 3 y 2 + y 3 - y -2 + y - y - i i 2 y i i

22 26 Ivestigació Operativa 4.7. Probleas iportates que hace uso de la prograació lieal Detro de este apartado estudiareos probleas de prograació lieal uy coocidos e este capo: i) Problea de Trasporte ii) Problea de Asigació iii) Problea de Trasbordo Forulació del Modelo de Trasporte La prograació lieal es u capo ta aplio que se extiede a tipos de probleas para los cuales existe étodos de solució especiales. Uo de estos se cooce coo problea de trasporte. El étodo siplex de prograació lieal puede servir para resolver estos probleas. Pero se ha desarrollado étodos ás secillos que aprovecha ciertas características de los probleas. Etoces, el étodo del trasporte so sólo técicas especiales para resolver ciertos tipos de probleas de prograació lieal. El trasporte desepeña u papel iportate e la ecooía y e las decisioes adiistrativas. Co frecuecia la dispoibilidad de trasporte ecoóico es crítica para la supervivecia de ua epresa. Qué sigifica problea de trasporte? Supógase que u fabricate tiee tres platas que produce el iso producto. Estas platas, a su vez, ada el producto a cuatro alacees. Cada plata puede adar productos a todos los alacees, pero el coste de trasporte varía co las diferetes cobiacioes. El problea es deteriar la catidad que cada plata debe adar a cada alacé co el fi de iiizar el coste total de trasporte. La aera ás fácil de recoocer u problea de trasporte es por su aturaleza o estructura de-hacia : de u orige hacia u destio, de ua fuete hacia u usuario, del presete hacia el futuro, de aquí hacia allá. Al afrotar este tipo de probleas, la ituició dice que debe haber ua aera de obteer ua solució. Se cooce las fuetes y los destios, las capacidades y deadas y los costes de cada trayectoria. Debe haber ua cobiació óptia que iiice el coste (o axiice la gaacia). La dificultad estriba e el gra úero de cobiacioes posibles. Puede forularse u problea de trasporte coo u problea de prograació lieal y aplicarse el étodo siplex. Si lo hiciéraos, ecotraríaos que los probleas de trasporte tiee características ateáticas úicas. Cosidereos u couto de lugares que llaareos orígees y otro que llaareos destios.

23 Prograació Lieal Etera 27 El problea de trasporte, co orígees y destios, se puede dar e ua tabla: Destio (b ) Orige (a i ) b b 2. b a c /x c 2 /x 2 c /x a 2 c 2 /x 2 c 22 /x 22 c 2 /x a c /x c 2 /x 2 c /x Los pasos a seguir para forular u problea de trasporte so:. Defiició de variables: x i = úero de uidades que deseaos trasportar del orige i-ésio (oferta) al destio -ésio (deada) c i = coste de eviar ua uidad del orige i-ésio (oferta) al destio -ésio (deada) 2. Forulació del problea de trasporte: Mi z = st i oferta i : deada : c i x i x i a i i x i b x i 0 i, (i =, 2,..., ; =, 2,..., ) Cada odelo tiee tatas restriccioes de oferta coo el úero de orígees () que exista y tatas restriccioes de deada coo el úero de destios () que exista. Las restriccioes de oferta garatiza que o se trasportará ás de la catidad dispoible e los orígees y las restriccioes de deada garatiza que las catidades deadas será satisfechas. Siedo el úero de restriccioes de oferta y el úero de restriccioes de deada, e u Modelo de Trasporte existirá siepre, x variables e totaly existirá siepre + - variables básicas y (x)- (+-) o básicas.

24 28 Ivestigació Operativa Detro de este plateaieto podeos ecotrar tres situacioes:.- Problea Balaceado(ofertas igual a las deadas): a i = b = A 2.- Las ofertas supera a las deadas: a i b i 3.- Las deadas supera a las ofertas: a i b i Paseos a estudiar cada uo de los casos expuestos:.- El prier caso es el estádar (balaceado) al que tedereos siepre. 2.- E el caso 2 las ofertas supera a las deadas: a i b Para coseguir que el problea se covierta e u problea balaceado, creareos u destio ficticio. i i Para el orige i-ésio la oferta es: a i = x i + x i0 La oferta total es A= a i = x i + x i0 i i Operado e la expresió aterior, teeos i i x i0 = b 0 = i a i - b dode x i0 es el úero de uidades que deseaos trasportar desde el orige i- ésio (oferta) al destio ficticio, b E el caso 3 (las deadas supera a las ofertas): a i b, e este caso geeraos u a 0 (orige ficticio). i

25 Prograació Lieal Etera 29 Para el destio -ésio la deada es: b = i x i + x 0 dode x 0 es el úero de uidades que deseaos trasportar desde el orige ficticio al destio -ésio. b = x i + x 0 i El orige ficticio oferta la catidad x 0 = a 0 = b - a i i Teorea 6.. Todo problea de trasporte adite ua solució factible acotada. Deostració Cosiderareos el caso balaceado, ya que todos se reduce a éste. Defiaos la variable: x i = a b i A Oferta i-ésia : a b i a = i A A b = A a i A = ai Deada -ésia : i a i b b = A A i a i = A b A = b Por tato, adite ua solució factible que está acotada, x i i { a i, b } Métodos para ecotrar solucioes factibles Al iiciar, todos los regloes de los orígees y las coluas de destios de la tabla siplex de trasporte se toa e cueta para proporcioar ua variable básica (asigació).

26 30 Ivestigació Operativa. Se seleccioa la siguiete variable básica (asigació) etre los regloes y coluas e que todavía se puede hacer ua asigació de acuerdo a algú criterio. 2. Se hace ua asigació lo suficieteete grade coo para que use el resto de los recursos e ese regló o la deada restate e esa colua (cualquiera que sea la catidad ás pequeña). 3. Se eliia ese regló o colua (la que teía la catidad ás pequeña e los recursos o deada restates) para las uevas asigacioes. (Si la fila y la colua tiee la isa catidad de recursos y deada restate, etoces arbitrariaete se eliia el regló. La colua se usará después para proporcioar ua variable básica degeerada, es decir, ua asigació co cero uidades.) 4. Si sólo queda u regló o ua colua detro de las posibilidades, etoces el procediieto teria eligiedo coo básicas cada ua de las variables restates (es decir, aquellas variables que o se ha elegido i se ha eliiado al quitar su regló o colua) asociadas co ese regló o colua que tiee la úica asigació posible. De otra aera se regresa al paso. Co el uso del ordeador, todos estos probleas se resuelve ediate el software apropiado. Por ello ecioareos, de fora resuida, dos étodos para resolver el problea del trasporte: el étodo de la esquia oroeste y el étodo de aproxiació de Vogel. El Método de la Esquia Noroeste: la priera elecció es x (es decir, se coieza e la esquia oroeste de la tabla siplex de trasporte). De ahí e adelate, si x i fue la últia variable básica seleccioada, la siguiete elecció es x i,+ (es decir, se ueve ua colua a la derecha) si queda recursos e el orige i. De otra aera, se elige x i+, (es decir, se ueve u regló hacia abao). Lo priero que debeos hacer al resolver cualquier problea de trasporte es coprobar que esté balaceado; si o lo estuviera, agregaos u orige o u destio artificial segú sea el caso para coseguir que el problea quede balaceado y podaos coezar a resolverlo. El Método de Aproxiació de Vogel: para cada regló y colua que queda bao cosideració, se calcula su diferecia, que se defie coo la diferecia aritética etre el coste uitario ás pequeño (c i ) y el que le sigue, de los que queda e ese regló o colua. (Si se tiee u epate para el coste ás pequeño de los restates de u regló o colua, etoces la diferecia es 0). E el regló o colua que tiee la ayor diferecia se elige la variable que tiee el eor coste uitario que queda. (Los epates para la ayor de estas diferecias se puede roper de aera arbitraria). Iiciaos el étodo calculado las prieras diferecias para cada regló y colua.

27 Prograació Lieal Etera 3 El étodo de aproxiació de Vogel ha sido el ás popular durate uchos años, e parte porque es relativaete fácil hacerlo a ao. Este criterio toa e cueta los costes uitarios e fora efectiva, ya que la diferecia represeta el íio coste adicioal e que se icurre por o hacer ua asigació e la celda que tiee el eor coste e esa colua o regló. Podeos decir que el étodo de aproxiació de Vogel proporcioa ua eor solució iicial que el criterio de la esquia oroeste, e otras palabras es ás cualitativo. La prueba de optialidad estádar del étodo siplex para el problea de trasporte se puede reducir de la siguiete aera: Ua solució básica factible es óptia si y sólo si c i u i v 0 para toda (i,) tal que x i es o básica. Así, lo úico que hay que hacer para realizar esta prueba es obteer los valores de u i y v para la solució básica factible actual y después calcular los valores c i u i v segú se describe eseguida. Coo el valor de c i u i v debe ser cero si x i es ua variable básica, u i y v satisface el couto de ecuacioes: c i = u i + v para cada (i,) tal que x i es básica. Existe + variables básicas y, por tato, hay + ecuacioes de este tipo. Coo el úero de icógitas (las u i y v ) es +, se puede asigar u valor arbitrario a cualquiera de estas variables si violar las ecuacioes. La elecció de esta variable y su valor o afecta al valor de igú c i u i v, au cuado x i sea o básica, por lo que la úica diferecia (eor) estriba e la facilidad para resolver estas ecuacioes. Ua elecció coveiete para lograr esto es seleccioar la u i que tiee el ayor úero de asigacioes e su regló (los epates se rope de aera arbitraria) y asigarle u valor de cero. Gracias a la secilla estructura de estas ecuacioes, resulta uy fácil obteer algebraicaete los valores del resto de las variables. Co el uso del ordeador, todos estos probleas se resuelve ediate el software apropiado Problea de Asigació El problea de asigació es u caso particular del problea del trasporte. E geeral, es u problea de trasporte balaceado. Trabaareos bao distitos supuestos acerca del úero de suetos y puestos de trabao. Defiios la variable x i = 0 si a la persoa i se le asiga el e caso cotrario puesto

28 32 Ivestigació Operativa Supuesto : =. Mi z = s.t. i c i x i sueto i-ésio : x i = puesto -ésio : x i = x i 0 i i Supuesto 2: Asigació últiple Sea a i = úero de tareas, coo áxio, que puede desarrollar el i-ésio idividuo Mi z = s.t. i c i x i sueto i : x i a i puesto : x i = i x i 0, i Supuesto3.. Aaliceos el caso: > Mi z = s.t. i c i x i sueto i : x i, (i=,2,..., ) puesto : x i =, (=,2,..., ) i x i 0, i Para <

29 Prograació Lieal Etera 33 Mi z = s.t. i c i x i sueto i : x i =, (i=,2,..., ) puesto : x i, (=,2,..., ) i x i 0, i Veaos uos eeplos que ilustre lo aterior. U buffet de abogados ha aceptado 5 uevos casos, cada uo de los cuales puede ser llevado adecuadaete por cualquiera de los cico asociados ás recietes. Debido a la diferecia de experiecia y práctica, los abogados eplearo distitos tiepos e los casos. Uo de los asociados ás experietados ha estiado las ecesidades de tiepo e horas coo sigue: Abogados Caso Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso Deterie la fora óptia de asigar los casos a los abogados de aera que cada uo de ellos se dedique a u caso diferete y que el tiepo total de los epleados sea íio. Defiios la variable x i = 0 si al abogado i se le asiga el caso e caso cotrario Mi z =45x + 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 54 +x 55 st x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = x 2 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = x 3 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = x 4 + x 42 + x 43 + x 44 + x 45 = x 5 + x 52 + x 53 + x 54 + x 55 =

30 34 Ivestigació Operativa x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = x 2 + x 22 + x 32 + x 42 + x 52 = x 3 + x 23 + x 33 + x 43 + x 53 = x 4 + x 24 + x 34 + x 44 + x 54 = x 5 + x 25 + x 35 + x 45 + x 55 = x i biarias (i, =, 2,..., 5) Llevado el plateaito del problea a LINDO, teeos: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE VALUE = FIX ALL VARS.( 6) WITH RC > NEW INTEGER SOLUTION OF AT BRANCH 0 PIVOT 6 BOUND ON OPTIMUM: LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

31 Prograació Lieal Etera 35 E egrita se ha resaltado la solució de la asigació. Otro eeplo. Ua tieda de autoservicio que fucioa las 24 horas tiee los siguietes requeriietos íios para los caeros: Periodo Hora del día Nº Míio El período sigue iediataete a cotiuació del período 6. U caero trabaa 8 horas cosecutivas, epezado al iicio desde los 6 períodos. Deteríese qué grupo diario de epleados satisface las ecesidades co el íio de persoal. Defiios la variable x i = úero de epleados que coieza su labor al iicio del período i-ésio (i=, 2,..., 5) Mi z =x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 st x + x 2 20 x 2 + x 3 4 x 3 + x 4 20 x 4 + x 5 0 x 5 + x 6 5 x + x 6 7 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) La solució la recogeos e la tabla siguiete:

32 36 Ivestigació Operativa Periodo Hora del día Nº Míio Problea de Trasbordo El problea de Trasbordo es u caso ás geeral que el problea de trasporte. Los putos de trasbordo so aquellos putos de paso que cuple la codició de que lo que llega a u odo tiee que salir de él. El plateaieto del problea se hace atediedo a lo ateriorete expuesto. Mi z = c i x i (se sua todos los arcos) i st orígees: x i - x i a i (arcos que sale - arcos que etra) trasbordo: x i - x i = 0 (putos de trasbordo) destios: x i - x i b (arcos que etra - arcos que sale) El problea de la ochila Existe ultitud de variates del problea de la ochila. E este caso, tratareos co ua variate del problea que se deoia Problea de la Mochila 0-. Supógase que se tiee obetos distitos y ua ochila. Cada uo de los obetos tiee asociado u peso positivo w i y u valor positivo v i para i=, 2,,. La ochila puede llevar u peso que o sobrepase la catidad W. Teiedo e cueta estos datos, el obetivo del problea es llear la ochila de tal fora que se axiice el valor de los obetos trasportados e ella. Hay que teer e cueta que la sua de los pesos de los obetos seleccioados o debe superar la capacidad áxia W de la ochila. Por lo tato, para obteer la solució deseada, se debe decidir para cada uo de los obetos, si se itroduce o o e la ochila. Cada obeto tiee asociado ua variable x i que toa el valor si el obeto se ete e la ochila y 0 e caso cotrario. Cualquier obeto se puede itroducir e la ochila si hay espacio para él, pero lo que o se puede hacer es trasportar e ella ua fracció o parte de u obeto. A este tipo de probleas e los que los obetos o puede ser fraccioados se les llaa Probleas de la Mochila 0- o Etera. Mateáticaete el problea se puede forular coo se uestra a cotiuació: Max z = v i xi st i i w i x i W v i, w i >0, x i {0,}, i=, 2,,