México. Benítez, Alberto La forma triangular de la matriz de Leontief Economía: Teoria y práctica, núm. 30, enero-junio, 2009, pp.

Transcripción

1 Ecoomía: Teoria y prácica ISSN: eyp@xaum.uam.mx Uiversidad Auóoma Meropoliaa Uidad Izapalapa México Beíez, Albero La forma riagular de la mariz de Leoief Ecoomía: Teoria y prácica, úm. 30, eero-juio, 2009, pp. 5-3 Uiversidad Auóoma Meropoliaa Uidad Izapalapa Disrio Federal, México Dispoible e: hp:// Cómo ciar el arículo Número compleo Más iformació del arículo Págia de la revisa e redalyc.org Sisema de Iformació Cieífica Red de Revisas Cieíficas de América Laia, el Caribe, España y Porugal Proyeco académico si fies de lucro, desarrollado bajo la iiciaiva de acceso abiero

2 4 Ecoomía: eoría y prácica Nueva Época, úmero 30, eero-juio 2009 Research Ageda, i Holzma, R., ad J.E. Sigliz (eds.), New Ideas Abou Old age Securiy, The World Bak, pp Holzma R., ad J.E. Sigliz (eds.) (200), New Ideas Abou Old Age Securiy, The World Bak. Ieraioal Labor Orgaizaio (ilo) (2005), Uruguay: Empleo y proecció social, de la crisis al crecimieo. James, E. (997), Pesio Reform: Is here ay Efficiecy-Equiy Tradeoff?, paper preseed a he coferece: Iequaliy Reducig Growh i Lai America s Marke Ecoomies, The World Bak. Mesa-Lago, C. (200), Reassessig Pesio Reform i Chile ad Oher Couries i Lai America, Ieraioal Social Securiy Review, No. 54:4, pp (2002), Myh ad Realiy of Pesio Reform: he Lai America evidece, World Developme, Vol. 30, No. 8, pp (2005), Evaluaio of a Quarer Ceury of Srucural Pesio Reforms i Lai America, i Crabbe, C. A. (ed.), A Quarer Ceury of Pesio Reform i Lai America ad he Caribbea: Lessos Michell, O. (996), Social Securiy Reform i Uruguay: A ecoomic assessme, Pesio Research Coucil, prc wp, p. 20. Murai, T. (2004), The Foudaio of he Mexica Welfare Sae ad Social Securiy Reform i he 990s, The Developig Ecoomies, XLII-2, pp Queisser, M. (999), Pesio Reform: Lessos from Lai America, Policy Brief No. 5, oecd Developme Ceer. Rofma, R. (2005), Social Securiy Coverage i Lai America, social proecio discussio paper, No. 0523, World Bak. Rose, S. (986), The Theory of Equalizig Differeces, Hadbook of Labor Ecoomics, Chaper 2, Uiversiy of Chicago. Sheshiski, E., ad Y. Weis (98), Uceraiy ad Social Securiy Sysems, The Quarerly Joural of Ecoomics, Vol. 96, No. 2, pp Sigliz, J., ad P. Orszag (999), Rehikig Pesio Reforms: 0 Myhs Abou Social Securiy Sysems, World Bak coferece: New ideas abou old age securiy. Also i Holzma, R., ad J. E. Sigliz (eds.), 200, New Ideas Abou old age Securiy, The World Bak, pp Vo Gersdorff, H. (997), Pesio Reform i Bolivia, Policy Research Workig Paper 832, The World Bak. La forma riagular de la mariz de Leoief Resume Albero Beíez* E ese arículo preseo alguos comearios sobre la forma riagular del modelo de Leoief. Ere ellos, propogo ua demosració aleraiva de la equivalecia ere la exisecia de ua solució viable para el modelo y la codició de Hawkis y Simo (H-S). Además, expogo el peculiar sigificado ecoómico de los coeficiees de la diagoal pricipal e la forma riagular de la mariz de Leoief, lo cual permie, ere oras cosas, apreciar la esrecha relació ere las codicioes ecoómicas y las maemáicas e la solució del modelo. Tambié ideifico alguas proposicioes maemáicas equivalees a (H-S) que posee ierés ecoómico. Número de clasificació: jel: C390, C670. Palabras clave: Leoief, Hawkis ad Simo, isumo-produco, mariz o egaiva. Absrac I his aricle, I prese some commes relaed o he riagular form of Leoief s sysem. Amog hem, I propose a aleraive proof of he equivalece bewee he exisece of viable soluios o he model ad he Hawkis ad Simo s codiio (H-S). I addiio, I expose he peculiar ecoomic sigificace of he coefficies i he pricipal diagoal of he riagular form of Leoief s marix, which permis us, amog oher higs, o appreciae he igh relaio bewee he ecoomic ad he mahemaical codiios i he soluio o he model. Moreover, I ideify some oher mahemaical proposiios equivale o (H-S) possessig ecoomic ieres. Classificaio umber: jel: C390, C670. Key words: Leoief, Hawkis ad Simo, ipu-oupu, o-egaive marices. * Profesor de Ecoomía de la Uiversidad Auóoma Meropoliaa, Uidad Izapalapa. Correo elecróico: besa@xaum.uam.mx. 5

3 6 Ecoomía: eoría y prácica Nueva Época, úmero 30, eero-juio 2009 La forma riagular de la mariz de Leoief 7 Iroducció Los sisemas lieales de ecuacioes de producció se coviriero e u ema relevae para la ecoomía a parir de la publicació del libro de Leoief (94), ya que e él se esableciero las bases para el desarrollo del campo de ivesigació coocido como aálisis de isumo-produco. E ese arículo preseo alguos comearios relacioados co la ierpreació ecoómica de las codicioes maemáicas requeridas para que exisa ua solució viable e su modelo básico, mismo que expogo brevemee e la secció I. Allí ambié, ua vez ordeado por columas el sisema de ecuacioes correspodiee, formulo la codició esablecida por Hawkis y Simos (949) que represearé co la oació (H-S) de acuerdo co la cual cada uo de los meores pricipales de la mariz de Leoief es mayor que cero. E el esudio del modelo de Leoief, el méodo de Gauss ha sido usado pricipalmee para probar que (H-S) es ua codició ecesaria y suficiee para la exisecia de ua úica solució o egaiva. Co el propósio de esablecer ese resulado, es suficiee llevar a cabo ua sola elimiació gaussiaa para proceder eseguida, mediae la iducció maemáica, como e Nikaido (970), o bie cosiderar alguas propiedades del proceso compleo de riagulació, como e el arículo de Hawkis y Simo recieemee ciado. E la secció II llevo a cabo la riagulació complea del sisema de ecuacioes a fi de explorar e la siguiee alguos aspecos del sisema resulae que iee ierés ecoómico. Las pruebas que coozco de la equivalecia ere (H-S) y la exisecia de ua solució o egaiva para el modelo omie idicar e qué forma las caidades mayores que cero y las ulas se disribuye ere los disios biees. Como es aural, se espera que las primeras caidades correspoda a los biees producidos e excedee así como a aquellos que so requeridos para producirlos y que las segudas sea asigadas a los demás biees. Por esa razó, e la secció III esudio esa disribució y muesro que el modelo de Leoief iee ua solució co la propiedad que acabo de mecioar si y sólo si saisface (H-S). Eso me permie formular la relació ere la exisecia de ua solució viable para el modelo y (H-S) de ua forma deallada y ambié expoer ua prueba aleraiva para el resulado fudameal mecioado al pricipio del párrafo precedee. Cheery y Clark (959) describe los 20 primeros años de ese desarrollo; e Raa (2005) ofrece ua exposició acualizada de los usos del modelo de Leoief. Por ora pare, la ierpreació ecoómica de (H-S) señala que para producir ua uidad de u bie, la caidad requerida del mismo bie e cualquier grupo de idusrias es meor a ua uidad. Si embargo, la relació ere las caidades cosumidas de esa maera y la magiud de los deermiaes coceridos o es direca. A cosecuecia de eso, auque la ierpreació es correca, o es muy secillo percibir el lazo ere (H-S) y su sigificado ecoómico. A ese respeco, la forma riagular de la mariz de Leoief facilia las cosas. E efeco, e la secció IV esablezco el sigificado ecoómico de los coeficiees siuados sobre la diagoal pricipal de dicha mariz. La base de la ierpreació es la igualdad ere el coeficiee que resa e la úlima ecuació y la caidad del bie correspodiee que se produce e excedee después de descoar la caidad oal que se cosume e la producció de ua de sus uidades, lo cual me permie expresar direcamee e érmios maemáicos el sigificado ecoómico de (H-S). Por ao, puedo decir que ua virud del esudio de esa forma riagular cosise e que ideifica ua codició maemáica equivalee a (H-S), cuya ierpreació ecoómica es imediaa. E la secció V uilizo la misma propiedad para formular (H-S) de ua maera más precisa que como se hace habiualmee e el caso de las marices de Leoief, señalado ua coa superior para las magiudes de los meores pricipales así como ambié ua jerarquía ere las mismas. Fialmee, e los eoremas 2, 3 y 6 esablezco proposicioes maemáicas que so equivalees a (H-S), mieras que e el lema preseo ua proposició que es equivalee a (H-S) e el caso paricular de las marices de Leoief; el ierés ecoómico se señala e cada caso. Respeco a esos resulados, es coveiee recordar que u úmero cosiderable de codicioes maemáicas ya coocidas so equivalees a (H-S). Las exposicioes mas compleas de las mismas que cosulé so las que se presea e Takayama (985) y e Berma y Plemmos (994). I. El modelo básico de Leoief E lo que sigue hablaré de la producció de u ciero bie haciedo alusió a la producció brua y habré de especificar cuado me refiera a la producció ea. La ecoomía cosidera ramas idusriales que lleva a cabo simuláeamee procesos de producció de igual duració; cada rama produce u bie paricular al cual correspode u ídice represeado por i o por j de al forma que i, j =,2,,. Me referiré a u cojuo {j, j2,, jd,, jd} como u cojuo D si ése coiee D biees diferees y, para simplificar, hablaré de los ídices am-

4 8 Ecoomía: eoría y prácica Nueva Época, úmero 30, eero-juio 2009 La forma riagular de la mariz de Leoief 9 bié como biees. Para cada i, la oació x i represea la caidad del bie i producida e la idusria correspodiee y c i la diferecia ere ésa y el moo del mismo bie que se cosume e el sisema idusrial durae el periodo. Además, para cada par (i,j), el coeficiee écico a ij represea la caidad de i que es cosumida direcamee (e la rama que produce j durae el periodo cosiderado) e la producció de ua uidad de j. 2 Supogo que a ij 0 (i, j). Hay redimieos cosaes a escala de al forma que los coeficiees so idepediees de las caidades producidas. U bie i produce al bie j (o ecesariamee disio) direcamee si a ij > 0 e idirecamee si hay u cojuo D que o coiee a i i a j y que verifica la desigualdad a i,j a j,j2 a j2,j3 a jd,j > 0. De acuerdo co las defiicioes precedees, las relacioes ere las caidades cosumidas y las producidas de cada bie defie el siguiee sisema de ecuacioes: x i = Σ j a ij x j + c i i =,2,..., () Después de ordearlo por columas, es posible escribir ese sisema como sigue: a i x a i2 x 2 a i,(i-) x (i-) + ( a ii )x i a i,(i+) x (i+)... a i x = c i i =,2,..., (2) Para simplificar, cambiaré la oació de los coeficiees que esá e el lado derecho del sisema iroduciedo la variable o egaiva r que será igual a cero e ese capíulo pero adopará ambié oros valores e los siguiees. Para cada par (i, j), sea b ij igual a: a ij ( + r) si i j y a a ij ( + r) si i = j; eso me permie escribir (2) bajo la forma siguiee: a) 0 b ii i b) b ij 0 si i j y c) 0 c i i (4) La seguda desigualdad se debe a que los coeficiees écicos o so egaivos mieras que la primera y la ercera so ecesarias para producir al meos las caidades cosumidas de cada bie, respecivamee e cada idusria y e el cojuo de las idusrias. Iroduciedo la mariz B = [b ij ] de y las marices x = [x i ] y c = [c i ] de, el sisema (3) puede represearse mediae la ecuació maricial: Bx = c (5) Esa fórmula resume las codicioes que debe ser saisfechas por el programa de producció x a fi de producir como excedee el cojuo de biees c usado la ecología defiida por B. 3 Es imporae ideificar las codicioes maemáicas que garaiza la validez de la proposició siguiee: Para odo c 0 el sisema (5) posee ua sola solució x 0. 4 (6) Co ese propósio, es úil represear, para cada j, el deermiae del j-ésimo meor pricipal de B co la oació D j. Dicho meor es la mariz formada por la iersecció de las primeras j columas co las primeras j hileras de B. La relació ere esos deermiaes y la proposició precedee se esablece eseguida. Teorema. La proposició (6) y la codició siguiee so equivalees: b i x + b i2 x 2 + b i3 x b i x = c i i =,2,..., (3) D j > 0 j (H-S) Supodré que ese sisema iee las propiedades siguiees: 2 E las aplicacioes empíricas a ij represea el moo gasado e el bie i para obeer ua uidad de valor e la idusria j. Dado que e la ecoomía cosiderada aquí se produce u solo bie e cada idusria, se puede obeer cada coeficiee écico a parir del coeficiee e valor muliplicado ese úlimo por el cociee p i /p j. Véase sobre ese puo Bidard (2004, pp ). Tao la resricció al caso de la producció simple como la ierpreació de a ij adopada aquí se debe a que ambas cosas forma pare del modelo de referecia uilizado origialmee por Hawkis y Simo y, después de ellos, por los auores que se ha ocupado de la codició (H-S) ciados e ese rabajo. Por ora pare, Dorfma e al. (987, p. 208) jusifica la ierpreació aludida como u requisio para pasar de u procedimieo descripivo a u isrumeo aalíico. La equivalecia sigifica que cada proposició implica a la ora. 5 El hecho de que ua mariz de Leoief saisfaga (H-S) o cualquier ora codició mae- 3 Hawkis (948) y Leoief (966) llega a u sisema de ecuacioes similar a (5), esudiado el coso de producció. McKezie (960) y Gale (960) presea varias aplicacioes de ese ipo de sisemas. 4 Para simplificar, si y es u vecor, escribo y 0 para idicar que y i 0 i y digo que se raa de u vecor o egaivo. 5 Hawkis y Simo publicaro la primera prueba de ese eorema e el exo ya ciado. Casi al mismo iempo, Georgescu-Roege (950) publicó u resulado equivalee que alcazó de maera idepediee y, e ora publicació, Georgescu-Roege (966) idica alguos defecos presees

5 20 Ecoomía: eoría y prácica Nueva Época, úmero 30, eero-juio 2009 La forma riagular de la mariz de Leoief 2 máica equivalee ha sido ierpreado ecoómicamee, señalado que e ese caso la ecología correspodiee es auosuseable, u cocepo defiido a coiuació. Defiició. Ua ecología es auosuseable si cualquier cojuo de idusrias que produce ua uidad de u bie cosume e ese proceso, e forma direca e idirecamee (a ravés de los biees producidos por el cojuo) e oal meos de ua uidad del mismo bie. Esa defiició esá basada e la ierpreació ecoómica de (H-S) preseada e el rabajo ya mecioado de Hawkis y Simos (949, p. 248), e Takayama (985, p. 36) y e Dorfma, Samuelso y Solow (987, p. 25). E la secció V preseo alguos resulados que permie apreciar de maera direca dicha ierpreació. Además del (4), el sisema (5) ambié saisface la codició siguiee: b ii i (7) debido a la misma razó que jusifica (4 b). Si embargo, el eorema es válido para odos los sisemas de ipo (5) que saisface (4) au si o verifica (7). Para ideificar cada caso, hablaré del sisema (5) y de la mariz B para referirme al úlimo caso y reservaré las expresioes mariz de Leoief y sisema de Leoief para los sisemas de ipo (5) que verifica (4) y (7). Por ejemplo, el sisema (6) x = saisface (H-S) pero (6) o es ua mariz de Leoief. II. Triagulació del sisema (3) Como es bie sabido, el méodo de Gauss para resolver (3) cosise e elimiar los érmios siuados bajo la diagoal pricipal procediedo sucesivamee por columas a parir de la primera de ellas. Co ese propósio, para cada columa j, la ecuació correspodiee se divide por su coeficiee e la diagoal pricipal (si o es cero), luego se muliplica por el coeficiee de coordeadas (i, j) que debe ser elimiado y la ecuació resulae se susrae de la ecuació i. Después de proceder e la primera columa del sisema (3), resula el sisema siguiee: e la prueba propuesa por los dos auores ciados auque ambié defiede la origialidad de sus coribucioes respeco a cieros rabajos publicados co aerioridad. b x + b 2 x b x = c (8) 0 (b 22 b 2 b 2 /b )x (b 2 b 2 b /b )x = c 2 b 2 c /b (b 2 b b 2 /b )x (b b b /b )x = c b c /b A fi de simplificar, iroduciré el superídice ( =,2,...,), el cual idica, si =, que el coeficiee origial (ideificado e cada caso por los dos subídices) o ha sido modificado. Si >, dicho coeficiee habrá sido modificado por medio de las operacioes lieales requeridas para la elimiació de los érmios siuados bajo la diagoal pricipal e las primeras columas. Es coveiee observar que, para cada >, las elimiacioes e la columa afeca (además de los érmios elimiados) sólo los coeficiees cuyos dos subídices so mayores que. De acuerdo co eso, para cada, los coeficiees b ij y c i esá defiidos sólo si (i, j) y, por ora pare, si > debe ocurrir que b, 0. E ese caso: a) b ij = b ij b i, b,j /b, y b) c i = c i b i, c /b, (9) Por ao, supoiedo que b 0 para cada <, la elimiació e las primeras columas iee como resulado el sisema siguiee: b x + b 2 x b,- x - + b x = c (0) 0 b 22 2 x b 2,- 2 x - + b 22 x = c b -,- - x - + b -,- x = c b, x = c Los coeficiees de esa mariz presea la relació expuesa a coiuació. Teorema 2. Las dos proposicioes siguiees so equivalees: Para cualquier al que (i,j): a) b ij b ij > 0 si i = j, ()

6 22 Ecoomía: eoría y prácica Nueva Época, úmero 30, eero-juio 2009 La forma riagular de la mariz de Leoief 23 b) b ij b ij 0 si i j y c) c i c i 0 i. 0 < b (2) Prueba. Obviamee ( a) implica (2). Por ora pare (2), juo co (4 b) y (4 c) implica que () ambié se verifica e la primera ecuació de (0). El supueso de que eso o es así e al meos ua de las oras ecuacioes lleva a ua coradicció. E efeco, sea la primera ecuació de (0), e el orde aural, para la cual () o es verdad; eoces () es válida para. Como (i, j) eemos (i, j) de al maera que b i, 0 y b,j 0 de acuerdo co ( b); por ao, se sigue de (9 a) que b ij b ij. Ese resulado y el hecho de que () es válida para implica ( b) y la primera desigualdad e ( a), la seguda desigualdad de ( a) se debe a (2), lo cual demuesra que () se verifica e el lado izquierdo de la -ésima ecuació. E forma aáloga, la validez de () para implica que b i, c /b, 0 por lo cual c i c i de acuerdo co (9 b). Ese resulado y el hecho de que ( c) es válida para implica que ( c) es válida para, coradiciedo el supueso de que () o se cumple, co lo que ermia la prueba. III. coordeadas ulas y superiores a cero e la solució de (3) Dado u c paricular, sólo se debe de producir aquellos biees requeridos para obeer e excedee exacamee el vecor c. Por esa razó, como ya idiqué aeriormee, es de esperarse que e la solució del sisema (5), las caidades mayores que cero correspoda a los biees producidos e excedee y ambié a aquellos ecesarios para la producció de ésos, mieras que los ceros queda asigados a los demás biees. Si embargo, el eorema dice solamee que hay ua solució o egaiva para (5), si especificar la asigació de los dos ipos de caidades ere los disios biees. E esa secció voy a presear u procedimieo origial para demosrar ua proposició que implica el eorema. Dicho procedimieo permie al mismo iempo verificar que la solució maemáica correspode a la iuició ecoómica, cuyo coeido se eucia e la proposició siguiee. Para cada: c 0 hay ua sola solució paricular x para (3) e la que (3) x i > 0 si: a) c i > 0, y ambié si: b) i produce u bie j al que c j > 0. Además, x i = 0 si: c) i o verifica a) i b). Co ese propósio, probaré eseguida u resulado equivalee al eorema siguiedo u procedimieo origial. Teorema 3. Las proposicioes () y (3) so equivalees. Prueba. I) Probaré que (3) () mediae iducció sobre el ídice. Para ello, cosideraré u c > 0 paricular al que, de acuerdo co (3 a), el sisema (3) correspodiee posee ua solució úica x > 0. I a) () es válida para = : ( b) y ( c) so verificadas respecivamee por (4 b) y (4 c). Esos resulados y los supuesos de que c > 0 y x > 0 implica que b > 0 segú la primera ecuació de (0), lo cual demuesra ( a). I b) Si () se verifica para u al que < eoces ambié es válida para : como (i, j) eemos que (i, j) por lo que b i, 0 y b,j 0 de acuerdo co ( b), ambié debido a ( a) eemos b, > 0 y de ( c) se ifiere que c 0. Eoces, se cocluye de (9 a) y (9 b) respecivamee que b ij b ij y c i c i. A su vez, esos resulados y el supueso de que () es verificado por implica ( b) y ( c) para el ídice. Por ao, como x > 0 y c > 0 podemos comprobar por medio de la -ésima ecuació de (0) que b > 0, lo cual valida ( a). II) Probaré que () (3) mediae iducció sobre el ídice. II a) Si =, ( a) b > 0 lo que permie escribir (3) bajo la forma x = c /b, co ello se puede verificar (3) fácilmee. II b) Si () (3) e u sisema co ecuacioes e el cual <, eoces eso ocurre ambié e u sisema co ecuacioes. E efeco, si (3) verifica () eemos b > 0, de al forma que se puede realizar la primera elimiació gaussiaa. Eso implica que (3) es equivalee al sisema iegrado por su primera ecuació y por el sisema formado por las resaes ecuacioes (S - ), que o coiee la variable x, mismo que se presea e (8). El sisema (0) muesra que si (3) saisface () ambié lo hace S -. Debido a ello, puedo supoer que S - verifica (3) por lo que esa proposició se ve saisfecha por cada i >. Para probar que eso implica que el ídice i = verifica (3) podemos escribir la primera ecuació bajo la forma x = (c i=2 b i x i )/b. Dado que (3) se verifica e S -, el umerador e el lado derecho de la ecuació es mayor que cero si el primer ídice saisface (3 a).

7 24 Ecoomía: eoría y prácica Nueva Época, úmero 30, eero-juio 2009 La forma riagular de la mariz de Leoief 25 Tambié si sólo saisface (3 b): e ese caso b i > 0 para al meos u i > que verifica (3 a) o (3 b), así que b i x i < 0. E cosecuecia, e ambos casos x > 0. Fialmee, si el primer ídice saisface (3 c) se iee que b i = 0 para cada i > que valida (3 a) o (3 b) (de ora forma el ídice comprobaría 3 b). Además, c = 0 y x i = 0 para cada i > que o verifica (3 a) i ampoco (3 b). E cosecuecia, el umerador que se acaba de mecioar es igual a cero de al maera que x = 0. Por ao, () (3), co lo que ermia la prueba. Las proposicioes (6), (H-S), (), (2) y (3) so equivalees, como se puede esablecer a parir de los eoremas, 2, 3 y de la proposició siguiee. Teorema 4. (H-S) es equivalee a (2). Prueba. El deermiae del primer meor es igual al úico coeficiee del mismo, mieras que, si (2) se verifica, el deermiae de cada uo de los oros meores pricipales de B es igual al produco de los coeficiees de la diagoal pricipal de la forma riagular del meor cocerido. E cosecuecia, a) D = b y b) D = b b 222 b > (4) E cosecuecia (2) (H-S). Por ora pare, si se verifica (H-S) ocurre lo mismo co (4 b) y, además: b = D /D > (5) esa proposició y (4 a) muesra que (H-S) (2), ermiado la prueba. 6 IV. Tecologías auosuseables y la codició (2) Dada ua mariz de Leoief B, para cada j sea c (j) la mariz de e la que c j = y c i = 0 i j. Por ora pare, sea x (j) = (x ij ) la mariz de que saisface la ecuació: Bx (j) = c (j) (6 j) 6 Gamacher (960, p. 26) esablece que (5) es válida para los sisemas lieares de ecuacioes co icógias, e los que odos los coeficiees de la diagoal pricipal e la forma riagular correspodiee so diferees de cero. Para cada j esa ecuació maricial correspode a u programa de producció que obiee a su érmio exacamee la colecció de biees iverida al pricipio excepo por la caidad de j que aumea e ua uidad. Esa observació me permie formular las coclusioes siguiees: i) si i j, la caidad oal de i requerida para producir x jj uidades de j es x ij, y ii) la caidad oal de j requerida para producir x jj uidades de j es x jj. De acuerdo co la secció III, las ecologías auosuseables verifica (3). Esa proposició y la j-ésima ecuació del sisema (6 j) implica que x jj y ambié que la igualdad se verifica sólo si j o se produce a sí mismo. Eoces, de ii) y del supueso de redimieos cosaes a escala, se ifiere que para cada j, la caidad oal de j requerida para producir ua uidad de j es (x jj ) /x jj = /x jj. E cosecuecia, la caidad de j producida e excedee (después de descoar la caidad cosumida de j) e la producció de ua uidad de j es deermiada por ( /x jj ) = /x jj. Cocluyo, por ao, que e esas ecologías: 0 < /x jj j (7) Que es equivalee a: 0 /x jj < j (8) La esrecha relació ere las codicioes (2) y (8) e ua mariz de Leoief puede ser apreciada e el eorema siguiee y e su corolario. Coviee mecioar que el eorema es válido para odos los biees porque el úlimo ídice puede ser asigado a cualquier bie. 7 Teorema 5. E la forma riagular de ua mariz de Leoief, el coeficiee del lado izquierdo e la úlima ecuació es igual a la caidad del bie correspodiee, obeida como excedee después de remplazar la caidad oal de ese bie cosumida e la producció de ua de sus uidades. Prueba. Cosideraré la forma (0) correspodiee al sisema (6 ), a fi de mosrar que: b = /x (9) 7 Reasigar los ídices de los biees o afeca a la solució del sisema, como se demuesra e la secció.2 de Seea (973).

8 26 Ecoomía: eoría y prácica Nueva Época, úmero 30, eero-juio 2009 La forma riagular de la mariz de Leoief 27 Co ese propósio es coveiee verificar que c = : si =, eoces c = c() = y si >, el supueso de que c implica ua coradicció. E efeco, sea i el primer ídice e el orde aural que saisface c i c i para u ciero > ; de acuerdo co (9 b), eso es posible sólo si c 0. Si embargo, c i esa defiido sólo si i; de ahí que < i. Como <, c = 0 por lo que c c e coradicció co el supueso hecho sobre i. Por ao, susiuyedo c por e la úlima ecuació del sisema (0) correspodiee y resolviedo para b da como resulado (9), ermiado la prueba. De acuerdo co (9) y (7), si la ecología es auosuseable, eoces: 0 < b (20) La esrica desigualdad y la igualdad e el lado derecho de (20) se verifica respecivamee si se produce y si o se produce a sí misma. Además, si b 0, para obeer ua uidad del bie correspodiee el cosumo del mismo bie edría que ser al meos igual a ua uidad. El eorema 5 permie ierprear ecoómicamee cada uo de los coeficiees e la diagoal pricipal (0). Co ese propósio, es úil cosiderar para cada el sisema de ecuacioes (2 ), el cual resula después de borrar e (6 ) odos los érmios e los que aparece al meos uo de los úlimos ídices. Ese sisema represea ua ecoomía que produce e excedee ua uidad de y cero uidades de los primeros biees (si > ). Es coveiee observar que la forma riagular de (2 ) es el sisema que resa después de borrar la úlimas filas y las úlimas columas e la forma riagular correspodiee al sisema (6 ). Eso sigifica que el sisema resulae es similar al sisema (0) que correspode a (5 ), excepo por el hecho de que el úlimo iee ecuacioes e vez de. E cosecuecia, el eorema 5 es ambié válido para (2 ), de al forma que si se verifica (H-S) obeemos: 0 < b (22) La desigualdad de la izquierda se debe al eorema 4. Bajo esas codicioes, de acuerdo co el eorema 5, b es igual a la caidad de obeida como excedee después de remplazar la oalidad de ese bie cosumida e la producció de ua de sus uidades e (2 ). La diferecia ere esa caidad y el moo oal de cosumida e las primeras idusrias e (6 ) cosise e la caidad de cosumida por ese cojuo de idusrias a parir de los úlimos biees, ya que ellos o exise e (2 ). Llegamos así a la coclusió siguiee. Corolario al Teorema 5. Para cada, b es igual a la caidad de obeida e excedee e la producció de ua uidad de, después de remplazar el moo del mismo bie cosumido e las primeras idusrias, cuado la caidad cosumida a ravés de las úlimas idusrias o esá icluida. Ese resulado permie calcular, dado u cojuo D, el moo de cada j cuyo ídice pereece a D, que es cosumido para producir ua uidad de j e las D idusrias que produce ese bie, idepedieemee de la caidad de j cosumida e las oras D idusrias. Es suficiee asigar los primeros D ídices a los biees e D y, sucesivamee, el ídice D a cada uo de esos biees, realizado cada vez la riagulació correspodiee. La caidad cosumida e ese caso es igual a b DDD. Por ao, como (22) puede escribirse e la forma > b 0, el corolario permie expresar la defiició e érmios maemáicos mas direcamee que (H-S). V. Ora formulació de (H-S) La proposició siguiee presea ua propiedad paricular de las marices de Leoief. Lema. Ua mariz de Leoief verifica (H-S) si y sólo si: D D 2 D > 0 (23) Prueba. Si ua mariz de Leoief saisface (23), ambié verifica (H-S). E ese caso, la desigualdad del exremo derecho es válida y, co base e (4) y (22) podemos iferir la primera desigualdad (empezado por la izquierda) e (23), mieras que las oras so esablecidas sucesivamee a parir de = 2 sobre la base de (5) y (22), ermiado la prueba. Como D = a, mieras que (5) se verifica para cada >, se sigue que (23) es ecesaria para (22), ua codició cuya ierpreació ecoómica es preseada e el corolario al eorema 5. Por esa razó, ambié se puede decir que (23) es ecesaria para que e la producció de cada bie la caidad oal

9 28 Ecoomía: eoría y prácica Nueva Época, úmero 30, eero-juio 2009 La forma riagular de la mariz de Leoief 29 del bie cosumido e las primeras idusrias (si cosiderar el cosumo realizado e las oras idusrias) es meos de ua uidad. La siguiee proposició es similar a (23), pero es válida para odas las marices de ipo B y o solamee para las marices de Leoief. Teorema 6. Sea k = max {,b,b 22,,b }. (H-S) es equivalee a: (/k)d (/k) 2 D 2 (/k) D > 0 (24) Prueba. Pueso que k > 0, (24) implica (H-S). Muliplicado B por /k resula la mariz B* = [b ij *], e la cual b ij * = (/k) b ij (i, j). Es coveiee observar que B* saisface (4 a), (4 b) y (7). Para cada j, sea D j * el j-ésimo meor pricipal de B*. Pueso que el deermiae de ua mariz de j j, muliplicado por u úmero (/k), es igual al deermiae de la mariz origial muliplicado por (/k) j, obeemos: 8 D j * = (/k) j D j j (25) Eoces, si B saisface (H-S), ambié lo hace B*. Por esa razó, dadas las oras propiedades ya mecioadas, B* saisface las codicioes del lema. E cosecuecia, D * D 2 * D *. Ua vez hechas e esa fórmula las correspodiees susiucioes de acuerdo co (25), se obiee (24), ermiado la prueba. El lecor puede observar que (24) implica que k j es ua coa superior para la magiud de los primeros j meores. Si embargo, se sigue de (7) y de la defiició de k que b b 22 b jj es ora coa superior o mayor que k j. Coclusioes Ese arículo o oma e cuea cieros aspecos de las acividades ecoómicas, como su dimesió ecológica, cuya iclusió e el aálisis podría eveualmee coducir a esablecer alguas resriccioes e los resulados. Si embargo, el efoque exclusivo e el modelo de Leoief esá jusificado, desde mi puo de visa, e la medida e que los resulados obeidos iee ierés ecoómico. E esa secció agregaré a los argumeos ya expuesos alguos comearios que puede resular úiles para esclarecer ese puo. Pueso que odo proceso de producció emplea rabajo, juo co cieros biees cosumidos como isumos, la codició (6) caraceriza a u cojuo de ecologías que ecuero apropiado llamar viables. Ése coiee odas las ecologías que permie obeer cualquier excedee dado, después de remplazar los biees cosumidos como isumos. La defiició idica ua codició ecesaria y suficiee para que ua ecología pereezca a ese cojuo, que ambié permie defiir a la misma como auosuseable. Cuado os referimos al sisema idusrial e su cojuo, el seido de esa defiició se esablece e (8): la caidad oal de cada bie cosumida e la producció de ua uidad del mismo bie es meor que ua uidad. Para recoocer la ecesidad de la codició esablecida e la defiició para que ua ecología sea viable, es suficiee cosiderar el caso recieemee mecioado. Si u ciero bie o cumple la codició, eoces o es posible producirlo e excedee, remplazado al mismo iempo la caidad oal del mismo bie cosumida e el proceso. La suficiecia de la codició, probada e el eorema, puede ser apreciada más fácilmee co la ayuda del corolario al eorema 5, ya que ése permie apreciar el sigificado ecoómico de ua codició equivalee a (H-S). Por ora pare, el arículo desarrolla ua prueba origial de la equivalecia ere la codició (H-S) y el carácer auosuseable de ua ecología de Leoief lo cual apora ua vía aleraiva para el esudio de la misma. Comparada co los procedimieos ya publicados (ere los cuales el más ciado aparece e el libro previamee señalado de Nikaido) 9 presea las siguiees veajas: a) los isrumeos maemáicos empleados so más secillos debido a que la prueba esá basada e el méodo de Gauss; b) el resulado coiee más iformació porque permie ideificar la disribució de los dos ipos de coordeadas (ulas y mayores que cero) e la solució, y c) la forma riagular del modelo de Leoief permie presear el sigificado ecoómico de las codicioes maemáicas ivolucradas más direcamee. Tal como se idica e la iroducció, ambié añadí a las ya coocidas dos uevas codicioes maemáicas equivalees a (H-S) que hasa dode sé o ha sido publicadas aeriormee. Además, ideifico oras dos codicioes equivalees a (H-S) e el caso paricular de las marices de Leoief. E mi opiió, es coveiee publicarlas porque permie apreciar alguos aspecos ma- 8 Véase el ejemplo.6.4 e Goldberg (99). 9 Por ejemplo, e el libro ya ciado de Takayama (p. 359). Tambié e Uribe (997, p. 04).

10 30 Ecoomía: eoría y prácica Nueva Época, úmero 30, eero-juio 2009 La forma riagular de la mariz de Leoief 3 emáicos del modelo de Leoief y ambié debido a las implicacioes ecoómicas señaladas e cada caso. Fialmee, la defiició del sigificado ecoómico de los coeficiees e la diagoal pricipal de la forma riagular de la mariz de Leoief puede faciliar alguos esudios comparaivos co oras disciplias. Para ilusrar ese puo, refiero al lecor a la ierpreació de los mismos coeficiees hecha e el libro ya ciado de Gamacher (960, pp. 28-3). Referecias bibliográficas Berma, A., y R. J. Plemmos (994), Noegaive Marices i he Mahemaical Scieces, Philadelphia, sciam. Bidard, C. (2004), Prices, Reproducio, Scarciy, Cambridge, Cambridge Uiversiy Press. Cheery, H. B., y P. G. Clark (959), Ieridusry Ecoomics, Nueva York, Wiley. Dorfma, R., Samuelso P., y R. M. Solow (987), Liear Programmig ad Ecoomic Aalysis, Nueva York, Dover Publicaios, Ic. Gale, D. (960), The Theory of Liear Ecoomic Models, Chicago, The Uiversiy of Chicago Press. Gamacher, F. R. (960), The Theory of Marices, Nueva York, Chelsea Publishig Compay. Georgescu-Roege, N. (950), Leoief s Sysem i he Ligh of Rece Resuls, Review of Ecoomics ad Saisics, XXXII. (966), Aalyical Ecoomics, Cambridge, Harvard Uiversiy Press. Goldberg, J. L. (99, Marix Theory wih Applicaios, Nueva York, McGraw Hill, Ic. Hawkis, D. (948), Some Codiios of Macroecoomics Sabiliy, Ecoomérica, úm. 6, pp , y H. A. Simo (949), Noe: Some Codiios of Macroecoomics Sabiliy, Nueva York, Ecoomérica, úm. 7, pp Leoief, W. (94): The Srucure of he America Ecoomy , Cambridge, Cambridge Uiversiy Press. (966), Ipu-Oupu Ecoomics, Nueva York, Oxford Uiversiy Press. McKezie, L. W. (960), Marices wih Domia Diagoals ad Ecoomic Theory, e K. J. Arrow, S. Karli, y F. Suppes (comps.), Mahemaical Mehods i he Social Scieces. Saford, Saford Uiversiy Press. Nikaido, H. (970), Iroducio o Ses ad Mappigs i Moder Ecoomics. Ámserdam, Norh Hollad Publishig. Seea, E. (973), No-Negaive Marices, Nueva York, Joh Wiley ad Sos. Takayama, A. (985), Mahemaical Ecoomics, Cambridge, Cambridge Uiversiy Press. Te Raa, T. (2005), The Ecoomics of Ipu-Oupu Aalysis, Cambridge, Cambridge Uiversiy Press. Uribe, P. (977), Aálisis de acividades y eoría del capial, Guadalajara, Uiversidad de Guadalajara.