Diseño D-óptimo para un modelo polinómico sin algunos términos iniciales

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1 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 4, Núm. 44, 999, pág. 5 a 8 Dieño D-óptimo para un modelo polinómico in alguno término iniciale por CARMELO RODRÍGUEZ TORREBLANCA Departamento de Etadítica y Matemática Aplicada Univeridad de Almería ISABEL MARÍA ORTIZ RODRÍGUEZ Departamento de Etadítica y Matemática Aplicada Univeridad de Almería RESUMEN En ete trabajo e bucan dieño D-óptimo para un modelo de regreión polinómica in alguno término iniciale. El número de punto del oporte del dieño D-óptimo depende del intervalo coniderado como epacio de dieño. Cuando el número de punto del oporte y el número de parámetro del modelo coinciden, el dieño D- óptimo e encuentra analíticamente. Eto oporte óptimo etán relacionado con lo cero de un polinomio ortogonal o con un autovector de una matriz tridiagonal epecial. Palabra clave: Dieño óptimo; matriz de información; polinomio de Jacobi. Claificación AMS: 6K5.

2 6 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA. INTRODUCCIÓN Conideremo un modelo de regreión polinómica de grado k (k ) in u primero término ( k), y(x) θ x + k [ a,b] + θ+ x + + θk x, x [] Para cada valor de x puede obervare una variable aleatoria Y x con media y(x) y varianza contante. Denotando por f (x) el vector de funcione de regreión T + k f (x) (x,x,,x ) y por θ el vector conteniendo lo k + parámetro T deconocido, el modelo [] e exprea de la forma y(x) f (x) θ. El etudio de modelo de regreión incompleto como el modelo [] e importante dede do perpectiva. En primer lugar, un modelo in término independiente o en general in otro término iniciale e adecuado cuando la caracterítica de la variable bajo etudio aeguran que la variable de repueta e nula i la variable regreora vale cero. Por ejemplo, en problema químico el rendimiento de un proceo puede er nulo i la temperatura e mantiene en cero, el epacio recorrido por un móvil e nulo i u velocidad lo e, etc. Para utilizar un modelo in término independiente tenemo que tener la precaución de que el epacio de dieño no ea un intervalo alejado del origen porque en ete cao, fijar que el modelo pae a travé del origen puede er defavorable, en cuanto a que un modelo con término contante puede comportare mejor. El egundo apecto de interé de eto modelo radica en que on equivalente a modelo de regreión polinómica completo de grado k, con una función de eficiencia λ ( x) x que modeliza la poible heterocedaticidad de lo dato. Lo modelo del tipo [] para han ido etudiado recientemente por Huang, Chang y Wong (995). Siguiendo la notación de Kiefer, conideramo un dieño experimental como una medida de probabilidad ξ definida en [ a, b ]. La matriz de información aociada con ξ e M( ξ) b a T f(x)f (x)dξ(x). Si la matriz de información e regular, la función de diperión, que e denota por d(x, ξ ), e d(x, ξ) f T (x)m ( ξ)f(x).

3 DISEÑO D-ÓPTIMO PARA UN MODELO POLINÓMICO SIN ALGUNOS TÉRMINOS INICIALES 7 Lo diferente objetivo del experimento, que no llevan a la búqueda del dieño óptimo, pueden expreare a travé de la maximización o minimización de una función adecuada de la matriz de información, Φ ( M( ξ)), que e denomina criterio de optimalidad. Un dieño D-óptimo maximiza el determinante de la matriz de información, Φ ( M( ξ)) M( ξ) y erá denotado por ξ *. Ete trabajo etá centrado en la decripción de lo dieño D-óptimo para el modelo []. En la Sección comenzaremo por la caracterización de eto dieño. Cuando el dieño etá oportado en k + punto obtenemo que un polinomio contruido con lo punto del oporte del dieño D-óptimo verifica una ecuación diferencial epecífica. En la iguiente eccione e conideran diferente epacio de dieño, ubintervalo de [-,] y encontramo lo dieño D-óptimo. En alguno cao el oporte de lo dieño D-óptimo etá relacionado con lo cero de un polinomio de Jacobi y en otro, con un autovector de una matriz tridiagonal epecial.. CARACTERIZACIÓN DE LOS DISEÑOS D-ÓPTIMOS En el modelo [] tenemo k + parámetro, por tanto para que el dieño ea factible debe tener al meno k + punto de oporte ditinto. El dieño D- óptimo para ete modelo aunque e invariante frente a cambio de ecala no lo e frente a lo de origen, por lo que e coniderarán diferente intervalo de la forma [ a, ] con a <. Denotaremo por S n el conjunto que contiene lo n punto ditinto del oporte de un dieño D-óptimo: x, i i,, n. Lema.. Para el modelo [] el dieño D-óptimo en [ a, ], a < etá oportado en n k + o n k + punto.. Si a < entonce n k + punto incluyendo el. El punto a puede o no pertenecer al oporte.. Si a < y n k +, lo extremo del intervalo pertenecen al oporte. En particular, i tomamo el intervalo [-,] el dieño D-óptimo e imétrico e incluye lo extremo del intervalo, iendo n k i k e impar y n k + punto i k e par. + Dem. La demotración etá baada en la aplicación de Teorema de Equivalencia General (TEG) de Kiefer-Wolfowitz (Fedorov (97), pg. 7) y el hecho de que el punto no pertenece al oporte del dieño D-óptimo. Cuando el número de punto ditinto del dieño D-óptimo coincide con el número de parámetro del modelo, k +, entonce el dieño D-óptimo pone el mimo peo en todo lo punto y el problema de dieño e reduce a encontrar lo punto

4 8 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA de oporte. Denotaremo eto punto por x,, x k + con a x < < xk + b y contruiremo con ello el iguiente polinomio mónico de grado k +, Q(x) k + i (x x i ). Ete polinomio tiene como cero lo punto del oporte de un dieño D-óptimo y por ello verificará alguna de la iguiente ecuacione diferenciale (ED). Propoición.. Conideremo el epacio de dieño [ a, ], a < y un dieño óptimo oportado en lo k + punto del conjunto S k +, con x k +. a, entonce Q(x) S k i. Si + ii. Si + atiface la ED (x - )Q' (x) + x(x - )Q' '(x) (k - + )(k + )Q(x). [] a, entonce exite un número real α tal que (x) S k (x - )(x - a)q' (x) Q verifica + x(x - )(x - a)q' '(x) (k - + )(k + )(x - α)q(x). [3] Dem. La matriz de información de un dieño D-óptimo ξ * oportado en k + punto e: M( ξ*) k + T f(xi)f (xi) i k + k + X T DX donde: j ( x i ) i,j,,k y D diag.{x,,x }. X + k + La matriz (X T ) etá relacionada con lo coeficiente de lo polinomio de interpolación de Lagrange, L i (x), i,,k +, contruido a partir de lo punto de k. Sea L i el vector con lo coeficiente del polinomio L i (x), entonce S + k x Li (x) y d(x, ξ*) (k + ) +. x T T ( X ) (L,,Lk + ) i i Si un punto del oporte del dieño D-óptimo, x j, no e un punto extremo del epacio de dieño, entonce, anulará la derivada de d(x, ξ *). Por tanto,

5 DISEÑO D-ÓPTIMO PARA UN MODELO POLINÓMICO SIN ALGUNOS TÉRMINOS INICIALES 9 d (x j, ξ*) (k + ) + (k + )L j(x j). x j [4] Y teniendo en cuenta la relación entre Q (x) y la derivada del polinomio de interpolación de Lagrange en un punto x, j Q (x j) L j(x j), Q (x ) a partir de [4] obtenemo que Q'(x j ) + x jq' '(x j), para x j Sk + (a, ). Bajo eta condicione el polinomio Q' (x) + xq' '(x) [5] tiene grado k y lo punto de Sk + (a, ) lo anulan. Si el extremo inferior del intervalo de dieño, a, no pertenece al oporte, entonce lo cero de Q (x), alvo el punto, on cero del polinomio [5]. Como Q(x) tiene grado k +, debe exitir una contante c tal que (Q'(x) + xq' '(x))(x - ) cq(x). j k + Comparando lo coeficiente de x c (k - + )(k + ) y de aquí la ED []. en ambo polinomio obtenemo que Si el punto a pertenece al oporte, erá un cero de Q (x) pero no del polinomio [4]. En eta ituación exitirá un número real α y una contante c tal que (Q'(x) + xq' '(x))(x - )(x - a) c(x - α)q(x). Identificando coeficiente c (k - + )(k + ) y llegamo a la ED [3]. En lo iguiente apartado encontramo lo dieño D-óptimo para alguno ubintervalo de la forma [ a, ], a <. 3. DISEÑO D-ÓPTIMO EN [,] Conideremo como epacio de dieño el intervalo [,]. El punto no pertenece al oporte del dieño D-óptimo. Por el Lema y la Propoición. el número de punto de oporte e n k + y Q (x) atiface la ED [], cuya olución e

6 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA P ( α, β ) k ( (x) (-,-) k -+ Q(x) P (- x) [6] e el polinomio de Jacobi de grado k, de parámetro α y β.) k (,) k- Q(x) (x )P (x - ), obtenido por Huang et al. (995), pueto que P (,-) k Si al modelo ólo le falta el término independiente ( ) la olución [6] e reduce a Q(x) P (- x) cuyo cero coinciden con lo cero del (,-) polinomio (- x) k k + (-) (x )P k k (,) (x ). Eto autore demotraron que el dieño igue iendo óptimo i e conidera un intervalo [ a, ] con k a + k x,k iendo x, k el punto má pequeño del oporte del dieño D-óptimo en [,] para un polinomio de grado k in término independiente. 4. DISEÑO D-ÓPTIMO EN [ a,] CON c a x, k El dieño D-óptimo en el intervalo [,] que obtuvimo en la ección anterior igue iendo óptimo i tenemo como epacio de dieño un intervalo [ a, ] con c a x,k. Donde x, k e el punto má pequeño del oporte del dieño D-óptimo en [,] para el mimo modelo polinómico y c e el punto negativo má grande donde la función de diperión alcanza el valor k +. En la iguiente tabla tenemo lo punto del dieño D-óptimo en [,] hata grado 8, aí como lo correpondiente valore de c.

7 DISEÑO D-ÓPTIMO PARA UN MODELO POLINÓMICO SIN ALGUNOS TÉRMINOS INICIALES Cuadro DISEÑOS D-ÓPTIMOS EN [,] k Punto c DISEÑO D-ÓPTIMO EN [ a,] SOPORTADO EN k + PUNTOS, INCLU- YENDO a Y Conideremo el cao general de un dieño óptimo oportado en k + punto de un intervalo [ a, ] y con lo extremo del intervalo incluido en el oporte. En eta condicione el polinomio Q (x) verificará la ED [3] y i lo expreamo como

8 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA k + i Q (x) q i x, lo utituimo en la ED [3] e identificamo lo coeficiente de lo polinomio, tenemo la iguiente relacione: i con + τ j )q j + (+ a) τ jq j aτ j+ q j+ q j, j,,k + ( α [7] j(j + ) τ j, j,,k +, τ τk + (k + )(k + ), q qk y q +. El itema [7] expreado en forma matricial e Aq αq, iendo q el vector de coeficiente del polinomio Q (x) y A la iguiente matriz tridiagonal de dimenión ( k + ) (k + ) : k (+ a) τ τ A aτ ( + a) τ (+ a) τ τ k k aτ (+ a) τ k + k + [8] Entonce, α puede vere como un autovalor de la matriz A. Siguiendo la demotración del Lema 3 de Huang et al. (995) puede probare que lo autovalore de A on reale. 6. DISEÑO D-ÓPTIMO EN [ a,], < a x, k < Supongamo que x, k, el punto má pequeño del oporte del dieño D-óptimo en [,] para el modelo [], etá fuera del intervalo [ a, ]. Propoición 6.. Para el modelo [] en [ a, ], x, k < a <, el dieño D-óptimo ξ * etá igualmente oportado en lo cero del polinomio mónico Q (x) cuyo vector de coeficiente, q ( q,, q k + ) e el único autovector con q k + correpondiente al má pequeño autovalor de la matriz [8].

9 DISEÑO D-ÓPTIMO PARA UN MODELO POLINÓMICO SIN ALGUNOS TÉRMINOS INICIALES 3 Dem. Si x, k < a < entonce el punto a debe pertenecer al oporte del dieño D-óptimo ya que de otra forma e verificaría la ED [] y la olución ería el dieño D-óptimo para [,], pero al meno el punto má pequeño de ete dieño, x, k, no etá en el intervalo [ a,]. Por tanto, a S k + y podemo aplicar lo reultado de la ección anterior. Con una demotración imilar a la del Teorema de Huang et al. (995) puede vere que q e el autovector correpondiente al má pequeño autovalor de la matriz A y éte e menor que a. 7. DISEÑO D-ÓPTIMO EN [-,] Si k e impar y el epacio de dieño e [-,], por el Lema. el dieño D- óptimo e imétrico y contiene lo punto extremo ±, por tanto Q (x) verificará la ED [3]. Pueto que Q (x) e imétrico y el no e un punto del oporte, Q' () y Q(). Sutituyendo x en la ED [3] tenemo que α y el dieño D-óptimo e obtiene a partir del autovalor de la matriz A. Para k par, el dieño D-óptimo tiene k + punto de oporte y no on aplicable lo reultado de la Propoición.. Por ejemplo, para y k 4 el dieño D-óptimo e ξ* DISEÑO D-ÓPTIMO EN [ a,] CON a < c De lo ubintervalo en [-,] de la forma [ a, ] no falta por etudiar el cao a < c, donde c e ha definido en la Sección 4. Para eto intervalo el número de punto del oporte del dieño D-óptimo dependerá de lo valore de a y de k y puede er k + o k +. Lo iguiente reultado on aplicable cuando ete número e k +. Lema 8.. Sea el modelo [] con x [ a, ], a < c oporte e k + entonce a y pertenecen al oporte y (x) [3] iendo α un autovalor de A.. Si el número de punto de Q verifica la ED Dem. Si a no fuee un punto del oporte entonce el dieño óptimo e obtendría a partir de la ED [], pero la olución de eta ED e el dieño óptimo en [,] y por debajo de c la función d(x, ξ *) obrepaa el valor k +, por lo que el dieño

10 4 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA no ería óptimo. Por la Propoición. y lo reultado de la Sección 5, Q(x) verifica la ED [3] y α e una autovalor de la matriz A. Para encontrar el dieño D-óptimo en [ a, ] con a < c, cuando n k +, calcularemo lo autovalore de la matriz A y lo autovectore aociado. Con lo coeficiente de lo autovectore contruiremo polinomio de grado k + y no quedaremo con aquel cuya k + raíce etén incluida en el intervalo [ a, ]. Ahora no podemo aegurar cual erá de antemano el autovalor adecuado para obtener el dieño D-óptimo, de hecho no puede obtenere a partir del má pequeño autovalor como ocurría en lo cao de la Sección 6, porque con a < c el má pequeño autovalor e el valor a. Para, Huang et al. (995) concluyeron que hay [ k / ]+ intervalo de valore de a para lo cuale el dieño óptimo etá oportado en k punto exactamente. El etudio numérico realizado no contradice una afirmación imilar para y para un polinomio de grado k, hay [ ( k + ) /]+ intervalo para lo que el dieño óptimo etá oportado en k + punto. En la iguiente tabla incluimo eto intervalo para vario valore de y k. Cuadro SUBINTERVALOS DE [-,] EN LOS QUE EL DISEÑO D-ÓPTIMO ESTÁ SOPORTADO EN k + PUNTOS k 3 4 (-.,-.7) (-.,) (-.93,-.4) (-.9,) (-.,-.53) (-.443,-.6 ) (-.53,) (-.,-.344) (-.36,) (-.956,-.9) (-.73,) (-.,-.587) (-.56,-.) (-.9,) 3 4 (-.,-.43) (-.43,) 4 5 (-.,-.494) (-.478,) Otro indicio, a partir del análii numérico realizado, e que lo punto de oporte del dieño D-óptimo on lo cero de la olución polinómica correpondiente al i-éimo autovalor má pequeño, i a etá en el i-éimo intervalo a partir de la derecha en la tabla anterior.

11 DISEÑO D-ÓPTIMO PARA UN MODELO POLINÓMICO SIN ALGUNOS TÉRMINOS INICIALES 5 Por ejemplo, ea (, k 4y a.3). 3 4 E(Y ) θ x + θ x + θ x, x [.3, ] x 3 Lo autovalore de la correpondiente matriz A on: {-.3,.643,.48, } y el dieño D-óptimo e encontrará a partir del egundo autovalor má pequeño. El autovector aociado al autovalor.643 e (.9,.3,-.434,) y reolviendo 3 la ecuación:.9 +.3x -.434x + x, llegamo al dieño D-óptimo: 4.3 ξ* / 3.73 / 3. / 3 Para, k 4 y varia eleccione del intervalo [ a, ] ( a -, -.9, -.3, -., -.8,,.5), repreentamo en la iguiente figura la función d(x, ξ *), iendo ξ * el dieño D-óptimo en el intervalo correpondiente. Como indica el TEG podemo obervar que en lo punto de dieño eta función alcanza el valor k + 3 y en el reto del epacio de dieño e mantiene por debajo de 3. Gráfico REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN d(x, ξ*) PARA a -, -.9, -.3, -., -.8,,.5

12 6 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 9. ALGUNOS EJEMPLOS Conideremo el modelo: + E(Y ) θ x + θ x, x [ a, ]. x (, ) Lo cero del polinomio P ( x) on lo punto /( + ) y. Por tanto, obtenemo lo iguiente dieño D-óptimo en intervalo de la forma [ a, ] + ξ* +, / / c < a < + y a ξ*, a >. + / / Para 4 lo valore de c e encuentran en el Cuadro. Ademá, ete egundo dieño igue iendo válido para un intervalo [ a, ] con a a(), lo valore de a () para,, 3 y 4 on -.7, -.36, -.43 y -.494, repectivamente. Podemo obervar que en eto ejemplo lo intervalo para lo que el dieño D-óptimo tiene 3 punto apena tienen una amplitud de centéima. Modelo de ete tipo e uan en termodinámica para exprear la reitencia de un conductor en función de la temperatura. Conideremo ahora el modelo con un término adicional: + θ+ + + E(Y ) θ x + θ x + x, x [ a, ]. x (, ) Calculando lo cero del polinomio P3 ( x) óptimo en intervalo de la forma [ a, ] con tenemo que lo dieño D < a < ( ) c etán oportado, con iguale peo, en el punto y en lo punto:

13 DISEÑO D-ÓPTIMO PARA UN MODELO POLINÓMICO SIN ALGUNOS TÉRMINOS INICIALES , ( ) x y ( ) x. Para 4 lo valore de c e encuentran en el Cuadro. Cuando > ( ) a el dieño D-óptimo hay que bucarlo a travé del má pequeño autovalor de la matriz A definida en [8] y éte e: (+ a)(+ 3) α (+ ) + a (+ ) 6( + ) a( + + ). [9] Con lo coeficiente de u autovector aociado contruimo un polinomio de grado 3 cuyo cero on el oporte del dieño D-óptimo y éto on lo punto a, x y, con: x (+ a)( + ) + (+ ) + a (+ ) ( + ) a( + + ). Teniendo en cuenta el Cuadro, el dieño D-óptimo para también etá oportado en 3 punto i a pertenece al intervalo (-.956,-.9). En eto cao el dieño D-óptimo e obtiene a partir del egundo autovalor má pequeño de la matriz A pero éte coincide con [9], por tanto el último dieño igue iendo válido en ete intervalo.

14 8 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA REFERENCIAS BIRKHOFF, G. AND ROTA, G. C. (989): Ordinary differential equation. John Wiley & Son, New York. FEDOROV, V. V. (97): Theory of optimal experiment. Academic Pre, New York. HUANG, M. -N. L., CHANG, F. C. AND WONG, W. K. (995): «D-optimal deign for polynomial regreion without an intercept». Statitica Sinica 5, KARLIN, S. AND STUDDEN, W. J. (966): «Optimal experimental deign». The Annal of Mathematical Statitic 37, PUKELSHEIM, F. (993): Optimal Deign of Experiment. Wiley, New York. SILVEY, S. D. (98): Optimal Deign. Chapman & Hall, London. SZEGÖ, G. (975): Orthogonal Polynomial. 4th edition. American Mathematical Society Colloquium Publication, 3, Providence Rhode Iland. D-OPTIMAL DESIGNS FOR POLYNOMIAL REGRESSION WI- THOUT ANY INITIAL TERMS SUMMARY In thi paper we conider D-optimal deign for polynomial regreion without any initial term. The number of upport point of D- optimal deign depend on the interval elected a upport pace thu, everal interval will be taken. In everal cae, when the number of parameter and upport point are equal, the optimal deign can be computed analytically. The upport of the optimal deign found are related to the zero of an orthogonal polynomial or to an eigenvector of a pecial tridiagonal matrix. Key word: D-optimal deign, information matrix, Jacobi polynomial. AMS Claification: 6K5