LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE

Transcripción

1 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE Profesor: Jua Atoo Gozález Díaz Deartameto Métodos uattatvos Uversdad Pablo de Olavde 1

2 ONEPTOS BÁSIOS Las Matemátcas Faceras se ecarga de la comaracó, refereca y equvaleca de catales e el temo. uado se dsoe de ua catdad de dero (catal) se uede destar, o be a gastarlo satsfacedo algua ecesdad, o be a vertrlo (ahorrarlo) ara recuerarlo e u futuro más o meos róxmo, segú se acuerde. De la msma maera que estamos dsuestos a gastarlo ara satsfacer ua ecesdad, estaremos dsuestos a vertr semre y cuado la comesacó ecoómca os resulte sufcete. E este setdo el rco básco de la refereca de lqudez establece que a gualdad de catdad los bees más cercaos e el temo so referdos a los dsobles e mometos más lejaos. La razó es el sacrfco del cosumo. Este areco de la lqudez es subjetvo ero el mercado de dero le asga u valor objetvo fjado u reco or la facacó que se llama terés. El terés se uede defr como la retrbucó or el alazameto e el temo del cosumo, esto es, el reco or el alquler o uso del dero durate u eríodo de temo. Esta comesacó ecoómca se exge, etre otras, or tres razoes báscas: Por el resgo que se asume. Por la falta de dsobldad que suoe desrederse del catal durate u temo. Por la derecacó del valor del dero e el temo (la flacó). La cuatfcacó de esa comesacó ecoómca, de los tereses, deede de tres varables: La cuatía del catal vertdo, El temo que dura la oeracó, y El tato de terés al que se acuerda la oeracó. LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE 2

3 ONEPTOS BÁSIOS Así troducmos el coceto de APITAL FINANIERO (; t) co el que os refermos a ua cuatía () de udades moetaras asocada a u mometo determado de temo (t). Es la medda de u determado be ecoómco referda al mometo de su dsobldad o vecmeto., t t R, R PRINIIPIO DE PROYEIÓN FINANIERA: ( ) E ua OPERAIÓN FINANIERA o tee setdo hablar de catales guales (aquellos e los que cocde cuatías y vecmetos), so que semre estaremos refrédoos a APITALES EQUIVALENTES, es decr, aquellos a los que a su roetaro le resulta dferete uos u otros. De ua maera más geeral, dos catales cualesquera, 1 co vecmeto e t 1 y 2 co vecmeto e t 2, so equvaletes cuado se está de acuerdo e tercambar uo or otro. Por lo tato, ua Oeracó Facera es toda accó que susttuye uos catales faceros or otros de dstto vecmeto. (,t) (V,) V Proy (,t) t RELAIÓN DE SUSTITUIÓN FINANIERA: dos catales faceros ( 1,t 1 ) y ( 2,t 2 ) so susttubles s tee la msma royeccó e el mometo, es decr, s tee el msmo susttuto (V,) LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE 3

4 LEY FINANIERA Para que ua oeracó facera se realce es ecesaro que a los sujetos tervetes las cuatías que da y recbe les resulte equvaletes. Es ecesaro que deudor y acreedor se oga de acuerdo e cuatfcar los catales de los que se arte y a los que falmete se llega. Esto mlca elegr u método matemátco que ermta dcha susttucó: ua ley facera. La ley facera se defe como u modelo matemátco (ua fórmula) a través del cual odemos cuatfcar los tereses or el alazameto e la dsobldad del catal y/o el descueto or la atcacó de u catal e el temo. Llamamos ley facera alcada e a la exresó del crtero de Proyeccó facera que ara todo (,t) ermte obteer V, fjado. V Pr oy (, t ) F (, t ; ) L (, t ; A (, t ; A L(,t;) se deoma ley facera de catalzacó e y a A(,t;) ley facera de Actualzacó o de descueto e S t<, la royeccó V se deoma motate e del catal vertdo e t S t>, la Proyeccó recbe el ombre de valor descotado o valor actual del catal dsoble e t. oocedo las dferetes leyes faceras que exste y cómo fucoa se odrá susttur uos catales or otros, udédose formalzar las dferetes oeracoes faceras. ) ) s s t t < > t atalzacó 1 t 2 t 1 Descueto t LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

5 OPERAIÓN FINANIERA Se etede or oeracó facera la susttucó de uo o más catales or otro u otros equvaletes e dsttos mometos de temo, medate la alcacó de ua ley facera. E deftva, cualquer oeracó facera se reduce a u cojuto de flujos de caja (cobros y agos) de sgo ouesto y dsttas cuatías que se sucede e el temo. Así, or ejemlo, la cocesó de u réstamo or arte de ua etdad bacara a u clete suoe ara este últmo u cobro cal (el morte del réstamo) y uos agos eródcos (las cuotas) durate el temo que dure la oeracó. Por arte del baco, la oeracó mlca u ago cal úco y uos cobros eródcos. La realzacó de ua oeracó facera mlca, or tato, que se cumla tres utos: 1.º Susttucó de catales. Ha de exstr u tercambo de u(os) catal(es) or otro(s). 2.º Equvaleca. Los catales ha de ser equvaletes, es decr, debe resultar de la alcacó de ua ley facera. 3.º Alcacó de ua ley facera. Debe exstr acuerdo sobre la forma de determar el morte de todos y cada uo de los catales que comoga la oeracó, resultado de la cosderacó de los tereses geerados. 5 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

6 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE E el Sstema lásco de atalzacó Smle se cosdera que los tereses que se geera cada año so semre guales y se calcula sobre el atal Ical que se verte, y que deomaremos, es decr, los tereses que se va geerado a lo largo de los dsttos erodos que se matee la versó o se va acumulado al catal cal ara roducr a su vez más tereses. El Sstema de atalzacó Smle se corresode co la LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE, que se exresa de la sguete maera: t atalzacó Smle L ( t ; ) 1 ( t ) co t Sedo el To o Tato de Iterés Aual Smle -S cosderamos t como el mometo de artda e el cual os ecotramos, dremos que t. -S cosderamos como el mometo fal o de llegada, sedo la duracó de años, etoces. -S cosderamos como el catal que vertmos e el mometo. -S cosderamos como el catal acumulado al fal de la versó, e el mometo (Motate) 6 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

7 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE Geeralzado t atalzacó Smle ( ; t ; ) L ( t ; ) [ 1 ( t ) ] ( 1 ) L Dode: Ley homogéea de grado 1 MONTANTE t 1 ( ) motate o catal cal º de años desde el vecmeto del catal o y el mometo de su valoracó tato de terés aual smle que rereseta el terés que exermeta ua udad moetara durate 1 año 7 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

8 álculo del Motate E el sstema clásco de catalzacó smle se cosdera que el catal roductor de tereses es úcamete el catal cal, es decr, los tereses o se acumula al catal al fal de cada erodo ara geerar a su vez tereses e erodos sucesvos. Así, u catal al cabo de u erodo de temo geera * u.m. e coceto de tereses y así cada año (o udad temoral cosderada). (1 ) (1 2) (1 (-1)) (1 ) I o I o I o I o Motate: Es la royeccó facera de u catal al fal del erodo alcado ua ley facera de catalzacó smle. Al catal cal más los tereses lo deomaremos motate y lo reresetamos or (1 ) Gráfcamete La característca de esta oeracó es que la varacó del catal facero ara dos mometos de valoracó cosecutvos es costate y roorcoal al valor cal, es decr el redmeto e cada eríodo se matee costate. 8 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

9 Iterretacó ecoómca del to de terés () Para estudar la terretacó ecoómca del tato de terés, vamos a estudar el motate de 1 u.m. e ua udad de temo. 1 u.m. t t1 L L ( ; t ; ) ( 1 ( t ) ) ( 1 ; t ; t 1 ) 1 ( 1 ( t 1 t ) ) 1 ( 1 ) 1 Podremos decr or tato que () es lo roducdo or ua udad moetara e ua udad de temo. 9 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

10 Imortate - Hay que dferecar etre el año atural (365 días) y el año comercal (36 días). E rco e las oeracoes faceras smles utlzaremos el año comercal. - El temo () y el to de terés () debe estar referecados a la msma udad temoral. S trabajamos co años, el to de terés tee que ser aual, s trabajamos co semestres, el to de terés tee que ser semestral, etc. álculo del INTERÉS Defmos el INTERÉS (I) como la dfereca etre el motate obtedo ( ) y el catal vertdo calmete ( ). I 1 ( ) I 1 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

11 Ley de atalzacó Smle Fraccoada Auque el año es la medda más utlzada, la catalzacó smle se alca e la ráctca a oeracoes a corto lazo como trmestres, meses Para mateer la uformdad, s se camba la udad de medda del temo se debe valorar la oeracó a u tato de terés equvalete que tega la msma erodcdad. Por ejemlo: Meses.. 12 uatrmestres 3 Días 36 Beo 1/2 Es decr, ara deotar la erodcdad del terés dcamos co subídces el úmero de suberodos cludos e el año. El to de terés estará referdo or tato al eríodo y lo deotaremos or años L S ( t ; ) 1 ( t ) 1 ( t ) t y ( años ) ( 1 ) atal Ical El arámetro recbe el ombre de tato de terés smle -ésmal, sedo el úmero de erodos a cosderar e u año. Este tato - ésmal rereseta el redmeto que roorcoa u euro e u -ésmo de año LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

12 12 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE Equvaleca etre tatos de terés Dremos que dos tatos de terés so equvaletes cuado alcados al msmo catal cal durate el msmo temo da lugar a motates guales. ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 Se deoma or tato al tato de terés smle corresodete a u -ésmo de año. Equvaleca etre dferetes tatos de terés -ésmales Referremos cada uo de esos tatos a su terés aual equvalete. Luego gualaremos etre ellos. Período Período ' ' ' ' '

13 Proedades de la Ley Facera de atalzacó Smle La ley Facera de atalzacó Smle o es escdble. Ua ley facera es escdble s al fraccoar el erodo de versó el motate obtedo es el msmo. La ley facera de catalzacó smle o es escdble, es decr, el motate de la versó varía al escdr la versó e varas versoes sucesvas revrtedo cada vez el motate recedete. Esta roedad tee ua mlcacó medata, y es que, dos catales que uede ser equvaletes e u mometo cocreto o lo será e otro mometo dstto. h 1) S escdr la versó el motate sería: (1 ) 2) Escdedo la versó e dos: h (1 h ) h (1 (-h) ) (1 h ) (1 (-h) ) [1 (-h) h h (-h) 2 ] [1 h h h (-h) 2 ] (1 ) (h (-h) 2 ) > (1 ) Por tato, o es escdble OJO!!!!! h > 13 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

14 Ejemlo de NO ESINDIBILIDAD DE LA LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE: 1. 2 años 8% smle aual a) S o dvdmos la versó: 2 1. * (1 2 *,8) 1.16 b) S escdmos la versó e dos versoes sucesvas: Año 1: 1 1. * (1 1 *,8) 1.8 Año 2: * (1 1 *,8) 1.166,4 1.16, ya que la ley facera de catalzacó smle o es escdble LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

15 15 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE La ley Facera de atalzacó Smle es estacoara, es decr, la Ley se cumle ara eríodos dsttos de temo ero que cueta co la msma amltud, deedetemete del orge y la falzacó de los msmos. t th h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t h t h h t h h t h t que ocurrr Debe :

16 , 5 % 1. (1 ( 5 ), 5 ) , 1. (1 ( 7 2 ), 5 ) , 16 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

17 PROBLEMA 1: Se verte u catal de 5. euros a u to de terés del 5% aual smle. a) Obteer el motate y los tereses al cabo de 4 años b) Obtega el motate al cabo de 25 meses c) uáto temo ha de estar vertdo el catal ara obteer u motate de 6. euros? d) A qué to de terés ha estado rdedo el catal s el motate ascede a 6,8 euros tras 6 años? 17 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

18 SOLUION AL PROBLEMA 1: a) (1) 5. * (1 4 *,5) 6. Euros I Euros b) (1) 5. * (1 25/12 *,5) 5.52,83 Euros c) (1) * (1 *,5) 1,2 1 *,5,2 *,5 4 años d) (1) * (1 6 * ) 1, *,36 6 *,6 (6%) 18 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

19 PROBLEMA 2: Se verte u catal de 1. euros a u to de terés del 3% aual smle. a) Obteer el motate al cabo de 8 años b) alcular el motate fal s se realza ua rmera catalzacó durate los rmeros cuatro años y el resultado se catalza durate los cuatro sguetes. c) Qué dferecas arecas etre los resultados a) y b) d) alcular el motate al cabo de 8 años s el to de terés ara los tres últmos años varía del 3% al 4% 19 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

20 SOLUION AL PROBLEMA 2: a) (1) 1. * (1 8 *,3) 12.4 Euros b) 4 (1) 4 1. *(14*,3) 11.2 Euros 4 (1) 11.2 * (1 4 *,3) Euros c) So dferetes orque al calcular el motate termedo e el erodo 4 y utlzar ese motate termedo ara calcular el motate fal, he cororado los tereses obtedos durate esos rmeros erodos ara calcular los tereses de los erodos últmos. Esto vola el rco básco de la Ley Facera de atalzacó Smle. d) 1 2 3% % I I I 1. * 5 *,3 1.5 euros I 1. * 3 *,4 1.2 euros I I Euros 2 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

21 PROBLEMA 3: Obteer el to de terés aual () smle y el to de terés mesual smle (12) equvaletes a: a) Iterés trmestral smle del 3% b) Iterés semestral smle del 5 % c) Iterés cuatrmestral smle del 3,5% d) Iterés baual smle del 8% e) Iterés traual smle del 11% 21 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

22 SOLUION AL PROBLEMA 3: a) 4,3 * 4 *,3,12 (12%) * * 12 * 12 4 *, *,3 / 12,1 (1%) b) 2,5 * 2 *,5,1 (1%) * * 12 * 12 2 *, *,5 / 12,833 (,83%) c) 3,35 * 3 *,35,15 (1,5%) * * 12 * 12 3 *, *,35 / 12,875 (,875%) d) 1/2,8 * 1/2 *,8,4 (4%) * * 12 * 12 1/2 *,8 12 1/2 *,8 / 12,33 (,33%) e) 1/3,11 * 1/3 *,11,367 (3,67%) * * 12 * 12 1/3 *, /3 *,11 / 12,35 (,35%) 22 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

23 PROBLEMA 4: S vertmos hoy 3. euros, 2.5 euros a los ses meses y 5. euros a los 13 meses. Obteer el motate obtedo a los dos años ara los sguetes tos de terés: a) U 7% aual b) U 3% trmestral c) U 2% bmesual d) U 12,5% baual 23 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE

24 SOLUION AL PROBLEMA 4: meses 13 meses 2 años a) 3. * (1 2 *,7) 2.5 * (1 (24-6)/12 *,7) 5. * (1 (24-13)/12 *,7) ,5 5.32, ,33 euros b) 3. * (1 24/3 *,3) 2.5 * (1 (24-6)/3 *,3) 5. * (1 (24-13)/3 *,3) , euros c) 3. * (1 24/2 *,2) 2.5 * (1 (24-6)/2 *,2) 5. * (1 (24-13)/2 *,2) , euros d) 3. * (1 24/24 *,125) 2.5 * (1 (24-6)/24 *,125) 5. * (1 (24-13)/24 *,125) , , ,84 euros 24 LEY FINANIERA DE APITALIZAIÓN SIMPLE