El producto de convolución de la derivada de orden de la delta de Dirac en un hipercono

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1 ISSN Impreso e Nicaragua. Vol.1, No., pp.60-76/abril 009 El producto de covolució de la derivada de orde de la delta de Dirac e u hipercoo Mauel A. Aguirre T. Núcleo Cosolidado de Matemática Pura Aplicada Facultad de Ciecias Exactas UNCetro,Pito 399, 7000 Tadil, Argetia. maguirre@exa.uice.edu.ar (recibido/received: 14-Oct-008; aceptado/accepted: 7-Marzo-009) RESUMEN E este artículo se le da u setido a los productos de covolució de k P l P, k P l P, 1 k P 1 l P k P l P. E la primer secció, se le da u setido a los productos k P l P k P l P para impar para el caso par ha que agregar la codicioes k 1 l 1. E la seguda secció, se le da u setido a los productos k P l P, k P l P, 1 k P 1 l P k P l P bajo las codicioes par, k 1 l 1. Palabras clave: Teoría de distribucioes AMS Clasificació de Temas: 46F10, 46F1 ABSTRACT I this paper we give a sese to distributioal covolutio products of k P l P, k P l P, 1 k P 1 l P ad k P l P. The first sectio, we give a sese to products of k P l P ad k P l P for odd, as well as for eve if k 1 ad l 1. I the secod sectio, we give a sese to products k P l P, k P l P, 1 k P 1 l P ad k P l P uder coditios eve, k 1 ad l 1. Trabajo apoado e parte por la Comisió de Ivestigacioes Cietíficas (C.I.C./Argetia). 1

2 Kewords: Theor of Distributios AMS Subject Classificatio: 46F10, 46F1.

3 1. Itroducció. Sea x x 1,x,...,x u puto e el espacio dimesioal Euclideao R. Cosideremos ua forma cuadrática e variables defiida por P Px x 1 x p x p1 x pq (1) dode p q es la dimesió del espacio. Llamamos C al espacio x de fucioes ifiitamete derivables co soporte compacto defiidas de R e R. De ([1]), págia 53, fórmula ()), la distribució P es defiida por P, P0 Px xdx () dode es u úmero complejo dx dx 1 dx...dx. Para Real 0, esta itegral coverge es ua fució aalítica de. La prologació aalítica a la parte Real 0 puede ser usada para exteder la defiició de P,. Más aú de ([Gelfad], págia 54), se tiee, P, 0 u pq 1 q udu (3) dode q u t q 1 t 1 u,tudt (4) r,s 1 u,v (5) r,s d p d q (6) r x 1...x p ad s x p1...x pq (7) Aquí, d p d q so los elemetos de áreas de la superficie e la esfera uitaria e R p R q respectivamete. E forma similar podemos tambié defiir la fució geeralizada P por P, P0 Px xdx (8) Más aú se obtiee P, 0 v pq 1 p vdv (9) 3

4 dode p u t p 1 t 1 vt,vdt. (10) De (1) la ecuació de la hipersuperficie P 0 defie u hipercoo co u puto sigular (el vértice) e el orige. Por otro lado, de ([1], págia 49), se tiee, k P, 0 s s k q r,s s r p 1 dr sr (11) k P, 1 k 0 r r k p r,s r s q 1 ds rs (1) dode r,s es defiida por la ecuació (6). Tambié de ([1], págia 50), las fucioes geeralizadas k 1 P k P está defiidas por 1 k P, 0 s s k q r,s s r p 1 dr sr (13) k P, 1 k 0 r r k p r,s r s q 1 ds rs (14) dode r,s es r 1 p s 1 q multiplicada por la itegral de sobre la superficie x 1 x x p r x p1 x pq s. Las itegrales coverge coicide para k p q. (15) Si, por otra parte, k p q (16) esas itegrales debería etederse e el setido de la regularizació (ver [1], págia 50 ). Ahora e geeral k 1 P k P puede o ser la misma fució geeralizada. Note que la defiició de estas fucioes geeralizadas implica que e cualquier caso k P 1 k 1 k P. (17) De ([1]), págia 78), las siguietes fórmulas so válidas, k P 1 k k!res k 1 P (18) 4

5 k P 1 k k!res k 1 P. (19) Por otra parte, de ([1] págia 78), para impar para par pero bajo la codició k 1 se tiee, k P 1 k P k P (0) k P 1 k P. (1) Mietras que e el caso e que la dimesió sea par k 1 k P 1 k P () k P 1 k P (3) so fucioes geeralizadas cocetradas e el vértice del coo P 0 ([1], págia 79). De([1], págia 79), se tiee: Si p q so pares si k 1, etoces 1 k k P k P a q,,k L k1 x (4) mietras que e todos los otros casos k P 1 k k P. (5) E (5) a q,,k 1 q 4 k 1 k 1! (6) L j es el operador diferecial lieal homogéeo iterado j veces, L j x 1 x p x p1 x pq j (7) L es decir, es el operador ultrahiperbólico x 1 x p x p1 veces. De([1], págia 55), P, tiee dos cojutos de sigularidades a saber: x pq iterado j 1,, 3,... (8) 5

6 , 1,... (9) de ([1], págias págia 35), se tiee, Re s k 1 P 1k k! Re s k 1 P 1k k! 1 k P si p es par q es impar 1 k P si p es impar q es par, Re s k P 0sip es par q es impar q Re s k P 1 4 k k!γ k Lk xsi p es impar q es par Dode L k es el operador ultra hiperbólico iterado k -veces defiido por medio de la fórmula (8). E forma similar P, tiee sigularidades e los mismos putos que P, tomado e cueta que todo lo que se dice acerca de P tambié vale para P excepto que p q debe ser itercambiados, e todas las fórmulas que correspode a k 1 P debe ser reemplazadas por (30) (31) (3) (33) 1 k P 1 k k P (34) L por L (ver [1], págias ), luego se tiee, Re s k 1 P 1k k! 1 k P si p es impar q par (35) Re s k 1 P 1k k! 1 k P si p es par q impar Re s k P 0sip es impar q par p Re s k P 1 4 k k!γ k Lk xsi p es par q impar. Si la dimesió del espacio es par p q so pares, P tiee polos simples e k, dode k es u etero o-egativo, el residuo es dado por la siguiete fórmula Re s k,k0,1,,.. P 1 k 1 Γ k 1 k 1 P (36) (37) (38) 1 q 4 k k!γ k Lk x (39) ([1], págia 68), dode L k es defiido por (8). Si, por otra parte, p q so impares, P tiee polo de orde e k de ([1], págia 69), se tiee 6

7 Re s k P 1 k 1 Γ k 1 k 1 P (40) q1 1 k k!γ k p Lk x dode x Γ x Γx Γx es la fució gama defiida por Γx 0 e z z x 1 dz (41) Para valores eteros valores fraccioarios la fució x está dada por: k k 1 k 1 l k 1 (4) (43) dode es la costate de Euler. E forma similar Re s k P 1 k 1 Γ k 1 k 1 P (44) 1 p 4 k k!γ k Lk xsi p q so impares. Re s k P 1 k 1 Γ k 1 k 1 P p1 1 k k!γ k q Lk xsi p q so impar. E este artículo se le da u setido a los siguietes productos distribucioales: 7

8 k P l P k P l P 1 k P 1 l P k P l P Los resultados se divide e dos seccioes. E la primera secció se le da u setido a los siguietes productos de covolució: k P l P k P l P. para impar, para par si k 1. E la seguda secció se le da u setido a los productos distribucioales k P l P k P k P 1 k P 1 l P k P l P bajo las codicioes par, k 1 l 1.. Los productos de la covolució k P l P k P l P. Para obteer dichos productos de covolució se ecesita las siguietes fórmulas: P Γ 1 a,.i e qi Q i0 e qi Q i0 (45) ([1], págia 84 fórmula 4) P Γ 1 a,.i e q i Q i0 e q i Q i0 (46) ([1], págia 84, fórmula 4), dode 8

9 Q io lim 0 Q i x (47) ([1], págia 75), Q Q 1 p p1 pq (48) p q dimesió del espacio, es u úmero real tal que 0, el símbolo idica trasformada de Fourier, Usado las fórmulas f e x, fxdx a,.i 1 Γ i 1. ([1], págia 76), P i0 P e i P P ise 1 e i P i0 e i P i0 (49) (50) P ise 1 P i0 P i0 (51) ΓzΓ1 z se (5) ([8], págia 344). De(49) ad (50) se tiee, P Γ q 1 Q cos Q (53) si q es impar p es par ( impar), P Γ q 1 Q cos Q (54) si q es impar p es par ( impar), P Γ 1 1 q Q Γ 1 (55) si p q so pares, 9

10 P Γ 1 1 p Q Γ 1 (56) si p q so pares, P Γ q 1 Q i0 Q i0 (57) si p q so impares, P Γ q 1 e i Q i0 e i Q i0 (58) si p q so impares. De (56), (57), (58), (59) usado las propiedades lim k P Γ 1 lim k P Γ 1 (59) ([4], págia 15, fórmula (98)) la fórmula (0) se obtiee la siguiete fórmula k P 1k k1 1 p Γ k k1 Q (60) si q es impar p es par ( impar ), k P 1k k1 1 p Γ k k1 Q (61) si p es par q es impar ( impar ), k P k1 1 q k 1 Q (6) si p q so pares k 1, k P k1 1 p k 1 Q (63) si p q so pares k 1. Cuado p q so impares de (60) (61) usado la fórmula Q i0 k 1 pfq k 1 i 1k k! k Q (64) ([9], págia 577) la cual es válida si k s 1, s 1,,..., dode pfq k 1 sigifica la parte fiita de Q e k 1 ([1],págia 86) se tiee, 10

11 k P k1 1 1 q 1 Γ k 1pfQk1 (65) si p q so impares k 1, k P 1 k k1 1 1 q 1 Γ k 1pfQk1 (66) si p q so impares k 1. Por otro parte, usado que k P es ua distribució de clase S ([5], págia 14) dode S es el dual de S S es el espacio de Schwartz ([7], págia 33) cosiderado el teorema clásico de Schwartz ([Schwartz], págia 68, fórmula(iv,8,4) la siguiete fórmula es válida k P l P k P. l P (67) k P l P k P. l P (68) De (63), (64), (65), (66) usado la propiedad P.P P (69) ([6], págia 39) dode so úmeros complejos tales que,, t, t 0,1,,, 1,,... cosiderado las fórmula (55), de (70) (71) se tiee, k P l P Γk l 3Γ k q 1 3 Γ k l Γ l 1 P k l (70) si q es impar p es par ( impar ) k l 1, k P l P Γk l 3Γ k q 1 3 Γ k l Γ l 1 P k l (71) si q es impar p es par ( impar ) k l 1, k P l P k1l1 1 q. k 1 Q. l 1 Q (7) si p q so pares k 1 l 1, 11

12 k P l P k1l1 1 p. k 1 Q. l 1 Q (73) si p q so pares k 1 l 1. De (68) (69) se tiee, k P l P 1 klq 1 k1l1 (74) Γ k 1Γ l 1pfQkl si p q so impares k 1 l 1, k P l P k1l1 1 q 1 (75) Γ k 1Γ l 1pfQkl si p q so impares k 1 l 1. Por otra parte, usado la fórmula k P. l P 0 (76) cuado es par k l, 1,... ([6], págia 18, fórmula 4), se tiee k P. l P 0 (77) k P. l P 0 (78) si es par k l, 1,... Ahora usado la fórmula (67) se tiee pfq k l 1 Q i0 k l Q i0 k l. (79) Por otro parte, usado la fórmula (48), se tiee, P k l k l 1 1 Γ k l Γ k l 1 q 1 Q i0 k l Q i0 k l (80) 1

13 Si p q so impares. De (77) (78) usado las fórmulas (8) (83) se tiee k P l P 1 Γ k 1Γ l 1. 1 P k l q 1 1 Γ k l 1Γ k l (81) si p q so impares k P l P 1 kl 1 Γ k 1Γ l 1. 1 P k l q 1 1 Γ k l 1Γ k l (8) si p q so impares. De (73) (74) e virtud del teorema de la idetidadde la trasformada de Fourier, se llega a la formalizació del siguiete teorema, Teorema 1 Sea k l eteros positivos k P las distribucioes defiidas por (19) (0) etoces si k l 1 las siguietes fórmulas so válidas, k P l P g k,l P k l (83) si q es impar p es par ( impar ) k P l P g k,l P k l (84) si q es impar p es par ( impar ). Dode es dimesió impar del espacio g k,l Γk l 3Γ k q 1 3 (85) Γ k l Γ l 1 observe que si p es par q es impar, la distribució P es regular e s,s 0,1,,... ([1], págia 60) De (75), (76), usado (80), (81) e virtud del teorema de idetidad de la trasformada de Fourier, se llega al siguiete teorema, Teorema Sea k l eteros positivos k P distribucioes defiidas por (1) () etoces si k 1 l 1 la siguiete fórmula es válida 13

14 k P l P 0 (86) k P l P 0 (87) Si p q so pares p q es la dimesió del espacio. Fialmete, de (84) (85) usado el teorema de idetidad de la trasformada de Fourier, se tiee el siguiete teorema, Teorema 3 Sea k l eteros positivos k P distribucioes defiidas por (1) () etoces si k 1 l 1 las siguietes fórmulas so válidas k P l P h k,l, P k l (88) k P l P 1 kl h k,l, P k l (89) Si p q so impares p q es la dimesió del espacio h k,l, Γ 1 Γ k 1Γ l 1 q 1 k l 1Γ k l 1 (90) 3. Los productos de covolució k P l P, k P l P, 1 k P 1 l P k P l P. Para obteer estos productos vamos a ecesitar las siguietes fórmulas: k P 1B k,p,q L k 1 si k 1 ([], págia 10, fórmula 45 48), k P B k,p,q L k 1 si k 1 ([], págia 10, fórmula 46 49), 1 k P D k,p,q L k 1 x para p q par k 1 (91) (9) (93) ([], págia 1, fórmula 54), 1 k P E k,p,q L k 1 xpara p q impar k 1 (94) ([], págia 11, fórmula 53), k P D k,p,q L k 1 x para p q par k 1 (95) ([], págia 1, fórmula 55) k P F k,p,q L k 1 x para p q impar k 1 (96) 14

15 dode B k,p,q 1 k 1 q para p q pares 4 k 1 k 1! (97) q1 B k,p,q 1k 1 1 p 4 k 1 k 1! Lk 1 x para p q impares (98) 1 q D k,p,q 4 k 1 k 1! (99) para p q pares, 1 q1 1 F k,p,q 4 k 1 k 1! p. Lk 1 x (100) q1 E k,p,q 1k 1 1 p 4 k 1 k 1! (101) para p q impares. Ahora vamos a cosiderar dos teoremas para expresar los resultados, lo cual se hará a través de dos casos, cuado p q so pares cuado p q so impares. Teorema 4 Sea k,l eteros o egativos tales que k 1 l 1 etoces si p q so pares las siguietes fórmulas so válidas, k P l P A k,l,,p kl 1 P, (10) k P l P A k,l,,p kl 1 P, 1 k P 1 l P A k,l,,q 1 kl 1 P (103) (104) k P l P A k,l,,q kl 1 P (105) dode A k,l,,j j 1 kl! k 1!l 1! para j póq (106) Prueba E la demostració del teorem 4, vamos a ecesitar el producto de covolució del 15

16 operador hiperbólico iterado j 1 veces L k 1 x L l 1 x resultado que aparece e ([], págia 346). Por lo tato, de ( [], págia 346, fórmula 53), la siguiete fórmula es válida L k 1 x L l 1 x L kl 1 1 x (107) bajo las codicioes k 1,l 1 para par. Por otro lado sabemos que L k 1 x es ua distribució de la clase O c, dode O c es el espacio de distribució que se dismiue rápidamete ([7], págia 44),Por lo tato tomado e cuetas las fórmulas (91), (9), (93), (94), (95) (96) los productos de covolució k P l P, k P l P, k 1 P l 1 P k P l P existe bajo codicioes k 1,l 1 por par. Por tato, se tiee k P l P B k,p,q B l,p,q L k 1 x L l 1 x (108) k P l P 4B k,p,q B l,p,q L k 1 x L l 1 x (109) dode B k,p,q está defiida por la fórmula (100) si p q so pares (101) si p q so impares, 1 k P 1 l P 4D k,p,q D l,p,q L k 1 x L l 1 x (110) dode D k,p,q está defiido por la fórmula (10), 1 k P 1 l P E k,p,q E l,p,q L k 1 x L l 1 x (111) dode E k,p,q está defiido por la fórmula (104), k P l P D k,p,q D l,p,q L k 1 x L l 1 x (11) dode D k,p,q está defiido por la fórmula (10) k P l P F k,p,q F l,p,q L k 1 x L l 1 x (113) dode E k,p,q está defiido por la fórmula (form.10) De (111), usado (110) la fórmula (100) se obtiee la fórmula (105). E forma similar de (11), usado (110) la fórmula (100) se obtiee la fórmula (106). De (113), usado (110) la fórmula (10) se obtiee la fórmula ((107). Fialmete de (115),usado(110) la fórmula (form.10) se obtiee la fórmula (108). Teorema 5 Sea k,l eteros o egativos tales que k 1 l 1 etoces si p q so impares las siguietes fórmulas so válidas, k P l P C k,l,,p kl 1 P (114) 16

17 k P l P C k,l,,p kl 1 P (115) 1 k P 1 l P H k,l,,p 1 kl 1 P (116) dode C k,l,,j 1 1 j1 k P l P C k,l,,q kl 1 P kl! k 1!l 1!. j para j póq (117) (118) H k,l,,p p p. k 1!l 1! (119) Prueba La demostració de este teorema5 se realiza de la misma forma que el teorema4. De (111), usado (110) la fórmula (101) se obtiee la fórmula (117). E forma similar de (11), usado (110) la fórmula (101) se obtiee la fórmula (118). De (113), usado (110) la fórmula (104) se obtiee la fórmula (form.119). Fialmete de (116), usado (110) la fórmula (103) se obtiee la fórmula (10). REFERENCIAS [1]. M. Gelfad ad G.E. Shilov., Geeralized Fuctios, Vol.I, Academic Press, New York,1964. []. M. A. Aguirre T., Proportoalit of k-th derivative of Dirac delta i hpercoe, Mathematica Balkaica, New Series, vol.14, 000, Fasc.3-4, pp [3]. M. A. Aguirre T., The distributio k P i0 m, Joural of Computatioal ad Applied Mathematics, vol.88, , [4]. M. A. Aguirre T., The expasio ad Fourier s Trasform of k 1 m P, Itegral Trasform ad Special Fuctios, Vol.3, Nro., pp ,1995. [5]. M. A. Aguirre T., The product of covolutio P P ad the multiplicative product P. k P, Mathl.Comput.Modelig Vol.3, Nro.10, pp ,1996. [6]. M. A. Aguirre T., The distributioal product of Dirac's delta i a hpercoe, Joural of Computatioal ad Applied Mathematics 115,pp13-1,(000). [7]. L. S. Schwartz., Theorie des Distributios, Herma, Paris,1966. A. Erdeli (Editor)., Higher Trascedetal Fuctios, Vol.I ad II, McGraw-Hill, New York, [8]. D.W.Bresters, O distributios coected with quadratic forms, SIAM, J.Appl. Math.,16, 1968, pp Mauel A. Aguirre, Profesor Decao Facultad de Ciecias Exactas Uiversidad Nacioal del Cetro de la Prov. de Bueos Aires Paraje Arroo Seco, 7000-Tadil Provicia de Bueos Aires, Argetia Tel.: maguirre@exa.uice.edu.ar 17