Partícula en la caja

Transcripción

1 /14/015 Prtícul e l cj Ile Nieves Mrtíe QUIM Utilidd del modelo Eplic movimieto de trslció del gs idel. Se soci los iveles de eergí de los electroes e ls moléculs lieles cojugds (ej: tites cojugdos). Electroes e metles. 1

2 /14/015 Descripció del sistem Prtícul libre de ms m Detro de u cj co dimesioes, b c. Puede moverse e direcció,,. Eergí potecil detro de l cj es cero. (V = 0). Fuer de l cj es ifiit (V = ) Cj tri-dimesiol V = c V = 0 V = V = 0 e: 0 < < 0 < < b 0 < < c b V = e: 0 > > 0 > > b 0 > > c

3 /14/015 Ecució de Schröediger: Ĥ E T V E m multiplicdo por iverso de mbos ldos m,, V,, E,, m me V,,,, m,, 0 E V 5 Ecució de Schröediger Asumimos :,, X Y Z sustituimos e l ecució terior : m,, 0 E V X Y Z X Y Z X Y Z m E V X Y Z 0 3

4 /14/015 Solució ecució de Schröediger Operdo X Y Z YZ X Z X Y m E V X Y Z 0 Dividiedo por X Y Z Cceldo,,,,, YZ X XZ Y XY Z XYZ YXZ ZXY,,, m XYZ E V 0 XYZ 1 X 1 Y 1 Z X Y Z m E V 0,,, Solució ecució de Schröediger pero E VE V E V E V etoces, 1 X 1 Y 1 Z X Y Z m E V E V E V 0,,, 1 X 1 Y 1 Z X Y Z m E V E V E V,,, 4

5 /14/015 Solució pr tres dimesioes Tres ecucioes idepedietes : 1 X m E V X, 1 Y m E V Y, 1 Z m E V Z, Solució uidimesiol 1. 1 d X m Fuer de l cj V E X d pr que se cierto X d X me X solucioes :, d X me X,, 0 etoces l prtícul o eistirí. 1. Detro de l cj V 0 0 X d d d 0 i me i me 1 d X m me E X Ae X Be, Ecució liel homogée de do orde co coeficietes costtes 5

6 /14/015 Codicioes de cotoro X cudo pr que eist l prtícul. Combició liel pr 0 : detro de l cj. 1 (fuer de l cj) X A e e i me i me X X X Ae Be Codició de froter 0: X Ae Be AB AB i me i me Idetidd trigoométric solució i me i me i me X A e e Ae e dode Idetidd trigoométric : i e cos isi i e cos isi i i e e si i Por lo tto : me me Xsi i Csi dode C,, imgirio 6

7 /14/015 Segud codició de cotoro me X Csi cocició de froter : me me X 0Csi C 0 ; si 0 me me X Csi Normlició X * X d1c si d1 0 0 Coversió de vribles : por lo tto : d d etoces : d d sustituedo e itegrl modificdo los límites : 0, 0 cudo 0 C si d 1 7

8 /14/015 Solució de ormlició 1 C si d C si d 0 0 pero 1,si 1 cos, 1 1 C 1 cos 0 1 1C d cos d 0 0 d etoces Evludo los itegrles C si 1 C si si C 0 0 C C por lo tto : C C 8

9 /14/015 Solució fució de od Ψ=X()Y()Z() si X ls otrs dimesioes, Y si Z si b b c c E tres dimesioes : X Y Z 8 si si si bc b c Cutició de l eergí me me E h h dode 1,,3... m m 8m h De igul form : E E 8mb 8mc h h etoces : ETotl E E E 8m b c 9

10 /14/015 Estdos degeerdos: = b = c 3 X Y si si si Z h ETotl E E E 8m h Números cuáticos 8m 6h 1 1 ETotl 8m 6h 1 1 ETotl 8m 6h 1 1 ETotl 8m E Estdo,1,1 1,,1 1,1, Probbilidd e u dimesió si 0 si00 si 0 si 1 pred * Phsicl Chemistr por P.W. Atkis; 1998;W.H. Freem & Comp; 6t edició 0 NODO 1 1 si pred si 0;si 0 0 ;si 0 ;si 0 10

11 /14/015 Probbilidd e u dimesió si pred 1 1 si 0 pred 0 si00 si 0 * NODO si Phsicl Chemistr por P.W. Atkis; 1998;W.H. Freem & Comp; 6t edició 0;si 0 0 ;si 0 ;si 0 Gráfics de ls fucioes de od U dimesió Phsicl Chemistr por P.W. Atkis; 1998;W.H. Freem & Comp; 6t edició Pr grdes, cuátic tiede cotiuo: cuátic tiede clásic 11

12 /14/015 Nodos Phsicl Chemistr por P.W. Atkis; 1998;W.H. Freem & Comp; 6t edició Efecto túel: Peetrció e regioes clásicmete prohibids Fució de od V = 0 V = 0 Phsicl Chemistr por P.W. Atkis; 1998;W.H. Freem & Comp; 6t edició 0 0 1