Inferencia estadística Tests de hipótesis

Transcripción

1 Iferecia estadística Tests de hipótesis Hasta ahra hems vist cm bteer, a partir de ua muestra, u estimadr putual u iterval de cfiaa para u parámetr θ, ya sea la media, la variaa la prprció pblaciales. Frecuetemete el bjetiv del estudi es decidir, e base a la ifrmació que prvee la muestra, etre ds hipótesis relativas a u parámetr. Ejempl: Las aguas mierales puede clasificarse de acuerd a su cteid mieral e cálcicas, magésicas, hipsódicas, fluradas carbóicas. Para que pueda ser calificada cm magésica, c l cual pdría ayudar e ls tratamiets de la steprsis e la remieraliació ósea, debe teer u cteid medi de magesi mayr a de 50 mg/l. C el prpósit de evaluar la psibilidad de calificar ua determiada marca de agua mieral cm magésica, se desea estimar su cteid medi de magesi y se tmar e frma idepediete 5 muestras de dicha agua. El ivestigadr aalió e frma explratria ls dats, ccluyed que el supuest de rmalidad es raable.

2 Nrmal Q-Q Plt Sample Quatiles Theretical Quatiles

3 Situació : Asumams que btuv u prmedi muestral de mg/l y pr el mmet que se sabe que el desví estádar es mg/l. Prvee ests dats evidecia de que el cteid medi de magesi es superir a 50 mg/l ls resultads bservads se debe simplemete al aar? De acuerd c la descripció, pdríams asumir que uestrs dats crrespde a ua muestra aleatria, es decir que las 5 medicies s idepedietes e idéticamete distribuidas c ua distribució que pdría asumirse rmal, pr l tat crrespdería a Etces idepedietes, dde ~ N(,),..., 5 i ~ N, ~ N(0,) 5 / 5

4 Qué es l que estams tratad de decidir? Nuestras hipótesis se refiere a, el cteid medi de magesi, y se pdría euciar así: 50 mg/l. E este cas se califica cm magésica > 50 mg/l. E este cas se la califica cm magésica E primera istacia csiderems ua versió simplificada: i) = 50 mg/l. E este cas se califica cm magésica ii) > 50 mg/l. E este cas se la califica cm magésica

5 Si el verdader cteid medi de magesi e mg/l fuera 50, cuál sería la prbabilidad de que ua v.a. rmal c media 50 y variaa /5 tmase u valr igual mayr aú que el bservad, 50.35? P ( 50.35) = P = Φ(.75) = / 5 / 5 Esta prbabilidad se demia p-valr. Qué s dice? Hubiese sid muy pc prbable que se bservase u valr prmedi ta extrem cm el bservad más aú si la media verdadera fuera 50.

6 Csiderems la versió simplificada: iii) = 50 mg/l. E este cas se califica cm magésica iv) > 50 mg/l. E este cas se la califica cm magésica A la primera hipótesis se la demia hipótesis ula y se desiga H. Esta hipótesis implica que habrá cambi que hay efect, es la hipótesis del status qu, sea del cambi respect a la situació iicial. La seguda hipótesis se demia hipótesis alterativa y se desiga H. Se la suele llamar la hipótesis del ivestigadr. Expresadas e térmis del parámetr de iterés las hipótesis del ejempl será H : = 50 vs. H : > 50 U test es ua regla de decisió basada e u estadístic fució de la muestra, e este cas, y e ua a de recha, es decir u cjut de valres para ls cuáles se rechaa la hipótesis ula H.

7 Cóm se elige la a de recha? Observems que al tmar ua decisió e base a ua muestra, pdems cmeter ds tips de errr. H es cierta H es cierta N se rechaa H OK Errr tip II Se rechaa H Errr tip I OK Debid a la variabilidad muestral, es impsible cstruir tests e ls cuáles estems abslutamete segurs de tmar la decisió crrecta. L que pdems hacer es tratar de mateer bajas las prbabilidades de errr. Llamarems ivel de sigificació del test, y l desigarems, a la prbabilidad de errr tip I (e realidad a la máxima prbabilidad de errr tip I) y desigarems β a la prbabilidad de errr tip II.

8 Cm el estadístic se cstruye baj la cdició de que H es verdadera, l que pdems ctrlar es la prbabilidad de errr tip I. Elegirems la a de recha del test de maera de que la prbabilidad de errr tip I sea u valr predetermiad. Vlvied al ejempl, sabems que, si H fuera cierta, 50 / 5 ~ N(0,) Ntems que rechaaríams H para valres grades de este cciete. Si querems que el test tega ivel de sigificació = 0.05, usaríams la regla: Rechaams H si / 5 50 De hech: P(rechaar H cuad = 50)= P = = / 5

9 Esta es la a de recha del test de ivel Si bservams u prmedi igual a 50.35, el valr del estadístic es.75 y pr l tat se rechaa H, mietras que si hubiésems bservad u prmedi muestral igual a 50.5, el valr del estadístic habría sid.5 y se rechaaría H.

10 Si quisiérams que el test tuviese u ivel de sigificació = 0.0, usaríams la regla Rechaams H si 50 / 5.3 Esta es la a de recha del test de ivel 0.0. Cm hems vist, al selecciar la regió de recha ctrlams la prbabilidad de errr tip I, per qué curre c el errr tip II?

11 Vlvams al test de ivel de sigificació = 0.05, c Za de recha / 5 Imagiems la siguiete Situació Supgams que e uestr ejempl bservams u cteid prmedi de magesi e la muestra de tamañ 5 igual a 50.5 mg/l. E este cas, el estadístic del test valdría.5, es decir / 5 =.5 y pr l tat, rechaams H, lueg si estuviérams cmetied u errr, éste sería de tip II.

12 Cuát valdría esta prbabilidad de cmeter u errr de tip II? Esta preguta la pdems respder si fijams u valr determiad de la hipótesis alterativa. Pr ejempl: Querems calcular la prbabilidad de rechaar la hipótesis ula si el verdader cteid medi de magesi fuera mg/l. 50 / 5 <.64 = P < = P 5 P = = = / 5.64 < / < 0.86 = P = <.64 + = Φ( 0.86) = / 5 / 5 / 5 P = 0.95 Es decir, que la prbabilidad de errr tip II para el valr de = es aprximadamete 0.0.

13 Ntems que la prbabilidad de rechaar la hipótesis ula si el verdader cteid medi de magesi fuera quedaría: + < = + < = < = = = 5 / / / 50 P P P ) 5 / 50 (.64 5 / / + = Φ + < = P Es decir, que la prbabilidad de errr tip II cm fució de es decreciete.

14 Defiició : La fució de ptecia de u test, π (), es la prbabilidad de rechaar la hipótesis ula cuad el valr verdader del parámetr es. Utiliad la fució de ptecia es psible bteer ua expresió geeral para ls ds tips de errres, pues ( ) π ( ) = β ( ) si H si H dde () y β() deta las prbabilidades de errr tip I y tip II respectivamete cuad el verdader valr del parámetr es.

15 Ntems que e uestr ejempl resulta: ( ) = 50 / 5.64 = π P P / / 5 = Φ( ) / 5 Fució creciete de El cmprtamiet de π () justifica que usems el test diseñad para H : = 50 vs. H : > 50 tambié para H : 50 vs. H : > 50

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17 Tips de hipótesis a testear: Hipótesis uilaterales: H : = (ó ) vs. H : > Hipótesis bilaterales: H : = (ó ) vs. H : < H : = vs. H : La frma de la regió de recha depederá de la hipótesis alterativa a testear. Así, e el ejempl presetad aterirmete, la a de recha csiste e u iterval de valres e la cla derecha de la distribució prque la hipótesis alterativa es de la frma >.

18 Tests de hipótesis de ivel para ls parámetrs de la distribució rmal: Sea,,..., ua m.a. de ua distribució N (, ). Tests para la media cuad la variaa es ccida: Supgams que ccida y csiderems las siguietes hipótesis = es a) H : = (ó ) vs. H : > b) H : = (ó ) vs. H : < c) H : = vs. H : Estadístic del test: Z =. Baj H : =, Z ~ N(0,) Regió de recha: Cm dijims, la a de recha depede de la hipótesis alterativa. Estará dada, e cada cas, pr a) Z b) Z c) Z /

19 Veams el cas c) Observems que, así cm la frma de la regió de recha depede de la alterativa, su tamañ depede del ivel. Pr ejempl, csiderems el cas c). Cm la alterativa es, la frma de la regió es K T, per cm la prbabilidad de rechaar H sied cierta (P(Errr tip I)) debe ser, = < < = < = K K P K P K P / ) ( )) ( ( ) ( ) ( K K K K K = = Φ = Φ = + Φ Φ

20 Fució de ptecia P : La tació, cm ya hems vist, idicará la prbabilidad cuad el valr verdader del parámetr es. a) + = = π P P ) ( + Φ = + = P

21 Observems que esta fució es creciete y π = ) (, etces, si <, π < ) (. Pr esta raó el test es de ivel para las hipótesis H : vs H : > e el setid de que la prbabilidad de errr tip I es a l sum. b) + = = π P P ) ( + = Φ + = P

22 Observems que esta fució es decreciete y π ( ) =, etces, si >, π ( ) <. Pr esta raó el test es de ivel para las hipótesis H : vs H : < e el setid de que la prbabilidad de errr tip I es a l sum.

23 c) < = = / / ) ( π P P < + < = / / P + < < + = P / / + + Φ + Φ = / /

24 Observems que esta fució decrece hasta dde π ( ) = y crece a partir de allí.

25 Tamañ de muestra requerid para bteer ua prbabilidad de errr tip II dada para u valr de = e la alterativa: Recrdems que el errr de tip II se defie cm rechaar la hipótesis ula H cuad es falsa. Buscams el valr de para que la prbabilidad de errr tip II sea mer que β cuad = es u valr fij e H. Csiderems el cas de uestr ejempl. Vims que cuad =5 la prbabilidad de rechaar la hipótesis ula si el verdader cteid medi de magesi fuera mg/l <.64 = P = <.64 + = Φ( 0.86) = 0.95 / 5 / 5 / 5 P = Si mateems el ivel e 0.05, la variaa es y fijams el valr de la alterativa e =50.50 mg/l, pdríams lgrar de algua frma que esta prbabilidad fuera mer? Ntems que tambié depede del tamañ muestral. Cuál debería ser el tamañ muestral si quisiérams que esta prbabilidad fuera a l sum 0.0? Hagams la cueta.

26 Csiderems ls distits cass geérics. a) H : vs H : > β π β π β < ) ( ) ( P i β β β + + Φ < P i Observems que e este cas la alterativa es H : >, pr l tat, 0 < y se btiee ( ) ( ) + = β β

27 b) Csiderems H : vs H : < β π β π β > ) ( ) ( P i β β + + Φ Observems que e este cas la alterativa es H : <, pr l tat, 0 > y se btiee ( ) 0 + β c) Para el cas bilateral, el cálcul del tamañ de muestra se hace e frma aprximada, despreciad la más pequeña de las ds prbabilidades.

28 Tests para la media cuad la variaa es desccida: Supgams ahra que la variaa es desccida y csiderems las mismas hipótesis sbre. Recrdems el resultad que vims e el ctext de Itervals de Cfiaa

29 Las psibles hipótesis s: a) H : = (ó ) vs. H : > b) H : = (ó ) vs. H : < c) H : = vs. H : Estadístic del test: T = S. Baj H : =, teems que T ~ t - Regió de recha: Cm siempre la frma de la a de recha depede de la hipótesis alterativa. Estará dada, e cada cas, pr T t, a) b) T t, c) T t, /

30 El tamañ de la a de recha depede del ivel. Pr ejempl, csiderems el cas a). Cm la alterativa es >, la frma de la regió es K T, per cm la prbabilidad de rechaar H sied cierta (P(Errr tip I)) debe ser, = = K S P K S P, ) ( ) ( = = = T T t K K F K F dde T F desiga la fució de distribució de ua v.a. t c - grads de libertad.

31 Fució de ptecia y cálcul del tamañ de muestra para bteer ua prbabilidad de errr tip II dada: La fució de ptecia de este test es cmplicada prque la distribució del estadístic cuad es ua distribució t cetral. Auque hay tablas y gráfics que permite bteer prbabilidades para ua distribució de este tip, ls estudiarems. Pr la misma raó, calcularems tamañ de muestra para bteer ua prbabilidad de errr tip II dada para ua alterativa fija. Respect al p-valr, cuad se utilia tablas sól es psible bteer ua cta, ya que las tablas prvee slamete algus valres crítics de la distribució t, a mes que se utilice u paquete cm el R. Veams u ejempl.

32 Tests para la variaa cuad la media es desccida: Las hipótesis a testear s a) H : = (ó ) vs H : b) H : = (ó ) vs H : c) H : = vs H : > < ( ) S Estadístic del test: U =. Baj H : =, teems que U ~ χ Regió de recha: Cm siempre la frma de la a de recha depede de la hipótesis alterativa. E este cas, estará dada pr a) U χ, b) U χ, c) U χ, / ó U χ,- /

33 El tamañ de la a de recha depede del ivel. Pr ejempl, csiderems el cas b). Cm la alterativa es <, la frma de la regió es U K, per cm la prbabilidad de rechaar H sied cierta (P(Errr tip I)) debe ser, P ( ) S K = K = χ,

34 Ejempl: Se tma 5 determiacies de la temperatura e ciert sectr de u reactr, bteiédse Iteresa saber, a ivel 0.05 x = 49 C y s =.8 a) si existe evidecia para decidir que la temperatura media e ese sectr del reactr es mer que 50 C. Calcular el p-valr. b) si existe evidecia para decidir que la variaa de la temperatura e ese sectr del reactr es mayr que ( C). a) Las hipótesis a testear s H : = 50 (ó 50) vs H : < 50 C 50 El estadístic del test será T = S y la regió de recha estará dada pr ls valres de T tales que

35 T 50 S =, 0.05 t E uestr cas, = 5 y pr l tat t 4, 0.05 =. 7. Además el valr bservad de T es T bs = y pr l tat se rechaa H, es decir que a ivel 0.05 ectrams evidecia de que la temperatura media del reactr es mer que 50 C. Cuát vale el p-valr? El p-valr l calculams cm la prbabilidad de bservar u valr ta extrem del estadístic cm el bservad más extrem aú, baj H. E este ejempl, rechaams cuad bservams valres pequeñs del estadístic, pr l tat calculams ( T T ) = P ( ) p valr = P = 50 OBS = 50 T sied T = 50 5 ~ t S 4

36 C R cualquier tr paquete que l permita, pdems calcular esta prbabilidad, si sl dispems de las tablas, e geeral s tedrems que cfrmar c actarla. E R usariams la fució pt: pt(-.7857,4) [] es decir que el p-valr es Est quiere decir que rechaarems H cuad realicems u test de t cm el que hems hech cuad el ivel de sigificació sea > , mietras que rechaarems H cuad el ivel de sigificació del test de t sea < Así, rechaams para =0.05, per rechaams H si =0.0. b) Las hipótesis a testear s El estadístic del test será U H : = 4 (ó 4 ) vs H : > 4 ( ) S =,

37 y la regió de recha estará dada pr ls valres de U tales que ( ) S U χ 4 =, 0.05 E uestr cas, = 5 y pr l tat χ 4, 0.05 = Cm el valr bservad de U es U bs =47.04, se rechaa H. Es decir, a ivel 0.05 hay evidecia de que la variaa de la temperatura del reactr es mayr que ( C).

38 Tests de hipótesis de ivel aprximad ( asitótic) para la media de ua distribució cualquiera: Sea,,..., ua m.a. de ua distribució c media y variaa <. Aplicad el Terema Cetral del Límite, sabems que d Z / ~ N(0,) Además, utiliad la prpiedad euciada al cstruir itervals de cfiaa de ivel asitótic (- ) para la media de ua distribució cualquiera, d N(0,) p S d N(0,) S Pr l tat, si es suficietemete grade,

39 S ( a ~ ) N (0,) Supgams que se desea testear a ivel aprximad algua de las hipótesis siguietes: a) H : = (ó ) vs H : > b) H : = (ó ) vs H : < c) H : = vs H : y que es suficietemete grade. Utiliad cm estadístic T =, las s siguietes regies de recha prvee tests del ivel requerid para cada ua de las hipótesis: a) T b) T c) T /

40 Test de hipótesis de ivel aprximad ( asitótic) para ua prprció (parámetr p de la distribució bimial): Sea, ua m.a. de ua distribució Bi(,p). Etces, = i i=,..., Aplicad el Terema Cetral del Límite, si es suficietemete grade, ~ Bi(,p). p p( p) d Z ~ N(0,) sied la prprció muestral frecuecia relativa de éxits. U test de ivel aprximad para las hipótesis: a) H : p = p vs H : p > p b) H : p = p vs H : p < p c) H : p = p vs H : p p

41 se basa e el estadístic p p p ) (, el cual, si H es cierta, tiee distribució aprximada N(0,). Las regies de recha estará dadas pr a) p p p ) ( b) p p p ) ( c) / ) ( p p p

42 Relació etre tests de hipótesis bilaterales e itervals de cfiaa Itrducirems esta relació a través de u ejempl. Sea,,..., ua m.a. de ua distribució N (, ). Sabems que, cuad la variaa es desccida, el iterval de cfiaa para de ivel - está dad pr t s + t s, /,, /. Supgams ahra que deseams testear a ivel las siguietes hipótesis: H : = vs H : Dad que el iterval cstruid ctiee c alta prbabilidad al valr verdader de, si perteece al iterval, est s llevaría a sspechar que la hipótesis ula es falsa.

43 Es decir, pdríams cstruir u test de ivel, rechaad H si perteece al iterval de cfiaa, dad que P s EI) = P t, /, + t (, / s s s P t, /, + t, / = ( ) = = Prpsició : Sea IC(,,..., ) u iterval de cfiaa de ivel - para u parámetr θ, bteid a partir de ua m.a.,,...,. Csiderems el prblema de testear las hipótesis H : θ = θ vs. H : θ θ El test que rechaa H cuad θ IC,,..., ), tiee ivel. (

44 Ejempl: Sea,,..., ua m.a. de ua distribució N (, ). Recrdems que hems bteid el siguiete iterval de cfiaa de ivel exact - para Si deseams testear las hipótesis IC ( ) S = χ, / ( ) S, χ, / El test que rechaa H si H : = vs. H : IC tiee ivel. Pr l tat, revisitad el ejempl que aaliams e las clases de IC de 49 bservacies idepedietes de ua distribució rmal y tales que x = 60 y s = 35 y el IC para de ivel 0.95 resultaba , = χ, / = χ 48,0.05 = 69. y χ = χ ( ya que 0, / 48,0.975 = ( 85.93,9.0) ), si s iteresara testear H : = 800 vs. H : 800 c u ivel de sigificació igual a 0.05, rechaaríams que H e favr de la hipótesis H : 800.

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49 Veams u ejempl: Teems ds métds para medir el cteid de hierr (%) e u mieral. Se realia 7 medicies c el primer métd y 0 c el segud. Querems cmparar ls ds métds, es decir si e media mide l mism. met met summary(met) Mi. st Qu. Media Mea 3rd Qu. Max summary(met) Mi. st Qu. Media Mea 3rd Qu. Max c(sd(met),sd(met))

50 bxplt(met,met, ames=c("met","met")) El bxplt idicaría que ls hay diferecias etre ls ds métds, esta diferecia es sigificativa?

51 Mirems si el supuest de rmalidad parece raable: qqrm(met,mai="met") qqlie(met) qqrm(met,mai="met") qqlie(met) met met Sample Quatiles Sample Quatiles Theretical Quat Theretical Quat

52 Cmecems pr cmparar las variaas. Est l pdems realiar mediate el test de F y aplicarems la fució var.test: library(stats) var.test(met,met, alterative="tw.sided") F test t cmpare tw variaces data: met ad met F = , um df = 6, dem df = 9, p-value = alterative hypthesis: true rati f variaces is t equal t 95 percet cfidece iterval: sample estimates: rati f variaces N se rechaa el supuest de igualdad de variaas, el p-valr es Observació: aquí el cálcul se hi c el s más pequeñ e el umeradr, es decir que el cciete sabems que va a ser mer que, etces el p-valr se calcula cm *pf(0.6395,6,9) []

53 Ahra apliquems u test t. Aplicams el test que supe igualdad de variaas: t.test(met,met,var.equal=true) Tw Sample t-test data: met ad met t = , df = 35, p-value = alterative hypthesis: true differece i meas is t equal t 0 95 percet cfidece iterval: sample estimates: mea f x mea f y Aplicams el test basad e el estadístic de Welch: t.test(met,met) Welch Tw Sample t-test data: met ad met t = , df = 34.89, p-value = alterative hypthesis: true differece i meas is t equal t 0 95 percet cfidece iterval: sample estimates: mea f x mea f y

54 Vlvams al tema de la rmalidad: L que hicims fue mirar el qqplt, si embarg est s da ua medida de la chace de que estems tmad ua decisió equivcada al ccluir que l dats s rmales. Asimetrica a iquierda Clas Liviaas Nrmal Clas Pesadas Asimetrica a derecha Rj=Mediaa, Negr=Media

55 Test de Shapir-Wilk Sea N la familia de de tdas las distribucies N(, ), c real,>0. Csiderems ua muestra aleatria,,...,, dde i ~ F. Lueg, las hipótesis a testear s: H: Fϵ N vs. H: F ɇ N C el estadístic de test de Shapir-Wilk y su crrespdiete p-valr pdems chequear la hipótesis de rmalidad y pdems rechaar el supuest de rmalidad si el p-valr que s brida es muy pequeñ. E geeral, cveims tmar cm cta u p-valr superir a 0.0. Esecialmete, l que hace este test es medir cuá cerca de ua recta está la curva que describe ls puts graficads e el QQ-plt.

56 shapir.test(met) Shapir-Wilk rmality test data: met W = 0.977, p-value = 0.96 shapir.test(met) Shapir-Wilk rmality test data: met W = , p-value = E uestr ejempl el p-valr del test de Shapir-Wilk es 0.96 e la muestra medida c el er. métd y e la muestra tmada c el d.métd, c l cual rechaams el supuest de rmalidad e igua de ellas.

57 Psibles dats y=sca() mea(y) [] var(x) [] > bxplt(y) > qqrm(y) > qqlie(y)

58 Nrmal Q-Q Plt Sample Quatiles Theretical Quatiles

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