TITULADO: TEXTO: ESTADISTICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD.

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS INSTITUCION DE INVESTIGACION INFORME FINAL DE PROYECTO DE INVESTIGACION TITULADO: TEXTO: ESTADISTICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD. AUTOR: ECO. SIMÓN BENDITA MAMANI (PERIODO DE EJECUCION: Del 01 de Abril del 010 al 31 de Marzo del 01 Aprobado mediate Resolució Rectoral No.45-10R.) MARZO DEL 01 CALLAO- PERU

2 ÍNDICE DE CONTENIDO PREFACIO IV CAPITULO I 1.1 HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA CONCEPTOS GENERALES DE ESTADÍSTICAS DIVISION DE LA ESTADISTICA LINEAMIENTOS PARA LA PRESENTACIÓN DE CUADROS ESTADÍSTICOS COBERTURA TEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA CONTENIDO DE LA PUBLICACIÓN ESTADÍSTICA NOTACIÓN DE SUMA CAPITULO II.1 PRESENTACIONES DE LAS TABLAS: TIPOS DE TABLAS DE FRECUENCIA CAPITULO III 3.1 REPRESENTACIONES GRAFICOS GRÁFICOS DE PUNTOS GRÁFICOS DE TALLO Y HOJA DIAGRAMAS DE BARRAS OTROS TIPOS DE GRAFICAS CAPITULO IV 4.1 ESCALAS DE MEDICIÓN SITUACIONES DE LAS ESCALAS DE MEDICIÓN TIPOS DE VARIABLES DATOS ORDENACION DE DATOS

3 CAPITULO V 5.1.DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE TAMAÑO O ANCHURA DE UN INTERVALO DE CLASE REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS POR INTERVALOS CAPITULO VI 6.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL TENDENCIA CENTRAL CAPITULO VII 7.1 CUANTILES TIPOS DE CUANTILES MEDIDAS DE DISPERSIÓN DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA VARIANZA DESVIACIÓN ESTÁNDAR SIMETRÍA CURTOSIS OTRAS CONSIDERACIONES DE LAS MEDIDAS DE CAPITULO VIII DISPERSIÓN ABSOLUTAS CAPITULO IX 9.1 MEDIDAS DE FORMA MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS BIBLIOGRAFIA

4 iv PREFACIO Al realizar el presete texto es debido a la iquietud de los estudiates que lleva el curso de estadística básica co el propósito de poer a disposició del estudiate y docete de las especialidades de admiistració, ecoomía y cotabilidad. Las estadísticas siempre ha sido importates para las ciecias y para la tecología de diferetes materias y lo será au mas para aquellos docetes que está compeetrados e la ivestigació del coocimieto modero. La motivació de sacar a la luz pública de este libro es precisamete para ofrecer ua primera descripció de lo que ha sido, el que hacer del curso de estadística e las facultades de admiistració, ecoomía y cotabilidad, que permita realizar ua reflexió de la importacia de las estadísticas e la aplicació y formació profesioal. Se decidió hacer este libro solamete ua itroducció para realizar estudios más pormeorizados sobre el curso de estadística básica para de esta forma buscar ua mayor proyecció de uestro estudio. La asigatura de estadística básica cosiderado base fudametal e sus estudios, dado que es el iicio de los coocimietos para su desarrollo de las asigaturas siguietes a estudiar como estadística aplicada a la empresa. El texto de estadística básica para los estudiates de admiistració ecoomía y cotabilidad, costituirá como guía para elevar el ivela académico El desarrollo del texto de estadística básica se cosidera importate porque permite. 1. Establecer u adecuado coteido temático e el curso de estadística básica para los estudiates de admiistració, ecoomía y cotabilidad, a fi de elevar el ivel académico para su formació profesioal.. Aplicar ua metodología estadarizada e la eseñaza a de la estadística básica para los estudiates de de admiistració ecoomía y cotabilidad.

5 3. El presete texto estadística básica para estudiates de admiistració ecoomía y cotabilidad es u texto básico que expoe de maera sucita los temas teóricos correspodiete a la historia de la estadística, defiicioes de diferetes autores, tipos de tablas, represetacioes graficas, como realizar la distribució de frecuecias, las medidas de cetralizació o tedecia cetral tato para datos agrupados y o agrupados; y fialmete las medidas de dispersió y asimetría. los capítulos desarrollados, se realiza de maera didáctica y secilla,dode el estudiate pueda compreder y aplicar e la vida cotidiaa como e el campo profesioal, e alguos casos se hará uso de las leyes y pricipios estadísticos que se requiere sobre todo para resolver los diferetes tipos de problemas que se preseta, de esta maera el alumo obtedrá ua solució imediata a los problemas de estadística.

6 CAPITULO I 1.1 HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA La historia os arra, que desde que el hombre empezó a comuicarse por medio de leguaje escrito, los pueblos del cotiete africao se destacaro por hacer alguas aotacioes de mucha importacia e su diario covivir. Así, podemos destacar: Al español Cofucio ( ) A.D.C llevaba registros referetes a la producció agrícola, al comercio, etc. Les cupo la gloria a los chios, desde la época del sabio Kug-futsé (500 A.D.C.) que hiciero recoleccioes. Los egipcios (500 años A.D.C.) cuado se ecotraba goberados por los faraoes, estableciero los márgees del río Nilo. Estos, cada vez que se producía las grades iudacioes provocadas por el desbordamieto de dicho río, ordeaba a los sacerdotes (sabios del palacio) a que realizara las respectivas medicioes de las tierras afectadas, a fi de que sus propietarios pagara el impuesto sólo de lo que les quedaba. Tambié fuero los griegos los y los romaos que e sus frecuetes accioes bélicas, cuatificaba: soldados, vituallas, caballos, provisioes de armas, como: lazas, escudos, arcos, etc. E el cotiete americao, se destaca los pueblos: maya, azteca e ica. Así, los primeros teía el caledario igual que los egipcios y los chios, y los icas racioaba los excesos de las cosechas para épocas que había escasez. Se cosidera como fudador de la estadística a Godofredo Achewall ( ), ecoomista alemá, quie siedo profesor de la uiversidad de Leipzig, escribió el descubrimieto de ua ueva ciecia que el mismo llamó Estadística. "Se dice que el aálisis estadístico se iició co los estudios de u tedero iglés, Joh Graut ( ), quie itetó aalizar las causas de las defucioes e Lodres alrededor de la primera mitad del siglo XVII. 1

7 Después de este secillo iicio muchos matemáticos, alguos muy famosos como: Laplace ( y Gauss ( ) hiciero costates cotribucioes a las ideas básicas de esta ciecia. Además, el aálisis de los datos uméricos es fudametal e tatos campos, que bie se podría elaborar ua larga lista de cietíficos, e áreas como: la biología, la geología, la geética, que ha cotribuido ampliamete e este estudio. Por citar: Charles Darwi ( ), Gregory Medel ( , Karl Pearso ( ). Es de aotar que Adrewall y sus seguidores estructuraro los métodos estadísticos; los mismos que al iicio estuviero orietados a: ivestigar, medir y comparar las riquezas las acioes. Como dijera Hutsberger: "La palabra estadística a meudo os trae a la mete imágees de úmeros apilados e grades arreglos y tablas, de volúmees de cifras relativas a acimietos, muertes, impuestos, poblacioes, igresos, deudas, créditos y así sucesivamete. Hutsberger tiee razó pues al istate de escuchar esta palabra estas so las imágees que llega a uestra cabeza. La Estadística es mucho más que sólo úmeros apilados y gráficas boitas. Es ua ciecia co tata atigüedad como la escritura, y es por sí misma auxiliar de todas las demás ciecias. Los mercados, la medicia, la igeiería, los gobieros, etc. Se ombra etre los más destacados clietes de ésta. La ausecia de ésta collevaría a u caos geeralizado, dejado a los admiistradores y ejecutivos si iformació vital a la hora de tomar decisioes e tiempos de icertidumbre. La Estadística que coocemos hoy e día debe gra parte de su realizació a los trabajos matemáticos de aquellos hombres que desarrollaro la teoría de las probabilidades, co la cual se adhirió a la Estadística a las ciecias formales.

8 Qué es la estadística? Esta palabra derivada de Staat, que sigifica gobiero, su fudador la defiió como "el coocimieto profudo de la situació respectiva y comparativa de cada estado". Coocemos que desde la más remota atigüedad el cocepto de estadística se idetificó co el de "ciecia de los úmeros y de las figuras". Muchos la llama como "la represetació del pesamieto cietífico", puesto que se basa e la ivestigació para llegar a coclusioes, aálisis, iterpretacioes, abstraccioes, deduccioes, etc. Pero tambié la cocebimos como ua ciecia auxiliar de otras disciplias, si su aplicació o podríamos orietar muchos aspectos. Es decir es el hilo coductor e todos los campos. Para qué coocer esta ciecia? La mayoría de las persoas estamos familiarizadas co frases como éstas: Los salarios de los militares aumeta e u 30%. El partido triufador e las eleccioes próximas pasadas superó a lo que iformaba las ecuestadoras. Por el feómeo del iño teemos que importar tales alimetos. El redimieto de los alumos e esta materia esta por debajo de lo ormal. 10 de cada 100 iños sufre problemas respiratorios. E este plaeta el promedio de vida es de 70 años. La gra mayoría de emigrates so de sexo masculio. Todos los días experimetamos, maipulamos símbolos y palabras. Hasta emitimos juicios de valor que seguro se basa e algo para ua iformació cualquiera; pero para ua iformació estadística debemos estar ligados al método estadístico, e su forma, orgaizació, recopilació, presetació y aálisis de datos. 3

9 1. CONCEPTOS GENERALES DE ESTADÍSTICAS Esta palabra derivada de Staat, que sigifica gobiero, su fudador la defiió como "el coocimieto profudo de la situació respectiva y comparativa de cada estado". Coocemos que desde la más remota atigüedad el cocepto de estadística se idetificó co el de "ciecia de los úmeros y de las figuras". Muchos la llama como "la represetació del pesamieto cietífico", puesto que se basa e la ivestigació para llegar a coclusioes, aálisis, iterpretacioes, abstraccioes, deduccioes, etc. Pero tambié la cocebimos como ua ciecia auxiliar de otras disciplias, si su aplicació o podríamos orietar muchos aspectos. Es decir es el hilo coductor e todos los campos. Todos los días experimetamos, maipulamos símbolos y palabras. Hasta emitimos juicios de valor que seguro se basa e algo para ua iformació cualquiera; pero para ua iformació estadística debemos estar ligados al método estadístico, e su forma, orgaizació, recopilació, presetació y aálisis de datos. Al respecto a cotiuació realizamos alguas defiicioes de Estadística: La Estadística es ua ciecia que os proporcioa u método importate para la toma de decisioes y resolver problemas e forma sistemática y reproducible, a diferecia de otros métodos que difícilmete puede ser explicados o reproducidos hasta por la misma persoa que lo ejecuta. Por lo aterior es importate aalizar deteidamete cada uo de los coceptos e los que se fudameta ésta para lograr acercaros profudamete a su coocimieto. La estadística es ua ciecia que estudia la recolecció, aálisis e iterpretació de datos, ya sea para ayudar e la toma de decisioes o para explicar codicioes regulares o irregulares de algú feómeo o estudio aplicado, de ocurrecia e forma aleatoria o codicioal. Si embargo 4

10 estadística es más que eso, e otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacioado co la ivestigació cietífica. La estadística, e geeral, es la ciecia que trata de la recopilació, orgaizació presetació, aálisis e iterpretació de datos uméricos co el fi de realizar ua toma de decisió más efectiva. La estadística es ua ciecia que estudia la recolecció, aálisis e iterpretació de datos, ya sea para ayudar e la toma de decisioes o para explicar codicioes regulares o irregulares de algú feómeo o estudio aplicado, de ocurrecia e forma aleatoria o codicioal. Si embargo estadística es más que eso, e otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacioado co la ivestigació cietífica. Otros autores tiee defiicioes de la Estadística semejates a las ateriores, y alguos otros o ta semejates. Para Chacó esta se defie como la ciecia que tiee por objeto el estudio cuatitativo de los colectivos ; otros la defie como la expresió cuatitativa del coocimieto dispuesta e forma adecuada para el escrutiio y aálisis. La más aceptada, si embargo, es la de Míguez, que defie la Estadística como La ciecia que tiee por objeto aplicar las leyes de la catidad a los hechos sociales para medir su itesidad, deducir las leyes que los rige y hacer su predicció próxima. Los estudiates cofude comúmete los demás térmios asociados co las Estadísticas, ua cofusió que es coveiete aclarar debido a que esta palabra tiee tres sigificados: la palabra estadística, e primer térmio se usa para referirse a la iformació estadística; tambié se utiliza para referirse al cojuto de técicas y métodos que se utiliza para aalizar la iformació estadística; y el térmio estadístico, e sigular y e masculio, se refiere a ua medida derivada de ua muestra. Los métodos estadísticos tradicioalmete se utiliza para propósitos descriptivos, para orgaizar y resumir datos uméricos. La estadística 5

11 descriptiva, por ejemplo trata de la tabulació de datos, su presetació e forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas. Ahora bie, las técicas estadísticas se aplica de maera amplia e mercadotecia, cotabilidad, cotrol de calidad y e otras actividades; estudios de cosumidores; aálisis de resultados e deportes; admiistradores de istitucioes; e la educació; orgaismos políticos; médicos; y por otras persoas que iterviee e la toma de decisioes. 1.3 DIVISION DE LA ESTADISTICA La estadística se divide e dos grades áreas: La estadística descriptiva, se dedica a la descripció, visualizació y resume de datos origiados a partir de los feómeos de estudio. Los datos puede ser resumidos umérica o gráficamete. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos so: la media y la desviació estádar. Alguos ejemplos gráficos so: histograma, pirámide poblacioal, clústers, etre otros. La estadística iferecial, se dedica a la geeració de los modelos, iferecias y prediccioes asociadas a los feómeos e cuestió teiedo e cueta la aleatoriedad de las observacioes. Se usa para modelar patroes e los datos y extraer iferecias acerca de la població bajo estudio. Estas iferecias puede tomar la forma de respuestas a pregutas si/o (prueba de hipótesis), estimacioes de características uméricas observacioes, (estimació), descripcioes de proósticos asociació de futuras (correlació) o modelamieto de relacioes etre variables (aálisis de regresió). Otras técicas de modelamieto icluye aova, series de tiempo y miería de datos. 6

12 POBLACIÓN (N).- Cojuto de idividuos, objetos, o feómeos a observar y que tiee algua característica e comú y que so motivo de ua ivestigació. Por ejemplo: Habitates del Ecuador, Las aves de uestro archipiélago. Uiverso de lagos. La població puede ser fiita o ifiita: E los ejemplos ateriores. Cuál es fiito y cual ejemplo perteece a ua població ifiita? MUESTRA ().- Es el subcojuto de ua població, es u pequeño uiverso. Se la usa cuado la població es ifiita o sumamete grade y es imposible observar todos sus elemetos. Ejemplo: Estatura de los empleados de ua fábrica. Calificacioes de los alumos matriculados e Estadística e la Modalidad de Estudios a Distacia ELEMENTO (e).- Se deomia a cada itegrate de la població o muestra. E estadística u elemeto puede ser algo co existecia real. Por ejemplo: u automóvil, o algo más abstracto, como u voto, la temperatura, el tiempo. Tambié puede ser uidades aturales: obreros, turistas, empleados, emigrates, etc. PARÁMETRO.- Cojuto de características (resultados), o valores uméricos cuado se ha obteido a partir de ua població. Ejemplo: Edad promedio de los alumos de la UNIVERSIDAD ESTADÍSTICO.- Cojuto de características (resultados) cuado se ha obteido a partir de ua muestra. Ejemplo: Alcaldes de la ciudad de GUAYAQUIL. DATOS.- So medidas, valores, o variables, o características susceptibles de ser observados y cotados. 7

13 DATO ESTADÍSTICO:.- Iformació umérica o cuatitativa que cumple ciertos requisitos (u dato aislado que o se itegra o que o muestra relació sigificativa co otro, o es dato estadístico). VARIABLE ESTADÍSTICA.- Es el objeto e estudio de ua determiada població. La misma que puede ser cualitativa y cuatitativa. VARIABLE CUALITATIVA.- Cuado las variables se expresa mediate ua cualidad o característica. Aquellas que o se puede medir. Ejemplo: Color de los ojos de u determiado sector. El sexo de los miembros de ua familia. VARIABLE CUANTITATIVA.- Todo aquello que se puede medir o expresar mediate úmeros. Ejemplo: Número de Diputados del Ecuador. Profesores de la U.T.P.L. Ua variable cuatitativa puede ser: discreta y cotiua. VARIABLE DISCRETA.- Cuado toma valores eteros ( o toma valores etre dos úmeros eteros). Ejemplo: Alumos de la carrera de Comuicació social. Edad e años de los alumos. VARIABLE CONTINUA.- Cuado puede tomar valores itermedios etre dos úmeros eteros cosecutivos. Ejemplo: El peso, el sueldo. 1.4 LINEAMIENTOS PARA LA PRESENTACIÓN DE CUADROS ESTADÍSTICOS La iformació que se muestra e ua publicació estadística deberá cotar co ciertas características que refleje la realidad que se pretede medir. Debe etederse por iformació al cojuto de datos obteidos a través de la medició, cuatificació y registro de los feómeos y hechos demográficos, 8

14 sociales y ecoómicos que sucede e u espacio y tiempo determiados. Es bueo recordar que esta iformació puede ser usada como u istrumeto básico para la plaeació y la toma de decisioes, soporte para la ivestigació o para el coocimieto e geeral, por lo que debe cumplir las siguietes características: a) Sigificació coceptual.- El cocepto a cuatificar debe estar defiido co claridad y precisió e el documeto. b) Veracidad.- El dato, objeto de cuatificació, deberá ser obteido directamete de las uidades geeradoras de iformació y debe reflejar la realidad que pretede cuatificar, coforme a u marco coceptual y metodológico previamete defiido y validado. c) Comparabilidad.- Idepedietemete de las fuetes que geera la estadística, los resultados que se obtega debe ser cogruetes etre ellos ya que su medició se debe despreder de esquemas coceptuales homogéeos; si o es así, debe existir otas aclaratorias. d) Oportuidad.- El tiempo etre el suceso, el registro del dato y la difusió de la iformació, debe ser el míimo posible, a fi de que esta o pierda vigecia respecto de la realidad que describe o explica. e) Itegralidad.- Los cuadros co iformació estadística debe coteer todos los elemetos básicos para facilitar su cosulta e iterpretació, relació precisa etre cifras y coceptos, uso de totales, icorporació de otas y llamadas técicas y utilizació de simbología homogéea. f) Criterios específicos para el maejo de los datos.- Parte importate de las características de la iformació la costituye los criterios que debe ser utilizados e la itegració y presetació de los datos estadísticos para obteer los resultados deseados. Los criterios específicos de los datos so aquellos que tiee que cumplirse para obteer trabajos homogéeos que facilite la compresió de la iformació por parte de los usuarios. Ejemplos: l Las cifras egativas debe teer el sigo "meos" y o parétesis. l Las cifras debe ser separadas e miles mediate u espacio. l Las llamadas de explicació debe ser colocadas siempre a la derecha de la palabra. 9

15 1.5 COBERTURA TEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA La itegració y publicació de iformació estadística referida a los diversos ámbitos, sobre aspectos geográficos, sociales y ecoómicos tiee como propósito orietar accioes e idetificar los problemas básicos que requiere ateció y solució. Bajo esta perspectiva, la iformació estadística que los orgaismos públicos itegre o geere estará orietada a la siguiete cobertura temática, co la fialidad de maejar esquemas coceptuales comues: Estadísticas geográficas.- Se refiere a las características geerales del medio físico a través de mapas y cuadros co datos geográficos básicos. Estadísticas socio demográficas.- Correspode a iformació relacioada co la població. Comprede apartados como demografía, empleo y previsió social, salud, educació, seguridad y orde público, etre otros, así como estadísticas sociales derivadas como pobreza, utrició, hábitat, codicioes de vida, etc. Estadísticas ecoómicas.- Comprede iformació relacioada co el proceso de producció de biees y servicios y de aquella que tiee algú tipo de relació co dicho proceso (isumos, persoal ocupado, iversió, crédito, etc.). Geeralmete costa de tres sectores ecoómicos: extractivo (sector primario), trasformació (sector secudaria) y servicios (sector terciario), los que a su vez se desagrega e ramas de actividad que debe seguir el orde de la clasificació de actividades vigete e el país. El cojuto de datos de esta temática está orietado a mostrar u paorama global del aparato productivo del país. Comprede tambié estudios trasversales a varias actividades ecoómicas tales como el turismo y medio ambiete. Detro de este grupo, tambié se muestra las estadísticas ecoómicas derivadas, tales como las relacioadas a las cuetas acioales, precios, fiazas públicas, sector fiaciero y cuetas co el exterior, etc. 1.6 CONTENIDO DE LA PUBLICACIÓN ESTADÍSTICA Para elaborar ua publicació estadística debe cosiderarse lo siguiete: Diseño de págias.- Al diseñar u cuadro se debe teer presete el área de impresió de la págia, para que sea aprovechado totalmete, procurado que 10

16 o quede recargado i escaso de iformació. Depediedo del volume de datos que cotiee el cuadro estadístico, e ua págia puede icluirse u solo Cuadro. Asimismo puede presetarse u cuadro y u gráfico que destaque los datos de mayor impacto del feómeo que preseta el cuadro. Tambié puede presetarse dos cuadros o icluirse cometarios. Numeració de cuadros.- Si hay varios cuadros e u capítulo, cada cuadro debe presetar el úmero del capítulo seguido de u puto y el úmero ascedete correspodiete. La umeració se aotará e el extremo superior izquierdo, e el mismo lugar del ombre del cuadro. Cuado el cuadro se fraccioe, la umeració aparecerá e cada ua de sus partes, acompañado del título. Presetació e itroducció.- La presetació debe mecioar, breve y claramete, cuál es el propósito y fudameto de la publicació. Ua gra parte de la presetació debe escribirse e tiempo presete. Se sugiere las siguietes reglas que debe observar ua presetació: Presetar el título del documeto y si es ecesario la atribució ormativa de la istitució para elaborarlo. Breve resume del método o forma de recopilació de la iformació. El propósito u objetivo de la publicació. Opcioalmete, puede mecioarse el agradecimieto a las etidades o persoas que proporcioaro iformació. La itroducció cosiste e la descripció del coteido de la publicació, coceptos y defiicioes utilizados, grado de cofiaza de los datos, omisioes advertidas e las series, procedimietos empleados e las ivestigacioes y otros asutos de iterés para la correcta iterpretació de las cifras. Tambié, de ser el caso, mecioa cualquier cambio e la metodología y cobertura geográfica respecto a publicacioes ateriores. Ídice.- El ídice cotempla todas las partes de la publicació, que comprede la lista de capítulos y subcapítulos del documeto. Cotiee tambié la lista de aexos. Abreviaturas, sigos y símbolos.- Es coveiete dispoer de las abreviaturas, sigos y símbolos covecioales que se aplica e toda la publicació. 11

17 Coceptos, defiicioes, otas explicativas y cometarios: Al iicio de la publicació o de cada subdivisió de la misma, geeralmete se icluye coceptos y defiicioes, otas explicativas o cometarios referetes a los cuadros que se publica. Cuadros, gráficos y mapas Después de las otas explicativas o cometarios se coloca los cuadros, gráficos y e alguas ocasioes, mapas. Aexos E los aexos se icluye iformació que, por su volume, se adjuta a fi de que sirva de material de cosulta como por ejemplo: diseño muestral, ormas legales, formatos, códigos o clasificacioes, tablas de coversió, directorios y otros. Créditos E este acápite se cosiderará el ombre y oficia de las persoas que participaro e la elaboració del documeto, segú el grado de resposabilidad que haya teido durate el proceso. 1.7 NOTACIÓN DE SUMA E la operació de adició o suma, se preseta co frecuecia e la estadística el símbolo (sigma) para deotar tomar la suma de. A cotiuació se preseta u ejemplo dode se tiee u cojuto de valores para algua variable X. X i, esta expresió idica que estos valores debe sumarse. Por cosiguiete: X i X 1 X X 3... X Ejemplo Se ecuetra cico observacioes para la variable X : X 1, X 0, X 3 1, X 4 5 y X 5 7.Por lo tato: 1

18 5 X i X 1 X X 3 X 4 X 5 0 ( 1) E estadística os vemos ivolucrados muy a meudo co la suma de los valores al cuadrado de ua variable. Por lo tato. X i X 1 X X 3... X 5 i i 0 X 0 X 1 1 Y e uestro ejemplo, teemos: ( 1 ) 5 X 49 X X 4 X 5 Se debe observar, aquí que X igual a XI X Xi i, la sumatoria de los cuadrados o es, el cuadrado de la suma, esto es i E uestro ejemplo, la sumatoria de los cuadrados es igual a 79. Esto o es igual al cuadrado de la suma, cuyo resultado es Otra operació que se utiliza co frecuecia implica la sumatoria del producto. Esto es, supoiedo que teemos dos variables, X y Y, cada ua co observacioes. Etoces, XY i i X 1Y1 X Y X 3Y3... X Y Cotiuado co el ejemplo aterior, supoiedo que tambié se tiee ua seguda variable Y cuyos valores so Y1 1, Y 3, Y3, Y4 4 y Y Etoces,

19 5 X Y i i X 1Y1 X Y X 3Y3 X 4Y4 X 5Y5 ()(1) (0)(3) ( 1)( ) (5)( 4) (7)(3) Al calcular X Y debemos tomar e cueta que el primer valor de X por i i el primer valor de Y más el segudo valor de X por el segudo de Y, y así sucesivamete. Estos productos cruzados luego se suma co el propósito de obteer el resultado deseado. Si embargo, debemos observar e este puto que la sumatoria de productos cruzados o es igual al producto de las sumas idividuales, es decir; X Y X i Yi i i 5 E uestro ejemplo, X i 13 y 5 5 X i Yi (13)(9) Y i 1 3 ( ) de modo que. Esto o es lo mismo que X Y i i, que es igual a 45. Ates de estudiar las cuatro reglas básicas para efectuar operacioes co otació sigma, será de ayuda presetar los valores de cada ua de las cico observacioes de X y de Y e forma de tabla: 14

20 Observació Xi Yi X i 13 Y i 9 Regla 1: La sumatoria de los valores de dos variables es igual a la suma de los valores de cada variable sumada. X i Yi X i Yi E uestro ejemplo: 5 X i Yi ( 1) (0 3) ( 1 ( )) (5 4) (7 3) 3 3 ( 3) X i Yi 13 9 Regla : La sumatoria de ua diferecia etre los valores de dos variables es igual a la diferecia etre los valores sumados de las variables. 15

21 ( X i Yi ) X i Yi Por cosiguiete, e uestro ejemplo, 5 X Yi ( 1) (0 3) ( 1 ( )) (5 4) (7 3) i 1 ( 3) X i Yi Regla 3: La sumatoria de ua costate por ua variable es igual a la costate que multiplica a la sumatoria de los valores de la variable. cx i c X i E la que c es ua costate. Por tato, e uestro ejemplo, c = 5 cx 5 i X i ()() ()(0) ()( 1) ()(5) ()(7) 4 0 ( ) X i ()(13) 6 Regla 4: Ua costate sumada veces será igual a veces al valor de la costate. c c 16

22 E la que c es ua costate. Así pues, si la costate c = se suma cico 7 c 1 i ((7 ) 1) * () 1 5 c 10 E el caso de veces tedremos: (5 )( ) 10 i 1 que etoces = (valor fial - valor iicial)+ 1 Para ilustrar cómo se utiliza las reglas de la sumatoria, podemos mostrar ua de las propiedades matemáticas perteecietes al promedio o media aritmética X X 0 i Esta propiedad establece que la sumatoria de las diferecias etre cada observació y la media aritmética es cero. Esto se puede probar matemáticamete de la siguiete maera: 1.- De la ecuació : x X i Así pues, utilizado la regla de la sumatoria, teemos: X i X Xi X.- Puesto que, para cualquier cojuto fijo de datos, X Puede ser cosiderada como ua costate, de la regla 4 de la sumatoria teemos: X X X Por cosiguiete, i X X 17 i X

23 3.- Si embargo, de la ecuació (4.1), puesto que: X X i después X X i X Por cosiguiete, i X Xi Xi De esta maera se ha demostrado que: X i X 0 PROBLEMA Supoiedo que se tiee seis observacioes de las variables X y Y tales que X 1, X 1, X 3 5, X 4 3, X 5 1, X 6 yy1 4, Y 0, Y3 1, Y4, Y5 7, Y6 3 Calcule cada ua de las siguietes sumatorias. 6 6 a) X i b) Yi 6 d) Yi 6 c) X i 6 6 f) X i Yi e) X iyi 6 X 6 g) X i Yi h) 18 i 3Yi X i

24 CAPITULO II.1 PRESENTACIONES DE LAS TABLAS: Ua tabla es u cuadro que cosiste e la disposició cojuta, ordeada y ormalmete totalizada, de las sumas o frecuecias totales obteidos e la tabulació de los datos, referetes a las categorías o dimesioes de ua variable o de varias variables relacioadas etre sí. Las tablas sistematiza los resultados cuatitativos y ofrece ua visió umérica, sitética y global del feómeo observado y de las relacioes etre sus diversas características o variables. E ella, culmia y se cocreta defiitivamete la fase clasificatoria de la ivestigació cuatitativa.. TIPOS DE TABLAS DE FRECUENCIA Los tipos de tablas so: Tabla de etrada de datos: Es ua tabla e la cual solo aparece los datos que se obtuviero de la ivestigació cietífica o del experimeto. Es la tabla más secilla y se utiliza cuado o se ecesita mayor iformació acerca de los datos, estas tablas se costruye por medio de la tabulació de los datos, este procedimieto es relativamete secillo, para realizarlo os ocupamos de u cojuto de datos estadísticos obteidos al registrar los resultados de ua serie de repeticioes de algú experimeto u observació aleatoria, supoiedo que las repeticioes so mutuamete idepedietes y se realiza e codicioes uiformes, es importate decir que el resultado de cada observació puede expresarse de forma umérica, para este tipo de tablas de etrada de datos se puede trabajar co ua ó mas variables, de maera que uestro material estadístico cosiste e valores observados de la variable Xj. Los valores observados se suele registrar, e primer lugar e ua lista, si él umero de observacioes o excede de 0 ó 30, estos datos se registra e orde creciete de magitud. Co los datos de esta tabla puede hacerse diversas represetacioes gráficas y calcularse determiadas características uméricas como la media, la mediaa, etc. 19

25 EJ: Agrupar e ua tabla de datos 10, 1, 6, 9,, 5, 7, 4, 3, 8 X Tablas de frecuecias: Ua tabla de frecuecia esta formada por las categorías o valores de ua variable y sus frecuecias correspodietes. Esta tabla es lo mismo que ua distribució de frecuecias. Esta tabla se crea por medio de la tabulació y agrupació, la cual es u método secillo como lo habíamos empezado a ver e la tabla de datos, Se realiza el mismo procedimieto de tabulació ateriormete descrito si el umero de valores observados para la variable, se trabaja co ua sola variable, descotado los repetidos so pequeños, si existe repetidos la frecuecia f es el umero de repeticioes de u valor de X dado, Si embargo, cuado el cojuto de datos es mayor, resulta laborioso trabajar directamete co los valores idividuales observados y etoces se lleva a cabo, por lo geeral, algú tipo de agrupació como paso prelimiar, ates de iiciar cualquier otro tratamieto de los datos. Las reglas para proceder a la agrupació so diferetes segú sea la variable, discreta o cotiua, para ua variable discreta suele resultar coveiete hacer ua tabla e cuya primera columa figure todos los valores de la variable X represetados e el material, y e la seguda, la frecuecia f co que ha aparecido cada valor de X e las observacioes. Para ua variable cotiua, el procedimieto de agrupació es algo más complicado. Se toma u itervalo adecuado sobre el eje de la variable que cotega los valores observados, y divídase el itervalo e cierto umero de itervalos de clase. Todas las observacioes que perteece al mismo itervalo de clase se agrupa y cueta, y él umero que resulte represeta la frecuecia de clase correspodiete a dicho itervalo, luego se forma ua tabla, e cuya primera columa figura los limites de cada itervalo de clase, y e la seguda aparece las correspodietes frecuecias. 0

26 Estas clases de tablas so las mas usadas y brida mayor iformació de los datos que las tablas de etradas de datos, efectivamete, ua tabla de este tipo dará e forma abreviada, ua iformació completa acerca de la distribució de los valores observados. Co estas se puede utilizar mas a fodo los métodos gráficos al igual que los métodos aritméticos. Ej.: Agrupar e ua tabla 1, 1,,,,, 3, 3, 3, 4, 5 X F S 11 Agrupar e ua tabla las siguietes estaturas: 160, 168, 175, 183, 170, 164, 170, 184, 171, 168, 187, 161, 183, 175, 185, 186, 187, 164, 165, 175, 16, 188, 169, 163, 166, 17, 173, 167, 174, 176, 178, 179, 177 X F

27 S 33 Tablas de doble etrada: Tambié llamadas tablas de cotigecias, so aquellas tablas de datos referetes a dos variables, formada, e las cabeceras de las filas, por las categorías o valores de ua variable y e las de las columas por los de la otra, y e las casillas de la tabla, por las frecuecias o umero de elemetos que reúe a la vez las dos categorías o valores de las dos variables que se cruza e cada casilla. Para la tabulació de u material agrupado de observacioes simultaeas de dos variables aleatorias ecesitaremos ua tabla descrita como ateriormete lo describimos, las reglas para agrupar so las mismas que e el caso de ua sola variable. Este tipo de tablas brida iformació estadística de dos evetos relacioados etre sí, es útil e casos e los cuales los experimetos so depedietes de otro experimeto, mas adelate aparece más aplicacioes del aálisis estadístico. Ej.: T1/T SÍ NO SÍ 1 NO

28 CAPITULO III REPRESENTACIONES GRAFICOS 3.1 U diagrama es ua especie de esquemático, formado por líeas, figuras, mapas, utilizado para represetar, bie datos estadísticos a escala o segú ua cierta proporció, o bie los elemetos de u sistema, las etapas de u proceso y las divisioes o subdivisioes de ua clasificació. Etre las fucioes que cumple los diagramas se puede señalar las siguietes: Hace más visibles los datos, sistemas y procesos Poe de maifiesto sus variacioes y su evolució histórica o espacial. Puede evideciar las relacioes etre los diversos elemetos de u sistema o de u proceso y represetar la correlació etre dos o más variables. Sistematiza y sitetiza los datos, sistemas y procesos. Aclara y complemeta las tablas y las exposicioes teóricas o cuatitativas. El estudio de su disposició y de las relacioes que muestra puede sugerir hipótesis uevas. Alguos de los diagramas más importates so el diagrama e árbol, diagrama de áreas o superficies, diagrama de badas, diagrama de barras, diagrama de bloques, diagrama circular, diagrama circular polar, diagrama de putos, diagrama de tallo y hoja diagrama, histogramas y otros. 3. GRÁFICOS DE PUNTOS: Es ua variació del diagrama lieal simple el cual esta formado por líeas rectas o curvas, que resulta de la represetació, e u eje de coordeadas, de distribucioes de frecuecias, este costruye colocado e el eje x los valores correspodietes a la variable y e el eje de las ordeadas el valor correspodiete a la frecuecia para este valor. Proporcioa pricipalmete iformació co respecto a las frecuecias. Este se usa cuado solo se ecesita iformació sobre la frecuecia. Cuado la muestra se agrupa por itervalos se trabaja co la marca de clase del itervalo de clase, la marca de clase es el puto medio del itervalo 3

29 EJ: Duració de tubos de eó X(horas) Xm F S GRÁFICOS DE TALLO Y HOJA Es ua forma rápida de obteer ua represetació visual ilustrativa del cojuto de datos, para costruir u diagrama de tallo y hoja primero se debe seleccioar uo ó más dígitos iiciales para los valores de tallo, el dígito o dígitos fiales se covierte e hojas, luego se hace ua lista de valores de tallo e ua columa vertical. Prosiguiedo a registrar la hoja por cada observació juto al valor correspodiete de tallo, fialmete se idica las 4

30 uidades de tallos y hojas e algú lugar del diagrama, este se usa para listas grades y es u método resumido de mostrar los datos, posee la desvetaja que o proporcioa sio los datos, y o aparece por igú lado iformació sobre frecuecias y demás datos importates. 3.4 DIAGRAMAS DE BARRAS Nombre que recibe el diagrama utilizado para represetar gráficamete distribucioes discretas de frecuecias o agrupadas. Se llama así porque las frecuecias de cada categoría de la distribució se hace figurar por trazos o columas de logitud proporcioal, separados uos de otros. Existe tres pricipales clases de gráficos de barras: Barra simple: se emplea para graficar hechos úicos Barras múltiples: es muy recomedable para comprar ua serie estadística co otra, para ello emplea barras simples se distito color o tramado e u mismo plao cartesiao, ua al lado de la otra Barras compuestas: e este método de graficacio las barras de la seguda serie se coloca ecima de las barras de la primera serie e forma respectiva. El diagrama de barras proporcioa iformació comparativa pricipalmete y este es su uso pricipal, este diagrama tambié muestra la iformació referete a las frecuecias Ej: CIUDAD TEMPERATURA A 1 B 18 C 4 5

31 TIENDA Eero Febrero Marzo abril mayo Juio A B

32 3.5 OTROS TIPOS DE GRAFICAS Para apreciar a golpe de vista la magitud o posició de las variables, se suele efectuar ua represetació gráfica, los sistemas de gráficos más usuales so: Diagrama de sectores El área de cada sector es proporcioal a la frecuecia que se quiera represetar, sea absoluta o relativa. Para calcularlo podemos decir que el área depede del águlo cetral, mediate la siguiete proporció: i/n= /360 Como resulta i /N = fi, tedremos que f i * 360 Este diagrama se utiliza para cualquier tipo de variable Histograma.- Es ua represetació gráfica de ua variable e forma de barras, dode la superficie de cada barra es proporcioal a la frecuecia de los valores represetados. E el eje vertical se represeta las frecuecias, y e el eje horizotal los valores de las variables, ormalmete señalado las marcas de clase, es decir, la mitad del itervalo e el que está agrupados los datos. Se utiliza cuado se estudia ua variable cotiua, como frajas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupa e clases, es decir, valores cotiuos. E los casos e los que los datos so cualitativos (o-uméricos), como sexto grado de acuerdo o ivel de estudios, es preferible u diagrama de sectores. 7

33 Los histogramas so más frecuetes e ciecias sociales, humaas y ecoómicas que e ciecias aturales y exactas. Y permite la comparació de los resultados de u proceso. Ejemplo: Marca de clase o valor medio Se determia calculado el promedio etre los límites iferior y superior. La marca de clase represeta a todos los datos perteecietes al itervalo de clase correspodiete Diagrama de escalera: se utiliza para frecuecias acumuladas. 8

34 Pictograma: se suele utilizar para expresar u atributo. Se suele utilizar icoos que se idetifique co la variable (ejemplo u coche) y su tamaño suele guardar relació co la frecuecia. Es u gráfico co dibujos alusivos al carácter que se está estudiado y cuyo tamaño es proporcioal a la frecuecia que represeta; dicha frecuecia se suele idicar. EJEMPLO: E qué mes se plataro meos árboles?, y e cuál se hiciero más platacioes? Cartograma se represeta mediate u diagrama covecioal isertado e u mapa geográfico de ua zoa. Por ejemplo e u mapa de la Comuidad 9

35 Valeciaa se puede utilizar el diagrama de tartas para represetar la producció idustrial, agrícola etc. Polígoo de frecuecias, es la recta que ue los extremos de las variables de ua distribució, u ejemplo clásico es el de la evolució de la temperatura de u paciete x1 x x3 x4 x5 Nota: Si la variable es cualitativa (rubio, moreo, alto bajo, etc.) se suele utilizar más los diagramas de sectores o pictogramas Para realizar el polígoo uimos los putos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma. Si la variable es cuatitativa podemos teer dos casos: Variable discreta o variable cotiua. 30

36 E el primer caso: variable discreta utilizaremos si o pide ada cocreto, el diagrama de barras cuado se refiera a la represetació gráfica de la frecuecia absoluta (i) x1 x x3 x4 x5 E cambio cuado os estemos refiriedo a la frecuecia absoluta acumulada optaremos por el diagrama de escalera E el segudo caso: la variable cotiua, optaremos por el histograma para las frecuecias absolutas y por el polígoo de frecuecias e el caso de la frecuecia acumulada. Diagramas de caja: los pasos para costruirlo so los siguietes: dibujar y marcar u eje de medida horizotal costruir u rectágulo cuyo borde izquierdo esta arriba del cuarto iferior y cuyo borde derecho esta arriba del cuarto superior dibujar u segmeto de recta vertical detro de la caja arriba de la mediaa prologar rectas desde cada extremo de la caja hasta las observacioes más lejaas que esté todavía a meos de 1.5fs de los bordes correspodietes dibujar u circulo abierto para idetificar cada observació que caiga etre 1.5fs y 3fs del borde al cual esta más cercao estas se llama putos iusuales suaves 31

37 dibujar u circulo de líea llea para idetificar cada observació que caiga a mas de 3fs del borde más cercao, estas se llama putos iusuales extremos. dode fs= cuarto superior cuarto iferior Polígoo: Hace evidete la forma de la distribució de frecuecias de los datos. Solo represeta datos cuatitativos. Es ua gráfica de putos y líeas. Relacioa las marcas de clase co sus frecuecias o frecuecias relativas. Como el área total de las barras del histograma debe mateerse igual al área debajo del polígoo, el polígoo empieza e ua marca de clase aterior y termia e ua marca de clase posterior a las de la tabla de frecuecias. Ojiva: Equivale a los polígoos de frecuecia acumulada. Relacioa las froteras iferiores co los valores acumulados de frecuecia. Su aplicació se cocreta a respoder pregutas como: qué proporció acumulada le correspode a este dato?, Qué dato correspode a esta proporció acumulada?. Hay dos criterios para costruir ojivas: 1) Ojiva "Meor que": " cuátas observacioes so meores que esta frotera?". Es ua curva creciete que empieza e frecuecia cero y termia e el total de observacioes. ) Ojiva "O más": " cuátas observacioes hay iguales o mayores a esta froteras?". Es ua curva decreciete que empieza e el total de observacioes y termia e cero. Pirámide de població.- Depediedo de la iformació que estemos estudiado, se puede utilizar otros tipos de gráficos. Uo de ellos es por ejemplo, la pirámide de població. Sirve para aalizar cómo va evolucioado (co respecto a su edad) ua població determiada. Cosiste e dos diagramas de barras, uo de ellos para represetar los datos de los hombres y el otro para los de las mujeres, pero dispuestos de forma horizotal y por edades. 3

38 Climograma.- U caso particular de aplicació de los histogramas y los polígoos de frecuecias es el climograma, que represeta la marcha aual de las temperaturas y de las lluvias medias, sobre u mismo sistema de coordeadas: 33

39 Cuál es el mes meos lluviso?, y el más caluroso? Los cartogramas.-so gráficos realizados sobre mapas, e los que aparece idicados sobre las distitas zoas catidades o colores de acuerdo co el carácter que represeta. Tambié se represeta mediate u diagrama covecioal isertado e u mapa geográfico de ua zoa. Por ejemplo e u mapa de la Comuidad Valeciaa se puede utilizar el diagrama de tartas para represetar la producció idustrial, agrícola etc. E el siguiete cartograma observamos la urbaizació e el mudo atediedo a la idustrializació: 34

40 CAPITULO IV 4.1 ESCALAS DE MEDICIÓN E cuato a las escalas de medició la estadística cueta co las siguietes: Nomial; la cual se utiliza pricipalmete e los datos cualitativos y os permite maejar la iformació por su ombre, como e los casos de marcas de diferetes productos, efermedades, preferecias, etc. Ordial; aquella que utilizamos cuado ecesitamos establecer orde etre las diferecias de la població y sus datos so cualitativos, por ejemplo, escalas de calidad (mala, regular, buea, muy buea), escalas de gusto (mu y sabrosa, sabrosa, agradable, desagradable, muy desagradable), etc. Itervalo; Se utiliza pricipalmete e datos cuatitativos y es ua escala que o cueta co u cero absoluto o co u istrumeto estadarizado, por ejemplo, la temperatura se puede medir e grados cetígrados, Fahreheit y kelvi detro de las cuales los grados cetígrados o cueta co u cero absoluto debido a que se basa e el puto de ebullició del agua, el cuál es variable e diferetes altitudes, los Fahreheit que tampoco cueta co u cero absoluto, ya que este tambié cambia co las altitudes co respecto al ivel del mar, debido a que se susteta e el puto de cogelació del agua y los kelvi que si cueta co u cero absoluto ya que queda establecido al vacío fuera de las diferecias provocadas por la altitud, otro ejemplo sería el utilizar ua cuerda co udos para determiar ua Distacia o u volume co vasija de barro, ya que al itetar comprobar esta distacia o este volume debemos cotar co la misma cuerda o co la misma vasija. Razó; Básicamete utilizada e datos cuatitativos que puede ser medidos co istrumetos estadarizados o co u cero absoluto como por ejemplo ua distacia medida e kilómetros, u volume medido e cetímetros cúbicos, vetas medidas e pesos, etc. 35

41 4. SITUACIONES DE LAS ESCALAS DE MEDICIÓN Situacio 1,es ua escala e que se establece u úmero determiado de clases o categorías de tal modo que cada elemeto de la població perteece a ua y sólo ua clase. Matemáticamete se dice que se ha establecido ua relació de equivalecia etre los elemetos de la població. Si sólo existe dos clases se deomia escala dicotómica. La úica operació matemática que se puede realizar co las clases de cualquier escala omial es determiar las catidades de elemetos que les correspode determiar sus frecuecias. Por ejemplo: Sexo: las clases so masculio o femeio. Especialidad: las diferetes especialidades (carreras) del CRUSAM. Número de cedula de idetidad persoal. Temperatura de ua persoa: saguíeo, flemático, melacólico, colérico. Número de placa de automóviles del país. a.-escala Nomial: Correspode a la Situació 1, es decir, es ua escala e que se establece u úmero determiado de clases o categorías de tal modo que cada elemeto de la població perteece a ua y sólo ua clase. Matemáticamete se dice que se ha establecido ua relació de equivalecia etre los elemetos de la població. Si sólo existe dos clases se deomia escala dicotómica. La úica operació matemática que se puede realizar co las clases de cualquier escala omial es determiar las catidades de elemetos que les correspode determiar sus frecuecias. Por ejemplo: Sexo: las clases so masculio o femeio. Especialidad: las diferetes especialidades (carreras) del CRUSAM. Número de cedula de idetidad persoal. Temperatura de ua persoa: saguíeo, flemático, melacólico, colérico. 36

42 Número de placa de automóviles del país. b.- Escala Ordial: Correspode a la Situació. Es ua escala omial etre cuyas clases está defiido u orde, de modo que cualquiera que sea dos de ellas, ua será mayor o superior, e algú setido, que la otra. Por ejemplo: Evaluacioes e u exame: 5, 4, 3 y. Grado de satisfacció de ua ecesidad: alto, medio, bajo Coocimieto de u idioma: excelete, bie, regular, mal c.- Escala de Itervalos: Correspode a la situació 3 y o es más que ua escala ordial co ua distacia, ua uidad de medida etre sus clases de modo tal que dado dos putajes cualesquiera se puede saber cua distate está uo del otro. La uidad de medida es arbitraria, pero comú y el puto de iicio (cero) es tambié arbitrario. Cuado se tiee ua escala de itervalo se puede realizar las operacioes de adició y sustracció, pero o ecesariamete la multiplicació y divisió detro de la escala. Por ejemplo: La temperatura del aire. (caluroso, fresco, agradable, etc.) d.- Escala de Razoes: Correspode a la situació 4 y es ua escala de itervalos dode existe u cero absoluto que marca la ausecia total del atributo e estudio. La proporció etre los atributos de dos idividuos cualesquiera es idepediete de la escala de medida utilizada. E ella la razó etre dos clases (putajes) cualesquiera permaece ivariable ate toda la trasformació de la escala de razó, o sea 37

43 ate toda trasformació del tipo y=φ(x). De aquí que siempre el cero de la escala trasformada coicide co el cero de la escala origial. E las escalas de razoes es posible realizar todas las operacioes aritméticas co los putajes. Por ejemplo: Estatura de los alumos: la estatura e metros es proporcioal a la estatura e pulgadas. 4.3 Peso de los alumos: (e libras o kilogramos) El tiempo ivertido e ua prueba de velocidad e educació física TIPOS DE VARIABLES Para poder realizar ua estadística tambié es ecesario idetificar la aturaleza de los datos que coforma a la població, co el objeto de establecer las variables que se debe maejar, pudiedo ecotraros co datos cuatitativos y datos cualitativos. Los datos cuatitativos so aquellos que resulta de ua medida o de u coteo por lo que los podemos difereciar e cotiuos y e discretos respectivamete, es decir, que se puede obteer datos cuatitativos que debido a u istrumeto podemos especificar valores eteros y decimales de tal forma que sus diferecias será establecidas depediedo de la exactitud del istrumeto al medir distacias, volúmees, superficies, etc. y otros datos que solo se pueda cotar, como es el caso del úmero de automóviles e circulació e cierta ciudad, úmero de empleados e ua empresa, etc. Los datos cualitativos resulta de aquellas poblacioes e las que sus elemetos o puede ser medidos debido a su aturaleza y que por lo tato solo se les puede observar atributos y diferecias. Aquí será bueo recordar cuatas veces has requerido de este tipo de iformació, ya sea, al preparar u pastel o ua bebida, al describir a u amigo o al querer explicar las características de ua ciudad a la que visitaste. 38

44 4.4 DATOS La toma de datos es la obteció de ua colecció de los mismos que o ha sido ordeados uméricamete. U ejemplo es el cojuto de alturas de 100 estudiates, sacados de ua lista alfabética de ua uiversidad. Para la toma de datos debemos teer e cueta las siguietes caracteristicas: Características o úmeros que so recolectados por observació. No so otra cosa que el producto de las observacioes efectuadas e las persoas y objetos e los cuales se produce el feómeo que queremos estudiar Los datos estadísticos puede ser clasificados e cualitativos, cuatitativos, croológicos y geográficos Datos Cualitativos: cuado los datos so cuatitativos, la diferecia etre ellos es de clase y o de catidad. Ejemplo: Si deseamos clasificar los estudiates que cursa la materia de estadística I por su estado civil, observamos que puede existir solteros, casados, divorciados, viudos. Datos cuatitativos: cuado los valores de los datos represeta diferetes magitudes, decimos que so datos cuatitativos. Ejemplo: Se clasifica los estudiates del Núcleo Sa Carlos de la UNESR de acuerdo a sus otas, observamos que los valores (ota) represeta diferetes magitudes. Datos croológicos: cuado los valores de los datos varía e diferetes istates o períodos de tiempo, los datos so recoocidos como croológicos. Ejemplo: Al registrar los promedios de otas de los Alumos del Núcleo Sa Carlos de la UNESR e los diferetes semestres. Datos geográficos: cuado los datos está referidos a ua localidad geográfica se dice que so datos geográficos. Ejemplo: El úmero de estudiates de educació superior e las distitas regioes del país 39

45 4.5 ORDENACIÓN DE LOS DATOS Ua ordeació es ua colocació de los datos uméricos tomados, e orde creciete o decreciete de magitud. La diferecia etre el mayor y el meor de los úmeros se llama recorrido o rago de los datos. Por ejemplo, si la altura mayor de los 100 estudiates es 74 pulgadas y la meor es de 60 pulgadas, el rago es = 14 pulgadas. 40

46 CAPITULO V 5.1.DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA Defiiremos como frecuecia de u dato el úmero de veces que este aparece e el colectivo; cosecuetemete, si ua variable estadística toma r valores, cada uo de los cuales puede repetirse u cierto úmero de veces, podríamos decir que el úmero de datos represetado por la variable sería N, siedo N la suma de las respectivas frecuecias de cada dato (N=ΣXi). Este valor N será deomiado como frecuecia total, mietras que la frecuecia de cada dato recibirá el ombre de frecuecia absoluta o simplemete frecuecia (fi). La frecuecia absoluta os habla del úmero de veces que u dato aparece e u colectivo, más ello o os dice demasiado e orde al establecimieto de comparacioes sobre la importacia de este dato. Para obteer ua idea de la importacia que u dato posee e el seo de u colectivo, puesto que o es suficiete cocepto de frecuecia, se utiliza el cocepto frecuecia relativa, que se defiirá como: el coeficiete etre la frecuecia absoluta del dato cosiderado y la frecuecia total (fr=fi/σxi). Para efectos prácticos, asumiremos las siguietes defiicioes de frecuecias: frecuecias absolutas: es el úmero de veces que aparece e la muestra dicho valor de la variable y se represeta por fi. frecuecias relativas: es el cociete etre la frecuecia absoluta y el tamaño de la muestra. La deotaremos por fri frecuecias absoluta acumulada: para poder calcular este tipo de frecuecias hay que teer e cueta que la variable estadística ha de ser cuatitativa o cualitativa ordeable. E otro caso o tiee mucho setido el cálculo de esta frecuecia. La frecuecia absoluta acumulada de u valor de la variable, es el úmero de veces que ha aparecido e la muestra u valor meor o igual que el de la variable y lo represetaremos por fa, se puede acumular, e la tabla estadística) e orde ascedete (fa ) o descedete (fa ). 41

47 frecuecia relativa acumulada: al igual que e el caso aterior se calcula como el cociete etre la frecuecia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra (N) y la deotaremos por fra. 5. INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE La logitud, tamaño o amplitud de u itervalo de clases (C) es la diferecia etre los limites superior e iferior (C=lim sup lim if). El Recorrido (R) es la diferecia etre el dato mayor y el meor del cojuto da datos e estudio (R=X X1) U itervalo de clase que, al meos teóricamete, o tiee límite superior o iferior, se cooce como itervalo de clase abierto. Por ejemplo, al referirse a la edad de grupos de idividuos el itervalo de clase, «mayores de 65 años» es u itervalo de clase abierto. LÍMITES REALES DE CLASES Si las alturas se registra co aproximació de pulgada, el itervalo de clase 60-6 teóricamete icluye todas las medidas desde 59, a 6,5000 pulgadas. Estos úmeros, represetados brevemete por los úmeros exactos 59,5 y 6,5, se cooce como límites reales de clase o límites verdaderos de clase; el meor de ellos, 59,5, es el límite real iferior y el mayor de ellos, 6,5, es el límite real superior. Prácticamete, los límites reales de clase se obtiee sumado al límite superior de u itervalo de clase el límite iferior del itervalo de clase cotiguo superior y dividiedo por. A veces, los límites reales de clase se utiliza para simbolizar las clases. Por ejemplo, las diferetes clases de la primera columa de la Tabla 1 podría idicarse por 59,5-6,5, 6,5-65,5, etc. Si embargo, co tal otació aparece ua ambigüedad, pues los límites reales de clase o coicidiría co las observacioes reales. Así si ua observació fuese 6,5 o sería posible discerir si perteece al itervalo de clase 59,5-6,5 o al 6,5-65,5. 4

48 5.3 TAMAÑO O ANCHURA DE UN INTERVALO DE CLASE El tamaño o achura de u itervalo de clase es la diferecia etre los límites reales de clase que lo forma y se cooce como achura de clase, tamaño de clase o logitud de clase. Si todos los itervalos de clase de ua distribució de frecuecias tiee igual achura, esta achura comú se represeta por c. E tal caso, c es igual a la diferecia etre dos sucesivos límites de clase iferiores o superiores. Marca de clase La marca de clase es el puto medio del itervalo de clase y se obtiee sumado los límites iferior y superior de la clase y dividiedo por. Así, la marca de clase del itervalo 60-6 es (60 + 6)/ = 61. La marca de clase se llama tambié puto medio de la clase. Para aálisis matemáticos posteriores, todas las observacioes perteecietes a u itervalo de clase dado se supoe coicidetes co la marca de clase. Así, todas las alturas e el itervalo de clase 60-6 pulgadas se cosiderará como de 61 pulgadas. E el caso de variables cotiuas será ecesario fijar itervalos de frecuecias para llegar a u resume efectivo de la iformació origial. A meudo es ecesario represetar ua clase, o más particularmete, u itervalo por u úico valor, este represetará a todo el itervalo y se deomiará marca de clases. Matemáticamete el puto medio de cada itervalo correspode a lo que deomiamos marca de clase, se deotará por Xi, y costituirá el valor represetativo de cada itervalo. El úmero de observacioes correspoda a cada itervalo se deomiará frecuecias absolutas. 43 que

49 Tabla #1: Variables Cotiuas Itervalos Marcas de Clases Frecuecias Absolutas (C) Xi fi X1-X X1 f1 X-X3 X f X-1-X X f Dode N = Σfi = Número de observacioes C = X X" = Amplitud del itervalo Por último, e el caso de variables o mesurables, dicha tabla adoptará ua forma como la siguiete: 44

50 Tabla #: Variable Ordiales Variable Frecuecias Característica A fa Característica B fb Característica Z fz INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE La logitud, tamaño o amplitud de u itervalo de clases (C) es la diferecia etre los limites superior e iferior (C=lim sup lim if). El Recorrido (R) es la diferecia etre el dato mayor y el meor del cojuto da datos e estudio (R=X X1) U símbolo que defie ua clase, tal como 60-6 de la tabla aterior, se cooce como itervalo de clase. Los úmeros extremos, 60 y 6, so loslímites de clase; el úmero meor 60 es el límite iferior de la clase y el mayor 6 es el límite superior. Los térmios clase e itervalo de clase se utiliza a meudo idistitamete, auque el itervalo de clase es realmete u símbolo para la clase. U itervalo de clase que, al meos teóricamete, o tiee límite superior o iferior, se cooce como itervalo de clase abierto. Por ejemplo, al referirse a la edad de grupos de idividuos el itervalo de clase, «mayores de 65 años» es u itervalo de clase abierto. 45

51 LÍMITES REALES DE CLASES Si las alturas se registra co aproximació de pulgada, el itervalo de clase 60-6 teóricamete icluye todas las medidas desde 59, a 6,5000 pulgadas. Estos úmeros, represetados brevemete por los úmeros exactos 59,5 y 6,5, se cooce como límites reales de clase o límites verdaderos de clase; el meor de ellos, 59,5, es el límite real iferior y el mayor de ellos, 6,5, es el límite real superior. Prácticamete, los límites reales de clase se obtiee sumado al límite superior de u itervalo de clase el límite iferior del itervalo de clase cotiguo superior y dividiedo por. A veces, los límites reales de clase se utiliza para simbolizar las clases. Por ejemplo, las diferetes clases de la primera columa de la Tabla 1 podría idicarse por 59,5-6,5, 6,5-65,5, etc. Si embargo, co tal otació aparece ua ambigüedad, pues los límites reales de clase o coicidiría co las observacioes reales. Así si ua observació fuese 6,5 o sería posible discerir si perteece al itervalo de clase 59,5-6,5 o al 6,5-65, REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR LAS DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS POR INTERVALOS 1. A = ( X1, X,, X ). Efectuar el arreglo ordeado (Ascedete o Descedete) de la població o muestra 3. Obteer la frecuecia absoluta mediate la tabulació o coteo de los datos (homogeizar los datos) R = (valor mayor valor meor) = X X1 Ecotrar el rago o recorrido (R) de los datos: 4. Ecotrar el úmero de clases o itervalos de clases (K). El úmero de clases debe ser tal que se evite el detalle iecesario, pero que o coduzca a la perdida de más iformació de la que puede ser 46

52 coveietemete igorada. Para este cálculo se utiliza la formula de Sturges K = (log. N) 5. Determiar la amplitud de la clase ( C ): R C = K Nota: el resultado siempre se aproxima al siguiete etero si excede al úmero etero obteido, o importa el moto de la fracció excedida al etero C = se lee "se aproxima a " 6. El dato meor (X1) será el limite iferior de la primera clase. A él se le suma C y se obtiee el limite superior de la primera clase que tambié será el limite iferior de la seguda clase. Luego se suma uevamete C y se obtiee el limite superior del segudo itervalo e iferior del tercero. Y así sucesivamete hasta que el limite superior correspoda o supere ligeramete el valor mayor ( X ), la catidad de clases obteidas deberá correspoder co el úmero K calculado mediate la formula de Sturges. 7. Ua vez costruidos los itervalos se calcula, mediate tabulació de acuerdo a los limites iferiores y superiores de las clases, las frecuecias absolutas, relativas, porcetuales y acumuladas correspodietes. 8. Co los datos obteidos se procede a costruir la tabla de distribució de frecuecia. CURVAS DE FRECUENCIAS. OJIVAS SUAVIZADAS El cojuto de datos puede cosiderarse ormalmete como perteeciete a ua muestra extraída de ua població grade. A causa de las muchas observacioes que podemos realizar e la població es posible teóricamete (para datos cotiuos) elegir los itervalos de clase muy pequeños y todavía teer u úmero adecuado de observacioes detro de cada clase. 47

53 Así se tiee que el polígoo de frecuecias o el de frecuecias relativas para ua població grade puede estar formado por muchos pequeños segmetos rectos que aproxima el cojuto a ua curva, las curvas de este tipo puede llamarse curvas de frecuecias o curvas de frecuecias relativa. Es razoable esperar que tales curvas teóricas provega de la suavizació de los polígoos de frecuecias o de los polígoos de frecuecias relativas de la muestra, la aproximació es tato más exacta coforme aumeta el tamaño de la muestra. Por esta razó ua curva de frecuecias se cooce como u polígoo de frecuecias suavizado. De ua forma aáloga las ojivas suavizadas proviee de la suavizació de los polígoos de frecuecias acumuladas u ojivas. Normalmete es más secillo suavizar ua ojiva que u polígoo de frecuecias. TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIA Las curvas de frecuecia preseta determia das formas características que les distigue como se idica e la Figura. 48

54 (a) Las curvas de frecuecia simétricas o bie formadas se caracteriza por el hecho de que las observacioes que equidista del máximo cetral tiee la misma frecuecia. U ejemplo importate es la curva ormal. (b) E las curvas de frecuecia moderadamete asimétricas o sesgadas la cola de la curva a u lado del máximo cetral es mayor que al otro lado. Si la cola mayor se preseta a la derecha de la curva se dice que ésta está sesgada a la derecha o que tiee sesgo positivo, mietras que si ocurre lo cotrario se dice que la curva está sesgada a la izquierda o que tiee u sesgo egativo. (c) E las curvas e forma de J o de J ivertida, el máximo se preseta e u extremo. (d) Las curvas de frecuecias e forma de U tiee el máximo e ambos extremos. (e) Ua curva de frecuecias bimodal tiee dos máximos. (f) Ua curva de frecuecias multimodal tiee más de dos máximos. 49

55 CAPITULO VI 6.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL El objetivo pricipal de las medidas de tedecia cetral es poder represetar por medio de u solo úmero al cojuto de datos, es decir, da valores represetativos de la distribució de frecuecias, situados e algú lugar itermedio, alrededor del cual, se ecuetra los otros valores. Nos idica dóde tiede a cocetrarse los valores. Existe tres medidas de tedecia cetral geerales, que so, la Media aritmética, la Mediaa y la Moda; así como otras que se utiliza e casos particulares como la Media poderada, la Media Armóica, la Media Geométrica, la Media Cuadrática. E este tema y los dos siguietes vamos a obteer uos úmeros que cuatifique las propiedades fudametales de la distribució de frecuecias. Estos úmeros podemos clasificarlos e: Medidas de localizació (posició). So coeficietes de tipo promedio que trata de represetar ua determiada distribució, puede ser de dos tipos: 1.-CENTRALES: Medias: Aritmética Geométrica Armóica Mediaas Moda.-NO CENTRALES: Cuatiles: Cuartiles Deciles Cetiles o percetiles 50

56 Medidas de dispersió. So complemetarias de las de posició e el setido que señala la dispersió e cojuto de todos los datos de la distribució respecto de la medida o medidas de localizació adoptadas. Medidas de dispersió absoluta: Recorrido Medidas de dispersió relativa : Recorrido itercuartílico, desviació media, variaza, desviació típica. Coeficiete de variació PEARSON. Diagrama de caja. Medidas de forma Estudia la aplastamieto) asimetríarespecto simetría de ua y deformació distribució (aputamieto, modelo deomiada distribució NORMAL Coeficiete de asimetría y coeficiete de Curtosis. Medidas de cocetració Estudia la cocetració de ua distribució frete a la uiformidad 6. TENDENCIA CENTRAL MEDIA ARITMÉTICA: Es la suma de todos los valores de la variable dividida etre el úmero total de elemetos. xi x1 x x3...x 1 x X i 1 Si el valor xi de la variable X se repite expresió de la media aritmética de la forma: 51 i veces, aparece e la

57 X x i i, que será la expresió que cosideraremos defiitiva de la media aritmética. fi Como i N otra posible expresió será X x i fi Ejemplo: Si teemos la siguiete distribució, se pide hallar la media aritmética, de los siguietes datos expresados e kg. X x i i xi i x i i ,1 kg 10 NOTA: A la media aritmética se la deomia tambié CENTRO DE GRAVEDAD de la distribució. Si la variable esta agrupada e itervalos (variable cotiua), se asiga las frecuecias a las marcas de clase y se procede como si la variable fuera discreta. E el futuro cosideraremos idistitamete ci = xi 5

58 Ejemplo: [Li-1,Li) xi = ci i c i i [30, 40) [40, 50) [50, 60) X x i i Datos No Agrupados: X= cualquier dato X X= i Número total de datos Ejemplo: Calcular la media aritmética de los úmeros 10,1,36,5,58 x Datos Agrupados: Frecuecia por la marca de clase de cualquier regló k f X= i *X i Número total de datos 53 Añadimos las columas segú las ecesidades

59 dode: k = última clase Nota: La media muestral se deota X, la media poblacioal se cooce como. Ejemplo: calcular el salario promedio de : Salario No. De emp. (X) (F) $15, $0, $5,000 9 Como x f 8 sustituimos e la formula y se obtiee: * * * $0, MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA: E ocasioes o todos los valores de la variable tiee el mismo peso. Esta importacia que asigamos a cada variable, es idepediete de la frecuecia absoluta que tega. Será como u aumeto del valor de esa variable, e tatas veces como cosideremos su peso. Es la media aritmética que se utiliza cuado a cada valor de la variable (xi) se le otorga ua poderació o peso distito de la frecuecia o repetició. Para poder calcularla se tedrá que teer e cueta las poderacioes de cada uo de los valores que tega la variable Se la suele represetar como: Xw x w w i i i i i Siedo wi la poderació de la variable xi y poderacioes. 54 w i la suma de todas las

60 Ejemplo: U estudiate realiza 3 exámees de complejidad creciete, obteiedo los siguietes resultados: 5, 8 y 7. El primer exame lo hizo e ½ hora, el segudo e 1 hora y el tercero e hora y media, por lo que se les atribuye ua poderació de 1, y 3 respectivamete. Se pide calcular la ota media. i Wi xi wi N=6 4 Xi Si calculamos la media aritmética tedremos que : X x i i ,67. 3 Ahora bie, si calculamos la media poderada, obtedremos: xw 5x1 8x 7x

61 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA PROPIEDAD 1: La suma de las desviacioes de los valores de la variable co respecto a la media aritmética es 0. Veamos que resulta al operar la siguiete expresió: ( x i X ). Tedremos que (x i X) i i x i i (x i i X i ) 1 i x X 1 x X 1 x X 1 i i i i i i i i i i i x i i i i PROPIEDAD : La media aritmética de los cuadrados de las desviacioes de los valores de la variable co respecto a ua costate cualquiera se hace míima cuado dicha costate coicide co la media aritmética (Teorema de KÖRING). D k x i k i x i x i prop 1 0 i 0 Para k x (media aritmética) el valor de las desviacioes será míima. PROPIEDAD 3: Si a todos los valores de la variable se le suma ua misma catidad, la media aritmética queda aumetada e dicha catidad: Supogamos que teemos ua variable x de la que coocemos su media. Supogamos ahora que teemos otra variable, que se calcula a partir de la aterior de la siguiete forma: y i x i k. Si ahora queremos calcular la media de esta seguda variable: y y ii xii x i k k i xii x i i k i k 56 x i i k i xii k i

62 como x i i X Y X k si sustituimos tedremos que es lo que pretedíamos demostrar. PROPIEDAD 4: Si todos los valores de la variable se multiplica por ua misma costate la media aritmética queda multiplicada por dicha costate. La demostració se realizaría de maera aáloga a la aterior. NOTA: De las dos propiedades ateriores se deduce que la resta y la divisió se realizaría de igual maera para la propiedad 3 y 4 respectivamete. Corolario: Si ua variable es trasformació lieal de otra variable (suma de u úmero y multiplicació por otro), la media aritmética de la 1ª variable sigue la misma trasformació lieal co respecto a la media aritmética de la ª variable, siedo yi = a xi + b, dode a y b so úmeros reales: yii (axi b)i (axii bi ) a xii b i ax b y Podemos utilizar esta metodología para calcular la media de la siguiete distribució. Xi i

63 yi Si efectuamos u cambio de variable x i tomado como ueva variable el valor más cetrado, tedremos:: xi i yi yi i ( )/ = ( )/ = ( )/ = ( )/ = ( )/ = 16 = 7 y Como y x y i i , etoces x y , , PROPIEADAD 5: - Si e u cojuto de valores se puede obteer ó más subcojutos disjutos, la media aritmética del cojuto se relacioa co la media aritmética de cada uo de los subcojutos disjutos de la siguiete forma: X x i i Siedo x i la media de cada subcojuto y Ni el úm. de elemetos de cada subcojuto. 58

64 Veamos la demostració de la propiedad: Sea la distribució x1, x, x3, x4, x, x+1, x+.xk, observado que habría como dos subcojutos de y k- elemetos cada uo. Si cosideramos la media i aritmética de la distribució: X x i y calculamos los sumatorios para los dos subcojutos, la expresió de la media quedaría: k x j j x r r x j j X j 1 r 1 j 1 k x r r r 1 Si multiplicamos umerador y deomiador de cada ua de las fraccioes por ua misma catidad el resultado o varía, por tato, multiplicaremos la primera por N1 que es su úmero de elemetos del primer subcojuto y la seguda por N que es el correspodiete, la expresió quedará: x jj j 1 N1 k N1 N1 x j j N x r r j 1 X r 1 N 1 N j 1 N1 x jj j 1 N N k x jj como x1 x rj jr y r 1 N x so la media del primer y segudo subcojuto, la expresió la podemos expresar de la siguiete maera: X X1 N1 N X N X N X 1 1 que es lo que queríamos demostrar ya que si las frecuecias se multiplica o divide por u mismo úmero, la media o varía IMPORTANTE: Hay que teer e cueta que la media aritmética es muy sesible a los valores extremos, es decir, a valores uméricos muy diferetes, (tato por lo grades, o pequeños que sea), al resto de la muestra. Esto puede resultar u problema. Hay formas de resolverlo, que veremos más adelate. 59

65 MEDIANA: Me.- La mediaa o valor mediao será el valor de la variable que separa e dos grupos los valores de las variables, ordeadas de meor a mayor. Por tato es ua catidad que os idica orde detro de la ordeació. El lugar que ocupa se determia dividiedo el º de valores etre : Cuado hay u úmero impar de valores de la variable, la mediaa será justo el valor de orde cetral, aquel cuya frecuecia absoluta acumulada coicida co. Es decir: N i 1 N i Me x i. Por tato la mediaa coicide co u valor de la variable.el problema está cuado haya u úmero par de valores de la variable. Si al calcular resulta que es u valor meor que ua frecuecia absoluta acumulada, el valor de la mediaa será aquel valor de la variable cuya frecuecia N i 1 absoluta cumpla la misma codició aterior: N N i Me x i. Por el cotrario si coicide que N i, para obteer la mediaa realizaremos el siguiete cálculo: Me x i x i 1 Ejemplo: Sea la distribució xi i Ni = 35 60

66 35 17,5 Lugar que ocupa Como se produce que N i 1 N i 16 17,7 6 Me x i, por lo tato Me = 7 El otro caso lo podemos ver e la siguiete distribució: xi i Ni = 3 Lugar que ocupa = 3/ = 16 ==> Me x 1 x i Notar que e este caso se podría haber producido que hubiera ua frecuecia absoluta acumulada superior a 16. Datos No agrupados: E los datos ordeados se aplica la siguiete relació, para ecotrar la posició de los datos. posició 1 ; e dode = úmero total de datos Etoces podemos teer sólo dos alterativas a) El valor de la posició puede ser etero y lo úico que debemos hacer es cotar el úmero de lugares que os idica esta formula. 61

67 El valor de la posició os da u valor decimal (.5) y etoces debemos: sumar los valores ivolucrados y dividirlos etre. Por ejemplo; si teemos los valores 5, 7, 8, 13 etoces la posició os da.5 por que tedremos que seleccioar a los úmeros 7 y 8 para luego sumarlos (15) y dividirlos etre (7.5) Datos agrupados, hay que determiar el itervalo mediao L i 1, L i, la forma de hacerlo será calcular el valor de la mitad de, y observar que itervalo tiee ua frecuecia absoluta acumulada que cumpla N i 1 N i. Después de saberlo haremos el siguiete cálculo: Me Siedo: L i 1 N N i 1 a i i [ Li-1, Li) el itervalo que cotiee a la frecuecia acumulada N/ ai = amplitud de dicho itervalo. Ejemplo: [ Li-1, Li) i Ni [0, 5) [5, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) N = 671 6

68 671/ = ; Me estará e el itervalo [30-35 ). Por tato realizamos el cálculo: N i 1 33,5 50 Me L i 1 a i 30 * 5 3,138 i 00 MÉTODO PROYECTIVO Co base e el método proyectivo, se puede obteer la mediaa para datos agrupados de la siguiete forma: 1. Tomar el úmero total de frecuecias y dividirlo etre dos.. Restar a ese úmero el total de frecuecias de las clases ateriores a la clase mediaa. 3. Usar el úmero obteido para hacer u cambio del doble superior de escala etre las frecuecias de la clase mediaa y sus ragos para obteer la distacia parcial 4. Sumamos la distacia parcial obteida a el límite iferior de la clase. 1. El úmero total de frecuecias es de; (3+5+)/ = 10/ = 5. El total de frecuecias ateriores es ; (5 - ) = 3 3. Hacemos el cambio de escalas: 63

69 Resolviedo: la mediaa es la suma de todos los datos dividido etre el úmero de datos 4. Se suma la distacia parcial al límite iferior: LA MODA (MO.).- A veces es importate coocer cuál es el valor que más prevalece e el cojuto de datos. El valor que ocurre co más frecuecia se le cooce como moda. La moda es la medida de tedecia cetral especialmete útil para describir medicioes de tipo ordial, de itervalos y omial. E u cojuto de úmeros la moda se defie como el valor ó úmero que ocurre co más frecuecia Ejemplo: E el siguiete cojuto de úmeros 1, 5, 5, 9, 1, 1, 1, 14. La moda es igual a 1, por cuato que es el úmero que más se repite (tres veces) La Moda para datos agrupados (Mo.): La Moda puede deducirse de ua distribució de frecuecia o de u histograma a partir de la fórmula. Mo. = Li + [ ( 1 / 1+ ) ] C Dode; Li = límite iferior de la clase modal (clase de mayor frecuecia absoluta (fa) 1 = diferecia de las frecuecias absolutas de la clase modal y premodal. = diferecia de las frecuecias absolutas de la clase modal y postmodal C = amplitud de la clase modal. 64

70 Ejemplo: Para ecotrar la moda es ecesario, e primer lugar, idetificar la clase modal; que será aquella que posea la mayor frecuecia absoluta. E el ejemplo de cuetas por cobrar de Cabrera`s y Asociados la clase modal será la primera, por cuato que tiee la mayor frecuecia absoluta. A partir de esto se puede reemplazar e la formula aterior los datos, a saber : Li =7.4 C= f1 = 10 (frecuecia absoluta de la clase modal) f0 = 0 (frecuecia absoluta de la clase premodal) f = 4 (frecuecia absoluta de la clase postmodal) 1 = 10 0 = 10 = 10-4 = 6 Mo. = [ (10/10+6) ] = [ (10/16) ] = = [ 0.65 (14.415) ] = = Propiedades de la moda La moda se puede determiar e todos los tipos de medicioes (omial, ordial, de itervalos, y relativa). La moda tiee la vetaja de o ser afectada por valores extremos. Al igual que la mediaa, puede ser calculada e distribucioes co itervalos abiertos. Desvetajas de la moda - E muchas series de datos o hay moda porque igú valor aparece más de ua vez. - E alguas series de datos hay más de ua moda, e este caso uo podría pregutarse cual es el valor represetativo de la serie de datos? 65

71 Relació empírica etre la media, la mediaa y la moda E distribucioes totalmete simétricas, la media, la mediaa y la moda coicide, localizádose e u mismo valor. E cambio, e distribucioes moderadamete asimétricas, la siguiete relació se matiee aproximadamete: Media Moda = 3(Media Mediaa Posicioes relativas de la media, la mediaa y la moda para curvas de frecuecias asimétricas a derecha e izquierda respectivamete, para curvas simétricas los tres valores coicide LA MEDIA ARMÓNICA, deomiada H, de ua catidad fiita de úmeros es igual al recíproco, o iverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomedada para promedia velocidades. Así, dados úmeros x1, x,..., x la media armóica será igual a: 66

72 La media armóica resulta poco ifluida por la existecia de determiados valores mucho más grades que el cojuto de los otros, siedo e cambio sesible a valores mucho más pequeños que el cojuto. La media armóica o está defiida e el caso de que exista algú valor ulo. Propiedades 1. La iversa de la media armóica es la media aritmética de los iversos de los valores de la variable.. Siempre se puede pasar de ua media armóica a ua media aritmética trasformado adecuadamete los datos. 3. La media armóica siempre es meor o igual que la media aritmética, ya que para cualesquiera úmeros reales positivos : Vetaja Cosidera todos los valores de la distribució y e ciertos casos, es más represetativa que la media aritmética. Desvetajas La ifluecia de los valores pequeños y El hecho que o se puede determiar e las distribucioes co alguos valores iguales a cero; por eso o es acosejable su empleo e distribucioes dode exista valores muy pequeños. Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, redimietos, etc LA MEDIA GEOMÉTRICA.- Se defie como la raíz de ídice de la frecuecia total cuyo radicado es el producto de las potecias de cada valor de la variable elevado a sus respectivas frecuecias absolutas, se deota por g; suele utilizarse cuado los valores de la variable sigue ua progresió 67

73 geométrica. Tambié para promediar porcetajes, tasas, º ídices, etc. siempre que os vega dados e porcetajes y se calcula mediate la siguiete fórmula g = (X1 * X * * X Fórmula que alguas veces es coveiete expresarla e forma logarítmica. El logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable. El problema se preseta cuado algú valor es 0 ó egativo y expoete de la raíz par ya que o exista raíz par de u úmero egativo, etoces la fórmula aterior se preseta de la siguiete maera: log Xg = 1/N (log X1 + log X + + log X) Ejemplo; Ecotrar la media de los siguietes úmeros, 4, 8. obsérvese que etre ellos existe ua razó o proporció costate, cada uo de ellos es el doble del aterior, por tato la media a utilizar es la media geométrica, de la siguiete maera g = 3 () (4) (8) = 3 64 = 4 Respuesta: la media geométrica de los datos es 4 PROPIEDADES DE LA MEDIA GEOMÉTRICA ( La media geométrica esta basada e todas las observacioes, por lo que está afectada por todos los valores de la variable. Si embargo, da meos pesos a los valores extremadamete grades que el que les da la media aritmética. La media geométrica es igual a cero si alguos de los valores es cero, y se puede volver imagiaria si ocurre valores egativos. Co la excepció de estos dos casos, su valor siempre es defiitivo y está rígidamete defiido. La media geométrica es la que se debe utilizar cuado lo que se va a promediar so tasas de cambios o proporcioes, y se iteta dar igual peso a tasas de cambios iguales. 68

74 Datos No Agrupados: G Y1 * Y * * Y Ejemplo: Si los precios de la acció Aáhuac e los últimos cuatro días fuero; 4.75, 5.3, 4.78 y 6.3 calcula el factor de crecimieto promedio y el crecimieto porcetual promedio. Existe dos formas de resolverlo: De la forma ortodoxa: G Y1 * Y * * Y * * Lo que acabamos de obteer es factor de crecimieto promedio y para obteer el crecimieto se aplica la siguiete formula: crecimiet o (1 G ) * 100 ( ) * % Otra forma es G úmero de datos -1 último primero 4.75 Datos Agrupados: G Y1f1 * Yf * * Ykfk dode: k = última clase Nota: Se puede demostrar que X G. Tambié puede calcularse la media geométrica poderada. 69

75 Ejemplo: Supógase que se cueta co la iformació diaria de los icremetos porcetuales de ua acció y que se represeta e la siguiete tabla: Crecimieto porcetual (%) Frecuecias e días a) Calcular los factores de crecimieto. crecimiet y 1 o porcetual 100 b) Calcular el factor de crecimieto promedio G Y1f1 * Yf * * Ykf k * * MEDIA CUADRÁTICA (MC).- La media cuadrática ació co el objetivo de poder obteer el promedio de valores positivos y egativos al mismo tiempo, además de ser ua gra ayuda para poder calcular las dispersioes promedio de los datos (ver medidas de dispersió). Datos o agrupados: MC x i 70

76 Ejemplo: Supógase que se obtiee las gaacias y pérdidas del precio de ua acció durate ua semaa; , ,.35, 6.0, 3.5 Calcular el promedio: MC x i ( 4.0) ( 3.5) Datos agrupados: MC fx i i Ejemplo: Ahora deseamos obteer el promedio de ua tabla de distribució de frecuecias pero co datos positivos y egativos. Gaacias y pérdidas del precio de ua acció No. De días (f) (x) MC fx i i 5 * ( ) 14 *14.75 *

77 CAPITULO VII 7.1 CUANTILES So medidas de localizació similares a las ateriores. Se las deomia CUANTILES (Q). Su fució es iformar del valor de la variable que ocupará la posició (e tato por cie) que os iterese respecto de todo el cojuto de variables. Podemos decir que los Cuatiles so uas medidas de posició que divide a la distribució e u cierto úmero de partes de maera que e cada ua de ellas hay el mismo de valores de la variable. 7. TIPOS DE CUANTILES Las más importates so: CUARTILES, divide a la distribució e cuatro partes iguales (tres divisioes). C1,C,C3, correspodietes a 5%, 50%,75%. DECILES, divide a la distribució e 10 partes iguales (9 divisioes).d1,...,d9, correspodietes a 10%,...,90% PERCENTILES, cuado divide a la distribució e 100 partes (99 divisioes).p1,...,p99, correspodietes a 1%,...,99%. Existe u valor e cual coicide los cuartiles, los deciles y percetiles es cuado so iguales a la Mediaa y así veremos E las distribucioes si agrupar, primero hallaremos el lugar que ocupa: Etoces tedremos que : Ni=1 < (%). < Ni Q = xi e el supuesto que (%). = Ni Q 7 x i x i 1

78 Primero ecotraremos el itervalo dode estará el cuatil: lugar Q L i 1 Ni=1 < (%) < Ni Itervalo [Li-1, Li), e este caso: % N N i 1 a i i Ejemplo: DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS: E la siguiete distribució xi i Ni = 0 Calcular la mediaa (Me); el primer y tercer cuartil (C1,C3); el 4º decil (D4) y el 90 percetil (P90) Lugar que ocupa la mediaa lugar 0/ = 10 Como es igual a u valor de la frecuecia absoluta acumulada, realizaremos es c PRIMER CUARTIL (C1) Lugar que ocupa e la distribució ( ¼). 0 = 0/4 = 5 Como Ni-1 < (5%). < Ni, es decir 3 < 5 < 10 esto implicara que C1 = xi = 10 73

79 TERCER CUARTIL (C3) Lugar que ocupa e la distribució (3/4).0 = 60/4 = 15, que coicide co u valor de la frecuecia absoluta acumulada, por tato realizaremos el cálculo: C3 x i x i ,5 CUARTO DECIL (D4) Lugar que ocupa e la distribució (4/10). 0 = 80/10 = 8. Como Ni-1 < (%). < Ni ya que 3 < 8 < 10 por tato D4 =10. NONAGÉSIMO PERCENTIL (P90) Lugar que ocupa e la distribució (90/100). 0 = 1800/100 = 18. que coicide co u valor de la frecuecia absoluta acumulada, por tato realizaremos el cálculo: P90 x i x i 1 0 5,5 Ejemplo: DISTRIBUCIONES AGRUPADAS: Hallar el primer cuartil, el cuarto decil y el 90 percetil de la siguiete distribució: [Li-1, Li) i Ni [0, 100) [100, 00) [[00, 300) [300, 800) =

80 Primer cuartil (C4) Lugar ocupa el itervalo del primer cuartil: (1/4). 500 = 500/4 = 15. Por tato C4 estará situado e el itervalo directamete, tedremos: C [100 00).Aplicado la expresió Cuarto decil (D4) Lugar que ocupa: (4/10). 500 = 00. Por tato D 4 estará situado e el itervalo D [100 00). Aplicado la expresió tedremos: , Noagésimo percetil (P 90) Lugar que ocupa: (90/100). 500 = 450, por tato P90 estará situado e el itervalo P [ ). Aplicado , la expresió tedremos:

81 CAPITULO VIII 8.1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Rago (o Itervalo):Es la distacia que existe etre el meor y mayor valor de los datos. Datos No Agrupados: rago max mi Datos Agrupados: rago LSk LI1 dode k = última clase Rago Semi-Iter Cuartil (Q): (o Desviació Cuartil) Mide el rago promedio de ua cuarta parte de los datos (evita los valores extremos) Q 8. Q 3 Q1 DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA (DM): (O DESVIACIÓN ABSOLUTA PROMEDIO) Es la distacia promedio de los datos a su media. Datos No Agrupados: X X i DM = Datos Agrupados: k f DM = i Xi X 76

82 8.3 VARIANZA Poblacioal ( ): Es el promedio del cuadrado de la distacia de los datos a su media Datos No Agrupados: N = X i i 1 N Xi i 1 N N Datos Agrupados: k = f X i i N fi *X i i 1 N k Muestral (S ): La suma de las distacias al cuadrado se divide etre e úmero de datos meos uo: Datos No Agrupados: x x S = i -1 xi x S

83 Datos Agrupados: f x x k S = i i -1 f i x i S -1 k x -1 Nota: S para muestras "chicas". Para muestras grades S o prácticamete o difiere. 8.4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Mide la variació de los datos e térmios absolutos. Es la raíz cuadrada positiva de la variaza. Poblacioal: Muestral: S = S La desviació estádar se iterpreta costruyedo itervalos alrededor del promedio: a) Teorema de Chebyshev. Si la distribució o es simétrica y uimodal. - Al meos el 75% de los valores cae detro de desviacioes estádar alrededor de la media: X S - Al meos el 89% de los valores cae detro de 3 desviacioes estádar alrededor de la media: X 3S b) Regla Empírica. Si la distribució es ua curva acampaada, uimodal y simétrica: - Aproximadamete el 68% de los datos (població) se ecuetra a ua desviació estádar alrededor de la media: X S 78

84 - Aproximadamete el 95% de los datos (població) se ecuetra a desviacioes estádar alrededor de la media: X S - Aproximadamete el 99% de los datos (població) se ecuetra a 3 desviacioes estádar alrededor de la media: X 3S Coeficiete de Variació (CV): Mide la variació relativa de la variable co respecto a su promedio. Mide la magitud de la desviació estádar e relació co la magitud de la media. Se expresa e por cietos. CV = 8.5 S 100 X SIMETRÍA Esta medida os permite idetificar si los datos se distribuye de forma uiforme alrededor del puto cetral (Media aritmética). La asimetría preseta tres estados diferetes,cada uo de los cuales defie de forma cocisa como está distribuidos los datos respecto al eje de asimetría. Se dice que la asimetría es positiva cuado la mayoría de los datos se ecuetra por ecima del valor de la media aritmética, la curva es Simétrica cuado se distribuye aproximadamete la misma catidad de valores e ambos lados de la media y se cooce como asimetría egativa cuado la mayor catidad de datos se aglomera e los valores meores que la media. Figura 5-1 El Coeficiete de asimetría, se represeta mediate la ecuació matemática, 79

85 Dode (g1) represeta el coeficiete de asimetría de Fisher, (Xi) cada uo de los valores, ( ) la media de la muestra y (i) la frecuecia de cada valor. Los resultados de esta ecuació se iterpreta: (g1 = 0): Se acepta que la distribució es Simétrica, es decir, existe aproximadamete la misma catidad de valores a los dos lados de la media. Este valor es difícil de coseguir por lo que se tiede a tomar los valores que so cercaos ya sea positivos o egativos (± 0.5). (g1 > 0): La curva es asimétricamete positiva por lo que los valores se tiede a reuir más e la parte izquierda que e la derecha de la media. (g1 < 0): La curva es asimétricamete egativa por lo que los valores se tiede a reuir más e la parte derecha de la media. Desde luego etre mayor sea el úmero (Positivo o Negativo), mayor será la distacia que separa la aglomeració de los valores co respecto a la media. 8.6 CURTOSIS Esta medida determia el grado de cocetració que preseta los valores e la regió cetral de la distribució. Por medio del Coeficiete de Curtosis, podemos idetificar si existe ua gra cocetració de valores (Leptocúrtica), ua cocetració ormal (Mesocúrtica) ó ua baja cocetració (Platicúrtica). 80

86 Para calcular el coeficiete de Curtosis se utiliza la ecuació: Dode (g) represeta el coeficiete de Curtosis, (Xi) cada uo de los valores, ( ) la media de la muestra y (i) la frecuecia de cada valor. Los resultados de esta fórmula se iterpreta: (g = 0) la distribució es Mesocúrtica: Al igual que e la asimetría es bastate difícil ecotrar u coeficiete de Curtosis de cero (0), por lo que se suele aceptar los valores cercaos (± 0.5 aprox.). (g > 0) la distribució es Leptocúrtica (g < 0) la distribució es Platicúrtica Cuado la distribució de los datos cueta co u coeficiete de asimetría (g1 = ±0.5) y u coeficiete de Curtosis de (g = ±0.5), se le deomia Curva Normal. Este criterio es de suma importacia ya que para la mayoría de los procedimietos de la estadística de iferecia se requiere que los datos se distribuya ormalmete. La pricipal vetaja de la distribució ormal radica e el supuesto que el 95% de los valores se ecuetra detro de ua distacia de dos desviacioes estádar de la media aritmética es decir, si tomamos la media y le sumamos dos veces la desviació y después le restamos a la media dos desviacioes, el 95% de los casos se ecotraría detro del rago que compoga estos valores. 81

87 Desde luego, los coceptos vistos hasta aquí, so sólo ua pequeña itroducció a las pricipales medidas de Estadística Descriptiva; es de gra importacia que los lectores profudice e estos temas ya que la pricipal dificultad del paquete SPSS radica e el descoocimieto de los coceptos estadísticos. Las defiicioes plasmadas e este capítulo ha sido extraídas de los libros Estadística para admiistradores escrito por Ala Wester de la editorial McGraw-Hill y el libro Estadística y Muestreo escrito por Ciro Martíez editorial Ecoe editores (Octava edició). No ecesariamete tiees que guiarte por estos libros ya que e las librerías ecotraras ua gra variedad de textos que puede ser de bastate utilidad e la itroducció a esta ciecia. 8.7 OTRAS CONSIDERACIONES DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS VARIANZA ( s ): es el promedio del cuadrado de las distacias etre cada observació y la media aritmética del cojuto de observacioes. Haciedo operacioes e la fórmula aterior obteemos otra fórmula para calcular la variaza: Si los datos está agrupados utilizamos las marcas de clase e lugar de Xi. DESVIACIÓN TÍPICA (S): La variaza viee dada por las mismas uidades que la variable pero al cuadrado, para evitar este problema podemos usar como medida de dispersió la desviació típica que se defie como la raíz cuadrada positiva de la variaza 8

88 Para estimar la desviació típica de ua població a partir de los datos de ua muestra se utiliza la fórmula (cuasi desviació típica): RECORRIDO O RANGO MUESTRAL (Re). Es la diferecia etre el valor de las observacioes mayor y el meor. Re = xmax - xmi MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVAS COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON: Cuado se quiere comparar el grado de dispersió de dos distribucioes que o viee dadas e las mismas uidades o que las medias o so iguales se utiliza el coeficiete de variació de Pearso que se defie como el cociete etre la desviació típica y el valor absoluto de la media aritmética CV represeta el úmero de veces que la desviació típica cotiee a la media aritmética y por lo tato cuato mayor es CV mayor es la dispersió y meor la represetatividad de la media. Medidas de Forma Compara la forma que tiee la represetació gráfica, bie sea el histograma o el diagrama de barras de la distribució, co la distribució ormal. MEDIDA DE ASIMETRÍA Diremos que ua distribució es simétrica cuado su mediaa, su moda y su media aritmética coicide. Diremos que ua distribució es asimétrica a la derecha si las frecuecias (absolutas o relativas) desciede más letamete por la derecha que por la izquierda. Si las frecuecias desciede más letamete por la izquierda que por la derecha diremos que la distribució es asimétrica a la izquierda. 83

89 Existe varias medidas de la asimetría de ua distribució de frecuecias. Ua de ellas es el Coeficiete de Asimetría de Pearso: Su valor es cero cuado la distribució es simétrica, positivo cuado existe asimetría a la derecha y egativo cuado existe asimetría a la izquierda. MEDIDA DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS Mide la mayor o meor catidad de datos que se agrupa e toro a la moda. Se defie 3 tipos de distribucioes segú su grado de curtosis: Distribució mesocúrtica: preseta u grado de cocetració medio alrededor de los valores cetrales de la variable (el mismo que preseta ua distribució ormal). Distribució leptocúrtica: preseta u elevado grado de cocetració alrededor de los valores cetrales de la variable. Distribució platicúrtica: preseta u reducido grado de cocetració alrededor de los valores cetrales de la variable. EJEMPLO 1 El úmero de diás ecesarios por 10 equipos de trabajadores para termiar 10 istalacioes de iguales características ha sido: 1, 3, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. Calcular la media, mediaa, moda, variaza y desviació típica SOLUCIÓN: La media: suma de todos los valores de ua variable dividida etre el úmero total de datos de los que se dispoe: La mediaa: es el valor que deja a la mitad de los datos por ecima de dicho valor y a la otra mitad por debajo. Si ordeamos los datos de mayor a meor observamos la secuecia: 15, 1, 3, 59, 60, 60,61, 64, 71,

90 Como quiera que e este ejemplo el úmero de observacioes es par (10 idividuos), los dos valores que se ecuetra e el medio so 60 y 60. Si realizamos el cálculo de la media de estos dos valores os dará a su vez 60, que es el valor de la mediaa. La moda: el valor de la variable que preseta ua mayor frecuecia es 60 La variaza S: Es la media de los cuadrados de las diferecias etre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribució. Sx= La desviació típica S: es la raíz cuadrada de la variaza. S = 47,61 = 0.67 El rago: diferecia etre el valor de las observacioes mayor y el meor = 65 días El coeficiete de variació: cociete etre la desviació típica y el valor absoluto de la media aritmética CV = 0,67/5,3 = 0,39 EJEMPLO El precio de u iterruptor magetotérmico e 10 comercios de electricidad de ua ciudad so : 5, 5, 6, 4, 30, 5, 9, 8, 6, y 7 Euros. Hallar la media, moda, mediaa, (abrir la calculadora estadística, más abajo) diagrama de barras y el diagrama de caja. SOLUCIÓN: Utilizar la calculadora de debajo) 85

91 El diagrama de cajas: caja desde Q1 a Q3 (50% de los datos), bigotes el recorrido] COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON El coeficiete de asimetría de Pearso mide la desviació respecto de la simetría expresado la diferecia etre la media y la mediaa e relació co la desviació estádar del grupo de medidas. Las fórmulas so: E ua distribució simétrica, el valor del coeficiete de asimetría será siempre de cero, porque la media y la mediaa so iguales etre sí e valor E ua distribució asimétrica positiva, la media siempre es mayor que la mediaa; e cosecuecia, el valor del coeficiete es positivo. E ua distribució asimétrica egativa, la media siempre es meor que la mediaa; por lo tato, el valor del coeficiete es egativo. MEDIDAS DE DISPERSIÓN - VARIANZA Y DESVIACIÓN Así como las medidas de tedecia cetral os permite idetificar el puto cetral de los datos, las Medidas de dispersió os permite recoocer que tato se dispersa los datos alrededor del puto cetral; es decir, os idica cuato se desvía las observacioes alrededor de su promedio aritmético (Media). Este tipo de medidas so parámetros iformativos que os permite coocer como los valores de los datos se reparte a través de eje X, mediate u valor umérico que represeta el promedio de dispersió de los datos. Las medidas de dispersió más importates y las más utilizadas so la Variaza y la Desviació estádar (o Típica). VARIANZA Esta medida os permite idetificar la diferecia promedio que hay etre cada uo de los valores respecto a su puto cetral (Media ). Este promedio es calculado, elevado cada ua de las diferecias al cuadrado (Co el fi de elimiar los sigos egativos), y calculado su promedio o media; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferecias de cada valor respecto a la 86

92 media y dividiedo este resultado por el úmero de observacioes que se tega. Si la variaza es calculada a ua població (Total de compoetes de u cojuto), la ecuació sería: Dode ( ) represeta la variaza, (Xi) represeta cada uo de los valores, ( ) represeta la media poblacioal y (N) es el úmero de observacioes ó tamaño de la població. E el caso que estemos trabajado co ua muestra la ecuació que se debe emplear es: Dode (S) represeta la variaza, (Xi) represeta cada uo de los valores, ( ) represeta la media de la muestra y () es el úmero de observacioes ó tamaño de la muestra. Si os fijamos e la ecuació, otaremos que se le resta uo al tamaño de la muestra; esto se hace co el objetivo de aplicar ua pequeña medida de correcció a la variaza, itetado hacerla más represetativa para la població. Es ecesario resaltar que la variaza os da como resultado el promedio de la desviació, pero este valor se ecuetra elevado al cuadrado. Desviació estádar o Típica Esta medida os permite determiar el promedio aritmético de fluctuació de los datos respecto a su puto cetral o media. La desviació estádar os da como resultado u valor umérico que represeta el promedio de diferecia que hay etre los datos y la media. Para calcular la desviació estádar basta co hallar la raíz cuadrada de la variaza, por lo tato su ecuació sería: 87

93 Para compreder el cocepto de las medidas de distribució vamos a supoer que el gerete de ua empresa de alimetos desea saber que tato varía los pesos de los empaques (e gramos), de uo de sus productos; por lo que opta por seleccioar al azar cico uidades de ellos para pesarlos. Los productos tiee los siguietes pesos (490, 500, 510, 515 y 50) gramos respectivamete. Por lo que su media es: La variaza sería: Por lo tato la desviació estádar sería: Co lo que cocluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, co ua tedecia a variar por debajo o por ecima de dicho peso e 1 gramos. Esta iformació le permite al gerete determiar cuato es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso e los empaques y le da las bases para tomar los correctivos ecesarios e el proceso de empacado. 88

94 CAPITULO IX 9.1 MEDIDAS DE FORMA Proporcioa u valor umérico para saber hacia qué lado de la distribució hay mayor acumulació de frecuecias y si la cocetració cetral de frecuecias es mayor que e los extremos o viceversa si teer que graficar los datos. Mometo Respecto de la Media: El r-ésimo mometo respecto a la media aritmética es: Datos No Agrupados: x x mr r i Datos Agrupados: f x mr i x r i El primer mometo respecto a la media (r=1) siempre es igual a cero. El segudo mometo respecto a la media (r=) es la variaza poblacioal. Sesgo: Es el grado de asimetría que tiee la distribució. La distribució puede ser: - Isesgada: Si tiee forma de campaa y el área acumulada del cetro de la distribució a la derecha es igual a la que se acumula a la izquierda. Isesgada Moda=Mediaa=Media 89

95 - Co sesgo positivo o a la derecha: Si tiee la mayor acumulació de frecuecias a la izquierda y ua cola larga a la derecha. - Co sesgo egativo o a la izquierda: Si la mayor acumulació está a la derecha y tiee ua cola larga a la izquierda. Coeficiete Mometo de Sesgo ( a 3 ): se calcula dividiedo el tercer mometo respecto a la media etre la desviació estádar al cubo: Datos No Agrupados: x a3 m3 S3 x 3 i s 3 Datos Agrupados: f x k a3 m3 S3 i 1 i x 3 i s 3 90

96 Curtosis: Coeficiete mometo de sesgo Sesgo a3 = 0 No hay sesgo. distribució isesgada a3 > 0 La distribució tiee sesgo positivo o a la derecha. a3 < 0 La distribució tiee sesgo egativo o a la izquierda. La es Mide qué ta putiaguda es ua distribució, co respecto a la Normal. La distribució puede ser: - Mesocúrtica: solo la distribució Normal (es el térmio medio). - Leptocúrticas: Las distribucioes más putiagudas que la Normal. - Platocúrticas: Las distribucioes meos putiagudas que la Normal. Coeficiete mometo de curtosis ( a 4 ): se calcula dividiedo el cuarto mometo respecto a la media etre la variaza al cuadrado (o la desviació estádar a la cuarta). 91

97 Datos No Agrupados: x a4 m4 S4 x 4 i s 3 Datos Agrupados: f x k a4 m4 S4 i 1 i x 4 i s 4 Coeficiete Curtosis mometo de curtosis 9. a4 = 3 La distribució es Mesocúrtica. a4 > 3 La distribució es Leptocúrtica. a4 < 3 La distribució es Platocúrtica. MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN E ua distribució, i la media i la variaza so explicativas de la mayor o meor igualdad e el reparto; para esto usamos las medidas de cocetració. Cosideremos que la variable e cuestió es el salario. Ua distribució muy cocetrada idica que pocos idividuos recibe la mayor parte del total, mietras que poca cocetració supoe que todos los idividuos tiee u reparto igualitario. 9

98 Idice de Gii: k 1 Ig p i qi k 1 p i dode: k = úmero de clases, regloes o categorías pi = la proporció acumulada de idividuos = fi 100 = fra x 100 q i = la proporció acumulada del total del producto de f i* xi 0 Ig 1 Si Ig=0, la variable está meos cocetrada (mejor repartida). Si Ig=1, la variable está más cocetrada (peor repartida). Curva de Lorez: Se grafica los valores de la proporció acumulada de idividuos (p) y la proporció acumulada del total de la variable (q). La fució idetidad represeta la igualdad absoluta, es decir, a la variable cuado o está cocetrada (la recta a 45 grados). La desigualdad absoluta o máxima cocetració de la variable idicaría que u solo idividuo tega el total de la variable (el triágulo iferior). Cuato más se acerque la Curva de Lorez a la diagoal, mas igualitario será el reparto (Ig = 0). Cuato más se acerque la Curva de Lorez al triágulo iferior, mas cocetrada esta la variable (Ig = 1). 93

99 El Idice de Gii calcula el área etre la diagoal y la Curva de Lorez, como u porcetaje del área del triágulo iferior de la gráfica (mide la desigualdad relativa). Ejemplo: La iformació que se preseta a cotiuació represeta el salario de los 300 empleados de ua empresa y os iteresa saber la cocetració de los datos. No. de empleados Marca de clase F*x Fra = P H Q P-Q Salario Mesual (e miles) k 1 Ig p i qi k 1 pi Como podemos observar el resultado refleja que o hay mucha cocetració de los datos, es decir, los datos se ecuetra bie distribuidos. 94

100 9.3 PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS Ejemplo #1: Variable Cotiua: La tieda CABRERA S Y ASOCIADOS estaba iteresada e efectuar u aálisis de sus cuetas por comprar. Uo de los factores que más iteresaba a la admiistració de la tieda era el de los saldos de las cuetas de crédito. Se escogió al azar ua muestra aleatoria de 30 cuetas y se aotó el saldo de cada cueta (e uidades moetarias) como sigue: Solució: 1. A= ( 7.4, 8.15,,,, 90.99, ) dode: X1 = valor míimo = 7.4 X= valor máximo = Efectuar el arreglo ordeado de la població o muestra: R = valor mayor valor meor = X X1 = = Ecotrar el rego o recorrido de los datos: "R" K=1+3.3(log N) Nota: e el ejemplo e estudio N=30 por cuato que so 30 clietes e la muestra: K = (log 30) = (1.477) el log fue obteido segú calculadora = = ~6 aproximado al siguiete etero 4. Ecotrar e úmero de clases "K", segú la fórmula de Sturges: 95

101 5. Determiar la amplitud de la clase: "C" Nota: obsérvese que se va a trabajar co ua cifra sigificativa más cómoda, o sea como los datos está dados e cetésimos, se calculo C hasta los milésimos para evitar que algú dato coicida co el límite de clases Clases P.M. fi fr fa fa fra fra Xi Total XXX XXX XXX XXX XXX Simbología utilizada: XI = Puto medio o marca de clases fi = frecuecia absoluta fr = frecuecia relativa fa = frecuecia absoluta acumulada descedete fa = frecuecia absoluta acumulada ascedete fra = frecuecia relativa acumulada descedete 96

102 fra = frecuecia relativa acumulada ascedete Nota: i. Obsérvese que el límite iferior de la primera clase es el valor míimo ( X1=7.4 ) y el límite superior es el resultado de X1+C = = ii. El límite iferior de la siguiete clase es igual al límite superior de la clase aterior y el límite superior es el resultado de adicioarle uevamete la amplitud de la clase ( C ). iii. Obsérvese que el límite superior de la última clase es igual al valor mayor ( X=93.91 ) OTROS PROBLEMAS Problema #1: Variable Cotiua E la siguiete tabla se preseta los pesos de 40 estudiates de la Uiversidad de Paamá, co ua aproximació de ua libra a. Costruya ua tabla de distribució de frecuecias, idicado las frecuecias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas. b. Costruya u histograma, u polígoo de frecuecias y ua ojiva de la distribució. 97

103 Problema #: Variable Discreta: Ua ecuesta etre u grupo de madres-solteras, para aalizar los problemas ecoómicos que efreta, e determiada comuidad; arrojó los siguietes resultados acerca del úmero de iños e el hogar a. Costruya ua tabla de distribució de frecuecias y sus respectivas represetacioes gráficas. Problema #3: Ua compañía de trasmisioes electróicas registro como sigue el úmero de recibos de servicios prestados por cada ua de sus 0 sucursales e el último mes: La compañía piesa que ua tieda realmete o puede esperar alcazar fiacieramete el puto de equilibrio co meos de 456 servicios prestados mesualmete. Además su política es dar u boo fiaciero al gerete que geere más de 683 servicios al mes. Dispoga los datos e ua arreglo e idique cuátas sucursales o está cosiguiedo el puto de equilibrio y cuátas gaa el boo. 98

104 Problema #4: Ua agecia de viajes ofrece precios especiales e ciertas travesías por el Caribe. Plaea ofrecer varios de estos paseos durate la próxima temporada iveral e el hemisferio orte y desea eviar folletos a posibles clietes. A fi de obteer el mayor provecho por cada uidad moetaria gastada epublicidad, ecesita la distribució de las edades de los pasajeros de travesías ateriores. Se cosideró que si participaba pocas persoas de u grupo de edad e los paseos o sería ecoómico eviar u gra úmero de folletos a persoas de ese grupo de edad. La agecia seleccioó ua muestra de 40 clietes ateriores de sus archivos y se registró sus edades, como sigue: a. Orgaice los datos e ua tabla de distribució de frecuecias de las edades de los clietes e la muestra b. Cuál grupo de edad preseta la mayor frecuecia relativa? Cuál la meor frecuecia relativa?. c. Saque coclusioes que pueda ayudar a la agecia a plaear ua campaña de publicidad para los paseos iverales OTROS PROBLEMAS RESUELTOS 1. El siguiete cuadro muestra las calificacioes del Segudo Año de Educació Básica de la asigatura de Leguaje e u Cetro Educativo 99

105 Procedamos a presetar los datos e u cuadro estadístico, ordeado e forma descedete. Calificacioes del Segudo Año de Educació Básica de la asigatura de Leguaje e u Cetro Educativo: Cómo lo hicimos? = 5 Ejemplo: Estas so las estaturas e cm de u grupo de jóvees

106 Como podemos observar las estaturas so muy variadas. Qué hacer para ua mayor compresió?. Usted tiee la respuesta. Agruparlas e itervalos Para ello agrupemos e itervalo de 3, e forma ascedete TENGA PRESENTE QUE: Que e este tipo de distribucioes que si u valor correspode al límite etre dos itervalos, debemos aotarlo e el itervalo superior. ACTIVIDADES: 1. Los siguietes datos se obtuviero al pregutar a las alumas del 10mo. año de Educació Básica su edad: a) Ordee los datos e forma ascedete y descedete b) Calcule la amplitud c) Elabore ua tabla de frecuecia d) Halle el porcetaje de las alumas que tiee 17 años e) Coteste: Cuátas alumas tiee 15 años?. Llee los espacios e blaco de la siguiete tabla correspodiete a estaturas e cm. 101

107 SERIE I: MEDIA ARITMÉTICA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA SIMPLE Supogamos que e u curso de 10 alumos las calificacioes e la asigatura de matemáticas fuero: 0, 15, 1, 18, 1, 17, 15, 16, 19, 17. Ecotremos la media aritmética. SOLUCIÓN. La media aritmética simple se obtiee co la fórmula: SERIE.MEDIA ARITMÉTICA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA DE FRECUENCIA Para determiar la media aritmética de ua serie estadística de frecuecia multiplicamos la variable por la frecuecia respectiva, posteriormete sumamos estos productos y Dividimos por el úmero de casos, su fórmula es: 10

108 Ejemplo Los datos del siguiete cuadro estadístico correspode a estaturas e cm. de 5 alumos de la especialidad de Físico Matemáticas de la UTPL. SERIE 3. MEDIA ARITMÉTICA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA DE INTERVALOS Para determiar la media aritmética de ua serie estadística de itervalos podemos seguir el siguiete procedimieto:? Obteemos los putos medios de la serie? Multiplicamos las frecuecias por las marcas de clase o putos medios? Sumamos los productos por las marcas de clase o putos medios? Por último dividimos la suma obteida por el úmero de elemetos de la serie Ejemplo: La presete tabla de frecuecia muestra de calificacioes de 35 alumos del 9o año de Educació Básica de u Cetro educativo de la ciudad de Loja. 103

109 EJEMPLOS DE CUANTILES E ua clíica de la ciudad de Loja, por medio de ua ecuesta se preguto la edad a los efermos, se tabulo la iformació y se obtuviero los siguietes resultados. Determie; a) El segudo cuartil b) El sexto decil c) El cetil 50 Desarrollo: a) Primero ecuetre la posició del cuartil N/4 =.105/4 = 5.5 Este valor se localiza e la frecuecia acumulada (próximo mayor). Observamos que el itervalo dode se ecuetra este valor es (30 34 ) y para el calculo matemático se emplea la fórmula. 104

110 Quiere decir que Quiere decir que el 50 % de efermos tiee ua edad iferior a 30,75 años. b) Calculamos la posició del 6 decil 6N/10 = 6.105/10 = 63 Este valor esta localizado e el mismo itervalo del cuartil, para su cálculo matemático se aplica la fórmula. 105

111 Es decir el 60% de los efermos tiee edades iferiores a 33 año. El cálculo del Cserá igual al de la mediaa? Justifique su respuesta AUTOEVALUACIÓN 1. E el parétesis correspodiete escriba ua C o ua I si el euciado es correctoo icorrecto. a) El cuartil 50 divide a la serie e dos partes iguales ( ) b) El decil 5 de la siguiete serie: 18,17,15,14,13,1 es 14 ( ) c) El cetil 50 de la serie aterior es 3.5 ( ) d) El valor de la mediaa es igual al cuartil ( ). E los cuadros siguietes determie el valor correspodiete a las medidas aotadas 106

112 OTROS EJEMPLOS DE MEDICION CENTRAL a) Serie Simple Tipo(I) Medidas cetrales Md =N/= 7/ = 3.5(correspode a 95) Mo ( No hay) Medidas de dispersió Rago = VM-Vm 98 9 = 6 b) Serie de frecuecias Tipo (II) Medidas cetrales Md=N/= 40/ = 0 17 Mo =

113 Para el Modo(a) observe e el cuadro que la mayor frecuecia es 1 y que correspode a la variable 16. E cambio e el caso aterior o existe puesto que o hay casos que se repite. Medidas de dispersió Rago = VM-Vm 0-15 = 5 c) Serie de itervalos o Tipo (III) Evaluació fial de estadística descriptiva 1. Como estadístico residete de Pigs ad People (P & P) Airlies, el director de la divisió de aálisis estadístico le pide recolectar y agrupar los datos sobre el úmero de pasajeros que ha decidido viajar co P&P. Tales datos correspodietes a los últimos 50 días aparece e la siguiete tabla

114 a) Realice la tabla de distribució de frecuecia co 6 clases. Está trabajado co datos cotiuos o discretos? b) Costruya u Histograma, Polígoo de frecuecia y Ojiva ) Su firma esta itroduciedo u uevo chip de computador del cual se promocioa que realiza cálculos estadísticos mucho más rápidamete que los que actualmete se ecuetra e el mercado. Se hace 0 cálculos diferetes, produciedo los tiempos e segudos que se ve más adelate. Auque usted o puede tergiversar su producto, usted desea presetar los resultados de la maera más favorable para su empresa. Determie la media, la mediaa y la moda Los siguietes datos so los igresos de 60 ejecutivos de marketig para empresas de Estados Uidos. Los datos está expresados e miles de dólares

115 c) Realice la tabla de distribució de frecuecia co clases. Está trabajado co datos cotiuos o discretos? d) Costruya u Histograma, Polígoo de frecuecia y Ojiva ) Su firma esta itroduciedo u uevo chip de computador del cual se promocioa que realiza cálculos estadísticos mucho más rápidamete que los que actualmete se ecuetra e el mercado. Se hace 0 cálculos diferetes, produciedo los tiempos e segudos que se ve más adelate. Auque usted o puede tergiversar su producto, usted desea presetar los resultados de la maera más favorable para su empresa. Determie la media, la mediaa y la moda Los siguietes datos so los igresos de 60 ejecutivos de marketig para empresas de Estados Uidos. Los datos está expresados e miles de dólares

116 e) Realice la tabla de distribució de frecuecia co clases. Está trabajado co datos cotiuos o discretos? f) Costruya u Histograma, Polígoo de frecuecia y Ojiva ) Su firma esta itroduciedo u uevo chip de computador del cual se promocioa que realiza cálculos estadísticos mucho más rápidamete que los que actualmete se ecuetra e el mercado. Se hace 0 cálculos diferetes, produciedo los tiempos e segudos que se ve más adelate. Auque usted o puede tergiversar su producto, usted desea presetar los resultados de la maera más favorable para su empresa. Determie la media, la mediaa y la moda LABORATORIO PARA LA EVALUACION (Resolver y etregar e grupos de tres estudiates, equivale a ota de u parcial) Problema #1: Ua guardería es ua istitució elegible para recibir u subsidio destiado a los servicios sociales del corregimieto, a codició de que la edad promedio de sus iños o llegue a 9 años. Si los datos siguietes represeta la edad de todos los iños que actualmete asiste a ella: a. Llea el requisito para recibir el subsidio? 14,500 15,600 1, ,800 6,500 5,900 10,00 8,800 14,300 13,

117 b. La guardería del ejemplo aterior puede cotiuar siedo subvecioada por la oficia de servicios sociales de la Juta Comual, mietras el igreso aual promedio de la familia cuyos asiste a esa istitució o llegue a B/.1, El igreso familiar de los padres de los iños es; c. Llea esta istitució los requisitos para recibir apoyo fiaciero de la Juta Comual del Corregimieto? d. Si la respuesta a (c) es egativa, cuáto debe dismiuir el igreso familiar para cumplir esa codició? e. Si la respuesta a (c) es afirmativa, cuáto puede aumetar el igreso familiar promedio, si que la istitució pierda su elegibilidad para recibir el subsidio? Problema #: Ua graja gaadera registro durate febrero el acimieto de 9 tereros, cuyos pesos al acer (e kilogramos) fue el siguiete: Los datos ateriores al ser dispuestos e ua tabla de distribució de frecuecias se obtuvo la siguiete tabla resultate. clases fi

118 Total 9 Calcule e las dos variates (datos o agrupados y datos agrupados) la media aritmética, la mediaa y la moda. Problema #3: El peso e kilogramos de u grupo de estudiates del sexo masculio e u curso de educació física, so los siguietes: clases fi Total 30 Ecuetre la media, la mediaa y la Moda. Compare los resultados utilizado la fórmula señalada ateriormete e el texto relativa a la correspodecia etre estas tres medidas de tedecia cetral. 113

119 Problema #4: U profesor ha decidido utilizar u promedio poderado al calcular las calificacioes fiales de los estudiates que asistiero a su semiario. El promedio de las tareas hechas e casa represeta el 0% de cada calificació, el exame parcial, 5%; el exame fial, 35%; el exame trimestral, 10% y los problemas de practica, 10%. Co los datos aexos calcule el promedio fial de los cico estudiates que asistiero al semiario Alumo Tarea Problemas Exame escolar trimestral Exame Exame parcial fial Problema #5: E 1996 se ivirtió u fodo de B7.30, y durate diez años se reivirtiero todos los itereses y dividedos. Al fial de los diez años el valor total del fodo era de B7.49, Cuál fue la tasa de redimieto promedio, computada aualmete sobre la iversió iicial? Problema #6: Los siguietes tres automóviles obtuviero el kilometraje por litro de gasolia que se idica abajo, después de cubrir u trayecto de 600 km, e ua pista de prueba. Cuál es el promedio de kilómetros por litros para los tres automóviles?. 114

120 Automóvil A 1.5 km/lt Automóvil B 15.6 km/lt Automóvil C 19.4 km/lt Problema #7: Supoga que cada uo de los tres automóviles del problema #6 teía 10 litros de gasolia e el taque. Los autos fuero rodados hasta que se le acabó la gasolia y los kilómetros por litro fuero los mismos señalados e el problema aterior. Cuál es el úmero promedio de kilómetros para los tres automóviles?. Compare esta respuesta co los que se obtuviero e el problema #6. Problemas de práctica de sumatorias I. Si x1=4; x=8; x3=10; x4=1; x5=15; x6=5; x7=4; x8=14; x9=16 lleva a cabo las siguietes operacioes II. Dado que x1=4; x=6; x3=-5; x4=1; y1=; y=3; y3=5; y4=7; z1=3; z=8; z39; z4=10 115

121 Halla Respuestas I.1) ) 49 3) 179 4) 73 5) 7(88) = 616 6) 1 II-. 1)

122 ) 3 3) = 3 4) 5(47) = 35 5) = 47 6) 53 7) 5(8) = 40 8) 1(10) = 10 OTROS PROBLEMAS RESUELTOS 1.-El gerete de ua empresa de alimetos desea saber que tato varía los pesos de los empaques (e gramos), de uo de sus productos; por lo que opta por seleccioar al azar cico uidades de ellos para pesarlos. Los productos tiee los siguietes pesos (490, 500, 510, 515 y 50) gramos respectivamete. Por lo que su media es: Co lo que cocluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, co ua tedecia a variar por debajo o por ecima de dicho peso e 1 gramos. Esta iformació le permite al gerete determiar cuato es el 117

123 promedio de perdidas causado por el exceso de peso e los empaques y le da las bases para tomar los correctivos ecesarios e el proceso de empacado..-ejemplo: Desviació estádar para datos o agrupados Calcular la desviació estádar al siguiete cojuto de datos muéstrales PASO 1: Calcular la media aritmética. PASO : Calcular la variaza E este puto, la variaza es idetificada por S. PASO 3: Calcular la desviació estádar a partir de la raíz cuadrada de la variaza. Los datos se aleja e promedio de la media aritmética e 6,5516 putos. 3.- Hallar la desviació media, la variaza y la desviació típica de la series de úmeros siguietes:, 3, 6, 8, 11. 1, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5., 3, 6, 8,

124 1, 6, 7, 3, 15, 10, 18, U pediatra obtuvo la siguiete tabla sobre los meses de edad de 50 iños de su cosulta e el mometo de adar por primera vez: Meses Niños

125 Calcular la desviació típica. 5.-.El resultado de lazar dos dados 10 veces viee dado por la tabla: Sumas Veces Calcular la desviació típica. 10

126 6.-Calcular la desviació típica de ua distribució estadística que viee dada por la siguiete tabla: 11

127 7.-Calcular la desviació típica de la distribució de la tabla: 1

128 8.-Las alturas de los jugadores de u equipo de balocesto viee dadas por la tabla: Altura Nº jugadores de [170, [175, [180, [185, [190, [195, 175) 180) 185) 190) 195).00) Calcular la desviació típica 13