Para expresar la función anterior como una ecuación se hace explícito el valor de la función evaluada en x haciendo y f x.

Transcripción

1 UNIDAD 7: FUNCIONES Antes de comenzr el estudio de ls unciones se debe hcer un breve repso sobre vlor bsoluto junto con lguns de sus propieddes, debido que dicho concepto será utilizdo en est unidd. 7. VALOR ABSOLUTO El vlor bsoluto de un número rel se deine como sigue: Además: si 0 si 0 o 7. FUNCIÓN Un unción es un regl que sign cd elemento de un conjunto D llmdo Dominio, ectmente un elemento de un conjunto I, llmdo Imgen. Tl signción se puede epresr clrmente medinte el siguiente digrm sgitl: Se costumbr hcer eplícito el vlor de l unción evlud en un vlor de l siguiente mner y, donde es l vrible independiente y y es l vrible dependiente. Ejemplo No. 0 Dd l siguiente unción 8, eprésel como un ecución y hlle Pr epresr l unción nterior como un ecución se hce eplícito el vlor de l unción evlud en hciendo y, por lo tnto: y 8 W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin

2 Por otro ldo, 8 El resultdo nterior se puede entender mejor medinte el siguiente digrm sgitl: 7.. Dominio de un unción El dominio de un unción es el conjunto de vlores que puede tomr l vrible independiente de tl mner que l unción esté bien deinid. 7.. Imgen de un unción L imgen de un unción es el conjunto de vlores que tomrá l vrible dependiente. Ejemplo No. 0 Hlle el dominio de ls siguientes unciones:. 8 b. 4 c.. L unción 8 está bien deinid si 0. Es decir, si: 0 0 y 0 Entonces 0 y Por lo tnto D R : 0 R 0, D, 00,, L representción gráic del dominio es l siguiente: b. L unción 4 está bien deinid si 4 0. Es decir, si: Por lo tnto D R : D, L representción gráic del dominio es l siguiente: W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin

3 c. L unción está bien deinid si 0. Es decir, si 0 es myor o igul que cero si Pr determinr cuáles vlores de cumplen con l nterior condición se debe hcer lo siguiente: ,,,,,, Por lo tnto D R : D,, L representción gráic del dominio es l siguiente: Ejemplo No. 04 Un recipiente rectngulr con su prte superior biert tiene un volumen de 0 m. L longitud de su lrgo es el doble de su ncho. El mteril pr construir l bse cuest 0 dolres el m y el mteril pr los ldos cuest 6 dolres el m. Eprese el costo del mteril en unción del ncho de l bse. Se sbe que: Costo del mteril (C ) = Costo de l bse (CB ) + Costo de los ldos (CL ) Pero: CB = 0 Áre de l bse ( AB ) y CL = 6 Áre de los ldos ( AL ) Dónde: AB AB AL h h h h AL h 4h Por lo tnto: CB 0 CB 0 CL 6 h 4h CL 6h Lo que d como resultdo inl: C 0 6h Pero se debe epresr el costo del mteril C en unción del ncho de l bse del recipiente. Pr tl eecto se debe tener en cuent que el volumen V del recipiente es 0 m, es decir V 0 W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 4

4 Pero V h) h V h. Por lo tnto h 0 Despejndo h de l ecución nterior y reemplzándol en l ecución del costo de C se tiene que h Por lo tnto 80 C 0 6 C 0, con 0 Ejemplo No. 0 Eprese el áre de un triángulo equilátero en unción de l longitud de uno de sus ldos. El áre A del triángulo equilátero es igul l áre A del triángulo rectángulo de l izquierd más el áre A del triángulo rectángulo de l derech. Es decir: A A A Siendo A A Pero A h b h h A 4 Además h h h 4 Por lo tnto A A 4 8 Con lo que A A 4 4 h 7... Gric de un unción L gráic de un unción de un vrible independiente es el conjunto G, y R : y Ejemplo No. 06 Grique l unción del ejemplo nterior. L gric de dich unción se muestr en l igur de l derech: Ejemplo No. 07 Trce l gráic de l unción vlor bsoluto W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin

5 si 0 Según l deinición de vlor bsoluto se tiene que: si 0 De lo nterior se tiene que l gráic de coincide con l rect y, l derech del eje Y, y coincide con l rect y, l izquierd del eje Y. NOTA: L gráic de un unción de un vrible independiente es un curv en el plno XY, pero no tod curv en el plno XY es l gráic de un unción de un vrible independiente Prueb de l rect verticl Un curv en el plno XY es l gráic de un unción de un vrible independiente si y solmente si ningun rect verticl cort l curv más de un vez. L curv represent l gráic de un unción. L curv no represent l gráic de un unción. ACTIVIDAD No.. Hlle h y h si. Un unción está deinid por. Determine l solución de l ecución 4. Se un unción deinid por el dominio de 4. Si. b.. Pruebe que:. Encuentre los vlores de h pr los cules h está en W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 6

6 . Si. Pruebe que b b 6. Si. Pruebe que b 4 7. Si y y. Pruebe que y 8. Si. Pruebe que h 9. Grique ls siguientes unciones:. b. g c. h h h 0. Hlle el dominio de ls siguientes unciones emplendo notción de conjuntos y notción de intervlos: 6. 4 b. c. 4 e. 8. g.. Supongmos que un punto 6y 0 P, y l punto, W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 7 d. 4 ( ) 6 h. ( ) 4 P, y se mueve, en sentido horrio, sobre l prábol. Eprese medinte un unción de un vrible independiente l distnci del punto. Eprese medinte un unción de un vrible independiente, el áre del rectángulo que tiene dos vértices en el eje X y los otros dos en l prábol y 6, por rrib del eje X.. Dd un eser de rdio R, eprese medinte un unción de un vrible independiente el volumen del cono circulr recto de rdio r ltur h que puede inscribirse en l eser. 4. Un hoj de ppel de dimensiones cm de lrgo y 8 cm de ncho, se cort por ls esquins en cudros de cm de ldo.. Pruebe que el volumen de l cj rectngulr que se puede construir prtir de l hoj viene ddo por V 4 6 4, con 0 4 b. Estime el volumen máimo que puede tener l cj.. Un pist de ptinje de 400 m de longitud tiene ldos prlelos y etremos semicirculres, tl como se muestr en l igur. Eprese el áre A encerrd por l pist en unción del diámetro d de los semicírculos. 6. Un ventn normnd tiene l orm de un rectángulo corondo por un semicírculo, tl como se muestr en l igur. Si el perímetro de l ventn es de m, eprese el áre A de l ventn en unción del ncho de l mism.

7 7. Un lmbre de 00 cm de longitud se cort en dos prtes, l primer prte de longitud cm y l segund prte de longitud y cm, tl como se muestr en l igur. El primer segmento se dobl pr ormr un triángulo equilátero y el segundo segmento se dobl pr ormr un cudrdo. Eprese el áre A C del cudrdo y el áre A T del triángulo en unción de l longitud del primer segmento. 8. Un ventn tiene l orm de un rectángulo corondo con un triángulo equilátero, tl como se muestr en l igur 4. Si el perímetro de l ventn es de 0 m. Eprese el áre A de l ventn en unción de su ncho. 9. Se dese construir un recipiente con orm de cilindro circulr recto pr que conteng 000 cm de ceite, tl como se muestr en l igur. Eprese el áre supericil del cilindro en unción de su ltur. 7. MODELOS MATEMÁTICOS Un modelo mtemático es un descripción mtemátic de un enómeno o evento del mundo rel. 7.. Modelos lineles Un modelo mtemático es linel si l gráic de l unción socid l modelo es un líne rect. L unción socid un modelo linel se denomin unción linel y es de l orm: m b Ejemplo No. 08 L compñí Silicon Vlley puede producir 000 chips por mes un costo totl de 000 dólres, y 0 chips 00 dólres. Si l compñí vende cd chip 0 dólres, hlle ls unciones lineles de costo, ingreso y utilidd. Un unción linel de costo es de l orm: C m b Si 000 entonces C 000 W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 8

8 Si 0 entonces C 00 C C Por lo tnto, l pendiente m serí: m 0 m L unción linel de costo quedrí de l siguiente orm C 0 b Como 000 y C 000, entonces el vlor de b serí: b b b 000 Por lo tnto, l unción linel de costo es: C Si l compñí vende cd chip 0 dólres, entonces el ingreso I de vender chips es unción linel de ingreso es: I 0 0. Por lo tnto, l Si tenemos en cuent que l utilidd U es igul l ingreso I menos el costo C, es decir U I C. Entonces l unción linel de utilidd es: U 0 0 U I C U U En l siguiente igur l rect C represent l gráic de l unción linel de costo y l rect I represent l gráic de l unción linel de ingreso: L líne rect que represent l gráic de l unción linel de costo se intercept con l líne rect que represent l gráic de l unción linel de ingreso en el punto (00, 000) denomindo punto de equilibrio. Si se producen menos de 00 chips se obtendrán pérdids debido que el costo de producción será myor que los ingresos obtenidos por ls vents (l rect C está por encim de l rect I), si se producen 00 chips el costo será igul l ingreso (l rect C se intercept con l rect I) y si se producen más de 00 chips el costo de producción será menor que el ingreso obtenido por ls vents (l rect C está por debjo de l rect I) 7.. Modelos cudráticos Un modelo mtemático es cudrático si l gráic de l unción socid l modelo es un prábol. L unción socid un modelo cudrático se denomin unción cudrátic y es de l orm: W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 9

9 b c Dich prábol tiene su vértice en b Además, si 0 l prábol es biert hci rrib y si 0 l prábol es biert hci bjo. Ejemplo No. 09 L cntidd W de dióido de crbono (en librs) que produce un uto deportivo depende de su rendimiento de combustible de cuerdo con l ecución cudrátic W 70 7, con 40. Donde represent el rendimiento de combustible (en mills por glón). Según el modelo nterior cuál es el rendimiento de combustible del utomóvil que produce l menor cntidd de dióido de crbono? L gráic de l ecución W 70 7 es un prábol que se muestr en l siguiente igur: 7.. Modelos eponenciles Son modelos cuy unción socid se denomin unción eponencil y son de l orm: W: cntidd de dióido (librs) Ab, con A b R Ejemplo No. 0 (,0) X: rendimiento de combustible (mills por glón), y b 0 Tenemos que y b 70, por lo tnto, su vértice está en: b 70 W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 0 Si entonces: W 0 L prábol tiene el vértice en,0 y es biert hci rrib y que 0. Por lo tnto, el rendimiento de combustible del utomóvil que produce l menor cntidd de dióido de crbono es mills por glón. En ls primers etps de l epidemi del SIDA l cntidd de persons inectds se duplic cd 6 meses, y en enero de 98 se estimb que hbí. millones de persons contgids. ) Supong un modelo de crecimiento eponencil y determine un modelo que pronostique l cntidd de persons inectds los t ños después de 98. b) Use el modelo pr estimr l cntidd de persons inectds en octubre de 98. c) Grique el modelo eponencil.

10 ) En el momento t 0 (enero de 98) l cntidd de inectdos er. millones. Como ese número se duplic cd 6 meses, se cudruplic cd ño. A los t ños se requiere, en consecuenci, multiplicr los. millones t originles por 4. De est mner el modelo es: t P. 4, con t 0 9 b) Octubre de 98 corresponde t 0. 7, y que octubre es 9 meses después de enero. Por lo tnto pr estimr l cntidd de persons inectds en octubre de 98 se debe evlur l unción t 9 eponencil Pt.4 en t Vemos P Es decir hbrán.6770 millones de persons inectds en octubre de 98. t c) L gráic de l unción eponencil Pt.4 se muestr en l siguiente igur: Se terminrá est sección recordndo lgunos spectos importntes de ls unciones trigonométrics seno, coseno y tngente. Ls gráics de ls unciones Sen, g Cos y h Tn se muestrn continución: y Sen Gric de l unción Seno W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin

11 y Cos Gric de l unción Coseno y Tn Gric de l unción Tngente En l siguiente tbl se describe el dominio, l imgen y el período de ls unciones seno, coseno y tngente: Función Dominio (D) Imgen (I) Período Sen Cos D R, I R :, D n R, nz I y R, : Tn 7.4 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Consideremos ls unciones y g deinids de l siguiente mner: g 7 Hllemos g 7 8 g 8 Es decir, l número le corresponde el número 8 según l unción g Ahor, hllemos W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin

12 Es decir, l número 8 le corresponde el número según l unción Vemos gráicmente lo que hce cd unción: El objetivo es buscr un unción que l número le signe el número. Vemos: Se sbe que 8, pero 8 g Por lo tnto g Lo nterior indic que l unción deinid sí: g g 7 7 hce que l número le se signdo el número. Tl unción está g 7 Vemos si es cierto que l unción nterior le sign l número el número : g 8 g 7 8 Gráicmente se tiene: g g L unción g 7 se denomin unción compuest de con g. Ahor deinmos lo que es un unción compuest en generl: Sen y g dos unciones. L unción compuest g es l unción deinid de l siguiente mner: g g Gráicmente se tiene: g g 8 8 g g g g g Ejemplo No. Si y g. g b. g c. d. g g hlle cd unción y su dominio: W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin

13 . g g 4 g 4 L unción g 4 está bien deinid si 0. Es decir: Por lo tnto: D R :, b. g g g g L unción g está bien deinid si 0 y 0. Es decir: 4 Por lo tnto: D R : 0 4 0, 4 c. 4 4 L unción 4 está bien deinid si 0 Por lo tnto: D R : 0 0, d. g g gg g g g L unción g g está bien deinid si 0 y 0. Es decir: 4 Por lo tnto: D R :, ACTIVIDAD No.. Cundo el ire seco se elev, se epnde y enrí. Si l tempertur en el suelo es de 0C y l tempertur un kilometro de ltur es de 0 C. Eprese l tempertur T en unción de l ltur h suponiendo que un modelo linel es el más propido.. El gerente de un ábric de rerigerdores observ que el lunes l empres brico 0 rerigerdores un costo de 000 dólres y el mrtes brico 40 rerigerdores un costo de 0000 dólres. Hlle l unción linel de costo. Si se venden los rerigerdores 00 dólres cd uno. Cuál es l unción linel de ingreso? Cuál es l unción linel de utilidd? Cuántos rerigerdores debe vender l empres por dí pr lcnzr el punto de equilibrio?. Un editoril pronostic que l ecución de demnd pr l vent de su últim novel de cienci icción será q p 8. Donde q es l cntidd de libros que puede vender por ño l editoril un precio p cd uno W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 4

14 Qué precio debe cobrr l editoril pr obtener el máimo ingreso I nul? Not: El ingreso I depende del precio p trvés de l siguiente ecución: 4. En cd cso hlle g, g,, g g y el dominio de cd un:., g b., g c., g. Si 4, g y 7. FUNCIÓN EXPONENCIAL Un unción eponencil es un unción de l orm: El número I pq h, hlle g h y su respectivo dominio. R se denomin bse de l unción eponencil. Además 0 En l siguiente tbl se muestrn los tres csos que se presentn pr l unción eponencil: Vlor de l bse Tipo de curv Dominio Imgen Cso 0 I 0, Cso D, I Cso I 0, 7.6 FUNCIONES UNO A UNO Compremos ls unciones y g cuyos digrms sgitles se muestrn continución: W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin

15 A B El digrm sgitl muestr que l unción nunc tom el mismo vlor dos veces. A g B g g g g g El digrm sgitl muestr que l unción g tom el mismo vlor dos veces. Es decir: g g Ls unciones que se comportn como l unción se conocen con el nombre de unciones biunívocs o uno uno. Un unción es uno uno si nunc tom el mismo vlor dos o más veces. Es decir: siempre que Gráicmente se puede sber si un unción es uno uno plicndo l siguiente prueb conocid con el nombre de prueb de l rect horizontl: 7.6. Prueb de l rect horizontl Un unción es uno uno si y solmente si ningun rect horizontl cort su gric más de un vez. Ejemplo No. Determine si ls unciones y L unción g son o no son uno uno. Justiique su respuest. no es uno uno y que dos números distintos pueden tener el mismo cudrdo. Es decir l unción puede tomr el mismo vlor dos veces. g es uno uno y que dos números distintos no pueden tener el mismo cubo. Es decir l unción no puede tomr el mismo vlor dos veces. L unción Lo nterior se puede precir mejor trvés de ls gráics de y g : W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 6

16 y y Note que l rect horizontl cort l gráic de l Note que l rect horizontl cort l gráic de l unción en más de un punto. unción en un solo punto. Ls unciones uno uno son importntes y que se crcterizn por ser unciones que poseen invers. 7.7 FUNCIÓN INVERSA Consideremos l unción muestr continución: A g g con dominio el conjunto A e imgen el conjunto B, cuyo digrm sgitl se B Anteriormente se mostró que est unción es uno uno, y por lo tnto tiene invers. El objetivo es hllr un unción que se l invers de g con dominio el conjunto B e imgen el conjunto A, cuyo digrm sgitl se el siguiente: Es clro que dich unción es de g invers. Vemos: Se escoje un número del dominio de g. Por ejemplo él y se hll: g 8 Es decir, l unción g le sign l número Ahor, se hll: invers de g8 8 Es decir, l unción número A. A el número 8 B invers de g le sign l número 8 B el Ahor, se deine ormlmente lo que es l invers de un unción. Se un unción uno uno con dominio el conjunto A e imgen el conjunto B. Entonces su unción invers es l unción l cul tiene como dominio el conjunto B y como imgen l conjunto A, l cul se deine de l siguiente mner: A invers de g B W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 7

17 y y Pr culquier en A y y en B. Lo nterior se comprende mejor trvés del siguiente digrm sgitl: Note que: Dominio de es igul l imgen de Imgen de es igul l dominio de Ejemplo No. Hlle l invers de Pso : Eprese l unción como un ecución: y Pso : Despeje y y y Pso : Intercmbie y y y Pso 4: Eprese l ecución nterior como un unción emplendo l notción 7.7. Ecuciones de cncelción Se un unción uno uno con dominio A e imgen B. Entonces se cumple: pr todo en A pr todo en B : Si ( ) hlle Epresndo l unción como un ecución: Despejndo y y y y y Ejemplo No. 4 y y y compruebe que se cumplen ls ecuciones de cncelción: y W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 8

18 W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 9 y y Intercmbindo y y : y Epresndo l ecución nterior como un unción: Veriiquemos hor que se cumplen ls ecuciones de cncelción: L unción eponencil, vist nteriormente es un unción uno uno y, por lo tnto, tiene invers. L unción invers l unción eponencil es l unción logrítmic de bse y se denot Log 7.8 FUNCIÓN LOGARÍTMICA Un unción logrítmic es un unción de l orm: Log El número R se denomin bse de l unción logrítmic. Además 0 Como l unción logrítmic es l invers de l unción eponencil y vicevers se tiene que si, entonces Log y si Log, entonces Recordndo l deinición de unción invers y considerndo que Log y se tiene que: y y Por lo tnto: y L y og Lo nterior se denomin equivlenci entre l ecución eponencil y l ecución logrítmic. Tl equivlenci sirve pr clculr logritmos ectos. Clcule 8 Log y 8 Log 8 Log es igul un número, tl que el (l bse del logritmo) elevdo dicho número debe ser Ejemplo No.

19 ectmente igul 8. Tl numero debe ser el, y que 8. Es decir: Log 8 8 Log es igul un número, tl que el (l bse del logritmo) elevdo dicho número debe ser 8 ectmente igul 8. Tl numero debe ser el 4, y que Es decir: Log 8 8 Ejemplo No. 6 Cuál es el dominio y l imgen de l unción logrítmic?: Supong que y considere el siguiente digrm sgitl: D Log I Recuerde que el dominio de l unción eponencil es el conjunto D,, que su imgen es el conjunto I 0, y que su invers es l unción logrítmic Log cuyo dominio es l imgen de y cuy imgen es el dominio de. Por lo tnto el dominio y l imgen de l unción logrítmic son 0, I, respectivmente D y 7.8. Ecuciones de cncelción pr ls unciones eponencil y logrítmic Log pr todo R Log pr todo Propieddes logrítmics Log Log y Log Log y Log Log y y n Log nlog Ejemplo No. 7 Si ( ) pruebe que ( ) Log0 Log0 0 Eprese l unción como un ecución y 0 Despeje W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 40

20 y 0 y y y y y y y Log00 Log0 y Log y Log y Log y Log y Log y Log y Log y 0 0 y Log Intercmbie y y : y Log0 Log0 Log0 y Log0 y Eprese l ecución nterior como un unción: Log Log Función eponencil nturl y unción logrítmic nturl De tods ls bses posibles pr un unción eponencil eiste un que es l más conveniente pr los ines del cálculo. Se trt del número e. 788 (notción elegid por el mtemático suizo Leonhrd Euler en 77). Cundo en un unción eponencil l bse es e, es decir, si e l unción se denomin unción eponencil nturl. L invers de l unción eponencil nturl e es l unción logrítmic Loge l cul se denomin unción logrítmic nturl. Usulmente est unción se denot Ln en vez de Log e Es de sum importnci con relción l unción eponencil nturl y logrítmic nturl recordr lo siguiente: Equivlenci entre l ecución eponencil nturl y l ecución logrítmic nturl. Ecuciones de cncelción pr ls unciones eponencil nturl y logrítmic nturl. e y Lne Ln y pr todo R e Ln pr todo 0 Ln y Ln Lny Propieddes logrítmics nturles. Ln Ln Lny y Ln n nln Logritmo nturl de Euler. Lne Logritmo nturl de. Ln 0 W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 4

21 Ejemplo No. 8 y e Si y pruebe que y Ln b be be e e y y y be b e y y y e b y Lne Ln b y Ln Ln b b y Ln b y Ln b y Ln y Ln b Ejemplo No. 9 6 Hlle el vlor de si e 6 Lne Ln ACTIVIDAD No. 4. Hlle en cd cso ( ) : e ) ( ) Ln b) ( ) c) ( ) e b ce. Si ( ) pruebe que ( ) Ln Ln b be y e. Si y pruebe que y Ln b be W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 4

22 4. Si e ( ) pruebe que ( ) Ln Ln e. e ) e Q t Q e pruebe que ( ) Ln Ln y ( t 6. Si 0 hlle Q t 7. Hlle el vlor de en cd ecución: 4 ) Ln b) e c) Ln Ln d) Ln Ln e) Ln 4 Ln Ln Ln Ln g) Ln Ln 0 h) Ln Ln Ln4 ) 4 Ln y e 8. Si pruebe que y y Ln b be 9. Si se invierte un cntidd P, durnte T ños un ts nul de interés R, y si se reinvierte el interés M veces l ño, el vlor uturo A es AUTOEVALUACIÓN No. 6 MT R A P. Despeje l vrible T de l ecución nterior. M Pregunts de selección múltiple con únic respuest: Ls pregunts de este tipo constn de un enuncido y de cutro posibiliddes de respuest, entre ls cules se debe escoger l correct.. Si es un número rel. Es verddero que: A. Si, entonces B. Si 0, entonces C. Si R D. Si R. Se I. 0, entonces, entonces. Considere ls siguientes irmciones: solo si II. III. IV. Si, entonces De ls irmciones nteriores son verdders. A. I y III W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 4

23 B. II y IV C. II y III D. I y IV. Si 0 y 8 A. 4 o B. o 4 C. o D. o, entonces es igul : 4. Un gricultor dese cercr un cmpo rectngulr y luego dividirlo en tres lotes rectngulres medinte dos cercs prlels uno de los ldos. El gricultor necesit 000 metros de lmbre. Si es el lrgo del cmpo, el áre A del cmpo se epres correctmente como: A B. C. 00 D. 0. L siguiente igur muestr l gráic de y : L gric de l unción y es: A. B. W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 44

24 C. D. 6. De l iguldd Log Log Log se puede irmr que: A. Siempre es ls. B. Es verdder solo si C. Es verdder pr todos los números reles. D. Es verdder pr los números reles dierentes de. 7. L proposición incorrect es: A. Tods ls unciones eponenciles, l ser gricds cortn l eje Y en el punto, B. Si, l unción y es decreciente. C. L unción eponencil no tiene ceros. D. L curv de un unción eponencil jmás cort l eje X. 8. Si ) ( y g ( ) 4, el dominio de l unción g() A.,, B.,, C., D.,, 9. Si ( ), entonces 0. Si A. 4 B. C. D. ( ) es igul :, entonces es igul : A. B. es: W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 4 0.

25 C. D.. Un recinto rectngulr requiere 000 pies de vll pr cerrrlo. Si un de sus dimensiones es pies. El áre y en pies cudrdos epresd en unción de junto con su respectivo dominio es: A. 000 B. y C. y D. 000 y pr pr pr y pr Si ( ) h, entonces es igul : A. h B. h C. h D. h h W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O F u n c i o n e s Págin 46