MATEMÁTICAS. TEORÍA y PROBLEMAS FOTOCOPIABLE 4º B de ESO. LibrosMareaVerde.tk

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1 MATEMÁTICAS TEORÍA PROBLEMAS FOTOCOPIABLE º B de ESO. Números reles. Potencis ríces. Epresiones lgebrics. Polinomios 7. Ecuciones sistems. Inecuciones. Proporciones 9 7. Semejnz 8 8. Trigonometrí 9 9. Geometrí Funciones gráfics. Funciones polinómics, definids trozos de proporcionlidd invers 0. Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics 7. Estdístic. 7. Combintori. 98. Azr probbilidd. TOTAL 0 I.S.B.N. - : I.S.B.N. - 0:

2 CAPÍTULO : NÚMEROS REALES. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES Te recordmos los distintos tipos de números que conoces: Nturles N = {0,,,, } Son los números que se usn pr contr ordenr. El 0 puede incluirse o no, dependerá de tu profesor. Enteros Z = {,,,, 0,,,, } Son los números nturles sus opuestos. No tienen prte deciml, de hí su nombre. Incluen los Nturles. A los números que se pueden epresr en form de cociente de dos números enteros se les denomin números rcionles se les represent por l letr Q. Por tnto Rcionles Q = { ; Z, b Z, b 0} b Los números rcionles incluen los enteros. Tmbién contienen los números que tienen epresión deciml ect 0, los que tienen epresión deciml periódic 7,0 como veremos... Epresiones decimles finits o periódics Recuerd que: Si el denomindor de l frcción irreducible sólo tiene como fctores primos potencis de ó l epresión deciml es ect. Así por ejemplo Notción: s ignific sig n ific signific signific " pertenece" " U n ió n " "incluido" "Intersecció 0 0 0,0; que, esto es generl que siempre hbrá un potenci de 0 que se múltiplo del denomindor si éste sólo contiene doses o cincos. Fíjte que el número de decimles es el mor de los eponentes de. Si el denomindor de l frcción irreducible tiene lgún fctor primo que no se ni l frcción tendrá un epresión deciml periódic. Si suponemos un número n con fctores primos distintos de, entonces 0 m 0 m, n n pero el denomindor no puede dr un cociente ecto l dividir l numerdor, puesto que 0 sólo tiene los fctores. Ello nos demuestr que l epresión deciml no puede ser ect. Vemos que es periódic: Con un ejemplo nos bstrá, si dividimos entre obtenemos un primer resto que es 0, luego otro que es 8 seguimos, pero, se repetirá lgun vez el resto por lo tnto ls cifrs del cociente?, l repuest es que sí, seguro que sí, los restos son siempre menores que el divisor, en este cso del l, si o obtengo restos distintos como es el cso l scr uno más tiene que repetirse!, es el llmdo Principio del Plomr. Y prtir de hí los vlores del cociente se repiten. Por lo tnto l epresión deciml es periódic el número de cifrs del periodo es como máimo un unidd inferior l denomindor no siempre ocurre esto pero / tiene un periodo de cifrs, /97 lo tiene de 9 cifrs, sin embrgo /7 tiene un periodo de sólo cifrs, un pist: 7 es divisor de 999. Tods ls frcciones tienen epresión deciml ect o periódic.. Mentlmente decide cuáles de ls siguientes frcciones tiene un epresión deciml ect cuáles l tienen periódic / b / c 7/0 d / e 7/8 f 9/. Clcul l epresión deciml de ls frcciones del ejercicio nterior comprueb si tu deducción er correct. Clcul l epresión deciml de ls frcciones siguientes: / b /9 c 7/80 d / e 9/00 f /.. Form de frcción de un epresión deciml Recuerd el procedimiento: Mtemátics º de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

3 Actividdes resuelts Cálculo de l form de frcción de: 0,7; b,7 7 7 Epresión deciml ect: 0,7, se divide entre 0 elevdo l número de cifrs decimles b Epresión deciml periódic: Tenemos que conseguir números con l mism prte deciml pr que l restr desprezcn los decimles. N, N 7,... 0N 7, Si restmos :990N 708 N Primero nos llevmos l com l finl del primer periodo fíjte que el nteperiodo el periodo juntos tienen cifrs, después l principio del primer periodo el nteperiodo tiene cifr. Tenemos dos epresiones con l mism prte deciml por lo que l restr, esos decimles se vn, sólo qued despejr N. Tod epresión deciml ect o periódic se puede poner como frcción.. Escribe en form de frcción ls siguientes epresiones decimles ects redúcels, comprueb con l clculdor que está bien: 7,98; b 9,98; c 0,. Escribe en form de frcción ls siguientes epresiones decimles periódics, redúcels comprueb que está bien:,.. b 87,. c 0, d, no es un número es rcionl: Vmos utilizr un método de demostrción mu hbitul en Mtemátics que se llm Reducción l Absurdo que consiste en que si únicmente h posibiliddes pr lgo que llmmos A noa queremos demostrr A, empezmos suponiendo que se cumple noa, hcemos lgún rzonmiento donde se lleg un contrdicción Absurdo desechmos noa, teniendo que cumplirse por tnto A. Más fácil de entender: supón que sólo h posibles cminos pr llegr un sitio. Tirs por uno de ellos descubres que no lleg ningun prte, pues tiene que ser el otro. Vmos ello: Queremos demostrr A: no puede ponerse como frcción. Suponemos cierto su contrrio noa: si puede ponerse como frcción. Entonces, frcción irreducible. Elevmos l cudrdo en los miembros: b, luego b b es pr por lo tnto tmbién lo es el cudrdo de un número impr es siempre impr, ponemos = k sustituimos: k b k b b k luego b es pr por tnto b tmbién lo será. En definitiv: b son los números pres. CONTRADICCIÓN, bsurdo, hemos dicho que l frcción er irreducible, luego b no pueden ser mbos múltiplos de. Por tnto rechzmos noa nos quedmos con que A es ciert. Este procedimiento sirve igul pr tods ls ríces no ects, de culquier índice. Pero no vle pr todos los irrcionles, pr demostrr que es un número irrcionl h que estudir mucho. Fue demostrdo finles del siglo XVIII por Lmbert. Hst ese momento todví se seguín clculndo decimles pr encontrr un periodo que no tiene... Distintos tipos de números Todos estos números como,,... π junto con los números rcionles formn el conjunto de los números reles. Y los números reles que no son números rcionles se les llm números irrcionles. Por tnto Irrcionles I = Q. Son números irrcionles los números que no son rcionles por tnto quellos números que no pueden ponerse como frcción de números enteros. H más de lo que podrí Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

4 precer de hecho h más que rcionles!, son todos quellos que tienen un epresión deciml que no es ect ni periódic, es decir, infinits cifrs decimles sin periodo. Ejemplos: 7,777 que me lo cbo de inventr o 0,7890 que se lo inventó Crmichel. Invéntte uno, busc en Internet si no lo encuentrs, pues es tuo por hor. Reles = Q I. Es l unión de los números rcionles de los irrcionles. Tenemos por tnto que: N Z Q. I Son estos todos los números? No, los reles formn prte de un conjunto más mplio que es el de los Números Complejos C en º de bchillerto se ven, en l opción de Ciencis.. Copi en tu cuderno l tbl djunt señl con un X qué conjuntos pertenecen los siguientes números: Número N Z Q I -,0 0, 000, 7. Copi en tu cuderno el esquem siguiente mete los números del ejercicio nterior en su lugr: 8. Puedes demostrr que,99999 =?, cuánto vle,999? 9. Demuestr que 7 es irrcionl. 0. Cuánts cifrs puede tener como máimo el periodo de 7?. Cuántos decimles tiene?, te treves dr l rzón? 7. Hz l división :7 después hz :7. Será csulidd?. Ahor divide 999 entre 7 después :7, es csulidd?. APROXIMACIONES Y ERRORES. no se sustitue por,7 ni Aunque en este curso vmos trbjr en l medid de lo posible con vlores ectos por, h veces en que es necesrio hcer proimciones por motivos prácticos no le vmos decir l tendero que nos dé metros de cuerd por l cuent que nos tre trbjr con números proimdos por entre otros motivos no conocer los vlores ectos. Así por ejemplo, si nos pesmos es un báscul mrc, Kg, cuánto pesmos ectmente? No se puede sber, es imposible, lo máimo que podemos decir es que nuestro peso está entre,, Kg si el error máimo es de 00 g... Error Absoluto. Se define el Error Absoluto EA como EA = vlor rel vlor proimdo. Ls brrs significn vlor bsoluto que sbes que quiere decir que en cso de ser negtivo lo convertimos positivo. Si proimmos, tendremos que el EA =, 0, , uns 7 millonésims. Cot del Error Absoluto: Aún sin conocer con ectitud el vlor ecto, siempre podemos poner un cot un vlor máimo l error bsoluto sólo teniendo en cuent el orden de proimción, sí, si hemos redondedo en ls diezmilésims como en el ejemplo siempre podemos firmr que el EA 0,0000, es decir, menor o igul que medi unidd del vlor de l cifr de redondeo o uniddes de l siguiente cienmilésims, que es lo mismo. Actividdes resuelts Clcul l cot del error bsoluto de: N, EA 0,0 N 00 EA 0 si suponemos que hemos redondedo en ls centens. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

5 Cuándo no se conoce el vlor rel, no puede conocerse el vlor bsoluto, pero si un cot. Si un cronómetro tiene un precisión de décims de segundo diremos que el EA 0,0 s medi décim ó centésims Si tenemos un número A l cot del error bsoluto es A se lee incremento de A suele ponerse A A sobre todo en ls Ciencis Eperimentles... Error Reltivo. Pr comprr errores de distints mgnitudes o números se define el Error Reltivo ER como: EA ER = Vlor rel que suele multiplicrse por 00 pr hblr de % de error reltivo. Si no se conoce el vlor rel se sustitue por el vlor proimdo l diferenci normlmente es pequeñ. Actividdes resuelts Si proimmos ríz de por,7, el error reltivo cometido es: 0,00,7EA 0,00 ER 0,00 0,% Si en l últim división ponemos el vlor proimdo,7 el ER sle proimdmente 0,%. En ls proimciones A =, con EA 0,0 B = 70 con EA, en cuál estmos cometiendo proporcionlmente menor error? Clculmos los errores reltivos: 0,0 A ER ER 0,009 ER 0,9%, BER ER 0, 007 ER 0, 7% 70 Es mejor proimción l de B. Control del error cometido: No h nd más ignornte mtemáticmente hblndo que utilizr demsids cifrs decimles trbjndo en problems prácticos. Decir que en un mnifestción prticipron proimdmente persons dñ el sentido común. Tmbién es un gmberrd decir que l estimción de voto pr el prtido A es del, % de votos si el error puede ser del % cos que no suele mencionrse. Poner como not de un emen un,7 es l menos curioso por su prente precisión. Actividdes resuelts Tenemos dos números redondedos ls décims: A =, B =,7 Vmos hcer operciones con ellos controlndo los errores. Como el EA 0,0 recuerd: si redondemos en ls décims el error será inferior o igul centésims tenemos que A puede estr entre,,; igulmente B estrá entre,,7. Sum: El vlor más pequeño será, +, = 8,; el vlor máimo será, +,7 = 8,. Si restmos d 0,. Si tommos como vlor de l sum 8,, que es l medi, hor el EA 0, l mitd de l diferenci entre el máimo el mínimo, fíjte en que 8, está distnci 0, de 8, de 8, cundo ntes er inferior 0,0. Y no podemos estr seguros del último deciml. Con l rest ps lo mismo. Mínimo,, =, OjO!, el menor menos el mor. Máimo,7, =,. L medi es, como,,: =0, el EA 0, En cd sum o rest el error bsoluto es l sum de los errores bsolutos demuéstrlo. Si hcemos vris sums rests, pues umentrá peligrosmente. Producto: Vlor más pequeño,, =,8; vlor máimo,,7 =,. L diferenci es hor de 0,8. Si tommos como producto, tenemos que EA 0,; se h multiplicdo por 8. Y no debemos estr seguros ni de ls uniddes, podrí ser o. Si multiplicmos A con EA = con B con EA = b obtenemos un EA = B + b A. Nótese que depende de los vlores de A B. Not: L fórmul EA = B + b A sle de hcer A+ B+bA- B-b dividir entre. Compruébl. Si hcemos B+bA/AB obtenemos /A+b/B, es decir: Los errores reltivos se sumn l multiplicr dos números. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

6 División: El vlor más pequeño posible se obtiene de dividir el más pequeño entre el más grnde:, :, =,; el más grnde l revés el más grnde entre el más pequeño:,7 :, =,. Por tnto EA 0,0. B ba Ahor sle proimdmente EA =, que si B es grnde hce que slg reducido, pero si B es pequeño nos d B un ingrt sorpres. Actividdes resuelts Cálculo del error bsoluto reltivo si A = ; = 0,0; B = 0,; b = 0,0 A/B = 0 con EA,, un % de error reltivo. No todo son mls noticis. Si dividimos un número proimdo entre un número ecto el error bsoluto disminue si el divisor es mor que. Por ejemplo 0, : 0 0, 0,0. Sin embrgo el error reltivo permnece igul pruéblo. Not: Est fórmul sle de hcer A A Bb Bb dividir entre, desprecimos b frente Potenci: Puede rr l ctástrofe. Comprueb que el mínimo sle 8 el máimo 8. EA 0.,70,0 Esto es, 0, lo que represent un % de error reltivo.,7 Curiosmente 88 no es, que vle 8, proimdmente, 88 es l medi entre el mínimo el máimo. Actividdes resuelts Medimos el rdio de un circunferenci con un regl milimetrd mrc 7,0 cm. Queremos clculr el áre del círculo. El error máimo en el rdio es de 0,0 cm luego puede estr entre,9 7,0. Si plicmos l fórmul r pr estos vlores obtenemos,7,, que son los vlores mínimo máimo. L diferenci es, su mitd es, que es l cot de error bsoluto. Diremos que: A =,9, cm. L cot del error reltivo, 00,9 =, %. El rdio tení un cot de 0,0 : 7 00 = 0,7 %, luego hemos perdido precisión. Si opermos con números proimdos, peor ún, si lo hcemos en repetids ocsiones, los errores se vn cumulndo hst el punto de poder hcerse intolerbles. No ses demsido preciso si los dtos de prtid no son fibles.. Redonde hst ls centésims hll los errores bsoluto reltivo cometidos.. Hll un cot del error bsoluto en ls siguientes proimciones:, b c,00 d 000 con redondeo en ls decens.. Un blnz tiene un error inferior o igul 0 g en sus medids. Usmos es blnz pr elborr 0 pquetes de zúcr de Kg cd uno que son un lote. Determin el peso mínimo máimo del lote. Cuál es l cot del error bsoluto pr el lote? 7. Los números A =, B = hn sido redondedos. Hll un cot del error bsoluto del error reltivo pr: B A+B b A B c B/A d A Not: Determin lo vlores máimo mínimo de A B. Después los vlores máimos mínimos de cd prtdo recuerd que l rest l división funcionn distinto 8. Cómo medir el grosor de un folio con un error inferior 0,000 cm con l ud de un regl milimetrd l de el/l ordennz del instituto?, hzlo.. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL DE LOS NÚMEROS REALES:.. Densidd de los Números Reles: B. No h que sbérsel. Los números reles son densos, es decir, entre cd dos números reles h infinitos números en medio. b Eso es fácil de deducir, si, b son dos números con < b sbemos que b, es decir, l medi está entre los dos números. Como esto podemos hcerlo ls veces que quermos, pues de hí el resultdo. Curiosmente los rcionles son tmbién densos, sí como los irrcionles. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

7 7 9. Clcul números reles que estén entre. 0. Hll números rcionles que estén entre,. Hll números irrcionles que estén entre,.. Representción en l rect rel de los números reles: Elegido el origen de coordends el tmño de l unidd o lo que es igul, si colocmos el 0 el todo número rel ocup un posición en l rect numéric l revés, todo punto de l rect se puede hcer corresponder con un número rel. Vemos como representr de form ect lgunos números reles: I.- Representción en l rect de los números rcionles: Actividdes resuelts Si l frcción es propi numerdor menor que el denomindor, vlor menor que, por ejemplo bstrá con dividir l primer unidd en prtes igules tomr. En cso de ser negtiv contremos hci l izquierd. Ver figur Si l frcción es impropi numerdor mor que denomindor por tnto vlor mor que hremos l división enter sin decimles quedándonos con el cociente el resto. Esto nos permite ponerl en form mit sum de un entero un frcción propi. Así por ejemplo: que l dividir entre obtenemos de cociente de resto. El cociente es l prte enter el resto el numerdor de l frcción propi. Pr representrl sólo nos tenemos que ir donde dice l prte enter l unidd siguiente l que v del l l dividimos en prtes igules tommos. Otro ejemplo: 7, pues l división d de cociente de resto. 7 7 Nos vmos l, dividimos l unidd siguiente del l en 7 prtes igules tommos. En cso de ser negtiv:, se hrá igul pero contndo hci l izquierd. Nos vmos l, l unidd que v del l se divide en prtes tommos pero contndo del l clro!. Recuerd que: Pr dividir un segmento en prte igules: Pr dividir el segmento AB en por ejemplo prtes igules, trzmos por A un líne oblicu culquier, brimos el compás un bertur culquier mrcmos puntos en l rect nterior distnci igul. Unimos el último punto con B trzmos prlels que psen por los puntos intermedios de l rect oblicu. Por el Teorem de Thles, el segmento AB h queddo dividido en prtes igules. Normlmente no te eigirán que lo hgs tn ecto, lo hrás de form proimd, pero ten cuiddo en que ls prtes prezcn igules. II.- Representción en l rect de ls ríces cudrds: Pr representr ríces cudrds usmos el Teorem de Pitágors. Si en un triángulo rectángulo l hipotenus es h los ctetos son, b tenemos que h b h b. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

8 8 Actividdes resuelts Represent en l rect Si = b = tenemos que h. Sólo tenemos que construir un triángulo rectángulo de ctetos, su hipotenus mide, l digonl del cudrdo de ldo mide. Ahor utilizndo el compás, llevmos es distnci l eje X ver figur. Represent en l rect Como sólo h que construir un triángulo rectángulo de ctetos, su hipotenus mide. Hs pilldo el truco?, el rdicndo h que epresrlo como sum de cudrdos. El triángulo rectángulo tendrá como ctetos esos dos números. Así, pr representr, epresmos como sum de cudrdos: 9 luego en un triángulo rectángulo de ldos l hipotenus será. Pero, si el número no puede ponerse como sum de cudrdos?, por ejemplo el siempre complicndo ls coss!. Hbrá que hcerlo en psos. = + 9, h lgún número cuo cudrdo se?, por supuesto que sí,. Por tnto, tenemos que hcer un triángulo rectángulo de ctetos. Pr ello primero se construe como ntes se trz un perpendiculr de longitud ver figur. Pueden dibujrse sí tods ls ríces?, no. H lguns pr ls que h que hcer más psos requiere, pero mejor lo dejmos quí, no?. Represent en l rect numéric de form ect los siguientes números: 7 7 ; ;,7;,. Represent en l rect numéric de form ect: 0; 8; ;.. Un ejemplo de interés mtemático, nturl rtístico: Hs oído hblr del número de oro? El Número de Oro o Rzón Áure o Proporción Armónic o Divin Proporción es igul Actividdes resuelts Cómo lo representmos en l rect? Sólo h que construir como rrib, sumr trsldmos unidd con el compás dividir entre hllndo el punto medio con l meditriz, hecho. Otr form distint: Construimos un cudrdo de ldo un qué?, un lo que quiers!. Hllmos el punto medio del ldo inferior M llevmos l distnci MA con el compás l eje horizontl, OF es el número de oro. Vemos: MA OF MA Un ejemplo de l plicción de l rzón Áure pr construir un espirl imgen de wikipedi. 7 por ejemplo Espirl Áure. Wikipedi Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

9 9. Busc rectángulo áureo espirl Áure.. Y de pso busc l relción entre el Número de Oro l Sucesión de Fiboncci.. Busc en outube lgo ps con phi me cuents... Herrmient informátic pr estudir l proporción áure En est ctividd se v utilizr el progrm Geogebr pr relizr un estudio de l proporción áure. Un segmento está dividido en dos prtes que están en proporción áure si l rzón entre l longitud del segmento l longitud de l prte mor coincide con l rzón entre l longitud de l prte mor l de l prte menor. Actividdes resuelts Utiliz Geogebr pr dividir un segmento en dos prtes que estén en proporció áure. Abre un nuev ventn de Geogebr, en el menú Visuliz desctiv Ejes Cudricul Determin con Nuevo punto los puntos A B dibuj el segmento,, que los une. Trz un segmento BD perpendiculr l segmento AB en el punto B, cu longitud se l mitd de AB, puedes seguir ls siguientes instrucciones: Clcul el Punto medio o centro del segmento AB llámlo C. Dibuj con Circunferenci con centro punto que cruz l que tiene centro en B ps por C. Trz l Rect Perpendiculr l segmento AB que pse por B. Define D como el Punto de Intersección entre est rect l circunferenci. Dibuj el segmento AD un circunferenci con centro D que pse por B. Se E el Punto de Intersección de est circunferenci con el segmento AD. Con centro en A trz l circunferenci que ps por E determin el punto de Intersección, F, de est circunferenci con el segmento AB. Trz el segmento, g, que une los puntos A F. Comprueb que el punto F divide l segmento AB en dos prtes que están en proporción áure: Elige en el menú Opciones, Posiciones decimles. Clcul en l líne de Entrd los cocientes /g g/-g. Observ en l Ventn lgebric que estos vlores coinciden, hs clculdo un vlor proimdo del número de oro, Φ. Con l herrmient Desplz, cmbi l posición de los puntos iniciles A o B comprueb que el cociente entre ls longitudes de los segmentos AF FB permnece constnte. Pr visulizr mejor l construcción puedes dibujr los elementos uilires con trzo discontinuo, eligiendo en el menú contetul, Propieddes Estilo de trzo. Un rectángulo es áureo si sus ldos están en proporción áure. Si un rectángulo áureo le quitmos o le ñdimos un cudrdo obtenemos un rectángulo semejnte l de prtid por lo tnto tmbién áureo. Utiliz Geogebr pr dibujr un rectángulo áureo. Abre un nuev ventn de Geogebr, en el menú Visuliz desctiv Ejes Cudricul Define dos puntos A B que vn ser los etremos del ldo menor del rectángulo con l herrmient polígono regulr dibuj, prtir de los puntos A B, el cudrdo ABCD ocult los nombres de los ldos con l herrmient Epone/Ocult rótulo. Clcul el Punto medio, E, del ldo BC. Con centro en E dibuj l Circunferenci con centro en E que ps por A. Trz l rect,, que ps por BC define como F el Punto de intersección entre est rect l circunferenci. Dibuj l Rect perpendiculr l rect que ps por F, l rect que ps por los puntos A D, llm G l Punto de intersección de ests rects define con Polígono el rectángulo ABFG. En l ventn lgebric precen ls longitudes de los ldos del rectángulo como f g, introduce en l líne de Entrd g / f observ en est ventn que prece el vlor e que es un proimción l número áureo. Elige en el menú Opciones, Posiciones decimles. Dibuj el segmento CF, en l ventn lgebric prece su longitud, h, introduce en l líne de Entrd f / h, observ que este cociente coincide con g / f es un proimción del número áureo. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

10 0 Con l herrmient Desplz, cmbi l posición de los puntos iniciles A o B observ que el cociente entre ls longitudes de los ldos de los rectángulos es constnte. El rectángulo ABFG es áureo que el cociente entre l longitud de su ldo mor l del menor es el número de oro, demás el rectángulo DCFG, que se obtiene l quitr un cudrdo de ldo el menor del rectángulo, es tmbién áureo por lo tnto semejnte l primero. Cre tus propis herrmients con Geogebr. Cre un que dibuje rectángulos áureos. Se v crer un herrmient que prtir de dos puntos A B dibuje el rectángulo áureo en el que el segmento AB es el ldo menor. En l figur nterior ocult el nombre de los puntos C, D, E, F G con l herrmient Epone/Ocult rótulo hciendo clic con el rtón sobre ellos, en el áre de trbjo o en l ventn lgebric. Activ en el menú Herrmients, l opción Creción de nuev herrmient define: Objetos de slid: el polígono cudrdo, el polígono rectángulo los puntos C, D, F, G. Objetos de entrd: los dos puntos iniciles A B. Y elige como nombre de l herrmient rectnguloureo. Observ que prece en l brr de herrmients. En l opción Mnejo de útiles del menú Herrmients grb l herrmient cred como rectnguloureo, que se gurd como rectnguloureo.ggt Utiliz l herrmient Desplzmiento de l zon gráfic pr ir un prte vcí de l pntll comprobr que l herrmient rectnguloureo funcion perfectmente. Dibuj un espirl áure, cre un herrmient que dibuje espirles áures. Abre un nuev ventn de Geogebr, en el menú Visuliz desctiv Ejes Cudricul bre el rchivo rectnguloureo.ggt que cbs de crer. Define dos puntos A B plic l herrmient rectnguloureo, se obtiene el rectángulo áureo ABEF el cudrdo ABCD con el nombre de los vértices C, D, E F ocultos. Utiliz l herrmient Arco de circunferenci ddos centro dos puntos etremos pr dibujr el rco con centro el punto C que ps por los puntos D B. Se v crer un nuev herrmient que dibuje el rectángulo áureo el rco. Activ en el menú Herrmients, l opción Creción de nuev herrmient define: Objetos de slid: el cudrdo, el polígono rectángulo, los puntos C, D, E, F el rco c. Objetos de entrd: los dos puntos iniciles A B. Elige como nombre de l herrmient espirlure. En l opción Mnejo de útiles del menú Herrmients grb l herrmient cred como espirlure, que se grb como espirlure.ggt. Activ sucesivmente l herrmient nterior, con objeto de dibujr l espirl que result de unir con un rco de circunferenci dos vértices opuestos de los cudrdos de form consecutiv de mor menor. Pr mejorr el specto de l espirl se pueden ocultr los puntos, mejor en l ventn lgebric, con l herrmient Epone / Ocult objeto. Observ que l vrir los ángulos en un progresión ritmétic de diferenci =90º, los ldos de los cudrdos se modificn según un progresión geométric de rzón:.. Comprueb que l longitud del ldo del pentágono regulr l de su digonl están en proporción áure.. Clcul con Geogebr un proimción de l rzón de semejnz entre un pentágono regulr el que se form en su interior l dibujr sus digonles. Determin sin utilizr Geogebr el vlor rel de l rzón de semejnz entre estos dos pentágonos.. Comprueb que los triángulos ABD ABF de l figur son semejntes clcul proimdmente con Geogebr su rzón de semejnz.. Clcul con Geogebr el vlor proimdo de l rzón de semejnz entre un decágono regulr el decágono que se form l trzr ls digonles de l figur. Determin sin utilizr Geogebr el vlor rel de l rzón de semejnz entre estos dos polígonos Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

11 . INTERVALOS, SEMIRRECTAS Y ENTORNOS: Como sbemos entre dos números reles h infinitos números. H un notción especil pr referirse esos infinitos números que deberás dominr pr éste futuros cursos... Intervlos Del lt. intervllum:. m. Conjunto de los vlores que tom un mgnitud entre dos límites ddos. RAE. I.- Intervlos Abiertos: Si nos queremos referir l conjunto de los números que h entre dos vlores pero sin contr los etremos, usremos un intervlo bierto Los números superiores pero menores que 7 se representn por, 7 se lee intervlo bierto de etremos 7. A él pertenecen infinitos números como,00;,; ;,999; pero no son de este conjunto ni el ni el 7. Eso representn los préntesis, que entrn todos los números de en medio pero no los etremos. Los números positivos menores que 0, se representn por 0, 0, el intervlo bierto de etremos 0 0. Fíjte que 0 no es positivo, por lo que no entr el 0 no es menor que 0, por lo que tmpoco entr. Not: No se dmite poner 7,, el menor siempre l izquierd! Tmbién h que dominr l epresión de estos conjuntos usndo desigulddes, prepárte:, 7 = { / < < 7}. Trducimos: Ls llves se utilizn pr dr los elementos de un conjunto, dentro de ells se enumern los elementos o se d l propiedd que cumplen todos ellos. Se utiliz l pr denotr un número rel, l / signific tl que por último se dice l propiedd que cumplen medinte un doble desiguldd. Así que no te sustes, lo de rrib se lee: los números reles tl que son mores que menores que 7. Es necesrio dominr este lenguje mtemático puesto que l frse en cstellno puede no entenderse en otros píses pero te seguro que eso de ls llves l / lo entienden todos los estudintes de mtemátics del mundo bueno, csi todos. El otro ejemplo: 0, 0 = { / 0 < < 0}. Por último l representción gráfic: Se ponen puntos sin rellenr en los etremos se reslt l zon intermedi. Pregunt: Cuál es número que está más cerc de 7, sin ser 7? Piens que,999 =7 que entre,999 7 h muchos, muchísimos números. *Not: En lgunos tetos los intervlos biertos se representn sí: ], 7[ lo cul tiene lguns ventjs como que los estudintes no confundn el intervlo, con el punto del plno,, que segurmos que h ocurrido pero tú no serás uno de ellos no?, o l fstidios necesidd de poner, ;, porque,,, no lo entenderí ni Guss. II.- Intervlos Cerrdos: Igul que los biertos pero hor sí pertenecen los etremos. El intervlo de los números mores o igules que pero menores o igules que. Ahor el el sí entrn. Se hce igul pero poniendo corchetes [, ]. En form de conjunto se escribe: [, ] = { ; }. Fíjte que hor ponemos que signific menor o igul. El intervlo de los números cuo cudrdo no es superior. Si lo pienss un poco verás que son los números entre el el, mbos incluidos no superior menor o igul. Por tnto: [, ] = { ; }. L representción gráfic es igul pero poniendo puntos rellenos. III.- Intervlos Semibiertos o semicerrdos, elegir Por supuesto que un intervlo puede tener un etremo bierto otro cerrdo. L notción será l mism. Tempertur negtiv pero no por debjo de 8 ºC: [8, = { ; 8 < 0}. Números superiores 00 pero que no ecedn de , 000 = { ; 00 < 000}... Semirrects Muchs veces el conjunto de interés no está limitdo por uno de sus etremos. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

12 Los números positivos: No h ningún número positivo que se el mor. Se recurre entonces l símbolo se escribe 0, / 0. Nótese que es equivlente poner > 0 que poner 0 <, se puede poner de mbs forms. Números no mores que :,] /. Aquí el sí entr por eso lo ponemos cerrdo no mor equivle menor o igul Solución de > 7: 7, / 7 Not: El etremo no cotdo siempre se pone bierto. No queremos ver esto: 7, + ].. Entornos Es un form especil de poner los intervlos biertos. Se define el entorno de centro rdio r se denot E, r otr form usul es Er como el conjunto de números que están un distnci de menor que r. Con un ejemplo lo entiendes mejor: El entorno de centro rdio son los números que están de un distnci menor que. Si lo pensmos un poco, serán los números entre +, es decir, el intervlo, 7. Es como coger el compás con centro en mrcr con bertur. Fíjte que el está en el centro l distnci del l 7 l es. E, r = r, + r E, =, + =, Es mu fácil psr de un entorno un intervlo. Vmos hcerlo l revés. Si tengo el intervlo bierto, 0, cómo se pone en form de entorno? 0 Hllmos el punto medio =, que será el centro del entorno. Nos flt hllr el rdio: 0-: =, es el rdio l mitd del ncho. Por tnto, 0 = E, ;, En generl: bc cb El intervlo b, c es el entorno E,. 8 8 El intervlo 8, = E, E,;, Tmbién eisten los entornos cerrdos pero son de uso menos frecuente. 7. Epres como intervlo o semirrect, en form de conjunto usndo desigulddes represent gráficmente: % superior l %. b Edd inferior o igul 8 ños. c Números cuo cubo se superior 8. d Números positivos cu prte enter tiene cifrs. e Tempertur inferior ºC. f Números pr los que eiste su ríz cudrd es un número rel. g Números que estén de un distnci inferior. 8. Epres en form de intervlo los siguientes entornos: E, ; b E, 8 ; c E0; 0,00 9. Epres en form de entorno los siguientes intervlos:, 7; b 7, -; c, 0. Los sueldos superiores 00 pero inferiores 000 se pueden poner como intervlo de números reles? *Pist: 00, puede ser un sueldo? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

13 Conjuntos de números Frcciones epresión deciml RESUMEN Ejemplos Nturles N = {0,,,, }; Enteros Z = {,,,, 0,,,, } Rcionles Q = { ; Z, b Z, b 0} ; Irrcionles I = Q; = QI b Tods ls frcciones tienen epresión deciml ect o periódic. Tod epresión deciml ect o periódic se puede poner como frcción , X =,7 = 8/9 irrcionl no puede ponerse como frcción. Error Absoluto Error Absoluto EA = vlor rel vlor proimdo,7: EA 0,00. Cot del error Hllmos l cot clculndo un vlor mor EA 0,00 Error Reltivo ER = EA Vlor rel ER = 0,00 0,00 Control del error Densidd Representción en l rect rel En cd sum o rest el error bsoluto es l sum de los errores bsolutos. Los errores reltivos se sumn l multiplicr dos números. Los números reles los números rcionles son densos. Entre cd dos números, siempre podemos encontrr otro. Fijdo un origen un unidd, eiste un biección entre los números reles los puntos de l rect Intervlo bierto Intervlo bierto en el que los etremos no pertenecen l intervlo, 7 = { / < < 7}. Intervlo cerrdo Los etremos SI pertenecen l intervlo [, ] = { ; } Intervlos Semibiertos o semicerrdos Intervlo con un etremo bierto otro cerrdo [ 8,0 / 8 0 Entornos Form especil de epresr un intervlo bierto: E, r = r, + r Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

14 EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. L imgen es l representción de un número irrcionl, cuál?. Represent en l rect numéric: -,7;, 0. Represent en l rect numéric: 8; ;. Hll el vlor ecto de 0, sin clculdor. 0, Di cuáles de ests frcciones tienen epresión deciml ect cuáles periódic: ; ; ; 0 0. Hll frcciones, b, c tl que bc 9 7. Hz en tu cuderno un tbl di qué conjuntos pertenecen los siguientes números:,7 ; ; ; 0 ; 000 ; 0 ; -, ; 0, 8. Contest verddero o flso, justificndo l respuest. Q Q = {0} b Z Q c L ríz cudrd de un número nturl es irrcionl. d 7 Q e /7 tiene epresión deciml periódic. 9. Pon ejemplos que justifiquen: L sum l rest de números irrcionles puede ser rcionl. b El producto o división de números irrcionles puede ser rcionl. 0. Qué será l sum de número rcionl con otro irrcionl? Piens en su epresión deciml. L sum de números con epresión deciml periódic puede ser un entero?. Epres con plbrs los siguientes intervlos o semirrects:. -7, 7] b. / c. d., +. Cuántos metros h de diferenci l clculr el perímetro de l Tierr poniendo, en lugr de su vlor rel?, es mucho o poco? Básicmente tienes que hllr el error bsoluto el reltivo. *Rdio proimdmente 70 km. Los ntiguos hicieron buens proimciones de Pi, entre ells citemos Arquímedes siglo III.C con 87/7 Ptolomeo siglo II d.c, con 77/0. Cuál cometió menor error reltivo?. Lo siguiente es un Pi-teto: So seré todos definible, mi nombre tengo que dros, cociente dimetrl siempre inmedible so de los redondos ros. Mnuel Golmo Cuent punt el número de letrs de cd plbr verás de donde viene su nombre. Invent un frse con l mism propiedd, no es necesrio que se tn lrgo l menos 0 plbrs. Hll:, ] U, ]; b, ], ]; c,], 7. Puede epresrse como entorno un semirrect? 8. Epres como entornos biertos los siguientes intervlos: 0, 7; b 8, ; c, 9. Epres como intervlos biertos los siguientes entornos: E, /; b E7, / 0. Un numero irrcionl tn importnte como Pi es el número e. e, que prece periódico, pero no, no n lo es. Se define como el número l que se cerc cundo n se hce mu, pero que mu grnde. Coge l n clculdor dle n vlores cd vez mores, por ejemplo: 0, 00, 000, Apunt los resultdos en un tbl. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

15 . Otr form de definir e es e...!!!! Que dirás tú que son esos números tn dmirdos!, se llm fctoril es mu sencillo:! = =, se multiplic desde el número hst llegr. Por ejemplo:! = = 70. No te preocupes, que l tecl! está en l clculdor. Puedes clculr e con cifrs decimles corrects? *Not: Fíjte que hor l convergenci es mucho más rápid, sólo hs tenido que llegr hst n =?. Ahor trbjmos con vlores ectos, ni ls frcciones ni los irrcionles se sustituen por su epresión deciml, 00 ejemplos: Hll el áre el perímetro de un rectángulo de ldos 8 m.. Hll el áre el perímetro de un cudrdo cu digonl mide m.. Hll el áre el perímetro de un heágono regulr de ldo m.. Hll el áre el perímetro de un círculo de rdio 0 m.. Hll el áre totl el volumen de un cubo de ldo 7 m. 7. Por qué número hemos de multiplicr los ldos de un rectángulo pr que su áre se hg el triple? 8. Cuánto debe vler el rdio de un círculo pr que su áre se m? 9. Tenemos un circunferenci un heágono inscrito en ell. Cuál es l rzón entre sus perímetros? Rzón es división o cociente 0. Qué números l cudrdo dn 7?. Qué números reles l cudrdo dn menos de 7?. Qué números reles l cudrdo dn más de 7?. Medir el tmño de ls pntlls en pulgds no prece mu buen ide. L medid se refiere l longitud de l digonl del rectángulo, sí, un televisión de se refiere que l digonl mide. Eso no d much informción si no sbemos l proporción entre los ldos. Ls más usules en ls pntlls de televisión ordendor son : :9. Si un pulgd son,cm, cuáles serán ls dimensiones de un pntll de con proporción :?, si l proporción es /9? Cuál tiene mor superficie? AUTOEVALUACIÓN Sbes qué conjuntos pertenecen los distintos números. Indic en un tbl o un digrm como el del teto qué conjuntos numéricos pertenecen los siguientes números: 0; -; /, 7,;,, ; ; ;, ;,999 Sbes redonder con un número decudo de cifrs clculs el error reltivo pr comprr proimciones. Sbes hllr un cot pr el error bsoluto el reltivo. Los siguientes números se hn redondedo, hll un cot del error bsoluto del error reltivo: _,; _ 00 con redondeo en ls centens. b Si tommos 0, 0, 7 en cuál de ls proimciones cometemos proporcionlmente menor error? Sbes cundo un frcción tiene epresión deciml ect o periódic sin hcer l división. Pruéblo con ests: 0/0; 0/ Sbes psr de deciml frcción pr trbjr con vlores ectos: Hll: 0,7 +0,77 Sbes representr números rcionles e irrcionles de form ect 0 Represent de form ect ; ; 0; Domins ls distints forms notciones de un intervlo o semirrect intervlo, conjunto con desigulddes gráfic. Epres en form de intervlo o semirrect, en form de desiguldd represent gráficmente: Números reles inferiores o igules que -. b Números reles comprendidos entre -, incluido el º pero no el º. 7 Sbes psr de un entorno un intervlo vicevers. Escribe como intervlo: E-, /. b Escribe como entorno el intervlo -/, 7/ 8 Sbes resolver problems trbjndo con cntiddes ects. Hll el áre, el volumen l digonl principl de un ortoedro de ldos ; m. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Números reles Autor: Pco Mo / Revisor: Sergio Hernández Ilustrciones: Pco Mo Bnco de Imágenes de INTEF

16 CAPÍTULO : POTENCIAS Y RAÍCES. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES.. Potencis de eponente nturl. Recuerd que: Ddo, un número culquier, n, un número nturl, l potenci n es el producto del número por sí mismo n veces En form desrrolld, l potenci de bse eponente n se escribe: n =, n veces, siendo culquier número n un número nturl =, veces =, veces. L bse puede ser positiv o negtiv. Cundo l bse es positiv el resultdo es siempre positivo. Cundo l bse es negtiv, si el eponente es pr el resultdo es positivo, pero si es impr el resultdo es negtivo. Si clculmos los ejemplos de rrib tendremos: = =. Resultdo positivo porque multiplico un número positivo veces. = =. Multiplico un número negtivo un número impr de veces, por lo que el resultdo es negtivo. Cd vez que multiplicmos dos veces dos números negtivos nos d uno positivo, como tenemos, quedrí un signo menos sin multiplicr, luego + =. Recuerd que: Actividdes resuelts: Clcul ls siguientes potencis: = = b = = c = =. Clcul ls siguientes potencis: b + c Potencis de eponente negtivo: Definición de potenci de eponente negtivo n bse : n = / n Esto se justific que se dese que se sign verificndo ls propieddes de ls potencis: m / n = m n. m / m+n = m m + n = n = / n. es lo mismo que /. Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces Bse positiv: resultdo siempre positivo. Bse negtiv eponente pr: resultdo positivo. Bse negtiv eponente impr: resultdo negtivo. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS. EJEMPLOS: Ls propieddes de ls potencis son: El producto de potencis de l mism bse es igul otr potenci de l mism bse como eponente l sum de los eponentes: n m = m+n = = + = b El cociente de potencis de l mism bse es igul otr potenci que tiene como bse l mism, como eponente l diferenci de los eponentes: n : m = n m / = / = - = c L potenci de un potenci es igul l potenci cuo eponente es el producto de los eponentes: n m = n m 7 = = 7 d El producto de potencis de distint bse con el mismo eponente es igul otr potenci cu bse es el producto de ls bses cuo eponente es el mismo: n b n = b n Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

17 7 = = = e El cociente de potencis de distint bse el mismo eponente es igul otr potenci cu bse es el cociente de ls bses cuo eponente es el mismo: n /b n = /b n 8 /7 = / = 8/7 8/7 8/7 = 8/7 Tods ests propieddes de ls potencis que se hn citdo pr los eponentes nturles siguen siendo válids pr otros eponentes: negtivos, frccionrios Actividdes resuelts: Clcul ls siguientes operciones con potencis: 9 = = = 9 b = = 9 c / 0 = 0 = d / = = + = 9. Efectú ls siguientes operciones con potencis: + + b + : + c { } d + +. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL.RADICALES.. Potencis de eponente rcionl. Definición. Se define l potenci de eponente frccionrio bse como: r/s = s / Eponentes frccionrios: Ls propieddes citds pr ls potencis de eponente entero son válids pr ls potencis de eponentes frccionrios / Rdicles. Definición. Ejemplos Se define ríz n-sim de un número, como el número b que verific l iguldd b n =. n b b n = Siendo: n es el índice, es el rdicndo b es l ríz n-sim de Importnte: n siempre es positivo. No eiste l ríz. Observ que se puede definir: /n = n que: /n n = /n n = =. Como /n stisfce l mism propiedd que b deben ser considerdos como el mismo número. Ejemplos: / 8 / 8 / =.. Propieddes de los rdicles. Ejemplos. Ls propieddes de ls potencis enuncids nteriormente pr el cso de eponentes frccionrios, tmbién se pueden plicr ls ríces: Si multiplicmos el índice de un ríz n por un número p, l vez elevmos el rdicndo ese número p el vlor de l ríz no vrí. Se verific p 0 se verific que : Demostrción: n.p p p p.n r L rdicción de índice n es l operción invers de l potencición de eponente n. Por l definición de ríz n-ésim de un número se verific que si b es ríz, n entonces: b b n = n n n.p p. n 8 Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

18 8.. Se verific puesto que según cbmos de ver: b Pr multiplicr ríces del mismo índice, se multiplicn los rdicndos se hll l ríz de índice común: n n n. b. b. Según ls propieddes de ls potencis de eponentes enteros se verific que: n b b c Pr dividir ríces del mismo índice se dividen los rdicndos se hll l ríz del índice común. Suponemos que b 0 pr que teng sentido el cociente. Si escribimos: 7 n b 7 b n n n b n n n. 7 d Pr elevr un rdicl un potenci bst con elevr el rdicndo dich potenci: Est propiedd l podemos demostrr como sigue: b n b n n m n n m b. b n n m n m m n m n m n n n e L ríz de un ríz es igul l ríz cuo índice es el producto de los índices: Se verific que: Actividdes resuelts: m n m n n m m.n nm mn Reduce índice común los siguientes rdicles: 7 7 ; b Sc fctores fuer de l ríz: ; 70 n b Poner los siguientes rdicles como un sol ríz: Clcul: 9.b b c. Hllr : b :. Reliz ls siguientes operciones con rdicles: : Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces b Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

19 9. OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION... Operciones. Definición. Ejemplos RECUERDA: Sum rest de rdicles: Pr sumr restr rdicles estos deben de ser idénticos: Pr sumr estos rdicles h que sumr sus epresiones proimds. Sin embrgo l epresión: 7 7 si se puede sumr restr puesto que sus rdicles son idénticos Por ls propieddes de los rdicles podemos scr fctores del rdicl dejndo que todos los rdicles sen idénticos: Producto de rdicles: Pr multiplicr rdicles debemos convertirlos en rdicles de igul índice multiplicr los rdicndos:.- Clculmos el m.c.m.de los índices.- Dividimos el m.c.m entre cd índice lo multiplicmos por el eponente del rdicndo simplificmos División de rdicles: Pr dividir rdicles debemos conseguir que tengn igul índice, como en el cso nterior después dividir los rdicles Ríz de un ríz: Es l ríz cuo índice es el producto de los índices según se demostró en l propiedd e, después simplificmos etrendo fctores fuer el rdicl si se puede. 7 = 7 = Etre fctores del rdicl: = 7 PARA PODER SUMAR O RESTAR RADICALES ES NECESARIO QUE TENGAN EL MISMO ÍNDICE Y EL MISMO RADICANDO. SOLO CUANDO ESTO SUCEDE PODEMOS SUMAR O RESTAR LOS COEFICIENTES O PARTE NUMERICA DEJANDO EL MISMO RADICAL 0 RECUERDA: Pr etrer fctores del rdicl se debe cumplir que el eponente del rdicndo se mor que el índice de l ríz. opciones: Se divide el eponente del rdicndo entre el índice de l ríz, el cociente indic el número de fctores que etrigo el resto los que se quedn dentro. Se descomponen los fctores del rdicndo elevándolos l mismo índice de l ríz, cd eponente que coincid con el índice, sldrá el fctor los que sobren se quedn dentro Los fctores que podrímos etrer serín el, el, de l siguiente mner: Dividimos el eponente de l,, entre, que el índice de l ríz es, tenemos de cociente de resto, por lo que sldrán dos qued dentro. Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

20 0 De igul form pr l, dividimos entre obtenemos de cociente uno de resto, por lo que sle se qued otr dentro. Vemos: Escribe bjo un solo rdicl simplific: Clcul simplific: Reliz l siguiente operción: 9 9. Clcul simplific: Rcionlizción. Ejemplos. Rcionlizr un frcción lgebric consiste en encontrr otr equivlente que no teng rdicles en el denomindor. Pr ello, h que multiplicr numerdor denomindor por l epresión decud. Cundo en l frcción solo h monomios, se multiplic divide l frcción por un mismo número pr conseguir completr en el denomindor un potenci del mismo eponente que el índice de l ríz.. Multiplicmos dividimos por pr obtener en el denomindor un curt potenci quitr el rdicl. Cundo en l frcción precen en el denomindor binomios con ríces cudrds, se multiplic se divide por un fctor que proporcione un diferenci de cudrdos, este fctor es el fctor conjugdo del denomindor. b, su conjugdo es: b. Otro ejemplo: b su conjugdo es: b Multiplicmos por el conjugdo del denomindor que en este cso es: 0. Rcionliz l epresión:. Rcionliz:. Rcionliz:.... Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

21 . NOTACION CIENTÍFICA... Definición. Ejemplos. L notción científic se utiliz pr escribir números mu grndes o mu pequeños. L ventj que tiene sobre l notción deciml es que ls cifrs se nos dn contds,con lo que el orden de mgnitud del número es evidente. Un número puesto en notción científic const de: Un prte enter formd por un sol cifr que no es el cero.l de ls uniddes El resto de ls cifrs significtivs puests como prte deciml Un potenci de bse 0 que d el orden de mgnitud del número. N =,bcd... 0 n siendo: su prte enter solo un cifr b c d su prte deciml 0 n L potenci enter de bse 0 Si n es positivo, el número N es grnde. Y si n es negtivo, entonces N es pequeño Ejemplos:,8 0 = : Número grnde. 7, 0-8 =0, : Número pequeño... Operciones con notción científic Pr operr con números ddos en notción científic se procede de form nturl, teniendo en cuent que cd número está formdo por dos fctores: l epresión deciml l potenci de bse 0. El producto el cociente son inmeditos, mientrs que l sum l rest eigen preprr los sumndos de modo que tengn l mism potenci de bse 0, sí poder scr fctor común. Ejemplos:, 0, 0 8 =,, 0 +8 =,0 0 =,0 0, 0 8 b, :, 0 0, 870 8, 70 8, 0 RECUERDA: Pr multiplicr números en notción científic, se multiplicn ls prtes decimles se sumn los eponentes de l potenci de bse 0. Pr dividir números en notción científic, se dividen ls prtes decimles se restn los eponentes de l potenci de bse 0. Si hce flt se multiplic o se divide el número resultnte por un potenci de 0 pr dejr l prte deciml con un sol cifr en l prte enter c,8 0 +,9 0 7, 0 0 =, =,8 +, = = 8,8 0 9 =,88 0 RECUERDA: Pr sumr o restr números en notción científic, h que poner los números con l mism potenci de bse 0, multiplicndo o dividiendo por potencis de bse 0. Se sc fctor común l potenci de bse 0 después se sumn o restn los números decimles quedndo un número deciml multiplicdo por l potenci de 0. Por último si hce flt se multiplic o se divide el número resultnte por un potenci de 0 pr dejr l prte deciml con un sol cifr en l prte enter. Clcul: 7,8 0 -,8 0 b, 0 - :, 0 -. Efectú epres el resultdo en notción científic: ,.0 7 b, Reliz ls siguientes operciones efectú el resultdo en notción científic:, 0-7, 0 b 7,8 0-7 Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

22 . LOGARITMOS:.. Definición: El logritmo de un número m, positivo, en bse, positiv distint de uno, es el eponente l que h que elevr l bse pr obtener dicho número. Si > 0, log m = z m = z Los logritmos más utilizdos son los logritmos decimles o logritmos de bse 0 los logritmos neperinos llmdos sí en honor Neper o logritmos en bse ee es un número irrcionl cus primers cifrs son: e =,7888. Ambos tienen un notción especil: log 0 m = log m log e m = ln m Ejemplos: log 9 = 9 = log = = log 000 = 000 = 0 ln e = e = e Como consecuencis inmedits de l definición se deduce que: El logritmo de es cero en culquier bse Demostrción: Como 0 =, por definición de logritmo, tenemos que log = 0 Ejemplos: log = 0 log = 0 log = 0 El logritmo de l bse es. Demostrción: Como =, por definición de logritmo, tenemos que log = Ejemplos: log = log = log = log = Solo tienen logritmos los números positivos, pero puede hber logritmos negtivos. Un logritmo puede ser un número nturl, entero, frccionrio e incluso un número irrcionl Al ser l bse un número positivo, l potenci nunc nos puede dr un número negtivo ni cero. log No eiste log 0 No eiste. log 00 = 00 = 0. log 0, = 0, = 0. log 0 = / 0 = 0 /. log = 0,000.. Actividdes resuelts: log 8 = = 8 = = log 8 = = 8 = 7 = 7 log = = / = / = / :. Copi l tbl djunt en tu cuderno emprej cd logritmo con su potenci: El logritmo de es cero en culquier bse El logritmo de l bse es. Solo tienen logritmos los números positivos. = log = 0 0 = = = log = 0 = log = = log = 0 log = log = = log 8 = log = = 8. Clcul utilizndo l definición de logritmo: log b log c log d log 0. Clcul utilizndo l definición de logritmo: log 7 b log 0 00 c log / / d log Clcul utilizndo l definición de logritmo: log = b log / = c log =. Clcul utilizndo l definición de logritmo: log + log / log 9 log b log / + log /7 log Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

23 .. Propieddes de los logritmos:. El logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de sus fctores: log = log + log Demostrción: Llmmos A = log B = log. Por definición de logritmos sbemos que: A = log A = B = log B = Multiplicmos: = A B = A+B log = A + B = log + log. log 7 = log + log 7. El logritmo de un cociente es igul l logritmo del dividendo menos el logritmo del divisor: log / = log log Demostrción: Llmmos A = log B = log. Por definición de logritmos sbemos que: A = log A = B = log B = Dividimos: / = A / B = A-B log / = A B = log log. log 7/ = log 7 log. El logritmo de un potenci es igul l eponente multiplicdo por el logritmo de l bse de l potenci: log =.log Demostrción: Por definición de logritmos sbemos que: A = log A = A = = A A = log = log log = log. El logritmo de un ríz es igul l logritmo del rdicndo dividido por el índice de l ríz: log n log n Demostrción: Teniendo en cuent que un ríz es un potenci de eponente frccionrio. log 7 log 7. Cmbio de bse: El logritmo en bse de un número es igul l cociente de dividir el logritmo en bse b de por el logritmo en bse b de : logb log log Est epresión se conoce con el nombre de fórmul del cmbio de bse. Ls clculdors sólo permiten el cálculo de logritmos decimles o neperinos, por lo que, cundo queremos utilizr l clculdor pr clculr logritmos en otrs bses, necesitmos hcer uso de ést fórmul. log, 099 log, 9 log 0, 00 Actividdes resuelts: Desrrollr ls epresiones que se indicn: b log c log log b log c log log b log c b log log c log log log log z log log log z log log log z z log + Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces z Escribe con un único logritmo: log log b log c log log log c log b log c log log log c log b log log c log b. log b Epres los logritmos de los siguientes números en función de log = 0,000: log= log = log = 0,000 = 0,000 b 0 log0 = log 0 = 0 log = 0 0,000 =,000 b Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

24 :. Desrroll ls epresiones que se indicn: ln e 7. Epres los logritmos de los números siguientes en función de log = 0,77 8 b 7 c Simplific l siguiente epresión: log m log t log p log h RESUMEN: b b log c. d Ejemplos Potencis de eponente nturl entero Propieddes de ls potencis Potencis de eponente rcionl. Rdicles Propieddes de los rdicles Rcionlizción de rdicles Notción científic n n. p -n = / n =. = 9. n. m = m+n n : m = n-m n m = n.m n.b n =.b n n /b n =/b n r/s = s p n r n n. b. b n n n m n m n b b m n m. n Se suprimen ls ríces del denomindor. Se multiplic numerdor denomindor por l epresión decud conjugdo del denomindor, rdicl del numerdor, etc. = + = : = = ; =. = 0 = / = / / , ,9 0-7, 0 0 =, =, = 8,8 0 9 =,88 0, 0, 0 8 =,0 0 =,0 0, 8, :, 0 8 0, 0 0, 870 8, 7. 0 Logritmos Si > 0, log m = z m = z log = log + log log / = log log log =.log log 7/ = log 7 log log = log log 7 log 7 Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

25 Potencis:. Epres en form eponencil:. Clcul: b Rdicles: c 7. Epresr en form de rdicl: 9. Epresr en form eponencil: b c. Epres como potenci únic: 8 b c. Propieddes de los rdicles:. Simplific: n m k d EJERCICIOS Y PROBLEMAS: t b t c z d e 8 7 d 8 7. e 8. b m n c [ ] d b d e f e. f g 9 b c b c d 7 8 e f.b.c. 7. Etrer fctores del rdicl: b 8 b c c 0 b 8 d d e 8 f c b 7 b 8. Introducir fctores en el rdicl:. 9 b. c. d. e f Operciones con rdicles: b b b 0b 8 b c d : e : f 0 0. Efectú: b 0 8 c d g 0. e 9 f 8 8 g 0 Rcionlizr. Rcionliz los denomindores: b c d e f. Rcionliz simplific: b c. Efectú simplific: ` d e 7 + b f c - : Notción científic:. L ms del Sol es 0000 veces l de l Tierr, proimdmente, est es,98 0 t. Epres en notción científic l ms del Sol, en kilogrmos.. El ser vivo más pequeño es un virus que pes del orden de 0-8 g el más grnde es l bllen zul, que pes, proimdmente, 8 t. Cuántos virus serín necesrios pr conseguir el peso de l bllen?. Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

26 . Los cinco píses más contminntes del mundo Estdos Unidos, Chin, Rusi, Jpón Alemni emitieron billones de tonelds de CO en el ño 99, cntidd que represent el, % de ls emisiones de todo el mundo. Qué de CO se emitió en el ño 99 en todo el mundo? 7. Epres en notción científic: Recudción de ls quiniels en un jornd de l lig de fútbol: 8000 b Tonelds de CO que se emitieron l tmósfer en 99 en Estdos Unidos 8, miles de millones. c Rdio del átomo de oigeno: 0, m 8. Efectú epres el resultdo en notción científic: b c 0 : 0 - d, e 0-9. Epres en notción científic clcul: 0, : 000 b c 0,007 0,000 d ,000 0,0000 0, Efectú epres el resultdo en notción científic: , 0 7 b, 0 c, 0-7, Que resultdo es correcto de l siguiente operción epresd en notción científic:,.0 8, 0 :,98 0 b,98 0 c,98 0 d,98 0 AUTOEVALUACION. El número 8 / vle: un dieciseisvo b Dos c Un curto d Un medio.. Epres como potenci de bse cd uno de los números que vn entre préntesis efectú después l operción: /. El resultdo es: 8 -/ b -/ c -/ d -. El número: 8 es igul : / b / c / /9 d 8. Cuál es el resultdo de l siguiente epresión si l epresmos como potenci únic?: b c. d. Simplificndo etrendo fctores l siguiente epresión tiene un vlor:. b 7 c..b.c b. c b.b.c.b. c c..b.c.b. c d..b.c.b. c. Cuál de los siguientes vlores es igul /?. / b /. - c d Cuál es el resultdo de est operción con rdicles?: 7 b 7 8 c 7 8. d Un epresión con un único rdicl de: está dd por:. b 8.. c d.. 9. Pr rcionlizr l epresión: h que multiplicr numerdor denomindor por: c + d b 0. Cuál es el resultdo en notción científic de l siguiente operción?:, ,9 0 7, 0 0,88.0 b,88 0 c,8 0 d,88 0 0, 0. Cuál es el resultdo de l siguiente operción epresdo en notción científic?: 7, 0 0, b 8,7 0 c 8,7 0 d 8,7.0 Mtemátics º de ESO. Cpítulo nº: Potencis ríces Autor: José Antonio Encbo de Lucs Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

27 7 CAPÍTULO : EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS. INTRODUCCIÓN. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.. Introducción No hce flt imginr situciones rebuscds pr que, l hor de relizr un rzonmiento, nos topemos con lgun de ls cutro operciones mtemátics básics: sum, rest, multiplicción o división. Ejemplos: Tres migos hn relizdo un vije de vcciones. A l vuelt, hn sumdo los gstos efectudos éstos scienden euros. El gsto relizdo por cd uno h sido de euros, es decir, 8 euros. Si vmos comprr mndrins un fruterí en l que el precio de un kilogrmo es de euros, result hbitul que, según vmos introduciendo l frut en un bols, vmos tntendo el importe finl. Pr ello podemos colocr vris veces l bols sobre un blnz, trs observr el peso, relizmos l operción ' donde es l cntidd de kilogrmos que nos h indicdo l blnz. Después de cd pesd, el resultdo de es multiplicción reflej el importe de ls mndrins que, en ese momento, contiene l bols. Supongmos que tenemos un contrto con un compñí de telefoní móvil por el que pgmos céntimos de euro por minuto, sí como céntimos por estblecimiento de llmd. Con es trif, un llmd de minutos nos costrá: 0'0 0' 0' 0' 0' 7 euros Pero cuál es el precio de un llmd culquier? Como desconocemos su durción, nos encontrmos con un cntidd no determind, o indetermind, por lo que en culquier respuest que demos l pregunt nterior se precirá l usenci de ese dto concreto. Podemos decir que el coste de un llmd culquier es 0'0 0' 0'0 0' euros donde señl su durción, en minutos.. A finles de cd mes l empres de telefoní móvil nos proporcion l fctur mensul. En ell prece much informción, en prticulr, el número totl de llmds relizds N sí como l cntidd totl de minutos de conversción M. Con los dtos del nterior ejemplo, justific que el importe de ls llmds efectuds durnte ese mes es: 0'0 M 0'N 0'0M 0'N euros b h Es bien conocid l fórmul del áre de un triángulo de bse b ltur socid h: En todos estos ejemplos hn surgido epresiones lgebrics... Epresiones lgebrics Llmmos epresión lgebric culquier epresión mtemátic que se constru con números reles ls operciones mtemátics básics: sum, rest, multiplicción /o división. En un epresión lgebric puede hber dtos no concretdos; según el conteto, recibirán el nombre de vrible, indetermind, prámetro, entre otros. Si en un epresión lgebric no h vribles, dich epresión no es más que un número rel: 7 0 Al fijr un vlor concreto pr cd indetermind de un epresión lgebric prece un número rel: el vlor numérico de es epresión lgebric pr tles vlores de ls indeterminds. El volumen de un cilindro viene ddo por l epresión lgebric r h en l que r es el rdio del círculo bse h es su ltur. De este modo, el volumen de un cilindro cu bse tiene un rdio de 0 cm de ltur cm es igul : Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios 0 00 cm L epresión lgebric que represent el producto de los cudrdos de dos números culesquier e se simboliz por. Si en l epresión 7 prticulrizmos ls tres vribles con los vlores =,, z surge el z número rel / En un epresión lgebric puede no tener sentido otorgr lgún vlor ciert indetermind. En efecto, en el último ejemplo no es posible hcer z = 0. Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

28 8. Recuerd l epresión lgebric que nos proporcion l longitud de un circunferenci.. Escribe en lenguje lgebrico los siguientes enuncidos, referidos dos números culesquier e : L mitd del opuesto de su sum. b L sum de sus cubos. c El cubo de su sum d El inverso de su sum. e L sum de sus inversos. Un tiend de rop nunci en sus escprtes que está de rebjs que todos sus rtículos están rebjdos un 0 % sobre el precio impreso en cd etiquet. Escribe lo que pgremos por un prend en función de lo que prece en su etiquet.. El nterior comercio, en los últimos dís del periodo de rebjs, dese deshcerse de sus eistencis pr ello h decidido umentr el descuento. Mntiene el 0 % pr l compr de un únic prend, prtir de l segund, el descuento totl ument un % por cd nuev piez de rop, hst un máimo de 0 rtículos. Anliz cuánto pgremos l relizr un compr en función de l sum totl de ls cntiddes que figurn en ls etiquets del número de rtículos que se dquiern.. Clcul el vlor numérico de ls siguientes epresiones lgebrics pr el vlor o vlores que se indicn: + 7 pr = 0. b + b + b pr = b =. c + pr =. 7. Indic, en cd cso, el vlor numérico de l siguiente epresión: z =, =, z = b =, = 0, z = c = 0, =, z = 0.. POLINOMIOS. SUMA Y PRODUCTO.. Monomios. Polinomios Uns epresiones lgebrics de grn utilidd son los polinomios, cu versión más simple, l vez, generdor de ellos, son los monomios. Un monomio viene ddo por el producto de números reles e indeterminds. Llmremos coeficiente de un monomio l número rel que multiplic l indetermind, o indeterminds; l indetermind, o indeterminds, conformn l prte literl del monomio. Ejemplos: L epresión que nos proporcion el doble de un cntidd,, es un monomio de vrible, de coeficiente. El volumen de un cilindro, r h, es un monomio con dos indeterminds, r h, coeficiente. Su prte literl es r h. Otros monomios son:, z 7 L epresión 7 está formd por tres términos, tres monomios. Cd uno tiene un coeficiente un prte literl: En el primero, 7, el coeficiente es 7 l prte literl. El segundo,, tiene por coeficiente prte literl. Y en el tercero,, el coeficiente es l prte literl. Atendiendo l eponente de l vrible, o vribles, djudicremos un grdo cd monomio con rreglo l siguiente criterio: Cundo h un únic indetermind, el grdo del monomio será el eponente de su indetermind. Si precen vris indeterminds, el grdo del monomio será l sum de los eponentes de ess indeterminds. Ejemplos: es un monomio de grdo en l vrible. r h es un monomio de grdo en ls indeterminds r h. es un monomio de grdo en e. 7 z es un monomio de grdo en, z. Un número rel puede ser considerdo como un monomio de grdo 0. Un polinomio es un epresión construid prtir de l sum de monomios. El grdo de un polinomio vendrá ddo por el mor grdo de sus monomios. Ejemplos: 7 es un polinomio de grdo en l vrible. 8 es un polinomio de grdo en ls indeterminds e. 7 es un polinomio de grdo en e. z es un polinomio de grdo en, z. Tnto en est sección como en l siguiente nos limitremos, básicmente, considerr polinomios con un únic vrible. Es Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

29 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF 9 hbitul escribir los diferentes monomios de un polinomio de form que sus grdos vn en descenso pr, con este criterio, precir en su primer monomio cuál es el grdo del polinomio. El specto genérico de un polinomio en l vrible es: 0... n n n n donde los coeficientes k son números reles. Decimos que un polinomio es mónico cundo el coeficiente de su término de mor grdo es igul. Ejemplos: es un polinomio de grdo en l vrible. 7 es un polinomio de grdo en l indetermind. z z es un polinomio de grdo en z. Además, es un polinomio mónico. 9 es un polinomio de grdo en. Como ocurre con culquier epresión lgebric, si fijmos, o escogemos, un vlor concreto pr l vrible de un polinomio prece un número rel: el vlor numérico del polinomio pr ese vlor determindo de l vrible. Si hemos llmdo p un polinomio, l evlución de p en, por ejemplo, el número l denotmos por p, leemos p de menos tres o p en menos tres. Con este criterio, si p es un polinomio cu indetermind es l vrible, podemos referirnos él como p o p indistintmente. De est form precimos que un polinomio puede ser entendido como un mner concret de signr cd número rel otro número rel. Ejemplos: Si evlumos el polinomio p en = nos encontrmos con el número: p El vlor del polinomio 7 q pr es q Al prticulrizr el polinomio z z r en 0 z result el número 0 r... Sum de polinomios Como un polinomio es un sum de monomios, l sum de dos polinomios es otro polinomio. A l hor de sumr dos polinomios procederemos sumr los monomios de igul prte literl. Ejemplos: L sum de los polinomios es el polinomio = 8 + En el siguiente ejemplo sumremos dos polinomios disponiéndolos, decudmente, uno sobre otro. 7 Propieddes de l sum de polinomios Propiedd conmuttiv. Si p q son dos polinomios, no import el orden en el que los coloquemos l hor de sumrlos: p q q p

30 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Propiedd socitiv. Nos señl cómo se pueden sumr tres o más polinomios. Bst hcerlo grupándolos de dos en dos: r q p r q p Tmbién: Reliz ls siguientes sums de polinomios: b Elemento neutro. H un polinomio con un propiedd prticulr: el resultdo de sumrlo con culquier otro siempre es éste último. Se trt del polinomio ddo por el número 0, el polinomio cero Elemento opuesto. Cd polinomio tiene socido otro, l que llmremos su polinomio opuesto, tl que l sum de mbos es igul l polinomio cero. Alcnzmos el polinomio opuesto de uno ddo, simplemente, cmbindo el signo de cd monomio. El polinomio opuesto de 7 p es 7, l que denotremos como " " p. Rtifiquemos que su sum es el polinomio cero: Escribe el polinomio opuesto de cd uno de los siguientes polinomios: b 7 c 0. Consider los polinomios p, q, sí como el polinomio sum q p s. Hll los vlores que dopt cd uno de ellos pr, es decir, clcul p, q s. Estudi si eiste lgun relción entre esos tres vlores.. Obtén el vlor del polinomio p en =. Qué vlor tom el polinomio opuesto de p en =?.. Producto de polinomios Otr operción que podemos relizr con polinomios es l multiplicción. El resultdo del producto de polinomios siempre será otro polinomio. Aunque en un polinomio tenemos un indetermind, o vrible, como ell tom vlores en los números reles, l hor de multiplicr polinomios utilizremos ls propieddes de l sum el producto de los números reles, en prticulr l propiedd distributiv del producto respecto de l sum; sí, todo qued en función del producto de monomios, cuestión que resolvemos con fcilidd: m n m n b b Ejemplos: Tmbién podemos mterilizr el producto de polinomios tl como multiplicmos números enteros:

31 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Recordemos que el polinomio opuesto de otro se obtiene simplemente cmbindo el signo de cd monomio. Est cción se corresponde con multiplicr por el número el polinomio originl. De est form el polinomio opuesto de p es p p En este momento prece de mner nturl l operción diferenci, o rest, de polinomios. L definimos con l ud del polinomio opuesto de uno ddo: q p q p q p 8. Efectú los siguientes productos de polinomios: b c d 7. Reliz ls siguientes diferencis de polinomios: b c. Multiplic cd uno de los siguientes polinomios por un número de tl form que surjn polinomios mónicos: 7. Clcul simplific los siguientes productos: b c b b d 9 8 Propieddes del producto de polinomios Propiedd conmuttiv. Si p q son dos polinomios, no import el orden en el que los coloquemos l hor de multiplicrlos: p q q p Propiedd socitiv. Nos señl cómo se pueden multiplicr tres o más polinomios. Bst hcerlo grupándolos de dos en dos: r q p r q p 8 Tmbién: 8. Reliz los siguientes productos de polinomios: b Elemento neutro. H un polinomio con un propiedd prticulr: l multiplicrlo por culquier otro siempre nos d éste último. Se trt del polinomio ddo por el número, el polinomio unidd. Propiedd distributiv de l multiplicción respecto de l sum. Cundo en un multiplicción de polinomios uno de los fctores viene ddo como l sum de dos polinomios como, por ejemplo, 7 tenemos dos opciones pr conocer el resultdo: relizr l sum, después, multiplicr:

32 b distribuir, plicr, l multiplicción cd uno de los sumndos, después, sumr: Comprobmos que obtenemos el mismo resultdo. En generl, l propiedd distributiv de l multiplicción respecto de l sum nos dice que p q r p q p r Conviene comentr que l nterior propiedd distributiv leíd en sentido contrrio, de derech izquierd, es lo que comúnmente se denomin scr fctor común De cd uno de los siguientes polinomios etre lgún fctor que se común sus monomios: 0 0 ; b 0. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.. Introducción ls frcciones polinómics Hst este momento hemos estudido vris operciones con polinomios: sum, rest producto. En culquier de los csos el resultdo siempre es otro polinomio. Cundo estblecemos un frcción polinómic como, por ejemplo,. lo que tenemos es un epresión lgebric, un frcción lgebric, l cul, en generl, no es un polinomio. Sí prece un polinomio en el mu prticulr cso en el que el denomindor es un número rel diferente de cero, esto es, un polinomio de grdo 0. Es sencillo consttr que l epresión nterior no es un polinomio: culquier polinomio puede ser evludo en culquier número rel. Sin embrgo es epresión no puede ser evlud pr, que nos quedrí el número 0 en el denomindor. Podrímos creer que l siguiente frcción polinómic sí es un polinomio: L epresión de l derech sí es un polinomio, pues se trt de un sum de monomios, pero l de l izquierd no lo es que no puede ser evlud en 0. No obstnte, es frcción lgebric el polinomio, cundo son evludos en culquier número diferente de cero, ofrecen el mismo vlor. Son epresiones equivlentes llí donde mbs tienen sentido... División de polinomios Aunque, como hemos visto en el prtdo nterior, un frcción polinómic, en generl, no es un polinomio, vmos dentrrnos en l división de polinomios pues es un cuestión importnte útil. Anlicemos con detenimiento l división de dos números enteros positivos. Cundo dividimos dos números, D dividendo entre d divisor, distinto de 0, surgen otros dos, el cociente c el resto r. Ellos se encuentrn ligdos por l llmd prueb D r de l división: D d c r. Alterntivmente: c d d Además, decimos que l división es ect cundo r 0. El conocido lgoritmo de l división persigue encontrr un número entero, el cociente c, tl que el resto r se un número menor que el divisor d, mor o igul que cero. Fijémonos en que, sin est eigenci pr el resto r, podemos escoger rbitrrimente un vlor pr el cociente c el cul nos suministr su vlor socido como resto r. En efecto, si tenemos como dividendo D = 7 como divisor d =, si queremos que el cociente se c = 8 su resto socido es r Dd c l coneión entre estos cutro números es: Est últim lectur de l división de números enteros v guirnos l hor de dividir dos polinomios. Ddos dos polinomios p q, l división de p, polinomio dividendo, entre q, polinomio divisor, nos proporcionrá otros dos polinomios, el polinomio cociente c el polinomio resto r. Tmbién quí pesrá un eigenci sobre el polinomio resto: su grdo deberá ser menor que el grdo del polinomio divisor. L relción entre los cutro será, nturlmente, p q c r p r Tmbién escribiremos c q q unque, en tl cso, seremos conscientes de ls cutels señlds en el prtdo nterior en cunto ls equivlencis entre polinomios otrs epresiones lgebrics. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

33 Al igul que ocurre con el lgoritmo de l división enter, el lgoritmo de l división de polinomios const de vris etps, de crácter repetitivo, en cd un de ls cules precen unos polinomios cociente resto provisionles de form que el grdo de esos polinomios resto v descendiendo hst que nos topmos con uno cuo grdo es inferior l grdo del polinomio divisor, lo que indic que hemos concluido. Vemos este procedimiento con un ejemplo concreto. Vmos dividir el polinomio p entre el polinomio q. Como el polinomio divisor, q, es de grdo, debemos encontrr dos polinomios, un polinomio cociente c, un polinomio resto r de grdo o 0, tles que p q c r o, como iguldd entre epresiones lgebrics, p q c r q A l vist de los polinomios p q, de lo dicho sobre r, es evidente que el grdo del polinomio cociente, c, h de ser igul. Vmos obtenerlo monomio monomio. Primer proimción los polinomios cociente resto: Pr poder logrr l iguldd p qc r, como el grdo de r será o 0, el término de mor grdo de p,, surgirá del producto q c. Así obtenemos l primer proimción de c, su monomio de mor grdo: mner utomátic, tmbién un primer resto r : c, de r p q c Como este polinomio r es de grdo, mor que, el grdo del polinomio divisor q, ese polinomio resto no es el definitivo; debemos continur. Segund proimción los polinomios cociente resto: p r Si prticulrizmos l iguldd entre epresiones lgebrics c lo que tenemos hst hor result q q 8 8 Est segund etp consiste en dividir el polinomio r 8 8, surgido como resto de l etp nterior, entre el polinomio q, el divisor inicil. Es decir, repetimos lo hecho ntes pero considerndo un nuevo polinomio dividendo: el polinomio resto del pso nterior. El nuevo objetivo es lcnzr l iguldd r qc r. Al igul que ntes, el grdo de r deberí ser o 0. Como el término de mor grdo de r, 8, sle del producto q c, es necesrio que el polinomio cociente conteng el monomio: c Ello nos llev un segundo resto r : r r q c Como este polinomio r es de grdo, igul que el grdo del polinomio divisor q, ese polinomio resto no es el definitivo; debemos continur. Tercer proimción los polinomios cociente resto: Lo relizdo en l etp segund nos permite vnzr en l decud descomposición de l epresión lgebric que nos ocup: Est tercer etp consiste en dividir el polinomio r 9, el resto de l etp nterior, entre el polinomio q, el divisor inicil. De nuevo repetimos el lgoritmo pero con otro polinomio dividendo: el polinomio resto del pso nterior. Perseguimos que r qc r. Como en cd pso, el grdo de r deberí ser o 0. El término de mor grdo de r,, surge del producto q c, por lo que c el tercer resto r es r r q c 9 9 Como este polinomio r es de grdo, menor que, grdo del polinomio divisor q, ese polinomio resto sí es el definitivo. Hemos concluido: Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

34 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Si lo epresmos medinte polinomios: Conclusión: l dividir el polinomio p entre el polinomio q obtenemos como polinomio cociente c como polinomio resto r. Seguidmente vmos gilizr l división de polinomios: 8. Comprueb que los cálculos que tienes continución reflejn lo que se hizo en el ejemplo nterior pr dividir el polinomio p entre el polinomio q. Primer etp: Primer segund etps: Ls tres etps: Divide los siguientes polinomios: 7 entre ; b 0 entre c 7 entre d 0 8 entre e entre 0. Encuentr dos polinomios tles que l dividirlos prezc q como polinomio cociente r como resto... Operciones con frcciones lgebrics Puesto que tnto los polinomios como ls frcciones lgebrics obtenids prtir de dos polinomios son, en potenci, números reles, operremos con tles epresiones siguiendo ls propieddes de los números reles. Sum o rest. Pr sumr o restr dos frcciones polinómics deberemos conseguir que tengn igul denomindor. Un mner segur de logrrlo, unque puede no ser l más decud, es ést: q q q p q p q q q p q q q p q p q p Producto. Bst multiplicr los numerdores denomindores entre sí: q q p p q p q p División. Sigue l conocid regl de l división de frcciones numérics: p q q p q p q p

35 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF. Efectú los siguientes cálculos: b c d :. Reliz ls siguientes operciones lterndo, en cd prtdo, únicmente uno de los denomindores, su respectivo numerdor: b. Comprueb ls siguientes identiddes simplificndo l epresión del ldo izquierdo de cd iguldd: b b b 8 9 b b b b b b b 8. Clcul los siguientes cocientes: 9 : b 7 70 : 7 c 0 : d 8 :. Simplific ls siguientes frcciones lgebrics: 9 b 7 c d b b b b. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO.. Fctorizción de un polinomio Tl como ocurre con l división enter, l división de polinomios tmbién puede ser ect, es decir, el resto puede ser el polinomio cero En este cso escribimos 8 8 diremos que q divide 8 8 p. Si optmos por un iguldd polinómic: 8 8 Observmos que el hber obtenido como resto el polinomio 0 nos permite epresr el polinomio dividendo, p, como producto de otros dos polinomios, los polinomios divisor cociente, c q. Hemos lcnzdo un fctorizción del polinomio p, o un descomposición en fctores de p. En generl, un polinomio concreto puede ser fctorizdo, o descompuesto, por medio de diferentes grupos de fctores. Si continumos con el polinomio p nterior, un mner de obtener un descomposición lterntiv consiste en, su vez, lcnzr un fctorizción de lguno de los polinomios q o c. Consttemos que el polinomio divide c : 0 En efecto, l división es ect ello nos llev l siguiente iguldd: Si l trsldmos l descomposición que tenímos de p : 8 8

36 . Complet, cundo se posible, ls siguientes fctorizciones: b c d 7. Determin un polinomio de grdo que dmit un descomposición fctoril en l que prticipe el polinomio. Decimos que un polinomio es reducible si dmite un fctorizción medinte polinomios de grdo inferior l suo. En cso contrrio el polinomio será irreducible. Es clro que los polinomios de grdo no pueden ser descompuestos como producto de otros dos polinomios de menor grdo. Son polinomios irreducibles. En el siguiente prtdo consttremos que h polinomios de grdo que tmbién son irreducibles. De ls diferentes fctorizciones que puede dmitir un polinomio l que más informción nos proporcion es quell en l que todos los fctores que intervienen son polinomios irreducibles, puesto que no es mejorble. Conviene dvertir que, en generl, no es fácil lcnzr ese tipo de descomposiciones. Seguidmente vmos hondr en est cuestión... Ríces de un polinomio Ddo un polinomio p diremos que un número rel concreto es un ríz, o un cero, del polinomio p, si l evlur p en obtenemos el número 0, esto es, si p 0 Consideremos el polinomio s 8 8. El número es un ríz de s, puesto que s Otr ríz de s es el número : s En cmbio, el número no es un ríz de s : s Tmpoco es ríz de s el número 0: s Estudi si los siguientes números son o no ríz de los polinomios indicdos: de de de 0 de de En el siguiente ejercicio vmos recoger lguns coneiones entre ls ríces de un polinomio ls operciones de sum producto de polinomios. 9. Supongmos que tenemos dos polinomios, p p, un número rel. Si es un ríz de p, tmbién es ríz del polinomio sum p p? Si es un ríz de p, tmbién es ríz del polinomio producto p p? H lgun relción entre ls ríces del polinomio p ls del polinomio p? El que un número rel se ríz de un polinomio está fuertemente conectdo con l fctorizción de dicho polinomio: Si un número rel concreto es un ríz del polinomio p, entonces el polinomio divide p. Dicho de otro modo, el polinomio p dmite un descomposición fctoril de l siguiente form: p c pr cierto polinomio c, el cul puede ser conocido l dividir p entre. Vmos demostrr l nterior severción. Si dividimos p entre, obtendremos: p c r Como el polinomio divisor,, es de grdo, el polinomio resto h de ser de inferior grdo, deducimos que el resto nterior es un número rel. Escribmos r : p c El polinomio de l izquierd, p, es idéntico l de l derech, c. Por es rzón, l evlurlos en cierto número rel obtendremos el mismo vlor. Procedmos prticulrizrlos pr. Al ser ríz de p, p 0. Esto nos llev 0 p c 0 c 0, sí, el resto es 0, p c Es nturl que nos preguntemos si es cierto el recíproco del resultdo nterior. L respuest es firmtiv: Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

37 7 Si un polinomio p dmite un descomposición fctoril de l form p c pr cierto polinomio c cierto número rel, entonces el número es un ríz del polinomio p, esto es, p 0. Su demostrción es sencill. Bst que evluemos p en : p c 0 c 0 Si fundimos estos dos últimos resultdos en uno solo nos encontrmos nte el denomindo teorem del fctor: Teorem del fctor. Un número rel concreto es ríz de un polinomio p si solo si el polinomio divide p, es decir, si solo si el polinomio p dmite un descomposición fctoril de l form p c Volvmos con el polinomio s 8 8. Sbemos que el número es un 8 8 Podemos descomponer s de l ríz de s. Rtifiquemos que siguiente form: divide s : Construe un polinomio de grdo de form que teng un únic ríz. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Vimos que otr ríz de s es el número. Si observmos l precedente fctorizción de s, es evidente que este número no es ríz del fctor, por lo que necesrimente debe serlo del otro fctor c : c 0 Al hber consttdo que es ríz del Luego: polinomio c, deducimos que nos v udr descomponer c : 0 Si reunimos lo hecho en los prtdos precedentes de este ejemplo: s 8 8 Se h descompuesto s como producto de tres polinomios irreducibles de grdo. A l vist de ellos conocemos tods ls ríces de s, los números,. Los resultdos teóricos que hemos estblecido nos conducen este otro: Todo polinomio de grdo n tiene lo sumo n ríces reles, lgun de ls cules puede precer repetid entre esos no más de n números reles. H polinomios que no dmiten ríces, es decir, que no se nuln nunc: Ejemplos: El polinomio t no tiene ríces puesto que l evlurlo en culquier número rel siempre nos d un vlor positivo, por lo tnto, distinto de 0: t 0 Además, este polinomio de grdo dos, t, es un polinomio irreducible porque, l crecer de ríces, no podemos epresrlo como producto de polinomios de menor grdo. Otro polinomio sin ríces es: u. Sin embrgo, u es un polinomio reducible puesto que, obvimente, puede ser epresdo como producto de dos polinomios de inferior grdo. Aunque no se posible demostrrlo, por su dificultd, sí se puede nuncir que todo polinomio de grdo impr posee, l menos, un ríz rel. 0. Construe un polinomio de grdo tl que pose tres ríces distints.. Determin un polinomio de grdo tl que teng, l menos, un ríz repetid. Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

38 8. Conjetur, luego demuestr, un le que nos permit sber cuándo un polinomio culquier n n n n... 0 dmite l número 0 como ríz. n n. Demuestr un norm que señle cuándo un polinomio culquier n n... 0 dmite l número como ríz.. Obtén tods ls ríces de cd uno de los siguientes polinomios: Regl de Ruffini En el prtdo nterior se probó l equivlenci entre que un número rel se ríz de un polinomio p el hecho de que el polinomio mónico de grdo uno divid p, esto es, que eist otro polinomio c tl que se posible un fctorizción de p del tipo: p c Debido l importnci que tiene l división de polinomios cundo el polinomio divisor es de l form, es conveniente gilizr tles divisiones. Consideremos el polinomio Puesto que el resto no es cero, p. Vmos no es un ríz de p. 0 dividirlo entre. Si el resto es 0 Vemos cómo hn surgido tnto el 0 polinomio cociente como el resto. El el número será un ríz de p 0 0 que el grdo del dividendo se tres ; en el cso contrrio, si no es 0 el que el divisor se de grdo uno resto, entonces no será ríz de impone que el cociente teng grdo p : dos que el resto se un número rel. 9 El cociente const de los monomios, 0, los cules coinciden con los monomios de mor grdo de cd uno de los dividendos después de disminuir sus grdos en un unidd: procede de el dividendo inicil, 0 viene de 0, por último, de. Este hecho, coincidenci en el coeficiente disminución del grdo en un unidd, se debe que el divisor,, es mónico de grdo uno. Seguidmente, vmos tener en cuent únicmente los coeficientes del dividendo, por orden de grdo,,, ; en cunto l divisor, como es mónico de grdo uno, bst considerr su término independiente, +, pero como el resultdo de multiplicr los monomios que vn conformndo el cociente por el divisor hemos de restárselo cd uno de los dividendos, tendiendo este cmbio de signo, en lugr del término independiente, +, operremos con su opuesto,, número que, l vez, es l ríz del divisor sobre el que pes l pregunt de si es o no ríz de p. 0 Primer pso de l división: Segundo pso. El dividendo ps ser Aprece en el cociente el monomio coeficiente, el cul provoc l desprición de en el dividendo l prición del monomio coeficiente. Después de operr sumr nos encontrmos con 0 coeficiente 0, en el cociente, 0. L irrupción en el cociente del monomio 0 coeficiente 0 provoc l desprición de 0 0 en el dividendo l prición del monomio 0 0 coeficiente 0 0. Después de operr sumr nos encontrmos con coeficiente 0, en el cociente,. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

39 9 0 0 Tercer pso. El dividendo ps ser En cd uno de los psos figur, en l prte centrl, lo mismo que se h relizdo en l división convencionl, pero con l ventj de que todo es más ágil debido que únicmente se mnejn números reles: los coeficientes de los distintos polinomios intervinientes. Estmos nte l llmd regl de Ruffini, un lgoritmo que nos proporcion tnto el cociente como el resto que resultn de dividir un polinomio culquier entre otro de l form. Dividmos el polinomio p entre : 0 9 Tenemos en el cociente el término independiente. Éste provoc l eliminción de en el dividendo l prición del término Después de operr sumr nos encontrmos con el resto 9 9 El cociente es el resto 8. 8 Como el resto no es 0 deducimos que el número no es ríz de p. L relción entre dividendo, divisor, cociente resto es, como siempre: p 8 Si evlumos p en no puede dr cero, pero qué vlor result?: p Nturlmente hemos obtenido el resto nterior. Este hecho viene recogido en el denomindo teorem del resto. Teorem del resto. El vlor numérico que dopt un polinomio p l prticulrizrlo en coincide con el resto que prece l dividir p entre.. Us l regl de Ruffini pr relizr ls siguientes divisiones de polinomios: entre b entre c entre 9 d entre 7. Emple l regl de Ruffini pr dictminr si los siguientes números son o no ríces de los polinomios citdos: de b de c de d de 8. Utiliz l regl de Ruffini pr conocer el vlor del polinomio en. 9. Estudi si es posible usr l regl de Ruffini, de lgun form, pr dividir entre. Pr fcilitr l comprensión de los conceptos resultdos de este tem l morí de los números que hn precido hst hor, coeficientes, ríces, etc., hn sido números enteros. Por supuesto que podemos encontrrnos con polinomios con coeficientes rcionles, o irrcionles, o con polinomios con ríces dds por un frcción o un número irrcionl. Tmbién eisten polinomios que crecen de ríces. Ejemplos: Comprobemos, medinte l regl de Ruffini, que es ríz del polinomio : / 0 Pr conocer ls ríces del polinomio debemos estudir si h lgún número rel tl que lo nule, es decir, pr el que se teng 0. Así, el polinomio de grdo dos tiene dos ríces distints, ls cules son números irrcionles. Y sbemos que h polinomios que crecen de ríces, como por ejemplo. Aprecimos que l regl de Ruffini nos inform sobre si un número concreto es o no ríz de un polinomio. Nturlmente, Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

40 0 cundo estmos nte un polinomio, nos interes conocer sus ríces, no es posible efectur un prueb con cd número rel pr determinr cuáles son ríz del polinomio. En el próimo prtdo destcremos ciertos números cndidtos ser ríz de un polinomio... Cálculo de ls ríces de un polinomio A l hor de buscr ls ríces enters de un polinomio disponemos del siguiente resultdo: n n Ddo un polinomio culquier: n n... 0 cuos coeficientes son todos números enteros, sus ríces enters, si ls tuvier, se encuentrn necesrimente entre los divisores enteros de su término independiente 0. Procedmos su demostrción. Supongmos que cierto número entero es un ríz de ese polinomio. Tl número debe nulrlo: n n n n n n ;n n... 0 n n n n 0 n n... 0 ;n n... En l últim iguldd, el número del ldo izquierdo es entero, porque está epresdo como un sum de productos de números enteros. Por ello, el número del ldo derecho, 0, tmbién es entero. Al ser tmbién enteros tnto 0 como, lcnzmos que es un divisor de 0. Ejemplos: Determinemos, con rreglo l nterior resultdo, qué números enteros son cndidtos ser ríces del polinomio. Tles números enteros cndidtos deben ser divisores de, el término independiente del polinomio. Por ello, los únicos números enteros que pueden ser ríz de ese polinomio son:,,,. Puede comprobrse que los números enteros son ríces; los demás no lo son. Ls únics posibles ríces enters del polinomio tmbién son:,,, En este cso ninguno de esos números es ríz del polinomio. 0. Pr cd uno de los siguientes polinomios señl, en primer lugr, qué números enteros son cndidtos ser ríces sus, después, determin cuáles lo son: ; b ; c 8 9 ; d Algo más generl podemos firmr sobre clses de números ríces de un polinomio: n n Ddo un polinomio culquier n n... 0 cuos coeficientes son todos números enteros, sus ríces rcionles, si ls tuvier, necesrimente tienen por numerdor lgún divisor del término independiente, 0, por denomindor lgún divisor del coeficiente del término de mor grdo, Ejemplos: Volviendo uno de los polinomios del ejemplo nterior,, los números rcionles cndidtos ser ríces sus tienen por numerdor un divisor de por denomindor un divisor de. Por lo tnto, los únicos números rcionles que pueden ser ríz de ese polinomio son:,,,,,,, Además de, tmbién es ríz ; los demás no lo son. Ls únics posibles ríces rcionles del polinomio son:,,,. En este cso ninguno de esos números es ríz del polinomio.. Complet el ejemplo precedente comprobndo que, en efecto,. Pr cd uno de los siguientes polinomios indic qué números rcionles son cndidtos ser ríces sus, después, determin cuáles lo son: 9 En el cpítulo próimo, dedicdo ls ecuciones, seremos cpces de obtener ls ríces de todo polinomio de grdo dos, si ls tuviere. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo n es ríz del polinomio 8 9. Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

41 .. Fctorizción de polinomios frcciones lgebrics L fctorizción de polinomios puede ser utilizd pr simplificr lguns epresiones en ls que intervienen frcciones lgebrics. Veámoslo trvés de un pr de ejemplos: 8 9 Un frcción lgebric como puede ser simplificd grcis que el numerdor el 7 denomindor dmiten fctorizciones en ls que lgún polinomio está presente en mbs Como hemos puntdo en otrs ocsiones, ls epresiones finl e inicil no son idéntics pero sí son equivlentes en todos quellos vlores pr los que mbs tienen sentido, esto es, pr quellos en los que no se nul el denomindor. En un sum de frcciones polinómics como ést podemos lcnzr un común denomindor en ls frcciones prtir de l descomposición de cd denomindor: Conviene destcr que en el resultdo finl se h optdo por dejr el denomindor fctorizdo. De es form, entre otrs cuestiones, se preci rápidmente pr qué vlores de l indetermind es frcción lgebric no dmite ser evlud.. Simplific, si es posible, ls siguientes epresiones: ; b ; c 8 8. Reliz ls siguientes operciones teniendo en cuent ls fctorizciones de los denomindores: b.. Productos notbles de polinomios En este prtdo vmos destcr un serie de productos concretos de polinomios que surgen frecuentemente. Podemos eponerlos de mu diverss forms. Tl como lo hremos, precerá más de un indetermind; hemos de ser cpces de precir que si, en un lgún cso concreto, lgun indetermind ps ser un número concreto esto no hrá nd más que prticulrizr un situción más generl. Potencis de un binomio. Ls siguientes igulddes se obtienen, simplemente, trs efectur los oportunos cálculos: b b b b b b El cudrdo de un sum es igul l cudrdo del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo. Comprueb l iguldd prtir de los cudrdos rectángulos de l ilustrción. El cudrdo de un diferenci es igul l cudrdo del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo. Observ l figur conéctl con l iguldd. b b b b Rtific l iguldd con los cubos prisms de l figur. b b b b Podemos observr que, en cd uno de los desrrollos, el eponente del binomio coincide con el grdo de cd uno de los monomios. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

42 Ejemplos: Reliz los cálculos: ; b ; c ; d ; e. Obtén ls fórmuls de los cudrdos de los siguientes trinomios: bc ; b bc 7. Desrroll ls siguientes potencis: + ; b + / ; c / ; d ; e b ; f / / 8. Epres como cudrdo de un sum o de un diferenci ls siguientes epresiones lgebrics: b + c b 0b + d e + f Sum por diferenci. De nuevo l siguiente iguldd se obtiene trs efectur el producto señldo: b b b Sum por diferenci es igul diferenci de cudrdos. Observ ls figurs conéctls con l iguldd. Ejemplos: b c 9 d 9 9. Efectú estos productos: ; b ; c De vuelt los polinomios de un vrible, podemos decir que en este prtdo hemos epndido potencis de un polinomio, o productos de un polinomio por sí mismo, sí como productos de l form sum por diferenci. Conviene drse cuent de que sus fórmuls, leíds l revés, constituen un fctorizción de un polinomio. Ejemplos: De cuerdo con lo epuesto, fctoriz los siguientes polinomios: ; b 8 7 ; c. Clcul los siguientes productos: + ; b b + b; c + ; d +. Epres como sum por diferenci ls siguientes epresiones: 9 ; b 8b ; c 9 ; d Simplific ls siguientes frcciones lgebrics: ; b ; c 9 EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. En este ejercicio se v presentr un truco medinte el cul vmos divinr el número que result trs mnipulr repetidmente un número desconocido. Convierte en un epresión lgebric ls sucesivs lterciones del número desconocido justific lo que ocurre. i. Dile un compñero que escrib en un ppel un número nturl que no lo muestre ii. Que lo multiplique por 0 iii. Que l resultdo nterior le sume 00 iv. Que multiplique por 000 lo obtenido v. Que divid entre 0000 l últim cntidd vi. Que l resultdo precedente le reste el número que escribió vii. Independientemente del número desconocido originl qué número h surgido? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

43 . En este otro ejercicio vmos divinr dos números que h pensdo un compñero. Construe un epresión lgebric que recoj todos los psos, finlmente, descubre el truco. i. Solicit un compñero que escrib en un ppel, no muestre, dos números nturles: uno de un cifr entre 9 otro de dos cifrs entre ii. Que multiplique por el número escogido de un cifr. iii. Que l resultdo nterior le sume. iv. Que multiplique por lo obtenido. v. Que l últim cntidd le reste. vi. Que multiplique el resultdo precedente por. vii. Que le sume lo nterior el número de dos cifrs que eligió. viii. Dile l compñero que desvele cuál es el resultdo de todos esos cmbios. i. Qué debemos hcer pr descubrir los dos números que escogió el compñero?. Estudi si h números reles en los que ls siguientes epresiones no pueden ser evluds: b c d. Un person tiene horrdos 000 euros decide depositrlos en un producto bncrio con un tipo de interés nul del %. Si decide recuperr sus horros l cbo de dos ños, cuál será l cntidd totl de l que dispondrá?. Generlicemos el ejercicio nterior: Si ingresmos X euros en un depósito bncrio cuo tipo de interés es del i % nul, cuál será l cntidd que recuperremos l cbo de n ños?. Construe un polinomio de grdo, p, tl que p Consideremos los polinomios p, q 7 r. Reliz ls siguientes operciones: p q r ; b p q ; c p r ; d p r q b 8. Clcul los productos: b 0, 0, + 0,z 0, + 0, 0,z c b 9. Efectú ls divisiones de polinomios: 8 9 entre ; b 0 entre 0. Clcul los cocientes: : b z : / z c + + : +. Reliz ls operciones entre frcciones lgebrics: b c d : Construe un polinomio de grdo tl que el número se ríz su.. Determin un polinomio de grdo tl que sus ríces sen, 0.. Construe un polinomio de grdo tl que teng únicmente dos ríces reles.. Encuentr un polinomio q tl que l dividir p entre q se obteng como polinomio resto r.. Hll ls ríces enters de los siguientes polinomios: b 8 c d 7. Obtén ls ríces rcionles de los polinomios del ejercicio nterior. 8. Descompón los siguientes polinomios como producto de polinomios irreducibles: b c d 9. Clcul ls potencis: + z b c / + b d 0. Anliz si los siguientes polinomios hn surgido del desrrollo de potencis de binomios, o trinomios, o de un producto sum por diferenci. En cso firmtivo epres su procedenci. 9 b 8 c 0 d e f g h i. Descompón en fctores: b c z d +. Con este ejercicio se pretende mostrr l convenienci l hor de no operr un epresión polinómic que tenemos fctorizd totl o prcilmente. Comprueb l iguldd. b Determin tods ls ríces del polinomio. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

44 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF. : Fctoriz numerdor denomindor simplific: b c. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posible: b c. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posible: 8 7 : b b b c. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posible: : b : c b b : b b b b 7. Efectú ls siguientes operciones simplific todo lo posible: : b : c AUTOEVALUACIÓN. Señl los coeficientes que precen en ls siguientes epresiones lgebrics: z 7 b c z. El vlor numérico de l epresión z 7 en z,, es: 7 b c d. Complet decudmente ls siguientes frses: L sum de dos polinomios de grdo dos es siempre otro polinomio de grdo. b L sum de tres polinomios de grdo dos es siempre otro polinomio de grdo. c El producto de dos polinomios de grdo dos es siempre otro polinomio de grdo. d L diferenci de dos polinomios de grdo dos es siempre otro polinomio de grdo.. Al dividir el polinomio p entre q el polinomio resto resultnte: debe ser de grdo. b puede ser de grdo. c debe ser de grdo menor que. d ningun de ls opciones precedentes.. Consider el polinomio 7 7. Cuáles de los siguientes números enteros son rzonbles cndidtos pr ser un ríz su? b c d 7. Consider el polinomio 7 7. Cuáles de los siguientes números rcionles son rzonbles cndidtos pr ser un de sus ríces? b c d 7. Todo polinomio con coeficientes enteros de grdo tres tiene tres ríces reles. b tiene, lo sumo, tres ríces reles. c tiene, l menos, tres ríces. 8. Es posible que un polinomio, con coeficientes enteros, de grdo cutro teng ectmente tres ríces, sen diferentes o con lgun múltiple? 9. Justific l vercidd o flsedd de cd un de ls siguientes frses: L regl de Ruffini sirve pr dividir dos polinomios culesquier. b L regl de Ruffini permite dictminr si un número es ríz o no de un polinomio. c L regl de Ruffini solo es válid pr polinomios con coeficientes enteros. d L regl de Ruffini es un lgoritmo que nos proporcion tods ls ríces de un polinomio. 0. Anliz si puede hber lgún polinomio de grdo ocho que no teng ningun ríz.

45 Epresión lgebric Vrible, indetermind Vlor numérico de un epresión lgebric RESUMEN Epresión mtemátic que se construe con números reles ls operciones mtemátics básics de sum, rest, multiplicción /o división Lo no concretdo en un epresión lgebric Al fijr un vlor concreto pr cd indetermind, o vrible, de un epresión lgebric prece un número rel: el vlor numérico de es epresión lgebric pr tles vlores de ls indeterminds z Ls vribles, o indeterminds, del ejemplo nterior son,, z. Si, en l epresión precedente, hcemos =, =-, z=/ obtenemos Monomio Epresión dd por el producto de números reles e indeterminds z, 7 Coeficiente de un monomio Prte literl de un monomio El número rel que multiplic l indetermind, o indeterminds, del monomio L indetermind, o producto de indeterminds, que multiplic l coeficiente del monomio Grdo de un monomio Cundo h un únic indetermind es el eponente de dich indetermind. Si precen vris, el grdo del monomio será l sum de los eponentes de ess indeterminds Los coeficientes de los nteriores monomios son, respectivmente, - 7 L prte literl de z es z Polinomio Epresión construid prtir de l sum de monomios 8 Los grdos de los monomios precedentes son, respectivmente Grdo de un polinomio El mor grdo de sus monomios El nterior polinomio es de grdo Sum, rest producto de polinomios El resultdo siempre es otro polinomio p = + ; q = +. p + q = + 0; p q = + ; p q = + +. División de dos polinomios Fctorizción de un polinomio Polinomio irreducible Se obtienen otros dos polinomios, los polinomios cociente c resto r, ligdos los polinomios iniciles, los polinomios dividendo p divisor q Consiste en epresrlo como producto de otros polinomios de menor grdo Es quel que no puede ser epresdo como producto de otros polinomios de grdo inferior Ríz de un polinomio Un número rel concreto es un ríz, o un cero, del polinomio p, si l evlur p en obtenemos el número 0, es decir, si p 0 Ríces fctorizción El que un número rel concreto se un ríz del polinomio p es equivlente que el polinomio p dmit un descomposición fctoril de l form p c pr cierto polinomio c p q c r, es ríz de son ríces de es un ríz de Número de ríces grdo Regl de Ruffini Todo polinomio de grdo n tiene lo sumo n ríces reles, lgun de ls cules puede precer repetid entre esos no más de n números reles Nos puede udr l hor de fctorizr un polinomio conocer sus ríces tiene dos ríces, 7 no tiene ríces Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Epresiones lgebrics. Polinomios Autor: Edurdo Cuchillo Ibáñez Revisor: Jvier Rodrigo Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

46 CAPÍTULO : ECUACIONES Y SISTEMAS. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.. Concepto de ecuciones de segundo grdo Recuerd que: Un ecución de segundo grdo es un ecución polinómic en l que l mor potenci de l incógnit es. Ls ecuciones de segundo grdo se pueden escribir de l form: + b + c = 0 donde, b c son números reles, con 0. Son ecuciones de º grdo: 7 + = 0; 9 + = 0; /, = 0 b Los coeficientes de ls ecuciones de º grdo son números reles, por lo tnto pueden ser frcciones o ríces. Por ejemplo: ; 0 ;,8 +,7 7,0 = 0; Indic si son ecuciones de segundo grdo ls siguientes ecuciones: 7 0 b,7, = 0 c 7 0 d = 0 e, = 0 f 9 ' 0. En ls siguientes ecuciones de segundo grdo, indic quiénes son, b c = 0 b, + 7,8 = 0 c = 0 d,,7 +,7 = 0... Resolución de ecuciones de º grdo complets Recuerd que: Se llm ecución de segundo grdo complet quell que tiene vlores distintos de cero pr, b c. b b c Pr resolver ls ecuciones de segundo grdo complets se utiliz l fórmul:. Est fórmul nos permite clculr ls dos soluciones de l ecución. Llmmos discriminnte l prte de l fórmul que está en el interior de l ríz: = b c Actividdes resuelts Resuelve l ecución de segundo grdo + = 0. Primero debemos sber quiénes son, b c: = ; b = ; c =. b b c 9 8 Sustituendo estos vlores en l fórmul, obtenemos: Por lo tnto, ls dos soluciones son: ;. En efecto, + = + = 0, + = + = 0, luego son soluciones de l ecución.. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo complets: = 0 b + = 0 c = 0 d + = 0. Resuelve ls siguientes ecuciones: 8 7 ; b 0; c = 0; d = ; e ; f... Número de soluciones de un ecución de º grdo complet Recuerd que: Antes hemos definido lo que er el discriminnte, te cuerds?: = b c Pr sber cuánts soluciones tiene un ecución de º grdo, nos vmos fijr en el signo del discriminnte. Si = b c > 0, l ecución tiene dos soluciones reles distints. Si = b c = 0, l ecución tiene dos soluciones reles igules, un solución doble. Si = b c < 0, l ecución no tiene solución. El motivo es mu sencillo, l ríz cudrd de un número rel negtivo no es un número rel, no eiste. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

47 7 L ecución = 0 tiene como discriminnte: = b c = 7 0 = 9 0 = 9 > 0 Por lo tnto, l ecución dd tiene soluciones reles distints,. Comprobción: = + 0 = 0 7 = + 0 = 0. L ecución + 9 = 0 tiene como discriminnte: = b c = 9 = = 0. Por lo tnto, l ecución tiene dos soluciones reles igules. Se puede escribir como: + 9 = 0 = 0, que tiene l solución doble =. L ecución = 0 tiene como discriminnte: = b c = 0 = 0 = < 0. Por lo tnto, l ecución no tiene solución rel. Ningún número rel verific l ecución.. Averigu cuánts soluciones tienen ls siguientes ecuciones de º grdo: = 0 b + = 0 c 9 = 0 d = 0... Resolución de ecuciones de º grdo incomplets Recuerd que: Llmmos ecución de º grdo incomplet quell ecución de segundo grdo en l que el coeficiente b vle 0 flt b, o el coeficiente c vle 0 flt c. Observ: Si el coeficiente vle cero no es un ecución de segundo grdo. L ecución de segundo grdo = 0 es incomplet porque el coeficiente b = 0, es decir, flt b. L ecución de segundo grdo 7 = 0 es incomplet porque no tiene c, es decir, c = 0. Un ecución de segundo grdo incomplet tmbién se puede resolver utilizndo l fórmul de ls complets pero es un proceso más lento es más fácil equivocrse. Si el coeficiente b = 0: Despejmos l incógnit normlmente, como hcímos en ls ecuciones de primer grdo: + c = 0 = c c c Si c c > 0 tiene dos soluciones distints, si < 0 no eiste solución. Si el coeficiente c = 0, + b = 0, Si el coeficiente c = 0: Scmos fctor común: + b = 0 + b = 0. b scmos fctor común: = 0. Pr que el producto de dos fctores vlg cero, uno de los fctores debe vler b cero. Por tnto = 0, o + b = 0 = b. En l ecución 00 = 0 flt l b. Pr resolverl despejmos l incógnit, es decir, : 00 = 0 = 00 = 00/ = 00. Un vez que llegmos quí, nos flt quitr ese cudrdo que llev nuestr incógnit. Pr ello, hcemos l ríz cudrd en los miembros de l ecución: 000. Así hemos obtenido ls dos soluciones de nuestr ecución, 0 0. En efecto, 0 00 = = 0, 0 00 = = 0. En l ecución = 0 flt l c. Pr resolverl, scmos fctor común: = 0 = 0. Un vez que llegmos quí, tenemos dos opciones = 0 = 0. 7 = 0 = 7. Así hemos obtenido ls dos soluciones de l ecución = 0 = 7. En efecto, 0 0 = 0, 7 7 = 9 7 = 7 7 = 0. Actividdes resuelts Resuelve l ecución de segundo grdo 0 = 0: Solución: Se trt de un ecución de º grdo incomplet donde flt l b. Por lo tnto, despejmos l incógnit: 0 = 0 = 0 = 0/ = Ls soluciones son. Resuelve l ecución de segundo grdo + = 0: Solución: Se trt de un ecución de º grdo incomplet donde flt l c. Por lo tnto, scmos fctor común: + = 0 + = 0. Obtenemos ls dos soluciones: = 0 + = 0 =. Ls soluciones son 0. c Resumen Si el coeficiente b = 0, + c = 0, despejmos l incógnit: c. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

48 8. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo incomplets: + 7 = 0 b 0 = 0 c = 0 d + = 0 e 9 9 = 0 f = Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo incomplets: + 8 = 0 b 80 = 0 c 9 = 0 d + = 0 e = 0 f 0 = 0... Sum producto de ls soluciones en un ecución de segundo grdo Recuerd que: Si en un ecución de segundo grdo: + b + c = 0, con =, conocemos sus soluciones: sbemos que podemos escribir l ecución de form fctorizd: = 0 Hcemos operciones: + = = 0, por lo que el coeficiente c es igul l producto de ls soluciones l sum de ls soluciones es igul l opuesto del coeficiente b, es decir, b. = c; + = b. Si l ecución es + b + c = 0, dividiendo por, tenemos un de coeficiente =, obtenemos que: c b = ; + = Est propiedd nos permite, en ocsiones, resolver mentlmente lguns ecuciones de segundo grdo. Actividdes resuelts Resuelve mentlmente l ecución + = 0. Ls soluciones son, pues su producto es su sum. Resuelve mentlmente l ecución + = 0. Buscmos, mentlmente dos números cuo producto se cu sum se. En efecto, =, + =, luego ls soluciones de l ecución son. Resuelve mentlmente l ecución 8 + = 0. El producto debe ser. Probmos con como solución, en efecto + = 8. Ls soluciones son l ríz doble. Resuelve mentlmente l ecución + = 0. Ls soluciones son, pues su producto es su sum. 8. Resuelve mentlmente ls siguientes ecuciones de º grdo: + 8 = 0 b + 7 = 0 c 8 = 0 d + = 0 e =0 f =0 9. Escribe un ecución de segundo grdo cus soluciones sen El perímetro de un rectángulo mide 0 cm su áre cm. Clcul mentlmente sus dimensiones.. Si es un solución de 7 + = 0, cuánto vle?. OTROS TIPOS DE ECUACIONES Durnte siglos los lgebrists hn buscdo fórmuls, como l que conoces de l ecución de segundo grdo, que resolvier ls ecuciones de tercer grdo, de curto, de quinto sin éito prtir del quinto grdo. Ls fórmuls pr resolver ls ecuciones de tercer curto grdo son complicds. Sólo sbemos resolver de form sencill lguns de ests ecuciones. Resuelve: + 9 = 0. Es un ecución polinómic de grdo cinco, pero l estr fctorizd sbemos resolverl pues pr que el producto de vrios fctores se cero, uno de ellos debe vler cero. Igulndo cero cd fctor tenemos que ls soluciones son,,, 9... Ecuciones bicudrds Un ecución bicudrd es un ecución de l form n + b n + c = 0. Pr resolverl, hcemos el cmbio n = t, convirtiéndol sí en un ecución de segundo grdo de fácil resolución. Cundo hmos clculdo el vlor de t, deshcemos el cmbio efectudo, n t pr obtener l solución. Ls ecuciones bicudrds más comunes son ls de curto grdo Pr resolver l ecución bicudrd = 0: Hcemos el cmbio obteniendo l ecución de segundo grdo t 0t + 9 = 0. Resolvemos dich ecución de segundo grdo: 0 t t 08 9; t 08 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

49 9 Deshcemos el cmbio pr obtener los vlores de : Si t = 9 entonces 9. Si t = entonces. Actividdes resuelts L ecución + = 0 es un ecución polinómic de curto grdo, pero con un form mu especil, es un ecución bicudrd, porque podemos trnsformrl en un ecución de segundo grdo llmndo por ejemplo, t. 9 + = 0 t t + = 0 t = Un solución de l ecución de segundo grdo es t =, l otr es t =. Por tnto si t = =, entonces = =. Y si t = =, entonces = =. Nuestr ecución de curto grdo tiene cutro soluciones:,,.. Resuelve ls ecuciones siguientes: 7 + = 0 b 7 + = 0. Resuelve ls siguientes ecuciones bicudrds: + = 0 b + + = 0 c = 0.. Resuelve ls ecuciones bicudrds siguientes: + = 0 b = 0 c = 0 d + = 0... Ecuciones rcionles Si h incógnits en el denomindor, l ecución se denomin rcionl, se resuelve de form similr, quitndo denomindores. Pr resolver ecuciones rcionles, se multiplicn mbos miembros de l ecución por el mínimo común múltiplo de los denomindores. Ejemplos: 8 9 Resuelve 9 Quitmos denomindores: + 9 = = = =. Pr resolver l ecución rcionl : Primero clculmos el mínimo común múltiplo de los denomindores: m.c.m., +, = +. Multiplicmos tod l ecución por el mínimo común múltiplo, obteniendo l nuev ecución: =. Resolvemos dich ecución sí obtenemos el resultdo: + + = = =.. Resuelve ls siguientes ecuciones rcionles: 0 b 8 c... Ecuciones rdicles Si h incógnits dentro de un rdicl, l ecución se denomin irrcionl, se resuelve islndo el rdicl elevndo l cudrdo o l índice del rdicl. Ahor es preciso tener un precución, l elevr l cudrdo, l ecución obtenid no es equivlente, se pueden hber ñdido soluciones. Siempre es conveniente comprobr el resultdo, pero en este cso, es necesrio. Un ecución rdicl o irrcionl es quell que tiene l incógnit bjo el signo de l ríz. Pr resolver ecuciones rdicles, seguimos los siguientes psos:.- Se ísl un rdicl en uno de los dos miembros, psndo l otro miembro el resto de los términos, unque tengn tmbién rdicles..- Se elevn l cudrdo los dos miembros..- Si quedn más rdicles, se vuelve despejr uno se elev l cudrdo, hst que no quede ninguno..- Se resuelve l ecución obtenid..- Se comprueb que l solución es válid. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

50 0 Vmos resolver l ecución rdicl..- Se ísl un rdicl en uno de los dos miembros, psndo l otro miembro el resto de los términos:..- Se elevn l cudrdo los dos miembros: = = Se resuelve l ecución obtenid: = + + = 0 doble..- Se comprueb que l solución es válid: =. Actividdes resuelts Resuelve l ecución rdicl..- Se ísl un rdicl en uno de los dos miembros, psndo l otro miembro el resto de los términos, unque tengn tmbién rdicles:..- Se elevn l cudrdo los dos miembros:. Se simplific l ecución obtenid:..- Volvemos hor l pso pr eliminr l ríz que tenemos ún:.- Se resuelve l ecución obtenid: = = =. =..- Se comprueb que l solución es válid: 9 = =. L solución = verific l ecución.. Resuelve ls siguientes ecuciones irrcionles: b 9 c... Otrs ecuciones H tmbién ecuciones trigonométrics, logrítmics, eponenciles. Así, si l incógnit está en un eponente l ecución se denomin eponencil. Si podemos epresr los dos miembros de l ecución como potencis de l mism bse, se iguln los eponentes. Resuelve: Epresmos l ecución como potencis de un mism bse:. Igulmos los eponentes: = =. 7. Resuelve ls ecuciones siguientes: 9 + = 0 b 9 + = 0 8. Resuelve ls ecuciones bicudrds siguientes: + = 0 b + 00 = 0 c + = 0 d 7 + = 0 9. Resuelve ls ecuciones rcionles siguientes: 7 b c d 0. Resuelve ls ecuciones irrcionles siguientes: b c d 7 9. Resuelve ls ecuciones eponenciles siguientes: b c 8 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

51 . SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Concepto de sistem de ecuciones lineles Recuerd que: Un ecución con vris incógnits es un iguldd que ls relcion. Por ejemplo: + =, es l ecución de un circunferenci de centro el origen rdio. Un sistem de ecuciones es un conjunto de ecuciones con vris incógnits. Por ejemplo: + = 7 0 L primer ecución es l de un circunferenci de centro el origen rdio, l segund es l ecución de un rect que ps por el origen. Ls soluciones del sistem son los puntos de intersección entre l circunferenci l rect. Se llm solución del sistem cd uno de los conjuntos de números que verificn tods ls ecuciones del sistem. Dos sistems son equivlentes cundo tienen ls misms soluciones. Un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits se puede epresr de l form: b c donde, b, ' b son ' b' c' números reles que se denominn coeficientes c c' tmbién son números reles llmdos términos independientes. Llmmos solución del sistem l pr de vlores, que stisfcen ls dos ecuciones del sistem. Se dice que dos sistems de ecuciones son equivlentes, cundo tienen l mism solución. Son sistems de ecuciones lineles, por ejemplo: No es un sistem linel porque tiene términos en, unque es un sistem de dos ecuciones. Tmpoco lo es 9 porque tiene un término en, unque tmbién es un sistem de dos ecuciones.. Rzon si son o no sistems de ecuciones lineles los siguientes sistems: 7 b c d Clsificción de sistems de ecuciones Recuerd que: En un sistem de ecuciones lineles con dos incógnits, cd un de ls ecuciones represent un rect en el plno. Ests rects pueden estr posicionds entre sí de tres mners distints, lo que nos udrá clsificr nuestro sistem en: Comptible determindo: el sistem tiene un únic solución, por lo que nuestrs rects son SECANTES Comptible indetermindo: el sistem tiene infinits soluciones, por lo que ls rects son COINCIDENTES Incomptible: el sistem no tiene solución, por lo que ls rects son PARALELAS. Comptible determindo Comptible indetermindo Incomptible Actividdes resuelts Añde un ecución = pr que el sistem resultnte se: Comptible determindo. b Incomptible. c Comptible indetermindo. Solución: Pr que el sistem se comptible determindo, ñdiremos un ecución que no teng los mismos coeficientes que l que nos d el ejercicio. Por ejemplo, + =. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

52 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF b Pr que se incomptible, los coeficientes tienen que ser los mismos pero tener diferente término independiente. Por ejemplo =. c Pr que se comptible indetermindo, pondremos un ecución proporcionl l que tenemos. Por ejemplo =.. Represent los siguientes sistems clsifíclos: b c 9 9. Resuelve gráficmente los siguientes sistems clsifíclos: b c. Resuelve gráficmente los siguientes sistems clsifíclos: b c.. Resolución de sistems por el método de sustitución Recuerd que: El método de sustitución consiste en despejr un incógnit de un de ls ecuciones del sistem sustituir l epresión obtenid en l otr ecución. Así, obtenemos un ecución de primer grdo en l que podremos clculr l incógnit despejd. Con el vlor obtenido, obtenemos el vlor de l otr incógnit. Vmos resolver el sistem por el método de sustitución: Despejmos de l segund ecución: lo sustituimos en l primer: =. Con el vlor obtenido de, clculmos l : = = =. L solución es:. Comprobmos:.. Resuelve los siguientes sistems por el método de sustitución: b 8 c 0 7. Resuelve los siguientes sistems por el método de sustitución: b c 8.. Resolución de sistems por el método de igulción Recuerd que: El método de igulción consiste en despejr l mism incógnit de ls dos ecuciones que formn el sistem e igulr los resultdos obtenidos. Así, obtenemos un ecución de primer grdo en l que podremos clculr l incógnit despejd. Con el vlor obtenido, clculmos el vlor de l otr incógnit Vmos resolver el sistem por el método de igulción: Despejmos l mism incógnit de ls dos ecuciones que formn el sistem:. Igulmos hor los resultdos obtenidos resolvemos l ecución resultnte:

53 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Con el vlor obtenido de, clculmos l :. L solución es:. Comprobmos:. 8. Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción: b 7 c 7 9. Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción: b c Resolución de sistems por el método de reducción Recuerd que: El método de reducción consiste en eliminr un de ls incógnits sumndo ls dos ecuciones. Pr ello se multiplicn un o mbs ecuciones por un número de modo que los coeficientes de o sen igules pero de signo contrrio. Vmos resolver el sistem por el método de reducción: Multiplicmos l segund ecución por pr que los coeficientes de l sen igules pero de signo contrrio summos ls ecuciones obtenids: 8 summos 7 7 Con el vlor obtenido de, clculmos l :. L solución es:. Comprobmos:. 0. Resuelve los siguientes sistems por el método de reducción: b c 0. Resuelve los siguientes sistems por el método de reducción: 9 8 b 0 9 c 7. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.. Concepto de sistem de ecuciones no lineles Un sistem de ecuciones es no linel cundo l menos un de sus ecuciones no es de primer grdo c' b' ' c b Donde, b, ' b' son números reles que se denominn coeficientes c c' tmbién son números reles llmdos términos independientes. Llmmos solución del sistem l pr, de vlores que stisfcen ls dos ecuciones del sistem. Son sistems de ecuciones no lineles, por ejemplo: b 7 c 7

54 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF. Rzon si son o no sistems de ecuciones lineles los siguientes sistems: b c d.. Resolución de sistems de ecuciones no lineles L resolución de este tipo de sistems se suele hcer por el método de sustitución medinte los siguientes psos:.- Se despej un incógnit de un de ls ecuciones, ser posible de l de primer grdo..- Se sustitue l incógnit despejd en l otr ecución..- Se resuelve l ecución resultnte..- Cd uno de los vlores obtenidos se sustitue en l otr ecución, se obtienen sí los vlores correspondientes de l otr incógnit. Actividdes resuelts Vmos resolver el sistem no linel 7.- Se despej un incógnit de un de ls ecuciones, ser posible de l de primer grdo: Se sustitue l incógnit despejd en l otr ecución: Se resuelve l ecución resultnte: = =.- Cd uno de los vlores obtenidos se sustitue en l otr ecución, se obtienen sí los vlores correspondientes de l otr incógnit: Si =, = 7 = ; Si =, = 7 =. Ls soluciones son,,..- Comprobción: Resuelve los siguientes sistems no lineles: b c 7. Resuelve los siguientes sistems comprueb gráficmente ls soluciones: b c 7 d 7 e f 8. L trectori de un proectil es un prábol de ecución: = +, l trectori de un vión es un rect de ecución: =. En qué puntos coinciden mbs trectoris? Represent gráficmente l rect l prábol pr comprobr el resultdo.. Resuelve los siguientes sistems: b c d e

55 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF.. Sistems de ecuciones lineles de más de dos incógnits L mejor form de resolver sistems lineles de más de dos incógnits es ir sustituendo el sistem por otro equivlente de form que cd vez se consig que sen ceros los coeficientes de más incógnits. Este procedimiento se denomin Método de Guss. Actividdes resuelts Pr resolver el sistem: 0 z z z : Dejmos l primer ecución sin modificr. Queremos que l segund ecución teng un cero como coeficiente de l, pr ello l multiplicmos por le restmos l primer. Pr que l tercer ecución teng un cero como coeficiente de l, l multiplicmos por le restmos l primer: 0 z z z z z z Ahor podemos resolver el sistem de dos ecuciones dos incógnits formdo por ls dos últims ecuciones, o continur con nuestro procedimiento. Pr conseguir que en l tercer ecución el coeficiente de l se un cero multiplicmos l tercer ecución por l segund por 7 ls restmos: z z z z z z hor podemos despejr cd un de ls incógnits de form ordend: / z z z 8 0 z z 7. Resuelve los siguientes sistems: 0 z z z b z z z c z z z. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.. Resolución de problems medinte ecuciones de º grdo Pr resolver problems por medio de ecuciones de º grdo, primero tendremos que psr lenguje lgebrico el enuncido del problem luego resolverlo siguiendo los siguientes psos:.- Comprender el enuncido..- Identificr l incógnit..- Trducir el enuncido l lenguje lgebrico..- Plnter l ecución resolverl..- Comprobr l solución obtenid. Actividdes resuelts Vmos resolver el siguiente problem: Cuál es el número nturl cuo quíntuplo umentdo en uniddes es igul su cudrdo? Un vez comprendido el enuncido, identificmos l incógnit, que en este cso, es el número que estmos buscndo..- Número buscdo =.- Trducimos hor el problem l lenguje lgebrico: + =.- Resolvemos l ecución: + = = c b b. 7 ; 7 Solución: Como el enuncido dice número nturl el número buscdo es el..- Comprobción: En efecto + = =.

56 8. Qué número multiplicdo por es uniddes menor que su cudrdo? 9. En un clse deciden que todos vn envir un crt l resto de compñeros. Uno dice: Vmos escribir 80 crts! Clcul el número de lumnos que h en l clse. 0. Clcul tres números consecutivos tles que l sum de sus cudrdos se.. Un fotogrfí rectngulr mide cm de bse 0 cm de ltur. Alrededor de l foto h un mrgen de igul nchur pr l bse que pr l ltur. Hll el ncho del mrgen, sbiendo que el áre totl de l foto el mrgen es de cm.. El triple del cudrdo de un número umentdo en su duplo es 8. Cuál es el número?. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 0 cm l bse mide cm, clcul los ldos del triángulo su áre.. Un hoj de ppel cudrd se dobl por l mitd. El rectángulo resultnte tiene un áre de 8 cm. Cuál es perímetro de dicho rectángulo?. Un pdre dice: El producto de l edd de mi hijo hce ños por el de su edd hce ños es mi edd ctul, que son ños. Clcul l edd del hijo.. Hll ls dimensiones de rectángulo cu áre es m, sbiendo que sus ldos se diferencin en metros. 7. En un triángulo rectángulo el cteto mor mide cm menos que l hipotenus cm más que el otro cteto. Cuánto miden los ldos del triángulo? 8. Hll dos números pres consecutivos cuo producto se. 9. Hll tres números impres consecutivos tles que si l cudrdo del mor se le restn los cudrdos de los otros dos se obtiene como resultdo... Resolución de problems medinte sistems de ecuciones Pr resolver problems por medio de sistems de ecuciones, primero tendremos que psr lenguje lgebrico el enuncido del problem luego resolverlo siguiendo los siguientes psos:.- Comprender el enuncido..- Identificr ls incógnits..- Trducir el enuncido l lenguje lgebrico..- Plnter el sistem resolverlo..- Comprobr l solución obtenid. Actividdes resuelts Vmos resolver el siguiente problem: L sum de ls eddes de un pdre su hijo es 9 su diferenci. Cuál es l edd de cd uno? Un vez comprendido el enuncido, identificmos ls incógnits que, en este cso, son l edd del pdre el hijo.- Edd del pdre = Edd del hijo =.- Psmos el enuncido lenguje lgebrico: L sum de sus eddes es 9: + = 9 Y su diferenci : =.- Plntemos el sistem lo resolvemos por el método que nos resulte más sencillo. En este cso, lo hcemos por reducción: 9 summos 9 = / = + = 9 + = 9 = 9 = 7. 0 Solución: El pdre tiene ños el hijo tiene 7 ños..- Comprobción: En efecto, l sum de ls eddes es + 7 = 9 l diferenci es 7 =. 0. L sum de ls eddes de Mrí Alfonso son ños. L edd de Alfonso menos l mitd de l edd de Mrí es igul. Qué edd tienen cd uno?. L sum de ls eddes de Mriló Jvier es ños. Dentro de 7 ños, l edd de Jvier será igul l edd de Mriló más 0 ños. Qué edd tiene cd uno en l ctulidd?. Encuentr dos números cu diferenci se su sum se 0.. Un hotel tiene hbitciones individules dobles cms, cuánts hbitciones tiene de cd tipo?. En un triángulo rectángulo l hipotenus mide 0 cm ls longitudes de sus dos ctetos sumn cm. Clcul el áre del triángulo. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

57 7. Nieves le pregunt Mirim por sus clificciones en Mtemátics en Lengu. Mirim le dice L sum de mis clificciones es 9 el producto 90. Nieves le d l enhorbuen. Qué clificciones obtuvo?. De un número de tres cifrs se sbe que sumn, que l sum de sus cudrdos es, que l cifr de ls decens es igul l de ls centens más. Qué número es? 7. Se tienen tres zumos compuestos del siguiente modo: El primero de 0 dl de nrnj, 0 dl de limón 90 dl de pomelo. El segundo de 0 dl de nrnj, 0 dl de limón 0 dl de pomelo. El tercero de 0 dl de nrnj, 0 dl de limón 0 dl de pomelo. Se pide qué volumen hbrá de tomrse de cd uno de los zumos nteriores pr formr un nuevo zumo de dl de nrnj, dl de limón 7 dl de pomelo. 8. Se venden tres especies de cereles: trigo, cebd mijo. Cd kg de trigo se vende por, el de l cebd por el de mijo por 0,. Si se vende 00 kg en totl se obtiene por l vent 00, cuántos volúmenes de cd cerel se hn vendido? 9. Se dese mezclr hrin de /kg con hrin de /kg pr obtener un mezcl de, /kg. Cuántos kg deberemos poner de cd precio pr obtener 00 kg de mezcl? 0. En un tiend h dos tipos de juguetes, los de tipo A que utilizn pils los de tipo B que utilizn pils. Si en totl en l tiend h 0 juguetes 0 pils, cuántos juguetes h de cd tipo?. Un petón sle de un ciudd A se dirige un ciudd B que está km de distnci un velocidd de km/h, en el mismo momento sle un ciclist de l ciudd B un velocidd de km/h se dirige hci A, cuánto tiempo llev el petón cminndo en el momento del encuentro? A qué distnci de B se cruzn? EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Ecuciones de segundo grdo. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo 7 = 0 b + = c = 0 d + + = 7 e 7 + = f + = 7 g + = h + = 8 i + =. Resuelve ls siguientes ecuciones de º grdo con denomindores: 7 b c d e f 7. Resuelve mentlmente ls siguientes ecuciones de º grdo: 0 = 0 b + 0 = 0 c = 0 d = 0 e + = 0 f = 0 g + = 0 h = 0 i + = 0. Fctoriz ls ecuciones del problem nterior. Así, si ls soluciones son, escribe: + 0 = 0 = 0. Observ que si el coeficiente de fuese distinto de los fctores tienen que estr multiplicdos por dicho coeficiente.. Cundo el coeficiente b es pr b = B, puedes simplificr l fórmul: b b c B B c B B c B B c Así pr resolver 8 + = 0 bst decir, luego sus soluciones son. Utiliz es epresión pr resolver: 8 = 0 b 7 = 0 c + = 0. Resuelve mentlmente ls ecuciones siguientes, luego desrroll ls epresiones utiliz l fórmul generl pr volver resolverls. = 0 b + = 0 c = 0 d + 7 = 0 e = 0 f + = 0 7. Determin el número de soluciones reles que tienen ls siguientes ecuciones de segundo grdo clculndo su discriminnte, luego resuélvels. + 7 = 0 b = 0 c = 0 d + 7 = 0 e 7 = 0 f + = 0 8. Escribe tres ecuciones de segundo grdo que no tengn ningun solución rel. Aud: Utiliz el discriminnte. 9. Escribe tres ecuciones de segundo grdo que tengn un solución doble. 0. Escribe tres ecuciones de segundo grdo que tengn dos soluciones reles distints. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

58 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF 8. Resuelve ls siguientes ecuciones polinómics: 7 + = 0 b 8 = 0 c + = 0 d + = 0 e = 9 f + = 0. Resuelve ls siguientes ecuciones plicndo un cmbio de vrible: = 8 b + = 0 c 7 8 = 0 d = 0. Resuelve ls siguientes ecuciones rcionles: b c d e f g h i j. Resuelve ls siguientes ecuciones irrcionles: ; b ; c ; d ; e 0 ; f ; g ; h ; i. Resuelve ls ecuciones siguientes: 8 b 0 Sistems lineles de ecuciones. Resuelve los siguientes sistems por el método de sustitución: b 7 c 7. Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción: b c Resuelve los siguientes sistems por el método de reducción: 7 b 0 c Resuelve de form gráfic los siguientes sistems b 7 c 7 0. Resuelve los siguientes sistems: b 7 c. Copi en tu cuderno complet los siguientes sistems incompletos de form que se cumpl lo que se pide en cd uno: Comptible indetermindo Incomptible Su solución se = e = b c 8 Incomptible Su solución se = e = Comptible indetermindo d e f 8. Resuelve los siguientes sistems por el método de igulción comprueb l solución gráficmente. De qué tipo es cd sistem? 7 b 9 c

59 9 Problems. En un tiend lquiln biciclets triciclos. Si tienen 0 vehículos con un totl de 80 rueds, cuánts biciclets cuántos triciclos tienen?. Cuál es l edd de un person si l multiplicrl por le fltn uniddes pr completr su cudrdo?. Descompón en dos fctores cu sum se 7.. El triple del cudrdo de un número umentdo en su duplo es. Qué número es? 7. L sum de los cudrdos de dos números impres consecutivos es 0. Determin dichos números. 8. Vn crgdos un sno un mulo. El sno se quejb del peso que llevb encim. El mulo le contestó: Si o llevr uno de tus scos, llevrí el doble de crg que tú, pero si tú toms uno de los míos, los dos llevremos igul crg. Cuántos scos llev cd uno? 9. Qué número multiplicdo por es 8 uniddes menor que su cudrdo? 0. Clcul tres números consecutivos cu sum de cudrdos es 0.. Dentro de ños, l edd de Rquel será l mitd del cudrdo de l edd que tení hce 0 ños. Qué edd tiene Rquel?. Dos números se diferencin en uniddes l sum de sus cudrdos es 8. Cuáles son dichos números?. L sum de dos números es su producto es 80, de qué números se trt?. Mrí quiere formr bndejs de un kilogrmo con crmelos bombones. Si los crmelos le cuestn euros el kilo los bombones 7 euros el kilo, quiere que el precio de cd bndej se de euros, qué cntidd deberá poner de cd producto? Si quiere formr 00 bndejs, qué cntidd de crmelos de bombones v necesitr?. Determin los ctetos de un triángulo rectángulo cu sum es 7 cm l hipotenus de dicho triángulo mide cm.. El producto de dos números es l sum de sus cudrdos. Clcul dichos números 7. L sum de dos números es. El doble del primero más el triple del segundo es. De qué números se trt? 8. En un grje h 0 vehículos entre coches motos. Si en totl h 80 rueds, cuántos coches motos h en el grje? 9. L edd ctul de Luis es el doble de l de Mirim. Dentro de 0 ños, sus eddes sumrán 0. Cuántos ños tienen ctulmente Luis Mirim? 0. En mi clse h persons. Nos hn regldo cd chic pegtins cd chico chps. Si en totl hbí reglos. Cuántos chicos chics somos en clse?. Entre mi buelo mi hermno tienen 80 ños. Si mi buelo tiene 0 ños más que mi hermno, qué edd tiene cd uno?. Tres bocdillos un refresco cuestn 8. Cutro bocdillos dos refrescos cuestn. Cuál es el precio del bocdillo el refresco?. En un grnj h gllins ovejs. Si se cuentn ls cbezs, son 0. Si se cuentn ls pts, son 00. Cuántos gllins ovejs h en l grnj?. Un rectángulo tiene un perímetro de 80 metros. Si el lrgo es 0 metros mor que el ncho, cuáles son ls dimensiones del rectángulo?. En un monedero h billetes de 0. Si en totl h 0 billetes 7, cuánts billetes de cd vlor h en el monedero?. En un pele entre rñs visps, h cbezs 90 pts. Sbiendo que un rñ tiene 8 pts un visp, cuánts visps rñs h en l pele? 7. Un clse tiene 0 estudintes, el número de lumns es doble l de lumnos, cuántos chicos chics h? 8. Nieves tiene 8 ños más que su hermno Dniel, su mdre tiene 0 ños. Dentro de ños l edd de l mdre será doble de l sum de ls eddes de sus hijos, qué eddes tienen? 9. Se mezcln 8 kg de rroz de, el kilogrmo con kg de rroz de precio desconocido, resultndo el precio de l mezcl de,7 el kg. Qué precio tení el segundo rroz? 0. L ltur de un trpecio isósceles es de cm, el perímetro, 8 cm, los ldos inclindos son igules l bse menor. Clcul el áre del trpecio.. Dos utobuses slen, uno desde Mdrid el otro desde Cáceres ls 9 de l mñn. Uno v 80 km/h el otro 00 km/h. A qué hor se cruzn? A cuántos km de Mdrid estrán?. En un concurso se gnn 0 euros por cd respuest certd se pierden 80 por cd fllo. Después de 0 pregunts, Crmel llev gndos 80 euros. Cuánts pregunts h certdo?. Pco h comprdo zumos btidos por,7, luego h comprdo 7 zumos btidos le hn costdo 7,8. Clcul los precios de mbs coss.. Qué frcción es igul cundo se sum l numerdor es igul / cundo se sum l denomindor?. El cociente de un división es el resto es. Si el divisor disminue en unidd, el cociente ument en el resto nuevo es. Hllr el dividendo el divisor. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

60 0. Dos migs fueron pescr. Al finl del dí un dijo: Si tú me ds uno de tus peces, entonces o tendré el doble que tú. L otr le respondió: Si tú me ds uno de tus peces, o tendré el mismo número de peces que tú. Cuántos peces tení cd un? 7. Clcul ls dimensiones de un rectángulo sbiendo que su áre es cm, cuo perímetro mide cm. 8. Un petón sle de un ciudd A un velocidd de km/h, se dirige un ciudd B que está 0 km de l ciudd A, 0 minutos después sle un ciclist de l ciudd B un velocidd de 0 km/h se dirige hci A, cuánto tiempo llev el petón cminndo en el momento del encuentro? A qué distnci de B se cruzn? 9. Se dese mezclr ceite de,7 /l con otro ceite de, /l de modo que l mezcl resulte /l. Cuántos litros de cd clse deben mezclrse pr obtener 00 litros de l mezcl? 0. Al intercmbir ls cifrs de un número de dos cifrs se obtiene otro que es uniddes mor. Hll el número inicil.. L digonl de un rectángulo mide cm el perímetro 70 cm. Hll los ldos del rectángulo.. Un vll rode un terreno rectngulr de 00 m. Si l vll mide 70 metros, clcul ls dimensiones del terreno.. Vrios migos vn hcer un reglo de bods que cuest 800 euros, que pgrán prtes igules. A últim hor se puntn seis migos más, con lo que cd uno toc 0 euros menos. Cuántos migos ern inicilmente? Cuánto pgrá l finl cd uno?. Ls digonles de un rombo se diferencin en cm su áre es de cm. Clcul su perímetro.. Un tren sle de Brcelon hci Mdrid un velocidd de 00 km/h. Un hor más trde sle otro tren de Mdrid hci Brcelon 0 km/h; l distnci entre ls dos ciuddes es de 8 km. Al cbo de cuánto tiempo se cruzn los dos trenes? A qué distnci de Brcelon?. Un coche sle de un ciudd A un velocidd de 00 km/h 0 minutos más trde otro coche sle de A en l mism dirección sentido un velocidd de 0 km/h, cuánto tiempo trdrá el segundo en lcnzr l primero qué distnci de A se produce el encuentro? AUTOEVALUACIÓN. L solución de l ecución = es: = 0/ = b = / = c = = / d = / = 7/. Ls soluciones de l ecución 80 = son: = 8 = 0 b = 0 = c = 0 = 8 d = 0 = 8. Ls soluciones de l ecución son: = = b = = c = / = d = =. Ls soluciones de l ecución = 0 son:,,, b,,, c,,, d,,, 7. Ls rects que formn el sistem son: Secntes b Prlels c Coincidentes d Se cruzn. L solución del sistem es: = e = b = e = c = e = d No tiene solución 7. L solución del sistem 9 es: = e = b = e = c = / e = 0 d = e = z 8. L solución del sistem z 7 es: z =, =, z = b =, =, z = c =, =, z = d =, =, z = 9. En un grnj, entre gllins vcs h 0 nimles 80 pts. Cuántos gllins vcs h en l grnj? 90 gllins 0 vcs b 00 gllins 0 vcs c 80 gllins 0 vcs 0. Cuál es l edd de un person si l multiplicrl por, le fltn uniddes pr llegr su cudrdo? 8 ños b 0 ños c ños d 8 ños Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

61 Ecución de segundo grdo Resolución de ecuciones de segundo grdo complets Número de soluciones de un ecución de segundo grdo Resolución de ecuciones de segundo grdo incomplets RESUMEN Es un ecución lgebric en l que l mor potenci de l incógnit es. Tiene l form: + b + c = 0, donde, b c son números reles, con 0. b Se us l fórmul: b c Si = b c > 0, tiene dos soluciones reles distints Si = b c = 0, tiene un solución doble. Si = b c < 0, l ecución no tiene solución rel c Si b = 0, + c = 0, despejmos l incógnit:. b Si c = 0, + b = 0: = 0 Sistem de ecuciones lineles b ' b' c c' Ejemplos + 8/ = = 0: =, = = 0: = > 0, tiene dos soluciones + = 0: = 0, tiene un ríz doble: = = 0: =. No tiene solución rel 0 = 0: 8 = 0 9 = 0 = 0; = 9. 8 Clsificción Métodos de resolución Comptible determindo: Un únic solución, el punto de intersección. Ls rects son secntes: Comptible indetermindo: Infinits soluciones, por lo que ls rects son coincidentes: Incomptible: No tiene solución, ls rects son prlels: 9 Sustitución: despejr un incógnit sustituir en l otr ecución. Igulción: despejr l mism incógnit de ls dos ecuciones. Reducción: sumr ls dos ecuciones, multiplicándols por números decudos. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Ecuciones sistems Autor: Rquel Hernández Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

62 CAPÍTULO : INECUACIONES. INTERVALOS.. Tipos de intervlos Intervlo bierto: I =, b = { < < b}. Intervlo cerrdo: I = [, b] = { b}. Intervlo semibierto por l izquierd: I =, b] = { < b} Intervlo semibierto por l derech I = [, b = { < b}... Semirrects reles Semirrect de los números positivos: S = 0,. Semirrect de los números negtivos: S =, 0. A un semirrect se l puede considerr como un intervlo infinito.. Escribe los siguientes intervlos medinte conjuntos represéntlos en l rect rel: [, 7 b, c, 8] d,. Represent en l rect rel escribe en form de intervlo: < < b < c < d 7. INECUACIONES Un desiguldd es un epresión numéric o lgebric unid por uno de los cutro signos de desiguldd:,,,. Por ejemplo: <, +,, +. Un inecución es un desiguldd lgebric en l que precen un o más incógnits. El grdo de un inecución es el mor de los grdos l que están elevds sus incógnits. Así: + + son inecuciones de primer grdo, mientrs que es de segundo grdo. Resolver un inecución consiste en encontrr los vlores que l verificn. Éstos se denominn soluciones de l mism. Por ejemplo: +, ].. Inecuciones equivlentes: Dos inecuciones son equivlentes si tienen l mism solución. A veces, pr resolver un inecución, result conveniente encontrr otr equivlente más sencill. Pr ello, se pueden relizr ls siguientes trnsformciones: Sumr o restr l mism epresión los dos miembros de l inecución. + < + < < Multiplicr o dividir mbos miembros por un número positivo. < : < : < Multiplicr o dividir mbos miembros por un número negtivo cmbir l orientción del signo de l desiguldd. < > >, +. Dd l siguiente inecución + < +, determin cuáles de los siguientes vlores son solución de l mism: 0,,,,,,,, 7,,. Reliz ls trnsformciones indicds de modo que se obtengn ecuciones equivlentes: Sumr : > b Restr : > 7 c Multiplicr por : 8 9 d Multiplicr por : 7 e Dividir entre : < 0 f Dividir entre : 0. Escribe un inecución que se ciert pr = fls pr =,. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Inecuciones Autor: An Lorente Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

63 . INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA.. Inecuciones de primer grdo Un inecución de primer grdo con un incógnit puede escribirse de l form: > b, b, < b ó b. Pr resolver l inecución en l morí de los csos conviene seguir el siguiente procedimiento: º Quitr denomindores, si los h. Pr ello, se multiplic los dos miembros de l ecución por el m.c.m. de los denomindores. º Quitr los préntesis, si los h. º Trnsponer los términos con un miembro los números l otro. º Reducir términos semejntes. º Despejr l ,. Resuelve ls siguientes inecuciones represent l solución en l rect rel: + < + b c + > + d Resuelve ls siguientes inecuciones represent l solución en l rect rel: + < + b c + + > + 8. Resuelve ls siguientes inecuciones represent l solución en l rect rel: + < / + b + / 7/ + c + 7/ > 8 + d /7 9. Escribe un inecución cu solución se el siguiente intervlo: [, b, c, d, 0. Clcul los vlores de pr que se posible clculr ls siguientes ríces: b c d.. Inecuciones de segundo grdo Un inecución de segundo grdo con un incógnit puede escribirse de l form: + b + c > 0, emplendo culquier de los cutro signos de desiguldd. Pr resolverl, clculmos ls soluciones de l ecución socid, ls representmos sobre l rect rel, quedndo por tnto l rect dividid en tres, dos o un intervlo, dependiendo de que l ecución teng dos, un o ningun solución. En cd uno de ellos, el signo del polinomio se mntiene constnte, por lo que bstrá con determinr el signo que tiene dicho polinomio pr un vlor culquier de cd uno de los intervlos. Pr sber si ls soluciones de l ecución verificn l inecución, bstrá con sustituirl en l mism comprobrlo. Represent gráficmente l prábol = + e indic en qué intervlos es + > 0. Observ en l gráfic que l prábol tom vlores positivos entre. L solución de l inecución es:,. El punto no es solución, ni tmpoco el punto, pues el problem tiene un desiguldd estrict, >. Si tuvier l desiguldd, + 0 l solución serí: [, ]. Si fuer + < 0, l solución serí:,, +. Si fuer + 0, l solución serí:,] [, +. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Inecuciones Autor: An Lorente Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

64 + 0 + = 0 sus ríces son = =. Signo de +,,, + + Por tnto, l solución es, ] [, + 0 SI NO SI. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: 0 b 0 c 9 > 0 d + 0 e 0 < 0 f + 0 g > 0 h + 0. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: + 0 b > 0 c 8 d e > 0 f 0 < 0. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: 0 b 7 > 0 c 0 d > e 8 > 0 f + 0 g 0 h > 0. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: 0 b c > 0 d e < 0 f > 0 g h 0. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: + > 0 b 0 c 0 < 0 d + 0 e + + > 0 f + 0 g 7 0 h + < 0. Clcul los vlores de pr que se posible obtener ls siguientes ríces: b c d 7. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: + b 0 c.. Sistems de inecuciones Un sistem de inecuciones de primer grdo con un incógnit es quel en el que l únic vrible que interviene en tods ls ecuciones está elevd un eponente igul l unidd. b Sistems de dos ecuciones, tienen por epresión generl:, con culesquier de los signos <, >, ó. b Pr resolverlos, independientemente del número de inecuciones que compongn el sistem, se resuelve cd inecución por seprdo, l finl se determin l solución como l intersección de tods ells.,, los intervlos solución son,, =,, Luego l solución común mbs está en l intersección de mbos, es,. Gráficmente puede verse: 8. Resolver los siguientes sistems de inecuciones con un incógnit: - b 0 c 7 9 d - 9. Indic un número positivo que l sumrle se menor que Epres medinte un inecución el áre de un cudrdo sbiendo que su perímetro es mor que el de un rectángulo de ldos 7 cm.. Determin ls posibles eddes de Pepit de su hij Chro sbiendo que difieren en más de 0 ños que dentro de ños, l curt prte de l edd de l mdre es menor que l edd de l hij. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Inecuciones Autor: An Lorente Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

65 .. Inecuciones en vlor bsoluto Un inecución en vlor bsoluto es quell en l que prte de l inecución, o tod ell, viene fectd por el vlor bsoluto de l mism. L epresión generl es de l form b c, emplendo culquier de los cutro signos de desiguldd. Pr resolverl, plicmos l definición de vlor bsoluto de un cntidd psmos en ocsiones un sistem de dos ecuciones cu solución es l solución de l inecución. 0 b c por definición b c b c 8, Observ que hor no es un sistem de ecuciones. No eiste ningún que l 0, 8, vez se menor que mor que 8, pero l solución son los vlores que o bien pertenecen un intervlo o bien l otro:, 8, +. Comprueb que, por ejemplo, = 0 verific que = 0 = > 0, que =, tmbién que = = cuo vlor bsoluto es mor que 0.. Resuelve ls siguientes inecuciones: + < b + > c d. INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.. Inecuciones de primer grdo con dos incógnits Es tod inecución del tipo: + b > c, con culesquier de los signos <, >, ó. Pr resolverls: º Representmos gráficmente l función linel socid + b = c. º L rect divide l plno en dos semiplnos. Utilizndo un punto obtendremos cul es el semiplno solución. º L inclusión o no en dich solución de l rect o fronter, depende de si l desiguldd es estrict o no, respectivmente. +. Se dibuj l rect + =. El punto 0, 0 no verific l desiguldd, luego el semiplno solución es el otro. El semiplno mrcdo en mrillo es l solución del sistem, incluendo l rect que se mrc de form continu, pues inclue todos los puntos que verificn l inecución. + <. Dibujmos l rect + =. El punto 0, 0 verific l desiguldd. El semiplno mrcdo en mrillo es l solución del sistem, ecluendo l rect que se mrc de form discontinu, pues inclue todos los puntos que verificn l inecución los de l rect no lo hcen.. Represent los siguientes semiplnos : + < b + > 0 c + 7 d Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Inecuciones Autor: An Lorente Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

66 .. Sistems de inecuciones de primer grdo con dos incógnits Es un conjunto de inecuciones de primer grdo, tods con ls misms dos incógnits. El conjunto solución está formdo por ls soluciones que verificn l vez tods ls inecuciones. Al conjunto solución se le llm región fctible. L superficie mrcd en mrillo es l solución del sistem, incluendo ls semirrects roj gris, que mbs desigulddes son no estricts. Es lo que se denomin región fctible.. Represent l región fctible de cd uno de los siguientes sistems de inecuciones: b 0 RESUMEN Inecución Desiguldd lgebric en l que precen un o más incógnits + Inecuciones equivlentes Si tienen l mism solución Propieddes de ls desigulddes Inecución de primer grdo con un incógnit Inecución de segundo grdo con un incógnit Sistem de inecuciones de primer grdo con un incógnit b ; b Inecución en vlor bsoluto + Sumr o restr l mism epresión los dos miembros de + < l desiguldd: + < < < b, c + c < b + c < Multiplicr o dividir mbos miembros por un número : < : < positivo: < < b, c > 0 c < b c > > Multiplicr o dividir mbos miembros por un número < negtivo cmbir l orientción del signo de l desiguldd: < > < b, c < 0 c > b c > b, b, < b, b < + b + c > 0 0 =, ][,] [, Solución:, ] [, b c por definición. No h solución b c b c [, ] Inecuciones de primer grdo con dos incógnits + b > c Representmos gráficmente dos semiplnos que sepr l rect decidimos. + < Sistems de inecuciones de primer grdo con dos incógnits Representmos ls regiones ngulres seprds por ls dos rects decidimos cuál o cuáles son solución. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Inecuciones Autor: An Lorente Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

67 7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. Represent en l rect rel escribe en form de intervlo: b c. Escribe los siguientes intervlos medinte conjuntos represéntlos en l rect rel: [, b 7, c 0, 9]. Dd l siguiente inecución, determin si los siguientes vlores son solución de l mism: 0,,,,,,,, 7,,. Reliz ls trnsformciones indicds de modo que se obtengn ecuciones equivlentes: i Sumr : > ii Restr : > 8 iii Multiplicr por : 0 iv Multiplicr por : 8 v Dividir entre : < vi Dividir entre : 0 0. Resuelve ls siguientes inecuciones represent l solución en l rect rel: b c d 9 e f g. Resuelve: b c d e f Escribe un inecución cu solución se el siguiente intervlo:, b, c, d, 8. Clcul los vlores de pr que se posible clculr ls siguientes ríces: b c 0 d 0 9. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: 7 < 0 b + 0 c + 0 d 80 0 e > 0 f < 0 g 9 < 0 h Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: + 0 b c < 8 d 0 e + < 0 f 0 0. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: 0 b 8 > 0 c < 0 d9 0. Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: 0 b 0 c + 0 d > 0 e 0 f 0 g < 0 h Resuelve ls siguientes inecuciones de segundo grdo: > 0 b 0 c 0 0 d + > 0 e + f + + g + + < + h Clcul los vlores de pr que se posible obtener ls siguientes ríces: + b + c d + e f + 7 g. Resuelve ls siguientes inecuciones: b + c < d > e + 0 f Resuelve ls siguientes inecuciones: 8 b + c > 0 d 0 e 7 < f 8 > 8 7 g h 7. Resuelve los siguientes sistems de inecuciones con un incógnit: 0 8 b c d e Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Inecuciones Autor: An Lorente Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

68 8 8. Resuelve ls siguientes inecuciones: b c 9 0 d e f 0 g 8 9. Represent gráficmente l prábol = + e indic en qué intervlos es +>0, dónde + < 0, dónde + 0, dónde Represent los siguientes semiplnos: 0 b 0 c 0 d e f g. Represent l región fctible de cd uno de los siguientes sistems de inecuciones: 0 b c. Cuáles son los números cuo triple es mor o igul que su doble ms 0?. Averigu cul es el menor número entero múltiplo de que verific l inecución: + < Un coche se desplz por un crreter un velocidd comprendid entre 70 Km/h 0 Km/h. Entre qué vlores oscil l distnci del coche l punto de prtid l cbo de hors?. L trif de telefoní de l empres A es euros fijos mensules más 0 céntimos de euro por minuto de conversción, l de l empres B es 0 euros fijos más 0 céntimos por minuto de conversción. A prtir de cuntos minutos empiez ser más rentble l trif de l empres A?. Un fábric pg sus comerciles 0 por rtículo vendido más un cntidd fij de 00. Otr fábric de l competenci pg 0 por rtículo 00 fijos. Cuántos rtículos debe vender un comercil de l competenci pr gnr más dinero que el primero? 7. A un vendedor de spirdors le ofrecen 000 euros de sueldo fijo más 0 euros por spirdor vendid. A otro le ofrecen 800 euros de fijo más euros por spirdor vendid. Eplic rzondmente qué sueldo es mejor prtir de qué cntidd de spirdors vendids. 8. El áre de un cudrdo es menor o igul que cm. Determin entre qué vlores se hll l medid del ldo. 9. El perímetro de un cudrdo es menor que 0 metros. Determin entre qué vlores se hll l medid del ldo. 0. Un pndero fbric brrs hogzs. L brr de pn llev 00 grmos de hrin grmos de sl, mientrs que l hogz llev 00 grmos de hrin 0 grmos de sl. Si dispone de 00 kg de hrin kg de sl, determin cuántos pnes de cd tipo pueden hcerse. AUTOEVALUACIÓN. L desiguldd < < 7 se verific pr los vlores:, b, 7 c, 7 d, 8. Tiene como solución = l inecución siguiente: < b > c d + <. L solución de l inecución, +, 8, < 9, + 7, es: < 0/7 b > /, c > 0/,7 d < +/0,. L ecución tiene de soluciones:, b [, ] c,, + d,] [, +. L sum de ls eddes de dos persons es mor de 0 ños su diferenci menor o igul que 8 ños. Cuál de los siguientes sistems de inecuciones nos permite clculr sus eddes? b c d El perímetro de un rectángulo es menor que cm. Si l bse es mor que el doble de l ltur menos cm, lgún vlor que verific es sistem es: bse = cm, ltur = cm b bse = cm, ltur = cm c bse =, ltur = cm d bse = 9 cm, ltur = cm 7. L solución de l inecución 7 8 es: [, ] b, ] c, d [, 8. Ls soluciones posibles de 9 son: < 9/ b > 9/ c 9/ d 9/ 9. L solución de l inecución es:, b, c < > d, 0. Un inecución cu solución se el intervlo, es: + < 9 + b < 9 + c + < d > 7 7 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Inecuciones Autor: An Lorente Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

69 9 CAPÍTULO : PROPORCIONES INTRODUCCIÓN A Esther le gust ir en biciclet l escuel h comprobdo que en hcer ese recorrido trd ndndo cutro veces más. Tenemos quí tres mgnitudes: tiempo, distnci velocidd. Recuerd que: Un mgnitud es un propiedd físic que se puede medir. A más velocidd se recorre más distnci. Son mgnitudes directmente proporcionles. A más velocidd se trd menos tiempo. Son mgnitudes inversmente proporcionles. Pero, cuiddo, no tods ls mgnitudes son proporcionles. Esto es un confusión mu frecuente. Porque l crecer un mgnitud, l otr tmbién crezc, ún no se puede segurr que sen directmente proporcionles. Por ejemplo, Esther recuerd que hce unos ños trdb más en recorrer el mismo cmino, pero l edd no es directmente proporcionl l tiempo que se trd. Vmos estudirlo con detlle pr prender reconocerlo bien.. PROPORCIONALIDAD DIRECTA.. Mgnitudes directmente proporcionles Recuerd que: Dos mgnitudes son directmente proporcionles cundo l multiplicr o dividir l primer por un número, l segund qued multiplicd o dividid por el mismo número. Si tres bolss contienen crmelos, siete bolss igules ls primers contendrán crmelos, porque: = 7 = L rzón de proporcionlidd direct k es el cociente de culquier de los vlores de un vrible los correspondientes de l otr: b c d k ' b' c' d' En el ejemplo nterior l rzón de proporcionlidd es, porque: 7 Copi en tu cuderno l siguiente tbl, clcul l rzón de proporcionlidd complet los huecos que fltn sbiendo que es un tbl de proporcionlidd direct: Mgnitud A 8, 0,7 0, Mgnitud B 0, 0 0,9 0,07 8. Por tnto todos los vlores de l mgnitud B son tres veces menores que los L rzón de proporcionlidd es k = 8, 0,7 0, de l mgnitud A:. 0, 0 0,9 0,07 Observ que: Si se representn gráficmente los puntos de un proporcionlidd direct, todos ellos están sobre un rect que ps por el origen de coordends. L rzón de proporcionlidd es l pendiente de l rect. L función linel = k se denomin tmbién función de proporcionlidd direct. Ecución de l rect del ejemplo nterior L ecución de l rect es =. Comprobmos que todos los puntos l verificn: 8 = ;, = 0,; 0 = 0;,7 = 0,9; 0, = 0,07. Reducción l unidd Rect = Si debemos usr l mism ecución de l rect en distints ocsiones el problem puede simplificrse con l reducción l unidd. Si = entonces = k. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

70 70 Pr celebrr su cumpleños José h comprdo botells de refresco que le hn costdo,. Piens que no vn ser suficientes decide comprr más. Clcul el precio de ls botells utilizndo l reducción l unidd.,, k =, =,. Ahor podemos clculr el precio de culquier número de botells. En nuestro cso =, luego =, =.. Copi en tu cuderno complet l tbl de proporción direct. Clcul l rzón de proporcionlidd. Represent gráficmente los puntos. Determin l ecución de l rect. Litros 7,8 0 Euros 9,7 0. Clcul los términos que fltn pr completr ls proporciones: l clse h 0 lumnos, cuántos hn suspendido? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd 0 = 00 b = 80. Si el AVE trd un hor treint cinco minutos en llegr desde Mdrid Vlenci, que distn 0 kilómetros, cuánto trdrá en recorrer 0 km?.. Proporcionlidd simple direct Acbmos de ver que l proporcionlidd simple direct consiste en encontrr l ecución de un rect que ps por el origen: = k. Veinte cjs pesn 00 kg, cuántos kg pesn 7 cjs? Buscmos l ecución de l rect: = k 00 = k0 k = 00/0 = 0 = 0 Ecución de l rect Si = 7 entonces = 0 7 = 0 kg.. En un recet nos dicen que pr hcer un mermeld de fruts del bosque necesitmos un kilogrmo de zúcr por cd dos kilogrmos de frut. Queremos hcer 7 kilogrmos de mermeld, cuántos kilogrmos de zúcr cuántos de frut debemos poner?. L ltur de un torre es proporcionl su sombr un mism hor. Un torre que mide m tiene un sombr de m. Qué ltur tendrá otr torre cu sombr mid m?. Un fuente llen un grrf de litros en 8 minutos. Cuánto tiempo trdrá en llenr un bidón de litros? 7. Hemos gstdo litros de gsolin pr recorrer 00 km. Cuántos litros necesitremos pr un distnci de 7 km? 8. Mi coche h gst 7 litros de gsolin en recorrer 0 km, cuántos litros gstrá en un vije de 8 km? 9. Un libro de 00 págins pes 7 g. Cuánto pesrá un libro de l mism colección de 0 págins? 0. Dos pntlones nos costron 8, cuánto pgremos por 7 pntlones?.. Porcentjes El porcentje o tnto por ciento es l rzón de proporcionlidd de mor uso en l vid cotidin. El tnto por ciento es un rzón con denomindor % =. L ecución de l rect es: = Los porcentjes son proporciones directs. L poblción de Zrzlejo er en 0 de 780 hbitntes. En 0 se h incrementdo en un %. Cuál es su poblción finl de 0? 780 =, por lo que el % de 79 es = 780 = 9 hbitntes. L poblción se h incrementdo en 9 hbitntes, luego l finl de 0 l poblción será de: = 779 hbitntes. 7. Epres en tnto por ciento ls siguientes proporciones: 00 c ' ' 8 = 0 b de cd c 90. Si sbemos que los lumnos rubios de un clse son el % h lumnos rubios, cuántos lumnos h en totl?. Un depósito de 000 litros de cpcidd contiene en este momento 0 litros. Qué tnto por ciento represent?. L proporción de los lumnos de un clse de º de ESO que hn probdo Mtemátics fue del 70 %. Sbiendo que en Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

71 7.. Incremento porcentul. Descuento porcentul. Porcentjes encdendos Incremento porcentul El ejemplo nterior puede resolverse medinte incremento porcentul: 00 + = 0 % = , por lo que el 0 % de 79 es = 0 = 779 hbitntes Descuento porcentul En ls rebjs todos los rtículos l vent les plicn un 0 % de descuento. Clcul el precio de los que precen en l tbl: Precio sin descuento Precio en rebjs,0, 7, 7, Y que nos descuentn el 0 %, pgremos el 70 %. Por tnto: k = 70 = 0,7 es l rzón direct de proporcionlidd 00 que plicremos los precios sin descuento pr clculr el precio rebjdo. Por tnto: = 0,7. Porcentjes encdendos Muchs veces h que clculr vrios incrementos porcentules descuentos porcentules. Podemos encdenrlos. En estos csos lo más sencillo es clculr, pr cd cso, el tnto por uno, e irlos multiplicndo. En uns rebjs se plic un descuento del 0 %, el IVA del %. Cuánto nos costrá un rtículo que sin rebjr sin plicrle el IVA costb 9 euros? Cuál es el verddero descuento? En un descuento del 0 % debemos pgr un 70 % 00 0 %, por lo que el tnto por uno es de 0,7. Por el incremento del precio por el IVA del % 00 + % el tnto por uno es de,. Encdenndo el descuento con el incremento tendremos un índice o tnto por uno de 0,7, = 0,87, que plicmos l precio del rtículo, 9, 0,87 9 =,7,7. Por tnto nos hn descontdo, euros. Si estmos pgndo el 8,7 % el verddero descuento es el, %. Clcul el precio inicil de un televisor, que después de subirlo un 0 % rebjrlo un 0 % nos h costdo. Cuál h sido el porcentje de vrición? Al subir el precio un 0 % estmos pgndo el 0 % el tnto por uno es,. En el descuento del 0 % estmos pgndo el 80 % el tnto por uno es 0,8. En totl con ls dos vriciones sucesivs el tnto por uno es de 0,8, = 0,9, el precio inicil es : 0,9 = 0. Precio inicil = 0. El tnto por uno 0,9 es menor que por lo tnto h hbido un descuento porque hemos pgdo el 9 % del vlor inicil este descuento h sido del %.. Un fábric h psdo de tener 0 obreros tener 90. Epres l disminución en porcentje.. Clcul el precio finl de un lvvjills que costb 0 más un % de IVA, l que se le h plicdo un descuento sobre el coste totl del 8 %. 7. Copi en tu cuderno complet: De un fctur de 0 he pgdo 00. Me hn plicdo un % de descuento b Me hn descontdo el 9 % de un fctur de.. he pgdo 80. c Por pgr l contdo un mueble me hn descontdo el 0 % me he horrdo 00. Cuál er el precio del mueble sin descuento? 8. El precio inicil de un electrodoméstico er 00 euros. Primero subió un 0 % después bjó un 0 %. Cuál es su precio ctul? Cuál es el porcentje de incremento o descuento? 9. Un person h comprdo cciones de bols en el mes de enero por un vlor de De enero febrero ests cciones hn umentdo un 8 %, pero en el mes de febrero hn disminuido un % Cuál es su vlor finles de febrero? En qué porcentje hn umentdo o disminuido? 0. El precio inicil de un enciclopedi er de 00 lo lrgo del tiempo h sufrido vriciones. Subió un 0 %, luego un % después bjó un 0 %. Cuál es su precio ctul? Clcul l vrición porcentul.. En un tiend de vent por Internet se nuncin rebjs del %, pero luego crgn en l fctur un 0 % de gstos de envío. Cuál es el porcentje de incremento o descuento? Cuánto tendremos que pgr por un rtículo que costb 0 euros? Cuánto costb un rtículo por el que hemos pgdo euros? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

72 7.7. Escls En plnos mps encontrmos notds en su prte inferior l escl l que están dibujdos. L escl es l proporción entre ls medids del dibujo ls medids en l relidd. Se epres de l form : 000 que signific que cm del plno corresponde 000 cm = 0 m en l relidd. Por tnto si son ls medids en l relidd, lo son en el plno, est escl se puede escribir con l ecución de l rect: = 000. Ls escls tmbién se representn en form gráfic, medinte un brr dividid en segmentos de cm de longitud Principles clzds romns m Est escl identific cd centímetro del mp con 0 m en l relidd es decir : 000, = 000. Al estudir l semejnz volveremos insistir en ls escls. Un instrumento sencillo pr relizr trbjos escl es el pntógrfo que fcilit copir un imgen o reproducirl escl. El pntógrfo es un prlelogrmo rticuldo que, l vrir l distnci entre los puntos de rticulción, permite obtener diferentes tmños de dibujo sobre un modelo ddo.. L distnci rel entre dos pueblos es 8, km. Si en el mp están 7 cm de distnci. A qué escl está dibujdo?. Qué ltur tiene un edificio si su mquet construid escl : 00 present un ltur de 8 cm?. Dibuj l escl gráfic correspondiente l escl : Ls dimensiones de un superficie rectngulr en el plno son 7 cm cm. Si está dibujdo escl : 0, clcul sus medids reles.. PROPORCIONALIDAD INVERSA.. Mgnitudes inversmente proporcionles Recuerd que: Dos mgnitudes son inversmente proporcionles cundo l multiplicr o dividir l primer por un número, l segund qued dividid o multiplicd por el mismo número. Cundo un utomóvil v 90 km/h, trd cutro hors en llegr su destino. Si fuer 0 km/h trdrí hors en hcer el mismo recorrido. 90 = 0 L velocidd el tiempo son mgnitudes inversmente proporcionles. L rzón de proporcionlidd invers k es el producto de cd pr de mgnitudes: k = b = b Copi l tbl en tu cuderno, clcul l rzón de proporcionlidd invers complet l tbl de proporcionlidd invers: 8 0, b , 9 k = 8 0 = 900. Comprueb que tods ls columns dn este resultdo. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

73 7 Observ que: Si se representn gráficmente los puntos de un proporcionlidd invers, todos ellos k ' están sobre l gráfic de un hipérbol de ecución. L rzón de k ' proporcionlidd invers es l constnte k. A est hipérbol tmbién se l denomin función de proporcionlidd invers. Hipérbols: = /; = /; = / Ecución de l hipérbol del ejemplo nterior 900 L hipérbol es. Comprobmos que todos los puntos verificn l ecución de dich hipérbol: = 0; = ; = 00; = 0,; = , Pr embldosr un recinto, 7 obreros hn dedicdo 80 hors de trbjo. Complet en tu cuderno l siguiente tbl determin l constnte de proporcionlidd. Escribe l ecución de l hipérbol. Número de obreros 7 0 Hors de trbjo Proporcionlidd simple invers Pr clculr el curto término entre dos mgnitudes inversmente proporcionles clculmos l constnte de proporcionlidd escribimos l ecución de l hipérbol Cutro persons relizn un trbjo en 8 dís, cuánts persons necesitremos pr relizr el mismo trbjo en 8 dís? 8 k = 8 = 8 = = 9 persons Al cortr un cntidd de mder hemos conseguido pneles de, m de lrgo. Cuántos pneles conseguiremos si hor tienen m de lrgo? 8. En un huerto ecológico se utilizn 000 kg de un tipo de bono de origen niml que se sbe que tiene un % de nitrtos. Se cmbi el tipo de bono, que hor tiene un % de nitrtos, cuántos kilogrmos se necesitrán del nuevo bono pr que ls plnts recibn l mism cntidd de nitrtos? 9. Ese mismo huerto necesit 00 cjs pr envsr sus berenjens en cjs de un kilogrmo. Cuánts cjs necesitrí pr envsrls en cjs de,7 kilogrmos? Y pr envsrls en cjs de, kilogrmos? 0. Pr envsr ciert cntidd de leche se necesitn 8 recipientes de 00 litros de cpcidd cd uno. Queremos envsr l mism cntidd de leche emplendo 0 recipientes. Cuál deberá ser l cpcidd de esos recipientes?. Copi en tu cuderno l tbl siguiente, clcul l rzón de proporcionlidd complet l tbl de proporcionlidd invers. Escribe l ecución de l hipérbol. Mgnitud A 0 0,07 8 Mgnitud B 0,,.. Proporcionlidd compuest Un proporción en l que intervienen más de dos mgnitudes ligds entre sí por relciones de proporcionlidd direct o invers se denomin proporción compuest. En el instituto 0 lumnos de º A de ESO hn ido esquir hn pgdo 700 por noches de hotel; lumnos de º B de ESO hn gndo en l loterí 7 deciden ir l mismo hotel. Cuánts noches de lojmiento pueden pgr? Tenemos tres mgnitudes: el número de lumnos, l cntidd en que pgn por el hotel el número de noches de hotel. Observ que más lumnos se pg más dinero, luego ests mgnitudes son directmente proporcionles. A más noches de hotel se pg más dinero, luego ests otrs dos mgnitudes son tmbién directmente proporcionles. Pero pr un cntidd de dinero fij, más lumnos pueden ir menos noches, luego el número de lumnos es inversmente proporcionl l número de noches de hotel. El mejor método es reducirlo un problem de proporcionlidd simple, pr ello obtenemos el precio del vije por lumno. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

74 7 Cd lumno de º A h pgdo 700 : 0 = 90 por noches de hotel. Luego h pgdo por un noche 90/ =,. L ecución de proporcionlidd direct es: =,, donde es lo que pg cd lumno el número de noches. Cd lumno de º B cuent con 7 : = pr psr noches de hotel, por lo que =,, luego pueden estr noches.. Seis persons relizn un vije de dís pgn en totl Cuánto pgrán persons si su vije dur dís?. Si bombills originn un gsto de 00, estndo encendids durnte 0 dís, hors diris, qué gsto originrín 8 bombills en dís, encendids durnte 8 hors diris?. Pr limentr vcs durnte 7 dís se necesitn 0 kilos de limento. Cuántos kilos de limento se necesitn pr mntener 9 vcs durnte dís?. Si hombres construen 0 m de tpi en dís trbjndo 8 hors diris, cuánts hors diris deben trbjr 0 hombres pr construir 80 m en dís?. Con un cntidd de pienso podemos dr de comer nimles durnte 0 dís con un rción de kg pr cd uno. Cuántos dís podremos limentr 00 nimles si l rción es de 800 g? 7. Pr llenr un depósito se bren grifos que lnzn 8 litros por minuto trdn 0 hors. Cuánto tiempo trdrán 7 grifos similres que lnzn 0 litros por minuto? 8. Si máquins fbricn 00 piezs funcionndo 8 hors diris. Cuánts máquins se deben poner funcionr pr conseguir 7000 piezs durnte 0 hors diris?. REPARTOS PROPORCIONALES Cundo se reliz un reprto en prtes desigules se debe estblecer previmente si se trt de un reprto proporcionl directo o inverso... Reprto proporcionl directo En un reprto proporcionl directo le corresponderá más quien tiene más prtes. Actividd resuelt Tres migos deben reprtirse los 00 que hn gndo en un competición de cuerdo los puntos que cd uno h obtenido. El primero obtuvo 0 puntos, el segundo 7 el tercero puntos. El reprto directmente proporcionl se inici sumndo los puntos: = 0 puntos. Clculmos el premio por punto: 00 : 0 = 0. El primero obtendrá 0 0 = 00. El segundo: 0 7 = 0. El tercero: 0 = 0. L sum de ls tres cntiddes es = 00, l cntidd totl reprtir. Como se trt de un proporción, se debe estblecer l siguiente regl: Se N en el ejemplo nterior 00 l cntidd reprtir entre cutro persons, ls que les corresponderá A, B, C, D de mner que N = A + B + C + D. Ests cntiddes son proporcionles su prticipción en el reprto:, b, c, d. + b + c + d = n es el número totl de prtes en ls que h de distribuirse N. N : n = k que es l cntidd que corresponde cd prte. En el ejemplo nterior: k = 00 : 0 = 0. El reprto finliz multiplicndo k por, b, c d, obteniéndose sí ls cntiddes correspondientes A, B, C D. Es decir, hor l ecución de l rect es: A B C D N b c d n 9. Cinco persons comprten loterí, con 0,,, 7 prticipciones respectivmente. Si hn obtenido un premio de 8000 Cuánto corresponde cd uno? 0. Tres socios hn invertido 0000, este ño en su empres. Si los beneficios reprtir finl de ño scienden 00, cuánto corresponde cd uno?. L Unión Europe h concedido un subvención de pr tres Estdos de 0, 0 millones de hbitntes, cómo debe reprtirse el dinero, sbiendo que es directmente proporcionl l número de hbitntes?. Se reprte un cntidd de dinero, entre tres persons, directmente proporcionl, 8. Sbiendo que l segund le corresponde 7. Hllr lo que le corresponde l primer tercer.. Un buel reprte 00 entre sus tres nietos de, ños de edd; proporcionlmente sus eddes. Cuánto corresponde cd uno? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

75 7.. Reprto proporcionl inverso En un reprto proporcionl inverso recibe más quien menos prtes tiene. Se N l cntidd reprtir, b c ls prtes. Al ser un proporción invers, el reprto se reliz sus inversos /, /b, /c. Pr clculr ls prtes totles, reducimos ls frcciones común denomindor, pr tener un ptrón común, tommos los numerdores que son ls prtes que corresponden cd uno. Actividd resuelt Reprtir 000 de form inversmente proporcionl 0. Clculmos el totl de ls prtes: / + /0 = /0 + /0 = 8/ : 8 = 00 cd prte. 00 = = 00. En efecto, = En un concurso se cumul puntución de form inversmente proporcionl l número de errores. Los cutro finlists, con 0,, error, deben reprtirse los 00 puntos. Cuántos puntos recibirá cd uno?. En el testmento, el buelo estblece que quiere reprtir entre sus nietos 00, de mner proporcionl sus eddes,, 8 ños, cuidndo que l mor cntidd se pr los nietos menores, cuánto recibirá cd uno?. Se reprte dinero inversmente proporcionl, 0 ; l menor le corresponden 000. Cuánto corresponde los otros dos? 7. Tres hermnos udn l mntenimiento fmilir entregndo nulmente 000. Si sus eddes son de 8, 0 ños ls portciones son inversmente proporcionles l edd, cuánto port cd uno? 8. Un pdre v con sus dos hijos un feri en l tómbol gn 0 que los reprte de form inversmente proporcionl sus eddes, que son 0 ños. Cuántos euros debe dr cd uno?.. Mezcl leciones Ls mezcls que vmos estudir son el resultdo finl de combinr distints cntiddes de productos, de distintos precios. Actividd resuelt Clcul el precio finl del litro de ceite si mezclmos litros, el litro, litros,0 /l litro,9 /l. Clculmos el coste totl de los distintos ceites:, +,0 +,9 = 7,. Y el número totl de litros: + + = 0 l. El precio del litro de mezcl vldrá 7, : 0 =,7 /l. 9. Clcul el precio del kilo de mezcl de dos tipos de cfé:, kg,8 /kg,0 kg /kg. 0. Cuántos litros de zumo de pomelo de,0 /l deben mezclrse con litros de zumo de nrnj,80 /l pr obtener un mezcl, /l? Un leción es un mezcl de metles pr conseguir un determindo producto finl con mejores propieddes o specto. Ls leciones se relizn en joerí mezclndo metles preciosos, oro, plt, pltino, con cobre o rodio. Según l proporción de metl precioso, se dice que un jo tiene más o menos le. L le de un leción es l relción entre el peso del metl más vlioso el peso totl. Un jo de plt de 0 g de peso contiene g de plt pur. Cuál es su le? Le = peso metl puro peso totl = = 0,7 0 Otr form de medir el grdo de purez de un jo es el quilte. Un quilte de un metl precioso es / de l ms totl de l leción. Pr que un jo se de oro puro h de tener quiltes. Un jo de oro de 8 quiltes pes g. Qué cntidd de su peso es de oro puro? 8 Peso en oro = =, g.. Clcul l le de un jo sbiendo que pes 87 g contiene 9 g de oro puro. Cuántos quiltes tiene, proimdmente, l jo nterior? El término quilte viene de l plbr grieg kertion lgrrob. Est plnt, de semills mu uniformes, se utilizb pr pesr jos gems en l ntigüedd. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

76 7. INTERÉS.. Cálculo de interés simple El interés es el beneficio que se obtiene l depositr un cpitl en un entidd finncier un determindo tnto por ciento durnte un tiempo. En el interés simple, l cpitl C depositdo se le plic un tnto por ciento o rédito r nulmente. El cálculo del interés obtenido l cbo de vrios ños se reliz medinte l fórmul: C r t I = 00 Si el tiempo que se deposit el cpitl son meses o dís, el interés se clcul dividiendo l epresión nterior entre meses o 0 dís ño comercil. C r t C r t I = tiempo en meses I = tiempo en dís Actividdes resuelts Depositmos 000 l % nul. Cuánto dinero tendremos l cbo de 0 meses? Clculmos el interés simple: I = = Summos cpitl e intereses: = 00. Clcul el interés simple que producen l % durnte 70 dís.. Qué cpitl h que depositr l,80 % durnte ños pr obtener un interés simple de 777,?.. Interés compuesto Desde otro punto de vist, el interés es el porcentje que se plic un préstmo lo lrgo de un tiempo, incrementndo su cuntí l hor de devolverlo. Este tipo de interés no se clcul como el interés simple sino que se estblece lo que se llm cpitlizción. El interés compuesto se plic tnto pr clculr el cpitl finl de un inversión, como l cntidd devolver pr mortizr un préstmo. Normlmente los préstmos se devuelven medinte cuots mensules que se hn clculdo prtir de los intereses generdos por el préstmo l tipo de interés convenido. L cpitlizción compuest plnte que, medid que se vn generndo intereses, psen formr prte del cpitl inicil, ese nuevo cpitl producirá intereses en los períodos sucesivos. Si se trt de un depósito bncrio, el cpitl finl se clculrá siguiendo el siguiente procedimiento: C i cpitl inicil ño i tnto por uno C f = C i + i C i + i ños C i + i + i C f = C i + i C i + i ños C i + i + i C f = C i + i..... n ños C f = C i + i n Al cbo de n ños, el cpitl finl será C f = C i + i n. Pr hcer los cálculos puedes utilizr un Hoj de cálculo. Bst que en l hoj de cálculo djunt modifiques los dtos de ls csills B donde está el Cpitl inicil, csill B donde está el Tnto por uno de l csill B7 donde prece el número de Años, rrstres en l column B hst que el número finl de ños coincid con dich csill. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

77 77 Actividdes resuelts El cpitl inicil de un depósito sciende El tnto por ciento plicdo es el % interés compuesto durnte ños. Clcul el cpitl finl. C f = C i + i n = ,0 = 8000,9 = 900. Al % de interés compuesto durnte ños, cuál será el cpitl finl que obtendremos l depositr 900? EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. Copi en tu cuderno, clcul l rzón de proporcionlidd complet l tbl de proporcionlidd direct: litros 8, 0,7, euros, 8. Estim cuánts persons cben de pie en un metro cudrdo. H hbido un fiest se h llendo completmente un locl de 00 m, cuánts persons estims que hn ido es fiest?. Cd semn pgmos 8 en trnsporte. Cuánto gstremos durnte el mes de febrero?. Con 8 hemos pgdo m de tel, cuánto nos costrán m de l mism tel?. Pr tpizr cinco sills he utilizdo 0, m de tel, cuánts sills podré tpizr con l piez complet de 0 m?. Un cmión h trnsportdo en vijes 00 scos de ptts de kg cd uno. Cuántos vijes serán necesrios pr trnsportr 90 scos de 0 kg cd uno? 7. Un edición de 00 libros de 00 págins cd uno lcnz un peso totl de 00 kg. Cuántos kg pesrá otr edición de 700 libros de 0 págins cd uno? 8. Sbiendo que l rzón de proporcionlidd direct es k =,8, copi en tu cuderno complet l siguiente tbl: Mgnitud A,9 0,0 Mgnitud B 0, 0 9. El modelo de teléfono móvil que costb 8 + IVA está hor con un % de descuento. Cuál es su precio rebjdo? IVA % 0. Por retrsrse en el pgo de un deud de 00, un person debe pgr un recrgo del %. Cuánto tiene que devolver en totl?. Si un litro de leche de 0,8 ument su precio en un %, cuánto vle hor?. Qué tnto por ciento de descuento se h plicdo en un fctur de 900 si finlmente se pgron 00?. Si uns zptills de 0 se rebjn un %, cuál es el vlor finl?. Al comprr un televisor he obtenido un % de descuento, por lo que l finl he pgdo 8,0, cuál er el precio del televisor sin descuento?. Luis compró un cmiset que estb rebjd un 0 % pgó por ell 0. Cuál er su precio originl?. Por liquidr un deud de 000 ntes de lo previsto, un person pg finlmente 0800, qué porcentje de su deud se h horrdo? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

78 78 7. El precio de un vije se nunci 00 IVA incluido. Cuál er el precio sin IVA? IVA % 8. Qué incremento porcentul se h efectudo sobre un rtículo que ntes vlí hor se pg 9? 9. Un blnerio recibió 0 mil clientes en el mes de julio mil en gosto. Cuál es el incremento porcentul de clientes de julio gosto? 0. Un mp está dibujdo escl : L distnci rel entre dos ciuddes es 00 km. Cuál es su distnci en el mp?. L distnci entre Oviedo Coruñ es de 0 km. Si en el mp están cm, cuál es l escl l que está dibujdo?. Interpret l siguiente escl gráfic clcul l distnci en l relidd pr cm. 0 9 km. Copi en tu cuderno complet l siguiente tbl: Tmño en el dibujo Tmño rel Escl 0 cm lrgo cm de ncho : cm km 0 m : Copi en tu cuderno, clcul l rzón de proporcionlidd invers complet l tbl: Mgnitud A 8 7,, Mgnitud B 0, 0. Determin si ls siguientes mgnitudes se encuentrn en proporción direct, invers o en ningun de ells: Velocidd l que circul un coche espcio que recorre b Dinero que tienes pr gstr bolss de lmendrs que puedes comprr c Tll de zptos precio de los mismos d Número de miembros de un fmili litros de leche que consumen e Número de entrds vendids pr un concierto dinero recuddo f Números de grifos que llenn un piscin tiempo que est trd en llenrse g Edd de un person esttur que tiene h Número de trbjdores tiempo que trdn en hcer un vll i Edd de un person número de migos que tiene. Qué velocidd deberí llevr un utomóvil pr recorrer en hors ciert distnci, si 80 km/h h trddo hors minutos? 7. L rzón de proporcionlidd invers entre A B es. Copi en tu cuderno complet l tbl siguiente: A 0 7 0,8 B 0,0 0, 8. En l grnj se hce el pedido de forrje pr limentr 0 cerdos durnte 9 semns. Si vende 0 cerdos, cuánts semns le durrá el forrje? Y si en lugr de vender, compr treint cerdos? Y si decide rebjr l rción un curt prte con los 0 cerdos? 9. Un grnjero con gllins tiene míz pr limentrls dís. Si vende 0 gllins, Cuántos dís podrá limentr ls restntes? 0. Con pquetes de kg cd uno pueden comer 0 gllins dirimente. Si los pquetes fuern de,7 kg, cuántos necesitrímos pr dr de comer ls misms gllins?. Determin si ls dos mgnitudes son direct o inversmente proporcionles complet l tbl en tu cuderno: A 8 0, 0 B Si l jornd lborl es de 8 hors necesitmos 0 operrios pr relizr un trbjo. Si rebjmos l jornd en medi hor diri, cuántos operrios serán necesrios pr relizr el mismo trbjo?. En un lmcén se gurdn reservs de comid pr 00 persons durnte 0 dís con rciones diris, cuántos dís durrí l mism comid pr 7 persons con rciones diris?. Si operrios instln 00 m de vll en 7 dís. Cuántos dís trdrán operrios en instlr 0 m de vll?. En un concurso el premio de 8000 se reprte de form directmente proporcionl los puntos conseguidos. Los tres finlists consiguieron 0, 78 puntos. Cuántos euros recibirán cd uno?. Reprtir en prtes directmente proporcionles 0, 0, Un trbjo se pg 0. Tres operrios lo relizn portndo el primero jornds, el segundo jornds el tercero jornds. Cuánto recibirá cd uno? 8. Reprtir 0 en prtes inversmente proporcionles 8, 0,. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

79 79 9. Mezclmos kg de lmendrs /kg,, kg de nueces /kg,,7 kg de cstñs 8 /kg. Clcul el precio finl del pquete de 0 g de mezcl de frutos secos. 0. Clcul el precio del litro de zumo que se consigue mezclndo 8 litros de zumo de piñ, /l, litros de zumo de nrnj, /l litros de zumo de uv, /l. A cuánto debe venderse un botell de litro medio si se le plic un umento del 0 % sobre el precio de coste?. Pr conseguir un tipo de pintur se mezcln tres productos kg del producto X 8 /kg, 9 kg del producto Y, /kg kg del producto Z 8 /kg. Clcul el precio del kg de mezcl.. Cinco persons comprten un microbús pr relizr distintos trectos. El coste totl es de 7, más 0 de suplemento por servicio nocturno. Los kilómetros recorridos por cd psjero fueron,, 7, 8 respectivmente. Cuánto debe bonr cd uno?. Se h decidido penlizr ls empress que más contminn. Pr ello se reprten 0000 pr subvencionr tres empress que presentn un %, 9 % % de grdo de contminción. Cuánto recibirá cd un?. Un lingote de oro pes 0 g contiene 80, g de oro puro. Cuál es su le?. Cuántos grmos de oro contiene un jo de 0,900 de le, que se h formdo con un leción de 0 g de 0,90 de le 0 g de 0,70 de le?. Qué cpitl h que depositr l, % de rédito en ños pr obtener un interés simple de 80? 7. Cuál es el cpitl finl que se recibirá por depositr 00 l, % en 0 ños? 8. Cuántos meses debe depositrse un cpitl de 700 l % pr obtener un interés de 980? 9. Al % de interés compuesto, un cpitl se h convertido en 8,. De qué cpitl se trt? 0. En l construcción de un puente de 80 m se hn utilizdo 0 vigs, pero el ingeniero no está mu seguro decide reforzr l obr ñdiendo 0 vigs más. Si ls vigs se colocn uniformemente lo lrgo de todo el puente, qué distnci se colocrán ls vigs?. En un colegio de primri se convoc un concurso de ortogrfí en el que se dn vrios premios. El totl que se reprte entre los premidos es 00. Los lumnos que no hn cometido ningun flt reciben 0, el resto se distribue de mner inversmente proporcionl l número de flts. H dos lumnos que no hn tenido ningun flt, uno h tenido un flt, otro dos flts el último h tenido cutro flts, cuánto recibirá cd uno? AUTOEVALUACIÓN. Los vlores que completn l tbl de proporcionlidd direct son: A 0 0, 0, 00 B 0,; 000; 0,000; 0, b,;,; ; 0, c ; 00; 0,00; 0,0. Con 00 pgmos los gstos de gs durnte 0 meses. En meses pgremos: 000 b 900 c 800 d 00.. Un rtículo que costb 000 se h rebjdo 70. El porcentje de rebj plicdo es: 0 % b, % c, % d,7 %. Pr envsr 0 litros de gu utilizmos botells de litro medio. Cuánts botells necesitremos si queremos utilizr envses de tres curtos de litro? 90 botells b 700 botells c 0 botells d 80 botells. Los vlores que completn l tbl de proporcionlidd invers son: A, 0 B 0 0, 0, 0; 00;,; 000 b ; 00; 0; 00 c ; 0; 0; 00 d 0; 0; 0; 00. Tres gricultores se reprten los kilogrmos de l cosech de form proporcionl l tmño de sus prcels. L mor, que mide h recibido 0 tonelds, l segund es de h l tercer de 0 h recibirán: t 0 t b 0 t t c t 8 t d t 0 t 7. L escl l que se h dibujdo un mp en el que,7 cm equivlen 0,8 km es: : 000 b : 000 c : 0000 d : Con rollos de ppel de m de lrgo, puedo forrr libros. Cuántos rollos necesitremos pr forrr libros si hor los rollos de ppel son de m de lrgo? rollos b rollos c rollos d rollos 9. El precio finl del kg de mezcl de kg de hrin clse A,, /kg,,8 kg clse B 0,8 /kg kg clse C /kg es:, b 0,98 c,0 d,09 0. L le de un leción es 0,8. Si el peso de l jo es 0 g, l cntidd de metl precioso es: 9,9 g b, g c 8,9 g d 0 g Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

80 80 Proporcionlidd direct RESUMEN Dos mgnitudes son directmente proporcionles cundo l multiplicr o dividir l primer por un número, l segund qued multiplicd o dividid por el mismo número. L función de proporcionlidd direct es un rect que ps por el origen: = k. L pendiente de l rect, k, es l rzón de proporcionlidd direct. Ejemplos Pr emppelr 00 m hemos utilizdo rollos de ppel, si hor l superficie es de 0 m, necesitremos 8, rollos, pues k = 00/ =,, =,, por lo que = 0/, = 8, rollos. Proporcionlidd invers Dos mgnitudes son inversmente proporcionles cundo l multiplicr o dividir l primer por un número, l segund qued dividid o multiplicd por el mismo número. L función de proporcionlidd invers es l hipérbol = k /. Por tnto l rzón de proporcionlidd invers k es el producto de cd pr de mgnitudes: k = b = b. Dos persons pintn un viviend en dís. Pr pintr l mism viviend, persons trdrán: k = 8, = 8/, por lo que trdrán dís. Porcentjes Rzón con denomindor 00. El 87 % de 00 es = 088 Escls L escl es l proporción entre ls medids del dibujo ls medids en l relidd. Reprto proporcionl directo Reprtir directmente,0, = : 0 = = = = 9000 Mezcls leciones Mezclr distints cntiddes de productos, de distintos precios. L le de un leción es l relción entre el peso del metl más vlioso el peso totl. Interés simple compuesto El interés es el beneficio que se obtiene l depositr un cpitl en un entidd finncier un determindo tnto por ciento durnte un tiempo A escl :0000, cm son 7, km en l relidd. Reprto proporcionl inverso Reprtir 70 inversmente, / + / + / = 0 = 70 : = = = 0 70 = 0 Un jo que pes g contiene 9 9 g de plt, su le es: = 0,79 C = 00; r =, %; t = 8 ños 00, 8 I = = 8, 00 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Proporcionlidd Autor: Nieves Zusti Revisor: Jvier Rodrigo Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

81 8 CAPÍTULO 7: SEMEJANZA. FIGURAS SEMEJANTES.. Figurs semejntes Durnte este cpítulo hblremos únicmente de l proporcionlidd geométric, l semejnz. Dos figurs semejntes tienen l mism form. Es mu útil sber reconocer l semejnz pr poder estudir un figur e inferir sí propieddes de un figur semejnte ell que es más grnde o inccesible. L semejnz conserv los ángulos mntiene l proporción entre ls distncis. Dos polígonos son semejntes si sus ldos son proporcionles sus ángulos son igules... Rzón de semejnz. Escl. Dos figurs son semejntes si ls longitudes de elementos correspondientes son proporcionles. Al coeficiente de proporcionlidd se le llm rzón de semejnz. Cundo representmos lgo medinte un figur D o un plno D l rzón de semejnz tmbién se llm escl. En el lenguje mtemático eisten dos herrmients fundmentles pr describir un proporción: El producto el cociente. El producto indic cuánts veces mor es l representción frente l modelo. Se suele denotr medinte el signo de producto X 0X, 00X, etc. indicndo sí l rzón de semejnz. Un representción escl 00X de un célul, indic que l representción es 00 veces más grnde que el modelo, o que 00 céluls en fil tienen l mism longitud que l representción. L división indic el cmino contrrio, o cuánto más pequeño es el modelo frente su representción. Se suele denotr medinte el símbolo de división : :00, :00, etc. lo que indic l rzón de semejnz. Un plno de construcción de un edificio de escl :00, indic que l representción es 00 veces más pequeñ que el modelo. Si un distnci en el plno es 0 cm, es mism distnci en l relidd será de 000 cm = 0 m. Pr escribir un rzón de semejnz en lenguje lgebrico se utilizn dos operdores: el producto el cociente :. Cundo hblmos de semejnz geométric, nos referimos proporcionlidd en cunto longitudes, pero tmbién h otros tributos en los que podemos encontrr semejnzs entre un modelo un semejnte. En generl, culquier mgnitud que se medible tnto en el modelo como en su semejnte, es pt pr estblecer un relción de semejnz. Siempre que se puedn comprr dos mgnitudes de un tributo común, es posible estblecer un rzón de semejnz. Actividdes resuelts Si un microscopio tiene un umento de 00X, qué tmño prente pienss que tendrá l imgen que se ve por el objetivo si observmos un pelo de 0, mm de espesor? 0, mm X 00 = 0 mm = cm. Averigu l ltur de un cs que mide 0 cm de lto en un plno de escl :00. Si H es l ltur de l cs h el tmño en el plno, sbemos que h = H/00, por lo tnto, H = 00 h. H = 00 0 cm = 0 m. Comprobción: Es un cs de unos 7 pisos.. Mide tu ltur en un foto clcul el fctor de semejnz... Semejnz en longitudes, áres volúmenes Longitud de figurs semejntes En ls figurs semejntes l form no vrí, únicmente cmbi el tmño. Ls longitudes son proporcionles. En el siguiente prtdo demostrremos el teorem de Tles que es el fundmento mtemático de l semejnz. L rzón de semejnz se plic tods ls longitudes del modelo por igul. Cundo ls propieddes de un figur dependen de l longitud, como el áre el volumen, ests propieddes tmbién cmbin en l figur semejnte, unque no de l mism mner que l longitud. Si el áre del cudrdo es A = L² = L L, el áre de un cudrdo semejnte de rzón, será: A = L L = L L = ² L² = L² Áres de figurs semejntes El áre de un figur es un propiedd que depende de l longitud de sus segmentos. En concreto, l relción entre l longitud de un figur su áre es cudrátic. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

82 8 Cundo se plic el fctor de semejnz, se conserv l relción cudrátic entre longitud áre, por lo que en un figur pln D, provocrá un umento de su áre proporcionl l cudrdo. Si l rzón de semejnz entre ls longitudes de un figur es k, l relción entre sus áres, A A es: A = k L k L = k k L L = k² A Si l rzón de semejnz entre ls longitudes de un figur es k, entonces l rzón entre sus áres es k. Un televisor de 0 pulgds cuest proimdmente cutro veces más que uno de 0. Por etrño que prezc, el umento de precio está justificdo. El tmño del televisor, indic l longitud de su digonl en pulgds. Un longitud doble, implic un áre cutro veces mor por tnto necesit cutro veces más componentes electrónicos. Observ l figur del mrgen. Si multiplicmos por el ldo del cudrdo pequeño, el áre del cudrdo grnde es = veces l del pequeño. Volúmenes de figurs semejntes El volumen de un figur es un propiedd que depende de l longitud de sus segmentos. En este cso, l relción entre ls longitudes de un figur su volumen es cúbic. Cundo se plic el fctor de semejnz, est relción cúbic provocrá un umento de su volumen proporcionl l cubo k³. Si l rzón de semejnz entre ls longitudes de un figur es k, el volumen de prtid es V = L L L : l plicr l semejnz se tiene: V k = k L k L k L = k k k L L L = k³ L L L = k³ V Si l rzón de semejnz entre ls longitudes de un figur es k, entonces entre sus volúmenes es k. Observ l figur del mrgen. Al multiplicr por el ldo del cubo pequeño se obtiene el cubo grnde. El volumen del cubo grnde es 8 veces el del cubo pequeño. Actividdes resuelts L torre Eiffel de Prís mide 00 metros de ltur pes unos 8 millones de kilos. Está construid de hierro. Si encrgmos un modelo escl de dich torre, tmbién de hierro, que pese sólo un kilo, qué ltur tendrá? Será mor o menor que un lápiz? El peso está relciondo con el volumen. L torre Eiffel pes kilos, queremos construir un, ectmente del mismo mteril que pese kilo. Por tnto k = / = , k = 00. L rzón de proporcionlidd entre ls longitudes es de 00. Si l Torre Eiffel mide 00 m de ltur mide un poco más, 0 m, llmmos lo que mide l nuestr tenemos: 00/ = 00. Despejmos que result igul =, m. Mide metro medio! Es mucho mor que un lápiz!. El diámetro de un melocotón es tres veces mor que el de su hueso, mide 8 cm. Clcul el volumen del melocotón, suponiendo que es esférico, el de su hueso, tmbién esférico. Cuál es l rzón de proporcionlidd entre el volumen del melocotón el del hueso?. En l pizzerí tienen pizzs de vrios precios:, 9. Los diámetros de ests pizzs son: cm, 0 cm 0 cm, cuál result más económic? Clcul l relción entre ls áres compárl con l relción entre los precios.. Un mquet de un depósito cilíndrico de 000 litros de cpcidd metros de ltur, queremos que teng un cpcidd de litro. Qué ltur debe tener l mquet?. EL TEOREMA DE TALES.. Teorem de Tles Dds dos rects, r r, que se cortn en el punto O, dos rects prlels entre sí, b. L rect cort ls rects r r en los puntos A C, l rect b cort ls rects r r en los puntos B D. Entonces el Teorem de Tles firm que los segmentos son proporcionles: OA OC AC OA + OC + AC = = = OB OD BD OB + OD + BD Se dice que los triángulos OAC OBD están en posición Tles. Son semejntes. Tienen un ángulo común coincidente los ldos proporcionles. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

83 8 Actividdes resuelts Sen OAC OBD dos triángulos en posición Tles. El perímetro de OBD es 0 cm, OA mide cm, AC mide cm OC mide cm. Clcul ls longitudes de los ldos de OBD. Utilizmos l epresión: OA OC AC OA OC AC sustituendo los dtos: OB OD BD OB OD BD 0, OB OD BD 0 0 por lo que despejndo, sbemos que: OB = = cm; OD = = cm, BD = = 0 cm. En efecto: = 0 cm, perímetro del triángulo. Cuent l leend que Tles midió l ltur de l pirámide de Keops comprndo l sombr de l pirámide con l sombr de su bstón. Tenemos un bstón que mide m, si l sombr de un árbol mide m, l del bstón, l mism hor del dí en el mismo momento, mide 0,8 m, cuánto mide el árbol? Ls lturs del árbol del bstón son proporcionles sus sombrs, formn triángulos en posición Tles, por lo que, si llmmos l ltur del árbol podemos decir: 0,8. Por tnto = /0,8 = metros.. En un foto h un niño, que sbemos que mide, m, un edificio. Medimos l ltur del niño del edificio en l foto, resultn ser: cm 0 cm. Qué ltur tiene el edificio? Comprobción: El resultdo te prece rel? Es posible que un edificio teng es ltur?. Se dibuj un heágono regulr. Se trzn sus digonles se obtiene otro heágono regulr. Indic l rzón de semejnz entre los ldos de mbos heágonos. 7. En un triángulo regulr ABC de ldo cm, trzmos los puntos medios, M N, de dos de sus ldos. Trzmos ls rects BN CM que se cortn en un punto O. Son semejntes los triángulos MON COB? Cuál es l rzón de semejnz? Cuánto mide el ldo MN? 8. Un pirámide regulr hegonl, de ldo de l bse cm ltur 0 cm, se cort por un plno un distnci de cm del vértice, con lo que se obtiene un nuev pirámide. Cuánto miden sus dimensiones?.. Demostrción del teorem de Tles Pr l demostrción se utilizn los triángulos ABC, ADC OCA, que se muestrn en l figur. Vmos dr vrios psos pr demostrr el teorem de Tles. El áre del triángulo ABC es l mism que el áre del triángulo ADC pues tienen l mism bse, AC, l mism ltur h, l distnci entre ls rects prlels b: Áre ABC = Áre ADC = CA h/ = S El áre del triángulo OCB es l mism que el áre del triángulo OAD pues hemos sumdo ls áres de los triángulos nteriores, el áre del triángulo OAC: Áre OCB = Áre OAD = S + S' Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

84 8 Clculmos el cociente entre ls áres de los triángulos OAC OBC. Pr clculr ls áres, tommos ls bses que están sobre l rect r, entonces l ltur de mbos triángulos es l mism pues tienen el vértice C común, por lo que el cociente entre sus áres es igul l cociente entre sus bses. Del mismo modo clculmos el cociente entre ls áres de los triángulos OAC OAD tomndo hor ls bses sobre l rect r l ltur, que es l mism, l del vértice común A: ÁreOAC = ÁreOBC S' OA h = S + S' OB h / / OA = OB ÁreOAC = ÁreOAD S' S + S' OC h / = OD h / OC = OD Y hemos demostrdo que Áre OBC = Áre OAD = S, sustituendo: ÁreOAC OA OC OA OB = = =. ÁreOBC OB OD OC OD Pr obtener l otr relción de proporcionlidd utilizmos un rzonmiento similr. Clculmos el cociente entre ls áres de los triángulos OAC ABC tomndo ls bses sobre l rect r l ltur del vértice común C. Después clculmos el cociente entre ls áres de los triángulos OAC ADC tomndo ls bses sobre l rect r l ltur, que es l mism, desde el vértice común A, por lo que ese cociente es proporcionl ls bses OC CD: ÁreOAC S' OA h / OA ÁreOAC S' OC h / OC = = = = = = ÁreABC S AB h / AB ÁreADC S CD h / CD Pero como ls áres de ABC de ADC S son igules se obtiene: ÁreOAC OA OC OA AB = = =. ÁreABC AB CD OC CD Igulndo ls epresiones se consigue l primer firmción del teorem de Tles: OA OB AB OA OC AC OC OD CD OB OD BD Actividdes resuelts OA OB AB OA OC AC OA + OC + AC Demuestr que si = = entonces = = = OC OD CD OB OD BD OB + OD + BD OA OB AB En efecto, si decimos que = = = k obtenemos que: OC OD CD OA = k OC;OB = k OD;AB = k CD => OA + OB + AB = k OC + k OD + k CD = k OC + OD + CD Y despejndo k hemos logrdo probr que: OA + OB + AB k = por tnto OA OB OC = OD Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz OC + OD + CD AC OA + OC + AC = =, el teorem de Tles. BD OB + OD + BD Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

85 8 Sen OAC OBD dos triángulos en posición Tles. El perímetro de OAC es 0 cm, OB mide cm, BD mide 9 cm OD mide 9 cm. Clcul ls longitudes de los ldos de OAC. Utilizmos l epresión del Teorem de Tles: OA OC AC OA OC AC OB OD BD OB OD BD sustituendo los dtos: OA OC AC por lo que despejndo, sbemos que: OA = = 0 cm; 0 0, OD = 9 = cm, BD = 9 = cm. En efecto: = 0 cm, perímetro del triángulo. 9. Sen ABC AED dos triángulos en posición Tles. Se sbe que AB = 7 m, BC = m, AC = m AD = m. Clcul ls dimensiones de AED su perímetro. 0. Reto: Utiliz un hoj en blnco pr demostrr el teorem de Tles sin ud. No hce flt que utilices el mismo procedimiento que el libro. H muchs mners de demostrr el teorem... Recíproco del teorem de Tles Dds dos rects, r r, que se cortn en el punto O, dos rects b tles que l rect cort ls rects r r en los puntos A C, l rect b cort ls rects r r en los puntos B D. Entonces el recíproco del Teorem de Tles firm que si todos los segmentos formdos por los puntos A, B, C D son proporcionles, entonces ls rects b son prlels entre sí. OA OC AC Si entonces b son prlels. OB OD BD Actividdes resuelts En l figur djunt se sbe que OA = cm, OC = cm, AC = cm, OB = cm, OD = cm, BD = cm. Cómo son ls rects b? Sustituimos en l epresión del teorem de Tles: que: OA OC AC = = OB OD BD, que se verific = =, luego ls rects b son prlels, el segmento AC es prlelo BD. ' En l figur djunt se sbe que OA = OC = cm, que OB = cm = OD. Ls rects b no son prlels, por qué? Porque no verific el teorem de Tles. OA OC AC AC = => =. OB OD BD BD No bst con que se verifique un de ls igulddes, deben verificrse ls dos. Comprobción: Mide con un regl los vlores de AC BD.. Sen O, A B tres puntos linedos sen O, C, D otros tres puntos linedos en un rect diferente l nterior. Se OA OC verific que =. Podemos segurr que el segmento AC es prlelo l segmento BD? Rzon l respuest. OB OD. Sen O, A B tres puntos linedos sen O, C, D otros tres puntos linedos en un rect diferente l nterior. Se OA OC AC verific que = =. Podemos segurr que el segmento AC es prlelo l segmento BD? Rzon l OB OD BD respuest... Aplicciones del teorem de Tles Al estudir l representción de números rcionles en l rect numéric prendimos representr frcciones pr lo que er necesrio dividir segmentos en prtes igules. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

86 8 Recuerd que: Pr dividir un segmento AB en n prtes igules se trz un semirrect r con origen en A donde se señln, con ud de un compás, n segmentos consecutivos de l mism longitud. El etremo del último segmento se une con B, se trzn prlels este segmento por cd uno de los puntos señldos de l semirrect. Observ que l figur obtenid es de triángulos en posición Tles, que los segmentos obtenidos en AB son todos de igul longitud. Del mismo modo el teorem de Tles nos sirve pr dividir un segmento en prtes que tengn un proporción dd. El procedimiento es el mismo que el nterior. L diferenci es que hor únicmente nos interes un de ls divisiones de l semirrect r. El teorem de Tles tmbién nos permite conocer mucho más sobre l semejnz de triángulos. Si dos triángulos son semejntes vmos poder plicr un movimiento uno de ellos trslción, giro o simetrí colocrlo en posición Tles con el segundo, prtir de hí utilizr el teorem de Tles. Esto lo veremos con más detenimiento en los prtdos siguientes. Actividdes resuelts En l figur nterior hemos dividido el segmento AB en prtes igules. Identific los triángulos en posición de Tles clcul el fctor de semejnz con respecto l primero. Los triángulos en posición de Tles son los que comprten el mismo ángulo del vértice A. Si llmmos d l distnci entre dos cortes sobre el segmento AB, se puede clculr d = AB/. El fctor de semejnz se clcul medinte l proporción entre sus longitudes. Al ser triángulos en posición Tles, sbemos que tods ls proporciones son igules pr todos los ldos, por lo que el fctor de semejnz coincide con l proporción entre culquier pr de ldos, incluendo los que coinciden con el segmento AB. Tenemos entonces que l bse del primer triángulo el más pequeño es d, l bse del segundo triángulo es d, sí que l rzón de semejnz de estos dos triángulos es. De l mism mner, ls rzones de semejnz de los demás triángulos serán,,.. Si divides el segmento AB en prtes igules. Busc l relción de semejnz entre el seto segmento el tercero.. Dibuj en tu cuderno un segmento divídelo en prtes igules utilizndo regl compás. Demuestr que, utilizndo el teorem de Tles los segmentos obtenidos son, en efecto, igules.. Dibuj en tu cuderno un segmento de 7 cm de longitud, divídelo en dos segmentos que estén en un proporción de /.. Dibuj en tu cuderno un rect numéric represent en ell los siguientes frcciones: / b /7 c /8 d /. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.. Criterios de semejnz de triángulos Cómo se sbe si dos figurs son semejntes? Y sbes que: Dos figurs son semejntes cundo tienen l mism form pero distinto tmño. Aunque est definición puede precer mu clr en lenguje nturl, no es útil en Mtemátics, que no se puede escribir en lenguje lógico. Vmos trbjr l semejnz con l figur más simple que eiste: el triángulo. Ls dos condiciones pr l semejnz son l form el tmño. Un triángulo es un figur formd por tres ldos tres ángulos. Dos triángulos tienen l mism form si los tres ángulos son igules. Si un solo ángulo es distinto tienen distint form, se trt de triángulos no semejntes. Cundo dos triángulos tienen l mism form, los mismos ángulos, podemos hblr de triángulos semejntes. Si son semejntes, l proporción entre sus ldos es constnte, como firm el teorem de Tles. Dos triángulos semejntes tienen todos los ángulos igules los ldos proporcionles. Pr reconocer dos triángulos semejntes no es necesrio conocer todos los ldos ángulos, es suficiente con que se cumpl lguno de los siguientes criterios de semejnz. Criterios de semejnz de triángulos Pr que dos triángulos sen semejntes, deben tener sus tres ángulos igules. Esto se cumple en los siguientes tres csos. Dos triángulos son semejntes sí: Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

87 87 Primero: Tienen dos ángulos igules. Al tener dos ángulos igules ser l sum de los ángulos de un triángulo igul 80º, el tercer ángulo es necesrimente igul. Con lo que mbos triángulos se pueden superponer llevr l posición de triángulos en posición Tles. Dos de sus ldos son entonces coincidentes el tercero es prlelo. Segundo: Tienen los tres ldos proporcionles. Si sus tres ldos son proporcionles, necesrimente son semejntes por el teorem de Tles. Tercero: Tienen dos ldos proporcionles el ángulo que formn es igul. Como cbmos de ver, l demostrción de los criterios de semejnz se bs en los criterios de iguldd de triángulos. Y sbes que dos triángulos son igules si tienen sus tres ldos igules sus tres ángulos igules, pero no es necesrio que se verifiquen ess seis igulddes pr que lo sen. Bst por ejemplo que tengn un ldo dos ángulos igules. Así, se puede construir un triángulo igul uno de los ddos en posición Tles con el segundo deducir l semejnz. Ejemplo Los triángulos de ls ilustrciones son semejntes. Cd un de ls figurs verific uno de los criterios de semejnz de triángulos. Primer criterio Segundo criterio Tercer criterio Actividdes resuelts Clcul los vlores desconocidos b c pr que los triángulos de dtos = 9 cm, b = cm, c = cm. ' = cm sen semejntes: Sbemos que debe verificrse que: / = b/b = c/c. Al sustituir se tiene: 9/ = /b = /c l despejr: b = /9 = cm, c = /9 = 8 cm. 7. Indic si son semejntes los siguientes pres de triángulos: Un ángulo de 0º otro de 0º. Un ángulo de 80º otro de 0º. b Triángulo isósceles con ángulo desigul de 80º. Triángulo isósceles con ángulo igul de 0º. c A = 0º, b = 8 cm, c = 0 cm. A = 0º, b = cm, c = cm d = 7 cm, b = 8 cm, c = cm. = cm, b = cm, c = cm 8. Clcul el vlor desconocido pr que los triángulos sen semejntes: = cm, b = cm, c = 0 cm. ' = cm, b', c'? b A = 7º, b = 0 cm, c = cm. A = 7º, b' = 0 cm, c'? 9. Un triángulo tiene ldos de cm, cm 8 cm. Un triángulo semejnte él tiene un perímetro de 80 cm. Cuánto miden sus ldos?.. Semejnz de triángulos rectángulos: teorem de l ltur del cteto Los triángulos rectángulos tienen un ángulo de 90º, sí que pr que dos triángulos rectángulos sen semejntes les bst con tener otro ángulo igul. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo, distinto del recto, igul, son semejntes sus ldos son proporcionles. Debido esto, l ltur sobre l hipotenus, divide l triángulo rectángulo en dos nuevos triángulos rectángulos que son semejntes, pues comprten un ángulo con el triángulo de prtid. Utilizndo hor que los ldos son proporcionles podemos escribir dos teorems, el teorem de l ltur el del cteto. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

88 88 Teorem de l ltur En un triángulo rectángulo l ltur es medi proporcionl entre los segmentos en los que divide l hipotenus: h d. e h En efecto, se ls longitudes de l ltur AH = h, del segmento BH = e, del segmento HC = d, l ser el triángulo ABC semejnte l triángulo ABH su vez semejnte l triángulo AHC, estos dos triángulos son semejntes, por lo que sus ldos son proporcionles, por lo que: h d Cteto menor de AHC / cteto menor de ABH = Cteto mor de AHC / cteto mor de ABH, o lo que es lo mismo: h = e d. Teorem del cteto En un triángulo rectángulo un cteto es medi proporcionl entre l hipotenus su proección sobre ell: c. c d Por l semejnz de los triángulos ABC HBA sbemos que los ldos correspondientes son proporcionles, por lo que: hipotenus del triángulo grnde ABC / hipotenus del triángulo pequeño AHB = cteto c menor del triángulo grnde ABC / cteto menor del triángulo pequeño AHB, o lo que es lo mismo: c = d. c d Actividdes resuelts Nos hn encrgdo medir el ncho de un río en vrios puntos del curso. En l morí de los puntos hemos podido medirlo con un cuerd, pero h un ensnche en el que no podemos medirlo sí. Vmos inventr un método que plic el teorem de l ltur que nos permit medirlo. Vmos un tiend comprmos dos punteros láser. A continución los unimos formndo un ángulo de 90º. Después vmos l prte del río que queremos medir enfocmos uno de ellos hci l otr orill hst que vemos el puntero. Ahor buscmos el puntero del otro láser que hbímos colocdo 90º mrcmos sobre el suelo. Después de medir l ltur l que sostenemos los punteros l distnci de l bse hst el segundo puntero, tenemos los siguientes dtos: d = cm h = 0 cm. Aplicndo el teorem de l ltur, sbemos que: h² = d D, sí que D = h²/d. Por tnto D = 0²/ = 00 cm = metros. 0. Los ctetos de un triángulo rectángulo miden cm, cuánto mide l ltur sobre l hipotenus?. Los ctetos de un triángulo rectángulo miden cm, cuánto mide l proección sobre l hipotenus de cd uno de esos ctetos?. Dibuj los tres triángulos semejntes pr el triángulo rectángulo de ctetos en posición de Tles... Aplicción informátic pr l comprensión de l semejnz L semejnz en un pentágono regulr En est ctividd se v utilizr el progrm Geogebr pr relizr un estudio de l semejnz de diferentes triángulos que podemos dibujr en un pentágono regulr clculndo de form proimd su rzón de semejnz. Tmbién se comprueb l relción que eiste entre l rzón entre ls áres de dos figurs semejntes su rzón de semejnz. Actividdes resuelts Cálculo de l rzón de semejnz Abre un ventn de Geogebr, en el menú Visuliz desctiv Ejes Cudrícul en el menú Opciones elige en Rotuldo l opción Solo los nuevos puntos. Determin con Nuevo punto los puntos A B dibuj con polígono regulr el pentágono que tiene como vértices los puntos A B. e h Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

89 89 Dibuj con Polígono el triángulo ABD, utiliz Segmento pr dibujr l digonl BE define el punto F como punto de intersección de dos objetos ls digonles AD BE, determin con polígono el triángulo ABF. Es conveniente cmbir el color de cd uno de los polígonos dibujdos pr reconocerlos en l ventn lgebric, pr esto utiliz l opción Propieddes del menú contetul l situr el curso sobre el polígono o sobre su nombre en l ventn lgebric Los triángulos ABD ABF son semejntes. Sbes demostrr por qué? Recuerd que es suficiente demostrr que tienen dos ángulos igules como los ángulos interiores de un pentágono regulr miden 08º, es evidente que en el triángulo isósceles ABD el ángulo desigul mide º los ángulos igules 7º. En el triángulo ABF, el ángulo ABF mide º el BAF, 7º por lo tnto los triángulos son semejntes demás el ángulo BFA tmbién mide 7º. Utiliz l herrmient de Geogebr que permite medir ángulos pr comprobr estos resultdos. Pr hllr l rzón de semejnz clculmos el cociente entre dos ldos correspondientes de estos triángulos, por ejemplo, BD AD, es decir entre un digonl un ldo del pentágono. Pr hcerlo con Geogebr definimos en l líne de entrd l vrible rzóndesemejnz = f/ f es un digonl un ldo, observmos en l ventn lgebric que este vlor es,, si umentmos el número de decimles en Redondeo del menú Opciones comprobmos que este vlor es un proimción del número de oro. L rzón de semejnz el cociente entre ls áres. Define en l líne de entrd l vrible cocientedeáres =polígono/polígono, siendo el polígono el triángulo ABD el polígono el ABF Define, tmbién, en l líne de entrd l vrible cudrdorzóndesemejnz = rzóndesemejnz^. Observ como el cudrdo de l rzón de semejnz coincide con el cociente entre ls áres. Aument el número de decimles pr comprobr que estos vlores coinciden. Utiliz l herrmient Áre pr que prezc en l pntll gráfic el áre de los triángulos ABD ABF, e Insertr teto pr que prezcn los vlores de l rzón de semejnz, el cociente entre ls áres el cudrdo de l rzón de semejnz. Comprueb estos resultdos en otro pentágono. Dibuj un pentágono GHIJK del mismo modo que hs construido el ABCDE con l condición de que l longitud de sus ldos se el triple del que está construido. Pr fcilitr l tre puedes ctivr l cudrícul mover los puntos iniciles. Clcul ls áres de los triángulos HJG GHL, su rzón de semejnz, el cociente entre sus áres el cudrdo de l rzón de semejnz. b Comprueb que l rzón de semejnz, el cociente entre ls áres el cudrdo de l rzón de semejnz de los triángulos GHJ GHL del pentágono GHIJK coinciden con ls de los triángulos ABD ABF del pentágono ABCDE. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

90 90. Clcul ls áres de los dos pentágonos relcion su cociente con el cudrdo de l rzón de semejnz.. Otros triángulos del pentágono. Investig si los triángulos AFE BDF son semejntes si lo son clcul su rzón de semejnz, el cociente entre sus áres compr este resultdo con el cudrdo de l rzón de semejnz.. Pentágono dentro de un pentágono. Dibuj el pentágono FGHIJ que se form en el pentágono ABCDE l trzr sus digonles mbos son semejntes porque son polígonos regulres. Clcul l rzón de semejnz el cociente entre sus áres. Observ los triángulos AGF ABD son semejntes? 7. Observ los pentágonos regulres de l figur: Son todos semejntes? b Te prece que el proceso de dibujr pentágonos dentro de pentágonos es infinito Por qué? c Cuál es l sucesión de ls rzones de semejnz entre el pentágono mor cd uno de los siguientes? RESUMEN Figurs semejntes Si ls longitudes de elementos correspondientes son proporcionles. Ejemplos Rzón de semejnz Semejnz en longitudes, áres volúmenes Teorem de Tles Recíproco del teorem de Tles Semejnz de triángulos Coeficiente de proporcionlidd Si l rzón de semejnz entre ls longitudes de un figur es k, entonces l rzón entre sus áres es k entre sus volúmenes es k. Dds dos rects, r r, que se cortn en el punto O, dos rects prlels entre sí, b. L rect cort ls rects r r en los puntos A C, l rect b cort ls rects r r en los puntos B D. Entonces: OA OC AC Si OA OB OB OD BD OC AC entonces b son prlels. OD BD Dos triángulos son semejntes si tienen todos los ángulos igules los ldos proporcionles. Criterios de semejnz de triángulos Dos triángulos son semejntes sí: Primero: Tienen dos ángulos igules. Segundo: Tienen los tres ldos proporcionles. Tercero: Tienen dos ldos proporcionles el ángulo que formn es igul. Teorem de l ltur En un triángulo rectángulo l ltur es medi proporcionl de los h d segmentos en los que divide l hipotenus: h =ed. e h Teorem del cteto En un triángulo rectángulo un cteto es medi proporcionl entre c l hipotenus su proección sobre ell: c = d. c d Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

91 9 EJERCICIOS Y PROBLEMAS Figurs semejntes. Busc fotogrfís, plnos, fotocopis, figurs escl, etc. tom medids determin ls rzones de semejnz. Clcul ls medids reles comprueb que l rzón de semejnz obtenid es correct.. En un mp de crreter de escl :000 l distnci entre dos ciuddes es de,7 cm. Clcul l distnci rel entre dichs ciuddes.. Un microscopio tiene un umento de 00X, qué tmño tiene l imgen que se ve por el objetivo si observmos un prmecio de 0,0 mm de diámetro?. Pericles murió de peste en el ño 9. C. Consultdo el oráculo de Apolo debín construir un ltr en form de cubo cuo volumen duplicr ectmente el que eistí. Cuál debí ser l rzón de proporcionlidd de los ldos? Es posible construir ectmente un cubo con dich rzón?. En un fotogrfí un person que sbe que mide,7 m tiene un ltur de, cm. Aprece un árbol que en l fotogrfí mide,7 cm, cuánto mide en l relidd?. Cuánto mide el ldo de un icosedro cu superficie es el triple del de otro icosedro de ldo cm? 7. Suponemos que un melocotón es un esfer, que su hueso tiene un diámetro que es un tercio del del melocotón. Cuánto es mor l pulp del melocotón que su hueso? 8. Son semejntes todos los cudrdos? Y todos los rombos? Y todos los rectángulos? Cuándo son semejntes dos rombos? Y dos rectángulos? 9. El áre de un rectángulo es 0 cm, uno de sus ldos mide cm, qué áre tiene un rectángulo semejnte l nterior en el que el ldo correspondiente mide cm? Qué perímetro tiene? 0. Son semejntes tods ls esfers? Y los icosedros? Y los cubos? Y los dodecedros? Cuándo son semejntes dos cilindros?. L rist de un octedro mide 7, cm, l de otro,8 cm, Qué relción de proporcionlidd h entre sus superficies? Y entre sus volúmenes?. L medid normlizd A$ tiene l propiedd de que prtimos el rectángulo por l mitd de su prte más lrg, el rectángulo que se obtiene es semejnte l primero. Duplicndo, o dividiendo se obtienen ls dimensiones de los rectángulo A, A, A, A, A. El rectángulo A mide 9,7 cm cm. Determin ls medids de A de A.. Dibuj un pentágono regulr trz sus digonles. Tienes un nuevo pentágono regulr. Cuál es l rzón de semejnz?. Dibuj en tu cuderno un pentágono regulr trz sus digonles. Cuánto miden los ángulos del triángulo formdo por un ldo del pentágono ls dos digonles del vértice opuesto? Este triángulo se denomin triángulo áureo, pues l dividir el ldo mor entre el menor se obtiene el número de oro. En l figur que hs trzdo h otros triángulos semejntes l áureo, qué relción de proporcionlidd h entre ellos?. El mp escl :00000 de un región tiene un áre de 00 cm, cuánto mide l superficie verdder de dich región?. Ertostenes de Alejndrí 7 9. C. observó que en Sien l dirección de los ros solres er perpendiculr l superficie de l Tierr en el solsticio de verno. Vijó siguiendo el curso del Nilo un distnci de 790 km mil estdios midió l inclinción de los ros del sol en el solsticio de verno en Alejndrí que er de = 7º. Utilizó l proporcionlidd: πr/790 = 0º/ pr determinr el rdio de l Tierr. Qué obtuvo? 7. Tenemos un conjunto de rectángulos de ldos: A: 7, B:, C: 8, D: 0, E: 7, F: 9. Indic cuáles son semejntes. Dibuj recort el rectángulo A, dibuj el resto de rectángulos. Superpón el rectángulo A con los otros rectángulos eplic que observs con el que es semejnte. Qué longitud tiene el otro ldo de un rectángulo semejnte A cuo ldo menor mid 0 cm? El teorem de Tles 8. Divide un segmento culquier en prtes igules utilizndo el teorem de Tles. Sbrís hcerlo por otro procedimiento ecto? 9. Divide un segmento culquier en prtes proporcionles,, utilizndo el teorem de Tles. 0. Si lguien mide 7 m su sombr mide m, clcul l ltur del edificio cu sombr mide m l mism hor.. Un rectángulo tiene un digonl de 7 m. Clcul sus dimensiones sbiendo que es semejnte otro rectángulo de ldos m 8 m.. Sen OAC OBD dos triángulos en posición Tles. El perímetro de OBD es 00 cm, OA mide cm, AC mide 8 cm OC mide 0 cm. Determin ls longitudes de los ldos de OBD. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

92 9. En el museo de Bgdd se conserv un tblill en l que prece dibujdo un triángulo rectángulo ABC, de ldos = 0, b = c= 7, subdividido en triángulos rectángulos menores ACD, CDE, DEF EFB, el escrib h clculdo l longitud del ldo AD. Utiliz el teorem de Tles pr determinr ls longitudes de los segmentos AD, CD, DE, DF, EB, BF EF. Clcul el áre del triángulo ABC de los triángulos ACD, CDE, DEF EFB. Semejnz de triángulos. El triángulo rectángulo ABC tiene un ángulo de º otro triángulo rectángulo tiene un ángulo de º. Podemos segurr que son semejntes? Rzon l respuest.. L hipotenus de un triángulo rectángulo mide cm l ltur sobre l hipotenus mide 0 cm, cuánto miden los ctetos?. Indic si son semejntes los siguientes pres de triángulos: Un ángulo de 0º otro de 0º. Un ángulo de 90º otro de 0º. b Triángulo isósceles con ángulo desigul de 0º. Triángulo isósceles con un ángulo igul de 70º. c A = 7º, b = 0 cm, c = cm. A = 7º, b = cm, c = cm. d = 7 cm, b = cm, c = 8 cm. = cm, b = cm, c = cm. 7. Clcul el vlor desconocido pr que los triángulos sen semejntes: = cm, b = 9 cm, c = cm. ' = 8 cm, b', c'? b A = º, b = cm, c = cm. A = º, b' = cm, c'? 8. Ls longitudes de los ldos de un triángulo son 7 cm, 9 cm 0 cm. Un triángulo semejnte él tiene un perímetro de cm. Cuánto miden sus ldos? 9. L sombr de un edificio mide m, l del primer piso m. Sbemos que l ltur de ese primer piso es de,7 m, cuánto mide el edificio? 0. Demuestr que en dos triángulos semejntes ls bisectrices son proporcionles.. Un triángulo rectángulo isósceles tiene l hipotenus de longitud 9 cm, igul un cteto de otro triángulo semejnte l primero. Cuánto vlen ls áres de mbos triángulos?. Uniendo los puntos medios de los ldos de un triángulo se obtiene otro triángulo. Son semejntes? Qué relción h entre sus perímetros? Y entre sus áres?. L ltur l bse de un triángulo isósceles miden respectivmente 7 cm; es semejnte otro de bse cm. Clcul l ltur del nuevo triángulo ls áres de mbos.. Los triángulos siguientes son semejntes. Averigu l medid de los ángulos que fltn sbiendo que: Son rectángulos un ángulo del primer triángulo mide º. b Dos ángulos del primer triángulo miden 0º 8º.. Los triángulos siguientes son semejntes. Averigu ls medids que fltn sbiendo que: Los ldos del primer triángulo miden 0 m, m z m. Los del segundo: m, 9 m 8 m. b Los ldos del primer triángulo miden m, m 8 m. Los del segundo: m, m z m. c Un ldo del primer triángulo mide cm l ltur sobre dicho ldo cm. El ldo correspondiente del segundo mide 9 cm, l ltur cm d Un triángulo isósceles tiene el ángulo desigul de º el ldo igul de 0 cm el desigul de 7 cm; el otro tiene el ldo igul de cm. Cuánto miden sus otros ldos ángulos?. Enunci el primer criterio de semejnz de triángulos pr triángulos rectángulos. 7. Los egipcios usbn un cuerd con nudos, todos l mism distnci, pr obtener ángulos rectos. Formbn triángulos de longitud,. Por qué? Los indios los chinos usbn un procedimiento similr unque utilizndo cuerds con los nudos seprdos en,, tmbién 8, 7. Por qué? Escribe ls longitudes de los ldos de triángulos semejntes los indicdos. 8. Se quiere clculr l ltur de un árbol pr lo que se mide su sombr: m, l sombr de un plo de m de longitud, 0,9 m. Qué ltur tiene el árbol? 9. Ahor no podemos usr el procedimiento de l sombr porque el árbol es inccesible h un río en medio pero sbemos que está 0 m de nosotros. Cómo lo hrís? Pepe h cogido un lápiz que mide 0 cm lo h colocdo 0 cm de distnci. De ese modo h conseguido ver linedo l bse del árbol con un etremo del lápiz, l punt del árbol con el otro. Cuánto mide este árbol? 0. Arquímedes clculb l distnci l que estb un brco de l cost. Con un escudr ABC lineb los vértices BC con el brco, C, conocí l ltur del cntildo hst el vértice B. Dibuj l situción, determin qué triángulos son semejntes. Clcul l distnci del brco si BB = 0 m, BA = 0 cm, AC = 7 cm. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

93 9 AUTOEVALUACIÓN. En un mp de crreter de escl :00 l distnci entre dos pueblos es de cm. L distnci rel entre dichos pueblos es de: 0 m b 0 km c 0 km d 0 cm. Si un microscopio tiene un umento de 000X, qué tmño prente pienss que tendrá l imgen que se ve por el objetivo si observmos un célul de 0,0 mm de diámetro cm b mm c 0, cm d 00 mm. Queremos construir un cudrdo de áre doble de uno de un metro de ldo. El ldo del nuevo cudrdo debe medir: metros b metros c metros d,7 metros. Sen OAC OBD dos triángulos en posición Tles. El perímetro de OBD es 0 cm, OA mide cm, AC mide, cm OC mide, cm. Ls longitudes de los ldos de OBD son: OB = 0 cm, OD = 0 cm, BD = 0 cm b OB = cm, OD = 0 cm, BD = cm c OB = 0 cm, OD = cm, BD = cm d OB = cm, OD = cm, BD = 0 cm.. En l figur djunt los vlores de e son: cm b 9 cm c 8 cm d 0 cm. Los triángulos ABC DEF son semejntes. Los ldos de ABC miden, 7 cm, el perímetro de DEF mide 0 m. Los ldos de DEF miden:, 0 cm b, 0 8 cm c 9, m d, 0 8 m 7. Dos triángulos rectángulos son proporcionles si: Tienen los ctetos proporcionles b Tienen un ángulo igul c Tienen un ángulo distinto del recto igul d Sus áres son proporcionles 8. Los triángulos ABC DEF son semejntes. El ángulo A mide 0º, B, 7º. Cuánto miden los ángulos D, E F? D = 7º, E = 78º F = 0º b D = 0º, E = 88º F = 7º c D = 0º, E = 7º F = 8º 9. L ltur de un triángulo rectángulo divide l hipotenus en dos segmentos de longitud cm, cuánto mide l ltur?,7 cm b cm c cm d cm 0. L proección de un cteto sobre l hipotenus de un triángulo rectángulo mide cm, l hipotenus 9 cm, cuánto mide el cteto? 7 cm b cm c,7 cm d cm. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Semejnz Autor: Jorge Muñoz Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Jorge Muñoz

94 9 CAPÍTULO 8: TRIGONOMETRÍA. SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS.. Sistem segesiml Recordrás que en el sistem segesiml de medid de ángulos, l unidd es el grdo segesiml que se define como l trescientos sesentev prte de un ángulo completo. Tiene dos divisores que son el minuto que es l sesentev prte de un grdo el segundo que es l sesentev prte de un minuto. Recuerd l notción que se emple en este sistem: o = grdo segesiml; = minuto segesiml; = segundo segesiml. Como consecuenci de l definición: ángulo completo = 0 o ; o = 0 ; = 0... Sistem interncionl En el sistem interncionl, l unidd de medid de ángulos es el rdián. El rdián es un ángulo tl que culquier rco que se le socie mide ectmente lo mismo que el rdio utilizdo pr trzrlo. Se denot por rd. A un ángulo completo le corresponde un rco de longitud R, un rdián un rco de longitud R, entonces: R Nº de rdines de un ángulo completo = rd R Y l relción con el sistem segesiml l obtenemos prtir del ángulo completo: ángulo completo = 0 o = rd ángulo llno = 80 o = rd Por est relción se obtiene que rd 7, o 7 o 8.. Epres en rdines ls siguientes medids: o, 0 o, 0 o, o.. Epres en grdos segesimles:, rdines. 8. Dos ángulos de un triángulo miden respectivmente 0 o rdines. Clcul en rdines lo que mide el tercer ángulo.. Un ángulo de un triángulo isósceles mide rdines. Clcul en rdines l medid de los otros dos.. Dibuj un triángulo rectángulo isósceles epres en rdines l medid de cd uno de sus ángulos.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.. Rzones trigonométrics directs de un ángulo gudo Empecemos por considerr un ángulo gudo culquier, utilizremos un letr grieg lf pr denotrlo. Es siempre Δ ABC uno de estos triángulos posible construir un triángulo rectángulo de modo que se uno de sus ángulos. Se situemos en el vértice B, el ángulo. Se definen ls rzones trigonométrics directs del ángulo : seno, coseno tngente como: cteto opuesto b seno de sen sen B hipotenus A menudo se nombrn los ángulos de un triángulo con l cteto dcente c cos eno de cos cos B mism letr múscul que el hipotenus vértice correspondiente. tngente de tn tn B cteto opuesto cteto dcente Tmbién se utilizn ls epresiones tg tg como símbolos de l tngente de. Est definición no depende del triángulo elegido. Vmos demostrrlo. Pr ello consideremos otro triángulo rectángulo ABC con en el vértice B. Según el segundo criterio de semejnz de triángulos ABC A BC son semejntes porque tienen dos ángulos igules 90 o. Por lo tnto los ldos de mbos son proporcionles: b c Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 7: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

95 9 b b b el seno es independiente del triángulo en que se mide b b c c c c el coseno es independiente del triángulo en que se mide b c c b c b b l tngente es independiente del triángulo en que se mide b c c c Actividdes resuelts Clcul ls rzones trigonométrics de los ángulos gudos de un triángulo rectángulo ABC cuos ctetos miden b = 0 cm c = 0 cm. Clculmos en primer lugr el vlor de l hipotenus b c = = cm. sen B , ; cos B 0, 8 ; tg B 0, sen C 0, 8 ; cos C 0, ; tg C Relciones fundmentles Si conocemos un de ls rzones trigonométrics del ángulo, es posible clculr ls rzones trigonométrics restntes, grcis ls dos relciones trigonométrics fundmentles siguientes: PRIMERA RELACIÓN FUNDAMENTAL: sen cos que tmbién verás escrit como sen cos ddo que ls potencis de ls rzones trigonométrics suelen escribirse con su eponente sobre l ultim letr de su notción continución el nombre del ángulo. Demostrción L demostrción es sencill. Volvmos l triángulo inicil del párrfo nterior: Por el teorem de Pitágors b c. Dividmos mbos miembros entre : b c b b c sen c cos SEGUNDA RELACIÓN FUNDAMENTAL: sen cos sen tn cos Demostrción En el mismo triángulo nterior: sen b c b b : tn. cos c c Actividdes resuelts Sbiendo que es un ángulo gudo, clcul ls restntes rzones trigonométrics de en los csos siguientes: sen b sen cos b 0 tn. sen cos cos ; tn :. cos 0 sen cos sen cos sen cos tn sen cos cos cos cos cos 0cos 0 sen. 0 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

96 9.. Otrs rzones trigonométrics. Otrs relciones Otrs rzones trigonométrics de un ángulo son l cosecnte, l secnte l cotngente de sus notciones son: cosec, sec, cotn. cosec ; sec ; cotn. sen cos tn Con su definición, precen nuevs identiddes trigonométrics, entre ls que destcn: sen. cosec ; cos. sec ; tn. cotn. b sec tn c cosec cotn L primer de ells es evidente por definición. L segund l tercer tienen un demostrción mu precid por lo que encontrrás solo un de ls dos l otr como ctividd propuest Demostrción b: A prtir de sen cos, dividimos mbos miembros entre cos : sen cos cos cos cos tn sec.. Sbiendo que cos, clcul ls rzones trigonométrics secnte, cosecnte cotngente de. 7. Si cotn =, clcul ls cinco rzones trigonométrics del ángulo. 8. Demuestr que cosec cotn.. Rzones trigonométrics de 0 o, o 0 o RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0 o 0 o Considermos un triángulo equilátero de ldo L Trzmos l ltur correspondiente l ldo sobre el que se po. Con ello qued dividido en dos triángulos rectángulos igules cuos ángulos miden 90 o, 0 o 0 o. Además l hipotenus mide L uno de sus ctetos L/. Por el teorem de Pitágors podemos obtener el que nos flt: h L L L L L Clculmos ls rzones trigonométrics de 0 o 0 o en el triángulo ABH : h L L L L o sen 0 : L sen0 o : L L L L o L L cos0 : L L o L h L L tg 0 h : : L L L L o h L L cos 0 : L L L o L L L L tg 0 : h : L RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE o Ahor vmos trbjr con un triángulo rectángulo isósceles. Pongmos que los dos ctetos tienen un longitud L. Utilizmos de nuevo el teorem de Pitágors obtenemos el vlor de l hipotenus en función de L: L L L L Ahor podemos clculr ls rzones trigonométrics de o o L L o L L o sen : ; cos : ; tg L L L L Seno Coseno Tngente 0 o / / / o / / 0 o / / Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

97 97.. Resolución de triángulos rectángulos. Resolver un triángulo es clculr ls mplitudes de los tres ángulos ls longitudes de los tres ldos. En el cso de que el triángulo se rectángulo podemos considerr tres csos dependiendo de ls hipótesis o dtos iniciles. En cd uno de ellos eisten vris forms de obtener l solución. Vmos describir un en cd cso: Primer cso: Se conocen un ángulo B l hipotenus : Como A = 90 o C = 90 o B Ahor prtir de ls rzones trigonométrics de B o C, obtenemos los ldos que nos fltn. Tmbién cbe utilizr el teorem de Pitágors cundo conozcmos uno de los dos ctetos. b c senb b sen B ; cosb c cosb Segundo cso: Se conocen un ángulo B un cteto b: Como A = 90 o C = 90 o B Tmbién en este cso ls rzones trigonométrics de B o C sirven pr obtener l menos uno de los ldos puede utilizrse el teorem de Pitágors cundo hllemos el vlor de un ldo más. Un form de resolución es: b b b b tg B c ; sen B c tg B sen B Tercer cso: Se conocen dos ldos: En este cso utilizremos en primer lugr el teorem de Pitágors pr clculr el tercer ldo, tnto si el que flt es un cteto como si es l hipotenus. Siguiendo con el triángulo de l figur: b c Pr obtener el primero de los ángulos gudos, clculremos en primer lugr un de sus rzones trigonométrics, por ejemplo b sen B pr conocer el vlor del ángulo, despejmos escribiendo: b B rc sen, que signific ángulo cuo seno es B que se obtiene con l clculdor ctivndo el comndo sin - lo que conseguiremos con l secuenci c Análogmente, si prtimos de cos B o bien b. b tg B c el ángulo B es c B rc cos o b B rc tn c que obtendremos con ls secuencis c o bien b. c Actividdes resuelts Resolver el triángulo ABC con ángulo recto en A en los dos csos siguientes: o B l hipotenus = m. b Los ctetos miden dm dm. o o o Cálculo de los ángulos: A 90 ; B C 90 o 8 b Cálculo de los ldos: sen o o b sen 8,0 m; b Cálculo de l hipotenus: Cálculo de los ángulos: b c ; o c cos o o c cos = + = + = 9 9 dm o A 90 ; rc tn 8,9 m. B 7 o o 8 ; C 90 7 o 8 = o 7. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

98 98.. Aplicciones de l resolución de triángulos rectángulos l cálculo de distncis Resolución de triángulos rectángulos L resolución de triángulos rectángulos puede plicrse directmente en lgunos csos l cálculo de distncis. Actividdes resuelts Clculr l ltur de un árbol sbiendo que determin un sombr de, metros cundo los ros de sol formn un ángulo de 0 o con el suelo. L rzón trigonométric de 0 o que relcion el ldo conocido el que nos piden es l tngente: h tn 0 o h, tn0,., o,0 m. Técnic de l doble observción Se utiliz pr clculr lturs de objetos los que result difícil llegr como por ejemplo, edificios, montñs, objetos en el etremo opuesto de un clle, etc. Precismos de un instrumento pr medir ángulos. Hbitulmente se utiliz el llmdo teodolito. L técnic consiste en tomr l medid del ángulo que form un visul dirigid l punto más lto del objeto medir con l horizontl, desde dos puntos distintos situdos un distnci conocid pr nosotros. Aprecen entonces dos triángulos rectángulos con un ldo común que es l ltur medir. Es posible plnter un sistem de ecuciones en cuo plntemiento es clve l definición de ls rzones trigonométrics de un ángulo gudo. Vemos lgunos ejemplos: Actividdes resuelts Dos persons, seprds 0 metros ven un helicóptero. L person situd en A dirige un visul l bse del mismo que form con el suelo un ángulo de 0º. Tmbién l person situd en B dirige su vist l mismo punto obteniendo un ángulo de 0º. A qué ltur vuel el helicóptero? Se h est ltur. Ls visules el suelo determinn dos triángulos rectángulos AHC BHC en los que: AC + CB = 0 CB = 0 AC si hcemos AC = h tn 0 º h tn 0º h tn º h 0 tn0º , m. Sustituendo, llegmos l solución h. m En un vije de lumnos de º de E.S.O. Londres, lgunos de los vijeros hicieron práctics de trigonometrí. Y sbes, siempre h un teodolito mno. Al conocer que ls torres de l Abdí de Westminster tienen 0 metros de ltur, decidieron provechr sus conocimientos pr clculr l ltur de l conocid torre Big Ben. Desde un punto intermedio entre mbos edificios se divis el punto más lto de l Abdí con ángulo de 0º, el Big Ben con un ángulo de º. Si l distnci entre ls bses de ls torres de los dos edificios es de 0 metros, cuál fue el resultdo de sus cálculos?, qué distnci se encontrb de cd edificio? Not: Los dtos son totlmente ficticios En el triángulo izquierdo determindo por l Abdí: 0 tn 0º m tn 0 o En el triángulo que determin el Big Ben: h º 0 0 o tn h 0 0.tn h 00 m, 7 m 0 = 0. = 90 0 m 0 o o 0 h Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

99 99. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA.. Circunferenci trigonométric. Cudrntes Se llm circunferenci trigonométric o goniométric un circunferenci de rdio unidd centrd en el origen de coordends. Es posible representr culquier ángulo en l circunferenci trigonométric. Pr ello siempre se tom un ldo fijo que es l semirrect definid por l prte positiv del eje de bsciss; el segundo ldo es l semirrect vrible que correspond según su medid. El sentido de un ángulo se mide de OX + l semirrect vrible que determin su mplitud. Se entiende que pr un ángulo negtivo coincide con el de ls gujs de un reloj nlógico pr un ángulo positivo, el contrrio. L circunferenci trigonométric divide l plno en cutro regiones que se denominn cudrntes. PRIMER CUADRANTE SEGUNDO CUADRANTE TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE.. Rzones trigonométrics de un ángulo culquier L semirrect vrible que define un ángulo en l circunferenci trigonométric es clve pr l definición de un ángulo culquier. Dich semirrect cort l circunferenci en un punto P, prtir del que se define: sen ; cos ; R R tg. Se conserv l definición pr ángulos gudos que son ángulos del primer cudrnte se mplí ángulos de culquier signo mplitud. Además, est definición permite tener un representción geométric del seno el coseno de un ángulo que coincide con los segmentos,, ordend bscis del punto P. Ls rects tngentes l circunferenci goniométric en los puntos, 0 0, proporcionn tmbién representciones geométrics de l tngente cotngente que son los segmentos determindos por ests tngentes geométrics, el eje OX l semirrect correspondiente cd ángulo: P R= α Debes pensr que los ángulos de estos cudrntes no siempre son positivos ni tienen un vlor bsoluto menor que 0 o. Observ que, si su vlor bsoluto es mor que 0 o, equivle l número de vuelts que te indique el cociente entero de l división de entre 0 o más el resto de l división. El signo de un ángulo depende solo de l form de recorrerlo medido desde l prte positiv del eje OX hci l semirrect que lo define... Reducción l primer cudrnte Los ángulos de los cudrntes segundo, tercero o curto pueden relcionrse con ángulos gudos que podemos situr en el primer cudrnte que tienen rzones trigonométrics con los mismos vlores bsolutos que los ángulos iniciles. Ests relciones permiten obtener ls rzones trigonométrics de culquier ángulo en función de uno del primer cudrnte. En cd cso clculremos l mplitud de l zon sombred. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

100 00 En los csos en los que deseemos obtener qué ángulos corresponden un rzón trigonométric dd, result especilmente importnte que, unque hgmos uso de l clculdor, ést nos devolverá un único vlor, sin embrgo, eisten infinitos ángulos solución de este problem. Grcis lo que describiremos en este epígrfe, podremos encontrrlos sin dificultd. Pr hcer más cómod l eplicción considerremos que prtir de P se miden ls rzones trigonométrics del ángulo prtir de P ls del ángulo ANGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE Construimos los triángulos rectángulos OPA OP A igules de form que l hipotenus se en P P mbos csos el rdio de l circunferenci goniométric demás = ángulo AOP = ángulo A OP A O A sen AP A P sen ; cos AO A O cos sen sen Y dividiendo miembro miembro, obtenemos tn tn cos cos ANGULOS DEL TERCER CUADRANTE Tmbién en este cso los triángulos rectángulos OPA OP A son igules. Su hipotenus es el rdio de l circunferenci goniométric sus ctetos los segmentos determindos por ls coordends de los puntos P P. L construcción se reliz demás de modo que = ángulo AOP = ángulo A OP sen AP A P sen ; cos AO A O cos Y dividiendo miembro miembro, obtenemos tn sen sen tn cos cos ANGULOS DEL CUARTO CUADRANTE Por último construimos los triángulos rectángulos OPA OP A igules de modo nálogo lo descrito en los dos csos nteriores, observndo que, en este cso A = A. sen AP AP sen ; cos AO cos en mbos csos. Y dividiendo miembro miembro, obtenemos: tn sen sen tn cos cos 9. Sitú en el cudrnte que correspond epres en función de un ángulo gudo, el seno, coseno tngente de los siguientes ángulos: Ángulo cudrnte seno coseno tngente o 0 o o o 0. Utiliz l clculdor lo prendido en este epígrfe pr encontrr todos los ángulos positivos menores que 0 o cuo seno es de 0,.. Ídem todos los ángulos negtivos menores en vlor bsoluto que 0 o cu tngente vle.. Ídem todos los ángulos comprendidos entre 0 o 70 o cuo coseno vle 0,. ANGULOS DETERMINADOS POR LOS SEMIEJES. o o o Los ángulos 0 0 n ; o 90 0 n ; o 80 0 n ; 70 0 o n están determindos por semiejes de coordends sus rzones trigonométrics se miden prtir de puntos de los ejes. Estos puntos son, respectivmente P, 0, P 0,, 0 P 0, con lo que se obtiene con fcilidd: sen sen o o 0 0 n 0; cos 0 n o o 90 0 n ; cos o o sen 80 0 n 0; cos 0 n o o sen 70 0 n ; cos o o 0 ; tn 0 0 n 0 o o o o 90 0 n 0; tn 0 n o o o o 90 no eiste 80 ; tn 80 0 n 0 o o o o 70 0 n 0; tn 0 o o 70 no eiste. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

101 0. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Ls definiciones de seno, coseno tngente que hemos plicdo en triángulos rectángulos no se pueden plicr en triángulos no rectángulos. Pr resolver triángulos no rectángulos se plicn dos teorems mu importntes en trigonometrí: el teorem de los senos teorem de los cosenos... Teorem de los senos El teorem de los senos firm que en todo triángulo se cumple que los ldos son proporcionles los senos de los ángulos opuestos. Es decir, b c sen  senbˆ senĉ Consideremos el triángulo ABC trcemos dos lturs culesquier h h que dividen l triángulo no rectángulo en dos triángulos rectángulos. B B c c h h A b C A b C h h Aplicndo l definición de seno los triángulos en los que interviene h: sen  h = c sen  ; sen Ĉ h = c sen Ĉ c c Por tnto: c sen  = sen Ĉ sen  senĉ Aplicndo l definición de seno los triángulos en los que interviene h : h' h' senbˆ h' c senbˆ ; sen Ĉ h' b senĉ c b b c Por tnto: c senbˆ = b sen Ĉ senbˆ senĉ Entonces, se deduce que: sen  b senbˆ c senĉ Nots Si el triángulo es obtusángulo, un rzonmiento nálogo nos llev ls misms fórmuls. Podemos resolver fácilmente triángulos utilizndo el teorem de los senos si conocemos: dos ángulos es decir, tres ángulos un ldo b dos ldos el ángulo opuesto uno de ellos. Actividdes resuelts Resolver el siguiente triángulo B = 0º, = cm b = cm.: Conocemos dos ldos el ángulo opuesto uno de ellos, b. b / sen  0'. sen  senbˆ sen  sen0º Por tnto:  = rcsen 0, =,8 o. El ángulo Ĉ = 80 o 8 o + 0 o =, o. Pr clculr el ldo c volvemos plicr el teorem de los senos: sen, º Entonces: c 8, cm. sen0º b senbˆ c senĉ c sen0º sen' º Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

102 0.. Teorem de los cosenos El teorem de los cosenos firm que en un triángulo ABC culquier se cumple que: = b + c bccos  b = + c ccos Bˆ c = + b bcosĉ El próimo ño estudirás l demostrción de este teorem. De momento solo veremos lguns de sus plicciones. Nots Si te fijs, el teorem de los cosenos es un generlizción del teorem de Pitágors. Es decir, cundo el triángulo es rectángulo, el teorem de los cosenos el teorem de Pitágors es lo mismo. Podemos utilizr el teorem de los cosenos si en un triángulo conocemos: los tres ldos, b dos ldos el ángulo opuesto uno de ellos c dos ldos el ángulo que formn. Actividdes resuelts Resolver el siguiente triángulo del que conocemos B = 08º, c = 700 m = 00 m: b c ccosbˆ luego b cos08 =,97 m. Con, b c conocidos, clculmos el ángulo C: c b bcosĉ c b , cosĉ 0, 9 Ĉ =,8 o. b 0097 ' El ángulo Ĉ tmbién se podrí clculr utilizndo el teorem de los senos. Pr clculr  :  = 80 o 08 o +,8 o = 8 o.. Clcul l longitud del ldo de un triángulo, sbiendo que C = º, b = 7 cm c = cm.. Clcul los ángulos del triángulo de ldos: =, b = 8 c =... Resolución de triángulos culesquier Ls herrmients básics pr resolver triángulos culesquier son los teorems de los senos los cosenos vistos nteriormente. El próimo curso se mplirá brevemente l resolución de estos triángulos, estudindo csos en los que no eistirá solución o csos en los que h dos soluciones. Tmbién se plnterán problems de cálculo de distncis entre puntos inccesibles. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

103 0 Rdián Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Relciones fundmentles Otrs rzones trigonométrics Rzones trigonométrics de 0 o, o 0 o Reducción l primer cudrnte RESUMEN Es un ángulo tl que culquier rco que se le socie mide ectmente lo mismo que el rdio utilizdo pr trzrlo. Se denot por rd. Nº de rdines de un ángulo completo = rd sen cos tn cteto opuesto hipotenus cteto dcente hipotenus b cteto opuesto cteto dcente sen cos sen tn cos cosec sen 0 o o 0 o sec cos c b c cotn tn seno coseno tngente Ls rzones trigonométrics de culquier ángulo pueden epresrse en función de ls de un ángulo gudo º CUADRANTE: sen α sen β cos α cos β er CUADRANTE: sen α sen β cos α cos β º CUADRANTE: sen α sen β cos α cos β Ejemplos 90 o son / rd rdin = 7, o = 7 o 8 sen C, cos C o o sen0 cos0 cosec 90 o = sec 90 o No eiste cotn o = o sen sen o Teorem de los senos Teorem de los cosenos senâ b senbˆ senĉ = b + c bc cosa; b = + c c cosb; c = + b b cosc; c o sen 00 sen 0 o o o cos 0 cos 0 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

104 0 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Epres ls siguientes medids de ángulos en rdines: 0 o b 0 o c 00 o d 0 o. Cuánto mide en grdos segesimles un ángulo de rd? Aproim el resultdo con grdos, minutos segundos.. Hll l medid en grdos de los siguientes ángulos epresdos en rdines: ; b ; c ; d.. Usndo l clculdor hll el seno, el coseno l tngente de : 8 o b º. Encuentrs lgun relción entre ls rzones trigonométrics de mbos ángulos?. Hll el seno el coseno de los ángulos B C del dibujo. Qué relción encuentrs?. En un triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A, si tn B =, b = cm, cuánto mide c? 7. Trbjndo con ángulos gudos, es cierto que mor ángulo le corresponde mor seno? Y pr el coseno? 8. Usndo l clculdor hll el seno, el coseno l tngente de 9 o 8 o. Encuentrs lgun relción entre ls rzones trigonométrics de mbos ángulos? 9. Si es un ángulo gudo cos = 0,, cuánto vlen ls otrs dos rzones trigonométrics? 0. Comprobr ls relciones trigonométrics fundmentles con 0 o, o 0 o sin utilizr decimles ni clculdor.. Si es un ángulo gudo tn = 0,, cuánto vlen ls otrs dos rzones trigonométrics?. Complet en tu cuderno el siguiente cudro sbiendo que es un ángulo gudo. 0,7 /. Es rectángulo un triángulo cuos ldos miden, cm? En cso firmtivo determin el seno, coseno tngente de los dos ángulos gudos.. Los ctetos de un triángulo rectángulo miden cm. Clcul ls rzones trigonométrics de sus ángulos gudos. Qué mplitud tienen?. Si es un ángulo gudo tl que sen = /, clcul: i Ls restntes rzones trigonométrics de. ii Ls rzones trigonométrics de 80º ii Ls rzones trigonométrics de 80º +. iv Ls rzones trigonométrics de 0º. Sin utilizr clculdor, clcul el vlor de en los siguientes triángulos rectángulos: cm o 0 o 0 o cm 8 cm cm o 7. Betriz sujet un comet con un cuerd de m. A qué ltur se encuentr ést en el momento en que el cble tenso form un ángulo de º 7' con el suelo? 8. Clcul el seno, coseno tngente del ángulo A en el siguiente dibujo: 9. Si es un ángulo del segundo cudrnte cos = 0,0, cuánto vlen ls otrs dos rzones trigonométrics? 0. Si es un ángulo obtuso sen = 0,, cuánto vlen ls otrs dos rzones trigonométrics? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

105 0. Dibuj en tu cuderno l tbl siguiente sitú en el cudrnte que correspond epres en función de un ángulo gudo, el seno, coseno tngente de los siguientes ángulos: Ángulo cudrnte seno coseno tngente secnte cosecnte cotngente º 0º 0º º. Clcul l nchur del río representdo en l figur del mrgen:. Averigu l ltur de l torre de un iglesi si un distnci de 80 m, medido con un teodolito de ltur,0 m, el ángulo de elevción del prrros que está en lo lto de l torre es de o.. Hll el áre de un heágono regulr de ldo 0 cm.. Clcul l profundidd de un pozo de, m de diámetro sbiendo el ángulo indicdo en l figur del mrgen:. Cuál es l ltur de un montñ cu cim, si nos situmos un distnci de 000 m del pie de su verticl medimos con un teodolito de ltur,0 m, present un ángulo de inclinción de 9º. 7. Cuál es el ángulo de inclinción de los ros solres en el momento en que un bloque de pisos de m de ltur proect un sombr de 0 m de longitud? 8. Hll l ltur el áre de un triángulo isósceles cu bse mide 0 cm cuo ángulo desigul vle º. 9. Hll el áre de un dodecágono regulr de ldo cm. 0. Obtener l longitud de un escler pod en un pred de, m de ltur que form un ángulo de 0º con respecto l suelo. El hilo de un comet totlmente etendid mide 0 m, form un ángulo con el suelo de 0º mientrs lo sujeto, m del suelo. A qué ltur del suelo está l comet?. Pr medir l ltur de un cmpnrio cu bse no podemos cceder, tendemos un cuerd de 0 m de lrgo desde lo lto de l torre hst tensrl en el suelo, formndo con éste un ángulo de 0º. Cuál es l ltur del cmpnrio?. Obtener el ángulo que form un poste de 7, m de lto con un cble tirnte que v, desde l punt del primero hst el piso, que tiene un lrgo de,7 m.. Dos migos observn desde su cs un globo que está situdo en l verticl de l líne que une sus css. L distnci entre sus css es de km. Los ángulos de elevción medidos por los migos son de o 0 o. Hll l ltur del globo l distnci de ellos l globo.. Un biólogo se encuentr en el puerto de Somiedo hciendo un 0º seguimiento de los osos prdos. Cuent con l ud de un cámr un piloto que vueln en un helicóptero, mnteniéndose un ltur constnte de 0 m. En el momento que describe l figur, el cámr ve desde el helicóptero l oso con un ángulo de depresión ángulo que form su visul con l horizontl mrcdo en el dibujo 90º de 0º. El biólogo dirige un visul l helicóptero que form con el º d suelo un ángulo de º. Clculr l distnci d entre el biólogo el oso. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

106 0. Desde cierto lugr del suelo se ve el punto más lto de un torre, formndo l visul un ángulo de 0º con l horizontl. Si nos cercmos 0 m l torre, ese ángulo se hce de 0º. Clcul l ltur de l torre. 7. Con un teodolito de metro de ltur, dos persons pretenden medir l ltur del Coliseo de Rom. Un de ells se cerc l nfitetro, seprándose 0 m. de l otr. Est últim obtiene que el ángulo de elevción del punto más lto es de 0º. L otr no divis el Coliseo completo por lo que mide el ángulo de elevción l punto que mrc l bse del tercer piso, obteniendo 0º como resultdo. Clculr l ltur del Coliseo l distnci de los dos observdores l bse del mismo. 8. Resuelve el triángulo: = ; B = º; A = 7º. 9. Los pdres de Pedro tienen un prcel en el cmpo de form tringulr cuos ldos miden 0, 0 m. Pedro quiere clculr los ángulos. Cuáles son esos ángulos? 0. Estndo situdo 00 m de un árbol, veo su cop bjo un ángulo de 0º. Mi migo ve el mismo árbol bjo un ángulo de 0º. A qué distnci está mi migo del árbol?. Ls conocids torres Kio de Mdrid son dos torres gemels que están en el Pseo de l Cstelln, junto l Plz de Cstill. Se crcterizn por su inclinción representn un puert hci Europ.. Con los dtos que precen en l figur, determin su ltur. b. Desde dos oficins situds en torres distints se hn etendido dos cbles hst un mismo punto que miden 0 metros que formn un ángulo de 7º en su punto de encuentro. Qué distnci en líne rect h entre mbs?. Tres pueblos están unidos por crreters: AB = 0 km, BC = km el ángulo formdo por AB BC es de 0º. Cuánto distn A C.. Vn construir un túnel del punto A l punto B. Se tom como referenci un nten de telefoní C visible desde mbos puntos. Se mide entonces l distnci AC = 0 m. Sbiendo que el ángulo en A es de º el ángulo B es de º clcul cuál será l longitud del túnel.. Clculr el ldo de un pentágono regulr inscrito en un circunferenci de rdio m.. El punto más lto de un repetidor de televisión, situdo en l cim de un montñ, se ve desde un punto del suelo P bjo un ángulo de 7º. Si nos cercmos l montñ 0 m lo vemos bjo un ángulo de 70º desde ese mismo punto vemos l cim de l montñ bjo un ángulo de º. Clculr l ltur del repetidor.. Desde lo lto de un globo se observ un pueblo A con un ángulo de 0º. Otro pueblo, B situdo l ldo en líne rect se observ desde un ángulo de 0º. El globo se encuentr km del pueblo A km de B. Clcul l distnci entre A B. 7. Resuelve los triángulos: = 0 m; B = º; C = º; b c = m, A = 0º, B = º; c b = 0 m; c = 0 m, A = 0º. 8. Ddo el triángulo de vértices A, B, C, sbiendo que A = 0º, B = º que b = 0 m. Resolverlo clculr su áre. 9. Clcul l longitud de los ldos de un prlelogrmo cus digonles son de 0 m. ls digonles formn entre sí un ángulo de 7º. 0. Un triángulo isósceles con bse 0 m tiene dos ángulos igules de 80º. Cuánto miden los otros dos ldos?. Tres migos se sitún en un cmpo de fútbol. Entre Álvro Brtolo h m entre Brtolo Césr, metros. El ángulo formdo en l esquin de Césr es de 0º. Clcul l distnci entre Álvro Césr.. Un hombre que está situdo l oeste de un emisor de rdio observ que su ángulo de elevción es de o. Cmin 0 m hci el sur observ que el ángulo de elevción es hor de 0 o. Hll l ltur de l nten. m A m. º 7º. 0 m. B Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

107 07. Los brzos de un compás miden cm formn un ángulo de 0º. Cuál es el rdio de l circunferenci que puede trzrse con es bertur?. Escribe cutro ángulos con el mismo seno que o.. Encuentr dos ángulos que tengn l tngente opuest l de 0 o.. Busc dos ángulos con el mismo seno que o coseno opuesto. 7. Qué ángulos negtivos, comprendidos entre 0 o 0 o tienen el mismo seno que 0 o? 8. En Prís en l Île de l Cité se encuentrn Nôtre Dme l Sinte Chpelle un B distnci de 00 metros. Imginemos que un observdor situdo en A ve B C con A un ángulo de º que otro, situdo en B ve A C con un ángulo de 7º. Clculr ls distncis entre l Torre Eiffel C Nôtre Dme B, si como entre l Torre Eiffel C l Sinte Chpelle A. C AUTOEVALUACIÓN. L epresión en rdines de o es:, rd b, rd c,8 rd d,8 rd. El vlor de l hipotenus en un triángulo rectángulo con un ángulo de o con uno de los ctetos de cm es:, cm b 7, cm c, cm d, cm. Si es un ángulo gudo sen = 0,8, l tngente de es: 0, b 0, c, d,. Seleccion l opción correct: tg A = / signific que sen A = cos A =. b L secnte de un ángulo siempre está comprendid entre c En el segundo curto cudrntes l tngente cotngente de un ángulo tienen signo negtivo d El seno de un ángulo es siempre menor que su tngente.. Si el seno de un ángulo del segundo cudrnte es /, entonces su tngente secnte son respectivmente: b c d. L ltur de un edificio es de 0 m, l medid de su sombr cundo los ros del sol tienen un inclinción de 0 o con l horizontl es de m b 00 m c 0 m 00 d m 7. El ángulo de -0 o es un ángulo que se sitú en El primer cudrnte b El segundo cudrnte c El tercer cudrnte d El curto cudrnte 8. Si es un ángulo gudo es su suplementrio, se cumple: sen sen cos cos b sen sen cos cos c sen sen cos cos d sen sen cos cos 9. Pr clculr l ltur de un montñ se mide con un teodolito desde A el ángulo que form l visul l cim con l horizontl, que es A = 0 o. Avnzndo 00 m, se vuelve medir el ángulo result ser B =, o. L ltur de l montñ es de: 8 m b 77 m c 9 m d m 0. Si el rdio de un pentágono regulr es 8 cm, su áre mide 0,8 cm b 0,0 cm c 7,97 cm d,7 cm Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Trigonometrí Autors: Fernnd Rmos Rodríguez Milgros Lts Asso Revisor: Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Milgros Lts Fernnd Rmos

108 08 CAPÍTULO 9: GEOMETRÍA. TEOREMA DE PITÁGORAS Y TEOREMA DE TALES.. Teorem de Pitágors Teorem de Pitágors en el plno Y sbes que: En un triángulo rectángulo llmmos ctetos los ldos incidentes con el ángulo recto e hipotenus l otro ldo. En un triángulo rectángulo, l hipotenus l cudrdo es igul l sum de los cudrdos de los ctetos. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9: Geometrí h Demostrción c c Si los ctetos de un triángulo rectángulo miden cm 8 cm, su hipotenus vle 0 cm, que: h cm. Actividdes resuelts Si l hipotenus de un triángulo rectángulo mide dm uno de sus ctetos mide dm, hll l medid del otro cteto: Solución: Por el teorem de Pitágors: c dm. Es posible encontrr un triángulo rectángulo cuos ctetos midn cm su hipotenus 0 cm? Si tu respuest es negtiv, hll l medid de l hipotenus de un triángulo rectángulo cuos ctetos miden cm.. Clcul l longitud de l hipotenus de los siguientes triángulos rectángulos de ctetos: cm cm b m 7 m c dm dm d, km 7, km. Utiliz l clculdor si te result necesri.. Clcul l longitud del cteto que flt en los siguientes triángulos rectángulos de hipotenus cteto: 8 cm cm b m 9 m c dm 0 dm d, km,9 km. Clcul el áre de un triángulo equilátero de ldo m.. Clcul el áre de un heágono regulr de ldo 7 cm. Teorem de Pitágors en el espcio Y sbes que: L digonl de un ortoedro l cudrdo coincide con l sum de los cudrdos de sus rists. Demostrción: Sen, b c ls rists del ortoedro que suponemos podo en el rectángulo de dimensiones, b. Si es l digonl de este rectángulo, verific que: b El triángulo de ldos D,, es rectángulo luego: D c Y teniendo en cuent l relción que verific : D b c Actividdes resuelts Clcul l longitud de l digonl de un ortoedro de rists 7, 9 cm. D b c = = 7. D, cm. Ls rists de l bse de un cj con form de ortoedro miden 7 cm 9 cm su ltur cm. Estudi si puedes gurdr en ell tres brrs de longitudes cm, cm 8 cm. El rectángulo de l bse tiene un digonl d que mide: d 7 9 0, cm. Luego l brr más cort cbe pod en l bse. L digonl del ortoedro vimos en l ctividd nterior que mide,, luego l segund brr si cbe, inclind, pero l tercer, no.. Un cj tiene form cúbic de cm de rist. Cuánto mide su digonl? 7. Clcul l medid de l digonl de un sl que tiene 8 metros de lrgo, metros de ncho metros de ltur. Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

109 09.. Teorem de Tles Y sbes que: Dds dos rects, r r, que se cortn en el punto O, dos rects prlels entre sí, b. L rect cort ls rects r r en los puntos A C, l rect b cort ls rects r r en los puntos B D. Entonces el Teorem de Tles firm que los segmentos son proporcionles: OA OC AC OB OD BD Se dice que los triángulos OAC OBD están en posición Tles. Son semejntes. Tienen un ángulo común coincidente los ldos proporcionles. Actividdes resuelts Sen OAC OBD dos triángulos en posición Tles. El perímetro de OBD es 0 cm, OA mide cm, AC mide cm OC mide cm. Clcul ls longitudes de los ldos de OBD. OA OC AC OA OC AC 0 Utilizmos l epresión: sustituendo los dtos:, por lo OB OD BD OB OD BD OB OD BD 0 0 que despejndo, sbemos que: OB = = cm; OD = = cm, BD = = 0 cm. En efecto: = 0 cm, perímetro del triángulo. Cuent l leend que Tles midió l ltur de l pirámide de Keops comprndo l sombr de l pirámide con l sombr de su bstón. Tenemos un bstón que mide m, si l sombr de un árbol mide m, l del bstón, l mism hor del dí en el mismo momento, mide 0,8 m, cuánto mide el árbol? Ls lturs del árbol del bstón son proporcionles sus sombrs, formn triángulos en posición Tles, por lo que, si llmmos l ltur del árbol podemos decir: =, m. Mide metro medio! Es mucho mor que un lápiz! Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí 0, 8. Por tnto = /0,8 = metros. 8. En un foto h un niño, que sbemos que mide, m, un edificio. Medimos l ltur del niño del edificio en l foto, resultn ser: 0, cm 0 cm. Qué ltur tiene el edificio? 9. Se dibuj un heágono regulr. Se trzn sus digonles se obtiene otro heágono regulr. Indic l rzón de semejnz entre los ldos de mbos heágonos. 0. En un triángulo regulr ABC de ldo, cm, trzmos los puntos medios, M N, de dos de sus ldos. Trzmos ls rects BN CM que se cortn en un punto O. Son semejntes los triángulos MON COB? Cuál es l rzón de semejnz? Cuánto mide el ldo MN?. Un pirámide regulr hegonl de ldo de l bse cm ltur 0 cm, se cort por un plno un distnci de cm del vértice, con lo que se obtiene un nuev pirámide. Cuánto miden sus dimensiones?.. Proporcionlidd en longitudes, áres volúmenes Y sbes que: Dos figurs son semejntes si ls longitudes de elementos correspondientes son proporcionles. Al coeficiente de proporcionlidd se le llm rzón de semejnz. En mps, plnos l rzón de semejnz se l llm escl. Áres de figurs semejntes Si l rzón de semejnz entre ls longitudes de un figur es k, entonces l rzón entre sus áres es k. Observ l figur del mrgen. Si multiplicmos por el ldo del cudrdo pequeño, el áre del cudrdo grnde es = veces l del pequeño. Volúmenes de figurs semejntes Si l rzón de semejnz entre ls longitudes de un figur es k, entonces entre sus volúmenes es: k. Observ l figur del mrgen. Al multiplicr por el ldo del cubo pequeño se obtiene el cubo grnde. El volumen del cubo grnde es 8 el del cubo pequeño. Actividdes resuelts L torre Eiffel de Prís mide 00 metros de ltur pes unos 8 millones de kilos. Está construid de hierro. Si encrgmos un modelo escl de dich torre, tmbién de hierro, que pese sólo un kilo, qué ltur tendrá? Será mor o menor que un lápiz? El peso está relciondo con el volumen. L torre Eiffel pes kilos, queremos construir un, ectmente del mismo mteril que pese kilo. Por tnto k = / = , k = 00. L rzón de proporcionlidd entre ls longitudes es de 00. Si l Torre Eiffel mide 00 m, llmmos lo que mide l nuestr tenemos: 00/ = 00. Despejmos que result igul Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

110 0. El diámetro de un melocotón es tres veces mor que el de su hueso, mide 8 cm. Clcul el volumen del melocotón, suponiendo que es esférico, el de su hueso, tmbién esférico. Cuál es l rzón de proporcionlidd entre el volumen del melocotón el del hueso?. En l pizzerí tienen pizzs de vrios precios:,. Los diámetros de ests pizzs son: cm, 0 cm 0 cm, cuál result más económic? Clcul l relción entre ls áres compárl con l relción entre los precios.. Un mquet de un depósito cilíndrico de 000 litros de cpcidd metros de ltur, queremos que teng un cpcidd de litro. Qué ltur debe tener l mquet?. LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES.. Longitudes, áres volúmenes en prisms cilindros Recuerd que: Prisms Un prism es un poliedro determindo por dos crs prlels que son polígonos igules tnts crs lterles, que son prlelogrmos, como ldos tienen ls bses. Áres lterl totl de un prism. El áre lterl de un prism es l sum de ls áres de ls crs lterles. Como ls crs lterles son prlelogrmos de l mism ltur, que es l ltur del prism, podemos escribir: Áre lterl = Sum de ls áres de ls crs lterles = = Perímetro de l bse ltur del prism. Si denotmos por h l ltur por P B el perímetro de l bse: Áre lterl = A L = P B h El áre totl de un prism es el áre lterl más el doble de l sum del áre de l bse: Áre totl = A T = A L + A B Actividdes resuelts Clcul ls áres lterl totl de un prism tringulr recto de cm de ltur si su bse es un triángulo rectángulo de ctetos cm cm. Clculmos en primer lugr l hipotenus del triángulo de l bse: 9 9 cm P B = + + = 0 cm; A B = 0 cm A L = P B h = 0 = 0 cm A T = A L + A B = = 90 cm Volumen de un cuerpo geométrico. Principio de Cvlieri. Recuerd que: Bonventur Cvlieri, mtemático del siglo XVII enunció el principio que llev su nombre que firm: Si dos cuerpos tiene l mism ltur l cortrlos por plnos prlelos sus bses, se obtienen secciones con el mismo áre, entonces los volúmenes de los dos cuerpos son igules En l figur djunt ls áres de ls secciones A, A, A, producids por un plno prlelo ls bses, son igules, entonces, según este principio los volúmenes de los tres cuerpos son tmbién igules. Volumen de un prism de un cilindro El volumen de un prism recto es el producto del áre de l bse por l ltur. Además, según el principio de Cvlieri, el volumen de un prism oblicuo coincide con el volumen de un prism recto con l mism bse ltur. Si denotmos por V este volumen, A B el áre de l bse h l ltur: Volumen prism = V = A B h Tmbién el volumen de un cilindro, recto u oblicuo es áre de l bse por ltur. Si llmmos R l rdio de l bse, A B el áre de l bse h l ltur, el volumen se escribe: Volumen cilindro = V = A B h R h Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

111 Actividdes resuelts Ls conocids torres Kio de Mdrid son dos torres gemels que están en el Pseo de l Cstelln, junto l Plz de Cstill. Se crcterizn por su inclinción representn un puert hci Europ. Cd un de ells es un prism oblicuo cu bse es un cudrdo de metros de ldo tienen un ltur de metros. El volumen interior de cd torre puede clculrse con l fórmul nterior: V = A B h = = 7 7 m. Clcul el volumen de un prism recto de 0 dm de ltur cu bse es un heágono de dm de ldo.. Clcul l cntidd de gu que h en un recipiente con form de cilindro sbiendo que su bse tiene 0 cm de diámetro que el gu lcnz dm de ltur. Áres lterl totl de un cilindro. El cilindro es un cuerpo geométrico desrrollble. Si recortmos un cilindro recto lo lrgo de un genertriz, lo etendemos en un plno, obtenemos dos círculos un región rectngulr. De est mner se obtiene su desrrollo. A prtir de éste, podemos ver que el áre lterl de cilindro está determind por el áre del rectángulo que tiene como dimensiones l longitud de l circunferenci de l bse l ltur del cilindro. Supondremos que l ltur del cilindro es H que R es el rdio de l bse con lo que el áre lterl A L es: A L = Longitud de l bse Altur = RH = RH Si l epresión nterior le summos el áre de los dos círculos que constituen ls bses, obtenemos el áre totl del cilindro. A T = A L + R² + R² = RH + R².. Longitudes, áres volúmenes en pirámides conos Recuerd que: Áres lterl totl de un pirámide de un tronco de pirámide regulres. Desrrollo de pirámide pentgonl regulr Un pirámide es un poliedro determindo por un cr poligonl denomind bse tnts crs tringulres con un vértice común como ldos tiene l bse. El áre lterl de un pirámide regulr es l sum de ls áres de ls crs lterles. Son triángulos isósceles igules por lo que, si l rist de l bse mide b, el potem de l pirámide es Ap l bse tiene n ldos, este áre lterl es: b Ap n b Ap Áre lterl = A L = n como n b = Perímetro de l bse Perímetro de l bse. Apotem de l pirámide Perímetro de l bse A L El áre lterl de un pirámide es igul l semi-perímetro por el potem. El áre totl de un pirámide es el áre lterl más el áre de l bse: Áre totl = A T = A L + A B Un tronco de pirámide regulr es un cuerpo geométrico desrrollble. En su desrrollo precen tnts crs lterles como ldos tienen ls bses. Tods ells son trpecios isósceles. Si B es el ldo del polígono de l bse mor, b el ldo de l bse menor, n el número de ldos de ls bses Ap es l ltur de un cr lterl B b. Ap P P b. Ap Áre lterl = A L = n. = Sum de perímetro de ls bses. Apotem del tronco El áre totl de un tronco de pirámide regulr es el áre lterl más l sum de áres de ls bses: Áre totl = A T = A L + A B + A b B Apotem Desrrollo de tronco de pirámide cudrngulr Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

112 Actividdes resuelts Clculemos el áre totl de un tronco de pirámide regulr de m de ltur si sbemos que ls bses prlels son cudrdos de m de m de ldo. En primer lugr clculmos el vlor del potem. Teniendo en cuent que el tronco es regulr que ls bses son cudrds se form un triángulo rectángulo en el que se cumple: Ap = + = 7 Ap = 7, m A L = P P B b Ap = 8, 9, m Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí A T = A L + A B + A b = 9, + + = 9, m 7. Clcul ls áres lterl totl de un prism hegonl regulr sbiendo que ls rists de ls bses miden cm cd rist lterl dm. 8. El áre lterl de un prism regulr de bse cudrd es m tiene 0 m de ltur. Clcul el perímetro de l bse. 9. El ldo de l bse de un pirámide tringulr regulr es de 7 cm l ltur de l pirámide cm. Clcul el potem de l pirámide su áre totl. 0. Clcul el áre lterl de un tronco de pirámide regulr, sbiendo que sus bses son dos octógonos regulres de ldos 8 dm que l ltur de cd cr lterl es de 9 dm.. Si el áre lterl de un pirámide cudrngulr regulr es 0 cm l rist de l bse mide cm, clcul el potem de l pirámide su ltur. Áres lterl totl de un cono. Recuerd que: Tmbién el cono es un cuerpo geométrico desrrollble. Al recortr siguiendo un líne genertriz l circunferenci de l bse, obtenemos un círculo un sector circulr con rdio igul l genertriz longitud de rco igul l longitud de l circunferenci de l bse. Llmemos hor R l rdio de l bse G l genertriz. El áre lterl del cono es el áre de sector circulr obtenido. Pr clculrl pensemos que est áre debe ser directmente proporcionl l longitud de rco que su vez debe coincidir con l longitud de l circunferenci de l bse. Podemos escribir entonces: A Lterl del cono Longitud de rco correspondiente l sector A totl del círculo de rdio G Longitud de l circunferenci de rdio G Es decir: A L G R G despejndo A L tenemos: A L RG R G G Si l epresión nterior le summos el áre del círculo de l bse, obtenemos el áre totl del cono. A T = A L + R² = R G + R² Actividdes resuelts Clcul el áre totl de un cono de dm de ltur, sbiendo que l circunferenci de l bse mide 8,8 dm.tom, como vlor de 8,8 8,8 Clculmos en primer lugr el rdio R de l bse: R 8,8 R dm.,8 Clculmos hor l genertriz G: G R h G, 7 dm. Entonces A T = A L + R² = R G + R² =,,7 +,,79 dm. Áres lterl totl de un tronco de cono. Recuerd que: Al cortr un cono por un plno prlelo l bse, se obtiene un tronco de cono. Al igul que el tronco de pirámide, es un cuerpo desrrollble su desrrollo lo constituen los dos círculos de ls bses junto con un trpecio circulr, cus bses curvs miden lo mismo que ls circunferencis de ls bses. Llmndo R r los rdios de ls bses G l genertriz result: R r G R r G A L R r G Si l epresión nterior le summos ls áres de los círculos de ls bses, obtenemos el áre totl del tronco de cono: A T = A L + R² + r² Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

113 Volumen de un pirámide de un cono. Recuerd que: Tmbién en los csos de un pirámide o cono, ls fórmuls del volumen coinciden en cuerpos rectos oblicuos. El volumen de un pirámide es l tercer prte del volumen de un prism que tiene l mism bse ltur. A h Volumen pirámide = V = B Si comprmos cono cilindro con l mism bse ltur, concluimos un resultdo nálogo R AB h h Volumen cono = V = Volumen de un tronco de pirámide de un tronco de cono. Eiste un fórmul pr clculr el volumen de un tronco de pirámide regulr pero l evitremos. Result más sencillo obtener el volumen de un tronco de pirámide regulr restndo los volúmenes de ls dos pirámides prtir de ls que se obtiene. Si representmos por A B A B ls áres de ls bses por h h ls lturs de ls pirámides citds, el volumen del tronco de pirámide es: A Volumen tronco de pirámide = V = B h AB h El volumen del tronco de cono se obtiene de modo precido. Si R R son los rdios de ls bses de los conos que originn el tronco h h sus lturs, el volumen del tronco de cono result: R h R h Volumen tronco de cono = V = Actividdes resuelts Clcul el volumen de un tronco de pirámide regulr de 0 cm de ltur si sus bses son dos heágonos regulres de ldos 8 cm cm. Primer pso: clculmos ls potems de los heágonos de ls bses: Pr cd uno de estos heágonos: L = p + L/ p L L L = L p L L/ p 7 Luego ls potems buscds miden: p, cm; p, cm Como segundo pso, clculmos el potem del tronco de pirámide: A = 0 +, Figur A =, 0, cm En tercer lugr, clculmos el vlor de los segmentos, A de l figur que nos servirán pr obtener ls lturs potems de ls pirámides que genern el tronco con el 0 cm que trbjmos: 0, Por el teorem de Tles:,,,-,=, cm. 7,, 0,,,, 7, 7, 9 cm Figur, Entonces el potem de l pirámide grnde es 0, + 7,9=8, cm el de l pequeñ 7,9 cm. Y plicndo el teorem de Pitágors:, 7,9,,, 7, cm Luego ls lturs de ls pirámides generdors del tronco miden 0 + 7, = 7, cm 7, cm. Por último clculmos el volumen del tronco de pirámide: A V = B h AB h 8 8, 7, 8 7, 9 7, , cm Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

114 . Un column cilíndric tiene cm de diámetro m de ltur. Cuál es su áre lterl?. El rdio de l bse de un cilindro es de 7 cm l ltur es el triple del diámetro. Clcul su áre totl.. Clcul el áre lterl de un cono recto sbiendo que su genertriz mide dm su rdio de l bse dm.. L circunferenci de l bse de un cono mide, m su genertriz m. Clcul el áre totl... Longitudes, áres volúmenes en l esfer Recuerd que: Áre de un esfer. L esfer no es un cuerpo geométrico desrrollble, por lo que es más complicdo que en los csos nteriores encontrr un fórmul pr clculr su áre. Arquímedes demostró que el áre de un esfer es igul que el áre lterl de un cilindro circunscrito l esfer, es decir un cilindro con el mismo rdio de l bse que el rdio de l esfer cu ltur es el diámetro de l esfer. Si llmmos R l rdio de l esfer: A T = RR R El áre de un esfer equivle l áre de cutro círculos máimos.. Un esfer tiene m de rdio. Clcul: L longitud de l circunferenci máim; b El áre de l esfer. Volumen de l esfer Volvmos pensr en un esfer de rdio R en el cilindro que l circunscribe. Pr rellenr con gu el espcio que qued entre el cilindro l esfer, se necesit un cntidd de gu igul un tercio del volumen totl del cilindro circunscrito. Se deduce entonces que l sum de los volúmenes de l esfer de rdio R del cono de ltur R rdio de l bse R, coincide con el volumen del cilindro circunscrito l esfer de rdio R. Por tnto: Volumen esfer = Volumen cilindro - Volumen cono R R R R R Volumen esfer = R R R Eisten demostrciones más riguross que vln este resultdo eperimentl que hemos descrito. Así por ejemplo, el volumen de l esfer se puede obtener como sum de los volúmenes de pirámides que l recubren, tods ells de bse tringulr sobre l superficie de l esfer con vértice en el centro de l mism. 7. CDI Mdrid 008 El depósito de gsoil de l cs de Irene es un cilindro de m de ltur m de diámetro. Irene h llmdo l suministrdor de gsoil porque en el depósito solmente quedn 0 litros.. Cuál es, en dm, el volumen del depósito? Utiliz, como vlor de π. b. Si el precio del gsoil es de 0,80 cd litro, cuánto deberá pgr l mdre de Irene por llenr el depósito? 8. Comprueb que el volumen de l esfer de rdio dm sumdo con el volumen de un cono del mismo rdio de l bse 8 dm de ltur, coincide con el volumen de un cilindro que tiene 8 dm de ltur dm de rdio de l bse... Longitudes, áres volúmenes de poliedros regulres Recuerd que: Un poliedro regulr es un poliedro en el que tods sus crs son polígonos regulres igules en el que sus ángulos poliedros son igules. H cinco poliedros regulres: tetredro, octedro, icosedro, cubo dodecedro Áre totl de un poliedro regulr. Como ls crs de los poliedros regulres son igules, el cálculo del áre totl de un poliedro regulr se reduce clculr el áre de un cr después multiplicrl por el número de crs. Actividdes resuelts Clcul el áre totl de un icosedro de cm de rist. Tods sus crs son triángulos equiláteros de cm de bse. Clculmos l ltur h que divide l bse en dos segmentos igules h h h cm cm Luego el áre de un cr es: A triángulo = b. h. cm por tnto Áre icosedro = 0 cm h Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

115 . INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA.. Puntos vectores En el plno Y sbes que Un conjunto formdo por el origen O, los dos ejes de coordends l unidd de medid es un sistem de referenci crtesino. Ls coordends de un punto A son un pr ordendo de números reles,, siendo l primer coordend o bscis e l segund coordend u ordend. Ddos dos puntos, Dd, d Ee, e, ls componentes del vector de origen D etremo E, DE, vienen dds por DE = e d, e d. Ls coordends de los puntos, de l figur son: O0, 0, A,, B,, D, E, Ls componentes del vector DE son DE =, =, Ls componentes del vector OA son: OA = 0, 0 =,. DE OA son representntes del mismo vector libre de componentes,. En el espcio de dimensión tres Ls coordends de un punto A son un tern ordend de números reles,, z, siendo z l ltur sobre el plno OXY. Ddos dos puntos, Dd, d, d Ee, e, e, ls componentes del vector de origen D etremo E, DE, vienen dds por DE = e d, e d, e d. Ls coordends de puntos en el espcio son: O0, 0, 0, A,,, B,, 7, D,, E,, Ls componentes del vector DE son: DE =,, =,, Ls componentes del vector OA son: OA = 0, 0, 0 =,,. DE OA son representntes del mismo vector libre de componentes,, 9. Represent en un sistem de referenci en el espcio de dimensión tres los puntos: O0, 0, 0, A,,, B,, 7, D,, E,, vectores: DE OA. 0. El vector de componentes u =, origen A =,, qué etremo tiene?.. Distnci entre dos puntos En el plno L distnci entre dos puntos A, Bb, b es: D b b Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Por el Teorem de Pitágors sbemos que l distnci l cudrdo entre los puntos A =, B =, es igul : D = + = + = 0 que el triángulo ABC es rectángulo de ctetos. Luego D,7. En el espcio de dimensión tres L distnci entre dos puntos A,, Bb, b, b es igul : D b b b L distnci l cudrdo entre los puntos A =,, B =,, 8 es igul, por el Teorem de Pitágors en el espcio, D = = + + = + + =. Luego D 7,.. Clcul l distnci entre los puntos A, B, 9.. Clcul l distnci entre los puntos A,, B, 9, 7.. Clcul l longitud del vector de componentes u =,. Clcul l longitud del vector de componentes u =,,.. Dibuj un cudrdo de digonl el punto O0, 0 A,. Qué coordends tienen los otros vértices del cudrdo? Clcul l longitud del ldo de l digonl de dicho cudrdo. Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

116 . Dibuj un cubo de digonl O0, 0, 0 A,,. Qué coordends tienen los otros vértices del cubo? Y sbes, son 8 vértices. Clcul l longitud de l rist, de l digonl de un cr de l digonl del cubo. 7. Se X, un punto genérico del plno, O0, 0 el origen de coordends, escribe l epresión de todos los puntos X que distn de O un distnci D. 8. Se X,, z un punto genérico del espcio, O0, 0, 0 el origen de coordends, escribe l epresión de todos los puntos X que distn de O un distnci D... Ecuciones rects plnos Ecuciones de l rect en el plno. Y sbes que l ecución de un rect en el plno es: = m + n. Es l epresión de un rect como función. Est ecución se denomin ecución eplícit de l rect. Si psmos todo l primer miembro de l ecución, nos qued un ecución: + b + c = 0, que se denomin ecución implícit de l rect. Ecución vectoril: Tmbién un rect qued determind si conocemos un punto: A, un vector de dirección v = v, v. Observ que el vector OX puede escribirse como sum del vector OA de un vector de l mism dirección que v, tv. Es decir: OX = OA + tv, donde t se le denomin prámetro. Pr cd vlor de t, se tiene un punto distinto de l rect. Con tv coordends quedrí: tv que es l ecución prmétric de l rect. Actividdes resuelts De l rect de ecución eplícit = +, conocemos l pendiente,, l ordend en el origen,. L pendiente nos d un vector de dirección de l rect, en generl, m, en este ejemplo:,. L ordend en el origen nos proporcion un punto, en generl, el 0, n, en este ejemplo, 0 t 0,. L ecución prmétric de est rect es:. Su ecución implícit es: t + = 0. Escribe l ecución prmétric de l rect que ps por el punto A, tiene como t vector de dirección v =,. t Escribe l ecución de l rect que ps por los puntos A, B,. Podemos tomr como vector de dirección el vector AB =, =,, escribir su ecución t prmétric:. t L rect es, en los tres ejemplos, l mism, l de l figur. Con ello podemos observr que un rect puede tener muchs ecuciones prmétrics dependiendo del punto del vector de dirección que se tome. Pero eliminndo el prámetro despejndo llegmos un únic ecución eplícit. 9. Escribe l ecución de l rect que ps por los puntos A, B, 9, de form eplícit, implícit prmétric. Represéntl gráficmente. Ecuciones de l rect el plno en el espcio. L ecución implícit de un plno es: + b + cz + d = 0. Observ que es precid l ecución implícit de l rect pero con un componente más. L ecución vectoril de un rect en el espcio es: OX = OA + tv, prentemente igul l ecución vectoril de un rect en el plno, pero l escribir ls coordends, hor puntos vectores tiene tres componentes: tv tv z tv b cz d 0 Un rect tmbién puede venir dd como intersección de dos plnos: ' b' c' z d' 0 Dos puntos determinn un rect tres puntos determinn un plno. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

117 7 Actividdes resuelts Escribe l ecución de l rect en el espcio que ps por los puntos A,, B, 7,. Tommos como vector de dirección de l rect el vector AB =, 7, =,, como punto, por ejemplo el A, t entonces: t z t Podemos encontrr ls ecuciones de dos plnos que se corten en dich rect, eliminndo t en dos ecuciones. Por ejemplo, sumndo l primer con l tercer se tiene: + z =. Multiplicndo l primer ecución por, l segund por restndo, se z tiene: =. Luego otr ecución de l rect, como intersección de dos plnos es: Escribe l ecución del plno que ps por los puntos A B de l ctividd nterior, C,,. Imponemos l ecución + b + cz + d = 0 que pse por los puntos ddos: + b + c + d = 0 + 7b + c + d = 0 + b + c + d = 0. Restmos l segund ecución l primer, l tercer, tmbién l primer: + b + c + d = 0 + b c = 0 + b c = 0 Multiplicmos por l tercer ecución le restmos l segund: + b + c + d = 0 + b c = 0 b = 0 Y conocemos un coeficiente, b = 0. Lo sustituimos en ls ecuciones: + c + d = 0 c = 0 Vemos que = c, que sustituido en l primer: c + d = 0. Siempre, l tener ecuciones coeficientes, tendremos un situción como l ctul, en que lo podemos resolver slvo un fctor de proporcionlidd. Si c =, entonces d =. Luego =, b = 0, c = d =. Es el plno de ecución: + z = plno que hbímos obtenido en l ctividd nterior. 0. Escribe l ecución de l rect que ps por los puntos A,, B, 9, 7, de form eplícit, como intersección de dos plnos.. Escribe ls ecuciones de los tres plnos coordendos.. Escribe ls ecuciones de los tres ejes coordendos en el espcio.. En el cubo de digonl O0, 0, 0 A,, escribe ls ecuciones de los plnos que formn sus crs. Escribe ls ecuciones de tods sus rists, ls coordends de sus vértices... Alguns ecuciones Actividdes resuelts Qué puntos verificn l ecución + =? Depende! Depende de si estmos en un plno o en el espcio. En el plno, podemos ver l ecución como que el cudrdo de l distnci de un punto genérico X, l origen O0, 0 es siempre igul : D = = + = El lugr de todos los puntos del plno que distn del origen es l circunferenci de centro O0, 0 rdio. En el espcio el punto genérico X,, z tiene tres coordends, O0, 0, 0, tmbién. No es un circunferenci, ni un esfer. Y qué es? Lo que está clro es que si cortmos por el plno OXY, z = 0 tenemos l circunferenci nterior. Y si cortmos por el plno z =? Tmbién un circunferenci. Es un cilindro. El cilindro de eje, el eje verticl, de rdio de l bse. Qué puntos verificn l ecución + + z =? Ahor sí. Sí podemos plicr l distnci de un punto genérico X,, z l origen O0, 0, 0, D = z 0 = + + z = Es l ecución de l superficie esféric de centro el origen rdio. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

118 8. Escribe l ecución del cilindro de eje el eje OZ rdio.. Escribe l ecución de l esfer de centro el origen de coordends rdio. t. Escribe l ecución del cilindro de eje, l rect rdio. z 7. Escribe l ecución de l circunferenci en el plno de centro A, rdio. 8. Al cortr un cierto cilindro por un plno horizontl se tiene l circunferenci del ejercicio nterior. Escribe l ecución del cilindro Teorem de Pitágors en el espcio Teorem de Tles: Poliedros regulres Prisms D = + b + c RESUMEN Dds dos rects, r r, que se cortn en el punto O, dos rects prlels entre sí, b. Si l rect cort ls rects r r en los puntos A C, l rect b cort ls rects r r en los puntos B D, entonces los segmentos correspondientes son proporcionles Un poliedro regulr es un poliedro en el que tods sus crs son polígonos regulres igules en el que sus ángulos poliedros son igules. H cinco poliedros regulres: tetredro, octedro, icosedro, cubo dodecedro A Perímetro Altur ; Lterl Bse. A Áre Áre ; totl Lterl Volumen Áre bse. Altur Bse Ejemplos =, b =, c =, entonces D = = 9 D = 9 =,. Pirámides A A Lterl totl Perímetro Áre Bse Lterl. Apotem Áre pirámide Bse Volumen Áre bse. Altur Cilindro A Lterl R H ; R H R Volumen Áre bse A totl. Altur Cono Esfer Ecuciones de l rect en el plno A Lterl R G ; R G R A totl Volumen A totl Áre bse. Altur R ; Volumen R Ecución eplícit: = m + n.; Ecución implícit: + b + c = 0; tv Ecución prmétric: tv Ecuciones de l rect el plno en el espcio. Ecución implícit de un plno: + b + cz + d = 0 tv Ecución prmétric de un rect: tv z tv Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

119 9 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Teorem de Pitágors teorem de Tles. Clcul el volumen de un tetredro regulr de ldo 7 cm.. Clcul l longitud de l digonl de un cudrdo de ldo m.. Clcul l longitud de l digonl de un rectángulo de bse cm ltur cm.. Dibuj un prlelepípedo cus rists midn cm, cm cm que no se un ortoedro. Dibuj tmbién su desrrollo.. Si el prlelepípedo nterior fuer un ortoedro, cuánto medirí su digonl?. Un vso de cm de ltur tiene form de tronco de cono en el que los rdios de ls bses son de cm. Cuánto h de medir como mínimo un cuchrill pr que sobreslg del vso por lo menos cm? 7. Es posible gurdr en un cj con form de ortoedro de rists cm, cm cm un bolígrfo de cm de longitud? 8. Clcul l digonl de un prism recto de bse cudrd sbiendo que el ldo de l bse mide cm l ltur del prism 8 cm. 9. Si un scensor mide, m de ncho,, m de lrgo, m de ltur, es posible introducir en él un escler de m de ltur? 0. Cuál es l mor distnci que se puede medir en líne rect en un hbitción que tiene m de ncho, 8 m de lrgo m de ltur. Clcul l longitud de l rist de un cubo sbiendo que su digonl mide, cm.. Clcul l distnci máim entre dos puntos de un tronco de cono cus bses tienen rdios cm cm, ltur 0 cm.. En un pizzerí l pizz de cm de diámetro vle l de 0 cm vle. Cuál tiene mejor precio?. Vemos en el mercdo un merluz de 0 cm que pes un kilo. Nos prece un poco pequeñ pedimos otr un poco mor, que result pesr kilos. Cuánto medirá?. En un dí frío un pdre un hijo pequeño vn ectmente igul brigdos, Cuál de los dos tendrá más frío? Longitudes, áres volúmenes. Identific qué cuerpo geométrico pertenecen los siguientes desrrollos: 7. Podrá eistir un poliedro regulr cus crs sen hegonles? Rzon l respuest. 8. Puedes encontrr dos rists prlels en un tetredro? Y en cd uno de los restntes poliedros regulres? 9. Utiliz un trm de cudrdos o ppel cudriculdo, busc todos los diseños de seis cudrdos que se te ocurrn. Decide cuáles pueden servir pr construir un cubo 0. Cuánts digonles puedes trzr en un cubo? Y en un octedro?. El triángulo de l figur se h plegdo pr obtener un tetredro. Teniendo en cuent que el triángulo no está pintdo por detrás, cuál de ls siguientes vists en perspectiv del tetredro es fls?. Un prism de 8 dm de ltur tiene como bse un triángulo rectángulo de ctetos dm dm. Clcul ls áres lterl totl del prism.. Dibuj un prism hegonl regulr que teng cm de rist bsl 0.9 dm de ltur. Clcul ls áres de l bse totl.. Un prism pentgonl regulr de cm de ltur tiene un bse de 0 cm de áre. Clcul su volumen.. Clcul el áre totl de un ortoedro de dimensiones,7 dm,, dm 80 cm.. Clcul l superficie totl el volumen de un cilindro que tiene 7 m de ltur cm de rdio de l bse. 7. Clcul el áre totl de un esfer de 7 cm de rdio. 8. Clcul el potem de un pirámide regulr sbiendo que su áre lterl es de 0 cm su bse es un heágono de cm de ldo. 9. Clcul el potem de un pirámide hegonl regulr sbiendo que el perímetro de l bse es de dm l ltur de l pirámide es de dm. Clcul tmbién el áre totl el volumen de est pirámide. 0. Un triángulo rectángulo de ctetos cm cm gir lrededor de su cteto menor generndo un cono. Clcul el áre lterl, el áre totl el volumen.. Tres bols de metl de rdios dm, 0, m m se funden en un sol, Cuál será el diámetro de l esfer resultnte?. Cuál es l cpcidd de un pozo cilíndrico de,0 m de diámetro 0 m de profundidd? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

120 0. Cuánto crtón necesitmos pr construir un pirámide cudrngulr regulr si queremos que el ldo de l bse mid cm que su ltur se de cm?. Clcul el volumen de un cilindro que tiene cm de rdio de l bse l mism ltur que un prism cu bse es un cudrdo de cm de ldo 800 cm de volumen.. Cuál es el áre de l bse de un cilindro de,0 m de lto dm de volumen?. El gu de un mnntil se conduce hst unos depósitos cilíndricos que miden 0 m de rdio de l bse 0 m de ltur. Luego se embotell en bidones de, litros. Cuántos envses se llenn con cd depósito? 7. Clcul l cntidd de crtulin necesri pr construir un nillo de 0 tetredros cd uno de los cules tiene un centímetro de rist. 8. Al hcer el desrrollo de un prism tringulr regulr de dm de ltur, resultó un rectángulo de un metro de digonl como superficie lterl. Clcul el áre totl. 9. Determin l superficie mínim de ppel necesri pr envolver un prism hegonl regulr de cm de ldo de l bse cm de ltur. 0. El untmiento de Mdrid h colocdo uns jrdiners de piedr en sus clles que tienen form de prism hegonl regulr. L cvidd interior, donde se deposit l tierr, tiene 80 cm de profundidd el ldo del heágono interior es de 0 cm. Clcul el volumen de tierr que llenrí un jrdiner por completo.. Un hbitción tiene form de ortoedro sus dimensiones son directmente proporcionles los números, 8. Clcul el áre totl el volumen si demás se sbe que l digonl mide 8, m.. Un ortoedro tiene 0,7 dm de ltur 8 dm de áre totl. Su longitud es el doble de su nchur, cuál es su volumen?. Si el volumen de un cilindro de cm de ltur es de cm, clcul el rdio de l bse del cilindro.. CDI Mdrid 0 Hn instldo en cs de Jun un depósito de gu de form cilíndric. El diámetro de l bse mide metros l ltur es de metros. Clcul el volumen del depósito en m. b Cuántos litros de gu cben en el depósito?. CDI Mdrid 0 Un envse de un litro de leche tiene form de prism, l bse es un cudrdo que tiene 0 cm de ldo. Cuál es, en cm, el volumen del envse? b Clcul l ltur del envse en cm.. Un circunferenci de longitud 8,8 cm gir lrededor de uno de sus diámetros generndo un esfer. Clcul su volumen. 7. Un puert mide,8 m de lto, 70 cm de ncho cm de espesor. El precio de instlción es de 00 se cobr por m en concepto de brnizdo, demás del coste de l mder, que es de 80 cd m. Clcul el coste de l puert si sólo se reliz el brnizdo de ls dos crs principles. 8. Cuál es el volumen de un esfer en l que l longitud de un circunferenci máim es, m? 9. Clcul el áre lterl el volumen de los siguientes cuerpos geométricos c cm cm 0cm 0. Clcul el áre lterl el volumen de los siguientes cuerpos geométricos cm cm cm cm cm 7cm L bse es cudrd 0 cm cm Tetredro de cm de rist Octedro de cm de rist Pirámides construids en el interior de un estructur cúbic de dm de rist.. El gu contenid en un recipiente cónico de cm de ltur cm de diámetro de l bse se vierte en un vso cilíndrico de cm de diámetro de l bse. Hst qué ltur llegrá el gu?. Según Arquímedes, qué dimensiones tiene el cilindro circunscrito un esfer de 7 cm de rdio que tiene su mism áre? Clcul est áre.. En l construcción de un globo erostático esférico de un metro de rdio se emple lon que tiene un coste de 00 /m. Clcul el importe de l lon necesri pr su construcción.. Clcul el rdio de un esfer que tiene, dm de volumen.. El Atomium es un monumento de Brusels que reproduce un molécul de hierro. Const de 9 esfers de cero de 8 m de diámetro que ocupn los vértices el centro de un estructur cúbic de 0 m de digonl, relizd con cilindros de metros de diámetro. Si utilizmos un escl :00 tnto ls esfers como los cilindros son mcizos, qué cntidd de mteril necesitremos? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

121 . Un piscin mide 0 m de lrgo, m de ncho m de lto. Cuántos litros de gu son necesrios pr llenrl? b Cuánto costrá recubrir el suelo ls predes con PVC si el precio es de 0 / m? 7. Se h pintdo por dentro por fuer un depósito sin tpder de 8 dm de lto dm de rdio. Teniendo en cuent que l bse sólo se puede pintr por dentro, que se h utilizdo pintur de /dm, cuánto dinero h costdo en totl? 8. Cuál de ls dos cmpns etrctors de l figur izquierd tiene un coste de cero inoidble menor? 9. En un vsij cilíndric de m de diámetro que contiene gu, se introduce un bol. Cuál es su volumen si después de l inmersión sube 0, m el nivel del gu? 0. El precio de ls tejs es de, /m Cuánto costrá retejr un viviend cuo tejdo tiene form de pirámide cudrngulr regulr de, m de ltur m de ldo de l bse?. Se enroll un crtulin rectngulr de ldos 0 cm cm formndo cilindros de ls dos forms posibles, hciendo coincidir ldos opuestos. Cuál de los dos cilindros resultntes tiene mor volumen?. Cd uno de los cubos de l figur tiene cm de rist. Cuántos h que ñdir pr formr un cubo de cm de volumen?. Un tubo de enso tiene form de cilindro bierto en l prte superior remtdo por un semiesfer en l inferior. Si el rdio de l bse es de cm l ltur totl es de cm, clcul cuántos centilitros de líquido cben en él.. El ldo de l bse de l pirámide de Keops mide 0 m, su ltur m. Qué volumen encierr?. L densidd de un tpón de corcho es de 0, g/cm, cuánto pesn mil tpones si los diámetros de sus bse miden, cm, cm, su ltur cm?. Comprueb que el volumen de un esfer es igul l de su cilindro circunscrito menos el del cono de igul bse ltur. 7. Clcul el volumen de un octedro regulr de rist cm. 8. Construe en crtulin un prism cudrngulr regulr de volumen 0 cm, de áre lterl 0 cm. 9. El cristl de un frol tiene form de tronco de cono de 0 cm de ltur bses de rdios 0 0 cm. Clcul su superficie. 70. Un bote cilíndrico de cm de rdio 0 cm de ltur tiene en su interior cutro pelots de rdio, cm. Clcul el espcio libre que h en su interior. 7. Un embudo cónico de cm de diámetro tiene un litro de cpcidd, cuál es su ltur? 7. En un depósito con form de cilindro de 0 dm de rdio, un grifo vierte litros de gu cd minuto. Cuánto umentrá l ltur del gu después de medi hor? 7. L lon de un sombrill biert tiene form de pirámide octogonl regulr de 0, m de ltur 0 cm de ldo de l bse. Se fij un mástil en el suelo en el que se encj el vértice de l pirámide qued un distnci del suelo de,80 m. En el momento en que los ros de sol son verticles, qué áre tiene el espcio de sombr que determin? 7. Un pecer con form de prism recto bse rectngulr se llen con litros de gu. Si tiene cm de lrgo 0 cm de ncho, cuál es su profundidd? 7. En un heldo de cucurucho l gllet tiene cm de ltur cm diámetro. Cuál es su superficie? Si el cucurucho está completmente lleno de heldo sobresle un semiesfer perfect, cuántos cm de heldo contiene? Inicición l Geometrí Anlític 7. Clcul l distnci entre los puntos A7, B,. 77. Clcul l distnci entre los puntos A7,, B,, Clcul l longitud del vector de componentes u =,. 79. Clcul l longitud del vector de componentes u =,, El vector u =, tiene el origen en el punto A, 7. Cuáles son ls coordends de su punto etremo? 8. El vector u =,, tiene el origen en el punto A, 7,. Cuáles son ls coordends de su punto etremo? 8. Dibuj un cudrdo de digonl el punto A, C,. Qué coordends tienen los otros vértices del cudrdo? Clcul l longitud del ldo de l digonl de dicho cudrdo. 8. Dibuj un cubo de digonl A,, B,,. Qué coordends tienen los otros vértices del cubo? Y sbes, son 8 vértices. Clcul l longitud de l rist, de l digonl de un cr de l digonl del cubo. 8. Se X, un punto del plno, A,, escribe l epresión de todos los puntos X que distn de A un distnci. 8. Se X,, z un punto del espcio, A,,, escribe l epresión de los puntos X que distn de A un distnci. 8. Escribe l ecución prmétric de l rect que ps por el punto A, 7 tiene como vector de dirección u =,. Represéntl gráficmente. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

122 87. Escribe l ecución de l rect que ps por los puntos A, 7 B,, de form eplícit, implícit prmétric. Represéntl gráficmente. 88. Escribe l ecución de l rect que ps por los puntos A,, B,, 8, de form eplícit, como intersección de dos plnos. 89. En el cubo de digonl A,, B,, escribe ls ecuciones de los plnos que formn sus crs. Escribe tmbién ls ecuciones de tods sus rists, ls coordends de sus vértices Escribe l ecución del cilindro de eje rdio Escribe l ecución de l esfer de centro A, 7, rdio. t 9. Escribe l ecución del cilindro de eje, l rect rdio. z 9. Escribe l ecución de l circunferenci en el plno de centro A, 7 rdio. 9. Al cortr un cierto cilindro por un plno horizontl se tiene l circunferenci del ejercicio nterior. Escribe l ecución del cilindro. AUTOEVALUACIÓN. Ls longitudes de los ldos del triángulo de vértices A, B, C0, son:,, b,, c,, d,,. En el triángulo rectángulo de ctetos cm se multiplicn por 0 tods sus longitudes. El áre del nuevo triángulo es: m b dm c 0 cm d 0, m. L ltur de un prism de bse cudrd es 0 cm el ldo de l bse es cm, su áre totl es: 0 cm b dm c cm d 0, m. Un depósito de gu tiene form de prism hegonl regulr de m de ltur ldo de l bse m. El volumen de gu que h en él es: 0 m b m c 0000 dm d 7, m. El tejdo de un cset tiene form de pirámide cudrngulr regulr de 0, m de ltur 000 cm de ldo de l bse. Si se necesitn tejs por metro cudrdo pr recubrir el tejdo, se utilizn un totl de: 08 tejs. b 0 tejs. c tejs. d 0 tejs.. Un cj de dimensiones 0, 0 cm, está llen de cubos de cm de rist. Si se utilizn todos pr construir un prism recto de bse cudrd de 0 cm de ldo, l ltur medirá: cm b cm c 7 cm d 90 cm 7. El rdio de un esfer que tiene el mismo volumen que un cono de dm de rdio de l bse 0 cm de ltur es: dm b 7 dm c 0 cm d 0 cm 8. Se distribuen,9 litros de disolvente en lts cilíndrics de cm de ltur cm de rdio de l bse. El número de envses necesrio es: 00 b 0 c d 9. L ecución de un rect en el plno que ps por los puntos A, B, es: = + b = c = + d = L ecución de l esfer de centro A,, rdio es: + + z z + 9 = 0 b + + z 0z + 9 = 0 c + + z 0z + 8 = 0 d + + z 0z + 9 = 0 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 8: Geometrí Autors: Milgros Lts Asso Fernnd Rmos Rodríguez Revisores: Jvier Rodrigo Dvid Hierro Ilustrciones: Milgros Lts/Bnco de Imágenes de INTEF

123 CAPÍTULO 0: FUNCIONES Y GRÁFICAS. FUNCIONES REALES.. Concepto de función Un función es un relción o correspondenci entre dos mgnitudes, tles que cd vlor de l vrible independiente,, le corresponde un solo vlor de l dependiente,. Pr indicr que l vrible depende o es función de otr,, se us l notción = f, que se lee es función de. Ls funciones son como máquins ls que se les mete un elemento,, devuelve otro vlor, = f. Por ejemplo, en l función f =, se introduce vlores de, nos devuelve sus cudrdos. Es MUY IMPORTANTE que tengmos un solo vlor de vrible dependiente pr cd vlor de vrible independiente. En cso contrrio no tenemos un función. Ls funciones se introdujeron pr estudir procesos. Si hciendo lo mismo nos pueden slir coss distints, no se puede estudir del mismo modo. Ejemplos: Pensemos en l fctur de teléfono. Si sbemos cuántos minutos hemos hbldo suponiendo, clro, que cuesten lo mismo todos tmbién sbemos cuánto nos toc pgr. El dinero que pgmos es función del tiempo. Vmos l csino postmos rojo o negro. Si postmos un euro, podemos gnr dos o no gnr nd. Si decimos cuánto postmos no sbemos cuánto vmos gnr. Por tnto, ls gnncis en un csino NO son un función de l puest. Actividdes resuelts Indic si ls siguientes situciones representn un función o no El espcio recorrido por un coche el tiempo. b Ls gnncis en l Bols en función de lo invertido. c El cudrdo de un número. Solución: Son funciones l l c. L b no lo es porque no sbemos cuánto gnmos... Gráfic de un función En muchs ocsiones, l mner más sencill de ver cómo se comport un función es dibujrl en el plno crtesino. Vmos recordr mu brevemente qué er el plno crtesino crtesino, viene de Crtesio, que er el nombre con el que firmb su inventor, Renè Descrtes. Un sistem de referenci crtesino consiste en dos rects numérics perpendiculres, llmds ejes. El punto en el que se cortn los ejes es el origen del sistem, tmbién llmdo origen de coordends. Normlmente lo representmos con un eje verticl el otro horizontl. Al eje horizontl lo denominmos eje de bsciss o tmbién eje X l verticl eje de ordends o eje Y. Al cortrse los dos ejes, el plno qued dividido en cutro zons, que se conocen como cudrntes: - Primer cudrnte: Zon superior derech - Segundo cudrnte: Zon superior izquierd - Tercer cudrnte: Zon inferior izquierd - Curto cudrnte: Zon inferior derech. Pr representr puntos, sólo h que recordr que l primer componente o bscis es, por lo que debe ir l eje X eje de bsciss. L segund componente u ordend es, por tnto v l eje Y eje de ordends. Sistem de referenci crtesino El sentido positivo es l derech rrib. Si lgun de ls componentes es negtiv, entonces se coloc en sentido contrrio. Pr representr un gráfic, lo que debemos hcer es simplemente tomr vlores, o, lo que es lo mismo, f puesto que = f. Luego los unimos, bien con línes rects, bien justndo ojo un líne curv. Nturlmente, hor nos precen dos cuestiones: Cuántos vlores h que dr? Qué vlores le dmos? En generl, no h un respuest clr ess pregunts, prte de l obvi cuánto más, mejor. Si un gráfic se dibuj con ordendor, normlmente se le d un intervlo el número de vlores que queremos que represente. Típicmente, un ordendor d MUCHOS vlores: 00, 000,. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 0. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

124 Dibujmos l función en el intervlo [, ] con un ordendor este dibujo está hecho con el progrm Octve, que es código bierto puedes descrgr libremente. Hcemos dos gráfics, un dndo vlores l otr 00. Observ l diferenci entre los dos dibujos. Observ tmbién que el ordendor une los puntos con segmentos de rects. Actividd resuelt Dibujr l función f. Más trde indicremos los vlores que es recomendble tomr. De momento, nos limitremos dr unos pocos unir puntos. Por ningun rzón en especil, tommos,, 0,. Recordemos que l sustituir se usn SIEMPRE préntesis. Así 0'0. Obtenemos entonces l tbl de vlores bst unir los puntos dándoles ojo un 7 poco de curv. f Un cuestión reseñr de ls gráfics es el hecho de que, directmente prtir de un dibujo podemos ver si corresponde un función o no. Pr verlo, bst fijrse en si h lgún vlor de que correspond más de un vlor de. Si NO lo h, es un función. Observmos que el ejemplo nterior es un función. Actividd resuelt Indic cuáles de ls siguientes representciones corresponden l gráfic de un función: L gráfic es un función. L gráfic b NO lo es porque, por ejemplo el punto = 0 tiene dos vlores de. Actividd propuest. De ls siguientes gráfics indic cuáles de ells corresponden funciones. b c.. Diferentes mners de epresr un función Recordemos, un vez más, que un función es l descripción de cómo se relcionn dos mgnitudes. Así pues, est descripción l podemos sber de vris mners. Funciones dds por tbls Probblemente, l mner más sencill en l que se puede dr un función es con un tbl de vlores. Es demás l mner más eperimentl: observmos un proceso medimos ls cntiddes que nos slen. Así tenemos un ide de cómo se relcionn. Dibujr su gráfic no puede ser más sencillo. Bst poner los puntos, en su cso, unirlos. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

125 Soltmos un pelot desde 0 m de ltur medimos el espcio recorrido en segundos. Obtenemos entonces l tbl siguiente: Espcio m 0 0, 0, 0,8,,, Tiempo s 0 0,,,,9 7,0 9, 0,00 Es mu sencillo dibujr su gráfic. Bst representr los puntos unirlos est gráfic está hech con el progrm Geogebr, tmbién de código bierto: Dte cuent que tiene sentido rellenr el espcio entre puntos. Aunque no lo hmos medido, l pelot no puede teletrnsportrse, por lo que seguro se puede hblr de dónde está en el instnte 0 7, por ejemplo. Y obvimente, el espcio recorrido estrá entre que corresponde 0 segundos que corresponde 0 8 segundos. L cuestión que nos plntemos es l siguiente: es siempre sí? Puede hber funciones donde NO TENGA SENTIDO poner vlores intermedios? A poco que pienses, te drás cuent de que sí ls h. Vemos un ejemplo: En un librerí, hn puesto l siguiente tbl con el precio de ls fotocopis, dependiendo del número de copis: Nº de copis 0 7 Precio euros 0 0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0,8 Se puede construir l representción gráfic dibujndo estos puntos. L cuestión de si podemos dibujr puntos intermedios entre los nteriores se responde por sí sol. No se pueden hcer copis. Solmente puedes hcer un número entero de copis. Por tnto, no tiene sentido plnterse siquier dr vlores intermedios ni dibujrlos. Funciones dds por un epresión En muchísims ocsiones, sbemos suficiente de l relción entre dos mgnitudes como pr conocer ectmente un epresión que ls relcion. Vmos empezr con un ejemplo. Volvmos l cso que vimos ntes, donde soltábmos un pelot. No necesitmos medir los tiempos los espcios. Es un cuerpo en cíd libre por tnto lo que en Físic se llm movimiento uniformemente celerdo. En este cso e t donde e es el espcio, t es el tiempo es l celerción. Además, es conocid pues es l grvedd, es decir 9 8 m/s. Por tnto, ls dos mgnitudes, espcio tiempo, están relcionds por l ecución e 9'8 t. En Mtemátics es más usul poner e, por lo que serí 9'8 pero es ectmente lo mismo. Y, como tenemos todos los puntos que quermos, podemos dibujr l función sin ningún problem con sus puntos intermedios. O indicrle un ordendor que l dibuje. El resultdo, nturlmente, es el mismo.. Un ciclist bebe / litro de gu cd 0 km de recorrido. Si en el coche de equipo llevn un bidón de 0 litros, hz un tbl que indique su vrición escribe l función que l represent.. Un ciclist prticip en un crrer recorriendo km cd minuto. Teniendo en cuent que no prtió del origen sino km por detrás represent en un tbl el recorrido durnte los tres primeros minutos. Escribe l función que epres los kilómetros en función del tiempo en minutos dibújl. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

126 Funciones definids trozos Piens en l siguiente situción pr l trif de un teléfono móvil. Se pg un fijo de 0 l mes con eso son grtis los 00 primeros minutos. A prtir de llí, se pg céntimos por minuto. Es evidente que es diferente el comportmiento ntes de 00 minutos después. Un función definid trozos es quell que viene dd por un epresión distint pr diferentes intervlos. 0 0' En el ejemplo nterior, es fácil ver que f. 0, 00 Vemos brevemente por qué. Pr vlores menores que 00, el gsto es siempre 0. Pr vlores mores, los minutos que gstmos POR ENCIMA DE 00 son 00 por tnto lo que pgmos por los minutos es pues lo medimos en euros. H que sumrle los 0 que pgmos de fijo.. Represent ls siguientes funciones trozos. Se indicn los puntos que tienes que clculr., si. f, si 0, si 0, si b. g, si, si Puntos:,,,, 0, 0,. Puntos:,,, 0, 0 9,,, 9... Dominio recorrido de un función Hst hor, no nos hemos preocupdo de qué vlores pueden tener l l. Pero es evidente que no siempre pueden tomr todos los vlores de l rect rel. Por ejemplo, si un función nos d l ltur con respecto del peso no vmos poder tener vlores negtivos. Pr ello eisten los conceptos de dominio recorrido. El dominio de un función es el conjunto de vlores que l vrible independiente puede tomr. Se escribe Dom f o Domf. El recorrido o rngo de un función es el conjunto de vlores que l vrible dependiente puede tomr. Se escribe Rgf o Rgf. Normlmente, el recorrido es más directo de clculr. Simplemente, mirmos l gráfic vemos qué vlores puede tomr l vrible dependiente. El dominio suele ser un sunto bstnte más complicdo. En generl, eisten dos rzones por ls que un vlor de NO pertenezc l dominio.. L función no tiene sentido pr esos vlores. Por ejemplo, si tenemos un función que represente el consumo de electricidd cd hor del dí, es evidente que debe estr entre 0. Un dí tiene hors!! De ningun mner podemos hblr siquier de lo que hemos gstdo l hor.. L operción que nos d f no puede hcerse. Por ejemplo, no se puede dividir entre 0, por lo que l función f tiene como dominio el conjunto ; 0, es decir, 0 0,. El primer cso viene ddo por l plicción práctic nuestro sentido común. El segundo es el que tiene más dificultd por eso vmos dedicrle un poco más de tiempo. Cálculo de dominios Eisten dos operciones que NO están permitids.. Dividir entre 0. b. Hcer ríces cudrds o de índice pr de números negtivos. Ten en cuent que l ríz cudrd de 0 SÍ está definid vle 0. En cpítulos futuros veremos lgun operción más, pero por hor, sólo ess dos operciones. Vmos ver un método sistemático pr clculr el dominio. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

127 7 Método pr clculr el dominio. Recudr TODAS ls operciones problemátics.. Pr TODAS ess operciones, plnte un ecución igulándol 0. Resuelve dich ecución.. Represent en un rect tods ls soluciones de tods ls ecuciones.. D vlores l función. Un vlor en cd intervlo los vlores límite. Si l operción se puede hcer, es que el punto o el intervlo pertenece l dominio. Si no, pues no. Puedes ver si un operción vle, o no, hciéndol con l clculdor. Si sle error, es que no se puede. Mrc con un X los vlores que no vlen con un tick V si se pueden hcer.. Represent l solución con intervlos. Si el punto del etremo está, es un corchete como [] si no, un préntesis. Así visto, puede precer un poco complicdo. Vmos ver un pr de ejemplos. Actividdes resuelts Clcul el dominio de ls siguientes funciones:. Aprtdo Vmos seguir el procedimiento punto por punto.. El único posible problem es l ríz cudrd de. Igulmos 0 resolvemos: 0. Representmos en l rect los vlores.. Tenemos que dr un vlor l izquierd de, el vlor un vlor l derech. Por ejemplo, el, el el 0. Los mrcmos en l rect X 0 Es válido? NO SÍ SÍ. El dominio es, el infinito SIEMPRE es bierto, nunc llegmos. Aprtdo b. Tenemos dos posibles problems. L ríz cudrd de el denomindor.. Tenemos que igulr LOS DOS cero. 0. Por otr prte 0. Elevndo l cudrdo.. Representmos en l rect los vlores. Tenemos que dr un vlor l izquierd de, el vlor, un vlor entre, el vlor un vlor l derech de. Por ejemplo, el, el, el, el el 0. Los mrcmos en l rect X 0 Es válido? NO SÍ SÍ NO SÍ. El dominio es,,.. Indic el dominio de ls siguientes funciones: b. Indic el dominio el recorrido de ls siguientes funciones: = + b c 7. Represent ls siguientes funciones e indic su dominio recorrido:, si,0, si, f b g, si 0,, si, Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

128 8. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN Recuerd que: En tercero estudiste ls crcterístics de un función. Es mu importnte. Por eso vmos insistir en ello... Continuidd Intuitivmente, un función es continu si su gráfic se puede dibujr sin levntr el lápiz del ppel. En cso contrrio, se producen sltos en determindos vlores de l vrible independiente que reciben el nombre de discontinuiddes. Un discontinuidd puede ser de tres tipos:. Evitble: En l función sólo fll un punto, que no está donde deberí estr. Más formlmente, si nos proimmos l punto por l derech por l izquierd, nos proimmos un vlor que no es el de l función. En este cso, l función serí continu sin más que cmbir l definición de l función en el punto que nos d problems.. De slto finito: En un punto, l función tiene dos rms diferentes derech e izquierd del punto. Ests rms se proimn vlores distintos pero finitos pr cd ldo. El punto de discontinuidd puede estr en un culquier de ls rms o incluso fuer de ells. D lo mismo, l discontinuidd sigue siendo de slto finito.. De slto infinito: Como en slto finito, en un punto l función tiene dos rms diferentes. Pero en este cso, l menos un de ls dos rms posiblemente ls dos se hce inmensmente grnde o inmensmente negtiv en términos más informles se v infinito. Actividdes resuelts Indic en ests funciones el/los vlor/es de l vrible independiente donde se produce l discontinuidd e indic el tipo de discontinuidd. Slto infinito en = Slto finito en =.. Monotoní: Crecimiento decrecimiento, máimos mínimos Ls siguientes definiciones quizás te resulten conocids de º de ESO. Un función es constnte en un intervlo cundo tome el vlor que tome l vrible independiente, l dependiente tom siempre el mismo vlor. En símbolos, f f, pr todo. Un función es estrictmente creciente en un intervlo cundo l umentr el vlor de l vrible independiente ument tmbién el de l dependiente. En símbolos f f, pr todo. Un función es creciente en sentido mplio en un intervlo si es estrictmente creciente o constnte. En símbolos f f, pr todo. Puede tmbién decirse que, l umentr el vlor de l vrible independiente, el vlor de l dependiente NO disminue. Un función es estrictmente decreciente en un intervlo cundo l umentr el vlor de l vrible independiente disminue tmbién el de l dependiente. En símbolos f f, pr todo. Un función es decreciente en sentido mplio en un intervlo si es estrictmente decreciente o constnte. En símbolos f f, pr todo. Puede tmbién decirse que, l umentr el vlor de l vrible independiente, el vlor de l dependiente NO ument. Un función es estrictmente monóton en un intervlo cundo es estrictmente creciente o decreciente en dicho intervlo. Un función es monóton en sentido mplio en un intervlo cundo es creciente o decreciente en sentido mplio en dicho intervlo. Como indicn ls definiciones, l monotoní o no de un función se d en un intervlo, es decir, pr un conjunto de números reles. Por tnto, un función puede ser creciente pr un serie de vlores, pr otros ser decreciente o constnte, luego puede volver ser creciente o decreciente o constnte Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

129 9 Ejemplos: En ls funciones siguientes estudi el crecimiento el decrecimiento. CRECIENTE siempre CONSTANTE hst = CRECIENTE desde = CRECIENTEEN SENTIDO AMPLIO siempre DECRECIENTE hst = DECRECIENTE desde = CRECIENTE hst =0 DECRECIENTE desde = 0 Etremos: máimos mínimos Un función present un máimo reltivo en un punto cundo l imgen de l función en dicho punto es mor que en culquier de los vlores que están su lrededor en su entorno. Si, demás, l imgen es mor que en culquier otro punto de l función, se dice que l función lcnz un máimo bsoluto en él. Un función present un mínimo reltivo en un punto cundo l imgen de l función en dicho punto es menor que en culquier de los vlores que están su lrededor en su entorno. Si, demás, l imgen es menor que en culquier otro punto de l función, se dice que l función lcnz un mínimo bsoluto en él. Si un función present un máimo o un mínimo en un punto, se dice que tiene un etremo en dicho punto, que podrá ser reltivo o bsoluto... Curvtur: concvidd, conveidd puntos de infleión Un función es conve si l unir dos puntos de su gráfic el segmento qued por encim de dich gráfic. Se dice cóncv si l hcer l mism operción qued por debjo. Un punto donde se cmbi de cóncv conve o vicevers se llm punto de infleión. Un imgen vle más que mil plbrs. Así que vmos dibujr los cutro tipos de funciones que tenemos: Creciente Decreciente Conve Cóncv Puedes comprobr fácilmente que se cumple l definición. Si unes dos puntos, el segmento que formn está por encim o por debjo de l gráfic, según corresponde. Aquí l derech puedes ver un ejemplo con un trmo decreciente conveo. Observ cómo el segmento qued por encim de l gráfic de l función. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

130 0.. Simetrís. Un función pr es quell en l que se obtiene lo mismo l sustituir un número su opuesto: f f Est propiedd se trduce en que l función es simétric respecto l eje de ordends, es decir, si doblmos el ppel por dicho eje, l gráfic de l función coincide en mbos ldos. L función cudrátic f es pr: f f Un función impr es quell en l que se obtiene lo opuesto l sustituir un número su opuesto: f f Est propiedd se trduce en que l función es simétric respecto l origen de coordends, es decir, si trzmos un segmento que prte de culquier punto de l gráfic ps por el origen de coordends, l prolongrlo hci el otro ldo encontrremos otro punto de l gráfic l mism distnci. L función de proporcionlidd invers f es impr porque: f f.. Periodicidd. Un función periódic es quell en l que ls imágenes de l función se repiten conforme se le ñde l vrible independiente un cntidd fij, llmd periodo. Es mu clro que l siguiente función es periódic de periodo. Observ que el periodo se puede medir entre dos picos o entre dos vlles. De hecho se puede medir entre dos puntos equivlentes culesquier... Comportmiento en el infinito El infinito es, por propi definición, inlcnzble. Pero nos dice mucho de un función sber cómo es pr vlores mu grndes. Por eso, se recomiend, l dibujr un gráfic, dr un vlor o vrios positivo mu grnde un vlor o vrios mu negtivo. En lguns funciones simplemente ocurre que obtenemos vlores mu grndes nos slimos de l tbl. Esto simplemente nos d un ide de hci dónde v l función. Pero en otrs, esto es lo interesnte, nos proimmos un número finito. Eso signific que, pr vlores mu grndes de, l función es proimdmente un rect horizontl. Est rect se llm síntot. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

131 Actividd resuelt Dibuj l función f dndo vlores mu grndes mu negtivos. Dmos vlores mu grndes vemos que nos proimmos : 0 00 f 0 00 Si dmos vlores mu negtivos, ps lo mismo: ' 0099, f 00 ' 000, f 000 ' f 0 ' 0099, 00 f 00 ' 000, 000 f 000 ' Podrímos hber visto directmente que los vlores ibn ser los mismos porque l función es clrmente pr f f por tnto f 0 f 0, f 00 f 00 etc. Eso nos d un ide de que l rect l que nos proimmos síntot es l rect horizontl =. Vmos dr unos vlores más dibujmos l función. Los vlores negtivos son igules que los positivos. Hemos redondedo Observ l líne horizontl que es l síntot dibujd en rojo trzos. Recopiltorio Vmos repsr lo que hemos visto hst hor cómo utilizrlo pr ls dos cuestiones más importntes de este cpítulo. Cómo dibujr un función Dibujr un función es esencilmente unir puntos. Vmos, de tods mners, repsr los diferentes csos.. Lo primero, mirmos si l función está definid por un tbl o por un epresión. Si es un tbl no h nd que hcer más que dibujr si tienen sentido los vlores intermedios unir los puntos que nos den hemos termindo. Psmos en ese cso l pso.. Si está definid trozos, dmos el punto o puntos donde cmbi l definición lgunos puntos próimos. Típicmente el punto crítico Por ejemplo, si cmbi en, drímos, En generl, intentmos dr un vlor mu grnde otro negtivo, mu grnde en vlor bsoluto. Si vemos que se estbiliz, los ponemos, es un síntot.. Dmos dos o tres puntos más culesquier.. Unimos los puntos si tienen sentido los vlores intermedios. 8. Indic el dominio recorrido de ls siguientes funciones dibújls:. b. c. Cómo describir un función Si nos dn l gráfic de un función nos piden describirl, es sencillo:. Mirmos los vlores de donde cmbi el comportmiento.. Describimos cd uno de los trmos. Describimos los máimos mínimos indicndo si son reltivos o bsolutos. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

132 Actividd resuelt Describir l función Lo primero, l función es continu. Los puntos donde ps lgo son =, =, = =. Psmos describir los trmos: En, decreciente cóncvo. En, decreciente conveo. En, creciente conveo. En el intervlo, decreciente conveo. En, + creciente conveo. A veces se pone seprdo el crecimiento l curvtur: Creciente en,, + Decreciente en,, Cóncv en,. Conve en,, + Finlmente h un máimo reltivo en =. H mínimos reltivos en = =. No h máimo bsoluto en = h un mínimo bsoluto. No h síntots. Cundo se hce mu grnde l tiende +, cundo l se cerc l tiende tmbién Dibuj ls siguientes funciones e indic sus intervlos de crecimiento decrecimiento. = b = /cc c 0. L gráfic que se d continución indic l evolución de un vlor de l bols en el t 0 eje verticl en miles de euros por cción durnte un jornd. Estudi su dominio, recorrido, puntos de corte, simetrí, periodicidd, crecimiento, continuidd, máimos mínimos.. Estudi l siguiente gráfic, indicndo: dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, simetrí, periodicidd, crecimiento, continuidd, máimos milesdelitros mínimos.. L gráfic que se d continución represent el volumen de combustible en el depósito de hor un gsoliner l cbo de un dí. Estudi su dominio, recorrido, puntos de corte, simetrí, 7 9 periodicidd, crecimiento, continuidd, máimos mínimos. Amplición: Trslciones Con lo que hemos visto nteriormente, podemos dibujr culquier función. Lo que vmos describir hor es un mner de horrrnos trbjo en lguns ocsiones. A veces, hemos dibujdo un función nos piden dibujr otr similr. Por ejemplo, si estudimos un cuerpo en cíd libre, el espcio recorrido es 9' 8. Pero, si el cuerpo hbí recorrido un espcio de 0 m, serí 0 9' 8. Si l quisiérmos dibujr, en principio deberímos volver dr todos los vlores. Pero, no podremos evitrnos esfuerzos provechr l gráfic que YA tenemos? Sí, podemos. Vmos verlo hor. Trslciones verticles. Trsldr verticlmente K uniddes un función f es sumrle l vrible dependiente = f l constnte K. En otrs plbrs, movemos l función hci rrib o bjo. Se obtiene l función: = f + K - Si K > 0 l función se trsld hci rrib. - Si K < 0 l función se trsld hci bjo. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

133 Represent, medinte l relizción previ de un tbl de vlores, l función f. A continución, medinte trslción, l de ls funciones f, f, f f. Trslciones horizontles. Trsldr horizontlmente K uniddes un función f es sumrle l vrible independiente l constnte K. Se obtiene l función = f + K - Si K > 0 l función se trsld hci l izquierd. - Si K < 0 l función se trsld hci l derech. Represent ls funciones f, f, f, f f.. Represent l función 0 9' 8 que ponímos como ejemplo e interpret su sentido físico.. Represent gráficmente ls siguientes funciones: b. c. d.. Represent gráficmente ls siguientes funciones: b. c. d.. Represent l función f =, prtir de ell, dibuj ls gráfics de ls funciones:. = f b. = f + c. = f d. = f + Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

134 . VALORES ASOCIADOS A LAS FUNCIONES Muchs veces, nos interes el comportmiento de un función en un vlor concreto lgun medid sobre ell. Por ejemplo, si considermos el espcio que recorre un coche, lo que nos puede interesr no es todo el recorrido, sino sólo l velocidd l psr junto un rdr. Ls medids más importntes vmos describirls hor... Ts de vrición ts de vrición medi velocidd L ts de vrición de un función entre dos puntos b es l diferenci entre el vlor de l función pr = el vlor pr = b. En símbolos: TV,b f b f L ts de vrición medi velocidd medi de un función entre dos puntos b es el cociente entre l ts de vrición entre los mismos l diferenci b. En símbolos: TV,b f b f TVM,b b b Estos conceptos pueden precerte rros l principio. Pero relmente son coss que se plicn mucho en l vid diri. Pensemos en un coche que se mueve. El espcio que recorre entre dos momentos de tiempo es l ts de vrición. L velocidd medi lo que los h recorrido es l ts de vrición medi. Actividd resuelt El coche en que circulmos recorre 00 Km 0 Km/h luego otros 00 Km 00 Km/h. En consecuenci, el 0t, t espcio recorrido viene ddo por l función f t. Se pide: 00 00t, t. Justificr l función que d el espcio recorrido.. Clculr e interpretr ls tss de vrición TV[0, ], TV[, ], TV[, ]. Clculr e interpretr ls tss de vrición medis TVM[0, ], TVM[, ], TVM[, ]. Por qué l velocidd medi NO hn sido 7 Km/h, que es l medi de ls velociddes? Aprtdo. Pr justificr l función, sólo tenemos que recordr l superconocid fórmul e vt. Lo único que h que ver es cuándo cmbi l velocidd. Si el coche v 0 km/h, obvimente en h lleg los 00 km cmbi l velocidd. Hst entonces, el espcio recorrido es 0t velocidd por tiempo. A prtir de llí, serí 00t puesto que contmos el tiempo desde el instnte. A ello se le debe sumr el espcio recorrido, que son 00. Aprtdo. L ts de vrición no es más que el espcio recorrido. Bst con plicr l definición. Como hemos dicho ntes, no nos tiene que dr ningún miedo ls funciones definids trozos. Simplemente sustituimos donde correspond punto. TV 0, f f Entre 0 hors hemos recorrido 00 Km. TV, f f Entre hors hemos recorrido 0 Km. TV ', f f ' ' 00 ' 0. Hemos recorrido 0 Km entre ls hors ls. Aprtdo. L ts de vrición medi es lo que en el lenguje de l clle se llm velocidd medi. Y pr clculrl se divide el espcio entre el tiempo, sin más. f f TVM 0, ' 7 Km/h. Entre 0 hors nuestr velocidd medi h sido de 0 7 Km/h, un medi justd por el tiempo de ls velociddes. f f 0 TVM, 0. Entre hors nuestr velocidd h sido de 0 Km/h, como plnteb de hecho el problem. f f ' 0 TVM ', 00. Entre hors nuestr velocidd h sido, como er de esperr, de 00 Km/h ' ' Aprtdo. Pues porque hemos psdo más tiempo circulndo 0 Km/h que 00 Km/h por tnto nuestr velocidd medi debe estr más cerc de 0 que de 00. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

135 7. Dd l función f, clcul l ts de vrición medi en el intervlo [0, ]. Es creciente o decreciente l función en dicho intervlo? 8. Dd l función f, clcul l ts de vrición medi en el intervlo [, ]. Es creciente o decreciente l función en dicho intervlo? 9. Clcul l TVM de est función f en los siguientes intervlos: [, 0] b [, ]. 0. Consideremos l función f. Hll l ts de vrición medi en el intervlo [0, ] e indic si es creciente o decreciente en ese intervlo. f en el intervlo [, ] e indic si f crece o decrece en. Hll l ts de vrición medi de l función ese intervlo... Ts de crecimiento l filición l Régimen Generl de l Seguridd Socil, donde h, millones de trbjdores, pens repuntó en.8 persons respecto febrero del 0, un 0, % más Dirio El Mundo, edición digitl, 0/0/0. Seguro que hs leído o visto en l tele noticis como ést un montón de veces. L medid que están utilizndo es lo que se conoce como l ts de crecimiento. Vmos proceder definirl. L ts de crecimiento de un función entre dos puntos b es el cociente entre l ts de vrición el vlor de l función f en =. En símbolos: b f T Crec, b o bien, b f TV T Crec. f Se suele epresr en tnto por ciento, por lo que normlmente se multiplic por 00. Ls fórmuls psn ser entonces f b f TV T Crec, b 00 o, b T 00 f Crec, b f Si f = 0 l ts de crecimiento no está definid. NO SE PUEDE DIVIDIR ENTRE 0. Observ que l ts de crecimiento puede ser negtiv, indicndo un disminución. Crecer l % signific hber perdido el %. Vmos comprobr que en el periódico hn clculdo bien l ts de crecimiento., b Los instntes del tiempo no son importntes. En el instnte inicil es h que sumrle el umento b f trbjdores. En el instnte finl f =..8. Aplicndo l fórmul f b f T Crec, b ' 8 % f que se redonde l 0 %. Está bien clculdo. Observ que l ts de vrición es 8 por lo que lo podímos hber clculdo directmente con l otr fórmul: TV, b 8 T Crec, b ' 8 % f , obvimente, sle lo mismo.. Dd l función f, clcul l ts de crecimiento en el intervlo [0, ].. L función f 000' 0 represent el resultdo de ingresr 000 en el bnco = 0 es el estdo inicil, nturlmente, vle 000. Clcul su ts de crecimiento entre 0, entre entre. Qué relción h entre ells? Puedes dr un eplicción de por qué?. L siguiente tbl represent l poblción mundil estimd en millones de persons. Clcul l ts de crecimiento pr cd intervlo de ños. Qué observs? Año Poblción Podrís dr un ejemplo de un función cu ts de crecimiento se constntemente? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

136 Función Gráfic de un función RESUMEN Un relción o correspondenci entre dos mgnitudes, tles que cd vlor de l vrible independiente,, le corresponde un solo vlor de l dependiente,. Son los normlmente infinitos puntos por los que ps. Es decir, todos los vlores, f puesto que = f. = +, Ejemplos Mners de describir un función. Dominio recorrido. Dndo un tbl de vlores. Como en l column de l ldo Dndo un epresión. A trozos: Vris epresiones.,, Dominio. Son los vlores de donde l función teng sentido. Recorrido. Son los vlores de que se lcnzn. X Y 0 El dominio de l función, es su recorrido 0, Crcterístics de un función Trslciones Debemos estudir su continuidd, crecimiento, máimos mínimos, curvtur, simetrís comportmiento en el infinito. Verticl. = f + K. En sentido de K: Si K es positivo hci rrib, si no hci bjo. Horizontl. = f + K. En sentido contrrio de K: Si K es positivo hci l izquierd, si no hci l derech. Vlores socidos Ts de vrición TV: f b f f b Ts de vrición medi TVM: Ts de crecimiento T crec : f b f f f b es continu, creciente en,0, decreciente en 0,, tiene un mínimo bsoluto en 0 es siempre conve ; TV, TVM,. T crec 0, % Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

137 7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Pblo slió de su cs ls 8 de l mñn pr ir l instituto. En el recreo, tuvo que volver su cs pr ir con su pdre l médico. L siguiente gráfic reflej l situción:. A qué hor comienzn ls clses qué hor empiez el recreo? b. A qué distnci de su cs está el instituto? Qué velocidd llev cundo v clse? c. A qué distnci de su cs está el consultorio médico? Qué velocidd llevn cundo se dirigen llí? d. Cuánto tiempo h estdo en clse? Y en el consultorio médico?. Dd l función trvés de l siguiente gráfic:. Indic cuál es su dominio de definición. b. Es continu? Si no lo es, indic los puntos de discontinuidd. c. Cuáles son los intervlos de crecimiento cuáles los de decrecimiento de l función? Qué ocurre en el intervlo, ]?. Dibuj ls gráfics de ests hipérbols determin sus dominios, clcul sus síntots los puntos de corte con los ejes de coordends:. b. c.. Dibuj l gráfic de si f eplic si es continu en. si. Tres kilos de pers nos hn costdo, ;, por siete kilos, hbrímos pgdo 0,. Encuentr l ecución de l rect que nos d el precio totl,, en función de los kilos que compremos,. Represéntl gráficmente.. Describe ls siguientes funciones cudrátics hz un boceto de su gráfic:. = + 8 b. = + c. = 8 7. Clcul los puntos de corte con los ejes el vértice de ls siguientes prábols utiliz estos dtos pr representrls gráficmente. b. 8. L ltur sobre el suelo de un proectil lnzdo desde lo lto de un murll viene dd, en función del tiempo, por h t t t 0, donde t se epres en segundos, h, en metros. Dibuj l gráfic de est función clcul:. L ltur de l murll. b. L ltur máim lcnzd por el proectil el tiempo que trd en lcnzrl. c. El tiempo que trd en impctr contr el suelo. 9. L gráfic muestr el dibujo proimdo de l curv 8. Clcul:. Ls coordends de los puntos A B. b. L ecución de un rect que pse por los puntos A B. 0. Represent ls siguientes funciones:. = / b. = / c. = d. = e. 0 si si si C 0 0. El coste dirio de fbricción, en euros, de rtículos se epres con l iguldd, el ingreso dirio de su vent, medinte V 00. Qué cntidd de rtículos se deben fbricr l dí pr que su vent reporte un beneficio máimo? Not: el beneficio es l diferenci entre el ingreso el coste.. L bse l ltur de un triángulo sumn centímetros. Qué longitud deben tener mbs pr que el áre del triángulo se máim? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

138 8. Asign ls gráfics l recorrido efectudo por los siguientes estudintes en su cmino dirio l Instituto:. Emilio es el que vive más lejos del Instituto. b. An debe recoger dos migs por el cmino siempre le toc esperr. c. Felipe es el que menos tiempo trd. d. Isbel es dormilon; siempre le toc correr en el último trmo, unque es l que vive más cerc del Instituto.. Un rectángulo tiene un perímetro de cm. Suponiendo que l bse del mismo tiene un longitud de cm,. Probr que el áre del mismo A está dd por l función. b. Dibuj l gráfic correspondiente est función, tomndo pr ello vlores de de 0 7. Utilizndo l gráfic, clcul los siguientes prtdos. c. El áre del rectángulo cundo d. Ls dimensiones del rectángulo cundo su áre es 9 e. El áre máim del rectángulo. f. Ls dimensiones del rectángulo correspondientes es áre máim.. L velocidd v en m/s de un misil t segundos después de su lnzmiento viene dd por l ecución. Utilizndo l gráfic de est función, clcul:. L máim velocidd que lcnz el misil. b. El tiempo que necesit pr celerr hst conseguir un velocidd de m/s. c. El intervlo proimdo, resuelve gráficmente de tiempo en el cul el misil vuel más de 00 m/s.. El precio del vije de fin de curso de un grupo de lumnos es de 00 euros por person si vn 0 lumnos o menos. En cmbio, si vijn más de 0 menos de 0, rebjn 0 euros por cd lumno que sobrepse el número de 0, si vijn 0 o más, el precio por person es de 00 euros. Hll l epresión dibuj l gráfic de l función que hce corresponder l número de vijeros el precio del vije. 7. El precio del vije de fin de curso de un grupo de lumnos es de 00 euros por person si vn 0 lumnos o menos. En cmbio, si vijn más de 0 menos de 0, rebjn un % por cd lumno que sobrepse el número de 0, si vijn 0 o más, el precio por person es de 00 euros. Hll l epresión dibuj l gráfic de l función que hce corresponder l número de vijeros el precio del vije. 8. Hll el dominio de ls siguientes funciones:. = b. = + d. = c. = e. = f. = 9. L siguiente gráfic muestr los vijes hechos por un furgonet un coche sliendo desde Teruel hci l poblción de Alcñiz, id vuelt. Cuánto tiempo se detuvo l furgonet durnte el trecto? b A qué hor delntó el coche l furgonet? c Qué velocidd llevb l furgonet entre ls 9:0 ls 0:00? d Cuál fue l mor velocidd lcnzd por el coche durnte el vije? e Cuál fue l velocidd medi del coche en el vije completo? 0. Represent gráficmente l siguiente función:. Un vez representd estudi ls zons de crecimiento-decrecimiento, los etremos máimos-mínimos su continuidd.. Represent gráficmente un función, f, que cumpl ls siguientes condiciones:. Dom f = [, ] b. Crece en los intervlos, 0, ; decrece en el intervlo, 0. c. Es continu en su dominio. d. Cort l eje X en los puntos, 0,, 0, 0. e. Tiene un mínimo en 0, máimos en,,. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

139 9. Construe un gráfic que represente l udienci de un determind cden de televisión durnte un dí, sbiendo que. A ls 0 hors hbí, proimdmente, 0 millones de espectdores. b. Este número se mntuvo prácticmente igul hst ls de l mñn. c. A ls 7 de l mñn lcnzó l cifr de millones de espectdores. d. L udienci descendió de nuevo hst que, ls hors, hbí millón de espectdores. e. Fue umentndo hst ls hors, momento en el que lcnzó el máimo: millones de espectdores. f. A prtir de ese momento, l udienci fue descendiendo hst ls 0 hors, que vuelve hber, proimdmente, 0 millones de espectdores. AUTOEVALUACIÓN. Indic cuál de ls siguientes epresiones lgebrics es un función rel: b c z d. Estmos confeccionndo un tbl de vlores de l función f. Indic qué punto no deberí estr: 0, b /, c, / d, 0. El dominio de l función f es: L rect rel b { < } c { } d { 0}, si,. Indic que tipo de discontinuidd o continuidd present l función f en el punto = :, si, Es continu b Tiene un discontinuidd evitble c Tiene un slto finito d Tiene un slto infinito. Señl l función que tiene simetrí pr: = b =, si + c f, d f, si,. Señl l función que tiene como síntot horizontl l rect = : = b =, si + c f, d f, si,, si, 7. L ts de vrición de l función f entre es igul :, si, TV[, ] = b TV[, ] = c TV[, ] = d TV[, ] = 0, si, 8. L ts de vrición medi de l función f entre es igul :, si, TV[, ] = / b TV[, ] = / c TV[, ] = d TV[, ] =, si, 9. L ts de crecimiento de l función f entre es igul :, si, T crec [, ] = b T crec [, ] = c T crec [, ] = 0 d T crec [, ] = 0. L función = + tiene un mínimo bsoluto en el punto:, b 0, 0 c 0, d, 0 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo 9. Funciones gráfics Autores: Andrés Grcí Jvier Sánchez Revisores: Jvier Rodrigo José Gllegos Ilustrciones: Andrés Grcí Jvier Sánchez

140 0 CAPÍTULO : FUNCIONES POLINÓMICAS, DEFINIDAS A TROZOS Y DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Antes de comenzr, vmos representr medinte gráfics ls siguientes situciones: Actividdes resuelts Tiempo t Espcio s s Tiempo t v=s/t Espcio s t Situción : L gráfic s-t de un movimiento rectilíneo uniforme: el espcio recorrido, en función del tiempo, por un ciclist que se desplz con un velocidd de m/s. Al trtrse de un movimiento rectilíneo uniforme, podemos describir el espcio recorrido en función del tiempo medinte l fórmul s v t donde v = m/s. Situción : L gráfic v-t de un movimiento rectilíneo uniformemente celerdo: el espcio recorrido por un ciclist que se desplz con un celerción de m/s. En este cso se trt de un movimiento rectilíneo uniformemente celerdo, luego podemos describir el espcio recorrido por l fórmul ss0v0t t, donde el espcio inicil l velocidd inicil son 0. Representmos l función. s t Situción : Representmos l velocidd de un ciclist con respecto l tiempo, cundo recorre un espcio de 0 m. El movimiento que describe es un movimiento rectilíneo uniforme, luego l fórmul que representmos es s v, como el espcio que recorre el ciclist es de 0 metros, 0 v t. FUNCIONES POLINOMICAS DE PRIMER GRADO.. Proporcionlidd direct Recuerd que dos mgnitudes son directmente proporcionles cundo l multiplicr o dividir l primer por un número, l segund qued multiplicd o dividid por el mismo número. Al relizr el cociente de culquier de los vlores de un vrible los correspondientes de l otr, obtenemos l rzón de proporcionlidd direct k. En l situción, ls mgnitudes espcio tiempo son directmente proporcionles Tiempo t 0 0 Espcio s l rzón de proporcionlidd es 0 0 k 0 Si observmos su gráfic, podemos comprobr que se trt de un semirrect cuo origen es el origen de coordends. En est situción no es interesnte considerr tiempos negtivos, rzón por l cul l representción es un semirrect. L representción gráfic en el plno crtesino de dos mgnitudes directmente proporcionles es un rect que ps por el origen de coordends. Se puede escribir l relción entre l mgnitud A l mgnitud B b como bk donde k es l rzón de proporcionlidd. Pr representr ests relciones de proporcionlidd direct, bst con situr los vlores de cd mgnitud en el plno crtesino unirlos medinte un rect. Actividdes resuelts Represent gráficmente l siguiente relción de proporcionlidd dd en l siguiente tbl: Mgnitud A 0 Mgnitud B b 7, 0,, Al clculr l rzón de proporcionlidd se obtiene: 7... k. L relción se define sí: b =, b 7 b= Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo : Funciones polinómics, definids trozos de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF s s s= t s=/ t t

141 L siguiente tbl nos muestr el peso de un bebe los primeros meses de crecimiento. Utilizndo un gráfic, decidir si son mgnitudes directmente proporcionles. Al representr los puntos en el plno, se observ que l gráfic no es un rect, entonces no son directmente proporcionles El consumo medio de gu l dí por hbitnte en 0 es de litros. Represent gráficmente el consumo de un person en un semn.. El gu virtul es el gu necesri pr crer un producto. Represent gráficmente ls siguientes relciones: 7 litros pr producir un mnzn. b 0.80 litros pr producir unos vqueros. c.000 litros pr producir un cmiset... Función linel. Rects de l form m L representción gráfic de dos mgnitudes directmente proporcionles es un rect que ps por el origen. Luego l relción de proporcionlidd direct es un función linel. Un función linel es un función polinómic de primer grdo. Su representción en el plno crtesino es un rect. Eisten dos tipos de funciones lineles: Rects cu epresión lgebric es m Rects cu función viene dd por m n En este prtdo vmos estudir ls funciones lineles del primer tipo, es decir ls rects de l form m Ls proporciones se representn como rects de l form bk donde k es l rzón de proporcionlidd, b k b son los vlores que tomn ls mgnitudes A B respectivmente. L relción peso coste de culquier producto, es un proporcionlidd se represent con rects de l form m 0 Muchs de ls relciones en físic son proporcionles se representn medinte rects 0 como espcio tiempo, peso densidd, fuerz ms, Actividdes resuelts Represent l rect Meses 7 Peso Kg,, 8, 0, Pr ello, h que construir un tbl de vlores representr los puntos. L rect es l consecuenci de unir los puntos. Se puede observr, que l vrible se define dndo vlores l vrible. Por est rzón es l vrible independiente puede ser culquier vlor que se le dé e es l vrible dependiente depende del vlor de l. Not: pr definir un rect es suficiente con dr dos puntos de ell. - Ls rects m tienen los siguientes componentes: es l vrible independiente. es l vrible dependiente. m es l pendiente de l rect, es lo que diferenci un rect de otr. Ls crcterístics más importntes: Psn por el origen de coordends, es decir, el punto 0,0 pertenece l rect. Su dominio su recorrido son todos los reles: tnto l como l ceptn culquier vlor. Son simétrics respecto l origen, o lo que es lo mismo, son funciones impres b Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

142 Actividdes resuelts Estudi el dominio, máimos mínimos simetrís de l función linel, Al trtrse de un rect, se puede observr que el dominio son todos los reles, puesto que se dmite culquier vlor de l. Si no se consider ningún intervlo, l rect no tiene máimos ni mínimos bsolutos reltivos. Pr ver l simetrí, tommos l función f, f,, f f es impr Es decir, es simétric respecto l origen de coordends. Estudi l función en el intervlo [,7]. El dominio es todo el intervlo [-,7]. f f f esimpr, simétric respecto l origen. En los etremos del intervlo, eisten mínimo, máimo 7,/.. Hll el dominio, máimos mínimos l simetrí de ls siguientes rects:. b. c., 8 7, , ,/ 0,0 7,/ , Estudio de l pendiente Como hemos visto con nterioridd, l pendiente m es lo que diferenci uns rects de otrs. Mide l inclinción de l rect respecto l eje de bsciss. En ls relciones de proporcionlidd direct, l pendiente viene dd por l rzón de proporcionlidd k. Observ en el siguiente gráfico cómo vrí l rect según vmos umentndo o disminuendo l pendiente. Prtimos de l rect, donde m. =0 =0 = = =0, =0, =0,0 - Si ument m, entonces l rect se hce cd vez más verticl, hst csi convertirse en el eje. = 0 - Si disminue m, entonces l rect se hce = cd vez más horizontl, hst csi convertirse = = 0 en el eje Ahor observ lo que ocurre cundo l pendiente m tom vlores negtivos. = 0, - Si ument m, entonces l rect se hce cd vez más horizontl, hst csi = 0,0 convertirse en el eje. - Si disminue m, entonces l rect se hce cd vez más verticl, hst csi convertirse en el eje. Como se puede observr, l vrir l pendiente l inclinción de l rect tmbién vri, según se vn dndo vlores m. L pendiente de l rect es el vlor que mide l inclinción de l rect, es decir, mide el crecimiento o decrecimiento de l función linel: - Si m 0, l rect es creciente. - Si m 0, l rect es decreciente. L pendiente es el coeficiente que compñ l vrible independiente. = 0, Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

143 Interpretción geométric de l pendiente L pendiente de l rect no solo indic el crecimiento decrecimiento de l función, sino que tmbién mide cuánto crece o cuánto decrece. Se puede decir que l pendiente mide el crecimiento de l rect en función de lo que vnz: Si m 0 : o Pr vlores ltos de m l rect crece con mor rpidez, esto es, l rect sube mucho vnz poco. o Pr vlores pequeños de m l rect crece con menos rpidez, es decir, sube poco vnz mucho. Si m 0 : o Pr vlores ltos de m l rect decrece con menos rpidez, es decir, bj poco vnz mucho., o Pr vlores pequeños de m l rect decrece con mor rpidez, esto es, l rect bj mucho vnz poco. Un mner de clculr l pendiente, es dividiendo el vlor de lo que sube l rect, entre lo que vnz, como se muestr en el siguiente dibujo: Ddos dos puntos culesquier de l rect, l pendiente se clcul de l siguiente form: lo que sube m es decir, m, lo que vnz L rect sube = 9 vnz =, entonces 9 m, Actividdes resuelts Clcul l pendiente de l siguiente rect su epresión lgebric. Tommos dos puntos culesquier que pertenezcn l rect, el 0,0 el,., En este cso, l ltur del triángulo sombredo nos indic el vlor que sube l rect,, l bse es el vlor que l rect vnz,. Al dividir estos vlores, obtenemos l pendiente l epresión lgebric de l rect. m, 0,0,0, En estos ejemplos, l rect siempre sube, es decir, l función es creciente. Qué ocurre si l rect fuese decreciente? Pr no equivocrnos con los cálculos, siempre evlumos l función de izquierd derech, es decir, el primer punto estrá más l izquierd, será más pequeño. Esto es sí porque l pendiente mide l cntidd de crecimiento o decrecimiento según l función v umentndo o lo que es lo mismo, vnzndo.. Hll l pendiente l epresión lgebric de ls siguientes rects:. b. c. Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

144 Otr epresión de l pendiente Pr hllr l pendiente se tom como referenci l bse l ltur del triángulo rectángulo que formn los vértices de los puntos de l rect. El cociente entre l ltur l bse es l pendiente. Como el triángulo construido es un triángulo rectángulo, l pendiente es el cociente entre sus dos ctetos, o lo que es lo mismo, l pendiente es l tngente del ángulo que form l rect con el eje horizontl. Copuesto c c tn m tn C c c contiguo L pendiente es l tngente del ángulo que form l rect con el eje de bsciss, es decir, l rect con l horizontl... Rects de l form mn Volvmos l situción l principio del cpítulo. En ese cso, querímos hllr el espcio que recorrí el ciclist. Ahor supongmos que el ciclist, ntes de empezr con su rut, se h tenido que desplzr Km hst el inicio de su cmino. Actividdes resuelts Situción.: L gráfic s-t de un movimiento rectilíneo uniforme: el espcio recorrido, en función del tiempo, por un ciclist que se h trslddo km ntes de empezr el recorrido se desplz con un velocidd de m/s. En este cso, l fórmul del MRU, como tenemos un espcio inicil, es ss0 v t. Con los dtos del ejercicio, l epresión qued s t. Construimos l nuev tbl dibujmos l gráfic: Podemos observr que hemos tenido que dptr los ejes pr poder pintr gráfic, que l rect se h desplzdo.000 posiciones en el eje. L gráfic de est rect tiene como epresión lgebric.000, donde corresponde l tiempo t e l espcio s,.000 es el espcio inicil s 0. En mbos cso, el de l situción est nuev situción, l pendiente de mbs rects es. Esto es sí que se trt de l mism rect pero desplzd.000 posiciones en el eje de bsciss, es decir, ls dos rects son prlels. Ls rects de l form m n tienen l mism pendiente que ls rects m pero se desplzn en el eje de bsciss eje n posiciones. Por est rzón, n se le llm ordend en el origen, que es el vlor de l rect en el punto de prtid, es decir, cundo 0. Compremos l rect con l rect 7 =/ + Ls dos rects tienen l mism form, es decir, l mism inclinción o l mism pendiente. En mbos csos m. Son dos rects prlels. L diferenci está en el vlor de l n : l rect donde n 0 se h desplzdo =/ posiciones en el eje, pr convertirse en l rect donde n Ls funciones polinómics de primer grdo, o funciones lineles, se describen lgebricmente - - de l form m n se representn medinte rects. - - Además de l vrible independiente, l vrible dependiente, l pendiente m, se ñde el vlor n que es l ordend en el origen. =m m>0 =m +n L rect m n es prlel l rect m tienen l mism pendiente, m<0 n m desplzd verticlmente n posiciones. Por est rzón, el crecimiento o =n m=0 decrecimiento de ests funciones se comportn de l mism mner: Si m 0, l función es creciente. Si m 0, l función es decreciente. Si m 0, l función es constnte, ni crece ni decrece. Es prlel l eje, ps por el punto n. Ls funciones m e m n se les llm funciones lineles, unque ls segunds tmbién se les llm funciones fines. Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

145 . Represent ls siguientes funciones lineles:. b. c. 7 d. e. 0 f.. Hll l epresión de ls siguientes rects:. b. c. d.. FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO.. Funciones polinómics de segundo grdo. Prábol En el prtdo nterior hemos representdo ls gráfics de ls funciones polinómics de primer grdo. Ahor, vmos estudir l representción de ls funciones polinómics de segundo grdo. L gráfic de este tipo de funciones será semejnte l representción de l situción l principio del cpítulo. Ls funciones polinómics de segundo grdo son quells que tienen como epresión lgebric un polinomio de grdo, es decir, su epresión es de l form b c. Se representn medinte prábols. L representción de l situción es un prábol En Físic, l trectori de muchos movimientos se representn medinte prábols, por eso recibe el nombre de tiro prbólico: lnzr un proectil con cierto ángulo, el terrizje de un vión en un portviones, etc. Prábol Vmos representr l prábol. Pr ello, construimos un tbl de vlores representmos los pres de puntos en el plno crtesino. En l tbl en l gráfic se pueden observr lguns crcterístics: El dominio el recorrido son todos los reles. L función es continu, porque no present sltos. Es simétric respecto l eje, es decir, es un función pr: f, f f Es decreciente hst el 0, después creciente, luego tiene un mínimo bsoluto en el 0, 0. En este cso,, sbemos que si, l prábol tiene l mism form pero está biert hci bjo, en vez de un mínimo, tiene un máimo en el 0, 0. Vemos lo que sucede cundo umentmos o disminuimos el coeficiente : Si 0: o l umentr, l prábol se hce más estrech, se v cercndo l eje. o l disminuir, l prábol se hce más nch pln, se v cercndo l eje. Si 0: o l umentr, l prábol se hce más nch pln, se v cercndo l eje Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

146 o l disminuir, l prábol se hce más estrech se v cercndo l eje. En generl, ls prábols cu epresión lgebric es, tienen ls siguientes crcterístics: - son continus en todo el dominio - el dominio el recorrido son todos los reles - si 0, l prábol está biert hci rrib tiene un mínimo bsoluto en el punto 0, 0 si 0, l prábol está biert hci bjo tiene un máimo bsoluto en el punto 0, 0 A este punto se le llm vértice de l prábol - son funciones pres, es decir, simétrics respecto l eje. 7. A prtir de l prábol, dibuj l gráfic de ls siguientes prábols:. b. c. d... Trslciones en el plno, e. 0 f. Utilizndo como plntill l gráfic de, se pueden obtener ls gráfics de otrs prábols más complejs, dependiendo del tipo de desplzmiento que utilicemos. Desplzmientos verticles: trslciones en l dirección del eje : k. En este cso, se trt de mover l prábol en dirección verticl, es decir, hci rrib o hci bjo. Compremos ls prábols con nuestr plntill: 0, Se puede observr, que l sumr l prábol, l gráfic es = idéntic pero desplzd uniddes en sentido positivo en el eje, 0,0 es decir, l prábol h subido uniddes. El nuevo vértice ps = ser el punto 0,. - Algo precido ocurre cundo se rest uniddes. En este cso 0,- l gráfic se h desplzdo uniddes en sentido negtivo hst el vértice 0,, es decir, bj uniddes. k tiene l mism gráfic que En generl, l prábol. Si k es positivo, l trslción es hci rrib si k es negtivo, hci bjo. 7 8 pero trsldd k uniddes verticlmente en el eje El vértice de l prábol se sitú en el punto 0, k. Desplzmientos horizontles: trslciones en l dirección del eje : q. Ahor trsldmos l prábol en dirección horizontl. Hci l derech = + = = - o hci l izquierd. Compremos ls prábols -,0 0,0,0 con l plntill: En este cso, l umentr l vrible que se elev l cudrdo, es decir, sumr uniddes, l gráfic se trsld horizontlmente hci l izquierd uniddes, siendo el nuevo vértice el punto -,0. Al disminuir dich vrible, es decir, restr uniddes, l prábol se desplz hci l derech siendo el nuevo vértice el punto,0. En generl, l prábol q tiene l mism gráfic que = =0, = =0, =0 =0,0 = - = - 0 = - 0, Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

147 7 trsldd q uniddes en el eje hci l derech si 0 El vértice de l prábol se sitú en el punto q,0. q hci l izquierd si q 0. Desplzmientos oblicuos: trslciones en mbos ejes: q k. El último movimiento es el que combin los dos nteriores, es decir, movemos l plntill k posiciones de mner verticl q posiciones de = + - = = - + mner horizontl, resultndo un movimiento oblicuo en el plno., Compremos l prábol con l plntill. 0,0 L prábol se trsld uniddes l derech uniddes hci rrib, mientrs que l prábol se -,- trsld uniddes hci l izquierd uniddes hci bjo. Es decir, es l combinción de los dos movimientos nteriores. En generl, l prábol q k tiene l mism gráfic que trsldd de l siguiente form: hci l derech si q 0 hci rrib si k 0 q uniddes ; k uniddes hci l izquierd si q 0 hci bjo si k 0 El vértice de l prábol se sitú en el punto q, k. Representción de prábols de l form Sbemos representr ls prábols de l form de ls prábols cu epresión lgebric es sepmos representr: Actividdes resuelts Represent l gráfic de l función cudrátic L función viene dd de l form r s rs q k = + - = + - = -,- r s q k medinte trslciones. Cómo podemos pintr l gráfic r s? Bst con convertir es epresión en un cu función, queremos convertirl en 9 q k., donde nos prece Sbemos que. Ahor tenemos que justr el resto: K 9 K K Con l prábol epresd de est mner, bst con trsldr l gráfic de, uniddes l izquierd uniddes hci bjo, siendo el vértice el punto,. En generl, el vértice de l prábol se encuentr en el punto r. L otr coordend se obtiene sustituendo en l epresión de l función., el vértice está en el punto,. En el cso nterior, Como r =, l primer coordend del vértice es r. Sustituendo el vlor en l epresión: 98 Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

148 8 8. Represent l gráfic de ls siguientes prábols locliz el vértice:. b. c. d. g. e. 0 7 h... Función cudrátic. Prábols de l form b c i. Ls funciones polinómics de segundo grdo reciben el nombre de funciones cudrátics. Hst hor solo hemos estudido ls funciones de tipo r s f., que es un prábol biert hci rrib, o r s, biert hci bjo. Sbemos cómo fect el vlor del coeficiente en l gráfic de l prábol, hciéndol más estrech o más nch. Pr representr ls funciones cudrátics sbemos representr: Actividdes resuelts b c se convierte dich epresión en un más fmilir que b c bc r s 8: Represent l prábol Convertimos l función en un epresión más fácil de representr: l comprmos con. 8 0 = Ls dos prábols tienen el vértice en el mismo punto de bscis, l coordend qued multiplicd por. En cunto l form, l prábol es más estrech, como se puede ver en el punto.. En generl, l representción de l función cudrátic b c r s se puede proimr representndo l prábol, teniendo el vértice en el mismo punto de bscis l form dependerá del vlor bsoluto del coeficiente, siendo más nch pr vlores grndes más estrech pr vlores más pequeños. L orientción de l prábol será: - hci rrib si 0 - hci bjo si 0 Elementos de l prábol Los elementos más crcterísticos de l prábol udn representr su gráfic en el plno crtesino. Coeficiente : Si 0 l prábol está biert hci rrib. Si 0 l prábol está biert hci bjo. Vértice: El vértice de l prábol está en el punto b b c, : Hbímos visto que pr l prábol de l form r s, l primer coordend es r. = + / - 8/ Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

149 9 L prábol en el cso generl es b c b c r s, es decir, r b, entonces l b r b primer coordend del vértice es. L segund coordend sle l sustituir b en l función cudrátic. Puntos de corte con el eje OX: Son los puntos donde l prábol cort l eje, es decir, es l intersección de l prábol con l rect 0. Indic cuándo l prábol es positiv o negtiv. b c 0. Pr clculrlos, se resuelve l ecución de segundo grdo Punto de corte con el eje OY: Es el punto donde l prábol cort l eje, es decir, es l intersección de l prábol con l rect = 0. Cundo 0l prábol tom el vlor de c, luego el punto de corte es el punto 0, c. Eje de simetrí: L prábol es simétric en l rect prlel l eje que ps por el vértice de l prábol, es decir, el eje de simetrí de l prábol es l rect b. El eje de simetrí tmbién ps por el punto medio del segmento formdo por los dos puntos de corte con el eje. A prtir de estos elementos, se puede representr l gráfic de un función cudrátic. Actividdes resuelts 0 Determin los elementos de l prábol o, entonces l prábol está biert hci bjo. b o Vértice: Vértice : V, o Puntos de corte: 80,0 Eje OX: 00,0 0 Eje OY: , 0 0 L prábol tmbién ps por su simétrico:, 0. o Eje de simetrí: rect. eje de simetrí eje de simetrí V-,8 V-,8 -,0 -,0 -,0 -,0 -,-0 0,-0 9. Hll los elementos crcterísticos represent ls siguientes prábols:. b. -,-0 0,-0 c. d. e. 9 f. 7 g. 7 8 h. 9 i. Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

150 0. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA k Dos mgnitudes son inversmente proporcionles cundo l multiplicr o dividir l primer por un número, l segund qued dividid o multiplicd por el mismo número. L rzón de proporcionlidd invers k es el producto de cd pr de mgnitudes: k b b. Ejemplo Se puede comprobr en l situción en el inicio del cpítulo, que l velocidd el tiempo son mgnitudes inversmente proporcionles. En este cso, el espcio se mntiene constnte, siendo l rzón de proporcionlidd invers s v t. En Físic encontrmos muchos ejemplos de mgnitudes inversmente proporcionles: l densidd el volumen, l potenci el tiempo, l presión l superficie, Actividdes resuelts Represent en el plno l le de Bole-Mriotte: tempertur constnte, el volumen de un ms fij de gs es inversmente proporcionl l presión que este ejerce. L fórmul que describe est le es PV k k Si despejmos el volumen finl V, obtenemos l siguiente epresión: V P L gráfic describe un curv que medid que ument l presión inicil, disminue el volumen se v proimndo l eje, l contrrio, si disminue l presión, el volumen que ocup el gs es mor. L función de proporcionlidd invers se define medinte l epresión, donde k es l rzón de proporcionlidd k invers ls vribles e son los distintos vlores que tienen ls dos mgnitudes. Su representción gráfic en el plno crtesino es un hipérbol. Ejemplo Represent l hipérbol Dmos un tbl de vlores representmos los puntos en el plno: / /0 /0 / =/ / / 0 0 / / b Se puede observr que l gráfic nunc cort los ejes de coordends, que el 0 no pertenece l dominio tmpoco l recorrido de l función. Es fácil comprobr que l función es simétric respecto del origen, continu en todo el dominio, es decir, en {0}. L hipérbol k 0. Represent ls siguientes funciones de proporcionlidd invers en el mismo sistem de coordends:. b. c. d. e. f. 8. Describe lo que sucede cundo vrí el vlor de k. Aúdte de ls gráfics del ejercicio nterior.. Hll l epresión nlític represent l gráfic de ls hipérbols que ps por cd uno de estos puntos. Escribe los intervlos donde l función es creciente o decreciente.., b., c., d., e., f., b Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

151 . Hll el dominio, recorrido, continuidd, máimos mínimos el crecimiento de ls siguientes hipérbols: b. Hll el dominio, recorrido, continuidd, máimos mínimos el crecimiento de ls siguientes hipérbols: 9. b. 0, c. d., e., 9 f., / k En generl, ls hipérbols cu epresión es tienen ls siguientes propieddes: k : o Si el vlor bsoluto de k ument, l curv se lej del origen de coordends. o Si el vlor bsoluto de k disminue, l curv se proim l origen de coordends. Dominio: son todos los reles menos el 0: {0} Recorrido: su recorrido son todos los reles menos el 0: {0} Continuidd: l función de proporcionlidd invers es continu en todo su dominio, pero discontinu en l rect rel, que el 0 no está en el dominio, por tnto, h un slto. Simetrí: son funciones impres, esto es, son simétrics respecto l origen de coordends. Asíntots: Cundo los vlores de los de se hcen mu grndes, l curv se proim los ejes pero sin tocrlos, por tnto, los ejes de coordends son ls síntots de ls funciones de proporcionlidd invers: ls rects 0 e 0. Crecimiento: depende del signo de k : o Si k 0: l función es decreciente en todo su dominio de definición. o Si k 0: l función es creciente en todo su dominio de definición. Ls síntots dividen l hipérbol en dos curvs, que reciben el nombre de rms de l hipérbol. k.. L hipérbol b k A prtir de l representción de l función, es posible representr otro tipo de hipérbols? Al igul que ocurre con ls prábols, podemos trsldr ls hipérbols en el plno en dirección horizontl o verticl, según los vlores que tomen los prámetros b.. Represent en los mismos ejes de coordends, ls siguientes hipérbols:. b. c.. Describe lo que sucede cundo vrín los prámetros b en ls hipérbols del ejercicio nterior. 7 0 Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

152 k En generl, l representción gráfic de ls hipérbols cu epresión lgebric es es un trslción el plno b dependiendo de los vlores de b. Desplzmientos horizontles Al vrir el vlor de, l representción gráfic de l hipérbol se desplz horizontlmente uniddes: <0 +,, >0 +, Si 0: l hipérbol se desplz hci l derech. Si 0: l hipérbol se desplz hci l izquierd. El punto, se convierte en el punto, :,, El vector de trslción es el vector,0 Desplzmientos verticles Al vrir el vlor de b, l representción gráfic de l hipérbol se desplz verticlmente b uniddes: Si b 0: l hipérbol se desplz hci rrib.,+b Si b 0: l hipérbol se desplz hci bjo. b>0 El punto, se convierte en el punto, b :,,, b,+b El vector de trslción es el vector 0, b b<0 Desplzmientos oblicuos Al vrir tnto el vlor de cómo el vlor de +,+b b, l representción gráfic de l hipérbol se desplz digonlmente tnts, uniddes como se el vlor de los prámetros: +,+b Ls direcciones hci donde se trsld dependerá de los signos de b. El punto, se convierte en el punto, b :,, b El vector de trslción es el vector b, 7. Represent ls siguientes funciones de proporcionlidd invers prtir de l hipérbol : b. 8 c d. 7 e. f. 8. Estudi el dominio, recorrido, continuidd, simetrí, síntots crecimiento de ls funciones de proporcionlidd invers del ejercicio nterior. 9. Escribe un regl pr epresr cómo se trsldn ls síntots según los prámetros b. m n Hipérbol p q Ls funciones que se definen medinte est epresión tmbién son funciones de proporcionlidd invers se representn medinte hipérbols. Pr ello, necesitmos hcer el cmbio en un epresión como l estudid en el prtdo nterior que nos resulte más fácil de mnejr representr: m n k Dividiendo m n: p q b p q Actividdes resuelts Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

153 : Convertir l función en un función cu epresión se más sencill de representr. 7 Dividimos entre Est últim epresión es fácil de representr. 0. Represent ls siguientes hipérbols:. b. c. d. 8 7 e. f. 0. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS H gráfics que no podemos representr con un únic fórmul, como l del mrgen: Actividdes resuelts L gráfic del mrgen represent un ecursión en utobús de un grupo de º de E.S.O. Toledo, psndo por Arnjuez. Busc un epresión que l represente. Este tipo de función se denomin función definid trozos pues cd trozo tiene un epresión lgebric diferente. Observ que está formd por trmos de rects, distintos. Podemos clculr sus ecuciones pues conocemos los puntos por los que psn: 0, 0, 0,, 7,, 90, 0, 90, 00 0, 0. Su epresión es: si 0 0 si 0 7 f 0 si si si 00 0 si 0 Represent gráficmente l función f. si 0 Está definid de distint mner ntes de 0, que es un rect, que después de 0, que es un prábol. Simplemente dibujmos ests funciones en los intervlos indicdos.. Represent gráficmente l función. Represent gráficmente l función. Represent gráficmente l función si 0 f. si 0 si 0 f. si 0 si f. si Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

154 Función polinómic de primer grdo: Rects m m n RESUMEN Su epresión son polinomios de grdo uno. Se representn medinte rects: H dos tipos: Funciones lineles o de proporcionlidd direct: m, psn por el origen de coordends. Funciones fines: m n, son trslciones en el eje, n uniddes. Psn por el punto 0, n. 0,n =m =m+n 0,0 Función polinómic de segundo grdo: Prábols b c Función de proporcionlidd invers: Hipérbols k Hipérbols k b Su epresión son polinomios de grdo dos. Se representn medinte prábols: b b c Vértice:, Puntos de corte con el eje OX: bc 0. Punto de corte con el eje OY: 0, es el punto 0, c. b Eje de simetrí: es l rect. k : lej o cerc l curv l origen de coordends. Dominio recorrido: son todos los números reles menos el 0. Continuidd: continu en todo su dominio, discontinu en 0. Simetrí: impr, simétrics respecto l origen de coordends. Asíntots: ls rects 0 e 0. Crecimiento: Si k 0: decreciente en,0 creciente en 0,. Si k 0: creciente en,0 decreciente en 0,. Son el resultdo de trsldr l hipérbol b, : Dominio: {} Recorrido: {b} Puntos:,, b Asíntots: 0 ; 0 b k por el vector de trslción máimo <0 >0 mínimo eje de simetrí 0,c b b c, = +b+c k síntot =0 síntot =b k b síntot = síntot =0 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Función linel. Represent gráficmente l siguiente relción de proporcionlidd dd en l siguiente tbl escribe su ecución. Describe qué tipo de relción es. Mgnitud A 0 Mgnitud B b 0 9. Represent ls rects =, b =, c = /, d =.. Estudi el dominio, máimos mínimos simetrís de ls funciones lineles =, b = 0.. Estudi l función = 0,7 en el intervlo [, ].. Clcul l pendiente de l rect que ps por los puntos, 0, 0 determin su epresión lgebric.. Represent ls siguientes funciones lineles: = + b = + c = d =. 7. Clcul l pendiente de l rect que ps por los puntos,, determin su epresión lgebric. Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

155 8. Clcul l pendiente de ls rects que ps por los puntos que se indicn determin su epresión lgebric.,,, b,,, c,, 0, d,,, 0 9. Dos empress de telefoní móvil lnzn sus oferts: l empres StrTel ofrece por cd llmd pgr 0 céntimos más céntimos por minuto hbldo; Tel-Hello ofrece 7 céntimos por llmd minutos ilimitdos. Qué ofert es más económic? Pr dr l respuest, reliz los siguientes psos, epresndo los resultdos nlític gráficmente:. H lgún momento en que ls dos oferts sen igules? b. Si hblo un medi de minutos l dí, qué ofert me conviene? c. Si hblo un medi de minutos l dí, qué ofert me conviene? d. Si hgo un medi de 0 llmds l dí de minutos de durción, qué ofert me conviene? e. Si hgo un medi de llmds l dí de 0 minutos de durción, qué ofert es l mejor? f. Qué ofert es más económic? 0. El escritor Jime Joce tiene distints oferts editoriles pr publicr su últim novel. L editoril Dole le ofrece 00, demás del 0 % de cd libro que vend; l editoril Letrrte le ofrece 0 ; l editoril Pco le ofrece según l vent de libros: 0 si vende hst 0 libros, 00 si vende hst 00 libros, 00 si vende hst 000 libros 00 si vende más de 000 libros. Entre tods ls editoriles, cuál crees que es mejor ofert pr Jime? Funciones cudrátics. A prtir de l prábol =, dibuj l gráfic de ls siguientes prábols: = + b = + c = d =.. A prtir de l prábol =, dibuj l gráfic de ls siguientes prábols: =, b =, c = / d = 0,7.. Represent l gráfic de ls funciones prbólics siguientes e indic el vértice: = + + b = + c = + d = +.. Determin los elementos de ls prábols siguientes = + + b = + c = + 9 d = +. Funciones de proporcionlidd invers. Hll l epresión nlític represent l gráfic de ls hipérbols = k/ que psn por los puntos que se indicn. Escribe los intervlos donde l función es creciente o decreciente.,, b,, d,.. Represent ls siguientes funciones de proporcionlidd invers: = / b = / c = / d = /. 7. Determin el dominio, recorrido, continuidd, máimos mínimos el crecimiento de ls siguientes hipérbols: = / b = 7/ c = / d = /. 8. Represent ls siguientes hipérbols: = / + b = / + c = / d = /. 9. Represent ls siguientes hipérbols: = / + b = / + c = / d = /. 0. Represent ls siguientes hipérbols: b c d. Funciones definids trozos si. Represent gráficmente l función f. si. Determin los puntos de intersección con los ejes coordendos de l función. Indic los intervlos donde l función si f es creciente. si si. Represent gráficmente l función f. / si si f. si Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

156 AUTOEVALUACIÓN. L rect = + tiene de pendiente m ordend en el origen b: m =, b = 0 b m = /, b = c m =, b = d m =, b =. L rect que ps por los puntos,, tiene de pendiente m ordend en el origen b: m =, b = b m = /, b = c m = /, b = / d m =, b = /. Indic cuál de ls siguientes funciones lineles es simétric respecto del origen de coordends: = 0/7 b = + c = + d = +. Indic cuál de ls siguientes funciones cudrátics es simétric respecto del eje de ordends: = 0/7 + b = + + c = d = + +. Indic el vértice de l función cudrátic = + : 0, b, c 0, d 0,. Señl cuál de ls siguientes funciones cudrátics es más estrech que = : = 0/7 + b = + + c = / + + d = + 7. Indic cuál de ls siguientes hipérbols es simétric respecto del origen de coordends: = / b = / + c = / + d = / + 8. Señl cuál de ls siguientes hipérbols tiene como síntots ls rects = e = : = / b = / + c = / + d = / Si trsldo l hipérbol = / medinte el vector de trslción, obtengo l hipérbol: = / + b = / + c = / + d = / + 0. Señl cuál de ls siguientes funciones cudrátics lcnz un mínimo bsoluto: = 0/7 + b = + + c = / + + d = + Mtemátics ºB de ESO. Cpítulo 0: Funciones polinómics de proporcionlidd invers Autor: Dvid Mirnd Revisor: Mrí Molero Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

157 7 CAPÍTULO : FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS.. FUNCIONES EXPONENCIALES.. Función eponencil H dos tipos de funciones cu epresión nlític o fórmul es un potenci: Si l vrible independiente está en l bse: número nturl es un función polinómic. Si l vrible independiente está en el eponente:, se llm función eponencil. 0,,,, se llm función potencil, cundo demás el eponente es un. Un función eponencil es quell en l que l vrible independiente está en el eponente. En este curso estudimos funciones eponenciles sencills, del tipo de. b, donde l bse b es un número positivo distinto Actividdes resuelts Si l cntidd de bcteris de un determind especie se multiplic por, cd hor, podemos escribir l siguiente fórmul pr clculr el número de bcteris que hbrá l cbo de hors comenzndo por un sol bcteri:,. Número de bcteris en cd hor Tbl de vlores de l función: Hors Núm. trnscurrids bcteris 0...,,9,7,8,8 7,... Gráfic de l función Observ que en este ejemplo no se h ddo l vlores negtivos, que no tiene sentido un número de hors negtivo. En ls funciones eponenciles en generl l sí puede tener vlores negtivos. Sin embrgo l bse b solo puede tener vlores positivos. Asimismo, observrás que l vrible tmbién result siempre positiv. Más delnte recogemos ests propieddes l hblr de dominio recorrido de l función eponencil.. Prueb hor relizr en tu cuderno un tbl de vlores l gráfic pr un cso similr, suponiendo que el número de bcteris se multiplic cd hor por en lugr de por,. Observrás que los vlores de umentn mucho más depris enseguid se slen del ppel. Mientrs que los vlores de umentn de en los vlores de se vn multiplicndo por. Esto se llm crecimiento eponencil. Si en lugr de multiplicr se trt de dividir tenemos el cso de decrecimiento eponencil.. En tu cuderno, represent conjuntmente ls gráfics de función potencil e función eponencil, con vlores de entre 0. Observ l diferenci cuntittiv entre el crecimiento potencil el crecimiento eponencil. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo nº : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

158 8.. Distints funciones eponenciles Ls gráfics de ls funciones eponenciles b se diferencin según el vlor de l bse b. Especilmente se diferencin si 0 < b < o b >. En el cso en el que b = tenemos l función constnte =, cu gráfic es un rect horizontl. Vemos ls gráfics de lguns funciones eponenciles, comprándols con otrs: Funciones e Funciones e Observmos los siguientes spectos comunes en ls cutro gráfics: Su dominio es tod l rect rel. Además son continus. Su recorrido es 0, +. Es decir, nunc es cero ni negtivo. Psn tods por los puntos 0,,, b, /b. L gráfic de l de / son simétrics respecto del eje OY. Y observmos tmbién spectos diferencidos en mbs ilustrciones: Cundo l bse es b > Son funciones crecientes. Cunto mor es l bse el crecimiento es más rápido. Cundo l función tiende 0. Por tnto present un síntot horizontl en l prte izquierd del eje OX. Aunque en lgunos csos pued prentrlo, no presentn síntot verticl, pues no se proimn ningun rect. Cundo l bse es 0 < b < Son funciones decrecientes. Cunto menor es l bse el decrecimiento es más rápido. Cundo + l función tiende 0. Por tnto present un síntot horizontl en l prte derech del eje OX. Aunque en lgunos csos pued prentrlo, no presentn síntot verticl, pues no se proimn ningun rect. Actividdes resuelts Represent gráficmente ls siguientes funciones eponenciles e. Solución: Función Función / / /8 / / 8 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF / / /8 / / /

159 9 Identific ls funciones correspondientes con ls siguientes gráfics: b Solución: Ambs son funciones eponenciles porque psn por el punto 0, tienen por un ldo como síntot horizontl el eje OX, mientrs que por el otro ldo tienden +. L función es, porque ps por el punto,. L función b es porque ps por el punto,. Represent l función Por tener eponente negtivo es:. Por tnto su gráfic es l del mrgen. Observ que ps por los puntos,, 0,, /. Conociendo l gráfic de l función f, que se h visto nteriormente, sin clculr vlores, dibuj ls gráfics de ls funciones g h. Solución: L función g es l función f desplzd hci rrib uniddes. L función h es l función f desplzd hci l izquierd uniddes. Por tnto sus gráfics son ests, representds en diferente color:.. El número e. L función e El número e tiene un grn importnci en Mtemátics, comprble incluso l número π unque su comprensión no es tn elementl tn populr. Pr comprender su importnci h que cceder contenidos de cursos superiores. El número e se define como el límite de l siguiente sucesión: e lim. n Su vlor proimdo es e =, Se trt de un número irrcionl unque l verlo puede precer periódico. Con l ud de l clculdor se puede comprobr cómo los vlores de se cercn cd vez más l vlor e = n,78888 medid que ument el vlor de n. Este número prece en ls ecuciones de crecimiento de poblciones, desintegrción de sustncis rdictivs, intereses bncrios, etc. Tmbién se puede obtener directmente el vlor de e con l clculdor siempre como proimción deciml, puesto que es un número irrcionl. Normlmente h un tecl con l etiquet e pero puedes usr tmbién l tecl etiquetd e. Pr ello tendrás que clculr el vlor de e. L función e comprte ls crcterístics descrits más rrib pr funciones eponenciles de bse mor que.. Utilizndo l clculdor, en tu cuderno hz un tbl de vlores represent en tu cuderno ls funciones e, e.. Un person h ingresdo un cntidd de.000 euros interés del % en un bnco, de modo que cd ño su cpitl se multiplic por,0. Escribe en tu cuderno un tbl de vlores con el dinero que tendrá est person l cbo de,,,, 0 ños. b Indic l fórmul de l función que epres el cpitl en función del número de ños. c Represent en tu cuderno gráficmente dich función. Piens bien qué uniddes deberás utilizr en los ejes. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF n n

160 0. Un determindo ntibiótico hce que l cntidd de cierts bcteris se multiplique por / cd hor. Si l cntidd ls 7 de l mñn es de 0 millones de bcteris, hz un tbl clculndo el número de bcteris que h cd hor, desde ls de l mñn ls de mediodí observ que tienes que clculr tmbién hci trás, b represent gráficmente estos dtos.. Represent en tu cuderno ls siguientes funciones eplic l relción entre sus gráfics: b c. 7. Conociendo l gráfic de l función f, que se h visto más rrib, sin clculr tbl de vlores, dibuj en tu cuderno ls gráfics de ls funciones g h.. FUNCIONES LOGARÍTMICAS.. Definición cálculo elementl de logritmos L epresión log b se lee logritmo de en bse b. log b es el eponente l que h que elevr b pr que el resultdo se. log b = b = b se llm bse se llm rgumento. Observciones: L bse tiene que ser un número positivo distinto de l unidd. El rgumento tiene que ser positivo distinto de 0. Ejemplos: log porque = b log porque 8 8 Un pr de propieddes elementles El logritmo de l bse siempre vle : log b b porque b = b. El logritmo de en culquier bse siempre vle 0: log b 0 porque b 0 =.... Logritmos inmeditos Se llmn sí los que se clculn directmente plicndo l definición. Ejemplos: log porque = log 8 porque = 8 log 0000 = porque 0 = Cundo no se escribe l bse quiere decir que l bse es 0. Los logritmos en bse 0 se llmn logritmos decimles. Otros logritmos no son inmeditos pero se pueden clculr tmbién plicndo l definición, igulndo eponentes. Esto ps cundo l bse el rgumento son potencis del mismo número. Ejemplos: Pr hllr log 8 ponemos log 8 8 Pr hllr log ponemos log. Actividdes resuelts Hll los siguientes logritmos: log ; b log /; c log /; d log /00; e log 0,..; f log ; g log ; clcul el vlor de en ls siguientes igulddes: h = log ; i log =. Soluciones:, porque = ; b, porque ; c, porque ; d, porque 0 00 e, porque 0,... = /9, entonces ; f, porque = el logritmo de l bse siempre vle ; 9 g 0, porque 0 = el logritmo de siempre vle 0; h = log = = / = /. i log = = = =. ; Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

161 Clcul el vlor de en ls siguientes igulddes: log 8 = = 8 = = b log = = = c log = 0 = 900 = d log 0, = 0 = 0, 0 = 0 = e log = = = = f log 9 = 9 = = = = / g log 7 = 7 = 7 = 9 h log 09 = = 09 = = = i log 000 = 0 = 000 = j log = = = / = / = / k log 0 = no eiste solución, porque ningun potenci d 0 como resultdo. l log 00 = no eiste solución, porque el resultdo de clculr un potenci de bse positiv siempre es positivo. m log 7 = 7 = 7 = n log = / / = = / 8. Clcul los siguientes logritmos utilizndo l definición sin clculdor: log 8 b log c log d log e log 0, f log 0,00 9. Clcul los siguientes logritmos utilizndo l definición e igulndo eponentes sin clculdor: log b log 9 7 c log 8 7 d log 0, e log /9 f log g log h log i log j log 7 k log Hll el vlor de en ls siguientes igulddes: log 8 = b log 8 = c log 7 d log 0, = e log =.... Logritmos decimles neperinos con l clculdor Hst quí hemos prendido clculr logritmos utilizndo l definición. Sin embrgo solmente se puede hcer sí en unos pocos csos en concreto cundo el rgumento es un potenci de l bse del logritmo. Por ejemplo no se pueden clculr log, log 0 7, log 0, log 9. Ls clculdors científics disponen de tecls pr hllr únicmente dos o tres tipos de logritmos según el modelo de clculdor: Logritmos decimles en bse 0: Logritmos en culquier bse: En lguns clculdors puede hllrse directmente poniendo l bse el rgumento. Pr clculr un número conociendo su logritmo se emplen ls misms tecls utilizndo previmente l tecl de función invers normlmente SHIFT o INV. Ejemplos: Comprueb con tu clculdor que el número cuo logritmo deciml vle, es,9 que el número cuo logritmo neperino vle, es,89. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF Logritmos neperinos en bse e: Logritmos neperinos son los que tienen como bse el número e =,788 Tmbién se llmn logritmos nturles. Los logritmos neperinos se escriben de tres modos: log e = ln = L Ejemplos: Comprueb con tu clculdor que log 7 = 0,8 que ln 7 = 0,9 vlores redondedos. Comprueb tmbién que log 0 = que ln e =.

162 ... Cmbio de bse de logritmos Con l clculdor tmbién se pueden clculr logritmos que no sen decimles ni neperinos, es decir, en bses distints 0 e. Pr ello se emple l fórmul del cmbio de bse: log Pr cmbir de bse bse b : log b logb log Pr clculr log 7 utilizndo l clculdor hcemos 7 0, log, 0 log0 0, 0. Clcul los siguientes logritmos con l clculdor utilizndo l fórmul del cmbio de bse, compr los resultdos con los obtenidos en l ctividd: log b log 9 7 c log 8 7 d log e log 0, f log /9... Propieddes de los logritmos Ls propieddes de los logritmos son ls siguientes: log b = 0 que b 0 = el logritmo de en culquier bse es 0 log b b = que b = b el logritmo de l bse es El logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de los fctores: log b = log b + log b El logritmo de un cociente es igul l diferenci de los logritmos: log b : = log b log b El logritmo de un potenci es igul l eponente por el logritmo de l bse: log b = log b Ejemplo : log 0 + log, = log 0, = log = log 0 log = log 0/ = log 0 = log 9 = log 9 = = 0 log 9 = log 9 / = log 9 = =.... Epresiones logrítmics lgebrics Ls propieddes de los logritmos se emplen en dos tipos importntes de operción: Tomr logritmos en un iguldd es plicr el logritmo mbos miembros de l mism: = log b = log b. Eliminr logritmos en un iguldd es lo contrrio: conseguir que un epresión logrítmic deje de serlo. Pr esto es necesrio que cd miembro teng un único logritmo: log b = log b =. Actividdes resuelts Sbiendo que log = 0,0, clcul: log = log = log = 0,0 =,0 b log 0,008 = log 8/000 = log 8 log 000 = log = 0,0 =,097 Observ que el logritmo en bse 0 de l unidd seguid de ceros es igul l número de ceros que teng. Sbiendo que log = 0,0 que log = 0,77 clcul: log log log log 0, 0 0, 77 0, 778 b log80 log 0 logloglog0 0, 77 0, 0, 0 c log log log loglog0log 0, 770, 0, 7 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

163 Tom logritmos desrroll: mn mn = log = log log = log m + log n log p p p b c b c b = log = log log = log b + log c log Elimin los logritmos: cd cd log = log c + log d log e log = log = e e b log b = log + log log log b = log + log log log b = log b = log c c log + = log b log + log 000 = log b log c / b b log000 = log 000 = c c Resuelve l siguiente ecución logrítmic: log log log Solución: Pr resolverl es preciso eliminr logritmos: log log log log log L ecución qued 0 8 cus soluciones son = = /. L segund solución no es válid porque l sustituirl en l ecución originl quedrí log como logritmo de un número negtivo, que no eiste. Esto ocurre veces en ls ecuciones logrítmics, igul que en ls ecuciones irrcionles, por ello es necesrio comprobr l vlidez de ls soluciones hllds. En el cálculo de interés compuesto el interés producido cd periodo de tiempo ps formr prte del cpitl. Así, si el periodo de tiempo es un ño, l fórmul del interés cd ño se clcul sobre un nuevo cpitl, que es el cpitl nterior más los intereses producidos en el ño. Por tnto, si el porcentje de interés nul es r, el cpitl cd ño se multiplic r por. 00 Por ejemplo si el interés es del % h que multiplicr por,0 cd ño trnscurrido. n r L fórmul del cpitl cumuldo l cbo de n ños es: Cn C 00 Clcul el cpitl finl cumuldo l cbo de ños pr.000 l % de interés compuesto nul. Solución: C = ,0 = 000,0 =.9,9. A qué interés compuesto h que invertir euros pr obtener en 0 ños l menos.000 euros? Solución: 0 0 r r r r..,,, 08 0, Así pues r =,8 %. Cundo l incógnit es el número de ños que está en el eponente necesitmos tomr logritmos pr resolverlo: Si ingresmos en un bnco.000 l % de interés compuesto nul, cuántos ños tienen que psr pr conseguir.00? Solución:.00 = ,0 n, =,0 n log, log, = n log,0 n = = 0, ños tendremos que esperr log 0, ños. L fórmul del interés compuesto tmbién se utiliz pr los problems de crecimiento o decrecimiento de poblciones, que es un función eponencil: Por ejemplo, si l poblción de un pís ument un % cd ño ctulmente tiene millones de hbitntes, cuántos tendrá l cbo de ños? L solución es: ,0 = ,0 = 7.8. hbitntes. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

164 . Sbiendo que log = 0,0 que log = 0,77 clcul: log b log c log d log 0. Sbiendo que log 8 = 0,90, sin utilizr clculdor, hll los siguientes: log 80 b log c log d log 0,8 e log, f log 800. Tom logritmos desrroll: A b B z. Reduce un único logritmo cd epresión: log log + + log b log + log c log log. Resuelve ls siguientes ecuciones logrítmics: log + = b log + log = log 0 c log 7 log = log 7. Cundo nció un niño sus pdres colocron.000 euros en un libret de horro l, % de interés compuesto nul. Cuánto dinero tendrá l cuent cundo el niño cumpl ños? 8. L poblción de cierts bcteris se multiplic por, cd dí. Si l comienzo h 8 millones de bcteris, cuánts hbrá l cbo de un semn? 9. A qué tnto por ciento de interés compuesto h que invertir un cpitl de euros pr gnr.000 euros en tres ños? 0. Si invertimos euros l, % de interés compuesto nul, cuántos ños deben trnscurrir pr hber gndo l menos 790 euros?. Clcul en cuántos ños se duplic un poblción que crece l ritmo del 0 % nul.. Si un poblción de 8 millones de hbitntes se h convertido en millones en 7 ños, cuánto h crecido cd ño? Ojo: no se trt de dividir entre 7!... Funciones logrítmics... Gráfic crcterístics Ls funciones logrítmics son ls del tipo log. H un función distint pr cd vlor de l bse b. Ejemplos: L tbl de vlores l gráfic de l función 0, 0, 0,7... log -, -,0-0, 0,0,0,,0,... L tbl de vlores l gráfic de l función 0, 0, 0,7... log,,0 0, 0,0 -,0 -, -,0 -,... b Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF 0z log son ls siguientes: log son ls siguientes: Ls crcterístics de ests gráfics nos permiten deducir ls de ls funciones logrítmics en generl, que son ls siguientes:

165 Su dominio es 0, +. Es decir, solo están definids pr positivo. Son continus. Su recorrido es tod l rect rel. Psn por los puntos, 0, b, /b,. L gráfic de log l de log son simétrics respecto del eje OX. b b Por otr prte observmos uns crcterístics propis en ls funciones en mbs ilustrciones, según se l bse del logritmo mor o menor que l unidd. Cundo l bse es b > : Son funciones crecientes. Cunto mor es l bse el crecimiento es más rápido. Cundo 0 l función tiende. Por tnto present un síntot verticl en l prte negtiv del eje OY. Aunque en lgunos csos pued prentrlo, no presentn síntot horizontl, pues l vrible puede llegr culquier vlor. Cundo l bse es 0 < b < : Son funciones decrecientes. Cunto menor es l bse el decrecimiento es más rápido. Cundo 0 l función tiende +. Por tnto present un síntot verticl en l prte positiv del eje OY. Aunque en lgunos csos pued prentrlo, no presentn síntot horizontl, pues l vrible puede llegr culquier vlor.... Relción entre ls funciones eponencil logrítmic Según l definición del logritmo tenemos l siguiente relción: logb b Ls funciones logrítmic eponencil llevn intercmbido el lugr de l l. Por tnto son funciones inverss. En consecuenci, si prtimos de un número le plicmos l función logrítmic, luego l resultdo le plicmos l función eponencil volvemos l número de prtid. Lo mismo ocurre si primero plicmos l función eponencil después l logrítmic. Prtiendo del número, utilizndo l clculdor plicmos un función logrítmic: log 0, 8 recuerd l fórmul de cmbio de bse. A continución plicmos l función eponencil: 8 obtenemos el número del principio. Hciéndolo en sentido inverso, prtiendo del número plicmos primero un función eponencil:. A continución plicmos l función logrítmic: tmbién hemos obtenido el número del principio. log Cundo dos funciones son inverss sus gráfics son simétrics, siendo su eje de simetrí l bisectriz del primer cudrnte. Esto se debe que si el punto, b es de l gráfic de un de ells, el punto b, pertenece l gráfic de l otr. Ejemplos: Ls gráfics de ls funciones log g tienen l siguiente simetrí: f Ls gráfics de ls funciones f log / g tienen l siguiente simetrí: Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

166 Actividdes resuelts Identific ls funciones correspondientes con ls siguientes gráfics: b Solución: Ambs son funciones logrítmics porque psn por el punto, 0 tienen como síntot verticl el eje OY bien se en su prte positiv o negtiv por el otro ldo tienden. L función es log porque ps por el punto, por /,. L función b es log porque ps por el punto, por /,. Conociendo l gráfic de l función f log, que se h visto más rrib, sin clculr vlores, dibuj ls gráfics de ls funciones g log h log. Solución: L función g es l función f desplzd hci rrib uniddes. L función h es l función f desplzd hci l izquierd uniddes. Por tnto sus gráfics son ests: Represent l función log usndo un tbl de vlores. A continución, prtir de ell sin clculr vlores, represent ls funciones siguientes: Solución: Por l simetrí respecto l bisectriz del primer cudrnte:, log, utilizndo tmbién / Por l simetrí respecto l eje OX: represent Por l simetrí respecto l eje OY:.. Represent en tu cuderno, medinte tbls de vlores, ls gráfics de ls siguientes funciones: log b log c log f f / f, Comprueb que en todos los csos psn por los puntos, 0, b, /b,.. Identific ls fórmuls de ls siguientes funciones prtir de sus gráfics, sbiendo que son funciones logrítmics: b Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

167 7 c d. Repite en tu cuderno el dibujo de l función f log representd en el ejercicio. Después piens qué desplzmiento sufren respecto ell ls funciones siguientes represéntls en l mism gráfic sin hcer tbls de vlores: g log b h log c i log d j log. Hz el mismo proceso del ejercicio nterior con ls funciones siguientes: g log b h log c i log d j log 7. Identific ls fórmuls de ls siguientes funciones prtir de sus gráfics, sbiendo que son funciones logrítmics: b c d 8. Represent en tu cuderno l función = usndo un tbl de vlores. A continución, prtir de ell sin clculr vlores, represent ls funciones siguientes:, log, log/. Recuerd que: Un rdin se define como l medid del ángulo centrl cuo rco de circunferenci tiene un longitud igul l rdio. Por tnto: 0º equivlen π rdines De donde se deduce que: 80º equivlen π rdines 90º equivlen π/ rdines. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En el cpítulo 7 hs estudido Trigonometrí, por lo que conoces ls rzones trigonométrics seno, coseno tngente de un ángulo. Ahor vmos estudir ls funciones trigonométrics sus propieddes... Ls funciones seno coseno Ests dos funciones se incluen en el mismo prtdo porque son mu precids. Su gráfic es l llmd sinusoide, cuo nombre deriv del ltín sinus seno. Y sbes que en los estudios de Mtemátics se suele utilizr como unidd pr medir los ángulos el rdián. Por tnto es necesrio conocer ests gráfics epresds en rdines. Ls puedes obtener fácilmente con l clculdor. Fíjte en sus similitudes en sus diferencis: Gráfic de l función f = sen Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

168 8 Gráfic de l función f = cos Y sbes cuánto vle π, π =,. Tenlo en cuent l dibujr ls gráfics. Propieddes de ests funciones: Ambs son periódics el vlor de su período es π. sen + π = sen cos + π = cos Son funciones continus en todo su dominio. Su dominio son todos los números reles. Su recorrido es el intervlo [, ]. L función seno tiene simetrí impr simétric respecto del origen de coordends, es decir, sen = sen l función coseno tiene simetrí pr simétric respecto del eje OY, es decir, cos = cos. Ambs funciones tienen l mism gráfic pero desplzd en rdines en sentido horizontl. Es decir: sen + π/ = cos.. L función tngente Est función es diferente ls otrs dos. Por es rzón l presentmos seprdmente. Y sbes que como rzones trigonométrics: tg = sen / cos. L gráfic de l función f = tg es l siguiente: Recordmos en primer lugr que no eiste l tngente pr los ángulos de ± π/, ±π/, ±π/, etc. Ls propieddes de est función son ls siguientes: Es un función periódic el vlor de su período es hor menor, es π: tg + π = tg. Su dominio son todos los números reles ecepto los múltiplos de π/ por un número impr ±π/, ±π/, ±π/, etc., donde no eiste. En esos vlores present discontinuiddes llmds discontinuiddes inevitbles, porque no se podrín tponr medinte un punto. Tiene síntots verticles en esos mismos vlores de l. Ls hemos representdo en el gráfico medinte línes discontinus. Tiene simetrí impr: es simétric respecto del origen de coordends, que tg = tg Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

169 9 Actividdes resuelts Represent ls gráfics de ls funciones = sen e = sen comprándols después con l gráfic de = sen. Solución: Dndo vlores con l clculdor obtenemos ls siguientes gráfics, representds en zul junto l de l función sen, representd en rojo: L gráfic de = sen es igul l de = sen contréndol horizontl-mente. Cmbi el periodo, que hor es de π. L gráfic de = sen es igul l de = sen epndiéndol verticlmente. Tienen el mismo periodo, pero cmbi l mplitud. Cundo = sen lcnz en π/ un vlor máimo de, = sen lcnz en π/ un vlor máimo de. Decimos que su mplitud vle. 9. Represent en tu cuderno ls gráfics de ls funciones = cos, = cos e = cos comprándols después con l gráfic de = cos. 0. Prtiendo de l gráfic de l función = sen, represent en tu cuderno, sin hcer tbls de vlores, ls gráfics de = + sen de = sen + π/.. Identific ls gráfics de ls siguientes funciones trigonométrics: b EJERCICIOS Y PROBLEMAS Función eponencil. Represent medinte un tbl de vlores ls siguientes funciones: b c / d. Represent medinte un tbl de vlores l función continución, sin tbl de vlores, represent ests otrs sobre el mismo dibujo: b c d. Encuentr un función eponencil f b sbiendo que f 9.. Encuentr un función f k b sbiendo que f 8 que f 0.. Si un cpitl de.00 euros se multiplic cd ño por,0 represent en un gráfico l evolución de ese cpitl en los 0 primeros ños. Escoge uns proporciones decuds pr los ejes.. Cierto tipo de céluls se reproduce por biprtición, comprobándose que el número de ells se duplic cd dí. Si en un dí determindo el número de céluls er de millones: Epres medinte un función el número de céluls en función del número de dís. b Hll el número de céluls que hbrá dentro de dís el que hbí hce dís. c En qué dí pienss que el número de céluls er de.0? 7. L descomposición de cierto isótopo rdictivo viene dd por l fórmul = 0,7 0,t, donde 0 represent l cntidd inicil t el número de milenios trnscurrido. Si l cntidd ctul es de 0 grmos, cuál será l cntidd que quede l cbo de ños? Cuál er l cntidd que hbí hce.000 ños? Función logrítmic 8. Clcul los siguientes logritmos utilizndo l definición sin utilizr l clculdor: log b log 8 c log 000 d log e log 7 0, f log 0, Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

170 70 9. Clcul los siguientes logritmos utilizndo l definición e igulndo eponentes, sin clculdor: log 9 b log c log 0, d log 9 7 e log 8 f log 8 g log 0, h log 8 i log 7 j log Clcul los siguientes logritmos con l clculdor utilizndo l fórmul del cmbio de bse: log 7 b log 9 c log 0 0, d log 8 e log 000. Utilizndo los vlores log = 0,0 que log = 0,77 clcul, plicndo ls propieddes de los logritmos sin clculdor: log 7 b log c log 0 d log 0 e log f log. Llmndo log 9 = epres en función de los siguientes logritmos: log 8 b log 900 c log 0, ˆ d log 0,9 e log 900. Resuelve ls siguientes ecuciones logrítmics: log = log 0 b log + log = log c log + + log = log d log + log + =. Qué relción h entre el logritmo de un número el de su inverso /?. Si se multiplic por el número, su logritmo en ciert bse ument en dos uniddes. Cuál es dich bse?. L escl Richter, usd pr medir l intensidd de los terremotos, es un escl logrítmic: un terremoto de mgnitud es 00 veces más intenso que uno de mgnitud, porque = log = log.000. Teniendo esto en cuent, si el fmoso terremoto de Sn Frncisco en 90 tuvo un mgnitud de 8, el de Hití en 00 fue de 7, cuánts veces más fuerte fue uno que otro? Funciones trigonométrics 7. Determin todos los ángulos que verificn que sen = /. 8. Determin todos los ángulos que verificn que sen = /. 9. Determin todos los ángulos que verificn que cos = /. 0. Determin todos los ángulos que verificn que cos = /.. Determin todos los ángulos que verificn que tg =.. Clcul sen cos si tg =.. Clcul sen tg si cos = 0,.. Clcul tg cos si sen = 0,.. Clcul ls rzones trigonométrics de los ángulos siguientes: 7π/, b 0π/, c π/, d 9π/.. Dibuj en tu cuderno sobre unos mismos ejes ls gráfics de ls funciones seno, coseno tngente e indic lo siguiente: Si el seno vle cero, cuánto vle el coseno, l tngente? b Si el coseno vle cero, cuánto vle el seno l tngente? c Si l tngente vle cero, cuánto vle el seno el coseno? d Cuándo l tngente tiende infinito, cuánto vle el coseno? 7. Dibuj l gráfic de l función = sen, completndo previmente l tbl siguiente en tu cuderno: 0 π/ π π/ π sen L mplitud es l ordend del máimo. Cuál es l mplitud de est función? b Cuál es su periodo? c L frecuenci es l invers del periodo, cuál es su frecuenci? 8. Dibuj l gráfic de l función = senπ, completndo previmente l tbl siguiente en tu cuderno: π 0 π/ π π/ π senπ Cuál es l mplitud de est función? b Cuál es su periodo? c Cuál es su frecuenci? 9. Dibuj l gráfic de l función = senπ/ + π/, completndo previmente l tbl siguiente en tu cuderno: π/ 0 π/ π π/ π senπ/ Cuál es l mplitud de est función? b Cuál es su periodo? c Cuál es su frecuenci? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

171 7 0. Dibuj l gráfic de l función = senπ +, completndo previmente l tbl siguiente en tu cuderno: π + 0 π/ π π/ π senπ + Cuál es l mplitud de est función? b Cuál es su periodo? c Cuál es su frecuenci?. Dibuj l gráfic de l función = cos, completndo previmente l tbl siguiente en tu cuderno: 0 π/ π π/ π cos Cuál es l mplitud de est función? b Cuál es su periodo? c Cuál es su frecuenci?. Dibuj l gráfic de l función = cosπ, completndo previmente l tbl siguiente en tu cuderno: π 0 π/ π π/ π cosπ Cuál es l mplitud de est función? b Cuál es su periodo? c Cuál es su frecuenci?. Dibuj l gráfic de l función = cosπ +, completndo previmente l tbl siguiente en tu cuderno: π + 0 π/ π π/ π cosπ + Cuál es l mplitud de est función? b Cuál es su periodo? c Cuál es su frecuenci?. Dibuj l gráfic de l función = tg, completndo previmente l tbl siguiente en tu cuderno. : 0 π/ π π/ π tg Cuál es su periodo? Problems. Por efecto de un ntibiótico el número de bcteris de un coloni se reduce en un 7 % cd hor. Si en el momento de dministrrse el ntibiótico hbí 0 millones de bcteris, cuánts hbrá l cbo de 0 hors?. Un person ingiere ls 8 de l mñn un dosis de 0 mg de medicmento. Dicho medicmento se v eliminndo t trvés de l orin, l cntidd que qued en el cuerpo l cbo de t hors viene dd por l fórmul Mt 00, 8. Pr que el medicmento hg efecto tiene que hber l menos un cntidd de mg en el cuerpo. Cuánto tiempo seguirá hciendo efecto después de su ingestión? 7. L medid de l presión tmosféric P en milibres un ltitud de kilómetros sobre el nivel del mr está dd por l 0, ecución P 0 e. Si l presión en l cim de un montñ es de 9 milibres, cuál es l ltur de l montñ? b Cuál será l presión en l cim del Everest ltitud 8.88 metros? 8. A qué tnto por ciento h que invertir un cpitl pr duplicrlo en 0 ños? 9. Cuántos ños debe estr invertido un cpitl pr que l % de interés se conviert en, veces el cpitl inicil? 0. Conoces ess muñecs russ que llevn dentro otr muñec igul pero de menor tmño, sí sucesivmente? Supongmos que cd muñec tiene dentro otr que ocup / de su volumen. Si l muñec mor tiene un volumen de 0 cm l más pequeñ es de 80 cm, cuánts muñecs h en totl en l serie? Podrís dr un fórmul generl pr este cálculo?. Indic, sin dibujr l gráfic, el periodo, l mplitud l frecuenci de ls funciones siguientes: = sen /, b = 0, cos π/, c = sen π/, d = cos π. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

172 7 Función eponencil b Definición de logritmo Cmbio de bse Operciones con logritmos Función logrítmic logb Funciones trigonométrics = sen = cos = tg RESUMEN Dominio: Todos los números reles. Recorrido: Todos los números reles positivos. Continu en todo el dominio Asíntot horizontl: = 0 b >, Creciente en todo el dominio. 0 < b < Decreciente en todo el dominio Puntos destcbles: 0,,, b,, /b log b b 0, b 0, b Consecuencis elementles: logb b logb 0 Log. de un producto: Log. de un cociente: Log. de un potenci: Ejemplos log log 8 / log log 7 b log log 7, 0 log log b log b = log b + log b log b : = log b log b log b = log b Dominio: T Todos los números reles positivos. Recorrido: Todos los números reles. Continu en todo el dominio Asíntot verticl: =0 b > Creciente en todo el dominio. 0 < b < Decreciente en todo el dominio Puntos destcbles:, 0, b,, /b, Funciones seno coseno: Dominio: Todos los números reles. Recorrido:[, ] Continus en todo el dominio. Periódics de período π Función tngente: Dominio continuidd: Todo slvo n + π/ En esos vlores h síntots verticles Recorrido: Todos los números reles. Periódic de periodo π. Simetrí: Funciones seno tngente: simetrí impr. Función coseno: simetrí pr. b c log logb log c log Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

173 7 AUTOEVALUACIÓN. El vlor de que verific l ecución eponencil es: b c d. L función eponencil = e tiende *** cundo tiende *** cundo tiende +. Indic con qué vlores hbrí que rellenr los steriscos: 0, + b +, 0 c 0, d, 0. Indic cuál es l función eponencil f = b que verific que f = 7: f = b f = c f = 7 d f =. El vlor de que verific = log 0 es: 0 b c 0 d Otro vlor. L ecución logrítmic log + log = log 0 tiene como solución: b c d. Indic l firmción verdder: L función eponencil de bse mor que es decreciente b L función logrítmic de bse mor que es decreciente c L función eponencil siempre es creciente d L función eponencil de bse mor que es creciente 7. L epresión generl de todos los ángulos cu tngente vle, donde k es un número entero, es: + kπ b + kπ c + kπ d + kπ 8. L función f = sen tiene de mplitud, periodo frecuenci, respectivmente:, π/, /π b, π/, /π c, /π, π/ d, /π, π/ 9. El seno, el coseno l tngente de 7π/ vlen respectivmente:,, b,, c,, d,, 0. El seno, el coseno l tngente de π/ vlen respectivmente:,, b,, c,, d,, Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Funciones eponenciles, logrítmics trigonométrics Autor: Miguel A. Pz Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Ilustrciones: Miguel Ángel Pz Bnco de Imágenes de INTEF

174 7 CAPÍTULO : ESTADÍSTICA IDENTIFICACIÓN DE LAS FASES Y TAREAS DE UN ESTUDIO ESTADÍSTICO Nos enfrentmos dirio l necesidd de recoger, orgnizr e interpretr dtos est necesidd umentrá en el futuro, debido l desrrollo de los sistems de comunicción ls bses de dtos. Es notble el umento del uso de ls redes sociles tles como Youtube o Fcebook, donde ls persons tienen oportunidd de presentr informción sobre ellos mismos, de págins web donde se pueden encontrr descrgr grn vriedd de dtos estdísticos sobre diversos tems de ctulidd: resultdos deportivos de sus equipos fvoritos, tempertur máim mínim lo lrgo de un mes, vents de turrón l psd nvidd, etc. En otrs ocsiones los dtos son recogidos por el investigdor medinte l relizción de un encuest o trvés de un eperimento. L encuest requerirá l elborción de un cuestionrio, fijndo los objetivos del mismo, eligiendo ls vribles eplictivs redctndo ls pregunts que permitn obtener l informción desed de un form clr concis. En este sentido, l estdístic h jugdo un ppel primordil en este desrrollo tecnológico que nos está tocndo vivir, l proporcionr herrmients metodológics generles pr nlizr l vribilidd, determinr relciones entre vribles, diseñr de form óptim eperimentos, mejorr ls predicciones l tom de decisiones en situciones de incertidumbre. El trtmiento estdístico de un problem comienz siempre con l presentción de l mgnitud que se quiere nlizr de un determind poblción l selección de l muestr pertinente pr psr l recogid de dtos. Un vez obtenidos los dtos se ordenn presentn en tbls o gráfics, de form que se posible observr ls prticulriddes que señln. De quí se puede considerr que un estudio estdístico const de un serie de fses tres bien diferencids:. Definición de l poblción crcterístic estudir. Tres: Identificción de ls crcterístics cuntittivs culittivs; fijción de l poblción; especificción de l form de recogid de dtos entrevists, teléfono, correo electrónico, etc... Selección de l muestr. Tres: Identificción del tmño de l muestr presupuesto necesrio.. Recogid de dtos. Tres: Diseño del cuestionrio; diseño muestrl.. Orgnizción representción gráfic. Tres: Tbls gráfics que uden un más fácil interpretción de los dtos; esto consiste en un estudio de cd vrible, l tbulción representción es gráfic s más propid s.. Análisis de dtos. Tres: Trtmiento de los dtos. Esto consistirá en un nálisis descriptivo de los dtos /o un nálisis multivrinte de los dtos, dependiendo del tipo de estudio relizr costes del mismo.. Obtención de conclusiones. Tres: recomendciones tom de decisiones prtir de ls conclusiones. Un list de puntos tener en cuent l plnter ls pregunts de investigción es l siguiente: Qué quieres probr? Qué tienes que medir /observr /preguntr? Qué dtos necesits? Cómo encontrrás tus dtos? Qué hrás con ellos? Crees que puedes hcerlo? Encontrrás problems? Cuáles? Pr qué te servirán los resultdos? De est mner se preprrá un list de ls crcterístics que queremos incluir en el estudio, nlizndo ls diferentes forms con ls que podrín obtenerse los dtos. Por simple observción: como el seo, color de pelo ojos, si el lumno us o no gfs; Si se requiere un medición: como el peso, tll, perímetro de cintur; si hbrí que preguntr, es decir, si se debe relizr un encuest: cuánto deporte prctic, número del clzdo, cunts hors duerme, cunts hors estudi l dí o l semn, etc. Por tnto, es importnte considerr l nturlez de ls escls de medid tipo de vrible estdístic, puesto que de ells depende el método de nálisis de dtos que se puede plicr. L elección del conjunto de dtos es crític, pues dependiendo del tipo de dtos l gm de técnics estdístics será más o menos mpli, que no tods ls técnics son plicbles culquier tipo de dto. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

175 7. POBLACIÓN Y MUESTRA. VARIABLES ESTADÍSTICAS.. Poblción Poblción estdístic, colectivo o universo es el conjunto de todos los individuos persons, objetos, nimles, etc. que contengn informción sobre el fenómeno que se estudi. Si estudimos el precio de l viviend en un ciudd, l poblción será el totl de ls viviends de dich ciudd. Actividdes resuelts Se v relizr un estudio estdístico sobre el porcentje de persons csds en l penínsul. Pr ello no es fctible estudir todos cd uno de los hbitntes por rzones de coste de rpidez en l obtención de l informción. Por lo tnto, es necesrio cudir eminr sólo un prte de est poblción. Es prte es l muestr elegid.. Muestr Muestr es un subconjunto representtivo que se seleccion de l poblción sobre el que se v relizr el nálisis estdístico. El tmño de l muestr es el número de sus elementos. Cundo l muestr comprende todos los elementos de l poblción, se denomin censo. Si se estudi el precio de l viviend de un ciudd, lo norml será no recoger informción sobre tods ls viviends de l ciudd que serí un lbor mu complej costos, sino que se suele seleccionr un subgrupo muestr que se entiend que es suficientemente representtivo.. Señlr en qué cso es más conveniente estudir l poblción o un muestr: El diámetro de los tornillos que fbric un máquin dirimente. b L ltur de un grupo de seis migos.. Se puede leer el siguiente titulr en el periódico que public tu instituto: L not medi de los lumnos de º ESO de l Comunidd de Mdrid es de 7,9. Cómo se h llegdo est conclusión? Se h estudido tod l poblción? Si hubiern selecciondo pr su cálculo solo ls mujeres, serí representtivo su vlor?.. Individuo o unidd estdístic Individuo o unidd estdístic es culquier elemento que conteng informción sobre el fenómeno que se estudi. Si estudimos ls nots de los lumnos de un clse, cd lumno es un individuo; si estudimos el precio de l viviend, cd viviend es un unidd estdístic... Vrible estdístic En generl, supondremos que se está nlizndo un determind poblción, de l que nos interes ciert crcterístic, representd por un vrible observble o estdístic X. Ls vribles que están bjo estudio se pueden clsificr en dos ctegorís: Vribles culittivs o tributos dtos no métricos, que no se pueden medir numéricmente. Ls escls de medid no métrics se clsificn en nominles o ctegórics ordinles. Vribles cuntittivs, que tienen un vlor numérico. Este tipo de vribles son ls que precen con más frecuenci permiten un nálisis más detlldo que ls culittivs. Dentro de ls vribles cuntittivs, se pueden distinguir ls vribles discrets ls vribles continus. Ls vribles discrets tomn vlores isldos, mientrs que ls vribles continus pueden tomr culquier vlor dentro de un intervlo. Ejemplos de vribles culittivs son l ncionlidd o l rz de un conjunto de persons. Ejemplos de vribles cuntittivs son ls nots obtenids en un signtur, el peso o ltur de un conjunto de persons. Ejemplos de vribles discrets son el número de lumnos que pruebn un signtur, o el número de componentes defectuosos que se producen l dí en un fábric. Ejemplos de vribles continus son el tiempo que trdmos en llegr l instituto desde nuestr cs o l velocidd de un vehículo. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

176 7 Actividdes resuelts Se v relizr un estudio estdístico sobre el porcentje de persons con hijos en un loclidd mdrileñ de.78 hbitntes. Pr ello se eligen. hbitntes se etienden ls conclusiones tod l poblción. Identificr vrible estdístic, poblción, muestr, tmño muestrl e individuo. o Vrible estdístic: si un person tiene hijos o no. o Poblción: Los.78 hbitntes de l loclidd. o Muestr: Los. hbitntes elegidos. o Tmño muestrl:. persons. o Individuo: Cd person que se le pregunte.. Indicr el tipo de vrible estdístic que estudimos rzon, en cd cso, si serí mejor nlizr un muestr o l poblción: El seo de los hbitntes de un pís. b El dinero gstdo l semn por tu hermno. c El color de pelo de tus compñeros de clse. d L tempertur de tu provinci. e L tll de pie de los lumnos del instituto.. Pr relizr un estudio hcemos un encuest entre los jóvenes de un brrio les preguntmos por el número de veces que vn l cine l mes. Indic qué crcterístics deberí tener l muestr elegid si deberín ser todos los jóvenes de l muestr de l mism edd.. TABLAS DE FRECUENCIAS.. Frecuenci bsolut Cundo se nliz un vrible discret, l informción resultnte de l muestr se encuentr resumid hbitulmente en un tbl o distribución de frecuencis. Supongmos que se h tomdo un muestr de tmño N en l que se hn identificdo k vlores o modliddes distintos,,, k. Cd uno de ellos se produce con un frecuenci bsolut n i, es decir, el número de veces que prece en l muestr. L informción obtenid se puede resumir en un tbl de frecuencis. Ls tbls de frecuenci tmbién se utilizn pr representr informción de un vrible continu procedente de un muestr en l que se grupn ls observciones en intervlos, que se denominn intervlos de clse L i o celds. Aunque este procedimiento supone, de hecho, un pérdid de informción, est pérdid no es de mgnitud importnte se ve compensd con l grupción de l informción l fcilidd de interpretción que proporcion un tbl de frecuencis. En este cso, los vlores i se corresponden con el punto medio del intervlo se denominn mrcs de clse. Cundo relizmos un estudio sobre el ocio encuestmos 0 jóvenes de un loclidd sobre el número de veces que vn l cine los resultdos de dich encuest los podemos recoger en un tbl pr resumir dich informción. Actividdes resuelts Se está relizndo un control del peso de un grupo de niños. Pr ello, se contbilizn el número de veces que comen l dí un chocoltin niños durnte un mes, obteniendo los siguientes números:,,,, 0,,, 7,,,, 0,. L informción obtenid se puede resumir en un tbl de frecuencis bsoluts: Vlores 0 7 Frecuenci bsolut 0 En un fábric se reliz un estudio sobre el espesor, en mm, de un cierto tipo de lts de refresco. Con este fin, seleccion un muestr de tmño N =, obteniendo los siguientes vlores: 7.8, 8., 7., 0., 7., 8., 9.,., 7., 8., 0., 9., 9.9, 8.7, 8., 7., 9.9, 8., 0.9, 7.9,., 8.8, 9., 8., 0.. Est informción se puede resumir en l siguiente tbl de frecuencis, con intervlos: 7, 8], 8, 9], 9, 0], 0, ],, ], siendo ls mrcs de clse los puntos medios de cd intervlo: 7,; 8,; 9,; 0,;,. Comprueb que ls frecuencis bsoluts son ls indicds en l tbl: Intervlos de clse 7,8] 8,9] 9,0] 0,],] Mrcs de clse Frecuenci bsolut 8 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

177 77. Obtener l tbl de frecuencis bsoluts de ls nots en inglés de lumnos: Frecuenci reltiv Se denomin frecuenci reltiv f i de un vlor de l vrible l cociente entre l frecuenci bsolut el número totl de observciones N. Se escribe: ni fi N De l mism mner podemos recoger l informción obtenid prtir de un encuest 0 jóvenes de un loclidd sobre el número de veces que vn l cine medinte porcentje del número de veces que se repite un vlor de l vrible sobre el totl. Actividdes resuelts Se está relizndo un control del peso de un grupo de niños. Pr ello, se contbilizn el número de veces que comen l dí un chocoltin niños durnte un mes, obteniendo los siguientes números:,,,, 0,,, 7,,,, 0,. L informción obtenid se puede resumir en un tbl de frecuencis reltivs: Vlores 0 7 Frecuenci reltiv Construir un tbl de frecuencis reltivs con el color de pelo de persons elegids l zr: M=moreno; R=rubio; P=pelirrojo M R P R R R R P P M M M M R R R R R M M M M M P.. Frecuenci bsolut cumuld Se denomin frecuenci bsolut cumuld de un vlor de l vrible N i l sum de tods ls frecuencis bsoluts de los vlores menores o igules que él. Se clcul como: Se verific l siguiente relción entre los vlores de N i : N i i nj j NN Nk N De l mism mner podemos recoger l informción obtenid prtir de un encuest 0 jóvenes de un loclidd sobre el número de veces que vn l cine medinte el número cumuldo de veces que se repite un vlor de l vrible sobre el totl. Actividdes resuelts Se está relizndo un control del peso de un grupo de niños. Pr ello, se contbilizn el número de veces que comen l dí un chocoltin niños durnte un mes, obteniendo los siguientes números:,,,, 0,,, 7,,,, 0,. L informción obtenid se puede resumir en un tbl de frecuencis bsoluts: Vlores 0 7 Frecuenci bsolut 0 Frecuenci bsolut cumuld El número de hors diris de estudio de lumnos es el siguiente: Efectú un recuento orgniz los resultdos obtenidos en un tbl de frecuencis bsoluts cumulds. b Qué significn ls frecuencis cumulds que hs clculdo? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

178 78.. Frecuenci reltiv cumuld Se denomin frecuenci reltiv cumuld F i de un vlor de l vrible l sum de tods ls frecuencis reltivs de los vlores menores o igules que él. Se clcul como: Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic F i i f j j Se verific l siguiente relción entre los vlores de F i : FF F k De l mism mner podemos recoger l informción obtenid prtir de un encuest 0 jóvenes de un loclidd sobre el número de veces que vn l cine medinte el porcentje cumuldo del número de veces que se repite un vlor de l vrible sobre el totl. Actividdes resuelts Se está relizndo un control del peso de un grupo de niños. Pr ello, se contbilizn el número de veces que comen l dí un chocoltin niños durnte un mes, obteniendo los siguientes números:,,,, 0,,, 7,,,, 0,. L informción obtenid se puede resumir en un tbl de frecuencis bsoluts: Vlores 0 7 Frecuenci reltiv Frecuenci reltiv cumuld En un fábric se reliz un estudio sobre el espesor, en mm, de un cierto tipo de lts de refresco. Con este fin, seleccion un muestr de tmño N =, obteniendo los siguientes vlores: 7.8, 8., 7., 0., 7., 8., 9.,., 7., 8., 0., 9., 9.9, 8.7, 8., 7., 9.9, 8., 0.9, 7.9,., 8.8, 9., 8., 0.. Est informción se puede resumir en l siguiente tbl de frecuencis, con intervlos: Intervlos de clse 7,8] 8,9] 9,0] 0,],] Mrcs de clse Frecuenci bsolut 8 Frecuenci reltiv Frecuenci reltiv cumuld Se orgniz en un tbl l informción recogid de ls estturs, en cm, de un grupo de 0 niñs: L esttur es un vrible estdístic cuntittiv continu. Por tnto, podemos grupr los vlores de l vrible en intervlos que llmmos clses o celds. L mplitud de cd intervlo viene dd por l fórmul: En nuestro cso concreto tenemos que: Má Mín N.0 0 Aproimndo, l mplitud de cd intervlo es de cm. Esttur en intervlos [ 0 [0 [ 0 [0 Frecuenci bsolut 8 Frecuenci reltiv Frecuenci bsolut cumuld 7 0 Frecuenci reltiv cumuld En un evlución, de los 0 lumnos de un clse, el 0 % probó todo, el 0 % suspendió un signtur, el 0 % suspendió dos signturs el resto más de dos signturs. Reliz l tbl de frecuencis complet correspondiente frecuencis bsoluts, frecuencis reltivs, frecuencis bsoluts cumulds frecuencis reltivs cumulds. b H lgún tipo de frecuenci que correspond l pregunt de cuntos lumnos suspendieron menos de dos signturs? Rzon l respuest. Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

179 79. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS.. Digrm de brrs Eisten numeross mners de representr gráficmente l informción que se h obtenido de un muestr, dependiendo del tipo de vrible que se esté nlizndo del fin que se persig con l representción. Cundo se quiere representr gráficmente un vrible culittiv tributo o un vrible cuntittiv discret se puede utilizr los digrms de brrs o rectángulos. Se colocn los vlores de l vrible ls modliddes del tributo o vlores de l vrible discret en el eje de bsciss, en el eje de ordends ls frecuencis bsoluts o reltivs. Sobre cd vlor se levnt un brr o rectángulo cu ltur es igul l frecuenci. Por comodidd, veces tmbién se suelen intercmbir los ejes. Se h representdo gráficmente l potenci eólic fuente de energí eléctric renovble instld en Espñ por Comunidd Autónom en Enero de 0 en Megvtios Se h representdo gráficmente el número de fllos mensules de un máquin de heldos Bleres Murci Cnris Pís Vsco Asturis Ctluñ Vlenci L Rioj Andlucí Nvrr Argón Cstill León Cstill L Glici Número de fllos mensules Actividdes resuelts Dd l siguiente informción correspondiente ls preferencis de 0 dolescentes mericnos respecto l mrc de refresco que consumen, construe l tbl socid estos dtos represéntlos gráficmente en un digrm de brrs de frecuencis bsoluts otro de frecuencis reltivs. COCA-COLA=CC; COCA-COLA LIGHT=CCL; DR.PEPPER=A; PEPSI-COLA=PC, SPRITE=S CCL CC S A CC CC A CC P CC S CCL P CCL CC CC CCL P P A S S CC CC CC A P CC CCL CC CCL CC P P P CCL P S P CC CC P CCL CC CC P CC P CC A ni fi 0, 0, 0, 0, 0 Coc col Coc col Coc Col Dr. Pepper Pepsi Col Coc Col Dr. Pepper Pepsi Col Sprite Sprite Mrc Mrc Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

180 Recuento Si queremos representr conjuntmente vlores de l vrible correspondientes diferentes períodos de tiempo, o distints culiddes, pr comprr situciones podemos construir un digrm de brrs pilds. Podrís interpretr este gráfico correspondiente l número de tems que los lumnos de un signtur de º ESO llevn estudidos? Se tom informción en dos clses de un instituto zul ros. 0. El seo de 8 bebés ncidos en un hospitl de Mdrid h sido: H M H H M H H M M H M H M M H H M H Construe l tbl socid estos dtos represéntlos.. Represent los vlores de l vrible de l tbl djunt con el gráfico decudo correspondientes un encuest relizd sobre el sector l que pertenecen un grupo de trbjdores mdrileños. SECTOR INDUSTRIAL AGRARIO SERVICIOS OTROS % TRABAJADORES Histogrms L representción más utilizd en vribles cuntittivs continus es el histogrm. En el eje de bsciss se colocn los diferentes intervlos en los que se grupn ls observciones de l vrible. Sobre estos intervlos, se levntn rectángulos cu áre es proporcionl l frecuenci observd en cd uno de ellos. En el cso que todos los intervlos tengn l mism mplitud bst con que los rectángulos sen proporcionles l frecuenci. Dependiendo de ls frecuencis que se utilicen, se trtrá de un histogrm de frecuencis reltivs, o bien de un histogrm de frecuencis bsoluts. En ocsiones, se unen los puntos medios de los segmentos superiores de los rectángulos, obteniéndose de este modo los polígonos de frecuencis, sen bsoluts o reltivs. Estos polígonos se construen utilizndo un intervlo nterior l primero de l mism longitud que éste otro posterior l último de su mism longitud. De est mner, los polígonos delimitn un áre cerrd. En mbos csos, tmbién se pueden utilizr ls frecuencis cumulds pr construir los respectivos histogrms. Estos histogrms tmbién llevn socidos los correspondientes polígonos de frecuencis, que en este cso se construen uniendo los vértices superiores derechos de cd uno de los intervlos. Se h representdo gráficmente l informción obtenid prtir de ls emisiones específics de CO de un centrl de crbón kg/megvtio-hor prtir de un histogrm un polígono de frecuencis bsoluts. Se h representdo gráficmente l informción obtenid prtir de ls emisiones específics de CO de un centrl de crbón kg/megvtio-hor prtir de un histogrm un polígono de frecuencis cumulds bsoluts.. Complet l tbl de frecuencis pr poder representr l informción medinte el histogrm de frecuencis cumulds: EDAD [, [, [, [, NÚMERO DE PERSONAS Edd del encuestdo demsids ctegorís. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic A qué representción gráfics corresponden el siguiente gráfico correspondiente l informción recogid sobre l edd de 00 persons? Por qué crees que se h utilizdo este no otro? Energí Industri.. Digrm de sectores Trnsporte Agrrio Edificción Residuos En el digrm de sectores se colocn ls modliddes.7%.8% del tributo vrible culittiv o vlores de un vrible.9% 8.% cuntittiv discret en un círculo, signndo cd uno un sector del círculo de ángulo proporcionl su frecuenci. No resuelt mu opertivo cundo l vrible tiene.% Y= Y=0 0 Nº d t X % Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

181 8 De l mism mner podemos recoger l informción obtenid de emisiones de gses de efecto inverndero en Espñ en el periodo % Actividdes resuelts Dd l informción correspondiente ls preferencis de 0 dolescentes mericnos respecto l mrc de refresco que consumen de l ctividd resuelt del prtdo.. relizr el gráfico de sectores.. De los 00 sistentes un bod, el % comió terner de segundo plto, % pto, % cordero el resto pescdo. Orgniz l informción nterior en un tbl de frecuencis represent los dtos en un gráfico de sectores. b Reliz un digrm de brrs eplic cómo lo hces. Cuál de los dos gráficos prefieres? Por qué?. Se h recogido informción sobre el contenido de sles minerles de botells de gu de un grupo de escolres en un ecursión tl que: 7 9 Clsific l vrible estdístic estudid b Serí conveniente tomr o no intervlos l hcer un tbl de frecuencis? c Reliz el gráfico que consideres más oportuno... Análisis crítico de tbls gráfics estdístics en los medios de comunicción. Detección de flcis Los medios de comunicción recurren con frecuenci tbls gráfics que uden un más fácil interpretción de los dtos por prte del público en generl. Un cso puede ser el siguiente grfico que present el Instituto Ncionl de Estdístic INE, que represent el índice de los precios l consumo. No obstnte, no es rro observr cómo se utilizn unos mismos dtos estdísticos pr obtener conclusiones distints. Un subid de precios o del índice de pro puede precer más o menos centud según quién presente l informción Un índice de udienci o el colesterol de un determindo limento pueden precer más o menos ltos según con qué se lo compre Ls llmds telefónics precen ser más brts en un compñí que en otr. L list de ejemplos es interminble. De este modo, l Estdístic, demás del ppel instrumentl que hemos presentdo hst hor, tiene un importnte ppel en el desrrollo del pensmiento crítico que nos mntendrá tentos estos ecesos. Los errores más frecuentes, unque veces no se trt de errores, sino de mnipulciones tendencioss, son los siguientes: Errores en l obtención de dtos Limitciones humns o de los instrumentos: es imposible, por ejemplo, medir el peso o l esttur de un person con infinit precisión. Pero incluso en estudios ehustivos, como los censos, se estimn los errores de muestreo. Cuestionrios ml plntedos: si no se recogen tods ls posibles respuests, si l pregunt influe en l respuest, si ls pregunts contienen juicios de vlor o si ls diferentes opciones de respuest no son equilibrds por ejemplo: sí, veces, no. El conjunto de respuests posibles puede hcer que h duplicciones u omisiones. Incurrir en este error, deliberdmente o no, dej individuos de l poblción sin representción entre ls respuests, por lo tnto, los resultdos que slgn del estudio estrán sesgdos. Ls modliddes de l vrible deben ser incomptibles ehustivs por ejemplo: si preguntmos por el color fvorito ofrecemos como posibles respuests "Rojo", "Azul" o "Amrillo", dejmos sin poder responder quienes quieren escoger otro color; si no estmos interesdos en otros colores, podemos incluir un prtdo llmdo "Otro". Delimitción imprecis de l poblción: Por ejemplo, si se dese estudir si los niños mdrileños ven demsido l televisión, hbrá que dejr clro qué eddes en concreto se considerrán, si entendemos por mdrileño culquier residente o sólo los ncidos en Mdrid, etc. Selección de l muestr inpropid o no representtiv: l muestr no represent l poblción. L elección de los individuos concretos que formn prte de l muestr debe hcerse de form letori. Por ejemplo: si estudimos los gustos televisivos de los dolescentes de un instituto pensmos que estos gustos pueden vrir en función de l edd, en l selección de l muestr deben escogerse eddes vrids, poder ser, en l mism proporción en l Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

182 8 que se presentn en el instituto. Errores en ls tbls: los dtos no están ordendos, evitr mbigüeddes en los etremos de los intervlos pr vribles continus, etc. Errores en ls gráfics: en los digrms de brrs flt el origen, están truncdos o en l escl en los ejes, etc. H que dejr clrs ls vribles que se miden. Errores en los prámetros de medid: por ejemplo l medi no es representtiv poblciones heterogénes o se ve fectd por vlores mu grndes; confusión entre medi medin. Errores en los pictogrms con superficies donde se inscriben proporcionles l cudrdo de ls frecuencis.. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.. Medids de tmño Ls medids de tendenci centrl o de centrlizción son ls que, intuitivmente, precen en primer lugr l intentr describir un poblción o muestr. Se pueden dividir en tres clses: medids de tmño, de frecuenci de posición. En lo que sigue, supondremos que estmos nlizndo un poblción de l que se tom un muestr de tmño N, es decir, que está compuest por N individuos u observciones, de los cules se dese estudir l vrible X, lo que d lugr l obtención de N vlores que se representn por,,, N. Estos vlores no se suponen ordendos, sino que el subíndice indic el orden en el que hn sido selecciondos. Ls medids de tmño se definen prtir de los vlores de l muestr, sí como de su frecuenci. Definimos sí l medi ritmétic o promedio o, simplemente, medi como: N i N Se puede interpretr como el centro de mss de ls observciones de l muestr. Dentro de sus ventjs se pueden destcr que utiliz tods ls observciones, que son fácilmente clculbles, tienen un interpretción sencill buens propieddes mtemátics. Su inconveniente es que se puede ver fectd por los vlores normlmente pequeños o grndes que eistn en l poblción o muestr denomindos outliers. En el cso que tengmos un vrible cuntittiv grupd en intervlos el vlor de l vrible X que represent l intervlo pr poder clculr l medi ritmétic es l mrc de clse se clcul como l semisum de los vlores etremos del intervlo. Se recoge l informción referid l número de hors de vuelo diris de 0 zfts. Si l medi es igul,, esto indic que, por término medio, el número de hors de vuelo es,. De l mism mner si recogemos l informción sobre l edd medi de tu clse obtendremos un vlor entre ños. L edd medi será por ejemplo,, vlor teórico, que puede no coincidir con lguno de los vlores reles. Actividdes resuelts Un fbricnte de heldos está relizndo un control de clidd sobre cierts máquins respecto su cpcidd de regulr l tempertur de refrigerción. Pr ello, seleccion un muestr de N = máquins de l fábric mide con precisión el vlor de su cpcidd en l unidd de medid F, obteniendo los siguientes resultdos: 0., 9.8, 9., 9.,., 8.9, 9.9, 9., 0., 8.8, 9., 0., 8., 9.7,., 9.. Utilizndo estos vlores de cpcidd, obtener l medi ritmétic. N i i N. Un person ingres euros en un fondo de inversión el de enero de 009. Ls rentbiliddes nules del fondo durnte los ños siguientes fueron ls siguientes: Año Rentbiliddes % Si no h retirdo el cpitl, cuál h sido l rentbilidd medi de dicho fondo durnte estos ños? i μf Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

183 8 7. Interpret los vlores de l vrible de est tbl que represent el peso de bombons de butno de un fábric, en kilogrmos. Qué grfico utilizrís? Clcul l medi e interprétl. Peso [ fi % n i N i,- 0, ,, ,- 7, ,, ,-7 0, ,, ,-8 0, ,, Medids de frecuenci Se definen teniendo en cuent únicmente l frecuenci de los vlores de l vrible de l muestr. L mod Mo se define como el vlor de l vrible que se h obtenido con mor frecuenci. Puede hber más de un mod. Se reliz un estudio entre 00 espectdores un musicl en Mdrid pr determinr el grdo de stisfcción, obteniéndose los siguientes resultdos: Opinión Mu bueno Bueno Regulr Mlo Mu mlo % 7 0 L modlidd que más se repite es mu bueno, por lo que l mod es Mo = Mu bueno. En el cso que l distribución esté grupd en intervlos hbrá que identificr l clse modl, es decir, el intervlo donde h mor número de vlores de l vrible. Actividdes resuelts A prtir de l tbl de frecuencis del espesor de lts de refresco, podemos dibujr sus histogrms de frecuencis reltivs determinr dónde está su mod. Es decir en el intervlo [8-9. L mod señl que lo más frecuente es tener un espesor entre 8 9 mm. 8. Obtener l medi l mod de los siguientes vlores de l vrible referidos l resultdo de lnzr un ddo 0 veces. 9. Relizr l ctividd nterior pero grupndo en intervlos de mplitud, empezndo en 0. Obtienes los mismos resultdos? Por qué?.. Medids de posición Se definen prtir de l posición de los vlores de l muestr. En generl, se conocen con el nombre de centiles o percentiles. Si reordenmos en orden creciente los vlores tomdos de l muestr los denotmos por {}, {},, {N} se pueden definir ls siguientes medids de posición: L medin Me es un vlor tl que el 0 % de ls observciones son inferiores él. No tiene por qué ser único puede ser un vlor no observdo. Altur medin Los curtiles o curtils Q, Q Q son los vlores tles que el %, 0 % 7 % respectivmente de los vlores de l vrible son inferiores él. Los deciles D, D,, D 9 son los vlores tles que el 0 %, 0 %,, 90 % respectivmente de los vlores de l vrible son inferiores él. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

184 8 En generl, se define el percentil o centil del k % siendo 0 k 00 como el vlor tl que el k % de ls observciones son inferiores él. L medin el resto de medids de posición tienen como principl ventj su fácil interpretción su robustez no se ven fectds por observciones etrems. Clcul los curtiles el percentil de los siguientes vlores de l vrible referidos l número de hijos de ls fmilis de un bloque de edificios de l loclidd de Mdrid: Número de hijos f i F i Totl 0 Pr hllr el primer curtil clculmos el % del totl muestrl N = 0, es decir, 0 0, =. Así, el primer curtil tiene vlores de l vrible menores el resto mores. En l column de frecuencis cumulds, el primer número mor o igul que es 8, que corresponde l vlor de l vrible. Por tnto el primer curtil es. De l mism form el 0 % de 0 es 0, es decir el curtil Medin Resumen: % de 0 = 8 > > Q = 0 % de 0 = 0 8 > 0 > Me = Q = 7 % de 0 = 0 > > Q = % de 0 = 9 > 9 > 8 P = serí tmbién. El 7 % de 0 serí de est form el curtil serí puesto que el vlor mor es 0, que corresponde l vlor de l vrible objeto de estudio. Por último, el percentil corresponde l vlor que % de 0 es igul 9 el vlor mor que 9 es. Ls medids de posición nos permiten relizr otro tipo de gráfico estdístico que se llm el gráfico de cj. Pr relizr este gráfico, se construe un cj se horizontl o verticl, cuos ldos coinciden con el primer tercer curtil Q Q. Por lo tnto, l cj brc el 0 % de ls observciones relizds. Dentro de dich cj, se inclue un segmento o bien un punto que corresponde l medin. De cd ldo de l cj prte un segmento que se etiende hst los vlores correspondientes ls observciones mínim máim {} {N}. Actividdes resuelts Se está relizndo un control de clidd sobre los fllos de uns determinds máquins. Pr ello, se contbilizn los fllos de N = máquins durnte un mes, obteniendo los siguientes números de fllos:,,,, 0,,, 7,,,, 0,. Utilizndo estos vlores obtener ls medids de tendenci centrl resumir en un tbl de frecuencis l informción obtenid del número de fllos mensules de ls máquins, obteniendo l medi ritmétic de otr mner. N i i N fllos/mes Mo Q fllo/mes Q fllos/mes 0 fllos/mes Vlores 0 7 Frecuenci bsolut 0 Frecuenci reltiv Frecuenci reltiv cumuld k i f i i fllos/mes Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

185 8 Se recoge informción sobre el peso de 90 chicos en un clse de Mtemátics. Determinr los centiles que nos permiten relizr el gráfico de cj. 00 Primer curtil = percentil = 0 Kg. 90 Tercer curtil= percentil 7= 80 kg Dibujr un digrm de cj conociendo los siguientes dtos. Mínimo vlor = ; curtil = ; medin = ; curtil = 7; máimo vlor =. 80. Un corredor de mrtón entren, de lunes viernes recorriendo ls siguientes distncis:,,,, respectivmente. Si el sábdo tmbién entren: 70 Cuántos kilómetros debe recorrer pr que l medi se l mism? 0 b Y pr que l medin no vríe? c Y pr que l mod no vríe? 0. EL slrio mensul en euros de los trbjdores de un empres tetil es el que se present. Cuál de los tres tipos de medids de tendenci centrl describe mejor los sueldos de l empres? Qué vlor o vlores podrímos ñdir este conjunto de vlores de l vrible pr que l medin sig siendo l mism? 9. Slen plzs pr un puesto de uilir de enfermerí se presentn 00 persons con ls siguientes nots. nots n i Con qué not se obtiene un de ls plzs medinte el emen? b Qué percentil es l not?. MEDIDAS DE DISPERSIÓN.. Medids de desviciones Ls medids de tendenci centrl resultn insuficientes l hor de describir un muestr. Además de ls tendencis, es necesrio disponer de medids sobre l vribilidd de los dtos. Dentro de ests medids, vmos estudir ls medids de desviciones los rngos. Ls medids de desviciones recogen ls desviciones de los vlores de l vrible respecto de un medid de tendenci centrl. L vrinz se define como: s N i i N i = i N N Sus principles ventjs son su mnejbilidd mtemátic que utiliz tods ls observciones. Sus principles inconvenientes son que es mu sensible observciones etrems que su unidd es el cudrdo de l unidd originl de l muestr. L desvición típic es l ríz cudrd de l vrinz tiene l principl ventj de que utiliz ls misms uniddes que los vlores de l vrible originles. Observ que l desvición típic es un distnci, l distnci de los vlores de l vrible l medi. Recuerd que l ríz cudrd es siempre un número positivo. 00 Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

186 8 Asocido l medi l desvición típic, se define el coeficiente de vrición, definido en muestrs con medi distint de cero como: s g Este coeficiente es dimensionl no tiene uniddes se suele epresr en porcentje, lo que result un grn ventj, que permite comprr l vribilidd de distints muestrs, independientemente de sus uniddes de medid. Algunos utores definen este coeficiente utilizndo l medi en el denomindor, en lugr de su vlor bsoluto. Vlores del coeficiente de vrición mores del 00 % indicn que l medi no se puede considerr representtiv del conjunto de vlores de l vrible. L not medi de lumnos de un mism clse de º ESO en Mtemátics es de. Si l vrinz es 0,, l desvición típic será de 0,, por tnto l medi es bstnte homogéne en l distribución. Ls nots que se hn obtenido están situds lrededor de l not medi. Actividdes resuelts El propietrio de un instlción mit solr-eólic está relizndo un estudio del volumen de energí que es cpz de producir l instlción. Pr ello, mide dich energí lo lrgo de un totl de N = dís que consider suficientemente representtivos. L energí en kilovtio, KWh producid en dichos dís por dos instlciones se encuentr recogid en l siguiente tbl: Generción solr Generción eólic Generción solr Generción eólic Utilizndo estos vlores de l vrible clcul ls medids de dispersión estudids, comprndo los resultdos en ls dos instlciones N ' 0 ' ' '8 9 ' '9 8 8' '7 '9 ' '8 ' 8' ' 9'7 i i N N s s 8' ' '7 ' ' ' 9 ' ' ' 7 ' '8 0 ' ' ' 0 '9 i i N N i i N N i N i 0 ' 0 '9 ' 0' ' '8 9' '9 8 8' '7 '9 ' '8 ' 8' ' 9'7 ' 0'9 ' 8' ' '7 ' ' ' 9' ' ' 7' '8 0' ' ' 0'9 0'8 0' '0 s ' '7 s '0 ' g 0' g 0' 0'9 0'9 0' 0' L medi de l primer instlción es más representtiv que l medi de l segund puesto que el coeficiente de vrición es menor en l primer. Los dtos están menos grupdos en l segund de ls instlciones. Su desvición típic es mucho mor. Se está relizndo un control de clidd sobre los fllos de uns determinds máquins. Pr ello, se contbilizn los fllos de N = máquins durnte un mes, obteniendo los siguientes números de fllos. Utilizndo estos vlores presentdos en l tbl de frecuencis obtener ls medids de dispersión estudids. Vlores 0 7 Frecuenci bsolut 0 Frecuenci reltiv Frecuenci reltiv cumuld N i i N fllos/mes Kwh Kwh Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

187 87 s k i fi i fllos/mes Otr form de relizr estos mismos cálculos es: Sum Vlores 0 7 Frecuenci bsolut 0 i i Fr. Abs N i Aplicmos l fórmul: s i = obtenemos que N s = / = 0 = 80, por lo que s = 9.. Un grupo de perros pstor lemán tiene un medi de 70 kg desvición típic kg. Un conjunto de perros cniche tiene un medi de kg desvición típic kg. Compr mbos grupos.. El tiempo, en minutos, que un conjunto de estudintes de º ESO dedic preprr un emen de Mtemátics es: Ls clificciones de ese conjunto de estudintes son ls siguientes: Qué tendremos que hcer pr comprr su vribilidd? b En qué conjunto los vlores de l vrible están más dispersos? c Es l medi siempre mor que l desvición típic?.. Los rngos Ests medids proporcionn informción cerc del intervlo totl de vlores que tom l muestr nlizd. El rngo totl o recorrido es l diferenci entre los vlores máimos mínimos que tom l vrible en l muestr: RN El recorrido intercurtílico es l diferenci entre el tercer el primer curtil: RI Q Q Se está relizndo un control de clidd sobre los fllos de un determind máquin. Pr ello, se contbilizn los fllos de N = máquins durnte un mes, obteniendo los siguientes números de fllos:,,,, 0,,, 7,,,, 0,. Utilizndo estos vlores obtenemos el rngo totl igul 7 el recorrido intercurtílico igul. Actividdes resuelts Slen plzs pr un puesto de cjero en un supermercdo se presentn 00 persons. L siguiente informción recoge ls nots de un test de conocimientos básicos. nots n i Clculr el rngo totl de l vrible objeto de estudio. 7. Se h recogido un muestr de 0 recipientes cuos diámetros son: Clcul tods ls medids de dispersión que conozcs. b A prtir de qué vlor de diámetro de los recipientes se considern el 0 % con mor diámetro? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

188 88 7. CONSTRUCCIÓN E INTERPRETACIÓN DE DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN. INTRODUCCIÓN A LA CORRELACIÓN Este prtdo se centr en el nálisis de dtos bidimensionl, en el que son dos ls vribles de interés. De este modo, cundo se está nlizndo un poblción se seleccion un muestr, pr cd individuo se tomn dos vlores, correspondientes dos crcterístics o vribles distints. En este sentido, puede ser interesnte considerr simultánemente los dos crcteres fin de estudir ls posibles relciones entre ellos. 7.. Tbls de frecuenci de un vrible bidimensionl Cundo se quieren resumir los resultdos de un muestr bidimensionl utilizndo un tbl de frecuencis se por trtrse de un vrible discret, o porque se deseen grupr ls observciones de un vrible continu, es preciso utilizr lo que se denomin tbl de doble entrd o bidimensionl. Sen,,, k ls modliddes de l primer vrible e,,, p ls de l segund. Ests modliddes pueden corresponder tnto los vlores que se dn en l muestr si l vrible es discret, como ls mrcs de clse de los intervlos utilizdos si l vrible es continu. Pr construir l tbl de frecuencis, se utilizn ls frecuencis bsoluts n ij correspondientes ls observciones que tomn simultánemente vlores correspondientes ls clses i e j. Obvimente, se h de verificr que: Con esto, l tbl de frecuencis bsoluts se present como: p n i n n n p n n n n p n k n k n k n kp n k n j n n n p N Los vlores n i recogen ls frecuencis bsoluts de l clse i, mientrs que n j es l sum de frecuencis bsoluts de l clse j., con lo que se verific: De l mism mner, se puede relizr un tbl de frecuencis reltivs f ij, utilizndo los cocientes entre ls frecuencis bsoluts el número de observciones: nij fij N Actividdes resuelts El propietrio de un instlción mit solr-eólic está relizndo un estudio del volumen de energí que es cpz de producir l instlción. Pr ello, mide dich energí lo lrgo de un totl de N = dís que consider suficientemente representtivos. L energí en kwh producid en dichos dís por ls instlciones solr eólic se pueden resumir en ls siguientes tbls de doble entrd de frecuencis bsoluts de frecuencis reltivs: Energí eólic [0, ], ], 9 ] 9, ] n i [0, ] Energí solr n i k k p nij i j N ni N n i p k n n ij j n ij j i p j N j, 0] 0 0 0, ] 0, 0] n j Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

189 89 Energí solr Energí eólic [0, ], ], 9 ] 9, ] f i [0,] , 0] , ] , 0] f j Representción gráfic de un vrible bidimensionl Al igul que en el cso de un muestr unidimensionl, en numeross ocsiones result interesnte relizr un representción gráfic de un muestr bidimensionl. Un modo sencillo de representr un muestr bidimensionl es medinte el denomindo digrm de dispersión o nube de puntos. Est técnic consiste en representr en el plno, los vlores obtenidos en l muestr. Generción Eólic kwh 0 0 Digrm de dispersión de l generción solr eólic en kwh de l ctividd resuelt L figur nterior muestr el digrm de dispersión. Se puede observr l eistenci de un dependenci invers. 7.. Medids en un vrible bidimensionl. Coeficiente de correlción Cundo se está nlizndo un muestr bidimensionl, se pueden clculr ls medids que crcterizn cd un de ls vribles de l muestr por seprdo, tl como se h descrito nteriormente. Pero en este cso se puede dr un pso más clculr lguns medids conjunts, que tienen en cuent simultánemente los vlores que tomn mbs vribles en cd individuo. Al igul que cundo se nliz un únic crcterístic, supondremos que se tom un muestr de tmño N de l poblción, es decir, que está compuest por N individuos u observciones, de los cules se dese nlizr ls crcterístics o vribles X e Y. Esto d lugr l obtención de N vlores pr cd un de ls dos vribles:,,,,, N, N. De nuevo, estos vlores no se suponen ordendos, sino que el subíndice indic el orden en el que hn sido selecciondos. Siguiendo est notción se pueden formulr los cálculos de los momentos respecto l origen respecto l medi pr un vrible bidimensionl. Definimos, por tnto: N r s i i i rs, Momentos respecto l origen de orden r, s como: N Observ que los momentos respecto l origen de orden, 0 0, coinciden con ls medis de mbs vribles:,0 Tmbién result de interés l momento de orden, : Generción Solr kwh 0, r i i i mrs, Análogmente, se pueden definir los momentos respecto l medi de orden r, s: N Los momentos respecto l medi de orden, 0 0, coinciden con ls vrinzs de mbs vribles: m s,0 X, N i m i N i s 0, Y N s Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

190 90 El momento respecto l medi de orden,, que se denomin covrinz o momento mito, es de grn importnci: i i i m, N Alterntivmente l fórmul nterior, l covrinz se puede clculr prtir de los momentos respecto l origen, según l fórmul: i i i m,,,0 0, N L covrinz, l igul que l vrinz, tiene el inconveniente de que depende de ls uniddes de l muestr. Por este motivo, se utiliz el coeficiente de correlción linel de Person que se denot, indistintmente, como o r: i i i m, r N s s s s Este coeficiente tendrá el signo de l covrinz nos indicrá si l dependenci entre ls dos vribles objeto de estudio son dependientes positiv o negtivmente. El coeficiente de correlción o simplemente correlción tom un vlor comprendido entre. Si l correlción es positiv se dice que eiste dependenci direct entre X e Y un umento de un de ls dos vribles le corresponde un tendenci l umento en l otr. En cmbio, si l correlción es negtiv, se dice que eiste un dependenci invers un umento de un de ls dos vribles le corresponde un tendenci l decremento en l otr. Actividdes resuelts El propietrio de un instlción mit solr-eólic está relizndo un estudio del volumen de energí que es cpz de producir l instlción. Pr ello, mide dich energí lo lrgo de un totl de N = dís que consider suficientemente representtivos. L energí en kwh producid en dichos dís por ls instlciones solr eólic se encuentr recogid en l siguiente tbl: Generción solr i Generción eólic i Utilizndo ests producciones, vmos clculr l covrinz el coeficiente de correlción, denotndo l generción solr como vrible X l generción eólic como vrible Y. Añdimos nuevs fils nuestr tbl: Generción solr i Generción eólic i N N i i i * i Previmente clculmos l medi l desvición típic de cd vrible que conocemos de un ctividd resuelt nterior. Sumndo l primer fil dividiendo por N =, obtenemos l medi de l Generción Solr en Kwh. Recuerd N ; por tnto N i i N ' 0' ' '8 9' '9 88' '7 '9 ' '8 ' 8' ' 9'7 i i N Sumndo l segund fil dividiendo por N = obtenemos l medi de l Generción Eólic en Kwh: N 0'9 8' ' '7 ' ' ' 9' ' ' 7' '8 0' ' ' 0'9 i i 0' Kwh N En l tercer fil hemos clculdo los cudrdos de los vlores de l primer vrible los utilizmos pr clculr l i i vrinz: Recuerd s ; por tnto N N N Kwh Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

191 9 s N i i N ' 0' ' '8 9' '9 8 8' '7 '9 ' '8 ' 8' ' 9'7 ' 0'9 ' En l curt fil los cudrdos de los vlores de l segund vrible clculmos su vrinz: s N i N i 8' ' '7 ' ' ' 9' ' ' 7' '8 0' ' ' 0'9 0'8 0' '0 L desvición típic es l ríz cudrd de l vrinz, por tnto: s ' ' 7 s '0 ' Pr clculr el coeficiente de correlción clculmos en l quint fil los productos de l vrible por l vrible. Así, N i i i *8 =. Queremos clcul el término:. Al sumr obtenemos 0, que dividimos entre, le restmos N el producto de ls medis dividimos por el producto de ls desviciones típics: N i i i 0' 0'9 0' '78 N 0'887 s s '7' '7' Este coeficiente de correlción negtivo cercno nos indic que l relción entre ls dos vribles es negtiv bstnte importnte. Utiliz el ordendor Nieves h tenido en Mtemátics ls siguientes nots: 8,,, 0 0. Clcul su medi, su mod su medin. Pr clculr l medi, l medin l mod con l hoj de cálculo, copimos en l csill B, B los dtos: 8,,, 0 0. Escribimos en l csill A7, Medi, pr clculr l medi escribimos un signo igul en B7. Buscmos, desplegndo ls posibles funciones, l función PROMEDIO, escribimos =PROMEDIOB:B, que signific que clcule l medi de los vlores que h en ls csills desde B hst B. Del mismo modo clculmos l medin buscndo en ls funciones o escribiendo =MEDIANAB:B l mod buscndo en ls funciones o escribiendo =MODAB,B. Igul que hemos clculdo l medi, l medin l mod, l hoj de cálculo se puede utilizr pr obtener: El recorrido clculndo MAX MIN. L vrinz utilizndo VARP. L desvición típic usndo DESVESTP. Los curtiles, CUARTIL, siendo el curtil 0 el mínimo; el curtil, Q; el curtil, l medin; el curtil, Q; el curtil, el máimo. Q =. Q = 0. Intervlo intercurtil = 0 =. Utiliz el ordendor Preguntmos 0 lumnos de º ESO por sus clificciones en Mtemátics, por el número de minutos dirios que ven l televisión, por el número de hors semnles que dedicn l estudio, por su esttur en centímetros. Los dtos se recogen en l tbl djunt. Queremos dibujr ls nubes de puntos que los relcionn con ls clificciones de Mtemátics, el coeficiente de correlción l rect de regresión. Clificciones de Mtemátics Minutos dirios que ve l TV Hors semnles de estudio Esttur en cm Pr hcerlo, entrmos en Ecel, copimos los dtos. Seleccionmos l primer l segund fil, luego l primer l tercer por último l primer fil l curt. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

192 9 Con l primer segund fils seleccionds, vmos Insertr, Dispersión elegimos l nube de puntos. Podemos conseguir que el eje de bsciss v de 0 0 en Dr formto l eje. Pinchmos sobre un punto de l nube, elegimos Agregr líne de tendenci. Pr que dibuje el ordendor l rect de regresión l líne de tendenci debe ser Linel. En l pntll que prece mrcmos l csill que dice: Presentr ecución en el gráfico l csill que dice Presentr el vlor de R cudrdo en el gráfico Minutos dirios que ve l TV =,8 +,9 R² = 0, Observ, l rect de regresión, en color rojo, es decreciente su ecución es proimdmente: = +. El cudrdo del coeficiente de correlción es = 0 9. L correlción es negtiv lt: 0'9 0,97 Hcemos lo mismo con l primer tercer fil con l primer curt fil. Obtenemos los gráficos: Hors semnles de estudio Esttur en cm =,9 +,77 =,8, R² = 0,77 0 R² = 0, Observ que en mbos csos l pendiente de l rect de regresión es positiv pero en el primero el coeficiente de correlción, positivo, es próimo, 0'9 0,98. L correlción es lt positiv. En el segundo 0' 0,. 8. Se hn medido los pesos lturs de persons, como muestr de ls persons que están en un fil o col de esper, obteniéndose los siguientes resultdos: Pesos kg Alturs cm Se pide: Clculr ls medis ls vrinzs de esos dos conjuntos de dtos unidimensionles. b Qué medids están más disperss, los pesos o ls lturs? c Representr gráficmente ese conjunto de dtos bidimensionl. Clculr l covrinz e interpretr su vlor. d Dr un medid de l correlción entre mbs vribles. Interpretr su vlor. RESUMEN Ejemplos Poblción estdístic, colectivo o universo Muestr Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic 70 0 El conjunto de todos los individuos persons, objetos, nimles, etc. que contengn informción sobre el fenómeno que se estudi. Es un subconjunto representtivo que se seleccion de l poblción sobre el que se v relizr el nálisis descriptivo. El tmño de l muestr es el número de sus elementos. Cundo l muestr comprende todos los elementos de l poblción, se denomin censo Número de persons en Espñ entre - ños Número de persons en un brrio de Mdrid entre - ños. Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

193 9 Vrible observble o estdístic X Frecuenci bsolut En generl, supondremos que se está nlizndo un determind poblción, de l que nos interes ciert crcterístic que viene dd por l vrible X. Número de veces que se repite un vlor de l vrible Ls vribles que están bjo estudio se pueden clsificr en dos ctegorís: Vribles culittivs o tributos dtos no métricos Vribles cuntittivs, que tienen un vlor numérico. Si l tirr un ddo hemos obtenido veces el, es l frecuenci bsolut de. Frecuenci reltiv Frecuenci bsolut dividido por el número de eperimentos Si se reliz un eperimento 00 veces l frecuenci bsolut de un suceso es 07, l frecuenci reltiv es 07/00. Frecuenci cumuld Se sumn ls frecuencis nteriores Digrm de rectángulos o brrs Los vlores de l vrible se representn medinte rectángulos de igul bse de ltur proporcionl l frecuenci. Se indic en el eje horizontl l vrible en el verticl ls frecuencis No emigrn Mueren Llegn snos Áfric Polígono de frecuencis De unen los puntos medios superiores de un un digrm de brrs No emigrn Mueren Llegn snos Áfric Digrm de sectores En un círculo se dibujn sectores de ángulos proporcionles ls frecuencis Medi ritmétic Es el cociente entre l sum de todos los vlores de l vrible el número totl de dtos. Medin Dej por debjo l mitd de los vlores por encim l otr mitd L medin es Mod El vlor que más se repite. L mod es. En los dtos,,, 7, 8, l medi es: / = 8/ =,. Vrinz Medid de desvición que recoge ls desviciones de los vlores de l vrible respecto de l medi ritmétic. s N i i N Desvición típic L desvición típic es l ríz cudrd de l vrinz Coeficiente de vrición Permite comprr l vribilidd de distints muestrs, independientemente de sus uniddes de medid. g s Rngo totl o recorrido Recorrido intercurtílico Diferenci entre los vlores máimos mínimos que tom l vrible en l muestr R N Diferenci entre el tercer el primer curtil RI Q Q Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

194 9 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Poblción muestr. Vribles estdístics. Tbls de frecuencis. Se lnz un moned 700 veces se obtiene cr veces. Epres en un tbl ls frecuencis bsoluts, reltivs clcul tmbién ls frecuencis cumulds bsoluts cumulds reltivs de crs cruces en este eperimento.. Se lnzr un ddo 00 veces se obtienen los siguientes resultdos: Resultdo Número de veces Cuánts veces h slido el? b Construir tbl con ls frecuencis bsoluts ls frecuencis bsoluts cumulds c Construir un tbl con ls frecuencis reltivs ls frecuencis reltivs cumulds. Un urn que contiene 0 bols numerds del 0 l 9, scmos un bol, notmos el número devolvemos l bol l urn. Repetimos el eperimento 000 veces se hn obtenido los resultdos indicdos en l tbl: Resultdo Frecuenci bsolut Frecuenci reltiv 0, 0, 0, Frecuenci bsolut cumuld 79 8 Frecuenci reltiv cumuld Cuál es l frecuenci bsolut de 9? b Cuál es l frecuenci bsolut cumuld de? c Cuál es l frecuenci reltiv cumuld de? d Copi l tbl en tu cuderno complétl.. Pep h tirdo un ddo veces h obtenido los siguientes resultdos:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Construir un tbl de frecuencis bsoluts. b Construir un tbl de frecuencis reltivs. c Dibuj un digrm de brrs. d Dibuj un polígono de frecuencis un representción por sectores.. En un clse se h medido el tmño de ls mnos de cd uno de los lumnos lumns, el resultdo en centímetros h sido el siguiente: 9, 8, 0, 9, 8,, 9, 7,, 0,, 9, 0,, 8, 7, 0, 9,,,,, 7, 8, 7, 9,, 0,, 9 Qué tmño h sido el vlor mínimo? Y el máimo? Cuál es el rngo totl de l vrible? b Construir un tbl de frecuencis bsoluts otr de frecuencis reltivs. c Construir un tbl de frecuencis bsoluts cumulds otr de frecuencis reltivs cumulds.. Clcul l frecuenci bsolut de los dtos de un encuest en l que se h elegido entre ver l televisión, t, o leer un libro, l: t, l, t, t, t, l, t, t, l, t, l, t, l, t, t, t, l, l, t, l, t, l, t, I, t. 7. L durción en minutos de uns llmds telefónics h sido: 7,,,, 7,,,,, 7, 0,, 9,, Construir un tbl de frecuencis bsoluts un tbl de frecuencis reltivs. Gráficos estdísticos 8. Se h preguntdo en un pueblo de l provinci de Mdrid el número de hermnos que tenín se h obtenido l siguiente tbl de frecuencis bsoluts sobre el número de hijos de cd fmili: Número de hijos 7 8 o más Número de fmilis Escribe en tu cuderno un tbl de frecuencis reltivs. b Hz un digrm de brrs de frecuencis bsoluts otro de frecuencis reltivs. c Hz un polígono de frecuencis bsoluts otro de frecuencis bsoluts cumulds. 9. Hz un encuest similr con tus compñeros compñers de curso preguntndo el número de hermnos confeccionndo un tbl sobre el número de hijos el número de fmilis. Construe un tbl de frecuencis reltivs b Hz un digrm de brrs de frecuencis bsoluts reltivs. Complet con un polígono de frecuencis c Compr l tbl de frecuencis reltivs el digrm de brrs de frecuencis reltivs que obtengs con el obtenido en el ejercicio nterior. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

195 9 0. Un btido de fruts contiene % de nrnj, % de plátno; 0 % de mnzn, el resto de leche. Represent en un digrm de sectores l composición del btido.. En un cmpmento de verno se hn gstdo diez mil euros. El gráfico muestr l distribución del gsto:. Comid: 0 %. Limpiez mntenimiento: 0 %. Agu, gs, electricidd teléfono: %. Vesturio:... Qué porcentje se gstó en vesturio? b Cuántos euros se gstron en comid? c Cuánto mide el ángulo del sector correspondiente ctividdes?. Busc en revists o periódicos dos gráfics estdístics, recórtls pégls en tu cuderno. En muchs ocsiones ests gráfics tienen errores. Obsérvls detenidmente coment ls siguientes cuestiones: Está clr l vrible l que se refiere? Y ls frecuencis? b Son corrects ls uniddes? Pueden mejorrse? c Coment ls gráfics.. Se hce un encuest sobre el número de veces que vn l cine unos jóvenes l mes. Los vlores de l vrible están en l tbl: Veces que vn l cine 0 Frecuenci bsolut 7 9 Represent un digrm de brrs de frecuencis bsoluts. b Represent un polígono de frecuencis reltivs. c Represent los vlores de l vrible en un digrm de sectores.. Se hce un estudio sobre lo que se recicl en un ciudd se hce un tbl con el peso en porcentje de los distintos tipos de residuos: Tipo de residuo Porcentje Orgánico Ppel crtón Vidrio Plástico Pils Construe un digrm de brrs b Represent un polígono de frecuencis. c Represent los vlores de l vrible en un digrm de sectores.. En un ejercicio nterior se h tenido el resultdo de medir en un clse el tmño de ls mnos de cd uno de los lumnos lumns, el resultdo en centímetros h sido el siguiente: 9, 8, 0, 9, 8,, 9, 7,, 0,, 9, 0,, 8, 7, 0, 9,,,,, 7, 8, 7, 9,, 0,, 9 Represent los vlores de l vrible en un digrm de brrs en un polígono de frecuencis.. El % de ls cigüeñs no h emigrdo este ño Áfric el % murió por el cmino. Dibuj un digrm por sector que describ est situción. 7. En un clse se h preguntdo por ls preferencis deportivs se h obtenido: Futbol Bloncesto Ntción Kárte Ciclismo Copi l tbl en tu cuderno construe un tbl de frecuencis reltivs. b Represent estos vlores de l vrible en un digrm de sectores. Medids de centrlizción dispersión 8. Pep h tirdo un ddo veces de un ejercicio nterior h obtenido los siguientes resultdos:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Clcul l medi ritmétic b Clcul l medin c Cuál es l mod? Es únic? d Clcul l vrinz desvición típic interpretndo su resultdo Comid Limpiez mntenimiento Agu, gs, electricidd teléfono Vesturio Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

196 9 9. Sr h tenido ls siguientes nots en sus eámenes de Mtemátics: 9, 7, 8,, 9, 0, 9 Clcul l medi ritmétic b Clcul l medin c Cuál es l mod? Es únic? d Clcul el percentil interpretndo su resultdo e Clcul el percentil 7 interpretndo su resultdo. qué otro nombre recibe? f Clcul l vrinz desvición típic interpretndo su resultdo g Clcul el coeficiente de vrición interpretndo su resultdo 0. En un ejercicio nterior se h tenido el resultdo de medir en un clse el tmño de ls mnos de cd uno de los lumnos lumns, el resultdo en centímetros h sido el siguiente: 9, 8, 0, 9, 8,, 9, 7,, 0,, 9, 0,, 8, 7, 0, 9,,,,, 7, 8, 7, 9,, 0,, 9 Clcul l medi ritmétic b Clcul l medin c Cuál es l mod? Es únic? d Clcul el percentil interpretndo su resultdo e Clcul el percentil 7 interpretndo su resultdo. qué otro nombre recibe? f Clcul l vrinz desvición típic interpretndo su resultdo g Clcul el coeficiente de vrición interpretndo su resultdo. Nos interes conocer l distribución de nots obtenids por 0 estudintes. Ls nots son:,, 7, 0,,, 8, 9, 0, 0,, 8,, 7,,, 8, 0,, 0,,, 8, 9,,,, 7,,, 9,, 9,,,,, 9, 7, 8, 0 Escribe en tu cuderno un tbl de frecuencis bsoluts. b Hz un polígono de frecuencis bsoluts. c Clcul l medi d Clcul l medin e Clcul l mod f Clcul el percentil interpretndo su resultdo g Clcul el percentil 7 interpretndo su resultdo. qué otro nombre recibe? h Clcul l vrinz desvición típic interpretndo su resultdo i Clcul el coeficiente de vrición interpretndo su resultdo j Si ls nots de los mismos lumnos respecto otr signtur tienen un medi de, desvición típic de, cuál de ls dos signturs tiene un medi más homogéne?. Los jugdores de un equipo de blonmno tiene ls siguientes eddes:,,,,,,,,,,,,.. Clcul l medi b. Clcul l medin c. Clcul l mod d. Clcul el percentil interpretndo su resultdo e. Clcul el percentil 7 interpretndo su resultdo. qué otro nombre recibe? f. Clcul l vrinz desvición típic interpretndo su resultdo g. Clcul el coeficiente de vrición interpretndo su resultdo Problems. El Director Comercil de un empres v ser evludo. Pr ello debe dr cuent de los resultdos obtenidos. Quiere quedr bien, pues eso le puede suponer un umento de sueldo. Se hn vendido ls siguientes cntiddes: Meses Enero Febrero Mrzo Abril Mo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Vents El estdístico de l empres le h entregdo l siguiente gráfic: Vents No le h gustdo nd, pr l presentción él se h confecciondo el siguiente gráfico: Vents Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

197 97 Ambos gráficos son correctos. Escribe un inform sobre cómo pueden los distintos gráficos dr impresiones tn diferentes.. Tir un moned veces not ls veces que ce cr ls que no. Construe luego dos tbls: un de frecuencis bsoluts otr de frecuencis reltivs. Represent el resultdo en un digrm de frecuencis en un polígono de frecuencis.. L medi de seis números es. Se ñden dos números más pero l medi sigue siendo. Cuánto sumn estos dos números?. L siguiente tbl epres ls estturs, en metros, de 000 solddos: Tll,0,,,,,8,8 -,7,7 -,80,80-,9 Nº de solddos Clcul: L medi l desvición típic. b Los intervlos donde se encuentrn l medin los curtiles. c El intervlo -, + el porcentje de individuos en dicho intervlo. d Represent los dtos en un histogrm. 9. Un compñí ére sospech que eiste un relción entre ls vribles X, tiempo de un vuelo, en hors; e Y, consumo de combustible gsóleo pr dicho vuelo, en litros. Por est rzón, se hn obtenido los siguientes dtos, dentro del rngo de niveles de interés pr X en est compñí. X i Y i Se pide: Medinte l representción del digrm de dispersión rzonr el interés de relcionr dichs vribles. b Obtener l covrinz el coeficiente de correlción entre mbs vribles. Interpretr los resultdos. AUTOEVALUACIÓN. Un digrm de cj inform sobre: Los curtiles curtosis. b Asimetrí vrinz. c Dtos típicos simetrí.. Se l vrible letori número de persons que es cpz de levntr un scensor. Pr clculr el nº de persons prtir del cul se recoge el 0 % de los vlores de l vrible necesitmos obtener El percentil 0 b El percentil c El percentil 70. El % de los mdrileños gstn en l fctur del móvil por encim de 00 euros, mientrs que el % gstn por debjo de 0 euros. Entonces conocemos: 00 0 son vlores que corresponden l curtil, respectivmente. b 00 0 son vlores que corresponden l curtil, respectivmente. c 00 0 son vlores que no corresponden ningún curtil.. En un digrm de brrs de frecuencis bsoluts, l sum de sus lturs es proporcionl : 00 b c Totl de vlores de l vrible d Sum de sus bses. L medi de los siguientes vlores de l vrible,,, 7,, 8, es: b 7 c,8 d,. L medin de los siguientes vlores de l vrible,,, 7, 8, es: b 7 c d 7. L mod de los siguientes vlores de l vrible,,, 7,, 8, 7, 7, es: b 7 c d 8. L medi de 7 números es 8. Se ñden dos números más pero l medi sigue siendo 8. Cuánto sumn estos dos números? 0 b c 0 d 9. Dos revists especilizds en empleo, A B, hn publicdo un medi de oferts de trbjo, de m A = 0 m B = 0 con vrinzs, respectivmente de s A = s B = 9. L revist B present mor coeficiente de vrición que l revist A. b L revist A present mor coeficiente de vrición que l revist B. c L revist B present igul coeficiente de vrición que l A 0. El 70 % de los mdrileños gstn en reglos nvideños por encim de 00 euros, mientrs que el % gstn por encim de 00 euros. Entonces conocemos: A El vlor correspondiente l percentil 0. B El vlor correspondiente l percentil 70. C Al percentil. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Estdístic Autor: Rquel Cro Revisors: Mrí Molero Nieves Zusti Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF

198 98 CAPÍTULO : COMBINATORIA. PERMUTACIONES.. Digrms en árbol Actividdes resuelts En un fiest se cuent con grupos musicles que deben ctur. Pr orgnizr el orden de ctución, cuánts posibiliddes distints h? Un técnic que puede udr mucho es confeccionr un digrm en árbol. Llmmos los grupos A, B C. En primer lugr podrá ctur bien A, bien B o bien C. Un vez que el grupo A ctú en primer lugr, pr el segundo puesto sólo podremos colocr B o C. Lo mismo si B v en primer lugr, sólo podrán estr en el segundo lugr A o C. Y lo mismo con C. Si se hubier decidido que en primer lugr ctú el grupo A en segundo el grupo B, pr el tercer lugr, que se puede decidir? Sólo nos qued el grupo C, sí en ls otrs posibiliddes. Sólo qued un únic posibilidd en todos los csos. Confeccionr el digrm en árbol, incluso comenzr confeccionrlo, nos permite contr con seguridd fcilidd. Vemos que h = forms de orgnizr el orden de ctución de los grupos. En un crrer compiten corredores se vn reprtir tres medlls, oro, plt bronce, de cuánts forms distints pueden reprtirse? Hcemos el digrm en árbol. El oro lo pueden gnr los corredores que vmos llmr A, B, C, D E. Hcemos ls flechs del digrm. Si el oro lo hubiese gndo el corredor A, pr l plt sólo l podrín gnr los otros corredores, B, C, D E. Si el oro lo hubier gndo B tmbién hbrí posibiliddes pr l medll de plt: A, C, D E. Y sí con el resto. Suponemos que l medll de oro l h gndo A l de plt B, entonces l medll de cobre l pueden gnr C, D o E. Por tnto h = 0 forms distints de reprtir ls medlls entre los jugdores.. Hz digrms en árbol clcul: Cuánts plbrs de letrs distints con significdo o sin él puedes escribir con ls letrs A, B o C. b Cuánts plbrs de letrs distints que empiecen por vocl terminen por consonnte. Recuerd h vocles consonntes.. An tiene cmisets, pntlones pres de zptills. Puede llevr un modelo diferente durnte dos meses dís? Cuántos dís deberá repetir modelo? Aud: Seguro que un digrm en árbol te resuelve el problem. En un tblero cudrdo con csills, de cuánts forms diferentes podemos colocr fichs idéntics de modo que estén en distint fil en distint column? Sugerenci: Confeccion un digrm de árbol. Cuánts csills h pr colocr l primer fich? Si eliminmos su fil su column En cuánts csills podemos colocr l segund fich?.. Permutciones u ordenciones de un conjunto El número de permutciones son tods ls posibles forms en que se puede ordenr un conjunto de elementos distintos. Cd cmbio en el orden es un permutción. Son permutciones ls forms en que pueden llegr l met 0 corredores. Ls plbrs con o sin sentido que podemos formr con ls letrs, sin repetir, de l plbr MESA. Los números de cifrs distints que se pueden formr con los dígitos:,,,. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

199 99 El número de permutciones de un conjunto de n elementos se design por P n, se lee permutciones de n elementos. L ctividd resuelt de los grupos musicles que ibn ctur en un fiest er de permutciones, er un ordención, luego lo escribirímos como P, se lee permutciones de elementos. Actividdes resuelts En l fse preprtori de un cmpeonto del mundo están en el mismo grupo Espñ, Frnci Alemni. Indic de cuánts forms pueden quedr clsificdos. Son permutciones de elementos: P. Hcemos un digrm de árbol. Pueden quedr primeros Espñ E, Frnci F o Alemni A. Si h gndo Espñ, pueden optr por el segundo puesto F o A. Y si hubiesen gndo Espñ luego Frnci, pr el tercer puesto sólo quedrí Alemni. Pueden quedr de = forms distints. En generl pr clculr ls permutciones de n elementos se multiplic n por n, sí, bjndo de uno en uno, hst llegr : P n = n n n. A este número se le llm fctoril de n, se indic n! P n = n n n = n! Son n situciones con n, n, n,,,, posibiliddes de elección respectivmente. Ejemplos: Ls forms en que pueden llegr l met 0 corredores son P 0 = 0! = = Ls plbrs con o sin sentido que podemos formr con ls letrs, sin repetir, de l plbr MESA son P =! = =. Los números de cifrs, tods distints, que se pueden formr con los dígitos:,,, son P =! = 0. Espñ, Frnci Alemni pueden quedr clsificdos de P =! = forms distints. De cuánts forms pueden reprtirse persons, psteles distintos comiendo cd person un pstel?. En un crrer de cbllos prticipn cbllos con los números,,,. Cuál de ellos puede llegr el primero? Si l crrer está mñd pr que el número llegue el primero, cuál de ellos puede llegr el segundo? Si l crrer no está mñd, de cuánts forms distints pueden llegr l met? Hz un digrm en árbol pr responder.. De cuánts mners puedes meter objetos distintos en cjs, si sólo puedes poner un objeto en cd cj? 7. Cuántos píses formn ctulmente l Unión Europe? Puedes ordenrlos siguiendo diferentes criterios, por ejemplo por su poblción, o con respecto su producción de cero, o por l superficie que ocupn. De cuánts mners distints es posible ordenrlos? 8. En el ño 97 hbí píses en el Mercdo Común Europeo. De cuánts forms puedes ordenrlos? 9. El desempleo ument en un oficin de colocción h 7 persons. De cuánts forms distints pueden hber llegdo? Actividdes resuelts Cálculo de!. Es! 0.!! Epres, utilizndo fctoriles, los productos siguientes: 0 9 8; b n+ n+ n+ 0! n! = b n+ n+ n+ = 7! n!! 7! 8! 0. Clcul: ; b ; c!! 7! ; d ; e ; f.!!!!!!! n! n! n!. Clcul: ; b ; c ; d n!. n! n! n! n!. Epres utilizndo fctoriles: ; b 0 ; c 8 7 ; d Epres utilizndo fctoriles: n+ n+ n+; b n n+ n+ n+; c n n+ n+ n+k.. Escribe en form de fctoril ls distints forms que tienen de sentrse en un clse los 0 lumnos en los 0 puestos que h. No lo clcules. Es un número mu grnde.. Nueve migos vn el biciclet por un crreter en fil indi. De cuánts forms distints pueden ir ordendos? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

200 00. VARIACIONES.. Vriciones con repetición Y sbes que ls quiniels consisten en divinr los resultdos de prtidos de futbol señlndo con un si pesmos que gn el equipo de cs, un si gn el visitnte X si h empte. En un mism jornd, cuánts quiniels distints podín rellenrse? Observ que hor si puedes repetir los símbolos, X, un quiniel es distint de otr si cmbi tnto el orden como los elementos. Se llmn vriciones con repetición de m elementos los símbolos tomdos de n en n los prtidos se design VR m,n. En el cso de ls quiniels son VR,. Actividdes resuelts Con dos símbolos, 0, cuánts tirs de símbolos se pueden escribir? Son vriciones con repetición de elementos tomdos de en. Hcemos el digrm de árbol. Observmos que en el primer lugr de l tir podemos poner los dos símbolos. En el segundo lugr, unque hmos puesto el 0, como se puede repetir, podemos volver poner el 0 el. Lo mismo en el tercer en el curto lugr. Por tnto VR, = = = tirs distints. En generl, VR m,n = m n. Actividdes resuelts El número de quiniels distints son VR, = = L probbilidd de que te toque un quiniel en un jugd es por tnto de / Con los 0 dígitos, cuántos números distintos pueden formrse de cifrs? 7. Con los 0 dígitos 7 letrs del lfbeto, cuánts mtriculs de coche pueden formrse tomndo dígitos letrs? 8. Un bte u octeto es un secuenci de 0 tomdos de 8 en 8. Cuántos btes distintos pueden formrse? 9. Clcul: VR, ; b VR, ; c VR, ; d VR,. 0. Epres con un fórmul: Ls vriciones con repetición de elementos tomds de en. b Ls vriciones con repetición de 7 elementos tomds de en. c Ls vriciones con repetición de elementos tomds de en.. Disprmos l plto veces. En cd dispro puede que des en el blnco B o que no des en el blnco NB. Cuántos resultdos distintos h?. Escribe cunts plbrs de tres letrs con significdo o no puedes formr que empiecen por consonnte terminen con l letr R... Vriciones sin repetición Ejemplo Un socición de vecinos vn tener elecciones l junt directiv. Ést const de crgos, presidente/, secretrio/, tesorero/. Sólo h cndidtos. De cuánts mners puede estr formd l junt? b Antes de que empiece l votción se presentn cndidtos más, cuánts junts podrán formrse hor? Confeccionmos nuestro digrm en árbol. Numermos del l los cndidtos. A presidente/ pueden optr los cndidtos, pero si el cndidto h sido elegido, no puede ser presidente/ demás secretrio/, por lo que entonces en ese cso, sólo sldrán del árbol ls rms,. Si hubiese sido elegido de presidente/ de secretrio/ entonces pr elegir l tesorero/ únicmente h dos opciones, o. L junt puede estr formd de = mners. Si en lugr de cndidtos fuesen, podrí estr formd de = 0 mners. Son vriciones sin repetición. En ls vriciones, tnto con repetición como sin repetición, influe el orden los elementos que precen. En ls vriciones con repetición pueden repetirse los elementos. En el ejemplo nterior no tendrí sentido que un mismo cndidto ocupr dos crgos, no se repiten los elementos. Presidente/ Secretrio/ Tesorero/ Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

201 0 Ls vriciones sin repetición o simplemente vriciones de m elementos tomdos de n en n se designn V m,n son los grupos de n elementos distintos que se pueden formr de modo que un grupo se diferencie de otro bien por los elementos que lo componen bien en el orden en que precen. Tomn el vlor de n fctores decrecientes de uno en uno: V m,n = m m m n fctores Observciones m debe ser siempre mor o igul que n. Ls vriciones de m elementos tomdos de m en m son ls permutciones de m elementos: V m,m = P m. Actividdes resuelts Observ ls siguientes vriciones e intent encontrr un epresión pr el último fctor: V, = b V, = c V 0, = d V 9, = En el cso es igul + ; en b = + ; en c = 0 + en d = 9 +. V m,n = m m m m n + Vmos escribir hor l fórmul de ls vriciones utilizndo fctoriles:!! 0! 9! V, = = b V, = = c V 0, = = d V 9, = =!! Pr escribirlo como cociente de fctoriles debemos dividir por m n. V m,n = m m m m n + =. Tres persons vn un pstelerí en l que sólo quedn psteles distintos. De cuánts forms distints pueden elegir su pstel si cd un compr uno?. Con los 0 dígitos se desen escribir números de cifrs, tods ells distints. Cuánts posibiliddes h pr escribir l ª cifr? Un vez elegid l primer, cuánts h pr elegir l ª? Un vez elegids ls dos primers, cuánts h pr l ª? Cuánts posibiliddes h en totl?. Si tienes 9 elementos diferentes los tienes que ordenr de en de tods ls forms posibles, cuánts h? Con ls letrs A, B C, cuánts plbrs de letrs no repetids podrís escribir?. Con los dígitos,, 7, 8, 9, cuántos números de cifrs distints puedes formr? 7. Clcul: V, ; b V 7, ; c V 8,. 7!! 0 8. Clcul: ; b ; c.!! 8!! entonces l pquete ABC lo estrímos contndo muchs veces: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Y lo mismo con el resto. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero! m! m n! Otr observción Hemos dicho que V m,m = P m pero si utilizmos l fórmul con fctoriles tenemos que V m,m = P m = teng sentido se sign 0! el vlor de. 0! =. m m! m! m! 0!!. Pr que. COMBINACIONES.. Combinciones En un librerí tienen los libros más leídos este verno. Quieren hcer pquetes de libros. Cuántos pquetes diferentes podrán hcer? Ahor cd pquete se diferencirá de otro sólo en los elementos los libros, no en el orden. Se llmn combinciones de m elementos tomdos de n en n se designn C m,n los grupos de n elementos que se pueden formr de modo que dos grupos se diferencien entre sí en los elementos que lo formn no en el orden. Llmmos los libros A, B, C, D, E F. Pquetes con A Pquetes sin A pero con B Pquetes sin A ni B pero con C ABC BCD CDE ABD ACD BCE BDE CDF CEF DEF ABE ACE ADE BCF BDF BEF ABF ACF ADF AEF Hemos formdo primero todos los pquetes que tienen l libro A, h 0; Luego seguimos formndo los que no tienen l libro A pero si tienen B. Luego los que no tienen ni A ni B pero si C. Y por último el pquete DEF que no tiene los libros A, B ni C. H en totl 0 pquetes distintos. C, = 0. Est form de hcerlo es poco práctic. Pr resolver nuestro problem vmos pornos en lo que sbemos. Si fuer importnte tnto el orden como los elementos serí un problem de vriciones clculrímos: V, = = 0. Pero

202 0 Cd pquete lo estrímos contndo P =! = veces de más. Por tnto bst con dividir ls vriciones entre ls V 0 permutciones: C, =, = 0. En generl: P Vm,n m! C m,n = Pn m n! n! Actividdes resuelts Un test const de 0 pregunts se deben responder pr probr. De cuánts forms puedes elegir ess pregunts? No influe el orden, tmpoco pueden repetirse no tiene sentido que responds veces l primer pregunt, sólo influe ls pregunts los elementos luego son combinciones, C 0,. 0! C 0, = mners.!! Tenemos libros sin leer queremos llevr de vcciones, cuánts posibiliddes distints h de elegir los tres libros? Son combinciones de elementos tomdos de en. C, = 0 forms. Tienes 7 moneds de euro que colocs en fil. Si muestrn l cr l cruz, de cuánts forms distints puedes ordenrls? Bstrá con colocr en primer lugr ls crs en los lugres libres poner ls cruces. Tenemos 7 lugres pr colocr crs, serán por lo tnto ls combinciones de 7 elementos tomdos de en. C 7, =. Observ que se obtiene el mismo resultdo si colocs ls cruces dejs los lugres libres pr ls crs que C 7, =. 9. Tenemos bombones igules h 7 migos, de cuánts forms se pueden reprtir los bombones si ninguno le vmos dr más de un bombón? 0. Jun quiere reglr DVDs Pedro de los 0 que tiene, de cuánts forms distints puede orgnizr el reglo?. En el juego del póker se dn crts cd jugdor de ls que tiene l brj, de cuánts mners diferentes se pueden recibir?.. Números combintorios Ls combinciones son mu útiles, por eso su epresión se l design como número combintorio. m El número combintorio m sobre n se design es igul : n m m! = Cm,n = n m n! n! Propieddes de los números combintorios Actividdes resuelts 7 Clcul, 0 9, 0, 0 7. Hbrás comprobdo que: 0 =, 0 9 =, 0 = 0 =. Rzon el motivo. Podemos 0 m generlizr decir que m =? En efecto: 0 m! = =. Recuerd que 0! =. 0 m! 0! 7 Clcul, 7 9,, 9 7. Hbrás comprobdo que: =, 7 9 =, = 9 =. Rzon el motivo. m Podemos generlizr decir que m =? En efecto: m m! m! = =. Recuerd que 0! =. m m m! m! 0! m! 7 Clcul, 9,, 7. Hbrás comprobdo que: = 7, 9 =, = 9 =. Rzon el motivo. m Podemos generlizr decir que m = m? En efecto: m! = = m. m!! 7 Clcul 7, 9, 9, 7 7 e indic cuáles son igules. Hbrás comprobdo que: 7 = 9 que 9 = 7. Rzon el m motivo. Podemos generlizr decir que m = n? m n Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

203 0 m En efecto: m! m! m = = = n m n! n! m m n! m n!. m n Hst hor tods ls propieddes hn sido mu fáciles. Tenemos hor un propiedd más difícil. Vemos que: m m = n m + n. n Pero ntes lo comprobremos con un problem. Luis Mirim se hn csdo les hn regldo objetos de dorno quieren poner en un estnterí. Ls forms de hcerlo con C, =. Pero Mirim quiere que en l estnterí esté, si o si, el reglo de su mdre. De cuánts forms lo hrí Mirim? Son C, =. Sin embrgo Luis, ese objeto no le gust, le d igul culquier combinción en l que no esté. De cuánts forms lo hrí Luis? Son C, =. Uno de los dos se sldrá con l su. Ls opciones de Mirim más ls de Luis son ls totles: = +. Te treves demostrrlo? m m + n m! m! = + reducimos común denomindor n m n! n! m n! n! m n m! n m! = + Recuerd: m m! = m! m n m n! n! n m n! n! = = = = m n m! m n! n! + nm! m n! n! m n m! n m! m n! n! m n n m! m n! n! m! m = m n! n!. n Ponemos el denomindor común summos los numerdores Scmos m! fctor común De nuevo usmos que m m! = m! Triángulo de Pscl o Triángulo de Trtgli Un mtemático itlino del siglo XVI, llmdo Trtgli pues er trtmudo, se le ocurrió disponer los números combintorios sí: O bien clculndo sus vlores correspondientes: A mbos triángulos se les llm triángulo de Pscl o triángulo de Trtgli. Utilizndo ls propieddes que conoces de los números combintorios sbemos que como: m m = = 0, cd fil empiez termin con. m m Por l propiedd m = n sbemos que el Triángulo de Trtgli es simétrico. m n m Por l propiedd m = n m + n podemos obtener ls siguientes fils sumndo términos de l nterior: Así pr n Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

204 0 formr l ª fil ponemos los del principio del finl, summos: + =. Pr formr l ª, observ que + =, + =, ponemos los unos del principio del finl. L ª fil: + = ; + = ; + =, los unos.. Añde l triángulo de Trtgli del mrgen fils más.. Sum los números de cd fil comprueb que l sum de l fil m d siempre m.. Sin clculrlo, mirndo l triángulo, cuánto vle C, ; C, ; C, ; C,. = = Cmints l zr Los números combintorios sirven como modelo pr resolver situciones mu diverss. Actividdes resuelts 8 = Si tenemos un dispositivo como el del mrgen, que se llm prto de Glton, e introducimos muchs bols por el gujero superior, por ejemplo 0, cómo crees que se distribuirán su llegd? De form uniforme? Hbrá lugres los que llegrán más bols? Observ que pr llegr l fil de más l izquierd sólo h un cmino posible igul que pr ir l de más l derech. Pr llegr l fil hueco h cminos. Comprueb que pr llegr m l fil m hueco n h cminos. n Si nuestro prto de Glton tiene 9 fils tirmos 000 bols pr sber como se depositrán proimdmente clculmos l fil 9ª del Triángulo de Trtgli: su sum sbemos que vle 9 =, por tnto, proimdmente en cd comprtimento del prto tendremos: Comprtimento Número proimdo de bols 0 = 9 = 8 = 7 8 = 8 = = 8 = 8 = 7 9 = 8 No se depositn el mismo número de bols en cd comprtimento. Si en los etremos se depositn bols en los centrles, proimdmente, se depositn más de 0 bols. Número de éitos Actividdes resuelts Estmos jugndo l tiro l plto. Se disprn sucesivmente 0 dispros. Cuánts posibiliddes h de dr en el blnco 0 veces tener éitos? Son ls C 0, = = 0. En resumen m = Número de combinciones de m elementos tomdos de n en n n = Número de cminos posibles pr llegr l fil m hueco n del prto de Glton = Número de subconjuntos de n elementos tomdos en un conjunto de m elementos = Número de sucesos en los que obtenemos n éitos en m pruebs = Números de muestrs sin ordenr de tmño n en un poblción de tmño m... Binomio de Newton Vmos clculr ls sucesivs potencis de un binomio. Y sbes que: + b = + b + b = + b + b + b = + b + b + b + b = + b + b + b + b Pr clculr + b multiplicmos + b por + b. + b = + b + b = + b + b + b + b = + b + b + b + b + b +b + b = + b + b + b + b Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

205 0 Actividdes resuelts Observ detenidmente los resultdos. Serís cpz de clculr + b sólo observndo? Fíjte que siempre precen todos los posibles términos del grdo que estmos clculndo, por lo que pr clculr l quint potenci tendremos:, b, b, b, b b. Los eponentes están ordendos, los de vn descendiendo desde hst 0, los de b crecen desde 0 hst recuerd 0 =. El coeficiente del primer último término es. Los otros coeficientes se obtienen sumndo los de los términos de l fil nterior, como en el Triángulo de Trtgli. Son l fil ª del Triángulo de Trtgli. Luego + b = + b + 0 b + 0 b + b + b. Podemos escribirlo tmbién utilizndo números combintorios: + b = + 0 b + b + b + b + b.. Desrroll + b n n En generl: + b n = n + n n b + n n n b + + b n + bn. 0 n n Est iguldd se denomin Binomio de Newton. Actividdes resuelts Cómo clculrís b n? Bst plic l fórmul del Binomio de Newton + b n. Recuerd b elevdo un eponente pr tiene signo positivo elevdo un eponente impr lo tiene negtivo. Por tnto b n n n = n n n b + n b + + n n bn. Los signos son lterntivmente positivos negtivos. 0 n. Desrroll b ; b ; c + 7 ; d Clcul el coeficiente de 7 del polinomio que se obtiene l desrrollr 8. Epres con rdicles simplificdos el polinomio que se obtiene l desrrollr. OTROS PROBLEMAS DE COMBINATORIA.. Resolución de problems Recuerd: pr resolver un problem es conveniente tener en cuent ls siguientes fses: Fse : Antes de empezr ctur, intent entender bien el problem Léelo hst segurrte de hber comprendido el enuncido, qué dtos te dn?, qué te piden? Fse : Busc un buen estrtegi. Si el problem es de Combintori un posible buen estrtegi puede ser nlizr si es un problem de permutciones, o de vriciones o de combinciones, en ese cso plicr l fórmul que conoces. Est estrtegi podrímos llmrl: Mir si tu problem se prece lguno que conozcs Pero otr posible buen estrtegi, que no eclue l nterior, es comenzr hcer un digrm en árbol. A est estrtegi podemos llmrl: Eperiment, jueg con el problem O bien: Hz un digrm, un esquem... L fse siguiente seguir es: Fse : Llev delnte tu estrtegi Seguro que utilizndo ests estrtegis, resuelves el problem. Por último, cundo lo hs resuelto: Fse : Piens si es rzonble el resultdo. Comprueb l estrtegi. Generliz el proceso. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

206 0.. Permutciones circulres Vmos utilizr ests técnics, u otrs distints, pr resolver un problem: Actividdes resuelts Diez migos migs vn comer en el resturnte les sientn en un mes redond. De cuánts forms pueden sentrse? Si en lugr de un mes fuer un bnco, sbemos resolver el problem, es un problem de Permutciones. L solución serí 0! forms distints. Pero es un mes redond, no tiene un primer siento ni un último siento. Tmpoco es sencillo, por el mismo motivo, diseñr el digrm en árbol. Qué hcemos? Piens. Busc un buen estrtegi. Un buen estrtegi quizás se: Hzlo más fácil pr empezr Diez son muchos. Piens en : A, B C. Si fuer un bnco, ls posibiliddes serín! =. Siéntlos hor en un mes redond. L posibilidd ABC, es hor l mism que BCA que CAB. Nos quedn sólo dos forms distints de sentrlos. Llmmos PC es permutción circulr. Tenemos pues que P =! = PC = ; P =! = PC =. Cómo podemos sentr persons en un mes circulr? L permutción ABCD hor es l mism que BCDA, que CDAB que DABC, luego si P =! =, entonces PC = P / =. Sbemos resolver nuestro problem inicil? Es PC 0 = P 0 /0 = P 9 = 9! Rzon est respuest. 9. Tres migos A, B C están jugndo ls crts. Cd uno ps un crt l que está su derech. Uno es espñol, otro itlino el otro portugués. A le ps un crt l itlino. B se l h psdo l migo que se l h psdo l espñol. Cuál de los migos es espñol, cuál itlino cuál portugués? Aud: Hz un digrm circulr como el nterior. 0. An Alejndro invitn cenr migos migs, cuánts forms tienen de colocrse en un mes redond? En cuánts están juntos An Alejndro? En cuánts no h dos chicos ni dos chics juntos?. Cuánts poligonles cerrds se pueden dibujr con los 8 vértices de un octógono?.. Permutciones con repetición Actividdes resuelts Con ls letrs de l plbr RASTREAR, cuánts plbrs con ests 8 letrs, con sentido o sin él, se pueden formr? Observmos que l letr R se repite veces l letr A, veces. Si ls 8 letrs fuern distints el número de plbrs que se podrín formr serí 8!, pero entre ests 0 0 plbrs observmos que tods quells en ls que están permutds ls dos letrs A son igules, por lo tnto tenemos l mitd de ls plbrs 0 0. Además l considerr ls tres letrs R que hemos considerdo distints que son igules tenemos que por cd plbr diferente h, es decir!, que son igules, por lo tnto el número de plbrs diferentes es 0 8! En generl ls permutciones de 8 elementos de los que uno se repite veces otro será: PR 8,, =!! = 0 Observ que ls permutciones de n elementos de los que uno se repite k veces el otro n k veces coincide con el número n combintorio k.. Con los dígitos,, cuántos números distintos de 7 cifrs puedes formr con tres veces l cifr, dos veces l cifr dos veces l cifr.. Con ls letrs de l plbr CARCAJADA, cuánts plbrs con ests 9 letrs, con sentido o sin él, se pueden formr?. Tenemos dos bols blncs, tres negrs cutro rojs, de cuánts forms distints podemos ordenrls? Cuánts no tienen ls dos blncs junts?. El cnddo de mi mlet tiene 7 posiciones en ls que podemos poner culquier de los 0 dígitos del 0 l 9. Cuánts contrseñs diferentes podrí poner?, cuánts tienen todos sus números distintos? Cuánts tienen lgún número repetido? Cuánts tienen un número repetido dos veces? Aud: Observ que pr clculr ls que tienen lgún número repetido lo más fácil es restr del totl ls que tienen todos sus números distintos. C A B B A C Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

207 07 Problems de mplición Actividd resuelt Si n rects de un mismo plno se cortn dos dos en puntos que son todos distintos. Se prte sí el plno en regiones distints. Cuál es el número de ess regiones? Cuántos segmentos h? Cuántos puntos precen? Fse : Antes de empezr ctur, intent entender bien el problem Pr entender bien el problem dibuj rects en el plno pr ir contndo puntos, regiones segmentos Fse : Busc un buen estrtegi. Un buen estrtegi consiste en eperimentr con csos prticulres: Se observ que: Con rects h regiones, punto segmentos infinitos semirrects. Con rects: Al ñdir l tercer rect Tres de ls regiones se hn dividido en dos: + = 7 regiones. Se ñden los puntos en los que es rect cort ls nteriores + =. Se tienen segmentos más: finitos + semirrects: + = 9. En prticulr ls semirrects hn umentdo en dos: + = Con rects: Al ñdir l curt rect: Cutro de ls regiones se hn dividido en dos: 7 + = regiones Se ñden los puntos en los que es rect cort ls nteriores + =. Se tienen 7 segmentos más: finitos + semirrects: =. En prticulr ls semirrects hn umentdo en dos: + = 8 Otr buen estrtegi es elborr un tbl con los resultdos obtenidos: Rects Puntos Regiones Segmentos Semirrects + = + = = 7 + = 8 + = 0 + = = + = Fse : Llev delnte tu estrtegi En est fse buscmos epresiones en función del número de rects, n, pr poder clculr el número de puntos, segmentos regiones según los vlores de n. L fórmul pr ls semirrects prece l más fácil de obtener porque prentemente es el doble que el número de rects demás cd vez que ñdimos un rect tenemos semirrects más. Si llmmos SSn l número de semirrects que precen con n rects tenemos que SS n = n. Pr clculr el número de segmentos incluids ls semirrects que se obtienen con n rects, prtir de los dtos de l tbl, prece plusible sugerir que es el cudrdo del número de rects, es decir, si S n design l el número de segmentos los finitos ls semirrects entonces: S n = n. Pr determinr el número de puntos, en l tbl se observ un le de recurrenci, el número de puntos, pr culquier número de rects, es igul l número de puntos nterior más el número de rects tmbién de l fil nterior. Si denominmos P n l número de puntos que se tienen l cortrse n rects entonces: P n = P n - + n Por otr prte observmos que si numermos ls rects con,,,, n nombrndo los puntos por el pr de rects que determin cd uno tenemos que son:,,,,,,, n,,,,,, n,, En número de estos pres de elementos coincide con ls combinciones de n elementos tomdos de en, es decir, P n = n C n, =. L le de recurrenci que nos sugiere l tbl pr obtener el número de regiones que se obtienen cundo se cortn n rects, es que el número de regiones de culquier fil de l tbl es igul l número regiones de l fil nterior más el número de rects de su fil, por tnto si R n el número de regiones que se obtienen l cortrse n rects entonces: R n = R n - + n. Pr obtener un fórmul observmos que: R n = n = n = n. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

208 08 n Sumndo n, obtenemos que: R n = + n n por lo tnto R n = + o bien R n = + n n = + n + n n n por consiguiente R n = + n + Fse : Piens si es rzonble el resultdo. Comprueb l estrtegi. Generliz el proceso. En est fse se trt de justificr o demostrr que tods ls conjeturs que hemos relizdo son cierts: Con respecto l número de semirrects es sencillo de comprobr que es el doble del número de rects que por cd rect tenemos dos semirrects, es decir: SS n := n El número de segmentos es el cudrdo del número de rects que como en cd un de ls rects h n puntos tenemos n segmentos finitos semirrects como h n rects se tiene que S n = n n Como cd punto es l intersección de dos rects se tiene que P n =, est fórmul cumple l le de recurrenci P n = P n - + n. Aplicndo ls propieddes de los números combintorios: n n n n P n - + n = n = P n n Respecto ls regiones vemos que l hipótesis R n = +, cumple l le de recurrenci: R n = R n - + n. n n Si R n = +, entonces R n - = +, por ls propieddes de los números combintorios n R n - + n = + + n = + n + n = + n = R n En est fse tmbién se puede generlizr el problem: Qué ocurrirí si p de ls n rects fuern prlels? Y si q rects de ls n rects convergen en un mismo punto?. De cuánts mners se pueden introducir 7 bols idéntics en cjs diferentes colocándols tods si ningun cj puede quedr vcí? Y si podemos dejr lgun cj vcí? Aud: Orden ls bols en un fil seprds por puntos sí quedn dividids en prtes, que indicn ls que se colocn en cd cj. 7. Cuánts pulsers diferentes podemos formr con bols blncs rojs? Aud: Este problem es equivlente introducir bols igules en cjs idéntics pudiendo dejr cjs vcís. 8. Cuánts forms h de colocr l re blnco l re negro en un tblero de jedrez de form que no se tquen mutumente. Y dos lfiles? Y dos reins? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

209 09 Permutciones Vriciones con repetición Vriciones sin repetición Influe sólo el orden. RESUMEN P n = n! Influe el orden los elementos. Los elementos pueden repetirse. VR m,n = m n. Influe el orden los elementos. Los elementos NO pueden repetirse. V m,n = m m m m n + = m! m n! Ejemplos P =! = =. VR, = = =! V, = = = 0! Combinciones Propieddes de los números combintorios Influen sólo los elementos. Vm,n m! C m,n = P n m n! n! = m n m m = ; 0 m = ; m m = n ; m n m m = n m + n n Binomio de Newton + b n = n n n + 0 n n b + n b n + + b n n + n b n n 9 C 9,7 = 9! = 7! 7! = 0 =; = =0; = + = + + b = + b + b + b + b Triángulo de Trtgli Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

210 0 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Permutciones. Tres nddores echn un crrer. De cuánts forms pueden llegr l met si no h emptes? Y si son 8 nddores?. Loli, Pco, An Jorge quieren fotogrfirse juntos, de cuánts mners pueden hcerse l fotogrfí? Quieren siturse de mner que lternen chicos con chics, de cuánts mners pueden hor hcerse l fotogrfí?. De cuánts mners se pueden introducir objetos distintos en cjs diferentes si sólo se puede poner un objeto en cd cj?. En un prd de utobús h persons, en cuántos órdenes distintos pueden hber llegdo l prd? Al llegr un nuev person se puest con otr que divin el orden de llegd, qué probbilidd tiene de gnr?. Siete chics prticipn en un crrer, de cuánts forms pueden llegr l met? No h emptes. Cuál es l probbilidd de certr el orden de llegd l met?. Cuántos números distintos de cinco cifrs distints pueden formrse con los dígitos,,,, 7? Cuántos pueden formrse si todos empiezn por? Y si deben empezr por terminr en 7? Vriciones 7. Cuántos números de cifrs distints se pueden escribir con los dígitos:,,,,? Cuántos de ellos son impres? Cuántos son múltiplos de? Recuerd: Un número es múltiplo de si el número formdo por sus dos últims cifrs es múltiplo de. 8. Cuántos números de cifrs, distints o no, se pueden escribir con los dígitos:,,,,? Clcul l sum de todos ellos. Sugerenci: Ordénlos de menor mor sum el primero con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el ntepenúltimo sí sucesivmente 9. Cuánts bnders de frnjs horizontles de colores distintos se pueden formr con los colores rojo, mrillo mordo? Y si se dispone de colores? Y si se dispone de colores no es preciso que ls tres frnjs tengn colores distintos? 0. A Mrio le encnt el cine v todos los estrenos. Est semn h, decide ir cd dí uno. De cuánts forms distints puede ordenr ls películs? Ml suerte. Le nuncin un emen decide ir l cine solmente el mrtes, el jueves el sábdo. Entre cuánts películs puede elegir el primer dí? Y el segundo? Y el tercero?. Con los dígitos {0,,,,, }, cuántos números de cutro cifrs diferentes se pueden formr? Observ: Si comienz por 0 no es un número de cutro cifrs. Cuántos son menores de 000?. Cuántos números de tres cifrs, diferentes o no, se pueden formr? De éstos, cuántos son mores que?. Con ls letrs de l plbr rquetipo Cuánts plbrs de letrs se pueden formr que no tengn dos vocles ni dos consonntes junts? Si tods ls letrs son distints. b Si se pueden repetir letrs.. El lenguje del ordendor está escrito en secuencis de ceros unos. Un bte es un de ests secuencis está formd, en generl, por 8 dígitos. Cuántos btes diferentes se pueden formr? Si se fbricr un ordendor cuos btes tuviern dígitos, cuántos btes diferentes se podrín formr hor? Si se fbricr un ordendor cuos btes tuviern dígitos, se podrí escribir con ellos ls letrs del lfbeto? Combinciones. Escribe dos números combintorios con elementos diferentes que sen igules otros dos que sen distintos.. Tienes siete bols de igul tmño, cutro blncs tres negrs, si ls colocs en fil. De cuánts forms puede ordenrls? 7. Con lts de pintur de distintos colores, cuánts mezcls de colores podrás hcer? 8. Clcul: 8 ; b 0 ; c ; d 7 ; e Clcul: C 9, ; b C 0, ; c C 8, ; d C 0,9 ; e C 7,. 0. De cuánts mners se puede elegir un delegción de estudintes de un grupo de 0? Y en tu propio grupo?. Cuántos productos diferentes se pueden formr con los números:, /, 7, π tomándolos de en? Cuántos de esos productos drán como resultdo un número entero? Cuántos un número rcionl no entero? Cuántos un número irrcionl?. Cuánts leciones de metles pueden hcerse con 7 tipos distintos de metles?. Clcul: b Cuál es l form más fácil de clculr sin clculr cd uno 8 de los números combintorios? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

211 . De cuánts forms puedes seprr un grupo de 0 estudintes en dos grupos de 7 estudintes respectivmente?. Vs eminrte de un signtur en l que h 0 tems, en el emen vn poner. Cuánts posibiliddes h? Te sbes sólo tems. Cuánts posibiliddes h de que te toquen dos tems que no te seps? Cuál es l probbilidd de que te toquen dos tems que no te seps? Y l de que te toque sólo un tem que no te seps? 7. Un grupo de 0 lumnos de º de ESO vn visitr un museo en el que pueden elegir entre dos ctividdes diferentes. Cuánts forms distints puede hber de formr los grupos de lumnos? 8. Desrroll el binomio ; b ; c b c ; d. 9. Clcul en ls siguientes epresiones: = b c 7 = 7 + d 0. Escribe el vlor de en ls igulddes siguientes: = 7, ; b 7 =, ; c = + ; d 8 = ; e = ; f. Clcul en función de n l sum de los siguientes números combintorios: n n + n n b n c n + 0. Hll el término seto en el desrrollo de:. Hll el coeficiente de en el desrrollo de: 9.. Cuánts opciones h pr elegir cutro signturs entre siete opttivs?. Se jueg un prtid de tiro l plto se disprn sucesivmente pltos. Cuál es el número de sucesos en los que se obtienen éitos, es decir se ciert veces en el blnco? En el mismo cso nterior, cuál es l probbilidd de tener éito en el último tiro? Problems. En Curiosiddes Revist tienes el problem de Buteo. Con 7 discos letrs en cd disco, cuánts combinciones distints se pueden hcer? Aud: En el primer disco podemos poner culquier de ls letrs. Lo mismo en el segundo. Y en el tercero? Pero si es fcilísimo! Si sbemos resolverlo. 7. En un resturnte h primeros pltos, segundos postres, de cuánts forms diferentes se puede combinr el menú? 8. Lnzmos un moned luego un ddo, Cuántos resultdos distintos puedes obtener? Y si lnzmos dos moneds un ddo? Y si fuesen moneds ddos? 9. Se están eligiendo los ctores ctrices pr hcer de protgonists en un teleserie. Se hn presentdo chicos 8 chics. Cuánts prejs distints podrín formr? 0. Un cj de un conocido juego eductivo tiene figurs rojs, mrills zules, que pueden ser triángulos, círculo o cudrdos, de dos tmños, grndes pequeñs. De cuánts piezs const l cj?. En un resturnte h 8 primeros pltos segundos, cuántos tipos de postres debe elborr el resturnte pr poder segurr un menú diferente los dís del ño?. En un reunión tods ls persons se estrechn l mno. Hubo 9 pretones. Cuánts persons hbí? Y si hubo pretones, cuánts persons hbí?. De cuánts mners se pueden introducir objetos distintos en cjs diferentes si sólo se puede poner un objeto en cd cj? Y si se pueden poner vrios objetos en cd cj colocndo todos? Cuál es l probbilidd de que en l primer cj no h ningún objeto?. L mor prte de ls contrseñs de ls trjets de crédito son números de cifrs. Cuánts posibles contrseñs podemos formr? Cuánts tienen lgún número repetido? Cuánts tienen un número repetido dos veces?. Tenemos 0 rects en el plno que se cortn, es decir, no h rects prlels. Cuántos son los puntos de intersección?, si tienes rects?, si tienes n rects?. Cuánts digonles tiene un octógono regulr?, un polígono regulr de 0 ldos? 7. Cuánts digonles tiene un icosedro regulr?, un dodecedro regulr? Aud: Recuerd que el icosedro el dodecedro son poliedros dules, es decir, el número de crs de uno coincide con el número de vértices del otro. Pr sber el número de rists puedes utilizr l Relción de Euler: C + V = A + Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

212 8. Cuántos números diferentes de cifrs distints puedes formr con los dígitos,,, 7? Cuántos que sen múltiplos de? Cuántos que empiecen por? Cuántos que demás de empezr por terminen en 7? 9. Con bols de colores distintos, Cuánts fils diferentes puedes formr de bols? b Cuánts pulsers distints puedes formr de bols? 0. Con los dígitos,,,,, cuántos números de cinco cifrs distints se pueden formr? Clcul l sum de todos estos números. C, 7. Clcul en los siguientes csos: V, = C, b V, = V, c C,. Hce muchos ños ls plcs de mtrícul ern como est: M ; luego fueron como ést: M A; ctulmente como ést: ABC. Investig qué ventjs tiene cd uno de estos cmbios respecto l nterior.. Iker Mrí juegn l tenis deciden que gn quel que primero gne sets. Cuál es el número máimo de sets que tendrán que disputr? Cuántos desrrollos posibles puede tener el encuentro?. Pedro conoció er un chic. Lo psron mu bien ell le dio su número de móvil, pero él no llevb su móvil ni bolígrfo. Pensó que se cordrí, pero sólo recuerd que empezb por, que hbí otrs cutro que ern tods distints entre sí menores que. Clcul cuánts posibiliddes tiene de certr si mrc un número. Demsids. Hce memori recuerd que ls dos últims son 77. Cuánts posibiliddes h hor de certr hciendo un llmd?. Un club de lpinists h orgnizdo un epedición l Kilimnjro formd por persons, 7 epertos que están en formción. En un determindo trmo sólo pueden ir epertos que no lo sen, de cuánts forms puede estr compuesto ese equipo de persons? Tú eres un eperto, vs ir en ese trmo, cuánts forms h hor de componerlo?. En los billetes de un líne de utobuses v impreso l estción de prtid l de llegd. H en totl 8 posibles estciones. Cuántos billetes diferentes tendrí que imprimir l empres de utobuses? Ahor quieren cmbir el formto sólo imprimir el precio, que es proporcionl l distnci. Ls distncis entre ls estciones son tods distints. Cuántos billetes diferentes tendrí que imprimir en este cso? 7. Un prej tiene un hijo de ños que entr en l gurderí ls 9 de l mñn. El pdre trbj en un fábric que tiene turnos mensules rottivos: de 0 8, de 8 de hors. L mdre trbj en un supermercdo que tiene dos turnos rottivos mensules, de 8 de 0 hors. Cuántos dís l ño, por término medio, no podrá ninguno de los dos llevr su hijo l gurderí? 8. Un tiro l blnco tiene 0 cbllitos numerdos que girn. Si se ciert uno de ellos se enciende un luz con el número del cbllito. Tirs veces, de cuánts mners se pueden encender ls luces? Y si el primer tiro no d ningún cbllito? 9. En un fiest h 7 chics 7 chicos. Jun bil siempre con An. Antonio es el más decidido siempre sle bilr el primero, de cuánts forms puede elegir prej en los próimos biles? 0. Con los dígitos {0,,,,, } Cuántos números de cinco cifrs se pueden formr? b Cuántos h con dos veces l cifr tres l cifr? c Clcul l sum de todos estos últimos números.. Cuánts plbrs, con o sin sentido, se pueden formr con ls letrs de l plbr puert que no tengn dos vocles ni dos consonntes junts?. En un compñí militr h 0 solddos, cuánts gurdis de solddos pueden hcerse? Uno de los solddos es Alejndro, en cuánts de ests gurdis estrá? Y en cuánts no estrá?. Cuántos números cpicús de dos cifrs eisten? Y de tres cifrs? Y de cutro cifrs?. Con ls letrs de l plbr rgumento Cuánts plbrs de letrs se pueden formr que no tengn dos vocles ni dos consonntes junts? Si tods ls letrs son distints. b Se pueden repetir letrs.. Cuántos números h entre el 000 el que tengn tods sus cifrs distints?. Un fábric de juguetes tiene l vent 8 modelos distintos. Cuántos muestrrios distintos puede hcer de juguetes cd uno? Cuál es l probbilidd de que el último modelo de vión fbricdo llegue un determindo cliente? Si se quiere que en esos muestrrios siempre esté el último modelo de juguete fbricdo, cuántos muestrrios distintos puede hcer hor? 7. L encrgd de un gurdrrop se h distrído, sbe que de los cinco últimos bolsos que h recogido tres bolsos les h puesto el resgurdo equivocdo dos no. De cuánts forms se puede hber producido el error? Y si fuesen dos los equivocdos? 8. L primer obr impres con resultdos de Combintori es Summ de Luc Pcioli, de 9. En est obr se propone el siguiente problem: De cuánts forms distints pueden sentrse cutro persons en un mes circulr? 9. Cuántos números de cutro cifrs tienen l menos un? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

213 70. Con ls letrs de l plbr sber, cuánts plbrs, con o sin sentido, de letrs diferentes, se pueden formr que no tengn dos vocles ni dos consonntes junts. Lo mismo pr ls plbrs corte, puert Alberto. 7. Consider l sucesión de números nturles,,, 0,, cuál es el siguiente término de est sucesión? Qué le de recurrenci permite clculr el siguiente término de l sucesión? Cuál es su término generl? 7. Con los dígitos,, cuántos números menores de 000 se pueden formr? Cuántos h con cifrs que tengn dos veces l cifr? 7. Con ls letrs de l plbr GRUPO, cuánts plbrs de letrs con o sin sentido se pueden formr que tengn lgun letr repetid? 7. En un brj espñol hcemos etrcciones con reemplzo, cuál es l probbilidd de obtener más de ses? l probbilidd de obtener menos de ses? 7. Cminos en un cudrícul: Cuántos cminos h pr ir de A hst B si sólo podemos ir hci l derech hci rrib? b Si no podemos trvesr el cudrdo verde, ni cminr por sus ldos, cuánts forms tenemos hor pr ir desde A hci B? c Si no podemos trvesr el rectángulo verde, ni cminr por sus ldos, cuánts forms tenemos hor pr ir desde A hci B? d Cuántos cminos h en un cudrícul cudrd con n cminos en cd ldo? e Cuántos cminos h en un cudrícul rectngulr con m cminos verticles n horizontles? AUTOEVALUACIÓN. Tienes nueve moneds de euro que colocs en fil. Si cutro muestrn l cr cinco l cruz De cuánts forms distints puedes ordenrls?: V 9, b P 9 c C 9, d VR 9,. En un compñí ére h 0 zfts, un vión necesit en su tripulción, de cuánts forms se puede elegir es tripulción?: V 0, b P 0 c C 0, d VR 0,. Cuántos productos distintos pueden obtenerse con tres fctores diferentes elegidos entre los dígitos:,, 7? V, b P c C, d VR,. Tenemos objetos los queremos gurdr en cjs, un objeto en cd cj, de cuánts forms podemos hcerlo?: V, b P c C, d VR,. Permutciones de n+ elementos dividido por permutciones de n+ elementos es igul : n! n! n+ n+ n+ = b V n+,n+ c d V n+,n+ / C n+,n+ n! n!. Ls vriciones de 0 elementos tomdos de en es igul 0! 0!! VR,0 b V 0, = = c V 0, = = d V, = =!!! 7. Indic qué firmción es fls; 0! = ; b V m,n = m m m m n; c VR m,n = m n ; d P n = n! 8. El vlor de los siguientes números combintorios 9, 0, 9 es: 0,, ; b 0, 9 ; c, ; d, El vlor de, distinto de, en 7 = es: b 7 c d 0 0. El coeficiente del término curto del desrrollo del Binomio de Newton de + b 7 7 es: 7 ; b ; c ; d V7, Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Combintori Autors: Adel Slvdor Mrí Molero Revisores: Sergio Hernández Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF Mrí Molero

214 CAPÍTULO : PROBABILIDAD. EXPERIENCIA Y PROBABILIDAD.. L le de Lplce. Todos los dís estmos obligdos clculr probbiliddes, unque se de modo intuitivo: gnrá l Lig mi equipo fvorito?, lloverá mñn?, le gustré es person especil que h en clse?, me drán un bec? A cd suceso se le puede signr un probbilidd, que es un número comprendido entre 0. Cunto mor se l posibilidd de que ese suceso ocurr, el número que indic l probbilidd será más próimo si tenemos pocs opciones de que ocurr ese hecho, su probbilidd estrá próim 0. Nuestr eperienci tmbién l teorí que puedes consultr en los Apuntes Mre Verde de º ESO nos ud clculr probbiliddes medinte l Le de Lplce en el cso en el que todos los csos sen equiprobbles esto es, no h sucesos simples que tengn más probbilidd de slir que otros. L regl de Lplce está bsd en el principio de rzón insuficiente: si priori no eiste ningun rzón pr suponer que un resultdo se puede presentr con más probbilidd que los demás, podemos considerr que todos los resultdos tienen l mism probbilidd de ocurrenci. número de csos fvorbles l suceso S PS= número de csos posibles Un poco más delnte en este cpítulo vmos volver formlizr mplir l mtemátic que h debjo del cálculo de probbiliddes, pero preferimos hor mostrr unos cuntos ejemplos que nos sirvn pr entrenr nuestr intuición. Ejemplos: En un clse h chicos 7 chics. Como no se present ndie pr ser delegdo se hce un sorteo. Cuál es l probbilidd de que en l clse h delegd? Como h 7 chics los csos fvorbles sobre un poblción de individuos, de cuerdo con l Le de Lplce, l probbilidd pedid es PS= número de csos fvorbles l suceso S número de csos posibles 7 En el monedero tenemos 7 moneds de céntimo, moneds de céntimos, moneds de 0 céntimos moneds de 0 céntimos. Scmos un moned l zr, cuál es l probbilidd de que l cntidd obtenid se un número pr de céntimos? Al scr un moned, pr tener un número pr de céntimos tiene que ser de 0 c o de 0 c. Por tnto el totl de csos fvorbles es de 9 h de 0 de 0. El número de csos posibles es el de moneds que tenemos en el monedero, que son =. csos fvorbles 9 L probbilidd de obtener un número pr de céntimos es P pr. csosposibles 7. En un cj tenemos mezcldos clvos de cm de lrgo, clvos de cm, 0 clvos de, cm 0 clvos de, cm. Scmos l zr un clvo de l cj se sume que todos los clvos tienen l mism probbilidd de ser elegidos. Qué probbilidd h de que el clvo etrído teng l menor longitud?. L rulet frnces const de los números que vn del 0 l. Si sle 0 gn l bnc. Decidimos postr pr gnremos si sle un número pr no nulo. Qué probbilidd tenemos de gnr l puest? b L rulet mericn const de un 0, un 00 de los números que vn del l. Si sle 0 o 00 gn l bnc. Decidimos postr pr gnremos si sle un número pr no nulo. Qué probbilidd tenemos de gnr l puest?. En un instituto de 800 lumnos h 00 estudintes que hbln inglés, 00 que hbln frncés, 00 que hbln lemán, 00 que hbln inglés frncés, 80 que hbln inglés lemán, 0 que hbln frncés lemán 0 que hbln los tres idioms. Se elige un estudinte l zr. Cuál es l probbilidd de que hble solmente un lengu etrnjer? Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Probbilidd Autor: Fernndo Blsco Revisor: Rquel Cro Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Fernndo Blsco Wikpedi

215 .. Scndo bols de un bols Un form sencill de hcernos un ide de los conceptos probbilísticos es hcer eperimentos con objetos conocidos. Por ejemplo, son mu típicos los problems en los que scmos bols o crmelos, o ppelets, de un bols. Un bols contiene bols blncs, bols rojs un bol negr. Se etren dos bols l mismo tiempo. Cuál es l probbilidd de que sen un blnc un negr? b Se etre un bol de l bols. Después se sc un segund bol, sin volver meter en l bols l primer. Cuál es l probbilidd de que trs l segund etrcción tengmos un bol blnc un bol negr? c Se etre un bol de l bols. Después se sc un segund bol, sin volver meter en l bols l primer. Cuál es l probbilidd de que l primer bol se blnc l segund negr? d Se etre un bol de l bols. Trs mirr de qué color se introduce en l bols de nuevo. Se sc un segund bol. Cuál es l probbilidd de que l primer bol se blnc l segund negr? e Se etre un bol de l bols. Trs mirr de qué color se introduce en l bols de nuevo. Se sc un segund bol. Cuál es l probbilidd de que ls dos veces h slido l bol negr? f Se etre un bol de l bols. Trs mirr de qué color se introduce en l bols de nuevo. Se sc un segund bol. Cuál es l probbilidd de que ls dos veces h slido un bol blnc? H muchs mners de resolver estos ejemplos. L clve está en contr bien los csos que precen. Empleremos métodos distintos, que vmos desrrollr después lo lrgo del cpítulo. Aunque no nos dign nd en el problem, unque ls bols sen indistinguibles, vmos imginr que cd un tiene un número escrito, como ls bols de billr mericno. Eso nos udrá contr. Así, l situción es l representd en l figur Formlmente no nos import en qué orden slen ls bols. En principio cogemos ls dos l mismo tiempo. Los csos fvorbles son: Los csos posibles son ls combinciones de 7 elementos tomdos de en. Esto es, 7 C 7, Así, l probbilidd pedid es. b Aunque prezc distinto por cómo lo hemos enuncido, en este ejemplo preguntmos ectmente lo mismo que en el ejemplo. En efecto, solo nos interes lo que ocurre trs l segund etrcción. Así que sbemos el resultdo. Si quisiérmos podrímos plnterlo teniendo en cuent el orden en el que slen ls bols. En ese cso, pr contr el totl de csos posibles tendremos que utilizr vriciones de 7 elementos tomdos de en. Csos fvorbles: B N, B N, B N, B N, N B, N B, N B, N B se consider orden de etrcción Csos posibles: son tods ls forms de elegir un prej de bols en ls que sí import el orden de elección primero se sc un después otr V 7 Así, l probbilidd pedid es Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Probbilidd csosfvorbles csosposibles 7, c Este ejemplo cmbi con respecto l nterior en que sí nos import el orden en el que slen ls bols. Csos fvorbles: B N, B N, B N, B N Csos posibles V 7 Probbilidd = csosfvorbles csosposibles. 8. 7, d En este ejemplo los csos fvorbles son los mismos que en el ejemplo nterior. Pero h muchs más posibiliddes, puesto que volvemos introducir en l bols l bol que hemos scdo en l primer etrcción. Pr contr el número de csos posibles se utilizn ls vriciones con repetición. Csos fvorbles: B N, B N, B N, B N Csos posibles: 7 csosfvorbles VR 7, 9. Probbilidd =. csosposibles 9 Autor: Fernndo Blsco Revisor: Rquel Cro Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Fernndo Blsco Wikpedi

216 e En este ejemplo h un único cso fvorble: que slg l bol negr veces. El número de csos posibles es el que hemos clculdo en el ejemplo nterior, puesto que relizmos dos etrcciones nos import el orden. Csos fvorbles: N N Csos posibles: VR 7, 7 9 csos fvorbles Probbilidd =. csosposibles 9 f En est ocsión volvemos tener el mismo número de csos posibles que en los dos ejemplos nteriores. Lo que cmbi es el modo de contr el número de csos fvorbles. Podemos hcerlo lo besti o bien utilizndo combintori, que pr eso l hemos estudido. Los csos posibles son B B, B B, B B, B B, B B, B B, B B, B B, B B, B B, B B, B B, B B, B B, B B, B B. Es decir, csos. Lo podrímos hber clculdo de un form mucho más sencill teniendo en cuent que h bols blncs se etren, con reemplzmiento, veces. Eso d lugr un problem típico de vriciones con repetición. Csos fvorbles: VR, Csos posibles: VR 7 9 7, csos fvorbles Probbilidd =. csosposibles 9. Vuelve hcer todos los prtdos del ejemplo nterior pero sustituendo en cd cso bol blnc por bol roj. Es decir, l bols tiene hor bols rojs un bol negr: Se etren dos bols l mismo tiempo. Cuál es l probbilidd de que sen un roj un negr? b Se etre un bol de l bols. Después se sc un segund bol, sin volver meter en l bols l primer. Cuál es l probbilidd de que trs l segund etrcción tengmos un bol roj un bol negr? c Se etre un bol de l bols. Después se sc un segund bol, sin volver meter en l bols l primer. Cuál es l probbilidd de que l primer bol se roj l segund negr? d Se etre un bol de l bols. Trs mirr de qué color se introduce en l bols de nuevo. Se sc un segund bol. Cuál es l probbilidd de que l primer bol se roj l segund negr? e Se etre un bol de l bols. Trs mirr de qué color se introduce en l bols de nuevo. Se sc un segund bol. Cuál es l probbilidd de que ls dos veces h slido l bol negr? f Se etre un bol de l bols. Trs mirr de qué color se introduce en l bols de nuevo. Se sc un segund bol. Cuál es l probbilidd de que ls dos veces h slido un bol roj?. En l loterí primitiv un puest consiste en mrcr csills de entre 9 posibles. El dí del sorteo se etren bols de entre 9. Cuál es l probbilidd de que tu puest coincid con l combinción gndor? Cuál es l probbilidd de que ciertes únicmente números? Y l de que ciertes únicmente números?.. Mezclndo crts En un brj mericn tenemos plos: pics, corzones, tréboles dimntes. Ls crts de pics de tréboles son negrs, mientrs que los dimntes los corzones son crts rojs. Cd plo tiene crts, de ls que h crts con números del l 0 figurs: l sot J, l dm Q el re K. En l brj frnces l originl, pero menos vist en lugr de precer J, Q, K precen V, D, R Vlet, Dme Roi. Además, l brj tiene comodines, pero no los vmos utilizr en nuestros ejemplos. Ls mezcls de crts tienen propieddes mu interesntes. De hecho h muchos juegos de crtomgi que se bsn en propieddes mtemátics de ls mezcls no precismente probbilístics. En los ejemplos que vmos ver continución supondremos siempre que trbjmos con un brj bien mezcld l etrcción de ls crts se hrá siempre de form letori. Mtemátics º B de ESO. Cpítulo : Probbilidd Autor: Fernndo Blsco Revisor: Rquel Cro Ilustrciones: Bnco de Imágenes de INTEF, Fernndo Blsco Wikpedi