UNIDAD 5 ANÁLISIS DESCRIPTIVO Y EXPLORATORIO DE DATOS ESTADÍSTICA. Ingenierías: Recursos Hídricos- Ambiental-Agrimensura TEORÍA

Transcripción

1 Uversdad Nacoal del Ltoral Facultad de Igeería y Cecas Hídrcas ESTADÍSTICA Igeerías: Recursos Hídrcos- Ambetal-Agrmesura TEORÍA Mg.Ig. Susaa Valesberg Profesor Ttular UNIDAD 5 ANÁLISIS DESCRIPTIVO Y EXPLORATORIO DE DATOS Pág.1

2 Ua vez que se recolecta los datos de algú feómeo o stuacó que se estuda, se los puede aalzar utlzado dos métodos estadístca descrptva y estadístca ferecal. El prmero, descrbe y aalza los datos s obteer coclusoes respecto a la poblacó de la cual provee. Estadístca Descrptva La Estadístca Descrptva, pretede dar ua descrpcó umérca, ordeada y smplfcada, a veces co la ayuda de represetacoes gráfcas, de la formacó obteda e la recogda de datos de u feómeo aleatoro. Cuado se aalza datos es co u objetvo: coocer algo o algua característca del total de datos. Ese total de datos referdo a ua varable aleatora es lo que se deoma poblacó; su aálss completo geeralmete es mposble de realzar por dferetes motvos: dspobldad de tempo, dero, persoal etc. Por esta razó es que se seleccoa, por dsttos métodos, valores de esa poblacó para formar ua muestra. Más formalmete se deoma muestra de ua poblacó orgal co fucó F(), a la sucesó.. de los valores observables de la varable aleatora, que correspode a repetcoes depedetes de u epermeto aleatoro. Se defe de forma aáloga a la muestra e el caso que el epermeto aleatoro esté relacoado co varas varables aleatoras (varable bdmesoal, por ejemplo). Uo de los tpos de muestreo más utlzado es el muestreo aleatoro smple (m.a.s.) e el que cada dvduo de la poblacó tee la msma probabldad de ser cludo e la muestra. Este varos motvos por los que se elge ua muestra, uo de ellos es el costo que supoe hacer u estudo de ua poblacó etera Pero cudado! No sempre es ecesaro tomar ua muestra, ya que s queremos estudar el fracaso de u curso determado, deberemos tomar todos los alumos de dcho curso, y o ua muestra de ellos. Por ejemplo, s se quere estudar los caudales mámos statáeos auales del río Paraá, se seleccoa aleatoramete 100 caudales mámos statáeos auales para coformar la muestra que se ha de estudar. Como se ve el papel de la muestra es muy mportate; por lo tato, debe ser lo más represetatva posble de la poblacó. Ates de hacer u estudo estadístco, teemos que platearos be que problema vamos a estudar, y cuáles va a ser los objetvos de uestra vestgacó o trabajo, fjado los pasos a segur, las clasfcacoes que se va a realzar, las varables que debemos observar y cómo medrlas, los gráfcos que vamos a realzar. Para el tratameto de los datos, hay que realzar ua buea recoleccó de la formacó muestral, pues ua mala muestra, puede aular el estudo. Hay dos procedmetos: a) Muestreo. Cosste e elegr al azar ua muestra medate dferetes tpos de muestreo y observar esa muestra regstrado los valores. Pág.

3 b) Dseño de epermetos. Cosste e fjar los valores de certas varables y observar las respuestas de otras, es decr, se platea los objetvos que se pretede delmtado la formacó que se va a estudar. Los datos que costtuye la muestra so llamados observacoes porque represeta lo que se observa actualmete. Ua vez que hemos recogdo los datos, teemos que: 1. Hacer ua recoplacó y reduccó de dchos datos a uas pocas meddas represetatvas. Cofeccoar tablas acompañadas de gráfcos para ua mejor vsó de los datos Caracteres estadístcos: es ua propedad que permte clasfcar a los dvduos de ua poblacó. Se dstgue dos tpos: a) Cualtatvos. So aquellos cuya varacó se recoge por la presetacó de dsttas cualdades, es decr, los que o se puede medr. Ejemplo: estado cvl, color de ojos, seo, profesó de ua persoa, carrera que pesa elegr u alumo. Las modaldades so las dferetes stuacoes de u carácter, por ejemplo, las modaldades del carácter profesó podría ser: geero, ecoomsta, pscólogo, formátco, perodsta b) Cuattatvos. So aquellos que se puede medr o cotar y está formadas por catdades umércas. Ejemplo: talla y peso de u dvduo, úmero de alumos matrculados e ua uversdad, úmero de errores cometdos e ua medcó, úmero de días de lluva Ua observacó puede ser umérca o o umérca; las prmeras se deoma cuattatvas y las segudas cualtatvas. Las cuattatvas se refere e geeral a meddas, por ejemplo Q, h, precptacoes, etc.; las cualtatvas se refere a clasfcacoes; por ejemplo, medcoes bueas o malas, datos cofables o aómalos etc. També se hará la dstcó etre datos de tpo cotuo (por ejemplo caudales, alturas hdrométrcas, evaporacó) y datos de tpo dscreto (úmero de días de sol e u lugar y tempo determados, úmero de dvsoes de ua cueca). Las observacoes que se obtee de forma aleatora (uo de los métodos de obtecó de muestras) y que o se ha ordeado de gua forma costtuye los datos crudos. Es ecesaro por lo tato ordear, presetar, agrupar y resumr los datos para cumplr co el objetvo de la vestgacó, estudo, trabajo etc. Desde que se dspoe de computadoras, y cada vez más avazadas, es posble maejar ua gra catdad de datos, pero de todas maeras la orgazacó es sempre ecesara. Cuado los datos se ordea de acuerdo a su magtud lo que se obtee es ua dstrbucó de frecuecas; s se tee e cueta el tempo e que ocurró ese dato, lo Pág.3

4 que se obtee es ua sere croológca, y s lo que se toma e cosderacó es la ubcacó geográfca se obtee ua dstrbucó espacal. E el ordeameto de los datos se deberá hacer la dstcó etre datos o varables de tpo cotuo y dscreto. S los valores de la muestra se ha presetado sólo ua vez, se los ordea de acuerdo a su magtud y la sere se deoma varacoal o sere smple. Ahora supógase que u elemeto se ecuetra más de ua vez e la muestra, ese úmero de veces que se repte ese valor se deoma frecueca f del elemeto. Se deoma sere estadístca o sere de datos agrupados a la sucesó de pares ~ f. La forma de la dstrbucó de los datos (de ua varable) se deoma dstrbucó de frecuecas. El estudo de las dstrbucoes de frecuecas tee por objeto la costruccó de tablas de frecuecas que podrá utlzarse para ua mejor presetacó e terpretacó de la formacó coteda e los datos observados e la muestra. E este apartado, os refermos a las dstrbucoes udmesoales de frecuecas, que so aquellas utlzadas para descrbr ua varable dvdual s teer e cueta la formacó de otras varables que pudera haberse cludo e el estudo. Para poder obteer la forma geeral de ua dstrbucó de frecuecas udmesoal, es ecesaro troducr alguos coceptos prevos. Cosderemos ua poblacó estadístca de N dvduos, descrta segú ua varable o carácter X, cuyas modaldades ha sdo agrupadas e u úmero de clases, para cada ua de esas clases =1,...,, vamos a defr: Frecueca absoluta de la clase: Es el úmero de observacoes que este e dcha clase o sea es el úmero de veces que se repte dcho valor (f ). Frecueca absoluta acumulada de la clase: Es el úmero de elemetos de la muestra cuya modaldad es feror o equvalete a las de la clase cosderada (F ). Además se cumple que: F f1 f... f j1 f j Frecueca relatva de la clase: Es el cocete etre las frecuecas absolutas de dcha clase y el úmero total de observacoes o datos que deotamos por N: h f N Pág.4

5 S estamos teresados e trabajar co porcetajes, sólo teemos que multplcar la frecueca relatva por 100 y así represetamos el porcetaje (%) de la muestra que comprede a esa clase. Frecueca relatva acumulada de la clase: es el úmero de elemetos de la poblacó que está e algua de las clases feror o gual a la clase. H F N Como ormalmete el cojuto de datos que se recolecta suele ser muy grade, es ecesaro dspoer de algua herrameta medate la cual podamos vsualzarlos. Para ello, ua vez ordeados, hacemos u recueto de dchos datos y realzamos tablas estadístcas. E estas tablas, deberá fgurar los valores de la varable e estudo, y sus frecuecas correspodetes. S be este ordeameto puede evtarse al trabajar co programas específcos o alguo que posea este tpo de aálss, es útl para la realzacó de alguos gráfcos. La prcpal dfcultad para la obtecó de ua dstrbucó de frecuecas, resde e la costruccó de las modaldades, ya que ésta varará de acuerdo co el tpo de varable que se pretede descrbr: s la varable es cualtatva, se tomará como modaldades las dsttas respuestas observadas de la muestra; s la varable es dscreta (que tome pocos valores dsttos), las modaldades cocdrá co los dsttos valores meddos e la muestra; s la varable es cotua (o be dscreta, pero toma muchos valores dsttos), se tomará como modaldades tervalos de clase. So los tervalos dode se ecuetra los datos agrupados, se smbolza por [L -1, L ). Gráfcos Ua de las herrametas más populares y utlzada detro de la estadístca descrptva es, s lugar a dudas, el aálss gráfco de los datos. Las tablas estadístcas, resume los datos que dspoemos sobre ua muestra y da toda la formacó ecesara, pero como se suele decr, Ua mage vale más que ml palabras, es coveete epresar la formacó que dspoemos medate u gráfco o dagrama, co el f de hacerla más clara y captar de u solo vstazo las característcas de los datos. Gracas a la formátca y los programas que se ha desarrollado se puede realzar fáclmete todo tpo de represetacoes gráfcas y de gra caldad. Pág.5

6 Gráfcos para varables cualtatvas o atrbutos Dagrama de barras o bastoes E este tpo de gráfcos se represeta e el eje de abcsas (X) las dferetes modaldades de la varable y e el eje de ordeadas (Y) la frecueca relatva o absoluta. Este tpo de gráfcos també se puede hacer e el espaco, corporado ua ueva varable (Z) y realzado u dbujo trdmesoal. Fgura Nº 1 Dagrama de Barras Dagramas de sectores Se utlza para hacer comparacoes de las dsttas modaldades de u carácter medate sectores crculares. Para costrurlos se dvde u círculo e tatas porcoes como modaldades esta de maera que el águlo cetral de cada sector ha de ser proporcoal a la frecueca absoluta o relatva correspodete. Este tpo de dagramas recbe també el ombre de tartas o tortas, por la forma que tee su represetacó. Fgura Nº Dagrama de Sectores Pág.6

7 Pctogramas Para realzarlos se represeta a dferetes escalas u msmo dbujo teedo e cueta que el perímetro del dbujo tee que ser proporcoal a la frecueca, pero esto puede currr e u efecto vsual egañoso ya que a frecueca doble correspode u dbujo de área cuádruple, co lo cual tee u coveete debdo a la falta de precsó. A pesar de este coveete este tpo de dbujos so muy utlzados por los medos de comucacó a la hora de hacer que el públco o especalzado compreda temas complejos s ecesdad de dar ua eplcacó complcada. Fgura Nº 3 Pctogramas Gráfcos para Varables Cuattatvas Para este tpo de varables, teemos dferetes gráfcos segú el tpo de frecueca que usemos y además teemos que teer e cueta s la varable es dscreta o cotua. Gráfcos para varables cuattatvas dscretas Dagrama de barras Su represetacó es détca a la eplcada para varables cualtatvas, las barras debe de ser estrechas para mostrar que los valores que toma la varable so dscretos. Pág.7

8 Gráfcos para varables cuattatvas cotuas Hstograma Es ua maera seclla de represetar ua gra masa de datos y debe ser el comezo de cualquer estudo más sofstcado y e el que puede observarse tres propedades esecales de ua dstrbucó: forma, tedeca cetral o acumulacó y dspersó o varabldad. Este se obtee por grafcar e el eje las clases y e el eje y las frecuecas. La altura de las barras del hstograma tee dstta sgfcacó segú el acho de clase sea costate o o. E el prmer caso se represeta frecuecas, o sea la catdad de valores e cada clase; e el segudo caso desdad de frecuecas, o sea es el promedo, e cada clase, de cuátos valores hay por udad de acho de clase: f /c =h. E este caso el área de cada rectágulo es proporcoal a la frecueca. A dfereca del dagrama de barras, los rectágulos vertcales, se represeta cotguos para reflejar la dea de que la varable es cotua. La forma del hstograma refleja propedades mportates de la varable estadístca a la que se refere. El úmero de clases o tervalos y la logtud que se cosdera, depede de cada problema y de la utlzacó que se quera dar a las tablas estadístcas. Lo ormal es que todos los tervalos sea de la msma ampltud (L - L -1 ), auque puede estr múltples razoes dode se acoseje tomar tervalos de ampltud varable, como puede ser el caso e el que esta uo o dos tervalos dode se cocetre la mayoría de los datos. La costruccó de los tervalos de clase, troduce alguas cuestoes subjetvas, como so: 1) Cuátos tervalos costrur? Auque o este ua regla geeral para usar, es evdete que el úmero de tervalos debe ser mayor al aumetar el tamaño muestral, lo deal etre 5 y 0. ) Qué valor se elge como etremo feror del prmer tervalo L 0? Se toma como L 0 u valor u poco meor que el mímo de la muestra (o el mímo). Es muy mportate hacer ua buea eleccó de la catdad de clases a utlzar. Para este f se utlza dsttas reglas, ua de ellas cosste e tomar el úmero de clases gual al etero más prómo a la raíz cuadrada del úmero de observacoes que se estuda, N y o ser feror a 5 superor a 0, ya que e el prmer caso se producría ua cocetracó de datos que o sería represetatva de la muestra, y e el segudo caso podría quedar tervalos vacíos, e los cuales o habría gú valor. Cosejos: 1. Usar tervalos de la msma logtud. Los tervalos o puede solaparse 3. Cada observacó sólo puede perteecer a u tervalo 4. Todos los datos debe perteecer a algú tervalo Pág.8

9 5. La forma del hstograma depede de la ampltud del tervalo que se elja. Polígoo de frecuecas Fgura Nº 4 - Hstograma Se costruye fáclmete ua vez represetado el hstograma, y cosste e ur los putos del hstograma que correspode a las marcas de clase de cada tervalo medate ua recta. El dagrama, para varables cotuas, se deoma polígoo de frecuecas acumulado u ojva. E estos polígoos obtedos se apreca co clardad propedades mportates, da dea apromada de qué curva teórca le correspodería a la poblacó de la cual se obtuvo la muestra. S las frecuecas se epresa como proporcoes - es decr, dvddas por el total de observacoes e la muestra lo que se obtee es ua dstrbucó de frecuecas relatvas. Cuado se realce el hstograma e este caso, el área total de las barras será gual a 1. Pág.9

10 Fgura Nº 5 Polígoo de Frecuecas Polígoo de frecuecas acumuladas: se utlza e varables cotuas. El eje de abscsas se costruye gual que e los hstogramas, pero e el de ordeadas se cluye las frecuecas acumuladas, ya sea absolutas o relatvas. Sobre cada límte se levata ua perpedcular cuya logtud sea détca a la frecueca acumulada y se ue los etremos superores de dchas perpedculares. Pág.10

11 Fgura Nº 6 Curvas de Frecuecas Acumuladas ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS U aálss recete que ha mpulsado la estadístca se debe al esfuerzo de Joh Tukey, qué ha producdo ua gra catdad de métodos ovadores para el aálss de datos. E su lbro "Eploratory Data Aalyss" de 1977 y e otras publcacoes recetes (Hoagl, Mosteller y Tukey, 1983), Tukey ha epuesto ua flosofía práctca para el aálss de datos. La escuela de Tukey se ha eteddo e los últmos años (Breckerdge, 1983) hacedo éfass e la eploracó de los datos por métodos gráfcos prevos al clásco aálss estadístco tradcoal. La vsualzacó de los datos permte al vestgador peetrar e su estructura, mmzado los supuestos probablístcos que tradcoalmete se asume co respecto a su comportameto y dstrbucó. Lo ateror equvale a proporcoarle al vestgador "ua lete" de aumeto que le permte: Ehbr característcas o patroes ocultos detro de los datos. Resaltar co clardad la tedeca que coforma los datos. Pág.11

12 Proporcoar hpótess o modelos acerca del comportameto de los datos La faldad del Aálss Eploratoro de Datos (AED) es eamar los datos prevamete a la aplcacó de cualquer técca estadístca. De esta forma el aalsta cosgue u etedmeto básco de sus datos y de las relacoes estetes etre las varables aalzadas. El AED proporcoa métodos secllos para orgazar y preparar los datos, detectar fallos e el dseño y recogda de datos, tratameto y evaluacó de datos ausetes, detfcacó de casos atípcos y comprobacó de los supuestos subyacetes e la mayor parte de las téccas El eame prevo de los datos es u paso ecesaro, que lleva tempo, y que habtualmete se descuda por parte de los aalstas de datos. Las tareas mplíctas e dcho eame puede parecer sgfcates y s cosecuecas a prmera vsta, pero so ua parte esecal de cualquer aálss estadístco. Cabe mecoar que esta parte de la Estadístca se ha robustecdo co la recete aparcó de dversos programas como por ejemplo Statgraphcs, Statstca, SPLUS, etc. Alguas de las herrametas más mportates so: -El dagrama de tallo y hoja. -El dagrama de caja. - Las profuddades. -El dagrama de letras. -Las trasformacoes matemátcas. -Las suavzacoes. -Las seres de tempo. Dagrama de Tallo y Hoja El objetvo del dagrama de tallo y hojas es mostrar la frecueca co la que ocurre los valores detro de u cojuto de datos lo cual es muy parecdo a lo que hace u hstograma pero la dfereca es que e el dagrama de tallo y hojas o se observa barras sóldas so que so los msmos úmeros los que da forma al dagrama. Puede defrse como u híbrdo que comba los aspectos vsuales del hstograma co la formacó umérca que proporcoa ua tabla de dstrbucó de frecuecas. Este dagrama se costruye colocado e ua columa todos los úmeros que coforma los datos elmado la últma cfra, es decr las udades. Esta columa debe ordearse de meor a mayor. Pág.1

13 A la derecha de cada úmero se escrbe la últma cfra o udad de cada dato que comeza co ese úmero. Luego se ordea de meor a mayor los úmeros de cada fla. Cada valor se subdvde e tres compoetes el más sgfcatvo, o sea el stuado más a la derecha, se usa para formar el tallo, el segudo e sgfcacó forma la hoja, que servrá para geerar u hstograma y co ello proporcoar ua dea de la forma de la varable, y el tercero, s este, que es el meos sgfcatvo, se puede desprecar. Cuado este valores muy separados del cojuto, se puede smplfcar el gráfco elmado las flas s hojas e dcado los valores altos o bajos completos preceddos de esas palabras, ALTOS, s so muy elevados, o BAJOS s se da la crcustaca cotrara. La elaboracó de u gráfco de tallo y hojas es muy seclla, y se puede cosderar como la técca de represetacó gráfca recomedable para varables cuattatvas, por ecma de otra forma muy usual como el hstograma. Se costruye de la sguete maera: 1. Ordear el lote de datos e magtud crecete.. Seleccoar u par coveete de dígtos que permta fraccoar e dos partes el lote de datos segú la característca de los datos o lo que se quere mostrar. 3. Formar el tallo y las hojas co las fraccoes respectvas. 4. Costrur el tallo escrbedo vertcalmete los dígtos eteros etre el y 31, asocado a cada uo su hoja respectva. Los dígtos del tallo está separados de los dígtos de la hoja por medo de ua líea vertcal. E térmos geerales u dagrama de esta aturaleza hace vsbles las sguetes característcas: 1. Muestra el rago de valores que los datos cubre.. Determa dode se cocetra la mayoría de los datos 3. Descrbe la smetría del cojuto de datos. 4. Idetfca s este huecos e la dstrbucó de los datos. 5. Señala aquellos valores que claramete se desvía del cojuto de datos. Otra opcó que preseta el dagrama de tallo y hoja es la comparacó etre dos lotes de datos, aspecto que o cosdera el hstograma. A esta dervacó se le llama dagrama de tallo y hoja e espejo. Pág.13

14 La observacó de cualquera de estos gráfcos, el hstograma o el dagrama de tallo y hoja, permte etraer deas de las característcas geerales de la varable represetada. Fgura Nº 7 Dagrama de Tallo y Hojas Gráfco de caja y bgote - Bo Plot U dagrama de caja y bgotes es ua gráfca basada e cuartles, que ayuda a vsualzar u cojuto de datos. Para costrur u dagrama de caja se ecesta el valor mímo, el prmer cuartl, la medaa, el tercer cuartl, y el valor mámo. El cuadro ecerra el rago tercuartl co el borde zquerdo (o más bajo) e el prmer cuartl, Q 1, y el borde derecho (o superor) e el tercer cuartl, Q 3. Se traza ua líea a través de la caja e el segudo cuartl (que es el porcetl 50 o la medaa); ua líea, o el bgote, se etede desde cada etremo de la caja. El bgote feror es ua líea desde el prmer cuartl hasta el puto de datos más pequeño detro de 1,5 rago tercuartl. El bgote superor es ua líea desde el tercer cuartl haca los valores más grades a 1,5 rago tercuartl. Datos que esté más lejos de Pág.14

15 estos bgotes se represeta como putos dvduales. U puto más allá de u bgote, pero meos de 3 rago tercuartl desde el borde de la caja, es llamado u caso atípco. U puto más allá de 3 ragos tercuartl del borde de la caja se llama u etremo atípco. Dferetes símbolos, tales como círculos abertos y lleos, se utlza e ocasoes para detfcar los dos tpos de valores atípcos. Fgura Nº 8 Dagrama de caja y Bgote- bo plot Es posble troducr alguas varacoes e la costruccó de estos dagramas, depededo del tpo de estudo y de la formacó dspoble. La caja o rectágulo cotee u porcetaje de la muestra y puede costrurse co dferetes ragos de varacó. Los dagramas de caja so muy útles para realzar comparacoes gráfcas etre los cojutos de datos, debdo a que tee alto mpacto vsual y so fácles de eteder como se muestra e la fgura sguete. Pág.15

16 S la medaa está ubcada como sgue etoces la dstrbucó es asmétrca egatva. (zquerda) S la medaa está de esta maera Etoces la dstrbucó es asmétrca postva. (derecha) CARACTERÍSTICAS de muestra Además de orgazar los datos y mostrarlos e gráfcos, se ecesta de certas meddas represetatvas que pueda resumr ua gra catdad de ellos. Estos úmeros que srve para caracterzar las dstrbucoes de frecuecas de datos uvarados puede resumrse e aquellos que tee e cueta las cuatro propedades báscas: 1-Ubcacó del cetro de la dstrbucó, comúmete llamadas MEDIDAS DE IA TENDENCIA CENTRAL Pág.16

17 -Varacó de las observacoes alrededor del puto cetral. Estas so coocdas como MEDIDAS DE DISPERSIÓN 3-Grado de asmetría coocda como MEDIDAS DE ASIMETRIA 4-Grado de varacó e altura de ua dstrbucó respecto de u modelo o patró MEDIDAS DE CURTOSIS MEDIDAS DE LA TENDENCIA CENTRAL Etre estas meddas se dfereca los llamados promedos y las meddas de ubcacó. El más comúmete usado es la meda artmétca; otros meos usados y útles e alguas crcustacas especales so la meda geométrca y la meda armóca. Etre las meddas de ubcacó se cosdera la medaa, el modo, los cuatles: decles, cuartles, porcetles. Promedos La meda artmétca se defe como el promedo de todos los valores de la muestra: 1 (1) Es uo de los valores de la tedeca cetral más usados y el más smple de calcular. La meda artmétca tee alguas propedades matemátcas: Es el cetro de gravedad, u puto de equlbro. De su epresó se puede ver que: Pág.17

18 Pág.18. Esto sgfca que cocetra e su valor toda la formacó que hay e la muestra. La suma de las desvacoes respecto a este valor es gual a cero. 0 ) ( 0 La suma de las desvacoes cuadradas de los datos co respecto a la meda es meor que s estas desvacoes se toma co respecto a cualquer otro valor. Se demuestra que: mímo ) ( S se toma dos valores arbtraros, uo mayor y otro meor que la meda y desarrollado el cuadrado objeto de la demostracó se obtee sempre valores mayores. a 1 a ) ( ) ( ) ( ) ( a a a a a a a a a a

19 ( ) ) a a ( a) a a ( ) a a a a Debdo a esta propedad la meda artmétca se emplea como base de las meddas de dspersó. La meda queda fuertemete afectada por los valores etremos, y por esto puede que e alguos casos o sea represetatva. La meda puede tratarse algebracamete, esto es: s se tee la meda de subgrupos puede obteerse la meda geeral promedado estas medas; s el úmero de elemetos de cada subgrupo o es el msmo se efectuará u promedo poderado por la catdad de elemetos e cada grupo: X N1 N N 1 N () 1,... so las medas de cada grupo, N,..., N es la catdad de elemetos de cada grupo; N = N N es la logtud total de la muestra. Meda Geométrca: se defe como la raíz -ésma del producto de los elemetos que coforma la muestra. Gm (3) Es apropada para promedar razoes, porcetajes o velocdades de cambo. Para facltar su cálculo se puede aplcar logartmos a la epresó ateror. 1 log Gm (log log... log 1 ) Pág.19

20 Puede verse de esta epresó, que el logartmo de la meda geométrca es gual al promedo del logartmo de los valores de las observacoes. S la varable preseta frecueca: G f m 1 log Gm (log f1 log f... log 1 f ) Tee las sguetes propedades: - está meos afectada por valores etremos. -para cualquer sere es sempre meor que la meda artmétca. -es muy útl e el cálculo de úmeros ídce. -se puede mapular algebracamete. -o es muy coocda y o puede evaluarse cuado hay datos egatvos o ceros. Meda armóca: Se defe como la versa de la meda artmétca de las versas de los valores muestrales. Es apropada para el procesameto de datos de razoes que tee dmesoes fscas como km/i, produccó/hora, etc. Sus epresoes para los dferetes casos so: 1 1 Hm N 1 (4) Observacoes sobre la meda Geométrca y la meda Armóca El empleo de la meda geométrca o de la armóca equvale a ua trasformacó de la varable e log ó 1/, respectvamete, y el cálculo de la meda artmétca de la ueva varable; por ejemplo, s la varable abarca u campo de varacó muy grade, tal como el porcetaje de mpureza de u producto químco, por lo geeral alrededor del 0.1%, pero que e ocasoes llega cluso al 1% o más, puede ser vetajoso el empleo de log e lugar de para obteer ua dstrbucó más smétrca. Pág.0

21 Relacó etre las medas: Meddas de ubcacó Modo: Es u valor muy útl e la descrpcó de la muestra. Se lo defe como el valor de la varable que aparece más veces que otro; se puede decr que es el valor co mayor frecueca. S la varable aalzada es cotua se puede obteer co algua de las sguetes epresoes: d1 Mo LMo c (5) d d 1 L Mo = límte feror del tervalo que cotee al modo. d 1 :dfereca (s teer e cueta el sgo) etre las frecuecas del tervalo que cotee el modo y el tervalo ateror. d :dfereca etre las frecuecas del tervalo que cotee al modo y a del tervalo posteror. c = acho de clase. f1 Mo LMo c (6) f f 1 f 1 = frecueca del tervalo de clase ateror al modal. f = frecueca del tervalo de clase posteror al modal. Es u valor muy estable, ya que puede cambar co el método de redodeo de los datos. Puede determárselo gráfcamete a partr del hstograma terpolado e la barra más alta. Medaa: Es el valor de la sere para el cual el 50% de los valores so meores y el 50% mayores o guales. Se la deoma valor medo de la sere. Teemos que dferecar etre: Varables dscretas: - S el úmero de datos es mpar Ma. es el valor cetral. Pág.1

22 Frecuecas Acumuladas - S el úmero de datos es par Ma. es la semsuma de los valores cetrales. s hay frecuecas: - Se calcula N/ y se obtee N ( frecuecas acumuladas ) - Se observa cual es la prmera N que supera o guala a N/, dstguédose dos casos: - S este u valor de tal que N -1 < N/< N, etoces se toma como Ma. = 1 - S este u valor tal que N =N/ etoces la medaa será. Ma Varables cotuas Medaa N FL L c (7) f sedo: L=límte feror del tervalo que cotedrá a la medaa. FL=frecueca acumulada hasta el tervalo ateror a la clase medaa f=frecueca del tervalo medao. També se la puede obteer a través de las ojvas, e su terseccó o e el valor correspodete al 50%. Gráfcamete e la terseccó de las ojvas. Frecueca Acumulada Cocetracoes medas de PAHs Propedades -No está fluecada por valores etremos. Por lo tato, es ua medda coveete de la ubcacó cetral. Pág.

23 -U valor seleccoado a azar se ubcará por arrba o por debajo de ella co gual probabldad; por esto suele llamársela valor probable. -Su cálculo es fácl. Alguas desvetajas so: -los datos debe ordearse para su cálculo. -No se la puede mapular algebracamete. -No es ta usada como la meda artmétca, y tee mayor error que ella. Cuatles (cuartles, decles, percetles): so també meddas de ubcacó. Como la medaa dvde a la dstrbucó de datos e dos partes, los cuartles la dvde e cuatro, los decles e dez y los percetles e ce. Estas meddas posblta u aálss más mucoso de la dstrbucó. Los cuartles dvde a la dstrbucó e cuatro partes; por lo tato hay tres cuartles. El caso de los percetles se usa cuado este muchas observacoes. Se calcula de la msma forma que la medaa, sólo que camba come se determa el orde del cuatl. Por ejemplo para ubcar el prmer cuartl se hace N/4, para el segudo N/4 y así para el resto, el cálculo es luego smlar al realzado para la medaa. De la msma forma se precede para calcular los decles y percetles. MEDIDAS DE DISPERSION Permte calcular la represetatvdad de ua medda de poscó, para lo cual es precso cuatfcar la dstaca etre los dferetes valores de la dstrbucó respecto a dcha medda. A esta dstaca es a lo que se deoma varabldad o dspersó de la dstrbucó. La faldad de estas meddas es estudar hasta qué puto para ua determada dstrbucó de frecuecas, las meddas de tedeca cetral o de poscó so represetatvas como sítess de toda la formacó de la dstrbucó. La medda más smple de varacó o dspersó es la ampltud que se cosdera como la dfereca etre los valores mímo y mámo de la sere, també coocda come rago. També puede obteerse la ampltud meda como el promedo de los valores etremos. Puede obteerse además la ampltud tercuatílca, es cosderar las dstacas etre cuartles, decles y percetles. Por ejemplo para los cuartles se calcula el prmero y Pág.3

24 el tercero y se resta sus valores, de la msma forma se precede co los decles y percetles. Iteresa fudametalmete poder determar ua medda de varabldad que volucre a todos los valores cotedos e la muestra, para esto se puede cosderar el promedo de las desvacoes de los valores respecto a la meda artmétca ( ) pero como se vó: ( ) 0 para evtar esto es que se toma las desvacoes s cosderar su sgo y se obtee la desvacó meda: ( ) E vez de usar valores absolutos, se puede tomar cuadrados, ya que es más secllo trabajar co ellos. El promedo de estos desvíos respecto a la meda se deoma Varaza de la muestra y se smbolza S S ( (8) ) també se la suele epresar como: S ( ) 1 (9) Cuado la muestra es grade la dfereca etre ambas epresoes es desprecable y se utlza la prmera. El promedo de las dferecas al cuadrado respecto a la meda se deoma mometo cetrado de orde : m Pág.4

25 La raíz cuadrada de la varaza se deoma desvío estádar de la muestra y se lo suele preferr a la varaza ya que tee las msmas udades que la varable. Para smplfcar su cálculo se desarrolla el cuadrado de su epresó y se cosgue la epresó e fucó de los mometos muestrales respecto al orge (recuérdese poblacó): S S a a (10) 1 Estas meddas (varaza y desvío) so las meddas de varabldad más empleadas. Pero s se halla sólo el desvío o varaza de u cojuto de valores, o se puede asegurar s represeta u valor alto, medo o bajo de varabldad. Se utlza por esto ua regla empírca para terpretar los valores de la varaza o desvío, se usará cuado la muestra sea grade y la forma de la muestra sea apromadamete de campaa; esta regla cosdera que s se mde e el eje y haca ambos lados de la meda ua dstaca gual al desvío, e ese tervalo quedará compreddos el 68% de las observacoes. S se traza dos veces el desvío haca ambos lados de la meda quedará compreddos el 95% de las observacoes e ese tervalo, y s se traza tres veces el desvío quedará compreddos el 99% de las observacoes etre esos límtes. Pág.5

26 Estas meddas descrptas so e valor absoluto. S se compara las varabldades de dos cojutos de datos e base a estas meddas aterores, puede darse ua respuesta certa sólo s las medas (respecto a las cuales se halla los desvíos) so apromadamete guales. Cuado esto o sucede, o be tee udades dferetes, se recurre a meddas de varabldad relatvas para depedzarlas de las udades de medda. Ua muy usada es el coefcete de varabldad o coefcete de Pearso, que para la muestra es: S Cv *100 (11) ormalmete epresado e porcetaje. Por ejemplo s se quere comparar la varabldad de los caudales del río Paraá y los del arroyo Saladllo, la desvacó o varaza o srve ya que los valores medos so muy dferetes; e este caso es coveete calcular este coefcete y comparar los porcetajes obtedos. MEDIDAS DE FORMA ASIMETRÍA Cuado la dstrbucó es smétrca la meda, medaa y el modo cocde. Cuado es Pág.6

27 asmétrca esos valores dfere. Come se ha vsto la meda artmétca es el valor de la tedeca cetral más afectado por los valores etremos, es por esto que cuato mayor sea la dstaca etre la meda y el modo mayor será el grado de asmetría. Esta dfereca etre meda y modo se suele usar como medda de asmetría ya que cuato mayor sea esta dstaca mayor será la asmetría. A los fes de comparar la asmetría etre dos dstrbucoes y salvar la dfereca de udades y la dfereca e las dspersoes es que se dvde por el desvío. Debdo a que el modo se ecuetra apromadamete alguas veces, se prefere trabajar co la medaa que se ecuetra mejor y teedo e cueta la relacó vsta etre la meda, medaa y modo, se puede obteer las sguetes epresoes para la asmetría: As ( Modo) S 3( Medaa) As (1) S Este valor sera apromadamete gual a 0 para ua dstrbucó smétrca, postvo para ua dstrbucó asmétrca haca la zquerda y egatvo para ua dstrbucó asmétrca haca la derecha. El valor eacto de la Asmetría está dado por el mometo cetrado de tercer orde admesoalzado: m 3 3 ( ) m3 As (13) 3 S Pág.7

28 Fgura Nº 9 Dstrbucó smétrca Fgura Nº 10 Dstrbucó asmétrca postva o a la derecha Pág.8

29 Fgura Nº 11 Dstrbucó asmétrca egatva o a la zquerda CURTOSIS Esta medda dada por el coefcete de Curtoss mde la dfereca e elevacó respecto a ua curva tomada come patró e modelo que es la curva ormal. Se la puede defr apromadamete como ua razó de la ampltud semtercuartl y la ampltud porcetl: K 1 ( Q3 Q1 ) (14) ( P P ) este coefcete clasfca dsttos tpos de agudeza: K>0 leptocúrtca o más empada que la curva ormal Pág.9

30 K=0 mesocúrtca gual a la curva ormal K <0 platcúrtca o meos empada que la curva ormal La forma eacta de calcular es a través del mometo cetrado de orde 4: m 4 4 ( ) m4 K (15) 4 S RESUMEN: DIAGRAMAS SEGÚN EL TIPO DE VARIABLES Tpo de varable Cualtatva Cuattatva (dscreta) Cuattatva (cotua) Dagrama o gráfco Barras, sectores, pctogramas Barras Escalera Hstograma, polígoo de frecuecas dagramas acumulatvos Pág.30