Colegio Nuestra Señora de los Ángeles Curso

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1 Colegio Nuesta Señoa de los Ángeles Cuso Almudena de la Fuente, 05

2 ÍNDICE TEMA : VIBRACIONES Y ONDAS. Movimiento amónico simple 3. Movimiento ondulatoio 3. Ondas sonoas 8 TEMA : ÓPTICA. Natualeza de la luz.. Popagación de la luz: eflexión y efacción 3. Óptica geomética 9 TEMA 3: INTERACCIÓN GRAVITATORIA. Teoía de la gavitación univesal 43. Estudio enegético del campo gavitatoio Leyes de Keple 55 TEMA 4: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. Inteacción eléctica 59. Inteacción magnética 7 3. Inducción electomagnética 79 TEMA 5: INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA. Física cuántica 87. Física nuclea 9 3. Física elativista 96 Constantes físicas utilizadas 99

3 TEMA : VIBRACIONES Y ONDAS. Movimiento amónico simple El movimiento amónico simple (M.A.S.) es un movimiento ectilíneo y peiódico en tono a una posición cental de equilibio. El movimiento de un cuepo unido a un muelle o el movimiento de un péndulo (paa oscilaciones pequeñas) son ejemplos de M.A.S. Ecuación de la posición El M.A.S. se puede considea como la poyección de un M.C.U sobe un diámeto de la cicunfeencia. 0 6 φ A x 4 3=3 Supongamos que la patícula se mueve con una velocidad angula ω descibiendo una cicunfeencia de adio A a pati del punto 0. Después de un tiempo t la patícula alcanza los puntos,, 3,, siendo el ángulo ecoido φ= ω t. Al poyecta,, 3, sobe el eje x se obtienen los puntos,, 3, siendo x: x = A sen φ = A sen (ω t) 5 4 Si la patícula comienza a movese po un punto distinto de 0, habá un ángulo inicial φ o, luego el ángulo ecoido vendá dado po φ= ω t + φ o, y la posición en x seá: x = A sen (ω t + φ o) x = elongación o posición en el eje x en un M.A.S. Unidad: m A = amplitud del movimiento o elongación máxima. Unidad: m ω = fecuencia angula o pulsación. Unidad: ad/s; π ω =, siendo T = peiodo o tiempo en completa una oscilación. Unidad: s T ω = πf, siendo f = T = fecuencia o nº de oscilaciones po segundo. Unidad: s - o Hz t = tiempo tanscuido. Unidad: s φ o = fase inicial o ángulo coespondiente a la posición inicial. Unidad: ad Al epesenta la elongación (x) fente al tiempo (t), se obtiene una función sinusoidal: x +A 0 T/4 T/ 3T/4 T t -A 3

4 Ejemplo: Un cuepo se encuenta unido a un muelle situado a lo lago del eje X. En el instante inicial, el muelle se compime 3 cm y se deja libe, tadando 6 s en egesa a la posición inicial. Detemina la ecuación de la posición del cuepo en función del tiempo y su posición en el instante t = s. 3π Paa t = 0-0,03 = 0,03 sen(ω 0 + φ o) sen φ o = -; φ o= ad π π π 3π ω = ad /s; po tanto: x = 0,03 sen t π 3π Paa t = s x = 0,03 sen = -0,05 m 3. La figua epesenta la elongación de un oscilado amónico en función del tiempo. Detemina: a) La amplitud y el peiodo. b) La ecuación de la elongación del oscilado en función del tiempo. π π Solución: b) y = 8 sen t Una patícula descibe un movimiento amónico simple a lo lago del eje X, de foma que, en el instante inicial, se encuenta en el extemo positivo de su tayectoia y tada 4 s en alcanza el extemo opuesto, situado a 0 cm de la posición inicial. a) Detemina la posición en función del tiempo. b) Calcula la posición en los instantes t = s, t = s y t = 3 s. π π Solución: a) x = 0,05 sen t ; b) 0,0353 m; 0; -0,0353 m 4 Ecuación de la velocidad Deivando la posición especto al tiempo, se obtiene la ecuación de la velocidad: dx v = = A ω cos(ω t + φo) siendo v max = A ω dt v +A ω 0 T/4 T/ 3T/4 T t -A ω 4

5 Ecuación de la aceleación Deivando la velocidad especto al tiempo, se obtiene la ecuación de la aceleación: dv a = = - A ω sen(ω t + φ o) dt siendo a max = A ω a +A ω t 0 T/4 T/ 3T/4 T -A ω π Ejemplo: Una patícula se mueve según la ecuación: x = 0,03 sen t 3 Detemina su velocidad y su aceleación paa t = s. dx π π v = = 0,03 cos t dt 3 3 3π π π ; paa t = s v = 0,03 cos 3 3 dv π a = = -0,03 sen π 3π π t + dt 3 3 ; paa t = s a = -0,03 3 = 0,06 m/s 3π 3π π sen 3. = 0,07 m/s 3π = 3. Un cuepo oscila con movimiento amónico simple de manea que su desplazamiento a lo lago del eje X viene dado po x = 4 sen (πt + π/) en unidades del S.I. Calcula: a) Distancia ente los extemos de la tayectoia y númeo de oscilaciones que ealiza el cuepo en un minuto. b) Posición, velocidad y aceleación del cuepo cuando t = s. Solución: a) 8 m; 30; b) 4 m; 0; 39,5 m/s 4. Una patícula ealiza un movimiento amónico simple de 0 cm de amplitud y tada s en efectua una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad es nula y la elongación positiva, detemina: a) La expesión matemática que epesenta la elongación en función del tiempo. b) La velocidad y la aceleación de oscilación en el instante t = 0,5 s. π Solución: a) x = 0,sen πt ; b) -0, m/s; -0,698 m/s 5

6 Relación ente posición y velocidad Sabiendo que sen φ + cos φ =, cos φ = v = A ω - sen (ω t + o ) = ω sen ; po tanto: A A sen (ω t + o ) = ω A x v = ω A x Po tanto, si x = 0, v = A ω = v max, y paa x = A, v = 0 Relación ente posición y aceleación Compaando las ecuaciones, se obseva que son diectamente popocionales peo con signo opuesto: a = -ω x Ejemplo: Una patícula efectúa un movimiento amónico simple completando 30 vibaciones po minuto. En el instante inicial se encuenta en x = 5 cm y su velocidad es de 0,7 m/s. Detemina la ecuación del movimiento de la patícula y su aceleación inicial. 30 vibaciones vibación π T = s; ω = π ad/s 60 s T -0,7 = -π A (0,05) ; A = 0, m 0,05 = 0, sen (π 0 + φ o); sen φ o= 0,5 o o π/6 ad 5π/6 5π x = 0, sen (π t + ); a = -(π) 0,05 = -0,493 m/s 6 ad v0 5. La velocidad de una patícula que descibe un movimiento amónico simple alcanza un valo máximo de 40 cm s -. El peiodo de oscilación es de,5 s. Calcula: a) La amplitud y la fecuencia angula del movimiento. b) La distancia a la que se encuenta del punto de equilibio cuando su velocidad es de 0 cm s -. Solución: a) 0 59 m; 5 ad/s; b) ± 0 55 m 6. Una patícula efectúa un movimiento amónico simple cuyo peíodo es igual a s. Sabiendo que en el instante t = 0 su elongación es 0,70 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcula: a) La amplitud y la fase inicial. b) La máxima aceleación de la patícula. Solución: a) 0,989 cm; π/4 ad; b) 39,04 cm/s. 6

7 Dinámica del movimiento amónico simple Sustituyendo la elación ente aceleación y posición en la segunda ley de Newton se obtiene la expesión paa la fueza que da luga al M.A.S. (fueza ecupeadoa). F = m a = - m ω x ; luego K = constante ecupeadoa. Unidad: N/m F x F= - K x (ley de Hooke), siendo K = m ω La fueza es positiva cuando la elongación es negativa (muelle contaído) y negativa cuando la elongación es positiva (muelle alagado). Si el muelle está en posición vetical, en la posición de equilibio se cumple que F = P. Ejemplo: Al colga un cuepo de 00 g de masa de un muelle en posición vetical, éste se alaga 0 cm; a continuación se hace oscila el cuepo con una amplitud de 5 cm. Detemina: a) la constante del muelle; b) el peiodo del movimiento; c) la fueza máxima ejecida po el muelle a lo lago del movimiento. a) K 0, = 0, 9,8 K = 9,6 N/m b) 9,6 = 0, ω ω = 9,9 ad/s; 9,9 π T c) F = 9,6 0,5 =,94 N ; T = 0,64 s En un péndulo simple, si consideamos oscilaciones pequeñas, se puede considea que se poduce un M.A.S., y se puede demosta que la fueza que poduce el movimiento es diectamente popocional a la posición de la patícula., peo con signo opuesto. P y T P l P x x α Ejemplo: Paa detemina la aceleación de la gavedad en un planeta, un astonauta hace oscila un hilo de 0 cm de longitud de cuyo extemo pende una pequeña masa. Si el péndulo oscila con un peiodo de,5 s, cuánto vale la aceleación de la gavedad en dicho planeta? l T = 4π g g = x P x = mg senα mg = -K x l m g siendo K = l m Sabiendo que K = m ω m ω = 4π l 4π 0, = = 3,5 m/s T,5 g l ω = l g, po tanto podemos detemina el peiodo de un péndulo: π T g l T = π g l Esta expesión se puede utiliza paa detemina expeimentalmente el valo de g en un punto. 7

8 7. Un objeto de,5 kg está unido a un muelle hoizontal y ealiza un movimiento amónico simple con una amplitud de 5 cm y una fecuencia de 3,3 Hz. Detemina: a) El peiodo del movimiento y la constante elástica del muelle. b) La velocidad máxima y la fueza máxima que ejece el muelle. Solución: a) 0,303 s;, N/m; b),04 m/s; 53,75 N 8. Una patícula de 5 g de masa se mueve con un movimiento amónico simple de 6 cm de amplitud a lo lago del eje X. En el instante inicial su elongación es de 3 cm y el sentido del desplazamiento hacia el extemo positivo. Un segundo más tade su elongación es de 6 cm. Detemina: a) Fase inicial y fecuencia del movimiento. b) Ecuación que epesenta la elongación en función del tiempo. c) Los valoes máximos de la velocidad y la aceleación de la patícula. d) La fueza que actúa sobe la patícula en t = s. Solución: a) π/6 ad; 0,67 Hz; c) 0,068 m/s; 0,0658 m/s ; d) 3,9 0-4 N 9. Una patícula de 0, kg de masa se mueve en el eje X descibiendo un movimiento amónico simple. La patícula tiene velocidad ceo en los puntos de coodenadas x = -0 cm y x = 0 cm y en el instante t = 0 se encuenta en el punto x = -0 cm. Si el peiodo de las oscilaciones es de,5 s, detemina: a) La fueza que actúa sobe la patícula en el instante inicial. b) La velocidad máxima de la patícula. c) La expesión matemática de la posición de la patícula en función del tiempo. Solución: a) 0,75 N; b) 0,4 m/s; c) x = 0, sen 4π t + 3π 3 0. Un muelle de constante elástica k, masa despeciable y longitud en eposo l o = 5 cm, que está fijado al techo po uno de sus extemos, sufe un estiamiento de y o = cm al alcanza la posición de equilibio cuando de él se cuelga una masa de 0,5 kg. Posteiomente se estia el muelle hasta que su longitud es de 0 cm, se suelta y se deja oscila el sistema libemente. Detemina: a) La constante elástica, k, del muelle y la fecuencia angula del sistema masamuelle. b) La ecuación del movimiento que descibe la masa y la mínima longitud que llega a tene el muelle a lo lago del movimiento. 3π Solución: a) 45 N/m;, ad/s; b) y = 0,03 sen,t + ; 4 cm. Un muelle de masa despeciable y de longitud 5 cm cuelga del techo de una casa en un planeta difeente a la Tiea. Al colga del muelle una masa de 50 g, la longitud final del muelle es 5,5 cm. Sabiendo que la constante elástica del muelle es 350 N m - : a) Detemina el valo de la aceleación de la gavedad en la supeficie del planeta. b) El muelle se sepaa con especto a su posición de equilibio 0,5 cm hacia abajo y a continuación es libeado. Detemina la ecuación que descibe el movimiento de la masa que cuelga del muelle. Solución: a) 7,5 m/s 3π ; b) y = 0,005 sen 83,66t + 8

9 Enegía del movimiento amónico simple La enegía cinética de una patícula que se mueve con M.A.S. viene dada po la expesión: Ec = m v Sustituyendo la elación ente velocidad y posición se obtiene una expesión que pemite calcula la enegía cinética en función de la posición: Ec = m (ω A x ) = m ω (A - x ) ; luego: Ec = K (A - x ) La fueza ecupeadoa que poduce un M.A.S. es una fueza consevativa, ya que la enegía cinética que piede la patícula al alejase de la posición de equilibio, queda almacenada en foma de enegía potencial y vuelve a ecupease cuando la patícula egesa a la posición de equilibio. La enegía potencial en una posición x es igual al tabajo ealizado po la fueza elástica paa llega a dicha posición peo con signo opuesto. Ep = - W = - F dx = - K x dx = K x +c; si tomamos c = 0 Ep = K x La enegía mecánica es la suma de la enegía cinética y la enegía potencial y pemanece constante a lo lago del movimiento. E = Ec + Ep = K (A - x ) + K x = K A E = K A E Ep Ec E -A 0 +A x Ejemplo: Un cuepo de masa,5 kg ealiza un movimiento amónico simple con un peiodo de 4 s y una amplitud de 30 cm. Detemina las enegías cinética y potencial del cuepo cuando se encuenta a 5 cm de la posición de equilibio. π π ω = ad/s ; K =,5 (π/) = 3,7 N/m 4 Ec = 3,7 ((0,3) (0,5) ) = 0,5 J; Ep = 3,7 (0,5) = 0,046 J. Una masa de 50 g unida a un muelle hoizontal de constante elástica k = 65 N m - constituye un oscilado amónico simple. Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, detemina: a) La enegía potencial elástica del sistema cuando la velocidad es nula. b) La enegía cinética del sistema cuando la velocidad es máxima. c) La enegía cinética y la enegía potencial elástica del sistema cuando el módulo de la aceleación de la masa es igual a 3 m s -. Solución: a) 0,085 J; b) 0,085 J; c) 0,05 J; 0,095 J 9

10 3. Una patícula se mueve en el eje X, alededo del punto x = 0, descibiendo un movimiento amónico simple de peiodo s, e inicialmente se encuenta en la posición de elongación máxima positiva. Sabiendo que la fueza máxima que actúa sobe la patícula es 0,05 N y su enegía total 0,0 J, detemina: a) La amplitud del movimiento que descibe la patícula. b) La masa de la patícula. c) La expesión matemática del movimiento de la patícula. d) El valo absoluto de la velocidad cuando se encuente a 0 cm de la posición de equilibio. Solución: a) 0,8 m; b) 6, kg; c) x = 0,8 sen(πt + π/); d),43 m/s 4. Una patícula de masa 00 g se mueve con un movimiento amónico simple de amplitud 3 m y cuya aceleación viene dada po la expesión a = -9π x en unidades del SI. En el instante inicial su aceleación es máxima y su desplazamiento positivo. Detemina: a) El peiodo y la constante ecupeadoa. b) La ecuación que epesenta la elongación en función del tiempo. c) Los valoes absolutos de la velocidad y la aceleación de la patícula cuando el desplazamiento es la mitad del máximo. d) Las enegías cinética y potencial cuando la velocidad es máxima. Solución: a) 0,67 s; 8,9 N/m; c) 4,5 m/s; 33, m/s ; d) 39,9 J; En la figua se muesta la epesentación gáfica de la enegía potencial (Ep) de un oscilado amónico simple constituido po una masa puntual de valo 00 g unida a un muelle hoizontal, en función de su elongación (x). a) Calcula la constante elástica del muelle b) Calcula la aceleación máxima del oscilado. c) Detemina numéicamente la enegía cinética cuando la masa está en la posición x = +,3 cm. d) Dónde se encuenta la masa puntual cuando el módulo de su velocidad es igual a la cuata pate de su velocidad máxima? Solución: a) 80 N/m; b) 0 m/s ; c) 0,079 J;d) ±4,84 cm 6. Un muelle de longitud en eposo de 5 cm cuya constante elástica es 0, N cm - tiene uno de sus extemos fijos en una paed. El extemo libe del muelle se encuenta unido a un cuepo de masa 300 g, el cual oscila sin ozamiento sobe una supeficie hoizontal, siendo su enegía mecánica igual a 0,3 J. Calcula: a) La velocidad máxima del cuepo. Indica en qué posición, medida con especto al extemo fijo del muelle, se alcanza dicha velocidad. b) La máxima aceleación expeimentada po el cuepo. Solución: a) 4 m/s paa x =0 (5 cm especto del extemo fijo); b),5 m/s 7. Se tiene una masa m = kg situada sobe un plano hoizontal sin ozamiento unida a un muelle, fijo po su oto extemo a la paed. Paa mantene estiado el muelle una longitud x = 3 cm, especto de su posición de equilibio, se equiee una fueza de F = 6 N. Si se deja el sistema masa-muelle en libetad: a) Cuál es el peiodo de oscilación de la masa? b) Detemina el tabajo ealizado po el muelle desde la posición inicial, x = 3 cm, hasta su posición de equilibio, x = 0. c) Cuál seá el módulo de la velocidad de la masa cuando se encuente a cm de su posición de equilibio? Solución: a) 0,44 s; b) 0,09 J; c) 0,4 m/s 0

11 8. Una patícula ealiza un movimiento amónico simple. Si la fecuencia de oscilación se educe a la mitad manteniendo constante la amplitud de oscilación, explica qué ocue con: a) el peiodo; b) la velocidad máxima; c) la aceleación máxima y d) la enegía mecánica de la patícula. 9. Un cuepo de masa m está suspendido de un muelle de constante elástica K. Se tia veticalmente del cuepo desplazando éste una distancia X especto de su posición de equilibio, y se le deja oscila libemente. Si en las mismas condiciones del caso anteio el desplazamiento hubiese sido X, deduci la elación que existe en ambos casos ente: a) Las velocidades máximas del cuepo. b) Las enegías mecánicas del sistema oscilante. Solución: a) ; b) 4 0. Se dispone de un oscilado amónico fomado po una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k. Si en ausencia de ozamientos se duplica la enegía mecánica del oscilado, explica que ocue con: a) La amplitud y la fecuencia de las oscilaciones. b) La velocidad máxima y el peiodo de oscilación. Solución: a) se multiplica po ; no vaía; b) se multiplica po ; no vaía. Movimiento ondulatoio Una onda es la tansmisión de una vibación o petubación sin tanspote de mateia. Cuando la petubación que da luga a la onda es un movimiento amónico simple, se poduce una onda amónica. Según la diección de vibación, las ondas pueden se: - Tansvesales, cuando la diección de vibación es pependicula a la diección de popagación. Ej: ondas poducidas en la supeficie del agua, ondas poducidas al agita una cueda, ondas luminosas,... - Longitudinales, cuando la diección de vibación coincide con la diección de popagación. Ej: ondas poducidas en un muelle, ondas sonoas,... Según las dimensiones en las que se popagan, las ondas pueden se: - Unidimensionales, cuando se popagan en una sola diección. - Bidimensionales o planas, cuando se popagan en dos dimensiones. - Tidimensionales o esféicas, cuando se popagan en las tes dimensiones. Las ondas que pecisan de un medio mateial paa popagase eciben el nombe de ondas mecánicas. Las ondas electomagnéticas (luz, ondas de adio, ayos X, micoondas,...) son las únicas que se pueden popaga en el vacío. Se llaman ondas estacionaias a la que no se desplazan, sino que pemanecen confinadas en una egión del espacio, como las ondas poducidas en una cueda fija po sus extemos; sugen po la supeposición de las ondas sucesivas que se poducen en dicha egión.

12 Magnitudes caacteísticas de las ondas Amplitud (A): elongación máxima de un punto. Unidad: m Longitud de onda (λ): distancia ente dos puntos consecutivos con el mismo estado de vibación (unidad: m). A λ λ Númeo de onda (k): númeo de longitudes de onda que hay en una distancia de π. Unidad: ad/m π k λ Peiodo (T): tiempo que tada un punto en ealiza una vibación; coincide con el tiempo que tada la onda en ecoe una distancia igual a su longitud de onda. Unidad: s Velocidad de popagación (v): distancia ecoida po la onda po unidad de tiempo. Es caacteística de cada onda, vaiando sólo al cambia el medio de popagación. Unidad: m/s MRU: x = v t; si x = λ y t = T v Ecuación de las ondas amónicas unidimensionales Suponemos una cueda, fija po un extemo, en la que se poduce una onda. λ T ; o bien: v π k π ω ω k O P El punto O descibe un movimiento amónico simple: y = A sen (ωt + φ o) Un punto cualquiea de la cueda (P), descibe el mismo movimiento con un desfase especto a O, ya que la onda tada un tiempo t o en alcanza dicho punto: y = A sen (ω(t - t o) + φ o) = A sen (ωt- ωt o) + φ o) ; siendo t o = v x = k x Po tanto: y = A sen (ωt- ω ω ) + φo) y = A sen (ωt - kx + φ o) x k x = ω ω k Si la onda se popagaa de deecha a izquieda, el punto O tendía un desfase especto a P; po tanto, se obtendía la ecuación: y = A sen (ωt + kx + φ o)

13 Ejemplo: La expesión matemática de una onda amónica tansvesal que se popaga po una cueda tensa coincidente con el eje X, es: y = 0, sen (00πt - 00 πx), en unidades Sl. Detemina los valoes del peíodo, la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de popagación de la onda. π ω 00π ad/ s T = 0,0 s; A = 0, m; T 0, 0 v = = 0,5 m/s 0, 0 k 00π ad/m π λ ; λ = 0,0 m Ejemplo: Una onda amónica tansvesal que se popaga en el sentido negativo del eje de las X, tiene una amplitud de 0 cm, una longitud de onda de 60 cm y una velocidad de popagación de 3 m/s. Sabiendo que en el instante inicial la elongación de la patícula en x = 0 es -0 cm, detemina la ecuación que epesenta la onda π 0, 6 π k 3,33 π ad/m; 3 = T = 0, s; ω 0 π ad/s 0,6 T 0, Paa t = 0 y x = 0: -0, = 0, sen (0 π 0 +3,33 π 0 + φ o); sen φ o= -; φ o = 3π/ ad Po tanto: y = 0, sen (0 πt +3,33 πx + 3π/). Una onda amónica tansvesal de longitud de onda λ = m se desplaza en el sentido positivo del eje X. En la gáfica se muesta la elongación (y) del punto de coodenada x = 0 en función del tiempo. Detemina: a) La velocidad de popagación de la onda. b) La expesión matemática que descibe esta onda. Solución: a) 0,33 m/s; b) y = 0,8 sen (π/3 t -πx). Una onda amónica tansvesal se popaga en el sentido de las x positivas. A pati de la infomación contenida en las figuas y justificando las espuestas: a) Detemina el peiodo, la fecuencia, el númeo de onda y la longitud de onda. b) Escibi la expesión de la función de onda. Solución: b) y = 0,05 sen (πt - 0πx + π) 3

14 3. Una onda amónica tansvesal que se popaga a lo lago de la diección positiva del eje de las X, tiene las siguientes caacteísticas: amplitud, A = 5 cm, longitud de onda, λ = 8π cm, velocidad de popagación, v = 40 cm/s. Sabiendo que la elongación de la patícula de abscisa x = 0, en el instante t = 0, es de 5 cm, detemina: a) La ecuación que epesenta el movimiento amónico simple de la patícula de abscisa x = 0. b) La ecuación que epesenta la onda amónica tansvesal indicada. Solución: a) y = 0,05 sen(0t + π/); b) y = 0,05 sen(0t - 5x + π/) 4. Una onda sinusoidal con una amplitud de,5 m y una fecuencia de 00 Hz viaja con una velocidad de popagación v = 00 m/s en la diección positiva del eje X y oscila en la diección del eje Y. En el instante t = 0 la elongación es máxima y positiva en el punto x = +3 m. a) Calcula la longitud de onda, λ, y el númeo de onda, k, de la onda. b) Detemina la expesión matemática que epesenta la onda. Solución: a) m; π ad/m; b) y =,5 sen (00πt πx + 7π/) Velocidad y aceleación de vibación El movimiento de vibación en una onda amónica es un M.A.S. Po tanto la velocidad y la aceleación de vibación coesponden con las de dicho movimiento y se obtienen deivando las ecuaciones coespondientes. dy Velocidad de vibación: v = = A ω cos(ω t kx + φo) dt dv Aceleación de vibación: a = = - A ω sen(ω t kx + φ o) dt Po tanto, cada punto de la onda tendá, en cada instante, una velocidad y una aceleación caacteísticas que se epetián peiódicamente en el espacio y el tiempo. Se dice que dos puntos están en fase cuando se encuentan en el mismo estado de vibación, es deci, cuando su elongación, velocidad y aceleación de vibación son iguales en el mismo instante. La distancia ente dichos puntos es un númeo enteo de longitudes de onda. Se dice que dos puntos están en oposición de fase cuando su elongación, velocidad y aceleación de vibación son opuestas en el mismo instante. La distancia ente dichos puntos es un númeo impa de semilongitudes de onda. A λ B λ C λ/ D λ/ λ/ E λ/ Los puntos A, B y C están en fase ente sí. Los puntos D y E se encuentan en oposición de fase especto a A, B y C. Ejemplo: Una onda amónica tansvesal que se popaga en el sentido positivo del eje de las X, tiene una amplitud de 0 cm, una longitud de onda de 40 cm y un peiodo de s. Sabiendo que en el instante inicial la elongación del punto x = 0 es 0 cm, detemina la velocidad y la aceleación un punto de la onda situado en x = m paa t = s. π π ω π ad/s; k 5π ad/m 0,4 0, = 0, sen (π 0-5π 0 + φ o); sen φ o= ; φ o = π/ ad v = 0, π cos (π - 5π + π/) = 0; a = - 0, π sen (π - 5π + π/) = -,97 m/s 4

15 5. Una onda tansvesal se popaga po un medio elástico con una velocidad v, una amplitud A o y oscila con una fecuencia f o. Contesta azonadamente a las siguientes cuestiones: a) Detemina en qué popoción cambiaían la longitud de onda, la velocidad de popagación, el peiodo y la amplitud, si se actúa sobe el foco emiso de ondas educiendo a la mitad la fecuencia de oscilación. b) Sin altea su fecuencia f o, se modifica la amplitud de la onda haciendo que aumente al doble. En qué popoción cambiaían la velocidad de la onda, la velocidad máxima de las patículas del medio y la longitud de onda? 6. Una onda amónica tansvesal se popaga po un medio elástico a lo lago del eje X (sentido positivo) poduciendo un desplazamiento en las patículas del medio a lo lago del eje Y. La velocidad de popagación de la onda es de 30 m s - siendo su longitud de onda igual a 3 m. En el instante t = 0 s el desplazamiento inducido po la onda en el oigen de coodenadas es nulo, siendo la velocidad de vibación positiva. Si el desplazamiento máximo inducido po la onda es igual a 0, cm: a) Escibi la expesión matemática que descibe la onda. b) Detemina la máxima velocidad y aceleación de una patícula del medio. π Solución: a) y = 0,00. sen (0πt + x); b) 0,6 m/s; 7,9 m/s 3 7. Una onda amónica tansvesal de amplitud 8 cm y longitud de onda 40 cm se popaga en una cueda tensa, oientada en el sentido positivo del eje X, con una velocidad de 70 cm/s. El punto de la cueda de coodenada x = 0 (oigen de la petubación) oscila en la diección del eje Y y tiene en el instante t = 0 una elongación de 4 cm y una velocidad de oscilación positiva. Detemina: a) Los valoes de la fecuencia angula y del númeo de onda. b) La expesión matemática de la onda. c) La expesión matemática del movimiento del punto situado a 70 cm del oigen. 0π Solución: a) π ad/s; ad/m; b) y=0,08sen 0π π 5π πt x ; c) y=0,08sen πt Una onda amónica tansvesal de fecuencia angula 4π ad/s se popaga a lo lago de una cueda con una velocidad de 40 cm/s, en la diección positiva del eje X. En el instante inicial t = 0, en el extemo de la cueda x = 0, su elongación es de +,3 cm y su velocidad de oscilación es de 7 cm/s. Detemina: a) La expesión matemática que epesenta la onda. b) El pime instante en el que la elongación es máxima en x = 0. Solución: a) y = 0,035 sen (4πt - 0πx + 0,8); b) 0,06 s Difeencia de fase El témino (ωt - kx + φ o) ecibe el nombe de fase de la onda (φ) e infoma del estado de vibación de cada punto de la onda en un instante deteminado. Se mide en ad. Paa conoce la posición elativa de dos puntos en un instante deteminado, se emplea la difeencia de fase espacial: = (ωt kx + φ o)- (ωt kx + φ o)= k x -x = k x Cuando dos puntos están en fase, la difeencia de fase es un múltiplo enteo de π; si están en oposición de fase, la difeencia de fase es un múltiplo impa de π. Paa conoce la posición elativa de un mismo punto en dos momentos distintos, se emplea la difeencia de fase tempoal: = (ωt kx + φ o)- (ωt kx + φ o)= ω t -t = ω t 5

16 Ejemplo: Una onda amónica que se popaga po un medio unidimensional tiene una fecuencia 500 Hz y una velocidad de popagación de 350 m/s. a) Qué distancia mínima hay, en un cieto instante, ente dos puntos del medio que oscilan con una difeencia de fase de 60? b) Cuál es la difeencia de fase de oscilación, en un cieto punto, paa un intevalo de tiempo de 0-3 s? a) 350 = λ 500; λ = 0,7 m; k = π =,86π m- 0,7 60º πad 360º = π ad; π 3 3 =,86π x x = 0,7 m b) ω = π 500 = 000π ad/s; =000π 0-3 = π ad 9. Una onda amónica cuya fecuencia es de 50 Hz, se popaga en la diección positiva del eje X. Sabiendo que la difeencia de fase, en un instante dado, paa dos puntos sepaados 0 cm es de π/ adianes, detemina: a) La velocidad de popagación de la onda b) En un punto dado qué difeencia de fase existe ente los desplazamientos que tienen luga en dos instantes sepaados po un intevalo de 0,0 s? Solución: a) 40 m/s; b) π ad 30. Una onda tansvesal, que se popaga en el sentido positivo del eje X, tiene una velocidad de popagación de 600 m s - y una fecuencia de 500 Hz. Detemina: a) La mínima sepaación ente dos puntos del eje X que tengan un desfase de 60º, en el mismo instante. b) El desfase ente dos elongaciones, en la misma coodenada x, sepaadas po un intevalo de tiempo de dos milésimas de segundo. Solución: a) 0, m; b) π ad 3. La función matemática que epesenta una onda tansvesal que avanza po una cueda es y = 0,3 sen (00πt - 0,4πx + φ o), donde todas las magnitudes están expesadas en unidades del SI. Calcula: a) La sepaación ente dos puntos cuya difeencia de fase, en un deteminado instante, es de π/5 adianes. b) La difeencia de fase ente dos vibaciones de un mismo punto del espacio sepaadas po un intevalo de tiempo de 5 ms. Solución: a) 0,5 m; b) π/ ad 3. Una onda amónica tansvesal se desplaza en la diección del eje X en sentido positivo y tiene una amplitud de cm, una longitud de onda de 4 cm y una fecuencia de 8 Hz. Detemina: a) La velocidad de popagación de la onda. b) La fase inicial, sabiendo que paa x = 0 y t = 0 la elongación es y = - cm. c) La expesión matemática que epesenta la onda. d) La distancia ente dos patículas del eje X que oscilan sepaadas π/3 ad. Solución: a) 0,3 m/s; b) 3π/ ad; d) 6, m 33. Un punto mateial oscila en tono al oigen de coodenadas en la diección del eje Y, según la expesión: π π Y = 5 sen t + (y en cm; t en s) 3 4 oiginando una onda amónica tansvesal que se popaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos mateiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π ad están sepaados una distancia mínima de 30 cm, detemina: a) La amplitud y la fecuencia de la onda amónica. b) La longitud de la onda y la velocidad de popagación de la onda. 6

17 c) La expesión matemática que epesenta la onda amónica. d) La expesión de la velocidad de oscilación en función del tiempo paa el punto x = 80 cm, y el valo de dicha velocidad en el instante t = 0 s. π 0π Solución: a) 0,05 m; 0,67 Hz; b) 0,6 m; 0, m/s; c) y = 0,05 sen t - x+ π ; π 9π d) v = 0,05 cos t - ); 0,037 m/s Una onda amónica tansvesal, de peiodo s, se popaga con una velocidad de 60 cm/s en una cueda tensa oientada según el eje X, y en sentido positivo. Sabiendo que el punto de la cueda de abscisa x = 30 cm oscila en la diección del eje Y, de foma que en el instante t = s la elongación es nula y la velocidad con la que oscila positiva y en el instante t =,5 s su elongación es 5 cm y su velocidad de oscilación nula, detemina: a) La fecuencia y la longitud de onda. b) La fase inicial y la amplitud de la onda amónica. c) La expesión matemática de la onda amónica. d) La difeencia de fase de oscilación de dos puntos de la cueda sepaados un cuato de longitud de onda. 3π 5π 3π π Solución: a) 0,5 Hz;, m; b) ad; 0,05 m; c) y=0,05sen πt x ; d) ad 3 Pincipio de Huygens. Reflexión, efacción y difacción. Intefeencias. La popagación de las ondas y los fenómenos elacionados con ésta pueden explicase mediante el pincipio de Huygens (678), según el cual, "todo punto de un fente de onda, es cento emiso de nuevas ondas elementales cuya envolvente es el nuevo fente de onda". A A B B O C C' D D' El pincipio de Huygens pemite explica los fenómenos de eflexión, efacción y difacción de las ondas. - Reflexión: Es el cambio en la diección y el sentido de popagación que expeimenta una onda al alcanza la supeficie de sepaación ente dos medios, siendo devuelta al pime medio. - Refacción: Es el cambio en la diección de popagación que expeimenta una onda al taspasa la supeficie de sepaación ente dos medios, y tansmitise en el segundo medio con distinta velocidad de popagación. Po ejemplo, si en el segundo medio las ondas se popagan con meno velocidad, los puntos del fente de onda que alcanzan pimeo la supeficie de sepaación y comienzan a tansmitise po el segundo medio, se etasan 7 Los puntos A, B, C y D foman pate de un fente de onda y desciben un M.A.S., con lo que se convieten en centos emisoes de nuevas ondas secundaias. Al cabo de un tiempo, todas estas ondas habán ecoido una misma distancia, alcanzando los puntos A', B', C' y D' espectivamente, que estaán en fase ente sí fomando un nuevo fente de onda. La fomación sucesiva de fentes de onda hace posible la popagación de las ondas.

18 especto a los que pemanecen en el medio inicial, poduciéndose un cambio en la diección de popagación. - Difacción: es el fenómeno que se poduce cuando un obstáculo impide el avance de una pate del fente de onda. Los puntos del fente de onda que no están tapados po el obstáculo, se convieten en focos emisoes de nuevas ondas, logando que la onda bodee el obstáculo y se popague detás del mismo. Intefeencias Una intefeencia es el fenómeno que se poduce cuando dos ondas se supeponen en un mismo punto. Si dos ondas iguales intefieen en fase, tiene luga una intefeencia constuctiva y la amplitud del movimiento esultante es el doble de la amplitud de cada una de dichas ondas. Si dos ondas iguales intefieen en oposición de fase, tiene luga una intefeencia destuctiva y en dicho punto las ondas se anulan mutuamente. Si se poduce la difacción de una onda a tavés de una doble endija, al intefei las ondas que se genean al oto lado del obstáculo se oigina una sucesión de zonas de intefeencia constuctiva y destuctiva que ecibe el nombe de figua de difacción. 3. Ondas sonoas El sonido es una onda que se popaga po sucesivas compesiones y descompesiones de un medio mateial elástico. Las ondas sonoas son ondas mecánicas, longitudinales y esféicas. El oído humano sólo puede pecibi sonidos con fecuencias compendidas ente 0 y 0000 Hz. Los sonidos cuya fecuencia es infeio a 0 Hz eciben el nombe de infasonidos; cuando la fecuencia es supeio a 0000 Hz se llaman ultasonidos. La velocidad del sonido depende de las caacteísticas del medio y, en geneal en los sólidos es mayo que en los líquidos y en éstos mayo que en los gases. La velocidad del sonido en el aie a 0º C es de 340 m/s. El sonido pesenta tes cualidades que pemite distingui unos sonidos de otos: - Intensidad: pemite distingui un sonido fuete de uno débil. Está diectamente elacionado con el cuadado de la amplitud de la onda. Matemáticamente epesenta la enegía tansmitida (E = ½ K A ) po unidad de tiempo a tavés de la unidad de supeficie. I E t S P S ; como se tata de ondas esféicas: S = 4π ; po tanto: I = intensidad de la onda; unidad: W/m P= potencia tansmitida; unidad: W = distancia del punto al foco emiso; unidad: m P 4π I 8

19 El umbal de audición paa el oído humano (I o) se establece en 0 - W/m. Paa medi el nivel de intensidad sonoa se utiliza una escala logaítmica que asigna el nivel de 0 db (decibelios) al umbal de audición. β = 0 log I I o β = nivel de intensidad sonoa Unidad: decibelios (db) Ejemplo: Una fuente sonoa emite un sonido de 0-3 W de potencia. Detemina el nivel de intensidad sonoa a 50 m de distancia. 3 0 I = = 3,8 0-8 W/m ,8 0 β = 0 log = 45 db 0 Ejemplo: Una fuente sonoa emite un sonido de 0-3 W de potencia. A qué distancia el nivel de intensidad sonoa seá de 0 db? I 0 = 0 log ; = log I + ; log I = -0; I = 0-0 W/m = = 89 m - Tono: es la cualidad que pemite distingui un sonido gave de uno agudo. Depende de la fecuencia del sonido, cuanto mayo es la fecuencia, más agudo es el sonido. I Sonido gave I Sonido agudo t t - Timbe: es la cualidad que pemite distingui dos sonidos de la misma intensidad y tono poducidos po dos fuentes sonoas distintas. Depende de la foma de la onda, ya que la mayoía de los sonidos no son puos, fomados po una onda sinusoidal, sino que son la consecuencia de la supeposición de vaias ondas sinusoidales, dando luga a una onda más compleja cuya foma es caacteística de cada foco emiso. Sonido puo Sonido compuesto 9

20 35. La potencia sonoa del ladido de un peo es apoximadamente mw y dicha potencia se distibuye unifomemente en todas las diecciones. Calcula: a) La intensidad y el nivel de intensidad sonoa a una distancia de 0 m del luga donde se poduce el ladido. b) El nivel de intensidad sonoa geneada po el ladido de 5 peos a 0 m de distancia de los mismos. Supone que todos los peos emiten sus ladidos en el mismo punto del espacio. Dato: I o Solucion: a) 7, W/m ; 59 db; b) 60 db 36. La potencia de la bocina de un automóvil, que se supone foco emiso puntual, es de 0, W. a) Detemina la intensidad de la onda sonoa y el nivel de intensidad sonoa a una distancia de 8 m del automóvil. b) A qué distancias desde el automóvil el nivel de intensidad sonoa es meno de 60 db? Dato: I o Solución: a),4 0-4 W/m ; 80,9 db; b) 89, m 37. El nivel de intensidad sonoa poducido po un foco emiso puntual es de 60 db a 0 m de distancia. Detemina: a) El nivel de intensidad sonoa a km de distancia. b) La distancia a la que el sonido deja de se audible. Dato: I o Solución: a) 0 db; b) 0 4 m 38. Un espectado que se encuenta a 0 m de un coo fomado po 5 pesonas pecibe el sonido con un nivel de intensidad sonoa de 54 db. a) Calcula el nivel de intensidad sonoa con que pecibiía a un solo miembo del coo cantando a la misma distancia. b) Si el espectado sólo pecibe sonidos po encima de 0 db, calcula la distancia a la que debe situase del coo paa no pecibi a éste. Supone que el coo emite ondas esféicas, como un foco puntual y todos los miembos del coo emiten con la misma intensidad. Dato: I o Solución: a) 4, db; b) 365 m 39. Se ealizan dos mediciones del nivel de intensidad sonoa en las poximidades de un foco sonoo puntual, siendo la pimea de 00 db a una distancia x del foco y la segunda de 80 db al alejase en la misma diección 00 m más. a) Obtene las distancias al foco desde donde se efectúan las mediciones. b) Detemina la potencia sonoa del foco. Dato: I o Solución: a), m;, m; b) 5,5 W 40. Razona si son vedadeas o falsas las siguientes afimaciones: a) La intensidad de la onda sonoa emitida po una fuente puntual es diectamente popocional a la distancia a la fuente. b) Un incemento de 30 decibelios coesponde a un aumento de la intensidad del sonido en un facto Un altavoz emite sonido como un foco puntual. A una distancia d, el sonido se pecibe con un nivel de intensidad sonoa de 30 db. Detemina: a) El facto en el que debe incementase la distancia al altavoz paa que el sonido se peciba con un nivel de intensidad sonoa de 0 db. b) El facto en el que debe incementase la potencia del altavoz paa que a la distancia d el sonido se peciba con un nivel de intensidad sonoa de 70 db. Solución: a) 3,6; b)

21 TEMA : ÓPTICA. Natualeza de la luz. La luz tiene una doble natualeza: ondulatoia y copuscula. Ondulatoia: la luz es una onda electomagnética, pesentando todos los fenómenos caacteísticos de las ondas (eflexión, efacción, difacción, intefeencias,...) Copuscula: cuando la luz inteacciona con la mateia intecambiando enegía con ésta (efecto fotoeléctico), pesenta caácte copuscula y puede considease fomada po fotones, siendo la enegía de cada fotón diectamente popocional a su fecuencia. E fotón = h f La mayoía de los fenómenos elacionados con la luz pueden explicase a pati de su natualeza ondulatoia, ya que pesenta todas las caacteísticas popias de las ondas electomagnéticas: - Consisten en la popagación de un campo eléctico y un campo magnético que vaían peiódicamente y son pependiculaes ente sí. - Son ondas tansvesales, ya que la diección de popagación es pependicula a la oscilación de ambos campos. - No son ondas mecánicas, ya que no pecisan de un medio mateial paa popagase. - En el vacío todas las ondas electomagnéticas se popagan a la misma velocidad (c m/s), mientas que su longitud de onda y su fecuencia son vaiables (c = λ f); en el aie esta velocidad pemanece pácticamente constante. - En los medios mateiales la velocidad de las ondas electomagnéticas disminuye, disminuyendo también su longitud de onda, mientas que su fecuencia pemanece constante (v = λ f) La secuencia de todas las ondas electomagnéticas odenadas según su fecuencia ecibe el nombe de especto electomagnético: - Ondas de adio (f 0 0 Hz) - Micoondas (0 0 Hz f 0 Hz) - Infaojo (0 Hz f 0 4 Hz) - Luz visible (0 4 Hz f 0 5 Hz): de meno a mayo fecuencia incluye los coloes ojo, naanja, amaillo, vede, azul, añil y violeta. - Ultavioleta (0 5 Hz f 0 7 Hz) - Rayos X (0 7 Hz f 0 9 Hz) - Rayos (f 0 9 Hz) E fotón = enegía de un fotón (J) h = constante de Planck = 6, J s f = fecuencia de la onda luminosa (Hz). Discuti la veacidad o falsedad de las siguientes afimaciones: a) Un fotón de luz oja tiene mayo longitud de onda que un fotón de luz azul. b) Un fotón de luz amailla tiene mayo fecuencia que un fotón de luz azul. c) Un fotón de luz vede tiene meno velocidad de popagación en el vacío que un fotón de luz amailla. d) Un fotón de luz naanja es más enegético que un fotón de luz oja.

22 . Popagación de la luz: eflexión y efacción La luz, al igual que todas las adiaciones electomagnéticas, es una onda esféica que se popaga en todas las diecciones del espacio. Paa estudia los fenómenos elacionados con la popagación de la luz, se elige una diección de popagación pependicula a las supeficies esféicas (fentes de ondas) alcanzadas po la luz en su popagación que ecibe el nombe de ayo luminoso. Cuando un ayo de luz incide en la supeficie de sepaación ente dos medios, se poducen dos fenómenos: - Reflexión: es el fenómeno po el cual el ayo luminoso es devuelto el pime medio, cambiando su diección de popagación. - Refacción: es el fenómeno po el cual el ayo luminoso pasa a popagase en el segundo medio, cambiando su diección de popagación debido a la difeencia ente la velocidad de popagación de la luz en ambos medios. Se llama índice de efacción de un medio al cociente ente la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de ésta en dicho medio. c n v n = índice de efacción del medio c = velocidad de la luz en el vacío m/s v = velocidad de la luz en el medio (m/s) Ejemplo: Halla el índice de efacción del agua (v agua =,5 0 8 m/s) nagua,33 8,5 0. Una fuente luminosa emite luz monocomática de longitud de onda en el vacío λ = m (luz oja) que se popaga en el agua de índice de efacción n =,34. Detemina: a) La velocidad de popagación de la luz en el agua. b) La fecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua. Dato: c Solución: a),4 0 8 m/s; b) Hz; 4, m. Leyes de la eflexión y la efacción La eflexión y la efacción se igen po las siguientes leyes: ª. El ayo incidente, el ayo eflejado y el ayo efactado, están en un mismo plano que contiene a la nomal. ª. El ángulo de incidencia es igual al ángulo de eflexión ( î = î ' ) 3ª. El cociente ente los senos de los ángulos de incidencia y de efacción, es igual al cociente ente las velocidades de la luz en ambos medios (ley de Snell). sen î v sen ˆ v î = ángulo de incidencia ˆ = ángulo de efacción v = velocidad de la luz en el pime medio v = velocidad de la luz en el segundo medio

23 ayo incidente ayo eflejado î î ' ˆ ayo efactado La ley de Snell puede expesase en función de los índices de efacción: sen sen î ˆ v v c n c n n n sen sen î ˆ n n = índice de de efacción del pime medio n n = índice de de efacción del segundo medio Ejemplo: Un ayo de luz monocomática incide desde el aie sobe el agua (n =,33) con un ángulo de incidencia de 30º. Calcula el ángulo de efacción. sen 30 sen ˆ,33 ; sen ˆ = 0,375; ˆ = º 3. Enuncia las leyes de la eflexión y de la efacción de la luz y efectua los esquemas gáficos coespondientes. 4. Una supeficie plana sepaa dos medios de índices de efacción distintos n y n. Un ayo de luz incide desde el medio de índice n. Razona si son vedadeas o falsas las afimaciones siguientes: a) El ángulo de incidencia es mayo que el ángulo de eflexión. b) Los ángulos de incidencia y de efacción son siempe iguales. c) El ayo incidente, el eflejado y el efactado están en el mismo plano. d) Si n n el ángulo de efacción es meno que el ángulo de incidencia. 5. Un ayo de luz monocomática cuya longitud de onda en el vacío es 656,3 nm incide desde el aie sobe un líquido de índice de efacción n =,4 con un ángulo de incidencia de 30º. a) Detemina velocidad de popagación, longitud de onda y fecuencia de dicho ayo en el líquido. b) Dibuja un esquema de los ayos incidente, eflejado y efactado y calcula el ángulo de efacción. Dato: c Solución: a), 0 8 m/s; 4,6 0-7 m; 4, Hz; b) 0,6 º. 3

24 6. Considéese un haz de luz monocomática, cuya longitud de onda en el vacío es λ o= 600 nm. Este haz incide, desde el aie, sobe la paed plana de vidio de un acuaio con un ángulo de incidencia de 30º. Detemina: a) El ángulo de efacción en el vidio, sabiendo que su índice de efacción es n =,5. b) La longitud de onda de dicho haz en el agua, sabiendo que su índice de efacción es n =,33. Solución: a) 9,5º; b) 45 nm Reflexión total Cuando el índice de efacción del pime medio es mayo que el del segundo (n n ), el ángulo de efacción es mayo que el de incidencia (sen ˆ sen î ; ˆ î ); en este caso, existe un ángulo de incidencia llamado ángulo límite ( Lˆ ) paa el cual el ángulo de efacción vale 90º. Paa ángulos de incidencia mayoes que el ángulo límite no se poduce efacción y apaece el fenómeno de eflexión total. î Lˆ ˆ 90º sen Lˆ n sen 90 n n sen Lˆ = n n Lˆ = acsen n Ejemplo: Un ayo de luz monocomática pasa al aie desde un líquido de índice de efacción n =,43. Detemina el ángulo límite. sen Lˆ sen 90 ; sen Lˆ = 0,7 ; Lˆ = 44,4º,43 7. a) Explica el fenómeno de la eflexión total y las condiciones en las que se poduce. b) Calcula el ángulo a pati del cual se poduce eflexión total ente un medio mateial en el que la luz se popaga a una velocidad v =,5 0 8 m s - y el aie. Tene en cuenta que la luz en su popagación pasa del medio mateial al aie. Datos: Velocidad de la luz en el vacío; Índice de efacción del aie Solución: b) 30º 8. Un buceado enciende una lintena debajo del agua (índice de efacción,33) y diige el haz luminoso hacia aiba fomando un ángulo de 40º con la vetical. a) Con qué ángulo emegeá la luz del agua? b) Cuál es el ángulo de incidencia a pati del cuál la luz no saldá del agua? Efectua esquemas gáficos en la explicación de ambos apatados. Solución: a) 58,7º; b) 48,8º 4

25 9. En tes expeimentos independientes, un haz de luz de fecuencia f = 0 5 Hz incide desde cada uno de los mateiales de la tabla sobe la supeficie de sepaación de éstos con el aie, con un ángulo de incidencia de 0º, poduciéndose eflexión y efacción. Mateial Diamante Cuazo Agua Índice de efacción,4,46,33 a) Depende el ángulo de eflexión del mateial? Justifica la espuesta. b) En qué mateial la velocidad de popagación de la luz es meno? Detemina en este caso el ángulo de efacción. c) En qué mateial la longitud de onda del haz de luz es mayo? Detemina en este caso el ángulo de efacción. d) Si el ángulo de incidencia es de 30º, se poduciá el fenómeno de eflexión total en alguno(s) de los mateiales? Solución: b) 55,9º; c) 7,º 0. Un ayo de luz oja que se popaga en el aie tiene una longitud de onda de 650 nm. Al incidi sobe la supeficie de sepaación de un medio tanspaente y peneta en él, la longitud de onda del ayo pasa a se de 500 nm. a) Calcula la fecuencia de la luz oja. b) Calcula el índice de efacción del medio tanspaente paa la luz oja. c) Si el ayo incide desde el aie con un ángulo de 30º especto a la nomal, cuál seá el ángulo de efacción en el medio tanspaente? d) Si el ayo se popagaa po el medio tanspaente en diección hacia el aie, cuál seía el ángulo de incidencia a pati del cual no se poduce efacción? Dato: c Solución: a) 4,6 0 4 Hz; b),3; c),6º; d) 50,3º. Una supeficie plana sepaa dos medios tanspaentes de índices de efacción n = y n =,4 espectivamente. Un ayo luminoso incide desde el medio de índice de efacción n = sobe la supeficie de sepaación de los dos medios obsevándose que el ayo eflejado y el efactado son pependiculaes ente sí. Calcula: a) Los valoes de los ángulos de incidencia y de efacción. b) Ente qué valoes tiene que esta compendido el ángulo de incidencia paa que se poduzca ayo efactado. Solución: a) 35º; 55º; b) i 44,4º. Un ayo de luz de longitud de onda en el vacío λ o = 650 nm incide desde el aie sobe el extemo de una fiba óptica fomando un ángulo con el eje de la fiba (ve figua), siendo el índice de efacción n dento de la fiba,48. a) Cuál es la longitud de onda de la luz dento de la fiba? n b) La fiba está evestida de un mateial de índice de efacción n =,44. P Cuál es el valo máximo del ángulo n θ paa que se poduzca eflexión total intena en P? θ Solución: a) 439 nm; b) 0º 5

26 3. Se tiene un pisma ectangula de vidio de índice de efacción,48. Del cento de su caa A se emite un ayo que foma un ángulo α con el eje vetical del pisma, como muesta la figua. La anchua del pisma es 0 cm y la altua 30 cm. a) Si el medio exteio es aie, cuál es el máximo valo de α paa que el ayo no salga po la caa B? Justifica la espuesta. b) Si el medio exteio es agua, cuál es el máximo valo de α paa que el ayo no salga po la caa B? Paa este valo de α, cuál es el ángulo con el que emege de la caa C? Dato: n agua =,33 Solución: a) 47,5º; b) 6 º; 9,º Lámina de caas planas y paalelas Cuando un ayo luminoso ataviesa una lámina de caas planas y paalelas, el ayo expeimenta una doble efacción. Si el medio inicial coincide con el medio final, el ayo emegente seá paalelo al ayo incidente, obsevándose un desplazamiento lateal del ayo. medio î î = ángulo de incidencia ˆ = ángulo de efacción en el inteio de la lámina î = ángulo de incidencia en el inteio de la lámina ˆ = ángulo de emegencia medio e ˆ x î ˆ î e = espeso de la lámina x = espacio ecoido po el ayo dento de la lámina d = desplazamiento lateal de la lámina medio ˆ d ª efacción: Po tanto: sen î sen ˆ sen î sen ˆ = n ; ª efacción: n sen ˆ = sen î Paa detemina x, tenemos en cuenta que: sen î sen ; sabiendo que ˆ î sen î = sen ˆ î = ˆ n n e cos ˆ x Podemos detemina d sabiendo que: sen ( î ˆ ) d x 6

27 Ejemplo: Sobe una lámina de vidio de caas planas y paalelas, de espeso cm y de índice de efacción,5, situada en el vacío, incide un ayo de luz monocomática con un ángulo de 30 nomal a la caa. Calcula: a) El ángulo que foma con la nomal el ayo que emege de la lámina. b) La distancia ecoida po el ayo dento de la lámina. c) El desplazamiento lateal del ayo. sen 30, 5 sen 9,5 a) = ˆ = 9,5º = î ; = = 30º sen ˆ sen,5 b) cos 9,5 = x x =,06 cm d c) sen (30-9,5)= d = 0,9 cm, Una lámina de vidio de caas planas y paalelas, situada en el aie, tiene un espeso de 8 cm y un índice de efacción n =,6. Calcula paa un ayo de luz monocomática que incide en la caa supeio de la lámina con un ángulo de 45º. a) Los valoes del ángulo de efacción en el inteio de la lámina y del ángulo de emegencia coespondientes. b) El desplazamiento lateal expeimentado po el ayo al atavesa la lámina. Solución: a) 6,º; 45º; b),87 cm 5. Sobe una lámina de vidio de caas planas y paalelas de 3 cm de espeso y situada en el aie incide un ayo de luz monocomática con un ángulo de incidencia de 35º. La velocidad de popagación del ayo en la lámina es c, siendo c la velocidad de la luz en el vacío. 3 a) Detemina el índice de efacción de la lámina. b) Compoba que el ayo emegeá de la lámina y detemina el ángulo de emegencia. c) Calcula la distancia ecoida po el ayo dento de la lámina. Solución: a),5; b) 35 º ; c) 3,5 cm 6. Se tienen tes medios tanspaentes de índices de efacción n, n y n 3 sepaados ente sí po supeficies planas y paalelas. Un ayo de luz de fecuencia Hz incide desde el pime medio (n =,5) sobe el segundo fomando un ángulo de 30 º con la nomal. a) Sabiendo que el ángulo de efacción en el segundo medio es 3,5, cuál seá la longitud de onda de la luz en este segundo medio? b) Si el índice de efacción del tece medio es n 3 =,3 cuál seá el ángulo de emegencia del ayo? Dato: c Solución: a), m; b) 35,6 º 7. Una lámina de vidio (índice de efacción n =,5) de caas planas y paalelas y espeso d se encuenta ente el aie y el agua. Un ayo de luz monocomática de fecuencia Hz incide desde el agua en la lámina. Detemina: a) Las longitudes de onda del ayo en el agua y en el vidio. b) El ángulo de incidencia en la pimea caa de la lámina a pati del cual se poduce eflexión total intena en la segunda caa. Datos: c; índice de efacción de agua n agua =,33 Solución: a) 4,5 0-7 m; 3, m; b) 48,75º 7

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