PROBLEMAS PROPUESTOS 6.- Flexión Tensiones Normales y Cortantes 6.1. Introducción 6.2. Tensiones Normales en Flexión 6.3. Tensiones Cortantes en

Transcripción

1 refcio E presente ibro estudi os tems más importntes en Resistenci de teries, con énfsis en picción, soución de probems y diseño de eementos estructures y dispositivos mecánicos. E ibro está orientdo pr umnos de Ingenierí de segundo o tercer ño. E desrroo de curso de Resistenci de teries presupone que e umno posee os recursos propios de cácuo infinitesim, cácuo integr, geometrí de mss en o referente sber ccur centros de grvedd y momentos de inerci de figurs pns, y, fundmentmente, de Estátic, sin cuyo conocimiento es impensbe poder obtener un suficiente provechmiento de curso. En myorí de os cpítuos e primer objetivo es determinción de s tensiones normes y trnsverses, uego determinción de os vores máimos de estos tensiones y finmente e cácuo de s correspondientes deformciones. Se estudin como tipos de crg: Trcción, Corte, Torsión y Feión. Inicimente se estudi teorí y est se compement con un precibe número de ejempos o probems resuetos y uego con probems propuestos pr que e umno refuerce su comprensión. En e primer cpítuo se hce un introducción estudio de Resistenci de teries mrcndo sus objetivos y estbeciendo os principios generes, que competn s concusiones de teorí de Esticidd, pr poder desrror discipin siguiendo e método ógico-deductivo. En e resto de os cpítuos se hce un náisis sistemático de s cciones que se derivn de un soicitción etern ctundo sobre un prism mecánico. Y este estudio se hce considerndo os efectos producidos por cd un de s posibes mgnitudes cusntes, ctundo cd un de es independientemente de s otrs. sí, s tensiones norm y cortnte que someten prism trcción o compresión y cortdur, respectivmente, son trtdos en os Cpítuos y. En e cpítuo se estudi teorí de torsión y os tres cpítuos siguientes se dedicn estudio de feión, en sus mútipes spectos. En os dos primeros de éstos se epone teorí gener hciendo en uno de eos un náisis de estdo tension que se cre en e prism mecánico cundo se e somete feión pur o feión simpe, y en e otro, e estudio de s deformciones producids por mism cus. E importnte tem de pndeo es trtdo en e Cpítuo 8, en e que hy que bndonr un de s hipótesis fundmentes dmitids en Resistenci de teries cu es de pequeñez de s deformciones. Finmente, un útimo cpítuo se dedic estudio de os estdos tension y de deformciones cundo soicitción que ctú sobre e prism mecánico es rbitrri. Er necesrio cbr obr con un tem que nos hicier ver generidd de picción de s teorís de Resistenci de teries todo tipo de piezs. En tod obr se us e Sistem Técnico de Uniddes o e Sistem Interncion de Uniddes y pr soución de muchos de os probems se usó softwre mtemático. grdezco yud y sugerencis de os docentes de Ingenierí ecánic y Eectromecánic de US, quienes reizron viosos portes teto.

2 Contenido refcio INDICE 1 Conceptos ásicos de Resistenci de teries 1.1. Objeto y Finidd de Resistenci de teries 1.. Concepto de Sóido Eástico 1.. odeo teórico de sóido utiizdo en Resistenci de teries. (rism mecánico 1.. rincipios generes de Resistenci de teries 1.5. Tipos de Crgs eteriores sobre un prism mecánico 1.6. Equiibrio estático y equiibrio eástico 1.7. Tipos de Soicitción 1.8. Determinción de s Crgs Interns (étodo de s Secciones 1.9. Tensiones o Tensiones Deformción Digrm Tensión y Deformción 1.1. Constntes Eástics 1.1,- Digrm Tensión Deformción pr otros mteries 1.1. Digrms Idees Coeficiente de Seguridd, Tensión dmisibe y Crg dmisibe F frente Crgs Estátics y Vribes ROLES RESUELTOS ROLES ROUESTOS Trcción y Compresión.1. Introducción.. Digrms de Fuerzs Normes:..- Trcción Compresión ono i..- Trcción Compresión ii.6.- robems Estáticmente Indetermindos (iperestáticos.7.- Trbjo de s Fuerzs en Trcción Compresión (Energí otenci de Deformción ROLES RESUELTOS ROLES ROUESTOS Corte uro.1. Introducción..- Tensiones y Deformciones en Corte uro.. robems Estáticmente Indetermindos (iperestáticos ROLES RESUELTOS ROLES ROUESTOS.- Torsión.1. Introducción.. Digrm de omentos de Torsión:..- Torsión Circur. Torsión en Eementos con Sección Rectngur.5 Tensiones en Secciones Cerrds de equeño Espesor.6. robems Estáticmente Indetermindos (iperestáticos ROLES RESUELTOS ROLES ROUESTOS 5.- Feión - Fuerz Cortnte y omento Fector 5.1. Introducción 5.. Crgs 5.. Tipos de poyos 5.. Tipos de Vigs 5.5. Cácuo de Recciones 5.6. omento Fector y Fuerz Cortnte 5.7. Reción entre e momento Fector y Fuerz Cortnte 5.8. Determinción de omento Fector y Fuerz Cortnte 5.9. Vores de omento Fector y Fuerz Cortnte en os etremos Cácuo de omentos por funciones de Singuridd Digrm de Fuerzs Cortntes y de omentos Fectores ROLES RESUELTOS

3 ROLES ROUESTOS 6.- Feión Tensiones Normes y Cortntes 6.1. Introducción 6.. Tensiones Normes en Feión 6.. Tensiones Cortntes en Feión 6.. erfies Comunes Usdos en Vigs ROLES RESUELTOS ROLES ROUESTOS 7.- Deformciones en Feión 7.1. Introducción 7. Líne Eástic 7. étodo de Ecución Diferenci de Eástic o Dobe Integrción de omento 7.. étodo de Superposición 7.5. étodo de Áre de Digrm de omentos o Teorems de ohr 7.6. étodo de vig conjugd 7.7. Sistems iperestáticos ROLES RESUELTOS ROLES ROUESTOS 8.- Soicitción Compuest 8.1. Introducción 8.. Combinción de Tensiones 8.. Combinción de Deformciones 8. Csos de Soicitción Compuest ROLES RESUELTOS ROLES ROUESTOS 9.- étodos Energéticos 9.1. Introducción 9.. Trbjo 9. Energí otenci 9. Ecuciones de energí 9.5 Teorem de Cstigino 9.6 Ecuciones de Cstigino ROLES RESUELTOS ROLES ROUESTOS 10.- ndeo de Coumns Introducción 10. Equiibrio Estbe, Inestbe e Indiferente 10.. Tipos de poyos y Coumns 10. Crg Crític de Euer Ecución de íne eástic: Límites de picción de Formu de Euer Coumns crgds Ecéntricmente Formu de Secnte ROLES RESUELTOS ROLES ROUESTOS

4 1 Conceptos ásicos de Resistenci de teries 1.1 Objeto y Finidd de Resistenci de teries E objetivo de presente ibro es estbecer os criterios que nos permitn determinr e mteri más conveniente, form y s dimensiones más decuds que hy que dr os eementos de un estructur o máquin pr que puedn resistir cción de s fuerzs y momentos eteriores que os soicitn, sí como pr obtener este resutdo de form más económic posibe. Si se someten dos cbes de mism form y dimensiones, pero de distinto mteri como podín ser de cero y cobre un mism fuerz por ejempo e peso de un cuerpo, mismo que se increment putinmente, se observ que e cbe de cobre es e primero en e que se produce rotur. or o tnto se puede decir que e cero posee myor resistenci mecánic que e cobre, entendiendo por t cpcidd de oponerse rotur ser sometido un soicitción eterior. En cunto s deformciones que eperimentn mbos mteries, tmbién se observ que son distints. Se m rigidez propiedd que present e mteri de oponerse s deformciones. Otro specto de grn importnci es estbiidd, entendiendo por t cpcidd de oposición de eemento grndes despzmientos y deformciones como resutdo de s crgs eteriores. E cácuo de estbiidd de piez nos permitirá conocer su cpcidd de conservr s forms de equiibrio que dopt en estdo deformdo. Teniendo presentes s nteriores considerciones, podemos dr un definición más simpe ún que dd inicimente, y decir que Resistenci de teries es cienci que trt de cácuo de Resistenci ecánic, Rigidez y Estbiidd de s piezs de un estructur o máquin. En e presente ibro se estudirn principmente dos probems fundmentes: 1. robem de dimensionmiento. Conocido e sistem de crgs que soicit un piez de un estructur o máquin, ccur sus dimensiones pr que piez resist y s deformciones que se originn no sobrepsen unos vores ímites fijdos de ntemno.. robem de comprobción. Conocid soicitción eterior y termindo e dimensionmiento de un piez, comprobr su resistenci y ccur s deformciones. L Resistenci de teries tiene importntes picciones en tods s rms de ingenierí. Sus métodos os utiizn os ingenieros eronáuticos y nves pr e diseño y construcción de viones y brcos, respectivmente; os ingenieros civies, proyectr puentes, press y cuquier tipo de estructur; os ingenieros de mins, pr resover necesidd de conocimientos de construcción que eige su profesión; os ingenieros mecánicos y eectromecánicos. pr e proyecto y construcción de mquinri y todo tipo de construcciones mecánics, como son os recipientes, presión; os ingenieros energéticos, pr proyectr os diferentes componentes de un.rector; os ingenieros metúrgicos, por necesidd que tienen de conocimiento de os mteries ctues pr búsqued de nuevos mteries: os ingenieros eéctricos, pr e proyecto de máquins y equipos eéctricos, y, en fin, os ingenieros químicos, pr e diseño de instciones en industris de su especiidd.

5 1. Concepto de Sóido Eástico L Estátic y ecánic Teóric considern indeformbes os cuerpos mteries, y se encuentren en estdo de movimiento o de reposo. Ls concusiones que se obtienen con est suposición son en grn número de csos buens proimciones de o que remente ocurre. ero pr determinr resistenci de un piez y sus deformciones se deben nizr os cuerpos como deformbes. Según o indicdo se pueden considerr os sóidos como: Sóido rígido, b Sóido eástico y c Sóido verddero. Sóido rígido.- Es que que se supone indeformbe y que nte cuquier crg (por grnde que se que está sometido, distnci entre dos moécus cuesquier permnece invribe. b Sóido eástico.- Es que que nte un tensión eterior se deform y recuper su form origin cesr cus eterior. os sóidos eásticos se es supone un serie de cuiddes como son s de isotropí, homogeneidd y continuidd. Un cuerpo es isótropo cundo sus propieddes físics no dependen de dirección en que se hn medido en dicho cuerpo. E sóido es homogéneo si tod región de mismo posee idéntic composición y crcterístics que otr cuquier. Finmente e cuerpo es continuo si no eisten huecos entre prtícus ni, por consiguiente, distncis intersticies. c Soido verddero.- Ls propieddes de isotropí, homogeneidd y continuidd no concurren en ningún mteri, y se ntur o ebordo por e hombre: no es posibe que se dé un grdo de esticidd ectmente igu en tods s direcciones debido distribución de sus átomos o moécus en redes cristins ordendmente dispuests. Tmpoco eiste en reidd homogeneidd perfect, sí como sbemos por s teorís moderns de mteri que ést no es continu y que eisten espcios vcíos entre s moécus y entre os mismos átomos que componen. or o tnto en gunos mteries como mder y e hormigo e cuerpo no puede ser nizdo como Soido Eástico y debe ser nizdo como soido verddero. Entonces sóido verddero es que que resut de considerro como deformbe nte s crgs que está sometido y fto de isotropí, homogeneidd y continuidd E considerr os sóidos continuo es muy cómod, pues permite dmitir, cundo eiste un deformción debid picción de un fuerz uns moécus de sóido, que e tensión es bsorbido en prte por s moécus próims y de est form qued reprtido de form continu y pt pr e cácuo. Los mteries que nos refirmos en o sucesivo os considerremos como sóidos eásticos. Quiere eo decir que si microscópicmente no son cierts s hipótesis que se o hcen, sí o son mcroscópicmente, pues os resutdos que se obtienen quedn snciondos por eperienci. ún podremos en muchos csos, por ejempo, cundo fte homogeneidd en un sóido, considerr eistenci de vrios sóidos eásticos dentro de sóido ddo, cd uno de os cues estrá concretdo por zons que posen perfect homogeneidd, y picres s considerciones teórics que hgmos pr os sóidos eásticos en gener. 1. odeo teórico de sóido utiizdo en Resistenci de teries. (rism mecánico Con objeto de estudir os sóidos eásticos se cre un modeo teórico que se denomin prism mecánico, que desde e punto de vist físico pose s propieddes de isotropí, homogeneidd y continuidd y que se define tendiendo un criterio mermente geométrico.

6 Se m prism mecánico sóido engendrdo por un sección pn S de áre cuyo centro de grvedd G describe un curv md íne medi o directriz, siendo e pno que contiene S norm curv. L myorí de s piezs pueden considerrse como uno de os siguientes tipos de prisms: rr. Se m sí prism mecánico cuys dimensiones de sección trnsvers son pequeñs, en comprción con ongitud de íne medi. ertenecen este tipo os eementos de estructurs y os cbes, por ejempo. Este es tipo de prism mecánico más usdo. dicionmente myor prte de brrs son pnos, es decir con íne medi contenid en un pno, siendo éste, demás, pno de simetrí de prism. En estructurs de hormigón rmdo se empen sección trnsvers rectngur y cudrd, mientrs que en estructurs metáics secciones muy usues son e perfi mindo dobe te I en vigs, o dos secciones en U sodds en pires. Fig. 1 rr b c. Es un cuerpo imitdo por dos pnos, cuyo espesor es pequeño en comprción con s otrs dos dimensiones. Fig. c ertenecen este tipo s oss que se fbricn pr tpr depósitos subterráneos, s; como s pcs utiizds como forjdos en s edificciones. c Cscr. Es un cuerpo imitdo por dos superficies no pns, cuy distnci es pequeñ en comprción con s otrs dos dimensiones (Fig Fig. Cscr Son de este tipo os depósitos, como os tnques de gu, sios, gsómetros, etc., sí como s tuberís de grn diámetro y, en gener, s estructurs minres. En os útimos tipos, es decir, en pcs y cscrs, en vez de íne medi se utiiz superficie medi, que se define como constituid por os puntos que dividen e espesor en dos prtes igues.

7 1. rincipios generes de Resistenci de teries Como se mencionó nteriormente Resistenci de teries requiere hipótesis simpifictivs, en e presente teto se sumen s siguientes hipótesis: Los mteries se considern continuos.- L myorí de os mteries cumpe con est hipótesis un cundo eistn poros o se considere discontinuidd de estructur de mteri, compuest por átomos que no están en contcto rígido entre sí, y que eisten espcios entre eos y fuerzs que os mntienen vincudos, formndo un red ordend. b Los mteries se considern homogéneos.- Con est hipótesis se considern s propieddes idéntics en todos os puntos. c Los mteries se considern isótropos.- Con est hipótesis se considern s propieddes idéntics en tods s direcciones. Los metes son mteries homogéneos e isótropos y mder, e hormigón y piedr no o son. d Ls fuerzs interiores que preceden s crgs son nus.- Ls fuerzs interiores entre s prtícus de mteri se oponen cmbio de form y dimensiones de cuerpo sometido crgs. hbr de fuerzs interiores no considermos s fuerzs moecures que eisten en un sóido no sometido crgs. e Es váido e principio de superposición de efectos.- Debido que s deformciones de os cuerpos son pequeños en comprción con s dimensiones de mismo, s ecuciones de equiibrio correspondiente un cuerpo crgdo pueden pnterse sobre su configurción inici, es decir, sin deformciones, y que s deformciones son proporciones s crgs. f Es picbe e principio de Sint Vennt.- Según este principio s fuerzs interiores en os puntos de un sóido, situdos ejos de os ugres de picción de s crgs no dependen de modo de picción de s misms, por o que se puede sustituir un sistem de fuerzs por otro equivente 1.5 Tipos de Crgs eteriores sobre un prism mecánico Ls crgs eteriores sobre un piez están constituids por s crgs directmente picds y s recciones debids os poyos. Ls crgs se csificn en: Fuerzs de voumen y fuerzs de superficie.- Ls primers ctún sobre todos os puntos de sóido y se deben cmpos de fuerzs tes como e cmpo grvittorio, e cmpo de fuerzs de inerci, o e cmpo mgnético. Ls fuerzs de superficie son s que se picn superficie eterior de prism. ueden ser concentrds o reprtids. b Crgs concentrds y distribuids.- Ls crgs concentrds son ques que se picn en un punto mientrs que s crgs distribuids s que están picds en porciones de áre o voumen, En nturez no eisten fuerzs concentrds sino soo distribuids sin embrgo cundo e áre o voumen de picción son pequeños s crgs pueden considerrse como concentrds. Ls crgs distribuids pueden ser de superficie (presión de viento o de gu sobre un pred o de voumen (peso propio. c Crgs estátics y dinámics.- Ls crgs cuy mgnitud, punto de picción y dirección no vrín o o hcen muy entmente, se mn crgs estátics misms que no provocn vibrciones de s estructurs o eementos, mientrs que s crgs que vrín con e tiempo se mn crgs dinámics y son s que provocn vibrciones

8 Si vrición de crg es de crácter periódico, es decir, que os vores máimos de crg se repiten cd determindo intervo de tiempo s crgs se denominn crgs de régimen estbe o crgs de repetición periódic. L resistenci pr crgs estbes se niz en e presente ibro pero no pr crgs de régimen no estbe. 1.6 Equiibrio estático y equiibrio eástico r que un sóido rígido se encuentre en equiibrio es necesrio y suficiente que se verifiquen: 1 Que sum de s fuerzs que ctún sobre e sóido se igu cero, o o que es o mismo, que resutnte se nu. Est condición segur que e sóido no teng despzmientos. Que e momento resutnte de tods s fuerzs respecto de cuquier punto se igu cero. Est condición segur que e sóido no eperimente giros. En un Sóido Eástico ests condiciones son necesris pero no suficientes, y que si suponemos reizdo en e sóido un corte ide y prescindimos de un de s prtes, es necesrio que e sistem de fuerzs interiores en os puntos de sección ide se equivente sistem de fuerzs que ctún sobre prte eimind. sí, pr e equiibrio en un sóido eástico no sóo se requieren s condiciones de equiibrio estático, sino tmbién que eist equiibrio entre s fuerzs eteriores y s interns en cd un de s infinits secciones. Est útim condición es crcterístic de equiibrio eástico: es necesrio que s fuerzs eteriores que ctún sobre e sóido sen contrrrestds por s fuerzs interiores de cohesión moecur. 1.7 Tipos de Soicitción Considérese un cuerpo en equiibrio sometido cción de fuerzs y momentos eternos, en cuquier sección intern precen un fuerz y un momento resutntes internos que equiibrn s crgs eterns. Los vores de fuerz y e omento internos se hn genermente con s ecuciones de estátic 1 1 Fuerz Intern omento Interno n n 1 Fig. Fuerz y omento Internos L fuerz y e momento internos pueden descomponerse en componentes pres y normes sección. De náisis individu de ests componentes definen os diferentes tipos de crg. sí Fuerz Norm produce crgs Normes de Trcción Compresión, Fuerz Tngenci produce crgs de Corte, e omento Norm produce crgs de Torsión y e omento Tngenci produce crgs de Feión.

9 Trcción Compresión.- Un cuerpo está sometido Soicitción de Trcción o Compresión, cundo sobre é se piquen fuerzs pres eje centroid y perpendicures sección trnsvers. Dependiendo si crg tiende estirr o comprimir piez, crg será de trcción o compresión. Fig. 5 Trcción b Corte.- Un cuerpo está sometido Soicitción de Corte cundo sobre é se piquen fuerzs perpendicures eje centroid y pres sección trnsvers. Fig. 6 Corte c Torsión.- Un cuerpo está sometido Soicitción de Torsión cundo sobre é se picn omentos preos eje centroid y perpendicures sección trnsvers. Fig. 7 Torsión d Feión.- Un cuerpo está sometido Soicitción de Feión cundo sobre é se picn Fuerzs y omentos perpendicures su eje centroid y preos sección trnsvers.

10 Fig. 8 Feión e Crgs Combinds.- Los cuerpos y eementos en condiciones rees presentn combinciones de os nteriores tipos de crg. En e presente teto inicimente se nizn os tipos de crg de form individu y su combinción se niz posteriormente 1.8 Determinción de s Crgs Interns (étodo de s Secciones En un cuerpo sometido fuerzs y momentos, pr hr s crgs interns por e método de corte o secciones se imgin un pno imginrio que seccione o divid e cuerpo en dos prtes. r que cd prte este en equiibrio, en superficie de corte de cd un de s prtes por intercción que ejerce otr deben ctur un fuerz y un momento internos que equiibrn s crgs eteriores, que ctún sobre prte seprd. Los vores de Fuerz y e omento internos se pueden hr genermente con s ecuciones de estátic 1 1 Fuerz Intern om ento Interno n n 1 Fig. 9 Fuerz y omento Internos L fuerz y e momento internos tienen componentes tngenci y norm sección. L componente norm de fuerz sección N produce trcción, componente tngenci de fuerz sección Q produce corte, componente norm de momento sección t produce torsión y componente tngenci de momento sección f produce feión. Frecuentemente s fuerzs eteriores se encuentrn en un mismo pno, os momentos eteriores perpendicures este pno y no eisten momentos de torsión t Fig. 10 Configurción Frecuente

11 1.9 Tensiones o Tensiones náisis oecur Considérese un brr sometid cción de dos fuerzs igues, opuests y coinees en sus etremos. Se verific e equiibrio: - = 0 Fig. 11 Fuerzs en s oécus Reizndo un náisis moecur, fuerz etern se distribuye en pequeñs fuerzs tirndo de cd moécu, que trtn de seprr de sus vecins, sin embrgo trcción entre moécus opone resistenci con un fuerz igu y contrri, o que finmente impide que s moécus se ejen entre sí. Tomndo un pr de es se verific que: -i Fi - Fi i (1.1 Donde i es cción sobre cd moécu generd por s fuerzs y Fi rección que opone e mteri generd por trcción moecur (o tómic. umentndo ument rección Fi, que podrá crecer hst un determindo ímite, más á de cu s moécus se seprn irremedibemente, y como consecuenci brr se deform permnentemente o se sepr. b ipótesis de Nvier Según est hipótesis os sóidos homogéneos se imginn como un sucesión de innumerbes secciones trnsverses pres entre si y perpendicures su eje ongitudin (simir nipes pegdos entre sí. Cd sección es tn degd como e diámetro de un átomo y os átomos están ordendos según un rrego mtrici Fig. 1.1 ipótesis de Nvier Entonces : i n (1. y i Fuerzs etern e intern sobre cd átomo n e número de átomos que hy en sección trnsvers.

12 c Vector Tensión Considérese un cuerpo sometido crgs eteriores, si e mismo es cortdo idemente en dos prtes y por medio de un pno π y se suprime un de s prtes, por ejempo, de condición de equiibrio eástico se concuye que en tod sección S prece un distribución continu de fuerzs Fig. 1.1 Vector Tensión Si df es fuerz resutnte en un punto, se define como tensión en e punto : Esfuerzo t im ds0 Fuerz re f df S ds F (1. (1. E tensión o tensión es un vector coine con df. e Tipos de Tensiones o Tensiones E vector tensión puede descomponerse en un componente norm pno ( que recibe e nombre de tensión norm y en un componente pre pno ( que recibe e nombre de tensión tngenci o cortnte. mbs tensiones se denomin componentes intrínsecs de vector tensión. Fig. 1.1 Tensiones Normes y Cortntes L tensión norm provoc que s prtícus que están en e pno ddo, tiendn seprrse o cercrse mientrs que s tensiones tngencies provocn e desizmiento de s prtícus de mteri, en e pno de sección en cuestión.

13 Los mteries no tienen un determind resistenci s fuerzs y momentos, y que e depende de s dimensiones, pero sí tienen determinds resistencis s tensiones normes y cortntes En s crs de un eemento diferenci cúbico cturán en e cso gener s tensiones de figur f Densidd de Tensiones Fig Estdo tension Fig Densidd de Tensión Cundo un brr de sección vribe se somete crgs de trcción F, en cuquier sección trnsvers prece un fuerz intern F que equiibr etern que se distribuye en tensiones normes. Sin embrgo mgnitud de estos tensiones es vribe debido vrición de áre. Estos tensiones son myores donde s secciones normes son s menores y vicevers. Dibujndo ínes equidistntes de periferi se puede precir que es tienen myor concentrción o densidd donde e áre es menor. L mgnitud de s tensiones es proporcion concentrción de ínes equidistntes. Este fenómeno es simir veocidd que dquiere un fuido en un tuberí por o que tmbién es conocido por fujo de tensiones. g Concentrdores de tensión Fig Concentrción de Tensiones Los cmbios o vriciones de s secciones trnsverses de un piez y especimente s vriciones bruscs, resutn en mgnificción de s tensiones efecto conocido como Concentrción de Tensiones.

14 Ls hendidurs, gujeros y cmbios de sección bruscos son Concentrdores de Tensiones. Se h podido verificr que por ejempo un gujero circur en un pc pn increment s tensiones hst tres veces Deformción Consideremos dos puntos y Q en un sóido eástico en estdo neutro, sin crg, es decir, no sometido soicitción gun Fig Deformción picds s crgs eterns hy deformción y os dos puntos psn s posiciones ' y Q'. Se definen como deformción tot y unitri vrición de distnci entre estos dos puntos y vrición sobre distnci origin, respectivmente ' Q ' ' Q ' dr ' dr (1.5 ' Q' Q Q dr ' dr dr (1.6 Los sóidos, bjo cción de crgs eterns se deformn y cmbin sus dimensiones o form, cmbio de dimensión se e denomin deformción ine y cmbio de form deformción ngur. Deformción provocd por Crgs de ies Fig Deformción por Crgs ies Un brr sometid crgs ies demás de eperimentr un deformción en dirección de i tmbién present otr deformción en dirección trnsvers. Ls crgs de trcción provocn rgmiento en dirección i y degzmiento en dirección trnsvers, mientrs que s crgs de compresión provocn cortmiento en dirección i y ensnchmiento en dirección trnsvers. Ls deformciones se cuntificn con: δ = f - o Deformción ongitudin (1.7

15 ε = (f o/o Deformción ongitudin unitri (1.8 δq = df - do Deformción trnsvers (1.9 εq = (df do/do Deformción trnsvers unitri (1.10 Donde f, o, df y do son s ongitudes y diámetros fin e inici b Deformción provocd por Crgs de Corte Ls cuerpos sometidos crgs de corte no presentn deformciones significtivs (no se verific cmbio de dimensiones pero si presentn distorsión (se verific cmbio de form. L deformción se cuntific con: Fig. 1.0 Distorsión por Crgs de Corte γ nguo de incinción de s crs c Deformción provocd por Crgs de Torsión Ls brrs sometids crgs de torsión no presentn deformciones ongitudines sino rotciones o deformciones ngures entre secciones. Ls secciones trnsverses girn un respecto otr. L deformción se cuntific con: Fig. 1.1 Deformción por Crgs de Torsión φ nguo de rotción entre secciones de os etremos de brr d Deformción provocd por Crgs de Feión Los cuerpos genermente rectos sometidos crgs de Feión se vueven curvos por o que presentn deformciones inees y ngures.

16 Ls deformciones se cuntificn con: Fig. 1. Deformción por Crgs de Feión ô θ Deformción ine Deformción ngur 1.11 Digrm Tensión y Deformción L deformción depende de s crgs eterns y consecuentemente de s tensiones y de fuerzs de trcción moecur, es decir, de estructur intern de mteri. r obtener reción entre tensiones y deformciones se procede por ví eperiment medinte ensyos reizdos en e bortorio, en donde se comprueb, en efecto, que pr dos piezs de distintos mteries, de igues dimensiones y sometids mismo estdo de crgs, s deformciones son distints. E ensyo más simpe que se hce es e de trcción. En este ensyo sometiendo un piez de dimensiones normizds md probet un crg de trcción que se ument grdumente hst rotur. En probet se reizn previmente dos mrcs, que determinn un ongitud denomind distnci entre puntos, sobre s que se efectú, por medio de un etensómetro, medid de os rgmientos. Si es sección de probet y fuerz picd en sus etremos en dirección i, fuerz origin en e interior de mteri un estdo de tensiones que se supone constnte. (1.11 L probet, debido tensión, se rg. L deformd unitri ongitudin es: f o o (1.1 umentndo progresivmente e vor de, midiendo ε y evndo os vores un gráfico, se obtiene pr e cero duce e digrm tensión-deformción simir de figur

17 Fig. 1. Digrm ζ - ε En este digrm pueden distinguirse cierts zons con determinds crcterístics: eríodo eástico.- Este período qued deimitdo por tensión Se (ímite de esticidd. E ímite de esticidd se crcteriz porque, hst egr mismo, e mteri se comport eásticmente, es decir que producid descrg, probet recuper su ongitud inici. En práctic, este ímite se consider como t cundo en descrg qued un deformción especific remnente igu %. Este período comprende dos zons: primer, hst e Sp (ímite de proporcionidd, dónde e mteri verific ey de ooke. L segund zon entre Sp y Se, si bien es eástic, no mnifiest proporcionidd entre tensiones y deformciones. En primer zon: d E d (1.1 En segund zon d d f ( (1.1 En gener, os ímites de proporcionidd y de esticidd difieren muy poco entre sí. b eríodo esto-pástico.- r tensiones superiores ímite eástico, piez no recobr su dimensión origin y deformción es permnente corde con crg picd. medid que ument soicitción, gráfic disminuye e vor de su tngente, tendiendo nurse en e trmo fin de período, cu se eg con un vor de tensión que se indic como Sy (tensión de fuenci. c eríodo pástico (fuenci.- Un vez rribdo vor de tensión Sy (ímite de fuenci, e mteri fuye, umentn s deformciones sin que eiste umento de tensión. E fenómeno no es tn simpe, y que tensión osci entre dos vores cercnos entre sí, denomindos ímites de fuenci superior e inferior, respectivmente. L tensión de proporcionidd es proimdmente 80% de fuenci

18 Fig. 1. Línes de Chernov - Lüders Los eperimentos demuestrn que durnte fuenci se producen desizmientos retivos entre os cristes y en superficie de probet precen s mds ínes de Chernov - Lüders, que formn con e eje de mism un ánguo de 5º. d eríodo de endurecimiento y de estricción.- Luego de fuenci hy un recomodmiento cristográfico y e mteri se endurece e increment su resistenci, es decir, dmite un incremento de crg. En este período s deformciones son muy pronuncids. L tensión ument hst cnzr un vor máimo, denomindo tensión de rotur, prtir de cu tensión disminuye hst que cnz un determind deformción de rotur, produciéndose rotur físic. L tensión Sut no es en reidd máim tensión que se origin en probet sometid crg. En efecto, cnzdo e vor de deformción específic correspondiente Sut, comienz mnifestrse en probet un fenómeno denomindo estricción. Fig. 1.5 Fenómeno de estricción L estricción es reducción de un sección centr de piez, mism que hce que s tensiones umenten y que, en reidd, e digrm efectivo en ugr de presentr su concvidd hci bjo muestr un punto de infeión en s vecinddes de Sut y cmbi su curvtur presentndo un rm creciente hst cnzr deformción de rotur. Entonces e digrm que nterior suee denominrse digrm convencion, y que os cácuos de s tensiones se reizn siempre sobre bse de suponer sección trnsvers constnte, con áre igu inici. L estricción se mide por e coeficiente de estricción ter con siguiente epresión: i f f (1.15 Dónde: i y f áre inici y fin respectivmente En os ceros comunes φ 50 %

19 Fig. 1.6 Digrm ζ - ε efectivo y convencion r tensiones myores fuenci como en gráfic piez present deformciones permnentes. Cundo se quit crg s tensiones y deformciones desprecen trvés de un rect pre de período eástico. Si probet vueve crgrse curv eg punto N, pero con un nuevo recorrido donde y no eiste e período de fuenci y zon rect se proong hst un vor ζ' p > ζ p. Fig. 1.7 Endurecimiento mecánico de cero duce Este fenómeno se denomin endurecimiento mecánico o por trbjo en frío, y tmbién puede ogrrse por mindo en frío, trefido o torsión. E trefido se utiiz pr endurecer mbres o brrs circures fins, y e torsiondo especimente pr brrs redonds (en gener, con conformciones superficies, pr hormigón rmdo. r ceros endurecidos mecánicmente o os de durez ntur, ogrdo por un myor contenido de crbono o medinte eciones especies, e digrm ζ - ε es distinto de que se vio. Ls crcterístics más importntes son s siguientes: - Sus ímites de proporcionidd y esticidd son más eevdos que os ceros comunes. - No poseen un ímite de fuenci definido ni tmpoco zons de escurrimiento pástico. - L deformción de rotur se reduce considerbemente. no eistir un ímite de fuenci definido, este se determin en form convencion como tensión pr cu deformción especific remnente cnzn 0. %.

20 Fig. 1.8 Límite Convencion de Fuenci 0,% Los mteries como e cero duce, que presentn un grn cpcidd de deformción ntes de cnzr rotur, se denominn dúcties. Se puede decir que estos mteries visn rotur físic, y que ntes de cnzrse mism s deformciones son tn grndes, que estructur eg f por este motivo. Los mteries como e cero duro, pr os cues rotur se produce bruscmente, sin grndes deformciones previs, se denominn frágies. e Esticidd y sticidd.- L propiedd que posee un mteri de vover prci o competmente su form inici un vez que desprece crg es o que se m esticidd. Si piez recuper competmente su ongitud inici, se dice que e mteri es perfectmente eástico sino prcimente eástico. Un mteri es perfectmente pástico cundo dejr de ctur crg que o deform mntiene su configurción deformd. En reidd ningún mteri es perfectmente eástico o pástico, pero e cero, uminio, gom, mder y e hormigón se considern perfectmente eásticos dentro de ciertos ímites. Otros mteries como rci y msi pueden considerrse como perfectmente pásticos. 1.1 Constntes Eástics E comportmiento ine eástico de os sóidos, permite definir s constntes eástics, óduo de Esticidd Longitudin (E.- Considérese un brr rect sometid trcción. L deformción unitri es : Fig. 1. rr de sección constnte sometid trcción

21 L L (1.16 En zon eástic, s tensiones son proporciones s deformciones Fig. 1. roporcionidd entre ζ ε en zon eástic Tg E E (1.17 (1.18 Ecución conocid como de ooke. L constnte E, se conoce como móduo de esticidd ongitudin o móduo de Young. Es más importnte de s cutro constntes eástics. b óduo de Esticidd Trnsvers (G.- Se un preepípedo fijo en su prte inferior y con un fuerz en su cr superior. Fig. 1.5 Distorsión provocd por tensiones cortntes L deformción se cuntificd por e ánguo y tensión tngenci o cortnte es: (1.19 L grfic entre - es simir vist nteriormente pr s tensiones normes.

22 Dentro de zon eástic, constnte que vincu tensión tngenci con deformción ngur, es md móduo de esticidd trnsvers o móduo de rigidez (G. - Tg G (1.0 Est es ecución de ooke pr tensiones cortntes. r e cero común Sy = 0,57 Sy c Coeficiente de oisson someter un brr un tensión i, demás de eperimentr deformción según dirección de fuerz, e cuerpo tmbién deform en dirección norm e. Ls deformciones unitris son: Fig. 1.7 Deformciones Longitudin y Trnsvers L L (1.1 q (1. Eperimentmente se h visto que mbs deformciones son proporciones ε q = ν ε (1.

23 ν se define como e coeficiente o móduo de oisson y su vor depende de mteri, En gener pr mteries isótropos, vrí entre 0,5 y 0,. En cuquier cso ν < 0,50 Vores de Constntes Eástics según e mteri teri E (Ton/cm² γ cero Cobre ronce ierro fundido uminio der (pre fibr ormigón mposterí de drio < 10 - Cucho Corcho -» 0.00 Los móduos de esticidd ongitudin y trnsvers están reciondos por: E = G ( 1 + ν (1. Donde ν es e coeficiente de oisson 1.1 Digrm Tensión Deformción pr otros mteries En figur 1.9 se presentn os digrms tensión deformción pr diferentes mteries. hor bien como se observ en figur 1.0, hy gunos mteries pr os cues se observ que e digrm ζ - ε es un curv continu sin trmos rectos, es decir, que prácticmente en ningún momento se verific ey ooke. Un ejempo cásico es e hormigón, donde interes curv ζ - ε en compresión. t. Frági cero de t Cidd t. Dúcti cero Corriente cero edi Cidd Fig. 1.9 Digrms Tensión Deformción

24 En estos csos no puede hbrse de un móduo de esticidd único. Cbe distinguir tres vores de móduo de esticidd: Fig. 1.0 óduos Tngentes y Secntes óduo origen.- Es e vor origen E = tg α (1.5 b óduo Instntáneo.- Su vor o d pendiente curv ζ - ε en cd punto: E d tg( o d (1.6 c óduo Secnte.- Su vor viene ddo por tngente trigonométric de ánguo α1. r estos mteries, ch, propuso como reción entre ζ - ε un ey de tipo eponenci que ev su nombre: ζ k = E e (1.7 e coeficiente k depende de mteri (vor medio, y que depende de muchs vribes: teri Coeficiente k ormigón k = 1,15 Cobre k = 1,10 Ltón k = 1,085 Cuero k = 0,70 Fig. 1.1 Digrms no inees ζ - ε En e cso que k = 1, 0 se obtiene ey de ooke. Ciertos mteries presentn un comportmiento diferente en compresión que trcción, t es e cso de hormigón.

25 1.1 Digrms Idees Los digrms que se vieron veces son reempzdos por digrms ideizdos por rndt, resumiendo s crcterístics fundmentes de os tres tipos de mteries. E digrm ide correspondiente un mteri dúcti se compone de dos trmos rectos: uno incindo, correspondiente período eástico; e otro horizont, mteriizndo e período de fuenci. E período de endurecimiento no interes porque deformción fin de fuenci es tn significtiv que e mteri está en f ntes de egr rotur. Fig. 1. Digrms idees mteri dúcti b mteri frági c mteri pástico En os mteries frágies e ímite de proporcionidd es próimo tensión de rotur, prescindiéndose de trmo curvo y en mteries pásticos e digrm es un rect horizont, o que signific que sometidos un crg, se deformn indefinidmente sin incremento de tensión Coeficiente de Seguridd, Tensión dmisibe y Crg dmisibe No hy seguridd bsout y s piezs están menzds por incertidumbres. Eisten numeross cuss de incertidumbres: Ls hipótesis de crgs, s hipótesis de cácuo, os errores de cácuos, os defectos de mteri, os errores de s dimensiones, os errores de ejecución, etc. L f de un piez puede provocr pérdids económics y humns por o que se debe buscr máim seguridd. r evitr f, tensión máim en un piez no debe superr un vor ímite. r mteries dúcties e vor ímite es e ímite de fuenci y pr de mteries frágies es e ímite de resistenci o tensión de rotur S dm = S y / r mteries dúcties (1.8 S dm = S ut / r mteries frágies (1.9 Donde es e coeficiente de seguridd. L eección de coeficiente de seguridd es compej pero disposiciones regmentris que trtn sobre construcciones de cero; indicn vores que vrín entre 1.5 y 1.60, pr estructurs de hormigón rmdo, os coeficientes de seguridd vrín entre 1,75 y,10 y en construcción de máquins e vor vrí, entre

26 1.16 Resistenci pr Crgs Estátics y Vribes Crgs Estátics.- Son ques cuy mgnitud no vrí con e tiempo, m min t Fig. 1.8 Crg Estátic Como se mencionó nteriormente, f frente crgs estátics se previene con : = E < S dm (1.0 = G < S dm (1.1 b Crgs Vribes.- Son ques cuy mgnitud vrí con e tiempo. Cundo vrición es de crácter periódico y os vores máimos de crg se repiten cd determindo intervo de tiempo s crgs se denominn de régimen estbe o de repetición periódic. En e presente ibro se niz resistenci soo pr crgs estbes m min t med m min Fig. 1.9 Crg vribe de régimen estbe Los dos csos más comunes de crgs vribes de régimen estbe son: - Crgs Intermitentes.- Son ques que precen y desprecen. Es decir que vrín periódicmente de un vor máimo cero. ( min = 0 m min t med m Fig. 1.0 Crg Intermitente - Crgs ternntes.- Son ques cuy mgnitud cmbi de un vor positivo mismo vor negtivo. ( m = - min

27 m t min med m min 0 Fig. 1.1 Crg ternnte Eisten vris teorís pr verificr f frente crgs vribes. En e presente ibro se desrrorá sóo teorí de Goodmn odificdo. S ut Esfuerzos áimos S y S e Esfuerzos edios 5º med Esfuerzos íni mos -S e Fig. 1. Digrm de Goodmn odificdo Según est teorí piez no f mientrs s tensiones se encuentrn dentro de región sombred. r construir e digrm se necesitn: E Limite de Rotur S ut, E Limite de Fuenci S y y e Limite de Resistenci ftig S e (cuyo vor proimdo es mitd de resistenci rotur. S e = S ut /. or cd un de ests tensiones se trz un íne horizont que intersecte un íne 5 grdos que constituye íne de Tensiones edis.

28 ROLES RESUELTOS 1.1. Se tiene dos cbes metáicos, e primero de uminio con un diámetro de 1 mm y e segundo de cero con un diámetro de 0.5 mm. Tomr S y = 8 p (88.8 Kg/cm² y S y c = 8 p (6.8 Kg/cm². Se pide hr crg máim que pueden soportr mbos cbes y cuá es e de myor resistenci Cbe 0.1 [cm] Cbe c 0.05 [cm] ( (b Soución: r evitr f = / < Sy Despejndo = d Sy / Reempzndo vores =.65 Kg c = 8.56 Kg E cbe de uminio es más resistente. 1.. Dos piezs y b con un ongitud inici de 10 cm y 100 cm, se deformn hst cnzr ongitudes fines de 11 cm y 105 cm respectivmente. Se pide ccur deformd tot y unitri Soución: = f = / = (f - / = 1 cm = 0.1 (10% b = 5 cm b = 0.05 (5% Nótese que: < b pero > b 1.. Si en e probem nterior os diámetros de mbs piezs es de 1 cm. Se pide ccur deformd tot y unitri trnsvers. Tomr = 0. Soución: q = - d f = q d + d

29 q = (% d f = 0.97 cm qb = (1.5% d fb = cm 1.. r e probem 1. se pide hr s tensiones os que están sometids s piezs si son de cero. Tomr E = Kg/cm² Soución: = E = 0.1 (10% b = 0.05 (5% Entonces = Kg/cm² b = Kg/cm² Ningún mteri soport estos tensiones. Ests deformds (10 y 5 % son imposibes Cuá es deformd máim que puede tener un cero ntes de fr. Tomr S y = 8 p (6.8 Kg/cm² y E = Kg/cm² Soución: < Sy = E < = Sy/ E = (0.% 1.6. Un crg de 100 Kg se pic dos piezs de uminio y cero con e mismo diámetro de 1 cm. Tomndo E cero = Kg/cm², E uminio = Kg/cm², S y cero = 8 p (6.8 Kg/cm² y S y uminio = 8 p (88.8 Kg/cm². Se pide hr : L reción de deformds y reción de fctores de seguridd. Soución: = / E = S y / cero = / = uminio cero / uminio = E uminio / E cero = 0.8 (.8 % cero / uminio = S ycero / S yuminio = 1,51 (151, % Estos resutdos muestrn primero que e cero se deform menos que e uminio y segundo que e cero resiste más que e uminio 1.7. r os móduos de esticidd corte pr os mteries de 1.nterior. Tomr = 0. E c = Kg/cm², E = Kg/cm² Soución:

30 G = E/[ ( 1 + ] G cero = 8, Kg/cm² G umino =,6 105 Kg/cm² 1.8. Construir e digrm de Goodmn odificdo pr un mteri con S y = 000 Kg/cm² S ut = 6000 Kg/cm² y S e = S ut / = 000 Kg/cm² Soución: S C E 5º D med (0,000 (6000,6000 C(000,000 E(0, En e nterior 1.hr s ecuciones de s tensiones máims, tensiones medios y tensiones mínims. Soución: (0,000 (6000,6000 C (000,000 E (0,-000 L ecución de rect conocidos dos puntos es r (, (y y1/( 1 = (y y1/( 1 (y 000/( - 0 = ( /( S m = /+000 pr S m < 000 Ls curvs de tensiones mínims vn de E y de C D (y 6000/( = ( /( S min = 1,5 000 pr min < 0 Cundo S min = 0 se h que = 000 y D = ( 000,0 (y 000/( = (0 000/( y = 000

31 S min = 000 pr min > r s tensiones dmisibes pr crg estátic, crg intermitente y crg ternnte de mteri de os probems 6 y 7 Soución: Crg estátic b Crg intermitente c Crg ternnte S = S y = 000 Kg/cm² S =. S m = /+000 y = 000 S = 000 Kg/cm² S = S e = 000 Kg/cm² r s crgs dds determinr en cd cso si hy o no f con e mteri de os probems 6 y 7 m = 500 Kg/cm² y min = 500 Kg/cm². m = 500 Kg/cm² y min = 500 Kg/cm². m = 500 Kg/cm² y min = 0 Kg/cm². m = 500 Kg/cm² y min = 1500 Kg/cm². Soución: med = ( m + min / med = 0 b med = 1500 Kg/cm² c med = 50 Kg/cm² d med = 000 Kg/cm² S C 000 5º D(0000,0 med -000 E med = 0 S m = 000 < m = 500 y f

32 b b m = 1500 Kg/cm² < 000 Kg/cm² y = /+000 S m = 750 > b m = 500 Kg/cm² No hy f b min = Kg/cm² < 0 y = 1,5 000 S min = < b min = -500 Kg/cm² No hy f c c m = 50 Kg/cm² < 000 Kg/cm² y = /+000 S m = 15 < b m = 500 Kg/cm² y f d d m = 000 Kg/cm² < 000 Kg/cm² y = /+000 S m = 500 < b m = 500 Kg/cm² No hy f d min = 000 Kg/cm² > 0 y = 000 S min = 000 > b min = 1500 Kg/cm² Si hy f 1.1. r s ecuciones genérics de s tensiones máims, medios y mínimos. S S ut S y C S e -S e E 5º D med (0,0.5*S ut (S ut,s ut C(S y,s y D(Descon,0 E(0,0.5*S ut L ecución de rect conocidos dos puntos es (y y1/( 1 = (y y1/( 1 L curv de tensiones máims v de (y 0.5 Sut/( - 0 = (Sut 0.5 Sut/(Sut 0 S m = ( + S ut / pr S m < S y Ls curvs de tensiones mínims vn de E y de C D E (y S ut /( S ut = (-0.5 S ut S ut /(0 S ut S min = 1,5 0,5 S ut pr min < 0 CD Cundo S min = 0 se h que = S ut / y coordend de D ( S ut /, 0 (y S y /( S y = (0 S y /(S ut / S y y = ( S y ( S y /(S ut / S y + S y S min = ( S y ( S y /(S ut / S y + S y pr min > 0

33 ROLES ROUESTOS 1.1. Se pide hr crg que pueden evntr (resistenci dos cbes metáicos, e primero de uminio con un diámetro de mm y e segundo de cero con un diámetro de 1 mm. Tomr S y = 88.8 Kg/cm² y S y c = 6.8 Kg/cm² 1.1. Se pide hr resistenci de os cbes de 1.nterior, pr crgs ternnte e Intermitente Un crg de 100 Kg se pic un piez de cero con un diámetro de 1 cm y un ongitud de 100 cm. Se pide ccur s deformds ongitudin y trnsvers En e nterior 1.se pide ccur vrición de voumen debido deformción Que crg picd un piez ciíndric de cero con un diámetro de 1 cm y un ongitud de 100 cm produce un deformción de 0,1 mm Cuá es deformd máim que puede tener un uminio ntes de cnzr fuenci. Tomr Sy = 88.8 Kg/cm² y E = Kg/cm² Construir e digrm de Goodmn odificdo pr un mteri con Sy = 000 Kg/cm² Sut = 5000 Kg/cm² y Se = Sut/ = 500 Kg/cm² 1.0. En e nterior 1.hr s ecuciones de s tensiones máims, tensiones medios y tensiones mínims r s tensiones dmisibes pr crg estátic, crg intermitente y crg ternnte de mteri de os probems y r s crgs dds determinr en cd cso si hy o no f con e mteri de os probems, 5 y 6 m = 000 Kg/cm² y min = 000 Kg/cm². m = 000 Kg/cm² y min = 500 Kg/cm². m = 000 Kg/cm² y min = 0 Kg/cm². m = 000 Kg/cm² y min = 1500 Kg/cm². 1.. r s ecuciones genérics de s tensiones máims, tensiones medios y tensiones mínims.

34 ROIEDDES ECNICS teri Sy Sut E G Ksi Ksi Ksi G Ksi G uminun ys 01-T , uminun ys 01-T ,6 7, uminun ys 0-T ,6 7, uminun ys 6061-T , 7, uminun ys 7075-T , rss (Red, cod roed , rss (Red, nneed , ronze (cod roed , ronze (nneed , Cst iron (tension , Cst iron (compression , Concrete (compression , Copper (cod-drwn ,.5.5 te gss gnesium oy one (wrough, hot roed , Nicke oy , Nyon oyethyene Rubber (verge Stee.% C hrdened ,6 80. Stee.% C cod-roed ,6 80. Stee.% C hot-roed ,6 80. Stee.% C hot-roed ,6 80. Stee.8% C hot-roed ,6 80. Stee Stiness (cod-roed , Stee Stiness (het-treted , Stee, structur Stee ST Stee ST Stee ST Dougs Fir , Southern ine , Red Ok ,

35 Trcción y Compresión.1 Introducción Un eemento está sometido trcción o compresión cundo reizr un corte por cuquier sección rect no precen momentos internos, tmpoco fuerzs de corte y soo se verific un fuerz norm N en e centro de grvedd de sección, es decir, en tods s secciones rects de eemento se nun e tensión cortnte y os momentos torsor y fector. Dependiendo si crg tiende estirr o comprimir piez, crg será de trcción o compresión. Fig..1 Trcción Ejempos de eementos sometidos trcción compresión son: Los cbes metáicos, os rriostres, os eementos de s vigs rmds y eementos de s estructurs metáics. r videz de s ecuciones y resutdos de este cpítuo se sume vercidd de s siguientes condiciones: 1.- Se cumpe hipótesis de ernoui (Conservción de s secciones pns.- Los eementos tienen secciones trnsverses uniformes.- Los mteries son homogéneos.- Ls crgs están picds en os centros de grvedd de sección 5.- Los miembros sometidos compresión no son tn esbetos y no hy pndeo.. Digrms de Fuerzs Normes: Se denominn digrms de fuerzs normes os digrms que dn s fuerzs normes N en cd sección de un brr prismátic.

36 Fig.. Digrm de Fuerzs Normes. Trcción Compresión onoi Tensiones Considérese un brr prismátic sometid Trcción-Compresión. Fig..1 Tensiones en Trcción Compresión Reizndo un corte en brr por sección rect trnsvers, se observ que: n = / (.1 n = 0 (. L hipótesis de ernoui se comprueb eperimentmente observndo que en un brr sin crg en que se trzron ínes rects pres y perpendicures su eje ongitudin, con crg s ínes pres eje ongitudin se rgn por igu (L deformción ongitudin es constnte, Fig..1 ipótesis de ernoui Entonces si ε X = cte, de ey de ooke se concuye que como e áre es tmbién constnte, s tensiones resutn constntes. r un piez de sección vribe s tensiones vrín inversmente proporcionmente mgnitud de áre

37 Si en ugr de cortr brr por sección rect trnsvers, se cort por un sección incind en un ánguo α Fig.. Tensiones en un sección incind or equiibrio, fuerz etern gener un fuerz intern de igu mgnitud, sin embrgo est y no es perpendicur sección y se puede descomponer en un componente N perpendicur sección que producirá tensiones normes y en otr componente Q tngenci sección que producirá tensiones cortntes. Se tiene: De.,. y.6 De.,.5 y.6 N = Cos α (. Q = Sin α (. α = N/ α (.5 α = Q/ α (.6 N = α Cos α (.7 α = N/ α = Cos α /( N /Cos α = Cos α / N (.8 α = (/ N (1 + Cos α (.9 α = Q/ α = Sin α/( N /Cos α = Sin α Cos α / N (.10 α = (/ N Sin α (.11 Reempzndo α = 0 en.7 y.8, se verificn os resutdos obtenidos en.1 L ecución de un circunferenci es : Y se verific que ( o + (y yo = R (.1 ( α - / N + α = (/ N (.1

38 m / N m Fig.. Tensiones en un sección norm Entonces, reción entre s tensiones α y α puede se represent por un circunferenci con un rdio de / N y con centro despzdo horizontmente con e mismo vor de rdio. b Tensiones rincipes Se mn tensiones principes s tensiones máims. De.7,.8 y de gráfico r α = 0 m = N = / N min = 0 (.1 r α = 5 5 = / N m = / N (.15 r crgs de trcción y compresión en un dimensión s tensiones normes máimos ocurren en un sección trnsvers α = 0 y s tensiones cortntes máimos en un sección α = 5º. r prevenir f, mbos tensiones máims no deben eceder s fuencis. c Deformciones m = / N < S y (.16 m = / N < S y (.17 Un piez rect de sección constnte y ongitud crgd en sus etremos por un fuerz de trcción (compresión sufre un deformción L Fig..5 Deformción en un piez de sección constnte En zon eástic, deformd es proporcion crg y es váid ecución de ooke = / N = E (.18 y = z = 0 (.19 = /L (.0 y = z = - ν = - ν /E (.1

39 Entonces = L/E (. Resutdo váido pr piezs con sección constnte. r piezs con sección vribe se pic nterior ecución un eemento diferenci d donde e áre se puede considerr constnte. d f Fig..6 Deformción en un piez de sección vribe d = d/e (. d E 0 (. r un sección trnsvers constnte se obtienen os mismos resutdos de.17 d Crgs, Tensiones y Deformds debido eso ropio En objetos de grn tur como por ejempo edificios, torres y otros, e peso propio es un crg que tiene much importnci y debe ser tomd en cuent. E peso es un crg vribe y que nizndo un sección horizont un tur y, est soport e peso de porción de objeto que se encuentr encim de e. r entender mejor esto se present nogí de un torre humn de persons cd un con un peso de 75 Kg. En ést torre person de rrib no soport sobre sus hombros ningun crg, de medio soport 75 Kg. y de bjo soport 150 Kg. sobre sus hombros. dy W(y eso sobre "y " h y Fig..7 eso ropio r un eemento diferenci dy e áre de sección se consider constnte y su peso es dw = (y dy (.5 E peso de porción de piez que se encuentr sobre un sección un tur y es h W ( y ( y dy y (.6

40 Un error común es tomr e ímite inferior como cero, y que en este cso e peso ccudo es e de tod piez. Entonces se enftiz en que e ímite inferior de integr es y. L tensión en un sección un tur y es: W ( y ( y ( y h y ( y dy ( y (.7 L deformción ongitudin debido peso propio se h con ecución.19 reempzndo en e e peso como crg h 0 dy E h 0 h y ( y dydy E (.8 e Deformciones debido tempertur demás de s deformds debido s crgs eterns se presentn deformds origindos por cmbios de tempertur, conocids como ditciones y contrcciones. Los cmbios de tempertur originn un deformción ine uniforme en tods s direcciones, que se ccu por : f = + T (.9 Entonces t = T (.0 t = T (.1 es e coeficiente de ditción que es un vor específico de cd mteri. teri uminio. Fundición 10. Cobre 16.7 cero 11.7 ormigón 10.8 Ls deformd tot es por consiguiente sum de s deformds debido crgs eterns y deformd debido os cmbios de tempertur. tot = mec + t = /E + T (. Si deformción por cmbios de tempertur se restringe, provocn tensiones. r encontrr ests tensiones, se us nterior ecución escrit en otr form que se conoce como ey de ooke etendid o ey de Duhme Neumnn = E ( tot - T (. Cundo epnsión térmic de un sistem se restringe por ejempo ncndo un piez entre dos predes rígids, un pequeños cmbios de tempertur producen grndes tensiones térmicos. Esto se debe móduo de Young que pr myorí de os mteries usdos en Ingenierí es grnde

41 . Trcción Compresión ii Tensiones Considérese un eemento diferenci sometido simutánemente crgs de trcción compresión en dos direcciones Fig..8 Tensiones en Trcción Compresión ii En sección incind precen simutánemente tensiones normes y cortntes. or trigonometrí De estátic L Cos = dy (. L Sin = d (.5 F1 = 0 L dz - y d dz Sin - dy dz Cos = 0 (.6 - y Sin - Cos = 0 (.7 = y (1-Cos /+ (1+ Cos / (.8 = ( y + /+( - y (Cos / (.9 F = 0 L dz + y d dz Cos - dy dz Sin = 0 (.0 + y Sin Cos - Sin Sin = 0 (.1 = ( - y (Sin/ (. Ls ecuciones.6 y.9 dn s tensiones normes y cortntes pr un sección incind. Y que (Sin +( Cos = 1 (. Entonces [ -( + y /] + = [( - y /] (. Simir un dimensión, s ecuciones representn un circunferenci con despzmiento en de ( + y /, sin despzmiento en y rdio igu ( - y /. Est ecución no necesrimente ps por e origen

42 ( y / m ( - y / m b Tensiones rincipes Fig..9 Circuo de ohr en Trcción Compresión ii Ls tensiones máims o principes son: r = 0 m = min = 0 (.5 r = 90 m = y min = 0 (.6 r = 5 min = 0 m = ( - y / (.7 Un piez sometid trcción compresión en dos dimensiones tiene tensiones normes máims en os ejes y y, y tensiones cortntes máimos en secciones incinds = 5º. r que piez no fe, s tensiones máims no deben eceder os ímites de fuenci c Deformciones m < S y (.8 m < S y (.9 En figur se muestr un eemento sometido trcción compresión en dos dimensiones o bii Fig..10 Deformciones en Trcción Compresión ii Debido que s ecuciones son inees, se pic e principio de superposición, donde se hn primero s deformciones originds sóo por s crgs horizontes y uego s

43 deformciones originds sóo por s crgs vertices. Ls deformds totes se hn por superposición o combinción de mbos resutdos prcies. Considerndo inicimente sóo s tensiones horizontes = /E (.50 y = - q = - /E (.51 Considerndo hor sóo s tensiones vertices Superponiendo y = y /E (.5 = - q = - y /E (.5 t = /E - y /E = - y (.5 yt = y /E - /E = y - (.55.5 Tensiones en Recipientes de equeño Espesor Tensiones en Recipientes Ciíndricos de equeño Espesor Considerndo recipiente ciíndrico de rdio interior r y espesor de pred t, que contiene un fuido presión. Se vn determinr s tensiones ejercidos sobre un pequeño eemento de pred con dos respectivmente preos y perpendicures eje de ciindro. Debido simetrí i de recipiente y de su contenido, no se ejercen tensiones cortntes sobre e eemento. Figur.11 Recipiente ciíndrico Ls tensiones ζ 1 y ζ mostrdos en figur.11 son por tnto tensiones principes. E tensión ζ1 se conoce como tensión de costi y se present en os ros de os brries de mder. E tensión ζ es e tensión ongitudin. r determinr s tensiones de costi se retir un porción de recipiente y su contenido imitdo por e pno y y por dos pnos preos pno yz con un distnci Δ de seprción entre eos. Se cr que p es presión mnométric de fuido.

44 Figur.1 Trozo de ciindro Con ecución de equiibrio de fuerzs en z se h e tensión de costi: p (r Δ = ζ 1 Δ t (.56 ζ 1 = p r / t (.57 r hr e tensión ongitudin ζ como se muestr en figur.1 se hce un corte perpendicur eje y se consider, e cuerpo ibre, const de prte de recipiente y de su contenido izquierd de sección Figur.1 Corte de ciindro De sumtori de fuerzs en z, finmente se concuirí que: p (π r = ζ π r (.58 ζ = p r / ( t (.59 E tensión en costi es e dobe de tensión ongitudin b Tensiones en Recipientes Esféricos de equeño Espesor Debido presión interior p, un eemento diferenci y por simetrí de esfer estrá sometido s tensiones ζ uniformes

45 Fig..1 Tensiones en un Recipiente de red Degd Esférico L tensión ζ se h de un mner simir tensión ongitudin en ciindros De sumtori de fuerzs en, finmente se concuirí que: p (π r = ζ π r (.60 ζ = p r / ( t (.61.6 robems Estáticmente Indetermindos (iperestáticos Cundo en un brr o en un estructur e número de ecuciones de equiibrio es inferior número de incógnits, se dice que es un cso iperestático. Estos csos sueen drse cundo brr o estructur tiene poyos (igdurs de más. r resover pues un cso hiperestático no serán suficientes s Ecuciones de equiibrio y se buscrán pr compementrs Ecuciones de Deformción,

46 Esf Corte ROLES RESUELTOS.1. Un piez con un sección de 1 cm² está sometid un fuerz de trcción en un dimensión de 100 Kg. r s tensiones en secciones con ánguos de 0º hst 60º con un intervo de 10º. Soución: (Gr (Rd =(/n(1+cos =(/n(sin Esf Norm.. r s tensiones máims de.1. Soución: m = /N = 100/1 = 100 Kg/cm² m = /N = 100/ = 50 Kg/cm².. Un piez está sometid crgs de trcción compresión en dos dimensiones con = 90 Kg/cm² y y = -10 Kg/cm². r s tensiones pr ánguos desde 0º hst 60º con un intervo de 10º. Grficr os resutdos.

47 Esf Corte Soución: = (+y/ + (Gr (Rd (-y(cos / =(-y(sin / Esf Norm.. r s tensiones máims de probem.. Soución: = 0 m = = 90 Kg/cm² = 90 = 5 m = y = -10 Kg/cm² m = ( - y / = 105 Kg/cm².5. Un piez ciíndric de cero tiene = cm y rgo L = 100 cm está sometid un crg de 1000 Kg. Tomndo S y = 1800 Kg/cm² y S y = 960 Kg/cm² s se pide hr: Ls tensiones máims Ls tensiones 0o Ls deformds tot, unitri ongitudin y trnsvers Los coeficientes de seguridd Soución: = / = 7,07 Kg/cm² m = N = / N = = 11,7 Kg/cm² pr = 0o

48 m = / N = 70,7 Kg/cm² pr = 5o b = (/ N (1 + Cos 0 = 106,10 Kg/cm² = (/ N Sin 0 = 61,5 Kg/cm² c = /E = 6,7 10- cm = / = ( % q = - = -0, (-0,0 10 % q = q d = -60, cm d = S y / m = 1800/11,7 = 1,7 = S y / m = 960/70,7 = 1,57.6. Un piez de = cm de ncho por b = cm de to y c = 1 cm de profundidd está sometid un fuerz horizont de 100 Kg. y un vertic de 00 Kg. Se pide hr s dimensiones fines. Tomr = 0. 00[kg] 100[kg] b c Soución: = F /(b c =, Kg/cm² y = F y /( c = 100,00 Kg/cm² t = /E - y /E = 1, yt = y /E - /E =, f = + t =,00000 cm b f = b + b yt =,0001 cm.7. En pirámide truncd de áre trnsvers cudrd de figur. Se pide ccur: E peso prci sobre cuquier tur y b E tensión norm máimo

49 c L deformd tot 60[cm] dy SEC [cm] y 90[cm] Soución: b(y = (- 0/1000 y + 90 E peso sobre y es h h W ( y ( y dy 0 /1000y 90 dy y y /1000y 90 W ( y ( 0 b E tensión norm es máimo en bse ( y = 0 m 1000 ( m = 70.8 c L deformd 0 Wdy E y 90 dy E y dy E (0.8. En piez cónic truncd de figur, se pide hr deformción debid cción de fuerz y de peso propio.

50 y h dy D/ D SEC. - Soución: h E dy y W 0 ( 1 h y D d 1 h y D d dy y h y D dy y y y W ( ( ( 8 ( h yh y h y D y W h h h y D E dy h yh y h y D h y D E dy ( 8 1 D h( D E h.9. En e sistem de figur se piden s tensiones en os cbes. / (b (c ( (b (c b c Soución: Fy = 0 T + T b + T c = (i = 0 / T b T c = / - T b T c = 0 (ii E sistem es hiperestático y que son tres incógnits (T, Tb,Tc y sóo ecuciones. L tercer ecución se h nizndo s deformciones

51 ( - c / = ( b - c / T Tc E E c Tb Tc Eb E c T T c = (T b T c T T b + T c = 0 (iii De i, ii y iii T = - T b - T c = T b - T c T b = / T c = /1 T = 7/1.10. En e sistem de figur se piden s tensiones en os cbes b c O O' Soución: b = Sin = 0.5 b = c Sin = c Fy = 0 T Sin + T b +T c Sin = T T b + T c 0,866 = (I F = 0 T Cos = T c Cos T 0,866 = T c / (ii = 0 No eiste y que s fuerzs son concurrentes E sistem es hiperestático y que son tres incógnits (T, T b,t c y sóo ecuciones. De ecución de deformds O O O' O'

52 De gráfico = OO Sin (- = T / E (iii b = OO Sin (90- = T b b /E (iv c = OO Sin (+ = T c c /E (v De iii y iv T / Sin (- = T b b / Sin (90- (vi De iv y v T b b / Sin (90- = T c c / Sin (+ (vii 0.5 = b c 0,866 = b De vi T /(Sin Cos - Sin Cos = T b b / Cos T ( b /0.5/(Cos 0.5- Sin 0,866 = T b b / Cos T = 0.5T b ( Tn (T / 0.5T b = Tn Tn = [( 0.5T b - T / (0.5T b ]/0.866 (viii De vii T b b / Cos = T c c / SinCos+Sin Cos T b b / Cos = T c ( b /0.866/ (0.866Cos+Sin Tn = (T c /0.866 T b Tn = [(T c 0.866T b / (0.866 T b ]/0.5 (i De viii y i [( 0.5Tb - T / (0.5T b ] 0.5 = [(T c 0.866T b / (0.866 T b ] ( 0.5T b - T = (T c 0.866T b ( 0.5T b - T = (T c 0.866T b T b = T + T c ( Est útim es ecución de deformciones buscd. De y i T (T +T c + T c 0,866 = 1.5 T T c = 1.5 T (T = T = T c = T b = En e sistem de figur se piden hr s tensiones en os cbes y b. L brr horizont se supone rígid y rticud en pred

53 / ( (b T T b R / / R y / / Soución: Tn = (//(/ = 1 = 5º Tn = (// = 0.5 = 6,56 F = 0 R - TCos -T b Cos = 0 (i Fy = 0 R y + T Sin +T b Sin - = 0 (ii o = 0 - T Sin / -T b Sin + = 0 T T b 0.7 = (iii Son tres ecuciones con cutro incógnits R, Ry, T y Tb / ' ' b De grfico Cos = / b Cos = = Sin b = Sin = / Entonces = / Sin = / = b / Sin T /(E Sin = T b b / (E Sin T /( Cos Sin = T b / ( Cos Sin T / Sin ( = T b / Sin ( T / 1 = T b / 0.8 (iv

54 Que es curt ecución buscd, De donde T = 1.05 T b = r s tensiones en os cbes y b ( (b R T T b / R y / Soución: F = 0 R + T Sin 0 = 0 (i F y = 0 R y + T Cos 0 + T b - = 0 (ii o = 0 -T / -T b Sin 60 + Sin 60 / = 0 -T 0,5 -T b 0, , = 0 (iii E.es hiperestático con tres ecuciones y cutro incógnits R, Ry, T y Tb ( ' b ' b Cos 0 = = Sin 90 b = Sin 60 = / Entonces = / Sin 90 = / = b /( Sin 60 T /(E = T b b / (E Sin 60 T b Cos 0 = T b b / ( Sin 60 T 1,5 = T b (iv Resoviendo

55 T = 0,06 T b = 0,61.1. Se pide hr e diámetro de brr C. Tomr Sy = 1800 Kg/cm² 0 T C 0 60 C T C Cos Vist Lter Soución: Tn = 0/60 = 18. Tn = 15/60 = 1.0 Fy = 0 T C Sin = T C = Kg Trcción F = 0 T C Cos + T C Cos = 0 T C = Kg Compresión - ndeo nizndo soo brr C C = T C /( d C / < S y d C = 1.9 cm.1. En e sistem de figur se piden s recciones en y 0[cm] R b 0[cm] 60[cm] y R T 1 Soución: F y = 0 R b = R + (i E sistem es hiperestático con un ecución y dos incógnits R y Rb. Ls ecuciones de os círcuos respecto de sistem - y son +y = 0 + (y-0 = 15

56 os diámetros 1 = (0 -y 1/ = [15 -(y-0 ] 1/ éstos se igun un tur de (0 -y 1/ = [15 -(y-0] 1/ 0 -y = 15 - y + 80y 1600 y = 8, ec deformciones t = 1 + = E (0 R dy y 1/ R E dy y y (0 (0 R 1 (.6167 E , E (15 ( R dy ( y 0 ( R (.07 E 0 1/ ( R E 0 0 8, R ( R (.6167 (.07 E 60 E 0 1 R = R b = Se pide hr s recciones en s predes 1 1 dy y y 15 ( 0 15 ( R R R Soución: F = 0 R b + = R (i Los diámetros y deformds d 1 = -0 / d = 0 d = - 195

57 5 1 E 0 R dy dy R 5 0 / 5 60 E ( 0 / (5 R ( R 9, e 1 09 E R 0( R, 0e E ( R dy E 75 dy ( R 195 E ( 195( ( R ( ( R, e 6 E ( 60 0 L ec de deformds t = = R 9,09 E -7 +R,0 E -8 +(R -,6 E -9 = 0,001 R = 0.75 R b = r s tensiones en s brrs de sistem de figur 100 cm b T b 0 T T Soución F = 0 T Cos 0 = T Cos 0 No port F y = 0 T Sin 0 + T b = (i = 0 Ls fuerzs son concurrentes Se tiene un ecución y dos incógnits. De s deformciones b 0 O b O' b = OO

58 = OO Sin 0 b = /Sin 0 T b b /E = T /(E Sin 0 Sin 0 = b T b Sin 0 = T /Sin 0 T b = T / Sin 0 T b = T (ii De i y ii ( T b Sin 0 + T b = T = 0. T b = Tres brrs se encuentrn rticuds en pr soportr junts, un peso W como se indic en figur. E despzmiento horizont de punto est impedido por un vri cort horizont O que se supone infinitmente rígid, Determinr s epresiones pr ccur s tensiones en cd un de s brrs y fuerz tot sobre brr O. b Utiizndo s nteriores reciones determinr s tensiones sí: 1 = = = cm² = 0º; = 5º; W = 500 [ Kg]. L 1, 1,E 0 L,,E 0 L,,E 0 L W Soución. o = 0 ( T1 cos T ( T cos W 0 T1 cos T T cos W 0 L 1, 1,E 0 L,,E 0 L,,E 0 L (i demás cos 1 / W cos / (ii

59 1 Cos = = Cos (iv T 1 1 cos T T cos T (v T 1 cos cos W 1 cos 1 (vi T cos W cos 1 (vii T cos cos W cos 1 (viii demás y T 1 T T R W T sen T1 sen R 0 W (cos R sen cos cos sen cos 1 1 (i Con os dtos se h que: T 1 = Kg T = 18 Kg T = 6.01 Kg R = Kg.18. r deformción tot de brr de figur, considerndo e mteri cero con D = 10 cm, = 50 cm, E =.1106 Kg/cm² y = 000 Kg D/ D/ D / / /

60 / / / T E d E d E d 1 = - (compresión = - (compresión = (trcción 1 D D 1 D d 1 5 ( D d D ( D D D D D d 9 1 ( D d D ( D D D D d 0 ( D d D / / / n ED ED ED E d E d E d T Reempzndo T = - 0,0096 cm.19. En e sistem mostrdo en figur, se pide determinr s recciones que soportn s predes rígids por efecto de s crgs que se indicn. Considerr un sección rectngur de espesor constnte b y os siguientes dtos: L = 0cm; = 10 cm; h = /; E =.1106 Kg/cm² ; = 5000 Kg; b = 5 cm Soución: T E d E d E d E d / 5 /

61 1 b1 b / h b( ' b ' h sumiendo que e boque no eg chocr en e etremo izquierdo Reempzndo 1 = 0 = = = T 0 0d Eb1 d b E / 0 d b ( ' E / d b ( ' E T 0 0d Eb1 d b E / 0 d b ( ' E / d b ( ' E L 9 T ( n n cm Eb y que ést deformd es myor toernci indicd, hy contcto en pred izquierd y se debe tomr en cuent rección R1 sobre pred izquierd de poyo. Reccumos deformd con 1 = -R1 = - R1 = - R1 = - R1 demás deformción igu toernci dd ( = T 0 / R1d ( R1 d ( R1 d ( R1 d b b ( ' b ( ' Eb1 E 0 E / E T R ( n n 1 (n Eb Eb De donde R 1 = Kg demás R = + R 1

62 R R 1 De donde R = Kg.0. r un epresión pr determinr deformción que sufre un brr con sección vribe según un función cudrátic, como se ve en figur. d y D f( d y D d D Soución: t E d 0 vrición de diámetro en función de es cudrátic D pr = 0 D = d pr = D = D Resoviendo d d D D d d D 0 t d d D E d De donde ( 1 d D d d D rctg d D D D d E t.1. r un epresión pr determinr rección en cd uno de os poyos, de os eementos mostrdos en figur, origindos por un umento de tempertur T, considerndo como dtos:,,.

63 Cu / Soución: Suponiendo que deformción por ditción es myor hogur Cu L deformd en piez de cobre por tensiones es cu D 0 R d E cu ( 1 cu 0 E cu R d 1 cu 8R E cu En e uminio deformción es simir: 0 R d E D ( 1 0 E R d 1 8R E L deformción por vrición de tempertur: T cut T ( cu T demás cu T Reempzndo, obtenemos:

64 8R E cu 8R E ( T cu 8R * Ecu * * 8R * E * * * T cu De donde: 8R E cu 8R E ( T cu R E E E ( T cu cu cu E.. L piez mostrd en figur fue mquind con s dimensiones mostrds, si tempertur ument 10ºC, determinr s recciones que soportn os poyos uego de ditción, tomndo: = 0[cm]; D = 5[cm]; d = [cm]; cu = [1/ºC]; =.10-5[1/ºC]; Ecu = [ Kg/cm²]; E = 7105[ Kg/cm² Tº=5 ºC D Cu d Soución: L deformción debido ditción es: T cu T T ( cu T T 0( (10 5 T cm Y que deformd es myor hogur, hy contcto en pred derech. R T d D Cu R R 1 d E 0 E d cu cu

65 1 = R 1 = d/ = R 1 = D/ E diámetro es ine D = + de s condiciones de borde se obtiene que: D D d d D Reempzndo: Resoviendo: R 0 E Rd d E cu Rd D d d D R( DE de R Dd E E cu cu Reempzndo R( DE Dd E de E cu cu T Con os dtos R = Kg.. En siguiente figur determinr s tensiones que ocurren en cd uno de os mbres feibes, que soportn brr rígid, rticud en uno de sus etremos. (Considerr os dtos mostrdo en figur. E, 1, 1 E,, E,, Soución: Ls deformciones

66 1 b entonces / = b / ( 1 = Sin = b Sin = b Sin demás = 1 Cos = Cos = Cos reempzndo: 1 sen sen Ls deformds: 1sen sen 1sen sen T 1 E T E T E T T1 cos cos sen E E sen 1 sen cos T 1 T sen cos 1 T T1 cos cos sen E E sen 1 sen cos T1 T sen cos 1

67 De estátic T1 sen Tsen Tsen 0 sen cos K 1 T1 T T sen cos K sen cos K Donde K 1 sen cos sen cos sen cos.. Determinr deformción debido peso propio de boque mostrdo en figur. Siendo sección, circur y vribe con tur, de form prbóic, según e sistem de coordends, mostrdo. r y y y w y dy / y Soución: T w( y dy 0 E y ec. de prábo es o ( y y o ( o, yo (, 6 pr = / y = 0 ( y rr 6 E áre cuquier tur y es: ( y ( y r r 6 E peso por debjo de y es:

68 dy r y w y ( Reempzndo y simpificndo: ( y y y y y y w L deformd: dy y E y y y y y T ( simpificndo: 6n (17 90 E T

69 ROLES ROUESTOS.5. r tensión norm en un brr de sección circur sujet un crg de trcción de 100 Kg si su diámetro es de 1 cm..6. r s tensiones norm y cortnte pr un sección 0º en e nterior probem.7. Un piez está sometid tensiones de trcción compresión en dos dimensiones con = - 10 Kg/cm² y y = -150 Kg/cm². r s tensiones pr un sección que form un ánguo de 0º con horizont.8. r e círcuo de ohr y s tensiones máims en e nterior probem..9. Un piez de cero tiene sección cudrd de cm y un rgo de 900 cm y está sometid un crg de 1500 Kg. Se pide hr: Ls tensiones máims Ls tensiones 0o Ls deformds tot y unitri ongitudin y trnsvers Los coeficientes de seguridd S y = 1800 Kg/cm² y S y = 960 Kg/cm².0. Un piez de = cm de ncho por b = cm de to y c = cm de profundidd está sometid un fuerz horizont de 150 Kg. y un vertic de -00 Kg. Se pide hr s dimensiones fines. Tomr = 0. 00[kg] 150[kg] b c.1. En e sistem de figur sección trnsvers es circur y s dimensiones están en centímetros. Se pide hr: E peso prci sobre cuquier tur y b L tensión norm máim c L deformd tot

70 y En e sistem de figur se piden s tensiones en os cbes. ( (b (c (b ( /.. En e sistem de figur se piden s tensiones en os cbes ( (b (c.. r s tensiones en os cbes / ( (b (c (d (e /5 /5 /5 /5 /5.5. r s tensiones en os cbes

71 ( (b (c / /.6. Se pide hr e diámetro de brr C. Tomr Sy = 1800 Kg/cm² C.7. r deformción tot debido peso propio. Tomr s uniddes en cm r e sistem de figur se piden s recciones en y. Tomr s uniddes en cm Se pide hr s recciones en s predes. Tomr = 0.01 cm

72 Tres brrs se encuentrn rticuds en pr soportr junts, un peso W como se indic en figur. E despzmiento horizont de punto est impedido por un vri cort horizont O que se supone infinitmente rígid, Determinr s epresiones pr ccur s tensiones en cd un de s brrs y fuerz tot sobre brr O. b Utiizndo s nteriores reciones determinr s tensiones sí: 1 = = = cm² = 0º; = 5º; W = 500 Kg. / / / / /.1. r deformción tot de sistem de figur. Tomr E =.1106 Kg/cm² y = 000 Kg r deformd debido fuerz y e peso propio D h dy y D/.. En e sistem mostrdo en figur determinr s recciones que soportn s predes rígids por efecto de s crgs y un incremento de tempertur. Considerr un sección rectngur de espesor constnte b y os siguientes dtos:

73 L = 0cm; = 10 cm; h = /; E =.1106 Kg/cm² ; = 5000 Kg; b = 5 cm T = 90C / h - b.. r un epresión pr determinr deformción que sufre un brr con sección vribe según un función cúbic, como se ve en figur. y D d D D y d f( d.5. r un epresión pr determinr rección en cd uno de os poyos, de os eementos mostrdos en figur, debido vrición de tempertur T, considerndo como dtos:,,. T / Cu.6. Si tempertur ument 10 º C, determinr s recciones que soportn os poyos uego de ditción, tomndo: = 0 cm; D = 5 cm; d = cm; cu = (1/ºC; =.10-5 (1/ºC; E cu = [ Kg/cm²]; E = [ Kg/cm² T d Cu D cm.7. r s tensiones en e sistem de figur. Cundo s deformciones demás de crg provienen de un incremento de tempertur T

74 E, 1, 1 E,, E,,.8. Determinr vrición que debe tener sección circur de eemento de figur, de modo que s tensiones debido peso propio sen constntes. r y y dy w y y.9. L brr mciz mostrd en figur, const de un trmo troncocónico y otro ciíndrico, determinr deformción tot de sistem siendo e mteri e mismo pr mbos trmos. d D.50. Determinr epresión pr ccur deformción tot de brr, que tiene un perforción que produce un pred de espesor constnte t, como se muestr en figur, brr se encuentr sometid cción de s respectivs crgs. L sección de brr vrí según se ve en dich figur. t / D D/.51. L brr mostrd en figur se encuentr sometid cción de s fuerzs mostrds que produce un rección intern de brr, debido os poyos que se muestrn, determinr s recciones que se producen en dichos poyos, considerndo demás que os mteries tienen diferente móduo de esticidd, y su sección trnsvers es circur y vrí en cd trmo. E 1 E d E 1 d

75 .5. Determinr ecución pr determinr e Áre de s secciones trnsverses de os eementos eásticos que se muestrn en figur. Considerr conocids s ongitudes de cd un de ésts r s tensiones de os eementos mostrdos en figur r s tensiones en s brrs de rmdur mostrd en figur cundo se pic fuerz indicd. Considerr E, igu pr tods s brrs Un rmdur simétric eperiment s crgs mostrds en figur. Determinr s tensiones normes que eperimentn cd un de es Ccur s tensiones de montje de os eementos feibes mostrdos en figur, si uno de eos fue fbricdo con un f en su ongitud = 0.5 cm. =1[m]

76 .57. Determinr os despzmientos, horizont y vertic, de punto de picción de fuerz, demás determinr tods s tensiones en s diferentes brrs. Considerr, e móduo de rigidez tensión E, constnte Determinr e despzmiento de punto debido s crgs picds sobre rmdur mostrd en figur. 1

77 Corte uro.1 Introducción Un eemento está sometido Corte uro cundo reizr un corte por cuquier sección rect no precen momentos internos, tmpoco fuerzs normes y soo se verific un fuerz tngenci Q en e centro de grvedd de sección, es decir, en tods s secciones rects de eemento se nun fuerz norm y os momentos torsor y fector. Fig..1 Corte uro Ejempos de eementos sometidos Corte uro son: Vigs de muy pequeñ uz donde rotur se produce por corte puro y e efecto de feión es desprecibe, e corte de pnchs metáics medinte cizdo, punzondo o troquedo y s uniones con remches, buones, soddur, pernos, etc. r videz de s ecuciones y resutdos de este cpítuo se sume vercidd de s siguientes condiciones: 1.- Se cumpe hipótesis de ernoui (Conservción de s secciones pns.- Los eementos tienen secciones trnsverses uniformes.- Los mteries son homogéneos.- Ls crgs están picds en os centros de grvedd de sección 5.- Los miembros sometidos compresión no son tn esbetos y no hy pndeo.. Tensiones y Deformciones en Corte uro Tensiones Considérese un piez sometid un crg horizont en su cr superior y ncd en su cr inferior:

78 Fig.. Tensiones en Corte uro Reizndo un corte en piez por sección rect horizont, se observ que: = 0 (.1 = Q/ (. hor bien, s tensiones cortntes no precen isds. nizndo un eemento diferenci de cuerpo ( (b (c (d No equiibrio en Si equiibrio en Si equiibrio en Si equiibrio en Si equiibrio en y Si equiibrio en y Si equiibrio en y Si equiibrio en y No equiibrio rotción No equiibrio rotción No equiibrio rotción Si equiibrio rotción Fig.. Condiciones de Equiibrio r que e eemento diferenci este en equiibrio, necesrimente se requiere que: Ls tensiones de corte ctúen en cutro crs de eemento diferenci. b Ls tensiones sen concurrentes o divergentes en s rists y que tengn igu mgnitud. Si en ugr de cortr brr por sección rect horizont, se cort por un sección incind en un ánguo α

79 Fig.. Tensiones en un Sección Incind Geométricmente d Cos α = dy (. d Sin α = d (. De estátic F1 = 0 α d dz + y dy dz Sin α + d dz Cos α = 0 (.5 α + y Cos α Sin α + Sin α Cos α = 0 (.6 α = - Sin α (.7 F = 0 α d dz - y dy dz Cos α + d dz Sin α = 0 (.8 α - y Cos α Cos α + Sin α Sin α = 0 (.9 α = Cos α (.10 Cundo α = 0 se verific que 0 = 90 = 0 (.11 0 = 90 = (.1 Y que (Sin α +( Cos α = 1 (.1 De. y.5 α + α = (.1 Que es ecución de un circunferenci con centro en e origen. m m Fig..5 Circuo de ohr b Tensiones principes Los vores máimos de s tensiones normes y cortntes son: α α = 0 min = 0 m = /N (.15

80 α α = 5 m = / N min = 0 (.16 Estos resutdos indicn que un eemento con crgs cortntes present s tensiones cortntes máimos cundo α = 0 y s tensiones normes máims en un sección α = 5º. r prevenir f, s tensiones máims no deben ecedeα s fuencis. c Deformciones m = / N < S y (.17 m = / N < S y (.18 Como se mencionó nteriormente, os eementos sometidos cción de fuerzs cortntes o tngencies, más que presentr cmbios en s dimensiones sufre distorsión o cmbios de form. Dentro de zon eástic, s tensiones de corte son proporciones ánguo de deformción. De ecución de ooke = Q/ N = G (.19 = Q/( N G (.0. robems Estáticmente Indetermindos (iperestáticos En guns ocsiones s ecuciones de Estátic ( F = 0 y = 0 son en número menores número de Crgs incógnits que se desen hr. Estos probems se conocen como estáticmente Indetermindos y en eos se deben introducir ecuciones diciones de deformciones.

81 Esf Corte ROLES RESUELTOS.1. Un piez con un áre de 1 cm² soport un fuerz cortnte de 100 Kg. Se piden: Ls tensiones en ánguos de 0 60 con intervos de 10.y b Grficr vs. Soución: (Gr (Rd =(Q/nSin =(Q/nCos Esf Norm.. E remche de figur une tres piezs y soport s crgs dds. r s tensiones. Tomr d = 5. mm y F = 100 kn. Soución: = F/( N = /( ( 5. /] = 98,67 N/mm

82 .. Que diámetro debe tener un remche pr unir dos pcs que soportn un fuerz de corte de 1000 Kg. Tomr Sy = 900 Kg/cm² Soución: m < / N = 1000/( d / < 900 d = (1000/( 900 d = 1.19 cm Se dopt d = 1,7 cm.. Dos pcs unids por dos cordones de soddur 5º soportn un crg de corte de 6000 Kg. Si e ncho de s pcs es de b = cm, se pide hr s dimensiones de grgnt y de bse de soddur. Tomr Sy = 900 Kg/cm². e Soución: E áre mínim es = e b = e m = /N = 6000/[(e] < 900 De donde Y e = 1.11 cm = e Cos 5 = 1.57 cm.5. Un piez de mder con un sección trnsvers de cm. está cod como se ve en figur. r fuerz máim que puede soportr. Tomr Sy = 00 Kg/cm² Soución:

83 De.7 y.8 = (/N (1 + Cos = (/N Sin 60 = (/N Sin = /[((] Sin 60 < 00 = Kg.6. r s tensiones cortntes en función de momento torsor en un psdor que sostiene un poe en un eje Soución: E omento de Torsión T = Q r Q = T / r = Q/N = T /(r b.7. Un poe está fijd su eje por medio de un psdor ciíndrico. Los ejes de eje y de psdor son perpendicures. Si e momento torsor soportdo es de 150 Kg cm. y e diámetro de eje de cm. Se pide hr e coeficiente de seguridd en e psdor. Tomr diámetro psdor 0,5 cm. y Sy` = 900 Kg/cm² sdor oe Eje Soución: T = F r F = T / r eje = 150 Kg cm/(/ cm = 100 Kg m = /N = 100/( ps/ = Kg/cm² = Sy /m = 900/509.9 = 1.76

84 .8. En figur se representn pnchues, unids por cordones de soddur. Se trt de soddurs en ánguo compuests por dos cordones teres y dos frontes. Se pide fuerz que pueden soportr os cordones Soución: g = 0.7 e N = ( + b g = /N = / [( + b 1. e].9. r intensidd máim de crg que puede soportr ptform rígid de figur. Los psdores en, y C tienen un diámetro de 1 cm y Sy = 900 Kg/cm² 0 C C 0 0 R R 5 v eq C 0 Soución: = rctn(0/0 = 6.86 L crg equivente eq = 70 F = 0 R C Cos = 0 (i Fy = 0 Ry + C Sin = eq (ii = 0 C Sin 0 = eq 5 (iii C = (705/(Sin 0 = 10,08 R = C Cos = Ry = 70 - C Sin = 8.75

85 R ( R Ry 8. 1 C = C/N = 10,08/( 1/ < 900 Kg/cm² C = 6.9 Kg/cm O = R/N = 8,1/( 1/ < 900 Kg/cm² O = 8.6 Kg/cm Entonces = 6.9 Kg/cm..10. L ptform rígid de figur está soportd por dos cbes y b. r e diámetro de psdor en O si Sy = 900 Kg/cm² y = 100 Kg O b R 0 T 60 T b R y Soución: De.11 T = 0. = Kg Tb = 0.6 = 6.1 Kg F = 0 R + T Sin 0 = 0 (i R = -1.0 Kg Fy = 0 Ry + T Cos 0 + Tb - = 0 (ii Ry =. Kg R ( R Ry. 6Kg O = R/N =.6/( ps/ < 900 Kg/cm² ps = 0.5 cm.11. r fuerz que se necesit pr troquer un disco de cm de diámetro y 0, cm de to. Tomr Sy = 1500 Kg/cm².

86 Soución: m = /N > S`ut = t = 0, = 1,88 cm² > S`ut = 1500 Kg/cm 1.88 cm² = 87. Kg.1. Un escer está diseñd pr soportr un person de 500 Kg y está fijd piso por dos psdores que evitn su desizmiento. Se pide hr e diámetro de os psdores: Tomr Sy = 900 Kg/cm². N R R y Soución: F = 0 R = N (i Fy = 0 Ry = (ii = 0 Cos 60 N Sin 60 = 0 (iii N = Cot 60 / R = N = Cot 60 / Ry = R R R y R 1 ( Cot60 á con = R = 1.15 m = R/N = 1.15 (500/( ps/ < 900 Kg/cm² ps = cm.1. Un escer soport un person de 500 Kg en su punto medio y está fijd piso por dos psdores que evitn su desizmiento. Se pide hr e diámetro de os psdores: Tomr Sy = 900 Kg/cm².

87 60 Soución: De nterior probem R 1 ( Cot60 pr = / R = 1,0 m = R/N = 1,0 (500/( ps/ < 900 Kg/cm² ps = cm.1. L piez de figur está fijd por cutro psdores y soport un crg de = 000 Kg. Se pide hr e diámetro mínimo de os psdores. Tomr Sy = 1100 Kg/cm². 9 9 C D Soución: or simetrí, crg se reprte equittivmente entre os cutro pernos Fy = 0 F = Fb = Fc = Fd = / (i F = Fb = Fc = Fd = 750 Kg (i = F / < S y 750 Kg/( d/ < 1100 Kg/cm² d > cm.15. L ptform de figur soport un crg de 100 Kg y est soportd por psdores de 1 cm de diámetro. Se pide e coeficiente de seguridd en os psdores. Tomr Sy = 1100 Kg/cm².

88 =100[kg] 9 75 F F b Soución: Los psdores demás de soportr crg vertic deben soportr e momento que se origin respecto de centro de os mismos. Fy = 0 F + Fb = (i = 0 (75+9 = Fb 9 (ii De i y ii Fb = 9. Kg F = - 8. Kg = F / = 8./( 1/ = Kg/cm² b = F / = 9,/( 1/ = Kg/cm² = S`y/ = 1.06 (No hy f b = S`y/ b = 0.95 (y f.16. L ptform de figur soport un crg de 00 Kg y est soportd por psdores de 1 cm de diámetro. Se pide e coeficiente de seguridd en os psdores. Tomr Sy = 1100 Kg/cm² =00 kg =00 kg =(75+9/ C D d Soución: d = (9 1// = 6,6 Fy = 0 F = Fb = Fc = Fd = / = 100 Kg (i o = 0 F = Fb = Fc = Fd = /(d (ii F = Fb = Fc = Fd = [00(75+9/]/[(6.6] = 150 Kg L composición d

89 F = -150 Cos 5 = Kg Fy = Sin 5 = Kg Ftot = Kg Fb = -150 Cos 5 = Kg Fby = Sin 5 = Kg Fbtot = 1.60 Kg Fc = 150 Cos 5 = Kg Fcy = Sin 5 = Kg Fctot = Kg Fd = 150 Cos 5 = Kg Fdy = Sin 5 = Kg Fdtot = 1.60 Kg Los psdores más soicitdos son os b y d, es decir os de derech b = d = F / = 1.60/( 1/ = Kg = S`y/ = 0.65 (y F.17. L ptform de figur soport un crg de 1000 Kg y est soportd por un psdor en su etremo izquierdo y dos cbes. Se pide e diámetro de psdor O. Tomr Sy = 900 Kg/cm². / R T T b / / R y / / Soución: De.10 T = 1.05 = 105 Kg Tb = 1.1 = 11 Kg F = 0 R- TCos -Tb Cos = 0 (i Fy = 0 Ry + T Sin +Tb Sin - = 0 (ii = 5º = 6,56

90 R = Kg Ry = Kg R R R y R = Kg m = R/N = /( ps/ < 900 Kg/cm² ps = 1.9 cm

91 ROLES ROUESTOS.18. Un piez circur con un diámetro de 1 cm soport un fuerz cortnte de 150 Kg. Se piden Ls tensiones pr ánguos de 0 60 con intervos de 10.y b Grficr vs..19. Cuntos remches de cm. de diámetro se necesitn pr unir dos pcs que deben soportr un fuerz de corte de 1500 Kg. Tomr Sy = 900 Kg/cm.0. Dos pcs con un ncho de b = cm y un espesor de e = 0,5 cm. están unids por cordones de soddur 5º: Se pide hr crg máim que unión soportn. Tomr Sy = 900 Kg/cm² e.1. Un piez de mder con sección cudrd soport un crg de 1000 Kg y está unid 70 º. Se piden s dimensiones. Tomr Sy = 00 Kg/cm² 70.. Un poe está fijd su eje por medio de un psdor rectngur. E momento torsor soportdo es de 150 Kg cm y e diámetro de eje de cm. r e áre que debe tener chvet. Tomr Sy` = 900 Kg/cm² Chv et Eje oe.. L ptform de figur est soportd por un psdor en su etremo izquierdo y un cbe. r un intensidd de crg distribuid de = 10 Kg/cm. Se pide hr os diámetros de os psdores en, y C. Tomr Sy = 900 Kg/cm² 0 0 0

92 .. L ptform de figur est soportd por un psdor en su etremo izquierdo y dos cbes. r un crg horizont en su etremo derecho de = 100 Kg, se pide hr e diámetro de psdor en O. Tomr Sy = 900 Kg/cm² O Que fuerz se necesit pr troquer un piez de sección cudrd de 6 cm de do y 0, cm de to. Tomr Sy = 1500 Kg/cm².6. Un escer soport un crg distribuid de = 10 Kg/cm y se fij piso por dos psdores pr evitr su desizmiento. Se pide hr e diámetro de os psdores. Tomr Sy = 900 Kg/cm² L ptform de figur est soportd por psdores de diámetro de 1,5 cm y en e ctú un fuerz. Se pide hr e vor máimo de que pueden soportr os psdores. Tomr Sy = 900 Kg/cm². 9 9 C D

93 .8. L ptform de figur est soportd por psdores con un diámetro de 1 cm y en e ctú un fuerz = 000 Kg. Se pide e fctor de seguridd en os psdores. Tomr Sy = 1100 Kg/cm² 9 90 = 00 Kg 6 C D.9. L ptform de figur est soportd por psdores con un diámetro de 1 cm y en e ctú un fuerz = 00 Kg. Se pide e fctor de seguridd en os psdores. Tomr Sy = 1100 Kg/cm². =00 kg 90 C 1.0. L ptform de figur est soportd por un psdor en su etremo izquierdo y dos cbes. r s crgs en su etremo derecho de y, se pide hr e diámetro de psdor en O. Tomr Sy = 900 Kg/cm² y = 1000 Kg. / /.1. L ptform de figur est soportd por un psdor en su etremo izquierdo y cutro cbes. r un crg vertic en su etremo derecho de = 1000 Kg, se pide hr e diámetro de psdor en O. Tomr Sy = 900 Kg/cm². / / / / /

94 Torsión.1 Introducción Un eemento está sometido torsión cundo reizr un corte por cuquier sección rect no precen fuerzs interns, tmpoco momentos de feión y soo se verific un momento norm t en e centro de grvedd de sección o un cup que qued contenid en e pno de mism, es decir, en tods s secciones rects de eemento se nun s fuerzs y e momento fector. Fig..1 Torsión Los ejes y árboes de cuquier mquin son ejempos de eementos sometidos torsión. Los eementos sometidos torsión son comúnmente de sección circur, sóid o huec, debido que piezs tes como rodmientos, poes y engrnjes en os sistems de trnsmisión de potenci (donde se genern pres de torsión tienen gujeros circures que se montn sobre árboes y ejes. r videz de s ecuciones y resutdos de este cpítuo se sume vercidd de s siguientes condiciones: 1.- Se cumpe hipótesis de ernoui (Conservción de s secciones pns.- Los eementos tienen secciones trnsverses uniformes.- Los mteries son homogéneos.- Ls crgs están picds en os centros de grvedd de sección 5.- Los miembros sometidos compresión no son tn esbetos y no hy pndeo.. Digrm de omentos Torsores: Se denominn digrms de momentos torsores os digrms que dn os momentos de torsión t en cd sección de un brr prismátic.

95 Fig.. Digrm de omentos Torsores. Torsión Circur Tensiones ceptndo hipótesis de Couomb que estbece que s secciones normes eje de piez permnecen pns y pres sí mism uego de deformción por torsión. Como consecuenci de o enuncido resut que s secciones tienen rotciones retivs, de modo que s rects trzds sobre es continún siendo rects y os ánguos mntienen su medid. or otro do, s genertrices rectiínes de superficie ter de ciindro se trnsformn en héices. Fig.. Rotción de Secciones en Torsión Considérese un brr prismátic sometid momentos de torsión en sus etremos. Un íne rect (- dibujd en su superficie eterior y pre su eje i ntes de picción de os momentos de torsión, se incin y curve uego de picción de os momentos (-C. nizndo e giro d entre s secciones teres en un eemento diferenci de ongitud d

96 Fig.. náisis de un Eemento Diferenci Se puede precir, que un figur rectngur, b, c, d se distorsion en form romboid, b, c, d debido despzmiento de os puntos y b hci ` y b` en sección derech. Ést deformción o distorsión es mism que se producí en crgs de corte. Entonces : Tg = /o (.1 ` = r d (. o = dz (. De ooke = G (. = G r d/ dz (.5 En ecución se preci s tensiones cortntes son proporciones rdio ( r. Fig..5 Tensiones Cortntes en Torsión De estátic o = 0 Y de.5 0 ( d r t (.6

97 R 0 Grd rrdr t (.7 dz R r d G t (.8 dz 0 d t GI (.9 o dz De.5 y.9 r I t (.10 o R t m (.11 Io r piezs sóids m d T( 16T d d (.1 Ls tensiones máims nunc deben sobrepsr os Límites de Fuenci de mteri. m < S y (.1 b Deformciones E ánguo que girn s secciones teres de un piez sometid torsión. R Integrndo.10 Si e diámetro es constnte d Fig..6 nguo de Rotción entre Secciones en Torsión t dz (.1 GI 0 o L GI t (.15 o

98 c Tensiones rincipes Fig..7 Tensiones Tngencies y Normes Un eemento diferenci de interior de un brr circur torsiond se encuentr en un estdo de corte puro. Como se vio, s tensiones principes resutn igues en vor bsouto y de signo contrrio e igues vor de s tensiones tngencies. demás ctún 5º con respecto os pnos de s secciones, formndo superficies heicoides. En vist que s tensiones de prte centr de sección mciz son pequeñs, no tienen un porte significtivo, por o que pr torsión son más convenientes s secciones huecs Fig..8 Tensiones en un iez Circur uec. Torsión en Eementos con Sección Rectngur Fig..9 Torsión en un iez Rectngur