IMPACTO DE EVENTOS EXTREMOS EN LA GESTIÓN DE PORTAFOLIOS

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1 IMPACTO DE EVENTOS EXTREMOS EN LA GESTIÓN DE PORTAFOLIOS INTRODUCCIÓN Flavia E. Matsuda Yamada Javier I. García Froti E el desarrollo de procedimietos para la gestió de riesgos fiacieros, la herramieta VaR es ua de las más moderas y abarcativas, que egloba otras como por ejemplo las técicas de valuació. El Comité de Basilea la ha icluido a comiezo de la década de 1990, y a partir de allí se ha covertido e ua de las herramietas estádar más empleadas. La misma, que e sus orígees se había desarrollado para cuatificar el riesgo de mercado y luego se la ha itegrado al riesgo de crédito, tiee la vetaja de poder ser compredida fácilmete por agetes o especializados técicamete. La simplicidad de su cocepto la covierte e ua poderosa herramieta que favorece la comuicació etre los especialistas técicos y los directivos. Adicioalmete, su popularidad se debe a la practicidad, ya que mide el riesgo resumiédolo e u sólo úmero. El trabajo está estructurado del siguiete modo: E la primera secció se preseta la herramieta Valor a Riesgo (VaR), se hace hicapié e el VaR bajo el supuesto de que los redimietos de los activos se distribuye ormalmete. E la seguda se itroduce el cocepto de la Teoría de los Valores Extremos o EVT, (por sus siglas e iglés) y se cetra la ateció e los modelos Peak over the threshold. Luego se muestra el cálculo del VaR cuado los activos preseta redimietos co distribucioes de colas pesadas. Para ello se aplica la EVT al mismo. Se detallará los pasos a seguir para el cálculo. Seguidamete se preseta u caso práctico e el que se aplica los coceptos descriptos e las seccioes precedetes. Se trata de u portafolio compuesto por ocho activos. A modo de coclusió, se recopila los putos resaltates del trabajo y se realiza u aálisis de los resultados obteidos e el caso práctico. Fialmete, e el Aexo se hará u resume de alguos coceptos estadísticos utilizados.

2 1. VALOR A RIESGO (VAR) El Valor a Riesgo mide la peor pérdida detro de u horizote de tiempo, dado u ivel de cofiaza q. Brida u límite superior de pérdida que sólo es superado e ua proporció muy pequeña de casos. Se trata del cuatil de la distribució proyectada de las gaacias y pérdidas detro de u horizote de tiempo. (Jorio, 1997). Matemáticamete puede expresarse VaR f x dx q (2) VaR 1 q F 1 q (1), o lo que es lo mismo 1 Gráficamete se represeta del siguiete modo: De este modo se realiza u aálisis estático de las posicioes tomadas e u portfolio de iversió. 1.1 Modelo Delta-Normal E este modelo se asume que los redimietos de los activos de la cartera se distribuye ormalmete. Dado que el portafolio es ua combiació lieal de los mismos, por las propiedades de las variables aleatorias ormales, el redimieto de la cartera tambié estará distribuido ormalmete. La variable aleatoria utilizada e el aálisis es la tasa de redimieto de la cartera. Para ello se determia primero los redimietos de cada activo i. Debido a que al asumir ua distribució ormal de los redimietos puede obteerse precios egativos, se utilizará los redimietos geométricos: r t Log Pt Dt P t 1 (3) Asumiedo por simplicidad que o se pagará dividedos,

3 P it, rit. Log P it, 1 (4) Defiidos los redimietos de cada activo i, puede defiirse el redimieto del portafolio: R t Log i 1 i 1 WP. i WP i, t i i, t 1 Dode i 1,2,..., es la catidad de activos y t es el tiempo medido e días. El procedimieto para el cálculo del VaR costa de tres pasos: (5) Paso 1: Se parte de u valor iicial de la cartera W R 0 (6) Paso 2: Se calcula el desvío del portafolio Paso 3: El cálculo del VaR será: VaR Z * * W (7) p p q p Dode Zq es la variable estadarizada correspodiete al ivel de cofiaza q. Para el cálculo del desvío del redimieto del portafolio y de los redimietos de los activos, debe remitirse al Aexo I. Este modelo, al asumir ormalidad, cetra su ateció e los valores cetrales de la distribució y subestima el verdadero valor de las colas de la distribució. Por ello e los últimos años se ha hecho práctica comú, sobre todo por parte de los agetes más aversos al riesgo, u estudio orietado a los valores extremos. 2. TEORÍA DE VALORES EXTREMOS (EVT) Los evetos extremos se refiere a aquellos co ua frecuecia muy baja e itesidad muy alta, es por ello que esta teoría es coocida tambié

4 como la de los pequeños úmeros. La razó por la que su estudio es de tato iterés es justamete su alto costo, tato ecoómico como político y social. El objetivo es estar preparado para mitigar los daños ecoómicos que so causados a ua població, pero tambié preveir y reducir las víctimas humaas y las cosecuecias políticas que puede acarrear. Ua alerta tempraa de cualquier catástrofe puede ser la diferecia etre la vida o la muerte. E el caso de u portafolio de iversió, ua ivestigació del comportamieto del mercado que tega e cueta este tipo de evetos extremos, puede ser la diferecia etre lograr beeficios o la quiebra. La Teoría de Evetos Extremos se basa e herramietas estadísticas para medir y cuatificar estos evetos y las cosecuecias que produce. Estos se maifiesta e las colas de las distribucioes. Para ello debe ecotrarse ua fució de distribució que se ajuste a los datos empíricos. Los modelos Pick Over the Threshold se propoe aalizar las observacioes de gra valor que sobrepasa u umbral suficietemete alto. Se trata del estudio de los riesgos residuales más allá de ua pérdida grade. E este setido, se realiza u aálisis codicioal. Para ese fi, a cotiuació se itroduce los coceptos acerca de esta teoría para su posterior aplicació al cálculo del VaR. 2.1 Fució exceso de pérdida sobre el umbral F y P X u y / X u u Co 0 y x0 u dode x 0 es u umbral. Esta fució represeta la probabilidad de que el exceso de pérdida sea a lo sumo y dado que se ha sobrepasado el umbral u. 2.2 Teorema u x0 0 y x0 u,, (8) lim sup F y GP y 0 (9) u A medida que el umbral aumeta, la fució de exceso de pérdida coverge a ua geeralizada de Pareto. De este modo para valores de x u

5 mayores al umbral co fució de distribució F, la fució de distribució de excesos F será la geeralizada de Pareto: (Picklads, Balkema-i Haa result). u F y GP y (10) u La fució de distribució Geeralizada de Pareto (GPD) es la siguiete: [1] (Bassi, Embrechts ad Kafetzaki,1998:15) GP,, Elecció del umbral,, y 1 (11) El umbral escogido debe ser lo suficietemete alto como para que el teorema pueda ser aplicado y lo suficietemete bajo como para poder cotar co suficiete iformació. U umbral demasiado pequeño tedrá como resultado estimadores sesgados y uo muy grade estimadores co alta variaza. La elecció del mismo deberá teer e cueta el trade off etre estas características. Existe dos efoques gráficos para la elecció del umbral límite. Por u lado observado el gráfico del exceso medio (mea excess) y por el otro a través del gráfico de Hill. 2.4 Gráfico de Mea Excess Fuctio Dado u umbral x 0 la fució mea excess over the threshold se defie como la esperaza del exceso sobre el umbral / 0 u x Para la distribució e u E X u X u (12), dode 0 geeralizada de Pareto esta fució se defie como: dode u 0. La fució mea excess se localiza etre 1 u eu (13) 1 eu (14), que es la correspodiete a la fució de distribució expoecial y la GPD. La misma es lieal y tiede a ifiito coforme lo hace el umbral. Por lo tato el umbral seleccioado será aquel que se ecuetre e u área dode el gráfico sea lieal.

6 2.5 Gráfico de Hill Para comezar debe ordearse los estadísticos de meor a mayor (tratádose de pérdidas co sigo egativo), de las variables aleatorias iid,,..., X1 X obteiédose X... Xs... X 1. El estimador de Hill, que es el estimador máximo verosímil de la GPD, para el parámetro de forma utilizado s 1 estadísticos es: (Bassi, Embrechts ad Kafetzaki,1998:14) i s 1 i 1 H L X L X s (15) El gráfico de Hill estará defiido por las siguietes coordeadas: s. 1 sh, dode 1 1 El umbral u seleccioado será aquel a partir del cual el gráfico comiece a estabilizarse. De acuerdo a este criterio, la selecció será e parte subjetiva, ya que o habrá u úico umbral correcto. 3. VAR BAJO LA TEORÍA DE VALORES EXTREMOS E este capítulo se preseta u esquema de pasos a seguir para la determiació del VaR e el cotexto de la Teoría de Valores Extremos. 3.1 Paso 1: Exploració de los datos Para comezar a hacer u aálisis de variables co distribucioes de colas pesadas, primero debe cerciorarse de que los datos co que se cueta preseta efectivamete dicho comportamieto. Dado que e este trabajo se pretede realizar u aálisis comparativo del VaR Normal y el Var Extremo, se comieza descartado la ormalidad e la distribució de los log- redimietos. Para tal efecto puede destacarse tres procedimietos: QQ Plot. Dada ua sucesió de variables aleatorias iid X,..., 1 X, y X... X... X la misma e orde ascedete, dode el s 1 subídice idica el orde, siedo F k 1 (16) su fució de

7 distribució empírica y F la distribució teórica (e este caso la distribució ormal), el gráfico QQ Plot estará defiido por las siguietes coordeadas: X s, F 1 s 1 para s 1,..., (17). Curtosis. Puede demostrarse que la fució de distribució ormal posee como ua de sus características pricipales ua curtosis igual a 3. Puede defiirse como la divisió etre el cuarto mometo cetrado y la variaza al cuadrado: E X (18) Mea Excess Fuctio. Se trata de la media de la fució exceso sobre el umbral (12) mecioada precedetemete e la secció 2: e u E X u / X u. Se estará frete a ua distribució de colas pesadas siempre que la pediete de la fució sea positiva. 3.2 Paso 2: Determiació de la sub-muestra a aalizar Como primer paso debe realizarse la elecció del umbral límite. Luego se procede a idetificar la serie de los estimadores que se utilizará como datos, es decir, la parte de la cola afectada. Dado el umbral u y las variables aleatorias que supera el mismo X,..., 1 X, se determia las variables de excedetes Y,..., 1 Y, dode Y X u. La fució de distribució de esta variable será i i F y P Y y / X u (19), para 0 u 3.3 Paso 3: Estimació de la cola y. Puede demostrarse que F x 1 F u GP,, y F u (20) (McNeil, 1999).

8 De este modo puede estimarse la cola de la distribució origial mediate dos estimacioes separadas: la de las variables que supera el umbral y la de las que o lo hace. Se defie N u como la catidad de datos que excede el umbral, por lo tato F u N u (21) es la probabilidad acumulada hasta el umbral. ^ F x de la distribució. Nu x u Paso 4: Estimació de parámetros 1 (22) es el estimador de la cola Estimadores basados e la optimizació. Coociedo a priori el hecho de que las distribucioes empíricas y teóricas o coicidirá co exactitud, el propósito es que se aproxime lo más que se pueda y que ese error sea cuatificable. El estimador utilizado e este apartado es el estimador Cramér vo Mises. El estimador es el que t Mi Q v H c ; H c (23), dode k k 1 k k k k seleccioados arbitrariamete, ; H c la empírica. k 3.5 Estimació del cuatil k k 2 c y v k so H c es la distribució teórica y Fialmete para u ivel de cofiaza q calculado como: F u, el VaR será ^ ^ VaRq u 1 q 1 ^ N u ^ ^ (24)

9 4. CASO PRÁCTICO 4.1 Presetació del portafolio de iversió El portafolio aalizado se compoe de ocho activos, se trata de las cotizacioes diarias de Soy Corporatio, Google Ic., Exxo Mobil Corporatio, Molios Río de la Plata, Mapfre S.A., Toyota Motor Corporatio, Tearis S.A., Pfizer Ic. Se toma datos históricos, desde el 4 de mayo de 2007 hasta el 10 de marzo de La catidad de datos de precios es 1001 y la de los logredimietos es E primer lugar se hará u aálisis bajo el supuesto de ormalidad y luego icorporado EVT. E ambos casos, se calculará el VaR para cada activo por separado y para el portafolio. Se tedrá e cueta diferetes iveles de cofiaza. 4.2 Modelo Delta Normal Los resultados obteidos para cada activo se resume e el siguiete cuadro: Luego, el VaR para la cartera resulta: Puede observarse que la suma de los VaRs es superior al VaR del portafolio, producto de la diversificació.

10 Los datos utilizados so hasta el 10 de marzo, día aterior al terremoto e Japó. Al 11 de abril el redimieto de la cartera es de y al 12 de agosto es de , este último superior a la estimada a priori a través del VaR asumiedo ua distribució ormal, cualquiera sea el ivel de cofiaza. 4.3 VaR Extremo Soy Corporatio Pruebas de ormalidad Curtosis 8.859>3 La fució de exceso medio se puede aproximar a través de la fució de exceso medio empírico. Dada ua sucesió de variables aleatorias iid,..., X1 X, y X... Xs... X 1 la misma e orde ascedete, ya que e este caso se toma las pérdidas co sigo egativo y las gaacias co positivo. Max X j u;0 j 1 eu Nu (25) Es práctica comú tomar como umbral a las observacioes mismas, de modo que k 1 u X. Para s 1,..., 1

11 e X s s j 1 X j X s 1 s (26) Se descarta ormalidad e los redimietos Estimació del umbral El gráfico o se estabiliza e igú puto, por lo tato o podrá emplearse para la determiació del umbral.

12 De acuerdo a la fució de excesos medios se elige s 57, como puto e el cual la fució de exceso de pérdida se ecuetra e ua recta lieal creciete. De este modo el umbral es u Estimació de parámetros Para N 56 los parámetros so: Cálculo del VaR Los resultados so: xi mu sig Google Ic Pruebas de ormalidad Curtosis El QQ Plot y el Mea Excess Fuctio descarta ormalidad de los redimietos Estimació del umbral El gráfico o se estabiliza e igú puto, por lo tato o podrá emplearse para la determiació del umbral.

13 El umbral escogido es u Estimació de parámetros Para N 185 xi mu sig Cálculo del VaR Exxo Mobil Corporatio Pruebas de ormalidad Curtosis El QQ Plot y el Mea Excess Fuctio descarta ormalidad de los redimietos Estimació del umbral El gráfico o se estabiliza e igú puto, por lo tato o podrá emplearse para la determiació del umbral.

14 Se escoge u Estimació de parámetros Para N 83 : xi mu sig Cálculo del VaR Toyota Motor Corporatio Pruebas de ormalidad Curtosis 11.8 El QQ Plot y el Mea Excess Fuctio descarta ormalidad de los redimietos Estimació del umbral El gráfico o se estabiliza e igú puto, por lo tato o podrá emplearse para la determiació del umbral.

15 Se escoge u Estimació de parámetros Para N 60 : xi mu sig Cálculo del VaR Pfizer Ic Pruebas de ormalidad Curtosis El QQ Plot y el Mea Excess Fuctio descarta ormalidad de los redimietos Estimació del umbral El gráfico o se estabiliza e igú puto, por lo tato o podrá emplearse para la determiació del umbral.

16 Se escoge u Estimació de parámetros Para N 50 : xi mu sig Cálculo del VaR Mapfre S.A Pruebas de ormalidad Curtosis 7 El QQ Plot y el Mea Excess Fuctio descarta ormalidad de los redimietos Estimació del umbral El gráfico o se estabiliza e igú puto, por lo tato o podrá emplearse para la determiació del umbral.

17 Se escoge u Estimació de parámetros Para N 110. xi mu sig Cálculo del VaR Tearis S.A Pruebas de ormalidad Curtosis 9.5 El QQ Plot y el Mea Excess Fuctio descarta ormalidad de los redimietos Estimació del umbral El gráfico o se estabiliza e igú puto, por lo tato o podrá emplearse para la determiació del umbral.

18 Se escoge u Estimació de parámetros Para N 199 : xi mu sig Cálculo del VaR Molios Río de la Plata Pruebas de ormalidad Curtosis El QQ Plot y el Mea Excess Fuctio descarta ormalidad de los redimietos Estimació del umbral El gráfico o se estabiliza e igú puto, por lo tato o podrá emplearse para la determiació del umbral.

19 Estimació de parámetros Para N 79 : Cálculo del VaR xi mu sig Portafolio Pruebas de ormalidad Curtosis El QQ Plot y el Mea Excess Fuctio descarta ormalidad de los redimietos Estimació del umbral El gráfico o se estabiliza e igú puto, por lo tato o podrá emplearse para la determiació del umbral.

20 Se escoge u Estimació de parámetros Para N 119 : xi mu sig Cálculo del VaR Puede observarse que el VaR del portafolio es meor al del resultate de la suma etre los VaRs por separado, efecto producido por la diversificació del riesgo. 5 CONCLUSIONES E este trabajo se ha presetado los procedimietos seguidos para la obteció del VaR bajo distribucioes ormal y de evetos extremos. Se ha aalizado u caso práctico de u portafolio, previo al terremoto de Japó. Los resultados arrojados, cofirma que el VaR Extremo provee iformació más acertada respecto de los evetos catastróficos que el VaR Delta Normal. Ello lleva a tomar decisioes más prudetes y

21 coservadoras. Aú así, la realidad ha idicado que las pérdidas ha sido mayores a las calculadas y ha puesto e evidecia que el VaR Extremo tiee sus limitacioes. Uo de los obstáculos más grades es el modelo multivariado, ya que la distribució cojuta de las margiales extremas o siempre es la distribució de la variable agregada. Es por ello que ésta debe ser complemetada co Tests de Stress que icluya diferetes escearios. Además debe teerse e cueta que la elecció de la periodicidad de datos es relativamete subjetiva y depederá de las características de los activos de la cartera. No existe ua fórmula matemática para la elecció del mismo, pero sí ciertas pautas que debe teerse e cueta. El horizote de tiempo debe ser lo suficietemete largo como para captar los movimietos y comportamietos de los mismos. Cuato más corto sea, más temprao se detectará los poteciales problemas y pérdidas, mayor será la catidad de observacioes co las que se cueta, y meores será los cambios e la composició de la cartera. A su vez, ello geerará mayores costos, derivados del costate moitoreo. Debe utilizarse u horizote de tiempo que equilibre todas estas cuestioes. Por último, debe cosiderarse que la elecció del umbral límite es e parte tambié subjetiva. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Bassi, Embrechts ad Kafetzaki (1998): A survival kit o quatile estimatio. ETH Zurich: Workig paper. Departamet of Mathematics. Besalah, Y. (2000): Steps i Applyig Extreme Value Theory to Fiace: A Review. Bak of Caada. Workig Paper Casparri, M. T., y colaboradores (2003): Acerca del Riesgo. Selecció de alguos trabajos de ivestigació. Bueos Aires, Cetro de ivestigació e métodos cuatitativos aplicados a la ecoomía y la gestió. Casparri, M. T., y colaboradores (2007): Acerca del Riesgo II. Selecció de alguos trabajos de ivestigació. Bueos Aires, Cetro de ivestigació e métodos cuatitativos aplicados a la ecoomía y la gestió. Chavez-Demouli, V. (2004): Extreme Value Theory ca Save your Neck. Suiza, ETHZ Armi Roehrl, Approximity GMBH.

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23 ANEXO A cotiuació se preseta alguas fórmulas estadísticas. El subídice j se refiere a las observacioes de los redimietos. Para cada activo i: E X 1 Esperaza: i, j 1 1 Variaza: V X X, E X 1 Desvío: X i V X i Covariaza: X j i i j i i j 1 1 cov X, X X E X X E X i k j, i i j, k k 1 j 1 Coeficiete de correlació: X, X i k 2 cov X, X Para el caso de activos la matriz de variaza y covariaza es: i i k k 1 2