ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA

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1 ELEMENTOS DE VARIABLE COMPLEJA SAMAEL NAVARRETE MOLANO Trbjo de grdo pr optr por el titulo de Mtemático DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA Mtemático Universidd Ncionl Profesor fcultd de Mtemátics FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ BOGOTÁ Diciembre 5

2 INDICE GENERAL INTRODUCCION 4 I ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS5 NÚMEROS COMPLEJOS Y SU ALGEBRA5 AXIOMAS DE CUERPO PARA NÚMEROS COMPLEJOS 5 3 LOS NÚMEROS REALES COMO SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS6 4 REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS6 5 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA 6 6 PROPIEDADES DE ESPACIO VECTORIAL PARA LOS NÚMEROS COMPLEJOS7 6 Pr l Sum7 6 Pr el Producto por Esclr7 7 ESPACIO VECTORIAL NORMADO 8 8 COMPLEJO CONJUGADO9 8 Propieddes del Complejo Conjugdo 9 9 REPRESENTACIÓN POLAR 9 9 Multiplicción de Números Complejos Bjo su Representción Polr 9 División de Números Complejos DESIGUALDAD TRIANGULAR 3 SUPERFICIE DE RIEMANN4 RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO 5 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO7 II TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO C 8 III FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 3 FUNCIONES 3 LIMITES 3 Propieddes de los Límites 3 33 CONTINUIDAD 9 33 Propieddes Algebrics pr l Continuidd 9 34 FUNCIONES CONTINUAS DE UNA VARIABLE 3 35 DERIVADAS 3 35 Derivds Prciles FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA Propieddes de l Eponencil Complej MAPEO36 38 FUNCIÓN LOGARITMO COMPLEJO39 39 FUNCIÓN POTENCIA4 3 FUNCIONES TRASCENDENTALES4 3 CONDICIONES NECESARIAS PARA LA ANALITICIDAD45 3 CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA ANALITICIDAD FUNCIONES ARMÓNICAS5 34 ARMÓNICOS CONJUGADOS5 IV INTEGRAL COMPLEJA 5 4 INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL DE LÍNEA5 4 INTEGRALES DE LÍNEA5 4 Propieddes de l Integrl de Líne54 44 FORMULA INTEGRAL DE CAUCHY6

3 CONCLUSIONES 65 BIBLIOGRAFÍA 66 3

4 INTRODUCCION Los números complejos fueron propuestos inicilmente en 545 por el mtemático itlino Girolmo Crdno en un trtdo monumentl cerc de l solución de ls ecuciones cúbic cudrátic Pr precir l dimensión de est propuest debe tenerse en cuent que el concepto de números negtivos pens hbí tenido ceptción que un hbí controversi en l relción con sus propieddes Ls cntiddes ficticis de Crdno fueron ignords por l morí de sus colegs hst que el genio mtemático Crl Friedrich Guss les dio el nombre ctul ls utilio pr demostrr el Teorem Fundmentl del Algebr el cul estblece que todo polinomio que no se constnte tiene l menos un cero Otro descubrimiento de Guss mucho más simple pero no menos importnte fue que l ritmétic de los números complejos introducid formlmente prtir de l relción i tiene un interpretción geométric sencill si identificmos los elementos de C con los puntos del plno Est interpretción puede considerrse como el punto de prtid del estudio nlítico de los números complejos En términos modernos C recibe l topologí de R l relción de est topologí con su ritmétic es l mism que se d en R 4

5 I ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Números Complejos su Algebr De los ioms que gobiernn l relción < se deduce que el cudrdo de un número no es nunc negtivo Entonces ecuciones cudrátics elementles tles como por ejemplo no posee solución entre los números reles Ahor con los números complejos podemos conseguir soluciones pr tles ecuciones Result entonces que l introducir los números complejos se proporcion soluciones de ls ecuciones lgebrics de l form n o n donde los coeficientes n son números reles culesquier Este resultdo es conocido como Teorem fundmentl del Algebr Aioms de Cuerpo pr Números Complejos Por número complejo entenderemos un pr ordendo de números reles que designremos por L primer componente se llm prte rel del número complejo; l segund componente se llm prte imginri Dos números complejos e son igules escribiremos si solo si Definimos l sum el producto por ls cules stisfcen los siguientes ioms Aiom Lees conmuttivs Aiom Lees socitivs Aiom 3 Lees distributivs b Aiom 4 Identiddes L identidd ditiv l identidd multiplictiv stisfcen que * * Aiom 5 Inversos Cd número complejo tiene un inverso ditivo si un inverso multiplictivo que stisfcen 5

6 El inverso multiplictivo de i es i i 3 Los Números Reles como Subconjunto de los Números Complejos Se identific el pr ordendo con el número rel notmos que l sum l multiplicción de tles pres stisfcen ls operciones usules de sum multiplicción de números reles: Entonces el conjunto de números complejos inclue los números reles 4 Representción Crtesin de los Números Complejos Considere el número complejo escrito de l siguiente form si se represent por se denot por el símbolo i se puede reescribir de l form i Est es l notción más conocid pr los números complejos El símbolo i se llm unidd imginri stisfce l propiedd i o tmbién i Ejemplo Encuentre ls prtes rel e imginri de Solución: tenemos que Re e Im 3 3i 5 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA Al socir el número complejo i con un punto del plno cus coordends rectngulres son e Cd número complejo corresponde un punto El número i por ejemplo se soci l punto - en l figur El origen del sistem coordendo se denot por el número complejo El modelo de plno Crtesino de los números complejos se llm plno complejo Cundo nos referimos l número complejo i llmmos prte rel de l 6

7 denotmos por Re El número llmdo prte imginri de se denot por Im Si tendremos i entonces se dice que es imginrio puro Figur 6 Propieddes de Espcio Vectoril pr los Números Complejos El conjunto C de los números complejos es un espcio vectoril sobre el cuerpo R de los números reles con ls operciones de sum definid en C producto por esclres tl que pr todo C α R se tiene que α C demás se cumplen ls siguientes propieddes pr todo α β de R u v w de C: 6 Pr l Sum i v w C L sum vectoril es un operción cerrd en C ii u v w u v w Asocitividd de l sum vectoril en C iii Eiste un elemento en C tl que pr todo v de C v v Eistenci del elemento neutro de l sum vectoril en C iv Pr todo v C eiste un elemento v C tl que v v Eistenci del elementos opuestos respecto l sum en C v v w w v Conmuttividd de l sum vectoril en C 6 Pr el Producto por Esclr i α v C El producto por esclres es un operción cerrd en C ii α βv αβ v Asocitividd del producto por esclres en C iii Si denot el elemento neutro de l multiplicción del cmpo de esclres R entonces v v Neutrlidd del uno del cmpo de esclres 7

8 iv α v w αv αw Distributividd con respecto l sum vectoril v b v v bv Distributividd con respecto l sum esclr Ls propieddes de l l 5 indicn que C es conmuttivo o Abelino bjo l sum vectoril Figur De hecho l definición de sum coincide con l sum según l regl del prlelogrmo pr l sum vectoril en R Figur 7 Espcio Vectoril Normdo El modulo o vlor bsoluto de un número complejo número rel negtivo se denot por ; esto es i se define como el C es un espcio vectoril Un función que hce corresponder cd vector C el número rel es un norm de C si solo si pr todos w C k R verificn los siguientes ioms Aiom si solo si Aiom w w Aiom 3 k k 8

9 8 Complejo Conjugdo El complejo conjugdo de un número complejo i se obtiene cmbindo el signo de l prte complej se denot por el símbolo Entonces i 8 Propieddes del Complejo Conjugdo Ddo que si i entonces i ii iii i i Re i i i i Im i i iv De est form tendremos ls identiddes Re v Si i i entonces Im i i i i i Luego el complejo conjugdo de l sum de números complejos es l sum de sus conjugdos: De mner semejnte se muestr que vi vii 9 REPRESENTACIÓN POLAR 9

10 Figur 3 Los números complejos pueden representrse como vectores en el plno complejo utiliremos el concepto de segmento de rect dirigido pr determinr ls propieddes de l longitud del ángulo de inclinción de un vector en plno complejo Consideremos el vector no nulo i l longitud r del vector se muestr en l figur 3 se puede determinr plicndo el teorem de Pitágors Llmmos est longitud vlor bsoluto norm ó mgnitud del número complejo lo denotmos como Regresndo l figur 3 vemos que el ángulo θ que form el vector i con el eje rel positivo se llm rgumento del complejo se not rg est ddo por l epresión: θ rctn kπ donde k ± ± El ángulo θ tl que Arg π θ < π se llm vlor principl del rgumento se design Ejemplo Encuentre l representción polr de i Solución: remitiéndonos l figur 4 El vlor bsoluto de i es i Mientrs que el vlor principl del rgumento de i es π Arg i 4

11 Como los ángulos polres no están determindos ls superficies de Riemnn se tienen en form únic su rgumento es π rg i πk 4 Donde k es culquier entero Así l representción polr de i es π π i cos πk isen πk 4 4 Figur 4 9 Multiplicción de Números Complejos Bjo su Representción Polr L multiplicción de los números complejos w tienen interpretciones geométrics cundo los escribimos en sus representciones polres Sen θ rg φ rgw Se tiene Entonces w cos θ isenθ w w φ isenφ cos w w cos θ isenθ cosφ isenφ [ cos θ cosφ senθsenφ i senθ cosφ cosθsenφ ] por ls formuls de sum de ángulos de trigonometrí [ θ φ θ φ ] w w cos isen Como cos θ φ isen θ φ L ecución w w cos θ φ isen θ φ [ ]

12 Figur 5 Conduce Y w w rg w rg rg w Por lo tnto l longitud del vector w es el producto de ls longitudes de los vectores w mientrs que el ángulo polr del vector w es l sum de los ángulos polres de los vectores w Y que el rgumento se determin hst l multiplicción de π l ecución rg w rg rg w se interpret diciendo que si se signn vlore prticulres dos términos culesquier eiste un vlor del tercer término pr el cul se cumple l iguldd L construcción geométric del producto w se muestr en l figur 5 Pr l multiplicción el ángulo entre w w debe ser idéntico l ángulo entre en l figur 5 De ello los triángulos de i i w w son semejntes 9 División de Números Complejos L división de números complejos conduce l siguiente ecución: w isen w [ cos θ φ θ φ ] iθ re r e iφ βe β θ φ

13 r isen β [ cos θ φ θ φ ] como w w obtenemos por ls formuls de sums de ángulos de l trigonometrí Por lo tnto w cosθ isenθ w cosφ isenϕ w w ww w rg w w w rg rg w con l ecución rg rg rg w sujet un interpretción similr l w de l ecución rg w rg rg w Desiguldd Tringulr Definición Ddos dos números se verific que Demostrción: Si tommos Etrendo l rí cudrd recordemos que el módulo es siempre positivo recordemos que l longitud de un ldo de culquier tringulo es menor o igul l sum de ls longitudes de los otros dos ldos De tl form que l desiguldd del tringulo tmbién se puede deducir inmeditmente considerndo el tringulo sombredo en l figur 6 3

14 Figur 6 Superficie De Riemnn Un superficie de Riemnn es un generlición del plno complejo un superficie de más de un hoj tl que un función multivlud tiene sólo un vlor correspondiente cd punto de es superficie Un ve construid es superficie pr un función dd l función es univlud sobre l superficie se le puede plicr llí l teorí de funciones univluds figur 7 Ls complicciones que precen ligds l crácter multivludo de l función quedn sí evitds por un truco geométrico Sin embrgo l descripción de ess superficies l relción entre sus hojs pueden ser mu engorross Figur 7 4

15 Teorem Teorem De Moivre Si n es un número entero entonces cosθ isenθ n e iθ n e iθn cos nθ isennθ Demostrción Por inducción sobre n El producto [ cos θ φ θ φ ] w w isen donde θ rg φ rgw cundo wobtendremos que: Si θ φ tenemos con o w obtenemos Como θ isenθ [ cos θ isen θ ] [ cos θ θ isen θ θ ] [ cos 3θ isen 3θ ] 3 3 cos hemos demostrdo que: cosθ isen θ cos θ isen θ 3 cosθ isen θ cos 3θ isen 3θ Medinte este proceso hemos obtenido el teorem De Moivre cos θ isenθ w w φ isenφ Donde n es un entero positivo cos Ríces de un Número Complejo Definición 3 n Si w entonces w se llm l rí enésim de podemos escribirl como: w n que posee n distintos vlores Es decir n está multivlud Sen w Rcosφ isenφ rcosθ isenθ 5

16 Entonces por el teorem de Moivre: entonces luego w n R n w n [ cos nφ isen nφ ] rcosθ isenθ n r R o R n r θ kπ nφ θ kπ o φ n n tomndo los vlores k n- obtendremos ls n ríces Resumiendo: n n θ kπ θ kπ r cos isen k n n n Los n vlores se reprten equittivmente en un circunferenci de rdio n r con centro en el origen constituendo los vértices de un polígono regulr de n crs El vlor de n obtenido l tomr el vlor principl de rg k en l fórmul de rrib se sume como vlor principl de w n El teorem De Moivre tmbién puede utilirse pr encontrr ls ríces de un número complejo Si es un rí n-ésim del número complejo w entonces n w pr encontrr estblecmos que cos θ isen θ w w φ isenφ cos donde θ rg φ rgw De tl form que con el teorem De Moivre tenemos: Así podemos tomr θ isenθ w cosφ isenφ n cos w θ rg w Arg w πk k ± ± n n n 6

17 unque l ecución nterior proporcion un número infinito de vlores pr θ solo se obtienen n ángulos polres diferentes porque: π n k n πk π n pues los ángulos polres se repiten cd n enteros Por lo tnto limitmos nuestr tención los n ángulos polres: θ Argw πk k ± ± n n Ejemplo Encontrr ls tres ríces cúbics de w i donde i k π π 4 i e 3 3 Solución: se un rí cúbic de i Entonces i por el teorem de Moivre 3 π π cos3 isen3 cos kπ isen kπ 4 4 De tl form que π kπ 6 θ k 3 En consecuenci ls tres ríces cúbics de i son: 6 π π 6 π π cos isen cos isen 6 7π 7π cos isen 6 5π 5π cos isen 4 4 Un consecuenci de ests definiciones es el siguiente teorem 3 Teorem Fundmentl del Cálculo Si un función rel f es continu en un intervlo b entonces f posee ntiderivds en ese intervlo Si f es culquier ntiderivd de f en b entonces 7

18 b f d F b F Donde F f II TOPOLOGIA DEL PLANO COMPLEJO C Si i entonces B r { : < } son los discos biertos en C r Se define l topologí generd por discos biertos como: Se S un subconjunto de C se S Entonces se denomin punto interior de S si eiste un n-bol biert con centro en contenid en S Interior de S se design por int S Definición de Punto Interior Un conjunto S de C es bierto si todos sus puntos son interiores o S es bierto si solo si S int S Definición de Punto Adherente Se S un subconjunto de C se un punto de C no necesrimente de S Entonces se dice que es dherente S si tod n-bol B contiene un punto de S por lo menos Definición de Punto Acumulción 3 Si S C C entonces se llm punto de cumulción de S si cd n-bol B contiene por lo menos un punto de S distinto de Ejemplo 3 Se S el conjunto de todos los puntos tles que < Encuentre el interior l fronter el eterior del conjunto S Solución: se un punto culquier de S Note que el disco < ε est situdo completmente dentro de S siempre que ε < Así todo punto de S es un punto interior Igulmente todo punto que stisfg > será eterior S Si entonces tod ε -vecindd de contendrá puntos que están en S puntos que no lo están Por tnto l fronter de S consiste en todos los puntos sobre el circulo el interior es el conjunto < el eterior es el conjunto de todos los puntos que stisfcen > vése figur 8 8

19 Figur 8 Definición de Conjunto Acotdo 4 Un conjunto S es cotdo si eiste un número rel positivo α tl que todo en S stisfg < α Si est condición no se cumple decimos que S es no cotdo Definición de Conjunto Inconeo 5 Un subconjunto A de C es inconeo o no coneo si eisten subconjuntos biertos G H de C tles que A G A H son conjuntos no vcíos disjuntos cu unión es A en est cso G H e un inconeión de A un conjunto es coneo si no es inconeo Definición de Región 6 Un conjunto en C se llm región si es l unión de un conjunto coneo con lguno ninguno o todos sus puntos fronters Si ninguno de sus puntos fronter est incluido en l región se dice que est en un región biert Si todos los puntos fronter están incluidos se dice que l región es un región cerrd Teorem 7 Culesquier dos puntos de un región pueden unirse por medio de un líne poligonl contenid en l región 9

20 Demostrción Por contrdicción Llmemos S l región supongmos que est dentro de S Denotremos por S todos quellos puntos de S que puedn unirse por medio de un polígono denotremos por S quellos puntos que no pueden unirse Si est en S por tnto en S es un punto interior de S Así eiste un vecindd de contenid en S : < δ Todos estos puntos están en S que cd uno puede unirse por medio de un que rect que pertenece S que por ende puede unirse por medio de un polígono contenido en S Entonces todo punto de S es punto interior de S sí que S es bierto Si est en S se < δ un vecindd contenid en S Ningún punto de est vecindd puede estr en S porque si sí fuer estrí en S Por lo cul todo punto de S es punto interior de S entonces S es bierto Ningún conjunto puede contener un punto fronter del otro que mbos son biertos son jenos Como S es coneo uno de estos conjuntos debe ser vció Pero est en S sí que S es vció Culesquier dos puntos pueden unirse por medio de un trectori poligonl contenid en S por tnto puede unirse entre si por un trectori poligonl que ps por III FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA 3 Funciones Definición de Función 3 Se S un conjunto de números complejos Un función f definid sobre S es un regl que sign cd en S un número complejo w El numero w se llm el vlor de f en se denot por f ; esto es w f Pr definir un función es necesrio dr tnto un regl de signción como un dominio de definición Si no se mencion el dominio de definición sobreentendemos que se tom el mor conjunto posible Se w u iv el vlor de un función f en i ; es decir u iv f i Cd numero rel u v depende de ls vribles reles luego f puede ser epresdo en terminote un pr de función con vlores reles de ls vribles reles ;

21 Ejemplo 4 Si f entonces Luego f u iv f i i i u v iθ Si se usn coordends polres r θ en ve de entonces u iv f re donde 3 Limites w u iv iθ re En este cso podemos escribir f u r θ iv r θ Definición 3 Se dice que l función f tiene limite A cundo tiende hci lim f A Si pr todo ε > eiste un número δ > tl que f A < ε Siempre que < < δ Además l función f es continu en si sólo si lim f f Figur Un función continu es quell que es continu en todos los puntos donde está definid Geométricmente l definición de limite estblece que culquier ε -vecindd de contiene todos los vlores que f tom en lgun δ -vecindd de ecepto posiblemente en el vlor f El siguiente ejemplo ilustr el procedimiento usul pr determinr δ con un ε > ddo

22 Figur Ejemplo 5 Pruebe que lim 3 Solución: con l epresión f simplificd obtenemos 3 < δ Puesto que δ < < 3 donde δ debe todví epresrse en términos de ε Si < δ medinte l desiguldd del tringulo tenemos 3 3 > > δ de tl form que δ < Así ddo culquier número pequeño > ε si elegimos < ε δ min obtenemos

23 < ε Al igul que l definición de límite de un función complej de un vrible complej es idéntic l de un función rel de un vrible rel puesto que los vlores bsolutos se comportn como en el cso rel se plicn ectmente ls misms regls de los límites 3 Propieddes de los Límites Sen lim f A lim g B Entonces i [ f g ] A ± B lim ii lim f g AB f A iii lim pr B g B Demostrción Ddo ε > eiste un número δ > tl que f A < ε si < δ un número δ > tl que g B < ε siempre que < δ Se < δ donde δ min δ δ Entonces por l desiguldd del tringulo [ f g ] A B [ f A] [ g B] [ f A] g B < ε ε ε [ ] [ ] [ ] ε ε f g A B f A B g f A B g < ε Como ε > es rbitrrio se muestr que f ± g puede estr rbitrrimente cercno A ± B eligiendo suficientemente cercno Por tnto l propiedd i se cumple Además f g AB f g f B f B AB f g B B f A f g B B f A 3

24 4 B A B f B f g f B A g f [ ] B A f g B g B f B A f Bg g B f Si B < < ε tenemos g g g B B ε de tl form que B B g < ε ε A A A f f por lo tnto ε ε B A AB g f < B A B B A g f ε ε sí que podemos hcer g f f rbitrrimente cercnos AB B A respectivmente con suficientemente cercno Esto comprueb ls regls ii iii Teorem 33 Se lim w f lim W F Entonces [ ] lim W w F f [ ] lim w W F f Y si W entonces lim W w F f El limite de un polinomio n n P cundo tiende es el vlor del polinomio en ese punto:

25 lim P P Otr propiedd de los límites que nos será de utilidd lim f w entonces lim f w En generl ls propieddes que plicn pr los límites de los números reles tmbién son ls misms que se utilin pr los complejos Ls regls de los limites pueden usrse pr probr que tod función polinomil en n n f n n es continu en los complejos Se un función definid en todos los puntos de un entorno bierto de L firmción de que el limite de f cundo tiende es número w o se lim f w signific que el punto w f puede hcerse tn próimo como se quier w si escogemos el punto suficientemente cercno l punto pero distinto de el Entonces l firmción lim f w signific que pr cd número positivo ε eiste un número positivo δ tl que f w < ε siempre que < δ o < Geométricmente est definición dice que pr cd ε -entorno w w < ε de w eiste un δ -entorno bierto < < δ de tl que todo punto en él tiene un imgen w que est en el ε -entorno figur Figur 5

26 Teorem 34 Se f u iv i w u iv Entonces lim f w Si solo si Demostrción: lim u u Supongmos que lim u u lim f w Supongmos que lim f w lim v v lim v v entonces de cuerdo con l definición de límites donde pr cd número positivo ε eiste un número positivo δ tl que siempre que como se sigue que si v u u i v < ε < i < δ u u u u i v v v v u u i v v u u < ε v v < ε < i < δ Recíprocmente supongmos que lim u u lim δ tles que v v Pr cd número ε positivo eisten números positivos δ ε u u < si < < δ ε v v < si < < δ se δ el menor de los números δ δ Ddo que 6

27 concluimos que siempre que u u u u v v i v v u iv u iv < ε i i < δ < lo cul es igul l ecución lim f w Ejemplo pr l superficie log Correspondiendo cd número no nulo l función multivlud log ln r iθ Tiene infinitos vlores Pr describir log como función univlud sustituimos el plno quitdo el origen por un superficie sobre l cul se coloc un nuevo punto cd ve que el rgumento de crece o decrece en π o en un múltiplo entero de π Consideremos el plno sin el origen como un fin hoj R cortd lo lrgo del eje rel positivo Sobre es hoj θ vrí de π Se R otr hoj cortd del mismo modo colocd sobre R El borde inferior del corte en R se une entonces con el borde superior del corte de R Sobre R θ vrí de π 4 π ; sí que cundo es representdo por un punto en R l componente imginri de log vrí de π 4 π Se cort hor de l mism mner otr hoj R se coloc sobre R El borde inferior del corte de R se une con el superior del corte R nálogmente pr ls hojs R 3 R4 Un hoj R en l que θ vrí desde hst π se cort se coloc bjo R con el borde inferior de su corte unido l borde superior del corte de R Ls hojs R R se construen de form similr Ls coordends r θ de 3 4 un punto sobre culquier de ls hojs pueden considerrse como coordends polres de l proección del punto sobre el plno originl estndo restringid l vrición de θ en cd hoj un rngo de π rdines Consideremos culquier curv continu sobre est superficie cone de infinits hojs Al describir un punto es curv los vlores de log vrín continumente que θ l igul que r vrí continumente; log tom ectmente un vlor correspondiente cd punto de l curv 7

28 Figur Por ejemplo si el punto d un vuelt complet en torno l origen sobre l hoj R por el cmino indicdo en l Figur el ángulo cmbi de π Al trvesr el ro θ π el punto ps l hoj R de l superficie Mientrs complet un vuelt en R el ángulo θ vri de π 4 π l crur el ro θ 4π el punto ps l hoj R L superficie quí descrit es un superficie de Riemnn pr log Es un superficie cone de infinits hojs construid de modo tl que log es univlud sobre ell L trnsformción w log plic l superficie de Riemnn complet de mner uno uno sobre todo el plno w L imgen de l hoj R es l frnj v π Cundo un punto se mueve por l hoj R lo lrgo del rco que muestr l Figur 3 su imgen w se mueve hci rrib crundo l rect v π como indic l Figur 3 Nótese que log definid sobre l hoj R represent l prolongción nlític de l función nlític univlud f ln r iθ < θ < π Por el eje rel positivo hci rrib En ese sentido log es no sólo un función univlud de todos los puntos de l superficie de Riemnn sino tmbién un función nlític en ellos Ls hojs podrín hberse cortdo clro está lo lrgo del eje rel negtivo o de culquier otro ro que prt del origen unids decudmente por los bordes de sus cortes formrín otr superficie de Riemnn pr log 8

29 Figur 3 Como sbemos l longitud de culquier triángulo es menor o igul l sum de ls longitudes de los otros dos ldos 33 Continuidd Un función f es continu en un punto si stisfce ls siguientes condiciones: lim f eiste f eiste 3 lim f f L firmción 3 dice que pr cd número positivo ε eiste un número positivo δ tl que 4 f f < ε si < δ Un función de un vrible complej se dice que es continu en un región R si lo es en todos sus puntos 33 Propieddes Algebrics pr l Continuidd Si dos funciones son continus en un punto su sum su producto tmbién lo son; su cociente es continu en ls misms circunstncis siempre que el denomindor no se nule en ese punto Se sigue directmente de l definición 4 que l composición de dos funciones continus es continu Pr verlo se w f un función definid pr todo de un entorno de se g w un función cuo dominio de definición contiene l 9

30 imgen de ese entorno Entonces l composición [ f ] g est definid pr todo de ese entorno de Supongmos hor que f es continu en que g es continu en el punto w f En vist de l continuidd de g en w sbemos que pr cd numero positivo ε eiste un número positivo tl que [ f ] g[ f ] < ε g si f f < Ahor correspondiendo eiste un número positivo δ l segund de ests igulddes se stisfce siempre que < δ 34 Funciones Continus de un Vrible Un función continu de un vrible complej es un regl que sign un numero complejo w cd numero complejo de un conjunto S Al escribir w f en términos de ls descomposiciones en prtes rel e imginri i w u iv de cd vrible complej w u iv iv notmos que un función complej de un vrible complej consiste en un pr de funciones reles de dos vribles reles Ls funciones reles de un vrible rel f pueden describirse geométricmente por medio de un grfic en el plno No es posible un representción pr w f que se requerirí cutro dimensiones dos pr cd vrible complej En lugr de esto l informción cerc de l función se epres dibujndo plnos complejos seprdos pr ls vribles w e indicndo l correspondenci eistente entre puntos o conjuntos de puntos en los plnos figur 4 35 Derivds Definición 35 Se f un función cuo dominio de definición contiene un entorno de L derivd de f en escrit f se define por l ecución f f f lim Supuesto que ese límite eist L función f se dice diferencible en cundo eiste su derivd en 3

31 Figur 4 Epresndo l vrible de l ecución f f f lim de l nuev vrible complej cundo est mu cerc de se tiene de donde en términos l ecución se puede escribir como f f f lim Siempre que se suficientemente pequeño Figur 5 f f Al utilir l ecución f lim de l definición de derivd se suele omitir el subíndice de se introduce el número Que denot el cmbio en el vlor de f correspondiente un cmbio en el punto en el que evlumos f Entonces si llmmos dw d f l ecución f f f lim se convierte en dw w lim d 3

32 w f f Figur 5 Todo polinomio: P 3 3 n n Es entero porque en cd punto de los complejos tiene derivd P n 3 3 n n Ejemplo 6 Eminemos hor l función f Aquí Figur 6 w 3

33 Si el límite de w eiste ese limite puede hllrse hciendo que el punto se proime l origen en el plno de form rbitrri En prticulr cundo tiende hci el origen horiontlmente por los puntos del eje rel Fig 6 podemos escribir Por tnto si eiste el límite de w su vlor h de ser Sin embrgo cundo tiende l origen verticlmente por los puntos del eje imginrio de modo que hllmos que el límite debe ser si eiste Como los límites son únicos se deduce que o se si h de eistir dw d Pr ver que en efecto dw d eiste en sólo necesitmos observr que nuestr epresión pr w se reduce cundo Concluimos en consecuenci que dw d eiste sólo en el punto su vlor es llí El ejemplo nterior muestr que un función puede ser diferencible en un cierto punto sin serlo en ningún otro punto de un entorno suo 35 Derivds Prciles Puesto que ls prtes rel e imginri de f son u v Respectivmente muestr simismo que ls componentes rel e imginri de un función de un vrible complej pueden tener derivds prciles continus de todo orden no obstnte l función no ser diferencible llí L función f es continu en todo punto del plno complejo pues sus componentes u v lo son Así que l continuidd de un función en un punto no implic l eistenci de derivd en él Es cierto sin embrgo que l eistenci de derivd de un función en un punto implic l continuidd de l función en ese punto Pr verlo supongmos que eiste f escribmos f f lim[ f f ] lim lim f * De donde lim f f 33

34 Esto segur l continuidd de f en 36 Función Eponencil Complej Definición 36 L eponencil complej dd por: e isen e cos Es un función enter con vlor diferente de cero que stisfce l ecución diferencil: f f f Que e se sigue que ni e ni cos isen se nul Además observmos que como i l notción conduce : e i i cos isen e Así l representción polr de un número complejo se trnsform en: i rg e Si i i entonces ls formuls trigonométrics pr l sum implicn que e e e e e e e cos isen cos isen [ cos cos sensen i sen cos cos sen ] [ cos isen ] e i e Y que Se sigue que e e e e e e e Si usmos repetidmente l formul pr l sum de eponentes obtenemos e n n e Est identidd proporcion un prueb rápid del teorem de Moivre cundo iθ e : n iθ n iθn cosθ isenθ e e cos nθ isennθ Pr n ± ± ± 34

35 Con el teorem de Moivre tenemos: i 3 3 e πi 4 i e πi 4 3 e πi 4 3 e 3πi 4 36 Propieddes de l Eponencil Complej Teorem 37 Si i i son dos números complejos entonces tenemos e e e Demostrción e e cos isen e e cos isen e [ cos sen sen icos sen sen cos ] e e e cos Ahor bien e e e que son mbos reles Además por lo tnto e e cos cos sensen cos cos sen sen cos sen [ isen ] e e cos En los teorems siguientes designn números complejos Teorem 38 e jmás es cero Demostrción e e e Por lo tnto e no puede ser cero Teorem 39 Si es rel entonces i e Demostrción i e cos sen i e > Teorem 3 e si solo si es múltiplo de πi 35

36 Demostrción Si n donde n es un entero entonces e cos π n isenπn Recíprocmente supongmos que e Esto signific que e cos e sen Como e entonces debe ser sen kπ donde k es un k k entero Pero cos k π Por lo tnto e que e cos kπ Como e > k debe ser pr Por lo tnto e entonces Teorem 3 e e si solo si πin donde n es un entero Demostrción e e si solo si e Definición 3 Se l eponencil e rel Definimos e pr complejo de tl form que ls principles propieddes de l función eponencil rel se conserven Ls citds propieddes de e pr rel son l le de los eponentes e e e l ecución e Dremos un definición de e pr complejo que conserve ests propieddes que se reduc l eponencil ordinri cundo se rel Si escribimos i reles entonces pr que se verifique l le de los i i eponentes deberímos tener e e e Definición 33 Si i definimos e i e como el número complejo e e cos isen Est definición coincide clrmente con l función eponencil rel cundo es rel esto es O Probremos continución que l le de los eponentes se cumple 37 Mpeo L eponencil complej jueg un ppel esencil en ls plicciones Con el fin de entender completmente l eponencil complej Necesitremos estudir sus propieddes como mpeo Pr visulir el mpeo w e e cos isen observemos que l frnj infinit π < π se mpe en C {} ; los puntos sobre el segmento de rect π < π se mpen de mner uno uno en 36

37 Figur 7 el circulo w ls rects verticles l iquierd del eje imginrio se mpen en círculos de rdio r < ls rects verticles l derech del eje imginrio sobre círculos de rdio r > l mitd iquierd de l frnj en l Figur 7 se mpe en < w < l mitd derech v w > Observe que e tiene periodo πi porque e e i π i e cos π isenπ e π [ ] πki Así que los vlores complejos e e con k entero son idénticos Por tnto cd frnj infinit π πk < π k ± ± tmbién se mpe en C {} el mpeo e : C C {} mnd un número infinito de puntos de C l mismo punto en C {} Este es un resultdo indeseble en vist de que no permite l discusión de un función invers ecepto sobre cd un de ls frnjs infinits descrits nteriormente L función invers es verddermente importnte porque l invers de l eponencil rel es el logritmo Pr eliminr est dificultd imgine que el contrdominio del mpeo consiste en un número infinito de copis de C {} pilds en cps uns sobre otrs cd un cortd lo lrgo del eje rel negtivo con el borde superior de un cp pegd l borde inferior de l cp superior produciendo un conjunto R que semej un rmp infinit en espirl Figur 8 El conjunto R difiere de C {} en que cd punto de R qued determindo unívocmente en coordends polres mientrs que los puntos de C {} no se pueden determinr en l mism form porque el rgumento es multivludo Si utilimos R como el contrdominio de l función e medimos distncis corts en R de l mner obvi observmos que e mpe C continumente en R que el mpeo es uno uno Así e : C R tiene invers L nliticidd de e no se fect l hcer este cmbio de contrdominio porque e e h e e e h h h 37

38 Figur 8 h Y l cntidd entre préntesis tiende e cundo h si e pertenece l mism cp de R que e De mner lterntiv si Im k π h es pequeño h h pertenecerán l mism frnj de tl form que e e se encuentren en l mism copi de C {} El conjunto R se llm superficie de Riemnn; ls línes de corte en cd copi de C {} cortes de rmificción; los etremos de los cortes de rmificción puntos de rmificción; cd copi de C {} se llm rm de R Como e : C R es uno uno con R como l superficie de Riemnn definid podemos definir su función invers Imitndo el cso rel llmmos este inverso logritmo lo denotmos por: log R C Como l eponencil complej el logritmo son funciones inverss se tiene que: log e pr todo en C log e pr todo en R L representción polr l nturle invers de ls funciones logritmo eponencil proporcionn un definición nturl pr el logritmo complejo: log i rg log i rg e e log i rg log log Donde Teorem 34 log es el logritmo nturl del cálculo elementl L función log log i rg es nlític pr todo en R 38

39 Demostrción: Como u log log v rg tn πn u u v v Ls ecuciones de Cuch-Riemnn se cumplen ls derivds prciles son tods continus en R Porque l nliticidd es un propiedd locl porque l prueb del teorem sobre condiciones pr l nliticidd se bs en rgumentos locles log es nlític en R 38 Función Logritmo Complejo Como hemos visto e nunc es cero Nos podemos preguntr si h otros vlores que e no puede tomr jmás Teorem 35 Si es un número complejo eisten números complejos w tles que Uno de tles w es el número complejo e w todos los demás tienen l form log i rg donde n es un entero log i rg nπi Demostrción Como vemos que es un solución de l ecución e log i rg log i rg i rg e e e w log i rg e w w w Pero si w es otr solución entonces e e por lo tnto w w nπi Definición 36 Se un número complejo ddo Si w es un número complejo tl que e w entonces w se denomin un logritmo de El vlor prticulr ddo por 39

40 w log i rg se llm logritmo principl de pr este w escribiremos w Log Teorem 37 Si entonces Log Log Log πni donde n es un entero Demostrción Log log i rg [ rg rg πn ] log log i Definición 38 El logritmo complejo tiene ls propieddes usules de un logritmo: log log log log log En ests dos identiddes suponemos que son puntos de l superficie de Riemnn R Como: log e Pr culquier en R plicmos l regl de l cden pr l derivción obtener: log e log o log pr en R Así l formul usul de l derivd se cumple en R De l mism mner que definimos el vlor principl Arg del rgumento rg podemos etender este concepto l logritmo Al visulir l logritmo como el mpeo inverso de l eponencil llmmos l rm de R cortd lo lrgo del eje rel negtivo que se mpe en l frnj semiinfinit π < π rm principl del logritmo vése Figur 9 Denotmos log cundo se restringe l rm principl por 4

41 llmmos éste vlor principl de log log iarg log Figur 9 Note que el vlor principl log se define sólo en quell rm de R pr l cul Arg eiste Debe tenerse cuiddo cundo se trbje con l rm principl del logritmo log que ls propieddes usules de los logritmos pueden no cumplirse Por ejemplo logi log i iarg i iπ pero sí que 3π log i log i iarg i log i 4 log[ i i] log i log i iarg i 3π log i 4 log[ i i] logi log i Por el contrrio ls dos epresiones difieren por un múltiplo de πi Ls funciones logritmo eponencil complejs se pueden usr pr definir ls funciones potenci 4

42 39 Función Potenci Utilindo los logritmos complejos podemos dr hor un definición de ls potencis complejs de los números complejos Definición 39 Si si w es u numero complejo culquier definimos w wlog e Los dos teorems siguientes suministrn ls regls de cálculo con potencis complejs Teorem 3 Demostrción si w w w w e e e w w w w Log wlog wlog w w Teorem 3 Si entonces w w w πiwn e donde n es entero Demostrción w wlog w[ Log Log πin ] e e 3 Funciones Trscendentles L eponencil complej puede utilirse pr definir funciones trigonométrics i i complejs Como e cos isen e cos isen entonces: e cos i e i i i e e sen i Etendemos ests definiciones los plnos complejos como sigue: Definición 3 log e complejo 4

43 L función : R R es nlític uno uno porque es l composición de funciones de esos tipos Por l regl de l cden log e * El vlor principl de l función potenci est ddo por: Definición 33 cos e i e Log e i i i e e sen i Ests funciones son enters pues sums de funciones enters stisfcen: i i i i ie ie e e cos sen i i i i i ie ie e e sen cos i Ls otrs funciones trigonométrics definids en términos de ls funciones seno coseno por medio de ls relciones usules son nlítics ecepto donde se nuln sus denomindores stisfcen ls regls normles de derivción tn sen cos sec cos cos cot sen csc sen tn sec sec sec tn cot csc csc csc cot Tods ls identiddes trigonométrics usules son vlids en vribles complejs sus demostrciones dependen de ls propieddes de l eponencil Por ejemplo i i i i cos sen [ e e e e ] 4 i i i i i i i i e e e e e e e e cos cos sensen i i 43

44 e i e i e 4 i e i cos De l definición de cos tenemos e cos cos i e cos isen e i e i cos isen e e e e cos sen Así cos cos cosh isen senh De mner semejnte encontrmos Teorem 34 Los ceros reles de sen Demostrción: Si sen sen sen cosh icos senh cos son únicos ceros tenemos que: sen cosh cos senh Pero cosh lo cul implic que el primer término se nul solmente cundo sen esto es sen ±π ± π sin embrgo pr estos vlores cos no se nul Por tnto debemos tener senh se Así sen implic nπ con n entero Est severción tmbién se plic tn de igul form encontrmos que cos Implic n π con n entero Ls funciones hiperbólics complejs se definen l etender ls definiciones reles l plno complejo Definición 35 44

45 e e senh e e cosh Nuevmente tods ls identiddes regls usules de derivción se plicn ls funciones hiperbólics complejs Notemos demás que: e senh i i e i isen i i e e cosh i cos Así ls funciones hiperbólics complejs están relcionds con ls funciones trigonométrics complejs que l multiplicr por i simplemente se rot tod vector en los complejos por 9 en sentido contrrio l dirección que llevn ls mnecills del reloj Por tnto los ceros de senh cosh son imginrios puros 3 Condiciones Necesris Pr L Anliticidd Definición 36 Función Anlític Se f u iv un función complej definid en un conjunto bierto S del plno complejo C Se dice que f es nlític en S si eiste es continu l derivd f en cd punto de S Como sbemos derivd de un función complej de un vrible complej se define ectmente de l mism mner que el cso rel del cálculo Definición 37 Se f definid en G C L derivd f de f en est dd por f lim h f h h f Cundo el límite eiste Se dice que l función f es nlític en l región G si tiene derivd en cd punto de G se dice que f es enter si es nlític en todo C Lem 38: si f tiene derivd en entonces f es continu en Demostrción: f h lim f h lim h h h f * h f f 45

46 Si mnipulmos l definición de derivd est llev ls regls usules de derivción: f ± g ± g f fg gf fg Regl de l cden f g f g gf fg g g f g g Ls pruebs son idéntics ls usds en cálculo elementl Se supong que h es rel entonces: f lim h f h h f f f Pero entonces si h ik es purmente imginrio entonces: f lim k f k k f if i Así l eistenci de un derivd complej oblig l función stisfcer l ecución diferencil prcil: f if Si f u iv donde u v son funciones reles de un vrible complej si igulmos ls prtes reles e imginris de: u iv f if v iu Obtenemos ls ecuciones diferenciles de Cuch-Riemnn u v v u Y finlmente hemos probdo el siguiente teorem Teorem 39 Si l función f u iv tiene derivd en el punto ls primers derivds prciles de u v con respecto eisten stisfcen ls ecuciones de Cuch-Riemnn 46

47 Ejemplo 7 Se f i Como f es enter u v deben stisfcer ls ecuciones de Cuch Riemnn Observemos que u v u v Por otr prte si entonces f u v u u v v sí que f stisfce ls ecuciones de Cuch-Riemnn solo en Aún más f tiene derivd cundo porque f lim h h h lim h h Como hemos visto en ls propieddes de los complejos hor empecemos con l eponencil e Desemos definir un función f e que se nlític que coincid con l función eponencil rel cundo se rel Recordndo que l eponencil rel se determin por l ecución diferencil f f f Nos preguntrnos si eiste un solución nlític de l ecución f f f Si tl solución eiste necesrimente deberá coincidir con e cundo sólo sí stisfrá l ecución que l determin sobre el eje rel De l definición de f tenemos pues u iv u iv u v Como u u v v l seprr vribles tenemos u p e v q e como p q por ls condiciones iniciles Derivremos ests dos ecuciones con respecto plicndo ls ecuciones de Cuch-Riemnn pr obtener p e u v q e q e v u p e 47

48 Por tnto p q q p sí que q p q p q p p q son soluciones de l ecución diferencil rel φ φ Tods ls soluciones de est ecución son de l form A cos Bsen con A B constntes Como q p p p debemos tener p cos q sen Por tnto obtenemos l función f e cos ie sen e cos isen Que coincide con e cundo es nlític puesto que su construcción utomáticmente grnti que ls prciles son continus stisfcen ls ecuciones de Cuch-Riemnn 3 Condiciones Suficientes Pr L Anliticidd Aquí nos podemos preguntr si ls ecuciones de Cuch-Riemnn son suficientes pr grntir l eistenci de l derivd en un punto ddo El ejemplo siguiente de D Menchoff muestr que no es sí Se Entonces 5 4 f f 4 Que tiene vlor sobre el eje rel vlor - sobre l líne Así f no tiene derivd en ; pero si se desrroll l epresión pr f se tiene por lo que u u o v v o u v u v se cumplen ls ecuciones de Cuch-Riemnn Sin embrgo tenemos el siguiente teorem Teorem 33 Se f u iv definid en lgun región G que contiene l punto que tiene primers derivds prciles continus con respecto que stisfcen ls ecuciones de Cuch-Riemnn en Entonces f eiste 48

49 49 Demostrción: Si el cociente de diferencis se puede escribir: o o o o o o o o v v i u u f f v v i u u v v i u u [ ] t iv t u [ ] 4 3 o o o o t iv t u Donde 34 < < k t k según el teorem del vlor medio del clculo diferencil Este resultdo tmbién se cumple si Como ls derivds prciles son continus en o podemos decir: [ ] ε iv u f f [ ] ε iv u Donde ε ε cundo Aplicndo ls ecuciones de Cuch-Riemnn l último término podemos cmbir los términos pr obtener: iv u f f ε ε Como l desiguldd del tringulo conduce ε ε ε ε o cundo

50 Por tnto el último término tiende cero cundo tiende sí que l tomr el limite tenemos: f f f lim u iv En prticulr si ls hipótesis del teorem se cumplen en todos los puntos de l región G entonces f es nlític en G En el cso de l vrible rel del cálculo elementl sbemos que cundo l derivd de un función es cero en lgún intervlo l función es constnte en ese intervlo Pr vribles complejs se obtiene un resultdo semejnte 33 Funciones Armónics Ecución de Lplce u u Por ls ecuciones de Cuch-Riemnn se tiene que u u v v u u donde l ecución de Lplce se cumple pr u De l mism form se cumple pr v 34 Armónicos Conjugdos Tnto u como v son rmónicos cumplen ls ecuciones de Cuch u v u v u v u v 35 Teorem de l Derivd Nul Se f nlític en un región G f en todo de G Entonces f es constnte en G Se tiene l mism conclusión si Re f Im f f o rg f es constnte en G Demostrción: Como f u iv si l derivd se nul implic u v v u son tods cero Así u v son constntes lo lrgo de culquier rect prlel los 5

51 ejes coordendos como G es coneo medinte un polígono entonces constnte en G f u iv es Si uov es constnte v u u v lo cul implic que f u iv f es constnte Si f es constnte tmbién u v lo es esto implic que f uu vv uu vv vu uv Resolviendo ests dos ecuciones pr determinnte u v se nule Como u v tenemos u v menos que el u v es constnte entonces f u v en un punto entonces es constntemente cero f se nul idénticmente De otr mner ls derivds se nuln f es constnte Si rg f c f G estrá contenid en l rect v tn c * u A menos que u en cuto cso terminmos Pero i tn c f es nlític Im i tn c f v tn c u Lo que implic que i tn c f es constnte Así f lo es tmbién IV INTEGRAL COMPLEJA 4 Introducción l Integrl de Líne L nturle bidimensionl del plno complejo sugiere considerr integrles lo lrgo de curvs rbitrris en C en lugr de segmentos del eje rel únicmente Ests integrles de líne tienen propieddes interesntes poco comunes ls cules veremos 4 Integrles de Líne Como vimos nteriormente ls funciones nlítics son resultntes de l derivbilidd de l función En cálculo rel el teorem fundmentl revel un coneión entre ls derivds ls integrles definids Un rco en el plno es culquier conjunto de puntos que pueden describirse en form prmétric por: : t t α t β 5

52 Con t t funciones continus de l vrible rel t en el intervlo rel cerrdo [ α β ] En el plno complejo se describe el rco por medio de l función complej continu de un vrible rel : t t i t α t β Definición 4 Arco suve Se un rco suve si l función t t i t no se nul es continu en α t β entonces es un rco suve Definición 4 Arco suve por prtes spp Consiste en número finito de rcos suves unidos por sus etremos Si es un rco spp entonces t t son continus pero sus derivds t t son continus por prtes Definición 43 Arco de Jordn Si t t solo si t t esto es si no se intersect si mismo o utointersect Un rco es un curv cerrd si α β un curv de Jordn si es cerrd simple ecepto en los etremos α β L figur 3 ilustr lgunos de estos conceptos Teorem 44 L Curv de Jordn Un curv de Jordn sepr el plno en dos regiones simplemente cones que tienen l curv como su fronter L región que contiene el punto l infinito se llm eterior de l curv; l otr región se llm interior 45 Definición de Integrl Se : t α t β un rco suve f u iv continu en Así l integrl de líne de f sobre estrá dd por: β β α β f d f t t dt α [ u t iv t ][ t i t ] β [ u t t v t t ] dt i [ u t t v t t ] α α dt dt 5

53 Figur 3 Teorem 46 Se un curv de Jordn spp tl que su interior contiene ls curvs de Jordn spp disjunts n ningun de ls cules est contenid en el interior de l otr Supong que f es nlític en un región G que contiene l conjunto S el cul consiste en todos los puntos sobre en el interior de pero no en los interiores de k k n Entonces n f d f d k k Demostrción: Figur 3 53

54 Siempre se podrán encontrr rcos L k k n spp disjuntos que unn k con k donde L n une n con que formen dos curvs de Jordn spp cd un contenid en lgun subregión simplemente cone de G Sobre bses intuitivs omitimos l prueb vése figur3 Por el teorem de Cuch l integrl de f sobre ests curvs cd un recorrid en sentido positivo se nul Pero l contribución totl de ests dos curvs es equivlente l recorrido de en el sentido positivo n en el sentido negtivo lo contrrio L Ln en direcciones opuests Así ls integrles sobre los rcos L k se cnceln : n d f d k k f f d k n k Definición 47 Dd l función complej de l vrible rel t t i t se define l integrl definid de t b como sobre [ ] continu en [ b] b t dt t dt i t dt b b 4 Propieddes de l Integrl de Líne Se f nlític en el interior en los puntos de un entorno cerrdo simple c orientdo positivmente si es un punto interior C entonces: f d f πc c n n! f f ; 3 d n n πi Luego In c Teorem 48 [ αf βf ] d α f d β f i 54

55 f d f d ii f d donde es l trectori que consiste en recorrer primero seguido de iii f d f d donde es l trectori que recorre el rco en sentido inverso iv f d f d donde definimos d como l diferencil con respecto l longitud de rco con: Demostrción: d d id d d ds Pr probr iv obsérvese que pr culquier constnte rel Re β β iθ iθ e f d Re e f t t dt f t t dt α Y que l prte rel de un número complejo no puede eceder su vlor bsoluto Si se escribe f d θ rg f d l epresión de l iquierd se reduce l vlor bsoluto de l integrl se cumple l i desiguldd Ls demás pruebs son consecuencis inmedits de l definición de integrl de líne Si f M en todo punto de u rco de longitud L L prte iv del teorem proporcion l desiguldd f d M d ML en form polr [ ] De l definición ls propieddes de l integrl definid de funciones reles de vrible rel se deduce de form inmedit siendo continús en I [ b] : Tmbién se cumple: b b d d [ ] d d d b b b c 3 d d d b c b α 55

56 b 4 Re d Re[ ] d b b b 5 α d α d α C Si l función complej de vrible rel verific entonces: se verific tmbién: b 6 d b b 7 d d b Demostrción Se entonces b iθ d R e b b b iθ e iθ d R e d d Si f u iv verific que b f d es rel entonces b b f d Re[ f ] d L integrl Luego b iθ e b d es rel por ser igul R b iθ iθ d e d Re[ e ] d b Ahor el integrndo es un función rel de vrible rel demás: Entonces tenemos que Re[ e i θ ] e i θ b b iθ d Re[ e ] d d b 56

57 L integrl de líne sobre un rco spp se obtiene l plicrse l definición nterior un número finito de intervlos cerrdos en los cules t es suve sumr los resultdos Ejemplo 8 Pr evlur d lo lrgo del rco spp mostrdo en l figur 3 Figur 3 Prmetrimos por it t : t t i t Entonces i t t t Con derivds iquierd derech diferentes en t Por definición integrr sobre cd uno de los intervlos t t se obtiene d idt t dt i Y que t en t t t en t Al escoger un prmetrición diferente pr por ejemplo Se tiene Y i logt : t t i e i t t e t e e t e t e e t e 57

58 i t d e e dt dt i t e e e Por lo tnto l integrl de líne es independiente de ls dos prmetriciones de Este cso se drá siempre cundo el cmbio de prámetros se derivble por prtes como puede comprobrse fácilmente l utilir l fórmul del cmbio de vrible del cálculo integrl Se obtiene un vlor diferente si se integr sobre el segmento de líne * que une con i Así *: t t it t Así que i d t i dt Este ejemplo muestr que no se puede obtener un teorem similr l teorem fundmentl del cálculo pr tods ls funciones complejs continus f Consideremos por otr prte únicmente quells funciones f que son derivds de un función nlític F U iv en lgun región G que conteng el rco suve Entonces por definición d F d Con l regl de l cden obtenemos β f F t t dt β β α F t t dt [ F t] dt] [ U t] dt α α d dt β α d dt i β α d [ V t] dt dt Si se plic el teorem fundmentl del cálculo cd un de ests integrles reles se obtiene [ U β U α ] i[ V β V α ] F β F f d α Además se pude etender fácilmente este resultdo los rcos spp con l sum de los resultdos obtenidos de los subrcos suves Como el resultdo depende únicmente de los puntos etremos de cd subrco suve se hbrá probdo el siguiente teorem Teorem 44 Teorem Fundmentl del Cálculo Si F es un función nlític con derivd continu f F en un región G que contiene el rco spp : t α t β entonces: 58

59 f d F β F α Como l integrl solo depende de los etremos del rco es independiente de l trectori De est form se obtiene el mismo resultdo pr culquier rco spp en G con estos etremos Pr curvs spp cerrds el teorem fundmentl estblece que: que F β F Z α f d Ejemplo 9 Se P culquier polinomio un rco spp Muestre que : P d si e un curv cerrd b P d depende solo de los etremos de Solución: todo polinomio P es continuo en C Además si P n n n n entonces P será l derivd del polinomio nlítico n n n n Q n n De est form se stisfce el teorem fundmentl se cumple ls prtes b Teorem 49 Teorem de Green Se G l región interior de un curv de Jordn spp supong que ls funciones reles p q son continus en G con primers prciles continus en G Entonces: p q dd pd qd G Ahor si f u iv es nlític sobre en el interior de un curv de Jordn spp reescribimos l integrl de f lo lrgo de en l form: f d u iv d id ud vd i vd ud 59

60 Si f es continu en G entonces ls primers prciles u u v v tmbién lo son Al plicr el teorem de Green ls dos integrles de líne de l derech se obtiene: f d v u dd i u v dd G Ls primers prciles stisfcen ls ecuciones de Cuch-Riemnn G u v u v por que f es nlític Por tnto mbos integrndos del ldo derecho son cero Como f es continu en G hemos probdo el teorem siguiente Teorem 4 Teorem de Cuch Se f un función nlític sobre en el interior de l curv de jordn spp Entonces: f d Ejemplo e Evlué d 4 Solución: l notción empled signific que l integrción se tom sobre el círculo unitrio en su sentido positivo L función f e 4 su derivd 4 e 4 f son nlítics sobre en el interior de Como l derivd es nlític es continu Por ende el teorem de Cuch de plic e d 4 44 Formul Integrl de cuch Se f un función nlític en un región simplemente cone que conteng l curv de Jordn spp Entonces f f ξ π d i ξ Pr todos los puntos ξ en el interior de 6

61 Demostrción: Se fij ξ Entonces ddo ε < eiste un disco cerrdo ξ r en el interior de pr el cul f f ξ < ε Figur 33 Figur33 Como f es nlític en un región que contiene quellos puntos sobre Z ξ en el interior de que stisfcen ξ r el teorem de Cuch pr regiones múltiplemente cones implic: πi f d ξ πi ξ r f d ξ Pero f ξ d f ξ ξ r ξ d ξ r ξ r f f ξ ξ d L primer integrl del ldo derecho será igul πi entonces: f d πif ξ ξ r ξ ξ r f ξ ξ d < πε Como ε puede elegirse rbitrrimente cercno cero completmos l demostrción Ejemplo Integre 6

62 cos d 3 sobre ls curvs dds: : b : c : i Solución: : Al descomponer l integrl por frcciones prciles se obtiene cos d 3 cos d cos d i cos d i π i cos cos i cos i [ cosh ] πi b : Como cos es nlític sobre en el interior de l integrl es igul πi veces su vlor en esto es cos d 3 πi c : i Como cos i es nlític sobre en el interior de por frcciones prciles se tiene i i por lo cul cos cos cos i d πi i i πi cosh 3 i i Por supuesto en los tres ejemplos se puede utilir l descomposición por frcciones prciles de l prte por que ls integrles correspondientes se nuln cundo los puntos o ± i están en el eterior de Teorem 4 Teorem de Morer Si f es continu en un región simplemente cone G stisfce que f d Pr tods ls curvs spp cerrds en G entonces f es nlític en G 6

63 Demostrción: Elegimos un punto en G definimos F f ξ dξ Pr todo en G luego entonces F est bien definid por que es independiente de l trectori: si son curvs spp en G que vn de entonces - es un curv spp en G f ξ dξ f ξ dξ f ξ dξ Si f es continu pr culquier punto en G ε > eiste un disco ξ < δ en G tlque f ξ f < ε Si h < δ se tiene F h F h h f dξ f ξ dξ h h ξ f ξ dξ h Donde l integrción puede tomrse sobre l rect desde hst h Como Por sustrcción se obtiene f h f dξ h F h F h f h h [ f ξ f ] dξ f ξ f dξ < ε h h Por tnto F f sí que f e nlític en G Pero entonces F tiene derivd nlític lo que implic que f tmbién es nlític en G Ejemplo Integre Sobre : 3 cos d b : c : 3 63

64 Solución: : En este cso cos es nlític sobre en le interior 3 de sí que por el teorem de Cuch pr ls derivds se obtiene cos cos d πi πi b : Ahor que cos es nlític sobre en el interior de por lo 3 tnto l integrl es igul πi veces el vlor de cos en esto es cos d d cos [ cos cos o sen ] π [ cos ] π i i Por el teorem de Cuch pr ls derivds 64

65 CONCLUSIONES Los números complejos se introducen pr dr sentido l rí cudrd de números negtivos Así se bre l puert un curioso sorprendente mundo en el que tods ls operciones slvo dividir entre son posibles Inicilmente en 545 el mtemático itlino Girolmo Crdno en un trtdo monumentl cerc de l solución de ls ecuciones cúbic cudrátic hio l introducción de los números complejos Más trde el mtemático Guss demostró que todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en fctores lineles es decir que tiene tods sus ríces en C: este es el teorem fundmentl del álgebr Otro descubrimiento de Guss fue que l ritmétic de los números complejos introducid formlmente prtir de l relción i tiene un interpretción geométric sencill si identificmos los elementos de C con los puntos del plno Lo cul me motiv l estudio de ls estructurs de los números complejos su lgebr sus ioms de cuerpo representción geométric polr sus derivds e integrles etc L importnci de los números complejos está mrcd por sus múltiples plicciones en diverss Áres Mtemátics Físic Ingenierí Tecnologí etc Contribuendo sí l desrrollo de l tecnologí del ctul siglo En generl los números complejos son l bse l estructur mtemátic más importnte pr el nálisis desrrollo de nuevs propuests tnto científics como intelectules de l humnidd en el trnscurso de los siguientes ños 65

66 BIBLIOGRAFÍA [A] Apóstol T M Análisis Mtemático Reverte Brcelon 994 [C] Churchill R V Vrible Complej Aplicciones McGrw-Hill Nuev York 99 [D] Derrick W R Vrible Complej con Aplicciones Grupo Editoril Iberoméric Méico 984 [L] Lipschut S Topologí Generl McGrw-Hill Nuev York 97 66