Definición 1.1 Sean X, Y variables aleatorias discretas. La función o densidad de probabilidad condicional. P (X = x, Y = y) P (Y = y)

Transcripción

1 Capítulo 1 Itroducció 1.1. Itroducció Falta 1.2. Probabilidad y Esperaza Codicioal El Caso Discreto Defiició 1.1 Sea X, Y variables aleatorias discretas. La fució o desidad de probabilidad codicioal p X Y (x y) de X dado Y y se defie por p X Y (x y) P (X x, Y y) P (Y y) si P (Y y) > 0, y o está defiida, o se le asiga u valor arbitrario, si P (Y y) 0. E térmios de la desidad cojuta y de la desidad margial de Y, p X,Y (x, y) y p Y (y) x p X,Y (x, y) respectivamete, la defiició es p X Y (x y) p X,Y (x, y), si p Y (y) > 0. p Y (y) Observamos que p X Y (x y) es ua desidad de probabilidad e x para cada y fijo: p X Y (x y) 0, p X Y (x y) 1, para todo y. x Por lo tato, podemos defiir la fució de distribució codicioal de X dado que Y y como la f.d. asociada a la fució de probabilidad p X Y (x y) (siempre que p Y (y) > 0): F X Y (x y) z x La ley de la probabilidad total es p X Y (z y) 1 p Y (y) p X,Y (z, y). z x P (X x) y P (X x Y y)p (Y y) y p X Y (x y)p Y (y).

2 2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Ejemplo 1.1 Supogamos que X tiee distribució biomial de parámetros p y N, dode N a su vez tiee distribució de Poisso co media λ. Cuál es la distribució de X? Teemos que ( ) p X N (k ) p k (1 p) k, para k 0, 1,..., k Usado la ley de la probabilidad total P (X k) p N () λ e λ, para 0, 1,...! p X N (k )p N () 0 λk e λ p k k! (λp)k e λp k! k k [λ(1 p)] k ( k)!! k!( k)! pk (1 p) k λ e λ! (λp)k e λ e λ(1 p) k! para k 0, 1,..., es decir, X Pois(λp). Sea g ua fució tal que E[g(X)] <. Defiimos la esperaza codicioal de g(x) dado Y y por la fórmula E[g(X) Y y] g(x)p X Y (x y) si p Y (y) > 0, x y la esperaza codicioal o está defiida para valores y tales que p Y (y) 0. La ley de la probabilidad total para esperazas codicioales es E[g(X)] y E[g(X) Y y]p Y (y). La esperaza codicioal E[g(X) Y y] es ua fució de la variable real y, que deotaremos ϕ(y). Si evaluamos esta fució ϕ e la variable aleatoria Y obteemos ua ueva variable aleatoria ϕ(y ), que deotamos E[g(X) Y ]: E[g(X) Y ](ω) E[g(X) Y Y (ω)]. Podemos ahora escribir la ley de la probabilidad total como E[g(X)] E[E[g(X) Y ]] Ejemplo 1.2 Cosideremos u dado tetrahedral co 4 resultados posibles: 1, 2, 3 y 4 y probabilidades respectivas p(i) p i para i 1,..., 4. Lazamos el dado dos veces y defiimos X como el producto de los resultados y Y como su suma. A cotiuació presetamos ua descripció de los resultados posibles del experimeto y de los valores de las variables X e Y. Ω : (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) X : Y :

3 1.2. PROBABILIDAD Y ESPERANZA CONDICIONAL 3 Calculemos ahora la probabilidad codicioal p X Y (x y) para alguos valores de y. Por ejemplo, si Y 2, el úico resultado posible es (1, 1) y el valor de X e este caso es 1. Por lo tato { 1 si x 1, p X Y (x 2) 0 e otro caso. Algo similar ocurre cuado y 3, 7 u 8: Para cada uo de estos valores de la variable Y hay u sólo valor de la variable X, que por lo tato ocurre codicioalmete co probabilidad 1. Para los otros valores de y la situació es distita, pues hay varios valores posibles de x. Veamos, como ejemplo, el caso y 5; teemos dos valores posibles de X : 4, que correspode a los evetos elemetales (4, 1) y (1, 4), y 6, que correspode a los evetos elemetales (3, 2) y (2, 3). Por lo tato, p X Y (4 5) p X Y (6 5) P (X 4, Y 5) P (Y 5) P (X 6, Y 5) P (Y 5) p 1 p 4, p 1 p 4 + p 2 p 3 p 2 p 3. p 1 p 4 + p 2 p 3 De maera similar se calcula los otros valores de la fució de probabilidad codicioal, que so para Y 4: para Y 6: p X Y (3 4) 2p 1p 3 2p 1 p 3 + p 2, p X Y (4 4) 2 p 2 2 2p 1 p 3 + p 2, 2 p X Y (8 6) 2p 2p 4 2p 2 p 4 + p 2, p X Y (9 6) 3 2p 2 p 4 + p 2. 3 E cosecuecia vemos que para cada valor de la variable Y teemos ua fució de probabilidad sobre los posibles valores de X. Veamos ahora los distitos valores de la esperaza codicioal, E[X Y 2) 1, E[X Y 3] 2 2p 1 p 3 E[X Y 4) 3 2p 1 p 3 + p p 1 p 3 + p 2 2 p 1 p 4 p 2 p 3 E[X Y 5) p 1 p 4 + p 2 p 3 p 1 p 4 + p 2 p 3 2p 2 p 4 p 2 3 E[X Y 6) 8 2p 2 p 4 + p p 2 p 4 + p 2 3 E[X Y 7) 12, E[X Y 8] 16. Para el caso particular e el cual el dado es simétrico y todos los valores tiee la misma probabilidad los valores de las tres esperazas cetrales e la expresió aterior so E[X Y 4] 10 3 ; E[X Y 5] 5; E[X Y 6] Por lo tato, E[X Y ] es ua fució de los valores de Y, y como Y es ua variable aleatoria, tambié lo es E[X Y ]. La siguiete tabla muestra los valores de Y, los valores asociados de E[X Y ] y las probabilidades correspodietes, y represeta ua descripció de la variable aleatoria E[X Y ]. y E[X Y y] P (Y y) 2 1 1/ /8 4 10/3 3/ /4 6 25/3 3/ / /16 p 2 2 p 2 3

4 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Propiedades. Como la esperaza codicioal de g(x) dado Y y es la esperaza respecto a la desidad de probabilidad codicioal p X Y (x y), las esperazas codicioales se comporta e muchos aspectos como esperazas ordiarias. Supoemos que X e Y tiee distribució cojuta, c R, g es ua fució tal que E[ g(x) ] <, h es ua fució acotada y ν es ua fució e R 2 tal que E[ ν(x, Y ) ] <. 1. E[c 1 g 1 (X 1 ) + c 2 g 2 (X 2 ) Y y] c 1 E[g 1 (X 1 ) Y y] + c 2 E[g 2 (X 2 ) Y y]. 2. Si g 0 etoces E[g(X) Y y] E[ν(X, Y ) Y y] E[ν(X, y) Y y]. 4. E[g(X) Y y] E[g(X)] si X e Y so v.a.i. 5. E[g(X)h(Y ) Y y] h(y) E[g(X) Y y]. 6. E[g(X)h(Y )] y h(y) E[g(X) Y y]p Y (y) E[h(Y ) E[g(X) Y ]]. Como cosecuecia de 1, 5 y 6 obteemos 7. E[c Y y] c, 8. E[h(Y ) Y y] h(y), 9. E[g(X)] y E[g(X) Y y]p Y (y) E[E[g(X) Y ]]. Ejemplo 1.3 Usado la propiedad 9 podemos obteer la esperaza de X e el ejemplo aterior: E[X] E[E[X Y ]] y hemos hallado la esperaza de X si haber usado su fució de distribució El Caso Cotiuo Sea X, Y v.a. co distribució cojuta cotiua de desidad f X,Y (x, y). Defiimos la desidad codicioal f X Y (x y) para la variable X dado que Y y por la fórmula f X Y (x y) f XY (x, y) f Y (y) si f Y (y) > 0, y o está defiida si f Y (y) 0. La f.d. codicioal para X dado Y y se defie por F X Y (x y) x f XY (s, y) f Y (y) ds si f Y (y) > 0. La desidad codicioal tiee las propiedades que uo esperaría. E particular P (a < X < b, c < Y < d) y haciedo c, d obteemos la ley de probabilidad total P (a < X < b) d c ( b f X Y (x y) dx ) f Y (y) dy a ( b f X Y (x y) dx ) f Y (y) dy. a

5 1.2. PROBABILIDAD Y ESPERANZA CONDICIONAL 5 Ejemplo 1.4 Sea (X, Y ) u vector gaussiao de dimesió 2, de desidad f X,Y (x, y) 1 { 2πσ X σ exp 1 ( x 2 Y 1 ρ 2 2(1 ρ 2 ) σx 2 La variable X es gaussiaa, cetrada, de variaza σ 2 X y desidad 2ρ xy σ X σ Y )} + y2 σy 2 (1.1) f X (x) La desidad codicioal de Y dado que X x es, por lo tato, f Y X (y x) 1 exp{ x2 2πσX 2σX 2 }. (1.2) 1 exp{ 1 ( σ Y y 2πσY 1 ρ 2 2σY 2 (1 ρx ) 2 } ρ2 ) σ X que es ua desidad gaussiaa de media ρxσ Y /σ X y variaza σ 2 Y (1 ρ2 ). Si g es ua fució para la cual E[ g(x) ] <, la esperaza codicioal de g(x) dado que Y y se defie como E[g(X) Y y] g(x)f X Y (x y) dx si f Y (y) > 0. Estas esperazas codicioales satisface tambié las propiedades 1-5 que listamos ateriormete. La propiedad 6 es e este caso, E[g(X)h(Y )] E[h(Y ) E[g(X) Y ]] h(y) E[g(X) Y y]f Y (y) dy válida para cualquier h acotada y supoiedo E[ g(x) ] <. Cuado h 1 obteemos E[g(X)] E[E[g(X) Y ]] E[g(X) Y y]f Y (y) dy. Ejemplo 1.5 Si (X, Y ) es u vector gaussiao bidimesioal cuya desidad está dada por (1.1), etoces E[Y X x] yf Y X (y x) dy es la esperaza codicioal de Y dado que X x. A partir de (1.2) vemos que la desidad codicioal es gaussiaa de media ρxσ Y /σ X, de dode E[Y X] σ Y σ X ρx. Podemos reuir los casos discreto y cotiuo e ua sola expresió: E[g(X)h(Y )] E[h(Y ) E[g(X) Y ]] h(y) E[g(X) Y y]df Y (y) y E[g(X)] E[E[g(X) Y ]] E[g(X) Y y]df Y (y).

6 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Proposició 1.1 Sea X, Y variables aleatorias tales que el vector (X, Y ) tiee desidad f X,Y. Si existe fucioes α : R R +, β : R 2 R + tales que, para todo x, y R, f X,Y (x, y) α(y)β(x, y) y β(x, y) dx 1. Etoces α(y) f Y (y) y β(x, y) f X Y (x y). Demostració. Observamos que f Y (y) f X,Y (x, y) dx y, teiedo e cueta que obteemos que β(x, y) f X Y (x y) El Caso Mixto R R R α(y)β(x, y) dx α(y) β(x, y) dx α(y) R f XY (x, y) f Y (y)f X Y (x y) α(y)β(x, y) Hasta ahora hemos cosiderado dos casos para el vector (X, Y ): ambas variables discretas o ambas cotiuas. E esta secció cosideraremos los dos casos mixtos posibles. Comezamos por el caso cotiuodiscreto. E ambos casos supodremos, si pérdida de geeralidad, que la variable discreta toma valores e los eteros positivos. Caso 1: Cotiuo-Discreto Sea X y N v.a. co distribució cojuta dode N toma valores 0, 1, 2,... La fució de distribució codicioal F X N (x ) de X dado que N es F X N (x ) P (X x, N ) P (N ) si P (N ) > 0, y la fució de distribució codicioal o está defiida para otros valores de. Es secillo verificar que F X N (x ) es ua f.d. e x para cada valor fijo de para el cual esté defiida. Supogamos que X es cotiua y F X N (x ) es difereciable e x para todo co P (N ) > 0. Defiimos la desidad codicioal de X dado N por f X N (x ) d dx F X N(x ). De uevo, f X N (x ) es ua desidad e x para los para los cuales está defiida y tiee las propiedades que uo esperaría, por ejemplo P (a X b, N ) b a f X N (x )p N () dx, para a < b. Usado la ley de la probabilidad total obteemos la desidad margial de X, f X (x) f X N (x )p N (). Supogamos que g es ua fució para la cual E[ g(x) ] <. La esperaza codicioal de g(x) dado que N se defie por E[g(X) N ] g(x)f X N (x ) dx. Esta esperaza codicioal satisface las propiedades ateriores y e este caso la ley de la probabilidad total es E[g(X)] E[g(X) N ]p N () E[E[g(X) N]].

7 1.2. PROBABILIDAD Y ESPERANZA CONDICIONAL 7 Caso 2: Discreto-Cotiuo Cosideremos ahora u vector (N, X). Supogamos que X tiee ua distribució cotiua de desidad f X (x) y, dado el valor x de X, N es discreta co fució de probabilidad p N X ( x) para 0. Podemos pesar que X es u parámetro (aleatorio) de la distribució de N, y ua vez coocido el valor de este parámetro la distribució de N está completamete determiada. La fució de probabilidad codicioal de N dado X es p N X ( x) P (N X x) f N,X(, x) f X (x) siempre que f X (x) > 0, dode f N,X (, x) es la desidad de probabilidad cojuta del vector (N, X). La fució de distribució codicioal correspodiete es F N X (, x) 1 P (N k X x) 1 p N X (k x) f X (x) f X (x) Ejemplo 1.6 Supoemos que X Bi(p, N) co p U[0, 1]. Cuál es la distribució de X? k0 k0 P (X k) R 1 0 N! k!(n k)! P (X k p ξ)f p (ξ) dξ N! k!(n k)! ξk (1 ξ) N k dξ k!(n k)! (N + 1)! es decir, X tiee distribució uiforme e los eteros 0, 1,..., N. 1, k 0,..., N. N + 1 Ejemplo 1.7 Sea Y Exp(θ) y dado Y y, X tiee distribució de Poisso de media y. Queremos hallar la ley de X. Usado la ley de probabilidad total P (X k) 0 0 P (X k Y y)f Y (y) dy y k e y θe θy dy k! θ y k e (1+θ)y dy k! 0 θ k!(1 + θ) k+1 u k e u du 0 θ (1 + θ) k+1, k 0, 1, Sumas Aleatorias Co frecuecia ecotramos sumas de la forma T X X N, dode el úmero de sumados es ua variable aleatoria. Cosideremos ua sucesió X 1, X 2,... de v.a.i.i.d. y sea N ua v.a. discreta, idepediete de X 1, X 2,... co desidad p N () P (N ), 0, 1,.... Defiimos la suma aleatoria T como { 0 si N 0, T X X N si N > 0.

8 8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Ejemplos 1.8 a) Colas: N represeta el úmero de clietes, X i es el tiempo de ateció de cada cliete, T es el tiempo total de ateció. b) Seguros: N represeta el úmero de reclamos e u período de tiempo dado, X i es el moto de cada reclamo y T es el moto total de los reclamos e el período. c) Població: N represeta el úmero de platas, X i es el úmero de semillas de cada plata, T es el total de semillas. d) Biometría: N es el tamaño de la població, X i es el peso de cada ejemplar y T represeta el peso total de la muestra. Mometos de ua Suma Aleatoria Supogamos que X k y N tiee mometos fiitos E[X k ] µ, Var[X k ] σ 2, E[N] ν, Var[N] τ 2. y queremos determiar media y variaza de T X X N. Veamos que E[T ] µν, Var[T ] νσ 2 + µ 2 τ 2. Teemos E[T ] E[T N ]p N () E[X X N N ]p N () 0 0 E[X X N ]p N () E[X X ]p N () 0 0 µp N () µν. 0 Para determiar la variaza comezamos por Var[T ] E[(T µν) 2 ] E[(T Nµ + Nµ νµ) 2 ] E[(T Nµ) 2 ] + E[µ 2 (N ν) 2 ] + 2 E[µ(T Nµ)(N ν)]. Calculemos cada uo de estos sumados por separado, el primero es E[(T Nµ) 2 ] E[(T Nµ) 2 N ]p N () 0 E[(X X µ) 2 N ]p N () 1 E[(X X µ) 2 ]p N () 1 σ 2 p N () νσ 2. 1 Para el segudo teemos E[µ 2 (N ν) 2 ] µ 2 E[(N ν) 2 ] µ 2 τ 2

9 1.2. PROBABILIDAD Y ESPERANZA CONDICIONAL 9 y fialmete el tercero es E[µ(T Nµ)(N µ)] µ µ 0. E[(T µ)( ν) N ]p N () 0 ( ν) E[(T µ) N ]p N () 0 La suma de estos tres térmios demuestra el resultado. Distribució de ua Suma Aleatoria Supogamos que los sumados X 1, X 2,... so v.a.i. cotiuas co desidad de probabilidad f(x). Para 1 fijo, la desidad de la suma X X es la -ésima covolució de la desidad f(x), que deotaremos por f () (x) y defiimos recursivamete por f (1) (x) f(x), f () (x) f ( 1) (x u)f(u) du para > 1. Como N y X 1, X 2,... so idepedietes, f () (x) es tambié la desidad codicioal de T X 1 + +X N dado que N 1. Supogamos que P (N 0) 0, es decir, que la suma aleatoria siempre tiee al meos u sumado. Por la ley de la probabilidad total, T es cotiua y tiee desidad margial f T (x) f () (x)p N (). 1 Observació 1.1 Si N puede valer 0 co probabilidad positiva etoces T X X N es ua v.a. mixta, es decir, tiee compoetes discreta y cotiua. Si supoemos que X 1, X 2,... so cotiuas co desidad f(x), etoces P (T 0) P (N 0) p N (0) mietras que para 0 < a < b ó a < b < 0, P (a < T < b) b a ( f () (x)p N () ) dx Ejemplo 1.9 (Suma Geométrica de Variables Expoeciales) Supogamos que { λe λx para x 0, f(x) 0 para x < 0. 1 p N () β(1 β) 1 1, 2,... Comezamos por hallar la covolució de las desidades expoeciales f (2) (x) f(x u)f(u) du 1 {x u 0} (u)λe λ(x u) 1 {u 0} (u)λe u x λ 2 e λx du xλ 2 e λx 0

10 10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN para x 0. La siguiete covolució es f (3) (x) f (2) (x u)f(u) du 1 {x u 0} (u)λ 2 (x u)e λ(x u) 1 {u 0} (u)λe u du x λ 3 e λx (x u) du x2 2 λ3 e λx para x 0. Procediedo iductivamete obteemos que La desidad de T X X N es 0 1 f () (x) x 1 ( 1)! λ e λx f T (t) f () λ (t)p N () ( 1)! t 1 e λt β(1 β) 1 λβe λt λβe λβt 1 1 (λ(1 β)t) 1 ( 1)! λβe λt e λ(1 β)t para t 0, y por lo tato T Exp(λβ) Fucioes Geeradoras de Probabilidad Cosideremos ua v.a. ξ co valores eteros positivos y distribució de probabilidad P (ξ k) p k, k 0, 1,... La fució geeradora de probabilidad (f.g.p.) φ(s) asociada a la v.a. ξ (o equivaletemete a su distribució (p k )) se defie por φ(s) E[s ξ ] s k p k, 0 s 1. (1.3) A partir de la defiició es imediato que si φ es ua f.g.p. etoces Resultados Fudametales: k0 φ(1) p k 1. k0 1. La relació etre fucioes de probabilidad y fucioes geeradoras es 1-1. Es posible obteer las probabilidades (p k ) a partir de φ usado la siguiete fórmula p k 1 d k φ(s) k! ds k. (1.4) s0 Por ejemplo, dφ(s) ds φ(s) p 0 + p 1 s + p 2 s 2 + p 0 φ(0) p 1 + 2p 2 s + 3p 3 s 2 + p 1 dφ(s) ds s0

11 1.3. FUNCIONES GENERADORAS DE PROBABILIDAD Si ξ 1,..., ξ so v.a.i. co fucioes geeradoras φ 1 (s), φ 2 (s),..., φ (s) respectivamete, la f. g. p. de su suma X ξ 1 + ξ ξ es el producto de las fucioes geeradoras respectivas φ X (s) φ 1 (s)φ 2 (s) φ (s). (1.5) 3. Los mometos de ua variable que toma valores e los eteros o-egativos se puede obteer derivado la fució geeradora: por lo tato dφ(s) ds Para la seguda derivada teemos evaluado e s 1, de modo que y e cosecuecia Ejemplo 1.10 Supogamos que ξ Pois(λ): dφ(s) ds p 1 + 2p 2 s + 3p 3 s 2 +, p 1 + 2p 2 + 3p 3 + E[ξ]. (1.6) s1 d 2 φ(s) ds 2 2p p 3 s + 4 3p 4 s 2 +, d 2 φ(s) ds 2 E[ξ 2 ] d2 φ(s) ds 2 2p p p 4 s1 k(k 1)p k k2 Var[ξ] E[ξ 2 ] (E[ξ]) 2 d2 φ(s) ds 2 Su fució geeradora de probabilidad es Etoces, E[ξ(ξ 1)] E[ξ 2 ] E[ξ] (1.7) + E[ξ] d2 φ(s) s1 ds 2 + dφ(s) s1 ds, s1 p k P (ξ k) λk k! e λ, k 0, 1,... dφ(s) ds φ(s) E[s ξ ] k0 + dφ(s) ( d 2 φ(s) ) 2. s1 ds s1 ds 2 s1 k0 s k λk k! e λ e λ (sλ) k e λ e λs k! e λ(1 s) λe λ(1 s), d 2 φ(s) ds 2 λ 2 e λ(1 s), dφ(s) ds d 2 φ(s) ds 2 λ (1.8) s1 λ 2 (1.9) s1

12 12 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN y obteemos E[ξ] λ, Var(ξ) λ 2 + λ (λ) 2 λ Fucioes Geeradoras de Probabilidad y Sumas de V. A. I. Sea ξ, η v.a.i. co valores 0, 1, 2,... y co fucioes geeradoras de probabilidad etoces la f.g.p. de la suma ξ + η es φ ξ (s) E[s ξ ], φ η (s) E[s η ], s < 1, φ ξ+η (s) E[s ξ+η ] E[s ξ s η ] E[s ξ ] E[s η ] φ ξ (s)φ η (s) (1.10) El recíproco tambie es cierto, si φ ξ+η (s) φ ξ (s)φ η (s) etoces las variables ξ y η so idepedietes. Como cosecuecia, si ξ 1, ξ 2,..., ξ m so v.a.i.i.d. co valores e {0, 1, 2,... } y f.g.p. φ(s) E[s ξ ] etoces E[s ξ1+ +ξm ] φ m (s) (1.11) Qué ocurre si el úmero de sumados es aleatorio? Proposició 1.2 Sea N ua v.a. co valores eteros o-egativos e idepediete de ξ 1, ξ 2,... co f.g.p. g N (s) E[s N ] y cosideremos la suma Sea h X (s) E[s X ] la f.g.p. de X. Etoces Demostració. h X (s) P (X k)s k k0 k0 0 X ξ ξ N. h X (s) g N (φ(s)). (1.12) ( ) P (X k N )P (N ) s k ( ) P (ξ ξ k N )P (N ) s k k0 k0 0 ( ) P (ξ ξ k)p (N ) s k 0 ( P (ξ ξ k)s k) P (N ) 0 k0 φ (s)p (N ) g N (φ(s)) 0 Ejemplo 1.11 Sea N ua variable aleatoria co distribució de Poisso de parámetro λ. Dado el valor de N, realizamos N experimetos de Beroulli co probabilidad de éxito p y llamamos X al úmero de éxitos. E este caso ξ i tiee distribució de Beroulli y su f.g.p. es φ ξ (s) E[s ξ ] sp + q

13 1.4. FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS. 13 mietras que N Pois(λ) co f.g.p. g N (s) E[s N ] e λ(1 s) segú vimos e el ejemplo Por la proposició aterior obteemos que la f.g.p. de X es { } { } h X (s) g N (φ ξ (s)) g N (q + sp) exp λ(1 q sp) exp λp(1 s) que es la f.g.p. de ua distribució de Poisso de parámetro λp Fucioes Geeradoras de Mometos. Dada ua variable aleatoria X, o su fució de distribució F, vamos a defiir otra fució geeradora, como M X (t) E(e tx ). siempre que este valor esperado exista. Notemos que cuado el recorrido de X so los eteros o-egativos, M X (t) φ X (e t ). Si X está acotada, M X está bie defiida para todo t real; e cambio, si X o está acotada, es posible que el domiio de M o sea el cojuto de todos los reales. E todo caso, p siempre está defiida e cero, y M(0) 1. Si la fució M está defiida e u etoro de t 0, etoces las series M X (t) E(e tx ) E ( t X ) t !! E(X ) so covergetes y e cosecuecia se puede derivar térmio a térmio. Obteemos 1 M X(0) E(X); M X(0) E(X 2 ) 1 y e geeral M () X (0) E(X ). Es por esta última propiedad que esta fució se cooce como fució geeradora de mometos (f.g.m.). Ejemplos Si X Bi(, p) veamos que M(t) (pe t + 1 p) ): U cálculo directo muestra que ( ) M(t) e jt p j (1 p) j (pe t + 1 p), j. j0 2. Si X Exp(λ), es decir, si P (X x) 1 e λx, para x 0, etoces M(t) λ/(λ t) para t λ. El resultado se obtiee a partir del cálculo M(t) 0 λe λx e tx dx λ e(t λ)x t λ Observamos que e este caso, M(t) o está defiida si t λ. 3. Si X N (0, 1), es decir, si P (X x) 1 2π x Calculemos M(t) 1 2π e tx e x2 /2 dx 1 2π 0 λ λ t. e x2 /2 dx, etoces M(t) e t2 /2. e 1 2 (x t)2 e t2 /2 dx e t2 /2 ya que 1 2π e 1 2 (x t)2 dx 1 puesto que el itegrado es la desidad de ua variable aleatoria co distribució N (t, 1)

14 14 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Observació 1.2 Por la forma e la cual hemos defiido la fució geeradora de mometos, cuado las f.g.m. de dos variables aleatorias X 1, X 2 coicide para todos los valores de t e u etoro de t 0, etoces las distribucioes de probabilidad de X 1 y X 2 debe ser idéticas. Este resultado lo euciamos e el próximo teorema, si demostració Teorema 1.1 Si X tiee fució geeradora de mometos M(t) que está defiida e u etoro ( a, a) de 0, etoces M(t) caracteriza a la distribució de X, es decir, si otra variable Y tiee la misma fució geeradora de mometos, las distribucioes de X e Y coicide. La fució geeradora de mometos resulta particularmete útil cuado cosideramos sucesioes de variables aleatorias, como lo muestra el siguiete teorema que euciamos si demostració. Teorema 1.2 (de Cotiuidad) Sea F (x), 1 ua sucesió de f.d. co fucioes geeradores de mometo respectivas M (t), 1, que está defiidas para t < b. Supogamos que cuado, M (t) M(t) para t a < b, dode M(t) es la fució geeradora de mometos de la distribució F (x). Etoces F (x) F (x) cuado para todo puto x e el cual F es cotiua. Veamos ua aplicació del teorema aterior para demostrar el Teorema de de Moivre y Laplace. Teorema 1.3 (de Moivre-Laplace) Sea S Bi(, p) para 1 y q 1 p. Defiimos Etoces para todo x R, T S p (pq) 1/2 P (T x) Φ(x) x 1 2 2π e x /2 dx. Demostració. Recordemos que S es la suma de v.a.i. co distribució de Beroulli de parámetro p: S 1 X i. Usamos esto para calcular la fució geeradora de mometos de T. [ ( t(s p) )] [ ( t( E(e tt 1 ) E exp E exp (X i p)) )] (pq) 1/2 (pq) 1/2 [ ( t(xi p) E ( E i1 [ exp ( p exp )] exp (pq) 1/2 ( t(x1 p) )]) (pq) 1/2 ( t(1 p) ) + q exp (pq) 1/2 i1 [ E exp ( t(xi p) )] (pq) 1/2 ( pt (pq) 1/2 )). (1.13) Ahora hacemos u desarrollo de Taylor para las dos expoeciales que aparece e esta última expresió para obteer ( t(1 p) ) p exp (pq) 1/2 q exp ( p 1 + ( pt ) ( q (pq) 1/2 1 qt (pq) + q2 t 2 1/2 2pq + C 1q 3 t 3 ) 3!(pq) 3/2 (1.14) pt (pq) + p2 t 2 1/2 2pq + C 2p 3 t 3 ). (1.15) 3!(pq) 3/2 La suma de estas dos expresioes os da 1 + t2 2 + O( 3/2 ) y sustituyedo e (1.13) obteemos que es la f.g.m. de la distribució ormal típica. E(e tt ) ( 1 + t2 2 + O( 3/2 ) ) e t 2 /2

15 1.5. SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS Simulació de Variables Aleatorias Los geeradores de úmeros aleatorios simula valores de la distribució U[0, 1], pero co frecuecia os iteresa simular valores de otras distribucioes. Vamos a estudiar e esta secció dos métodos para geerar valores a partir de ua fució de distribució F Método de la Distribució Iversa Este método se basa e el siguiete resultado: Proposició 1.3 Sea X ua variable aleatoria co fució de distribució F X y sea g ua fució estrictamete creciete. Defiimos Y g(x) y sea F Y la fució de distribució de esta variable. Etoces F Y (y) F X (g 1 (y)). (1.16) Demostració. Como g es estríctamete creciete los evetos {X g 1 (y)} y {g(x) y} so iguales. Por lo tato, F Y (y) P (Y y) P (g(x) y) P (X g 1 (y)) F X (g 1 (y)) Si g es estríctamete decreciete etoces F Y (y) 1 F X (g 1 (y)). Corolario 1.1 Sea F ua fució de distribució estríctamete creciete para los x tales que 0 < F (x) < 1 y sea U U[0, 1]. Etoces la variable Z F 1 (U) tiee distribució F. Demostració. La fució de distribució de U es F U (u) u para u [0, 1]. Etoces F Z (z) F U (F (z)) F (z) (1.17) de modo que Z tiee fució de distribució F. Observació 1.3 El resultado aterior es cierto e geeral si utilizamos la iversa geeralizada F de la fució F cuado esta o sea estrictamete creciete, que se defie por la siguiete expresió: F (y) íf{x : F (x) y} Por lo tato, para cualquier fució de distribució F, la variable aleatoria Z F (U) tiee fució de distribució F. Para ver que esto es cierto observamos que, a partir de la defiició, es fácil demostrar que F (y) t y F (t); F (y) > t y > F (t). Usado esto obteemos F Z (z) P (Z z) P (F (U) z) P (U F (z)) F (z). El Corolario 1.1 y la Observació 1.3 os da u método para simular ua variable aleatoria co fució de distribució F : Geeramos el valor u de ua variable uiforme e [0, 1] y evaluamos la iversa geeralizada e u: F (u). Si embargo, depediedo de la aturaleza de la fució de distribució F, es posible que la iversa geeralizada tega ua expresió complicada o icluso o sea posible escribirla e térmios de fucioes elemetales, como ocurre e el caso de las variables Gaussiaas. Por esta razó hay métodos particulares que resulta más eficietes e muchos casos.

16 16 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Ejemplos Variables Discretas. Si queremos simular ua variable aleatoria fiita X co valores x 1,..., x y probabilidades respectivas p 1,..., p, podemos dividir el itervalo [0, 1] e subitervalos usado las probabilidades p i : [0, p 1 ); [p 1, p 1 + p 2 ); [p 1 + p 2, p 1 + p 2 + p 3 ); [ j< p j, 1]. Ahora geeramos ua variable U co distribució uiforme e [0, 1] y si el valor cae e el i-ésimo itervalo le asigamos a X el valor x i. Como la probabilidad de que U caiga e el itervalo i es igual a la logitud del itervalo, que es p i, vemos que P (X x i ) p i, para 1 i. Esta es ua implemetació del método de la distribució iversa. Desde el puto de vista computacioal es coveiete ordear los valores segú el tamaño de las p i, colocado estas probabilidades de mayor a meor, porque para idetificar el itervalo e cual cae U teemos que comparar co p 1, luego co p 1 + p 2, y así sucesivamete hasta obteer el primer valor mayor que U. Ordear las probabilidad hace que se maximice la probabilidad de que U esté e los primeros itervalos, y esto reduce el úmero de comparacioes que hay que hacer e promedio para obteer el valor de X. Este método tambié fucioa para variables discretas co ua catidad ifiita de valores. La misma observació sobre el ordeamieto de los valores de las probabilidades es válida. 2. Distribució de Beroulli. U caso particular secillo es el de la distribució de Beroulli co probabilidad de éxito p. Para geerar u valor de la variable X co esta distribució, geeramos U y si U < p, X 1 y si o, X Distribució Uiforme Discreta. Sea X ua variable aleatoria que toma valores {x 1, x 2,..., x } co igual probabilidad. Para simular esta distribució geeramos u úmero aleatorio U (0, 1], dividimos el itervalo [0, 1] e itervalos iguales y le asigamos a la variables el valor x k si k 1 < U k, es decir, el valor de la variable es x k co k U, dode a es la fució techo y represeta el meor etero que es mayor o igual a a. 4. Variables Cotiuas. Si X es ua variable cotiua co fució de distribució F ivertible, para simular X basta geerar ua variable uiforme U y poer X F 1 (U). Esto es cosecuecia del corolario 1.1. Por ejemplo, si queremos simular ua v.a. X co fució de distribució F (x) x para 0 < x < 1, observamos que F es ivertible y su iversa es F 1 (u) u 1/. Por lo tato basta geerar ua variables uiforme U y poer X U 1/. 5. Distribució Uiforme Cotiua. Si queremos simular la distribució U[a, b] geeramos U uiforme e [0, 1] y usamos la trasformació u a + u(b a). 6. Distribució Expoecial. Si X Exp(λ) su f.d. está dada por F (x) 1 e λx. La iversa de esta fució es F 1 (u) 1 log(1 u). λ Por lo tato para geerar X podemos geerar ua uiforme U y poemos X l(1 U)/λ. Observamos ahora que si U tiee distribució uiforme e (0, 1), 1 U tambié. Por lo tato, para simular esta distribució a partir de ua variable U U(0, 1) basta hacer la trasformació l(u)/λ.

17 1.5. SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS Método de Rechazo Variables Discretas Supogamos que teemos u método eficiete para simular ua variable Y que tiee fució de probabilidad {q j, j 1}. Podemos usar este método como base para simular otra variable X co fució de probabilidad diferete {p j, j 1}, siempre que las dos variables tega el mismo cojuto de valores posibles o al meos cuado los valores de X sea u subcojuto de los valores de Y. La idea es simular primero la variable Y y luego aceptar este valor para la variable X co probabilidad proporcioal a p Y /q Y. Sea c ua costate tal que p j q j c para todo j tal que p j > 0, (1.18) etoces el algoritmo para el método de rechazo es el siguiete, Algoritmo. Paso 1. Simulamos ua variable Y co fució de probabilidad q j. Paso 2. Geeramos ua variable uiforme U. Paso 3. Si U < p Y /cq Y, poemos X Y y paramos. Si o, regresamos al paso 1. Veamos que este método efectivamete produce ua variable co distribució p j. Calculemos primero la probabilidad de obteer el valor j e ua sola iteració: P (Y j y este valor sea aceptado) P (Y j)p (Aceptar Y j) q j P (U < p j cq j ) q j p j cq j p j c. Si sumamos ahora sobre los valores posibles j obteemos la probabilidad de que el valor de la variable geerada sea aceptado: P (Aceptar el valor de Y) p j c 1 c, j Es decir, cada iteració resulta e u valor que es aceptado co probabilidad 1/c y esto ocurre de maera idepediete, de modo que la distribució del úmero de iteracioes ecesarias para aceptar u valor es geométrica co parámetro 1/c. E cosecuecia P (X j) P (j es aceptado e la iteració ) ( 1 1 ) 1 pj c c p j. Como el úmero de iteracioes es geométrico co parámetro 1/c, e promedio es ecesario realizar c iteracioes para aceptar u valor. Por lo tato coviee escoger c lo más pequeño posible, siempre que satisfaga (1.18). Ejemplo 1.14 Supogamos que queremos geerar ua variable aleatoria co la siguiete distribució: P (X j) p j para j 1, 2, 3, 4 y p , p , p , p usado el método de rechazo. Vamos a usar ua variable Y co distribució uiforme sobre los valores 1, 2, 3, 4 y por lo tato podemos tomar c max } : 1 j 4 q j { pj y utilizar el algoritmo descrito ateriormete. E este caso e promedio hacemos 1.6 iteracioes por cada valor aceptado para la variable que queremos geerar.

18 18 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Variables Cotiuas Este método fucioa exactamete igual que e el caso discreto. Supogamos que teemos ua maera eficiete de geerar ua variable aleatoria co desidad g(x) y queremos geerar otra variable que tiee desidad f(x) co el mismo cojuto de valores posibles. Podemos hacer esto geerado Y co distribució g y luego aceptado este valor co probabilidad proporcioal a f(y )/g(y ). Sea c ua costate tal que f(y) c para todo y, g(y) etoces teemos el siguiete algoritmo para geerar ua variable co desidad f. Algoritmo. Paso 1. Geeramos Y co desidad g. Paso 2. Geeramos u úmero aleatorio U. Paso 3. Si U f(y ) cg(y ) poemos X Y y paramos. Si o, volvemos al paso 1. Al igual que e caso discreto teemos el siguiete resultado que justifica el método y que presetamos si demostració. Teorema (i) La variable geerada co el método del rechazo tiee desidad f. (ii) El úmero de iteracioes ecesarias e el algoritmo es ua variable geométrica co media c. Ejemplo 1.15 Vamos a usar el método de rechazo para geerar ua variable aleatoria co desidad f(x) 20x(1 x) 3, 0 < x < 1. Como esta variable aleatoria está cocetrada e el itervalo (0, 1), usaremos el método de rechazo co la distribució uiforme g(x) 1, 0 < x < 1. Para determiar la meor costate c que satisface f(x)/g(x) < c para todo x (0, 1) calculamos el máximo de f(x) g(x) 20x(1 x)3. Derivado esta expresió e igualado a cero obteemos la ecuació 20[(1 x) 3 3x(1 x) 2 ] 0 co solucioes 1 y 1/4. Esta última solució correspode al máximo y por lo tato E cosecuecia y el algoritmo es f(1/4) 3 ) 3 g(1/4) 4( c. f(x) cg(x) 256 x(1 x)3 27 Algoritmo. Paso 1. Geeramos dos úmeros aleatorios U 1 y U 2. Paso 2. Si U 2 256U 1 (1 U 1 ) 3 /27 poemos X U 1 y paramos. Si o, volvemos al paso 1. E promedio, el paso 1 se realiza c veces por cada úmero geerado.

19 1.5. SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS Métodos Particulares Distribució Biomial Ua maera secilla de simular ua variable co distribució biomial de parámetros y p es geerar variables de Beroulli co probabilidad de éxito p y sumarlas. Esto resulta u poco pesado si es grade, pero e este caso podemos usar el Teorema Cetral del Límite, (teorema 1.3). Otra posibilidad es usar el método de la trasformada iversa juto co la siguiete relació iterativa para la distribució biomial: es decir, P (S i + 1) P (S i)!i!( i)! p i+1 (1 p) i 1 (i + 1)!( i 1)!! p i (1 p) i P (S i + 1) i i + 1 p 1 p P (S i). i i + 1 p 1 p, E cosecuecia, geeramos ua variable uiforme U y comparamos co P (X 0) (1 p). Si U es meor que este valor poemos X 0, e caso cotrario multiplicamos P (X 0) por p/(1 p) para obteer P (X 1) y comparamos. Si U es meor que este valor poemos X 1, e caso cotrario repetimos el procedimieto hasta coseguir el valor de X. El algoritmo se puede describir como sigue: Distribució de Poisso Paso 1: Geeramos ua variable uiforme U. Paso 2: Poemos a p/(1 p); b (1 p) ; c b; i 0. Paso 3: Si U < c poemos X i y paramos. Paso 4: b ab( i)/(i + 1); c c + b; i i + 1. Paso 5: Vamos al paso 3. Al igual que para la distribució biomial, teemos ua relació recursiva para la fució de probabilidad que permite aplicar el método de la trasformada iversa para geerar la distribució de Poisso: P (X i + 1) que es secilla de demostrar. El algoritmo es el siguiete: Distribució Geométrica λ P (X i), i + 1 Paso 1: Geeramos ua variable uiforme U. Paso 2: Poemos a e λ ; b a; i 0. Paso 3: Si U < b poemos X i y paramos. Paso 4: a λa/(i + 1); b b + a; i i + 1. Paso 5: Vamos al paso 3. Ua maera de geerar variables co distribució geométrica es geerar ua sucesió de variables de Beroulli hasta obteer el primer éxito, es decir, geeramos ua sucesió de úmeros aleatorios e [0, 1] hasta obteer el primero que sea meor que p. Si embargo, si p es pequeño esto puede ser leto (toma e promedio 1/p pasos). Para evitar esto podemos seguir el método alterativo que describimos a cotiuació. Sea X ua v.a. co distribució geométrica de parámetro p, 0 < p < 1 y sea U u úmero aleatorio e [0, 1]. Defiimos Y como el meor etero que satisface la desigualdad 1 q Y U. Etoces P (Y j) P (1 q j U > 1 q j 1 ) q j 1 q j q j 1 (1 q) q j 1 p,

20 20 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN de modo que Y tambié tiee ua distribució geométrica de parámetro p. Por lo tato, para geerar Y basta resolver la ecuació que la defie, es decir, log(1 u) Y log q pero como 1 u y u tiee la misma distribució, podemos usar Y log(u). log q Distribució Biomial Negativa Observamos que ua variable co distribució biomial egativa de parámetros k y p es la suma de k variables geométricas co parámetro p: ua por cada éxito e la sucesió de esayos. Esta observació es útil para geerar variables co esta distribució: si u j, j 1,..., k so úmeros aleatorios e [0, 1], la siguiete expresió produce el valor de ua variable co distribució biomial egativa: k j1 log(uj ). log q Distribució Normal La fució de distribució ormal Φ o se puede escribir e térmios de fucioes simples, y lo mismo ocurre co su iversa, lo que dificulta la aplicació del método de la trasformada iversa. Si embargo existe otros métodos y uo de los más populares es el de Box-Muller, tambié coocido como el método polar. Aú cuado la justificació del método o es complicada, requiere alguos coceptos que o hemos itroducido, así que vamos a describir el método si demostrar que efectivamete lo que obteemos es el valor de ua variable ormal. El algoritmo es el siguiete: Paso 1: Geeramos variables uiformes U 1 y U 2. Paso 2: Poemos V 1 2U 1 1; V 2 2U 2 1; S V1 2 + V2 2. Paso 3: Si S > 1 regresamos al paso 1. Paso 4: X y Y so variables ormales típicas idepedietes: 2 log S 2 log S X V 1, Y V 2. S S Geeració de Variables Aleatorias e R El leguaje R tiee icorporadas ua serie de rutias para geerar variables aleatorias. La sitaxis precisa de la istrucció correspodiete depede de la distribució, pero todas tiee el formato comú rdist, dode dist desiga la distribució; por ejemplo, para geerar valores a partir de la distribució ormal usamos rorm. Segú la distribució, puede ser ecesario especificar uo o varios parámetros. La tabla que presetamos a cotiuació preseta las distribucioes más comues, los parámetros requeridos y sus valores por defecto. represeta siempre el tamaño de la muestra.

21 1.6. CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS 21 Distribució Fució e R Biomial rbiom(, size, prob) Poisso rpois(, lambda) Geométrica rgeom(, prob) Hipergeométrica rhyper(, m,, k) Biomial Negativa rbiom(, size, prob) Multiomial rmultiom(, size, prob) Uiforme ruif(, mi0, max1) Expoecial rexp(, rate1) Gaussiaa rorm(, mea0, sd1) Gamma rgamma(, shape, scale1) Weibull rweibull(, shape, scale1) Cauchy rcauchy(, locatio0, scale1) Beta rbeta(, shape1, shape2) t rt(, df) Fisher rf(, df1, df2) χ 2 rchisq(, df) Logística rlogis(, locatio0, scale1) Logormal rlorm(, mealog0, sdlog1) Además, R tiee la fució sample que permite obteer muestras co o si reposició de cojutos fiitos de valores. La sitaxis es dode sample(x, size, replace FALSE, prob NULL) x es el cojuto a partir del cual queremos obteer la muestra, escrito como u vector, size es el tamaño de la muestra, replace permite idicar si se permite repeticioes (replace TRUE) o o y fialmete prob es u vector de probabilidades si se desea hacer u muestreo pesado y o uiforme Covergecia de Variables Aleatorias Hay varios modos de covergecia e la Teoría de Probabilidades. Vamos a cosiderar alguos de ellos a cotiuació. Sea X, 1 ua sucesió de variables aleatorias defiidas e u espacio de probabilidad comú (Ω, F, P ) y sea X otra variable defiida sobre este mismo espacio. Defiició 1.2 La sucesió X coverge putualmete a X si para todo ω Ω se cumple que Notació: X X. lím X (ω) X(ω). Defiició 1.3 La sucesió X coverge casi seguramete o co probabilidad 1 a X si existe u cojuto ulo N F tal que para todo ω / N se cumple que Notació: X X c.s. o c.p.1, o tambié X lím X (ω) X(ω). c.s. X.

22 22 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Defiició 1.4 La sucesió X coverge e probabilidad a X si dado cualquier ε > 0 se tiee que Notació: X P X. lím P ( X X > ε) 0. Defiició 1.5 La sucesió X coverge e L p, 1 p <, a X si E[ X p ] < y Notació: X L p X o tambié X X e L p. lím E[ X X p ] 0. Defiició 1.6 La sucesió X coverge e distribució a X lím F X (x) F X (x), para todo x C(F X ), dode C(F X ) es el cojuto de putos de cotiuidad de F X. D Notació: X X. Tambié usaremos la otació X Observació 1.4 D FX 1. Cuado cosideramos la covergecia c.s. cosideramos para cada ω Ω, si la sucesió de úmeros reales X (ω) coverge al úmero real X(ω). Si esto ocurre fuera de u cojuto de ω de medida 0, decimos que hay covergecia c.s. 2. La covergecia e L 2 se cooce usualmete como covergecia e media cuadrática. 3. E la defiició de covergecia e distribució las variables sólo aparece a través de sus fucioes de distribució. Por lo tato las variables o tiee que estar defiidas e u mismo espacio de probabilidad. 4. Es posible demostrar que ua fució de distribució tiee a lo sumo ua catidad umerable de discotiuidades. Como cosecuecia C(F X ) es la recta real, excepto, posiblemete, por u cojuto umerable de putos. 5. Es posible demostrar que e cualquiera de estos modos de covergecia el límite es (esecialmete) úico. Ejemplo 1.16 P Sea X Γ(, ). Veamos que X 1 cuado. Observamos que E[X ] 1 mietras que Var[X] 1/. Usado la desigualdad de Chebyshev obteemos que para todo ε > 0, P ( X X > ε) 1 ε 2 0 cuado. Ejemplo 1.17 Sea X 1, X 2,... v.a.i. co desidad comú f(x) { αx α 1, para x > 1, α > 0, 0, e otro caso.

23 1.6. CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS 23 y sea Y 1/α máx 1 k X k, 1. Demuestre que Y coverge e distribució y determie la distribució límite. Para resolver este problema vamos a calcular la f.d. comú: F (x) x 1 αx α 1 dy 1 x α siempre que x > 1 y vale 0 si o. Por lo tato, para cualquier x > 0, F Y (x) P ( máx 1 k X k x 1/α ) ( F (x 1/α ) ) ( 1 1 ) α e x x α cuado. Ejemplo 1.18 (La Ley de los Grades Números) Esta es ua versió débil de la LGN. Sea X 1, X 2,... v.a.i.i.d. co media µ y variaza fiita σ 2 y pogamos S X X, 1. La Ley (Débil) de los Grades Números dice que para todo ε > 0, P ( S µ > ε) 0 cuado, es decir S P µ cuado. La prueba de esta proposició sigue de la desigualdad de Chebyshev: P ( S σ2 µ > ε) ε 2 0 cuado. Ejemplo 1.19 (Aproximació de Poisso) X D Pois(λ) Sea X Bi(, λ ), etoces Vemos esto ( k ) ( λ ) k ( λ ) k ( 1) ( k + 1) P (X k) 1 k! ( 1) ( k + 1) λ k ( λ ) k 1 k k! ( 1 1 )( 2 ) ( k 1)λ k ( λ ) k ( )( ) ( ) k! k 1 λ k ( λ ) ( ) 1 λ k 1 k! ( λ ) k ( λ ) k 1 Si ahora hacemos la primera fracció tiede a 1 porque k y λ está fijos, mietras que Por lo tato lím ( λ ) 1 e λ lím P (X λ λk k) e k!

24 24 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Relació etre los Distitos Tipos de Covergecia E esta secció os plateamos ivestigar la relació etre los distitos tipos de covergecia que hemos defiido, y e particular exploramos la posibilidad de poder ordear estos coceptos. I. Covergecia c.s. implica Covergecia e Probabilidad. c.s. Es posible demostrar que X X cuado sí y sólo sí para todo ε > 0 y δ, 0 < δ < 1, existe 0 tal que, para todo > 0 P ( { X m X < ε}) > 1 δ (1.19) o equivaletemete Como, para m >, m> P ( { X m X > ε}) < δ. m> { X m X > ε} { X m X > ε}, la sucesió tambié coverge e probabilidad. El siguiete ejemplo muestra que el recíproco es falso. Ejemplo 1.20 Sea X 1, X 2,... v.a.i. tales que m> P (X 1) 1 1 y P (X ) 1, 1. Claramete, P ( X 1 > ε) P (X ) 1 0, cuado, para todo ε > 0, es decir, X P 1 cuado. Veamos ahora que X o coverge c.s. a 1 cuado. Para todo ε > 0, δ (0, 1) y N > teemos P ( { X m X < ε}) P (lím N m> lím N P ( lím N N N m+1 N m+1 m+1 lím N N m+1 lím N N m+1 { X m X < ε}) { X m X < ε}) P ( X m 1 < ε) P (X m 1) lím N m 1 m lím N N 0, N m+1 ( 1 ) 1 m para cualquier. Esto muestra que o existe 0 para el cual (1.19) valga, y por lo tato X o coverge c.s. a 1 cuado.

25 1.6. CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS 25 II. Covergecia e L p implica Covergecia e Probabilidad Usado la desigualdad de Markov, para ε > 0 fijo P ( X X > ε) 1 ε p E[ X X p ] 0 cuado, lo que muestra la coclusió. E este caso el recíproco tampoco es cierto. Para empezar, E[ X X ] o tiee por qué existir, pero au si existe puede ocurrir que haya covergecia e probabilidad si que haya covergecia e L p. Ejemplo 1.21 Sea α > 0 y sea X 1, X 2,... v.a. tales que P (X 1) 1 1 α y P (X ) 1 α, 1. Como P ( X 1 > ε) P (X ) 1 0, cuado, α para todo ε > 0, teemos que P 1 cuado. X Por otro lado E[ X 1 p ] 0 p (1 1 ) + 1 p 1 ( 1)p α α α, de dode obteemos que 0, para p < α, E[ X 1 p ] 1, para p α, +, para p > α, (1.20) P Esto muestra que X 1 cuado si p < α pero X o coverge e L p si p α. Por lo tato, covergecia e L p es más fuerte que covergecia e probabilidad. Observació 1.5 Si α 1 y las variables so idepedietes, cuado X P 1, X c.s., E[X ] 2, X L p 1 para 0 < p < 1, X L p para p 1. Observació 1.6 Si α 2 y las variables so idepedietes, cuado X X P 1, c.s. 1, E[X ] 1, y Var[X ] 1 X L p 1 para 0 < p < 2, X L p para p 2.

26 26 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN III. Covergecia e L p y Covergecia c.s. so Idepedietes Nigua de las dos implica la otra, y esto lo podemos ver de las observacioes ateriores. E el primer caso, para 0 < p < 1 hay covergecia e L p mietras que o hay covergecia c.s. E el segudo hay covergecia c.s. pero o hay covergecia e L p para p 2. IV. Covergecia e Probabilidad implica Covergecia e Distribució Sea ε > 0, etoces es decir, F X (x) P (X x) De maera similar se demuestra que P ({X x} { X X ε}) + P ({X x} { X X > ε}) P ({X x + ε} { X X ε}) + P ( X X > ε) P (X x + ε) + P ( X X > ε) F X (x) F X (x + ε) + P ( X X > ε). (1.21) F X (x ε) F X (x) + P ( X X > ε). (1.22) Como X P X cuado obteemos, haciedo e (1.21) y (1.22), F X (x ε) lím if F X (x) lím sup F X (x) F X (x + ε) Esta relació es válida para todo x y todo ε > 0. Para demostrar la covergecia e distribució supoemos que x C(F X ) y hacemos ε 0. Obteemos por lo tato F X (x) lím if F X (x) lím sup F X (x) F X (x), lím F X (x) F X (x), y como esto vale para cualquier x C(F X ) obteemos la covergecia e distribució. Observació 1.7 Observamos que si F X tiee u salto e x, sólo podemos cocluir que F X (x ) lím if F X (x) lím sup F X (x) F X (x), y F X (x) F X (x ) es el tamaño del salto. Esto explica por qué sólo se toma e cueta los putos de cotiuidad e la defiició de covergecia e distribució. Como mecioamos ateriormete, la covergecia e distribució o requiere que las variables esté defiidas e u mismo espacio de probabilidad, y por lo tato es más débil que los otros modos de covergecia. El siguiete ejemplo muestra que au cuado las distribucioes cojutas exista, existe variables que coverge sólo e distribució. Ejemplo 1.22 Sea X ua variable co distribució simétrica, cotiua y o-degeerada y defiimos X 1, X 2,... por D D X 2 X y X 2 1 X, 1, 2,.... Como X X para todo, teemos, e particular, X X cuado. Por otro lado, como X tiee distribució o-degeerada existe a > 0 tal que P ( X > a) > 0 ( por qué?). E cosecuecia, para todo ε > 0, 0 < ε < 2a, { 0, para par, P ( X X > ε) P ( X > ε 2 ) > 0, para impar.

27 1.6. CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS 27 Esto muestra que X o puede coverger e probabilidad a X cuado, y e cosecuecia tampoco c.s. o e L p. Podemos resumir todo lo aterior e el siguiete teorema. Teorema 1.4 Sea X y X 1, X 2,... variables aleatorias, etoces, cuado, X c.s. X X Nigua de las implicacioes se puede ivertir. X P X X L p X D X