CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

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1 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS. APUNTES DE CLASE Profesor: Arturo Ruiz-Falcó Rojas Madrid, Marzo

2 INDICE DE CONTENIDOS. INTRODUCCIÓN AL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS.... POR QUÉ VARÍAN LOS PROCESOS?...5. FUNDAMENTOS ESTADÍSTICOS...7. CAUSAS COMUNES Y CAUSAS ASIGNABLES O ESPECIALES QUÉ CONDICIONES HACEN FALTA PARA QUE SE PUEDA APLICAR EL GRÁFICO DE CONTROL? CAPACIDAD DE PROCESO CONCEPTO DE CAPACIDAD DE PROCESO ÍNDICES C P Y C PK VARIABILIDAD A CORTO Y LARGO PLAZO POTENCIALIDAD DEL PROCESO. ÍNDICES P P Y P PK CONCEPTO DE GRUPO HOMOGÉNEO RACIONAL GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES: GRÁFICOS DE SHEWHART CURVAS DE OPERACIÓN DEL GRÁFICO DE CONTROL CURVA DE OPERACIÓN DEL GRÁFICO DE MEDIAS CURVA DE OPERACIÓN DEL GRÁFICO DE DISPERSIÓN INTERPRETACIÓN DE LAS INDICACIONES DEL GRÁFICO DE CONTROL...6. ESTUDIO DE CAPACIDAD DE PROCESOS QUÉ ES UN ESTUDIO DE CAPACIDAD DE PROCESO? CÓMO SE REALIZA UN ESTUDIO DE CAPACIDAD DE PROCESO? Compreder los feómeos físicos y tecológicos importates para el proceso Defiició de la estratificació de las medidas a tomar Estabilizar del proceso Toma de los datos Idetificació del patró de variabilidad Comprobació de la ormalidad de los datos Aálisis e iterpretació de los datos Costrucció de u itervalo de cofiaza de los ídices...6. CASO DE PROCESOS NO NORMALES ES LA NORMALIDAD LO NORMAL? CONSECUENCIAS QUE TIENE EN EL ANÁLISIS TÉCNICAS DE NORMALIZACIÓN DE LOS DATOS GRÁFICOS DE CONTROL PARA APLICACIONES ESPECIALES GRÁFICOS PARA MUESTRAS UNITARIAS (I-MR) GRÁFICOS QUE PERMITEN CONTROLAR DOS TIPOS DE VARIABILIDAD SIMULTÁNEAMENTE (I-MR-R/S) GRÁFICOS DE CONTROL PARA EL CASO DE SERIES CORTAS Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

3 . OTROS GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES GRÁFICO CUSUM GRÁFICO EWMA GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS GRÁFICOS DE CONTROL BASADOS EN LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL GRÁFICOS DE CONTROL BASADOS EN LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON IMPLANTACIÓN DEL SPC EN UNA EMPRESA FASE : PREPARACIÓN Y SELECCIÓN DEL PROCESO PILOTO FASE : IMPLANTACIÓN DEL GRÁFICO DE CONTROL PILOTO FASE : ANÁLISIS DE LOS PRIMEROS RESULTADOS FASE : EXTENSIÓN A OTROS PROCESOS... 7 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág.

4 Objetivos de este tema E este tema se pretede que alcaces los siguietes objetivos: a) Eteder el cocepto de variabilidad atural de u proceso. b) Apreder a realizar estudios de capacidad de procesos. c) Apreder a aplicar los gráficos de cotrol, coocer sus limitacioes y adaptarlos e situacioes especiales (series cortas, datos o ormales, etc.). INTRODUCCIÓN AL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS El Cotrol Estadístico de Procesos ació a fiales de los años e los Bell Laboratories. Su creador fue W. A. Shewhart, quie e su libro Ecoomic Cotrol of Quality of Maufactured Products (9) marcó la pauta que seguiría otros discípulos distiguidos (Joseph Jura, W.E. Demig, etc.). Sobre este libro ha pasado más de 7 años y sigue sorprediedo por su frescura y actualidad. Resulta admirable el igeio co el que platea la resolució de problemas uméricos pese a las evidetes limitacioes de los medios de cálculo dispoibles e su época. Lametablemete, a Shewhart se le recuerda solo por las gráficos de cotrol (X-R, etc.). Por si fuera poco, a meudo se emplea estos gráficos de modo icorrecto o se descooce las limitacioes de los mismos. Normalmete, la utilizació icorrecta de los gráficos de cotrol dimaa del descoocimieto de los fudametos estadísticos que los susteta. Por está razó se ha cosiderado coveiete hacer hicapié e los fudametos estadísticos (párrafos y 5), el problema del sobre ajuste del proceso (ver párrafo 6) y las limitacioes que preseta para la detecció de derivas e los procesos y aumetos e la variabilidad e los mismos (ver párrafo 8). Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

5 . POR QUÉ VARÍAN LOS PROCESOS? U proceso idustrial está sometido a ua serie de factores de carácter aleatorio que hace imposible fabricar dos productos exactamete iguales. Dicho de otra maera, las características del producto fabricado o so uiformes y preseta ua variabilidad. Esta variabilidad es claramete ideseable y el objetivo ha de ser reducirla lo más posible o al meos mateerla detro de uos límites. El Cotrol Estadístico de Procesos es ua herramieta útil para alcazar este segudo objetivo. Dado que su aplicació es e el mometo de la fabricació, puede decirse que esta herramieta cotribuye a la mejora de la calidad de la fabricació. Permite tambié aumetar el coocimieto del proceso (puesto que se le está tomado el pulso de maera habitual) lo cual e alguos casos puede dar lugar a la mejora del mismo. QUÉ ES UN PROCESO? INPUT OUTPUT Figura Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 5

6 POR QUÉ HAY VARIACIÓN EN LOS RESULTADOS DEL PROCESO??? OK OK OK OK Figura PORQUE ESTÁ AFECTADO POR FACTORES QUE VARÍAN INPUT OUTPUT Mao de Obra Máquias Material Método Ambiete Mateimieto Figura Pág. 6 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

7 . FUNDAMENTOS ESTADÍSTICOS. Para el etedimieto del Cotrol Estadístico de Procesos o es ecesario ser u experto e estadística, pero es preciso recordar al meos los putos que se describe a cotiuació. a) Distribució Normal o Campaa de Gauss. La distribució ormal es desde luego la fució de desidad de probabilidad estrella e estadística. Depede de dos parámetros µ y σ, que so la media y la desviació típica respectivamete. Tiee ua forma acampaada (de ahí su ombre) y es simétrica respecto a µ. Llevado múltiplos de σ a ambos lados de µ, os ecotramos co que el 68% de la població está coteido e u etoro ±σ alrededor de µ, el 95% de la població está coteido e u etoro ±σ alrededor de µ y que el 99,7% está compredido e ±σ alrededor de µ. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD NORMAL % 95% 99,7% Figura Fució de desidad de probabilidad ormal Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 7

8 b) Teorema del Límite Cetral. El teorema del límite cetral (TLC) establece que si ua variable aleatoria (v. a.) se obtiee como ua suma de muchas causas idepedietes, siedo cada ua de ellas de poca importacia respecto al cojuto, etoces su distribució es asitóticamete ormal. Es decir: Si X x + x + L + x dode las xi so v.a de media µ i y variazaσi Etoces : X N µ i, i i σi c) Distribució de las medias muestrales Si X es ua v.a. N(µ, σ) de la que se extrae muestras de tamaño, etoces las medias muestrales se distribuye segú otra ley ormal: xm N µ, σ Obsérvese que como cosecuecia del TLC, la distribució de las medias muestrales tiede a ser ormal aú e el caso que la població base o lo sea, siempre que el tamaño de la muestra sea suficietemete grade 5, si bie este úmero depede de la asimetría de la distribució. Pág. 8 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

9 DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS DISTRIBUCIÓN DE LOS VALORES INDIVIDUALES Figura 5: Fució de desidad de las medias maestrales. CAUSAS COMUNES Y CAUSAS ASIGNABLES O ESPECIALES De acuerdo co lo dicho e la itroducció, el proceso está afectado por u gra úmero de factores sometidos a ua variabilidad (por ejemplo oscilacioes de las características del material utilizado, variacioes de temperatura y humedad ambietal, variabilidad itroducida por el operario, repetibilidad propia de la maquiaria utilizada, etc.), que icide e él y que iduce ua variabilidad de las características del producto fabricado. Si el proceso está operado de maera que existe pequeñas oscilacioes de todos estos factores, pero de modo que iguo de ellos tiee u efecto prepoderate frete a los demás, etoces e virtud del TLC es esperable que la característica de calidad del producto fabricado se distribuya de acuerdo co ua ley ormal. Al cojuto de esta multitud de factores se deomia causas comues. Por el cotrario, si circustacialmete icide u factor co u efecto prepoderate, etoces la distribució de la característica de calidad o tiee por qué seguir ua ley ormal y se dice que está presete ua causa especial o asigable. Por ejemplo, si e u proceso idustrial se está utilizado materias primas procedetes de u lote homogéeo y se cotiúa la fabricació co materias primas procedetes de otro lote, cuyas características so muy diferetes de las ateriores, es muy posible que las características de los productos fabricados sea sigificativamete distitas a partir de la utilizació del uevo lote. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 9

10 Por defiició, se dice que u proceso está bajo cotrol estadístico cuado o hay causas asigables presetes. El Cotrol Estadístico de Procesos se basa e aalizar la iformació aportada por el proceso para detectar la presecia de causas asigables y habitualmete se realiza mediate ua costrucció gráfica deomiada Gráfico de Cotrol. Si el proceso se ecuetra bajo cotrol estadístico es posible realizar ua predicció del itervalo e el que se ecotrará las características de la pieza fabricada. 5. QUÉ CONDICIONES HACEN FALTA PARA QUE SE PUEDA APLICAR EL GRÁFICO DE CONTROL? Para que tega setido la aplicació de los gráficos de cotrol, el proceso ha de teer ua estabilidad suficiete que, aú siedo aleatorio, permita u cierto grado de predicció. E geeral, u proceso caótico o es previsible y o puede ser cotrolado. A estos procesos o se les puede aplicar el gráfico de cotrol i tiee setido hablar de capacidad. U proceso de este tipo debe ser estudiado mediate herramietas estadísticas avazadas hasta que el grado de coocimieto empírico obteido sobre el mismo permita coocer las causas de la estabilidad y se elimie. E lo sucesivo, se supodrá que los procesos tiee u cierto grado de estabilidad. Podemos distiguir dos casos: El proceso está regido por ua fució de probabilidad cuyos parámetros permaece costates a lo largo del tiempo. Este sería el caso de u proceso ormal de media costate y desviació típica costate. Este es el caso ideal y al que se puede aplicar los gráficos de cotrol para detectar la presecia de causas asigables. El proceso está regido por ua fució de probabilidad alguo de cuyos parámetros varía ligeramete a lo largo del tiempo. Este sería el caso de u proceso ormal cuya media varía a lo largo del tiempo (por ejemplo, ua herramieta de corte que va desgastado la cuchilla de corte). Estrictamete hablado, este desgaste de la herramieta sería ua causa especial; si embargo si puede coocerse la velocidad de desgaste, podría compesarse resultado u proceso aálogo al caso aterior. Puede ocurrir que las características propias del proceso haga que alguo de los factores de variabilidad itrísecos al mismo, tega u efecto prepoderate, de modo que e este caso la distribució o sea ormal. U Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

11 ejemplo puede ser la distribució de los diámetros de u proceso de taladrado, cuyo valor iferior está limitado por el propio diámetro de la broca, mietras que la distribució preseta ua cola hacia diámetros mayores debido a posibles icidecias oblicuas de la broca. E este caso, se dice que el proceso está bajo cotrol estadístico cuado o hay otras causas asigables presetes. Esto es equivalete a decir que el proceso permaezca estable, es decir que los parámetros de la distribució permaezca ivariables y por lo tato puede realizarse ua predicció del itervalo e el que se ecotrará los valores de la característica de respuesta. Por lo tato, debe tratar de coocerse todo lo que sea posible de los fudametos tecológicos del proceso, ya que puede dar pistas sobre el tipo de distribució que seguirá los datos. E igú caso debe darse la ormalidad por supuesta. Debe comprobarse y e caso de que los datos o sea ormales, debe aplicarse métodos especiales. EJEMPLO- : ILUSTRACIÓN DE CAUSAS COMUNES EN UN PROCESO U proceso de fabricació cosiste e lazar moedas al aire. Se supoe que las moedas so perfectas de maera que e el lazamieto de cada ua se tiee u 5% de probabilidades de obteer cara, y u 5% de obteer cruz. La calidad de cada lazamieto de moedas se mide segú el úmero de caras obteidas. Podríamos asimilar lo aterior a u proceso idustrial sometido a causas de variabilidad o ormales (biomiales e este caso). Al ser iguales, todas ellas tiee el mismo efecto sobre la variabilidad de la producció, por lo que las podremos cosiderar como causas comues. Si tiramos moedas % 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% Figura 6: Simulació de u proceso sometido a causas comues o ormales Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág.

12 La teoría estadística os eseña que la probabilidad de obteer exactamete x caras ( x ) se calcula por la distribució biomial: P( x) p x x ( ) ( x p )) dode es el úmero de moedas lazadas ( e este caso) y p la probabilidad de sacar cara co ua moeda (.5 e este caso). Si se represeta gráficamete, se obtiee u fució acampaada que recuerda a ua gaussiaa (ver Figura 7). Este hecho es ua cosecuecia del TLC. Si aumetara el úmero de moedas, la covergecia hacia la distribució ormal sería aú mayor. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL (N, P).5. Probabilidad Número de itetos N Probabilidad de éxito P.5 x Figura 7: Fució de probabilidad de la obteció de x caras lazado moedas Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

13 6. CAPACIDAD DE PROCESO 6.. CONCEPTO DE CAPACIDAD DE PROCESO Como cosecuecia de todo lo aterior, si u proceso ormal está e cotrol estadístico, la característica de calidad del 99,7% de los elemetos fabricados estará compredida etre µ - σ y µ + σ. El parámetro µ depede del puto e el que cetremos el proceso. Si embargo σ depede del úmero y variabilidad de las causas comues del proceso y por lo tato es itríseca a él. Por lo tato 6σ es la Variabilidad Natural del Proceso o Capacidad del Proceso. Por defiició: CAPACIDAD DEL PROCESO 6σ Es esecial resaltar que la variabilidad atural del proceso, 6σ, es itríseca a él e idepediete de las toleracias que se asige. Por lo tato si 6σ es meor que el itervalo de las toleracias a cumplir, ecesariamete alguos productos fabricados estará fuera de toleracia y será o coformes. Si o se tiee e cueta este hecho y se pretede corregir a base de reajustar el proceso, es decir modificar el cetrado, lo úico que se cosigue es aumetar la variabilidad del mismo. 6.. ÍNDICES C P Y C PK Co objeto de comparar la capacidad del proceso y la amplitud de las toleracias a satisfacer, se defie el ídice de capacidad de proceso: C p Ts Ti 6σ Si se pretede que la producció esté detro de toleracia, es ecesario que C p >. Si el proceso o estuviese cetrado, el valor de este ídice falsearía el grado de cobertura co respecto a fabricar piezas fuera de toleracias. E estos casos es más sigificativo el ídice C pk que se defie: C pk Ts µ µ Ti mi, σ σ Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág.

14 De este modo se defie u proceso capaz como aquel que C pk >. Aplicado estos mismos coceptos a la variabilidad atribuible de ua máquia de las que itegra el proceso de fabricació, podemos defiir la capacidad de máquia, el ídice de capacidad de máquia C M y C Mk. Ídice de capacidad c p : Ts Ti Cp Itervalo de toleracias Capacidad del proceso 6σ. Probabilidad... INTERVALO DE TOLERANCIA. - Tif VARIABILIDAD PROCESO Tsup Figura 8: Ídice Cp Ídice de capacidad c pk : Dist. de la media al limite de tol. mas ajustado Cpk semicapacidad del proceso.. Probabilidad.. INTERVALO DE TOLERANCIA. - Tif Tsup VARIABILIDAD PROCESO Figura 9: Ídice Cpk Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

15 EJEMPLO- : LA MÉTRICA 6 SIGMA E.988 Motorola alcazó el prestigioso Malcom Baldrige Natioal Quality Award. Ua de las bases fudametales de su estrategia de calidad era el Programa 6σ. El objetivo de este programa fue reducir la variació de los procesos de maera que el itervalo de toleracia fuera igual a σ (6 a cada lado). De acuerdo co la defiició del ídice de capacidad de proceso: σ c p 6 σ Supoiedo que se desplazase el proceso.5 σ, ver Figura, los coeficietes pasaría a ser: c σ 6σ p c pk,5σ,5 σ Aú estas circustacias, la catidad de producto fuera de toleracia sería ta solo de. ppm. Por qué calidad Six Sigma, ppm? C A L ID A D S IX S IG M A 6 S IG M A C p, p p m. D E S P L A Z A D A, 5 S IG M A C p k, 5 /, 5 ; p p m Figura Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 5

16 6.. VARIABILIDAD A CORTO Y LARGO PLAZO U proceso productivo tiee habitualmete dos tipos de variabilidad: Variabilidad iherete del proceso. Aquella compoete de la variabilidad debida a causas comues solamete y represeta la variabilidad que puede estar presete etre elemetos fabricados e itervalos próximos (variabilidad e el corto plazo, ver Figura ). Alguos autores deomia a este compoete de la variabilidad como ruido blaco. Variabilidad total del proceso. Es la variació resultate de todas las causas de variabilidad (causas comues y especiales), e la que se tiee e cueta factores como el desgaste, cambios de lote de materia prima, etc. Represeta la variabilidad que puede afectar al cojuto de los elemetos fabricados recibidos por el cliete (variabilidad e el largo plazo, ver Figura ). Alguos autores deomia a este compoete de la variabilidad como ruido egro. Pág. 6 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

17 Variabilidad total del proceso (largo plazo) Variabilidad iherete del proceso (corto plazo) Número de muestra Figura Descomposició de la variabilidad de u proceso 6.. POTENCIALIDAD DEL PROCESO. ÍNDICES P P Y P PK Durate mucho tiempo, ha existido la cofusió sobre qué estimació de la variabilidad se debe utilizar para el cálculo de C p, C pk. Precisamete para poer u poco de orde e todo esto, se itrodujero los ídices P p, P pk, de acuerdo co los siguietes criterios: C p y C pk se calcula co la variabilidad iherete del proceso (variabilidad e el corto plazo). E este caso se cosidera la variabilidad etre los elemetos de la misma muestra o muestras próximas. P p y P pk se calcula co la variabilidad total del proceso (variabilidad e el largo plazo). E este caso se tiee e cueta la variabilidad itroducida por la deriva del cetrado del proceso y la iestabilidad del mismo. De maera geeral, se verifica que C p > P p y C pk > P pk Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 7

18 Las ecuacioes de los ídices queda: C P p p Ts Ti 6σˆ CP Ts Ti 6σˆ LP C P pk pk Ts µ µ Ti mi, ˆ σ CP ˆ σ CP Ts µ µ Ti mi, ˆ σ LP ˆ σ LP Los símbolos circuflejos ^ represeta ua estimació de la desviació típica cosiderada. Es preciso resaltar que la utilizació de los coeficietes P p y P pk o tiee todavía ua aceptació uáime. Tiee ua aceptació muy amplia e etoros de automoció (QS 9 / TS 699, etc.) pero o así e otras áreas CONCEPTO DE GRUPO HOMOGÉNEO RACIONAL A la hora de plaificar la toma de muestras para realizar u estudio de capacidad de proceso o la implatació de u gráfico de cotrol, resulta muy importate teer e cueta el cocepto de grupo homogéeo racioal (GHR). Veamos u ejemplo. Supogamos ua máquia de iyecció de piezas de plástico de 6 cabezales. E la defiició del gráfico de cotrol se establece ua toma de muestra horaria de 6 uidades (u racimo de iyecció). Obviamete el diferete tamaño de los cabezales es ua fuete de variabilidad que muy probablemete puede hacerse presete. Por esta razó e la toma de muestras debe estudiarse o solo la variabilidad etre las iyeccioes, sio tambié la variabilidad etre cabezales. E el párrafo.. se da alguas idicacioes para la defiició del GHR. 7. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES: GRÁFICOS DE SHEWHART Supogamos que u proceso se ecuetra bajo cotrol estadístico y por lo tato su distribució es N(µ, σ). Si se extrae ua muestra de tamaño y su media muestral se ecuetra compredida fuera del itervalo compredido etre µ σ / y µ + σ / (llamados límites de cotrol iferior y Pág. 8 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

19 superior respectivamete), podemos justificar este hecho de dos modos distitos: a) De acuerdo co el modelo teórico supuesto sabemos que el,7% de las muestras (es decir 7 muestras de cada.) tedrá ua media fuera de este itervalo y la muestra que hemos extraído es ua de ellas. b) Es muy improbable obteer ua muestra de estas características si realmete el modelo es el supuesto, de modo que parece más verosímil pesar que el proceso o está bajo cotrol estadístico y por lo tato la hipótesis de que se distribuye e ese mometo segú ua N(µ, σ) es falsa. Por el cotrario, si la media muestral está compredida detro del itervalo aterior, o tedremos igua razó de peso para pesar que el proceso o se ecuetra bajo cotrol estadístico (el resultado es coherete co el modelo supuesto). Lo aterior o quiere decir que podamos estar absolutamete seguros de que el proceso se ecuetre bajo cotrol estadístico, sio que o teemos la evidecia de que o lo está. El Cotrol Estadístico de Procesos se basa e repetir esta toma de muestras de maera periódica, calcular la media muestral y represetar u gráfico de ua maera similar a la Figura, de modo que si la media cae fuera de los límites de cotrol existe la evidecia de que hay ua causa asigable presete (proceso fuera de cotrol). A este gráfico se le deomia Gráfico de Medias o simplemete Gráfico X. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 9

20 E qué se basa el gráfico de medias? LCS media + σ MEDIA DEL PROCESO LCI media σ Media de las muestras Figura : Fudameto del gráfico de medias Proceso fuera de cotrol LCS media + σ ALTO MEDIA DEL PROCESO LCI media σ Idetificar y elimiar la causa especial! Figura : Los gráficos de cotrol o sirve para ada si o se ivestiga las causas asigables!! Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

21 El aálisis de las muestras o se debe deteer simplemete costruyedo u Gráfico de Medias ya que aú puede proporcioar más iformació del comportamieto del proceso. E efecto, la dispersió de los valores muestrales os puede proporcioar ua estimació de la dispersió del proceso y realizar u seguimieto de su evolució. Es sabido que la dispersió de los valores de ua població se mide por su desviació típica σ y los estimadores muestrales utilizados más frecuetemete so el recorrido R (que e uestro caso dará lugar al Gráfico de Ragos o Recorridos o simplemete Gráfico R) y la desviació típica muestral S (que dará lugar al Gráfico de desviacioes típicas o simplemete Gráfico S). Ates de seguir adelate es coveiete recordar alguas propiedades de estos estadísticos co objeto de alcazar u mejor etedimieto de la costrucció de estos gráficos. a) Rago o recorrido muestral. Se defie como la diferecia etre el mayor valor presete e la muestra y el meor valor. Por su propia costrucció, este estadístico da ua estimació de la dispersió de la població de la que procede. Preseta la vetaja de que se calcula muy fácilmete y para valores muestrales pequeños 8 se comporta bie. Para valores mayores da ua estimació sobrevalorada de la dispersió de la població. Existe tablas aplicables a procesos ormales que, e fució del tamaño de la muestra, proporcioa la fució de distribució del estadístico w R/σ, deomiado recorrido relativo y tambié la E(w) d y σ w d. b) Desviació típica muestral. Es coveiete recordar que e los textos se utiliza dos estadísticos distitos. El primero de ellos se defie: s i ( x x) i Para procesos ormales, la esperaza matemática de la variaza muestral es: E ( s ) σ Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág.

22 Por lo que es u estimador sesgado de la variaza poblacioal σ. Por esta razó alguas veces se toma como variaza muestral al estimador isesgado defiido: s * i ( x x) i Este estimador de la variaza σ es isesgado y además so los grados de libertad de la muestra. Por estas razoes, e igeiería de calidad es más frecuete emplear s*. Las variazas de ambos estadísticos so, para procesos ormales: Var ( ) ( ) * s σ Var ( s ) σ Puede comprobarse que el error cuadrático medio de s es iferior al de s*. E Cotrol Estadístico de Procesos es habitual operar co desviacioes típicas e lugar de co variazas, por lo que es ecesario coocer E(s), E(s*), σ s, σ* s. Γ( / ) [( ) / ] Γ( / ) [( ) / ] * E s) σ c σ E( s ) σ c Γ Γ ( σ E este caso ambos estadísticos so estimadores segados de σ. σ σ σ σ s c s' c Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

23 CONSTRUCCIÓN DEL GRÁFICO X -R i) Caso µ, σ coocidos. Si µ y σ so coocidos etoces la costrucció del gráfico de medias es imediata a partir de su defiició: LCS µ + LC µ LCI µ σ µ + Aσ σ µ Aσ El cálculo de los límites del gráfico de recorridos se hace de la maera siguiete: LCS LC d σ LCS ( d + d ) σ D σ ( d d ) σ D σ ii) Caso µ, σ descoocidos. Si alguo de los dos fuera coocido sería u híbrido de los dos casos i) y ii). Puesto que e este caso o se tiee igú coocimieto previo, es preciso estimar µ a partir de la media de las medias ( x ) y σ a partir del recorrido medio ( R ) de k (por ejemplo k 5) muestras iiciales. A partir de x y R se trazaría los límites provisioales de la maera siguiete. E el gráfico de medias: Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág.

24 LCS X + LC X LCI X R d R d X + A R X A R y los límites del gráfico de recorridos sería: d LSC + d LC R d LCI d R DR R DR Ua vez establecidos los límites de cotrol provisioales para ambos gráficos, se comprobaría si algua de las muestras está fuera de los límites. E caso afirmativo se procedería a buscar la causa asigable que pudiera explicar esa aormalidad y se recalcularía los límites. Estos límites debe recalcularse periódicamete, por ejemplo cada 5 muestras. CONSTRUCCIÓN DEL GRÁFICO X -S i) Caso µ, σ coocidos. Si µ y σ so coocidos la costrucció del gráfico de medias es aáloga al caso aterior. LCS µ + LC µ LCI µ σ µ + Aσ σ µ Aσ Cuado se utiliza s, el gráfico S se costruye: Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

25 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 5 σ σ σ σ σ B c c LIC c LC B c c LSC + Cuado se utiliza s*, el gráfico S se costruye: σ σ σ σ σ 5 6 B c c LIC c LC B c c LSC + ii) Caso µ, σ descoocidos. (Si alguo de los dos fuera coocido sería u híbrido de los dos casos i) y ii)). Se estimaría µ a partir de la media de las medias ( ) x y σ a partir de la desviació típica muestral media ( s o * s ) de k muestras iiciales. A partir de x y s o * s se trazaría los límites provisioales de la maera siguiete. E el gráfico de medias si se utiliza s : A S X S c X LCI X LC A S X S c X LCS + + Si se utiliza * s :

26 Pág. 6 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) * * * * A S X S c X LCI X LC A S X S c X LCS + + E el gráfico de desviacioes típicas, si se utiliza s : S B c S c c LSI S LC S B c S c c LSC + Si se utiliza s * : * * * * * S B S c c LCI S LC S B S c c LCS + Ua vez trazados los límites provisioales, se estudiaría los putos fuera de cotrol y se recalcularía los límites de maera aáloga al caso aterior. E las tablas siguietes se resume lo aterior:

27 GRÁFICOS DE MEDIAS DATOS LCS LC LCI CONOCIDOS µ y σ µ+aσ µ µ-aσ σ X +Aσ X X -Aσ µ+a S µ µ-a S µ µ+a R µ µ-a R µ+a S * µ µ-a S * X +A S X X -A S NINGUNO X +A R X X -A R X +A S * X X -A S * Tabla GRÁFICOS DE DISPERSIÓN DATOS CONOCIDOS LCS LC LCI S B σ c σ B σ σ R D σ d σ D σ S * B 6 σ c σ B 5 σ S B S S B S NINGUNO R D R R D R S * B S * S * B S * Tabla Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 7

28 TABLA DE COEFICIENTES A A A A c c B B B B B 5 B 6 d d D D D D >5 / / / +/ -/ +/ A A c A d A c c c s σ c Tabla R d d σ σ w B B B B B B 5 6 c c c + c c c B B + ( c ) ( c ) ( c ) ( c ) D d D D D d d d d d + d + d Pág. 8 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

29 EJEMPLO- : CONSTRUCCIÓN DE UN GRÁFICO DE SHEWHART La galga de los platios es ua característica clave para su bue fucioamieto. La tabla siguiete recoge medidas de muestras de tamaño * 5. Costruir los gráficos de cotrol X R, X S y X S MUES TRA,6,8,76,76,,88,8,76,7,59,8,8,9,75,7,67,76,6,7,88,87,8,88,9,86,7,5,7,88,5,78,89,87,65,68,87,9,86,7,7,7,8,86,8,87,8,65,75,89,97,78,98,8,6,8,89,9,79,87,9,87,75,89,76,8,8,8,7,,69,7,9,8,78,77,69,9,6,6,6,77,89,9,68,9,89,8,7,9,79,8,9,86,87,8,7,8,9,7, SOLUCIÓN: Tabla Dispogamos los cálculos e la tabla siguiete: 5 Media R s * s,6,8,8,8,,7,,6,,9,8,8,7,6,8,,,,8,8,9,8,7,8,,9,8,7,8,6,7,9,7,,9,8 5,9,8,9,9,9,9,,, Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 9

30 MUES TRA 5 Media R s * s 6,7,5,7,9,5,7,,5, 7,8,9,9,7,7,8,,, 8,9,9,9,7,7,8,,,9 9,7,8,9,8,9,8,,5,5,8,7,8,9,,8,,,,8,,8,6,8,8,,,,9,9,8,9,9,9,,5,,9,8,9,8,8,8,,6,6,8,8,7,,7,8,,, 5,7,9,8,8,8,8,,7,6 6,7,9,6,6,6,7,,, 7,8,9,9,7,9,8,,, 8,9,8,7,9,8,8,,7,7 9,8,9,9,9,8,8,,,,7,8,9,7,,9,,, Media,8,,,9 Tabla 5 Método recorridos: A,577 D D,5 Gráfico de medias: LCS,8 +,577x,,9 LC,8 LCI,8 -,577 x,,66 Gráfico de recorridos: LCS,5x,,5 LC, LCI,x,8, E las figuras siguietes se represeta el gráfico de medias y el de recorridos. Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

31 GRÁFICO X-R Media Muestral Subgroup.SL.95 X SL.65 Recorrido Muestral SL.57 R. -.SL.E+ Figura : Gráfico X-R Método s * A,7 B B,89 Gráfico de medias: LCS,8 +,7x,, LC,8 LCI,8 -,7x,,5 Gráfico s* LCS,89x,, LC, LCI,x,, Método s A,596 B B,89 Gráfico de medias: LCS,8 +,596x,9,9 LC,8 LCI,8 -,596x,9,66 Gráfico s LCS,89x,9,8 LC,9 LCI,x,9, Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág.

32 8. CURVAS DE OPERACIÓN DEL GRÁFICO DE CONTROL Las curvas de operació so útiles para evaluar a priori la sesibilidad del gráfico de cotrol frete a desplazamieto del proceso o al cambio de su variabilidad. De estas curvas se deduce que el hecho de que los putos esté detro de los límites proporcioa muy poca seguridad de que el proceso se ecuetre realmete bajo cotrol estadístico y poe de maifiesto las limitacioes de esta técica. La aplicació de gráficos de cotrol debe cotiuarse co técicas estadísticas avazadas ecamiadas al coocimieto de los parámetros que ifluye e el proceso (CTP e termiología 6 Sigma) y a la reducció de la variabilidad (o lo que es lo mismo, al aumeto de los ídices de capacidad). 8.. CURVA DE OPERACIÓN DEL GRÁFICO DE MEDIAS. Si se mide el desplazamieto del proceso e uidades de la desviació típica y la deformació mediate la relació existete etre la desviació típica fial y la iicial, es decir: d µ µ σ σ λ σ La probabilidad de que la media muestral caiga detro de los límites de cotrol d,λ es: e fució de ( ) µ LCI P( d, λ) P σ / x µ σ / LCS µ ( d + ) P σ / λ x µ dσ λσ / ( d ) λ Si aalizamos ahora los dos efectos por separado y dibujamos las curvas para distitos tamaños de muestras, vemos que el gráfico de medias es sesible al desplazamieto y muy poco sesible al cambio de la variabilidad (ver Figura 5 y Figura 6). Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

33 SENSIBILIDAD DEL GRÁFICO DE MEDIAS DESPLAZAMIENTO DEL PROCESO Y DESVIACIÓN TÍPICA INALTERADA Prob. media muestral detro de LC desplazamieto e múltiplos de sigma.5 Figura 5: Curva de operació del Gráfico R al desplazamieto de la media CURVA CARACTERÍSTICA DEL GRÁFICO DE MEDIAS..9 (AUMENTOS DE VARIABILIDAD) Probabilidad Aumeto de variabilidad Figura 6: Curva de operació del Gráfico X al aumeto de la variabilidad Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág.

34 Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) 8.. CURVA DE OPERACIÓN DEL GRÁFICO DE DISPERSIÓN. La costrucció de la curva de operació del gráfico de recorridos se hace aprovechado el estadístico w R/σ. La ecuació de la curva será: ( ) ( ) σ λσ σ λ D w D P P Para el caso del gráfico S, la probabilidad de que ua muestra caiga detro de los límites de cotrol puede hacerse utilizado el estadístico: s χ σ Etoces la ecuació de la curva de operació es: B s B P B s B P P ) ( λ λ σ λ σ σ σ σ σ λ Se puede comprobar que el comportamieto es similar para muestras pequeñas. Si embargo para muestras >6 es más eficaz el gráfico S.

35 SENSIBILIDAD DEL GRÁFICO "R" AL AUMENTO DE LA VARIABILIDAD CENTRADO INALTERADO. Probabilidad R detro LC Aumeto de la variabilidad e múltiplos de sigma Figura 7: Curva de operació del Gráfico R al aumeto de la variabilidad SENSIBILIDAD DEL GRÁFICO "S" AL AUMENTO DE LA VARIABILIDAD CENTRADO INALTERADO. Probabilidad S detro LC Aumeto de la variabilidad e múltiplos de sigma Figura 8: Curva de operació del Gráfico S al aumeto de la variabilidad Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 5

36 9. INTERPRETACIÓN DE LAS INDICACIONES DEL GRÁFICO DE CONTROL La idicació más clara de que el proceso está fuera de cotrol es que alguo de los putos esté fuera de los límites. Además el aspecto de los gráficos puede idicar aomalías e el proceso. E efecto, si dividimos el gráfico e zoas A, B y C, ver Figura 9, el porcetaje de putos coteidos e cada ua de ellas deberá acercarse sesiblemete al área relativa de la campaa de Gauss cubierta por cada ua de ellas. Cómo debe distribuirse los putos? A (,5%) A (,5%) B (,5%) C (%) C (%) B (,5%) Figura 9: Distribució de los putos procedetes de ua distribució ormal E la Tabla 6 se icluye alguas reglas utilizadas frecuetemete para aalizar el gráfico de medias y establecer si el proceso se ecuetra fuera de cotrol. E la columa de la derecha se idica la probabilidad de que se diera esta circustacia e el caso de u proceso ormal, cetrado (lo que daría lugar a ua decisió erróea). E geeral, u procedimieto de SPC debe explicitar qué idicacioes debe cosiderarse como sítoma de proceso fuera de cotrol. Pág. 6 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

37 Regla Descripció Probabi lidad U puto está fuera de los límites de cotrol,7% De tres putos cosecutivos, dos o más está e ua de las,5% zoas A (la misma). Dos putos cosecutivos está e ua de las zoas A (la,5% misma). Racha de cico putos e la que cuatro está e la misma zoa A o B.,7% Racha de cuatro putos cosecutivos que está e la misma zoa A o B.,6% Racha de siete putos cosecutivos por ecima de la líea,78% cetral. Racha de seis putos cosecutivos por ecima de la líea,56% cetral. Racha de ocho putos cosecutivos por ecima de la líea,9% cetral. 5 Racha de seis putos cosecutivos se preseta de maera,% moótoa creciete. 6 De diez putos cosecutivos, existe ua racha de 8 que se,7% preseta de maera moótoa creciete. 6 De ueve putos cosecutivos, existe ua racha de 8 que se,% preseta de maera moótoa creciete. 6 De ueve putos cosecutivos, existe ua racha de 7 que se,% preseta de maera moótoa creciete. 7 Dados dos putos cosecutivos, el segudo está al meos,% cuatro desviacioes típicas por ecima del primero (por ejemplo, el primero está e la zoa A iferior y el segudo e la B ó A superior). 8 Racha de quice putos e la zoa C,% 9 Racha de catorce putos alterativos ascedete descedete? Tabla 6 A cotiuació veamos cómo se puede iterpretar estas idicacioes: a) Reglas,,,,,, y 7. Si el gráfico de medias preseta algua de estas idicacioes y el gráfico S o R o preseta aomalías, lo más probable es que el proceso se ecuetre desplazado. Si el gráfico S o R preseta tambié idicacioes, etoces es proceso ha aumetado la variabilidad y posiblemete tambié se ha desplazado. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 7

38 b) Reglas 5, 6, 6, 6. Lo más probable es que el proceso esté desplazádose. c) Regla 7. Si el gráfico S o R o preseta aomalías, lo más probable es que el proceso sea muy iestable e cuato a su cetrado. Si el gráfico S o R preseta tambié idicacioes, etoces es probable que el proceso haya aumetado la variabilidad. d) Regla 8. que Puede ser sítoma de que se ha reducido la variabilidad del proceso si el gráfico S o R tambié muestra ua reducció de la variabilidad muestral. Si el gráfico S o R o muestra ua reducció de la variabilidad muestral, puede ocurrir que se esté mezclado dos poblacioes distitas, siedo la distribució resultate bimodal (dos jorobas). e) Regla 9. Es sítoma de iestabilidad del proceso. Cómo lo iterpreta? Racha e ua mitad Racha creciete o decreciete Figura : Tedecias que idica causas especiales Para el caso del gráfico S o R se puede establecer u cojuto de reglas parecidas, pero es ecesario teer e cueta lo siguiete: a) La iterpretació de la idicació ha de hacerse e fució a la aturaleza del gráfico S o R, es decir, o idica derivas e la Pág. 8 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

39 media del proceso sio aumeto o dismiució e la variabilidad del mismo. b) La distribució de S o R o es ormal (auque lo sea el proceso) i tampoco es simétrica, por lo que las probabilidades idicadas e la columa de la derecha o so de aplicació a este caso.. ESTUDIO DE CAPACIDAD DE PROCESOS.. QUÉ ES UN ESTUDIO DE CAPACIDAD DE PROCESO? U estudio de capacidad de proceso tiee por objeto de coocer: Distribució estadística que lo describe (ormal o o ormal) El patró de variabilidad del proceso y pricipales factores relacioados co la variabilidad. Compreder los feómeos físicos y tecológicos importates para el proceso Se realiza tomado muestras de la producció. A partir de aquí existe muchas diferecias e cuato al modo de tomar las muestras. E particular es frecuete que se requiera que el proceso esté e cotrol estadístico. Este requisito es lógico cuado se pretede calcular los ídices c p y c pk de variabilidad a corto plazo. E geeral, cuado se desee estimar la variabilidad total del proceso (coocida tambié como variabilidad a largo plazo), las muestras debe ser represetativas de la producció, por ejemplo debe icluir produccioes co lotes distitos de materia prima, realizada por operarios diferetes, e varios turos, etc. Obviamete, segú sea el modo e el que se tome las muestras los resultados será muy diferetes. E los párrafos siguietes se da alguas directrices que puede ayudar a diseñar u estudio de capacidad de proceso y a iterpretar sus resultados... CÓMO SE REALIZA UN ESTUDIO DE CAPACIDAD DE PROCESO? E la realizació de u estudio de capacidad de proceso es importate realizar los siguietes pasos. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 9

40 ... Compreder los feómeos físicos y tecológicos importates para el proceso Naturalmete de u proceso o se cooce todo, ya que si fuera así o tedría setido realizar otro estudio sobre él. Si embargo ormalmete se sabe alguos aspectos que debe teerse e cueta, ya que ifluirá e los datos. Por ejemplo, si se trata de u proceso de mecaizado, es esperable que el desgaste de la herramieta produzca u desplazamieto de la media, etc. Como resultado de la revisió de los coocimietos dispoibles se puede llegar a lo siguiete: Establecimieto de las posibles fuetes de variabilidad del proceso (por ejemplo ua deriva temporal e el caso del mecaizado, variabilidad etre lotes, variabilidad posicioal e la pieza, etc.). Verosimilitud de esperar ua distribució ormal de los datos o si por el cotrario existe algua razó (por ejemplo asimetrías) que sugiere otro tipo de distribució.... Defiició de la estratificació de las medidas a tomar E fució de las cosideracioes ateriores, se debe defiir el Grupo Homogéeo Racioal (GHR) del que se tomará las muestras y que se espera que esté libres de causas especiales, de maera que la variació detro de estos grupos pueda ser represetativa de la variació del proceso cuado se elimie todas las causas especiales. Por ejemplo, si se ha idetificado como posibles fuetes de variabilidad de u proceso de mecaizado de u vástago cilídrico: El desgaste de la herramieta (asociado al tiempo de trabajo). El proveedor de la materia prima. El lote sumiistrado por el proveedor. Si el diámetro medido correspode a la primera cara o a la seguda (posició e la pieza). E este caso cuado se mida la muestra es ecesario idetificar la hora e la que se fabricó la pieza, qué proveedor y qué lote de materia prima se empleó y a qué cara correspode la medida, ya que de otro modo será imposible cuatificar las fuetes de variabilidad. E todos los casos debe pesarse que la propia medida puede ser ua fuete de variabilidad más, por lo que debe tomarse las siguietes precaucioes: Debe defiirse el procedimieto de medida co todo detalle. E u caso simple como este, podría bastar co Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

41 idicar a u técico de taller que la medida debe tomarse co u micrómetro calibrado y medirse dos diámetros a 9º y calcular la media. Si la medida fuese más compleja, sería ecesario establecer u procedimieto escrito. Si o se cooce la repetibilidad y reproducibilidad del método de medida a emplear, debe realizarse u estudio R&R (repetibilidad y reproducibilidad). Los estudios R&R tambié se cooce como estudios MSA (Measuremet System Aalysis) Como resultado de esta fase debe prepararse al meos ua platilla de recogida de datos que evite que se produzca errores e la recogida o registro de los mismos.... Estabilizar del proceso Para tomar los datos, el proceso debe operar de maera que el GRH se ecuetre libre de otras posibles causas especiales. Para que tega setido la aplicació de los gráficos de cotrol, el proceso ha de teer ua estabilidad suficiete que, aú siedo aleatorio, permita u cierto grado de predicció. E geeral, u proceso caótico o es previsible y o puede ser cotrolado. A estos procesos o se les puede aplicar el gráfico de cotrol i tiee setido hablar de u estudio de capacidad. U proceso de este tipo debe ser estudiado mediate herramietas estadísticas avazadas hasta que el grado de coocimieto empírico obteido sobre el mismo permita estabilizarlo.... Toma de los datos Geeralmete la toma de los datos se extiede e el tiempo y se toma a través de u operario. Este itervalo de tiempo puede ser largo si se pretede capturar fuetes de variabilidad cíclica. Cosecuetemete las posibilidades de errores por malos etedidos so altas. Por esta razó es muy importate defiir ua platilla de toma de datos lo más explícita posible y o esperar a que esté todos los datos tomados para echar u vistazo. Debe evitarse la situació de descubrir que los datos que se ha ido tomado durate semaas...o vale para ada...5. Idetificació del patró de variabilidad Uo de los objetivos del estudio establecidos e el párrafo. es idetificar el patró de la variabilidad y los pricipales factores relacioados co la variabilidad. Para ello resulta de la máxima utilidad herramietas como el gráfico Multivari y la técica de aálisis de compoetes de la variaza. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág.

42 ..6. Comprobació de la ormalidad de los datos Ua vez obteidos los datos se debe comprobarse la ormalidad. Al meos debe ser ormales los datos correspodietes al mismo GHR (e caso de que los datos e su cojuto o sea ormales, pero si lo sea los datos de los GHR, quiere decir que alguo de los criterios seguidos e la estratificació de las muestras es ua causa especial). E caso de que por cosideracioes tecológicas (véase..) o el aálisis de los datos idique que o so ormales, debe realizarse ua trasformació ormalizadora (véase párrafo.). Es preciso teer e cueta que, si los datos o so ormales, o so válidas las prediccioes de fracció defectuosa realizadas e el estudio. E el párrafo se idica cómo proceder e casos e los que los datos o sea ormales. Para comprobar la ormalidad se puede emplear los cotrastes de ajuste habituales (χ, Kolmogorov-Smirov, etc.). La prueba de ormalidad más secilla y utilizada e igeiería de calidad es la que se basa e el papel probabilístico ormal. Este papel tiee la escala de ordeadas modificada de maera que las probabilidades acumuladas de datos de ua muestra procedete de ua distribució ormal, resulte alieados. APLICACIÓN MINITAB Detro del meú Graph->Probability_Plot, Miitab cueta co cotrastes gráficos de ajuste para varias distribucioes. Si se seleccioa la distribució ormal y se represeta los datos del Ejemplo (ver Figura ) se observa que alguo de los valores de los extremos está fuera de las badas de cofiaza del 95%, lo que es u idicio de falta de ormalidad. Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

43 Normal Probability Plot for Valor ML Estimates - 95% CI Percet ML Estimates Mea.7966 StDev.9 Goodess of Fit AD* Data Figura : Graph->Probability-Plot->Normal..7. Aálisis e iterpretació de los datos A cotiuació debe comprobarse la estabilidad del proceso para lo que debe realizarse u gráfico de cotrol a las medias de los Grupos Homogéeos Racioales comprobado que o existe putos fuera de cotrol. E caso de que exista algú puto fuera de cotrol, debe estudiarse la causa para su elimiació. Ua vez hecho esto, debe realizarse la estimació de la desviació típica. E geeral debe seguirse los siguietes criterios: Si el tamaño de los grupos es igual o mayor que, o se empleará uca el método del recorrido medio. Si se sospecha que la desviació típica es sesiblemete costate, se puede emplear el método de la desviació típica promediada ( pooled stadard deviatio ). Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág.

44 s ( ) s + L+ ( ) k P + Lk k APLICACIÓN MINITAB Detro del meú Stat->Cotrol Charts-> Xbar-R, Si se seleccioa la columa e la que está los datos y se idica el tamaño del lote 5, se obtiee la Figura. E ella puede apreciarse dos putos fuera de cotrol, lo que idica que la variabilidad a corto plazo, represetada por los ídices c p y c pk o debe utilizarse para cuatificar la variabilidad total del proceso. s k COMPROBACIÓN ESTABILIDAD Sample Mea UCL7.98 Mea6.9 LCL.99 Subgroup Sample Rage 6 5 UCL5.569 R.6 LCL Figura Stat->Cotrol Charts-> Xbar-R Pág. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

45 EJEMPLO- : MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD. CÁLCULO DE LOS ÍNDICES La variabilidad iherete del proceso (σ CP ) puede estimarse a través del recorrido muestral medio R, (para tamaños de muestra <), y tambié puede hacerse a través de la media poderada de las desviacioes típicas muestrales. Veamos u ejemplo co los datos de la Tabla 7). Toleracia superior:. Toleracia superior: 5. Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Pieza Pieza Pieza Pieza Pieza MEDIA RANGO Sm Tabla 7 x 6. R s M A partir de estos estadísticos se puede estimar la σ CP : R.6 ˆ σ CP. d ( 5).66 s. ˆ σ M CP.9 c ( 5).9 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 5

46 Dode d y c so dos coeficietes tabulados, fució del tamaño de la muestra, que corrige el sesgo del estimador. Si lo que se pretede es estimar la variabilidad total del proceso (σ LP ) ha de hacerse a través de la desviació típica de todas las piezas medidas co idepedecia de la muestra a la que perteezca. E los datos ateriores: ˆ σ LP ( x x ) ( x 6.) 5 i i i i 5.9 Como coclusió: Las dos estimacioes realizadas de la variabilidad iherete del proceso (σ CP ) so bastate próximas (por ser el tamaño de la muestra pequeño, 5). Como era de esperar, la estimació de la variabilidad total σ LP > σ CP. Los valores de los ídices de capacidad so: C p (método R).75 C pk (método R).5 C p (método S).76 C pk (método S).55 P p. P pk. Como ya se aticipó a la vista de la Figura, la variabilidad etre lotes es muy importate, lo que hace que la variabilidad a largo plazo sea muy superior a la variabilidad a corto plazo...8. Costrucció de u itervalo de cofiaza de los ídices Es preciso teer siempre presete que estos ídices, al ser fució de ua variable aleatoria y estar calculados a través de estadísticos (valores uméricos calculados a partir de los datos muestrales), está sometidos a ua variació aleatoria. Por esta razó la buea práctica estadística acoseja costruir u itervalo de cofiaza. Este itervalo podría basarse e la coocida relació: σ ( ) s χ Pág. 6 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

47 que llevaría a los siguietes límites del itervalo de cofiaza para la variaza. ( ) s ( ) s σ ( / ) ( / ) y para el ídice c p : χ χ α χ α ( α / ) χ ( α / ) c p Si embargo, para que esto sea cierto, es ecesario ua buea ormalidad de los datos, hecho que o siempre se cumple. Por esta razó resulta más apropiado recurrir a métodos de estimació o paramétricos (por ejemplo, método de bootstrap).. CASO DE PROCESOS NO NORMALES.. ES LA NORMALIDAD LO NORMAL? Existe procesos que icorpora a su aturaleza algua causa especial que hace que su distribució o sea ormal y cosecuetemete o tiee setido esperar su ormalidad i iiciar accioes correctoras para meter el proceso e cotrol estadístico. U caso típico so aquellos procesos que tiee algua barrera que impide que la variable aleatoria pueda tomar valores desde - a +. Por ejemplo, u proceso de taladrado e el que el diámetro de la broca es el límite iferior del posible taladro, procesos químicos e el que se va añadiedo espesos de capas, etc. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 7

48 Por ejemplo, e este caso hay que sospechar a priori o ormalidad ESPESOR Figura Si la variabilidad es grade e relació co el espesor medio, es de esperar ua distribució asimétrica.. CONSECUENCIAS QUE TIENE EN EL ANÁLISIS. Cuado el proceso o sigue ua distribució ormal debido a causas itrísecas a su propia aturaleza, lo expuesto ateriormete se ve afectado de la siguiete maera: a) La iterpretació de los ídices y e cuato a la fracció de producto fuera de toleracia ha de hacerse para la distribució que siga el proceso. Si o se cooce la distribució, utilizado la desigualdad de Tchebichef, sólo se puede asegurar que la cola situada más allá de σ de la media o es superior a /9% (frete a,5% e el caso de u proceso ormal). b) Los coeficietes utilizados para estimar σs y σr o so válidos y por lo tato tampoco lo so los límites de cotrol calculados para el gráfico de medias y recorridos. c) Es posible que la distribució del gráfico de medias sea a pesar de todo ormal e virtud del TLC. No obstate si la distribució del proceso tiee u grado elevado de asimetría sería ecesario que el tamaño de la muestra fuese superior a 5 o (e lugar de ó 5 como es habitual) para que se pudiera cosiderar ormal a la distribució de las medias. Pág. 8 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

49 E estos casos, lo más recomedable es proceder como sigue: Puesto que la causa de o ormalidad es itríseca al proceso, se toma ua muestra de al meos 5 o uidades, de maera que la distribució de la muestra sea lo más próxima a la ormal posible. De esta maera se puede mateer el cotrol de las derivas e el proceso. Estudiar la distribució (calcular media, desviació típica y coeficiete de asimetría). E el caso de que la distribució o se ecuetre coteida e el itervalo de toleracias, ya se puede aticipar la icapacidad del proceso. Si se ecuetra coteida e el itervalo de toleracias de maera muy ajustada, es posible que el resto de las causas de variació presetes e la operació habitual del proceso haga que parte de la producció esté fuera de toleracia. Realizar ua trasformació de ormalizació de los datos. E geeral resulta eficaces la trasformacioes de Box- Cox (ver.). Ua vez determiada la trasformació umérica de ormalizació, si se codifica los valores tomados e las muestras, se puede tratar como los procesos vistos hasta ahora. Naturalmete para iterpretar los valores de los límites de cotrol, fracció fuera de toleracia, etc. es preciso deshacer la trasformació... TÉCNICAS DE NORMALIZACIÓN DE LOS DATOS. La técica de ormalizació de datos más eficaz es la trasformació de Box- Cox. Esta trasformació es la siguiete: Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 9

50 x ( λ ) λ ( x + m) ) ( λ ) ( x x > m) l λ Es cotiua e λ, puesto que: ( x + m) ( λ ) ( m > ) ( x m) lim x ( λ ) l + λ La fució de verosimilitud de los datos ormalizados es: Dode: ) ( σ ( λ) ) + ( ) l( x i ) L( λ) l λ σ ) ( λ) i i ( λ) ( λ) ( x x ) La técica cosiste e hallar el valor de λ que maximiza la verosimilitud (ver Figura ). Pág. 5 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

51 TRANSFORMACIÓN DE BOX-COX SELECCIÓN DEL LAMBDA ÓPTIMO - Verosimilitud lambda lambda Verosimilitud Figura : Trasformació de Box-Cox para ormalizar los datos Segú sea el orige de los datos, e alguos casos se puede esperar heterocedasticidad de los mismos (variaza o costate). Segú esté relacioada la variaza y la media, resulta apropiadas las trasformacioes idicadas e la Tabla 8. Relació mediavariaza σ η - Iversa λ Trasformació estabilizadora de la variaza,5 σ η -/ Iversa de la raíz cuadrada Ejemplos típicos de aplicació σ η Logaritmo Aálisis de variazas muestrales, gráficos de cotrol de series cortas e el que se cojugue familias de varios espesores.,5 σ η ½ Raíz cuadrada Datos procedetes de ua σ cost No se trasforma distribució de Poisso. Tabla 8: Trasformacioes de datos para elimiar la heterocedasticidad Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 5

52 EJEMPLO- 5: NORMALIZACIÓN DE DATOS DE UN PROCESO NO NORMAL E la Figura 5 se ha represetado el histograma de u proceso de protecció superficial. A la vista del citado histograma, se cocluye la o ormalidad de los datos. Se desea realizar ua trasformació que los ormalice. APLICACIÓN MINITAB Meú Stat->Cotrol Charts->Box-Cox Trasformatio. Los datos correspode a muestras de tamaño 5 de 5 lotes. La respuesta proporcioada por MINITAB es la idicada e la Figura 6, e la que se idica λ. como el valor óptimo. Ua vez trasformados los datos, se puede comprobar su ormalidad mediate u histograma (ver Figura 7) o u papel probabilístico, de modo aálogo al hecho ateriormete (ver Figura 8). HISTOGRAMA DE DATOS NO NORMALES Frecuecia Espesores Pág. 5 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

53 Figura 5: Histograma de datos de u proceso o ormal Box-Cox Plot for Skewed % Cofidece Iterval Last Iteratio Ifo Lambda StDev Low Est Up StDev Lambda Figura 6: Trasformació de Box-Cox (Stat->Cotrol Charts->Box- Cox Trasformatio) HISTOGRAMA DE DATOS TRANSFORMADOS Frecuecia..... Espesores Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 5

54 Figura 7: Histograma de los datos trasformados (Graph- >Histogram) COMPROBACIÓN DE LA NORMALIDAD DE LOS DATOS TRANSFORMADOS ML Estimates - 95% CI Percet ML Estimates Mea.857 StDev.8 Goodess of Fit AD* Data Figura 8: Comprobació de la ormalidad de los datos trasformados. GRÁFICOS DE CONTROL PARA APLICACIONES ESPECIALES.. GRÁFICOS PARA MUESTRAS UNITARIAS (I- MR) E ocasioes iteresa realizar gráficos de cotrol a valores idividuales, es decir, es la particularizació a muestras de tamaño. Al ser la muestra uitaria o resulta posible calcular la variabilidad detro de la misma. Para resolver esto, se hace ua agrupació artificial de cada elemeto co el siguiete, de maera que se asocia la variació etre dos uidades cosecutivas a la variació itermuestral. Esta variació se estima a través del recorrido móvil (movig rage MR), que se calcula mediate la diferecia de dos valores cosecutivos. EJEMPLO- 6: APLICACIÓN AL ANÁLISIS DE DATOS DE VISCOSIDAD DE UN PROCESO QUÍMICO Pág. 5 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

55 Los datos procede del libro Implemetig Six Sigma. Smarter Solutio Usig Statistical Methods de Forrest W. Breyfogle III.. Correspode a la medida de la viscosidad e cp de lotes de u compuesto químico. APLICACIÓN MINITAB Meú Stat->Cotrol Charts->I -MR. La respuesta proporcioada por MINITAB es la idicada e la Figura 9. VISCOSIDAD DE UN COMPUESTO QUÍMICO Idividual Value UCL8. Mea7. LCL68.7 Subgroup Secuecia Movig Rage UCL7.6 R.67 LCL Figura 9 Gráfico I-MR de los valores de la viscosidad Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 55

56 .. GRÁFICOS QUE PERMITEN CONTROLAR DOS TIPOS DE VARIABILIDAD SIMULTÁNEAMENTE (I-MR-R/S) E los ejemplos ateriores se ituyó la ecesidad de teer que cotrolar tato la variabilidad detro del lote como la variabilidad etre lotes. Para solucioar esto se emplea el I-MR-R/S. Itegra simultáeamete tres gráficos: U gráfico de valores idividuales, e el que se dibuja las medias muestrales y los límites de cotrol se estima a través de MR medio. Permite cotrolar el desplazamieto de la media de los lotes. U gráfico de recorrido móvil e el que se dibuja los MR y los límites de cotrol se estima a través de MR medio. Permite cotrolar la variabilidad etre los lotes. U gráfico R o S. Permite cotrolar la variabilidad detro de los lotes. EJEMPLO- 7: APLICACIÓN DEL GRÁFICO I-MR-R/S AL ESTUDIO DE CAPACIDAD DE PROCESOS DEL EJEMPLO Como las muestras tiee tamaño 5, se puede emplear el gráfico R. APLICACIÓN MINITAB Meú Stat->Cotrol Charts->I MR-R/S. La respuesta proporcioada por MINITAB es la idicada e la Figura. Pág. 56 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

57 ESTUDIO DE LA CAPACIDAD DE PROCESO Idividuals Chart of Subgroup Meas Idividual Value Movig Rage Chart of Subgroup Meas UCL9.87 Mea6.9 LCL.57 Movig Rage Rage Chart of All Data UCL.5 R.75 LCL Sample Rage 6 5 UCL5.569 R.6 LCL Subgroup Subscripts stra stra stra stra 5 stra 5 6 stra 6 7 stra 7 8 stra 8 9 stra 9 tra Figura Gráfico I-MR-R/S del estudio de capacidad de proceso Se puede observar que e este gráfica tambié se detecta el desplazamieto de la media fuera de cotrol que se puso de maifiesto e el gráfico X-R de la Figura.. GRÁFICOS DE CONTROL PARA EL CASO DE SERIES CORTAS. De acuerdo co lo expuesto, resulta obvio que el gráfico de cotrol es muy útil y se aplica fácilmete al caso de la fabricació masiva de productos iguales. Si embargo, la tedecia idustrial actual es: Reducir al máximo el ivetario de productos. Reducir al máximo la fabricació e curso. Aumetar la variedad de productos. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 57

58 Es aplicable e estas circustacias el gráfico de cotrol? Es útil? E estos casos se puede optar por algua o alguas de las siguietes opcioes: Utilizar gráficos de cotrol más sesibles (es decir que detecte ates si el proceso se sale de cotrol), como so el CUSUM o el EWMA (véase ). Referir las medidas de las piezas a desviacioes del valor omial de modo que resulte comparables las desviacioes producidas e piezas distitas fabricadas por la misma máquia. De este modo se puede utilizar el mismo gráfico de cotrol para piezas distitas de la misma familia. Esta opció es recomedable siempre que se registre las circustacias e las que se tomaro cada uo de los datos (de modo que o se viole los coceptos de Grupos Homogéeos Racioales ) y que se pueda estratificar cuado se cosidere ecesario realizar u estudio sobre la posible cotribució de cada uo de los grupos a la variabilidad. Empleo de Gráfico Z-MR. Este gráfico estima por separado la media de cada tipo de pieza y se represeta las desviacioes co respecto a esa media. Para estimar la variabilidad existe cuatro alterativas:.. Cosiderar que la desviació típica es la misma para todas las familias de piezas. Se calcula la S pooled de todas ellas... La variaza es proporcioal a la media. E este caso debe realizarse ua trasformació logarítmica de los datos para corregir esta heterocedasticidad. Ua vez realizada la trasformació, es aálogo al caso aterior... Las piezas del mismo tipo tiee la misma variabilidad. Se calcula la S pooled para cada tipo de pieza... Cada fabricació tiee ua variabilidad distita. Se estima S para cada fabricació. Estudiar la relació que existe los parámetros del proceso e lugar de a las características de calidad resultates de las piezas fabricadas. Aplicar el gráfico de cotrol a estos parámetros que so comues a la fabricació de toda la familia de piezas. Esto requiere u coocimieto empírico de las relacioes existetes Pág. 58 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

59 etre los valores de los parámetros del proceso y los valores esperados e las características de calidad de las piezas producidas. Para alcazar este coocimieto so muy útiles las técicas estadísticas avazadas (Diseño de Experimetos, etc.). EJEMPLO- 8: APLICACIÓN DEL GRÁFICO Z-MR Se pretede aplicar u gráfico Z-MR a la fabricació de ua familia de tres tipos de piezas A, B y C. Por datos existetes, se sabe que la variabilidad de la fabricació es proporcioal al espesor de la pieza. APLICACIÓN MINITAB Meú Stat->Cotrol Charts->Z MR. Los datos se ecuetra e el fichero Ejemplo.MTW. La respuesta proporcioada por MINITAB es la idicada e la Figura. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 59

60 EJEMPLO DE GRÁFICO Z-MR B A B A C Stadardized Log(data) Subgroup 5 5 UCL Mea LCL- UCL.686 Movig Rage R.8 LCL Figura : Aplicació de u gráfico Z-MR a ua familia de piezas. OTROS GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES.. GRÁFICO CUSUM El gráfico CUSUM tiee la vetaja de ser más sesible a las variacioes e la media del proceso. Para que se pueda aplicar se requiere que la desviació típica del proceso sea muy estable y se dispoga de ua buea estimació de ella. Si µ es el valor medio supuesto al proceso, el gráfico CUSUM se basa e computar las desviacioes etre las media muestral y µ acumuladas por las muestras extraídas: Pág. 6 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

61 ( x µ ) ( x µ ) + ( x µ ) ( x µ ) + ( x µ ) + ( x µ ) M ( x µ ) + ( x µ ) + ( x µ ) + L + ( µ ) Resulta ituitivo ver que mietras µ o varíe las sumas acumuladas adará oscilado etoro a, mietras que si µ varía estas sumas crecerá rápidamete e esa direcció. Para costruir el gráfico es preciso fijar los parámetros siguietes: Míima desviació d de µ que se quiere detectar. Esto requiere el establecimieto de u valor de referecia k (de maera empírica se fija el valor de k,5d) de modo que se costruya dos cojutos de sumas acumuladas: CUSUM CUSUM CUSUM U U L ( ) CUSUM L ( ) ( i) max[, CUSUM U ( i ) + xi ( µ + k) ] ( i) max[, CUSUM ( i ) x + ( µ k) ] L x t i Fijar u valor h, de modo que cuado las sumas acumuladas supere ese valor se cocluya que la media ha superado el valor µ ±d prefijado. Obviamete la selecció de este parámetro está relacioada co los riesgos que se desee correr. Lo más frecuete es seleccioar h etre.5σ y 5σ. Adicioalmete se puede costruir ua platilla e V, como la de la Figura, de modo que el puto P se coloca sobre el último puto de la serie, si co la platilla horizotal o queda todos los putos detro de la V debe cocluirse que la media ha cambiado. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 6

62 Gráfico CUSUM SUMAS ACUMULADAS h d Figura Máscara V del gráfico CUSUM P d h k EJEMPLO- 9: APLICACIÓN DEL GRÁFICO CUSUM Estos datos correspode co la tabla 7. del libro Statistical Quality Cotrol ad Improvemet de Nicholas R. Farum. So 75 datos de cocetració de íquel tomados a lo largo de 5 días y distribuidos e turos diarios. APLICACIÓN MINITAB Meú Stat->Cotrol Charts->CUSUM.La respuesta proporcioada por MINITAB es la idicada e la Figura. El valor omial es.5 y se cooce que σ.66. Se ha tomado h 5 y k.5. E este gráfico puede observarse que el proceso se sale de cotrol e la muestra úmero 9. Pág. 6 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

63 CONCENTRACIÓN DE NIQUEL Cumulative Sum Subgroup Number 7 8 Figura : Ejemplo de Gráfico CUSUM.. GRÁFICO EWMA Los gráficos EWMA (expoetially weighted movig average) tambié tiee ua sesibilidad mayor que el gráfico de Shewhart. Para que se pueda aplicar se requiere que la desviació típica del proceso sea muy estable. Su aplicació costa de los siguietes pasos: ) De maera habitual se extrae k muestras y se calcula sus medias. x, x, x, L xk, ) Se estima la media y desviació típica del proceso a partir de los datos ateriores. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 6

64 ) Se calcula los putos a dibujar e el gráfico EWMA de la siguiete forma: ) x λ ) ( λ) x i xi + i La aplicació de esta fórmula recurrete requiere fijar u primer valor a x ) ) (ormalmete x x ) y al parámetro λ. Este parámetro represeta el mayor o meor peso que tiee los datos ateriores. De maera empírica se le da u valor compredido etre, y,. Esta idefiició de λ es probablemete la mayor limitació del grafico EWMA. ) Se dibuja los putos x ) i sobre el gráfico y se fija los siguietes límites de cotrol (so variables para cada puto). LCS xˆ LCI xˆ σ + σ λ λ λ λ i [ ( λ) ] [ ( λ) ] i 5) Si alguo de los putos queda fuera de los límites, el proceso o está e cotrol. EJEMPLO- : APLICACIÓN DEL GRÁFICO EWMA A LOS DATOS DE CONCENTRACIÓN DE NIQUEL DEL EJEMPLO 9 APLICACIÓN MINITAB Meú Stat->Cotrol Charts->EWMA. La respuesta proporcioada por MINITAB es la idicada e la Figura. El valor omial es.5 y se cooce que σ.66 y se toma λ.. E el gráfico puede apreciarse que el proceso está fuera de cotrol ates de la muestra úmero 5. Pág. 6 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

65 .9.8 EWMA Chart for Coc. Ni EWMA UCL.7 Mea.5 LCL Sample Number 7 8 Figura : Ejemplo de Gráfico EWMA 5. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS Las ideas sobre las que se fudameta el Cotrol Estadístico de Procesos se puede exteder al cotrol de características de calidad de tipo atributo o discreto. Como se recordará, las primeras se rige por la distribució biomial y las segudas por la de Poisso. 5.. GRÁFICOS DE CONTROL BASADOS EN LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Como se recordará si x es ua variable aleatoria biomial B(,p), E(x) p y σ x pq. Además se verifica que: Si pq > 5 etoces B(, p) N( p, pq ) Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 65

66 Detro de este grupo existe dos gráficos fudametales: a) Gráfico p Sirve para cotrolar el úmero de uidades defectuosas e la muestra. Los límites de cotrol so: LCS p + LC p LCI p p p ( p) ( p) dode p es la fracció defectuosa media. Dado que lo ormal es que p sea u valor muy bajo, los tamaños de muestra requeridos so muy altos. Por esta razó se aplica frecuetemete al aálisis de datos de ispeccioes %. Si el valor calculado para el LCI, se toma. b) Gráfico p Sirve para cotrolar la fracció defectuosa. Los límites de cotrol so: LCS p + LC p LCI p p p ( p) ( p) Si el valor calculado para el LCI, se toma. Pág. 66 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

67 EJEMPLO- : APLICACIÓN A UN GRÁFICO P U fabricate de productos electróicos dispoe de u proceso de soldadura de compoetes por ola de estaño. La tabla siguiete recoge los resultados de la producció de los últimos días. Aalice este proceso. SOLUCIÓN: DÍA RECHAZOS PROBADOS Tabla 9 Dispoiedo los cálculos e forma tabular para u gráfico tipo p. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 67

68 DÍA RECHAZOS PROBADOS FRACCIÓN LCS LCI 86,9,9, 8,78,9, 9,9,9,5 9,6,9,6 5 9,7,9, 6 8 5,59,9,5 7 6,5,9, ,5,9,6 9 9,7,9, 87,9,9, 5 7,9,9,5 6 8,9,9,7 96,7,9,5 9 96,,9, ,79,9, ,5,9,5 7 8,9,9, 8,,9,6 9 7,,9,6 7,68,9,5 9 7,6,9,6,7,9,6 5,9,9,5,9,9,5 5 9,59,9, ,59,9, ,5,9,5 8 8,,9,6 9 9,6,9,6 89,,9, Media,5 Tabla Obsérvese que los límites de cotrol o so costates. Pág. 68 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

69 GRÁFICO P..SL P.585 p -.SL.. Muestra Figura 5: Gráfico por atributos tipo p. 5.. GRÁFICOS DE CONTROL BASADOS EN LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON Si x es ua v.a de Poisso de costate µ, E(x) µ y σ x µ. Además se Si > 5 etoces P( ) N. Detro de este grupo verifica que µ µ ( µ, µ ) existe dos gráficos fudametales: a) Gráfico c Sirve para cotrolar el úmero de defectos e la uidad de producto o e ua muestra de tamaño preestablecido. Los límites de cotrol so: LCS c + LC c LCI c c c Si el valor calculado para el LCI, se toma. Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 69

70 a) Gráfico u Sirve para cotrolar el úmero de medio de defectos e ua muestra de tamaño (por ej. úmero de uidades ispeccioadas, logitud o superficie de producto, etc.). Los límites de cotrol so: LCS u + LC u LCI u u u Si el valor calculado para el LCI, se toma. c Puesto que c u, σ σ c u u u EJEMPLO- : APLICACIÓN A UN GRÁFICO TIPO C Ua empresa de desarrollos de SW ha registrado las siguietes tasas de error (medidas e errores por líeas de código) e los últimos días. Aalice el procesos de desarrollo de SW. DÍA ERR DÍA ERR Tabla SOLUCIÓN: Los límites de cotrol y líea cetral para u gráfico tipo c so: Pág. 7 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

71 LCS.67 + LC.67 LCI GRÁFICO C.SL.8 Número de errores 5 C.67 -.SL.E+ Sample Number Figura 6: Gráfico por atributos tipo c 6. IMPLANTACIÓN DEL SPC EN UNA EMPRESA Ua vez tomada la decisió de implatar SPC por la gerecia de la empresa, es coveiete trazar u pla de implatació de acuerdo co las siguietes fases: 6.. FASE : PREPARACIÓN Y SELECCIÓN DEL PROCESO PILOTO E esta etapa es ecesario ombrar u grupo de trabajo iterdiscipliar que afrote este trabajo. Se debe realizar las siguietes tareas: Preparar u diagrama de flujo del producto desde la etrada de materia prima hasta la etrega del producto al cliete. Sobre el diagrama aterior seleccioar aquellos procesos que resulte críticos (está dado problemas e la Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 7

72 actualidad) y que por otra parte se tega u coocimieto suficiete del mismo como para poder alcazar u éxito e poco tiempo. Para la selecció del proceso piloto e idetificació de la característica a cotrolar puede ser útiles las herramietas de Ishikawa. Plaificació de la formació del persoal e SPC. 6.. FASE : IMPLANTACIÓN DEL GRÁFICO DE CONTROL PILOTO Defiició de la característica de calidad a cotrolar. Selecció del tipo del tipo de gráfico a utilizar. Defiició del procedimieto de toma de muestras (cosecutivas o distribuidas a lo largo del itervalo). Defiició del tamaño de muestras. Para gráficos de cotrol por variables se suele tomar 5 si la distribució del proceso es sesiblemete ormal. Si o es ormal, es preciso aumetar para ormalizar la distribució de las medias muestrales. Defiició de la periodicidad de toma de muestras. Será más frecuete cuato meor sea Cpk, más iestable sea el proceso y mayor sea el coste del producto. Defiició del procedimieto de medició y equipo ecesario. Defiició del sistema de recogida de datos y preparació del gráfico. Formació del persoal afectado e SPC y e la medició. Puesta e marcha del gráfico de cotrol. y estudio de la capacidad de máquia y proceso. Elimiació de causas asigables presetes. Pág. 7 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

73 6.. FASE : ANÁLISIS DE LOS PRIMEROS RESULTADOS Ta proto como se empiece a recoger los primeros resultados, es coveiete realizar u aálisis de la experiecia acumulada por si fuera ecesario redefiir el pla trazado (el proceso seleccioado o es adecuado, la variable cotrolada tiee ua icidecia real baja, la formació dada al persoal o ha sido suficiete, etc.) 6.. FASE : EXTENSIÓN A OTROS PROCESOS Ua vez coseguido el cotrol estadístico del proceso, debe: Evaluarse los resultados coseguidos, comuicádolos a la gerecia (para que autorice la extesió del programa), a los que ha participado e este programa piloto (para su propio estímulo) y a aquellas persoas que está ivolucradas co los próximos procesos sobre los que se va a implatar el SPC (para coseguir su apoyo de atemao). El proceso cotrolado debe etrar e ua fase de mejora cotiua para reducir la variabilidad debidas a las causas comues. Esto puede ser objeto de otro programa de mejora. Selecció de los procesos sobre los que se seguirá la implatació. Repetir el ciclo Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes) Pág. 7

74 ACTIVIDAD : Realice los ejercicios icluidos e el documetos Ejercicios de Cotrol Estadístico de Procesos Tiempo estimado de desarrollo: Cada ejercicio debe resolverse e u tiempo que oscila etre 5 y miutos. Recurso(s) Utilizado(s): EXCEL, MINITAB O CENTURION A quié debe eviarse la actividad: E caso de dificultad, cometarse e el foro Formato de evío: Ficheros de EXCEL, MINITAB o CENTURION Extesió: La meor posible Respuesta del tutor: Foro y coloquio e clase. Respode brevemete a la siguiete preguta: Qué uevas posibilidades ves e los métodos estadísticos e la mejora de la calidad? RESUMEN a) Las causas de variabilidad de u proceso se clasifica e comues y e especiales o asigables. b) Las causas comues so muchas y de poca importacia relativa. So resposables de la variabilidad atural del proceso. c) Las causas especiales o asigables tiee ua ifluecia mayor e la variabilidad del proceso. d) U proceso está e cotrol estadístico cuado o está afectado por causas especiales o asigables. e) Los gráficos de cotrol sirve para detectar la presecia de causas especiales o asigables. Pág. 7 Cotrol Estadístico de Procesos (Aputes)

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