SIMULACIÓN Y VISUALIZACIÓN DE LA TRANSMISIÓN Y REFLEXIÓN DE ONDAS EN CUERDAS

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1 SIMULACIÓN Y VISUALIZACIÓN DE LA TRANSMISIÓN Y REFLEXIÓN DE ONDAS EN CUERDAS PACS: 43.0.Sv Aramenda, E.; Vela, A.; San Martn, M.L.: San Martn, R.; Arana, M. Departamento de Físca, Unversdad Publca de Navarra. Campus de Arrosada, s/n 3008 Pamplona. España Tel: Fax: E-mal: marana@unavarra.es ABSTRACT The man objectve of ths work s to show how computer tools can be very useful n the assmlaton of some acoustc concepts whose vsualzaton entals dffculty. On the other hand, the versatlty of the smulaton wth regard to the boundary condtons as well as others varables (materal's propertes and ntal condtons) they can avod us an expensve expermentaton, ether n tme or n economc cost. These programs allow creatng a pleasant graphc scene and they allow to model and to smulate mathematcal functons varyng n tme and whose assmlaton requres an effort that these tools can smplfy. RESUMEN El prncpal objetvo de este trabajo es mostrar como algunas herramentas nformátcas pueden resultar muy útles en la asmlacón de determnados conceptos acústcos de dfcl vsualzacón. Por otra parte, la versatldad de la smulacón en cuanto a la varacón de condcones de contorno y de las varables del problema (propedades de los materales y condcones ncales) nos pueden evtar una costosa expermentacón, tanto en tempo como en coste económco. Estos programas permten crear un entorno gráfco agradable y permten mod elar, smular y anmar funcones matematcas que varan en el tempo y cuya asmlacón requere un esfuerzo que estas herramentas pueden smplfcar. INTRODUCCION Las modelzacones y anmacones de funcones matemátcas con herramentas nformátcas pueden ayudar a la compresón de determnados fenómenos acústcos. Estas modelzacones representan funcones complejas que varían en el tempo y cuya vsualzacón resulta compleja. Las modelzacones y anmacones de los fenómenos permten una nmedata vsualzacón del fenómeno físco pudendo centrarse posterormente en los detalles del fenómeno acústco tenendo sempre como referenca dcha vsualzacón.

2 Como ejemplo se han modelzado las ecuacones que descrben la trasmsón y la reflexón de ondas en cuerdas. Este es un claro ejemplo en el que el esfuerzo necesaro para la vsualzacón de las ecuacones sn la ayuda de una anmacón es consderablemente mportante. Sn embargo, una vez realzada la anmacón, la vsualzacón y comprensón del fenómeno acústco es más clara. Otra forma de vsualzar el fenómeno sería realzando dferentes expermentos con múltples cuerdas de dferentes característcas. De todas formas exste el nconvenente de mantener unas condcones ncales y de contorno ben controladas; además, la velocdad de la trasmsón puede dfcultar la vsualzacón. Otro de los nconvenentes de los expermentos físcos es la poca versatldad de estos a cambos de condcones ncales y de frontera. Una modelzacón ben realzada nos permte cambar cualquera de las varables de forma nmedata y evaluar y vsualzar los resultados de forma rápda. En otros casos, como son los fenómenos de transmsón sonora en are y reflexón y transmsón sonora entre medos, la vsualzac ón medante experencas físcas resulta práctcamente mposble. TRASMISIÓN Y REFLEXIÓN DE ONDAS EN CUERDAS. ASPECTOS TEÓRICOS A contnuacón se muestran las ecuacones y condcones de contorno que defnen la trasmsón de ondas en cuerdas [] []. En los sguentes apartados se explcará el proceso realzado en la utlzacón de las herramentas nformátcas para la mejor comprensón del fenómeno físco. La teoría de trasmsón y reflexón de ondas en cuerdas la hemos dvddo en dos apartados:. Reflexón y trasmsón de ondas armóncas en cuerdas: La solucón armónca para la onda ncdente en el medo es: ( x, t ) sen ( t k x o ω ) () La solucón armónca para la onda reflejada en el medo es: ( x, t ) sen ( t k x r or ω ) () La solucón armónca para la onda trasmtda en el medo es: ( x, t ) sen ( ω t k x ) (3) t ot Como es ben sabdo, la frecuenca no se modfca en los procesos de reflexón y transmsón, pero sí el número de onda (y, consguentemente, la longtud de onda) al cambar la velocdad de propagacón en el medo. Las dos condcones de frontera que han de cumplrse en el punto de unón (x0) son: en prmer lugar, el desplazamento del punto x0 ha de ser déntco evaluado desde la cuerda y desde la cuerda, s ambas cuerdas han de segur en contacto en dcho punto. En segundo lugar las fuerzas vertcales ejercdas desde cada cuerda sobre el punto de unón deben ser guales y opuestas pues, en caso contraro, un elemento dferencal de masa en dcho contacto adqurría una aceleracón nfnta. Estas condcones nos permten calcular los coefcentes de reflexón y trasmsón de ampltud de desplazamento defndos por: Dando como resultado: R R c c T or y ot o o c + c + (4) z z z + z (5)

3 T c c + c + z z + z (6) donde c y c son, respectvamente, las velocdades de propagacón de las ondas en las cuerdas y. y son, respectvamente, las densdades lneales de masa en las cuerdas y. Fnalmente, z y z son, respectvamente, las mpedancas de las cuerdas y, consderadas ambas de longtud nfnta.. Reflexón y trasmsón de pulsos en cuerdas: Las ecuacones que rgen la trasmsón y reflexón de ondas en cuerdas, consderando en este caso como funcón de onda una funcón peródca cuya composcón espectral es arbtrara, se expresan a contnuacón. La perturbacón ncdente se expresa según: x t c (7) f De forma análoga para la perturbacón reflejada y trasmtda: x x r f r t t f t t c c (8) Las condcones de frontera son análogas a las expuestas en la trasmsón y reflexón de ondas armóncas. Resolvendo obtenemos: f r ( t) c c ft ( t) c R T (9) f ( t) c + c f ( t) c + c Estos resultados concden con los obtendos para ondas armóncas. Sn embargo, tales resultados generalzan los valores obtendos para los coefcentes de reflexón y transmsón para cualquer composcón espectral de la onda ncdente. PROGRAMAS INFORMÁTICOS UTILIZADOS: MATHEMATICA 4 Mathematca 4 [3] es un paquete nformátco de matemátcas aplcadas con múltples funcones. Resulta enormemente útl para resolver problemas de ngenería. En lo que a esta comuncacón respecta, Mathemátca es un programa nformátco que permte realzar anmacones gráfcas. Tambén permte la posteror exportacón de las anmacones en formato HTML. Cada frame correspondente a la anmacón es un fchero tpo.gf que se guarda en una carpeta con todas las mágenes correspondentes al archvo exportado. El programa es muy parecdo al Matlab. En temas gráfcos, anmacones, exportacón de anmacones y funcones de sondo el Mathematca resulta un programa más cómodo y efcente que el Matlab. GIF MOVIE GEAR Una vez se tenen las mágenes correspondentes a la anmacón, hay que realzar la anmacón (Gf anmado) con algún programa que nos permta realzar estas anmacones. Exsten múltples

4 programas que nos permten realzar los gfs anmados, algunos de ellos gratutos. En la págna de trasmsón y reflexón de ondas en cuerdas se ha utlzado el Gf Move Gear [4]. MACROMEDIA DREAMWEAVER MX Este es el programa más utlzado para la creacón de pagnas webs [5]. Aunque el propósto no era el de colgar la págna en la red se utlzó el lenguaje HTML por varas razones. HTML es el lenguaje más estandarzado en vsualzacones gráfcas en ordenador, nternet es el medo del futuro en la trasmsón de todo tpo de nformacón y HTML es el lenguaje de programacón más utlzado en la red de redes. PHOTOSHOP Este es sn duda el programa de edcón gráfca más utlzado, y probablemente el mejor que exste en la actualdad [6]. Con este programa exste la posbldad de realzar Gfs Anmados. El programa funcona por capas. El programa se utlzo para (a partr de un dbujo esquemátco de una mano y una cuerda) modfcarlo para tener 3 dbujos esquemátcos que representen tres casos dferentes de propagacón de ondas en cuerdas: extremo de masa m, extremo lbre y extremo fjo. ESQUEMA DE LA PÁGINA La págna esta dvda en dos partes. En la prmera parte exste una ntroduccón y un fundamento teórco sobre la reflexón y trasmsón de ondas en cuerdas. En la segunda parte se representan las anmacones para 4 stuacones dferentes que nos permten vsualzar los dferentes factores que nfluyen en la trasmsón y reflexón de ondas. Se ncluyen 6 anmacones, 8 para ondas armóncas y 8 para pulsos. Cada 8 anmacones se corresponden con 4 stuacones dferentes. Una en la que la cuerda donde se propaga la onda ncdente tene con respecto a la trasmtda el cuádruplo de densdad lneal. Otra en la que es la trasmtda la que tene el cuádruplo de densdad lneal con respecto a la cuerda donde se propaga la onda ncdente. Se añaden dos casos extremos; uno en el que la cuerda de la derecha tene masa nfnta y otra stuacón en la que dcha cuerda tene masa cero, es decr, extremo lbre. Cada stuacón descrta tene dos anmacones una en la que se ven smultáneamente la onda ncdente, reflejada y transmtda y otra en la que se ve la onda resultante (ncdente + reflejada) y transmtda. ANIMACIONES

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6 CONCLUSIÓN Esta prmera ncursón, por nuestra parte, en las posbldades que ofrecen las técncas computaconales y las herramentas multmeda para el apoyo docente, ha resultado satsfactora. S ben la modelzacón del fenómeno físco no lo es respecto a la propagacón sonora en el medo aéreo (aspecto que nos motvó para preparar estas págnas y reto que mantenemos aberto) sí lo es en una fuente sonora de gran mportanca en la generacón de sondos muscales. La respuesta obtenda por parte de los prmeros usuaros es que las anmacones programadas ayudan a comprender el fenómeno físco, junto con los conceptos que nvolucran. REFERENCIAS [] L.E. Knsler; A.R. Frey; A.B. Coppens; J.V. Sanders. Fundamentos de Acústca. Ed. Lmusa. 988 [] Frank S. Crawford, Jr.; Ondas. Berkeley Physcs Course. Ed. Reverté, Barcelona. 99. [3] Mathematca 4. Copyrght Wolfram Research. [4] Gf Move Gear. Copyrght Gaman Productons. [5] Macromeda Dreamweaver Mx. Copyrght Macromeda. [6] PhotoShop. Copy rght Adobe Systems Incorporated.