Estudio de la convección térmica en un proceso de fundición de Aluminio por el método de los elementos finitos Pág. 1. Resumen

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1 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. Resumen Este proyecto se centra en los procesos de fundcón ndustral. Se pretende analzar herramentas que sean útles para optmzar los sstemas de este tpo de manufactura de metales. Una de las herramentas más mportantes para consegur un alto rendmento de los procesos de fundcón es la smulacón numérca de los msmos. Para obtener estas smulacones es precso generar una modelzacón matemátca adecuada que sea capaz de resolver todas las varables y funcones que entran en juego en un proceso de fundcón. El modelo matemátco escogdo es el método de los elementos fntos del cual se hará una ntroduccón. En el proyecto se defnrán las ecuacones y los parámetros necesaros para que el modelo matemátco pueda ser resuelto, centrándose en la evolucón térmca del materal funddo. La evolucón térmca abarcará tanto la soldfcacón como el enframento de la colada en el molde. El sguente paso para la smulacón de procesos de fundcón ndustrales es la resolucón práctca de las ecuacones anterormente menconadas. Cabe destacar que en el proyecto se usa el programa Vulcan 7.5, como smulador de procesos. Este códgo está dseñado para la smulacón de procesos de llenado y soldfcacón de pezas metálcas. En el presente trabajo se hace una breve exposcón de la funconaldad de tal programa y del potencal de las smulacones. Medante el uso del programa de smulacón Vulcan 7.5, se muestra un estudo basado en pezas de alumno AlS7Mg, donde se proponen dferentes problemas de fundcón. El objetvo es analzar tales problemas para poder comparar la transmsón de calor entre peza y molde con el proceso de fundcón. Gracas a esta comparacón se ha vsto que la nfluenca de los coefcentes de conduccón y conveccón que partcpan en la transmsón de calor, se ven restrngdos por el materal del molde y su capacdad de evacuar el calor haca el entorno. Fnalmente, se analzará cual es la mejor opcón para calcular los coefcentes de conveccón durante el cambo de fase de líqudo a sóldo. La evaluacón de estos resultados hace pensar que la mejor forma de representar la varacón de los coefcentes de conveccón es consderando una dependenca entre el coefcente y la funcón de la fraccón líquda, ya que esta es mucho más representatva del estado de las fases de la peza, que la otra varable en juego, la temperatura meda.

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3 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 3 Sumaro RESUMEN SUMARIO 3. INTRODUCCIÓN 7 2. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE PROCESOS METALÚRGICOS Modelzacón matemátca Smulacón de los procesos de fundcón MODELIZACIÓN DE LOS PROCESOS DE FUNDICIÓN Defncón de la geometría Mallado de la geometría Defncones de los parámetros del materal y del proceso Smulacón Evaluacón de los resultados Modelzacón de los procesos de fundcón con el programa Vulcan Partes del programa Defncón de la geometría Mallado de la geometría Defncones de los parámetros del materal y del proceso Smulacón del proceso Evaluacón de los resultados DEFINICIÓN DEL PROBLEMA TÉRMICO Introduccón a las técncas numércas Técncas de dferencas fntas Standard (SFD) Formulacón de control de volumen Técncas de dferencas fntas generales (GFD) MEF Ecuacón de goberno La ley de Fourer Obtencón de la ecuacón de goberno Propedades termofíscas Análss del problema del cambo de fase Introduccón al cambo de fase Lberacón del calor latente...35

4 Pág. 4 Memora Fraccón líquda Funcón de fraccón líquda Funcón de calor latente Calor latente en la ecuacón gobernante Forma entálpca de la ecuacón gobernante Representacón de la entalpía con la temperatura Forma débl de la ecuacón dferencal Formulacón del domno y contorno Desarrollo de la forma débl Integracón en el tempo Condcones de contorno Varacón de h con θ Varacón de h con la fraccón líquda global ESTUDIO DE LOS COEFICIENTES DE TRANSMISIÓN Ejemplo propuesto Procedmento de adquscón de datos Smulacón de los ejemplos Resultados de la smulacón térmca Resultados de la smulacón de soldfcacón Problema prmero: Conduccón varable en un molde de acero Gráfco temperatura tempo Gráfco fraccón sólda tempo Gráfco h tempo Problema segundo: Conduccón varable en molde de arena Gráfco temperatura tempo Gráfco fraccón sólda tempo Gráfco h tempo Problema tercero: Conveccón varable en molde de acero Gráfco temperatura tempo Gráfco fraccón sólda tempo Gráfco h tempo Problema cuarto: Conveccón varable en molde de arena Gráfco temperatura tempo... 79

5 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág Gráfco fraccón sólda tempo Gráfco h tempo ANÁLISIS DEL CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES Ejemplo propuesto Problema prmero: Conduccón fja Problema segundo: Conveccón fja...85 CONCLUSIONES 87 Conclusones relatvas al estudo de los coefcentes de transmsón de calor Conclusones relatvas al cálculo de los coefcentes REFERENCIAS 89 Referencas bblográfcas Bblografía complementara A PROPIEDADES DE LOS MATERIALES ESTUDIADOS 93 A. AlS7Mg A.2 Acero X40CrMoV A.3 Arena B FUNCIONES DE FORMA 99 B. Funcón de forma del elemento undmensonal B.2 Funcones de forma de elementos tetraédrcos C INTEGRACIÓN NUMÉRICA 07 C. Prncpos de la ntegracón numérca C.2 Integracón en tetraedros:... 09

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7 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 7. Introduccón El presente proyecto pretende ser un estudo general de una de las herramentas más usadas hoy día en las smulacones numércas, el método de los elementos fntos. La smulacón numérca ha sdo un factor decsvo en los logros centífcos actuales. El presente proyecto se puede consderar un ejemplo de cómo se actúa en el uso de tal herramenta. El caso que se aborda en el proyecto es un proceso de fundcón de alumno. Se pretende usar las smulacones medante el método de los elementos fntos para poder estudar algunas característcas que nfluyen en el resultado fnal de tales procesos. Para ofrecer una clara dea de cual es el funconamento de las técncas de smulacón, se abordarán paso a paso los conceptos de ejecucón del procedmento. Así se puede llevar a cabo una smulacón de un proceso de fundcón. Además para generar las smulacones se ha ncludo la explcacón de un programa de smulacón de procesos de fundcón metalúrgca. Con el programa se realzarán dversas smulacones. Estas servrán para ver como nfluyen en el proceso fnal de fundcón los cambos en los flujos de calor dentro de los sstemas de fundcón. A partr de los resultados extraídos de las smulacones, se pretende sacar conclusones que puedan servr de referenca en procesos reales dentro de la ndustra metalúrgca. Medante un análss smlar, tambén se pretende estudar dos clases de formulacones que resuelvan las transferencas de los flujos de calor en el sstema. Estas formulacones son una referenca para el cálculo de estos tpos de problemas. Por lo que se puede consderar como un patrón para posterores códgos de resolucón o mejorar los exstentes. Fnalmente decr que este trabajo está muy relaconado con los proyectos que optmzan sstemas de fundcón en la ndustra. El presente proyecto se puede consderar el paso prevo al dseño de moldes y pezas que permtan mejorar las caldades de los acabados y los sstemas de produccón.

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9 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág Smulacón numérca de procesos metalúrgcos 2.. Modelzacón matemátca La observacón centífca de un fenómeno requere un análss cudadoso de sus característcas, de las crcunstancas que lo producen, y de los factores que lo afectan. En la búsqueda de teorías precsas, capaces de explcar el número máxmo de resultados expermentales medante prncpos generalstas, permte, usando elaboracones matemátcas, entender, y en algunas condcones, predecr la evolucón de varos fenómenos. Las correlacones entre entdades de dferente tpo físco, son descrtas normalmente medante aproxmacones matemátcas complejas, tales como las que permten llegar a resultados sgnfcatvos medante smplfcacones o técncas computaconales partculares. La precsón de un modelo matemátco adoptado para descrbr un fenómeno físco sempre está relaconado con la cantdad de smplfcacones ntroducdas, al gual que su smltud con la nformacón expermental. El estudo de un proceso metalúrgco, como el de fundcón, medante modelos matemátcos sgue tres pasos: - dentfcar el fenómeno en que el proceso se basa; - representar matemátcamente el fenómeno de acuerdo con los parámetros físcos que se pueden observar (sstemas de ecuacones dferencales); - soluconar las ecuacones representadas. Este paso fnal se puede resolver medante dos maneras dferentes. ) Se busca una solucón analítca, a menudo medante la smplfcacón de las ecuacones dferencales orgnales. Como ejemplo, el estudo se puede lmtar a algunos casos partculares, evtando el uso de una o dos coordenadas espacales o defnendo a pror la dependenca de algunos parámetros con la temperatura o hasta consderándolos como constantes. Cada una de estas smplfcacones (y de las otras que pueden ser hechas) están relaconadas, más o menos explíctamente a algunas hpótess. El sgnfcado real de tales hpótess sempre se tene que evaluar, para

10 Pág. 0 Memora entender lo aproxmado que está el modelo crecente a la realdad. Tambén se debe recordar que la solucón de las ecuacones dferencales requere la defncón de las condcones de comenzo y de frontera; tambén están relaconadas con algunas hpótess y por tanto deben ser evaluadas crítcamente. 2) Cuando las solucones analítcas son demasado complejas o requeren smplfcacones excesvas se deben buscar solucones numércas. Se deben emplear métodos numércos (dferencas fntas, elementos fntos, control de volúmenes...), que, medante la dscretzacón del problema, permten su solucón resolvendo sstemas de ecuacones con un alto número de ncógntas. Tales sstemas pueden ser soluconados sólo medante computadores muy potentes. Con estos métodos tambén se pueden producr algunas smplfcacones (con las msmas consderacones que con los modelos analítcos), prncpalmente encarados a reducr los tempos de procesado y los costes relaconados Smulacón de los procesos de fundcón. Des de un punto de vsta teórco, un proceso de fundcón se puede consderar como la suma de varos pasos : - el llenado de una cavdad medante una aleacón fundda, descrta por las leyes fludo dnámcas (ecuacón de Naver-Stokes); - la soldfcacón y el enframento de la aleacón, según las leyes de transmsón de calor (ecuacón de Fourer); - las (posbles) transformacones de estado sóldo, relaconadas con termodnámca y cnétca, como está descrto en la metalurga físca; - las tensones y deformacones en que la peza se ve sometda debdo a los pasos anterores (ecuacón de la conservacón del momento). Las característcas fnales (geométrcas, físcas, mecáncas, mcroestructurales) de la peza fundda son el resultado drecto de los dferentes pasos del proceso; medante el control de estos pasos, las característcas menconadas anterormente pueden ser optmzadas. A su manera, cada uno de los pasos menconados está asocado a fenómenos de transporte de masa, energía y momento. Las ecuacones dferencales que descrben estos fenómenos son perfectamente conocdas y permten la evaluacón de los campos de temperatura,

11 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. velocdad, presón o desplazamento como funcones del tempo (t) y el espaco (x,y,z). La solucón de Naver-Stokes (dnámca de fludos) y Fourer (transferenca de calor) se vuelve más y más complcada a medda que la complejdad de la geometría crece (de D, 2D, 3D) y el nvel de precsón aumenta. En prncpo, se puede decr que los pasos prncpales de un proceso de fundcón pueden ser descrtos medante aproxmacones matemátcas de complejdad varable. La fabldad de este análss físco-matemátco está relaconada sgnfcatvamente con la precsón adoptada para defnr las condcones ncales y de frontera, y sobre el conocmento de las propedades de los materales nvolucrados. Para poder defnr las condcones de frontera y las condcones ncales del proceso, deben de tenerse en cuenta parámetros fundamentales como la temperatura de fundcón, el tamaño del funddo, la confguracón del molde (entradas, bebederos, núcleos, etc.) o la fludez del metal funddo. En lo que refere a las propedades de los materales, se debe de estmar o saber: - para la aleacón: las temperaturas de líqudus y sóldus, y, como funcón de la temperatura, vscosdad, densdad, conductvdad térmca y calor específco; - para el molde (y los núcleos): propedades térmcas y, eventualmente, las característcas de enframento y/o refrgeracón; - los coefcentes de transferenca de calor entre el molde y la aleacón. Práctcamente, la complejdad geométrca de las pezas funddas y el número de varables nvolucradas hacen mposble la descrpcón analítca del llenado del molde y de la soldfcacón y enframento de la aleacón. Este problema se supera medante la dsponbldad de computadoras muy potentes, que pueden resolver, medante métodos numércos adecuados, sstemas con mllones de ecuacones dferencales. Esta aproxmacón se basa en modelos obtendos gracas a la representacón dscreta. (Volúmenes de control, elementos fntos, dferencas fntas y otros...). El domno a analzar se dvde consecuentemente, de acuerdo con las normas de que depende el método adoptado, en un número muy alto de volúmenes (la creacón de la malla) que tenen una geometría muy smplfcada (Ej.: cúbca o tetraédrca). Las condcones fjadas por las ecuacones ntegrales-dferencales que controlan el problema (en este caso las anterormente nombradas ecuacones de dnámca de fludos y de transferenca de calor) se mponen, con referenca a un número fnto de números relaconados con tal subdvsón.

12 Pág. 2 Memora La precsón del resultado depende de los algortmos empleados y de lo fna (tamaño del elemento) que sea la malla (por tanto, del número de ecuacones a procesar). Medante la computacón, que tambén puede ser muy pesada, se pueden consegur resultados realmente nteresantes. De hecho es posble de calcular los campos de velocdades, presón y temperaturas del sstema de peza más molde, y, en consecuenca, saber, punto por punto y nstante a nstante, el comportamento del llenado, soldfcacón y enframento del materal funddo. La precsón y la fabldad del resultado del análss están bastante relaconados con la exacttud en defnr las ya menconadas condcones de contorno (temperatura de molde, temperatura y tamaño de la peza, confguracón del molde, bebederos, vscosdad del líqudo funddo, etc.) y con el conocmento que se tenga de los materales nvolucrados en el proceso. Por tanto, es obvo que, una vez montorzado el llenado del molde, la soldfcacón y el enframento, hay toda la nformacón necesara para evaluar la caldad metalúrgca de la peza fundda. De hecho, por una parte, el estudo de la dnámca de fludos del sstema permte la deteccón de defectos nducdos por un mal llenado del molde; por otra parte tambén hay la posbldad de correlaconar los llamados parámetros de soldfcacón, con las característcas mcroestructurales y el contendo de mcroporosdades de la peza fundda. Entre esos parámetros se debe consderar: - el tempo de soldfcacón, que es útl para dscrmnar puntos calentes relaconados con las característcas de las estructuras dendrítcas; - la velocdad de enframento, que es un ndcador de la velocdad de soldfcacón y tamaño fnal de granos. La posbldad de vsualzar las regones más crítcas del funddo da una nformacón fundamental para la valdacón y el uso del funddo msmo. Este es el factor clave para el éxto de los códgos de smulacón. Sgnfca que los códgos numércos prevamente descrtos se pueden usar en: - dagnoss, para dscrmnar y entender la causa de los defectos en los funddo, y poder sugerr posbles correccones; - predccón, para una evaluacón a pror de las característcas y potencal de un proceso de fundcón, dando un soporte decsvo al dseño de los sstemas de fundcón, al gual que el proceso msmo, acelerando la etapa de puesta a punto.

13 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 3 Des de los puntos de vsta tecnológcos y centífcos, la dfusón de los códgos computaconales dedcados a la smulacón de los procesos de fundcón son contnuos. En el Metals Handbook, publcado en 988, un volumen dedcado a la fundcón, se dscuten estos tópcos y se dentfcan certos valores como crítcos en el desarrollo del proceso de smulacón: - la bajada del coste de una computadora; - la bajada del coste del software; - la mejora de los rendmentos, la fabldad metalúrgca y la aproxmacón a un uso fácl del software; - la bajada en los tempos de trabajo para establecer un modelo y su subsguente smulacón. La tendenca está claramente dbujada: el uso de códgos para smular procesos de fundcón jugará un papel cada vez mayor. Por tanto, se vuelve fundamental para las fundcones usar esta herramenta como motor de mejora y compettvdad.

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15 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág Modelzacón de los procesos de fundcón Antes de comenzar a analzar los procesos al detalle, se va a hacer una descrpcón general de cómo es la modelzacón de los procesos de fundcón. De esta manera se hará más fácl entender las deas báscas y al msmo tempo ayudaran a mejorar la comprensón de los conceptos que se mostrarán en los sguentes apartados. El procedmento se puede descomponer en los sguentes pasos: defncón geométrca, mallado geométrco, defncón de los parámetros del materal y del proceso, smulacón o solucón de las ecuacones de goberno y fnalmente, evaluacón de los resultados. Segudamente a este apartado se va a explcar el códgo del programa que se ha usado para generar las smulacones que aborda este texto. Por tanto, se va a segur la msma pauta en los pasos de explcacón del códgo, para así poder dar un texto más ordenado Defncón de la geometría El prmer paso en el proceso de modelzacón es defnr la geometría del sstema de fundcón. Los programas de smulacón de procesos de fundcones modernos, tenen la capacdad de mportar dbujos de CAD de otros programas que están especalzados para ello. Como se verá en el sguente apartado el programa que se usa en este proyecto, ofrece la posbldad de generar el msmo esta tarea. Es muy mportante que durante el modelado de la geometría se ncluya todos los elementos del sstema de funddo que puedan tener una nfluenca sgnfcatva en el llenado y la soldfcacón del materal. Como por ejemplo los canales de refrgeracón, los canales de entrada del funddo Mallado de la geometría Después de la defncón de la geometría del sstema de funddo, esta debe ser dvdda en un número dscreto de elementos volumétrcos segmentados para los subsguentes cálculos. Los nodos de la malla son los puntos de la geometría donde las ecuacones resuelven los valores de las varables. Las líneas que conectan los nodos entre s, son las vías que usan para nterpolar las varables prncpales en funcón de sus valores en los nodos. Un punto crítco a tener en cuenta es lo fna o basta que puede ser la malla. Esta característca es básca para consegur la precsón deseada. Cuando más fna es la malla más precsón se obtene. Aunque se debe de tener en cuenta que la mejora de la precsón decrece a medda que la malla es más fna. Y tambén se debe comentar que el tempo de cálculo aumenta a medda que la malla se hace más fna, ya que exsten más elementos

16 Pág. 6 Memora para calcular. En general se puede decr que para encontrar la smulacón óptma, hay que hacer un balance entre la precsón buscada y el tempo de cálculo que debe ser sacrfcado Defncones de los parámetros del materal y del proceso El sguente paso de la modelzacón del sstema, es defnr los parámetros del materal y del proceso, que son necesaros para resolver las ecuacones gobernantes del proceso de llenado y soldfcacón del molde. En prmer lugar, se defnen las propedades termofíscas de los dversos materales que están relaconados con el sstema de fundcón. Además, las condcones ncales para las ncógntas de las ecuacones tambén deben de ser especfcadas (Ej.: las temperaturas ncales). Tambén se tenen que determnar las condcones de contorno de las ncógntas, como lo es el coefcente de transferenca de calor entre los dferentes materales del sstema. Toda la nformacón relevante para el proceso debe de tenerse en cuenta, o sea, ntroducrla dentro de las bases de datos del programa. Es muy mportante que se valoren todos los datos que afectan a la smulacón de la soldfcacón o del llenado del molde. Por ejemplo, todas las veces que los canales de enframento están actvos o nactvos, el momento en que el funddo se extrae del molde, o ben, el tpo de recubrmento que hay en la cavdad del molde. Todo puede afectar al balance térmco del molde o del funddo. De hecho, los resultados de la smulacón son tan buenos como los son los parámetros ntroducdos, tanto de los materales o del proceso. Por esta razón, es muy mportante usar los parámetros termofíscos más precsos posbles y especfcar el proceso con el máxmo detalle, para así poder obtener el mejor benefco de la smulacón Smulacón En este paso, las ecuacones gobernantes del proceso de llenado o de soldfcacón de la fundcón se soluconan sobre una malla computaconal, usando las defncones del materal y de los parámetros del proceso. Los resultados se guardan en dstntos momentos para la evaluacón del proceso de soldfcacón o del llenado Evaluacón de los resultados Aunque este tema es sumamente nteresante queda fuera de los propóstos de este proyecto. Aun así se harán algunos comentaros al respecto. Los prmeros resultados que se obtenen de la smulacón de un llenado o de una soldfcacón, son los valores de las varables prmtvas (temperaturas, presones, velocdades) que se encuentran en los nodos de la malla creada. Combnando los valores de las varables de maneras que tengan un

17 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 7 sentdo físco, es posble desarrollar las llamadas funcones de crtero que ndcan donde se pueden esperar problemas en el desarrollo del proceso de fundcón. En una evolucón de los resultados de una soldfcacón (caso que concerne a este proyecto), nteresa nvestgar el patrón de soldfcacón del funddo (Ej.: el tempo en que las dferentes áreas tardan en soldfcarse) para así poder ver s la contraccón en la soldfcacón puede ser adecuadamente almentada. Tambén ntentar evaluar las áreas donde pueda haber porosdad o evaluar la establdad de la cavdad del molde durante el proceso. Los resultados de la smulacón de los procesos de fundcón dan lugar a la nvestgacón de muchas áreas de las pezas y de su evolucón, para poder mejorar los procesos reales Modelzacón de los procesos de fundcón con el programa Vulcan 7.5 El programa Vulcan ver: 7.5. un programa desarrollado por la empresa Quantech ATZ con la colaboracón del CIMNE (centro nternaconal de métodos numércos en ngenería). El programa resulta una herramenta muy potente como smulador de procesos de fundcón. Este es capaz de generar smulacones de llenado y de soldfcacón de los procesos de fundcón, así como abordar el problema termomecánco. En este proyecto se utlzará la posbldad de smular la soldfcacón para, posterormente, hacer certas evaluacones Partes del programa Se puede decr que el programa se dvde en tres partes báscas. - El preprocessor - El solver - El postprocessor El preprocessor es la parte ncal del programa, está destnada a adqurr o dbujar la geometría de los materales y defnr todas las propedades termofíscas de estos, al gual que las condcones de contorno o las condcones ncales. Tambén puede generar la malla de la geometría. El solver, es el códgo del programa de cálculo, este resuelve las ecuacones de goberno con las condcones y propedades que ha adqurdo del preprocessor. Tambén usa la malla que le ha ndcado el postprocessor.

18 Pág. 8 Memora El postprocessor es la parte que adquere los resultados y la malla del solver. Esta parte genera el entorno gráfco necesaro para poder aprecar los cambos de temperatura, de soldfcacón, o llenado del molde para poder ser evaluados. Tambén permte analzar todos los puntos de la geometría de la malla, para que el ngenero así pueda realzar los estudos necesaros de regones concretas de la peza. En la fgura (3.) se muestra un esquema explcatvo de las partes en que se puede dvdr el programa y sus funcones. GEOMETRÍA, PROPIEDADES PREPROCESO DE LOS MATERIALES, SOLVER MALLA Y RESULTADOS POSTPROCESO CONDICIONES INICIALES Y DE CONTORNO, Fg. (3.): Esquema de las partes del programa Defncón de la geometría Antes de estudar los dversos campos del programa, se debe hacer una breve descrpcón del nterfaz del códgo con el usuaro. La fgura (3.2) muestra la pantalla de trabajo del programa, en ella se pueden ver dversas barras de herramentas. En la barra stuada a la zquerda de la pantalla hay las opcones de vsualzacón y opcones de dbujo.

19 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 9 Fg. (3.2): Pantalla de trabajo de Vulcan 7.5. La barra de tareas superor, que se muestra medante conos, permte acceder a las opcones de los archvos, tambén permte acceder al postproceso, al capturador de mágenes, mpresón o a opcones de edcón. Por encma de esta hay la barra de tareas que permte acceder a todas las opcones del programa, tal como se muestra en la fgura (4.2). El programa permte generar geometrías medante CAD, pero este tambén tene la opcón de mportar dbujos con las extensones IGS o DXF. Fgura (3.3). Uno de los atrbutos que tene el programa, es que la geometría se construye sguendo un modo jerárquco. Esto sgnfca que una entdad de un nvel superor (dmensón) se construye con entdades de nvel nferor, entonces dos entdades adyacentes comparten la msma entdad de nvel nferor.

20 Pág. 20 Memora El programa tene un amplo abanco de funcones que se pueden usar para el dbujo, como por ejemplo el generador de coordenadas o de líneas, los elementos báscos para poder dbujar en CAD. Fgura (3.4). Tambén permte generar elementos de 3D. Puede generar formas sencllas predetermnadas como complejos dbujos geométrcos. Ver fgura (3.5). Fg. (3.3): Menú de mportacón de archvos. Fg. (3.4): Ventana de coordenadas. Fg. (3.5): Ejemplo de peza generada por el preprocessor Mallado de la geometría El sstema de mallado del programa permte generar mallas de dferentes tamaños, de esta manera se puede varar la fnura de la malla y así consegur la medda óptma para un proceso concreto. En la fgura (3.6) se muestra una peza generada por Vulcan y que representa un enganche.

21 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 2 Fg. (3.6): Enganche generado por Vulcan. En la sguente magen se ve como se ha generado la malla. En este caso la malla generada del elemento es una malla compuesta por elementos tetraédrcos. Para ser exactos se han generado elementos de 5 puntos de grosor. Un número de 574 tetraedros y de 687 nodos. Fg. (3.7): Malla del enganche. Otra de las opcones nteresantes que ofrece el programa es la posbldad de que la malla se ajuste a la geometría. Cuando las geometrías son muy complejas, a veces un tamaño concreto del elemento no puede caber en todos los rncones de la peza. El usuaro del programa puede escoger medante la opcón cordal error un mínmo y un máxmo de grosor del elemento. Esta opcón puede adaptar los tamaños a la geometría de la peza.

22 Pág. 22 Memora Fg. (3.8): Menú de mallado. El usuaro tambén puede defnr el tamaño y la forma de los elementos en entdades concretas. Por ejemplo puede escoger un tamaño de los elementos en las líneas, pero cambar el tamaño en las superfces. Y de la msma manera con los puntos y los volúmenes Defncones de los parámetros del materal y del proceso Para que se puedan resolver las ecuacones sguendo la geometría de la malla, es necesaro ntroducr los parámetros de los materales y del proceso, ya explcadas en apartados anterores. El programa dspone de una opcón que en la barra de tareas prncpal que permte segur los pasos de la defncón del problema de una forma smple y fácl. En la barra de herramentas prncpal hay una opcón llamada process. Está opcón abre un menú rápdo que ndca en cada momento el sguente paso que se debe dar, antes sempre debe estar defnda la geometría. El orden que sgue es el que se establecdo con anterordad, procesar la malla, defnr los parámetros del proceso y descrbr los materales y sus condcones de contorno. Fgura (3.0) El menú de los datos del proceso se encuentra en el submenú de data /problemdata. Fg. (3.9): Ventana de los datos generales de la smulacón.

23 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 23 En el aparece una ventana que permte escoger el tpo de análss, la estratega de soldfcacón, etc. Tal como se ve en la fgura (3.9). Fg. (3.0): Menú rápdo que permte hacer todo el proceso. Una vez selecconados los parámetros del proceso, se debe repetr el msmo proceso para las propedades de los materales y sus condcones de contorno. El programa dvde los materales que entran en el sstema en cuatro grupos. El molde, el funddo, el líqudo refrgerante y el núcleo. Normalmente se usa sstemas de molde-funddo, pero para sstemas más completos se tenen las herramentas para poder abordarlos. Fgura (3.). Fg. (3.): Tpos de materales que pueden ser selecconados y varar sus propedades.

24 Pág. 24 Memora La ventana tene las opcones para poder cambar los materales y defnr las propedades de estos. Al msmo tempo dspone de dos pestañas donde se pueden cambar las condcones de contorno de los materales como el HTC (propedad de la que se hablará en apartados posterores). Cabe destacar que la ventana del funddo está mucho más completa, ntroduce propedades de fludo y propedades respecto al cambo de fase. Sn duda, debdo a la smulacón de llenado, ya que se necestan muchos más parámetros de los materales. En este apartado tambén se defnen condcones ncales como la temperatura. Fgura (3.) Smulacón del proceso Una vez ntroducdos y defndos los datos de la malla, proceso y materales, se guarda el archvo y se pasa a smularlo. Cuando se resuelven las ecuacones de un proceso, el programa permte ver como va la evolucón de los cálculos a medda que avanza el tempo. Tambén permte parar los cálculos en un momento dado, y hasta permte un cálculo remoto desde otro termnal. Fg.(3.2): Ventana de propedades del molde Evaluacón de los resultados Para poder realzar una evaluacón de los resultados se debe pasar a la parte del postproceso. El postproceso pasa a la pantalla los resultados obtendos por el solver del programa. Los resultados que pueden ser vsualzados se pueden clasfcar en cnco categorías: - Vsta de los resultados escalares: muestra valores de mínmos y máxmos, vsualzacones del contorno, vsualzacones de las texturas y de las líneas, muestra las so-superfces. Además estas posbldades se pueden confgurar a gusto del usuaro.

25 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág Vsta de resultados vectorales: deformacón de la malla, vsualzacón de vectores, líneas de corrente (trazados de las partículas) - Dagramas lneales: dagramas escalares de líneas y dagramas vectorales. - Anmacón de los resultados de las vsualzacones. Las vsualzacones de los contornos se realzan asgnando colores dferentes para cada valor, de manera que entre un mínmo y un máxmos dados exsta toda una gama de colores, tal como se ve en la fgura (3.3). Fg. (3.3): Expresón de las temperaturas medante una escala de colores en el contorno de una peza. Las anmacones permten ver la evolucón de las varables que están bajo estudo. El programa permte selecconar planos concretos de las pezas, y ver su transformacón gradual. Al gual que dentro de los planos selecconar puntos concretos del mallado y ver su desarrollo medante gráfcos. Otro complemento que srve de gran ayuda, es la oportundad de recrear so-superfces. Las so-superfces se caracterzan porque señalan regones que comprenden un valor concreto de la varable en estudo. Además el programa ncluye leyendas que permten que las

26 Pág. 26 Memora vsualzacones de los contornos, de las so-superfces o de los vectores con colores puedan una escala de colores y sus valores asgnados. Ver la fgura (3.3) a la esquna derecha. Con estas herramentas se pueden analzar puntos, planos o regones, y así evaluar perfectamente los resultados obtendos y su relacón con el proceso.

27 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág Defncón del problema térmco 4.. Introduccón a las técncas numércas Como ya se ha comentado, smular un proceso de fundcón es un problema muy complejo. Las ecuacones que lo rgen, las cuales se estudarán más adelante, son ecuacones dferencales que comportan una alta no lnealdad. Aproxmar una solucón numérca a estas ecuacones conlleva usar métodos de análss complcados. Dentro del grupo de las técncas que pueden soluconar el problema, se van a comentar las sguentes: 4... Técncas de dferencas fntas Standard (SFD) En estas técncas, una ecuacón dferencal parcal que rge el problema se transforma en un n n θ θ, j, k θ, j, k conjunto de ecuacones de dferencas fntas del tpo: =. Dónde θ t t representa las temperaturas de dentro del campo θ = θ(x,y,z) y t ncremento de tempo. Para cada elemento de la malla como la que se ve en la fgura (4.0), hay una transformacón de estas ecuacones. Fg. (4.0): Malla regular de un clndro hecho medante fundcón. A la derecha se representa el smbolsmo de la malla.

28 Pág. 28 Memora Formulacón de control de volumen Una extensón de la técnca SFD es la formulacón de control de volumen de la ecuacón de dferencas. Según el mallado de la fgura (), la conduccón térmca entre el punto central z y (,j,k) y el punto vecno (+) se puede expresar como: K(, j, k) ( + ) = λ donde x z es la ampltud de un elemento en la dreccón perpendcular al papel, λ la conductvdad térmca del elemento y K la conduccón térmca entre elementos. Operando y hacendo los cambos correspondentes, el método lleva a un sstema de ecuacones de la forma: θ C dónde [ ] se refere a una matrz y { } a un vector. [C] representa las t [ ] = [ K] {} θ capacdades térmcas y [K] las conduccones térmcas. Estas técncas están muy lmtadas debdo a que no permte generar estructuras demasado complejas, por ejemplo, en las smulacones se puede ver las curvas con una forma de zgzag. Debdo a que no permte adoptar el contorno precso. Está técnca es mejor usarla para estructuras polédrcas Técncas de dferencas fntas generales (GFD) Dentro de esta sere de técncas se va a resaltar el método de las aproxmacones de Taylor. Este tambén hace uso de una ecuacón dferencal parcal. En este caso para lograr las aproxmacones de las dferencas fntas se hace uso de aproxmacones de Taylor. Del tpo: ( 3 ) θ θ h θ k θ θ θ = θ0 + h + k hk + O donde h = x-x , k = y-y 0 y = x y 2 x 2 y (h 2 + k 2 ) /2, (x 0,y 0 ) = coordenadas del punto central y (x,y) = coordenadas de un punto vecno arbtraro en el mallado. Otro método usado dentro de estas técncas es el método en base a coordenadas curvlíneas. La dea de esta aproxmacón es la de transformar las ecuacones dferencales parcales en coordenadas curvlíneas. Es un método muy potente para usarlo en geometrías de 2D, pero no srve en problemas de fundcón en 3D. Se han menconado dos técncas muy mportantes. La prncpal dferenca de estas técncas con la técnca que se estuda en este proyecto; el método de los elementos fntos (MEF), es que con el MEF se pueden trabajar con mallas más precsas y con una geometría compleja. Aunque con la técnca de dferencas fntas generales (GFD) tambén se permte trabajar con mallas complejas, no permte la precsón que admten los MEF en mallas de 3D. En general la razón del uso de los MEF, es que, con ellos se pueden tratar todo tpo de problemas x y

29 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 29 térmcos ncluyendo problemas de conduccón - conveccón, problemas no lneales y problemas acoplados en mecánca de sóldos y fludos MEF Ecuacón de goberno Para empezar a trabajar en el método de los elementos fntos prmero se debe formular la ecuacón matemátca del proceso que se quere smular. Esta ecuacón es denomnada de goberno o fuerte. Esta formulacón descrbe el proceso físco, se representa medante modelos matemátcos, como las ecuacones dferencales, que relaconan cantdades de nterés para el entendmento y/o dseño de tal proceso. El propósto es smular la soldfcacón de fundcones complejas, las cuales pueden varar su escala de peso de gramos a toneladas. Las leyes de conservacón de la masa, momento y energía se usan para formular modelos matemátcos del llenado del molde y de la soldfcacón de los metales funddos. De hecho, como aquí se va estudar la soldfcacón y la evolucón térmca en un molde, el análss se va a centrar a la ley de la conservacón de la energía. Mentras que en el llenado sería necesaro estudar las leyes de la conservacón de masa ayudada por la dnámca de fludos y, lógcamente, en el apartado mecánco el desarrollo de la ley de conservacón de momento es básca. Para ver como se aplca la ley de la conservacón de la energía y obtener la ecuacón gobernante de la soldfcacón en el molde, prmero es necesaro tener en cuenta los sguentes conceptos La ley de Fourer La ley de Fourer establece que la cantdad de energía en forma de calor Q, que fluye por undad de tempo a través de un elemento de área A en un pared de espesor b, por dferenca de temperaturas entre los extremos de la pared θ y θ 2 (θ > θ 2 ). Fgura (4.).

30 Pág. 30 Memora θ Q θ 2 Fg. (4.): Transmsón de calor a través de una pared de espesor b. (4.) Q k = A( θ θ 2 ) b donde k es la conductvdad térmca que es una propedad del materal que consttuye la pared. El valor de k se deduce de (5.) por (4.2) Qb k = A ( θ θ 2 ) y por tanto k se expresa en Joule/ s m ºC. La cantdad de calor que atravesa una undad de superfce por undad de tempo se denomna flujo de calor. Su expresón es (4.3) Q q = A = k b ( θ θ 2 ) La forma lneal y dscreta de la ecuacón anteror no exste en procesos transtoros y en general el flujo de calor varía localmente y en el tempo. En la práctca se acepta que la ecuacón (5.) se satsface en partes del cuerpo nfntesmales. Las expresones dferencales equvalentes de las ecuacones (5.) y (5.3) se escrben por: (4.4) dθ Q = kda dn

31 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 3 dθ q = k dn (4.5) Donde n es la línea normal al plano del elemento dferencal de superfce da a través del cual fluye el calor. El sgno menos en las ecuacones anterores ndca que el calor fluye en la dreccón de la dsmnucón de la temperatura, es decr, en la dreccón negatva del gradente de temperatura θ. t En un sóldo descrto en un sstema de coordenadas cartesanas, se pueden escrbr los flujos de calor en las dreccones x,y,z por: q x dθ = k ; q dx y dθ = k ; q dy z dθ = k ; dz (4.6) En forma matrcal q = k θ con q q = q q x y z y = d dx d dy d dz (4.7) La descrpcón más general de la conduccón del calor en un materal no sótropo establece que el flujo de calor depende de los gradentes de temperatura de cada dreccón. La ecuacón (7) se rescrbe en estos casos por: q = D θ (4.8) Con k D = k k xx yx zx k k k xy yy zy k k k xz yz zz (4.9) La matrz de conductvdad D puede expresarse en otro sstema de ejes x,y,z por smple transformacón tensoral como D =T T DT (4.0)

32 Pág. 32 Memora Dónde (4.) T A = A A x' x y' x z' x A A A x' y y' y z' y A A A x' z y' z z' z consderando A x x = cos (x x) el coseno del ángulo formado por los ejes x y x, etc. Una vez dejado claro estos conceptos se pasará a hacer el balance de energía térmca para obtener la ecuacón de goberno de la transmsón térmca en el molde Obtencón de la ecuacón de goberno Para obtener la ecuacón gobernante, prmero se debe hacer un balance térmco en una regón del elemento. En este caso, el estudo se realza sobre una superfce, pero el resultado es fáclmente extrapolable a un volumen. Consderemos el domno bdmensonal de dx de ancho y dy de alto de la fgura (4.2). Fg. (4.2): Equlbro térmco en un elemento bdmensonal. qy qy + y dy dx dy q x Q q x q + x x dx dy y x q y dx Se puede consderar que el domno tene una fuente energétca propa que se denomnaría Q. En caso de que no exsta tal fuente se consderaría Q=0. El calor acumulado es la dferenca entre el flujo entrante y el flujo salente de la energía térmca. Tal como se ve en este análss: (4.2) q xdy + q ydx + Qdxdy q x q x + x dx dy q y q y + y θ dy dx = ρc dxdy t calor entrante calor salente = calor acumulado ρ es la densdad del materal en el que se hace el análss;

33 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 33 c es el calor específco del materal. Smplfcando y susttuyendo en la ecuacón (4.2) con la ecuacón (4.6) se obtene: θ ρc = k t x θ + k x y θ y x y + Q (4.3) Como es obvo, los procesos de fundcón reales se analzan en mallas de 3 dmensones lo cual conlleva a reformular la ecuacón en base a los procesos reales. Según la nomenclatura matrcal que se ha vsto con anterordad, generalzaremos la ecuacón del balance térmco de la forma: θ ρc = t T D θ + Q (4.4) Dónde, en 3D, = [ θ/ x, θ/ y, θ/ z] T y D es la matrz consttutva dada por la ec. (4.9). Por tanto con esta ecuacón se ha descrto el proceso físco que sgue el molde o el metal ya soldfcado. Se debe entender que esta ecuacón es la que se usa cuando no exste cambo de fase, o sea que no hay transcón entre fase sólda a líquda. Es evdente que aquí hay una varacón de calor con el tempo, se llamará transmsón de calor transtora. Obvamente, en la fundcón hay un cambo de fase de líqudo a sóldo, este estudo se realzará en el apartado donde se analza el cambo de fase Propedades termofíscas Antes de resolver la ecuacón de goberno del proceso de soldfcacón, deben ser conocdos los datos termofíscos necesaros. Para calcular el campo de temperaturas en el sstema de molde - peza, se necesta la nformacón sobre las densdades, calor específco y conductvdades térmcas de todos los materales nvolucrados en el sstema de fundcón, (colada, molde, núcleos...). Además tambén se necesta saber el calor latente de fusón del metal, propedad que como se verá en el sguente apartado es de suma mportanca. En la smulacón debe consderarse la dependenca de estas cantdades con la temperatura, ya que pueden varar su valor sgnfcatvamente. Obtener los datos termofíscos necesaros es un trabajo arduo y de mucha mportanca. La tarea de medr las propedades de los materales, especalmente a altas temperaturas (por ejemplo en el ntervalo líqudus/sóldus), es sumamente costosa y cara.

34 Pág. 34 Memora Afortunadamente, tal como se ha vsto en la descrpcón del programa, todos los valores necesaros para desarrollar los sstemas de ecuacones están ncludos en la base de datos del códgo Análss del problema del cambo de fase Introduccón al cambo de fase El cambo de fase es común en problemas de soldfcacón, fundcón, vaporzacón, condensacón, etc. Desde un punto de vsta termodnámco, cuando un sstema consta de más de una fase, cada fase puede consderarse como un sstema separado dentro del conjunto. Los parámetros termodnámcos del sstema completo pueden entonces construrse a partr de las dos fases, líquda y sólda La fundcón y la soldfcacón son procesos de cambo de fase que van acompañados de absorcón o lberacón de energía térmca. Exste una frontera móvl que separa las dos fases con propedades mecáncas dferentes y en la que se lbera energía térmca. En este caso, la soldfcacón de una peza fundda y el calor latente de fusón lberado en la nterfaz sóldolíqudo se transferen a través del metal soldfcado, la nterfaz entre el metal y el molde y el propo molde, encontrando en cada uno de sus recorrdos una certa resstenca térmca. (Caso que se estudará más profundamente en apartados posterores) Durante la soldfcacón de las aleacones bnaras y multcomponentes, los fenómenos físcos se hacen más complcados debdo a las transformacones de fase que se producen en un rango concreto de temperaturas. La temperatura más baja, correspondente a la fase líquda completa, se denomna el líqudus y la temperatura más alta, correspondente a la fase sólda se denomna el sóldus. Estas temperaturas varían de acuerdo con la concentracón de los dferentes componentes de la aleacón defndas por su dagrama de fases. Durante la soldfcacón de una aleacón, hay una varacón progresva de la concentracón de la parte sólda que va en aumento. Este aumento se debe a que al descender la temperatura se ncrementa la parte sólda en la ntercara líqudo sóldo, que es el frente del proceso. La fase sólda puede apartarse o ncorporarse de este frente, según suba o baje la temperatura. El frente es una zona parte sóldo y parte fludo y se denomna zona pastosa. Los conceptos necesaros para el análss por el MEF, se darán a partr del balance térmco escrto en funcón de la entalpía. Se verá que con está expresón se smplfca el cálculo y se faclta el desarrollo de las ecuacones que se están estudando.

35 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág Lberacón del calor latente La ecuacón (5.4) de balance térmco, asocada con las propedades termofíscas descrtas en el apartado anteror y sus condcones de contorno, sólo es válda en esas regones del molde en que no hay un cambo de fase, (molde, núcleo...). Para que la ecuacón se pueda usar en la modelzacón del enframento del metal líqudo, se debe añadr un térmno que descrba la lberacón del calor latente de fusón durante el proceso de soldfcacón. En las otras regones del sstema (Ej. el molde), este nuevo térmno no actúa y por tanto desaparece. En este punto es nteresante descrbr más profundamente el dato que representa la lberacón del calor latente. En la soldfcacón de la mayoría de aleacones, a nvel mcroscópco, se pueden observar mcroestructuras complejas donde se dstngue la nterfaz entre líqudo y sóldo (Ej. dendrtas). La regón del funddo donde coexsten las fases líqudo/sóldo, la zona pastosa, se caracterza por los fenómenos físcos que ocurren en dferentes escalas. (Nucleacón, equlbro en la nterfaz, establdad en la nterfaz, etc.) Estos fenómenos descrben la evolucón de la zona pastosa. Aunque se han logrado muchos progresos en smular con exacttud estos fenómenos, no es práctco aplcar estos progresos dentro de la smulacón de un proceso de fundcón. Ya que hay un problema de escalas en los dos tpos de smulacones. La fundcón es un efecto de escala macroscópca y la evolucón de la zona pastosa es un efecto de escala mcroscópca. Es por eso, que para modelzar el estado pastoso se usa otra herramenta. Más concretamente la fraccón líquda del materal de la cual se hablará en el sguente apartado Fraccón líquda El térmno que se refere a la varacón de calor latente está drectamente relaconado con los cambos en la fraccón líquda. Se defne la fraccón líquda como la tasa de volumen soldfcado del elemento fnto. Como la fraccón líquda representa tener una ncógnta nueva en la ecuacón de la energía, se debe defnr una funcón que descrba la varacón de la fraccón líquda con el tempo, antes de que se resuelva la menconada ecuacón. Para determnar como varía la fraccón líquda con respecto a la temperatura, se hacen meddas expermentales de temperatura durante la soldfcacón. Esta funcón se puede consderar una propedad del materal. Una ventaja clara de descrbr la funcón de esta manera, es que se evta una modelzacón complcada de los fenómenos mcroscópcos llegando, gualmente, a la smulacón de la soldfcacón real. Sn embargo, esto sgnfca que

36 Pág. 36 Memora la smulacón que se obtene no aporta nformacón sobre el desarrollo mcroestructural durante la soldfcacón Funcón de fraccón líquda Se representa la funcón llamada fraccón líquda como f l (θ). Al msmo tempo exste una funcón de fraccón sólda tal que f s (θ) = f l (θ). Se debe dstngur tambén entre el rango de temperaturas del proceso, las temperaturas que lmtan este rango son: θ S = temperatura de sóldus y θ L = temperatura de líqudus (zona pastosa). De manera que s: θ > θ L hay una fase líquda θ S < θ < θ L coexsten fase líquda y fase sólda, estado pastoso θ < θ S hay una fase sólda Como se ve en el gráfco (4.3) la funcón de fraccón líquda marca (todo lqudo) cuando la θ > θ L y 0 (todo sóldo) cuando θ < θ S, mentras que la forma de la funcón en el ntervalo [θ S, θ L ] es g(θ), cumple que 0 < g(θ) <. fl Fg. (4.3): Gráfco f L θ; muestra las dferentes fases en que se encuentra la aleacón en un proceso de fundcón. sóldo pastoso líqudo 0 θs θl θ Funcón de calor latente Se defnrá el calor latente como la sguente funcón: C L (θ) = Lf L (θ), dónde L = calor latente

37 Estudo de la conveccón térmca en un proceso de fundcón de Alumno por el método de los elementos fntos Pág. 37 f L (θ) = funcón de fraccón líquda C L (θ) = funcón de calor latente CL Fg. (4.4): Varacón del calor latente con T. θs θl θ La funcón de calor latente vene defnda por ntervalos tal como sgue: θ > θ L C & = 0 θ < θ S C & = 0 L L θ S < θ < θ L C& = ρ f ( θ ) L S fl fl θ = ρl & θ = ρl θ θ t (4.5) Como se ve, la varacón del calor latente respecto la temperatura es nula cuando las fases son o totalmente líqudas o totalmente sóldas. Mentras que en el estado donde hay una mezcla de fases (estado pastoso), la varacón del calor latente es drectamente proporconal a la varacón de la funcón de fraccón líquda, lo que equvale a decr que hay una relacón drecta entre la proporcón de cada fase y el calor latente acumulado Calor latente en la ecuacón gobernante A la ecuacón gobernante (4.4) que se ha determnado para la transmsón de calor sn cambo de fase, se le debe añadr el térmno del calor latente para poder representar la soldfcacón: θ ρc = t x k x T x + y k y T y fl + Q ρl θ (4.6) Como ya se había menconado, la fraccón líquda está defnda como una propedad del materal, la dervada del térmno que descrbe la lberacón del calor latente se puede rescrbr