R E S U M E N ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 1

Transcripción

1 R E S U M E N El presente proyecto de graduacón es de tpo nformátco y ddáctco y contene anmacones realzadas en el programa Modellus en el que se aborda tema por tema las undades ddáctcas de Ondas, Ondas Electromagnétcas y Óptca Geométrca. Estas anmacones son de tres categorías, Conceptuales, Ejerctatvas y Lúdcas. Las anmacones Conceptuales presentan al estudante toda la parte teórcoconceptual correspondente al tema de una manera clara, precsa, amena y drecta. Las anmacones Ejerctatvas le permten al estudante la vsualzacón de ejerccos modelos y propuestos, ponendo de manfesto de una forma recreada el conocmento adqurdo a través de las anmacones conceptuales. Y por últmo las anmacones Lúdcas o juegos ddáctcos, que permten demostrar habldades de tpo mental y manual ya que las msmas son nteractvas. Tambén, como parte complementara, hemos elaborado un manual escrto que complementa el aprendzaje, el msmo que, estamos seguras, aportará mucho en la ardua, pero gratfcante labor de todos los docentes. Además presentamos un resumen muy operatvo acerca del programa nformátco Modellus para que los potencales usuaros lo conozcan y aprendan el uso del programa de una manera senclla. Por últmo presentamos cada uno de los contendos con un breve resumen teórco, el lstado de anmacones respectvas con una pequeña ntroduccón, una presentacón de muestra con su respectva explcacón. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU

2 PALABRAS CLAVE Ondas Electromagnétcas Frecuenca Perodo Longtud de onda Fase Velocdad de Fase Ondas Trdmensonales Planas Ondas Clíndrcas Ondas Esfércas Ecuacones de Maxwell Permeabldad Permtvdad Espectro Electromagnétco Colores Irradanca Extanca Comportamento Cuántco de la Luz Cuantos Gotas Energétcas Constante de Planck Vector de Propagacón Flujo Fotónco Índce de Refraccón Sustancas Ecuacones de Fresnel Reflectanca Transmtanca Ley de Snell Prncpo de De Fermat Longtud de Trayectora Óptca Reflexón y Refraccón de la Luz Frentes de Onda Fenómenos de Refraccón Propagacón ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU

3 Interfases Espejos Planos Campo Objeto Campo Imagen Reales Vrtuales Aumento Transversal Eje Óptco Objeto Espejos Esfércos Zona Paraxal Espejos Parabolodales Rayo Refraccón en Interfases Esfércas Dstanca Objeto Dstanca Imagen Convencón de Sgnos Superfces Refractoras Lentes Delgadas Smples Convergentes Dvergentes Centro Óptco Sstemas de Lentes Delgadas Lentes Gruesas Sstema Óptco Plano Prncpal Puntos Prncpales Sstema de Lentes Gruesas Prsmas y Fbras Óptcas Dspersón Velocdad de la Luz Sstemas Óptcos ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 3

4 Í N D I C E Certfcado..... Dedcatora.... Agradecmento Introduccón.. Descrpcón de cada tema. Introduccón a Modellus.... Presentacón. Ondas Armóncas Undmensonales Fase y Velocdad de Fase Ondas Trdmensonales Planas..... Otras Ondas Trdmensonales Ecuacones de Maxwell y Ondas Electromagnétcas.... El Espectro Electromagnétco Irradanca.... Comportamento Cuántco de la Luz. Índce de Refraccón... Las Ecuacones de Fresnel... El Prncpo de De Fermat.. Reflexón y Refraccón de la Luz.. Fenómenos de Refraccón. Espejos Planos. Espejos Esfércos... Refraccón en Interfases esfércas.. Lentes Delgadas Smples... Sstema de Lentes Delgadas. Lentes Gruesas. Sstema de Lentes Gruesas... Prsmas y Fbras Óptcas... Sstemas Óptcos. Conclusones. Recomendacones... Bblografía ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 4

5 UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ONDAS, ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Y ÓPTICA GEOMÉTRICA Tess preva a la obtencón del título de Lcencadas en Cencas de la Educacón en la especaldad de Matemátcas y Físca DIRECTOR: Dr. ALBERTO SANTIAGO AVECILLAS JARA AUTORAS: ZOILA ROSA SANTOS CHACHA VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU CUENCA-ECUADOR 0 ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 5

6 CERTIFICADO Nosotras, Zola Rosa Santos Chacha y Valera Yadra Snch Pacurucu, certfcamos que todo el contendo del presente trabajo es de exclusva responsabldad de las autoras..... ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 6

7 DEDICATORIA Prmero a Dos, por regalarnos la vda y permtrnos alcanzar una meta mas en nuestras vdas. A nuestros padres porque sempre estuveron presentes apoyándonos en todo momento de una u otra manera. Con toda la sncerdad y grattud a todos los maestros de la carrera de Matemátcas y Físca por su dedcacón y pacenca; de manera especal al Dr. Santago Avecllas que nos ha apoyado de una manera desnteresada para que en este momento este objetvo académco se cumpla. Gracas al apoyo ncondconal de todas estas personas, hoy nuestro sueño se hace realdad. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 7

8 AGRADECIMIENTO Ante todo queremos dar las gracas a Dos, por darnos la vda, pacenca y sabduría para cumplr con las metas que nos hemos propuesto a lo largo de nuestra corta vda, fortalecernos en los momentos dfícles, por habernos bendecdo con nuestras famlas, quenes nos apoyaron en todo momento para poder alcanzar este sueño. Además queremos dar gracas a todos los profesores por haber compartdo con nosotras sus conocmentos y experencas, las msmas que nos ayudaron a crecer como personas de ben, tambén queremos agradecer de manera especal al drector de nuestra tess, Dr. Santago Avecllas Jara, por su apoyo ncondconal, sus consejos y sugerencas desde el prmer día que ncamos nuestra carrera unverstara. Y fnalmente queremos agradecer a todos nuestros amgos de aula y compañeros de la especaldad, por haber compartdo con nosotras momentos úncos e nolvdables. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 8

9 INTRODUCCIÓN ONDAS, ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Y ÓPTICA GEOMÉTRICA CON MO- DELLUS es un proyecto que contene una guía ddáctca con un CD de anmacones, enfocado a los docentes del Área de Físca que tengan alcance al msmo, ya que la fnaldad de este proyecto es facltar la enseñanza de la Físca y atraer el nterés de los alumnos por la msma, de esta manera el proyecto servrá de ayuda para mejorar la educacón. Este proyecto busca desarrollar el nterés, capacdades y motrcdad del usuaro, ya que se ha vsto la necesdad de reforzar los conocmentos adqurdos en el aula con un materal tecnológco para lograr una mayor comprensón por parte del usuaro, por esta razón la utlzacón de recursos académcos adecuados, aun sn ser reales, sno vrtuales, ayudarán al conocmento y comprensón. Este proyecto es uno de los tantos recursos académcos vrtuales que brndan actvdades que atraen el nterés en las aulas, con sus anmacones conceptuales, ejerctatvas y lúdcas; además esta obra tene ncorporada una guía que srve como refuerzo con respecto a lo mostrado en estas anmacones. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 9

10 DESCRIPCIÓN DE CADA TEMA.. Ondas Armóncas Undmensonales: Este tema contene conceptos y modelos matemátcos correspondentes a las Ondas Electromagnétcas, además presenta ecuacones de los perodos espacales y temporales... Fase y Velocdad de Fase: Aquí podemos encontrar modelos matemátcos correspondentes a la rapdez del cambo de fase respecto al tempo y dstanca, además la velocdad de fase...3 Ondas Trdmensonales Planas: Abarca conceptos, característcas y modelos matemátcos, aquí tambén podemos encontrar la ecuacón dferencal de la Onda Trdmensonal, en coordenadas cartesanas, ntroducendo el operador Laplacano y la solucón general...4 Otras Ondas Trdmensonales: Aquí se muestra modelos matemátcos de las Ondas Clíndrcas, las Ondas Esfércas con sus respectvas solucón y su solucón general, además se muestra un caso especal que es la Onda Esférca Amónca...5 Ecuacones de Maxwell y Ondas Electromagnétcas: Este tema contene la tabla de las Ecuacones de Maxwell en funcón de los campos E o D y H o B, además, el concepto de Ondas Electromagnétcas y valores de permeabldad magnétca y permtvdad eléctrca del vaco...6 El Espectro Electromagnétco: Aquí se desarrolla cada una de las radacones del espectro electromagnétco con sus respectvas frecuenca, energía y longtud de onda, tambén se muestra la tabla de colores basado en la longtud de onda y la frecuenca...7 Irradanca: Abarca las característcas, propedades y modelos matemátcos de la onda que transmte energía y Momentum, además los conceptos de densdad de flujo radante y exctanca. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 0

11 ..8 Comportamento Cuántco de la Luz: Este tema muestra modelos matemátcos como la densdad volumétrca de energía y Momentum lneal, tambén se ndca el valor de la constante de Planck, y la presón de radacón cuando una onda electromagnétca ncde oblcuamente...9 Los Índces de Refraccón: Este tema abarca concepto, característcas y modelos matemátcos, además una tabla de los Índces de Refraccón de algunas sustancas en sóldos, líqudos, gases y vapores...0 Las Ecuacones de Fresnel: Aquí se plasma el concepto de reflectanca y transmtanca, así tambén los modelos matemátcos de la ampltud del coefcente de reflexón y transmsón, además podemos ver la aplcacón de la ley de Snell en algunos modelos matemátcos... El Prncpo de De Fermat: Engloba conceptos, característcas y modelos matemátcos para la antcpacón del comportamento de la luz, ponendo de manfesto la ecuacón de Longtud de Trayectora Óptca... Reflexón y Refraccón de la Luz: Este tema contene conceptos, característcas y ecuacones de las leyes báscas de la Reflexón y la Refraccón... Fenómenos de Refraccón: Contene modelos matemátcos y conceptos de las Imágenes por refraccón del ángulo límte o crítco...3 Espejos Planos: Este tema tene conceptos, modelos matemátcos, además se ndca las poscones del campo objeto, campo magen y la formacón de mágenes en los campos ndcado, además se ntroduce el concepto de aumento transversal...4 Espejos Esfércos: Aquí se muestran conceptos, característcas, modelos matemátcos y los trazos de los rayos prncpales para la construccón de mágenes en espejos esfércos y los parámetros para los msmos...5 Refraccón en Interfases Esfércas: Aquí se plasma los modelos matemátcos de la refraccón en nterfases esfércas, dstanca focal objeto e magen, además se muestra la tabla que contene la convencón de sgnos para superfces refractoras. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU

12 ..6 Lentes Delgadas Smples: Contene conceptos, modelos matemátcos, parámetros y característcas de las lentes delgadas smples, además se ndca el trazo de los tres rayos prncpales para la ubcacón, tamaño y orentacón de la magen formada por lentes delgadas...7 Sstemas de Lentes Delgadas: Abarca modelos matemátcos como el aumento transversal total de un sstema de lentes, dstanca focal anteror y posteror y las ecuacones para la potenca de una lente...8 Lentes Gruesas: Este tema contene conceptos, característcas, y modelos matemátcos de las lentes gruesas, además se muestra las ubcacones del plano prncpal y los puntos prncpales...9 Sstema de Lentes Gruesas: Aquí se muestra parámetros y la ecuacón de la dstanca focal que obedece al conveno de sgnos, tambén las ecuacones de los planos y puntos prncpales y la ecuacón del aumento transversal del sstema...0 Prsmas y Fbras Óptcas: Este tema ncluye conceptos, característcas, y modelos matemátcos de los prsmas y fbras óptcas, además se ndca la clasfcacón de los prsmas y la mportanca que ha alcanzado la fbra óptca... Sstemas Óptcas: En este tema se adjunta conceptos, característcas, modelos matemátcos y se muestran dferentes sstemas en los que se aplcan las lentes. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU

13 INTRODUCCIÓN A MODELLUS (Herramenta para la Modelzacón de Sstemas). Introduccón Modellus es una herramenta orentada a la smulacón y modelzacón de sstemas válda para el estudo de dversas materas dentro de los currícula de Educacón Secundara, Bachllerato y Formacón Profesonal. Sus autores la han concebdo como nstrumento de apoyo en el aula y con ese objetvo es que se explca su funconamento y uso para profesores y estudantes. Modelo matemátco Sabemos que los dversos fenómenos que se estudan en las materas del área de cencas pueden explcarse y representarse medante su modelo matemátco. Este modelo recogerá el comportamento del sstema tanto en su aspecto temporal (evolucón a lo largo del tempo) como en su aspecto puramente matemátco (cálculo de valores). Modellus está orentado a los modelos temporales de tal manera que con él se puede estudar el comportamento dnámco de los dstntos sstemas. Este comportamento se podrá estudar medante la smulacón en dstntos escenaros casos en cada uno de los cuales cada uno de los parámetros o constantes del modelo pueden ser modfcados. Tal sería el caso del estudo de la caída de un cuerpo en dstntos planetas del sstema solar con dstntas fuerzas de gravedad, o el comportamento de un muelle con dstntas constantes de elastcdad. La modelzacón de cualquer fenómeno o sstema se apoya en la observacón de los fenómenos que lo caracterzan, razón por la cual, en la medda que podamos reproducr esos fenómenos y expermentar con ellos, podremos comprender con más clardad el modelo. El estudo del modelo se realzará sempre en orden crecente de complejdad de tal forma que en una prmera fase se tendrán en cuenta los aspectos más relevantes para posterormente dervar haca un modelo más perfecto a través de un método de refnamento. Según lo defne uno de sus autores (V. D. Teodoro), Modellus es, bajo el punto de vsta computaconal, un mcromundo computaconal para estudantes y profesores a la vez, basado en un método de programacón en el que el usuaro escrbe en la Ventana de modelo. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 3

14 . Estructura Básca de Modellus. Modellus presenta un entorno muy amgable basado en una sere de ventanas, cada una de las cuales recoge o muestra una sere de nformacones muy concretas. En la fgura vemos una magen del entorno; las ecuacones matemátcas se escrben de la msma manera que lo haría en el papel. Por ser una aplcacón que trabaja en Wndows, aprovecha todas las ventajas del entorno y esto faclta su manejo. La versón que explcamos en este trabajo es la V:.0 de 000. Las ventanas permten la modfcacón de su tamaño y al actvarlas pasan a prmer plano colocando en segundo plano a las que estén dentro de su área; del msmo modo las ventanas se pueden mover dentro de la pantalla. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 4

15 Menú de Modellus: El menú que presenta el entorno consta de cnco opcones prncpales: Fchero Edtar Caso Ventana Ayuda Fchero: Con la opcón Fchero podemos realzar las sguentes operacones: Nuevo: Crear un nuevo modelo. Abrr: Leer un modelo del dsco (ya creado). Guardar: Guardar modelo en un fchero con el msmo nombre que tenga. Guardar Como: Grabar un fchero con el nombre que le queramos dar. Contraseña: Poner una clave al modelo de tal manera que no se puedan modfcar los datos de las ventanas de anmacón y modelo. Preferencas: Confgurar ubcacón de fcheros. Salr: Salr y abandonar el programa. Edtar: Permte las operacones de edcón comunes a cualquer herramenta. Anular: Anula la últma operacón de edcón realzada Cortar: Permte cortar el objeto selecconado y lo coloca en el portapapeles. Copar: Copa el objeto selecconado al portapapeles. Copar la Ventana: Copa todo el contendo de la ventana en la que estemos y lo deposta en el portapapeles. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 5

16 Caso: Esta opcón presenta dos posbldades: Adconar: Añade un caso en la ventana de condcones. Remover el últmo: Quta el últmo de los casos añaddos, téngase en cuenta que al menos debe exstr un caso en la ventana de condcones. Ventanas: Esta opcón presenta las sguentes accones encamnadas a la creacón de ventanas dentro del modelo. Nuevo Gráfco: Crea una nueva ventana de gráfco. Nueva Anmacón: Crea una nueva ventana de anmacón. Nueva Tabla: Crea una nueva ventana de tabla. Normal: Stúa las ventanas en la pantalla en modo normal Cascada: Stúa las ventanas en la pantalla en cascada. Organzar: Stúa las ventanas en pantalla de forma organzada. Control: Actvamos la ventana de control. Condcones Incales: Actvamos la ventana de condcones ncales. 3 Notas: Actvamos la ventana de notas. 4 Modelo: Actvamos la ventana de modelo. Las ventanas que se van creando aparecerán en esta opcón del menú con números consecutvos a partr del 4, téngase en cuenta que las ventanas,, 3 y 4 no se pueden elmnar. Ayuda: Muestra las opcones sguentes: Ayuda: Nos desplega la ventana de ayuda. Acerca de Modellus: Esta opcón nos presenta nformacón sobre el programa ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 6

17 Modellus está estructurado en torno a un conjunto de ventanas sobre las que se escrbe o se muestra la nformacón de los modelos que se pretenden smular. Las ventanas son las sguentes: Ventana de modelo. Ventana de condcones Ventana de anmacones Ventana de control Ventana de gráfcos Ventana de tablas A contnuacón se estudan estas ventanas, su utlzacón y contendos... VENTANA DE MODELO: Escrtura de las ecuacones del modelo. Para ncar el trabajo con Modellus, una vez arrancada la aplcacón, debemos r al menú Modelo (Nuevo) y de esta manera ncamos la creacón de un modelo nuevo. Lo prmero que debemos hacer es escrbr las ecuacones del modelo, y esto lo hacemos en la ventana de modelo que aparece en la fgura. A la hora de escrbr las ecuacones tenemos que hacerlo observando unas normas báscas en lo que se refere a la sntaxs. Estas normas son las sguentes: Sntaxs de los modelos: Modellus soporta ecuacones algebracas, dferencales e teratvas. Usted puede modelar ecuacones que van desde las relacones smples como las líneas rectas y parábolas a los conceptos más complejos como son las ecuacones de Van der Pol o de Lorentz. La entrada de un modelo en Modellus es cas como la escrtura de ecuacones matemátcas en el papel. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 7

18 .. VENTANA DE CONDICIONES Cuando se ha escrto el modelo en la correspondente ventana y se ha pulsado por prmera vez el botón nterpretar aparecerá la ventana de condcones que se encarga de recoger los valores de los parámetros y los valores ncales del modelo en forma de tabla formando parte del caso " que es el prmer caso de smulacón que Modellus crea por defecto. Los parámetros se podrán modfcar en esta msma ventana o tambén en la ventana de anmacón hacendo uso de algunos de sus objetos como veremos más adelante. Cada uno de los posbles casos, que nosotros podremos añadr en el estudo del modelo, no son otra cosa que dstntos escenaros para aplcar a las msmas ecuacones. Esto nos permtrá poder estudar el modelo cambando a nuestro gusto dstntos parámetros. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 8

19 S deseamos modfcar los parámetros desde la ventana de anmacón quedará nvaldado el valor del parámetro que se coloque en esta ventana. Cada uno de los casos que nosotros establezcamos en la smulacón tendrá la posbldad de verse en la ventana de anmacón ; bastará con selecconarlo de entre los que aparecerán señalados en la parte superor zquerda de la ventana, y esto ocurrrá en las ventanas de tabla y gráfco tenendo en cuenta que en la ventana de gráfco pueden coexstr los gráfcos de cada uno de los casos con el fn de poder ver las dstntas curvas superpuestas..3. VENTANA DE ANIMACIONES Una vez que hemos escrto las ecuacones del modelo, la sguente operacón será dseñar la ventana de anmacones en la que se realzarán las representacones gráfcas de aquellos valores que nos nterese ver. Esta ventana tene mucho nterés de cara a ser el nterface con el estudante ya que s se hace buen uso de todas sus posbldades encontraremos en ella una poderosa herramenta. En la fgura vemos la estructura de esta ventana de anmacón mostrando un ejemplo de movmento de un balón lanzado haca arrba. El tamaño y poscón de esta ventana, al gual que el resto, se puede modfcar colocando el puntero en los bordes y estrando haca dentro o haca fuera o mantenendo pulsado y movendo en el caso de cambar la poscón. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 9

20 En esta ventana se pueden colocar dstntos elementos gráfcos que se corresponden con los botones que aparecen en la parte superor. Cada uno de estos elementos se podrá asocar a las varables del modelo y realzar las funcones que correspondan a él de acuerdo a los parámetros que se hayan colocado en su ventana de parámetros asocada. Pasaremos a explcar cada uno de los elementos, así como sus ventanas asocadas. Los botones de la parte superor se usan para realzar medcones sobre las mágenes (GIF o BMP) o vdeos (AVI), que pueden colocarse en el fondo, usando el botón de fondo. El rayado (grd) puede mostrarse u ocultarse medante el botón. Pulsando sobre el botón de fondo puede defnr el espacado del grd y su color así como el color del fondo de la pantalla. A contnuacón se muestra una tabla en la que se puede dentfcar cada uno de los botones que representan un determnado objeto. Use esta herramenta....para añadr: Partícula Imagen, bola (partícula), rectángulo, o referenca. Vector Vector con o sn flecha resultante o componentes. Indcador de Nvel Horzontal o Vertcal. Meddor Analógco Aguja, reloj, o meddor crculo completo. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 0

21 Trazador Realza el trazado nteractvo de líneas o puntos. Meddor Dgtal Meddor dgtal, mostrado o no el nombre de la Varable. Importar magen Importa magen en formato BMP o GIF Texto Texto con el color, fuente, estlo y tamaño especfcables. Objeto Geométrco Líneas y fguras tales como círculos y polígonos..4. VENTANA DE CONTROL Una vez que hemos dseñado el modelo en la ventana Modelo y hemos colocado en la ventana anmacones los objetos, así como las condcones y las tablas y gráfcos que nos haya parecdo ben, se debe pasar a la fase de smulacón. En la fase de smulacón Modellus realzará los cálculos y mostrará los valores de la forma que hayamos prevsto. La ventana Control es la que permte el control del proceso de smulacón. Los botones de esta ventana srven para: Smular o detener la smulacón. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU

22 Termnar la smulacón. Rencar el modelo, r al prncpo sn perder los valores calculados. Saltar al últmo valor calculado del modelo. Repetr la smulacón del modelo. Lee el actual valor de la varable ndependente. Muestra el valor actual de la varable ndependente y chequea vsualmente el progreso de esta varable. Ir atrás o adelante un smple paso. Acceder a caja de dálogo Opcones :.5. VENTANA DE GRÁFICO Medante esta ventana podemos realzar representacones gráfcas en ejes de coordenadas (XY) de las varables que queramos y para los casos que hayamos defndo medante la opcón del menú Casos. En la fgura vemos la ventana de gráfcos y en ella se puede dstngur el área de representacón en donde se dbujan los gráfcos y a la zquerda aparecen las ventanas de las varables. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU

23 .6. VENTANA DE TABLA En numerosas aplcacones será necesaro realzar una tabla con los valores de las varables, esta posbldad nos la brnda la ventana de tabla que sencllamente permte la creacón de tablas con tantas varables como selecconemos en la ventana de la zquerda smplemente pulsando las teclas Control o Shft a la vez que señalamos con el ratón (tecla zquerda) sobre éstas..7. PROTECCIÓN DE LOS TRABAJOS Medante la opcón Contraseña dentro del menú de Fchero podremos consegur proteger el trabajo, de tal manera que a quen realce las smulacones solo le estará permtdo ver los resultados, pero nunca modfcar la ventana Modelo o la ventana Anmacón n podrá modfca n crear ventanas de gráfcos o tablas. Cuando actvamos por prmera vez ésta opcón aparece una ventana como la de la fgura en la que se nos pde el Password y la Confrmacón, es decr debemos escrbr dos veces, una en cada ventana, el password (clave). ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 3

24 PRESENTACIÓN A partr de este momento ncamos el estudo con Modellus de las subundades estructurales ONDAS, ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Y ÓPTICA GEOMÉTRICA, pertenecentes a la Óptca. Dcho estudo abarca el desarrollo de los vente y dos temas que fueron descrtos anterormente y cada uno de ellos contene: ) Logros de aprendzaje; ) Fundamentacón teórca, sus gráfcas en caso de haberlas y sus ecuacones matemátcas; 3) Problema modelo; 4) Evaluacón de logros, con las respuestas; 5) Lstado y descrpcón por grupos de las anmacones, y 6) Anmacón de muestra con su descrpcón. Es necesaro ndcar que la anmacón de muestra presentada en este trabajo de graduacón es sólo un ejemplo de anmacón por cada tema, puesto que todas las anmacones de las subundades menconadas se encuentran en el CD adjunto en formato DVD. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 4

25 .. ONDAS ARMÓNICAS UNIDIMENSIONALES ) LOGROS DE APRENDIZAJE: - Identfcar el modelo matemátco de una onda undmensonal y sus solucones armóncas. - Conocer las frecuencas y perodos de una Onda Armónca Undmensonal. 3- Resolver correctamente las actvdades planteadas. ) FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA: Una onda undmensonal es algún tpo de perturbacón de un campo escalar o vectoral que se desplaza con velocdad v a lo largo de una sola dreccón. Representaremos tal perturbacón con la letra (ps) y supondremos que el movmento ocurre a lo largo del eje X. En tal caso la ecuacón dferencal de la onda undmensonal es smplemente: x v t (...) cuyas solucones son funcones del argumento (x vt ), esto es, funcones de la forma: f (x vt ) y/o g (x vt ) de tal manera que las solucones generales tenen la estructura: x vt C gx vt C f (...) La ecuacón de onda tene, entre otras, solucones armóncas muy sencllas descrtas por una funcón seno, o coseno, o exponencal compleja, que representan las versones más smples de onda. Y aún para ondas de perfles no armóncos resultan váldas las solucones armóncas ya que: "Toda forma de onda se puede sntetzar como una superposcón de ondas armóncas". La solucón snusodal armónca de una onda tene la estructura: x;t ASenK x vt (...3) que es funcón de (x vt ). S en (...3) mantenemos constante x o t, la solucón se repte peródcamente cada vuelta, de tal manera que la onda es peródca tanto en el espaco como en el tempo. Por lo tanto, s aumentamos o dsmnumos a la ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 5

26 varable espacal x en una cantdad ±, llamada "período espacal" o "longtud de onda", (longtud necesara para que se forme un cclo completo de onda en un nstante dado), debe mantenerse nalterada. Así que la ecuacón (...3) se puede escrbr tambén en la forma: x;t ASenK x vt ASenK x vt ASen K x vt de donde K. Por consguente: K (...4) la cual representa la frecuenca cíclca espacal que se expresa en m. Análogamente, s aumentamos o dsmnumos a la varable temporal t en una cantdad ± P, llamada "período temporal", (tempo que le toma a una onda completa pasar frente a un observador estaconaro), debe mantenerse nalterada y la ecuacón (...3) se puede escrbr en la forma: x;t ASenK x vt ASenK x v t P ASen K x vt de donde KvP. Por consguente: P (...5) Kv v Ya que la frecuenca temporal f cumple con la relacón f /P, entonces de (...5) obtenemos: v f (...6) Hay otras dos cantdades muy utlzadas: la "frecuenca cíclca temporal",, y la frecuenca espacal o "número de onda",, defndas medante: y: f Kv P (...7) (...8) NOTA: S una onda comprende una sola frecuenca se dce que es "monocromátca". Utlzando las cantdades ya conocdas, la ecuacón (...3) se puede escrbr de las sguentes formas: ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 6

27 x t ASen P (...9) ASen x ft (...0) ASen Kx t (...) x ASen f t (...) v 3) PROBLEMAS MODELO: ) Una onda armónca en un hlo tene una ampltud de 0,05 m, una longtud de onda de,4 m, y una velocdad de 3,5 m/s. a) Determnar el período, la frecuenca temporal, la frecuenca cíclca temporal y el número de onda. b) Escrbr su funcón de onda tomando la dreccón +x como dreccón de propagacón de la onda. a) Ya que la velocdad de una onda armónca vene dada por,4 P 0,69 s v 3,5 P, el período es: v La frecuenca temporal: f. 5 Hz P 0,69 La frecuenca cíclca temporal: 9, rad/s P 0,69 El número de onda es: 0, 4,4 m b) Hacendo uso de la expresón x t ASen Kx t ; tenemos: x; t 0,05Sen,6x 9, t Como la varable x aparece en la expresón con sgno opuesto a la varable t, la onda se propaga en la dreccón + x. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 7

28 ) La funcón de una onda armónca que se mueve en una cuerda es x; t 0,03Sen,x 3, 5t En qué sentdo se propaga esta onda y cuál es su velocdad? La funcón de una onda es de la forma x t ASen Kx t que Kv, escrbr la funcón de onda en funcón de x vt. La onda vaja en el sentdo de - x x; t ASen Kx t y Kv, es decr x; t ASen Kx Kvt ASen Kx vt ;. Tenendo en cuenta Como la forma de la funcón de onda es x t ASen Kx t vale A, ω, y K, por lo que lo usaremos para calcular la velocdad: v K 3,5, ; sabemos cuánto,59 m/s 4) EVALUACIÓN DE LOGROS: a) Complete los sguentes enuncados: - Qué es una onda undmensonal? La expresón f (x - vt ) representa Escrba la estructura de la Solucón General de una onda armónca undmensonal: A que llamamos período temporal: Escrba Los modelos matemátcos de: Frecuenca Temporal Frecuenca Cíclca Frecuenca Espacal ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 8

29 6- Anote las 4 formas de escrbr la ecuacón x; t ASen Kx vt parámetros: conocendo sus b) Resuelva los sguentes problemas en su cuaderno de trabajo: - La ecuacón que representa la propagacón de una onda transversal en una cuerda es x; t 0,05Sen 0x 4 t x t ASen Kx t compare con la ecuacón ; y determne sus parámetros. Resp. a) 0,05 m b) 4π rad/s c) Hz d) 0,04 m/s e) + x - Una onda armónca en una cuerda vene dada por la expresón x; t 0,0068Sen,47x 4, 8t Cuáles son a) Su ampltud, b) su frecuenca cíclca temporal, c) su velocdad, d) su longtud de onda, e) su frecuenca, f) su perodo y h) su dreccón de propagacón. Resp. a) 0,0068 m. b) 4,8 rad/s c),84 m/s d) 4,7 m e) 0,665 Hz f),50 s h) + 3- S tene la foto de una onda para t = 0 cuya confguracón tene la forma z; 0 0Sen z /5. S la onda se mueve en la dreccón negatva del eje z a la velocdad de 8 m/s. Halle la expresón para la perturbacón correspondente a t = 5 s. 5 Resp. z; 5 0Sen z 40t 4- Escrbe la ecuacón de una onda armónca undmensonal de 0, m de ampltud que avanza en el sentdo negatvo del eje X con una velocdad de propagacón de 8 m/s, s la frecuenca es de 00 Hz. x t Resp. x; t 0,Sen 0,04 0,005 ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 9

30 5) LISTADO DE ANIMACIONES-DESCRIPCIÓN a) Conceptuales: Estas anmacones van enfocadas a manfestar los conceptos de las Ondas Armóncas Undmensonales, ncluyendo sus modelos matemátcos. OPC OPC OPC3 OPC4 b) Ejerctatvas: En estas anmacones usted podrá observar paso a paso la resolucón de dos ejerccos enfocados al tema estudado. OPE OPE c) Lúdcas: Estas dos anmacones permte que el usuaro a través de unos pequeños juegos tenga un repaso de todo lo que se ha vsto en las anmacones conceptuales y ejerctatvas consguendo reforzar todos los conocmentos adqurdos. OPL OPL ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 30

31 6) ANIMACIÓN DE MUESTRA: Descrpcón: La anmacón aquí plasmada es de tpo conceptual la cual ndca los conceptos de el período espacal y el período temporal y los modelos matemátcos de cada uno de ellos, además se ncluye la solucón armónca de la ecuacón de una onda y los modelos matemátcos de cada uno. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 3

32 .. FASE Y VELOCIDAD DE FASE ) LOGROS DE APRENDIZAJE: - Analzar los conceptos dados de acuerdo al tema. - Aplcar estos conceptos en la resolucón de las actvdades. 3- Trabajar mancomunadamente en grupo. ) FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA: El argumento completo de la funcón seno, coseno o exponencal compleja de la solucón de una onda, tal como la ecuacón (...) se llama "fase" de la onda: Kx t que realmente es un caso especal y ocurre cuando 0; 0 0, esto es, cuando x t 0. Sn embargo, de manera más general, la ecuacón (...) se puede escrbr en la forma: x; t ASen Kx t en donde es la fase ncal; por lo tanto la fase de la onda es: Kx t (...) La rapdez del cambo de la fase con el tempo, mantenendo x constante es: t x La rapdez del cambo de la fase con la dstanca, mantenendo t constante es: x t K Utlzando el teorema de la cclcdad de la teoría de dervadas parcales tenemos: x t t x x t K ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 3

33 x t v (...) Ésta es la rapdez con la cual el perfl se mueve y se conoce como la "velocdad de fase". 3) PROBLEMAS MODELO: ) Una frecuenca de 440 Hz se desplaza en el sentdo postvo de las x. Calcule a) Cuánto vara su fase en un tempo de 0,03 s?. b) La dferenca de fase en grados entre dos puntos separados 4,4 cm. a) En t 0 y t 0, 03 s tenemos: t t Por lo que: Kx t t t f t t Kx t 4400,03 0 8,938 3 cclos b) Tenemos un x conocendo que Combnamos y obtenemos: x t y t v x x v 0,35 0º f 0, v 345 ) La ecuacón de una onda es y 0,0Cos 4t x metros y t en segundos. Halle la fase ncal de esta onda. estando y & x expresadas en La ecuacón de una onda que se propaga en dreccón postva del eje X es: x; t ASen Kx t Por trgonometría decmos que: Cos y 0,0Cos 4 t x y 0,0Cos x 4 t Cos por lo tanto tenemos: ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 33

34 En trgonometría por comparacón tenemos: y 0,0Cos x 4 t Cos Sen obtenendo: Por comparacón tenemos que: rad 4) EVALUACIÓN DE LOGROS: a) Complete los sguentes enuncados: - A que llamamos fase Qué representa? Escrba el modelo matemátco de la fase: 4- Descrba el sguente modelo matemátco K x :..... t 5- Escrba la ecuacón de la velocdad de fase: b) Resuelva los sguentes problemas en su cuaderno de trabajo: - Un foco puntual realza un movmento peródco representado por la ecuacón y 4Cos x t. Determne a) La dferenca de fase para dos poscones de la 40 6 msma partícula cuando el ntervalo de tempo transcurrdo es s. b) La dferenca de fase en un nstante dado de dos partículas separadas 0 cm. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 34

35 Resp. a) 30º b) 3º - Una onda snusodal que vaja en la dreccón postva x tene una ampltud de 5 cm, el desplazamento de la onda en t = 0 y x = 0 es 5 cm. Determne la fase ncal en radanes. Resp. a) rad 3- La velocdad de propagacón de la onda es de 330 m/s y su frecuenca es 000 Hz. Calcule a) La dferenca de fase para dos poscones de una msma partícula que se presenta en ntervalos de tempo separados de 0,0005 s. b) La dferenca de fase en un determnado nstante entres dos partículas que dstan entre sí,75 cm. Resp. a) rad b) 6 rad 4- Las ecuacones de dos ondas dadas por: y ( x; t) 4Sen 0,5 x4t y ( x; t) 6Sen 4 x 5 t. Calcule en cada caso la velocdad de fase. & Resp. a) 8 m/s b) 5 m/s 4 ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 35

36 5) LISTADO DE ANIMACIONES-DESCRIPCIÓN a) Conceptuales: Estas anmacones manfestan los conceptos de la Fase y Velocdad de Fase con sus modelos matemátcos respectvos. OPC OPC b) Ejerctatvas: Aquí se ha plasmado dos ejerccos aplcando los conceptos y los modelos matemátcos estudados anterormente, se podrá observar paso a paso la resolucón de los msmos. OPE OPE c) Lúdca: En esta anmacón se reforzara todos los conocmentos vstos medante un pequeño juego nteractvo en el que podrá poner a prueba lo estudado. OPL ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 36

37 6) ANIMACIÓN DE MUESTRA: Descrpcón: Esta anmacón nos muestra claramente la resolucón de un ejercco, en el que podremos aplcar los conceptos y modelos matemátcos de fase y velocdad de fase ya estudados, además podremos leer la conclusón a la que llegamos al termnar nuestra resolucón. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 37

38 ..3 ONDAS TRIDIMENSIONALES PLANAS ) LOGROS DE APRENDIZAJE: - Demostrar que los modelos matemátcos están de acuerdo a la realdad físca analzada. - Exponer gráfcos de una stuacón donde se aplca lo estudado. 3- Aplcar lo estudado para resolver las actvdades propuestas. ) FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA: La onda plana es el ejemplo más smple de una onda trdmensonal. Se la puede vsualzar como un conjunto nfnto de planos paralelos muy próxmos entre sí, que a la vez son perpendculares a la dreccón de propagacón de la onda que es rectlínea. De este modo cada plano tene asocado un valor concreto, pero nstantáneo, de perturbacón (r; t ). La expresón matemátca vectoral para un plano perpendcular a un vector dado K que pasa por un punto x 0 ; y0; z0, fgura..3., es: r r K o K r a constante 0 0 F g u r a.. 3. Recordemos que el plano es el lugar geométrco de todos los puntos, cuyos vectores poscón proyectados sobre la dreccón K dan el vector constante r K. Podemos construr un conjunto de planos sobre los cuales (r armóncamente según: r ASen K r (a) r ACos K r (b) ( r ) r Ae K (c) ) varía ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 38

39 Para cada una de estas expresones, (r ) es constante sobre toda la extensón geométrca del plano defndo por la expresón K r const ante. Ya que estamos manejando funcones armóncas, éstas se deben repetr a sí msmas en el espaco tras desplazamentos en la dreccón del vector K. La fgura..3. es una representacón de esta cuestón. La naturaleza espacalmente repettva de estas funcones armóncas se puede expresar medante: r r u K K en donde u K es el vector untaro en la dreccón K. Entonces, utlzando la K forma exponencal, ecuacón (c), se tene: ( K r ) K ( r uk ) ( K r ) K Ae Ae Ae e K Pero para que esto sea certo debe cumplrse que e e, lo cual es efectvamente así, de tal manera que K y por lo msmo K. El vector K, cuya magntud K es la conocda frecuenca cíclca espacal, se llama con justa razón "vector de propagacón", puesto que la onda avanza en la dreccón de K. F g u r a.. 3. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 39

40 En cualquer punto fjo del espaco, en donde r es constante, la fase y (r ) tambén lo son, de modo que los planos están nmóvles y no corresponden a nnguna perturbacón u onda. Para ponerlos en movmento debemos nclur la dependenca temporal en la forma: ( K r t ) r; t Ae (..3.) De este modo se obtene al fn una "onda" movéndose con velocdad v magntud es: dr K v dt K cuya La solucón armónca de la onda plana se escrbe en coordenadas cartesanas como: o: x; y; z; t ( Kx x Ky y Kz z t ) Ae (..3.) K ( Cos x Cos y Cos z vt) x; y; z; t Ae (..3.3) en donde Cos, Cos y Cos son los cosenos drectores de K. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ONDA TRIDIMENSIONAL La ecuacón dferencal de la onda trdmensonal en coordenadas cartesanas tene la forma: x y z v t (..3.4) en donde x, y, z aparecen en forma smétrca. Introducendo el operador laplacano: lap x y z la ecuacón anteror se converte en: lap (..3.5) v t ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 40

41 cuyas solucones son funcones de las sguentes formas: x; y; z t f Cos x Cos y Cos z vt ; x; y; z t g Cos x Cos y Cos z vt ; y cuya solucón general es de la forma: r; t C f r u vt C g r u vt K (..3.6) K en donde C y C son constantes arbtraras. F g u r a ) PROBLEMA MODELO: ) Conocendo que K r constante tene un plano en K y pasa por el punto x 0 ; y0 ; z0. Determne la forma de la constante y escrba la funcón de onda armónca en coordenadas cartesanas. La expresón matemátca vectoral para un plano perpendcular es: r r K 0 0 Sustturemos por sus equvalentes: x x y y j z z k K K o o o x y j Kzk 0 x x K y y K z z K 0 xk x o x yk y zk z o x o y K x y o K o y z z o K z ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 4

42 Sabendo que K r K ro es constante tenemos: r; t ASen K r t Obtenendo en coordenadas cartesanas: x; y; z; t ASen xk yk zk t x y z 4) EVALUACIÓN DE LOGROS: a) Complete los sguentes enuncados: - Cómo se puede vsualzar a una onda trdmensonal plana? Qué representa r r K 0 0? Escrba los tres planos sobre los cuales r varía armóncamente: La ecuacón K representa: Escrbr la solucón armónca de la onda plana en coordenadas cartesanas: Cuál es la forma de la ecuacón dferencal de una onda trdmensonal en coordenadas cartesanas:.. b) Resuelva los sguentes problemas en su cuaderno de trabajo: - Una onda armónca plana de longtud que se propaga con velocdad v en la dreccón dada por el vector j/ 3 en coordenadas cartesanas. Hallar la expresón para la funcón de onda. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 4

43 K ASen x 3 K y t 3 Resp. r; t - Halle la dreccón de propagacón de la onda 5K 8K 3K ; x y; z; t ASen x y z t Resp. K j 3 k 8 3- Halle la expresón de una onda plana armónca para la cual K / y 5 3 j 8k u K. 64 Resp. r; t ASen 5x 3y 8z t ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 43

44 5) LISTADO DE ANIMACIONES-DESCRIPCIÓN a) Conceptuales: Estas anmacones nos muestran los conceptos relaconados con las Ondas Trdmensonales Planas además de los modelos matemátcos. Dentro de estas anmacones tambén podremos encontrar la Ecuacón dferencal de la onda trdmensonal con su respectva explcacón. OP3C OP3C OP3C3 OP3C4 OP3C4 b) Ejerctatvas: En estas anmacones encontraremos dos ejerccos modelos relaconado con el tema, resueltos paso a paso, además podrá observar la aplcacón de los modelos matemátcos en la resolucón de problemas. OP3E OP3E c) Lúdca: Esta anmacón está enfocada a un juego nteractvo en el cual podrá reforzar los conocmentos adqurdos, de una manera práctca y dvertda. OP3L ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 44

45 6) ANIMACIÓN DE MUESTRA: Descrpcón: Esta anmacón de de tpo Lúdca, donde el usuaro pude reforzar lo aprenddo de una manera dvertda, este juego consste en llevar cada membro de la famla Smpson con su concepto a la ecuacón correspondente, después de haber transcurrdo 0 segundos, saldrá las respuestas correctas. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 45

46 ..4 OTRAS ONDAS TRIDIMENSIONALES ) LOGROS DE APRENDIZAJE: - Analzar los modelos matemátcos correspondente a las Ondas Clíndrcas y Ondas Esfércas. - Realzar gráfcos de una Onda Clíndrca y una Onda Esférca. 3- Resolver las actvdades planteadas. ) FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA: ONDAS CILÍNDRICAS lap El laplacano de en coordenadas clíndrcas es: R R R R R z Puesto que vamos a tratar con ondas que tenen smetría clíndrca, desaparecen las dependencas con respecto a y a z, de modo que la forma que adopta la ecuacón de onda es smplemente: R R R R v t (..4.) que es una expresón partcular de la ecuacón dferencal de Bessel. Para ondas armóncas, las solucones asntótcas, esto es para grandes valores de R, toman la forma: A K ( R vt ) R; t e (..4.) R o: A R; t Sen K R vt (..4.3) R en donde A representa la ampltud de la onda medda a m de dstanca de la ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 46

47 fuente lneal. Las ecuacones anterores representan un conjunto de clndros crculares coaxales que llenan el espaco y que vajan haca una fuente lneal nfnta o se alejan de ella. Una onda plana que ncde sobre una pantalla que tene una rendja angosta y larga producrá en el otro lado un tren de ondas clíndrcas, como se ve en la fgura..4.. F g u r a.. 4. ONDAS ESFÉRICAS Consderemos una fuente puntual deal de ondas. La radacón que emana de ella fluye radalmente haca afuera, unformemente en todas dreccones. Se dce que la fuente es sotrópca cuando los frentes de onda son esferas concéntrcas con dámetros crecentes que se expanden en el espaco que las rodea. La smetría de los frentes de onda sugere utlzar el laplacano en coordenadas esfércas; esto es: lap r r r r r Sen Sen r Sen Puesto que estamos tratando con ondas con smetría esférca, las dependencas de y de desaparecen y el laplacano se reduce a: lap r r r r r r r Este resultado se puede expresar tambén en la forma: r lap r r con lo que la ecuacón dferencal de onda se puede escrbr como: r r r v t y, fnalmente, multplcando ambos lados por r tenemos: ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 47

48 r r r v t (..4.4) cuyas solucones son de las formas: f r vt r; t r y: g r vt r; t r La solucón general es: C C r; t f r vt g r vt (..4.5) r r Un caso especal es la onda esférca armónca que se expresa medante: A A K ( r vt ) r; t Sen K r vt e (..4.6) r r en donde A es la "ampltud de la onda" medda a m de dstanca de la fuente puntual. Para cualquer valor fjo del tempo, esto representa una agrupacón de esferas concéntrcas que llenan el espaco, y cuyos frentes de onda están dados por Kr constante. La ampltud de cualquer onda esférca es funcón de r, que hace las veces de atenuador de la ampltud, lo cual es una consecuenca drecta de la ley de conservacón de la energía. 3) PROBLEMA MODELO: ) Determne los parámetros correspondentes a la onda: 0,05 r ; t Sen 50r 750t /3. r Identfquemos los valores propuestos en nuestra ecuacón sendo estos: ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 48

49 Ampltud: Frecuenca Cíclca temporal: 0,05 m 750 rad/s Frecuenca Cíclca espacal: 50 m En base a estos datos seguremos encontrando los parámetros que faltan: Frecuenca Temporal: f Hz Frecuenca Espacal: K 50 5 K Perodo Temporal: P s Perodo espacal: K 50 5 Velocdad de la onda: v 3m/s KP 50( ) 375 Fase ncal: 3 La dreccón de propagacón de esta onda es +r. 4) EVALUACIÓN DE LOGROS: a) Complete los sguentes enuncados: - A la ecuacón R R R R es una expresón partcular de:.... v t.. - Manfeste otras dos ondas trdmensonales:.. 3- Cuáles son las solucones asntótcas para grandes valores de R?. 4- A que llamamos ondas esfércas:..... ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 49

50 5- La solucón general de una onda esférca es: b) Resuelva los sguentes problemas en su cuaderno de trabajo: - Escrba la ecuacón de una onda esférca de ampltud 3 y cuyos períodos son 0,4 m & 0,04 s. 3 r Resp. r; t Sen 5 r 50 t - Determne los parámetros correspondentes a la onda 0,3 R ; t) Sen 4R 0t /4. R 55 7 Resp. a) 0,3 m b) 0 rad/s c) 4 m d) e) f) g) 55 7 h) 7,85 m/s ) 4 j) +R 3- Encuentre la ecuacón de una onda clíndrca de ampltud 5 y cuyo perodo es 0,8 m y su velocdad 3 m/s. 5. R Resp. R; t Sen,5 R 7, 5 t ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 50

51 5) LISTADO DE ANIMACIONES-DESCRIPCIÓN a) Conceptuales: En estas anmacones se puede encontrar los conceptos, modelos matemátcos y gráfcos que explcan claramente lo que es un Onda Clíndrca y una Onda Esférca. OP4C OP4C OP4C3 b) Ejerctatvas: Estas dos anmacones contene la resolucón de dos ejerccos, donde se resuelve paso a paso y además se aplca los modelos matemátcos necesaros. OP4E OP4E c) Lúdca: En esta anmacón se reforzara todos los conocmentos vstos medante un pequeño juego nteractvo en el que podrá poner a prueba lo estudado. OP4L ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 5

52 6) ANIMACIÓN DE MUESTRA: Descrpcón: Esta anmacón es de tpo conceptual, se puede observar los conceptos relaconados a una Onda clíndrca tambén se encuentra sus modelos matemátcos y un gráfco de muestra para reforzar el concepto. ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 5

53 ..5 ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS ) LOGROS DE APRENDIZAJE: - Examnar las ecuacones de Maxwell y los conceptos relaconados con ondas electromagnétcas. - Analzar las ecuacones de Maxwell escrtas en forma dferencal y componentes cartesanas. 3- Introducr lo aprenddo para la resolucón de las actvdades propuestas. ) FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA: Llamamos ecuacones de Maxwell a un sstema de cuatro ecuacones del Electromagnetsmo. En el vacío o espaco lbre y en funcón de los campos E o D y H o B, dchas ecuacones son: E C U A C I O N E S D E M A X W E L L rot E 0 H t B t D rot B 0 t 0 0 E t dv E dv D 0 dv B dv H 0 Sn embargo, estas ecuacones nos serán mucho más útles escrtas en forma dferencal y en componentes cartesanas: Ez y E y z B t x H x 0 (a) t E z x Ez x By t H y 0 (b) t E y x E y x Bz t H z 0 (c) t ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 53

54 ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 54 t E z B y B x y z 0 0 (d) t E x B z B y z x 0 0 (e) t E y B x B z x y 0 0 (f) 0 z E y E x E z y x (g) 0 z B y B x B z y x (h) en donde H/m 7 E 4 0 y F/m E 8,85 0 son la permeabldad magnétca y permtvdad eléctrca del vacío. Llamamos ondas electromagnétcas a las perturbacones del campo electromagnétco que se propagan en el espaco. La afrmacón de la exstenca de las ondas electromagnétcas es una consecuenca drecta de las ecuacones de Maxwell, quen demostró que cada componente del campo eléctrco y magnétco obedece a la ecuacón de una onda. Por ejemplo, la componente en X del campo eléctrco, x E, cumple con la expresón: 0 0 t E z E y E x E x x x x la cual es una ecuacón de una onda en partcular, pues se asemeja, en su estructura, a la ecuacón dferencal: t v z y x que es la forma general de la ecuacón de onda. Entonces, por smple comparacón vemos que: x E y s m E v / 8 3 / 0 0, valor que será en adelante representado por c (velocdad de la luz en el vacío). Con esto se concluye que la luz es un caso partcular de onda electromagnétca.

55 3) PROBLEMA MODELO: ) Demuestre por dferencacón drecta que E ( z; t) dada por E E E( z; t) E 0 Cos Kz t es una solucón de la ecuacón de onda 00. z t La solucón posble para este campo está dado por: E( z; t) E 0 Cos Kz t donde K la ecuacón de la onda undmensonal se expresa por: E z E 00 (a) t La prmera y la segunda dervadas parcales del campo con respecto a z están dadas por: E E0 K Sen ( Kz t) z y E E z 0 K Cos ( Kz t) De gual manera la prmera y segunda dervadas parcales del campo con respecto al tempo están dadas por: E E0 Sen ( Kz t) t y E E0 Cos ( Kz t) t Reemplazando () y () en la ecuacón dferencal (a) tenemos: E 0 K t Cos ( Kz t) E Cos ( Kz ) () () Smplfcando: K E K f f 0 0 ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 55

56 c 0 0 c 00 Como el resultado es correcto la solucón posble de E z; t) E Cos Kz t E E solucón de la ecuacón dferencal 00. z t ( es 0 4) EVALUACIÓN DE LOGROS: a) Complete los sguentes enuncados: - Llamamos ecuacones de Maxwell a......en el espaco lbre en funcón de Escrbr los sguentes modelos matemátcos: rot E dv B 3- Una correctamente: E E z y y z Ex Ez z x E y x Ex y B B z y y z Bx Bz z x B y x B y x B z t 0 0 t B x B y t E y t E z t t E x 4- El símbolo y el valor de la permeabldad magnétca y de la permtvdad eléctrca del vacío es: ZOILA ROSA SANTOS CHACHA & VALERIA YADIRA SINCHI PACURUCU 56