Introducción. Objetivos de aprendizaje

Transcripción

1 Comunic informción por medio de expresiones lgerics Construcción de expresiones lgerics equivlentes l hllr áres o volúmenes Introducción Figur 1. Tpetes Ojetivos de prendizje Identificr l posiilidd de expresr el áre o volumen de figurs con expresiones lgerics equivlentes. Reconocer lgunos csos de fctorizción prtir de l medición del áre de cudrdos conformdos por rectángulos de menor áre. Reconocer lgunos csos de fctorizción prtir de l medición del áre de rectángulos conformdos por rectángulos de menor áre. Reconocer lgunos csos de fctorizción prtir de l medición del áre de rectángulos conformdos por rectángulos que tienen un ldo en común. Reconocer lgunos csos de fctorizción prtir de l medición del volumen de cuos con expresiones lgerics equivlentes. 1

2 Actividd 1 Hllndo el áre de un cudrdo prtir de l unión de figurs más pequeñs Antes de inicir est ctividd responde lo siguiente: En est ctividd desrrollremos el concepto de SUMA de un inomio l cudrdo (+) 2 prtir de vrios procesos. Ejercicio 1 ) Clcul el áre de ls siguientes figurs, con se en ls medids dds. Áre= Áre= Áre= Áre= Figur 2.Cudros y rectángulos ) Oserv l siguiente situción y reliz los cálculos que se solicitn: Jun como y tienes csi 14 ños, tendrás un curto pr ti solo, qué te prece? Pero dees clculr el áre del curto pr colocrle un tpete de igul medid Grcis mmá! Y lo necesit Hitción R/ Figur 3. Mdre e hijo Figur 4. Curto 2

3 c) Pero como esto incrementrá el áre del curto, dees clculr l nuev áre de l hitción iliotec Ahor pr que tengs donde estudir, le gregremos más espcio tu curto pr construir un iliotec Es genil mmá Hitción R/ Figur 5. Mdre e hijo 2 Figur 6. Curto con iliotec d) Jun pr terminr tu hitción, Qué te prece si le construimos un ño y un pequeño vestier tu curto? Eso es un uen ide pero dees hcerlo primero dicionándole el áre del ño y cundo tengs list l nuev medid,le gregs el áre del vestier Eso serí mrvilloso... Pero deo medir l nuev áre que tendrá mi curto con el ño y el vestier? Figur 7. Mdre e hijo 3 3

4 iliotec iliotec Vestier Bño Bño Hitción Hitción R/ R/ Figur 8. Curto con ño Figur 9. Curto con vestier e) Si el curto completo de Jun tiene l siguiente form y medids, responde: Figur 10. Curto somredo 1. Teniendo en cuent l gráfic Cuál es l expresión lgeric que represent l medid del ldo del cudrdo? 2. Semos que el áre de un cudrdo es igul l cudrdo de l medid de un ldo, que en este cso equivle : 3. Si el áre del cudrdo tmién se puede clculr multiplicndo el producto de l medid de l se por l medid de l ltur, cuál es l medid del áre del cudrdo plicndo l firmción nterior? 4

5 Reliz quí tus cálculos 4. Según lo nterior, qué puedes concluir con respecto ls expresiones: (+) 2 ; (+) (+) ; Ejercicio 2 ) De cuerdo lo que relizste en el ejercicio 1, reliz ls siguientes operciones y después responde: (s+m) 2 =(s+m) (s+m) = = (y+z) 2 = (y+z) (y+z)= = Ahor responde: 1. Qué crcterístics tienen en común ls dos respuests nteriores y el áre del cudrdo de ldo (+) clculd en el ejercicio 1? 5

6 2. Si sdos en ls respuests de los productos nteriores, podemos concluir que si: (+) 2 = término El dole de... Complet l siguiente orción: Entonces l sum de un inomio l cudrdo (+) 2 es igul : El cudrdo del término más el del producto del término por el más el del término. El proceso de desrrollo del inomio es válido pr culquier sum de dos cntiddes l cudrdo. Vemos un ejemplo numérico: si le dmos un vlor =2 =3 Si resolvemos l expresión: (2+3) 2 plicndo el procedimiento nterior otenemos: (2) (3) = = 25 Not: En el álger pr estos productos trjmos con términos no semejntes. Por lo cul no podemos relizr sums directs como en el contexto numérico Pr demostrr que este resultdo es correcto, resolvmos l nterior expresión sumndo primero los dos números que están entre préntesis y luego plicndo el cudrdo dich sum. (2+3) 2 = 5 2 = 25 Como puedes ver, el resultdo es el mismo. ) Hll l expresión lgeric finl que represent el áre del siguiente cudrdo. 2 3x R/ 6

7 Actividd 2 Hllndo el áre de un cudrdo de ldo (-) 2 En est ctividd desrrollremos el concepto de rest de un Binomio l cudrdo ( - ) 2, prtir de los siguientes ejercicios: Ejercicio 1 ) Si tu hitción tiene ls siguiente distriución y medids, responde: iliotec Bño Hitción Figur 11. Hitción con divisiones Vestier 1. Cuál es el áre totl de l hitción? 2. Cuáles son ls medids y el áre de cd un de ls prtes de l hitción? Slón Ldos:, Áre: Biliotec Ldos:, Áre: Bño Ldos:, Áre: Vestier Ldos:, Áre: 7

8 ) Pero deido l ncimiento de tu hermno se presentn ls siguientes situciones: ) Si tu curto le dee suprimir el vestier y l iliotec, clcul el áre del slón. Pr ello prte del áre totl de l hitción y réstle ls áres suprimids (present el proceso). ) Si demás del vestier y l iliotec, se suprime el ño, clcul el áre del slón. Pr ello prte del áre totl de l hitción y réstle ls áres suprimids (present el proceso). R/ R/ Figur 12. Hitción 2 Figur 13. Hitción 3 Reliz ls operciones correspondientes 8

9 c) Por lo tnto el áre de (-) 2 = Ejercicio 2 Figur 14. Rectángulo ) Ahor sí semos que el áre de un cudrdo, tmién l podemos expresr como el producto de l medid de l se por l medid de l ltur. Resuelve: (-) (-) = = (m-n)(m-n) = = o (p-q)(p-q) = = 1. Qué crcterístics tienen en común ls respuests de los productos (m n)(m n) y (p q) (p- q) y el áre del cudrdo de ldo ( - )? 9

10 2. Si sdos en ls respuests de los productos nteriores, podemos concluir que si: (-) 2 = Complet l siguiente orción: 1 2 término El dole de... L rest de un inomio l cudrdo ( - ) 2 es igul (complet l orción): El cudrdo del término menos el del producto del término por el del término. El proceso de desrrollo del inomio es válido pr culquier rest de dos cntiddes l cudrdo. Vemos un ejemplo: Si resolvemos l expresión: (5-4) 2 plicndo el procedimiento nterior otenemos: (5) (4) = = 1 Pr demostrr que este resultdo es correcto, resolvmos l nterior expresión restndo primero los dos números que están entre préntesis, y luego plicndo el cudrdo dich sum, sí: (5-4) 2 = 1 2 = 1 Como puedes ver, el resultdo es el mismo. Not: En el álger pr estos productos trjmos con términos no semejntes. Por lo cul no podemos relizr sums directs como en el contexto numérico. Actividd 3 Resuelve por simple inspección (+) (-) Resolver por simple inspección, consiste en llegr l resultdo sin hcer todos los procesos de multiplicción y sum que usulmente se hcín Figur 15. Rectángulo sudividido 10

11 Ejercicio 1 ) De cuerdo l siguiente figur y sus medids, determin: Rectángulo generl Rectángulo A Ldos:, Áre: Figur 16. Rectángulo A Ldos:, Áre: Figur 17. Rectángulo Hll el áre del rectángulo A teniendo en cuent ls 2 áres nteriores Ldos:, Áre: 11

12 Ejercicio 2 ) Si el rectángulo generl lo dividimos de l siguientes form, define: El áre del cudrdo somredo Figur 18. Rectángulo y cudrdo somredo 1 ) Si le soreponemos el cudrdo de ldo en el cudrdo de ldo, como lo indic l flech, define: Figur 19.Cudrdo incompleto 2 El áre del cudrdo de ldo es El áre del cudrdo de ldo es El áre de l prte somred se puede expresr como Cómo son ls áres de l prte somred de l figur 2 y el áre de l figur del ejercicio 3.1, cuyos ldos son ( + ) y (-) 12

13 De cuerdo l respuest nterior, ( + ) ( ): es igul : c) Ahor, si trsldmos el rectángulo demrcdo con guiones en el cudrdo de ldo, l espcio del rectángulo puntedo de ldo, como lo indic l flech, otenemos el rectángulo 4. Figur 20. Rectángulo demrcdo 3 4 Figur 21. Rectángulo demrcdo Otenemos que el áre somred de ls figurs 3 y 4 son igules, es decir que: es = : c) Relicemos otros productos con ls misms crcterístics de (+) (-), sí: (x+y) (x-y)= = (p-q)(p+q) = = De cuerdo l desrrollo nterior, responde: 1. Qué crcterístics tienen en común ls respuests de los productos (x + y)(x y) y (p q)(p + q) y el áre del rectángulo de ldos (+) (-) del ejercicio 3.1? 2. Si sándonos en ls respuests de los productos nteriores, podemos concluir que si: (+)(-) = 2 2 si: Primer Cntidd Segund Cntidd 13

14 Complet l siguiente orción: El producto de l sum de dos cntiddes por l rest de ess misms cntiddes, es decir ( + ) ( ), es igul : El cudrdo de l cntidd el de l cntidd. El proceso nterior es válido pr culquier producto de l sum de dos cntiddes, por l rest de ls misms cntiddes. Vemos un ejemplo plicdo l contexto numérico pr comprorlo: si decimos que = 5 y = 2 remplcemos estos vlores en el producto. Pr resolver el producto (5 + 2) (5 2), si plicmos el procedimiento nterior tendrímos como respuest que: (5 + 2) (5 2) = = 25 4 = 21 Ahor si resolvemos el producto de mner más simple, es decir, resolviendo ls operciones que se presentn dentro de los préntesis y después multiplicmos, tenemos: 7 3 = 21 Lo nterior comprue l vlidez del procedimiento, y que mos resultdos son igules. Not: En el álger pr estos productos trjmos con términos no semejntes. Por lo cul no podemos relizr sums directs como en el contexto numérico. Ejercicio 3 Ahor por simple inspección, reliz el siguiente emprejmiento, relcionndo con un flech cd expresión lgeric de l derech con l expresión equivlente de l izquierd. Expresión lgeric Expresión equivlente. ( 5x+3y) (5x-3y) (2+3) (2-3) 4-16 c (4+3) (4-3) 25x 2 9y 2 d ( 2-4) ( 2 +4)

15 Actividd 4 Solucion por simple inspección productos de l form (x+) (x+) Ejercicio 3 Un gndero compr uno uno 4 lotes que tienen ls siguientes medids. X Lote 3 Lote 1 X Lote 2 X X Lote 4 Figur 22. Lotes Los lotes están uicdos uno l ldo del otro, de tl form que juntos conformn un rectángulo. Como los lotes se dquieren uno uno, determin el áre del terreno que dquiere el gndero cd vez que dquiere un nuevo lote Cuál es el áre del lote 1? Áre= Hoy se dquirió el lote 2. Determin cul es el áre que sumn el lote 1 y 2? x x Figur 23. Lote 2 15

16 Lote 1 Lote 2 Áre= Hoy se compró el tercer lote. Sum el áre que mide este, l terreno que se tení con los lotes 1 y 2. Lote 3 Lote 1 Lote 2 X Áre= Figur 23. Lote 3 Por último se compró el tercer lote. Sum su áre l terreno que se tení con los lotes 1, 2 y 3 Lote 3 Lote 4 Áre= Lote 1 Lote 2 Figur 24.Lote 4 Reliz quí tus cálculos 16

17 Ejercicio 2 Como l Alcldí piens que el cálculo que hicimos del áre de tod l propiedd, sumndo ls áres de todos los lotes, está ml, dees clculrl nuevmente usndo l fórmul pr clculr el áre de un rectángulo. x x Figur 25. Rectángulo 2 17

18 Compr el resultdo del áre que hllste por medio de l formul, con el áre hlld con l sum de áres de ls figurs que formron el rectángulo. Qué conclusión scs? Con los resultdos nteriores puedes decir que (x+)(x+) es x2+ x+x+ Ejercicio 3 Reliz los siguientes productos que tienen ls misms crcterístics de (x+)(x+), y expres l respuest finl con sólo tres términos (+2) (+1)= = (+3) (+4)= = (x+y) (x+z)= = Ahor responde: 1. Qué concluyes de ls respuests finles de los tres productos y el áre del rectángulo? 2. Si sdos en ls respuests de los productos nteriores, podemos concluir que si: (x+)(x+)=x2+(+)x+ Término común Términos no comunes Complet l siguiente orción: El producto de dos inomios con un término común es igul: Al del común, más l sum de los no, por el común, más el producto de los no. 18

19 El proceso nterior es válido pr culquier producto de dos inomios con un término común. Vemos un ejemplo numérico pr confirmrlo si X=3 =2 =4 Si resolvemos el producto (3 + 2) (3 +4) plicndo el procedimiento nterior otenemos: 32+ (2+4) 3+ (4) (2)= =35 Pr demostrr que este resultdo es correcto, resolvmos l nterior expresión sumndo ls cntiddes que hy dentro de cd préntesis y después multiplicmos ms cntiddes, sí: (3+2)(3+4)= (5) (7)=35 Como puedes ver, el resultdo es el mismo. Not: En el álger, pr estos productos, trjmos con términos no semejntes. Por lo cul no podemos relizr sums directs como en el contexto numérico. Ejercicio 4 Ahor por simple inspección, hll el resultdo de los siguientes productos: ) (X+2) (x+7) = ) (m+3) (m+4) = c) (+5) (+6) = Actividd 5 Solucion productos de l form (x+) (x-) Ejercicio 1 En est ctividd prenderemos desrrollr los productos de l form (x+) (x-), pr ello oserv l nimción y resuelve ls siguientes pregunts: 19

20 Figur 26. Cs y constructor ) Cuál es el áre de l cs después de que se perdió dos veces el espcio de l hitción de l niñ? Pr el cálculo prte del áre inicil de l cs y rest ls dos áres que se perdieron. Nuev áre de l cs= Reliz quí tus cálculos 20

21 ) Cuál es el áre de l cs hor que tmién se perdió dos veces el espcio del ño? Pr el cálculo prte del áre que le qued l cs en el numerl nterior. Nuev áre de l cs= Reliz quí tus cálculos c) Ahor clcul el áre finl de l cs usndo l fórmul que multiplic l medid de l se por l medid de l ltur. x x Áre= Figur 27. Rectángulo 21

22 Reliz quí tus cálculos d) De cuerdo ls áres clculds en el numerl y c, Qué puedes decir de l expresión lgeric [x2 x ( ) ] y l expresión (x +) (x ) Ejercicio 2 Ahor reliz los siguientes productos: (x+3)(x-2)= = + - (y-6)(y+4)= = + - (+)(-c)= =

23 Con se en los resultdos otenidos en los productos responde: 1) Qué tienen en común el resultdo de los productos nteriores y el resultdo del producto de los inomios (x + ) (x ), desrrolldo en el numerl c del ejercicio nterior? 2) Si sdos en ls respuests de los productos nteriores, podemos concluir que si: ( x+)(x-)=x2+(-)x- (complet l orción) Término común Términos no comunes Complet l siguiente orción: El producto de dos inomios con un término común es igul: Al cudrdo del término, más l sum ritmétic de los términos no por el común, más el producto de los no. El proceso nterior es válido pr culquier producto de l form (x+) (x ) Vemos un ejemplo numérico pr comprorlo: si x=3 =6 =4 Si resolvemos el producto (3 + 6) (3-4) plicndo el procedimiento nterior otenemos: (-4) = = = - 9 Pr demostrr que este resultdo es correcto, resolvmos l nterior expresión sumndo ls cntiddes que hy dentro de cd préntesis y después multiplicmos ms cntiddes, sí: (3+6)(3-4)= (9) (-1)=-9 Como puedes ver, el resultdo es el mismo. Not: en el álger, pr estos productos, trjmos con términos no semejntes. Por lo cul no podemos relizr sums directs como en el contexto numérico. 23

24 Actividd 6 Solucion productos de l form (x+ - ) (x+c) En est ctividd prenderás solucionr estos productos conociendo cierts crcterístics en sus respuests y prtiendo que, y c son números que pertenecen los reles. Ejercicio 1 L siguiente figur represent un odeg, l cul const de ls divisiones que se presentn en l imgen con sus respectivs medids. x x x x x 1 x x x Figur 28. Bodeg dividid ) Clcul el áre de l odeg sumndo el áre de cd un de sus prtes. R/ 24

25 Expres l medid de cd uno de los ldos de l odeg y luego hll nuevmente el áre de l mism, pero us l fórmul que multiplic l medid de l se por l medid de l ltur. x x x x x 1 x x x Medid de un ldo del rectángulo: Medid del otro ldo del rectángulo: Áre: Áre del rectángulo 25

26 ) Si ls áres clculds en los numerles y son igules, entonces l expresión (x+) (x+c) y l expresión (x 2 +cx+x+c) son Si (x+)(x+c)=x 2 +cx+x+c = x 2 +(c+)x+c Respuest finl Término común Coeficiente del término común Términos no comunes Al desrrollr este producto tendremos: Primer término x 2 = Producto de los primeros términos de los inomios. Segundo término (c+)x = l sum de los productos del primer término del inomio 1 por el segundo término del inomio 2 con el producto del segundo término del inomio 1 por el primer término del inomio 2. Tercer término c = El producto de los términos no comunes. Actividd 7 Construyendo rectángulos prtir de otros más pequeños, con ldos en común A prtir de los siguientes rectángulos A. B. C. D. c d x x x x Figur 29. Rectángulos 26

27 ) Pr este ejercicio necesitrs de tijers. Dees construir un rectángulo con los cutro nteriores rectángulos, de mner que los uns con el ldo que tiene l medid en común. Pr ello recórtlos y péglos en l cudricul. 27

28 ) Reliz ls operciones necesris en l cudricul pr completr l siguiente tl. Tl 1. Clculo de áres Rectángulo Bse Altur Áre A B BX C X D Formdo por los nteriores rectángulos Sum expresd de ls áres Producto de l medid de l se por l medid de l ltur Qué concluyes de ls expresiones de l sum expresd y el producto de l medid de los ldos del rectángulo formdo? 28

29 Actividd 8 Construcción de un cuo de l expresión (x+y) 3 1) Hll el volumen de cd un de ls siguientes piezs. Volumen= Volumen= Volumen= Volumen= Volumen= Volumen= Volumen= Volumen= Figur 30. Prtes del cuo (+) 3 2) Conociendo el volumen de cd piez hll el volumen del cuo que podrí rmrse con ells sumndo dichos volúmenes (expréslo de mner descendente con respecto l letr x). 29

30 3) En este ejercicio necesitrs crtulin, tijers y regl. Con ess herrmients y ls piezs dds en l ctividd construyen un cuo. Pr ello elor cd piez en crtulin, teniendo en cuent ls medids y l form de ls misms. Después de construir el cuo, clcul l medid de l se, l ltur y l profundidd y después hll el volumen del cuo multiplicndo ls 3 dimensiones. Altur= Bse= Profundidd= Figur 31. Cuo 30

31 4) Si ls áres clculds en el ejercicio 2 y 3 son igules entonces ls expresiones lgerics: (x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 ); [(x+y) (x+y) (x+y)] y (x+y) 3 son: Pr finliz, reliz los siguientes productos: (+) 3 = (+) (+) (+)= (c+d) 3 = (C+d)(C+d)(C+d)= 31

32 5) Si el inomio l cuo (x+y) 3 es igul x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 Primer término Segundo término Complet l siguiente orción: Entonces podemos concluir que un inomio l cuo es igul: Al cuo del término más el triple del término l por el segundo término, más el triple del primer término por el l más el segundo l término l. 32

33 En este documento conocimos sore lgunos productos que son comunes en el álger. Por medio de expresiones lgerics equivlentes que resultn de sumr o restr áres que formn cudrdos o rectángulos, con ls expresiones lgerics que se originn del producto de l medid de l se por l medid de l tur. Estos productos son: Sum de un inomio l cudrdo: el cudrdo de l sum de dos cntiddes es igul l cudrdo de l primer cntidd más el dole de l primer cntidd por l segund más el cudrdo de l segund cntidd. (+) 2 = Diferenci de un inomio l cudrdo: es el mismo proceso de l sum del inomio con l diferenci que en este los signos se intercln inicindo por ms óse = (-) 2 = L sum de dos cntiddes por su diferenci: este producto es igul l diferenci de los cudrdos de ls dos cntiddes. (+) (-) = 2-2 Producto de dos inomios con un término común: este producto es igul : Primer término. Es el cudrdo del término común de los inomios. Segundo término corresponde l producto entre el término común y l sum de los términos no comunes. Tercer término es el producto de los 2 términos no comunes. (x+) (x+) = x 2 +(+)x+ (x+) (x+) = x 2 +(+)x+ Producto de l form (x+ ) (+c): Al desrrollr este producto tendremos: Primer término x 2 = Producto de los primeros términos de los inomios Segundo término (c+)x = l sum de los productos del primer término del primer inomio 33

34 el segundo término del segundo inomio, con el producto del segundo término del primer inomio, por el primer término del segundo inomio. Tercer término c = El producto de los términos no comunes. (x+)(x+c)= x 2 +cx+x+c Cuo de un inomio: el cuo de l sum de dos cntiddes es igul l cuo de l primer cntidd más el triple del producto del cudrdo de l primer cntidd, por l segund cntidd más el triple del producto de l primer cntidd, por el cudrdo de l segund cntidd, más el cuo de l segund cntidd. (+) 3 = ) 1 X 1 Y 1 X Y Y Y X X X Y Figur 32. Rectángulos y cudrdos Figur 33. Cudrdo en lnco 34

35 El cudrdo de l derech se form con cutro piezs. Elige tres piezs de ls presentds en l prte rri y repite un de ells pr rmrlo, de mner que se cur todo el cudrdo. Recort ls figurs que requiers y pégls en el cudro. Después de rmrlo responde: Cuál es l medid de uno de los ldos del cudrdo? Cuál es l expresión de tres términos que represent el áre? 2) El siguiente es un terreno rectngulr destindo pr un jrdín y dividido como muestr l gráfic. Ayud l propietrio conocer l medid de los ldos, y el áre de dicho terreno, si ls divisiones concuerdn con lguns de ls piezs dds en l tre nterior. Figur 34. Jrdín 35

36 L respuest con respecto l áre del jrdín, exprésl de l siguiente form: Como sumtori de áres y reduce términos semejntes. Áre= Como resultdo del producto de l medid de l se por l medid de l ltur. Áre= Por último: verific si ests dos repuests son equivlentes entre sí. Reliz quí tus cálculos pr B 36

37 3) Este mismo propietrio tiene otro terreno rectngulr, del cul conoce ls medids de sus ldos, pero no se cómo serí l división, como tmpoco conoce el áre de dicho terreno. Ayud l propietrio dividir el terreno y determinr cuál es l expresión que represent el áre del mismo, teniendo en cuent ls medids de los ldos que te muestr el gráfico y ls piezs que se dieron en l tre 1. 3x + 2 x + 2 Figur 35. Rectángulo en lnco 37

38 List de figurs Figur 1. Tpetes Figur 2. Cudros y rectángulos Figur 3. Mdre e hijo Figur 4. Curto Figur 5. Mdre e hijo 2 Figur 6. Curto con iliotec Figur 7. Mdre e hijo 3 Figur 8. Curto con Bño Figur 9. Curto con vestier Figur 10. Curto somredo Figur 11. Hitción con divisiones Figur 12. Hitción 2 Figur 13. Hitción 3 Figur 14. Rectángulo Figur 15. Rectángulo sudividido Figur 16. Rectángulo A Figur 17. Rectángulo Figur 18. Rectángulo y cudrdo somredo Figur 19. Cudrdo incompleto Figur 20. Rectángulo demrcdo Figur 21. Rectángulo demrcdo Figur 22. Lotes Figur 23. Lote 2 Figur 24. Lote 3 Figur 25. Rectángulo 2 38

39 Figur 26. Cs y constructor Figur 27. Rectángulo Figur 28. Bodeg dividid Figur 29. Rectángulos Figur 30. Prtes del cuo (+) 3 Figur 31. Cuo Figur 32. Rectángulos y cudrdos Figur 33. Cudrdo en lnco Figur 34. Jrdín Figur 35. Rectángulo en lnco List de tls Tl 1. Clculo de áres 39