Scientia Et Technica ISSN: Universidad Tecnológica de Pereira Colombia

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1 Scietia Et Techica ISSN: Uiversidad Tecológica de Pereira Colombia ZAPATA, CARLOS J. ESTIMACIÓN DE TASAS DE FALLAS DE COMPONENTES EN CASOS DE AUSENCIA DE DATOS O CANTIDADES LIMITADAS DE DATOS Scietia Et Techica, vol. XI, úm. 7, abril, 005, pp Uiversidad Tecológica de Pereira Pereira, Colombia Dispoible e: Cómo citar el artículo Número completo Más iformació del artículo Págia de la revista e redalyc.org Sistema de Iformació Cietífica Red de Revistas Cietíficas de América Latia, el Caribe, España y Portugal Proyecto académico si fies de lucro, desarrollado bajo la iiciativa de acceso abierto

2 Scietia et Techica Año XI, No 7, Abril 005. UTP. ISSN ESTIMACIÓN DE TASAS DE FALLAS DE COMPONENTES EN CASOS DE AUSENCIA DE DATOS O CANTIDADES LIMITADAS DE DATOS RESUMEN Este artículo preseta dos métodos para estimar las tasas de fallas de compoetes del sistema de potecia e caso de ausecia de datos o catidades limitadas de datos. Tres ejemplos reales so presetados. PALABRAS CLAVES: Cofiabilidad, modelo probabilístico, proceso de Poisso homogéeo, distribució Chi-cuadrado. ABSTRACT This paper presets two methods for the estimatio of power system compoet failure rates i the case of lack of data or limited amout of data. Three real examples are preseted. CARLOS J. ZAPATA Igeiero Electricista Profesor Asistete Uiversidad Tecológica de Pereira cjzapata@utp.edu.co Proyecto de Ivestigació KEYWORDS: Reliability, probabilistic model, homogeeous Poisso process, Chi-square distributio. 1. INTRODUCCIÓN Para los estudios de cofiabilidad de sistemas eléctricos de potecia se requiere los modelos probabilísticos que represeta a los compoetes que coforma el sistema. Los modelos más utilizados para estos compoetes so: bloques de frecuecia y duració, distribucioes de probabilidad (Expoecial, Weibull, Normal, etc.) y procesos estocásticos (Markov, Poisso). Estos modelos se costruye co los datos de los evetos de falla: Número de fallas e u periodo de tiempo dado, tiempo de ocurrecia de cada falla y tiempo requerido para cada reparació. Los itervalos de cofiaza de los parámetros que defie estos modelos varía e forma iversa co la catidad de datos utilizados e su cálculo. Por lo tato, es deseable cotar co suficietes datos para reducir los itervalos de cofiaza a u ivel aceptable. E estudios de cofiabilidad, el coseguir datos para costruir los modelos probabilísticos de los compoetes preseta los siguietes problemas: Las fallas so feómeos aleatorios, por lo tato, se debe esperar a que ocurra para registrar los datos asociados a estos evetos. Esto difiere de otras áreas de estudio como el mercadeo o la demografía, dode se puede cosultar tatos idividuos de la població bajo estudio como se requiera para obteer u ivel de error dado. Alguos de los compoetes del sistema eléctrico tiee tasas de fallas muy bajas durate su periodo de vida útil; al observar su operació por largos periodos de tiempo es posible que registre muy pocas fallas o o se registre igua. Esto es comú e equipos que o tiee partes móviles como pararrayos, trasformadores de istrumetació, reactores, codesadores, etc. Para resolver estos problemas, es comú agrupar los datos de compoetes similares. Si embargo, pese a la agrupació, es comú que se presete las siguietes situacioes: 1. No hay fallas e el periodo de tiempo de los registros.. Se dispoe de u solo dato, por lo cual o puede utilizarse los métodos clásicos de estimació de parámetros o ajuste a ua distribució de probabilidad. 3. Existe muy pocos datos y su gráfica e forma de histograma tiee ua o muy pocas clases por lo cual, o puede aplicarse el procedimieto de ajuste a ua distribució de probabilidad, ó auque éste procedimieto se aplique, o se cumple la prueba de bodad de ajuste. Como o es realista asumir que existe compoetes 100% cofiables, se debe estudiar los métodos para costruir modelos probabilísticos ate situacioes de catidades limitadas o ausecia de datos de falla, lo cual es el tema del presete artículo. Fecha de recepció: 1 Eero de 005 Fecha de aceptació: 16 Marzo de 005

3 14. TASA DE FALLAS DE UN COMPONENTE Las fallas defie la secuecia operativa de u compoete cotiuamete operado, o secuecia de estados de dispoibilidad (up) e idispoibilidad (dow) mostrada e la Fig. 1. No se cosidera: fallas simultáeas, que el compoete pueda ser reparado mietras opera (falla parcial), i que el compoete vuelva a fallar mietras es reparado. Scietia et Techica Año XI, No 7, Abril 005. UTP P[lim x = E( x )] = 1 () Es decir, si la muestra de datos de ua variable aleatoria x es muy grade, habrá total certeza de que el promedio estadístico x (el estimador) será igual al valor esperado E( x ) (el valor que se desea estimar).. Estimació por itervalos Estado f 1 f i La catidad de datos defie el itervalo de cofiaza e el cual se ecuetra el valor esperado a ser estimado: up dow 0 Figura 1. Secuecia operativa de u compoete reparable Cada falla (f i ) tiee asociado u tiempo para falla (ttf i ) y u tiempo para reparació (ttr i ), los cuales so aleatorios e idepedietes etre sí. El úmero de fallas e u periodo de tiempo T tambié es aleatorio. El cero, e la secuecia operativa, es el mometo e el cual el compoete iicia su operació uevo. Si embargo, usualmete solo se dispoe de ua muestra de datos registrados durate u periodo de tiempo T. La tasa de fallas λ es el úmero de fallas que ocurre mietras el compoete está e el estado operativo [1]..1 Estimació putual La tasa de fallas estimada ˆλ se defie como: i i (1) i= 1 i= 1 ˆ λ = /( ttf ) = 1/ mˆ = /( T ttr) / T ˆm es el promedio estadístico de los tiempos para falla ( ˆm = m) y es u estimador del tiempo esperado para falla m ; ˆλ es el iverso de u promedio estadístico por lo cual, tambié es u valor promedio ( ˆλ = λ ). Los valores promedios so estimadores putuales (u úico valor) cuya calidad depede de. E la mayoría de los compoetes de los sistemas de potecia, la idispoibilidad total (tiempo e reparació) es despreciable co respecto al tiempo de dispoibilidad, lo cual justifica la aproximació mostrada e (1). La Ley Fuerte de los Grades Números es []: T ttf i ttr i t Ex ˆ( ) < Ex ( ) < Ex ˆ( ) (3) Iferior Superior Para ua muestra grade ( 30 ) y datos de cualquier distribució de probabilidad se calcula como [3]: x z * s/ < E( x) < x + z * s/ (4) α / α / Para ua muestra pequeña ( < 30 ) y datos ormalmete distribuidos se calcula como [3]: x t * s/ < E( x) < x + t * s/ (5) s : Desviació muestral α / α / i 1/ (6) i= 1 s = (( ( x x) ) /( 1)) α : Probabilidad crítica o de rechazo. Es el complemeto del ivel de cofiaza (δ ) co que se hace la estimació. z α / : Valor e la distribució ormal para el cual la probabilidad es igual a α/. Se halla e tablas.. t α / : Valor e la distribució t-studet para el cual la probabilidad es igual a α/. Se halla e tablas. De (4) y (5) se cocluye que: 1. Se requiere ua muestra de dos o más datos para estimar el itervalo de cofiaza. E los casos de cero o u dato, estas ecuacioes o so aplicables.. A meor úmero de observacioes mayor será el itervalo de cofiaza y viceversa. 3. Si u compoete está e su periodo de vida útil, tiee tasa de fallas costate y los tiempos para falla está expoecialmete distribuidos. Por lo tato, para ua muestra pequeña, (5) o es aplicable. Por lo tato, se requiere métodos alteros para estimar λ e los casos e que se tiee pocos o igú datos.

4 Scietia et Techica Año XI, No 7, Abril 005. U.T.P MÉTODO 1: EL PROCESO DE POISSON La probabilidad de que ocurra k fallas está dada por [4]: Tasa de fallas Obsolescecia Px [ k] ( * t) / k!* e λ k * t = = λ (7) Periodo ifatil Vida útil La probabilidad acumulada o probabilidad de que ocurra k o meos fallas está dada por [4]: k = λ i * t (8) i= 0 Px [ k] ( * t) / i!* e λ Figura. Tasa de fallas durate de u compoete La tasa de fallas varía durate la vida operativa del compoete tal como se muestra e la Fig.. Como se observa, úicamete durate el periodo de vida útil la tasa de fallas es costate y solo durate éste periodo de vida, el compoete puede teer ua baja tasa de fallas. Etoces, para u compoete que durate u largo periodo de tiempo T ha registrado muy pocas fallas o igua, se asume que está e su periodo de vida útil. La llegada de las fallas al compoete es u proceso estocástico de Poisso de tipo homogéeo, si [4]: 1. Las fallas llega ua a la vez.. El úmero de fallas que llega durate u itervalo de tiempo o afecta el úmero de fallas durate otro itervalo de tiempo 3. Las fallas so idepedietes etre sí 4. La tasa de llegada de las fallas λ es costate 5. Los tiempos de reparació so despreciables Tiempo La Fig. 3 preseta u esquema de la llegada de fallas e u proceso de Poisso homogéeo. E este proceso, los tiempos etre fallas (tbf) se distribuye expoecialmete co parámetro λ y los tiempos para llegada de las fallas (tf) se distribuye uiformemete []. Utilizado la muestra de fallas e u periodo de tiempo T, se determia el valor de la tasa de fallas estimada para el cual se alcaza la probabilidad crítica o de rechazo (α ) [1]: ˆ i ˆ* T α = 1 δ = ( λ* T) / i!* e λ (9) i= 0 Etoces, co u δ % de cofiaza se puede afirmar que λ < ˆ λ. Es decir, existe u itervalo de cofiaza uilateral para estimar λ dode ˆλ es la cota superior aproximada del δ % de cofiaza. Sólo es fácil resolver (9) para el caso de cero fallas. E el resto de los casos es ecesario utilizar métodos uméricos. La Tabla 1 preseta resultados para ˆλ co α = 5% y varios valores de T y. La Fig. 4 preseta la gráfica de alguos de estos valores. T [años] [fallas] Tabla 1. Valores de ˆλ [fallas/año] para α = 5% utilizado el proceso de Poisso f 1 f f 3 f i tbf 0 tf 1 tf tf 3 tf i t Figura 3. Proceso de llegada de las fallas a u compoete Sea x la variable aleatoria del úmero de fallas de u compoete e u periodo de tiempo t, e u proceso de Poisso. Figura 4. Variació de la tasa de fallas estimada

5 16 4. MÉTODO : LA DISTRIBUCIÓN CHI- CUADRADO Para obviar la dificultad existete al resolver ˆλ mediate el proceso de Poisso, se aplica la siguiete aproximació a este proceso utilizado la distribució Chi-cuadrado ( ) [1], [3]: dode: v : α /,v ˆ λ = /(* T ) α (10) /, v Es el úmero de grados de libertad v = *( + 1) (11) : Valor e la distribució para el cual existe ua probabilidad crítica α co v grados de libertad. Se halla e tablas. Co u δ % de cofiaza se puede afirmar que λ ˆ λ ; este es el itervalo de cofiaza uilateral. La Tabla preseta resultados para ˆλ co α = 5% y varios valores de T y. T [años] [fallas] Tabla. Valores de ˆλ [fallas/año] para α = 5% utilizado la aproximació a la distribució Chi-cuadrado Se defie el error porcetual como: dode: ε = ( ˆ λ ˆ λ ) / ˆ λ *100% (1) ˆλ : El valor estimado de la tasa de fallas mediate el proceso de Poisso (9). ˆλ : El valor estimado de la tasa de fallas mediate la distribució (10). La Tabla 3 preseta el error porcetual al estimar la tasa de falla mediate la aproximació de la distribució utilizado los valores de las Tablas 1 y. Scietia et Techica Año XI, No 7, Abril 005. UTP T [años] [fallas] Tabla 3. Error porcetual al estimar ˆλ co la distribució E los resultados de la Tabla 3 se observa que si es 0, 1 ó, o existe error o éste es despreciable para los periodos de registro de iformació mostrados; sí 3, cada que se aumeta se debe aumetar el tiempo de los registros para que exista poco error o este sea despreciable. 5. GRUPOS DE COMPONENTES Es comú el agrupar la iformació de varios compoetes similares por las siguietes razoes: 1. Se aumeta la muestra de datos. Esto es especialmete útil e compoetes que tiee tasas de falla muy bajas o dode los tiempos de registro dispoibles so pequeños.. Se desea obteer ídices de cofiabilidad ó modelos probabilísticos para u solo compoete que represete al grupo, o para cada uo de los compoetes. Esta situació es comú e sistemas co grades catidades de compoetes del mismo tipo; por ejemplo, los sistemas de distribució de eergía eléctrica. Si durate u periodo de tiempo T se observa fallas e u grupo de X compoetes similares, etoces: ˆ λ = X T = T = ˆ X (13) /( * ) / λ / E este caso, ˆλ se refiere a u compoete típico o promedio que represetará a cada uo de los compoetes del grupo. Artificialmete, se obtiee registros operativos del compoete promedio para u periodo de tiempo T = X * T e el cual sufre fallas. Si se cumple, o se asume, que todos los compoetes del grupo está e su periodo de vida útil y que el proceso de llegada de las fallas a cada uo de ellos es u proceso de Poisso homogéeo, se puede aplicar los dos métodos presetados ateriormete. Bajo estas codicioes, el proceso de llegada de las fallas al grupo de compoetes, tambié es u proceso de Poisso homogéeo co parámetro λ = ˆ λ* X [5].

6 Scietia et Techica Año XI, No 7, Abril 005. U.T.P EJEMPLOS E el proyecto de ivestigació Estudio de Cofiabilidad del Sistema Eléctrico Regioal, ejecutado por la UTP durate los años 003 y 004, se realizaro exámees (surveys) de cofiabilidad de los compoetes del sistema eléctrico que sirve a la ciudad de Pereira. A cotiuació, se resuelve tres casos de compoetes para los cuales o se ecotraro datos de falla o la catidad de fallas registrada era muy pequeña. 6.1 Ejemplo 1: Baco de trasformadores 115/33 kv 75 MVA subestació Cuba Revisado bitácoras que comprede u período de 5 años ( ), solo se ecotraro registradas fallas para este equipo [6], [7]. Estimadores putuales ˆ λ = λ = / T = /5= 0.4 Fallas/año mˆ = m= 1/ ˆ λ = 1/0.4 =.5 Años para falla Itervalo de cofiaza uilateral E la Tabla 3 se observa que para u periodo de registro de 5 años y fallas, o existe error al estimar la tasa de fallas utilizado la aproximació de la distribució, por lo cual se aplica éste método; ˆ λ = 1.59 Fallas/año para α = 5% (Tabla ) mˆ = 1/ ˆ λ = 1/1.59 = Años para falla Etoces, co u 95% de cofiaza se puede afirmar: λ 1.59 Fallas/año y m Años/falla Modelo probabilístico del compoete Este modelo se defie co el tiempo etre fallas e el proceso de Poisso ó tiempo para falla ( ): f () t = ˆ λ * e = 1.59* e F () t = 1 e ˆ* λ t 1.59* t 1.59* t Dode, f () t es la fució de desidad de probabilidad y F() t es la fució de distribució de probabilidad. Tambié es válido defiir este modelo utilizado los otros valores del itervalo de cofiaza uilateral. 6. Ejemplo : Trasformadores de distribució de 33 kv Revisado las órdees de reparació emitidas por el sistema de ateció a los usuarios de la Empresa de Eergía de Pereira, se ecotró ua sola falla e u periodo de cuatro años ( ) para u grupo de 37 trasformadores de distribució de 33 kv [8], [9]. Estimadores putuales ˆ λ = λ = /( X * T) = 1/(4*37) = Fallas/año mˆ = m= 1/ ˆ λ = 1/ = 148 Años para falla Itervalo de cofiaza uilateral = 1 Falla, T = 4*37 = 148 Años, α = 5% v = * + = *1+ = 4Grados de libertad /, = 9.488, de tablas de la distribució α v [3] ˆ λ = /(* ) 9.488/(*148) α /, v T = = fallas/año Co el proceso de Poisso se obtiee el mismo resultado. mˆ = 1/ ˆ λ = 1/ = Años para falla Etoces, co u 95% de cofiaza se puede afirmar: λ Fallas/año y m Años/falla Modelo probabilístico del compoete típico que represeta al grupo de compoetes: f ( t) = ˆ λ * e = 0.031* e F () t = 1 e ˆ* λ t 0.031* t 0.031* t 6.3 Ejemplo 3: Trasformadores de potecial (TP s) 13. kv subestació Dosquebradas Revisado bitácoras que comprede u periodo de 11 años ( ), o se ecotraro registros de fallas para u grupo de 1 TP s de 13. kv [10], [11]. Estimadores putuales: No se puede calcular. Itervalo de cofiaza uilateral = 0 Fallas, T = 11*1 = 13 Años, α = 5% v = * + = *0+ = Grados de libertad

7 18 α /, v = 5.991, de tablas de la distribució [3] ˆ λ = /(* ) 5.991/(*13) 0.07 α /, v T = = fallas/año Utilizado el proceso de Poisso se obtiee el mismo resultado. mˆ = 1/ ˆ λ = 1/ 0.07 = Años para falla Etoces, co u 95% de cofiaza se puede afirmar: λ 0.07 Fallas/año y m Años/falla Modelo probabilístico del compoete típico que represeta al grupo de compoetes: f ( t) = ˆ λ * e = 0.07* e F () t = 1 e ˆ* λ t 0.07* t 0.07* t 7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Mediate el proceso de Poisso y la aproximació a la distribució Chi-cuadrado es posible estimar las tasas de fallas de compoetes de sistemas eléctricos de potecia e los casos e que los archivos operativos o registre fallas o el úmero de fallas registrado sea muy pequeño como para aplicar los métodos tradicioales de estimació de parámetros o de ajuste de datos a ua distribució de probabilidad. Las tasas de fallas estimadas mediate los dos métodos presetados permite defiir modelos probabilísticos que represete los compoetes e estudios de cofiabilidad a ivel de sistema. Es decir, o se asumirá que los compoetes so 100% cofiables. Si el periodo de los registros operativos es grade, se recomieda aplicar la aproximació a la distribució Chicuadrado, pues este método es más fácil de resolver que el método del proceso de Poisso el cual requiere solucioes uméricas. Tambié se recomieda, si es posible, agrupar la iformació de compoetes similares para aumetar la catidad de datos de falla y el periodo de los registros. El aumetar artificialmete el periodo de los registros agrupado los compoetes permite reducir o elimiar el error al aplicar el método de aproximació a la distribució Chi-cuadrado. Gra cuidado debe teerse e verificar el cumplimieto de las cico codicioes del proceso de Poisso, las cuales defie si los dos métodos presetados puede aplicarse. 8. BIBLIOGRAFÍA Scietia et Techica Año XI, No 7, Abril 005. UTP [1] BILLINTON R, ALLAN R. N, Reliability evaluatio of egieerig systems - Cocepts ad Techiques, Pleum Press, 199. [] VINIOTIS Y, Probability ad radom processes for electrical egieers, McGraw Hill, [3] MILLER I. R, FREUND J. E, JOHNSON R, Probability ad statistics for egieers, Pretice Hall, 199. [4] ZAPATA C. J, Aplicacioes del proceso de Poisso e cofiabilidad, Revista Scietia et Techica, No. 0, 00. [5] PAZOS J. J, SUÁREZ A, DÍAZ R, Teoría de colas y simulació de evetos discretos, Pearso - Pretice Hall, 003. [6] GARCÉS L. P, GÓMEZ O, Aálisis de cofiabilidad del sistema de trasmisió regioal usado simulació de Motecarlo", Proyecto de Grado, Uiversidad Tecológica de Pereira, 003. [7] ZAPATA C. J, GARCÉS L. P, GÓMEZ O, Modelamieto de compoetes de sistemas compuestos geeració-trasmisió para estudios de cofiabilidad, Revista Scietia et Techica, No. 5, 004. [8] CATAÑO D. Y, SUÁREZ H. F, Aálisis de cofiabilidad de trasformadores de distribució e la ciudad de Pereira", Proyecto de Grado, Uiversidad Tecológica de Pereira, 004. [9] ZAPATA C. J, CATAÑO D, SUÁREZ H. F, Ídices de cofiabilidad de trasformadores de distribució, Revista Mudo Eléctrico, No. 57, 004. [10] ARBELAEZ C. M, PULGARÍN C. A, Aálisis de cofiabilidad de compoetes de las subestacioes del sistema eléctrico de la Empresa de Eergía de Pereira", Proyecto de Grado, Uiversidad Tecológica de Pereira, 004. [11] ZAPATA C. J, ARBELAEZ C. M, PULGARÍN C. A, Ídices de cofiabilidad de equipos de subestacioes de distribució, Presetado a la Revista Mudo Eléctrico, 005. [1] HALE P. S, ARNO R. G, "Survey of reliability ad availability iformatio for power distributio, power geeratio ad HVAC compoets for commercial, idustrial ad utility istallatios", IEEE Tras. Idustry Applicatios, vol. 37, pp , Feb. 001.