RADICACIÓN POTENCIACIÓN Y ISBN: MAURICIO LÓPEZ BONILLA

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1 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ISBN: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN MAURICIO LÓPEZ BONILLA

2 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN MAURICIO LÓPEZ BONILLA Docete Departameto de Ciecias Básicas Facultad de Igeierías Medellí, 01

3 510 L864 López Boilla, Mauricio Poteciació y radicació / Mauricio López Boilla ; aportaro a la ivestigació Gabriel Jaime Posada Herádez y Rafael Ágel Álvarez Jiméez. -- Medellí : FUNLAM, (Matemáticas básicas). 7 p. ISBN IMPRESA: ISBN DIGITAL: MATEMATICAS; Posada Herádez, Gabriel Jaime; Álvarez Jiméez, Rafael Ágel MATEMÁTICAS BÁSICAS POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN Fudació Uiversitaria Luis Amigó Trasversal 51A 67 B 90. Medellí, Atioquia, Colombia Tel: (574) (Ext. 9711). Departameto de Fodo Editorial. fodoeditorial@fulam.edu.co ISBN IMPRESA: ISBN DIGITAL: Fecha de edició impresa: 10 de septiembre de 01 Fecha de edició digital: 1 de octubre de 016 Autor: Mauricio López Boilla Correcció de estilo: Rodrigo Gómez Rojas Editorial: Fudació Uiversitaria Luis Amigó Coordiadora de Fodo Editorial: Carolia Orrego Moscoso Diagramació y diseño: Carlos Herado Zapata Sepúlveda Hecho e Medellí Colombia / Made i Medellí Colombia Fiaciació realizada por La Federació de Uiversidades Católicas y por la Fudació Uiversitaria Luis Amigó. Los autores so moral y legalmete resposables de la iformació expresada e este libro, así como del respeto a los derechos de autor. Por tato, éstos o compromete e igú setido a la Fudació Uiversitaria Luis Amigó. Se permite la reproducció parcial del coteido para efectos académicos y/o de ivestigació, siempre y cuado o se utilice co fies comerciales, se cite al autor y se de los créditos a la Fulam como istitució editora. Prohibida la reproducció total, por cualquier medio o co cualquier propósito, si autorizació escrita de la Fudació Uiversitaria Luis Amigó. El libro Matemáticas Básicas Poteciació y Radicació, publicado por la Fudació Uiversitaria Luis Amigó, se distribuye bajo ua Licecia Creative Commos Atribució-NoComercial-SiDerivar 4.0 Iteracioal. Permisos que vaya más allá de lo cubierto por esta licecia puede ecotrarse e

4 APORTARON A LA INVESTIGACIÓN Docetes Fudació Uiversitaria Luis Amigó: Gabriel Jaime Posada Herádez Mauricio López Boilla Uiversidad de Medellí: Rafael Ágel Álvarez Jiméez Estudiates Auxiliares Fudació Uiversitaria Luis Amigó Jaime Esteba Lozao Vaca Daiel Salazar Yarce

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6 CONTENIDO Presetació Itroducció 1. POTENCIACIÓN... Notació Cietífica... Represetació Gráfica... Ejemplos... Ejercicios Propuestos.... RADICACIÓN... Represetació Gráfica... Ejemplos... Ejercicios Propuestos... Referecias

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8 PRESENTACIÓN Las cartillas Matemáticas Básicas ha sido elaboradas por el equipo de docetes viculados al Departameto de Ciecias Básicas de la Fudació Uiversitaria Luis Amigó, como herramieta útil para aquellos estudiates que recié iicia estudios superiores. Las Ciecias Básicas y, e particular las matemáticas, se ha costituido e uo de los uevos retos y alterativas para la formació de profesioales capaces de iterveir problemáticas sociales cotemporáeas, desde la aplicació de la ciecia y la tecología co criterios éticos y de calidad. Las cartillas surge e el equipo de docetes como ua respuesta a la ecesidad de ofrecer alterativas al proceso de formació matemática del estudiate y que permita superar iquietudes presetadas e las aulas de clase o cosultas realizadas, especialmete e aquellas persoas deseosas de teer las oportuidades que brida la educació superior.

9 La metodología empleada obedece a u proceso didáctico y compresible para el estudiate. Iicialmete se preseta los coceptos básicos por medio de fórmulas matemáticas, posteriormete se ilustra el desarrollo de ejercicios típicos y fialmete se ofrece u úmero determiado de ejercicios como propuesta para la cosolidació coceptual por parte del estudiate. Seguros de que e dicho material se ecuetra los referetes ecesarios para el desarrollo de u proceso formativo e ciecias Básicas co calidad, le deseamos éxitos e este uevo reto de su formació profesioal.

10 INTRODUCCIÓN A lo largo de la historia, la humaidad se ha esforzado por eteder la esecia del fucioamieto del mudo material. Hemos itetado descubrir las ormas y las pautas que determia las cualidades de los objetos que os rodea y de las complejas relacioes que tiee co osotros y etre ellos mismos. A lo largo de miles de años las sociedades de todo el mudo ha descubierto que hay ua disciplia por ecima de las demás que proporcioa u cierto coocimieto de la realidad que subyace e el mudo físico, esa disciplia se llama las matemáticas. Nuestro mudo está hecho de pautas y secuecias, está a uestro alrededor, el día se vuelve oche, los aimales recorre el mudo e cada cambio de estació, los paisajes está costatemete trasformádose. Ua de las razoas por las que surgiero las matemáticas fue la ecesidad de ecotrarle setido a esos patroes aturales. Los coceptos más básicos de las matemáticas, espacio y catidad está predetermiados e uestro cerebro, icluso los aimales tiee ua percepció de la distacia y el úmero, puede evaluar cuado su maada es superior e úmero y decidir si pelear 9

11 o huir, puede calcular si su presa está a ua distacia alcazable o o. Compreder las matemáticas es la diferecia etre vivir o morir. Pero fue el hombre el que uió esos coceptos básicos y empezó a costruir algo uevo co esos fudametos; e algú mometo los humaos empezaro a cotar y ordear el mudo que los rodeaba, y co ello u uevo uiverso matemático empezó a emerger. Coherete co las políticas establecidas por el Miisterio de Educació Nacioal a través de ICFES, la cartilla cotribuye al fortalecimieto de la competecia Razoamieto Cuatitativo del compoete geérico de la prueba SaberPRO. Igualmete, hace parte de los productos cosiderados e la ejecució del proyecto Aálisis comparativo de la competecia geérica Razoamieto Cuatitativo de la prueba SaberPro y su relació co los cursos ofrecidos por el Departameto de Ciecias Básicas e los programas de pregrado de la Fulam y la UdeM 1, adscrito a la líea de ivestigació e Matemáticas Aplicadas y al grupo de ivestigació e Sistemas de Iformació y Sociedad del coocimieto SISCO. E la cartilla se preseta los Operadores Poteciació y Radicació co sus respectivas defiicioes, propiedades y teoremas, así como la maera de represetar gráficamete fucioes elevadas a cualquier potecia. Para ambos operadores se ilustra ejemplos típicos y se propoe ejercicios de aplicació. 1 Proyecto ejecutado durate el período febrero-oviembre de 01. Su equipo de trabajo: Gabriel Jaime Posada Herádez (Ivestigador pricipal Fulam), Mauricio López Boilla (Coivestigador Fulam), Rafael Ágel Álvarez Jiméez (Coivestigador UdeM), Jaime Esteba Lozao Vaca (Estudiate Auxiliar Fulam) y Daiel Salazar Yarce (Estudiate Auxiliar Fulam).

12 1. POTENCIACIÓN Si a 0 etoces 0 a = 1 y si m es u etero positivo cualquiera, por defiició teemos; m a = a a a a m _ veces a m Propiedades: 1 a = m Por Defiició de Expoetes (1) m m a a = a + Multiplicació de potecias de la misma base () a a m a m = (a 0) Divisió de potecias de la misma base () 11

13 Fudació Uiversitaria Luis Amigó m ( a ) m = a (a 0) Potecia a la potecia (4) ( ) m m m ab a b = (ab 0) Producto de Potecias de igual expoete (5) a b m a = b m m (ab 0) Cociete de Potecias de igual expoete (6) Notació Cietífica La otació cietífica es ua herramieta matemática usada para simplificar la escritura de catidades uméricas muy grades o muy pequeñas. Se usa potecias de base 10 para represetar las catidades. Cosiste e represetar u úmero real e potecias de 10. Para expresar u úmero real e otació cietífica, si la potecia de 10 es u úmero egativo, se mueve la coma hacia la izquierda, y si es u úmero positivo, se mueve la coma hacia la derecha. Por ejemplo: = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = = = = = =

14 Poteciació y Radicació Represetació Gráfica La represetació gráfica de ua potecia par positiva tiee forma de parábola y se represeta de la siguiete maera: La represetació gráfica de ua potecia impar positiva se forma por dos ramas de parábola co u puto de iflexió e el medio y se represeta de la siguiete maera: 1

15 Fudació Uiversitaria Luis Amigó Ejemplos: Simplifique los ejercicios dados usado las propiedades de poteciació. a) ( ax) 5 7 x ( ) ax ax x = Usado Producto de Potecias de igual expoete (5) x 7 7 ax x 5 5 = 7 ax 5 5 ( 7) Usado Divisió de potecias de la misma base () ax = ax 5 5 ( 7) 5 1 b) ( 1 x y 1 + ) ( x y ) + = + x y Usado la Defiició de Expoetes (1) y+ x + = x y xy Realizado la suma de fraccioarios detro del parétesis 14

16 Poteciació y Radicació 1 xy xy = y+ x y+ x Usado la Defiició de Expoetes (1) c) ( + ) x x x 4 ( ) x 4 x + x ( ) = x + x Usado Multiplicació de potecias de la misma base () ( ) 6 1 x + x = x + 6x Realizado las sumas y los productos x + 6x = x + Usado la Defiició de x Expoetes (1) x x = Realizado la suma de x x fraccioarios d) 1 x 1 + x + x 5x x + x x x = x 1 x x x Usado la Defiició de Expoetes (1) 15

17 Fudació Uiversitaria Luis Amigó 1 + x x x x = = x x 5x + x 7x Realizado las sumas de fraccioarios x 10 0 = = 7x x 7x 7x 10 Ejercicios Propuestos: Simplifique los ejercicios dados usado las propiedades de poteciació. ( yz ) ( y z) 1.. ( xy z ) ( xyz) y z xy ( ) ( ) 1 a b. 4. ab b a 11 ( ) x x x x 4 x x x ( + x ) 1 x x ( x y ) ( xy ) 16 y x 1 16

18 Poteciació y Radicació 7. ( + ) 5 4 x x x x x 6x+ x 8. ( x) + ( y) xy x+ y x 14x x 10. y + xy 10x x x + y 0xy x x 5x 6 1. xy 4 4 x 6 y 4 x y 4 1. ( a b + ) 1 ab a + b y y 4 4 y

19 Fudació Uiversitaria Luis Amigó 15. x x x 6x 1 1x 4 a a + a b a b b a b+ a b b b d 1 d b b c+ d d c d / ( + 1)( 9 1) d b

20 . RADICACIÓN Sea m u etero positivo cualquiera, u etero distito de cero y a u úmero real, etoces por defiició teemos; (Si es par, a o debe ser egativo, si m es egativo, a o debe ser cero) a m ( 1 ) a m = Por defiició (7) Teorema: si existe a m a m m ( a ) 1 = Teorema (8) 19

21 Fudació Uiversitaria Luis Amigó Represetació Gráfica La represetació gráfica de ua raíz par se realiza de la siguiete maera: La represetació gráfica de ua raíz impar se realiza de la siguiete maera: Ejemplos: Simplifique los ejercicios dados usado las propiedades de radicació. 0

22 Poteciació y Radicació a) 64x 7 64x 4 x = 7 4 x 4x = Usado Cociete de Potecias de igual expoete (6) 4x 4x 4x = = Usado Potecia a la potecia (4) 4x = 4x Usado la Defiició de Expoetes (1) 9 = 4x 16x Usado Cociete de Potecias de igual expoete (6) b) p p p p p p p ( ) ( ) ( 5) ( ) p p ( ) ( ) ( ) p p p p p p p p = p p p p Usado Potecia a la potecia 1

23 Fudació Uiversitaria Luis Amigó (4) y Producto de Potecias de igual expoete (5) ( ) ( ) ( ) ( ) p ( ) ( ) ( 5 ) p p p p p p p p p 5 5 = p p p p p p 5 Usado Potecia a la potecia (4) 5 5 = 5 5 p p p p p 4p p p p p p p 4p p p Multiplicació de potecias de la misma base () 5 5 4p p p 4p p p = 1 c) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) = ( ) Descompoiedo e factores ( ) ( ) ( ) ( ) = Producto de Potecias de igual expoete (5) ( ) ( ) = ( ) Factor Comú

24 Poteciació y Radicació ( ) ( + ) = Simplificado 4 4 = 6 ( ) Descomposició e factores = = ( ) Producto de Potecias de igual expoete (5) 4 = = = Usado Potecia a la Potecia y cociete de potecias de igual base (4) y (6)

25 Fudació Uiversitaria Luis Amigó Ejercicios Propuestos: Simplifique los ejercicios dados usado las propiedades de radicació p+ q p q p+ p q p+ q + p q p p q 1 a a a. a a a a a b a b 4( a+ b) 5. 4 ( ) ( ) a 1 a 1 a 1 ( ) ( ) a 1 a 1 a 1 7 7/16 16 ( a 1 ) = ( a 1 ) 6. m m m ab c abc a a a + a a a ac b a 4

26 Poteciació y Radicació Ecuetre los valores que satisfaga las siguietes igualdades: 9. x = x = 74 b =18 4 b = = 16 ( ) 11. x 1. 9 = 4 5 x = 18 4 = 8 4x 5 x+ 5 x = b = b = = 4 7 = 81 5x 6 x+ 5 x = 8 7 5

27 Referecias ARYA, Jagdish y LARDNER, Robi. Matemáticas aplicadas a la Admiistració y a la Ecoomía. 4ª edició. México: Pearso Educació, p. GÓMEZ C. Margarita y POSADA J. Ricardo. Álgebra. ª edició: Editorial Uiversidad Potificia Bolivariaa, p. Bibliografía recomedada Adaló, José. Radicació de úmeros eteros. Recuperado el 0 de mayo de 01 e: dfxd6k&feature=related Ríos, Julio. Poteciació de úmeros eteros. Recuperado el 0 de mayo de 01 e: 6

28 SOBRE EL AUTOR Mauricio López Boilla Igeiero Electróico egresado de la Uiversidad Potificia Bolivariaa, sede Medellí, Magíster e Telecomuicacioes de la Uiversidad Estatal de Campias, São Paulo, Brasil. Ha sido docete de varias istitucioes de educació superior, etre ellas, la Fudació Uiversitaria Luis Amigó y la Istitució Uiversitaria de Evigado. Actualmete se desempeña como docete auxiliar e el Departameto de Ciecias Básicas de la Fudació Uiversitaria Luis Amigó. mauricio.lopezbo@amigo.edu.co 7