SECCION METODOLOGICA. Teoría de Respuesta al Ítem: Supuestos Básicos. Cortada de Kohan, N.* *Universidad del Salvador

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1 Laboratorio d Evaluación Psicológica y Educativa. Facultad d Psicología 2004, n º 4 (stimbr) Univrsidad Nacional d Córdoba (Argntina). ISSN N º SECCION METODOLOGICA Toría d Rspusta al Ítm: Supustos Básicos Cortada d Kohan, N.* *Univrsidad dl Salvador Rsumn: En st artículo s rvisan los fundamntos dl paradigma psicométrico d Rspusta al Ítm, lamntablmnt poco mplado n nustro mdio, aunqu pos vntajas considrabls con rlación al paradigma clásico, tals como las d gnrar mdidas difrnts con ítms strictamnt comparabls y no dpndints d las mustras spcíficas d invstigación, así como alcanzar un vrdadro nivl intrvalar d mdición. Rcintmnt ha aparcido n nustro país y España un tst d aptitud vrbal construido bajo st paradigma, l Tst Bairs (Cortada d Kohan, 2003) por lo cual rsulta apropiado incluir sta invitación al análisis d los postulados sncials d la Toría d Rspusta al Itm. Introducción La Toría d Rspusta al Itm (TRI) (Rasch, 1963; Lord, 1980) intnta brindar una fundamntación probabilística al problma d mdir constructos latnts (no obsrvabls) y considra al ítm como unidad básica d mdición. La puntuación d una pruba n l modlo clásico stima l nivl d un atributo (aptitud, rasgo d prsonalidad, intrés) como la sumatoria d rspustas a ítm individuals, mintras qu la TRI utiliza l patrón d rspusta (Nunnally & Brnstin, 1995). Rcordmos qu un tst no s un instrumnto d mdición como un mtro, un trmómtro o un vlocímtro qu proporcionan mdicions dirctas n una scala numérica. Un tst db considrars más bin como una sri d pquños xprimntos, n l qu l xaminador rgistra una sri d rspustas dl xaminado y stas rspustas no son mdicions dirctas sino qu proporcionan los datos d los cuals s pudn infrir mdicions. Por lo tanto, como n cualquir xprimnto, xist l problma d controlar n las rspustas l rror xprimntal. Est rror 95

2 96 Cortada d Kohan, N. xprimntal n los tsts surg d qu n l xprimnto no opran solo las variabls indpndints sino otras conocidas como variabls d rror qu pudn influir n las rspustas. Estas variabls xtrañas o d rror dbn sr controladas y hay para sto trs procdimintos fundamntals: 1) l aparaminto o standarización, 2) la alatorización y 3) l ajust stadístico (Cortada d Kohan, 1998). La TCT supon qu las difrncias sistmáticas ntr las rspustas d los xaminados s dbn solamnt a la variación n la aptitud (s dcir a las difrncias n su valor vrdadro d la aptitud), y todas las otras funts potncials d variabilidad dbidas a los matrials o a las condicions xtrnas o intrnas d los xaminados son mantnidas constants por las técnicas d standarización o bin tinn un fcto qu s no sistmático (s dcir alatorio, al azar). Por consiguint s controlan por l aparaminto o por a alatoridad, aunqu sto implica una rducción d la validz xtrna. Las infrncias d los datos qu producn los tsts (como n cualquir xprimnto ) no pudn sr gnralizadas más allá d los nivls standarizados d su rror. Los puntajs d dos tsts disñados para mdir la misma aptitud, aunqu s hayan standarizado suln sr distintos Esto s db a qu cada tst tin su propio conjunto d ítm y cada itm tin distintas propidads. Dsd l punto d vista d la mdición, las propidads d los ítm son variabls d rror qu vadn la standarización dl tst. La limitación más important d los tsts laborados sgún la toría clásica s qu no pudn sparars las caractrísticas dl xaminado d las caractrísticas dl tst: cada una pud sr intrprtada solamnt n l contxto d la otra. En la toría clásica la aptitud s xprsa por l puntaj vrdadro. La aptitud d un xaminado s dfin n términos d un tst particular. Si l tst s difícil l xaminado aparcrá como d poca aptitud, si l tst s fácil l xaminado parcrá tnr mucha aptitud. La dificultad d un ítm s dfin n st contxto como la proporción d xaminados n un grupo dtrminado qu contsta l ítm corrctamnt. Las caractrísticas métricas dl tst (tals como confiabilidad y validz) s dfinn n términos d un grupo dtrminado d xaminados con los qu s ha construido l barmo o normas d intrprtación d las puntuacions. Esto implica qu s muy dificultoso comparar xaminados qu tomaron distintos tsts. 2004, n º 4.

3 Toría d rspusta al ítm: supustos básicos 97 Para subsanar st problma los invstigadors han usado l trcr método d control xprimntal s dcir l dl ajust stadístico (Van dr Lindn & Hamblton, 1997) Est último rquir xplícita paramtrización d la aptitud qu nos intrsa así como d las propidads d los ítm sgún un modlo qu rlacion sus valors con los datos d las rspustas rcolctadas con l tst. Si l modlo s sostin y los parámtros d los ítm s conocn, l modlo ajusta los datos sgún las propidads d los ítm dl tst y por lo tanto pud sr usado para producir mdicions d la aptitud qu stán librs d las propidads d los ítm dl tst Un tst simpr s propon stablcr infrncias sobr los rasgos psicológicos d los sujtos ( no obsrvabls) basándos n la información qu manifistan n las rspustas. La toría d la rspusta al ítm así como la toría clásica d los tsts considran qu cada individuo llva asociado un parámtro individual, qu n la toría d la rspusta al ítm s dnomina aptitud, incluyndo cualquir rasgo psicológico y s simboliza por la ltra griga θ (zta), y n la toría clásica s dnomina puntaj vrdadro (V), qu s inobsrvabl pro qu s pud stimar por sus manifstacions obsrvabls qu son los puntajs originals, X1, X2...Xn, d los tsts. La difrncia principal ntr la toría clásica d los tsts (TCT) y los divrsos modlos dl rasgo latnt o d toría d la rspusta al itm ( n adlant la TRI) s qu la rlación ntr l valor sprado y l rasgo n la TCT s d tipo linal ( X= V+) mintras qu n los divrsos modlos d la TRI las rlacions pudn sr funcions d tipo xponncial, tals como los modlos d Poisson, d la ojiva normal, dl rror binomial, l modlo d Rasch o los modlos logísticos d 1,2 o 3 parámtros. Concptos fundamntals d la Toría d Rspusta al Itm El orign d stos modlos pud ncontrars n Lazarfld (1950), pro s n la década dl 60 cuando la obra dl danés Gorg Rasch marca un hito n cuanto a gnrar invstigacions; aunqu quins han divulgado mjor stos modlos han sido Lord y Birnbaum n la obra d Lord y Novick (1968) y Lord (1980). La TRI intnta dar una fundamntación probabilística al problma d la mdición d constructos inobsrvabls. S considra acá l ítm como unidad básica 2004, n º 4

4 98 Cortada d Kohan, N. dl tst. Estos modlos son funcions matmáticas qu rlacionan las probabilidads d una rspusta particular a un ítm con la aptitud gnral dl sujto. Su orign no s tan nuvo: pro dada la compljidad d los cálculos para su aplicación solo mpzó a difundirs y utilizars gracias a programas d computación spcíficos como BIGSTEP, LOGIST, BILOG, ntr otros. La toría clásica d los tsts ha sido muy útil; todavía sigu tnindo validz pro s ha sñalado qu tin dos grands dfctos. En primr lugar utiliza índics para los ítm cuyos valors dpndn dl grupo particular d xaminados o mustra con los cuals furon obtnidos y, n sgundo lugar, las stimacions d la aptitud o rasgo xaminado (θ) dpndn d la spcial lcción d los ítm slccionados para l tst (Nunnaly y Brnstin,1995). En la toría clásica s produc la paradoja d qu un ítm s fácil o difícil sgún la aptitud d los xaminados y la aptitud d los xaminados dpnd d qu los ítm dl tst san fácils o difícils. Es dcir qu n la toría clásica las caractrísticas d los ítm son dpndints dl grupo. Esto sul trar muchos problmas. Por jmplo, considrmos dos xaminados qu contstan corrctamnt l 50% d las prguntas d dos tsts qu difirn n dificultad. Pudn sr considrados igualmnt capacs?, claramnt, no. Admás la toría clásica stá orintada hacia todo l tst y por lo tanto no nos prmit pronosticar cómo rspondrá un individuo a un ítm particular. Los postulados básicos d la toría d la rspusta al itm o TRI son los siguints: a. El rsultado d un xaminado n un ítm pud sr xplicado por un conjunto d factors llamados rasgos latnts o aptituds qu s simbolizan por θ. b. La rlación ntr la rspusta d un sujto a un ítm y l rasgo latnt qu subyac pud dscribirs como una función monotónica crcint qu s llama función caractrística dl ítm o curva caractrística dl ítm (CCI).Esta función spcifica qu a mdida qu la aptitud aumnta la probabilidad d una rspusta corrcta al ítm también aumnta. c. Las stimacions d la aptitud (θ) obtnidas con distintos ítm srían iguals y las stimacions d los parámtros d los ítm obtnidos n distintas mustras d 2004, n º 4.

5 Toría d rspusta al ítm: supustos básicos 99 xaminados srán iguals. Es dcir qu n la TRI los parámtros d aptitud y d los ítm son invariants.esta propidad d invariancia s obtin incorporando información sobr los ítm al procso d stimación d la aptitud incluyndo información sobr la aptitud d los xaminados n l procso d stimación d los parámtros d los ítm. La invariancia d los parámtros d los ítm pud vrs claramnt n la Figura 2.1, n dond s mustra la distribución d aptitud d dos grupos, A y B. Figura 3.1. Distribución d aptitud n dos grupos poblacionals, A y B. Los supustos d la TRI son: 1. La unidimnsionalidad dl rasgo latnt. Es dcir qu los ítm qu constituyn un tst dbn mdir sólo una aptitud o rasgo 2. La indpndncia. Es dcir qu las rspustas d un xaminado a cualquir par d ítm son indpndints y no xist rlación ntr las rspustas d un xaminado a difrnts ítm. Así, las aptituds spcificadas n l modlo son los mismos factors qu influyn sobr las rspustas a los ítm dl tst. D sta manra la probabilidad dl tipo d rspusta a un conjunto d ítm s igual al producto d las probabilidads asociadas con las rspustas dl xaminado a los ítm individuals. Así, por jmplo, si alguin tin una probabilidad d 0,5 d rspondr corrctamnt cada uno d dos 2004, n º 4

6 100 Cortada d Kohan, N. ítm, la probabilidad d qu l individuo rsponda corrctamnt a ambos ítm s d 0,5 x 0,5 = 0,25. Existn muchos modlos d la TRI como ya comntamos antriormnt; pro acá nos limitarmos a los aspctos fundamntals d los qu más s han difundido qu son los logísticos. 1. Modlo logístico d un parámtro, más conocido como modlo d Rasch (1963. Aunqu l modlo xacto d Rasch s algo difrnt al qu prsntamos, pus s más complicado matmáticamnt, st modlo logístico aquí propusto s quivalnt al original. La distribución logística s dfin como una función tal qu x y = 1+ x Su variación rlativa s una parábola ( Figura 3.2, a) y su función logística (Figura 3.2, b) s muy similar a la función normal acumulada. La CCI para l modlo d Rasch stá dado por la cuación siguint: ( θ b) Pi θ = i = 1, 2, 3,...n ( θ b) 1+ n dond: Pi(θ)= s la probabilidad d qu un xaminado lgido al azar con aptitud θ contst corrctamnt l ítm i. b = parámtro d la dificultad dl ítm i n = númro d ítm dl tst = bas d los logaritmos nprianos = 2,718 Figura 3.2 a) Figura 3.2 b) 2004, n º 4.

7 Toría d rspusta al ítm: supustos básicos 101 La función forma una curva n forma d S con valors d 0 a 1 n la ordnada (probabilidad) y valors corrspondints a la aptitud θ n la abscisa. El parámtro b d dificultad s l punto n la scala d aptitud θ cuya probabilidad d rspusta corrcta s 0,5. Indica la posición dl ítm n la scala d aptitud. Cuando más grand s l valor d b, mayor la aptitud rqurida para qu l xaminado tnga una P = 0,5 d rsolvr corrctamnt l ítm. La aptitud sul transformars d modo qu la X = 0 y la s = 1 y los valors d b suln ir d -2 a + 2. Los ítm con b = -2 son muy fácils, los ítm con b = +2 muy difícils. En la Figura 3.3 prsntamos l gráfico para 4 ítm tals qu ítm 1, b=1 ; itm 2, b = 2 ; ítm 3, b= -1; ítm 4, b = , n º 4

8 102 Cortada d Kohan, N. Figura Modlo d dos parámtros. Lord (1968,1980) fu l primro n laborarlo, pro lo hizo basándos n una distribución normal. Actualmnt st modlo s poco usado por su complicación matmática. En s sustituyó l modlo d dos parámtros d la ojiva normal por una función logística qu tin la vntaja d sr más convnint para manjar. El modlo d la ojiva normal supon intgración mintras qu l modlo logístico no. Est modlo modificado stá dado por la siguint cuación: Da( θ b) Pi ( θ ) = i = 1,2,3,...n Da( θ b) 1+ Aquí b s, igualmnt qu n l modlo antrior, l parámtro d posición o dificultad. El factor D = 1,7 s un valor arbitrario introducido para qu la función logística sa ajustada a la ojiva normal con una xactitud d 0,01. Admás hay un sgundo parámtro a qu s l d discriminación qu s la pndint d la CCI n l punto b. Los ítm con pndint mayor son más útils para sparar a los xaminados n distintos nivls d aptitud, qu los ítm d mnor pndint. El modlo d dos parámtros s pus, una gnralización dl modlo d un parámtro. En la Figura 3.4 podmos vr las CCI d cuatro ítm con las siguints caractrísticas: 2004, n º 4.

9 Toría d rspusta al ítm: supustos básicos 103 Itm 1; b = 1 a = 1 Itm 2; b = 1 a = 0,5 Itm 3 ; b = -1 a = 1,5 Itm 4; b = 0 a = 1,2 Figura 3.4. Como pud aprciars n l gráfico antrior las CCI no son parallas como n l modlo d Rasch sino qu n cirtos casos pudn cruzars. Naturalmnt los parámtros a y b pudn stimars y tambin pud stimars la P(θ) pro s un procso algo complicado qu solo pud ralizars con programas spcíficos d computación. Supongamos qu tnmos un ítm para l qu hmos obtnido los parámtros a y b y qurmos sabr la probabilidad n distintos puntos para trazar la curva CCI. El procso n st caso sría l siguint: Itm 55 a = 1,8 b = 1 Cuál s la probabilidad dl ítm n los valors d θ = -3, - 2, -1 0, 1, 2, 3,? 2004, n º 4

10 104 Cortada d Kohan, N. tnmos: Aplicando nustros valors a la cuación antrior, val dcir para θ = -3, P i( θ ) 1,7 x1,8(3 1) 6,12 = = 1,7 x1,8(3 1) 6, Usando los logaritmos nprianos (las calculadoras usuals los tinn)buscamos x d 6,12 = 454,85 por lo tanto tnmos P(θ) = 454,85 /455,85 = 0,9978 Rptimos sta opración para los distintos puntos d θ y podmos dibujar la curva caractrística dl ítm (CCI) d la Figura 3.5 con los valors corrspondints a P(θ) +3 = 0, = 0, = 0,500 0 = 0, = 0, = 0, = 0,0000 Figura , n º 4.

11 Toría d rspusta al ítm: supustos básicos 105 3) Modlo d trs parámtros. La xprsión matmática para st modlo s: P 1+ Da( θ b) ( θ ) = c + (1 c) Da( θ b) i = 1,2,3,...n El parámtro nuvo acá s c qu s llama parámtro dl sudo azar porqu rprsnta la probabilidad n los ítm d opción múltipl d qu un sujto d poca aptitud contst un ítm rlativamnt difícil d manra corrcta, lo qu hac suponr qu lo hizo por azar, s dcir adivinando. En st caso la curva s asíntótica n st caso. Todos stos modlos sirvn para aqullos tsts n los qu s pud considrar una rspusta corrcta como 1 y la incorrcta como 0. Admás d stos modlos xistn otros modlos promisorios como l d las rspustas graduadas d Samijim (1973) y l d Bock (1972) para scalas nominals. La toría d la rspusta al ítm s complica mucho para la stimación d los parámtros d los modlos. El procso d stimación d los parámtros s dnomina calibración. Es vidnt qu todos los procdimintos s hacn inmanjabls sin la ayuda d los programas d computación. Actualmnt xistn varios programas tals como LOGIST y BICAL, ntr otros. Por último s ncsario puntualizar qu para la mplar modlos TRI s rquirn mustras grands d sujtos ( n>300) qu hacn posibl l ajust a cualquir modlo d uno, dos o trs parámtros. Para mustras más pquñas l mjor modlo s l d Rasch y por sto ha sido l más popularizado. Una d las vntajas qu más s ha sñalado n la construcción d los tsts d acurdo a los modlos d la TRI s qu s pudn laborar tsts individualizados s dcir a la mdida d los sujtos qu prmitn infrir n cada uno d los xaminados un vrdadro valor dl rasgo d la manra más prcisa. Sgún l modlo dl tst logístico las curvas caractrísticas d los ítm tinn la forma d una distribución logística acumulada: Pi( θ ) = Dai( θ b) [ 1+ ] , n º 4

12 106 Cortada d Kohan, N. n dond (θ -b) s llama Li(θ) = 1,2,...n, o sa las unidads n una scala logarítmica o logits. ai = podr discriminant dl ítm i bi = nivl d dificultad dl ítm i Estos parámtros a y b son parámtros invariants d un grupo d individuos a difrncia d lo qu ocurr n l modlo clásico n dond dificultad y discriminación dl ítm dpndn d las caractrísticas dl grupo lgido. La rlación ntr las probabilidads d rspusta corrcta incorrcta al ítm vin dada por: Pi ( θ ) = Q ( θ ) i DL ii tomando los logaritmos nprianos n sta xprsión tnmos: Pi( θ ) ln = DLi( θ ) Qi( θ ) y sto rprsnta una scala logarítmica n dond las unidads sobr la scala son logits (Rcordmos qu D = 1,7) El método d stimación d los parámtros d los modlos d la TRI s l método d máxima vrosimilitud qu s un procdiminto qu s hac con la ayuda d programas spcials d computación. En sncia si una variabl X s una variabl alatoria continua con dnsidad f(x) la función d vrosimilitud srá : L = f ( x1) f ( x2)... f ( xn) = πf ( xθk) n dond L = (liklihood= vrosimilitud) s la probabilidad d obtnr la mustra obsrvada y las f(x) son funcions d los parámtros θk. Los stimadors d máxima vrosimilitud s obtinn rsolvindo l sistma d cuacions: 2004, n º 4.

13 Toría d rspusta al ítm: supustos básicos 107 L θ k = 0 k = 1,2,3,...m S usan los logaritmos nprianos y s driva rspcto a θ y s iguala a 0. Es dcir l principio d máxima vrosimilitud s l d obtnr stimadors d los parámtros dsconocidos qu maximicn la probabilidad d obtnr las mustras. Funcions d información y Funcionaminto difrncial dl ítm. Una vz dtrminado l objtivo spcífico para l qu s construy un tst, l mjor tst d k ítm a partir d n ítm disponibls s aqul qu proporciona la mayor cantidad d información acrca dl rasgo o aptitud latnt. La función d información d un tst, I(θ : u i )s obtin por la fórmula: I ( θiui) = 2 Pi' ( θ ) Pi( θ ) Q( θ ) sindo Pi(θ) la función d rspusta al ítm o CCI y P i(θ) la primra drivada d Pi(θ) con rspcto a θ. El valor d la función d información dpndrá pus d la pndint d la curva (cuando mayor más información) y dl rror stándar d mdición (cuanto más pquño mayor información). Es dcir, cuanto mayor sa la pndint y mnor la variancia d un ítm, mayor srá la información. Esto s pud vr n la Figura 3.7 n dond tnmos l ítm 1 qu da su mayor información n los nivls altos d aptitud, l ítm 2 n los nivls mdios y l ítm 3 n los nivls bajos. 2004, n º 4

14 108 Cortada d Kohan, N. Figura 3.7. La información para un dtrminado nivl d aptitud s dirctamnt proporcional al podr discriminant dl ítm. Gnralmnt los ítm dan su mayor nivl d información n los valors dl rasgo latnt próximos a su nivl d dificultad. Los tsts han sido algunas vcs criticados por considrars qu ran ssgados rspcto a las minorías étnicas y una d las vntajas d la toría d la rspusta al ítm s qu proporciona un marco d rfrncia unificado para concptuar los ssgos a nivl d los ítm. Esto s consigu hallando lo qu s dnomina l funcionaminto difrncial dl ítm o DIF. Un ítm prsnta DIF si los sujtos qu tinn la misma aptitud pro prtncn a distintos grupos, no tinn la misma probabilidad d contstar bin l ítm. Por lo tanto l DIF pud invstigars comparando los parámtros qu dscribn las curvas caractrísticas dl ítm. La hipótsis nula d qu las funcions d rspusta dl ítm son iguals s pud formalizar como: H0; b1 = b2 ; a1 = a2; c1 = c2 Dond 1 y 2 son los dos grupos qu s comparan. Para rchazar la H0 s ncsitan stimacions d los parámtros d los ítms y las matrics d variancia y covariancia. Lugo s calcula la matriz d información para cada grupo y s invirtn y s hac una pruba d χ2. Otra forma d obtnr l DIF s 2004, n º 4.

15 Toría d rspusta al ítm: supustos básicos 109 comparar las CCI dirctamnt más bin qu sus parámtros; si l ára ntr las dos CCI no s 0 quir dcir qu xist DIF (Agurri t al, 2002). Los métodos para dtctar funcionaminto difrncial d ítm srán abordados n l capítulo d adaptación d tsts. Conclusions Sinttizando, Nunnally & Brnstin (1995) sñalan trs vntajas fundamntals d TRI rspcto a TCT: TRI prmit comparar prubas con ractivos difrnts, lo cual rsulta l supusto fundamntal d las prubas a mdida o adaptativas Sujtos con un mismo puntaj n un tst construido mdiant l modlo clásico, n ralidad difirn n su aptitud, problma qu no s prsnta n las prubas TRI Las prubas TCT y sus stimacions dl nivl d habilidad mdiant l númro d ractivos contstados corrctamnt no s rlacionan linalmnt con l vrdadro nivl d aptitud dl individuo. Por st motivo, una scala TCT no alcanza un nivl intrvalar d mdición. Algunas vocs críticas dl modlo (Klin, 2000) nfatizan qu, salvo para tsts qu valúan dominios limitados (d rndiminto, por jmplo), la toría TRI no garantiza ítms unidimnsionals. Otra dificultad d TRI s qu rquir d mustras grands (200 a 500 sujtos para scalas cortas) para calibrar los ítm. Admás produc scalas muy cortas con alta homognidad qu pudn sr inadcuadas para algunos propósitos d valuación (Nunnally & Brnstin, 1995). Una d las vntajas más dstacabls n los modlos d construcción d prubas TRI s qu prmitn obtnr tsts prsonalizados, adaptativos o a la mdida, a fin d infrir n cada uno d los xaminados l vrdadro valor dl rasgo d manra más xacta. Otra d las aplicacions útils d la TRI s qu s pudn construir bancos d ítm, val dcir un conjunto d ítm qu midn una misma variabl y cuyos parámtros stán stimados n una misma scala (Attorrssi t al, 1999). Estos ítm con sus parámtros s pudn almacnar y construir, d st modo, tsts a mdida sgún los objtivos d cada xaminador. Por jmplo, tsts más difícils para lgir bcarios o tsts más fácils para ingrsants a una carrra, ntr otras situacions hipotéticas d valuación. Una xposición autorizada y más 2004, n º 4

16 110 Cortada d Kohan, N. dtallada d TRI, pud ncontrars n l txto d Hamblton & Swaminathan (1983): Itm Rspons Thory. Rfrncias Agurri, M. t al (2002). Evaluación d un método mpírico para dtctar l funcionaminto difrncial dl ítm. Intrdisciplinaria. 19 (2), Attorrssi, H. t al (1999). Aplicacions dl modlo logístico d trs parámtros n una pruba d compltar frass. Invstigacions n Psicología. 4, (1), Bock, R. (1972). Estimating itm paramtrs and latnt ability whn rsponss ar scord in two or mor nominal cathgoris. Psychomtrika, 37, Cortada d Kohan, N. (1998). La toría d la rspusta al ítm y su aplicación al tst vrbal Bunos Airs. Intrdisciplinaria, 15, 12, Hamblton, R. K. y Swaminathan, H. (1983). Itm rspons thory: Principls and applications. Boston: Kluwr Acadmic Publishrs. Klin, P. (2000). Handbook of Psychological Tsting. London: Routldg. Lazarfld, P. (1950). Th logical and mathmatical foundations of latnt structur analysis. Princton: Princton Univrsity Prss. Lord, F. & Novick, M. (1968). Statistical Thoris of Mntal Tsts Scors. Nw York: Addison Wsly Lord, F. (1980). Applications of itm rspons thory to practical tsting problms. Hillsdal: Erlbaum Associats. Nunnally, J. y Brnstin, I. (1995) Toría Psicométrica. México: Mc Graw Hill. RASCAL (1989). Rasch itm calibration program. St. Paul: Assssmnt Systm Corporation. Rasch, G. (1963). Probabilistic modls for som intllignc and attainmnt tsts. Copnhagu: Dnmarks Padagogisk Institut. Samjina, F. (1973). Homognous cas of th continous rspons modl. Psychomtrika, 38, Van dr Lidn, W. & Hamblton, R. (1997). Handbook of modrn Itm Rspons Thory. Nw York: Springr. 2004, n º 4.