TEMA 1: LAS CUENTAS DEL DINERO

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1 MATEMÁTIAS APLIADAS A LAS IENIAS SOIALES 1 TEMA 1: LAS UENTAS DEL DINERO INTRODUIÓN: Seguo que estás hato de escucha y de ve en las noticias "el petóleo sube un 10%, el Euibo sube hasta el 4,3%, la venta de casas ha bajado un 10% especto al año pasado,..." Y es que el dineo está pesente en nuesta vida de manea continua, y asociado al dineo, mas allá de las compas habituales, están los inteeses, los impuestos, las multas, los ecagos,... En este tema vamos a epasa conceptos tan fáciles como los cálculos de pocentajes, de aumentos y de descuentos. Además vamos a ve opeaciones financieas que continuamente nos aplican los bancos y cajas en las cuentas de ahoo y en las opeaciones habituales con ellos. 1. TANTOS POR IENTO Supongamos que Eva y Luis fueon a las ebajas. A Eva le encantó un abigo de 72 en la etiqueta apaecía -15%. Luis se inteesó po una camisa de 55 con -20%. En la vida cotidiana estamos odeados de pocentajes, si vamos a un banco nos ofecen péstamos po un 8%, en los establecimientos de alimentación, en nuesta nóminas nos descuentan un pocentaje paa IRPF, el IGI, etc. Peo sabemos hace un pocentaje? ómo se calcula? A Eva su abigo le costó y a Luis su camisa 44 Estamos manejando 4 conceptos fundamentales antidad Inicial (i), tanto po ciento (), cantidad pocentual (p) y la antidad final (f) En el caso de Eva: i = 72 = 15%. Los demás conceptos se pueden calcula: p = 72 15/ = Y la cantidad final seá entonces: = Sabes calcula cuánto pagó Luis po su camisa?

2 1.1 AUMENTOS Y REBAJAS Hay ota manea más diecta de calcula la ebaja del apatado anteio, si escibimos todas las opeaciones juntas, el poceso ealizado es: f = Aplicando la egla de saca facto común lo anteio se puede escibi como: 15 f 15 = 72 1 Es deci, paa calcula una ebaja podemos usa la elación f = i 1 Y po lo tanto paa calcula un aumento seá: Veamos como pocede en el ejemplo de Eva: f = i 1 = i 1 = = = 61.20, nos sale el esultado a paga diectamente. f ( ) Intenta tu hace lo mismo ahoa con la camisa de Luis. 2/11

3 1.2 UÁNTO OSTABA ANTES? alcula la cantidad inicial Supongamos que Alejando pagó po un taje 315. Al comenta la buena compa con su hemana, esta se inteesó po cuánto costaba. Solo ecueda que estaba ebajado un 30%, uánto costaba antes de la ebaja? Vamos a utiliza la elación anteio, y hacemos uso de los conocimientos de ecuaciones que tenemos; es deci: f = 315, = -30 Es deci: = i ( ) 315 = i = i = alcula el pocentaje de aumento o descuento Además Alejando ha pagado 17 po un atículo que costaba 20 la semana pasada, qué descuento le aplicaon? Hacemos lo mismo de antes, utilizamos la misma fómula: 17 = 20 1 = = 1 = = 1 = 0.15 = 15% f f = i 1 = i 1 NOTA: En el caso de que el poblema sea de aumento en luga de ebaja solo hay que cambia la fómula po f = i 1. Intenta tu esolve los siguientes ejemplos Ejemplo 1: He pagado po un televiso 749, si los impuestos ean del 21%, uánto es el pecio sin tene en cuenta los impuestos? Ejemplo2: En el estauante la cuenta es de 36, peo al añadi el IGI nos coban 38.50, qué pocentaje de IGI se aplica? 3/11

4 2. INTERESES BANARIOS El vecino del 3º, quiee guada unos ahoos en una cuenta que le poduzca un poco más. No tiene clao en que entidad va a deposita sus De las visitas a divesas oficinas la cabeza le da vueltas de todo lo que ha apendido. apital, Inteés, Tipo de inteés, Tiempo (días, años, meses), etc. Vamos a defini estos conceptos paa que todo quede más clao: apital ( o c): antidad depositada o pestada. on mayúscula la utilizaemos paa el capital final y minúscula paa el capital inicial. Inteés (I): Beneficio que poduce el capital pestado o depositado. Rédito o tanto po ciento o tipo de inteés (): Beneficio que poducen en un año. Tiempo (t): Duación del péstamo solicitado o depósito. Año comecial: Se considea meses de 30 días, es deci, los años se considean de 360 días. 2.1 Inteés Simple En el banco 1 le han ofecido el 8%, paa los Qué beneficio obtiene? Esto va a depende del tiempo que esté depositado el dineo en el banco, I = c t En nuesto caso, como el dineo está un año en el banco, el beneficio obtenido seá: I = = 4800, al acaba el año. Qué ocue si tiene el dineo duante 4 meses, en luga de un año? El tipo de inteés, que es anual, hay que dividilo ente (que son los meses que hay en un año) I = = 1600, al finaliza el peiodo de 4 meses Y si fuea 1 semana (7 días)? El tipo de inteés hay que dividilo po 365 (o 360 depende si usamos la idea de año comecial o año natual) I = 360 = 93.33, al finaliza el peiodo de 1 semana Hay que tene en cuenta, en todos los casos anteioes, que solo es el beneficio, habá que sumale entonces el capital inicial que teníamos. uánto tiempo tendá que tene el dineo en el banco paa que el beneficio sea de 50000? 4/11

5 Al igual que ha pasado en los apatados anteioes, se tata de utiliza los conocimientos sobe ecuaciones paa despeja t de la ecuación. Es deci: 2.2 Inteés ompuesto = t = t = 11años Qué ocue si no etiamos los beneficios del banco y lo acumulamos a nuesto capital inicial? Ese dineo va a poduci inteeses. uando los inteeses poducidos po un capital se van acumulando al capital paa poduci nuevos inteeses el capital inicial también va cambiando. Esta nueva foma paa calcula el inteés se llama compuesta. El inteés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman peiódicamente los inteeses poducidos. Así, al final de cada peiodo, el capital que se tiene es el capital anteio más los inteeses poducidos po ese capital en dicho peiodo. La fómula seá entonces: = c 1 t Impotante! t epesenta el númeo de años, meses o días espectivamente que se va a tene invetido el dineo. Al igual que en el modelo simple, el tipo de inteés hay que adaptalo Vamos a compaa la situación de nuesto vecino, suponiendo que deje el dineo 3 años en el banco: AÑO Inteés simple Inteés compuesto omo podemos compoba, en igualdad de condiciones, es más ventajoso el inteés compuesto (teniendo en cuenta que no podemos saca el dineo del banco) Si todavía no te ha quedado clao, en el blog hay un enlace a un vídeo que te puede ayuda 3. LA TASA ANUAL EQUIVALENTE (TAE) Desde 1990, los bancos están obligados a inclui en cualquie anuncio la TAE, peo qué significa? Recodemos el ejemplo anteio, nuesto vecino tenía paa pone en el banco, a un inteés del 8%, que habíamos visto que es compuesto. La pegunta es, qué le inteesa más que le abonen mes a mes sus inteeses en la cuenta o año a año? (esto se suele conoce como peiodos de capitalización anuales o mensuales) 5/11

6 8 Si fuean peiodos mensuales: = = = el lo que cobaía al temina el año, si le banco le paga los inteeses mensualmente (ecueda que no los puede utiliza poque el inteés es compuesto) Vamos a fijanos en la última expesión: , es como si hubiéamos hecho un aumento del 8.29% a nuesto capital. Este númeo (8.29) es el que se llama TAE: TASA ANUAL EQUIVALENTE y, en este caso es mayo que el tipo de inteés. Nos está macando el cecimiento total anual duante un año. 1 8 Si fuea peiodo anual: = = = en este caso el númeo que obtenemos es 1.08; es deci un aumento del 8%, igual al tipo de inteés. Así que el TAE, en este caso es igual al tipo de inteés. En esumen, el TAE es el tanto po ciento de cecimiento total del capital duante un año. Y como has obsevado es mayo o igual que el tipo de inteés declaado. En los péstamos en la TAE se incluyen también los pagos fijos (comisiones, y gastos que coba el banco paa concede el péstamo) Po si tienes alguna duda de cómo calcula el TAE, existe ota fómula: TAE = 1 Donde i = i k k 1 k = (meses) k = 4 (timestes) k = 2 (semestes) Vamos a ve oto ejemplo, supongamos que colocamos 00 al % anual duante 2 años en un banco. Si los peiodos de capitalización son timestales, cuánto me daán al final de los dos años? Podemos usa la fómula diectamente = = 667,70 ONSIDERAIONES: Hemos dividido po 4 poque hay 4 timestes en un año y hemos elevado a 8 poque son los timestes que hay en 2 años 8 6/11

7 Si usamos la TAE, el poblema se haía así: (Vamos a calcula pimeo la TAE poque no nos lo da el ejecicio, aunque en la vida eal, es el númeo que obligatoiamente me tienen que da los bancos) TAE = 1 1 = TAE =.55% (apox.) 4.55 = 001 Entonces en 2 años tendemos = 00 ( 1.55) = ONSIDERAIONES: Hemos usado todos los decimales de la TAE, no solamente los decimales que hemos escito ASO 1: NEESITAMOS DINERO Quiees monta un negocio?, compa una casa?, ite de vacaciones?, hace unas efomas?, o quizás un vehículo? A todos nos pasa, necesitamos dineo. uando nos ocue esto, lo nomal es acudi a un banco, caja de ahoo u ota entidad de cédito y solicita un péstamo. Nos lo conceden, , po ejemplo. Peo, como es lógico tenemos que pagalo. Y es aquí donde hay que tene especial cuidado. Podemos pagalo po meses, timestal, anual de pagos o 14 pagos..., podemos deci que como mucho quieo paga de una vez 300, o que como mucho quieo pagalo en 5 años,...en este apatado del tema vamos a tata todas estas cuestiones. Paga un péstamo se llama amotiza un péstamo. 4.1 Amotización de un péstamo Nos han concedido el péstamo de que debemos amotiza en 24 meses (dos años) con 24 pagos idénticos a mes vencido. El banco nos lo ha concedido a un inteés del %. El banco nos hace fima un contato en el que obsevamos que debemos paga una mensualidad de 847 Es esta cantidad la coecta? ómo calculalo? El pime mes: Los del pime mes paga de inteés 1%, que es el esultado de dividi % anual ente los meses de un año, po tanto, ,01 = 180, le debemos al banco que es el esultado de esta a ( )-847. El segundo mes: Volvemos a hace la misma opeación ,01 = 173 de inteeses y 847 de pago quedaía ( )-847= /11

8 A continuación puedes ve el cuado completo de amotización y como va evolucionando a lo lago de los 24 meses. (Hemos quitado los decimales paa que se pueda entende mejo los cálculos) Mensualidad Inteés del Péstamo Mensualidad peiodo pendiente Un poceso bastante lago paa ve si nos fiamos o no del banco, seguo que hay oto pocedimiento más adecuado 8/11

9 4.2 uánto pago al mes? Has pensado en cómo calcula el banco lo que tengo que paga mensualmente? apital concedido () : Tanto po ciento () : % Tiempo (t) : 24 meses Mensualidad (m) :? 1 m = 1 t t 1 omo hemos hecho en otos ejecicios, ha de dividise ente (si los pagos son mensuales) o ente 4 (si los pagos son timestales), etc. (En el esultado final hemos obviado los decimales paa que se pueda ve más clao) 1 m = = 847 UIDADO! Fecuentemente azonamos MAL el planteamiento del poblema paa hacelo más fácil y solemos pensa así: Si tengo que paga el % se lo calculo a y nos da 2160 cada año, como son dos años, al final tendé que paga al banco = Si divido esta cantidad ente los 24 meses que tengo que paga, me saldá a 930 mensuales Sabes po qué no es válido este pocedimiento? 4.3 y si pago la deuda con un pago al año en luga de mes a mes? alcula cuánto tenemos que paga cada año y analiza qué nos conviene más, anual o mensual 9/11

10 5. ASO 2: TENEMOS DINERO QUE QUEREMOS AHORRAR Es habitual que una familia necesite ahoa paa compase una vivienda o que nos planteemos aseguanos la pensión paa el día de la jubilación. Los planes de pensiones son opeaciones de capitalización en la que el inteesado ingesa una cantidad de dineo cada cieto tiempo de modo que, cuando llegue su jubilación, dispondá del total de las cantidades abonadas y los inteeses geneados. Las cuentas ahoo vivienda son opeaciones de capitalización que se ealizan paa sufaga en el futuo pate del coste de una vivienda. La duación de estas opeaciones, como noma geneal, es infeio a la de los planes de jubilación. 5.1 Ahoo a lago plazo Las opeaciones de capitalización son opeaciones financieas en las que el inteesado entega un deteminado capital cada cieto peiodo de tiempo, de modo que, al finaliza la opeación de capitalización se dispone de un capital igual a la suma de las cantidades apotadas más los inteeses poducidos po cada una de las apotaciones Po ejemplo, una pesona puede hace una cuenta vivienda, y entega cada mes una cantidad de dineo y cuando pasen los años establecidos tendá en su cuenta el dineo que ha ido entegando más los inteeses que dicho dineo haya poducido. uando el peiodo de entega de dineo es anual, se habla de anualidad de capitalización Ejemplo: Joge, con 60 años, abe en un banco un plan de pensiones. Al comienzo de cada año, y hasta la edad de jubilación, a los 65 años, ingesa una cantidad de 0, siendo el inteés del 6% anual. uánto capital habá acumulado cuando se jubile? Pincipio del Apota Final del apital acumulado Pime año (60 años) 0 Pime año 6 = 0 1 = 1060 Segundo año (61 años) 0 Segundo año 6 = (1060 0) 1 = Tece año (62 años) 0 Tece año 6 = ( ) 1 = uato año (63 años) 0 uato año 6 = ( ) 1 = Quinto año (64 años) 0 Quinto año 6 = ( ) 1 = /11

11 5.2 El capital final Habás compobado lo lago que puede se este poceso si la pesona hubiea tenido 30 años y hubiea que calcula el capital final a la edad de jubilación. Existe una fómula que nos lo da diectamente que es: Paa simplificala se suele escibi que α = t 1 [( 1 i) ( 1 i) ] i i = y queda: Donde α epesenta lo apotado a anualmente y t el númeo que años que va a esta el dineo en el banco. Así nuesto ejemplo anteio se calculaía: 0 = 6 [( ) ( ) ] uánto dineo tengo que apota cada año? Vamos a pensa un poblema inveso, es deci: Supongamos que dento de 6 años me quieo compa una casa que cuesta 60000, si el banco me ofeta en una cuenta vivienda un 4.5% de inteés, cuánto tengo que ingesa cada año paa pode consegui todo el dineo? Bastaá usa la fómula anteio y despeja α: α 1 = t 1 7 α [( ) ( ) ] = = α ( ) α = = Y si lo quieo paga mensualmente, cuánto tendé que ingesa? En los ejemplos que hemos puesto, las apotaciones se hacían anualmente (anualidades), esto no tiene que se así, los pagos pueden hacese mensualmente, timestalmente, semestalmente. Solo tenemos que adapta las fómulas a nuesto popósito como ya hemos hecho en otas ocasiones, dividi ente el númeo de peiodos que tiene un año si son meses, 4 si son timestes, 2 si es pagos al bimeste, etc. = 11/11