Inducción, Recursión y las Güeras ojo-azul

Transcripción

1 1 Conjunto N Inducción, y ls Güers ojo-zul Mt Césr Rincón Ort Deprtmento de Mtemátics Fcultd de Químic UNAM

2 1 Conjunto N EL CONJUNTO N DE LOS NÚMEROS NATURALES

3 1 Conjunto N EXISTE UN CONJUNTO N, CUYOS ELEMENTOS SE LLAMAN NÚMEROS NATURALES, CON UN ELEMENTO DISTINGUIDO CERO Y UNA FUNCIÓN SUCESOR

4 1 Conjunto N LOS AXIOMAS DE PEANO (1899(?)) CONCEPTOS PRIMITIVOS: 0 N RELACIOÓN PRIMITIVA: SUCESOR (EL SUCESOR DE n ES n ) AXIOMAS: 1 0 ES UN NÚMERO NATURAL 2 EL SUCESOR DE CADA NÚMERO NATURAL ES NÚMERO NATURAL 3 0 NO ES SUCESOR DE NÚMERO NATURAL ALGUNO 4 SI DOS NÚMEROS NATURALES TIENEN EL MISMO SUCESOR, ENTONCES SON IGUALES

5 QUINTO POSTULADO 1 Conjunto N SI S N ES TAL QUE: 0 S n Ν, n S n S, Entonces S N Definiciones INDUCCIÓN Demostrciones RECURSIÓN

6 1 Conjunto N 1) s : s 2)SI S LOS AXIOMAS DE PEANO ESLA FUNCIÓN i) 0 S ii) n,n S N S N N Y N " - { 0 } SUCESOR" ESTALQUE: n S, Biyectiv s(n) n ENTONCES COROLARIO: PRINCIPIO DE INDUCCIÓN : SI P ES UNA PROPIEDAD QUE CADA NÚMERO PUEDE TENER O NO TENER, CERO LA TIENE Y P SE HEREDA AL PASAR DE n A n, ENTONCES TODO NÚMERO NATURAL TIENE LA PROPIEDAD P SI "P(0) n, P(n) n N, P ( n) P(n ), ENTONCES

7 DOS APLICACIONES DEL 5 POSTULADO 1 Conjunto N 1DEMOSTRACIONES POR INDUCCIÓN 2DEFINICIONES POR INDUCCIÓN Ó RECURSIVAS

8 1 Conjunto N DEFINICIONES C O S POR O INDUCCI ÓN Ó RECURSIVAS S S Que M7 E5 3 es l tbl de sumr del 3 que se define: n (3+n) Que es l tbl de multiplicr del 7 que se define: 7 x 07 7 x n 7n+7 Que son ls potencis del 5 que se definen: n 5 n x5 F( n) Es el fctoril de n y se define: 0! 1 n!n!n

9 1 Conjunto N QUÉ SIGNIFICA E(n)? Se E(n) un conjunto de expresiones, un pr cd n y queremos definir el significdo de cd un de ells Y los poquitos que fltn? E(0) SIGNIFICA E(1) SIGNIFICA E(17321) SIGNIFICA Ante l imposibilidd de definir todos los significdos de est mner, recurrimos ls definiciones (o por ) que constn de dos psos: ) α BASE SE DEFINE(" A PIÉ)E(0) β ) PASOINDUCTIVO SEDICECOMOPASAR DE

10 Esto se puede esquemtizr de l siguiente mner: E (n) n Ν 0, 1,, k, k, 1 Conjunto N X X 0 X 1 X SIGNIFICADOS k X k SE NECESITA UNA FUNCIÓN E : N X TAL QUE E(n) X n

11 DOS DECISIONES: 1 Conjunto N i) Quién DEBE SER X O? ii) CÓMO PASAR DE X k A X k? CON OTRA FUNCIÓN! X 0 X 1 X k X f X 1 X 2 X k X f(x 0 ) X 1 f(x 1 ) X 2 f(x k ) X k

12 1 Conjunto N ALGUNAS DEFINICIONES RECURSIVAS n: n! : n 0 + n : i n 0 : 0 0! n!, n : n 0 n 1 n! + n 0 i 0 0 n n 0 ( 1 0 i 0 n n + i n + ) EJEMPLOS: n ! ( )

13 1 Conjunto N En mtemátic se costumbr utilizr digrms pr fcilitr l escritur de funciones, en el 1er dibujo A, B, C y D, son conjuntos y f, h, h y g, son funciones En el segundo dibujo todos los conjuntos son igules N, los números nturles, y ls M son ls tbls de multiplicr de 3 y 4

14 EL TEOREMA DE RECURSIÓN 1 Conjunto N PARA CADA CONJUNTO X CON ELEMENTO DISTINGUIDO X 0, Y PARA CADA FUNCIÓN f : X X, EXISTE UNA ÚNICA SUCESIÓN η : N N TAL QUE: ( ) 0 η 0 X Y k N, η (k ) f( η (k)) es decir:! η : N X QUE HACE CONMUTATIVO EL DIAGRAMA

15 RECURSIÓN 1 Conjunto N κ κ 0 n κ η ( κ ) η ( ) κ η ( η ( κ )) η ( κ ) η

16 0 0, Conjunto N η η η η ( 0) () 1 ( 2) () η ( 0) ( η( κ )) ( η( κ )) En el cso prticulr de 2 ps: k (2+k)' + 2 η , 0 η ( 1) η

17 BAUTIZO: 1 Conjunto N DE ACUERDO CON LO QUE: Oh!

18 DEMOSTRACIONES POR INDUCCIÓN 1 Conjunto N DEFINICIÓN: SEA A UN CONJUNTO UNA PROPIEDAD P PARA A ES P: A 0,1 { } SI PARA x A, P (x) 1, SE DIRÁ QUE: "x TIENE LA PROPIEDAD P" (P(x)) SI PARA y A, P (y) 0, SE DIRÁ QUE: "y NO TIENE LA PROPIEDAD P" ( P(y))

19 SEA P UNA PROPIEDAD PARA Ν SE DESEA DEMOSTRAR QUE 1 Conjunto N n SEA P D S S Ν, Demostrción P(n) { n Ν; P(n) } Ν por Inducción BASE 0 S ed P(0) H I P D ( K Pso Inducctivo κ S ( κ + 1) κ S : + 1) S S ( e d P( κ)) ( e d P( κ + 1))

20 1 Conjunto N 1) κ n N n ( κ + ) ( κ + 1) n( n 2 + 1) ( κ + 1)( κ 2) N {1,2, } (1 + 1) BASE T (1) ed 1 1 Si! 2 PASO INDUCTIVO T ( κ) T ( κ + 1) HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN κ ( κ + 1 ) T ( κ) ed κ P D T(κ ) κ + (κ DEMOSTRACIÓN 2? + 1) ( κ + 1) ( κ ) + ( 1) κ + κ + ( κ + 1)( κ + 2) 2 (qepd)

21 2) n Ν, , + (2n 1) n 2 1 Conjunto N BASE PASO INDUCTIVO HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN T ( κ ) e d (2κ 1) κ Pus Si! P D T ( κ + 1) e d (2κ + 1) ( κ + 1) DEMOSTRACIÓN T ( 1) e d 1? 2 1 ( (2κ 1) ) + (2 1) (2κ 1) + (2κ + 1) κ κ + 1 κ ( 1) κ

22 1 Conjunto N Los peligros de l Los dos ejemplos que siguen, muestrn que l utilizr l debe tenerse cuiddo Vemos: LAS GÜERAS OJO-AZUL 1 SI EN UN CONJUNTO DE MUJERES HAY UNA GÜERA OJO- AZUL, ENTONCES TODAS LO SON! (Nótese que l proposición es fls Puede usted encontrr l flci?) INDUCCIÓN SOBRE EL NÚMERO DE MUJERES BASE: n1 OBVIO { } Pso INDUCTIVO: SUPONGAMOS T(k)

23 1 Conjunto N A{ 1, 2,, k, k+1 } SEA A 1 { 2, 3,, k+1 } Al demostrr por se debe de ser cuiddoso si por Ejemplo decidiérmos demostrr que en todo el conjunto de Mujeres si hy un güerit ojo-zul tods lo son, lo que Evidentemente es flso podrímos proceder como sigue:

24 LA HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN DICE: 1 Conjunto N A 1 { 2, 3,, k, k+1 } SEA AHORA A 2 { 1, 2,, k } OTRA VEZ, LA HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN DICE QUE: A 2 { 1, 2,, k } Por lo tnto: A{ 1, 2,, k, k+1 }

25 EL PROBLEMA DE LAS ADÚLTERAS 1 Conjunto N BANDO REAL: HABIENDO COMPROBADO QUE EL ADULTERIO EXISTE, NOS, RECTILÍNEO I, ORDENAMOS QUE TODO MARIDO, LE CORTE LA CABEZA A SU MUJER, EN EL MOMENTO QUE DESCUBRA QUE ES ADÚLTERA (CON LA INFORMACIÓN QUE LE DAREMOS) PARA ESTE EFECTO, CADA MARIDO RECIBIRÁ UNA LISTA COMPLETA DE LAS MUJERES ADÚLTERAS, CON EXCEPCIÓN DE LA DE ÉL, QUE, POR DELICADEZA NO ESTARÁ, SEA O NO SEA ADÚLTERA ADEMÁS, CADA DÍA SE PUBLICARÁ EN EL UNO MÁS UNO LA LISTA DE LAS MUJERES QUE FUERON DECAPITADAS EL DÍA ANTERIOR POR ADÚLTERAS SE PROHIBE TERMINANTEMENTE INTERCAMBIAR INFORMACIÓN MORIRÁN DECAPITADAS TODAS LAS ADULTERAS?

26 INDUCCIÓN SOBRE EL NÚMERO DE ELLAS BASE: n1 1 Conjunto N (LA ADÚLTERA ES SÓLO LA SRA X ) CÓMO ES LA LISTA DEL SR X? SE DARÁ CUENTA?, Y LOS OTROS? PASO INDUCTIVO: HIPÓTESIS DE INDUCCIÓN: SI HAY n ADÚLTERAS, LOS n CORNUDOS SE DARÁN CUENTA EN n DÍAS Y SUPONGAMOS QUE HAY n + 1 ADÚLTERAS CÓMO ES LA LISTA DE CADA CORNUDO? CÓMO SE ENTERÁN DE SU DESGRACIA? QUÉ SUCEDERÍA SI HABIENDO SÓLO UNA ADÚLTERA (LA SRA X ) EL SR X NO SE DA POR ENTERADO? MORALEJA: MUCHO OJO CON LA INDUCCIÓN

27 1 Conjunto N

28 1 Conjunto N Agrdecemos el poyo Otorgdo l proyecto PAPIME PE pr l relizción de este libro electrónico

29 1 Conjunto N