Compensación y Observadores

Transcripción

1 Ingniría n ontrol y Automatización ompnsación y bsrvadors Difrncia ntr l control rtroalimntado por la salida y por los stados TERÍA DEL NTRL III 30 d octubr d 05 Autor: M. n. Rubén Vlázquz uvas Escula Suprior d Ingniría Mcánica y Eléctrica

2 ompnsación y bsrvadors Difrncia ntr l control rtroalimntado por la salida y por los stados En la toría d control clásico aplicado para sistmas SIS s busca obtnr caractrísticas spcíficas rlacionadas con l dsmpño transitorio y stacionario, pro qu stán basadas n las propidads intrínscas dl sistma a controlar. Por jmplo, para l disño d un compnsador (adlanto/atraso) s obsrva qu al analizarlo n conjunto con la planta, la sintonización s l rsultado dl ajust d los parámtros dl compnsador para qu los polos d lazo crrado s ubiqun n dtrminadas posicions. Sin mbargo, la ubicación d polos n lazo crrado por cualquir método clásico prsnta rstriccions qu varían dsd l modlo d la planta, hasta dl tipo d algoritmo d control qu s dsa usar. En otras palabras, para obtnr una ubicación arbitraria d los polos d lazo crrado, s db slccionar l algoritmo d control apropiadamnt, tomando n cunta qu ést dpndrá d dónd s dsan ubicar los polos. Es por llo qu l critrio principal para l disño d sistmas d control clásico s nfoca n obtnr un par d polos dominants tal qu prsntn un factor d amortiguaminto rlativo dsado, con una frcuncia natural no amortiguada. Adicionalmnt, s obsrva qu con ést método s aumnta l ordn dl sistma n uno o dos grados más; a mnos qu s utilic un algoritmo proporcional puro o qu s prsntn canclacions ntr polos y cros. Para l caso d la toría d control modrno s posibl spcificar la ubicación arbitraria d todos los polos d lazo crrado (no solo la d los polos dominants) tnindo como única condición la controlabilidad complta d los stados. Sin mbargo, para qu sto sa posibl s db tomar n cunta qu a difrncia dl control clásico n l qu solo s mid la variabl d salida, n l nfoqu d control modrno s ncsario mdir cada una d las variabls d stado o bin utilizar un obsrvador d stado. Al algoritmo d control basado n la rtroalimntación d los stados dl sistma s l conoc como compnsador por rtroalimntación d stados. MPENSADR REGULADR ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 onsidérs l sistma LTI dscrito por las cuacions d stado: ɺ ( t) A( t) B u( t) Dond la variabl u( t ) rprsnta la sñal d control scalar (d un solo componnt). Los valors propios o también llamados polos d lazo abirto λ s obtinn mdiant: dt n n n ( si A) s a s a s a s a s a ( s λ ) n n n i i Si la sñal d control s dscrib mdiant la dpndncia linal con rspcto a los stados, s tin ntoncs qu: u( t) ( t) Dond s una matriz d n dnominada matriz d ganancias d rtroalimntación d stado. n

3 En la figura s obsrva qu al aplicar la sñal d control dfinida antriormnt s obtin: ( ) ɺ ( t) A B ( t) Figura. Sistma d control n lazo crrado con u( t) ( t) D dond s sab qu la solución a la cuación difrncial stá dscrita mdiant la forma autónoma: ( ) t ( t) A B (0) En conscuncia, l algoritmo d control dscrito mdiant u( t) ( t) funciona como rgulador, dbido a qu las rspustas tmporals d todos los stados convrgn a cro (ya qu s l único punto d quilibrio para un sistma linal) y la sñal d rfrncia s nula (u solo dpnd d los stados y no d un valor dsado n los stados o n la salida). DISEÑ DE MPENSADRES PR RETRALIMENTAIÓN DE ESTADS D la cuación d stados y su solución dscrita mdiant l algoritmo rgulador, s obsrva qu tanto la stabilidad como la rspusta transitoria dpndrán d los valors propios d lazo crrado µ, obtnidos a partir d la cuación caractrística d ( A ) B. Es dcir: n n n ( si A B ) s s s s s ( s ) dt α α α α α µ n n n i i omparando con los polinomios caractrísticos dl sistma d control con compnsador y sin compnsador: n n n ( si A B) ( si A ) s ( a ) s ( a ) s ( a ) dt dt α α α S obsrva qu l compnsador rgulador n ralidad ajusta los coficints dl polinomio caractrístico inicials para obtnr los valors propios d lazo crrado arbitrarios. n n n ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05

4 Sin pérdida d gnralidad, considérs l caso n qu un sistma LTI d ordn n 3 sta dscrito mdiant la cuación d stados n su forma canónica controlabl: ɺ u ɺ 3 a3 a a 3 Dond vidntmnt l polinomio caractrístico prsnta la forma: ( λ )( λ )( λ ) s a s a s a s s s Supóngas admás qu s dsa disñar un compnsador por rtroalimntación d stados para ubicar los valors propios n lazo crrado d forma arbitraria n: { µ, µ, µ } Por lo tanto, s dfin l algoritmo d control: 3 u [ k k k3] 3 Sustituyndo n la cuación d stados s obtin ɺ ( A B), s dcir: ɺ [ k k k ] ɺ a a a 3 ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 bin: ɺ ɺ 3 a3 a a k k k 3 3 ( a3 k ) ( a k ) ( a k3 ) 3 btniéndos l polinomio caractrístico dsado: bin: ( ) ( ) ( ) ( µ )( µ )( µ ) s a k s a k s a k s s s ( )( )( ) s s s s s s 3 α α α 3 µ µ µ 3 0 Dond: α ( a k ) α ( a k ) α ( a k ) 3 ; ; 3 3 ; 3

5 Por lo tanto, la matriz d ganancias d rtroalimntación d stados s calcula mdiant: Ejmplo. [ k k k ] ( α a ) ( α a ) ( α a ) El modlo linalizado alrddor dl punto d quilibrio para un sistma barra sfra s: u ɺ Disñar un compnsador por rtroalimntación d stados para ubicar los valors propios d lazo crrado n µ j ; µ j y dtrminar la rspusta autónoma dl sistma compnsado para las condicions inicials: Solución: (0) (0) 0 Nóts qu las cuacions d stado stán tanto n la forma canónica controlabl como n la forma canónica d Jordán, d dond s obsrva qu l sistma s d stado compltamnt controlabl. Por otro lado, l polinomio caractrístico dl sistma stá dado por: Es dcir: a a 0 ( si A ) s a s a s dt Mintras qu l polinomio caractrístico dsado s: α α Dond: ( )( ) α α s s s j s j s s Por lo tanto, l compnsador por rtroalimntación d stados s dtrmina mdiant ɺ ( A B), s dcir: 0 0 ɺ [ k k ] 0 0 Dond la matriz d ganancias d rtroalimntación d stado s: [ k k ] ( α a ) ( α a ) [ ] ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 4

6 Por lo tanto, l sistma d control compnsado rsultant s: 0 ɺ alculando la MTE para dtrminar la rspusta autónoma con las condicions inicials stablcidas: {[ si A B] } Φ ( t) L L Finalmnt, la rspusta a las condicions inicials stá dada por: ( ) ( ) t t s sin t cos t sin t t t s s s sin t ( cost sin t) ( ) sin t cost sin t sin t cos t t t t t t t sin t ( cost sin t ) 0 sin t En la figura s mustran las rspustas tmporals d los stados para las condicions inicials stablcidas. Figura. Rspusta a las condicions inicials para l sistma dl jmplo ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 omo s obsrva, l disño dl sistma d control por rtroalimntación d stados antrior s ralizó aprovchando la forma canónica controlabl. Sin mbargo, n la mayoría d los casos la rprsntación n spacio d stados n un sistma no ncsariamnt s ncuntra n una forma canónica. Por lo tanto, si s dsa aplicar la misma mtodología para l disño dl compnsador por rtroalimntación d stados, s ncsario considrar la matriz d transformación d similitud qu proporciona la forma canónica controlabl. Para llo considérs un sistma rprsntado mdiant sus cuacions n spacio d stados n su forma canónica controlabl: zɺ A z B u omo ya s dmostró, n st caso la sñal d control s dfin mdiant la rtroalimntación d stados: u z Dond: ( α a ) ( α a ) ( α a ) ( α a ) n n n n 5

7 btniéndos l sistma d control rgulado: ( ) zɺ A B z Para obtnr la matriz d ganancias por rtroalimntación d stado para l sistma original s tin qu: A T AT y B T B z T ; Sustituyndo n l sistma canónico compnsado s tin: Por lo tanto: ( ) T ɺ T AT T B T ( ) ( ) ( ) ɺ T T AT T B T A B T A B Dond: T Ejmplo. alcular la matriz d ganancias d rtroalimntación d stados para sistma d control por rgulación dscrito por las cuacions d stado: 4 ( ) 3 u t ɺ Si los polos d lazo crrado dsados s localizan n µ µ Solución: bsérvs qu l sistma no stá n forma canónica alguna. Por lo tanto, s db comprobar la controlabilidad complta d stado ants d calcular la matriz d rtro d stados: 3 Mc rank ( ) Mc A continuación, s calcula la matriz d transformación d similitud para obtnr la forma canónica controlabl: Por lo tanto: T T Mc* P 0 4 ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 6

8 Postriormnt, s calculan los coficints dl polinomio caractrístico para l sistma no compnsado y compnsado rspctivamnt: s 4 dt si A s 3s 0 s a s a 3 s No compnsado: ( ) ompnsado (con polos dsados): ( ) s s 4s 4 s α s α Por lo tanto, la matriz d rtroalimntación d stados para l sistma original (qu no stá n forma canónica controlabl) s: T T 3 ( α a ) ( α a ) [ 4 7] [ 8] [ k k ] Finalmnt, l sistma d control compnsado rsultant s: 4 3 [ 8] ɺ omprobando l polinomio caractrístico dl sistma compnsado: s 3 dt ( si A B ) ( s )( s 6) ( 8)( 3) s s 6s s 6 ( si A B ) s s ( s ) dt 4 4 ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Fórmula d Ackrman onsidérs un sistma d stado compltamnt controlabl compnsado mdiant una rtroalimntación d stados: Dond: ɶA ( A B ) ɺ ( t) A ɶ ( t) Dl torma d ayly Hamilton s sab qu toda matriz cuadrada satisfac su polinomio caractrístico. Por lo tanto, la matriz ɶ A dl sistma compnsado satisfac l polinomio caractrístico dsado: ( ɶ ) ɶ n ɶ n p A A α A α Aɶ α I 0 d n n 7

9 Sin pérdida d gnralidad, considérs para l caso n qu n 3 y r Dond: ɶ ( ) 3 p A ɶ A ɶ α A ɶ α A ɶ α I 0 d 3 ( ) ( ) ( ) A A B A AB BA B A AB B A B A AB BA 3 ( ) ( )( ) Aɶ A B A B A AB BAɶ A A B ABAɶ BA ɶ 3 3 Sustituyndo n la cuación caractrística dsada: ( ɶ 3 ) ɶ ɶ ( ɶ ) ( ) p A A A B ABA BA α A AB BA α A B α I 0 d 3 ( ) 3 p ɶ α α α3 ɶ ɶ α α ɶ d A A A A I A B ABA BA AB BA αb 0 ɶ Nóts qu: ( ) 3 A αa αa α 3I pd A 0 Aɶ αaɶ α B Aɶ αaɶ α AB Aɶ α A B[ ] B AB A B Aɶ α Por lo tanto: p d A αa α ɶ α ( ɶ ) pd ( ) ɶ A A B AB A B A 0 p d Aɶ αaɶ α A B AB A B ɶ A α ( ) A αa α B AB A B p ( ) ɶ d A A α ɶ ɶ ɶ ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 8

10 Aɶ αaɶ α B AB A B p ɶ d A A α [ 0 0 ] ( ) [ 0 0 ] Finalmnt, la fórmula d Ackrman para calcular la matriz d ganancias por rtroalimntación d stados s: Ejmplo 3. [ 0 0 ][ ] p ( ) M A d alcular la matriz d rtroalimntación d stados utilizando la fórmula d Ackrman para l sistma dscrito por las cuacions d stado: 0 0 ɺ 0 0 u ɺ Si los polos d lazo crrado dsados son: µ.5 j; µ.5 j; µ 3 0 Solución: ) omprobando la controlabilidad complta: 0 0 M 3 M 4 ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 ) alculando l polinomio caractrístico dsado: ( ) ( )( )( ) 3 3 p s s.5 j s.5 j s 0 s 5s 57.5s 7.5 s α s α s α d 3) Sustituyndo n la fórmula d Ackrman: 0 A A A I 3 [ 0 0 ] 3 ( α α α3 ) [ ]

11 Finalmnt: [ 9.5 0] Sustituyndo n la rtro d stados s obtin ɺ ( A B), s dcir: omprobando l rsultado, s tin qu: 0 0 ɺ 0 0 [ ] ɺ ɺ ɺ s 0 3 ( I A B ) dt s 9.5 s 0 s 5s 57.5s s DISEÑ DE SERV MPENSADRES TIP (MPENSADR SEGUIDR) onsidérs l sistma d control dscrito mdiant: Dond: { } u, y R; D 0 ɺ A Bu y El disño d compnsadors por rtroalimntación d stados también s pud utilizar para rsolvr problmas d control por sguiminto. Lo antrior sucd cuando la sñal d rfrncia s una constant qu s pud ajustar a difrnts valors fijos durant distintos intrvalos d timpo; para lo cual s analizan dos casos gnrals:. uando l sistma s clas uno. uando l sistma s clas cro ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 0

12 ompnsador sguidor tipo para sistmas clas Sin pérdida d gnralidad, considérs qu para un sistma d ordn n 3 la salida s dscrib mdiant: y u [ 0 0] [ 0] 3 En la figura s mustra l sistma d control por sguiminto con rtroalimntación d stados cuando la planta s clas uno; o bin, la variabl d salida s pud asociar con un valor propio n l orign. Figura. Sistma d control por sguiminto tipo para una planta clas. D la figura s obsrva qu l algoritmo d control stá dscrito mdiant: ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Es dcir: u k k33 k ( r ) [ k k k3] kr u k r 3 Nóts qu si r( t ) s una función scalón y s dfin ( t) ( t) ( ) s obtin: ɺ ( A B) D dond s obsrva qu la matriz d ganancias s calcula dl mismo modo qu para l caso dl controlador rgulador

13 Ejmplo 4. Dtrminar l algoritmo d control por rtroalimntación d stados para l control por sguiminto para un srvomcanismo (cas ) dscrito por las cuacions d stado: ɺ u ɺ y u [ 0 0] [ 0] 3 Si s dsa ubicar los polos d lazo crrado n: µ j ; µ j ; y µ 3 8 Solución: laramnt, d la forma canónica diagonal s obsrva qu l sistma s d stado compltamnt controlabl. Por otro lado, l polinomio caractrístico dsado s: ( )( )( ) 3 p ( s) s j s j s 8 s s 40s 64 d Por lo tanto, la matriz d ganancias d rtroalimntación d stados stá dada por: [ 0 0 ] Finalmnt, l algoritmo d control tin la forma: [ k k k ] [ ] u( t) r( t) [ ] 3 ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05

14 ompnsador sguidor tipo para sistmas clas 0 Si l sistma d lazo abirto no tin polos n l orign, para liminar l rror n stado stacionario provocado por sta situación, s combinan la rtroalimntación d stados y la rtroalimntación d la salida agrgando un algoritmo intgral n lazo dircto con l sistma rtroalimntado por los stados, como s mustra n la figura 3. Figura 3. Sistma d control por sguiminto tipo para una planta clas 0 En st caso, l ordn dl sistma s vulv d n, dfinindo l algoritmo d control mdiant: u k ɺ r y r I Por lo tanto, l sistma d control s pud rscribir ntoncs mdiant las cuacions d stado: A 0 B u r ɺ I I I I ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Nuvamnt, considrando r( t ) como una función scalón y dfinindo: S obtin la cuación d ordn n : ( t) ( ) ( t) ( ) I I I u u( t) u ( ) ɺ A 0 B 0 0 u ɺ I I 3

15 Dfinindo l vctor d ordn n : I S obtin la cuación d stados: ɺ A ˆ B ˆ u Dond: ˆ A 0 A ; 0 ˆ B B 0 Por lo tanto, l algoritmo d control por rtroalimntación d stados s pud rdfinir mdiant: Dond: u ˆ ˆ [ k ] Finalmnt, sustituyndo la ly d control n la cuación difrncial dl rror d stados, s obtin: I ( ˆ ˆ ˆ ) ɺ A B En otras palabras, si los n valors propios dsados d ˆ ˆ ˆ µ µ µ n A B son {,,, }, ntoncs la matriz d rtroalimntación d stados y la ganancia intgral k I s pudn dtrminar también mdiant l mismo método qu s mpla para l disño d un controlador rgulador. Ejmplo 5. Disñar l sistma d control por sguiminto tipo para l sistma clas cro, dscrito por las cuacions d stado: 4 ( ) 3 u t ɺ y [ ] [ 0 ] u( t) Los polos d lazo crrado dsados s localizan n µ j ; µ j ; y µ 3 8 ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 4

16 Solución: bsérvs qu l sistma s l mismo dl jmplo, pro ahora s dsa obtnr l sistma d control por sguiminto tipo uno. Primramnt s rdfin l sistma d cuacions ɺ A ˆ B ˆ u ; dond: Evaluando la controlabilidad s obtin: 4 0 ˆ A A ; 0 0 ˆ B B ˆ 7 ; rank ( ˆ ) 3; ˆ M M M Por otro lado, l polinomio caractrístico dsado stá dado por la ubicación d los polos d lazo crrado dsados: ( )( )( ) 3 p ( s) s j s j s 8 s s 40s 64 d Finalmnt, la matriz d ganancias d rtroalimntación y la ganancia intgral calculadas por la fórmula d Ackrman son: ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Es dcir: ˆ [ ] [ ] [ k k k ] ˆ I [ ] ; 6.4 Finalmnt, n la figura 4 s mustra l squma d control por sguiminto rsultant, mintras qu n la figura 5 s mustran las rspustas para una sñal d ntrada scalón unitario, corrspondints al sistma ants y dspués d compnsarlo mdiant l squma mostrado n la figura 4. k I 5

17 Figura 4. Sistma d control por sguiminto para l jmplo 5 Figura 5. Rspusta al scalón unitario ants y dspués d compnsar l sistma dl jmplo 5 Nota: Las cuacions dl sistma d control n lazo crrado s obtinn mdiant: A 0 B 0 [ ] 0 0 ki r ɺ I I 0 y [ 0] 0 r I ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 6

18 Es dcir: ɺ r ɺ I 0 I 0 y [ 0 ] 0 r 0 I Principio d sparación cuando l stado no s compltamnt controlabl Es fundamntal no olvidars qu las cuacions d stado LTI suln sr l rsultado d aproimacions linals alrddor d algún punto o intrvalo d opración. Para llo supóngas qu l sistma dscrito por las cuacions d stado contin l stados no controlabls y n conscuncia la matriz d controlabilidad s dcir: rank Para l caso n qu s tin una ntrada la matriz n ( B AB A B A B ) n l M s d rango M s cuadrada, lo qu significa qu s una matriz singular. n l ; ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 El principio d sparación consist n sparar la part controlabl dl sistma d la no controlabl s construy una matriz d transformación M tomando como bas la matriz d controlabilidad y rmplazando las l columnas (o filas) linalmnt dpndints por otras linalmnt indpndints, las cuals s slccionan d forma arbitraria. El sistma similar rsultant spara la part controlabl d la part no controlabl d la forma: Dond: Tanto l par d matrics {, } qu l par {, } A A B u ɺ N A A B N A A B MAM; MB A A B A B junto con l vctor A B junto con l vctor N corrspondn a la part controlabl dl sistma mintras corrspondn a los stados no controlabls. Por lo tanto, l disño d la rtro d stados para sistma sparado stá condicionado a qu la part no controlabl sa stabilizabl. D lo contrario no tin sntido alguno utilizar una rtro d stados ya qu l sistma srá instabl para cualquir rtro d stados propusta. 7

19 Por lo tanto, si l algoritmo d control para la part controlabl: S calcula mdiant: ɺ A B u u Entoncs, la matriz d ganancias d rtroalimntación dl sistma transformado s dfin como: [ ] u 0 N omo s obsrva, las ganancias corrspondints a los stados no controlabls s multiplican por cro ya qu éstos no s pudn modificar n lazo crrado. Finalmnt, tomando n cunta qu l sistma similar s obtin d: M M N N Entoncs, la matriz d ganancias por rtro d stado para l sistma original (no sparado) s calcula mdiant: Ejmplo 6. onsidérs l sistma dscrito por las EE: [ ] 0 M ɺ u ɺ Dond s obsrva qu l sistma no s d stado compltamnt controlabl con rspcto al valor propio n 4 ; s dcir: 0 0 M ; rank ( M ) omo s obsrva la sgunda fila d la matriz d controlabilidad s linalmnt dpndint y por lo tanto la matriz M s singular. bsérvs qu l valor propio asociado al stado no controlabl s stabl. Es dcir qu l stado no controlabl s stabilizabl. alcular la matriz d rtro d stados para la part controlabl, ubicando lo polos d lazo crrado n µ j; µ j ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 8

20 Solución: D la matriz d controlabilidad s modifica la fila linalmnt dpndint por otra qu sa linalmnt indpndint para obtnr la matriz no singular: M 0 0 M 0 0 Dond M s la matriz d controlabilidad modificada. Postriormnt, s utiliza transformación d similitud: MAM 3 ; MB M como matriz d omo s obsrva, la part no controlabl quda aislada n l bloqu infrior drcho, por lo qu s procd a calcular la matriz d rtro d stados para la part controlabl. El polinomio caractrístico d lazo crrado s: Por fórmula d Ackrman: ( )( ) p ( s) s j s j s 4s 5 s α s α d [ 0 ] 4 5 [ 3 ] Por lo tanto, la matriz d rtro d stados para l sistma original s: ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d [ 3 0] [ 5 ] Finalmnt, aplicando la rtro d stados s obtinn los polos d lazo crrado (controlabls y no l controlabl): s s 5 dt ( si A B ) s [ 5 ] 0 s s s ( )( ) ( )( )( ) 3 s s s s s s s j s j s

21 BSERVADRES DE ESTAD En l método d ubicación d polos mdiant la rtroalimntación d stados s asum qu todos los stados stán accsibls y s pudn mdir. Sin mbargo, n la práctica no todos los stados suln star disponibls para su rtroalimntación o bin su mdición rsulta costosa; por lo qu s ncsario disñar un algoritmo dinámico qu prmita stimar los stados n lugar d mdirlos. El algoritmo stimador qu rconstruy l stado dl sistma s conoc también como obsrvador d stados. Para llo, considérs l sistma dscrito n la figura 6(a), cuyas cuacions d stado son: ɺ A Bu y Figura 6. (a) DSA d un sistma LTI y (b) DSA dl algoritmo obsrvador d stados omo s obsrva n la figura 6(b), n l modlo matmático dl obsrvador s considra una copia dl sistma con los stados y la salida stimados más un factor d corrcción para compnsar las imprcisions qu s pudiran prsntar n las matrics d stados A y B, así como la difrncia ntr las condicions inicials dl sistma y dl obsrvador. Las cuacions qu dscribn l comportaminto dl obsrvador son: ( ɶ ) ɺɶ Aɶ Bu y y yɶ ɶ Nóts qu las ntradas dl obsrvador son la sñal d ntrada u y la salida dl sistma y, mintras qu las salidas dl obsrvador son los stados stimados ɶ ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 0

22 omparando la cuación d stados dl sistma con la cuación dl obsrvador s obtin: ( ) ( ) ɺ ɺɶ A ɶ ɶ y y Dado qu y ; yɶ ɶ y dfinindo ɶ s obtin ntoncs la cuación dl rror d stimación dl obsrvador: ( ) ɺ A omo s obsrva, la cuación rsultant s congrunt con l problma d disño d un rgulador, dond s slcciona la dinámica d stimación para qu ɶ ; s dcir 0 Ejmplo 7. Disñar l obsrvador d stados tal qu la dinámica dl obsrvador s dscriba mdiant los polos dl obsrvador {,, } η η η si l sistma s dscrib mdiant las cuacions d stado: 3 Solución: 0 0 a3 0 0 ɺ a u ɺ 3 0 a 3 0 y [ 0 0 ] 3 ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Para qu s puda construir l obsrvador d stados, primro s ncsario vrificar la obsrvabilidad complta dl sistma mdiant: D dond s obsrva qu ( ) M A a A a a dt M por lo qu l sistma s d stado compltamnt obsrvabl; s dcir: ( M ) rank 3 Lo siguint s obtnr l polinomio caractrístico dsado: 3 ( I A ) ( )( )( ) dt s s η s η s η s γ s γ s γ 3 3

23 Por otro lado, nóts qu l sistma dscrito por las cuacions d stado stá n forma canónica obsrvabl. Por lo tanto s obtin la matriz: Por lo tanto: s 0 a3 k s 0 a3 0 0 k s s a k 0 0 s a 0 0 k ( I A ) [ ] 0 s a k s a k3 s 0 a3 k s s a k 0 s a k ( I A ) s 0 a k ( si A ) s a k s ( a k ) s ( a k ) s ( a k ) dt s a k omparando los polinomios obtnidos s obtin: γ 3 ( a k ) γ ( a k ) γ ( a k ) ; 3 ; Finamnt, la matriz d ganancias dl obsrvador s obtin mdiant: k γ 3 a3 γ k a k 3 γ a 3 3 uando l sistma no s ncntra n la forma canónica obsrvabl, s posibl dtrminar la matriz d ganancias dl obsrvador mdiant la transformación d similitud T z d modo qu s obtin l sistma n la forma canónica obsrvabl: Dond: A T AT ; zɺ A z B u y z B T B ; ; Por lo tanto, l obsrvador dl sistma n la forma canónica obsrvabl s: T T ( P M ) ( ɶ ) zɺɶ A zɶ B u y y ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05

24 Dond: γ n an γ a γ a Por otro lado, la corrspondint cuación dl rror para la forma canónica obsrvabl s: ( ) ɺ A Finalmnt, la matriz d ganancias dl obsrvador para l sistma original (qu gnralmnt no stá n la forma canónica obsrvabl) s obtin tomando n cunta la transformación: ( ) z zɶ T T ( ɶ ) obtniéndos: Por lo tanto: Dond: ( ) T T AT T T ( A ) T ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Es dcir, aunqu las cuacions d stado no stén n la forma canónica obsrvabl la matriz dtrminar calculando la solución matriz d transformación T s pud para la forma canónica obsrvabl y postriormnt pr-multiplicando la También s posibl aplicar la fórmula d Ackrman considrando l problma dual; s dcir, si l par { A, } s compltamnt obsrvabl, ntoncs l par { T T, } transpusta d la matriz d ganancias dl obsrvador s calcula mdiant: A s compltamnt controlabl y n conscuncia, la [ 0 0 ] pd ( ) M A T T T Dond pd ( s) s l polinomio caractrístico dsado dl obsrvador. Finalmnt: T T 3

25 Ejmplo 8. Disñar l obsrvador complto d stado para l sistma dscrito por: ɺ u ɺ y [ 0. 0 ] 3 Si los polos dl obsrvador s dsan ubicar n η 4 j ; η 4 j ; η 3 8 Solución: Primro s compruba la obsrvabilidad mdiant: M Dond: ( M ) ( M ) dt.85; rank 3 A continuación l cálculo d la matriz A A : ) Por l método d la matriz d transformación T T ( ) P M Por lo tanto: T A T AT ; 0 0 ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 4

26 Es dcir: 3 ( I A ) dt s s 0s 00 s a 0; a 00; a 0 Mintras qu l polinomio caractrístico dsado stá dado por: Por lo tanto: 3 3 ( I A ) ( )( )( ) dt s s 4 j s 4 j s 8 s 6s 8s 36 γ 6; γ 8; γ T ) Por l método d Ackrman 3 [ ] ( ) ( ) ( ) T T 0 0 T T T M A A A I ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Para visualizar la forma n qu los stados stimados convrgn a los stados rals, n la figura 7 s prsnta la comparación gráfica ntr ambos. Para llo, s considran condicions inicials nulas n l obsrvador y para l π sistma ral las condicions inicials siguints: (0) ; (0) 0; 3(0) 0 Figura 7. Gráficas d los stados rals vs los stados stimados dl jmplo 8 5

27 Nóts qu la stimación al principio difir d manra tal qu l rror primro va n aumnto ants d corrgirs y tndr hacia cro n un timpo finito d aproimadamnt d sgundos. El rror d stimación inicial s pud mjorar slccionando una ubicación distinta para los polos dl obsrvador. Lo antrior s concluy tras analizar los valors propios dl sistma original. Para l sistma dl jmplo 8, los valors propios dl sistma a obsrvar son λ 0; λ.479; λ 88.58; s dcir qu con cpción dl polo n l orign qu stá rlacionado con la posición angular, l sistma original prsnta una dinámica más rápida para la vlocidad y la corrint d armadura n comparación con la dinámica propusta para l obsrvador. Por lo tanto, si s proponn nuvos polos para l obsrvador con l propósito d mjorar la stimación, s dbn considrar polos con dinámica similar o más rápida qu la dl sistma obsrvado. Ubicando los nuvos polos dl obsrvador d forma arbitraria con la condición d mjorar la vlocidad d rspusta con rspcto al sistma original, s proponn: η 0; η 30; η 3 5 En la figura 8 s pud obsrvar notablmnt l cambio o mjora n la stimación d los stados. Figura 8. Estimación d stados mjorada dl jmplo 8 on la nuva ubicación d polos dl obsrvador s obtin la matriz d ganancias: En la práctica s db tnr cuidado al momnto d slccionar las ganancias dl obsrvador d stados, principalmnt si s sab qu la sñal d salida stá contaminada d manra significativa por prturbacions o ruido n las mdicions; n cuyo caso una alta ganancia amplificará l ruido, por lo qu utilizar dirctamnt la sñal d salida sul sr poco confiabl sin un procso d acondicionaminto o filtrado prvio. ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 6

28 MPENSADR N BSERVADR DE ESTADS uando s disña un compnsador por rtro d stados, la hipótsis principal qu s asum s qu todos los stados son mdibls y stán a disposición. Sin mbargo, como ya s mncionó, n la práctica l stado d un sistma pud no star disponibl para su mdición y por lo tanto s rcurr al uso d un obsrvador d stados. En la figura 9 s prsnta l squma d un sistma d control rgulador qu rtroalimnta los stados obtnidos mdiant un obsrvador d stados. ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Figura 9. Sistma d control por rtro d stados con obsrvador uando l sistma s d stado compltamnt controlabl y compltamnt obsrvabl, la ly d control stá dfinida mdiant: Al aplicarlo a las cuacions d stado s tin qu: u ɶ ( ) ( ) ɺ A Bɶ A B B Bɶ A B B ɶ Rcordando qu ( ɶ ), s tin: ɺ ( A B ) B ( ) ɺ A 7

29 Por lo tanto, s obtin la rprsntación d stados: ɺ A B B ɺ 0 A La cual dscrib la dinámica dl sistma d control compnsado obsrvado, cuya cuación caractrística stá dscrita por: si A B B dt si A B si A 0 0 si A Es dcir, los polos dl sistma d control rtroalimntado obsrvado son l rsultado dl disño por ubicación d polos dl compnsador y por l disño d ubicación d polos dl obsrvador d forma indpndint, por lo qu ambos d disñan por sparado. No stá d más dcir qu primro s hac l disño dl compnsador y postriormnt s disña l obsrvador proponindo sus polos d dos a cinco vcs más aljados dl j imaginario para qu la stimación convrja ants qu la compnsación. Ejmplo 9. onsidérs l sistma d un péndulo simpl qu consta d una funt d nrgía qu impulsa l moviminto dl péndulo dsd l trmo dl mismo, como s ilustra n la figura 0. Figura 0. Esquma d un péndulo con ntrada n l trmo Disñar un compnsador qu mantnga n posición horizontal l péndulo n prsncia d prturbacions, considrando qu solo s pud mdir como salida la posición angular. La cuación d quilibrio dl sistma stá dada por: Dond: 0.5[ kg ]; m ɺɺ θ bɺ θ mg θ f l lsin l m m ; sg g 9.8 l 0.5[ m ]; b 0.5 Nm*sg rad ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 8

30 Solución: Dfinindo los stados y la ntrada como θ; ɺ θ; u f s obtinn las cuacions d stado no linals: (,, ) ɺ f u g b ɺ f (,, u) sin u l ml ml y g u (,, ) q π q Por otro lado, l punto d quilibrio s [ ] [ ] D s modo: rad ; 0 rad/sg ; por lo tanto: [ ] q u mg.455 N f ( u),, 0 q q, u f ( u),, 0 q q, u Por lo tanto, l modlo linalizado alrddor dl punto d quilibrio dscrito s d la forma: ɺ A B u; dond: (,, ) (,, ) f u f u f (,, u ) u A ; B (,, ) (,, ) (,, ) f u f u f u u q q q q, u, u ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 g (,, u) g (,, u) ; D g (,, u) q q u q q, u, u Finalmnt, l modlo linalizado alrddor dl punto d quilibrio stá dado por: 0 0 ; [ 0] [ 0] u y u ɺ A continuación, para disñar l compnsador y postriormnt l obsrvador, s vrifican la controlabilidad y la obsrvabilidad dl sistma linalizado: omo s obsrva, las matrics M 0 8 ; 8 9. M y M son no singulars M 0 ; 0 9

31 Nóts qu los valors propios son λ 0; λ.4; por lo qu proponindo los polos dl compnsador n µ, 5 ± j s obtin la matriz d ganancias dl compnsador: [ ] Por otro lado, los polos propustos dl obsrvador s ubican n η, 0; dbido a qu s slcciona una dinámica 4 vcs más rápida qu la dl compnsador (part ral d los polos). onscuntmnt, la matriz d ganancias dl obsrvador s: En la figura (a) s mustra l diagrama d simulación construido n SIMULIN para vrificar los rsultados dl sistma d control con compnsador obsrvador. Así mismo, n la figura (b) s mustran las gráficas d comparación ntr los stados y los stados stimados. (a) ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 30

32 (b) Figura. (a) Diagrama d SIMULIN para simular la solución dl jmplo 9 (b) gráficas comparativas rsultants ntr stados rals (azul) y stados stimados (rojo) Nota: Para simular l sistma s introducn condicions inicials difrnts d cro n l modlo d la planta, pro crcanas al punto d linalización (punto d quilibrio) y postriormnt s introduc una pquña prturbación. BSERVADR DE RDEN MÍNIM ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 omo s ha mncionado, la tara d un obsrvador consist n rconstruir todo l stado a partir d la mdición d la salida. Sin mbargo, n la práctica alguno d los stados sul sr mdibl y usualmnt sul sr aqul dl qu dpnd plícitamnt la salida. D s modo, no s ncsario stimar l stado qu ya s mdibl por lo qu s disña un obsrvador d mnor ordn y no d stado complto para stimar l rsto d los stados no mdibls. Suponindo qu l sistma tin n stados y m salidas mdibls. Por lo tanto, l sistma no ncsita mdir las m variabls d salida qu son l rsultado d la combinación linal d los n stados por lo qu solo s ncsitan stimar (n m) stados. Finalmnt, l obsrvador d ordn rducido (n m) s conoc como obsrvador d ordn mínimo. En la figura s mustra l squma d un sistma d control rtroalimntado por stados con obsrvador d ordn mínimo. Figura. Esquma d sistma d control con obsrvador d ordn mínimo 3

33 Para analizar la construcción dl obsrvador d ordn mínimo, considérs l sistma con m ; y r ; dscrito por las cuacions d stado: Dond s l stado mdibl y a b ɺ a Aaa Aab a Ba ɺ u b Aba Abb b Bb son los ( ) a y [ 0] b stados d la part mdibl s rprsnta ntoncs mdiant: n stados qu l obsrvador dbrá stimar. La cuación d ɺ a A aa a A ab b B a u bin, sparando los términos mdibls d los no mdibls, s obtin la cuación: ɺ a A aa a B a u A ab b La cual actúa como una cuación d salida ya qu rlaciona las cantidads mdibls con las no mdibls. Por otro lado, la cuación corrspondint a la part no mdibl s dscrib mdiant: ɺ b A ba a A bb b B b u D dond los términos A ; y B u b son cantidads conocidas. Para construir l obsrvador d ordn mínimo s ba a considran las quivalncias mostradas n la tabla, la cual mustra una comparación ntr los lmntos dl obsrvador d ordn complto y l obsrvador d ordn mínimo. bsrvador d stado complto ɶ bsrvador d ordn mínimo ɶ b A bb A B u Abaa B bu y A B u R n ɺ a aa a a A ab ( ) R n Tabla. Elmntos sustitutos para scribir la cuación dl obsrvador d ordn mínimo Por lo tanto, si la cuación dl obsrvador d ordn complto tin la forma: ( ) ɺɶ A ɶ Bu y ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 3

34 Al hacr las corrspondints sustitucions para l obsrvador d ordn mínimo s tin: ( ) u ( A B u) ɺɶ A A ɶ A B ɺ b bb ab b ba a b a aa a a Al pasar los términos drivativos d un solo lado d la igualdad s tin: ( ) ɶ ( ) ( ) ɺɶ ɺ A A A A B B u b a bb ab b ba aa a b a Dfinindo: y w ; y por lo tanto ɶ ɶ y w ɶ ; s pud rscribir la b a b cuación dl obsrvador d ordn mínimo mdiant: b a b ( ) ɶ ( ) ( ) wɺɶ Abb Aab w Abb Aab Aba Aaa y Bb Ba u Finalmnt, dfinindo las matrics: A A A ; bb ab B A A A ba aa F B B b a La cuación dl obsrvador d ordn mínimo s convirt n: wɺɶ Aw ɶ B y F u Nóts qu para calcular la matriz d ganancias dl obsrvador d ordn mínimo s db satisfacr la obsrvabilidad complta con rspcto al par d matrics A bb y A ab ; s dcir: ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Aab A A M ; 0 0 m Mm m A n AabAbb Por otro lado, la salida dl obsrvador s dfin mdiant: [ ] p ( ) ab bb T T T d bb a y 0 ɶ [ ɶ b y] y b b In Por lo tanto, dfinindo 0 ; D I ; S obtin la cuación d transformación d ɶw a ɶ : n ɶ w ɶ D y 33

35 En la figura 3 s mustra l squma d un sistma d control rtroalimntado d stados obsrvados, basado n un obsrvador d ordn mínimo. Ejmplo 0 Figura 3. Sistma d control rtroalimntado por stados obsrvados, basado n un obsrvador d ordn mínimo onsidérs l sistma d un srvomotor rprsntado mdiant las cuacions d stado ɺ u ɺ y u [ 0 0] [ 0] 3 S dsa disñar l compnsador rgulador, basado n un obsrvador d ordn mínimo considrando qu solo la variabl s mdibl. Los polos dsados dl compnsador para rgular la posición mdiant una rspusta subamortiguada son µ, 5 ± 5 j ; µ 3 60; mintras qu los polos dsados dl obsrvador d ordn mínimo s dsan n η 60; η 0 ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 34

36 Solución:. La controlabilidad dl sistma s compruba mdiant la matriz: M ; rank ( M ) Dfinindo ; a ; así como las matrics: b Aaa Aab 0 00 ; Aba Abb Ba 0 Bb 0. La obsrvabilidad d stado para l obsrvador d ordn mínimo s compruba mdiant: M m Aab 0 ; rank ( ) 00 Mm AabAbb 3. alculando la matriz d ganancias dl compnsador d rtro d stados por l método d Ackrman s obtin: [ ] 4. La matriz d ganancias dl obsrvador d ordn mínimo s: ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d Finalmnt, calculando las matrics para la cuación dl obsrvador d ordn mínimo, así como para la transformación s tinn: A [ 0] B [ 0] F ( 0)

37 I n 0 D 79 9 En la figura 4 s mustra un squma dl sistma d control rgulador con obsrvador d ordn mínimo rsultant Figura 4. Sistma d control rgulador con obsrvador d ordn mínimo Ejmplo onsidérs l sistma d un srvomotor dl jmplo antrior. Disñar un compnsador sguidor tipo, basado n un obsrvador d ordn mínimo considrando nuvamnt qu solo la variabl s mdibl. ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 36

38 Solución: Dado qu l sistma s clas uno, no s ncsario aumntar l stado. Por lo tanto, si s utilizan los mismos polos dsados dl compnsador n l jmplo antrior µ, 5 ± 5 j ; µ 3 60; así como los polos dsados dl obsrvador d ordn mínimo η 60; η 0; las matrics d ganancias tanto dl compnsador como dl obsrvador srán rspctivamnt: [ ] 79 9 Sin mbargo, s important sñalar qu l obsrvador d ordn mínimo solo stima los stados no mdibls y qu l stado mdibl (qu s la salida) s utiliza como lazo trno d manra similar como s mustra n la figura. Por lo tanto, l squma sguidor tipo con obsrvador mínimo rsultant s una modificación dl compnsador obsrvador d ordn mínimo dl jmplo antrior. En la figura 5 s mustra la primr propusta para la solución dl sistma sguidor tipo. ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Figura 5. Sistma d control sguidor tipo basado n un obsrvador d ordn mínimo: Propusta Por otro lado, analizando las cuacions dl obsrvador mínimo, s tin qu: ɶ y ɶ ɶ wɶ D y y 3 0 ɶ y ɶ 9 37

39 Por lo tanto, si solo s dsa trar los stados stimados s considra la cuación: 0 ɶ 79y 79 ɶ ɶ ɶ b In w y y ɶ y ɶ 3 3 Finalmnt, n la figura 6 s mustra la sgunda propusta dl squma d control d un compnsador sguidor basado n un obsrvador d ordn mínimo. Figura 6. Sistma d control sguidor tipo basado n un obsrvador d ordn mínimo: Propusta Principio d sparación cuando l stado no s compltamnt obsrvabl D manra similar al cas d la controlabilidad, l problma dual d la no controlabilidad complta aparc también para l caso n qu l sistma no s d stado compltamnt obsrvabl, n cuyo caso istn stados qu no s pudn rconstruir y n conscuncia no s posibl calcular l obsrvador d stados. Sin mbargo s posibl disñar un obsrvador para los stados qu son obsrvabls, simpr y cuando la part no obsrvabl sa dtctabl. Para plicarlo a dtall, supóngas qu l sistma dscrito por las cuacions d stado contin l stados no obsrvabls y n conscuncia la matriz d obsrvabilidad M s d rango n l ; s dcir: A rank A A n n l ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 38

40 Para l caso n qu s tin una salida la matriz M s cuadrada, lo qu significa qu s una matriz singular. El principio d sparación consist n sparar la part obsrvabl dl sistma d la no obsrvabl, d modo qu s construy una matriz d transformación M tomando como bas la matriz d obsrvabilidad y rmplazando las l columnas (o filas) linalmnt dpndints por otras linalmnt indpndints, las cuals s slccionan d forma arbitraria. El sistma similar rsultant spara la part obsrvabl d la part no obsrvabl d la forma: Dond: El par d matrics {, } par {, } A A B u ɺ N A A B y N [ ] N A A B [ ] MAM; M; MB A A B A junto con l vctor A junto con l vctor N corrspondn a la part obsrvabl dl sistma mintras qu l corrspondn a los stados no controlabls. Por lo tanto, l disño dl obsrvador d stados para sistma sparado stá condicionado a qu la part no obsrvabl sa dtctabl (similar al problma dual, un stado dtctabl stá asociado a un valor propio stabl). D lo contrario no tin sntido alguno utilizar un obsrvador d stados ya qu no s pud rconstruir l stado para postriormnt rtroalimntarlo. Asumindo qu l stado no obsrvabl s dtctabl, la cuación dl obsrvador d stados rsultant s: ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Dond ( ɶ ) ɺɶ Aɶ B u y y yɶ ɶ s la matriz d ganancias dl obsrvador para la part obsrvabl. Por lo tanto, la cuación dl rror para l obsrvador corrspondint a la part obsrvabl (considrando ɶ ) s: ( ) ɺ A Finalmnt, tomando n cunta qu l sistma similar s obtin d: M M N N Entoncs, la matriz d ganancias dl obsrvador d stado para l sistma original (no sparado) s calcula mdiant: M 0 39

41 Ejmplo onsidérs l sistma dscrito por las EE: Al analizar la obsrvabilidad dl sistma s obsrva qu: ɺ u ɺ 3 3 y u [ 3 6] [ 0] M ; rank ( M ) omo s obsrva, la trcra columna d la matriz d obsrvabilidad s linalmnt dpndint y por lo tanto la matriz M s singular. Dtrminar si l stado no obsrvabl s dtctabl y n caso d sr cirto, calcular la matriz µ µ ganancias para la part obsrvabl, ubicando lo polos dl obsrvador d stados n 8; 0 Solución: Modificando la trcra columna d la matriz d obsrvabilidad para obtnr la matriz no singular: Dond M M M s la matriz d obsrvabilidad modificada. Postriormnt, s utiliza transformación d similitud: MAM 9 ; M [ 0 8 ]; 0 0 M como matriz d omo s obsrva, la part no obsrvabl quda aislada n l bloqu infrior drcho, mintras qu l par { A, } s compltamnt obsrvabl 0 A ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 40

42 El polinomio caractrístico dsado dl obsrvador s: ( )( ) p ( s) s 8 s 0 s 8s 80 s γ s γ Por lo tanto, aplicando la fórmula d Ackrman s obtin: T d [ 0 ] 8 80 [ 48 34] Por lo tanto, la matriz d ganancias dl obsrvador para l sistma original s: Finalmnt, la cuación dl rror para l obsrvador d stados stá dada por: ɺ ɺ ɺ En la figura 7 s mustra la rspusta dl rror para condicions inicials difrnts d cro: ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 Figura 7. Rspusta d la sñal d rror para l obsrvador d stado dl jmplo 4

43 Problmas propustos onsidérs l sistma dl péndulo invrtido d la figura 5 Figura 5. Esquma d un péndulo invrtido q Dond las cuacions d moviminto linalizadas alrddor dl punto d quilibrio instabl θ 0 ( ) ml ɺɺ θ m m gθ u c c p son: mɺɺ u m g θ c c p I. Disñar un compnsador rgulador considrando condicions inicials difrnts d cro n θ II. Disñar un compnsador sguidor tipo para la posición dl carro c ; mantnindo rgulada la posición dl III. IV. péndulo invrtido. Simular su rspusta para difrnts valors d rfrncia Disñar un obsrvador d stado complto para l sistma d control rgulador y simular sus rsultados. btnr las gráficas comparativas ntr los stados rals y sus stimados. Disñar un obsrvador d stado complto para l sistma d control sguidor tipo y simular sus rsultados. btnr las gráficas comparativas ntr los stados rals y sus stimados. V. Disñar un obsrvador d ordn mínimo considrando qu s pudn mdir tanto la posición angular dl péndulo como la posición traslacional dl carro. Validar sus rsultados mdiant simulación. Nota: g 9.8 m/sg ; [ ] p r c. l 0.5 m ; m 0.6[ g ]; m 0.48[ g ]; c ompnsación y bsrvadors 30 d octubr d 05 4