Interpolación Numérica

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1 Titulac: Asigatura: Autor: Igeiero Geólogo Aálisis Numérico César Meédez Ultima actualizac: 4//8 Iterpolac Numérica Plaificac: Materiales: Coocimietos previos: 4 Teoría+ Prácticas+ Laboratorio MATLAB T mas. básicos de Cálculo Desarrollos de Taylor Sistemas lieales

2 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Ejemplo Descripc Esayos e laboratorio que determia la permeabilidad de u material para diferetes presioes Objetivos Estimar su permeabilidad para presioes itermedias Temario Determiar el tipo de problema y seleccioar la base de Bibliografía fucioes Eistecia y uicidad de soluc? Soporte {,,, }..5. permeabilid dad pres(atm )

3 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Descripc Sustituc de ua fuc (coocida o Objetivos tabulada) por otra más simple Temario Iterpolate como combiac de la base de u espacio fucioal: Bibliografía i i i Fucioes base: polmicas, trigoométricas, Fuc iterpolate coicide co la iicial Lagrage: valor de la fuc e alguos putos Taylor: valor de las derivadas e u puto Hermite: valor de la fuc y la derivada

4 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Descripc Platear las codicioes de eistecia y uicidad de soluc del problema geeral de iterpolac Objetivos Saber que el problema de Lagrage tiee u úico Temario poliomio de iterpolac de grado míimo Bibliografía Coocer las diferetes formas de represetar dicho poliomio Coocer las vetajas e icoveietes i de las formas de Lagrage y de Newto Compreder la relac etre diferecias divididas y epas e serie de Taylor y su uso para acotar el error Compreder las limitacioes e icertidumbres de la etrapolac Valorar las vetajas e icoveietes de los diferetes iterpolates segmetarios 4

5 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Problema de Lagrage i i : f,,, i Temario Eistecia y uicidad asociadas adas al sistemas Itroducc f Reglas It. Poliomial simples It. - Cerradas Segmetaria f It. - Abiertas Multidimesioal - Ejemplos Reglas Bibliografía Compuestas Cuadratura Gausiaa f It. Romberg It. Adaptativa Bibliografía 5 Base polica: soporte si putos repetidos,,,, Base trigoométrica: soporte si putos repetidos y compredidos e [-, ],si,cos, si,cos,

6 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Problema de Hermite f f i i :,,, i Eistecia y uicidad asociadas al sistema Temario f f Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía f f f 6 Base polica: soporte si putos repetidos,,,, Base trigoométrica: soporte si putos repetidos y compredidos e [-, ],si,cos, si,cos,

7 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Problema de Taylor : a f a,,, i i i Eistecia y uicidad asociados al sistema Temario a a a f a Itroducc a a a It. Poliomial fa It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía a a a f a 7 Series de potecias Criterios del cociete y de la raíz lim coverge? Llim L Si L=, coverge e =, si L=, coverge Sio coverge para </L

8 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Ejemplos Descripc Eistecia y uicidad de Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía 8 F(-)=,F()=,F()= Base polmica: soluc úica P {,se(),se()}: si soluc {,cos(),cos()}: soluc múltiple cos cos cos cos F( )=y,f( )=y,f( F ( )=y Base polmica: Soluc úica si

9 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Problema de Lagrage Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía 9 P i : P f,,, i Resoluc frotal del sistema: desacosejable (mal codicioado) El poliomio de iterpolac Eiste u úico poliomio de grado meor o igual a, pero eiste ifiitos poliomios de grado mayor. Hay formas más fáciles de calcularlo, e ifiitas de escribirlo (auque asociadas al cálculo) Forma caóica (resoluc frotal) Demo para 5 P para,5,,,, Forma de Lagrage 5 P FormadeNewto P 5 4

10 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Poliomios i de Lagrage Poliomio de iterpolac como combiac de Descripc poliomios más simples de obteer Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía i i : i i i P f L L Propiedades de los poliomios de Lagrage Cálculo L i Suma i i Derivac i i i i i i i i i L i d i j j ji d Derivac L i i d Li j d j i i i, j Demo Demo Demo

11 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Forma de Lagrage (I) L L i i i i i Grado y además L : L Descripc Grado y además Ejemplo Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía F() X =- -/5 X =- - X = - X = /5 L L L L P f L L L L L i i i

12 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Forma de Lagrage (II) Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía.5. fuc iterpolate L () L () L () L ()

13 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Forma de Lagrage (III) Descripc Vetajas Icoveietes Objetivos Fácil de calcular Temario Idepedietes d e es de la fuc a iterpolar Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía Poliomio:y=- g g {(-,-5),(-,-),(,),(,)} P f L i i i 5 L L L L El iterpolate puede ser mucho más simple que los poliomios de Lagrage Si cambia el soporte los poliomios obteidos so iútiles, es ecesario repetir todo el proceso

14 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Forma de Newto Diferecias i Divididas idid (I) i i i i i i,, P f Temario Orige: Q P P Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria Orige: Propiedades It. Multidimesioal Simetría f,, Bibliografía 4 Cálculo f f f,,, P P i f i f i i i j i i i i i i j ji f,, f,, Demo Demo

15 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Forma de Newto Diferecias i Divididas idid (II),,, f P f f f Descripc f,, Objetivos Cálculo de la tabla de Diferecias divididas Temario F() Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía 5 =- =- = f f f 5 = 5 f, f, f f, f 5 f f 5 f 5 f f 5 f,, f,,, f,, f, f, f, f, 7 f,, f,, P P 5

16 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Forma de Newto Diferecias i Divididas idid (III) Descripc Vetajas Icoveietes Objetivos Los cálculos so muy simples El cálculo depede de la fuc Temario Itroducc La tabla de It. Poliomial diferecias divididas - Lagrage - Dif. Divididas idid se simplifica cuado - Acotac del error el iterpolate es de Poliomio:y=- - Dif. Div. Geeral It. Segmetaria meor grado {(-,-5),(-,-),(,),(,)} It. Multidimesioal Las operacioes se Bibliografía puede reutilizar al F() añadir o elimiar =- -5 putos =- - 6 = =

17 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Forma de Newto Diferecias i Fiitas it Descripc Putos equiespaciados = + h Objetivos Progresivas y Temario Regresivas es y Relacioes Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía f f f f f f f f f f f f f f f f y f! h f,,, i f i i f i f! h f,,, 7 i i i f f i

18 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía Error e la iterpolac de Lagrage (I)! f f P I mi,,! f f I,, mi ma ma f I f z P z z! ma Demo Demo ma I ma f I f P ma! I 8

19 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Error e la iterpolac de Lagrage (II) Descripc Datos proviee de 5 f f Objetivos Temario Valor del iterpolate e =.5 P Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía Error máimo cometido e = f,, ma ma 4 error f()-p () f.5 P ! 8 Error máimo cometido e todo el itervalo, ma 4, 6 ma f P 4. 4!

20 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Error e la iterpolac de Lagrage (III) Descripc Datos equiespaciados = + h Iterpolac lieal Objetivos ma ma I ma, h I Temario Itroducc Iterpolac parabólica It. Poliomial - Lagrage ma I ma ma - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía f ma f I 4 f P h!! f ma f I, h! I! f P h Iterpolac cúbica ma f 4 ma f 4 I I ma f P ma h, h 4! I 4! ma s ma s, s, s 4

21 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Ejemplo de Iterpolac de Lagrage (I) Esfuerzo Deforma. Descripc El mástil de u barco costruido co (Kg/cm ua ueva aleac de alumiio tiee ) (m) Objetivos u área trasversal de 5.65 cm 6.5. Se 65. Temario desarrolla pruebas para defiir la Itroducc relac etre esfuerzo (fuerza 56. It. Poliomial - Lagrage aplicada al material por uidad de Dif. Divididas idid área) y deformac (defle por Acotac del error uidad de logitud), cuyos resultados - Dif. Div. Geeral se muestra e la tabla. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía Utilice poliomios de varios grados para obteer la deformac del mástil debida a la fuerza del vieto, evaluada e 9Kg.. Cual parece ser el más adecuado?.

22 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Ejemplo de Iterpolac de Lagrage (II) Puto de iterpolac: z= 9/5.65= 5.74 Codicioes para seleccioar el orde de los putos de iterpolac Itroducc F() It. Poliomial - Lagrage Dif. Divididas idid El puto de iterpolac z debe perteecer al itervalo Los putos debe hacer míima la cota de error; habitualmete sigifica que se seleccioa depediedo de su distacia a z - Acotac del error - Dif. Div. Geeral It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía Iterpolate P(z) P ()= (-56) P ()= P () (-56)(-57).86 - P ()= P () (-56)(-57)(-56) 57)( 56) P 4 ()= P () (-56)(-57)(-56)(-65) P 5 ()= P 4 () (-56)(-57)(-56)(-65)(-7)

23 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Ejemplo de Iterpolac de Lagrage (III) Iterpolate Descripc P ()= (-56) Objetivos P(z) P ()= P () (-56)(-57).86 - P ()= P () (-56)(-57)(-56) Temario P 4 ()= P () (-56)(-57)(-56)(-65) Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía P 5 ()= P 4 () (-56)(-57)(-56)(-65)(-7) P () P () P () P () 4 P 5 ()

24 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial - Lagrage 8 7 Ejemplo de Iterpolac de Lagrage (IV) 9 - P () P () P 4 () -8 P. 5 ()..8 - P () - Dif. Divididas idid Acotac del error - Dif. Div. Geeral...5 It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía Sólo tiee setido físico los iterpolates de primer y segudo grado!

25 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Ejemplo de Iterpolac de Lagrage (I) Descripc Se desea tabular la fuc f()=cos()*ep() defiida e el itervalo [-,] mediate putos equiespaciados. Objetivos Cuátos putos so ecesarios para que al iterpolar Temario liealmete l etre dos valores cosecutivos el error Itroducc It. Poliomial etre la fuc y el iterpolate o supere la media - Lagrage uidad?. Y si se utiliza ua iterpolac co tres - Dif. Divididas idid - Acotac del error putos cosecutivos?. - Dif. Div. Geeral. Cual es el máimo error cometido al utilizar 5 putos It. Segmetaria It. Multidimesioal equiespaciados? Y si se toma 9? Bibliografía 5

26 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Ejemplo de Iterpolac de Lagrage (II) Descripc Objetivos Error meor que.5 Iterpolac lieal Temario, h Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria ma f I ma f P h 4! f cos e f si e M ma f, Nota : f e cos si, M e 4 It. Multidimesioal Iterpolac cuadrática Bibliografía 6 4 e ma f P h.5 h.578 N 4 putos, 4! ma f f P h f e h! 4 f 4cos e,, M ma f e I ma cos si, e,! h h, ma f P h.5 h.55 N putos 4

27 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Ejemplo de Iterpolac de Lagrage (II) Descripc Cota del error de iterpolac Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial - Lagrage idid, - Dif. Divididas - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía 7 co 5 putos 5 ma f I ma f P4.64 h, 5! 6 f 8si e, 5 M ma f 4e si cos 4e 4e ma f P ! 4, co 9 putos 9 ma f I ma f P h, 9! f si e,, M ma f 6e si cos 6e 9 6e ma f P , 9! 8

28 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial - Lagrage Bibliografía Ejemplo de Iterpolac de Lagrage (III) ep() cos() fucio P () -5 P () -5 - Dif. Divididas idid Acotac del error - Dif. Div. Geeral. ep() cos() 5 It. Segmetaria It. Multidimesioal fucio -5 P 4 () P 8 () Data Máimo error real: Lieal :.44 Cuadrática:.9 5 putos:.98 9 putos:.6

29 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Iterpolac de Hermite (I) P f P i i i i :,,, i P f Objetivos Poliomios de Hermite Temario i i i Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía 9 a b L i i a b L i i i i i a b L i i Li i i i i Li Diferecias divididas geeralizadas Soporte dode cada puto se repite cosecutivamete tatas veces como datos haya e el mismo f,, f,,,, f f!

30 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Ejemplo de Iterpolac de Hermite (I) Descripc Objetivos Temario A u vehículo que recorre u circuito de 6Km se le toma el tiempo y la velocidad cada vez que pasa por meta, obteiédose la tabla aea. Obtega el poliomio que idica los Km recorridos e fuc del tiempo. Cuáto habría recorrido e?. Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía Vuelta Tiempo (s) Velocidad (m/h) Se debe comezar por homogeeizar uidades Tiempo (s) Espacio (m) Velocidad (m/s)

31 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Ejemplo de Iterpolac de Hermite (II) Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía Forma de Hermite P Fucioes de Hermite 4 Espacio Fucioes de Hermite Derivadas de Velocidad Hermite Derivadas de Hermite h () 564 h () 5 h () 5564 H () H () H () L L L i L i 5 L i 64 L P 65 7 =

32 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Ejemplo de Iterpolac de Hermite (III) Diferecias Divididas Geeralizadas Descripc P f f, f,, Objetivos,, Temario Itroducc It. Poliomial - Lagrage - Dif. Divididas idid - Acotac del error - Dif. Div. Geeral. It. Segmetaria It. Multidimesioal Bibliografía f Tbl Tabla de Difereciasi F() = = f f,! f f f! f f = f, =5 f, = f, 4 4 P =64 f 4 f, !

33 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Defiic i Sea X={a=,,, =b} u soporte ordeado Descripc dode d se cooce f(), se defie el iterpolate t Objetivos Temario segmetario de grado (splie de grado ) mediate S P co I co a, b I, Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía dode d a b S P P f y S C a, b Icógitas: (+) Ecuacioes: (+)- (-) Codicioes Naturales: S (-) (a)=: S (-) (b)=: Sujetas: S (a)=sa S(a)=Sa ys (b)=: Otras

34 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Lieal Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía Defiic Los poliomios e cada uo de los itervalos de la partic so lieales, l esto es, de grado (dos coeficietes cada poliomio). P a b Codicioes (Ecuacioes): La splie coicide co la fuc e (+) putos La fuc es cotiua e (-) )putos iteros. Coeficietes (Icógitas): Hay poliomios lieales Sistema compatible determiado. Se obtiee ua poligoal 4

35 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Lieal: Ejemplo (I) Descripc Objetivos Temario Aproimar la fuc f()=cos()*ep() defiida e [-,] mediate ua poligoal utilizado 5 y 9 putos equiespaciados. Acotar el error cometido e cada caso. Iterpolac co 5 putos y poliomios Itroducc F[.] F[.,.] It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal -/ Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía / Itervalo [-, -/] Poliomio (+) [-/,] +.666(+/) [, /] -.666(-) [/, ] -4.78(-/) 5 Error de iterpolac ma f I ma f S ma f P ma i, I! I,, ma f 4 e i I h !! 4

36 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Lieal: Ejemplo (II) Iterpolacio Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía f() S () Datos Maimo:4.56 Error

37 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Lieal: Ejemplo (III) Descripc Objetivos Iterpolac co 9 putos y poliomios F[.] F[.,.] Temario -/ Itroducc It. Poliomial -/.85 It. Segmetaria -/ Lieal - Cuadrática Cúbica (Splies) / It. Multidimesioal / Bibliografía / Itervalo [-, -/4] Poliomio -.4-.(+) [-/4, -/] (+/4) 67 85( [-/,-/4] [-/4, ] +.45(+/) (+/4) [, /4] +.74(-) [/4, /] [/, /4] [-, -/4] (-/4) (-/) (-/4) 7 Error de iterpolac ma f I ma f S ma f P ma i, I! I i,, ma f 4 e I h !! 8

38 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Lieal: Ejemplo (IV) Descripc Objetivos Temario - Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria Lieal -5 - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía.5 Iterpolacio f() S () Datos Maimo:. Error

39 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Iterpolac Segmetaria Cuadrática: Defiic Defiic Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía Los poliomios e cada uo de los itervalos de la partic so cuadráticos (tres coeficietes cada poliomio). P a b c Codicioes (-) La splie coicide co la fuc e (+) putos La fuc es cotiua e (-) putos iteros La derivada es cotiua e (-) putos iteros Icógitas () itervalos co poliomios cuadráticos e cada uo Sistema idetermiado (hay icógitas y - ecuacioes) 9

40 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Cuadrática: Plateamieto (I) Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía Defiic I P a b c co, Codicioes P f P f,, P P,, Sustituyedo las codicioes, se obtiee b b b b a h c f,,,, f, b b,,,, Demo 4

41 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Cuadrática : Plateamieto (II) Descripc Sistema b f, Objetivos b, f Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía b f, b, f Se ecesita codic más para que el sistema sea compatible determiado. d ) Aproimac lieal e el primer itervalo (a =b =b ) ) Aproimac lieal e el último itervalo (a =b =b + ) ) Derivada coocida e a (b coocido) 4) Derivada coocida e b. (b + coocido) 4

42 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Cuadrática: Plateamieto (III) Caso Caso Descripc b f, Objetivos b f, Temario b 4 f, Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal b f, b f, b f, b f, b f, b f, b f, - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Caso Caso 4 Bibliografía b f b f, b f, b f, b f, b f, b f, b, f b f, b f 4

43 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Cuadrática: Procedimieto Descripc Datos de partida {(, f( )), (, f( )), (, f( ))} Selecc de la codic a añadir Objetivos Plateamieto y resoluc del sistema Temario Recuperac de los coeficietes de los poliomios Itroducc para cada itervalo It. Poliomial Selecc del itervalo al que perteece el puto a It. Segmetaria iterpolar y uso del poliomio correspodiete - Lieal - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía 4

44 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Cuadrática: Ejem. (I) Descripc Aproimar la fuc f()=cos()*ep() defiida e [-,] ] mediate ua Iterpolac Segmetaria Cuadrática Objetivos utilizado 5 y 9 putos equiespaciados. Temario Itroducc F() b.75 It. Poliomial It. Segmetaria b.666 -/ - Lieal - Cuadrática b Cúbica (Splies) It. Multidimesioal / b Bibliografía 44 Itervalo [-,-/] [-/,] [,/] [/,] Poliomio (+) -.75(+) (+/) +.75(+/) (-/) -.59(-/)+

45 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Cuadrática: Ejem. (II) Descripc Objetivos Temario - Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía Iterpolacio f() - SpNat () Datos Maimo:.796 Error

46 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Cuadrática: Ejem. (III) Descripc Objetivos NOTA: e el caso cuadrático o es ecesario llegar a platear el sistema total, ya que se puede resolver iterativamete para cada itervalo. Primer itervalo a P a b c P.4 c.4 P a b P b.75 Segudo itervalo P P b.75 Pa b c P c P a b P a.878 Tercer itervalo P P b.457 Pa bc P c P a b P a Cuarto itervalo P 4 P b4.59 P4a4 b4 c4 P 4 c 4 P 4 a4 b4 P4.47 a Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Li l 75 Bibliografía 46

47 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac Segmetaria Cuadrática: Ejem. (IV) 9 putos b. b.85 b 4.45 b.868 b 6.74 b b b Descripc Objetivos F() Temario 5 Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Lieal - Cuadrática - Cúbica (Splies) It. Multidimesioal Bibliografía 47 -/ / -/4.4 /4.559 / Itervalo Poliomio / [-,-/4] [-/4,-/] [-/,-/4] [-/4,] [,/4] [/4,/] [/,/4] [/,] (+) -.(+)-.4.47(+/4) -.(+/4) (+/) +.(+/)+.9(+/4) +.6(+/4) (-) +.55(-) (+/4) +.97(+/4) (+/) (+/) (-/) (-/)-7.465

48 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Iterpolac Segmetaria Cuadrática: Ejem. (V) Iterpolacio - f() Itroducc - SpNat () It. Poliomial Datos It. Segmetaria - - Lieal Cuadrática - Cúbica (Splies) Error It. Multidimesioal.4 Bibliografía... Maimo:

49 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Splies cúbicos: Defiic i Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Dfii Defiic -Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) It. Multidimesioal Bibliografía Defiic Los poliomios e cada uo de los itervalos de la partic so cubicos (cuatro coeficietes cada poliomio). Codicioes (4-) La splie coicide co la fuc e (+) putos La fuc es cotiua e (-) putos iteros La derivada es cotiua e (-) putos iteros La derivada seguda es cotiua e (-) putos iteros Icógitas (4) itervalos co poliomios cúbicos e cada uo Sistema idetermiado i d (hay 4 icógitas it y 4- ecuacioes) 49

50 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Splies cúbicos: Plateamieto t (I) Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Dfii Defiic -Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) It. Multidimesioal Bibliografía 5 Defiic I P a b c d co, Codicioes,, P f P f,, P P P P,, Sustituyedo las codicioes, se obtiee b b b b a,, h b b c f, h,, d f,, Demo f, f, b h b h h b h,,,

51 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Defiic -Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) Splies cúbicos: Plateamieto t (II) Sistema h h h h b h h h h b h h h h b f, f, f, f, f, f, Dfii It. Multidimesioal Bibliografía Se ecesita codicioes más para que el sistema sea compatible determiado 5

52 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Dfii Defiic -Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) Splies cúbicos: Plateamieto t (III) Codicioes Splie Sujeta (pediete coocida e los etremos) Splie Natural (S (a)=s (b)=) Aproimac parabólica e los etremos S S ; S S Aproimac cúbica e los etremos Comportamieto perdico It. Multidimesioal Bibliografía 5 h h b f, A h h h b f, f, h h h b f, f, h h b B f, h h h b f, f, h h h b f, f, h h h b f, f, h hh b f, f,

53 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Splie Cúbicos: Procedimieto i y Cota de error Procedimieto Descripc Datos de partida {(, f( )), (, f( )), (, f( ))} (derivadas e los etremos cuado se desea ua splie sujeta) Objetivos Selecc de las codicioes a añadir Temario Plateamieto y resoluc del sistema Itroducc Recuperac de los coeficietes de los poliomios para cada It. Poliomial itervalo It. Segmetaria Selecc del itervalo al que perteece el puto a iterpolar y uso del poliomio correspodiete - Dfii Defiic -Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) Acotac del error Splie sujeta ma f S c Mh,,, 4 It. Multidimesioal Bibliografía 5 co M ma f, c, c, c Splie atural ma f S c Mh,,, ma,, f S cmh

54 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Splie Cúbico Sujeto: Ejemplo (I) Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Dfii Defiic -Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) It. Multidimesioal Bibliografía 54 Aproimar la fuc f()=cos()*ep() defiida e [-,] mediate ua splie cúbica sujeta utilizado 5 y 9 putos equiespaciados. Splie Sujeta co 5 putos F(),F () / / E b.75.4 b b b b Itervalo [-,-/] Poliomio.5(+) -.5(+) -.4(+)-.4 [-/,].446(+/) ( ) +.9(+/) +.5(+/)+ [,/] [/,] 5 4 Error ma f S Mh 5 84 e (-/) -5.68(-/) -6.49(-/)

55 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Splie Cúbico Sujeto: Ejemplo (II) Descripc Objetivos Temario - Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Iterpolacio f() SpSuj () Datos - Dfii Defiic - -Lieal Cuadrática - Splies (cúbicas) Error It. Multidimesioal Bibliografía Maimo:

56 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Splie Cúbico Sujeto: Ejemplo (III) Descripc Splie Sujeta co 9 putos Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Dfii Defiic -Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) It. Multidimesioal Bibliografía F(),F () / / -/4.4 /4.559 / / Itervalo [-,-/4] Poliomio.77(+) -.54(+) -.4(+)-.4 [-/4,-/] /].64(+/4) 64( +/4) +6(+/4) +.6(+/4) -.(+/4)-.67 ( +/4) 67 [-/,-/4] [-/4,].6(+/) +.7(+/) +.95(+/)+ -.5(+/4) +.56(+/4) (+/4)+.4 [,/4] -.66(-) ) +.58(-) ) +.8(-)+. )+ [/4,/] [/,/4] -.465(+/4) -.9(+/4) -.4(+/4) (+/) (+/) (+/)+ [/,] ].788(-/) -8.(-/) -5.54(-/) (-/) ma f S Mh 84 e

57 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Splie Cúbico Sujeto: Ejemplo (IV) Temario - Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Iterpolacio f() SpSuj () Datos - Dfii Defiic Lieal Cuadrática - Splies (cúbicas).8 Error It. Multidimesioal Bibliografía.6.4. Maimo:

58 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Itroducc F[.] It. Poliomial It. Segmetaria - Dfii Defiic -/ -Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) / It. Multidimesioal -.47 Bibliografía Splie Cúbico Natural: Ejemplo (I) Aproimar la fuc f()=cos()*ep() defiida e [-,] mediate ua splie cúbica atural utilizado 5 y 9 putos equiespaciados. Splie Natural co 5 putos Itervalo [-, -/] Poliomio.576(+) -.775(+) +.7(+)-.4 [-/,].576(+/) 576(+/) +99(+/) +.99(+/) +.9(+/)+ [, /] [/, ] -.58(-/) (-/) (-/)+ 58

59 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Splie Cúbico Natural: Ejemplo (I) Descripc Objetivos Temario - Iterpolacio Itroducc - SpNat () It. Poliomial It. Segmetaria Datos - Dfii Defiic Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) It. Multidimesioal Bibliografía f() Error Maimo:

60 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Splie Cúbico Natural: Ejemplo (III) Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Dfii Defiic -Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) It. Multidimesioal Resume Bibliografía Splie Natural co 9 putos F[.] Itervalo Poliomio [-,-/4].54(+) -.54 (+) -. (+)-.4 -/ [-/4,-/] /].54(+/4) 54( +/4) -.76(+/4) 76( +/4) -.59(+/4) 59(+/4) / [-/,-/4].687(+/) +.(+/) +.(+/)+ [-/4,] -.9(+/4) +.6(+/4) +.65(+/4)+.4 -/4.4 [,/4] (-) (-) (-)+. [/4,/] (+/4) -.75 (+/4) +.58(+/4)+.559 /4.559 [/,/4] -.6(+/) -5. (+/) -5.4 (+/)+ / [/,] ] -.6(-/) -6667(-/) 6.667( (-/) /

61 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Splie Cúbico Natural: Ejemplo (IV) Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Dfii Defiic -Lieal - Cuadrática - Splies (cúbicas) It. Multidimesioal Resume Bibliografía Iterpolacio - f() - SpNat () Datos Error.4 Maimo:

62 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Resume Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Dfii Defiic -Lieal - Splies (cúbicas) It. Multidimesioal Resume Bibliografía El problema de Lagrage g tiee u úico poliomio de iterpolac de grado míimo que se puede obteer mediate Plateamieto directo del sistema lieal Usado los poliomios de Lagrage Usado diferecias divididas de Newto Los poliomios de Lagrage permite sólo depede de los putos del soporte y so idepedietes de la fuc pero puede ser más complejos que la fuc de partida Las diferecias divididas de Newto depede tato de los putos como de la fuc y permite añadir o elimiar putos del soporte aprovechado los cálculos realizados La fórmula de error del poliomio de iterpolac es idepediete de la forma e que se de éste y o siempre el error dismiuye co el aumeto del úmero de putos del soporte Los poliomios de iterpolac de grado elevado tiede a teer oscilacioes muy fuertes, lo que limita su aplicabilidad La iterpolac segmetaria permite dismiuir el error co el aumeto del úmero de putos a costa de calcular iterpolates simples e cada subitervalo Los mejores resultados se suele obteer co los splies cúbicos sujetos, si bie se utiliza las aturales porque los sujetos eige coocer el valor de la derivada d e los etremos 6

63 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Resume (Ejemplo) Descripc Objetivos Temario Itroducc It. Poliomial It. Segmetaria - Dfii Defiic -Lieal - Splies (cúbicas) It. Multidimesioal Resume Bibliografía Tipo Putos Cota Error Lieal Cuadrática.5.9 Poliomial Poligoal l I.S.Cuadrática Sp. Sujeta Sp. Natural

64 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Aeos Demostracioes y desarrollos 64

65 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Uicidad o o del poliomio de iterpolac Sea P () Q () poliomios de grado meor o igual que ( y ( y Descripc que iterpola a f() e el soporte {,, }. Su diferecia será Objetivos otro poliomio, a lo sumo de grado. Temario Bibliografía Q R P Q su valor e los putos de iterpolac viee dado por Demostracioes,,, 65 R P Q f f de dode se puede escribir como R que es u poliomio de grado +, salvo que =, e cuyo caso R P Q Nota: Eiste ifiitos poliomios de grado mayor. Para ello es suficiete añadir cualquier otro puto, obteiédole u poliomio de grado superior que iterpola los datos iiciales Volver

66 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Cálculo de los poliomios de Lagrage P f L L i i Descripc P f L : L Objetivos Temario Bibliografía Demostracioes i i Ecotrar co las siguietes codicioes Poliomio de grado (hay + codicioes y + coeficietes) Se aula e todos los putos salvo e : (el resto del soporte so raíces del poliomio) L i i Vale uo e el puto i L Por tato L i i i i i i i 66 Volver

67 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Propiedades de los poliomios de Lagrage Descripc Objetivos Temario Bibliografía Demostracioes Li i La suma es el poliomio de iterpolac que vale e todos los putos; dicho poliomio es úico, luego i i L P d d Li d d i i j i i ji i, j Volver 67

68 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Bibliografía Demostracioes i 68 Simetría de las D.Divididas Di idid Uicidad del poliomio de iterpolac i P f i i i i i i Coeficiete de grado ( ) f f,,,, i i i i Nota sobre P Coeficietes C C C C C Volver

69 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Cálculo l de las D.Divididas Di idid Uicidad del poliomio de iterpolac-coeficiete de grado ( ) f i i i f f i,,,,,,,, Soporte :,,,, Bibliografía P f f, f,, Demostracioes f,, f,,, Soporte :,,,, P f f, f,, f,, f,,,, 69 Igualado coeficiete de grado - ( ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, f f f f f f f Volver

70 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Error e la iterpolac de Lagrage Descripc Objetivos Temario Bibliografía Demostracioes Dado I y P poliomio de iterpolac de f e,,,, se dfi defie g t f t P t f P E los putos de iterpolac t g f P f P E el puto geérico g f P f P se aula e + putos. Aplicado el TVM geeralizado g t 7 d g f t P t f P dt f f P!! f f P t t Volver

71 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Bibliografía Demostracioes Diferecias i divididas idid Dado I y P poliomio de iterpolac de f e,,,, se dfi defie R f P E los putos de iterpolac R f P R se aula e + putos. Aplicado el TVM geeralizado d R f P f! f,,,, dt Volver 7

72 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Iterpolac segmetaria cuadrática Descripc Objetivos Temario Bibliografía Demostracioes :, P a b c I P a b P P :, a b = b b b b b a h P f :, c = f P f :, a h b h c f b b h b h f f h b b f, 7 Volver

73 Aálisis Numérico Iterpolac Numérica por César Meédez Ferádez Descripc Objetivos Temario Bibliografía Demostracioes 7 Iterpolac segmetaria cúbica :, P a b c d I P a b c P a b 6 P P :, 6 a b = b b b b b a h P f :, d = f f d b b, P f :, a h b h c h d f c a h b h f h h P P :, a h b h c c b b b b b b h b h f, h f, h h h b h h b h b f, f, :, Volver